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publicao citlci: *|Hi_GicA E LGEBRA DE Booi.EDiferentemente de textos convencionais, este livro adota a estratgia de ensi-nar atravs de exemplos, com a utilizao de um instrumental lgico que faci-lita O 9edm60 B 8 mOde|agem de sistemas reais. O uso de ilustraescomo meio de exposio proporciona, neste texto, bases seguras para gene-ralizaoes e para o prprio conhecimento e desenvolvimento da lgica peloleitor. A introduo Lgica e lgebra de Boole visa mostrar um exemplo de mode-Iomatematico de inumeras e importantes aplicaes em diferentes- ramos daatividade humana como eletrnica, computao e outros. O livro resultou de intensa pesquisa e da experincia de magistrio do autor.Por isso, sua forma agradvel de apresentar o contedo programtico:,emvez de uma abordagem orientada para o conhecimento da Matemtica pura,abstrata, o autor optou pela apresentao de um sistema algbrico que repre-sentou importante passo no desenvolvimento da eletrnicac, computao,pneumtica e outras aplicaesque envolvem at a Pesquisa Operacional.nNOTA SOBRE O AUTOR AJacob Daghlian licenciado em Matemtica pela Faculdade de Filosofia,Cincias e Letras da Fundao Santo Andr, onde lecionou lgebra.Foi pro-fessor de lgebra Dooleana na Faculdade de Filosofia, Cincias e Letras "Prof.Carlos Pasquale". E reitor da Universidade Metodista-de So Paulo (UM-ESP) epossui larga vivncia industrial que lhe permitiu avaliar a importncia da matriaora apresentada. A APucAo Livro-texto para as disciplinas LGICA MATEMTICA e INTRODUAO LOGICA dos cursos de Matemtica (bacharelado) e Tecnologia de Processa-mento de Dados. Texto complementar para a disciplina CIRCUITOS LOGI-COS E OFiGANlZAAO DE COMPUTADORES do curso de Cincias daComputao.. \www.EditoraAt1as.com.br1783522 41255Dcighon,,,._,.iz.,meirumlmwilm-JACOB DAGHLIANLOGICQ QFLGEBRQ del3OOLE...___...._.-s-n-upa.uuui..-miLGCAELGEBRADEBOOLE4._J._4i._nI:In:_\l`iiir_*_llil`II,)i'_\|3))i_'I'JVJ_J}1.v6'I5''zU$f.17Iuillmww'vbuiiurtivllvwvo-au~i) Ii iiIQ21f.eJACE3 DAGI-ll_lAl\lLGMZAE LGEBRADE BQOLE4 EdicaoSO PAULOEDITORA ATLAS S.A. - 2008 1986 by Editora Atlas S.A. go i~*I'*'~1_,1. ed. 19s; 2. ed. 19ss;3.@.199o, i4. ed. 1995; 12. reimpresso zoos,zz,;:;li.,.Af:i ns.u.|u. Di WWW H -Y;|I""'\-IF'- .J ff".|v"`n;._,-1% -O*' .giCapa: Paulo Ferreira Leite mmolComposio: Style UpDados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)(Cmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)Daghlian, Jacob, 1936 - *Lgica e lgebra de Boole/Jacob Daghlian. - 4. ed. - 12. reimpr. - So Paulo : Atlas,2008.Bibliografia.ISBN 978-85~224-1256-31. lgebra booleana 2. Lgica simblica e matemtica I. Ttulo.95-0876 CDD-511.324ndice para catlogo sistemtico:1. lgebra booleana 511.324TODOS OS DIREITOS RESERVADOS - proibida a reproduo total ou parcial, de qualquerforma ou por qualquer meio. A violao dos direitos de autor (Lei ng 9.610/98) crimeestabelecido pelo artigo 184 do Cdigo Penal.Depsito legal na Biblioteca Nacional conforme Decreto ni* 1.825, de 20 de dezembro de1907.impresso no Brasil/Printed in BrazilEditora Atlas S.A.Rua Conselheiro Nbias, 1384 (Campos Elisios)01203-904 So Paulo (SP)Tel.: (0_ _11) 3357-9144 (PABX)www.EditoraAtlas.com.br.F.-m.E5'UiHi!-IlMJ'as..'u`lMlI!'i|n'tiIfi~:mi\nl.nmi-wwiumiw3,i--nz-va-n-n-:zum...nunw~pqw~wu-.-4*i._-mM4Uvn~nH-AgradecimentosAntonio ngelo Fratoni(Desenhos do Captulo 14)Vnia Linda Domingues(Datilografia do Captulo 14)ACarlos Alberto Garcia Calioli (in memoriame Rubener da Silva FreitasMestres e amigos cujo entusiasmo eincentivo me conduziram ao Magistrio.nmlu-|l'|$lli|IlI%NiII1r\il}l*iIIIIUEun'z'...-... _.W_.Pela ajuda de do/'s sbios: meus pais, Leon e HripsmPelo incen tivo de minha esposa: HuldaPela carinhosa presena de meus filhos: Leon e RicardoPelos meus irmos: Carlos, Luz e CeliPela oportunidade de realizar este trabalhoElevo 0 pensamento em gratido a DEUS.1-Uullnn'`eqig'iiiiivimviiriunnvias-ii'-I\o1~*~'Il.*ill'HH'.zli..lalil.mu--um-iliiSumrioPrefcio, 13Apresentao, 151SISTEMAS DICOTMICOS, 171.1 Introduo, 171.2 Interruptores, 181.3 Conjuntos, 221.4 Proposies, 261.4.1 Princpios fundamentais da lgica matemtica, 271 4.2 Tabela-verdade, 28Exu =.`S, 292OPERAES LGICAS SOBRE PROPOSIES, 312.1 Negao (), 322.2 Conjuno ('), 322.3 Disjuno inclusiva ou soma lgica (+), 322.4 Disjuno exclusiva (), 332.5 Condicional (--r), 342.6 Bicondicional (), 35Exercicios, 36zz-1z7CONSTRUO DA TABELA-VERDADE, 39 FLUXOGRAMAS, 77Iumiidn-u;.\n?ul-fzz..um, _ 1 Exerccios, 85Exerc1c1os, 42l 4 8__ _ OUANTIEICADORES, 89RELAOES DE IMPLICAAO E DE EOU1vALENc1A,48.1 Sentena aberta, 89 g4-1 Denies 46 8.2 Quanticador universal, 904.2 Relao de implicao 47 8.3 Quanticador existencial, 914.3 Relao de equivalncga 47 8.4 Valores lgicos de sentenas quanticadas, 9344 Equivalncias notveis, s 8.5 biegao de sentenas quanticadas, 934.5 Propriedades, 51 Exercicios' 96Exerccios, 5195 , INTRODUO LOEBRA DE BOOLE, 97AROUMENTO VLIDO, 54 9.1 Operador binrio, 979.2 Propriedades das operaes, 975_1 Deni-0, 54 9.3 Sistemas algbricos, 1055.2 Regras de inferncia, 56 Exefclclosf 114Exerccios, 5 8106 9 FUNOES BOOLEANAS, 117TCNICAS DEDUTIVAS, 62 Exerccios, 120'-_6.1 Prova direta, 626.2 Prova condicional, 65 A 1 16.3 Prova bicondicional, 67 4 - -6.4 Prova indireta ou por reduo ao absurdo, 68 O REPRESENTAAO DAS FUNOES BOOLEANAS' 1226-5 Pwva indireta da forma Cnd0n1 70 11.1 Diagramas de Venn ou crculos de Euler, 122Exerc1c1os, 71 . . 11.2 Tabelas-verdade, 123 g- 11.3 Representao geomtrica, 124l Exerccios, 128 1 1FORMAS NORMAIS, 13112.1 Forma normal a n variveis, 13112.2 Forma normal disjuntiva, 13112.3 Forma normal conjuntiva, 13312.4 Funes na forma binria, 13412.5 Funes na forma decimal, 135Exercicios, 13713MINIMIZAAO DE FUNOES, 139c 13.1 Mtodo algbrico, 13913.2 Mtodo do Mapa de Karnaugh, 14013.3 Mtodo de Qune-McC1uskey, 148Exerccios, 15214PORTAS LGICAS, 154Bibliografia, 166.:-.irrriiiwwi'vi-.Q%Wiuureezir'rza;sar.~'eririi. __: _- .. J _i.n1znn'|~.P/~>b!\n&0'PrefcioOs ltimos 10 anos vm presenciando um aumento sem precedentes da apli-cao da Matemtica, particularmente da lgebra, no entendimento e soluo dosproblemas das Cincias da Computao. Estruturas algbricas, cada vez mais, estosendo empregadas na modelagem e controle de circuitos eletrnicos e de sistemasde informaes. A lgebra aplicada computao vem sendo paulatinamente in-troduzida nos currculos das escolas de 2.0 e 39 graus sob formas diversas., pois, com grande satisfao que apresentamos ao leitor este dedicado tra-balho do colega Jacob Daghlian. Trata-se de um livro que surgiu como frutodointenso trabalho de pesquisas bibliogrficas e das experincias do magistrio viven-ciadas pelo autor no ensino de disciplinas cujos contedos abrangem este texto. sabido que os estudantes so mais hbeis quando conhecem a causa pelaqual aprendem uma tcnica particular e tendem a perder o interesse se os mtodosmatemticos so apresentados de maneira puramente abstrata, sem aplicaes pr-ticas. Consciente, o autor adota a estratgia de ensinar, atravs de exemplos, utili-Zando o instrumental lgico para o entendimento e a modelagem de sistemas reais.O uso de ilustraes familiares como meio de exposio, por certo, oferecerbase para generalizaes e o prprio conhecimento e desenvolvimento da Lgicapelo leitor.Devemos deixar claro que no desaprovamos a abordagem orientada exclusi-vamente para o conhecimento da Matemtica Pura. Porm, entendemos que,quando o trabalho bsico inicial estiver bem assentado, o aluno ter estmulo paraaprofundar os indispensveis conhecimentos tericos da Matemtica Pura.Com esses objetivos o autor produziu um livro-texto claro e compreensveldestinado aos cursos introdutrios de lgebra Aplicada Computao que certa-mente dar os fundamentos para que os leitores caminhem com segurana nosestudos, investigaes e pesquisas nessa rea do conhecimento humano.Congratulamo-nos com o Prof. Jacob Daghlian e com a Editora Atlas pelapublicao, augurando a continuao de empreendimentos desta natureza.So Paulo, abril de 1986PROF. GILBERTO DE ANDRADE MARTINSz.--zf_*--M---ApresentooO presente texto originou-se das notas de aula do curso que ministramos halguns anos aos alunos do curso de Matemtica da Faculdade de Filosofia, Cin-cias e Letras da Fundao Santo Andr. Ao redigi-lo, como primeira razo, moveu--nos o interesse de entregar aos nossos alunos um texto que contivesse os pontosprincipais de nosso curso e que superasse a necessidade, nesta primeira parte dosestudos, de livros estrangeiros de difcil e cara obteno. Outro aspecto importan-te que nos levou a este trabalho e nos mantm motivados no seu aprimoramento a apresentao de um sistema algbrico que representou importante passo nodesenvolvimento' da eletrnica, computao, pneumtica e outras aplicaes queenvolvem at a Pesquisa Operacional. Sua presena marcante nos estudos deautomatizao, levando a simplificaes com sensveis redues de custo, tendodado origem a mtodos que representam grande economia de tempo em projetoscom os quais possa relacionar-se.Nada apresentamos de original e, em alguns casos, incorremos na linguagemcaracterstica de queridos mestres como o foi Alcides Boscolo, de saudosa mem-ria, e ainda o Edgard de Alencar Filho, no deixando de mencionar a marcanteinfluncia de alguns textos citados na bibliografia.Agradecemos o apoio dos colegas, bem como as crticas recebidas, sendo oserros e imprecises de nossa inteira responsabilidade. Em particular, agradecemosao Prof. Jos Otvio Moreira Campos o incentivo e empenho para a concretizaodeste trabalho.Finalizando, prestamos nossa homenagem aos professores que desde o Jar-dim da Infncia participaram de Jnossa formao, dedicando-lhes este livro e, paraevitar omisses, citando as diferentes escolas que cu rsamos:Jardim da In fncia e PrimrioAcademia de Comrcio Horcio Berlinck -- Ja - SP, 14 15GinsioGinsio Estadual de Ja -Ja - SPColgio So Norberto - Ja - SPColgio Dante Alighieri- So Paulo - SPCentff/'coEscola Preparatria de Cadetes do Exrcito - So Paulo - SPEscola Preparatria de Cadetes do Exrcito - Porto Alegre - RSSuperiorAcademia Militar das Agulhas Negras -_ Resende - RJFaculdade de Filosofia, Cincias e Letras da Fundao Santo Andr - SantoAndr - SPOrganizao Santamarense de Educao e Cultura - OSEC- - So Paulo -SP (Especializao) 'Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo - PUC -_ So Paulo - SP(Ps-Graduao)Instituto Metodista de Ensino Superior - IMS - So Bernardo do Cam-po - SP (Mestrado em Administrao)So Paulo, 1995JACOB DAGHLIAN1'_;siiifsrmfrih-her.+:e'aa~r=i+=.izz+v.ir.1$15iSistemos Dicotmicos1.1 INTRODUOO mundo em que vivemos apresenta situaes com dois estados apenas, quemutuamente se excluem, algumas das quais tabelamos a seguir:1' 7' ' ' ' ' 77 7 ' 7 W" 77 7 ' ' l 77%' 7' ' 77" ' 77 F ,ll 1 l Ol *I fim * Ami* 'f`I7T7J"r_7`|F l i 7` S' .im No- fz f_____ :_-;____ _ __ __ f 1; - -- -- -- -ff ;L - z 7-f-f_ ` - ;_-~- z-77 ___ _ __ ffli 1 Dia NoitePreto or Branco *T7 Ylfr _ _ ' ' ' 7 " 'mf' ___T_ _ __ __ "' 7 ___ _ "' z Tfwz __ 1 _ '41'l Ligado ii Desligado oH situaes como morno e tpido, diferentes tonalidades de vermelho etc. queno se apresentam como_ estritamente dicotmicas, ou seja, com dois estados ex-cludentes bem definidos.A Lgica comeou a desenvolver-se com Aristteles (384-322 a.C.) e os an-tigos filsofos gregos passaram a usar em suas discusses sentenas enunciadas nasformas afirmativa e negativa, resultando assim grande simplificao e clareza, comefeito de grande valia em toda a Matemtica. Por volta de 1666, Gottfried WilhelmLeibniz (1646-1716) usou em vrios trabalhos o que chamou ca/cu/us rarr`0tr`nator,ou /og/'ca mathematca ou /ogrstca. Estas idias nunca foram teorizadas porLeibniz, porm seus escritos trazem a idia da Lgica Matemtica.noNo sculo XVIII, Leonhard Euler (1707-1783) introduziu a representaaogrfica das relaes entre sentenas ou proposies, mais tarde ampliada porJohn Venn (1834-1923), E. W. Veitch em 1952 e lVl. Karnaugh em 1953. Em1847, Augustus DeMorgan (1806-1871) publicou um tratado Forma//og/'c envol- 17vendo-se em discusso pblica com o filsofo escocs William Hamilton (que nadatinha a ver com o matemtico William Rowan Hamilton), conhecido por sua aver-so Matemtica, o qual, entre outras coisas escreveu: A Matemtica congela eembota a mente; um excessivo estudo da Matemtica incapacita a mente para asenergias que a filosofia e a vida requerem. George Boole (1815-1864), ligado pelaamizade a Del\/lorgan, interessou-se pelo debate entre o filsofo e 0 matemtico,escrevendo The mathematfca ana/yss of /ogic (1848) em defesa de seu amigo;mais tarde publicou um livro sobre lgebra de Boole, chamado An investigar/'onof the laws of thought (1854) e em 1859 escreveu Treatse on dfferental equa-tions no qual discutiu o mtodo simblico geral. O trabalho de George Boole foiampliado por Lewis Carrol (1896), Whitehead (1898), Huntington (1904 e 1933),Sheffer (1913) e outros. Este perodo de desenvolvimento da Lgica culminoucom a publicao do Principfa mathematica por Alfred North-Whitehead (1861--1947) e Bertrand Russell (1872-1970), que representou grande ajuda paracompletar 0 programa sugerido por Leibniz, que visava dar uma base lgica paratoda a Matemtica.A lgebra de_Boole, embora existindo h mais de cem anos, no teve qual-quer utilizao prtica at 1937, quando foi feita a primeira aplicao anlisede circuitos de rels por A. Nakashima, que no foi bem-sucedido, pois, ao invsde desenvolver a teoria j existente, tentou desenvolver a lgebra Booleana porconceitos prprios. Em 1938 Claude E. Shannon mostrou, em sua tese de mestra-do no Departamento de Engenharia Eltrica do MIT (Massachusetts Institute ofTechnology), a aplicao da Algebra de Boole na anlise de circuitos de rels,usando-a com rara elegncia, o que serviu de base para o desenvolvimento da teo-ria dos interruptores.O assunto deste curso, ainda que elementar, visa mostrar as aplicaes dalgebra de Boole ou Algebra Lgica no s no processamento automtico de dados(computao), como tambm na automatizao da produo industrial, mediantea utilizao desta teoria aplicada aos fluidos.1.2 INTERRUPTORES1fi"'.\`-T.a.lrIlr'rrf:Hlii=.i'=ii*+-.=iii~'-i:~izb c )ai -Y ll . .., l- _ Z :_V i r '. t - w z le) oX _fl1it:]_,.,___z- a )(ihT7 a' Zz b 7 )a' z _ .c ..__.._b'9)hll_ 3' _ _ b ____ _ 3' __ __ b' )_a_ b_____ C __J_ a )3 bb ---d-z_c( b d1 lll__.__..' __b .......'__._..1 ) { a _ c4;Ii 1j "'_'l r-_'L_ _a' _ _b'- c ___ l2. Desenhar os circuitos cujas ligaes so dadas pelas expresses:alr'(q+rlblm+(D"Q"r')]im+n+p+qdll'vl+("el, f. . ffl lr+ql'lp'+q'lgl lD+ql(r>+q'+r'lhi(a+b-c)(a"b'+c')+a'b"c'i) p'[q'(s+r)+r's] +(q+p')-(rs'+s)l Aten:'o: O leitor no deve passar s pginas seguintes sem que se sintaperfeitamente capaz e desembaraado nos dois tipos de exer-po e os erros cometidos.ccios das seqncias acima. Tente de novo, marcando o tem- l7 i"` 1.3 CONJUNTOSSejam a, b, c, conjuntos de pontos tomados num espao E dado. Na fi-gura abaixo, o retngulo o nosso espao E e as figuras internas so os conjuntos22 ' 8 a' 0 1 23=f'vvzi,;(sv_~.v'av-1rf f s /r @H , __ a _ c ,l . . a' b ___ c ___. ,_E__ , ,a _ b' cl __ __a __b -___ c'__ _. . *{14-i( vl+( V) .i7.-1;. .->':-.f?f`?'>`z1)1. z;-.'-""'.'/Para dois conjuntos quaisquer a e b do universo 1 valem as igualdades:Podemos verificar sua validade construindo os diagramas apropriados, porexemplo, pelos crculos de Euler ou diagramas de Venn. Outros resultados podem0+00+11+01+1a+a'=..- --Q oo -zoa+b=a+0a+1mU'_..-...+ IDm0Jm_..\...1 aser obtidos para trs conjuntos quaisquer a, b e c.19 Exemplo:U'm__-C301Mostrar mediante diagramas apropriados que:Soluo:`%_)a+(Cbb'c)=(a+b)(a..._1-+c)mC3U'Q-*CDGO8'-2.is-2l'li~i`..."'-7'-1'f'l.~*iiii29 Exemplo:; Soluo :8+(b'Cl (a+b)(a+c)Q 4Q F Cl l ID Cir Dr' + p'qr-llustrar pelos cfrculos de Euler a expresso pr' + p'qr.I O I m m ,ii llllia DF' 'm ""-%'___a b'c'Will3P Exemplo:COi Dar a expressao da regio hachurada no diagrama:, la-;.i.:,i,Iiir.,,__| _ .z_:~j',ii,lliiilrrliiii llllljil lllilili viii,ll liliiliiir. rill .mi * "* '*'l ' .z (1.4 l ;i,ll(ll 1 S0lU.'0=_ X V Z: + xr yr Z24 a + b 3 + Ci''iiJ..i1.ir1;,.._1Lfl..,|.F'i(Iiii'llil'iiiliii.-.,.i..l.:flilfz-il.Lilii.:fiz.Piii --1lgie'.il_iiI.,..lilir(lil=i1.,|iliri"lifoilllii ll'i.ll'l~.iiii`|(l,l`.-;_i"'._.__"TFZ*.._F:`'._'..EXERCCIOS1. Desenhar os diagramas de Euler-Venn para mostrar:a)lJ+q'bl i1q'cl p'+icl (D'l'=P1.4 Pnoeosioes ooChamamos conceito primitivo aquele conceito que aceitamos sem defini-o. Enquadraremos neste caso o conceito de proposio G. D0|'30z 0300 def*niremos. Entretanto, nada impedeque conheamos suas qualidades, lembrandoque propos:"o uma sentena declarativa, afirmativa e que deve exprimir umpensamento de sentido completo, podendo ser escrita na forma Slmbvlw OU linguagem usual. Ento, so proposies:a) tg -:L = 1b)\/3q:1+2=3implica21Observaes'a) Quando for conveniente indicar que uma proposio composta P formada pelas proposies simples p, q, r,..., escreve-se:P (p, q, r, ...).b) As proposies componentes de uma proposio composta podem ser,elas mesmas, proposies compostas. Ac) As proposies compostas .so`tambm chamadas frmulas proposi-crona/s.lndicaremos o va/or lgico de uma proposio simples p, por V(p). Assim,se p verdadeira, V(p) = 1 e se p falsa, V(p) = 0. No caso de uma proposiocomposta P, indica-se por V(p). Nas proposis abaixo:p: O sol verde. V(p) = 0.q: Um hexgono tem 9 diagonais. V(q) = 1.r: 2 raiz da equao xz + 3x - 4 = 0. V(r) = 0.1.4.1 Princpios fundamentais da lgica matemticaa) Princrjoio da No-contradio:28 l5'Tbl Princiivio do Terceiro Excludo: bl P(p'q'f)Toda proposio ou s verdadeira ou s falsa, nunca ocorrendo um tercei-ro caso. T T * " '. . _ - . - ~ P * q i f li 0 fDe acordo com esses principios, podemos afirmar que. toda proposiao K , 1: ___* 1ladmite umeum s dos va/ores 1,0. l ii 1 1; O z O * O i. , . H - , , :__ ,W;_ 1Chamam-se conectivos lgicos palavras ou expressoes que se usam para for- T 1 ii 1 f q 1. H . . ~ 1 .; li ij li lmar novas proposioes, a partir de proposioes dadas. Damos abaixo algumas pro- 2 \ 0 0 1 i Qposies compostas por diferentes conectivos (grifados): T. . ...___ J rP: O nmero 4 quadrado perfeito e o nmero 3 impar. l 3 0 1 l 0 *I pO: O tringulo ABC retngulo ou issceles. F" TFl: Se Joo estuda, ento sabe a matria. 1 4 1 0 1 1 ilU1 _.,e Oe ,ga, e ,1.o` ` f_ rfffff 71.4.2 Tabela-verdade ir , "lr 6 i 1 o z 1 T qPelo Principio do Terceiro Excludo, toda proposio tem Vlp) = 1 ou F T.: 0. _ 7 . 1 1 E O_ I'ff- i 1' Lf;i=f 0 fa11i11------1 ,.:.;i_ L- `, eu lli O sp1. 1 1 Apresentaremos, sem demonstrar, o seguinte teorema:iil iNas composies, o valor lgico de qualquer proposio composta depende _ o nmero de proposies componentes.unicamente dos valores lgicos das proposies simples componentes, ficando por 1eles unvocamente determinado. Usaremos como meio auxiliar na construo das , itabelas-verdade o diagrama da rvore, que se v ao lado das tabelas._Na.situaao i Exemplos: atual, os nmeros que aparecem na primeira coluna tem apenas a finalidade de a) Dada pg n = 1 e a tabemverdade ter 21 = 2 unhas.indicar 0 nmero de linhas para cada exemplo apresentado. TT s bl Dada Plp,q), n = 2 e a tabela-verdade ter 22 = 4 linhas.Para as proposies compostas, veremos que o nmero das componentes D cl Dada Plp,q,rl, n = 3 e a tabela-verdade ter 23 = 8 linhas.simples determina o nmero de linhas das tabelas-verdade. Exemplos: ~ oal Plp-ql exe Rc rciosl il ` _______Ff_____ O Q t. 1. Determinar o valor lgico (1 ou Ol de cada uma das seguintes proposies:_10 E O 1 al O nmero 11 primo. VlaN. O __..TJOfi .- i -_ Q- _ dl sec2 32 = 1 + tgz 32. V(dlg \ \ bl senz 25 'T+ cos225 = 1. V(b)i 3 *1 O 1 1 cl O hexaed ro regular tem 8 arestas. Vlcll4 *T 1 1% q 1 , el ioga.-= 1. vie)i Teorema: O nmero de linhas de uma tabe/a-verdade dado por 2", onde n Is.../.f\l\f-iuuf'|f|I`l~..v~ll\...\./\./\.r\-f\.z_z\f\|f\|f\i\uf.z))))l)I))))ll)i\lx.../"~u/\u/*IIII")))))))l1)JJl)Jilif) loga1= 0. \/(f) zgi semi 30 + CQS2 30 = 2.h) senz g + cosz g = 1.i) log (2 3) = log 2 + log 3.j) Todo nmero divisvel por 5 termina em O.l) O par { x} igual a {x}.Vlgl =Vlhl =Vll =Vlil =V zzlO dl l-l l m 2 ~ *' '1:, ,,;;,' _ ~ mg Operooes Logicos sobreol cos(-xl = cosx. V(0) = . - ~vipi z ProposioesDl -2 Outras maneiras de exprimir uma negao! O valor lgico da disjuno inclusiva de duas proposies definido pelaNo e' verdade que Joo estudante. tabela-Vefdadei - falso que Joo estudante.2.2 CONJUNO (.lA conjuno de duas proposies p e q uma proposio verdadeira quandoV(p) f= V(q) = 1, e falsa nos demais casos, isto , s verdadeira quando ambas ascomponentes forem verdadeiras. Chamamos p 1 q a conjuno de p e q e l-se:np e qn'L*D 1iD+1O_`O.z O , 1101_ Ei.---E. ee Ei ' ' 3. , 1;1=1,1 Ento dadas as proposies abaixo vem:O valor lgico da conjuno de duas proposies definido pela tabela- ' '-verdade: 1to q=r'=i~ao oiol!ETlL i4-;r;-cz. _ 1 _ . il1:1,; -- - - - - -1111_. ___z;zlz__.zz..__z__ . V ilEnto, dadas as proposies abaixo, vem:al pzsen = - i (1)1 q:cos0=1 (1)Vl.p'ql =lbl r: |ogz2=1 (1)s: 2.=2 (O)V(r s)=02.3 DISJUNO INCLUSIVA OU SOMA LGICA (+lA disj'un'o de duas proposies p e q uma proposio falsa quandoV(p) = V(q) = 0 e verdadeira nos demais casos, ou seja, quando pelo menos umadas componentes verdadeira. Chamamos este conectivo disfuno inclusiva ousoma lgica; denotaremos a disjuno de p e q por p + Q. 8 l-S62 "D OU Q"-l1olo^ \Q11al p:Tr=3 (0)1: ~ J *` q:9-3?6 (1)1 - ,- VlD+ql =10 110. bpz/I)))l-~./ul'-ui/~..'ll--/-./\-/\-/'\)))_)tt))i))llilJliJJO valor lgico da disjuno exclusiva definido pela tabela-verdade:,_ _'U .QO Oii. _EO_)1-J -aoO _.:_-_ OEnto, dadas as proposies abaixo, vem:al p:rr2V(pql=1bl p:tr 1 (ll-verdade: WP ** ql = 1z bi r:/IT E 2 ioi p _) q- =i=/ > 1 iiica ci ni-'L Vip*->ql=0Ento, dadas as proposies abaixo, vem: bl P T'ffO 1-ul r__1-Lzbunnl -o`c: Daremos de maneira breve a ordem de precedncia a ser observada entre asoperaes estudadas, que a seguinte:al'c)->al pztgg-=1 (1) d),.,_____,_q:sen0=-'-O (1) ` _VP _* ql = 1 a identificao da forma da proposio composta, conforme mostramos a seguir: 3Esta ordem de precedencia entre os conectivos tem a finalidade de permitirAssim, p -- q _- r da forma bicondicional; a proposio p + q' -- q - r C) 3 > 2 ou sen90 > tg45. da forma condicional, ao passo que, p + lq' --> C1 ' rl composta por disjun- d) se l -1 I < O ento sen90 = 1.o. Portanto. a correta colocao de parnteses, quando for o caso, de extrema e) 3 > 1 _ 30 -.z 3_importncia. _ .P 1 f) 1; > 4 i 3 >\/egl tgn = 1 se e somente se senrr = 0._ h) No verdade que 12 um nmero impar.EXERCICIOS ) (1 +1 = 2+-4+3=5)'., it jl (sen 0 = O ou1. Sejam as proposies p: Joo joga futebol e q: Joo joga tenis. Escrever na Iin-guagem usual as seguintes proposies: 'A .5_ Sabendo que V(p) = 1 e V(q) = 0, determinar o valor lgico de cada uma dasa) p + q proposioeszbl ia Q al ia Q'cl iv q' bl r+q'dlr'q-r' tfl lD+o'l-(rslhl [D-->lq' rl]il lr+larl1'-s' lP'+f) (p+_q)._r' bl lr+(r-rst cl lp' + lrbl senrr = 0 e cosir = 0. sl']4. Determinar o valor lgico de cada uma das seguintes proposies: dl [CI *_* lp' Sel3+2=7 e 5+5=1o llpHl+lq`_`>pl` fl lD**Cil'lr'-'--rs)llll'ei lp - qq' + (r _). 5) V 8. Para que valores lgicos de p_e q se tem Vlp ql = Vlp ---.q)?gn [D ___) (Q _ rn _ S z 9. Se V(p) = Vlql = 1 e V(rl = Vlsl = 0, determinar os valores lgicos das seguin-' , tes proposies:fnffrwiwiiduiudwilOO2l1lirll 9) {[Ci' ' lo - s'll'}'i lh i>'+la lr-s'llil lD'+fl'_'*lq--*sll .../-/--f~./l__))il [D + lq-' sli' + lr-_s'lll Cl" lll"+Sl-_-lD-_->q'llml lP'_*l rl ' s, sabendo que Vlrl = 1.Determinar os valores lgicos das proposies abaixo, justificando os casos em i 39) p -- (r + 5), sabendo que yr,-) = 1_ Para se construir a tabela-verdade de uma proposio composta dada, proce-h) lp 1 ql r, sabendo que V(q) = 1. de-se da seguinte maneira:) [lp '_-_ fll . p]__ pl' Sabend que Vlp) = 0' al determina-se o nmero de linhas da tabela-verdade que se quer consll D _* (Cl ' rl. sabendoque V(q) = O e Vlrl = 1. trur_J bl observa-se a precedncia entre os conectivos, isto , determina-se a forma das proposies que ocorrem no problema; ') . . _ .. .. . . . _c) aplicam-se as definioes das operaoes logicas que o problema exigir.ll) .)il r-- -rf ~ -I' I' fl') e ~ - -i ij ` . 1)l i. z _ ___ i-__ illllVejamos alguns exemplos: .19 Exemplo:Construir a tabela-verdade da proposio: P(p,q) = (p q')'.Soluo : J~ p 11e, para todas as linhas da tabela-verdade, vem:P(00,01,10,11l =O conjunto V = {00,01,10,11} o conjunto de todos os valores possiveis ~de serem assumidos pelas proposies componentes de PlP.Cll e, considerando que *a cada elemento de V corresponde um e somente um dos valores de {0,1}, dire- 1 -mos quePieeiz v -~ {0.1}. - lou seja, a tabela-verdade de P(p,q) uma aplicao de V em {0,1}. O mesmo se d A z l T 1com proposies compostas por um nmero maior de proposies componentes. S 5 l29 Exemplo:Construir a tabela-verdade da proposioHmw=%o'm"+m**pY. ` 1 iSoluo:39 Exemplo:Construir a tabela-verdade da proposio:1101.A Hmmd=D+r~*q'f.Soluo :lp T" + I q r r p r q r p+r -->q rser - -~~~ fr f ~f Cl ' 'l _____ __L _ _ __ _ _----c>oc:c:> --~oo--oo --*CJ-O-*O-*O CD-*O-*O-*O-H _;-......_\@...@_ O--IOQO-*OO @...@@.-.........\O-. L _l____ zz zzzzz __ _ _ _ _ _ _ rNo caso de trs proposies componentes, temos:iO Pl000l = Pl100l =O O'P Q pq mqY arco lqttm' w'qY+h**DYlO Pioo1i= Piio1i=-A O-*OOO Q.-aa.-a-.L -\@@-.L___ _|_ _ __ __1-uinq _!-lu-rmV, P(010l = P(110l =P011l=1 Pl111l=V, P(000,001,010,011,100,101,110,111) = 01110010.lO ui-I d ni-1 1 i il __O OC@-A o_\T "J"`" Fazendo V = {000,001,010,011,100,101,110,111}, ou seja, V o conjunprocedendo de manea anwga ao exempm anteor' temos: toxde todos os valores possiveis de serem assumidos pelas proposioes componenP(00l =Pl01l =P(10l =P(11l == @..s...-s QH outros mtodos para construo de tabelas-verdade, porm nos restrin- f p(p'q) = ip __> q) . (q _, r) _, (D ___., r _40 giremos ao mtodo utilizado nos exemplos dados. _ ' P 'tes de P(p,q,rl, mediante raciocinio anlogo ao caso de P(p,q), temos:HmmdW-*{Q0-Ento, a tabela-verdade de P(p,q,rl uma aplicao de V em {0,1}.ou P(00,01,1 0,1 1) = 1110.49 Exemplo:~.../uId'dd~dul-/..`i,lO/J'\./\/\f\I"\-'))_ )Eno, determinar P(O0,01,10,11) consiste em construir a tabela verdade para a _ V P _ __proposio dada e responder na forma indicada nos exemplos dados. Cn5tr" a tabla`l'e'dade da p"p5'a-l 41llIIIQSoluao.F _ __ _ ___ .__ __ __ _ __ __ _ _. _zzzz M1rf 1 1 i-/..../\uf'rud-./i-iP fi ',f**."*frr>rP+qdl is'--li-ilel ln-'>ql-~iqfl ai*-+ai" iasl li+-:i'l--ri+i=hl lrDl--+lD--rldl lp--rl--lD'-r'lDizer quais as proposies que satisfazem s tabelas verdade abaixo? bl 7 cl ?Qi 1 e V(q) = Vlsl = 0 determinar o valor logico deBariri Brp--*ri BIG*-*Ppr-ra C=r'--*ri C=i>p D:p'q D:p'q'nenhuma delas. E: nenhuma delas. E: nenhuma delas.8 Determinar as proposies compostas por conjuno que satisfazem a cada uma sdas tabelas verdade indicadas.l--iooL p ,ql A l B C W D E _CDCD_.._.._. QI- -*-eCD -eCDC3 _(3_.-l CD _ 1CD _; Li9 Determinar as proposies compostas por disjuno que satisfazem a cada umadas tabelas verdade indicadas._ _ JI' '' ' '7"____ __ __,iun, ' ' LY+- l 1P ___ __ _-+- L ___ zi ___ --Al B i C*____;-ih@3 __4____lF _;Q-L3_Q C)._-s_; CDCDCD-^_A-4i...z-.L-.ni-.L@...@...CD-*CDCDl_ 1 _i______ .___ _ _xlL___10 Determinar as proposies compostas por condicional que satisfazem a cadauma das tabelas verdade indicadas."notre ff r rf* i 1PTQ_-AQQ -.@...@ O__;-A...abir_-__-CDCDCD-eLie-1._._-A_;@ CD-4CDCD -li-@-ap +q Ap +q' A;p-- q 11. Determinar quais das seguintes proposioes so tautologias, contradioes oucontingncias:alD'_*(D'_'>qlbl p'+q-*lp-*~>qlel na->lq_>lq-*rolldl (lp-rol*-*ql-rnel i+inllil))Xfl-...\-/\./~../_/l) ll))\l)i 11fl\ll\l)J) 46 iJ lReloes de lmplicoo e delI A 0qu|vo|enc|o O estudo das relaes de implicao e de equivalncia, de grande importn-cia na Lgica, ser feito de maneira suscinta, como convm ao nosso estudo. Antes,porm, definiremos alguns conceitos introdutrios.4.1 DEFINIESa) Duas proposioes sao ditas independentes quando, em suas tabelas-verdade,ocorrem as quatro alternativas. LExemplo:_ne]-=`OC>m...bl Dizemos que duas proposies so dependentes quando, em* suas tabelas-verda-de, uma ou mais alternativas no ocorrem.Exemplo:1 ff* '_ 'ff *___ *_ *mf 7 _ . po q p__--*O-IO -s-..@..-1No ocorre a alternativa 10l entrepeq->p.I.__s__JL_...- "lr _Neste caso, dizemos que existe uma relao entre as proposies p e q --> p.Examinaremos as relaes simples (quando uma alternativa no ocorre) e as rela-es duplas (quando duas alternativas no ocorrem).4.2 RELAO DE IMPLICAODiz-se que uma proposio p implica uma proposio q quando, em suas ta-belas-verdade, no ocorre 10 (nessa ordem!).Nota:'o: p -i> q.Observaao importante: `No confundir os smbolos --> e -L->, pois, enquanto o primeiro re-presenta uma operaao entre proposies dando origem a uma nova pro-posio. o segundo_ indica apenas uma relao entre duas proposiesdadas.Exemplo: Verificar se piq --> p.Soluo:3 Q r fl-.31. '__1---*QComparando as tabelas-verdade p e q -~ p, verificamos que no ocorre 10(nessa ordemll numa mesma linha. Portanto: p q -- p. . `4.3 RELAO DE EQUIVALNCIADiz-se que uma proposio p equivalente a uma proposio q quando, emsuas tabelas-verdade, no ocorrem 10 nem 07.Natao p q Leis comutativas:al D + Q :> fi + D.Observaco importante b) p _ q q _ p.emplo Verificar se p q (p + q uop+q ln +ril_ _ -L . L* L-CD--*O OOC3 @-..... _@_|. ..-......... DOO--*CDOVale para os simbolos Destas tabelas tiramos as seguintes equivalncias notveis:Leis distributivasalp lli> ql+(p lblp+m rM%=$%p+qllp+nE I q+r lq+r) E'O zz..ilp -- ql i> iq' --> D'liq _> pl ln' --> Ci').4 5 PROPRIEDADESoTca o o--_...nf O O O OA condio necessria e suficiente para que p > q que o condicionalp - q seja uma tautologia.CDOO n_I -nl C)QDO DOO CJOCD\...../ O zin-L --o ._.i_ xlanl OC)1___Demonstrao:lu-lnnl --oo -*O--IO ..-....@..._. ql -- (p -1-I- ql.Se p > q, no ocorre 10, logo o condicional p _- q uma tautolo-gia.A condio suficiente: (p -L- q) _- (p > ql.Se p -T- q, no ocorre em sua tabela-verdade a alternativa 10; logo,p "-"'---> q. - c.q.d.bl A condio necessria e suficiente para que p i> q que p q seja umatautologia.p-Hi D-- Qblq--+0'c p--qdlq'+i2>elo Qb q -- p (contrapositivo)c) q -- p (reciproca do condicional)d p' --> q (reciproca do contrapositivolL _ E qn-me-->p ri---ip--=i Mostrar que:a) q _ p --- qbl ql=>i'=i-rC Dq' no implica p'-- q'd) pno implica p ' qel D+Q=l$p--oo -~o--c:i o:--- cado-__ _ _ 7 77 f _ _pVerificar mediante tabelas-verdade as seguintes equivalncias:z i+''i=+f,bi (lp ' q'l'l' ) p ' 'C) f'f'>I"dli='i'+i'q'IPi) i:iJ'fli>-"'*'miip.-ql+lD-->fll>'f'-"'*fl'Dada; as proposies abaixo, escrever as proposies equivalentes usando asequivalncias notveis indicadas.al Dupla ne93(lp +1l'l'lli" q'l'l'P ' Qbl Leis idempotentes:P' +5Argumento \/dl ido51 DEFINIO iChama-se argumento vlido toda seqncia de proposies pj , pz, .. ., pn+1 .n E N, na qual sempre queas premisms pj, p, , ..., pn so verdadeiras a conclusopn+1 tambm verdade e tal que a conjuno das n primeiras implica a ltima,P1'Ento, para testar a validade de um argumento, procede-se da seguinte ma-) al constri-se a tabela-verdade de pj pz p3 ' - pn;) tb) constri-se a tabela-verdade de pn+1 ; V) Cl comparam-se as tabelas: se na mesma linha ocorrer 10 (nesta ordemll,no h implicao (m) e o argumento falho; se na mesma linhal no ocorrer 10, haver implicao (il e o argumento vl ido.Observao.A seqncia das proposies pode apresentar-se nas seguintes formas:P1P2Pa'DnDn+1P2 ' Pa ' ' Dn > Pn+1i Ip1rp2rp3r 'rpr pI'II'119 Exemplo:Testar a validade do argumento: p ~-- q , q, p-Soluo:Temos: p:p--ql323Cl VP330` Devemos verificar se nas condies da definio, pl pg > p3, isto :lp ~~> fil 'Q D?Procedendo conforme o critrio j estabelecido, temos:u Q lp-:lol Q l-ig;-ql-ql P|_ 1___ o|-*O-*O -.\@.-..n...... _@_@ _\@ _..Q` Na 29 linha, as premissas so verdadeiras e a concluso falsa.Na 4% linha, as premissas e a concluso so verdadeiras.A 2? linha contradiz a definio de validade: sempre que as premissas soverdadeiras, a concluso deve ser verdadeira. Ocorre 10. Portanto, (p-ql. qgpe o argumento falho. _` O leitor deve ter notado na tabela a repetio da coluna correspondente ltima proposio da seqncia p , para evitar que, na verificao da ocorrnciaou no, numa mesma linha, dos valores 10, no se incorra em erro, verificando aimplicao:i@ii--ii-qem vez de verificar:lo _ ql ' Q $> oque seria a forma correta.2.0 Exemplo: ~Testar a validade do argumento:p+qpl'. . qSoluo:Devemos verificar se nas condies da denio:lD+Cll' D'>q -Construindoas tabelas-verdade correspondentes, temos:ri ci p'Z_i+q lr+nli'--oo ._o-.@ @@_\....... -._\_@ OO-*O -.s@_@Neste argumento, somente a 29 linha tem ambas as premissas verdadeiras.Como a concluso tambm verdadeira, no ocorre 10. Portanto. (p+q) - p' => qe o argumento vlido.5.2 REGRAS DE iNi=ERENciAAs regras de inferncia so argumentos vlidos (simples).Unio (U): a implicao: D ' q 1) p '_ q.Modus Ponens (MP):P * qi P56 ----E---. a implicao: (p -_ q) ' p > q.Modus Tollens (MT):D -r Ci . fi'1l--T-. a implicao: (p -~~ ql ' q' > p'. slAdio (Al:D - . _ ...__..__ . E a implicaaoz > + .D ,q ri D Cil`i\l.\iSimplificao IS): )p q E a implicao: p q > p.Silogismo Hipottico (SH):p-H'q|qr. rzz. . a implicao: (p -- q) (q _ r) 1) p -_ ,-_Silogismo Disjuntivo (SD):D + CI. DlIIIl))\iiI--q-_. a implicao: (p +q) - p' > q. )Regras do Bicondicional (BIC):al D ~ pqiq p a implicao: (p-- q) - (q --p) ip -- q.. p-q _ _ _ _ _bl fpzzz za zzz E a implicaao. p-q ---> (p-q) (q-p).Dilema Construtivo (DC):Pi* . """'* i 'I' . _ ..r q~zrz sz . a implicaao: (p -- q) (r - s) - (p + r) =>+q S ---_->q+s.Dilema Destrutivo (DD):D--Hi. r---s. q'+s')*ef b._, se - a implicao: lp -- ql - lr _- sl -, i" IQ' + s'l r"""'i> p' + r' ` 57llliI.\...\./\..-./:._\Jili/lllJlJ'ill)3liDupla Negao (DN): IRegra da Absoro (RA):i-i----5 a implicao: p q f_-> p (p qi-->lr'q) Simplificao Disjuntiva (S+):J.I\-/\/\-/\J)) .ril\-/"f'\-i/x..CDCD-e-.._-...ro O_....|.._ O-o-il ii ea _ L ___ _ _ __i,z\_.\_zxw-\_\_vlhr'\_-*OO....@.....@58 tl l D . . ..pp ou (p,),. a implicaao: (p'l':;> p ou p > (p')'_p+r: ' . . ...I-----E---. E a implicaao: (p+r) - (p+r') > p.EXE RCCIOS1. Testar a validade dos seguintes argumentos:llll*-_>Q' blt--r,r',t+5,5p+q'ii_---_.;-1.____._....2. Dados os conjuntos de valores lgicos:iAi I' iai I* ici ioiCDqual deles torna o seguinte argumento vlido?_ Jli T f' f 'f f *fea-D j Q l premssal premissa ji conclusoHJ___).7?ici -I-I-nl?._? iO Ozz _ _l z z _ i __ Z l3. Dado o argumento: IP* l"i YPTTTP . l W" E *CL, p * q 1 premissa premissa conclusao (l .ii __ ~ __ . .___ zz ~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~z. zi1 z lI ?? iii 1 i?1 1 1 ? `_...oo --*O--*O __.......@ o--oll__ w____ l _- l l __ _qual dos conjuntos de valores lgicos abaixo torna esse argumento vlido?.iAi 1 iaiz icil ioii-me 7 ' 1* ff ___ 4l.i~ff '___ fff ___ 4)._.(3Q;_;4. Mediante o uso de tabelas-verdade, testar a validade dos argumentos:al ri --- D, Tlr'l'iibl D--~q'p+qi (b +c), b -~>a', a'.el (n+ql'.i1i->r.iJ+liD'->=il.bl f-f->lb+dl(i:+;ii'f.ci lp ' q'l +lq - r')lp ' q'l'q'r'dld'(a+b'la+b'e) r'--+5'ls'l' `rfl la bl'c--->a6.labl' lc-->a)gl b-c(b->c)+d'hl a_->b'A b'-->ca--->ci) (ai b) +c'(a ' b)+c--_.--.__-..abil a-->lb--c)3iz--i zll (a --~>c) + (d +9)ld+el'a--cllo +il'l' _r' .-` l- I'nla c6 ' T 61ol la' *ut b'l + cl' -"-* b'l'CDis'-"->lt'rl }lt'rls lCompletar cada um dos seguintes argumentos validosal lr ' Dl "tm Q'lq'l'?bl a---*lb-->c)?afcl la' b'l +(b ' c'l?ab'd) (ar ___* br): +C:?e) a>(bc)?a_-rd'ml f"""-*liD+ql' ,i'._ i*-_./\i-/\./'N-'..-/\u/\-/\nu/61 PROVA DIRETA -Diz-se que uma proposio q formalmente dedutvel (conseqncia) de scertas proposies dadas (premissas) quando e somente quando for possivel for- 4mar uma seqncia de proposies pj, pg, p3, pn de tal modo que: ` `ial Dn exatamente qq; sE bl para qualquer valor de i (i = 1, 2,3, nl. Di ou uma das_premissas f Provar r + SI dadas as premissas:J ou constitui a concluso de um argumento vlido formado a partir I- S ' Qdas proposies que a precedem na seqncia. Escreve-seP1 `) P2 _pf ou iz.rz.i>z...-.Dn-1 l Pnlql-Pn-1 -Pnlll iA proposio q no caso de ser formalmente dedutvel chama-se teorema e a ,seqncia formada chama-se prova ou demonstrao do teorema. 1* 5- --cl). . ou seia. q '""~> lq'l' 63Vejamos alguns exemplos: zj* q_ 19 Exemplo:Provar s' dadas as premissas:2. t --- q'Demonstrao:) 6 ` 3. q' z s'Tecnicos Dedutivos9"P9!Z"" m`.Q_.Q`1*"'f|`-osJustificao da passagem 4:'I -_* Q'. I. ' ' 29 Exemplo: 2.t--q'3. t'---r._._.._._;-__:_____.____.._>_...Demonstrao:`l95$:"'$''-'.rali-*m'a\di4ui..-i..__.__z__.i.x...__FfU!_I .D.DO0 r`:`_Qr-1;+_:m5.Lfbliihi'i:iei.litixA'1..'4f_u..zo|'..siefm4.-ir.--`Justificao das passagens:4. ,ou seja,s 'q;>qpremissapremissapremissaModus Ponens, 1 e 2Modus Ponens, 3 e 4c.q.d.ou seja, (t --- q') - t > q', conforme se pode verificarq pela lista das regras de infernciapremissapremissapremissas,1DN,4MT,2 e 5MP,,3 e 6A, 7c.q.d.39 ExemPIo:.,_ _1I I t ")' q r ) ir 1 l Im)6. ----;-_- , ou seja, (t--q) - (q) _) tz Inicialmente, por razes de convenincia, passemos as proposies dadas (:.- - ,-za _ ara a forma simblica. Nosso roblema reduzir-se- ao se uinte:P 9 )t' . ri tt fd'7. -_-r-- , ou seja, lt -- rl t' > r. Provar a dadas as premissas:Ir v s!8- --~. . OU Seia. r -> r + s.r + 5 z-*-. ii.'-:-_ _- 'E-5Na indicao das regras de inferncia utilizadas na demonstrao de um teo-rema, MP 3 e 6 significam que a regra Modus Ponens foi aplicada entre as propo-sies de n95 3 e 6 da seqncia, o mesmo ocorrendo com as demais abreviaes. I* 'l_: __;V 1;;._ I'Observaes: 1-i. '-- I 'al Qualquer tautologia pode ser incluida na seqncia aps qualquer proposio i4j colocada. ' I _!=iDe fato, seja oi uma proposio qualquer j escrita na seqncia e B uma tau-' 1:. -...J4....T.-115'tologia. claro que o argumento ido, pois: seiQ\ oi, ento, seguindo-se a oi pode-se colocar B. _ _`_."_._X __.-_De fato, sendo B > oi, temos: B oi. Logo, ii oi pode entrar na \. ._ .('24--a __seqncia por ser uma tautologia. Mas, -z-E--B-. Logo, or -B pode ser inclui-da na seqncia. E, finalmente, pode-se escrever B pela regra do Modus Ponens..v`...~_ 11-..-.Provar x = O dadas as seguintes premissas:l, ` _; _ .gil. A 11. a'-_>b2. b i>c3. c'Demonstrao :a'->b V535-"':"'$^!I'^ nicr'oobn*-eoMT, 2 e 3(a')' MT,1 e 4DN, 5c.q.d.49 Exemplo:Provar a dadas as premissas::P'9!`:-* 'Ia'>cc--rm'm+r iDemonstrao:. a' --> copoin5.n.i>wio-3"C'U'U`C1. c -->m'. m +r. r'SD, 3e4(m'l' DN, 5_ c' MT,2e6(a')' MT,1 e 7_ a DN,8c.q.d.6.2 PROVA coNoicioNAi.1_ X ; 0' ento' X = Y H Seja provar cr--(i dadas as premissas p, , pz , p3, .:. , pn. Fazendo aconjun2_ X z V, ento, X = Z ao das premissas igual a P, trata-se de mostrar que valido o argumento' P 1+-3. se z _ l oz --[i, isto : -:g__-;-B-. Trata-se de validar esse argumento. Ocorrendo a 65~L1.., lC D) I_ -rvalidade, temos: P -T (oz -*Bi ou P ---> (oi *->). A letra grega 1' SODFB 0si'mbolo do condicional indica tratar-se de uma tautologia.Princpio da ExportacaoPara mostrar este princi'pio utilizaremos a equivalncia notvel : p -->q p' + q. Ento, temos:P-ll+ur-+5)=>e+4a-wnP~+m~+mb dadas as premissas:1. 3+]--+92. j___(gr.hr)I a+bDemonstrao :1. 3 +j'-->g p2- lg' ' l'I') p3. j+b p4. a g pp5. 3 +j A' 4A9 Meias7- ""`*(9 *hr EquivaIncia,2&9+h As9- [(9 + h)']' DN' 8'Ui' ~~Mr7z91Lb soseio12.a-->b PC,4a11c.q.d.6.3 PROVA BICONDICIONALIA r va ' ~ . .. .p o de um argumento cuia conclusao e uma proposiao da forma bicon-erlslfzlalsa 5; semelhante a prova condicional, com a diferenca de que feitapartes istintas. Entao, dada uma proposio Q -- 5, prme,-O prova-se oz - ' _ __, . .memo ez 3 5e9uir, PTOVG 59 5 oi, concluindo-se pela validade do argu-ExemploProvar a la' --> oz) (Principio da Exportao)Ora, essa ltima proposioconstitui uma tautologia se ocorrer a seguinteimplicao:P > la' --Hx), isto ,Pi-- oi'--*croi' -->cr (a')' +ai>oz +a oi.'.Pi--a e P' a'i--oiEnto, para mostrar a validade de um argumento por prova ou demonstra- )o indireta, introduz-se a negao da conciuso como premissa provisria e de-duz-se uma contradio (por exemplo: q ' q'). '19 Exemplo:Provar r dadas as premissas:-_ _.. ~z~ -zz -~ - = 1.p'--~r2. r' _->q3. lo ' ql'Demonstrao:.p'--->r-.... .*Pf~9."P91:'>$!-''-'U`--.-_-_-,_Q--1___.-..--;__""'+QEUTDI__qql' pPDMP, 2e4De Morgan, 3DN, 5SD, 68 7MP,1e8Prova indireta de 4 a 10c.q.d.1'C'1d'~fuf~f~./~..~....z\ur\ur\I\dlV'-/\...\-\|v\-fu,4e9 )Observao: _. l n + 1' Ip __* q. ... . , n + 2. (p' + q)' Equivalncia (n +1). t contradi ao r ' r par Pf0V3" f P' ~ 'Da mesma forma como encon ramos a I n + 3 p _ q, De Morgan (n + 2)~_.l' ppderemos encontrar a contradio q q' para provar p', como verem0S HO BemP 0 n + 4' S ( 3)_ , ,_ .. da -D ,n+ocurada ode envolver ou nao a n'\Sm3 letra _,a seguir. Isto e, a contradiao pr p . n + 5. q S' (n + 3)proposio a ser provada.29 Exemplo:Provar p' dadas as premissas:lr$'!:" .o-o_o-11+ "\ ~Demonstraao:'9I`*'9'*9":'*$^!'." 'c:i__.o1::__..'o5-.D'D-D__Q___l+aq.' -1"'I'6.5 PROVA INDIRETA DA FORMA CONDICIONAL ") -1. Provar t' dadas as premissas:'U'U`ODPDN,4MP,2e5SD,1e~6U,3e7Pl,4a8c.q.d..; ri. .I _''I 15 '_~ ....~ll. - - = E ndicio-Para provar a validade de um argumento cuja conclusao e da ffm 0 ._ 1 p ___) S' remis- 1 ` 'nal (p --> q) mediante a demonstrao indireta, usamos (P "_* Q) m PExemplo: .Provar r --.+ q' dadas as premissas1. r'+s'2. q-->sDemonstrao.:.5.==s=:~'s==s.=~s~i>:-.o.o.o`f_-;:3~.o_l-L~fir:n__U.EXE RCCIOS. .. . . .. '- 4 2. D ' CISa provisria (ppl. a seguir lp' + ql iwf eqivalsi E (P ' Q l $9'"d 5 dm' 3. 5 - r -- r'p, q'. Na prtica, comeamos pela hiptese (H) e pela negao da GSE IT) m premissas provisrias:H TProvar: P "'*"*I QW 1.2.I'4'P 70 kn..-.' .'= .'` .':'\_ ._._ ' - .i- ';_z'.-- za,'_ r_.- -4. q ---> r2. Provar s dadas as premissas:1. t --> r2. r'3. t+s3. Provar t s dadas as premissas:1. e--*s. 2. :'-j'3.e'j 7IPDDDDPDN,3SD,1e5MT,6e2DN,4U,8e7Pl,3a9c.q.dProvar s dadas as premissas: 11- PfV3f ' dadas 35 Pfem'5535 )1- P-_-*Q'f2.p3.t-->q'4. t+sProvar r + s' dadas as premissas:1. s'q2.t>q'3. t'--->rProvar x + y = 5 dadas as premissas:1. 3+y=i1--'3=92. (3=9--+3+y=11)y=23. y=f=2 ou +y=5Utilizando a demonstrao condicional:Provar a - h dadas as premissas:1. a+f--->g.2-i-->9'h'3.]Provar t + s' --> r dadas as premissas:1. r' -+ q2. t' 13. s' --> q'Provar q' --> t dadas as premissas:1. s ---> r2. s+pi3.i--*Q4. r-rtUtilizando a demonstrao indireta:Provary = 2---> x =y dadas as premissas1. #=y--->>y ou y>2.ya'=2 ou =2 E3. x>y ou y>x-_>#=2L -'IL z_`_-fi ,,..:I_ " _' _._-_ .s-z'_-`-7.' :_,___ -_ __- i"__-'J _;5,.-_ . ._ -_; T_ __ -___ f,. ___=, _--. -_:- * __ n` E___*-. =:-um-z=_z .z.'-__ J'_.~_ . .1. t-->s2.f-->t3. s+fProvar e + m dadas as premissas1. s+r2. s--->e'3. r-->mProvar (t + sl dadas as premissas1. r'+b' )2. t+s-->r3. b+s4. t'Utilizando a demonstrao indireta do condicionalProvar p -> q dadas as premissas1. lr_>-i +r2. s+t-->r'3.s+(tProvar p ---> q dadas as premissas1. p ---> q + r2. r'. .Provar p ---> s dadas as premissas1. lp--*ci + r S2.q )Utilizando um mtodo dedutrvo de sua escolhaProvar p _-> q dadas as premissas1- P ' q '""`* V' 'I' 5' 12. r ' sProvar p --> r' dadas as premissas1.r+I31'i_.|3ic_/"u|/\_/\..z---/\i/\-.|/--/J))3);_))i.))__.)))JiJProvar s' dadas as premissas:1. p+q2. s--->p'3. (q+r)'Provar s' dadas as premissas:1. (p---*ql-"-* lr ' S_>tl2. D ---> q ' r.3.rProvar 2x = 12 --* V = 4 dadas as premissas:1. 2+3y=24 ,2. (=6--y=4) ou 2=123. (2=12-->=6) ou 2x+3y244. a'=6Verificar, mediante as regras de inferncia, a validade dos seguintes argumen-OS INas demonstraes abaixo, justificar as passagens indicadas.al 1.234(D@"~IO)J1b)123456- r ral (se),e -_->g,s--->gbl S-_*i1.D~_-:*lw+il.s'w'.icl a-*u.u'+lb'i'l.b-+a.li"ta'l'+b.i*-'"* H'p_>ir__i_+ql'lp' +5pf S|_QO cni_>e" PP'l' 0c.q.dD(er: sr): _ pI P8+$efS _c.q.d.1fr ;.ss ._ . __JT `.i. F'_ 1.-4'-'_ : ar' _._ 1.~ .r .=' .a.f_!`1234~ii===.101112131412'5cogo-io:u1.i>w1234o~.icnui12345.678.a--->(b--->cl(cd)*_>ef*_*lb'd)lf"+a')'U`U'l'DU'-""*.IOcdc'delp' i'l +(q r')D-*Ss'+t_gz----mf-i-b`U`UU'Uc.q.d'O'U'O'Uc.q.dPDPDc.q.d.D _.PPEhii)1.a--'>(b"'"*Cl p2.(a-dl+l"l p9. d10. b11. ab'-->a'b-*~>(c+d)l= elc.q.d.c.q.d.c.q.d.c.q.d--4I.z- 1-. 11'i_, ,.. _ _---.=. 5-% 1* '* Y.-LT* "` Irr '-:' "I` - ':__ \_'*'z. 'fl1.-..'"7Fluxogromos_ O fluxograma constitui um mtodo alternativo para as tabelas-verdade naverificao da validade de um argumento, no qual se ilustra o raciocinio utilizado.Neste mtodo, para verificao da validade de um argumento ou prova deum teorema, procede-se da seguinte maneira:1. consideram-se as premissas verdadeiras;2. aplicam-se as definies dos conectivos lgicos para determinar ovalor lgico da concluso que dever ser a verdade (1), para que oargumento seja vlido ou o teorema provado;Caso ocorram situaes em que no se possa determinar o valor lgi-co da concluso, ou em que O = 1 (contradio), o argumento falho.O teste de validade de argumentos ou prova de teoremas mediante o uso dofluxograma pode ser feito pelo mtodo direto ou indireto, obedecendo s particu-laridades de cada uma das tcnicas dedutivas j estudadas.Vejamos alguns exemplos.19 Exemplo:Provar p' dadas as premissas:1-D-*fi 2. q'~./;d"'|l,.._f'__-..1_)l/l1_)\ll\J l'lJi/lIc.../wi/'*\l\-/~/~_.../\\`Inn/Solu30: 'z- . l r' 1 IJustificao' _ . Consideramos as premissas verdadeiras fazendo p -* Q = 1 0 Q' = 1-2. Como q' = 1, pela negao temos: q = 0. 13. Levandoq =0em p--->q =1.tem0SiP'_*0=l-4. Pela definio de condicional p --~> 0 = 1 se e somente se P = 0- A5. Como p = 0, temos p' = 1, o que mostra ser vlido o argumento, poispremissas verdadeiras conduzem a uma concluso verdadeira.12 Exemplo:Testar a validade do argumento: OSoluo..'....:.a-_-..LJ...LSoluo._ a_______b'_aI'b! _1- 2. - 78 - _1 2._ 3._ 4.. 5._ 6.Jusziffca-. Consideramos as premissas verdadeiras fazendo a -*> b -I-' 1 e a' = 1,. Como a' = 1, pela negao, a = 0..Levandoa =0em a--b = 1, temos:0 b= 1._ No podemos concluir se b verdadeira ou falsa, pois, pela definiode d00a|. '-'* 1 = 1 6 0 -_* O = 1. Se b pode ser verdadeiraou falsa, ento a concluso b' pode tambm ser .verdadeira ou falsa e,portanto, o argumento falho. _39 Exemplo:Provar q' dadas as premissas:I. p + q'2. p--*r3. r'_ W '__I; *rf 1Justificao .'Consideramos as premissas verdadeiras, fazendo p +q'= 1, p --> r = 1 er' = 1.Como r' = 1, por negao temos: r = 0.Levando r=0emp--->r=1,temos:p--> 0= 1.Pela definio de condicional p --+ O = 1 se e somente se p = 0.Fazendo p = 0 na premissa p + q' = 1, temos: O + q' = 1, .Pela definio de disjuno O + q' = 1 somente se q' = 1. Portanto, oargumento vlido.49 Exemplo:Testar a validade do argumento:DTCI. p+qSoluo :3.'4.5.Justificao: r.P2. I D=1 I q=1lO*~ I |D+0 =1pi__ l_-11. Consideremos as premissas verdadeiras, fazendo p + q = 1 e p + q' = 12. Pela definio de disjuno, se p + q = 1, ento p = 1 ou q = 1. Se p == 1, o argumento vlido, pois premissas verdadeiras levam a umaconcluso verdadeira.3-' 59 Cl = 1. substituindo na premissa p + q' = 1, temos: p + ,1' = 14. Pela negao, temos: p + O = 1.5. Pela definio de disjuno, p + O = 1 somente se p = 1. Portanto, oargumento vlido, pois premissas verdadeiras levam a uma conclui- so verdadeira.59 Exemplo:Testar a validade do argumentoi->:1OII' (p+q)n1.,.1.*:L.*'.i*':'1.Ji5s".'9-uiu.``ii-nv_ Q ~ 1.E Ii ,; -1;_ I. __ ___'.-.'L ini-,___ }_rc. 1- "-ar ` _1. :_4i*if'16=i.VT P.-8'-'z A,.r U*l-2Ifi:|;` .T -ITQ: I,Z 'Tj _5.., __-' -S -z'. * .V- J_ _...-_i*._~'- - 1,ff: 'I. . .-. --.','_._ ;_. .iizrilnsrm1....--I-P zea '. na _. ~- f-'im _"=;;]'-Arf1 =i_.-`-7' i`-5 .-c-rwiz .wa. ~ ~mf_1?-f 1 '_'""_^.___ _--`?-.:-* `_ -.I.1_' T' I..Soluo _'__ 'mw ____ iu7 ._ 1 Inn1. I pi>q=1I IlD'+Ql'=l2.3.4.ld+q=5. 1-"">'O=1T pu-16. I o=1 IJustificao:1. Consideremos as premissas verdadeiras fazendo p .--> q = 1 0 lp' ++q)'=1. '-2. Pela negao, p' + q = O.=0 I I d=0.p_=3. Pela definio de disjun'o, se p' + q = O, ento p' = 0 e q = 0.4. Como p' = 0, pela negao temos: p = 1.5. Levando p = 1 e q = O na premissa'p -""* q = 1, temos: 1 --> 0 = 1.6. Pela definio de condicional 1 ----> O = 0. Considerando as premissasi 1 verdadeiras, chegamos a uma contradio. Portanto, o argumento falho.69 Exemplo:Provar p' --> r dadas as premissas:1.p+q2. q--->rSoluo:Como a concluso da forma condicional, consideramos o antecedente p'verdadeiro e procuraremos mostrar que o conseqente r verdadeiro.__~.../s*\\\1d~duIz-_~...\.\./'''\ni|f\.../Iil_)l,IlIlji_/'~nnif"f'*u/-1/-/`-niIi\_)\/ll.`|-/lltf_))))ii))i)J1)J)i_))_) 821. I p+2.3.lli f il= 1--)=4. 0+q=5.6.7.Justificao:1. Consideremos as premissas verdadeiras fazendo p + q = 1 e q --> r = 1.2. Consideremos verdadeiro o antecedente da concluso (premissa pro-visria), fazendo p' =_ 1.3. Como p' = 1, pela negao, temos: p = 0.4. Levando p = 0 na premissa p + q = 1, temos O + q = 1.ci=11--->r=1i=>'=__): 0]r=15. Pela definio de disjuno, O + q_= 1 somente se q = 1.6. Substituindoq =1 em q ---+ r=1,temos:1--- r = 1. 17. Pela definio de condicional, 1 --~> r = 1 somente se r = 1. Portanto, zi r seria verdadeira, isto , O ---> r = 1. ' ff _~79 Exemplo:Provar p dadas as premissas:1.p+12. p'--+q'Soluo.:Usemos o mtodo indireto.=' __', ___ ..z:L , _ \ ' '.r .I _- _.'z T, _-t ` ~ "_ _ __;." 'HrZ1".. alii. -";'*Iv 1 f.z ~.~''. .z sf-: -- . _-: z-:.ti 9..F- ..-_ ____ _,_..- .'.'.Us ~-''._ =' ~_' .-s 'A *_ ' j *__ .13.._ e".';..A` IP*-':,_.` A' _'\ _.;'. _; :-~ z. ' I; l.., __' '_ . za;-_ _-. _;__:._-'1.f:-..._' " -ia_. _ __ i.~1r_ ._1.' Ip+2.3.4.5.6.7.q=1 Ip'-)q'=1|i~-z-ri Justificao.:1.2.3.4.5.6.7.89 ExemploConsideremos as premissas verdadeiras fazendo p +q = 1 e p'---> q' = 1.Consideremos a concluso falsa (negao da concluso) fazendo p = O.Levando p = Oem p'_;q' = 1, temos: 0'--->q' = 1.Pela negao, temos: 1 --- q' = 1.Pela definio de condicional 1 ---> q' = 1 somente se q' = 1.Pela negao, q = 0.Fazendop=Oeq=0emp+q=1,temos:0+0=1.Usando a premissa provisria p = 0, chegamos contradio 0 + O = 1.Portanto, p = O eliminada, ficando a outra possibilidade p = 1 comosoluao.Provar p dadas as premissas:I. p+q2. q-->r3. r'Soluo:Usemos o mtodo indireto._ i s i izz~zi i_+i2. ' = 1 __ ,T34 56 [1 -= ilniJustificaao: 1. Consideremos as premissas verdadeiras fazendo P + Q = 1 Q V =='1er'=1. r dadas as premSSSI1-p+q2. q-->r_- _.:-_-.._Q ,1. .fiz 1.r_ ' ___,.; _:i _ .._;- -_ _.. _'_.:_ H_- z.z`"j _'z _~- ._= `-__'4.'...f _-' _'-f~ _ Exencfcios 1s0U,0'_ 1. Testar a validade dos argumentos abaixo, mediante o uso de fluxogramas.Usemoso mtodo indireto._ _z _; .f -:.`_ 3; .___' '*1._-.a L *gi' ^ ._l ._ ..Z__-~ ,__. _. _..__. . _L. .'~r._ .,;. '__1,1z`,-I..,;'. ..'^TH' I__.I'-' .'_".'_. -,~__ i ' '_, ._ .ff .._.__..._ lei,_.. .;.:'c,.._ . _- _ . '_..__ _! 9;'_"_-.'"`-`".S _._+.', _._-i-._ __al =i_*ir'.lr'l'.q'bl p_->q'. D'q.qp +q.r'.p'd) a_*"*b,(C'+b)',c'--a' _-_ _-. . A }84 3) p + fl, p -i->' ql q --i-) |" 5: r' )>J1.J.l___* + r'_*_ 5+ Aqualdosaru 1 bflip Gi r s. qqg)1+=1-->=0#0ou2-0m9 en os a aixo corresponde o fluxograma?a a ---b b ,a b C 3 "_"*b (fl nenhum dele; b+c b+C b+c2x=#O-->1+x=#12 Mostre atraves do fluxograma, usando os metodos direto e indireto, que oargumento abaixo tem premissas contraditoriasD ""* ClI3 Mostre atraves do fluxograma usando os mtodos direto e indireto que oiii...-._ - -ii.-a'--)*b= C:_ Jg,argumento abaixo nao contm informaoes suficientes para deduzir a concluso4 Dados os argumentos abaixo, a qual deles corresponde o fluxograma?p'-*Q q+rl p Sa"__-+1:P' 1 Cl' bl p p + dl nenhum delesP'"*q D'--*Q P'-*Qq:_____p-.6 O Iflua uxograma corresponde ao argumento p+q q r ppiii= =`U__-ex -1._~ ,1ii 1)P+ci'=1 q'=1 W1sd) nenhum deles._. * "`--1E l=' 1 lis* __ tz r' -_-- .Y \.'..__ xi.. "'=\ _ :__ 1!__=j-__"_l-r -_'Qf~1:zst `if' ` '4-.if.- _'T'ii.i_'_"-*___..r_%' '..i.:.; -nl _*-C_ -=-s"4.z _ _vi-_-.____. ___;_.'___ah.-I._._.* l=inQuontificodoresi . .~__v _ ._=__,_ _ ___`_ *__- _n}' ' '-_. 1_. \._-, .___...g _ 1 x1 _- W,.s- '_-._z. __ -_' z__~: )2;z * .1 ~-'_1"'.i~._-:_ ._ __-' . -r_ _- - e'_._ -.3_. ;-):i *'5!\. _J' 8.1 SENTENA ABERTASejam as proposioes:p:3+5~.11, V(p)=1q: x + 5 Q 11, V(q) = ?sr, if .. .:: '..._ ____\.''_""-:`-'1'*fa1,13'-_1-'_'._`l`-_ ..7_"Pi_-__|,-z_" _...r_.__L__`-.- KV2'`:.:Pfl"':E-'V- ._.____*____..__.`..___.. ._;~..____._:'-\'__-'~`Y_'z-"z..- E. .-1.ii _:_.; ' Ei'I-;" iz% Pii Jz _.,.i __. .",.. V s-1-- V \_.-_ __'_ - . '13.I1 _ ._ __ ._ _"__ _ai_ :_fi-\:~: -z-' -H???-|_'_Ji;. ~\'_, 5 _. __.sr 1 -'1.-'e z. rf_i- 5:H'_;. z_.___ _. i.4 L. _ 11.i-_;_ ..'!-V g.~.~'_ 'mz -_ __ -:va 5._ a.:__ __ _*(1 .'_"" |,'. _ . _'_-._ -'-.rf _is_.. : ._1-- - .-Y 'U$ 'Z'fr... +1` -5U*mir_.-zF'A proposio p, como podemos ver, verdadeira, ao passo que nada pode-mos afirmar sobre o valor lgico na proposio q Vlq), que somente ser conhecidoquando x for identificado. Neste caso, dizemos que a proposio q uma senten-a aberta ou funo proposcional. Nas sentenas abertas, os simbolos x, y, X eoutros sao chamados variaiveis.Chamamos conjunto universo (da varivel) ao conjunto das possibilidades l-gicas que podem substtuir a varivel na sentena. Denotaremos este conjunto porU. Cada elemento de U chama-se valor da varivel. U s vezes tacitamente im-posto pelo contexto, mas pode tambm ser escolhido pelo agente de estudo emquesto.19 Exemplo:Seja a sentena aberta: x + 5 Q 11.Podemos impor que o conjunto universo da varivel seja N ou Z ou Q ou RouoconjuntoU= {1,3,5,7,...}. _ s29 Exemplo:Seja a sentena aberta: O planeta X o maior planeta do Sistema Solar.O conjunto universo da varivel X , pelo contexto, dado pelo conjunto dosplanetas conhecidos do Sistema Solar.IT)))))-vuvvu'vv)))))))))))).)))_)J_)U() = {Mercurio Venus, Terra, Marte. JUPWGH 5aUm Uf3 Net"Plutao}././\'ur~/CONJUNTO VERDADE (da sentena) e o conjunto dos valores da varivelpara os quais a sentena e verdadeira Denotaremos este conjunto por Vv = {eu lvlplxll =1onde p(x) e uma sentena aberta na variavel x..,/\-f\'\ini/-.../1 ExemploDada 3 Sentena aberta + 5 < 11 x E Fl determinar seu conjunto verdadeSo/ucoV= {R lxs20 ExemploO conjunto verdade da sentena aberta O planeta X e o maior planeta doSistema Solar e~._/\|/%|f'\--/V = iJupiter}3 ExemploDeterminar o conjunto verdade das seguintes sentenas abertasx+1= =x-5xO.2. Para todo x, sexZ, ento xEQ.3. Para todo x, sexZ, ento xEO.4. Para cada x, sexZ, ento xE0.5.-V-x(xZ-->xE0)6. Qualquer que seja x, x E Z --> x E 0.19 Exemplo:Escrever de maneira simblica a proposio: os nmeros do conjunto Aso todos os reais.So/u"o:R():x real- V-x(xEA19 Exemplo:Escrever de maneira simblica a proposio: Existe x tal que x2 + 1 -_= 2x.Soluo.: APiz2 +1 = 2`Hx, P().29 Exemplo:Simbolizar a proposio: Existe x E O tal que 0 < x < 1.Soluo : xPiizo.____)___ ' -*, ~: _, ._ z*~-`_'~ - ' _-z- f. '?"-:ff . '-'_`;1._-. z; .Portanto: 3U5 -'- 3 _._ zi (V x, P(x))' (lx, senzx + coszx se 1) + ( Vx, 2x par).Existem alunos estudiosos. 2) Elx, P(x).)iE a negao desta sentena equivale a:i ia. Pi' v. iPii' _ ~. Svlurv-'ou seja,l69 Exemplo: ..if '- -'"' r _'Negar a sentena:V-x Ely, x + y =11.__ __ _ (VxE|V,x+y= 11)'3xVy,x+ya#11Todos os alunos nao sao estudiosos.29 Exemplo'\.._____,`*,_,.-\-of (D .hiii1'5-`-'.:'_.'.i.*_l'**j=IiI-'*;g--="i_1l).'} 7 Exemplo'Ne9ar a sentena: Todos os pescadores so mentirosos. . _ Nega' 3 sememai 3 V' V () = 0) + (V + 1 `< 7))olub: ~Liz."". Ei__ fila v v. l = oi + iv +1 4 7)))' _,__ .i-_--- V-x lv. l( = 0)' lv + 1 < 7l')-- vav.lio) -y+1>7)). _ 5.;_. _-._ _--1._ i-..:_z~ iEXERCCIOS *S 9 _Determinar o conjunto-verdade das seguintes sentenas abertas:a)x+11=21 =b)2x-5 7. .e) Para todo x, existe y tal que x + y< 3. zw -I\ .,}'Y V-lntroduoo lgebra de Boole. ` )9.1 OPERADOR BINRIOIniciaremos nosso estudo recordando alguns conceitos primitivos de especialinteresse que so: a noo de conjunto, elemento de um conjunto e a relao depertinncia. Assim, dado um conjunto A = {1,2,3}, dizemos que 1, 2 e 3 so ele-mentos de A e, em conseqncia, pertencem ao conjunto A. Neste caso podemosescrever: 1 E A, 2 E A, 3 E A, que se l: 1 pertence ao conjunto A", etc. Casotenhamos um elemento 4 que no pertence ao conjunto A, denotamos o fatoescrevendo 4 A, que se l: 4 no pertence ao conjunto A". XChama-se operador binrio ou operao bna'ria (ii) a lei pela qual todo parordenado de elementos (x, y) leva um terceiro elemento z. Notab: x ii V = z. Osl 1 iu Ip u 3 Q Q fsinais aritmeticos +, -, '_ + sao exemplos de operadores binrios.9.2 PROPRIEDADES DAS OPERAES* P1. Seja X um conjunto. Dizemos que X fechado em relao a ii se x ** y G X, Vx, y E X. Por exemplo, considerando o conjunto Cj de todos os inter-ruptores, se a, b GC,ento,a +bC ea ' bC, isto,a +bea bsotam-bm interruptores e pertencem a C1."*'"_"'"""a + bChamando C2 o conjunto de todos os conjuntos de pontos, se a, b E C, ,s ento a + b G C2 e a ' b G C2, isto , a unio e a interseo de a com b so tam-bm conjuntos e, conseqentemente, pertencem a C, _IWJ)_)__./*u/*u/\-J''J))\.P))))P)) , i`i I _/ ,. ' pzm" f W* mf " '= 11 e~ ~ 1z a+b ' h a'bSe tomarmos o conjunto C3 de todas as proposies, e se a, b 6 C3, ento,a + b E C3 e a - b E C3, isto , dadas as proposies: .a: Joo estuda.b: Joo trabalha. P Temos as seguintes proposies (compostas):a + b: Joo estuda ou trabalha.a ' b: Joo estuda e trabalha.Ou, mediante as tabelas-verdade:It ' ` . .. '. .I ' zzzzw;ab a+b a'bz -t q ____ .oo-- )-@_ @.-s-n-. OO-O4: . , __ _. L.. _._-.z -zzP2. O operador * oomutativo se x * y = y *,,V', y E x.19EompIo:Sea,bEC,ento,a+b=b+aea b=b'a,isto: VE a b Ha+b b+a1 3 .b--W z zb ~ .a zJ98 a'b _b'3-_._ .__ _ ._~.\. ' f'. H '-.-E.-_ r.` .;\__4i-'=~ . HT- '.az . v* __1,.-- 1 I_z_. ._, ,.ez - wi:-L..-.z-z... z-.29 Exemplo: PSea,bC2,ent'o,a+b=b+aeab=ba,isto:* i * T* se iL* ~ . .zz _ J ;-__ __ __ _a+b b+a_ I _ l_ _ W _ lP.H b = a b,1 ' _ - ~ 7 _. _ z -_ __ 7 _.__ _3'b ba39 Exempio:Sea,bGC3,ent'o,a+b=b+aea'b=ba. iPodemos verificar esta propriedade mediante as tabelas-verdade.T ._ , _ .-.T ...._ .. f _ff __ _ az b a+b b+z5 z-bi b-z~._ ___; z- , ,;~ ___ zz~z zz __ z..zzJI 1 `i i 1 F2.-- 1..- Q....z...z.. ff _ _f_f Y _ ___ _ f LL____J L____3IP3. Dizemos que o operador * associativo se * (y * z) = (x * y) 1 z,V',y,zEX. p19 Exemplo: iisto 306.b.0C,ent'o,a+(b+c)=(a+b)+cea(b-c)=(ab)-c.. .~Li1f alira+(b+c) (a+b)+c--a'--b-----c--' = --a-"-'-b---c--'a(bc) (ab)'c29 Exemplo: `Sea,b,cEC2,ent'o,a+(b+c)=(a+bl+cea'(bc)=(a'b)'c,isto :___ __ ___* ffff 'ff' _ _ ff 7 z L J___f ff* ___ 1 f 7 f f-.-1L-f.--.3 _' 8a+(b+c) (a+b)+c_ 1-U7 ll-I-I r zzzzzz 7a a fi b c 1 b ca-(b-c) (ab)-cu39 Exemplo: _Sea,b,cGC3,ento,a+(b+c)=(a+bi+C8.'(b'C)=l8'b)'C.isto : _ID U' O b+c a+(b+c)__ --.os + U' (8+b)+coooca----` llr@@-._@@-_._O-*O-*CD-Ho_ @-._-.c)_...-_;11GnnOO11o__-.n-' f-v Lv-ID U' OE Tb'c a lb clab --. QI .o L--..-......Fnn-I-nnlil-L_ I:ff~OOOC) OO--*-'CCD-1'--*l_ _J_O-*CD-*O-*C3-4 DOO-*GOES-* ll, `|ODOCJOOO--1QOOOQ--\OOOOOCDO-lP4 Um operador + edlstributivo sobre El se x * (y Elz) = ( * y) El (x * 2),'V'x, y, z EX19 Exemplo:Sea,b,cEC,,ento,a+(b-c)=(a+b)-(a+c)ea-(b+)=(a-b)+(a ' c), isto -;1~l;:}T* pO Ii 5--F'la+(b'cl la+bl'lab a-.._.. .-~f l-1 ~l Pa c101J-C ff 1.a'(b+c) (a-b)+(a-c)I...f'-n-f'\q'/-I-n/'-h-ra~_.--'i\|))lr,.-\.~._-1'-.-_-...f--.f/../\./'\-/___/\-/'uu/\un/-..f_/\../\uI'\J\|/-.-z-/VVV--_-1_:`\-f`\-_/\._~..__,-l"-.___~....-"~._z-.,_.2'?ExempIo:Se a,b,cC1,ento,a+(b - c)=(a+bl'(a+c)8(b+Cl=(3 bl++{a - c),isto :_. f f fz fff fff ff f f ff 1T a"%%` _ _ __ ___ _ ___ __ W __ __ _ ._.._, _ ff f __ _ff_f f f JL __ __ * "Wa+m-C) ta+m-a+d___ -f- ___ _ _ f .. " fff ff "E" " * ' ** ' WTll 3 '1 * . ,. z ff ff __a`_ W; _ _ _ f_ _. " z fffa- (b+c) (ab)+(ac)39 Exemplo: ifSe a,b,cC3,ento,a+(b - c)=(a+bl' (a+Cle8lb+Cl=(" b)++ (a cl, isto , construindo-se as tabelas-verdade correspondentes a cada caso,teremos: p___ ___OJ U' OA b-iz+ls-az+b a+ca+bra+oW" 1 i 1@@..._.....-.t @...@-.a@..-LOC)-*DOO-'W;@@_.............\_Dj..-.._......_.....@-...-....-a.....L_.p.-u-......._DOOOO DO o_. G) O O102 portanto a + lb c) = (3 + b) - (3 + c) pois suas tabelas verdade so iguais.AnalogamenteID U' OE b+C8'lb+Cla b a'c(a'b)+(al "'Ffffizl@@@-._-.._--*Q-\--\@..-L-\o,tga0 " O CDCDDOCD-\-4--bOOOO-A-eCDC) OOCDCJO-HC)-rff;._ ff . if f _ z 711OOCDCDCD-*P5 Um elemento e, um elemento neutro para a operacao se e somenteS. =e *=,,VxEx.19 Exemplo:' a ffffif"' ff 1*f"' f ff : a29 Exemplo:5933EC1.I'0.a+0=O+a=aea 1=1a=a,VaC._ _ a ___a+bDad0aGC2,ento,a+0;-0'1'a=aea 1=1Ia=a"v'aEC2_p p +__ L3 O/I1 a1'=a 103If __ fff _ fl 'ff | 1u.f_ ffffff_ 1,.-_ _l l 3_Wa___.l _13_._.-:I;:_-:-?:f;:f;S;;.-. _-fi; - z -_'.z._'ff;~;._\ .`~_'-z._-._.`f_-.'_-:f."_f_ '-fi:-`:f$f'7';f:'f:?;J;r:.P '~r-:f;::;'~';f-:~:f;-:1f:;?:i:If:1;::;:~:5;f'I-2;;.'?:?:i:-:fi-':?;: :-`::;:-::.-f;:f:ff?;;;E a39 Exemplo:Dado a5C3,ento, a * e= e * a =a,*+aC3..-'.;__. .f aii- "--.=~..-'-"' 1-'' .-_`-=-1'-N-'-li'fl..:;'.^.i3.4uz; li . .=`_ . ~ f lr _'para ii = +, temos que a disjuno inclusiva ou soma logica falsa, somentequando ambas as prol3osies consideradas forem falsas. Ento. dada Uma PYO' -. _zf _.. _ _ _f,:posio a e Vlal = 1. Vm3.-l-_O = 3,'V`3.. \para ii = - , temos que a conjuno verdadeira, somente quando as propo-sies componentes forem verdadeiras; logo, dada uma proposio a e Vlal ==1,vem:3 -1= a,'\7a.EXERCCIOS1. Seja o conjunto C = {T, 1, O}. Definamos dois operadores binrios * e ElE A pelas tabelas abaixo. Para lera primeira tabela,jpor exemplo, a * b, tomamosa interseo da linha correspondente a a e coluna correspondente a b, ondea e b podem ser quaisquer destes simbolos. Ento:O * J. = T e O El .l. = 1.-|=i _-l-lOl- l-O fl_'+- O.A -l- O_ .. f f_ *_;ffff__i\ " 1.-'z.f._. z .= _ _. ' _' ' \.,_'3,. ; .`_'_,11 f f 2-ii*1s.= 1.' im- -.5_;.. _.' ' W:z`1* f~.` r' ` ` ':l':';..= --g. - _.:';;..";-_ ___;:F_r. flr=`.'-1*..=.l.:-ii _ _. .~ .-te_' - sa: .'. . . _:_ f`q; .-z.;. -z .f '_. _; ._= ..-2..- fz.~., ___-:l z.u - i` l_. zzz.._ V ,-I.. .\ _.'i '.'- "' _ _. 'L-cr "- '_ \zz z ._ f_ z z il fff _ r _Q r.l- O i- -|Ol- -l-I ifr- OO__ __ ___ ffff _ _;___ _. .,O i- -IOal O operador * comutativo? associativo?b) O operador El comutativo? associativo?c) Os operadores * e El so distributivos um em relaao ao outro?2. Dados os operadores aritmticos +, -, - e -I-, dizer quais dentre eles so ope- _ 'radores binrios no conjunto Z de todos os inteiros.3 Considerando os operadores aritmticos +. -. ' E *z dilef l`U5 df' elesso operadores binrios no conjunto N dos nmeros naturais.4 Seia 3 ,, b z \/ 32 + b2 onde a, b G R. O operador * fechado? comutati-vo? associativo? * distributivo em relao a Z? dSfbU'tV0 Em H-'la'o a * ? * admite elemento neutro? -.f if .-'\-L'=f. _..: ~ =1. '_ `".- . . _ . .t": 5. _' 5 . .. : . 3,.,`: :|-I.. __ _i_._.,-z-2-'. ,...1,.Z^:_- H .: zf-'- ' f' '-:,- 4- ,. ,*-' _*iilu! Tt, ;.-~. ---fr :-.,._._4 u; .`.` '-5 .| izzzzz.-_-f._ i-5. Dados os operadores * e El distributivos um sobre o outro, reduzir ou desen-volver as expresses a seguir de modo a apresent-las sob forma diferente.a) a*(bElc).b)alIllal.lb).c) arlalbl.dl alIl(b*lcl_ld)l.e) (blIla)*lbElb).fl lab)E1l*Cl.9.3 SISTEMAS ALGBRICOSAntes de estudarmos a definio de uma lgebra de Boole vejamos o que um sistema algbrico ou uma lgebra abstrata tambm chamada simplesmente delgebra.Chamamos lgebra abstrata ou sistema algbrico a um conjunto no vaziomunido de um ou mais operadores binrios sobre ele definidos. Denotando por Ao conjunto e por * e ] os operadores definidos sobre A, podemos ter:. (A. *l ou lA.lIl) lque so lgebras com um operador ou uma operao, e(A. *. 'Illque uma lgebra com dois operadores ou duas operaes.Uma lgebra pode satisfazer a alguma, a todas ou a nenhuma das proprieda-des dos operadores, assumindo nomes particulares para os diferentes casos, como:se`migrupo, monide, grupo, anel, corpo, espao vetorial, conforme as proprieda-des satisfeitas pelo operador ou operadores definidos sobre um conjunto conside-rado. No trataremos destes casos em nosso curso, para o qual tm especial inte-resse os sistemas algbricos chamados lgebras de Boole, que deniremos a seguir.l'I IDizemos que o sistema algebrico (B, +. ' ) e uma lgebra de Boole quandoe somente quando -V-a, b, c E B, valem os axiomaszAL a+bB.AZ a'bB.A3 a+b=b+aA4 a'b=b*aAs. a+s-z=z+i-z+zz. 105 Jl'l'iir\_./wzfwf/\-./'l_/\/\\Jiz))\_))1.J)`||\_l1)1li_J'1l1lA6. a'lb+cl=(abl+(a'cl.A7. ElOGBtalqueparacada aEB,a+0=0+a=a_A8. 31BtalqueparacadaaEB,a1=1'a=aA9. ParacadaaEB,Ela'EB tal quea+a'=1ea' a'=0.No axioma 9, o elemento a'chama-se complemento de a.Uma lgebra de Boole dita degenerada quando os elementos neutros paraas operaes + e so iguais, isto : 0 = 1. Consideraremos apenas lgebras no de-generadas, isto , lgebras de Boole nas quais O =/= 1. Vejamos alguns exemplos.19 Exemplo:B2 = {0,1} uma lgebra de Boole cujos operadores so definidos pelastabelas a seguir:Esta lgebra conhecida como lgebra dos interruptores ou lgebra da co-mutao, e a mais til entre as lgebras de Boole. o fundamento matem-tico da anlise e projeto dos circuitos de interruptores ou de comutao quecompem os sistemas digitais. B2 o exemplo mais simples de lgebra deiBoole no degenerada.29 Exemplo: _B4 = {0, a, b, 1} uma lgebra de Boole com quatro elementos descritapelas tabelas:I. ';''i " W*OCTCDCIOCJCD nCDn CI'Q __"-z_zz ;__.z z. zz z_ _ __-Teorema 1 - (Principio da Dualidade): Todo resultado dedutvel dos axiomas de106 uma lgebra de Boole permanece vlido se nele trocarmos + por e 0 por 1, e vice versaH- 01 + 0 10 0 0 o o 11 0 1 1 1 1o z sf + 0 z l 1"*H 3 za1=b b b1 1 1 ;1111%, L,Oab1 ....3'_U" Inllnlnlx._"-'7f.."_..'\.,13"|'.ii\.*' 'MHV.'...___-,_.-_~__.riu.#1.-1:|uuiiIt1'' | _` .._ F__.-. _.- _.ProvaPela simetria da definio de uma lgebra de Boole entre os operadores+ e -, e os elementos 0 e 1, tanto os operadores como O e 1 podem ser intercam-biados conduzindo a outros resultados tambm verdadeiros. .c.q.d.19 Exemplo:Dualizar a expresso: x ~ y' + x' - y - z + y - z'_Soluo.-Como a expresso no apresenta os valores O e 1, basta trocar os sinais ' por+ e + por ; temos: 1l+WP(W+v+zP(v+flque o dual da expresso dada.Obs.:- 1. No houve qualquer modificao nas letras complementadas, ouseja, onde aparecem ', y', z', continuam sendo x', y', z'.2. A dualidade tem grande semelhana com as leis de DeMorganque veremos adiante, diferindo apenas pela observao 1.29 Exemplo:Dar o dual da expresso: x' + y = OSoluo:Trocando na expresso dada + por e O por 1, vem:.s '.y=1que o resultado procurado.Teorema2- a+a=a,a'a=a,-V-aEB.Provaa+a=(a+a)'1 . . . . . . ..A8= (a+a)'(a+a') . . . . . . ..A9= a+_(a'a') . . . . . . ..A5= a+0 . . . . . . ..A9= a . . . . . . ..A7a+a=a.Teorema 3 -a + a blAnalogamente,...-......100a+1=1,a0=O,VaEB.Pelo Principio da Dualidade, temos: sTeorema 4 - (Lei da Absoro): a + la bl = a, a ' (a + bl = a.Teorema5- a+("bl=a+b.JDJJQJ""""'D.'IDJIOCO OJ al +la (a+a'l A6= a c.q.d.(a+1):h+1l%a+la+(1a'l A5a+a' . . . . . . ..A8,a+1=1'(1+b)'lb+1l .....A3.'1 .....Teor.3a + (a ' bl = ae, pela dualidade, temos:a(a+b)=aTeorema 6 - Os operadores + e ' so associativos.Prova(a+b)+c = ((a+b)+c)'(a+a') . . . . . . ..A8,9= (((a+b)+c)'a)+(((a+bl+c)a') . . . . . . ..A6= (a((a+b)+c))+(a'((a+b)+c)l . . . . ....A4= (la:(a+b))+(a'c))+((a"(a+b)l+(a"cll . . . . . . ..A6=` (a + (a - c)l + llle' ' al + la' bl) + la' cl) . . _ Teor. 4,A6= a+((O+(a"b))+(a"c)) ..Teor.4,A4,9= a+((a':b)+(a'*c)) . . . . . . ..A3,7= a+(a'-(b+C)) . . . . . . ..A6= a-l(b+c) . . . . ..Teor.5(a+bl+c=a+lb+c).Pelo Princpio da Dualidade, temos:(abl'c=a'(b-clExpresses como (a + bl + c e (a bl ' c podem ser escritas sem parnteses,e expresses tais como la' + b) (_c + d + el podem ser desenvolvidas como nalgebra usual; a ' b pode ser escrita ab e o operador tem precedncia sobre+ , de modo que a + lb c) pode ser escrita a + b - c ou a + bc. ,c.q.d.Teorema 7- O complemento de cada elemento de uma lgebra de Boole nico.Pro vaI N 3Suponhamos que a e x sejam complementos de a. Entao:a+x=1~ z-=o. lLogozx = x(a+a')= a+a'(a+a') '(3-l-b) . . . . . . ..A5a+la'b)=a+bL.--1O + a'xa'a + a'xa'(a + xla' 1a'.Corolrio- Qualquer lgebra de Boole nao degenerada tem um numero par deelementos.Teorema 9 -ab + ab'D.Teorema 10 -0+1O-1Logo: 0'e 1'Ento, la' + b'l o complemento de la bl, isto :la ' bl'Teorema 8 - (a'l' =ab + ab' = a.1-nu0'=1e1'=Ola +b'l+l8'bl''+b')-(a'b)3Pelo teorema 7, existe um nico complemento, portanto:HTa(b+b')a-1ab+ab'=a.Teorema 11 - (De Morgan): la bl' = a'+ b'e (8 +bl' = 6' b'-_;. af-I-bf I(a+bl' =1 . . . . . . ..A9(a'+b'+a)la'+b'+bll1+b'l' l1+a')a"ab+b'a'b-0.a' o complemento de a, ento: a + a' = 1 e a ' a' = 0. Mas estas eQU35apenas mostram que a o complemento de a', isto : a = la')'.. . A3,7_ . A4,8 'Teor. 1._11.;Fa:.l ab+a'c+bcab+a'c+bcla + bl la' + cl lbla + bl la' + clla + bl la' + cl19 Exemplo:Simplificar la + bl la + b' + c )QI11-nn1-gn._111F+um-_uqgx1iq11_--_Teorema 12- ab+a'c+bc-=ab+acI' I'ab+ac+bc(a+alab+a'c+abc+abcab(1+c)+acl1+blab+a'cab+a'cTeorema 13- (a+b) (a'+c) lb-1-c)=a+ab`la+blla'+0llb+cl = laa'+ac+a'b+bc) (b+c)0+abc+abb+bbc+acc+abc+bccabc+a'b+bc+ac+abc+bcabc+a'b+bc+ac+abcac(1+bl+abl1+cl+bcac+a'b+bcac+a'bcl = ac+a'bTO0I'8m8 14- (a+b) (a'+c)=ac+abaa'+ac+ab+bcac+a'b+bcac+a'b+bcla+a')ac+a'b+abc+abca'b(1+cl+ac(1+b)a'b + acac + a'bEsses teoremas tm sua grande aplicao na simplrflcaao de expressoes booleanas e circuitos de interruptores, conforme veremos nos exemplos a seguirIII lSoluao.a+blla+b'+c'l= aa+ab'+ac'+ab+bb'+b0'a+ab'+ac'+ab+0+bC'a+bc'2 Exemplo:Simplificar o circuito:Soludo:lp + qr) lp'q' + r'l + p'q'r'3 Exemplo:rm f 1p:___ _. __q'kz . _----- fe o circuito simplificado sera:Simplificar o circuito:Soluonc' + mr + P'f_--_--1pr, + pq:rrlp + 1'11'lf'(p + q:)rrq,,,.|'- p HD-~.l l "_.---willp:~qf...... ----p- '-1:"-*_""' f= p (qr + qr) + p;_"l'z;___f== Dq' + Dr + D'f= Dq' + lp + 1='lf= D1'+1f= D1'+fof-f ~ "1^_fI*"-`- _!'.FDesenhando o circuito da expresso simplificada, vem:lI_'J~49 Exemplo:Determinar o complemento de pq' + pfq.Soluo:lpq' + D'1)'= l1:q'l' - lr'ql'= ln'+ l:i'l') - llp'l' +q')' = lr'+ql-lD_+q'l'= |r'n+D'c'+1q+qq'= r:1+r'q' `Teorema 15 - Se uma lgebra de Boole contm pelo menos dois elementos dis-tintos, ento 0 #= 1. SProva 'Suponhamos que existe uma lmbra de Boole com pelo menos dois ele-mentos distintos, para a qual O = 1. Seja a um elemento tal que a 5* 0Portanto, O a 1. c.q.d. ~Sejam a e b elementos de uma lgebra _de Boole. Dizemos que a menor ouigualablablse esomentesea+b=b. fTeorema 16 - < uma ordem parcial.ProvaPelo teorema 2, a + a = a. Logo, ai < a. 'S 1'Sea__./\I'%/--f1. Sea~bear'-"'*"-* ""'-'-"""'b'dl l Y czi_._._a..__b. b_______c#8__l-_:b'---0'1 .z -zbz-~-c''-_-C3zzlno,i,c --g-d'r zb- -S d-fim.l. _ d 2=--9. Determinar o circuito complemtaf (leial 1 `_""'b'b---c'c----I'b) "_"`_"'Y Z---y'---2. l bra de Boole. 010. Provar que para quaisquer elementos a e b de uma 9se, e somente se, ab' = 0. P . l bra de Boo11. Provar que para quaisquer elementos a e b de uma 9se, e somente se. bla =1-* l mentos.12. Mostrar que nenhuma lgebra de Boole tem tres e BI - V_ ' mais de um13. Mostrar que nenhuma lgebra de Boole finita com ptem um nmero mpar de elementos.10Funes BooleonosSeja B uma lgebra de Boole e, sejam xl , ..., xn variveis tais que seus valo-res pertencem a B. Chama-se funo booleana de n variveis a uma aplicao f deB" em B satisfazendo as seguintes regras:1. Se para quaisquer valores de xl, ..., xn, f(, ,,_, n) = 3, 3 E 13, en.to f uma funo booleana. a funo constante.2. Se para quaisquer valores de , xa, flxl , ..., xnl = x para algumi (i = nl, ento f uma funo booleana. a funo projeo.3. Se f uma funo booleana, ento g definida por glxl, xnl == (flxl , ..., xnll' para todos 1 , xn uma funo booleana.4. Se f e g so funes booleanas, ento h e k, definidas porhlxlz --, Xl = f(X1 , ..., |1)+ Q(X, ..., Xnl G|._/\-/\-/\./: _.,19 Exemplo: fll = x + x a29 Exemplo: fl. Vl = 'Y + XY' + V'39 Eemp|o: flx. Y. zl = av'2 + V2' + a + YAs expresses desses exemplos so funes booleanas, onde as variveis, y e z percorrem uma lgebra de Boole e a um elemento dessa lgebra.Por causa das relaes existentes entre as operaes, uma funo booleanapode assumir muitas formas.49 Exemplo: Dadas f(x, yl = x'v'~e glx, Vl = lx + Vl, sabemos pelas leis deDe Morgan, que f e g so a mesma funo, isto , elas assumem~ o mesmo valor para valores idnticos das variveis.Para melhor determinar se duas expresses representam a mesma funobooleana, torna-se desejvel a existncia de uma forma padro ou cannica na qualas expresses podem ser transformadas. Desenvolveremos tal forma no teoremaa' seguir. 1 Teorema - Se f uma funo booleana de uma varivel, ento, para todos os valo-V resrde x, flxl = fl1) + f(0)'. 1ProvaExaminemos as possiveis formas de f.19 Caso: f uma funo constante, flxl = a.f(1)x+f(0)x'=ax+ax'=a(x+x')=a1=a=f(x). .29 Caso:f a funo identidade, flxl = x.f(1)x + f(0lx' =1x + Ox' = x + O = x = f(x).39 Caso:Suponhamos que o teorema vale para f e sejaQlxl = lflll'.9ll = lflxll' = lfl1l +fl0l'l'= lfl1)l'lfl0l'l'= llf(1ll'+x'llfl0ll'+l ;= lfl1ll'lfl0l)'+fl1ll'+fl0ll''+' ,= lf(1ll'lfl0)l'l1) + lf(1))' + (f(0)i'== lfl1ll'lfl0ll' + lf(1ll' + (fl1ll'lfl0ll'x'= lfl1ll'lfl0ll' + lf(1))' + (f(1))'(f(0))=f+ lfl0ll''= lfllwx "`lfl0)l'' (absoro)= 9l1l +9l0l'.49 Caso:Suponhamos que o teorema vale para f e g, e seja hlxl = flxl + g(x)hlxl = flxl + g()=' flllx + fl0)' + g(1) _+g(0)-= lfl1l+ gl1i + ifioi +gioi'= hlllx + hl0)'.5.0 Caso:Suponhamos que o teorema vale para f e g, e seja k() = f()g()lValores de flxl = x + x'af-1-T* x l flxl ,0 a `t a 0 a .i---a ` 1 .`i` 1 il 1b) g(1,1) = 0 e g(1,0) = g(0,1) =- g(0,0) = 1, de modo que a forma canni-ca para g gl,Vl = Oxy +1xy' + 1x'y +1x'y'. .Valores de g(x,yl = x'y + xy' + y'*fi f rf r 1 1 ti` Yi. l rl M\ A1'eaO ;\i_l ...__. _... ...,_. -zz zzz _ -z __i __ z z_ __ 741._ _ _ ` _il-l _ __ l _ __ __ 1 _ _ _.__ _ _ _ ._ , .__1 ._;93* -r _-l_il L__ Q) OIQi Ona _JL_Note-se que em ambas as funes, a forma cannica reduz-se facilmenteforma original. s sA forma cannica que discutimos conhecida como uma soma de prodou forma normal disjuntva (FND). Existe tambm um produto de somas ou forma normal conjuntiva (FNC). Cada termo de uma FND , s vezes, chamado mmterm lm) e os fatores de uma FNC so chamados mexterm (Ml.EXERCCIOS 01. Suponhamos que f uma funo booleana de uma varivel sobre umagebra de Boole de 4 elementos, fl0) = a' e flll = a. Determinar uma expso para f.2. Escrever a forma cannica geral para uma funo booleana de trs variveisDeterminar a forma cannica para cada uma das seguintes funes'al flxl = xx. z .. lb f = ' . . ,l _lVl XV + BX + by, onde a e b sao elementos fixos distintos de umaAlgebra de Boole.cl fl=V=Zl = lV + 82') + l' + 2) (ax + V' + zl.Suponhamos que B uma lgebra de Boole sobre o conjuntoil). 0. a'. bz b'. C. C', 1}, e seja f uma funo booleana tal que f(0,0,0) == fl0,0,1l = fl1,0,0l = 8. fl0.1,0l = 0, f(0,1,1l = 1, fl1,0,1l = f(1,1,0) = c',e fl1,1,1l = b. Determinar f(a',c,b). \Q\=. a'b'c' + a'bc' + a'bc + a'b'C11 1 DIAGRAMAS DE VENN OU CIRCULOS DE EULERSeja representar as funes:3) y = f(a,b) = ab' + ab + a'bVerificao Algbrca:ab' + ab + a'balb ~l~ b') + a'b3-1+a%a+a%a+b1Representooo dos FunO2SBooleonos/ i ` gi/ u (13.)3 b . + = ' _. 7 .." . C C 'fzfz,%'/J _ _ . _a'b c' a'bc' a'bC a'b C\\__.._f_---*'.:__- W/# = /3.:a+bmab. ab a'b V = ab' + ab + a' b =@~ '-li.i\.i. _`i`~'-hr'-_lfew'.iii-.ii-__-_'.~'la-i'=-lli'f~eiillllsz.-*afffnz1 'v 'U. . ` _.,.I - 3. fz.,Lil? -v.f. ...err rcaao Algbrica:a'b'c' + a'bc' + a'bc + a'b'ca'blc + c'l + a'b'lc + c'la'b + a'b'a'(b + b'la.YPara mais de trs variveis, torna-se muito difcil representar as intersees formadas pelos respectivos crculos de Euler. Neste caso, utiliza se a disposio mostrada a seguir para quatro variveis: a, b, c, d.a'b'c'da'b'cd'II=______lab'c'd'l l _;inicieiz-igab'cd' .abc'd'" -1_l__J! l...-Jzb}7" a'b'cd-a'b'c'd-_nL.lun-ab'cd1-;--nn faabcdn--il.me 'u oonab'c'd r abc'dT'"'7_ ______ _Yw*' _ f 1 _* '__ _ __' -nn 1 __ f_ __ t :11.2 TABELAS-VERDADEConstruamos a tabela-verdade da funo:f(a,bl = a + a'b'fm' ' j z. fa _ *__-___en|i-|eeeqi|n-|neonnq|i--- g_ , gi __ oa'bc'd'a'bcd'a'bcda'bc'do001_ nenaunununnn 15 a b a' b' fi a'b' f".'O O O - d O O_`Ii___-3 CD O ; O;O d,__;4;j7_ u-B -nl%; -__~-~O @1 O. _l`iNosso problema consiste em determinar a funo booleana f dada sua tabela-verdade.Ti.- Q..- a'b'1+-ab'1+-ab14Soluo:- -- ' ' l com lementadar Fazendo a varivel nao complementada igual a 1 e a vari ve _ Pigual a 0, pelos valores de a,b e c correspondentes a f = 1 em cada linha da tabcela.vemos que os termos da funo procurada so a'b'c, a'bc e abc. Logo, temos a un-o:a[b C' f 1if '_ m f ir*O O ,O1* T1O C3.1__ l _-_c 1-*CD -CD .za O O___WL_O - l#17 _W 'T fz-. CD___ ___ l C) O,-A... O1 zzl -_ z,-IWfOi __ __i O*mg__1l `;_;~dnal -.I - ~ b l -verdade:Exemplo: Determinar a funao booleana f representada pela ta e a-- a'b'c .l1.../*w/\u/*-/--/`\|i1)/`))126 '-. ,;_... _.'..;;_ `Ir .cn _-..;z -. , .. i-._..\....,=.- i.---.fF''1LI'_.-._1%*A representao geomtrica de uma funo de n variveis o conjunto dosvrtices do n-cubo correspondentes aos minterms da funao. __;-_\--___rExemplo: Representar geometricamente a funo f(8.b.Cl = mz2-37l-Soluo:' m-1910. mz' Iao . Observao:1 Cada um dos vrtices correspondentes aos minterms da funo dito 0-cubozs dessa funo. E2. D'ois 0-cubos de uma funo formam um 1-cubo quando diferem entre si porsomente um valor da varivel como, por exemplo, 000 e 010, 010 e 011, 0113. Quatro 0-cubos formam um 2-cubo da funo.Dizemos que um p-cubo lp Q n) um subcubo de um n-cubo, quando .os seus vrtices pertencem ao coniunto dos vrtices desse n-cubo, ou seia,p-cubo est contido ou coberto pelo n-cubo. EExemplo: Na representao a seguir: ' ArlvO 0-cubo 100 est coberto pelos 1-cubos 100 e 101 100 e 110 100 e 000e pelo 2-cubo 100,101,110, 111I' I Ie . Defnimos a distncia entre dois pontos de_ um n cubo como o nmero de valores das variveis em que diferem as representa-oes bmarias dos dois pontos. Assim, dados os pontos 101 e 011 de um 3-cubo adistancia entre eles d = 2, pois diferem entre si em duas posies. Indicamos ofato escrevendo: d(3,5) = 2, onde 3 e 5 so os valores decimais desses pontos en-contrados nos minterms m3 e m 5 . RVejamos agora alguns exemplos de representao geomtrica das funesbooleanas. R19 Exemplo:.Dar a representao geomtrica do circuito ~ - y'.z ~ e~~ z ~Soluo: Ef(.v.zl = v'2x y' z101 J'1 0 129 Exemplo:Representar geometricamenteocircuito -~ - ' z a z -__ z . _ ._SoIu'o.f(,Z) = 'z = x'yz + x'y'z n ~O4- + C)_ @(_~Soluof(,y,z) = xy +yz=xyz+yz +yzJWa) f(y,z)=(yz + lb) f( y,z) = y( ic) f( y,z) = x y + xyzdl f(v.zl=v(+2)+v2el f( v.2l = VI' I xyz + xyz' + 'y'Zlr Hi Hi ll111 110 001EXERCICIOSRepresentar geometricamente as funes:Dar a representaao geomtrica dos circuitos '__ __ y'________2'___}$__L -X zz Y Z___,z zzzzz' _)(': LV'Y Z .___ y _ z' - 5 Z' - yv 2' ea ~X e ff Y'f.= iiY1;' 1 `y.--nVei Zv 2 WI I'1_|_|p-ri; ___V.__,. Determinar as seguintes distncias em n-cubo:al d(7.13)b) d(2,7)cl d(7,15)dl d(3,11)e) d(9,14iDeterminar a funo booleana representada geometricamente poralblFz""-"-|\_|\|Inn/mz I I J'me_..__. m4m3 m7I I!; / z1,' f'/ / )[Tio TI4\-""'_"_I-DIIII-uy\L.____._.....R:"""""I\|`\I II I Iz/I-_"""_`1\mo_ma mz; .. _1-.z _ ,~- 31;; `_ '-.`_-_' --- '-_';Lf... :__v'-`- 1_ _,..z_. _ _'Qi-|' ' -, .___'-'._ _ -' ;:1*' _ icl ma m7 Ems_ _zf._ __ I__* _ _#3Formos Normois_`_ ._ -l` V `'\\\'\\.:1;L*-fl..-_;___1 .-'_-;f\`_''frf-f.~:-'laE\_1-_. \_ . ._:_=`. -" _-z.~ _'l' - _. _'1..~;;` .__':~"12.1 FORMA NORMAL a n VARIVEIS E, ,.,z- __ =5.,_f_4._ _5 :.-ru ' - _ ....( -` _ I. '"t`-`~5?'1\i-. -_ '*E' Dizemos que uma funo booleana est na forma norma/ a n varia'ves quan-___ do envolve todas essas variveis ou seus complementos.7: 53' . -__1_-in-...FTI4__ 19 Exemplo: a + b' normal em a e b._I3s?.: - z| __:^_' " . _~_ 29 Exemplo: a ' b' e normal em a e b.~., `m 3 m 7 E 39 Exemplo: a + ab normal em a e b.. |._ ,_?..-._u' ._ V _ 49 Exemplo: a + b + c'd'e' normal em a,b,c,d e e.,Ff _ __.'___ s 59 Exemplo: ab'c'de normal em a,b,c,d e e._ _. .J//.z A 12.2 FORMA NORMAL DISJUNTIVA1-// "'z 11.1? .'_ _ `Uma funao booleana est na forma norma/ disjuntiva quando em todos os. ..z.;. __ `'15' l"_m4 r seus termos aparecem todas as variveis envolvidas ou seus complementos.- _ are.1"l-' 19 Exemplo:I _ A funo booleana = ab' + a(ab) + a'b' est ha forma normal dsjuntiva_-x ._._,,.,..v.- _'\''-_ _-| -- -;';_;_ 29 Exemplo:__i. -_ A funo booleana y = abc' + ab'c + a'b'c'est na forma normal disjuntiva.'\7.`.:. -_ .4o Exemplol " E * ' ii l_6.bC_z1z'A funo abc + ab C + ab nao esta na forma normal disiuntiva, pois, no terceiro termo falta a varivel c ou seu complemento50 ExemploAs funoes abaixo nao estao na forma normal disiuntiva=ab+bc+ac=abc+abd +acd=abc+ac=abc +b-20 Exemploz = la' + b) (a + b' + cl no esta' na forma normal conjuntiva porque no pri-meiro fator falta a varivel c. _xrTRANSFORMAO DA FORMA NORMAL DISJUNTIVA EM FORMANORMAL CONJUNTIVA MEDIANTE A TABELA-VERDADESeia transformar a funoda forma normal disiuntiva para a forma normal conjuntiva. Procede-se da seguin-te maneiraa) Constri se a tabela-verdade de y:e diz-se que a funo est na forma binria.v = a'b + ab s0zU,za.~_ 'Ii v _OCB CDOO-c~_/fu* mm* * t __ . ___.. ' " fz* 7 'JIQ-.sAr I i E,a ba'a'b aby O n-\ n-ul. 1 1" *'Wl}f::T _... _..__ __ 7---oo --Ao-ca .z.a_._. oo-~o -aaa -O--a III-xc -'CCD--6 o-o-l E`liNessa tabela. 9m05ndec1mal ) n bIf0com-*C9528p 1 1_ __ _* __ ~__ 'mm fzzz ' "'GSCFBVB I'f(a,b) = l2,3).~.1a:u1-amu-O__ L-T zz l |_n-lu-II, rf 4 'I' 4-: b f.........-s-hQOOG ...-c:c-;-*OQ ...Q-~O-^"'.'0 :;-co;.-'` ` 1 *lIll.' I 1---: l._...|I,F'.J"0-)m-Jmmhww-*O_,,__._._..._.oc:.1o=OO,44,4'..cc....-o:-=-=cC=---*O0 O-nO-nO-oO-*O-*""'"""3 o--o-oo-1-*O-*"'_I l1 l, 11 l1 11 igll1* ` 1111- 1 rJuE-lt. r.. ,__ LO1fla,b,c,d) * 2l1.4.6.7.112)-Entao, os valores decimais que correspondem a f = 1 so 2 6 3- Pd9m$P dendo de manerra anloga nas funes dadas pelas tabelas a seguir,rocefla,b,c) = El1.3.5)l*gin-l*l4_.__-.;...-,-~\'z;-':If_ - l.=-.-:_ _ ll- ^.`JI'-- " '_. .11.-_.3,_='f_-'I ` )1,-*_i.'-. - 1..:`L.I. ` 'l _ln=.r-_I:r1-ais-_--'234.5.6.7.8.9.'\10.EXERCCIOS_ - 1, 1. Representar mediante cfrculos de Euler a funon E l" " E E y = abc' + a'bc' + abc + a'bcIndicar mediante uma tabela-verdade, a funo:y=ad.Representar sobre uma tabela-verdade, a funo:s y = ab'cd' + ad.Usando a tabela-verdade, dar a funo y = a + d sob a forma normal disiu ntiva.Passar para a forma normal disjuntiva as funes:a) y = a + bc'b) y = dc)_ = a(d' (b + c) + b'(c'd + a'b'c))d) V-= ad + cdDar as funes do exercicio 5 na forma binria.Dar as funes do eerc1'cio 5 na forma decimal.Determinar, mediante a tabela-verdade, a inversa da funao booleanay = abc' + a'b'c' + a'bc + ab'cTransformar para a forma normal conjuntiva as seguintes funes booleanasa)y=a+cb)=(a+b')'(a'+b)c) z=(a+b+c) ' (a'+c')' (a+b')d)=(a+b)'(H+C)'(b+d) `Representar mediante crculos de Euler as funesai yz,1z,z1 = 22,3,5,,71 'bi z,b,1 = z1ooo,oo1,o11,111Exprimir sob forma binria as funes:a) x=ab+bcb) y=a'b+bc+ac'c) z=ab'c+bc+ab'~4:.../-:Yumin-_~...z_-z__\n/l--r->~_._\n/-\.1|/--._\.d)w=abC+bC+ab9) t=abcd+abc +abdExprimir sob a forma decimal as funoes do exercicio 11qxx/u/V/\/\/\/VConstruir as tabelas verdade relativas as funoesa) x(a,b) = 2(2 3)bl via i,al = Elooo 010110)ai via b,a1 = 21001011 11ilai via b,ai = 210 3 5)ai zla,b,a dl = 2i0010 0101 01101011)f) zla,b,c d) = l0 3 5 711)13 Minimizoo de FunesMinimizar ou simplificar uma funo booleana a operao mediante a qualse reduz ao minimo o nmero de seus termos, resultando em economia do circuitoa ela correspondente. Os mtodos de aplicao mais freqentes na minimizao deuma funo ou expresso booleana so: O1, Mtodo Algbrico;2 Mtodo do Mapa de Karnaugh;3 Mtodo de Quina-Mcl= b+b'c'+a'c'= b+c'+a'c'= b+c'(1+a')_= b+c'13.2 MTODO DO MAPA DE KARNAUGHO mapa de Karnaugh uma forma modificada de tabela-verdade e nos per-mite representar graficamente uma funo booleana e, se for o caso, simpli-fic-Ia. 'MAPA A UMA VARIVELNo caso de uma varivel, o mapa formado por duas celas que correspon-dem a cada um dos valores 0 e 1 que podem se atribudos varivel.Esta tabela pode ser lida de uma das seguintes maneiras:01 01=~=conforme usemos os valores atribudos varivel ou prpria varivel' na formacomplementada ou no. Atribuiremos sempre o valor 1 varivel no comple-mentada e o valor 0 varivel complementada.MAPA A DUAS VARIVEISE formado por quatro celas que correspondem s combinaes binrias quepodem ocorrer com estas variveis. Os termos da funo a ser representada devemser escritos em ordem alfabtica e, em todos os mapas de Karnaugh, a ordem emque entraro as variveis deve vir claramente anotada na parte superior esquerda.Representao binria Representao literal Representao decimalb0 1 b'e 1 b'_0 1,IIIJIIIIEI IiIIIiIII ~IIJIIIIIIEIIII EI!! IIEI=f-- __"*z 'fz.. ,V-z1 'ff' , 'fe-.Qz ~ wi_ . .~a:f-=-i_ _ _"'!"!_ -' _'---vy-:_ z.:-Tr 5"*.- . 1.-z -.. ._ ,z.-. _ _,"_ :f_'f'- _ {~z._a__z;i;z-, .,_ 1,, -.=_'l.MAPA A TRS vAi=iiAvEisab'0 IWIIEI01 EEIIEII11 EIIIIII1 EEE = 0 1M01111 MAPA A QUATRO VARIVEISabcd 00 01 11 1000 0000 0100__1_100 100001 0001 0_10`11101 100111 00110111111110 9010 0110 7 71110 ,10101oo afblczrdi arbcrds abcfdf abocsda10 _afb,'_aa_'_ azigad' aba' aizraai'O ni-I NJ_; U1(AJ \INJ O3'\MAPA A ciNco vARivEis0 1as:28;==i ab ' _ ___'_'_ ___l9_11 a'bfcdi a'_bo:l abcd ab'cdbcda 00 _01_ 1_1 10 )00 3 1, 01 _, g ia, 911 _ _ 1 _10 g 14 iq J' I11 10 I Iab abll aa 139 07 ___10 ad _99___l00 W 1 00 01 1 101 0"^ 11 , 11: 10 _ A 10lill 1 )MAPA A seis vAi=iivEisOf 0 1 1ab abcd 00 O1 11 10 cd 00 01 11 1000 00011110 10ab ab ~00 01 11 10 cd 00 01 11 100011111 01 01111111 11111110 101111010 11_ 00Como se pode notar, a partir de seis variveis o processo de representaotorna-se complicado e difcil e no atende ao carter prtico da lgebra de Boole.Posteriormente, estudaremos outro mtodo que supera esta dificuldade.REPRESENTAO DE UMA FUNO NA FORMA CANNICA MEDIANTEA 0 MAPA DE KARNAUGH E Representemos, mediante o mapa de Karnaugh, a seguinte funo na formanormal disiuntiva:y = abc' + ab'c' + abc + a'b'c. 'Trata-se de uma funo a trs variveis e o mapa a ser utilizado :be _ O 100011110Para representar a funo atravs do mapa, colocamos o valor 1 nas celas142 correspondentes a cada termo da funo deixando as demais vazias. Assim: '1_. .`, _ E- .-.-'agr-'zzz' .ilv-.IV ILLJ..'..'.--';'-...t ..._. z--_ . 7711. '51 i_V;_L'.... -V --z; v...'_:.'.-~~ 6'- v'-..'- 5---.. . ._ . ..` : .'J-5 'ez-i:_*z - '_-AW' --- ,Y lvv'nt- A=I`l\'\ FME*ia: 1-II01..-11 -HI10 -IIy = abc' + ab'c' + abc + a'b'cnEPi=iEsENTAo os UMA |=uNo ouAi.ouEi=iRepresentar a funoa quatro variveis que no est na forma normal disjuntiva, e em trs de seus termos falta uma varivel. Usando o teorema expresso por ab + ab = a, temosa'b'cd + ab'cd + ab'c'd + abc'd + abc'd' + abc d' + ab'c'da'b'cd + ab'cd + ab'c'd + abc'd + abc'd' + ab c'dYZy = a'b'cd + ab'd + abc' + ac'd',e, construindo o mapa correspondente, vem:Note-se que no caso de funes como y = a'bcd' + ab deve se considerartodas as possibilidades de aplicao do teorema ab + ab' = a, ficando o mapa corab ._cd: -W1 0100 11A 01 --''d 11 -10 -- gy = a'b'cd + ab'cd + ab'c'd + abc'd + abc'd' + ab c drespondente como se v a seguir: _ IOQ..llU' eIII2:nlIII:0 I01 I11 I10 IIIII-LO-.niO.'-.Pse-1 za-_ _-_-_.;___,_ __ __. ...._..,'irei' no naSIMPLIFICAAO DE FUNOES MEDIANTE O MAPA DE KARNAUGHNa representao de uma funo mediante o mapa de Karnaugh deve-sebuscar a forma mais simples de representao, considerando-se que uma funo _, Dada uma funao representada em um mapa de Karnaugh, se encontrarmosa duas variveis pode ser representada em mapas para maior nmero de variveis.Assim, a funo y = ab tem as seguintes representaes:8 H aba 0 1 ba O 1 ad0 001 011110 a8 qn. l m 0111Duas celas que diferem em apenas uma varivel so ditas adjacentes e podemser combinadas pelo teorema ab + ab' = a. Num mapa de Karnaugh podemos tercelas adjacentes sem que tenham lados comuns.Exemplos:a1ba01 blaaaoi0 00 1 01s cla10iaba 0 1 1116.13 00 01111000oo _I:oi __11__101011110 1sab abbc 00 01 11 10 - (IJ 01 11 10G)011110 -__-oi In--I:11 IIIIIia Il___P' termos em celas adiacentes, podemos fazer uma simplificao. No mapa que repre-senta a funo8.O-*OU-_;_; -0@isentado. Quando os termos a simplificar encontram-se em celas nos extremos domapa, indicamos conforme segue:ab _C 00y = a'bc'd' + abc'd + a'b'cd + a'bcd + ab'cd', )podemos efetuar uma simplificao, substituindo a'b'cd + a'bcd por a'cd. A ope- 1rao indicada agrupando-se os dois termos conforme mostra o mapa retroapre- )0 E _.I.. OI..01 Il-H I:10 -IIIIIE .gp 1 No mapa da funo-A y = a'bc'd' + a'bc'd + a'bcd + abc'dIOo:28a'-III8III2niIIII:oIII::L:-'_Er.L'1 -_.1.1.~i::II:me;e;1"'O -.Atemos b ___ -a a';1 -'I112.,__\1f_'__ _:'.'_I,_.{~-aum;_..____..._11 10 aa 00 01 11 10ai/O0 --ll--01 -(il-'DIa I\/*f y = a'b'c' + abc'd + a'bcd*uai/\-.-/\|nf~_z_../"I1`\ni/-...ab ~cd 00 01 11 100 !-I_-1-1-I- ~11 -ll-I10 -__-y = a'bd + a'bc'd' + abc'dTransportando estas representaes para um nico mapa, obtemos:abc 00 01 11 1011 101--10 -II-- y = a'bc' + a'bd +`bc'dque a funo simplificada. Para simplificar ao mximo uma funo torna-se ne-cessrio incluir o mesmo termo em diversos agrupamentos. Vejamos agora o casoem que as celas sao adjacentes duas a duas. ~Seja simplificar a funoVy = a'b'c + a'bc + ab'c + abc. 1O mapa correspondente :11 --I-I10 -__-y = bc'd + a'bc'd' + a'bcd639 101 -EDII @_ -1-=` Jg- `=- .__ 121151;__ - _.V '_ 11;-z______ ,__ ,1,; :ii 1_____ ; _' - ' 1-1__f._ --" '^__1'' 'rsrS- "-':*-_;_t;.- -_ *...;-' : 7_--T T' '1--_.1` - ,q_-,-.__ ` !I_ i.0bca 0 100 --01 .III11 IIII10 --e, temos duas maneiras diferentes para simplificar a mesma funo, ou sejaaaa 0 1 1 0 1_- --z1ierre@e::a-a 11 __..10 iaConsiderando que as celas adjacentes no caso de ac e a'c diferem na varivela e no caso de bc e b'e diferem na varivel b, podemos agrup-las da maneira mostrada a seguir, ou seja: 80.. naQI- 6.bc 0 101 /'1`~._ r'i`~. Q 01 _ aiii raiiii11 im 11 liiilio ia EZOutros casos de simplificao:ab- 00 01 11 10_ 01 @ 00 lili:-lili_ _ 01 KIIEIBS' 3. 'ill'2 IE 11 XXVII!-'E__ 10 1 1v=ab'+a'd' y=bd+b'd'+z'dGED@...z_.;:_.;,"..Vejamos agora em que as celas so adjacentes quatro a quatro._ !-`Seja o mapa de Karnaugh que representa a funo _-.qn-_.:z=\.'` ..!-.CI1 i-.H. .,Ii-.,=-1'WP._'-':-.',':'--vi- _l.\1., -..`.-_Wiv = a'b'c'd + a'b'cd + a'bcd + a'bcd + abcd + abcd + ab'cd + ab'cd._ tl; _`, .. V.1-.a3eElleElle Ille*r.__ _.1-=-.;.z01'_' . 1-ri' . `._`v'-; -. i~--_;. _ :-- az-t-_-'-i.-.il ., .^`: 1. _~'_* F2- _ '_:."v'--"('.V 'YiL f..==z- _.(l _--:ft ,'~ z .;f.~~ ,_ - l111)110)1|rl)~-/\-/`-...-/"~1-/_))11)_]Jf)))J))1150 v = a'bcd' izbca' + a'b'c'd + a'bcd + z'bz'.+ zbcdt`z__.'?B.4.'__x ':', _ I , '-';' _ E211 :.--.1-4J.-l`.`- .r .'I__;_'_ ___. fz z.E__z-,-._j',, , .__..s'.,.-..., _. _-,~....tv z .J-'.,_:_' z.'.'z;'-.-;.. '...29 Exemplo: Soluo:Minimizar a funao: 15?Y = a'b'cde + ab'cde' + a'b'c'de' + ab'c'd'e' + 8b'C'Cl' + 8'b0d'B 'l'+ abcd'e' + a'bcde + a' + a'bcd'e' + a'b'0d'B'.Soluo:Por convenincia de notao, podemos escrever a funo dada na forma bi-nria ou decimal. Temos:y(a,b,c,d,e) = (00111,10110,00010,10000,10010,01101,11100,01111,01100,00100) evz.b,z..e= :v.22.2.1.18.13.28.1f.12.4z 2 q N af 2,1a -o N_ 4 - ` P " 1' \4,12 0,-- b'c'ide' 1; 9.. oo--~oi-'o,-c,:?0E__.\_'-_.@-AQ-! _@_-B-6-LA-@@@-P:ga--ooooo i"\\\\O 516 Y 16,18 1*o -1 12 12,28. - _. 9.-z oo1 _ I I1 13 1e,221o - Y f nun!'13 i"' E222815e a funo simplificada :Y = b'c'de' + a'cd'e' + bcd'e' + ab'de' + a'cde + a'bCe.39 Exemplo:Minimizar a funo:V-v(a,b,c,dl = 2(o100,1100,0001,0101,0110,1110) ev(a.b.=.dl = >3l4.12.1.5.6.14l_a1bcd mabcwcl _L.abcd1,5 - 0 1 4,12,6,14 -0 _4,12 O\\\\Hao\az-cn01 :unle-u-IEz\\i/v = bd' + a'c'd + a'bc' + a'ba'_.Embora a funo esteja simplificada, no est minimizada, pois, apesar deserem seus termos irredutiveis, no so termos irredutveis indispensveis. Paraidentificar tais termos, usamos o crivo dos termos irredut/1/eis.1 M4 __5,_,__,e _, 125 14bd' aa'c'da'bd'Neste crivo aparece na horizontal a notao decimal correspondente aos.termos e na vertical os termos da funo simplificada. O fato de cada termo da fun-o simplificada ser parte dos termos representados na forma decimal indicadopor um ponto na interseo das linhas e colunas correspondentes do crivo. As co-lunas em que a cada nmero decimal corresponde apenas um nico termo, identi-fica um termo irredutfvel e indispensvel. Assim, bd' e a'c'd so termos irreduti-veis indispensveis; os demais so termos suprfluos. Ento, a funo minimizadaresulta:y = bd' + a'c'd.Exencrcios1. Determinar a funo representada no mapa:O _ 1- :`__ _ if 1 7 f_ _ _ z f I' 7* ,I _' _ L'j Tlabizza 00 01 11 10_ ,C Q0_ 01,11 100 1 1, _ L 00 _,1_ _ _ _01 1" W _ . 01 _ 1 H 1 11 T1 A 11 _ 1 10 iii I -1 10 , jm, Z _ l _,_ _ _' L fr'2 Representar as seguintes fu95 U0 mapa de K3ma9h1 Y(a.b.c) = ab + b'c + a'b' + Gb' + bdi viz,b.z.a =# and + abr: + bc'd + bd'JmQ..'I_CJ'9Lv(a,b,,ai = 2i0001,0101,1111,1010,1001_) y(a,b,c,d) = E('2,4,5,6,7,11,14)` y=(3+b)1b'+C'l'C1ifi V = ab(a' + c' + d')_ _ _ . " ' ' 2.3. Simplificar mediante o mapa de Karnaugh as fu0e5 do e'''_ _ _ . - _ ' f " :4. Simplificar pelo metodo de Quine McClusl115414,I 0Portos' LogicosAt agora estudamos as funes booleanas descritas algebricamente. Noscircuitos lgicos, costuma-se indicar tais funes graficamente de modo a torn--las mais simples. iA representao grfica das funes booleanas feita mediante simbolospadronizados por normas internacionais chamados blocos ou portas lgicas.As portas lgicas so as bases dos circuitos lgicos e tm por finalidade corn-binar as diferentes grandezas booleanas de modo a realizar determinada funo.Cada porta lgica pode ter diferentes linhas de entrada, porm. somente uma linhade sa ida, conforme veremos.No decorrer do nosso estudo, trabalharemos com as normas americanasMIL-STD-806B IMILITARY STANDARD) de uso muito freqente na prtica;citaremos as normas da CEI (COMISSION LECTROTECHNIOUE INTERNA-CIONALE) reconhecidos internacionalmente e as normas alems DIN 40700IDEUTSCHE INDUSTRIE NORM). IDaremos, a seguir, uma tabela com os circuitos, tabelas-verdade que os de-finem, portas lgicas segundo as normas citadas e funes booleanas correspon-dentes que interessaro ao nosso estudo.__-_--:_-ie' 1";-'J.Li1fif F U N AOBOOLEANATABELA I L D NCIRCUITO VERDADE iii M i-51*l_ D_ :Ep ..z.z,13-ID-h :@,_ =iz+izi"mn"'Eni:I|NvEnsoaNEGAOI fr1T_`"`TTT;....in-AQQI -*O-#00' _-u_u1----IO O-i--Ji--_z--oc: --*O-*OU' @......_;(NAN D)-i-@@ -*--\C3U' QDO-*XI.i_........l......$._ :2 .=1.-...i :)D_ :@_ =:i. +1-iz.--H-ICDO -no-poa' ;...4Q- invertida-uil_1u_v-l-*OO -Q-aC)U'----i-1---Ii 1invertida_.._L_...L_...' -_@ -*O-*O Q--@ExclusivoL..i............_..i.1 ExemploRepresentar mediante portas logicas a funo x =ab:i;>_~Soluao29 ExemploDar o circuito logico correspondente funao z = ab + H bSoluaoz = ab + b39 ExemploDeterminar a funao correspondente ao circuito logicoO..'>U'mSoluao= b+c+d) (h )=~ 11-_ _,_,,,, __._.fvii;f~i -.-....Vejamos a resoluao de alguns exemplos1137.' i- - -faiz: tz,..., ...z-.'11 - -__ 7- 1 __- "_+='z.~ I -_ '__., 92: _ 1.'-.-_ .. __V . .,._"amaz.,.-._-,-_ ._;-.z-;-".~1;_. 1-2;'z '-3-1: .~'.M'_ 3-.Soluo _'49 ExemploRepresentar a funo definida pela tabela verdade como circuito logicoA tabela verdade define a funaox =ab0+abc+abc' +abcSimplifiquemos a funaoEnto,x = bc+ab+acE o circuito lgico correspondente serif _-@,L._."*CD@@--oc:o:---oo-c -aoca5...O_d -*C3-oNil _ 41. .nl4.....l-ul -uiabc+a(bc+bc'+bc)abc+a((b +b)c+bc)abc+a(c+bc)abc+a(c+b)abc+ac+ab(ac+a)b+ac(c+a)b+acbc+ab+ac59 Exemplo~_./\-'\-/~..../~..~_/-/*Ilfn/-u/*---fSoluao-.../\_/\-/`\u-/Dar o circuito logico correspondente a area hachurada nos circulos deA funo correspondente a area hachurada e=abc+abc+abcSimplificando, obtemos--_Portanto, x = ac + bcE o circuito Iog|co procurado eC) b6 Exemplo:Simplificar o circuito logico mediante utihzaao do mapa de KamaughIll if/,///-JD*-JSoluoO circuito Iog|co dado corresponde a funao= abd + acd + bcd + ab + a cd a quatro variveis e que nao esta na forma normal disiuntiva, faltando uma variavel em quatro de seus termos e duas vaa (b C + bo) + a be riveis em um de seus termos Usando o teorema expresso por ab + ab = a, temosac+abch+am c(a+b) cac+bc= abcd + abcd +abcd +ab cd+abcd+a bcd +abcd +abcd +a bcd +que, representada no mapa de Karnaugh, nos dnull-na *Hum1. Representar mediante portas lgicas as funes: ___-i.-donde tiramos a funo simplificada:x = ab + cd =. 4,' fi.T-__ '*'_'_ --1._-' __;,_?_'.. .'_ ._,._.. _ _.__ _._-i.ii 3-. ._ , _,;.' *a _-_ `-._ 1., ___ -< '_._|;; _-zb ' "iL.'?.._:;~1*.1.._ _^;{_-s. `- `;`.1"._x - i-lr ii"~- _ zv;.,-.'-r_,_ -*i::*_-_ .. .`._,_',-~; . 'i.Y'"-ff_- 5-`f. _._~'ii'I:'',l-:xK-;:_=`*fih-'1' .~~'I_-:`,. .dii1-57.'J-vi,f:.C _ *_ .d -'- :'i H;_r`-b _:' __;.;.* .?":'_;'| __.;_--__^- 'gif' ';;;~_~-.`\*~- .z '~: ;''-tl* =f.f}:.t;=..\-~~,.-_,..-. _ . f:. ,, .._-\,.'._... .`.-_.~. .,,-.'._ "_, _ _ M1. -__.- - ._' - -,~,_zExerccios: i .-.,.._i.- _` ' "`.'e,' ,__| `?`L- 4? ' -. "-__ v..'-31'?+ t"4.. `:` 34:,^ z -'=*r?5:'f*`-.._ 'I;f'.. .t-"r:.^` _;-ii. z-" -z_1_;-z`=. :U'.r'.- - ;.'_ z-zw-'rt . ...;.;., .\e desenhamos o circuito lgico pedido: oucl 3bj-Cabdl8Cel abab(C . lj. _ .b) z = _(a ' b) +z_.\- _c x = a + b c + ddl Y = a'bc + ab'c' iDar as tabelas-verdade correspondentes a cada circuito logico.3. E ax = a + b + c os bfi v +1 ,_.,,__.i. 'r.'~_ .T _? ;` :HW 1 ;;.`.`-- -:--_:-1;i b2. Determinar as funes correspondentes aos circuitos lgicos: .- -_;.r..z-._. _-i"f&`--- .z.._ _ '--,z-._.' _ )_,,15161* rf: .1 2. :._._.._._-__ _ -a).T_ r. ___l, ._ _* _-a z :z';-.L ~... z. ._' _. _.-;if-_,,___._______- z.- ,i_ _.`_ ._ ._ 'F .ii_~._- ;-'=__-___..q9_*\` _._ ug-.-.:';;.:- f bcb i ` dl.-`_. .. .-- '_'_ _-*.'.*: `_z;.- __. ._ -.-: --_ -._-.il ,_c ` .*;.~:.'a .. '..r_ 2 f_i .-_-- '- .~., _. ,_) Qu._ ___ ','~_=.1 --',- - '-`i' '.'*-_`- `f.'-_ .ha-z'. ...'' .*iii'-'K.-,_ A E) M ih __a i160 c __ _. ' ,' =___* -.._ ababdilviviwwdwD)ll\))\f\uf\ll))))).,)))J1'lllilr~_/`~.~'uf-r'\/i_l)))`\IM./\-/\/~...zlJ))1))_)1J`)Ji,i4 Desenhar os circuitos correspondentes lSmDlf3d5l s t3bla5'Vefdadal bl cl --r-1ia b `z_ab lazb_cy ii;_01;.i.i...--ic:E.:c:i ...EE-oii ....ci:b-35ci__ooo oio -:;ccall-t:-Deco __;...i.._i{:il _. i _ l]. __ 1oo .._. ...S -foo___ 1 .------l--i--1O-{- -4doDE-=c:......--t ...-@ _..5_. ._1..._.'! a.` O I l ,f Qf 6. Desenhar os circulos de Euler correspondentes aos circuitos logicos:a) -_ Xfff? bl.r.._._._i.Li__.-iii-.-gni l li * a? l^ ~ i _ _ b V_ _ __ O __ ._ ,5 i _ 1 _ _ I O _ _:,;...util'-_1\' .z-_ - _ :_ ,_:` ,:`-_- _*-.=I.t{._'__'. 'E- - - - ' uler.5. Desenhar os circuitos logicos correspondentes aos circulos de E _ b_ _-,z__ N.- .+ -zh;-'-; '- `u.`~ _ "zz. _ -1 1.4- ~is'h-of -_ zh_, \ \ _ '_ ___ 3 ,__ ...__ . _a_, bt `. -""'. ... ._' ' ru :.' _ - 51 ln.- :+' eu euV_ `,-,z_:elilltii-:J-f '_ ,_ _.~ 11-- _ .1'. ..L-4 -' 2-5:1-5".-_'-Z' '_ _ t __.~ ` _ .__ __ 2. :\\ -.\.::. -*'E - '_ ._ .. ~.- .~v,'_I' - _. ._ -_-L-.,_\' ._ 1-*t__ __.;'z_,;_z_-~._z,_= __.'.w_._ _- ~ - ' . . , .8) __ _ _7. Simplificar, usando os teoremas da lgebra de Boole, os circuitos Iogicos_ __: 1-em 3 _: _div/ " ` -:'f?---=.';_ -_..---'z 163--_-*z_''-.; f.J|.f=.2 .tifm-bl8bm zCD3b .clbabab8. Simplificar os circuitos lgicos mediante utilizao do mapa de Karnaughal8b3' W __ __* _ ....__ _..C _bc8 - . -::- za' --_"_'__;,; _ ._ _ iii.;;'..-_-@*""`f"_* __= b)_ `_- L~:1-;'- _ .-; ;=-Z' _1-_.. _P*-L. '_'*_&5 "bcclbdlal'bCi 3brCaiCdr3C3cl'alafalalbco.o_crn__ ' Z.ff~....z\-f\.\vur\nr-r..zzc._z'n|v~ufufvd\lVwdnII"d'v|fII'IiJ1z~....z-...\-f\-r\-IN..-f)illff 1lii1l1,_/~..z\-/wi/`f~l-_!'~-/'m-f11,i)il1)J.JI\)llJ)'iJ,iasBibliogroioALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciao lgica matemtica. So Paulo, Nobel,1976.A.I.D.E.P. Algbre de Boole ( Utilisation pour la simplification des circuits logi-I 7 'ques) - Cours Program - DUNOD, 1971.BITTINGER, Marvin L. Logic and proo Addison-Wesley, 1982.Boscoro, A1zizs.N0zzzs ae zzzzzzz F1-cLs.1_ santo Andr, 1971.BOUWENS, A. J. Digital instrument course. (Part 1). N.V. Philips' Gloeilampen-fabrieken, Test and measuring department. Eindhoven, The Netherlands.BUDDEN, F. J. An introduction to algebraic structures. Longman, 1975.BUKSTEIN, Edward Practice problems in number systems. Logic, and BooleanAlgebra. Howard W. Sams & Co., 1982.CALABRESE, c1uszppe.L :41gezrzz af Boole. lvizno, Dzizw, 1973. `CASTRUCCI, Benedito. Introduo lgica matemtica. 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