publicao citlci: *|H

i_GicA E LGEBRA DE Booi.EDiferentemente de textos convencionais, este livro adota a estratgia de ensi-nar atravs de exemplos, com a utilizao de um instrumental lgico que faci-lita O 9edm60 B 8 mOde|agem de sistemas reais. O uso de ilustraescomo meio de exposio proporciona, neste texto, bases seguras para gene-ralizaoes e para o prprio conhecimento e desenvolvimento da lgica peloleitor. A introduo Lgica e lgebra de Boole visa mostrar um exemplo de mode-Iomatematico de inumeras e importantes aplicaes em diferentes- ramos daatividade humana como eletrnica, computao e outros. O livro resultou de intensa pesquisa e da experincia de magistrio do autor.Por isso, sua forma agradvel de apresentar o contedo programtico:,emvez de uma abordagem orientada para o conhecimento da Matemtica pura,abstrata, o autor optou pela apresentao de um sistema algbrico que repre-sentou importante passo no desenvolvimento da eletrnicac, computao,pneumtica e outras aplicaesque envolvem at a Pesquisa Operacional.

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NOTA SOBRE O AUTOR AJacob Daghlian licenciado em Matemtica pela Faculdade de Filosofia,Cincias e Letras da Fundao Santo Andr, onde lecionou lgebra.Foi pro-fessor de lgebra Dooleana na Faculdade de Filosofia, Cincias e Letras "Prof.Carlos Pasquale". E reitor da Universidade Metodista-de So Paulo (UM-ESP) epossui larga vivncia industrial que lhe permitiu avaliar a importncia da matriaora apresentada. A APucAo Livro-texto para as disciplinas LGICA MATEMTICA e INTRODUAO LOGICA dos cursos de Matemtica (bacharelado) e Tecnologia de Processa-mento de Dados. Texto complementar para a disciplina CIRCUITOS LOGI-COS E OFiGANlZAAO DE COMPUTADORES do curso de Cincias daComputao.

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www.EditoraAt1as.com.br1783522 41255

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JACOB DAGHLIAN

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LGMZAE LGEBRADE BQOLE4 Edicao

SO PAULOEDITORA ATLAS S.A. - 2008

1986 by Editora Atlas S.A. go i~*I'*'~1_,

1. ed. 19s; 2. ed. 19ss;3.@.199o, i4. ed. 1995; 12. reimpresso zoos

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-1% -O*' .giCapa: Paulo Ferreira Leite mmolComposio: Style Up

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)(Cmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Daghlian, Jacob, 1936 - *Lgica e lgebra de Boole/Jacob Daghlian. - 4. ed. - 12. reimpr. - So Paulo : Atlas,

2008.

Bibliografia.ISBN 978-85~224-1256-3

1. lgebra booleana 2. Lgica simblica e matemtica I. Ttulo.

95-0876 CDD-511.324

ndice para catlogo sistemtico:

1. lgebra booleana 511.324

TODOS OS DIREITOS RESERVADOS - proibida a reproduo total ou parcial, de qualquerforma ou por qualquer meio. A violao dos direitos de autor (Lei ng 9.610/98) crimeestabelecido pelo artigo 184 do Cdigo Penal.

Depsito legal na Biblioteca Nacional conforme Decreto ni* 1.825, de 20 de dezembro de1907.

impresso no Brasil/Printed in Brazil

Editora Atlas S.A.Rua Conselheiro Nbias, 1384 (Campos Elisios)01203-904 So Paulo (SP)Tel.: (0_ _11) 3357-9144 (PABX)www.EditoraAtlas.com.br

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Agradecimentos

Antonio ngelo Fratoni(Desenhos do Captulo 14)Vnia Linda Domingues(Datilografia do Captulo 14)

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Carlos Alberto Garcia Calioli (in memoriame Rubener da Silva FreitasMestres e amigos cujo entusiasmo eincentivo me conduziram ao Magistrio.

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Pela ajuda de do/'s sbios: meus pais, Leon e HripsmPelo incen tivo de minha esposa: HuldaPela carinhosa presena de meus filhos: Leon e RicardoPelos meus irmos: Carlos, Luz e CeliPela oportunidade de realizar este trabalhoElevo 0 pensamento em gratido a DEUS.

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Sumrio

Prefcio, 13Apresentao, 15

1SISTEMAS DICOTMICOS, 17

1.1 Introduo, 171.2 Interruptores, 181.3 Conjuntos, 221.4 Proposies, 26

1.4.1 Princpios fundamentais da lgica matemtica, 271 4.2 Tabela-verdade, 28

Exu =.`S, 29

2OPERAES LGICAS SOBRE PROPOSIES, 31

2.1 Negao (), 322.2 Conjuno ('), 322.3 Disjuno inclusiva ou soma lgica (+), 322.4 Disjuno exclusiva (), 332.5 Condicional (--r), 342.6 Bicondicional (), 35Exercicios, 36

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7CONSTRUO DA TABELA-VERDADE, 39 FLUXOGRAMAS, 77

Iumiidn-u;.\n?ul-fzz..um, _ 1 Exerccios, 85Exerc1c1os, 42

l 4 8

__ _ OUANTIEICADORES, 89RELAOES DE IMPLICAAO E DE EOU1vALENc1A,48.1 Sentena aberta, 89 g

4-1 Denies 46 8.2 Quanticador universal, 904.2 Relao de implicao 47 8.3 Quanticador existencial, 914.3 Relao de equivalncga 47 8.4 Valores lgicos de sentenas quanticadas, 9344 Equivalncias notveis, s 8.5 biegao de sentenas quanticadas, 934.5 Propriedades, 51 Exercicios' 96Exerccios, 51

95 , INTRODUO LOEBRA DE BOOLE, 97

AROUMENTO VLIDO, 54 9.1 Operador binrio, 979.2 Propriedades das operaes, 97

5_1 Deni-0, 54 9.3 Sistemas algbricos, 1055.2 Regras de inferncia, 56 Exefclclosf 114Exerccios, 5 8

106 9 FUNOES BOOLEANAS, 117

TCNICAS DEDUTIVAS, 62 Exerccios, 120

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6.1 Prova direta, 626.2 Prova condicional, 65 A 1 16.3 Prova bicondicional, 67 4 - -6.4 Prova indireta ou por reduo ao absurdo, 68 O REPRESENTAAO DAS FUNOES BOOLEANAS' 1226-5 Pwva indireta da forma Cnd0n1 70 11.1 Diagramas de Venn ou crculos de Euler, 122Exerc1c1os, 71 . . 11.2 Tabelas-verdade, 123 g

- 11.3 Representao geomtrica, 124l Exerccios, 128 1 1

FORMAS NORMAIS, 131

12.1 Forma normal a n variveis, 13112.2 Forma normal disjuntiva, 13112.3 Forma normal conjuntiva, 13312.4 Funes na forma binria, 13412.5 Funes na forma decimal, 135Exercicios, 137

13MINIMIZAAO DE FUNOES, 139

c 13.1 Mtodo algbrico, 13913.2 Mtodo do Mapa de Karnaugh, 14013.3 Mtodo de Qune-McC1uskey, 148Exerccios, 152

14PORTAS LGICAS, 154

Bibliografia, 166

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Prefcio

Os ltimos 10 anos vm presenciando um aumento sem precedentes da apli-cao da Matemtica, particularmente da lgebra, no entendimento e soluo dosproblemas das Cincias da Computao. Estruturas algbricas, cada vez mais, estosendo empregadas na modelagem e controle de circuitos eletrnicos e de sistemasde informaes. A lgebra aplicada computao vem sendo paulatinamente in-troduzida nos currculos das escolas de 2.0 e 39 graus sob formas diversas.

, pois, com grande satisfao que apresentamos ao leitor este dedicado tra-balho do colega Jacob Daghlian. Trata-se de um livro que surgiu como frutodointenso trabalho de pesquisas bibliogrficas e das experincias do magistrio viven-ciadas pelo autor no ensino de disciplinas cujos contedos abrangem este texto.

sabido que os estudantes so mais hbeis quando conhecem a causa pelaqual aprendem uma tcnica particular e tendem a perder o interesse se os mtodosmatemticos so apresentados de maneira puramente abstrata, sem aplicaes pr-ticas. Consciente, o autor adota a estratgia de ensinar, atravs de exemplos, utili-Zando o instrumental lgico para o entendimento e a modelagem de sistemas reais.O uso de ilustraes familiares como meio de exposio, por certo, oferecerbase para generalizaes e o prprio conhecimento e desenvolvimento da Lgicapelo leitor.

Devemos deixar claro que no desaprovamos a abordagem orientada exclusi-vamente para o conhecimento da Matemtica Pura. Porm, entendemos que,quando o trabalho bsico inicial estiver bem assentado, o aluno ter estmulo paraaprofundar os indispensveis conhecimentos tericos da Matemtica Pura.

Com esses objetivos o autor produziu um livro-texto claro e compreensveldestinado aos cursos introdutrios de lgebra Aplicada Computao que certa-mente dar os fundamentos para que os leitores caminhem com segurana nosestudos, investigaes e pesquisas nessa rea do conhecimento humano.

Congratulamo-nos com o Prof. Jacob Daghlian e com a Editora Atlas pelapublicao, augurando a continuao de empreendimentos desta natureza.

So Paulo, abril de 1986

PROF. GILBERTO DE ANDRADE MARTINS

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Apresentoo

O presente texto originou-se das notas de aula do curso que ministramos halguns anos aos alunos do curso de Matemtica da Faculdade de Filosofia, Cin-cias e Letras da Fundao Santo Andr. Ao redigi-lo, como primeira razo, moveu--nos o interesse de entregar aos nossos alunos um texto que contivesse os pontosprincipais de nosso curso e que superasse a necessidade, nesta primeira parte dosestudos, de livros estrangeiros de difcil e cara obteno. Outro aspecto importan-te que nos levou a este trabalho e nos mantm motivados no seu aprimoramento a apresentao de um sistema algbrico que representou importante passo nodesenvolvimento' da eletrnica, computao, pneumtica e outras aplicaes queenvolvem at a Pesquisa Operacional. Sua presena marcante nos estudos deautomatizao, levando a simplificaes com sensveis redues de custo, tendodado origem a mtodos que representam grande economia de tempo em projetoscom os quais possa relacionar-se.

Nada apresentamos de original e, em alguns casos, incorremos na linguagemcaracterstica de queridos mestres como o foi Alcides Boscolo, de saudosa mem-ria, e ainda o Edgard de Alencar Filho, no deixando de mencionar a marcanteinfluncia de alguns textos citados na bibliografia.

Agradecemos o apoio dos colegas, bem como as crticas recebidas, sendo oserros e imprecises de nossa inteira responsabilidade. Em particular, agradecemosao Prof. Jos Otvio Moreira Campos o incentivo e empenho para a concretizaodeste trabalho.

Finalizando, prestamos nossa homenagem aos professores que desde o Jar-dim da Infncia participaram de Jnossa formao, dedicando-lhes este livro e, paraevitar omisses, citando as diferentes escolas que cu rsamos:Jardim da In fncia e Primrio

Academia de Comrcio Horcio Berlinck -- Ja - SP

, 14 15

GinsioGinsio Estadual de Ja -Ja - SPColgio So Norberto - Ja - SPColgio Dante Alighieri- So Paulo - SP

Centff/'coEscola Preparatria de Cadetes do Exrcito - So Paulo - SPEscola Preparatria de Cadetes do Exrcito - Porto Alegre - RS

SuperiorAcademia Militar das Agulhas Negras -_ Resende - RJFaculdade de Filosofia, Cincias e Letras da Fundao Santo Andr - Santo

Andr - SPOrganizao Santamarense de Educao e Cultura - OSEC- - So Paulo -

SP (Especializao) 'Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo - PUC -_ So Paulo - SP

(Ps-Graduao)Instituto Metodista de Ensino Superior - IMS - So Bernardo do Cam-po - SP (Mestrado em Administrao)

So Paulo, 1995

JACOB DAGHLIAN

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Sistemos Dicotmicos

1.1 INTRODUO

O mundo em que vivemos apresenta situaes com dois estados apenas, quemutuamente se excluem, algumas das quais tabelamos a seguir:

1' 7' ' ' ' ' 77 7 ' 7 W" 77 7 ' ' l 77%' 7' ' 77" ' 77 F ,

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l Ligado ii Desligado o

H situaes como morno e tpido, diferentes tonalidades de vermelho etc. queno se apresentam como_ estritamente dicotmicas, ou seja, com dois estados ex-cludentes bem definidos.

A Lgica comeou a desenvolver-se com Aristteles (384-322 a.C.) e os an-tigos filsofos gregos passaram a usar em suas discusses sentenas enunciadas nasformas afirmativa e negativa, resultando assim grande simplificao e clareza, comefeito de grande valia em toda a Matemtica. Por volta de 1666, Gottfried WilhelmLeibniz (1646-1716) usou em vrios trabalhos o que chamou ca/cu/us rarr`0tr`nator,ou /og/'ca mathematca ou /ogrstca. Estas idias nunca foram teorizadas porLeibniz, porm seus escritos trazem a idia da Lgica Matemtica.

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No sculo XVIII, Leonhard Euler (1707-1783) introduziu a representaaogrfica das relaes entre sentenas ou proposies, mais tarde ampliada porJohn Venn (1834-1923), E. W. Veitch em 1952 e lVl. Karnaugh em 1953. Em1847, Augustus DeMorgan (1806-1871) publicou um tratado Forma//og/'c envol- 17

vendo-se em discusso pblica com o filsofo escocs William Hamilton (que nadatinha a ver com o matemtico William Rowan Hamilton), conhecido por sua aver-so Matemtica, o qual, entre outras coisas escreveu: A Matemtica congela eembota a mente; um excessivo estudo da Matemtica incapacita a mente para asenergias que a filosofia e a vida requerem. George Boole (1815-1864), ligado pelaamizade a Del\/lorgan, interessou-se pelo debate entre o filsofo e 0 matemtico,escrevendo The mathematfca ana/yss of /ogic (1848) em defesa de seu amigo;mais tarde publicou um livro sobre lgebra de Boole, chamado An investigar/'onof the laws of thought (1854) e em 1859 escreveu Treatse on dfferental equa-tions no qual discutiu o mtodo simblico geral. O trabalho de George Boole foiampliado por Lewis Carrol (1896), Whitehead (1898), Huntington (1904 e 1933),Sheffer (1913) e outros. Este perodo de desenvolvimento da Lgica culminoucom a publicao do Principfa mathematica por Alfred North-Whitehead (1861--1947) e Bertrand Russell (1872-1970), que representou grande ajuda paracompletar 0 programa sugerido por Leibniz, que visava dar uma base lgica paratoda a Matemtica.

A lgebra de_Boole, embora existindo h mais de cem anos, no teve qual-quer utilizao prtica at 1937, quando foi feita a primeira aplicao anlisede circuitos de rels por A. Nakashima, que no foi bem-sucedido, pois, ao invsde desenvolver a teoria j existente, tentou desenvolver a lgebra Booleana porconceitos prprios. Em 1938 Claude E. Shannon mostrou, em sua tese de mestra-do no Departamento de Engenharia Eltrica do MIT (Massachusetts Institute ofTechnology), a aplicao da Algebra de Boole na anlise de circuitos de rels,usando-a com rara elegncia, o que serviu de base para o desenvolvimento da teo-ria dos interruptores.

O assunto deste curso, ainda que elementar, visa mostrar as aplicaes dalgebra de Boole ou Algebra Lgica no s no processamento automtico de dados(computao), como tambm na automatizao da produo industrial, mediantea utilizao desta teoria aplicada aos fluidos.

1.2 INTERRUPTORES

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2. Desenhar os circuitos cujas ligaes so dadas pelas expresses:alr'(q+rlblm+(D"Q"r')]im+n+p+qdll'vl+("el, f. . f

fl lr+ql'lp'+q'lgl lD+ql(r>+q'+r'lhi(a+b-c)(a"b'+c')+a'b"c'i) p'[q'(s+r)+r's] +(q+p')-(rs'+s)

l Aten:'o: O leitor no deve passar s pginas seguintes sem que se sintaperfeitamente capaz e desembaraado nos dois tipos de exer-

po e os erros cometidos.ccios das seqncias acima. Tente de novo, marcando o tem- l

7 i"` 1.3 CONJUNTOS

Sejam a, b, c, conjuntos de pontos tomados num espao E dado. Na fi-gura abaixo, o retngulo o nosso espao E e as figuras internas so os conjuntos22 ' 8 a' 0 1 23

=f'vvzi,;(sv_~.v

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rf f s /r @H , __ a _ c ,l . . a' b ___ c ___. ,_E__ , ,

a _ b' c

l __ __a __b -___ c'__ _. . *

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Para dois conjuntos quaisquer a e b do universo 1 valem as igualdades:

Podemos verificar sua validade construindo os diagramas apropriados, porexemplo, pelos crculos de Euler ou diagramas de Venn. Outros resultados podem

0+00+11+01+1a+a'=

..- --Q oo -zo

a+b=a+0a+1

mU'_..-...

+ ID

m0Jm_..\...

1 a

ser obtidos para trs conjuntos quaisquer a, b e c.

19 Exemplo:

U'm__-C3

01

Mostrar mediante diagramas apropriados que:

Soluo:

`%_)

a+(

Cb

b'c)=(a+b)(a

..._1-

+c)

mC3U'Q-*CDGO

8

'-2.

is-2

l'li~i`..."'-7'-1'f'l.~*ii

ii

29 Exemplo:

; Soluo :

8+(b'Cl (a+b)(a+c)

Q 4Q F Cl l ID Cir Dr' + p'qr-

llustrar pelos cfrculos de Euler a expresso pr' + p'qr.

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m m ,ii lllli

a DF' '

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a b'c

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3P Exemplo:

C

O

i Dar a expressao da regio hachurada no diagrama:

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ilrrliiii llllljil lllilili viii,ll liliiliiir. rill .mi * "* '*'l ' .z (1.

4 l ;i,ll(ll 1 S0lU.'0=_ X V Z: + xr yr Z

24 a + b 3 + C

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EXERCCIOS

1. Desenhar os diagramas de Euler-Venn para mostrar:a)lJ+q'bl i1q'cl p'+icl (D'l'=P

1.4 Pnoeosioes ooChamamos conceito primitivo aquele conceito que aceitamos sem defini-

o. Enquadraremos neste caso o conceito de proposio G. D0|'30z 0300 def*niremos. Entretanto, nada impedeque conheamos suas qualidades, lembrandoque propos:"o uma sentena declarativa, afirmativa e que deve exprimir umpensamento de sentido completo, podendo ser escrita na forma Slmbvlw OU linguagem usual. Ento, so proposies:

a) tg -:L = 1

b)\/3q:1+2=3implica21

Observaes'

a) Quando for conveniente indicar que uma proposio composta P formada pelas proposies simples p, q, r,..., escreve-se:P (p, q, r, ...).

b) As proposies componentes de uma proposio composta podem ser,elas mesmas, proposies compostas. A

c) As proposies compostas .so`tambm chamadas frmulas proposi-crona/s.

lndicaremos o va/or lgico de uma proposio simples p, por V(p). Assim,se p verdadeira, V(p) = 1 e se p falsa, V(p) = 0. No caso de uma proposiocomposta P, indica-se por V(p). Nas proposis abaixo:

p: O sol verde. V(p) = 0.q: Um hexgono tem 9 diagonais. V(q) = 1.r: 2 raiz da equao xz + 3x - 4 = 0. V(r) = 0.

1.4.1 Princpios fundamentais da lgica matemtica

a) Princrjoio da No-contradio:

28 l

5'

T

bl Princiivio do Terceiro Excludo: bl P(p'q'f)Toda proposio ou s verdadeira ou s falsa, nunca ocorrendo um tercei-

ro caso. T T * " '. . _ - . - ~ P * q i f li 0 f

De acordo com esses principios, podemos afirmar que. toda proposiao K , 1: ___* 1ladmite umeum s dos va/ores 1,0. l ii 1 1; O z O * O i

. , . H - , , :__ ,W;_ 1

Chamam-se conectivos lgicos palavras ou expressoes que se usam para for- T 1 ii 1 f q 1. H . . ~ 1 .; li ij li l

mar novas proposioes, a partir de proposioes dadas. Damos abaixo algumas pro- 2 \ 0 0 1 i Qposies compostas por diferentes conectivos (grifados): T. . ...___ J r

P: O nmero 4 quadrado perfeito e o nmero 3 impar. l 3 0 1 l 0 *I pO: O tringulo ABC retngulo ou issceles. F" TFl: Se Joo estuda, ento sabe a matria. 1 4 1 0 1 1 il

U1 _.,e Oe ,ga, e ,1.o` ` f

_ rfffff 71.4.2 Tabela-verdade ir , "lr 6 i 1 o z 1 T qPelo Principio do Terceiro Excludo, toda proposio tem Vlp) = 1 ou F T.: 0. _ 7 . 1 1 E O

_ I'ff- i 1' Lf;i=f 0 fa11i11------1 ,.:.;i_ L- `, eu ll

i O sp1. 1 1 Apresentaremos, sem demonstrar, o seguinte teorema:

iil i

Nas composies, o valor lgico de qualquer proposio composta depende _ o nmero de proposies componentes.unicamente dos valores lgicos das proposies simples componentes, ficando por 1eles unvocamente determinado. Usaremos como meio auxiliar na construo das , itabelas-verdade o diagrama da rvore, que se v ao lado das tabelas._Na.situaao i Exemplos: atual, os nmeros que aparecem na primeira coluna tem apenas a finalidade de a) Dada pg n = 1 e a tabemverdade ter 21 = 2 unhas.indicar 0 nmero de linhas para cada exemplo apresentado. TT s bl Dada Plp,q), n = 2 e a tabela-verdade ter 22 = 4 linhas.

Para as proposies compostas, veremos que o nmero das componentes D cl Dada Plp,q,rl, n = 3 e a tabela-verdade ter 23 = 8 linhas.simples determina o nmero de linhas das tabelas-verdade. Exemplos: ~

oal Plp-ql exe Rc rciosl il `

_______Ff_____ O Q t. 1. Determinar o valor lgico (1 ou Ol de cada uma das seguintes proposies:_10 E O 1 al O nmero 11 primo. VlaN. O __..

TJO

fi .- i -_ Q- _ dl sec2 32 = 1 + tgz 32. V(d

lg \ \ bl senz 25 'T+ cos225 = 1. V(b)

i 3 *1 O 1 1 cl O hexaed ro regular tem 8 arestas. Vlcll

4 *T 1 1% q 1 , el ioga.-= 1. vie)

i Teorema: O nmero de linhas de uma tabe/a-verdade dado por 2", onde n

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f) loga1= 0. \/(f) zgi semi 30 + CQS2 30 = 2.h) senz g + cosz g = 1.i) log (2 3) = log 2 + log 3.j) Todo nmero divisvel por 5 termina em O.l) O par { x} igual a {x}.

Vlgl =Vlhl =Vll =Vlil =V zz

lO dl l-l l m 2 ~ *' '1:, ,,;;,' _ ~ mg Operooes Logicos sobreol cos(-xl = cosx. V(0) = . - ~vipi z ProposioesDl -2

Outras maneiras de exprimir uma negao! O valor lgico da disjuno inclusiva de duas proposies definido pelaNo e' verdade que Joo estudante. tabela-Vefdadei - falso que Joo estudante.

2.2 CONJUNO (.l

A conjuno de duas proposies p e q uma proposio verdadeira quandoV(p) f= V(q) = 1, e falsa nos demais casos, isto , s verdadeira quando ambas ascomponentes forem verdadeiras. Chamamos p 1 q a conjuno de p e q e l-se:np e qn'

L*

D 1iD+1O

_`O

.z O , 1

101_ Ei.---E. ee E

i ' ' 3. , 1;1=1,1

Ento dadas as proposies abaixo vem:O valor lgico da conjuno de duas proposies definido pela tabela- ' '-verdade: 1

to q=r'=i~ao oiol!ET

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4-;r;-cz. _ 1 _ . i

l1:1,; -- - - - - -

1111_. ___z;zlz__.zz..__z__ . V il

Ento, dadas as proposies abaixo, vem:

al pzsen = - i (1)1 q:cos0=1 (1)

Vl.p'ql =lbl r: |ogz2=1 (1)

s: 2.=2 (O)V(r s)=0

2.3 DISJUNO INCLUSIVA OU SOMA LGICA (+l

A disj'un'o de duas proposies p e q uma proposio falsa quandoV(p) = V(q) = 0 e verdadeira nos demais casos, ou seja, quando pelo menos umadas componentes verdadeira. Chamamos este conectivo disfuno inclusiva ousoma lgica; denotaremos a disjuno de p e q por p + Q. 8 l-S62 "D OU Q"-

l1olo^ \

Q

11

al p:Tr=3 (0)1: ~ J *` q:9-3?6 (1)

1 - ,- VlD+ql =1

0 110. bpz/

I)))l

-~./ul'-ui/~..'

l

l

--/-./\-/\-/

'\

)))_)

tt))i))l

l

ilJl

iJJ

O valor lgico da disjuno exclusiva definido pela tabela-verdade:,_ _

'U .Q

O Oii. _

EO

_)

1-J -aoO _.:

_-_

O

Ento, dadas as proposies abaixo, vem:

al p:rr2V(pql=1

bl p:tr 1 (ll-verdade: WP ** ql = 1

z bi r:/IT E 2 ioi p _) q- =i=/ > 1 iii

ca ci ni-'L Vip*->ql=0

Ento, dadas as proposies abaixo, vem: bl P T

'ff

O 1-ul

r__

1-Lzbunnl -o`c: Daremos de maneira breve a ordem de precedncia a ser observada entre asoperaes estudadas, que a seguinte:

al'

c)->al pztgg-=1 (1) d),.,_____,_

q:sen0=-'-O (1) ` _

VP _* ql = 1 a identificao da forma da proposio composta, conforme mostramos a seguir: 3Esta ordem de precedencia entre os conectivos tem a finalidade de permitir

Assim, p -- q _- r da forma bicondicional; a proposio p + q' -- q - r C) 3 > 2 ou sen90 > tg45. da forma condicional, ao passo que, p + lq' --> C1 ' rl composta por disjun- d) se l -1 I < O ento sen90 = 1.o. Portanto. a correta colocao de parnteses, quando for o caso, de extrema e) 3 > 1 _ 30 -.z 3_importncia. _ .P 1 f) 1; > 4 i 3 >

\/egl tgn = 1 se e somente se senrr = 0.

_ h) No verdade que 12 um nmero impar.EXERCICIOS ) (1 +1 = 2+-4+3=5)'.

, it jl (sen 0 = O ou1. Sejam as proposies p: Joo joga futebol e q: Joo joga tenis. Escrever na Iin-

guagem usual as seguintes proposies: 'A .5_ Sabendo que V(p) = 1 e V(q) = 0, determinar o valor lgico de cada uma dasa) p + q proposioeszbl ia Q al ia Q'cl iv q' bl r+q'dlr'q-r' t

fl lD+o'l-(rsl

hl [D-->lq' rl]il lr+larl1'-s' lP'+f) (p+_q)._r' bl lr+(r-rs

t cl lp' + lr

bl senrr = 0 e cosir = 0.

sl']4. Determinar o valor lgico de cada uma das seguintes proposies: dl [CI *_* lp' S

el3+2=7 e 5+5=1o llpHl+lq`_`>pl` fl lD**Cil'lr'-'--rs)

ll

ll'

ei lp - qq' + (r _). 5) V 8. Para que valores lgicos de p_e q se tem Vlp ql = Vlp ---.q)?

gn [D ___) (Q _ rn _ S z 9. Se V(p) = Vlql = 1 e V(rl = Vlsl = 0, determinar os valores lgicos das seguin-' , tes proposies:

fnffrwiwiiduiudw

il

OO

2l1

li

rll 9) {[Ci' ' lo - s'll'}'i lh i>'+la lr-s'll

il lD'+fl'_'*lq--*sll .

../-/--f~./

l

__)

)

il [D + lq-' sli' + lr-_s'lll Cl" lll"+Sl-_-lD-_->q'll

ml lP'_*l rl ' s, sabendo que Vlrl = 1.

Determinar os valores lgicos das proposies abaixo, justificando os casos em i 3

9) p -- (r + 5), sabendo que yr,-) = 1_ Para se construir a tabela-verdade de uma proposio composta dada, proce-h) lp 1 ql r, sabendo que V(q) = 1. de-se da seguinte maneira:) [lp '_-_ fll . p]__ pl' Sabend que Vlp) = 0' al determina-se o nmero de linhas da tabela-verdade que se quer consll D _* (Cl ' rl. sabendoque V(q) = O e Vlrl = 1. trur_

J bl observa-se a precedncia entre os conectivos, isto , determina-se a forma das proposies que ocorrem no problema; ') . . _ .. .. . . . _c) aplicam-se as definioes das operaoes logicas que o problema exigir.

ll) .

)il r-- -rf ~ -I' I' fl') e ~ - -i ij ` . 1

)

l i. z _ ___ i-__ illll

Vejamos alguns exemplos: .

19 Exemplo:Construir a tabela-verdade da proposio: P(p,q) = (p q')'.

Soluo : J

~ p 11

e, para todas as linhas da tabela-verdade, vem:

P(00,01,10,11l =

O conjunto V = {00,01,10,11} o conjunto de todos os valores possiveis ~de serem assumidos pelas proposies componentes de PlP.Cll e, considerando que *a cada elemento de V corresponde um e somente um dos valores de {0,1}, dire- 1 -mos que

Pieeiz v -~ {0.1}. - lou seja, a tabela-verdade de P(p,q) uma aplicao de V em {0,1}. O mesmo se d A z l T 1com proposies compostas por um nmero maior de proposies componentes. S 5 l

29 Exemplo:Construir a tabela-verdade da proposio

Hmw=%o'm"+m**pY. ` 1 iSoluo:

39 Exemplo:Construir a tabela-verdade da proposio:

1101.A Hmmd=D+r~*q'f.

Soluo :

lp T" + I q r r p r q r p+r -->q rser - -~~~ fr f ~f Cl ' 'l _____ __L _ _ __ _ _

----c>oc:c:> --~oo--oo --*CJ-O-*O-*O CD-*O-*O-*O-H _;-......_\@...@_ O--IOQO-*OO @...@@.-.........\

O

-. L _l____ zz zzzzz __ _ _ _ _ _ _ r

No caso de trs proposies componentes, temos:i

O Pl000l = Pl100l =O O'P Q pq mqY arco lqttm' w'qY+h**DYlO Pioo1i= Piio1i=-A O

-*OOO Q.-aa.-a-.L -\@@-.L

___ _|_ _ __ __1-uinq _!-lu-rm

V, P(010l = P(110l =P011l=1 Pl111l=

V, P(000,001,010,011,100,101,110,111) = 01110010.l

O ui-I d ni-

1 1 i il __O OC

@-A o_\

T "J"`" Fazendo V = {000,001,010,011,100,101,110,111}, ou seja, V o conjunprocedendo de manea anwga ao exempm anteor' temos: toxde todos os valores possiveis de serem assumidos pelas proposioes componen

P(00l =Pl01l =P(10l =P(11l == @..s...-s Q

H outros mtodos para construo de tabelas-verdade, porm nos restrin- f p(p'q) = ip __> q) . (q _, r) _, (D ___., r _40 giremos ao mtodo utilizado nos exemplos dados. _ ' P '

tes de P(p,q,rl, mediante raciocinio anlogo ao caso de P(p,q), temos:

HmmdW-*{Q0-

Ento, a tabela-verdade de P(p,q,rl uma aplicao de V em {0,1}.ou P(00,01,1 0,1 1) = 1110.

49 Exemplo:

~.../uId'dd~dul-/..

`i,l

O

/J'

\./\/\f\I"\-'

))

_ )Eno, determinar P(O0,01,10,11) consiste em construir a tabela verdade para a _ V P _ __proposio dada e responder na forma indicada nos exemplos dados. Cn5tr" a tabla`l'e'dade da p"p5'a-

l 41ll

IIIQSoluao.

F _ __ _ ___ .__ __ __ _ __ __ _ _. _zzzz M1

rf 1 1 i

-/..../\uf'rud-./

i-i

P fi ',f**."*frr>rP+qdl is'--li-ilel ln-'>ql-~iqfl ai*-+ai" iasl li+-:i'l--ri+i=hl lrDl--+lD--rldl lp--rl--lD'-r'l

Dizer quais as proposies que satisfazem s tabelas verdade abaixo

? bl 7 cl ?Qi

1 e V(q) = Vlsl = 0 determinar o valor logico de

Bariri Brp--*ri BIG*-*Ppr-ra C=r'--*ri C=i>p D:p'q D:p'q'nenhuma delas. E: nenhuma delas. E: nenhuma delas.

8 Determinar as proposies compostas por conjuno que satisfazem a cada uma sdas tabelas verdade indicadas.

l

--ioo

L p ,ql A l B C W D E _

CD

CD

_.

._.._. QI- -*-eCD -eCDC3 _(3_.-l CD _ 1CD _; Li

9 Determinar as proposies compostas por disjuno que satisfazem a cada umadas tabelas verdade indicadas.

_ _ JI' '' ' '7"____ __ __,iun, ' ' LY

+- l 1

P ___ __ _-+- L ___ zi ___ --

Al B i C*___

_;-ih@3 __4____lF _;Q-L3_Q C)._-s_; CDCDCD-^

_A-4i...z

-.L-.ni-.L@

...@...

CD-*CDCDl_ 1 _i______ .___ _ _

xlL___

10 Determinar as proposies compostas por condicional que satisfazem a cadauma das tabelas verdade indicadas.

"notre ff r rf* i 1

PT

Q

_-AQQ -.@...@ O__;-A...abir_-__-

CDCDCD-eLie-1._

._-A_;@ CD-4CDCD -li-@-a

p +q Ap +q' A;p-- q 11. Determinar quais das seguintes proposioes so tautologias, contradioes oucontingncias:alD'_*(D'_'>qlbl p'+q-*lp-*~>qlel na->lq_>lq-*rolldl (lp-rol*-*ql-rnel i+

i

nl

l

il

))X

fl

-...\-/\./~../_/

l

)

ll

))

\

l

)i 1

1

fl\ll

\l

)

J) 46 i

J l

Reloes de lmplicoo e del

I A 0qu|vo|enc|o

O estudo das relaes de implicao e de equivalncia, de grande importn-cia na Lgica, ser feito de maneira suscinta, como convm ao nosso estudo. Antes,porm, definiremos alguns conceitos introdutrios.

4.1 DEFINIES

a) Duas proposioes sao ditas independentes quando, em suas tabelas-verdade,ocorrem as quatro alternativas. L

Exemplo:_

ne]

-=`OC>m...

bl Dizemos que duas proposies so dependentes quando, em* suas tabelas-verda-de, uma ou mais alternativas no ocorrem.

Exemplo:1 ff* '_ 'ff *___ *_ *mf 7 _

. po q p__

--*O-IO -s-..@..-1

No ocorre a alternativa 10l entrepeq->p.

I.__s__JL_...- "lr _Neste caso, dizemos que existe uma relao entre as proposies p e q --> p.

Examinaremos as relaes simples (quando uma alternativa no ocorre) e as rela-es duplas (quando duas alternativas no ocorrem).

4.2 RELAO DE IMPLICAO

Diz-se que uma proposio p implica uma proposio q quando, em suas ta-belas-verdade, no ocorre 10 (nessa ordem!).

Nota:'o: p -i> q.

Observaao importante: `No confundir os smbolos --> e -L->, pois, enquanto o primeiro re-presenta uma operaao entre proposies dando origem a uma nova pro-posio. o segundo_ indica apenas uma relao entre duas proposiesdadas.

Exemplo: Verificar se piq --> p.

Soluo:3 Q r fl-.

31. '__

1

---*Q

Comparando as tabelas-verdade p e q -~ p, verificamos que no ocorre 10(nessa ordemll numa mesma linha. Portanto: p q -- p. . `

4.3 RELAO DE EQUIVALNCIA

Diz-se que uma proposio p equivalente a uma proposio q quando, emsuas tabelas-verdade, no ocorrem 10 nem 07.

Natao p q Leis comutativas:al D + Q :> fi + D.

Observaco importante b) p _ q q _ p.

emplo Verificar se p q (p + q

uop+q ln +ril

_ _ -L . L* L-

CD--*O OOC3 @-..... _@_|. ..-......... DOO--*CDO

Vale para os simbolos

Destas tabelas tiramos as seguintes equivalncias notveis:Leis distributivasalp lli> ql+(p lblp+m rM%=$%p+qllp+n

E I q+r lq+r) E'O zz..i

lp -- ql i> iq' --> D'liq _> pl ln' --> Ci').

4 5 PROPRIEDADESo

Tca o o

--_...

nf O O O O

A condio necessria e suficiente para que p > q que o condicionalp - q seja uma tautologia.CDO

O n_I -nl C)

QDO DOO CJOCD\...../ O zin-L --o ._.i_ xlanl OC)

1___

Demonstrao:

lu-lnnl --oo -*O--IO ..-....@..._. ql -- (p -1-I- ql.Se p > q, no ocorre 10, logo o condicional p _- q uma tautolo-gia.A condio suficiente: (p -L- q) _- (p > ql.Se p -T- q, no ocorre em sua tabela-verdade a alternativa 10; logo,p "-"'---> q. - c.q.d.

bl A condio necessria e suficiente para que p i> q que p q seja umatautologia.p-Hi D-- Qblq--+0'c p--qdlq'+i2>elo Q

b q -- p (contrapositivo)c) q -- p (reciproca do condicional)d p' --> q (reciproca do contrapositivol

L _ E qn-me-->p ri---ip--=i Mostrar que:a) q _ p --- qbl ql=>i'=i-rC Dq' no implica p'-- q'd) pno implica p ' qel D+Q=l$p--oo -~o--c:i o:--- cado-

__ _ _ 7 77 f _ _p

Verificar mediante tabelas-verdade as seguintes equivalncias:z i+''i=+f,bi (lp ' q'l'l' ) p ' 'C) f'f'>I"

dli='i'+i'q'IPi) i:iJ'fli>-"'*'miip.-ql+lD-->fll>'f'-"'*fl'

Dada; as proposies abaixo, escrever as proposies equivalentes usando asequivalncias notveis indicadas.al Dupla ne93

(lp +1l'l'lli" q'l'l'P ' Q

bl Leis idempotentes:P' +

5Argumento \/dl ido

51 DEFINIO i

Chama-se argumento vlido toda seqncia de proposies pj , pz, .. ., pn+1 .n E N, na qual sempre queas premisms pj, p, , ..., pn so verdadeiras a conclusopn+1 tambm verdade e tal que a conjuno das n primeiras implica a ltima,

P1'

Ento, para testar a validade de um argumento, procede-se da seguinte ma-

) al constri-se a tabela-verdade de pj pz p3 ' - pn;) tb) constri-se a tabela-verdade de pn+1 ; V) Cl comparam-se as tabelas: se na mesma linha ocorrer 10 (nesta ordemll,

no h implicao (m) e o argumento falho; se na mesma linhal no ocorrer 10, haver implicao (il e o argumento vl ido.

Observao.

A seqncia das proposies pode apresentar-se nas seguintes formas:

P1P2Pa'

DnDn+1

P2 ' Pa ' ' Dn > Pn+1i I

p1rp2rp3r 'rpr pI'II'1

19 Exemplo:

Testar a validade do argumento: p ~-- q , q, p-

Soluo:

Temos: p:p--ql323Cl VP330

` Devemos verificar se nas condies da definio, pl pg > p3, isto :

lp ~~> fil 'Q D?

Procedendo conforme o critrio j estabelecido, temos:

u Q lp-:lol Q l-ig;-ql-ql P

|_ 1___ o|

-*O-*O -.\@.-..n...... _@_@ _\@ _..Q

` Na 29 linha, as premissas so verdadeiras e a concluso falsa.Na 4% linha, as premissas e a concluso so verdadeiras.A 2? linha contradiz a definio de validade: sempre que as premissas so

verdadeiras, a concluso deve ser verdadeira. Ocorre 10. Portanto, (p-ql. qgpe o argumento falho. _

` O leitor deve ter notado na tabela a repetio da coluna correspondente ltima proposio da seqncia p , para evitar que, na verificao da ocorrnciaou no, numa mesma linha, dos valores 10, no se incorra em erro, verificando aimplicao:

i@ii--ii-qem vez de verificar:

lo _ ql ' Q $> o

que seria a forma correta.

2.0 Exemplo: ~

Testar a validade do argumento:

p+qpl'

. . q

Soluo:

Devemos verificar se nas condies da denio:

lD+Cll' D'>q -

Construindoas tabelas-verdade correspondentes, temos:

ri ci p'Z_i+q lr+nli'

--oo ._o-.@ @@_\....... -._\_@ OO-*O -.s@_@

Neste argumento, somente a 29 linha tem ambas as premissas verdadeiras.Como a concluso tambm verdadeira, no ocorre 10. Portanto. (p+q) - p' => qe o argumento vlido.

5.2 REGRAS DE iNi=ERENciAAs regras de inferncia so argumentos vlidos (simples).

Unio (U):

a implicao: D ' q 1) p '_ q.

Modus Ponens (MP):

P * qi P56 ----E---. a implicao: (p -_ q) ' p > q.

Modus Tollens (MT):

D -r Ci . fi'

1l

--T-. a implicao: (p -~~ ql ' q' > p'. sl

Adio (Al:D - . _ ...__..__ . E a implicaaoz > + .D ,q ri D Ci

l`i\l.

\i

Simplificao IS): )

p q E a implicao: p q > p.

Silogismo Hipottico (SH):p-H'q|qr. rzz. . a implicao: (p -- q) (q _ r) 1) p -_ ,-_

Silogismo Disjuntivo (SD):D + CI. D

lIII

l

))

\iiI

--q-_. a implicao: (p +q) - p' > q. )

Regras do Bicondicional (BIC):

al D ~ pqiq p a implicao: (p-- q) - (q --p) ip -- q.

. p-q _ _ _ _ _bl fpzzz za zzz E a implicaao. p-q ---> (p-q) (q-p).

Dilema Construtivo (DC):Pi* . """'* i 'I' . _ ..r q~zrz sz . a implicaao: (p -- q) (r - s) - (p + r) =>+q S ---_->q+s.

Dilema Destrutivo (DD):D--Hi. r---s. q'+s')*ef b._, se - a implicao: lp -- ql - lr _- sl -, i

" IQ' + s'l r"""'i> p' + r' ` 57l

ll

iI.

\...\./\..-./:._\

Ji

l

i/l

l

l

J

l

J'

i

l

l

)3

li

Dupla Negao (DN): I

Regra da Absoro (RA):

i-i----5 a implicao: p q f_-> p (p qi-->lr'q

) Simplificao Disjuntiva (S+):

J.I

\-/\/\-/\J

)) .ril

\-/"f'\-i/x..

CDCD-e

-.._-...ro O_....|.._ O-o-

i

l i

i ea _ L ___ _ _ __i

,z\_.\_zxw-\_\_vlhr'\_

-*OO

....@.....@58 t

l l D . . ..pp ou (p,),. a implicaao: (p'l':;> p ou p > (p')'_

p+r: ' . . ...I-----E---. E a implicaao: (p+r) - (p+r') > p.

EXE RCCIOS

1. Testar a validade dos seguintes argumentos:llll*-_>Q' blt--r,r',t+5,5

p+q'ii

_---_.;-1.____._....

2. Dados os conjuntos de valores lgicos:

iAi I' iai I* ici ioi

CD

qual deles torna o seguinte argumento vlido?

_ Jl

i T f' f 'f f *fea-

D j Q l premssal premissa ji concluso

HJ

___)

.7?

ici -I-I-nl?

._

? iO Ozz _ _l z z _ i __ Z l

3. Dado o argumento: I

P* l"i YPTTTP . l W" E *CL, p * q 1 premissa premissa conclusao (l .ii __ ~ __ . .___ zz ~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~z. zi1 z l

I ?? iii 1 i?

1 1 1 ? `

_...oo --*O--*O __.......@ o--oll__ w____ l _- l l __ _

qual dos conjuntos de valores lgicos abaixo torna esse argumento vlido?

.iAi 1 iaiz icil ioii-me 7 ' 1* ff ___ 4l.i~ff '___ fff ___ 4).

_.(3Q;_;

4. Mediante o uso de tabelas-verdade, testar a validade dos argumentos:

al ri --- D, Tlr'l'ii

bl D--~q'p+qi (b +c), b -~>a', a'.

el (n+ql'.i1i->r.iJ+liD'->=il.

bl f-f->lb+dl(i:+;ii'

f.

ci lp ' q'l +lq - r')lp ' q'l'q'r'

dld'(a+b'la+b'

e) r'--+5'ls'l' `r

fl la bl'c--->a

6.

labl' lc-->a)

gl b-c(b->c)+d'

hl a_->b'A b'-->c

a--->c

i) (ai b) +c'(a ' b)+c--_.--.__-..

ab

il a-->lb--c)3

iz--i zll (a --~>c) + (d +9)

ld+el'a--c

llo +il'l' _r' .-

` l- I'nla c

6 ' T 61

ol la' *ut b'l + cl' -"-* b'l'

C

Dis'-"->lt'rl }lt'rl

s l

Completar cada um dos seguintes argumentos validosal lr ' Dl "tm Q'

lq'l'?

bl a---*lb-->c)?af

cl la' b'l +(b ' c'l?

ab'd) (ar ___* br): +

C:

?

e) a>(bc)?

a_-rd'

ml f"""-*liD+ql' ,i'

._ i

*-_./\i-/\./'N-'

..-/\u/\-/\nu/

61 PROVA DIRETA -

Diz-se que uma proposio q formalmente dedutvel (conseqncia) de scertas proposies dadas (premissas) quando e somente quando for possivel for- 4mar uma seqncia de proposies pj, pg, p3, pn de tal modo que: ` `i

al Dn exatamente qq; s

E bl para qualquer valor de i (i = 1, 2,3, nl. Di ou uma das_premissas f Provar r + SI dadas as premissas:J ou constitui a concluso de um argumento vlido formado a partir I- S ' Q

das proposies que a precedem na seqncia.

Escreve-se

P1 `) P2 _

pf ou iz.rz.i>z...-.Dn-1 l Pnlql-

Pn-1 -Pnlll i

A proposio q no caso de ser formalmente dedutvel chama-se teorema e a ,seqncia formada chama-se prova ou demonstrao do teorema. 1*

5- --cl). . ou seia. q '""~> lq'l' 63Vejamos alguns exemplos: zj* q

_ 19 Exemplo:

Provar s' dadas as premissas:

2. t --- q'

Demonstrao:

) 6 ` 3. q' z s'

Tecnicos Dedutivos9"P9!Z"" m`.Q_.Q`1*"'

f|`-os

Justificao da passagem 4:

'I -_* Q'. I. '

' 29 Exemplo:

2.t--q'3. t'---r.

_._.._._;-__:_____.____.._>_...

Demonstrao:

`l95$:"'$''-'

.rali-*m'a\di4ui..-i..__.__z__.i.x...__

FfU!

_I .D

.D

O0 r`:`_Qr-1;+_:m5

.Lfbliihi'i:iei.litixA'1..'4f_u..zo|'..siefm4.-ir.--

`

Justificao das passagens:

4. ,ou seja,s 'q;>q

premissapremissapremissaModus Ponens, 1 e 2Modus Ponens, 3 e 4c.q.d.

ou seja, (t --- q') - t > q', conforme se pode verificarq pela lista das regras de inferncia

premissapremissapremissas,1DN,4MT,2 e 5MP,,3 e 6A, 7c.q.d.

39 ExemPIo:

.,_ _1

I I

t ")' q r ) ir 1 l Im)6. ----;-_- , ou seja, (t--q) - (q) _) tz Inicialmente, por razes de convenincia, passemos as proposies dadas (

:.- - ,-za _ ara a forma simblica. Nosso roblema reduzir-se- ao se uinte:P 9 )t' . ri tt fd'7. -_-r-- , ou seja, lt -- rl t' > r. Provar a dadas as premissas:

Ir v s!8- --~. . OU Seia. r -> r + s.r + 5 z-*-. ii

.'-:-_ _- 'E-5

Na indicao das regras de inferncia utilizadas na demonstrao de um teo-rema, MP 3 e 6 significam que a regra Modus Ponens foi aplicada entre as propo-sies de n95 3 e 6 da seqncia, o mesmo ocorrendo com as demais abreviaes. I* 'l

_: __;V 1;;

._ I'

Observaes: 1-i. '-- I '

al Qualquer tautologia pode ser incluida na seqncia aps qualquer proposio i4

j colocada. ' I _!=i

De fato, seja oi uma proposio qualquer j escrita na seqncia e B uma tau-' 1:. -...J4....T.-115'

tologia. claro que o argumento ido, pois: seiQ\ oi, ento, seguindo-se a oi pode-se colocar B. _ _`_."_._

X __.-_

De fato, sendo B > oi, temos: B oi. Logo, ii oi pode entrar na \. ._ .('24--a __

seqncia por ser uma tautologia. Mas, -z-E--B-. Logo, or -B pode ser inclui-

da na seqncia. E, finalmente, pode-se escrever B pela regra do Modus Ponens..v`

...~_ 11-..

-.

Provar x = O dadas as seguintes premissas:

l, ` _; _ .gil. A 1

1. a'-_>b2. b i>c3. c'

Demonstrao :a'->b V

535-"':"'$^!I'^ nicr

'oobn*-eo

MT, 2 e 3(a')' MT,1 e 4

DN, 5c.q.d.

49 Exemplo:

Provar a dadas as premissas:

:P'9!`:-* 'I

a'>cc--rm'm+r i

Demonstrao:. a' --> c

opoin5.n.i>wio-

3"C'U'U`C1

. c -->m'

. m +r

. r'SD, 3e4

(m'l' DN, 5_ c' MT,2e6

(a')' MT,1 e 7_ a DN,8

c.q.d.

6.2 PROVA coNoicioNAi.1_ X ; 0' ento' X = Y H Seja provar cr--(i dadas as premissas p, , pz , p3, .:. , pn. Fazendo aconjun2_ X z V, ento, X = Z ao das premissas igual a P, trata-se de mostrar que valido o argumento' P 1+-3. se z _ l oz --[i, isto : -:g__-;-B-. Trata-se de validar esse argumento. Ocorrendo a 65

~L1..

, lC D

) I

_ -rvalidade, temos: P -T (oz -*Bi ou P ---> (oi *->). A letra grega 1' SODFB 0si'mbolo do condicional indica tratar-se de uma tautologia.

Princpio da Exportacao

Para mostrar este princi'pio utilizaremos a equivalncia notvel : p -->q p' + q. Ento, temos:

P-ll+ur-+5)=>e+4a-wnP~+m~+mb dadas as premissas:1. 3+]--+92. j___(gr.hr)

I a+b

Demonstrao :1. 3 +j'-->g p2- lg' ' l'I') p3. j+b p4. a g pp5. 3 +j A' 4

A9 Meias7- ""`*(9 *hr EquivaIncia,2&9+h As9- [(9 + h)']' DN' 8'Ui' ~~Mr7z91Lb soseio12.a-->b PC,4a11

c.q.d.

6.3 PROVA BICONDICIONALI

A r va ' ~ . .. .p o de um argumento cuia conclusao e uma proposiao da forma bicon-erlslfzlalsa 5; semelhante a prova condicional, com a diferenca de que feita

partes istintas. Entao, dada uma proposio Q -- 5, prme,-O prova-se oz - ' _ __, . .memo ez 3 5e9uir, PTOVG 59 5 oi, concluindo-se pela validade do argu-

ExemploProvar a la' --> oz) (Principio da Exportao)

Ora, essa ltima proposioconstitui uma tautologia se ocorrer a seguinteimplicao:

P > la' --Hx), isto ,Pi-- oi'--*croi' -->cr (a')' +ai>oz +a oi.'.Pi--a e P' a'i--oi

Ento, para mostrar a validade de um argumento por prova ou demonstra- )o indireta, introduz-se a negao da conciuso como premissa provisria e de-duz-se uma contradio (por exemplo: q ' q'). '

19 Exemplo:

Provar r dadas as premissas:

-_ _.. ~z~ -zz -~ - = 1.p'--~r2. r' _->q3. lo ' ql'

Demonstrao:

.p'--->r

-.... .*Pf~9."P91:'>$!-''-'U`--.-_-_-,_Q--1___.-..--;__""'+

QE

UTDI__q

ql' pPDMP, 2e4De Morgan, 3DN, 5SD, 68 7MP,1e8

Prova indireta de 4 a 10c.q.d.

1'C'1d'~fuf~f~./~..~..

..z\ur\ur\I\dlV'-/

\...\-\|v\-f

u,4e9 )

Observao: _. l n + 1' Ip __* q. ... . , n + 2. (p' + q)' Equivalncia (n +1). t contradi ao r ' r par Pf0V3" f P' ~ 'Da mesma forma como encon ramos a I n + 3 p _ q, De Morgan (n + 2)

~_.

l' pp

deremos encontrar a contradio q q' para provar p', como verem0S HO BemP 0 n + 4' S ( 3)_ , ,_ .. da -D ,n+ocurada ode envolver ou nao a n'\Sm3 letra _,a seguir. Isto e, a contradiao pr p . n + 5. q S' (n + 3)proposio a ser provada.

29 Exemplo:

Provar p' dadas as premissas:l

r

$'!:" .o-o_o

-1

1+ "

\ ~

Demonstraao:

'9I`*'9'*9":'*$^!'." 'c:i__.o1::__..'o5-.D'D-D__Q___l+

aq.' -1

"'I'

6.5 PROVA INDIRETA DA FORMA CONDICIONAL ") -1. Provar t' dadas as premissas:

'U'U`O

DPDN,4MP,2e5SD,1e~6U,3e7Pl,4a8c.q.d.

.; ri. .I _''I

15 '_~ .

...~

ll

. - - = E ndicio-Para provar a validade de um argumento cuja conclusao e da ffm 0 ._ 1 p ___) S' remis- 1 ` 'nal (p --> q) mediante a demonstrao indireta, usamos (P "_* Q) m P

Exemplo: .

Provar r --.+ q' dadas as premissas1. r'+s'2. q-->s

Demonstrao.:

.5.==s=:~'s==s.=~s~i>:-.o.o.o`f_-;:3~.o_l-L~fir:n__U.EXE RCCIOS

. .. . . .. '- 4 2. D ' CISa provisria (ppl. a seguir lp' + ql iwf eqivalsi E (P ' Q l $9'"d 5 dm' 3. 5 - r -- r'p, q'. Na prtica, comeamos pela hiptese (H) e pela negao da GSE IT) m premissas provisrias:

H T

Provar: P "'*"*I Q

W 1.2.

I'4'

P 70 kn..

-.' .'= .'` .':'\_ ._._ ' - .i- ';_z'.-- za,'_ r_.- -

4. q ---> r2. Provar s dadas as premissas:

1. t --> r2. r'3. t+s

3. Provar t s dadas as premissas:1. e--*s

. 2. :'-j'3.e'j 7I

PDDDDPDN,3SD,1e5MT,6e2DN,4U,8e7Pl,3a9

c.q.d

Provar s dadas as premissas: 11- PfV3f ' dadas 35 Pfem'5535 )1- P-_-*Q'f2.p3.t-->q'4. t+s

Provar r + s' dadas as premissas:1. s'q2.t>q'3. t'--->r

Provar x + y = 5 dadas as premissas:1. 3+y=i1--'3=92. (3=9--+3+y=11)y=23. y=f=2 ou +y=5

Utilizando a demonstrao condicional:

Provar a - h dadas as premissas:1. a+f--->g.2-i-->9'h'3.]

Provar t + s' --> r dadas as premissas:1. r' -+ q2. t' 13. s' --> q'

Provar q' --> t dadas as premissas:1. s ---> r2. s+pi3.i--*Q4. r-rt

Utilizando a demonstrao indireta:

Provary = 2---> x =y dadas as premissas1. #=y--->>y ou y>2.ya'=2 ou =2 E3. x>y ou y>x-_>#=2

L -'IL z_`_-fi ,,..:I_ " _' _.

_-_ .s

-z'_-`-7.' :_

,___ -

_ __- i"__-'J _;

5,.-_ . ._ -_; T_ __ -___ f,. ___=, _--. -_:- * _

_ n` E__

_*

-. =:-um-z=_z .z.'-

__ J'_.~_ .

.

1. t-->s2.f-->t3. s+f

Provar e + m dadas as premissas1. s+r2. s--->e'3. r-->m

Provar (t + sl dadas as premissas1. r'+b' )2. t+s-->r3. b+s4. t'

Utilizando a demonstrao indireta do condicional

Provar p -> q dadas as premissas1. lr_>-i +r2. s+t-->r'3.s+(t

Provar p ---> q dadas as premissas1. p ---> q + r2. r'

. .Provar p ---> s dadas as premissas1. lp--*ci + r S2.q )

Utilizando um mtodo dedutrvo de sua escolha

Provar p _-> q dadas as premissas1- P ' q '""`* V' 'I' 5' 12. r ' s

Provar p --> r' dadas as premissas1.r+

I31

'i_.|

3i

c_/"u|/\_/\..z---/\i/\-.|/--/

J

))3);_

))

i.

))

__.

)))

JiJ

Provar s' dadas as premissas:1. p+q2. s--->p'3. (q+r)'

Provar s' dadas as premissas:1. (p---*ql-"-* lr ' S_>tl2. D ---> q ' r.3.r

Provar 2x = 12 --* V = 4 dadas as premissas:1. 2+3y=24 ,2. (=6--y=4) ou 2=12

3. (2=12-->=6) ou 2x+3y244. a'=6

Verificar, mediante as regras de inferncia, a validade dos seguintes argumen-OS I

Nas demonstraes abaixo, justificar as passagens indicadas.

al 1.234

(D@"~IO)J1

b)123456

- r ral (se),e -_->g,s--->gbl S-_*i1.D~_-:*lw+il.s'w'.icl a-*u.u'+lb'i'l.b-+a.li"ta'l'+b.i*-'"* H'

p_>ir__i_+ql

'lp' +5pf S

|_QO cn

i_>e"

PP

'l' 0

c.q.d

D(er: sr): _ p

I P8+$ef

S _c.q.d.

1

fr ;

.ss ._ . __

JT `.i. F'

_ 1.-

4'

-'_ : ar' _.

_ 1.~ .r .=

' .a.f_!`

1234

~ii===.1011121314

12

'5cogo-io:u1.i>w

1234

o~.icnui

12345.678.

a--->(b--->cl(cd)*_>ef*_*lb'd)lf"+a')'

U`U'l'DU'-""*

.I

O

cdc'de

lp' i'l +(q r')D-*Ss'+t

_gz----mf-i-b

`U`UU'U

c.q.d

'O'U'O'U

c.q.dPDPD

c.q.d.D _.

PP

Ehi

i)1.a--'>(b"'"*Cl p2.(a-dl+l"l p

9. d10. b11. a

b'-->a'b-*~>(c+d)

l= el

c.q.d.

c.q.d.

c.q.d.

c.q.d

-

-4

I.

z

- 1-. 11'i_, ,.. _ _-

--.=. 5-

% 1* '* Y.-LT* "

` Irr '-

:' "I` - ':__ \_'*'

z. 'fl1.-..'"

7Fluxogromos

_ O fluxograma constitui um mtodo alternativo para as tabelas-verdade naverificao da validade de um argumento, no qual se ilustra o raciocinio utilizado.

Neste mtodo, para verificao da validade de um argumento ou prova deum teorema, procede-se da seguinte maneira:

1. consideram-se as premissas verdadeiras;

2. aplicam-se as definies dos conectivos lgicos para determinar ovalor lgico da concluso que dever ser a verdade (1), para que oargumento seja vlido ou o teorema provado;

Caso ocorram situaes em que no se possa determinar o valor lgi-co da concluso, ou em que O = 1 (contradio), o argumento falho.

O teste de validade de argumentos ou prova de teoremas mediante o uso dofluxograma pode ser feito pelo mtodo direto ou indireto, obedecendo s particu-laridades de cada uma das tcnicas dedutivas j estudadas.

Vejamos alguns exemplos.

19 Exemplo:

Provar p' dadas as premissas:1-D-*fi

2. q'

~./;d"'|l,.._f'__-..

1

_)

l/l

1_)

\ll

\J l

'lJi

/l

I

c.../wi/'*\l\-/~/~_

.../\\`Inn/

Solu30: '

z-

. l r' 1 I

Justificao' _

. Consideramos as premissas verdadeiras fazendo p -* Q = 1 0 Q' = 1-2. Como q' = 1, pela negao temos: q = 0. 13. Levandoq =0em p--->q =1.tem0SiP'_*0=l-4. Pela definio de condicional p --~> 0 = 1 se e somente se P = 0- A5. Como p = 0, temos p' = 1, o que mostra ser vlido o argumento, pois

premissas verdadeiras conduzem a uma concluso verdadeira.

1

2 Exemplo:Testar a validade do argumento: O

Soluo

..'....:.a-_-.

.

LJ...L

Soluo

._ a_______b'_aI'b! _

1- 2.

- 78 - _

1 2._ 3._ 4.. 5.

_ 6.

Jusziffca-. Consideramos as premissas verdadeiras fazendo a -*> b -I-' 1 e a' = 1,. Como a' = 1, pela negao, a = 0..Levandoa =0em a--b = 1, temos:0 b= 1._ No podemos concluir se b verdadeira ou falsa, pois, pela definio

de d00a|. '-'* 1 = 1 6 0 -_* O = 1. Se b pode ser verdadeiraou falsa, ento a concluso b' pode tambm ser .verdadeira ou falsa e,portanto, o argumento falho. _

39 Exemplo:Provar q' dadas as premissas:

I. p + q'2. p--*r3. r'

_ W '__I; *rf

1

Justificao .'

Consideramos as premissas verdadeiras, fazendo p +q'= 1, p --> r = 1 er' = 1.Como r' = 1, por negao temos: r = 0.Levando r=0emp--->r=1,temos:p--> 0= 1.Pela definio de condicional p --+ O = 1 se e somente se p = 0.Fazendo p = 0 na premissa p + q' = 1, temos: O + q' = 1, .Pela definio de disjuno O + q' = 1 somente se q' = 1. Portanto, oargumento vlido.

49 Exemplo:Testar a validade do argumento:

DTCI. p+q

Soluo :

3.'

4.

5.

Justificao: r

.P

2. I D=1 I q=1

l

O

*~ I |

D+0 =1

pi

__ l_-1

1. Consideremos as premissas verdadeiras, fazendo p + q = 1 e p + q' = 12. Pela definio de disjuno, se p + q = 1, ento p = 1 ou q = 1. Se p =

= 1, o argumento vlido, pois premissas verdadeiras levam a umaconcluso verdadeira.

3-' 59 Cl = 1. substituindo na premissa p + q' = 1, temos: p + ,1' = 14. Pela negao, temos: p + O = 1.5. Pela definio de disjuno, p + O = 1 somente se p = 1. Portanto, o

argumento vlido, pois premissas verdadeiras levam a uma conclui- so verdadeira.

59 Exemplo:Testar a validade do argumento

i->:1

OI

I' (p+q)n

1.

,.1.*:L

.*'.i*':'1.

J

i5s

".'9-uiu

.``

ii-nv

_ Q ~ 1.E Ii ,; -1;_ I. _

_ ___'

.-.'L i

ni-,__

_ }_rc. 1- "

-ar ` _1. :_4

i*if

'16=i.VT P.-8

'-'z A,

.r U*

l

-2I

fi:

|;` .T -ITQ: I,Z 'Tj _5.., __

-' -S -z'. * .V- J_ _...-_i*._~

'- - 1,

ff: 'I. . .-.

--.','_._ ;_. .

iizrilnsrm1

....--I-P zea '

. na _. ~- f-'im _

"=;;]'-A

rf1 =i_.-`-7' i`-5 .-c-rwiz .wa. ~ ~

mf_1?-f 1 '_'""_^.___ _

--`?-.:-* `

_ -.I.1_' T' I..

Soluo _'

__ 'mw ____ iu7 ._ 1 Inn

1. I pi>q=1I IlD'+Ql'=l

2.

3.

4.

ld+q=

5. 1-"">'O=1T pu-1

6. I o=1 I

Justificao:1. Consideremos as premissas verdadeiras fazendo p .--> q = 1 0 lp' +

+q)'=1. '-2. Pela negao, p' + q = O.

=0 I I d=0

.p_=

3. Pela definio de disjun'o, se p' + q = O, ento p' = 0 e q = 0.4. Como p' = 0, pela negao temos: p = 1.5. Levando p = 1 e q = O na premissa'p -""* q = 1, temos: 1 --> 0 = 1.6. Pela definio de condicional 1 ----> O = 0. Considerando as premissas

i 1 verdadeiras, chegamos a uma contradio. Portanto, o argumento falho.

69 Exemplo:

Provar p' --> r dadas as premissas:1.p+q2. q--->r

Soluo:

Como a concluso da forma condicional, consideramos o antecedente p'verdadeiro e procuraremos mostrar que o conseqente r verdadeiro.

__

~.../s*\\\1d~duIz-_~...

\.

\./'''\ni|f\.../

Ii

l_)

l,I

l

Il

ji

_/'~nnif"f'*u/-1/-/`-ni

Ii

\_)

\

/ll

.`|

-/lltf

_)

)))ii))i)J1)J)i

_)

)_) 82

1. I p+

2.

3.

lli f il= 1--)=

4. 0+q=

5.

6.

7.

Justificao:1. Consideremos as premissas verdadeiras fazendo p + q = 1 e q --> r = 1.2. Consideremos verdadeiro o antecedente da concluso (premissa pro-

visria), fazendo p' =_ 1.3. Como p' = 1, pela negao, temos: p = 0.4. Levando p = 0 na premissa p + q = 1, temos O + q = 1.

ci=1

1--->r=1

i=>'=

__): 0]

r=1

5. Pela definio de disjuno, O + q_= 1 somente se q = 1.6. Substituindoq =1 em q ---+ r=1,temos:1--- r = 1. 17. Pela definio de condicional, 1 --~> r = 1 somente se r = 1. Portanto, zi r seria verdadeira, isto , O ---> r = 1. ' ff _~

79 Exemplo:Provar p dadas as premissas:

1.p+12. p'--+q'

Soluo.:Usemos o mtodo indireto.

=' __', ___ ..z:L , _ \ ' '

.r .I _- _.'z T, _-t ` ~ "_ _ __;

." 'Hr

Z

1

"

.

. alii. -

";'

*Iv 1 f.z ~.~''. .z sf-: -- . _-: z-:.ti 9..

F- ..-_ __

__ _,_..- .'.'.

Us ~-''._ =' ~_' .-s '

A *_ ' j *__ .1

3.._ e".';..A` IP*-':,_.` A

' _'\ _.;'. _; :-~ z

. ' I; l.

., __' '_ . za;-_ _-. _;__:.

_-'1.f:-..._' " -ia_. _ _

_ i.~1r_ ._

1.' Ip+

2.

3.

4.

5.

6.

7.

q=1 Ip'-)q'=1|

i~-z-ri

Justificao.:

1.2.3.4.5.6.7.

89 Exemplo

Consideremos as premissas verdadeiras fazendo p +q = 1 e p'---> q' = 1.Consideremos a concluso falsa (negao da concluso) fazendo p = O.Levando p = Oem p'_;q' = 1, temos: 0'--->q' = 1.Pela negao, temos: 1 --- q' = 1.Pela definio de condicional 1 ---> q' = 1 somente se q' = 1.Pela negao, q = 0.Fazendop=Oeq=0emp+q=1,temos:0+0=1.Usando a premissa provisria p = 0, chegamos contradio 0 + O = 1.Portanto, p = O eliminada, ficando a outra possibilidade p = 1 comosoluao.

Provar p dadas as premissas:I. p+q2. q-->r3. r'

Soluo:Usemos o mtodo indireto.

_ i s i izz~zi i_+i2. ' = 1

__ ,T

34 56 [1 -= il

niJustificaao: 1. Consideremos as premissas verdadeiras fazendo P + Q = 1 Q V =

='1er'=1.

r dadas as premSSSI1-p+q2. q-->r

_- _.:-_-.._Q ,1. .fiz 1.r_ ' ___,.; _:i _ .._;- -

_ _.. _'_.:_ H_- z.z`"j _'z _~- .

_= `-__'4.'...f _-' _'-f~ _ Exencfcios 1

s0U,0'_ 1. Testar a validade dos argumentos abaixo, mediante o uso de fluxogramas.

Usemoso mtodo indireto._ _z _; .f -:.`_ 3; .___

' '*1._-.a L *gi' ^ ._l ._ ..Z__-~ ,__. _. _..__. . _

L. .'~r._ .,;. '__

1,1z`,-I..,;'. ..'^TH' I

__.

I'-' .'_".'_. -,~__ i ' '_, ._ .ff

.._.__..._ lei,_.. .;.:'c,.._ . _

- _ . '_..__ _! 9;

'_"_-.'"`-`"

.S _._+.', _._-i-._ __

al =i_*ir'.lr'l'.q'bl p_->q'. D'q.q

p +q.r'.p'd) a_*"*b,(C'+b)',c'--a' _

-_ _-. . A }

84 3) p + fl, p -i->' ql q --i-) |" 5: r' )

>J1.J.l

___* + r'_*_ 5+ Aqualdosaru 1 bflip Gi r s. qqg)1+=1-->=0

#0ou2-0

m9 en os a aixo corresponde o fluxograma?

a a ---b b ,a b C 3 "_"*b (fl nenhum dele; b+c b+C b+c2x=#O-->1+x=#1

2 Mostre atraves do fluxograma, usando os metodos direto e indireto, que oargumento abaixo tem premissas contraditorias

D ""* ClI

3 Mostre atraves do fluxograma usando os mtodos direto e indireto que o

iii...-._ - -ii.-

a'--)*b= C:_ Jg,

argumento abaixo nao contm informaoes suficientes para deduzir a concluso

4 Dados os argumentos abaixo, a qual deles corresponde o fluxograma?

p'-*Q q+rl p S

a"__-+1:

P' 1 Cl' bl p p + dl nenhum delesP'"*q D'--*Q P'-*Q

q:_____p

-.

6 O Iflua uxograma corresponde ao argumento p+q q r ppiii= =

`U__

-ex -1.

_~ ,1

ii 1)P+ci'=1 q'=1 W

1

sd) nenhum deles.

_. * "`

--1E

l=' 1 lis* __ tz r' -_-- .Y \.'..__ xi.. "'=\ _ :__ 1

!__=j-__"_l-r -_

'Q

f~1:zst `

if' ` '

4

-.if.- _'T'ii.i_'_"-*___..r_%

' '..i.:.

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vi-_-.____. ___;_.'___ah.

-I._._.

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Quontificodoresi . .~__v _ ._=__,_ _ ___`_ *__

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_. 1

_. \._-, .___...g _ 1 x1 _- W,

.s- '_-._z. __ -

_' z__~

: )2;

z * .1 ~-'_1"'.i~._-:_ ._ __-

' . -r_ _- - e'_

._ -.3_. ;-)

:i *'5!\. _J' 8.1 SENTENA ABERTA

Sejam as proposioes:p:3+5~.11, V(p)=1q: x + 5 Q 11, V(q) = ?

sr, if .. .:: '

..._ ____\.

''_""-:`-'1'*fa1,13'-_1-'_'._`l`-_ ..7_"Pi_-__|,-z_" _...r_.__L__`-.- KV2'`:.:Pfl"':E-'V- ._.____*____..__.`..___.. ._;~..____._:'-\'__-'~`Y_'z-"z..

- E. .-1.ii _:_.; ' Ei

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~.~'_ 'mz -_ __ -:va 5._ a.:__ __ _

*(1 .'_"" |,'. _ . _

'_-._ -'-.rf _is_.. : ._

1-- - .-Y 'U$ 'Z'fr... +1` -5

U*mir

_.-z

F'

A proposio p, como podemos ver, verdadeira, ao passo que nada pode-mos afirmar sobre o valor lgico na proposio q Vlq), que somente ser conhecidoquando x for identificado. Neste caso, dizemos que a proposio q uma senten-a aberta ou funo proposcional. Nas sentenas abertas, os simbolos x, y, X e

outros sao chamados variaiveis.Chamamos conjunto universo (da varivel) ao conjunto das possibilidades l-

gicas que podem substtuir a varivel na sentena. Denotaremos este conjunto porU. Cada elemento de U chama-se valor da varivel. U s vezes tacitamente im-posto pelo contexto, mas pode tambm ser escolhido pelo agente de estudo emquesto.

19 Exemplo:Seja a sentena aberta: x + 5 Q 11.Podemos impor que o conjunto universo da varivel seja N ou Z ou Q ou R

ouoconjuntoU= {1,3,5,7,...}. _ s

29 Exemplo:

Seja a sentena aberta: O planeta X o maior planeta do Sistema Solar.O conjunto universo da varivel X , pelo contexto, dado pelo conjunto dosplanetas conhecidos do Sistema Solar.

I

T)))))

-vuvvu'vv

)))))))

)

)))).)))_)J_)

U() = {Mercurio Venus, Terra, Marte. JUPWGH 5aUm Uf3 Net"Plutao}

././\'ur~/

CONJUNTO VERDADE (da sentena) e o conjunto dos valores da varivelpara os quais a sentena e verdadeira Denotaremos este conjunto por V

v = {eu lvlplxll =1

onde p(x) e uma sentena aberta na variavel x

..,/\-f\'\ini/-.../

1 ExemploDada 3 Sentena aberta + 5 < 11 x E Fl determinar seu conjunto verdade

So/ucoV= {R lxs

20 ExemploO conjunto verdade da sentena aberta O planeta X e o maior planeta do

Sistema Solar e

~._/\|/%|f'\--/

V = iJupiter}

3 ExemploDeterminar o conjunto verdade das seguintes sentenas abertas

x+1= =x-5xO.2. Para todo x, sexZ, ento xEQ.3. Para todo x, sexZ, ento xEO.4. Para cada x, sexZ, ento xE0.5.-V-x(xZ-->xE0)6. Qualquer que seja x, x E Z --> x E 0.

19 Exemplo:Escrever de maneira simblica a proposio: os nmeros do conjunto A

so todos os reais.

So/u"o:R():x real

- V-x(xEA

19 Exemplo:

Escrever de maneira simblica a proposio: Existe x tal que x2 + 1 -_= 2x.

Soluo.: APiz2 +1 = 2`Hx, P().

29 Exemplo:Simbolizar a proposio: Existe x E O tal que 0 < x < 1.

Soluo : xPiizo

.___

_)

___ ' -*, ~: _, ._ z*~-`_'

~ - ' _-z- f. '?"-:ff . '-'_`;1._-. z; .

Portanto: 3U5 -'- 3 _._ zi (V x, P(x))' (lx, senzx + coszx se 1) + ( Vx, 2x par).Existem alunos estudiosos. 2

) Elx, P(x).

)

i

E a negao desta sentena equivale a:

i ia. Pi' v. iPii' _ ~. Svlurv-'ou seja,l

69 Exemplo: ..if '- -'

"' r _'

Negar a sentena:V-x Ely, x + y =11.

__ __ _ (VxE|V,x+y= 11)'3xVy,x+ya#11Todos os alunos nao sao estudiosos.

29 Exemplo'

\.._____,`*,_,.-\-of (D .h

iii1'5-`-'.:'_.'.i.*_l'**j=IiI-'*;g--="i_1l).'} 7 Exemplo'

Ne9ar a sentena: Todos os pescadores so mentirosos. . _ Nega' 3 sememai 3 V' V () = 0) + (V + 1 `< 7))

olub: ~

Liz.

"". Ei

__ fi

la v v. l = oi + iv +1 4 7)))' _,__ .i-_--- V-x lv. l( = 0)' lv + 1 < 7l')-- vav.lio) -y+1>7)). _ 5.;_. _

-._ _--1._ i-..:_z

~ iEXERCCIOS *S 9 _

Determinar o conjunto-verdade das seguintes sentenas abertas:a)x+11=21 =b)2x-5 7. .e) Para todo x, existe y tal que x + y< 3.

zw -

I\ .,}'Y V-

lntroduoo lgebra de Boole. ` )

9.1 OPERADOR BINRIO

Iniciaremos nosso estudo recordando alguns conceitos primitivos de especialinteresse que so: a noo de conjunto, elemento de um conjunto e a relao depertinncia. Assim, dado um conjunto A = {1,2,3}, dizemos que 1, 2 e 3 so ele-mentos de A e, em conseqncia, pertencem ao conjunto A. Neste caso podemosescrever: 1 E A, 2 E A, 3 E A, que se l: 1 pertence ao conjunto A", etc. Casotenhamos um elemento 4 que no pertence ao conjunto A, denotamos o fatoescrevendo 4 A, que se l: 4 no pertence ao conjunto A". X

Chama-se operador binrio ou operao bna'ria (ii) a lei pela qual todo parordenado de elementos (x, y) leva um terceiro elemento z. Notab: x ii V = z. Os

l 1 iu Ip u 3 Q Q fsinais aritmeticos +, -, '_ + sao exemplos de operadores binrios.

9.2 PROPRIEDADES DAS OPERAES

* P1. Seja X um conjunto. Dizemos que X fechado em relao a ii se x ** y G X, Vx, y E X. Por exemplo, considerando o conjunto Cj de todos os inter-ruptores, se a, b GC,ento,a +bC ea ' bC, isto,a +bea bsotam-bm interruptores e pertencem a C1.

"*'"_"'"""a + b

Chamando C2 o conjunto de todos os conjuntos de pontos, se a, b E C, ,s ento a + b G C2 e a ' b G C2, isto , a unio e a interseo de a com b so tam-

bm conjuntos e, conseqentemente, pertencem a C, _

IW

J

)_)

__./*u/*u/\-J'

'J

))\

.P

)

)))

P)

)

, i`i I _/ ,. ' p

zm" f W* mf " '= 11 e~ ~ 1

z a+b ' h a'b

Se tomarmos o conjunto C3 de todas as proposies, e se a, b 6 C3, ento,a + b E C3 e a - b E C3, isto , dadas as proposies: .

a: Joo estuda.b: Joo trabalha. P

Temos as seguintes proposies (compostas):a + b: Joo estuda ou trabalha.a ' b: Joo estuda e trabalha.

Ou, mediante as tabelas-verdade:

It ' ` . .. '. .I ' zzzzw

;ab a+b a'bz -t q ____ .

oo-- )-@_ @.-s-n-. OO-O

4: . , __ _. L.. _._-.z -zz

P2. O operador * oomutativo se x * y = y *,,V', y E x.

19EompIo:Sea,bEC,ento,a+b=b+aea b=b'a,isto: V

E a b H

a+b b+a1 3 .b--W z zb ~ .a z

J98 a'b _b'3

-_

._ .__ _ ._~.\. ' f'. H '-.-E.-_ r.` .;\__4

i-'=~ . HT- '.az . v* __1,.-- 1 I_z_. ._, ,.ez - wi:

-L..-.z-z... z-.

29 Exemplo: PSea,bC2,ent'o,a+b=b+aeab=ba,isto:

* i * T* se i

L* ~ . .zz _ J ;-__ __ __ _a+b b+a

_ I _ l_ _ W _ l

P

.H b = a b,

1 ' _ - ~ 7 _. _ z -_ __ 7 _.__ _

3'b ba

39 Exempio:Sea,bGC3,ent'o,a+b=b+aea'b=ba. iPodemos verificar esta propriedade mediante as tabelas-verdade.

T ._ , _ .-.T ...._ .. f _ff __ _

az b a+b b+z5 z-bi b-z~._ ___; z- , ,;~ ___ zz~z zz __ z..zzJ

I 1 `i i 1 F

2.-- 1..- Q....z...z.. ff _ _f_f Y _ ___ _ f LL____J L____3

I

P3. Dizemos que o operador * associativo se * (y * z) = (x * y) 1 z,V',y,zEX. p

19 Exemplo: i

isto

306.b.0C,ent'o,a+(b+c)=(a+b)+cea(b-c)=(ab)-c.. .

~Li1f alira+(b+c) (a+b)+c

--a'--b-----c--' = --a-"-'-b---c--'a(bc) (ab)'c

29 Exemplo: `Sea,b,cEC2,ent'o,a+(b+c)=(a+bl+cea'(bc)=(a'b)'c,

isto :

___ __ ___* ffff 'ff' _ _ ff 7 z L J___f ff* ___ 1 f 7 f f-.-1L-f.--.

3 _' 8

a+(b+c) (a+b)+c

_ 1-U7 ll-I-I r zzzzzz 7

a a fi

b c 1 b c

a-(b-c) (ab)-cu

39 Exemplo: _Sea,b,cGC3,ento,a+(b+c)=(a+bi+C8.'(b'C)=l8'b)'C.

isto : _

ID U' O b+c a+(b+c)__ --.os + U' (8+b)+c

oooca----` l

lr

@@-._@@-_._

O-*O-*CD-H

o_ @-._-.c)_...-_;

11

Gnn

OO

11

o__-.n-' f

-v Lv-

ID U' OE T

b'c a lb clab --. QI .o L--..-......F

nn-I-nnlil-L

_ I:ff~

OOOC) OO--*-'CCD-1'--*l

_ _J_

O-*CD-*O-*C3-4 DOO-*GOES-* ll, `|

ODOCJOOO--1

QOOOQ--\

OOOOOCDO-l

P4 Um operador + edlstributivo sobre El se x * (y Elz) = ( * y) El (x * 2),'V'x, y, z EX

19 Exemplo:Sea,b,cEC,,ento,a+(b-c)=(a+b)-(a+c)ea-(b+)=(a-b)+

(a ' c), isto

-;1~l;:}

T* pO Ii 5--F'l

a+(b'cl la+bl'lab a-.._.. .-~f l-1 ~l Pa c101

J-C ff 1.

a'(b+c) (a-b)+(a-c)

I

...f'-n-f'\q'/-I-n/'-h-ra

~_.--'

i

\|

))l

r

,.-\.~._-1'

-.-

_-...f

--.f/

../\./'\-/___/\-/'uu/\un/-..f_/\../\uI'\J\|/-.-z-/

VVV--_-

1_:

`\-f`\-_/\._~..__,-

l

"-.___~....-"~._z-.,_.

2'?ExempIo:Se a,b,cC1,ento,a+(b - c)=(a+bl'(a+c)8(b+Cl=(3 bl+

+{a - c),isto :_. f f fz fff fff ff f f ff 1T a

"%%` _ _ __ ___ _ ___ __ W __ __ _ ._.._,

_ ff f __ _ff_f f f JL __ __ * "Wa+m-C) ta+m-a+d___ -f- ___ _ _ f .. " fff ff "E" " * ' ** ' WT

ll 3 '

1 * . ,. z ff ff __a`_ W; _ _ _ f_ _. " z fff

a- (b+c) (ab)+(ac)

39 Exemplo: ifSe a,b,cC3,ento,a+(b - c)=(a+bl' (a+Cle8lb+Cl=(" b)+

+ (a cl, isto , construindo-se as tabelas-verdade correspondentes a cada caso,teremos: p___ ___

OJ U' OA b-iz+ls-az+b a+ca+bra+oW" 1 i 1

@@..._.....-.t @...@-.a@..-L

OC)-*DOO-'

W;@@_.............\_

Dj..-.._......_..

...@-...-....-a.....

L_.p.-u-......._

DOOOO DO o_. G) O O

102 portanto a + lb c) = (3 + b) - (3 + c) pois suas tabelas verdade so iguais.

Analogamente

ID U' OE

b+C8'lb+Cla b a'c(a'b)+(al "'Ffffizl

@@@-._-.._

--*Q-\--\@..

-L-\o,tg

a

0 " O CDCDDOCD-\-4--b

OOOO-A-e

CDC) OOCDCJO-HC)-rff;._ ff . if f _ z 7

11

OOCDCDCD-*

P5 Um elemento e, um elemento neutro para a operacao se e somenteS. =e *=,,VxEx.

19 Exemplo:

' a ffffif"' ff 1*f"' f ff : a

29 Exemplo:

5933EC1.I'0.a+0=O+a=aea 1=1a=a,VaC._ _ a ___

a+b

Dad0aGC2,ento,a+0;-0'1'a=aea 1=1Ia=a"v'aEC2_

p p +

__ L3 O

/

I

1 a1'=a 103

If __ fff _ fl 'ff | 1u.f_ ffffff_ 1,.-

_ _

l l 3

_Wa

___

.l _

13

_._.-:I;:_-:-?:f;:f;S;;.-. _-fi; - z -_'.z._'ff;~;._\ .`~_'-z._-._

.`f_-.'_-:f."_f_ '-fi:-`:f$f'7';f:'f:?;J;r:.

P '~r-:f;::;'~';f-:~:f;-:1f:;?:i:If:1;::;:~:5;f

'I-2;;.'?:?:i:-:fi-':?;: :-`::;:-::.-f;:f:ff?;;;

E a

39 Exemplo:Dado a5C3,ento, a * e= e * a =a,*+aC3.

.-'.;__. .

f aii- "--.=~..-'-"' 1-'' .-_

`-=-1'-N-'-li'fl..:;'.^.i3.4uz; li . .

=`_ . ~ f lr _'

para ii = +, temos que a disjuno inclusiva ou soma logica falsa, somentequando ambas as prol3osies consideradas forem falsas. Ento. dada Uma PYO'

-. _zf _

.. _ _ _f,:

posio a e Vlal = 1. Vm

3.-l-_O = 3,'V`3.

. \

para ii = - , temos que a conjuno verdadeira, somente quando as propo-sies componentes forem verdadeiras; logo, dada uma proposio a e Vlal ==1,vem:

3 -1= a,'\7a.

EXERCCIOS

1. Seja o conjunto C = {T, 1, O}. Definamos dois operadores binrios * e ElE A pelas tabelas abaixo. Para lera primeira tabela,jpor exemplo, a * b, tomamos

a interseo da linha correspondente a a e coluna correspondente a b, ondea e b podem ser quaisquer destes simbolos. Ento:O * J. = T e O El .l. = 1.

-|=i _-l-lOl- l-O fl_'+- O.A -l- O_ .. f f_ *_;ffff__i

\

" 1.-'z.f._. z .= _ _. ' _' ' \.,_'3,. ; .`_'_,1

1 f f 2-ii*

1s.

= 1.' im- -.5_;

.. _

.' ' W:z`1* f~.` r

' ` ` ':l':';..= --g. - _.

:';;..";-_ ___;:F_r. flr=`.'-1*..=.l.:-ii _ _. .~ .-te

_' - sa: .'. . . _:

_ f`q; .-z.;. -z .f '_. _; ._= ..-2..- fz.~., ___

-:l z.u - i` l_. zzz.._ V ,-I

.. .\ _.'i '.'- "' _ _. 'L-cr "- '_ \zz z ._ f_ z z il fff _ r _Q r.l- O i- -|

Ol- -l-I ifr- OO__ __ ___ ffff _ _;___ _. .,O i- -IOal O operador * comutativo? associativo?b) O operador El comutativo? associativo?c) Os operadores * e El so distributivos um em relaao ao outro?

2. Dados os operadores aritmticos +, -, - e -I-, dizer quais dentre eles so ope- _ 'radores binrios no conjunto Z de todos os inteiros.

3 Considerando os operadores aritmticos +. -. ' E *z dilef l`U5 df' elesso operadores binrios no conjunto N dos nmeros naturais.

4 Seia 3 ,, b z \/ 32 + b2 onde a, b G R. O operador * fechado? comutati-vo? associativo? * distributivo em relao a Z? dSfbU'tV0 Em H-'la'o a * ? * admite elemento neutro? -

.f if .-'\-L'=f. _

..: ~ =1. '_ `".

- . . _ . .

t": 5. _' 5 . .. : . 3,.,

`: :|-I.. __ _i_._.,-z

-2-'. ,...1,.Z^

:_

- H .: zf-'- ' f' '-:,- 4- ,. ,*-' _*ii

lu! Tt, ;.-~. ---fr :-.,._._4 u; .`

.` '-5

.| i

zzzzz.-_-f._ i-

5. Dados os operadores * e El distributivos um sobre o outro, reduzir ou desen-volver as expresses a seguir de modo a apresent-las sob forma diferente.

a) a*(bElc).b)alIllal.lb).c) arlalbl.dl alIl(b*lcl_ld)l.e) (blIla)*lbElb).fl lab)E1l*Cl.

9.3 SISTEMAS ALGBRICOS

Antes de estudarmos a definio de uma lgebra de Boole vejamos o que um sistema algbrico ou uma lgebra abstrata tambm chamada simplesmente delgebra.

Chamamos lgebra abstrata ou sistema algbrico a um conjunto no vaziomunido de um ou mais operadores binrios sobre ele definidos. Denotando por Ao conjunto e por * e ] os operadores definidos sobre A, podemos ter:

. (A. *l ou lA.lIl) l

que so lgebras com um operador ou uma operao, e

(A. *. 'Ill

que uma lgebra com dois operadores ou duas operaes.

Uma lgebra pode satisfazer a alguma, a todas ou a nenhuma das proprieda-des dos operadores, assumindo nomes particulares para os diferentes casos, como:se`migrupo, monide, grupo, anel, corpo, espao vetorial, conforme as proprieda-des satisfeitas pelo operador ou operadores definidos sobre um conjunto conside-rado. No trataremos destes casos em nosso curso, para o qual tm especial inte-resse os sistemas algbricos chamados lgebras de Boole, que deniremos a seguir.

l'I IDizemos que o sistema algebrico (B, +. ' ) e uma lgebra de Boole quando

e somente quando -V-a, b, c E B, valem os axiomasz

AL a+bB.AZ a'bB.A3 a+b=b+aA4 a'b=b*aAs. a+s-z=z+i-z+zz. 105 J

l'l

'i

ir

\_./wzfwf/\-./'

l

_/\/\\J

iz

))\_

))

1.

J)

`|

|\_l

1)1

l

i

_J

'1l

1l

A6. a'lb+cl=(abl+(a'cl.A7. ElOGBtalqueparacada aEB,a+0=0+a=a_A8. 31BtalqueparacadaaEB,a1=1'a=aA9. ParacadaaEB,Ela'EB tal quea+a'=1ea' a'=0.

No axioma 9, o elemento a'chama-se complemento de a.Uma lgebra de Boole dita degenerada quando os elementos neutros para

as operaes + e so iguais, isto : 0 = 1. Consideraremos apenas lgebras no de-generadas, isto , lgebras de Boole nas quais O =/= 1. Vejamos alguns exemplos.

19 Exemplo:B2 = {0,1} uma lgebra de Boole cujos operadores so definidos pelas

tabelas a seguir:

Esta lgebra conhecida como lgebra dos interruptores ou lgebra da co-mutao, e a mais til entre as lgebras de Boole. o fundamento matem-tico da anlise e projeto dos circuitos de interruptores ou de comutao quecompem os sistemas digitais. B2 o exemplo mais simples de lgebra deiBoole no degenerada.

29 Exemplo: _B4 = {0, a, b, 1} uma lgebra de Boole com quatro elementos descrita

pelas tabelas:

I. ';'

'i " W*O

CTCDCI

OCJCD nCDn CI'Q __"-z_zz ;__.z z. zz z_ _ __-

Teorema 1 - (Principio da Dualidade): Todo resultado dedutvel dos axiomas de106 uma lgebra de Boole permanece vlido se nele trocarmos + por

e 0 por 1, e vice versa

H- 01 + 0 10 0 0 o o 11 0 1 1 1 1

o z sf + 0 z l 1"

*H 3 za1=b b b

1 1 1 ;11

11%, L,

Oab1 ....3'_U" Inllnlnlx

._"-'7f.."_..'\.,13"|'.ii\.*' 'MHV.'...___-,_.-_~__.riu.#1.-1:|uuiiIt1'

' | _` .

._ F__.-. _

.- _.

ProvaPela simetria da definio de uma lgebra de Boole entre os operadores

+ e -, e os elementos 0 e 1, tanto os operadores como O e 1 podem ser intercam-biados conduzindo a outros resultados tambm verdadeiros. .

c.q.d.

19 Exemplo:Dualizar a expresso: x ~ y' + x' - y - z + y - z'_

Soluo.-Como a expresso no apresenta os valores O e 1, basta trocar os sinais ' por

+ e + por ; temos: 1

l+WP(W+v+zP(v+flque o dual da expresso dada.

Obs.:- 1. No houve qualquer modificao nas letras complementadas, ouseja, onde aparecem ', y', z', continuam sendo x', y', z'.

2. A dualidade tem grande semelhana com as leis de DeMorganque veremos adiante, diferindo apenas pela observao 1.

29 Exemplo:Dar o dual da expresso: x' + y = O

Soluo:Trocando na expresso dada + por e O por 1, vem:

.s '.y=1

que o resultado procurado.

Teorema2- a+a=a,a'a=a,-V-aEB.

Provaa+a=(a+a)'1 . . . . . . ..A8

= (a+a)'(a+a') . . . . . . ..A9= a+_(a'a') . . . . . . ..A5= a+0 . . . . . . ..A9= a . . . . . . ..A7

a+a=a.

Teorema 3 -

a + a bl

Analogamente,

...-

......

1

00

a+1=1,a0=O,VaEB.

Pelo Principio da Dualidade, temos: s

Teorema 4 - (Lei da Absoro): a + la bl = a, a ' (a + bl = a.

Teorema5- a+("bl=a+b.

JDJJQJ""""'D.'I

DJ

IOCO OJ

al +la (a+a'l A6

= a c.q.d.

(a+1):h+1l%a+la+(1a'l A5a+a' . . . . . . ..A8,

a+1=1

'(1+b)'lb+1l .....A3.'1 .....Teor.3

a + (a ' bl = ae, pela dualidade, temos:

a(a+b)=a

Teorema 6 - Os operadores + e ' so associativos.

Prova(a+b)+c = ((a+b)+c)'(a+a') . . . . . . ..A8,9

= (((a+b)+c)'a)+(((a+bl+c)a') . . . . . . ..A6= (a((a+b)+c))+(a'((a+b)+c)l . . . . ....A4= (la:(a+b))+(a'c))+((a"(a+b)l+(a"cll . . . . . . ..A6=` (a + (a - c)l + llle' ' al + la' bl) + la' cl) . . _ Teor. 4,A6= a+((O+(a"b))+(a"c)) ..Teor.4,A4,9= a+((a':b)+(a'*c)) . . . . . . ..A3,7= a+(a'-(b+C)) . . . . . . ..A6= a-l(b+c) . . . . ..Teor.5

(a+bl+c=a+lb+c).Pelo Princpio da Dualidade, temos:

(abl'c=a'(b-cl

Expresses como (a + bl + c e (a bl ' c podem ser escritas sem parnteses,e expresses tais como la' + b) (_c + d + el podem ser desenvolvidas como nalgebra usual; a ' b pode ser escrita ab e o operador tem precedncia sobre+ , de modo que a + lb c) pode ser escrita a + b - c ou a + bc. ,

c.q.d.

Teorema 7- O complemento de cada elemento de uma lgebra de Boole nico.

Pro vaI N 3Suponhamos que a e x sejam complementos de a. Entao:

a+x=1~ z-=o. l

Logozx = x(a+a')= a+a'

(a+a') '(3-l-b) . . . . . . ..A5

a+la'b)=a+b

L.-

-1

O + a'xa'a + a'xa'(a + xla' 1a'.

Corolrio- Qualquer lgebra de Boole nao degenerada tem um numero par deelementos.

Teorema 9 -

ab + ab'

D.

Teorema 10 -

0+1O-1

Logo: 0'e 1'

Ento, la' + b'l o complemento de la bl, isto :la ' bl'

Teorema 8 - (a'l' =

ab + ab' = a.

1-nu

0'=1e1'=O

la +b'l+l8'bl'

'+b')-(a'b)

3

Pelo teorema 7, existe um nico complemento, portanto:HT

a(b+b')a-1

ab+ab'=a.

Teorema 11 - (De Morgan): la bl' = a'+ b'e (8 +bl' = 6' b'-

_;. af-I-bf I

(a+bl' =

1 . . . . . . ..A9

(a'+b'+a)la'+b'+bll1+b'l' l1+a')

a"ab+b'a'b-0.

a' o complemento de a, ento: a + a' = 1 e a ' a' = 0. Mas estas eQU35apenas mostram que a o complemento de a', isto : a = la')'.

. . A3,7_ . A4,8 '

Teor. 1

._11.;Fa:.

l

ab+a'c+bc

ab+a'c+bc

la + bl la' + cl lb

la + bl la' + cl

la + bl la' + cl

19 Exemplo:Simplificar la + bl la + b' + c )

QI11-

nn1-

gn._

1

11

F

+

um

-_uq

gx1

iq

11

_--_

Teorema 12- ab+a'c+bc-=ab+ac

I' I'ab+ac+bc(a+alab+a'c+abc+abcab(1+c)+acl1+blab+a'cab+a'c

Teorema 13- (a+b) (a'+c) lb-1-c)=a+ab

`la+blla'+0llb+cl = laa'+ac+a'b+bc) (b+c)0+abc+abb+bbc+acc+abc+bccabc+a'b+bc+ac+abc+bcabc+a'b+bc+ac+abcac(1+bl+abl1+cl+bcac+a'b+bcac+a'bcl = ac+a'b

TO0I'8m8 14- (a+b) (a'+c)=ac+ab

aa'+ac+ab+bcac+a'b+bcac+a'b+bcla+a')ac+a'b+abc+abca'b(1+cl+ac(1+b)a'b + acac + a'b

Esses teoremas tm sua grande aplicao na simplrflcaao de expressoes booleanas e circuitos de interruptores, conforme veremos nos exemplos a seguir

III lSoluao.a+blla+b'+c'l= aa+ab'+ac'+ab+bb'+b0'

a+ab'+ac'+ab+0+bC'a+bc'

2 Exemplo:Simplificar o circuito:

Soludo:lp + qr) lp'q' + r'l + p'q'r'

3 Exemplo:

rm f 1

p:___ _. __q'kz . _----- f

e o circuito simplificado sera:

Simplificar o circuito:

Soluo

nc' + mr + P'f

_--

_--1

pr, + pq:rr

lp + 1'11'lf'(p + q:)rr

q,,,.|'- p H

D-~.l l "_

.---will

p:~qf...... ----p- '-

1:"-*_""' f

= p (qr + qr) + p;_"l'z;___f=

= Dq' + Dr + D'f= Dq' + lp + 1='lf= D1'+1f= D1'+f

of-f ~ "

1^_fI*"-`- _!'.

F

Desenhando o circuito da expresso simplificada, vem:

lI_'J~49 Exemplo:

Determinar o complemento de pq' + pfq.

Soluo:lpq' + D'1)'= l1:q'l' - lr'ql'

= ln'+ l:i'l') - llp'l' +q')' = lr'+ql-lD_+q'l'

= |r'n+D'c'+1q+qq'= r:1+r'q' `

Teorema 15 - Se uma lgebra de Boole contm pelo menos dois elementos dis-tintos, ento 0 #= 1. S

Prova 'Suponhamos que existe uma lmbra de Boole com pelo menos dois ele-mentos distintos, para a qual O = 1. Seja a um elemento tal que a 5* 0

Portanto, O a 1. c.q.d. ~

Sejam a e b elementos de uma lgebra _de Boole. Dizemos que a menor ouigualablablse esomentesea+b=b. f

Teorema 16 - < uma ordem parcial.

ProvaPelo teorema 2, a + a = a. Logo, ai < a. 'S 1

'Sea

__./\I'%/--f

1. Sea~bea

r'-"'*"-* ""'-'-"""'b'dl l Y czi_._._a..__b. b_______c

#8__l-_:b'---0'1 .z -zbz-~-c'

'-_-C

3

zzlno,i,c --g-d'

r zb- -S d-fim

.l

. _ d 2=--

9. Determinar o circuito complemtaf (lei

al 1 `_""'b'b---c'c----I'

b) "_"`_"'Y Z

---y'---2

. l bra de Boole. 010. Provar que para quaisquer elementos a e b de uma 9

se, e somente se, ab' = 0. P . l bra de Boo

11. Provar que para quaisquer elementos a e b de uma 9se, e somente se. bla =1-

* l mentos.12. Mostrar que nenhuma lgebra de Boole tem tres e BI - V

_ ' mais de um13. Mostrar que nenhuma lgebra de Boole finita com p

tem um nmero mpar de elementos.

10Funes Booleonos

Seja B uma lgebra de Boole e, sejam xl , ..., xn variveis tais que seus valo-res pertencem a B. Chama-se funo booleana de n variveis a uma aplicao f deB" em B satisfazendo as seguintes regras:

1. Se para quaisquer valores de xl, ..., xn, f(, ,,_, n) = 3, 3 E 13, en.to f uma funo booleana. a funo constante.

2. Se para quaisquer valores de , xa, flxl , ..., xnl = x para algumi (i = nl, ento f uma funo booleana. a funo projeo.

3. Se f uma funo booleana, ento g definida por glxl, xnl == (flxl , ..., xnll' para todos 1 , xn uma funo booleana.

4. Se f e g so funes booleanas, ento h e k, definidas porhlxlz --, Xl = f(X1 , ..., |1)+ Q(X, ..., Xnl G

|

._/\-/\-/\./

: _.,19 Exemplo: fll = x + x a29 Exemplo: fl. Vl = 'Y + XY' + V'39 Eemp|o: flx. Y. zl = av'2 + V2' + a + Y

As expresses desses exemplos so funes booleanas, onde as variveis, y e z percorrem uma lgebra de Boole e a um elemento dessa lgebra.

Por causa das relaes existentes entre as operaes, uma funo booleanapode assumir muitas formas.

49 Exemplo: Dadas f(x, yl = x'v'~e glx, Vl = lx + Vl, sabemos pelas leis deDe Morgan, que f e g so a mesma funo, isto , elas assumem

~ o mesmo valor para valores idnticos das variveis.

Para melhor determinar se duas expresses representam a mesma funobooleana, torna-se desejvel a existncia de uma forma padro ou cannica na qualas expresses podem ser transformadas. Desenvolveremos tal forma no teoremaa' seguir. 1

Teorema - Se f uma funo booleana de uma varivel, ento, para todos os valo-V resrde x, flxl = fl1) + f(0)'. 1

ProvaExaminemos as possiveis formas de f.

19 Caso: f uma funo constante, flxl = a.

f(1)x+f(0)x'=ax+ax'=a(x+x')=a1=a=f(x). .

29 Caso:f a funo identidade, flxl = x.f(1)x + f(0lx' =1x + Ox' = x + O = x = f(x).

39 Caso:Suponhamos que o teorema vale para f e sejaQlxl = lflll'.9ll = lflxll' = lfl1l +fl0l'l'

= lfl1)l'lfl0l'l'= llf(1ll'+x'llfl0ll'+l ;= lfl1ll'lfl0l)'+fl1ll'+fl0ll''+' ,

= lf(1ll'lfl0)l'l1) + lf(1))' + (f(0)i'== lfl1ll'lfl0ll' + lf(1ll' + (fl1ll'lfl0ll'x'= lfl1ll'lfl0ll' + lf(1))' + (f(1))'(f(0))=f+ lfl0ll''= lfllwx "`lfl0)l'' (absoro)= 9l1l +9l0l'.

49 Caso:Suponhamos que o teorema vale para f e g, e seja hlxl = flxl + g(x)hlxl = flxl + g()

=' flllx + fl0)' + g(1) _+g(0)-= lfl1l+ gl1i + ifioi +gioi'= hlllx + hl0)'.

5.0 Caso:Suponhamos que o teorema vale para f e g, e seja k() = f()g()l

Valores de flxl = x + x'a

f-1-T*

x l flxl ,

0 a `t a 0 a .i---

a ` 1 .`i

` 1 il 1

b) g(1,1) = 0 e g(1,0) = g(0,1) =- g(0,0) = 1, de modo que a forma canni-ca para g gl,Vl = Oxy +1xy' + 1x'y +1x'y'. .

Valores de g(x,yl = x'y + xy' + y'

*fi f rf r 1 1 ti` Yi. l rl M\ A1'

eaO ;\i_l ...__. _... ...,_. -zz zzz _ -z __i __ z z_ __ 741._ _ _ ` _

il-l _ __ l _ __ __ 1 _ _ _.__ _ _ _ ._ , .__1 ._;93* -r _-l_il L__ Q) OIQi Ona _JL_

Note-se que em ambas as funes, a forma cannica reduz-se facilmenteforma original. s s

A forma cannica que discutimos conhecida como uma soma de prodou forma normal disjuntva (FND). Existe tambm um produto de somas ou forma normal conjuntiva (FNC). Cada termo de uma FND , s vezes, chamado mmterm lm) e os fatores de uma FNC so chamados mexterm (Ml.

EXERCCIOS 0

1. Suponhamos que f uma funo booleana de uma varivel sobre umagebra de Boole de 4 elementos, fl0) = a' e flll = a. Determinar uma expso para f.

2. Escrever a forma cannica geral para uma funo booleana de trs variveis

Determinar a forma cannica para cada uma das seguintes funes'al flxl = xx. z .. lb f = ' . . ,l _lVl XV + BX + by, onde a e b sao elementos fixos distintos de uma

Algebra de Boole.

cl fl=V=Zl = lV + 82') + l' + 2) (ax + V' + zl.

Suponhamos que B uma lgebra de Boole sobre o conjuntoil). 0. a'. bz b'. C. C', 1}, e seja f uma funo booleana tal que f(0,0,0) == fl0,0,1l = fl1,0,0l = 8. fl0.1,0l = 0, f(0,1,1l = 1, fl1,0,1l = f(1,1,0) = c',e fl1,1,1l = b. Determinar f(a',c,b).

\Q\

=. a'b'c' + a'bc' + a'bc + a'b'C

11 1 DIAGRAMAS DE VENN OU CIRCULOS DE EULER

Seja representar as funes:3) y = f(a,b) = ab' + ab + a'b

Verificao Algbrca:ab' + ab + a'balb ~l~ b') + a'b3-1+a%a+a%a+b

1Representooo dos FunO2S

Booleonos

/ i ` gi/ u (13.)3 b . + = ' _. 7 ..

" . C C 'fzfz,%'/J _ _ . _a'b c' a'bc' a'bC a'b C

\\

__.._f_---*'.:__- W/# = /

3.

:a+b

m

ab. ab a'b V = ab' + ab + a' b =

@~ '

-li.

i\.i. _`i`~'-hr'-_

lfew'.iii-.ii-__-_'.

~'la-i'=-lli'f~eiillllsz.-*afffnz

1 'v 'U

. . ` _.,.I - 3. fz.,

Lil? -

v.f. ...err rcaao Algbrica:

a'b'c' + a'bc' + a'bc + a'b'ca'blc + c'l + a'b'lc + c'la'b + a'b'a'(b + b'la.

Y

Para mais de trs variveis, torna-se muito difcil representar as intersees formadas pelos respectivos crculos de Euler. Neste caso, utiliza se a disposio mostrada a seguir para quatro variveis: a, b, c, d.

a'b'c'd

a'b'cd'

I

I

=

__

____

l

ab'c'd'

l l _;inicieiz-ig

ab'cd' .

abc'd'" -1_l__J! l

...-Jzb}7" a'b'cd-

a'b'c'd-_nL.lun-

ab'cd1-;--nn fa

abcdn

--il.

me 'u oon

ab'c'd r abc'dT'"'7_ _____