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  • publicação citlci: fi *|H i_ÓGicA E ÁLGEBRA DE Booi.E Diferentemente de textos convencionais, este livro adota a estratégia de ensi- nar através de exemplos, com a utilização de um instrumental lógico que faci- lita O 9flÍefld¡m6flÍ0 B 8 mOde|agem de sistemas reais. O uso de ilustrações como meio de exposição proporciona, neste texto, bases seguras para gene- ralizaçoes e para o próprio conhecimento e desenvolvimento da lógica pelo leitor. A introdução à Lógica e Álgebra de Boole visa mostrar um exemplo de mode- Iomatematico de inumeras e importantes aplicações em diferentes- ramos da atividade humana como eletrônica, computação e outros. O livro resultou de intensa pesquisa e da experiência de magistério do autor. Por isso, sua forma agradável de apresentar o conteúdo programático:,em vez de uma abordagem orientada para o conhecimento da Matemática pura, abstrata, o autor optou pela apresentação de um sistema algébrico que repre- sentou importante passo no desenvolvimento da eletrônicac, computação, pneumática e outras aplicaçõesque envolvem até a Pesquisa Operacional. n NOTA SOBRE O AUTOR A Jacob Daghlian é licenciado em Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da Fundação Santo André, onde lecionou Álgebra.Foi pro- fessor de Álgebra Dooleana na Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras "Prof. Carlos Pasquale". E reitor da Universidade Metodista-de São Paulo (UM-ESP) e possui larga vivência industrial que lhe permitiu avaliar a importância da matéria ora apresentada. A APucAçÃo Livro-texto para as disciplinas LÓGICA MATEMÁTICA e INTRODUÇAO À LOGICA dos cursos de Matemática (bacharelado) e Tecnologia de Processa- mento de Dados. Texto complementar para a disciplina CIRCUITOS LOGI- COS E OFiGANlZAÇAO DE COMPUTADORES do curso de Ciências da Computação. . \ www.EditoraAt1as.com.br 1783522 41255 Dcighon ,,,._,.iz.,Úmeirum flfifllmwiløfim- JACOB DAGHLIAN LOGICQ Q FÍLGEBRQ del3OOLE...___ ...._.-às-n-upa.uuui..-mi LÓGCAEÁLGEBRADEBOOLE 4._J ._4i._ nI:In:
  • _\ l` iiir_*›_ lli¡l`II,)i'_\|3))i_'I'JVJ_J}
  • 1.v 6 'I 5''z U $šf. 1 Í š 7 ÊÉ Iuillàmww'vbuiiurtivllvwvo-au Ê~i ) I i i i I Q2 í Ê1 f. e Ê JACÚE3 DAGI-ll_lAl\l LÓGMZA E ÀLGEBRA DE BQOLE 4 Edicao SÃO PAULO EDITORA ATLAS S.A. - 2008
  • © 1986 by Editora Atlas S.A. go i~“*°I“'*'~1õ_, 1. ed. 19só; 2. ed. 19ss;3.@â.199o, Ã i 4. ed. 1995; 12. reimpressão zoos ,zz‹,;:;l¢ià.,.Af:i n›s.u.|u. Di WWW H -“Y ;¿|I""'\-IF'-š .J ff".|v"`n;._¡, í-1% -O*'ëä .giCapa: Paulo Ferreira Leite “mmol Composição: Style Up Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Daghlian, Jacob, 1936 - * Lógica e álgebra de Boole/Jacob Daghlian. - 4. ed. - 12. reimpr. - São Paulo : Atlas, 2008. Bibliografia. ISBN 978-85~224-1256-3 1. Álgebra booleana 2. Lógica simbólica e matemática I. Título. 95-0876 CDD-511.324 Índice para catálogo sistemático: 1. Álgebra booleana 511.324 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS - É proibida a reprodução total ou parcial, de qualquer forma ou por qualquer meio. A violação dos direitos de autor (Lei ng 9.610/98) é crime estabelecido pelo artigo 184 do Código Penal. Depósito legal na Biblioteca Nacional conforme Decreto ni* 1.825, de 20 de dezembro de 1907. impresso no Brasil/Printed in Brazil Editora Atlas S.A. Rua Conselheiro Nébias, 1384 (Campos Elisios) 01203-904 São Paulo (SP) Tel.: (0_ _11) 3357-9144 (PABX) www.EditoraAtlas.com.br .F .-má. E 5 'UiHi!-Il»MJ' Éas ..'°¡u`›lM‹lI‹!'âi|n'út¡iIfi~:mi\nl.›‹nmi‹-wwiumiw 3, i -‹-nz-va-n-n-:zum...›nunw»~pqw›~wu-¢.-4*i._-»mM4Uvfln~nH- Agradecimentos Antonio Ângelo Fratoni (Desenhos do Capítulo 14) Vânia Linda Domingues (Datilografia do Capítulo 14) A Carlos Alberto Garcia Calioli (in memoriam e Rubener da Silva Freitas Mestres e amigos cujo entusiasmo e incentivo me conduziram ao Magistério.
  • nmlflufifl-|l'|$lli|I€lI%NiÚII1rfl‹\flil}øl*iIIIIUí E un» š 'z'...-... _.W_. Pela ajuda de do/'s sábios: meus pais, Leon e Hripsímé Pelo incen tivo de minha esposa: Hulda Pela carinhosa presença de meus filhos: Leon e Ricardo Pelos meus irmãos: Carlos, Luíz e Celi Pela oportunidade de realizar este trabalho Elevo 0 pensamento em gratidão a DEUS.
  • Ê 1 É -Uullnn'`eqigfl'iiiiivimviiriunnvias-ii'-I\o1~*~'Il.*ill'HH' .zl ‹i.. l al il .mu-ø-um-i l ii Sumório Prefácio, 13 Apresentação, 15 1 SISTEMAS DICOTÔMICOS, 17 1.1 Introdução, 17 1.2 Interruptores, 18 1.3 Conjuntos, 22 1.4 Proposições, 26 1.4.1 Princípios fundamentais da lógica matemática, 27 1 4.2 Tabela-verdade, 28 Exu ¿=.Í`›S, 29 2 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES, 31 2.1 Negação (”), 32 2.2 Conjunção ('), 32 2.3 Disjunção inclusiva ou soma lógica (+), 32 2.4 Disjunção exclusiva (®), 33 2.5 Condicional (--r), 34 2.6 Bicondicional (), 35 Exercicios, 36
  • z z -1z 7 CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE, 39 FLUXOGRAMAS, 77 Iuémiidn-u;.\nã?«ul-fzz..›um, _ 1 Exercícios, 85 Exerc1c1os, 42 l 4 8 __ _ OUANTIEICADORES, 89RELAÇOES DE IMPLICAÇAO E DE EOU1vALENc1A,4ó 8.1 Sentença aberta, 89 g 4-1 Deñnições 46 8.2 Quantificador universal, 90 4.2 Relação de” implicação 47 8.3 Quantificador existencial, 91 4.3 Relação de equivalêncga 47 8.4 Valores lógicos de sentenças quantificadas, 93 44 Equivalências notáveis, às 8.5 biegação de sentenças quantificadas, 93 4.5 Propriedades, 51 Exercicios' 96 Exercícios, 51 9 5 , INTRODUÇÃO À ÁLOEBRA DE BOOLE, 97 AROUMENTO VÁLIDO, 54 9.1 Operador binário, 97 9.2 Propriedades das operações, 97 5_1 Definiçâ-0, 54 9.3 Sistemas algébricos, 105 5.2 Regras de inferência, 56 Exefclclosf 114 Exercícios, 5 8 10 6 9 FUNÇOES BOOLEANAS, 117 TÉCNICAS DEDUTIVAS, 62 Exercícios, 120 '-_ 6.1 Prova direta, 62 6.2 Prova condicional, 65 A 1 1 6.3 Prova bicondicional, 67 4 - - 6.4 Prova indireta ou por redução ao absurdo, 68 O REPRESENTAÇAO DAS FUNÇOES BOOLEANAS' 122 6-5 Pwva indireta da forma C°ndÍ°Í0n¿1› 70 11.1 Diagramas de Venn ou círculos de Euler, 122 Exerc1c1os, 71 . . 11.2 Tabelas-verdade, 123 g - 11.3 Representação geométrica, 124 l Exercícios, 128 1 1
  • FORMAS NORMAIS, 131 12.1 Forma normal a n variáveis, 131 12.2 Forma normal disjuntiva, 131 12.3 Forma normal conjuntiva, 133 12.4 Funções na forma binária, 134 12.5 Funções na forma decimal, 135 Exercicios, 137 13 MINIMIZAÇAO DE FUNÇOES, 139 c 13.1 Método algébrico, 139 13.2 Método do Mapa de Karnaugh, 140 13.3 Método de Quíne-McC1uskey, 148 Exercícios, 152 14 PORTAS LÓGICAS, 154 Bibliografia, 166 ¬¢. :- » .irírriäiiwwi'vi- .Q %fiWiuureez»›ir'«›rz›àa;¬sar.~'eriàriiâ . _ _: _- › . . J _ ¬i“ ›.n›1‹znn'|~.P/~>b!\›n&›0' Prefócio Os últimos 10 anos vêm presenciando um aumento sem precedentes da apli- cação da Matemática, particularmente da Álgebra, no entendimento e solução dos problemas das Ciências da Computação. Estruturas algébricas, cada vez mais, estão sendo empregadas na modelagem e controle de circuitos eletrônicos e de sistemas de informações. A Álgebra aplicada à computação vem sendo paulatinamente in- troduzida nos currículos das escolas de 2.0 e 39 graus sob formas diversas. É, pois, com grande satisfação que apresentamos ao leitor este dedicado tra- balho do colega Jacob Daghlian. Trata-se de um livro que surgiu como frutodo intenso trabalho de pesquisas bibliográficas e das experiências do magistério viven- ciadas pelo autor no ensino de disciplinas cujos conteúdos abrangem este texto. É sabido que os estudantes são mais hábeis quando conhecem a causa pela qual aprendem uma técnica particular e tendem a perder o interesse se os métodos matemáticos são apresentados de maneira puramente abstrata, sem aplicações prá- ticas. Consciente, o autor adota a estratégia de ensinar, através de exemplos, utili- Zando o instrumental lógico para o entendimento e a modelagem de sistemas reais. O uso de ilustrações familiares como meio de exposição, por certo, oferecerá base para generalizações e o próprio conhecimento e desenvolvimento da Lógica pelo leitor. Devemos deixar claro que não desaprovamos a abordagem orientada exclusi- vamente para o conhecimento da Matemática Pura. Porém, entendemos que, quando o trabalho básico inicial estiver bem assentado, o aluno terá estímulo para aprofundar os indispensáveis conhecimentos teóricos da Matemática Pura. Com esses objetivos o autor produziu um livro-texto claro e compreensível destinado aos cursos introdutórios de Álgebra Aplicada à Computação que certa- mente dará os fundamentos para que os leitores caminhem com segurança nos estudos, investigações e pesquisas nessa área do conhecimento humano.
  • Congratulamo-nos com o Prof. Jacob Daghlian e com a Editora Atlas pela publicação, augurando a continuação de empreendimentos desta natureza. São Paulo, abril de 1986 PROF. GILBERTO DE ANDRADE MARTINS z.- Í-zf_*É ‹›‹--M»-«--‹ š Apresentoçõo O presente texto originou-se das notas de aula do curso que ministramos há alguns anos aos alunos do curso de Matemática da Faculdade de Filosofia, Ciên- cias e Letras da Fundação Santo André. Ao redigi-lo, como primeira razão, moveu- -nos o interesse de entregar aos nossos alunos um texto que contivesse os pontos principais de nosso curso e que superasse a necessidade, nesta primeira parte dos estudos, de livros estrangeiros de difícil e cara obtenção. Outro aspecto importan- te que nos levou a este trabalho e nos mantém motivados no seu aprimoramento é a apresentação de um sistema algébrico que representou importante passo no desenvolvimento' da eletrônica, computação, pneumática e outras aplicações que envolvem até a Pesquisa Operacional. Sua presença é marcante nos estudos de automatização, levando a simplificações com sensíveis reduções de custo, tendo dado origem a métodos que representam grande economia de tempo em projetos com os quais possa relacionar-se. Nada apresentamos de original e, em alguns casos, incorremos na linguagem característica de queridos mestres como o foi Alcides Boscolo, de saudosa memó- ria, e ainda o é Edgard de Alencar Filho, não deixando de mencionar a marcante influência de alguns textos citados na bibliografia. Agradecemos o apoio dos colegas, bem como as críticas recebidas, sendo os erros e imprecisões de nossa inteira responsabilidade. Em particular, agradecemos ao Prof. José Otávio Moreira Campos o incentivo e empenho para a concretização deste trabalho. Finalizando, prestamos nossa homenagem aos professores que desde o Jar- dim da Infância participaram de Jnossa formação, dedicando-lhes este livro e, para evitar omissões, citando as diferentes escolas que cu rsamos: Jardim da In fância e Primário Academia de Comércio “Horácio Berlinck” -- Jaú - SP , 14 ç 15
  • Ginásio Ginásio Estadual de Jaú -Jaú - SP Colégio São Norberto - Jaú - SP Colégio Dante Alighieri- São Paulo - SP Cíentff/'co Escola Preparatória de Cadetes do Exército - São Paulo - SP Escola Preparatória de Cadetes do Exército - Porto Alegre - RS Superior Academia Militar das Agulhas Negras -_ Resende - RJ Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da Fundação Santo André - Santo André - SP Organização Santamarense de Educação e Cultura - OSEC- - São Paulo - SP (Especialização) ' Pontifícia Universidade Católica de São Paulo - PUC -_ São Paulo - SP (Pós-Graduação) Instituto Metodista de Ensino Superior - IMS - São Bernardo do Cam- po - SP (Mestrado em Administração) São Paulo, 1995 JACOB DAGHLIAN 1' _; siíiifsfirmfrfi»ih-her»›».+»:‹e»'aa~«r=i+=.à›iézz+v. ir. 1 $ 1 5 i Sistemos Dicotômicos 1.1 INTRODUÇÃO O mundo em que vivemos apresenta situações com dois estados apenas, que mutuamente se excluem, algumas das quais tabelamos a seguir: 1' 7' ' ' ' ' 77 7 ' 7 W" 77 7 ' ' l 77%' 7' ' 77" ' 77 F , ll 1 l O l *I fim *Í Ami* 'f`íIíÍ7T7J"rÚ_7`|ÉF l íi 7 ` S' .im Não - fz f_____ :_-;____ _ __ __ f 1; - -- -- -- -ff ;L - z 7-ííf-f»_ ` - ;_-~- z-77 ___ _ __ ff li 1 Dia Noite Preto or Branco * T7 Ylífr _ _ ' ' ' 7 "Í 'mf' ___T_ _ __ __ "' 7 ___ _ "' z Tfwz __ 1 _ '41' l Ligado ii Desligado oç Há situações como morno e tépido, diferentes tonalidades de vermelho etc. que não se apresentam como_ estritamente dicotômicas, ou seja, com dois estados ex- cludentes bem definidos. A Lógica começou a desenvolver-se com Aristóteles (384-322 a.C.) e os an- tigos filósofos gregos passaram a usar em suas discussões sentenças enunciadas nas formas afirmativa e negativa, resultando assim grande simplificação e clareza, com efeito de grande valia em toda a Matemática. Por volta de 1666, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) usou em vários trabalhos o que chamou ca/cu/us rarr`0tr`nator, ou /og/'ca mathematíca ou /ogrstíca. Estas idéias nunca foram teorizadas por Leibniz, porém seus escritos trazem a idéia da Lógica Matemática. no No século XVIII, Leonhard Euler (1707-1783) introduziu a representaçao gráfica das relações entre sentenças ou proposições, mais tarde ampliada por John Venn (1834-1923), E. W. Veitch em 1952 e lVl. Karnaugh em 1953. Em 1847, Augustus DeMorgan (1806-1871) publicou um tratado Forma//og/'c envol- 17
  • vendo-se em discussão pública com o filósofo escocês William Hamilton (que nada tinha a ver com o matemático William Rowan Hamilton), conhecido por sua aver- são à Matemática, o qual, entre outras coisas escreveu: “A Matemática congela e embota a mente; um excessivo estudo da Matemática incapacita a mente para as energias que a filosofia e a vida requerem.” George Boole (1815-1864), ligado pela amizade a Del\/lorgan, interessou-se pelo debate entre o filósofo e 0 matemático, escrevendo The mathematfcaƒ ana/ysís of /ogic (1848) em defesa de seu amigo; mais tarde publicou um livro sobre Álgebra de Boole, chamado An investigar/'on of the laws of thought (1854) e em 1859 escreveu Treatƒse on dífferentíal equa- tions no qual discutiu o método simbólico geral. O trabalho de George Boole foi ampliado por Lewis Carrol (1896), Whitehead (1898), Huntington (1904 e 1933), Sheffer (1913) e outros. Este período de desenvolvimento da Lógica culminou com a publicação do Principfa mathematica por Alfred North-Whitehead (1861- -1947) e Bertrand Russell (1872-1970), que representou grande ajuda para completar 0 programa sugerido por Leibniz, que visava dar uma base lógica para toda a Matemática. A Álgebra de_Boole, embora existindo há mais de cem anos, não teve qual- quer utilização prática até 1937, quando foi feita a primeira aplicação à análise de circuitos de relés por A. Nakashima, que não foi bem-sucedido, pois, ao invés de desenvolver a teoria já existente, tentou desenvolver a Álgebra Booleana por conceitos próprios. Em 1938 Claude E. Shannon mostrou, em sua tese de mestra- do no Departamento de Engenharia Elétrica do MIT (Massachusetts Institute of Technology), a aplicação da Algebra de Boole na análise de circuitos de relés, usando-a com rara elegância, o que serviu de base para o desenvolvimento da teo- ria dos interruptores. O assunto deste curso, ainda que elementar, visa mostrar as aplicações da Álgebra de Boole ou Algebra Lógica não só no processamento automático de dados (computação), como também na automatização da produção industrial, mediante a utilização desta teoria aplicada aos fluidos. 1.2 INTERRUPTORES 1 fi "'.\`-T .É aê. lrIälr'r‹rf:Hlii=.i'=ii*+-«.»››=iiiê~'-i»:~i›z< ;; É __ râ, .. .z F»_ É ._-1 -1 I. 1.‹.T. ä P. 'i -Í 1 ,. H. i 1 f ` Por conveniência, representaremos os interruptores da seguinte maneira: _ _ _ 3 __ _ fz _ Neste caso, somente conheceremos o estado do interruptor se tivermos a indi- cação de que a = 1 ou a = 0. Conhecendo-se o estado de um interruptor a, pode- remos denotar também por a qualquer outro interruptor que apresente o mesmo estado de a, isto é, aberto quando a está aberto e fechado quando a está fechado. Um interruptor aberto quando a está fechado e fechado quando a está aber- to chama-se complemento (inverso ou negação) de a, e denota-se por a'. Sejam a e b dois interruptores ligados em para/e/0. Numa ligação em parale- Io, só passará corrente se pelo menos um dos interruptores estiver fechado, isto é, apresentar o estado 1. Denotaremos a ligação de dois interruptores a e b em para- lelo por a + b. Então: a {lí? Sejam a e b dois interruptores ligados em série. Numa ligação em série só passará corrente se ambos os interruptores estiverem fechados, isto é, se a = b = 1. Denotaremos a ligação de dois interruptores a e b em série por a - b ou simples- mente ab. Então: ._____.___a+bi.__.__._ ___ 3 ___ __b__ _ a.b Assim, considerando os estados possíveis de serem assumidos pelos interrupto- res nas ligações em série e em paralelo, podemos notar que: 0+O= =O CD (D CJ 0+1= 1+0= 1+1= a+b= ,,._¡U'-¡._a-a '1- Q) DID)-..¡._¡Çj Í... Chamamos interruptor ao dispositivo ligado a um ponto de um circuito a+3'= ' elétrico, que pode assumir um dos dois estados: fechado (1) ou aberto (0). Quan- Í,_}z a +0 = a a ° do fechado, o interruptor permite que a corrente passe através do ponto, enquan- a + 1 = 1 a - to aberto nenhuma corrente pode passar pelo ponto. _ I Todas estas equações podem ser verificadas ... _ priado. As ligações de:Fiepresen taçao. _ /8- ___ aberto e _{ __ ______ ._._a_____ _ ______ fechado U--AC)_¡ a'= 0: Oocr-›c::o 0) 1=a desenhando-se o circuito apro a - b - __C _
  • são a ' (b + Cl 8 (8 ' b) + (3 - c), respectivamente. Os circuitos estão ambos abertos se a = 0 ou b = c = 0, e estão ambos fechados se a = 1 e (b =10u c = 1); logo, suas ligações são iguais. Então: a'(b+c)=(a'b)+(a'c). As ligações de: ~l lr B di Hfl- são a + (b ° c) e (a + b) ' (a + c), respectivamente. Oscircuitos estão ambos abertos se a = O e (b = O ou c = 0), e ambos fechados se a= 1 ou b= c =1;logo, suas ligações são iguais. Então: a+(b'c)=(a+b)'(a+c). Vejamos alguns exemplos. 79 Exemplo: Determinar a ligação do seguinte circuito: Solução : (a+ a 1--rz 1 _ n . p __ b) ° c + (n - p). 29 Exemplo: Desenhar os circuitos cujas ligações são: al D'(D'+‹1'r›l bll ' .IvSoluçao: al ×+vl° (×'+v). D' _ _ Q-_-D › 3 3«_ um vi .Áz ,. 1 , gv _. s -(2 ¬z'-r ã 1 fr -rqfliniiaiiurvmz bl EXE RCÍCIOS 1. Dar as expressões algébricas dos circuitos desenhados al {;1~lí;1~ Ç b) Y--4: }- 7Z xa-ni-1°l -4 r >b c ) ai × -Y l¬l . .., l- › _ Z :_V i r '. t - w z l e) o X _ fl 1it:]_,.,___ z- a ¬ ) (ih T7 a'ñ Zz b 7 í )a' z _ .c ..__.._b' 9) hl l _ 3' _ _ b _ ___ _ 3' __ __ b' ) _a_ b___ __ C __J _ a ) 3 b b ---d-z_c ( b d
  • 1 lll__.__.¡.¡' __b .......¢'__._.. 1 ¡) { a _ c 4;íI i 1 j "'_'l r-_' L_ _a' _ _b'- c ___ l 2. Desenhar os circuitos cujas ligações são dadas pelas expressões: alr›'(q+rl blm+(D"Q"r') ¢]im+n+p+q dll×'vl+(×"ü el, f. . f fl lr›+ql'lp'+q'l gl lD+ql°(r>+q'+r'l hi(a+b-c)°(a"b'+c')+a'°b"c' i) p'[q'°(s+r)+r's] +(q+p')-(r°s'+s) l Atenç:á'o: O leitor não deve passar às páginas seguintes sem que se sinta perfeitamente capaz e desembaraçado nos dois tipos de exer- po e os erros cometidos. cícios das seqüências acima. Tente de novo, marcando o tem- l 7 i““"` 1.3 CONJUNTOS Sejam a, b, c, conjuntos de pontos tomados num espaço E dado. Na fi- gura abaixo, o retângulo é o nosso espaço E e as figuras internas são os conjuntos22 ' 8 a' 0 1 23 ‹=f«'v¿vzi,š¿é;¡( sv_~.v 'av -1 rf f s /r @H , __ a _ c , l . . a' b ___ c ___. ,_E__ , , a _ b' c l __ __a __b -___ c'__ _. . * { 1 4 -i (× vl+(× V) . â i 7 . -1; . .->':-.f?f`?'¿>`z1›)Í«1. z;-.“Í¿§'-""'Ê.Ê'/
  • Para dois conjuntos quaisquer a e b do universo 1 valem as igualdades: Podemos verificar sua validade construindo os diagramas apropriados, por exemplo, pelos círculos de Euler ou diagramas de Venn. Outros resultados podem 0+0 0+1 1+0 1+1 a+a'= ..-› --Q oo -zo a+b= a+0 a+1 mU'_¡..-.¡..¡ + ID m0Jm_..\...¡ 1 a ser obtidos para três conjuntos quaisquer a, b e c. 19 Exemplo: U'm__-›C3 0 1 Mostrar mediante diagramas apropriados que: Solução: `%š _)É a+( Cb b'c)=(a+b)°(a ..._ 1- +c) mC3U'Q-*CDGO 8 '-2. is-2 l'li‹~i`¬..."fl'-7›'-1'f'l¡.~*‹ii «ii 29 Exemplo: Í; Solução : 8+(b'Cl (a+b)°(a+c) ‹Q 4Q F Cl l I D Cir Dr' + p'qr- llustrar pelos cfrculos de Euler a expressão pr' + p'qr. I O I É m mÁ ,ii lllli É a DF' ' m í ""-%'___ a b'c 'Will 3P Exemplo: C É O i Dar a expressao da região hachurada no diagrama: , × la -;.¬i.:,i,Iiir¡.,,__| _ .z_:~j',ii,lÊli¡i ilãrrlifliii llllljflil lllilili viii,ll liliiliiir. r “ill .mi * "* '*'l ' .z (1. 4 lí ;i,l¡l(ll 1 S0lU.¢ã'0= _ X V Z: + xr yr Z 24 a + b 3 + C i'
  • ' ii J.. i 1 Í. ir1;,. ¡._ 1 Lfl. .,¡| .F 'i (I iii' llil'âi iiliii.-.,. i.ç. l.: › fl il fz- il É.Li li i.: “fiz.P iii --1 lgie' .il »_iiI.,. .lili r(lil= i 1., | ilirií" lifoi llli i ll' i.ll'l~.i iii `|(l ,l` Í.-;_i"'._.__"TFZ*.._F:`¿'._'.ÊÍ.á EXERCÍCIOS 1. Desenhar os diagramas de Euler-Venn para mostrar: a)lJ+q' bl i1›°q' cl p'+‹i cl (D'l'=P 1.4 Pnoeosiçoes oo Chamamos conceito primitivo aquele conceito que aceitamos sem defini- ção. Enquadraremos neste caso o conceito de proposição G. D0|'Í3flÍ0z 0300 def* niremos. Entretanto, nada impedeque conheçamos suas qualidades, lembrando que propos¡ç:á"o é uma sentença declarativa, afirmativa e que deve exprimir um pensamento de sentido completo, podendo ser escrita na forma Slmbvlwã OU flfl linguagem usual. Então, são proposições: a) tg -:L = 1 b)\/3q:1+2=3implica2¢1 Observações' a) Quando for conveniente indicar que uma proposição composta P é formada pelas proposições simples p, q, r,..., escreve-se:P (p, q, r, ...). b) As proposições componentes de uma proposição composta podem ser, elas mesmas, proposições compostas. A c) As proposições compostas .são`também chamadas fórmulas proposi- crona/s. lndicaremos o va/or lógico de uma proposição simples p, por V(p). Assim, se p é verdadeira, V(p) = 1 e se p é falsa, V(p) = 0. No caso de uma proposição composta P, indica-se por V(p). Nas proposiçäs abaixo: p: O sol ê verde. V(p) = 0. q: Um hexágono tem 9 diagonais. V(q) = 1. r: 2 é raiz da equação xz + 3x - 4 = 0. V(r) = 0. 1.4.1 Princípios fundamentais da lógica matemática a) Princrjoio da Não-contradição:
  • 28 l 5' T bl Princiivio do Terceiro Excluído: bl P(p'q'f) Toda proposição ou é só verdadeira ou só falsa, nunca ocorrendo um tercei- ro caso. “T T * " ' . . _ - . - ~ P * q i f li 0 f De acordo com esses principios, podemos afirmar que. toda proposiçao K Í ,¿ 1: ___* 1 ladmite umeum só dos va/ores 1,0. lã ii 1 1; O zç O * O i . , . H - , Í, :_Í”_ Í ,WÍ;_ Í Í 1 Chamam-se conectivos lógicos palavras ou expressoes que se usam para for- T 1 ii ¿ 1 f q 1 . H . . ~ 1 .; li ij li l mar novas proposiçoes, a partir de proposiçoes dadas. Damos abaixo algumas pro- 2 \ 0 0 À 1 i Q posições compostas por diferentes conectivos (grifados): T. . ..¡.___ J r P: O número 4 é quadrado perfeito e o número 3 é impar. l 3 0 1 l 0 *I p O: O triângulo ABC é retângulo ou isósceles. É F" T Fl: Se João estuda, então sabe a matéria. 1 4 1 0 À 1 ° 1 il U1 _.,e Oe ,ga, e ,1. o` ` f _ rfffff 71.4.2 Tabela-verdade ir , "lr “ 6 i 1 o z 1 T q Pelo Principio do Terceiro Excluído, toda proposição tem Vlp) = 1 ou F T. : 0. _ 7 Ê. 1 ¿ 1 E O _ I'ff-¬ i 1' L f;i=›f 0 ¿fa11i1 1------1 Ê ,.:.;i_ L- `, eu ll i O sp 1. 1 1 Apresentaremos, sem demonstrar, o seguinte teorema: iil i Nas composições, o valor lógico de qualquer proposição composta depende Í ç_ o número de proposições componentes. unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por ¡ 1 eles unívocamente determinado. Usaremos como meio auxiliar na construção das , i tabelas-verdade o “diagrama da árvore”, que se vê ao lado das tabelas._Na.situaçao i Exemplos: ç atual, os números que aparecem na primeira coluna tem apenas a finalidade de a) Dada pg n = 1 e a tabemverdade terá 21 = 2 unhas. indicar 0 número de linhas para cada exemplo apresentado. TT s bl Dada Plp,q), n = 2 e a tabela-verdade terá 22 = 4 linhas. Para as proposições compostas, veremos que o número das componentes D cl Dada Plp,q,rl, n = 3 e a tabela-verdade terá 23 = 8 linhas. simples determina o número de linhas das tabelas-verdade. Exemplos: ~ oal Plp-ql exe Rc rcios l Í i l ` í _______Ff____Ê_ O Q t. 1. Determinar o valor lógico (1 ou Ol de cada uma das seguintes proposições:_ 10 E O ¿ 1 al O número 11 é primo. Vla N. O __.. TJ O fi .- i -_ Q- _ dl sec2 32° = 1 + tgz 32°. V(d l g \ \ bl senz 25° 'T+ cos225° = 1. V(b) i 3 *1 ¿ O “ 1 1 cl O hexaed ro regular tem 8 arestas. Vlcl l 4 *T 1 1% q 1 , el ioga.-â= 1. vie) i Teorema: O número de linhas de uma tabe/a-verdade é dado por 2", onde n é I s.../¬.f€\l\f‹-i¬uuf'‹|f¬|¡I`l~..‹v~ l l \...‹\./\./\.r\-f\.z»_z\f\|f\|f\i\uf×.z ) ) ) ) l )
  • I ) ) ) ) l l ) i \ l x.../"~u/\u/*IIII" ) ) ) ) ) ) › ) l 1) J J l ) J il i f) loga1= 0. \/(f) z gi semi 30° + CQS2 30° = 2. h) senz g + cosz g = 1. i) log (2 ° 3) = log 2 + log 3. j) Todo número divisível por 5 termina em O. l) O par {× x} é igual a {x}. Vlgl = Vlhl = Vlíl = Vlil = V zz lO dl l-l l m Ç 2 ~ *' '1:, ,,;;,š' ° _ ×~ mg Operoçoes Logicos sobre ol cos(-xl = cosx. V(0) = . - ~vipi z ProposiçoesDl -2
  • Outras maneiras de exprimir uma negação! O valor lógico da disjunção inclusiva de duas proposições é definido pela Não e' verdade que João é estudante. tabela-Vefdadei - É falso que João é estudante. 2.2 CONJUNÇÃO (.l A conjunção de duas proposições p e q é uma proposição verdadeira quando V(p) f= V(q) = 1, e falsa nos demais casos, isto é, só é verdadeira quando ambas as componentes forem verdadeiras. Chamamos p 1 q a conjunção de p e q e lê-se: np e qn' L* › D ‹1iD+‹1 O _¡`O .z O , 1 101 _ Ei.---E. ee E i 'Â ' 3 . , 1;1=1,1 Então dadas as proposições abaixo vem:O valor lógico da conjunção de duas proposições é definido pela tabela- É ' ' -verdade: 1 to q=r›'‹=i~ ao oiol! ET lL i 4-;rá;-cz. _ 1 _ . i ¬ l1:1,; -- - - - - - 1111 _. ___z;zlz__.zz..__z_¬_ . V il Então, dadas as proposições abaixo, vem: al pzsen § = -É i (1) 1 q:cos0°=1 (1) Vl.p'ql =l bl r: |ogz2=1 (1) s: 2.°=2 (O) V(r° s)=0 2.3 DISJUNÇÃO INCLUSIVA OU SOMA LÓGICA (+l A disj'unçã'o de duas proposições p e q é uma proposição falsa quando V(p) = V(q) = 0 e verdadeira nos demais casos, ou seja, quando pelo menos uma das componentes é verdadeira. Chamamos este conectivo disfunção inclusiva ou soma lógica; denotaremos a disjunção de p e q por p + Q. 8 lê-S62 "D OU Q"- l1olo^ \ Q ¬ 11 al p:Tr=3 (0) 1: ~ J *` q:9-3?6 (1) 1 - ¬,-Í VlD+ql =1 ¿0 110. b›pz×/í
  • I ) ) ) l -~./ul'-ui/~¬..×' çl l --/-./\-/\-/ '\ ) ) ) _) tt) ) i ) ) l l il J l i J J O valor lógico da disjunção exclusiva é definido pela tabela-verdade: ,_ _ 'U .Q O O ii. _ E O _) 1-J -ao O _.: ú ¿Í_-_ á O Então, dadas as proposições abaixo, vem: al p:rr2 V(p®ql=1 bl p:tr 1 (ll -verdade: WP *“”* ql = 1 ¬z bi r›:×/IT E 2 ioi ° p _) q- ‹=i=×/í > 1 iii ca ci ni-'L Vip*->ql=0 Então, dadas as proposições abaixo, vem: bl P T 'ff O 1-ul í r__ 1-Lzbunnl -o `c: Daremos de maneira breve a ordem de precedência a ser observada entre asoperações estudadas, que é a seguinte: al' c)-> al pztgg-=1 (1) d),.,_____,_ q:sen0°=-'-O (1) ` _ VÍP _* ql = 1 a identificação da forma da proposição composta, conforme mostramos a seguir: 3 Esta ordem de precedencia entre os conectivos tem a finalidade de permitir
  • Assim, p ‹--› q _-› r é da forma bicondicional; a proposição p + q' --› q - r C) 3 > 2 ou sen90° > tg45°. é da forma condicional, ao passo que, p + lq' --> C1 ' rl é composta por disjun- d) se l -1 I < O então sen90° = 1. ção. Portanto. a correta colocação de parênteses, quando for o caso, é de extrema e) 3 > 1 _› 30 -.z 3_ importância. _ .P 1 f) 1; > 4 i› 3 > \/še gl tgn = 1 se e somente se senrr = 0. _ h) Não é verdade que 12 é um número impar. EXERCICIOS ¡) (1 +1 = 2+-›4+3=5)'. , Á it jl (sen 0° = O ou 1. Sejam as proposições p: João joga futebol e q: João joga tenis. Escrever na Iin- guagem usual as seguintes proposições: 'A .5_ Sabendo que V(p) = 1 e V(q) = 0, determinar o valor lógico de cada uma das a) p + q proposiçoesz bl ia ° Q al ia ° Q' cl iv ° q' bl r›+q' dlr›'°°q-›r' t fl lD+o'l‹-›(r°sl hl [D-->lq' rl] il lr›+la°rl1'-›s' filP'+f ¡) (p+_›q)._›r' bl lr+(r›-rs t cl lp' + lr bl senrr = 0 e cosir = 0. ° sl'] 4. Determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: dl [CI *_* lp' ° S el3+2=7 e 5+5=1o °llpH°l+lq`_`>pl` fl lD*“¬*Cil'lr'-'--rs) ll ll' ei lp - qq' + (r _). 5) V 8. Para que valores lógicos de p_e q se tem Vlp ° ql = Vlp ---›.q)? gn [D ___) (Q _ rn _ S z 9. Se V(p) = Vlql = 1 e V(rl = Vlsl = 0, determinar os valores lógicos das seguin- ' , tes proposições: úfnfàflfrflfiwiwiiduiudw i l OÍÍÍÍÍO 2 l 1 l i
  • r l l 9) {[Ci' ' lo - s'll'}' i lh i>'+la° lr-›s'll il lD'+fl'_'¬*lq--*sll . ×../¬-/--f~./ l __) ) il [D + lq-' sli' + lr-_›s'l ll Cl" lll"+Sl‹-_»-›lD-_->q'll ml lP'_*l rl ' s, sabendo que Vlrl = 1. Determinar os valores lógicos das proposições abaixo, justificando os casos em i 3 9) p -«-› (r + 5), sabendo que yr,-) = 1_ Para se construir a tabela-verdade de uma proposição composta dada, proce- h) lp 1 ql r, sabendo que V(q) = 1. de-se da seguinte maneira: Ê) [lp '_-_› fll . p]__› pl' Sabend° que Vlp) = 0' al determina-se o número de linhas da tabela-verdade que se quer cons ll D _* (Cl ' rl. sabendoque V(q) = O e Vlrl = 1. tru¡r_ J bl observa-se a precedência entre os conectivos, isto é, determina-se a for ma das proposições que ocorrem no problema; ') . . _ .. .. . . . _c) aplicam-se as definiçoes das operaçoes logicas que o problema exigir. l l ) . ) i l r-- -rf ~ -I' I' fl' ) e ~ - -i ij ` . 1 ) l i. z _ ___ i-__ i l l l l Vejamos alguns exemplos: . 19 Exemplo: Construir a tabela-verdade da proposição: P(p,q) = (p ° q')'. Solução : J ~ çp ‹11
  • e, para todas as linhas da tabela-verdade, vem: P(00,01,10,11l = O conjunto V = {00,01,10,11} é o conjunto de todos os valores possiveis ~ de serem assumidos pelas proposições componentes de PlP.Cll e, considerando que * a cada elemento de V corresponde um e somente um dos valores de {0,1}, dire- 1 - mos que Pieeiz v -~ {0.1}. - l ou seja, a tabela-verdade de P(p,q) é uma aplicação de V em {0,1}. O mesmo se dá A â z l T 1 com proposições compostas por um número maior de proposições componentes. S 5 l 29 Exemplo: Construir a tabela-verdade da proposição Hmw=%o'm"+m**pY. ` 1 i Solução: 39 Exemplo: Construir a tabela-verdade da proposição: 1101. A Hmmd=D+r“~*q'f. Solução : lp T" + ¡ I q r r p r q r p+r -->q r ser ¬ - -~~~ fr f ~f ¬ ¬Cl ' 'l _____ __¬L _ _ __ _ _ --›--›c>oc:›c:> -›-~oo-›-oo --*CJ-›O-*O-*O CD-*O-*O-*O-H _;-...¡...¡_\@...¡@_› O--IOQO-*OO @...¡@@.-¡....¡.....\ O -. L _l____ zz zzzzz __ _ _ _ _ _ _ r No caso de três proposições componentes, temos: i O Pl000l = Pl100l =O O 'P Q p°q m°qY arco lqttm' w'qY+h**DYlO Pioo1i= Piio1i=-A O -*OOO Q.-aa.-a-.L -\@@-.L ___ _|_ _ __ __1-uinq _!-lu-rm V, P(010l = P(110l = P011l=1 Pl111l= V, P(000,001,010,011,100,101,110,111) = 01110010. l O ui-I d ni-Á 1 1 i il __O OC @-A o_\ T "J"`"° Fazendo V = {000,001,010,011,100,101,110,111}, ou seja, V é o conjun procedendo de maneüa anáwga ao exempm anteñor' temos: toxde todos os valores possiveis de serem assumidos pelas proposiçoes componen P(00l = Pl01l = P(10l = P(11l == @..s...¡«-s Q Há outros métodos para construção de tabelas-verdade, porém nos restrin- f p(p'q¡) = ip __> q) . (q _, r) _, (D ___., r _ 40 giremos ao método utilizado nos exemplos dados. _ ' P ' tes de P(p,q,rl, mediante raciocinio análogo ao caso de P(p,q), temos: HmmdflW-*{Q0- Então, a tabela-verdade de P(p,q,rl é uma aplicação de V em {0,1}. ou P(00,01,1 0,1 1) = 1110. 49 Exemplo: ~.../¬uI€Ú€¬d'¬d¬d~‹dul-/¬.. `i ,l Oííëííí /J' \./\/\f\I"\-' ) ) _ )Enño, determinar P(O0,01,10,11) consiste em construir a tabela verdade para a É _ V P _ __ proposição dada e responder na forma indicada nos exemplos dados. C°n5tr“" a tab°la`l'e'dade da p"°p°5'Ça°¡- l 41 l l ›
  • III QSoluçao. F _ _¡_ _ ¶ ___ ¬.__ __ __ _ __ __ _ _. _zzzz M1 rf 1 1 i -/×..../\uf'rud-./ i- i P fi ',f**°.°"*frr>rP+q dl is'--›lçi-›i›l el ln-'¬>ql-~›i›°q fl ai*-+ai" ia sl li›+-›‹:i'l--›ri+i= hl lr›Dl--+lD--›rl dl lp--›rl--›lD'-›r'l Dizer quais as proposições que satisfazem às tabelas verdade abaixo ? bl 7 cl ?Qi í 1 e V(q) = Vlsl = 0 determinar o valor logico de
  • Bariri Brp--*ri BIG*-*P pr-ra C=r›'--*ri C=i>p D:p'°q D:p'q' nenhuma delas. E: nenhuma delas. E: nenhuma delas. 8 Determinar as proposições compostas por conjunção que satisfazem a cada uma Í só das tabelas verdade indicadas. l -›-ioo L p ,ql A l B C W ñ D E _ CD CD _. ._.ÍÍ._. QI- -*-eCD -eCDC3 _»(3_. -úl ÉCD É _» 1CD _; Li 9 Determinar as proposições compostas por disjunção que satisfazem a cada uma das tabelas verdade indicadas. _ _ JI' '“' ' '7"¡____ __ __,iun, '“ '“ “ÍLY +- l 1 P Í ___ __ _-+- L ___ zi ___ -- Al B i C *___ _;-ih@3 __Í4”____¬lF _;Q-L3_Q C)._¡-s_; CDCDCD-^ _A-4i...z -.L-.ni-.L@ ...›@...¡ CD-*CDCD l_ 1 _i______ .___ _ _ xl L___ 10 Determinar as proposições compostas por condicional que satisfazem a cada uma das tabelas verdade indicadas. "notre ff r rf* i 1 P T Q _¡-AQQ -.›@...¡@ O__;-A...ab ir_-__- CDCDCD-e Lie-1._ ._¡-A_;@ CD-4CDCD -li-¡@-a p +q A¡p +q' A;p--› q 11. Determinar quais das seguintes proposiçoes são tautologias, contradiçoes ou contingências: alD'“_*(D'_'>ql bl p'+q-*lp-*~>ql el na->lq_>lq-*roll dl (lp-rol*-*ql-“rn el i›+
  • i É nl l il ) ) X fl -...×\-/\./~¬../×_/ l › ) » l l ) ) \ l ) i Ú 1 1 fl \ll \ l ) J ) 46 i J l Reloções de lmplicoçõo e de l I A 0€qu|vo|enc|o O estudo das relações de implicação e de equivalência, de grande importân- cia na Lógica, será feito de maneira suscinta, como convém ao nosso estudo. Antes, porém, definiremos alguns conceitos introdutórios. 4.1 DEFINIÇÕES a) Duas proposiçoes sao ditas independentes quando, em suas tabelas-verdade, ocorrem as quatro alternativas. L Exemplo: _ ne] -=fl`OC> mí... bl Dizemos que duas proposições são dependentes quando, em* suas tabelas-verda- de, uma ou mais alternativas não ocorrem. Exemplo: 1 ff* '_ 'ff *___ *_ *mf 7 _ ¡¡ . po q p__¡ --*O-IO -s-..¡@..-1 Não ocorre a alternativa 10 l entrepeq->p. I.__s__JL_...- "lr _ Neste caso, dizemos que existe uma relação entre as proposições p e q --> p. Examinaremos as relações simples (quando uma alternativa não ocorre) e as rela- ções duplas (quando duas alternativas não ocorrem). 4.2 RELAÇÃO DE IMPLICAÇÃO Diz-se que uma proposição p implica uma proposição q quando, em suas ta- belas-verdade, não ocorre 10 (nessa ordem!). Notaç:â'o: p -i> q. Observaçao importante: ` Não confundir os símbolos --> e -L->, pois, enquanto o primeiro re- presenta uma operaçao entre proposições dando origem a uma nova pro- posição. o segundo_ indica apenas uma relação entre duas proposições dadas. Exemplo: Verificar se piq --> p. Solução: 3 Q r fl-¬.° 31. '__ 1 -“Ó--*Q Comparando as tabelas-verdade p e q -~› p, verificamos que não ocorre 10 (nessa ordemll numa mesma linha. Portanto: pí q --› p. . ` 4.3 RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA Diz-se que uma proposição p é equivalente a uma proposição q quando, em suas tabelas-verdade, não ocorrem 10 nem 07.
  • Natação p q Leis comutativas: al D + Q :> fi + D. Observacão importante b) p _ q q _ p. emplo Verificar se p q (p + q ° ução p+q ln +ril _ _ -L . L* L- CD--*O OOC3 @-¡.....› _›@_|. ..-¡.....¡....¡ DOO--*CDO Vale para os simbolos
  • Destas tabelas tiramos as seguintes equivalências notáveis:Leis distributivas alp lli> ql+(p l blp+m rM%=$%p+qllp+n E I q+r lq+r) E'O zz¬..i lp --› ql i> iq' --> D'l iq _> pl ln' --> Ci'). 4 5 PROPRIEDADES o T ca o o ¬--_... nf O O O O A condição necessária e suficiente para que p í> q é que o condicional p -› q seja uma tautologia.CDO O n_I -nl C) QDO DOO CJOCD \...../Í O zin-L --o ._.¬i_ xlanl OC) 1___ Demonstração: lu-Ãlnnlíí -›-oo -*O--IO ..¡-¡....¡@ ..._. ql --› (p -1-I-› ql. Se p í> q, não ocorre 10, logo o condicional p _-› q é uma tautolo- gia. A condição é suficiente: (p -L-› q) _-› (p í> ql. Se p -T-› q, não ocorre em sua tabela-verdade a alternativa 10; logo, p "-"'---> q. - c.q.d. bl A condição necessária e suficiente para que p i> q é que p q seja uma tautologia.p‹-Hi D--› Q blq--+0' c p--›q dlq'+i2> elo Q b q --› p (contrapositivo) c) q --› p (reciproca do condicional) d p' --> q (reciproca do contrapositivol L _ E qn-me-->p ri---›i›p--›‹=i Mostrar que: a) q _ p ---› q bl q¬l=>i›'‹=i-r› C Dq' não implica p'--› q' d) pnão implica p ' q el D+Q=l$p-›-«oo -~o--c:i o‹:›--- cado-› __ _ _ 7 77 f _ _p
  • Verificar mediante tabelas-verdade as seguintes equivalências: z› ‹‹i›+‹›'›'i=+f, bi (lp ' q'l'l' É) p ' °' C) f'°f'í>I" dli='‹i'+i›'q'IP i) i:›iJ'fli>-"'*°°' miip.-›ql+lD-->fllí>'f'-"'*fl' Dada; as proposições abaixo, escrever as proposições equivalentes usando as equivalências notáveis indicadas. al Dupla ne93Çã°¡ (lp +‹1l'l' lli›" q'l'l' P ' Q bl Leis idempotentes: P' +
  • 5 Argumento \/dl ido 51 DEFINIÇÃO i Chama-se argumento válido toda seqüência de proposições pj , pz, .. ., pn+1 . n E N, na qual sempre queas premisms pj, p, , ..., pn são verdadeiras a conclusão pn+1 também é verdade e tal que a conjunção das n primeiras implica a última, P1' Então, para testar a validade de um argumento, procede-se da seguinte ma- ) al constrói-se a tabela-verdade de pj ° pz ° p3 ' - pn; ) tb) constrói-se a tabela-verdade de pn+1 ; V ) Cl comparam-se as tabelas: se na mesma linha ocorrer 10 (nesta ordemll, não há implicação (m) e o argumento é falho; se na mesma linha l não ocorrer 10, haverá implicação (il e o argumento é vál ido. Observação. A seqüência das proposições pode apresentar-se nas seguintes formas: P1 P2 Pa' Dn Dn+1 P2 ' Pa ' ' Dn í> Pn+1i I p1rp2rp3r 'flrpflr pI'I“I'1fl 19 Exemplo: Testar a validade do argumento: p ~--› q , q, p- Solução: Temos: p¡:p--›q l323Cl V P330 ` Devemos verificar se nas condições da definição, pl ° pg í> p3, isto é: lp ~~¬> fil 'Qí D? Procedendo conforme o critério já estabelecido, temos: u Q lp-:lol Q l-ig;-ql-ql P |_ 1___¡ o| -*O-*O -.\@.-..n......¡ _¡@_¡@ _\@Ê _¡..¡Q ` Na 29 linha, as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Na 4% linha, as premissas e a conclusão são verdadeiras. A 2? linha contradiz a definição de validade: sempre que as premissas são verdadeiras, a conclusão deve ser verdadeira. Ocorre 10. Portanto, (p-›ql. qgàp e o argumento é falho. _ ` O leitor deve ter notado na tabela a repetição da coluna correspondente à última proposição da seqüência p , para evitar que, na verificação da ocorrência ou não, numa mesma linha, dos valores 10, não se incorra em erro, verificando a implicação: i›@ii›--›‹ii-q em vez de verificar: lo _› ql ' Q $> o que seria a forma correta.
  • 2.0 Exemplo: ~ Testar a validade do argumento: p+q pl' . . q Solução: Devemos verificar se nas condições da definição: lD+Cll' D'í>q - Construindoas tabelas-verdade correspondentes, temos: ri ci p'Z_i›+q lr›+nl°i›' -›-oo ._¡o-.¡@ @@_\.......¡ -.¡_\_¡@ OO-*O -.s@_›@ Neste argumento, somente a 29 linha tem ambas as premissas verdadeiras. Como a conclusão é também verdadeira, não ocorre 10. Portanto. (p+q) - p' => q e o argumento é válido. 5.2 REGRAS DE iNi=ERENciA As regras de inferência são argumentos válidos (simples). União (U): É a implicação: D ' q 1) p '_ q. Modus Ponens (MP): P í* qi P56 ----E---. É a implicação: (p -_› q) ' p í> q. Modus Tollens (MT): D -r Ci . fi' 1 l --T-. É a implicação: (p -~¬~ ql ' q' í> p'. sl Adição (Al: D - . _ ...__..__ . E a implicaçaoz í> + .D ,q ri D Ci l `i \ l. \i Simplificação IS): ) pá q E a implicação: p ° q í> p. Silogismo Hipotético (SH): p-¬H'›q|qí›r. rzz. . É a implicação: (p --› q) ° (q _› r) 1) p -_› ,-_ Silogismo Disjuntivo (SD): D + CI. D l III l ) ) \ii I --q-_. É a implicação: (p +q) - p' í> q. ) Regras do Bicondicional (BIC): al D ~ pqiq p¬ É a implicação: (p--› q) - (q --›p) ip ‹--› q. . “ p‹-›q _ _ _ _ À _ bl fípzzz za zzz E a implicaçao. p‹-›q ---> (p-›q) (q-›p). Dilema Construtivo (DC): Pi* . """'* i 'I' . _ ..r q~»zrz sz . É a implicaçao: (p --› q) ° (r -› s) - (p + r) =>+q S ---_->q+s. Dilema Destrutivo (DD): D--Hi. r---›s. q'+s')*ef b._, se - É a implicação: lp --› ql - lr _-› sl -, i " IQ' + s'l r""“"'i> p' + r' ` 57 ¡l l l iI. \...×\./\..«-./:»._ \ Ji ¡l i /l l l J l
  • J' Ú i l l ) 3 l i Dupla Negação (DN): Í I Regra da Absorção (RA): i›-›‹i----5 É a implicação: p › q f_¬-> p › (p qi›-->lr›'q ) Simplificação Disjuntiva (S+): J. I \-/\¡/\-/\J É ) ) .ri l \-/"Úf'\-i/x..‹ CDCD-e -..¡_¡-...ro O_¡....|.._¡ O-o-› i l i i ea _ L ___ _ _ __ i ,z\_.\_zxw-\_‹\_vlhr'\_× -*OO ....¡@.....¡@58 t l l D . . ..pp ou (p,),. É a implicaçao: (p'l':;> p ou p í> (p')'_ p+r: ' . . ...I-----E---. E a implicaçao: (p+r) - (p+r') í> p. EXE RCÍCIOS 1. Testar a validade dos seguintes argumentos: ëlllíl*-_>Q' blt--›r,r',t+5,5 p+q' ii _---_.;-1.____._.... 2. Dados os conjuntos de valores lógicos: iAi I' iai I* ici ioi CD qual deles torna o seguinte argumento válido? _ J l i” T f' f 'f f *fea- D j Q l premíssal premissa ji conclusão HJ ___) .7 ? ici -I-I-nl? .›_ ? i O Ozz _ _l z z _ i __ Z l 3. Dado o argumento: I P* l"“i YPTTTP . l ÍW" E *CL, p * q 1 premissa premissa conclusao (¡ l .ii __ ~ __ . .___ zz ~~~~ ‹~ ~~~ ~~~~~~¬z. zi1 z l I ? ? iii 1 i ? 1 1 1 ? ` _¡...¡oo --*O--*O _¡_.¡......¡@ o--»ol l__ w____ l _- l l __ _ qual dos conjuntos de valores lógicos abaixo torna esse argumento válido? .iAi 1 iaiz icil ioii -me 7 ' 1* ff ___ 4l.i~ff '___ fff «___ 4). _.(3Q;_; 4. Mediante o uso de tabelas-verdade, testar a validade dos argumentos: al ri ---› D”, T lr›'l' ii bl D--~›q' p+q i› (b +c), b -~>a', a'. el (n+ql'.i1i->r.iJ+liD'-¬>‹=il.
  • bl f-f->lb+dl (i:›+‹;ii' f. ci lp ' q'l +lq - r') lp ' q'l' q'r' dld'(a+b'l a+b' e) r'--+5' ls'l' ` r fl la ° bl' c--->a 6. la°bl'° lc-->a) gl b-›c (b->c)+d' hl a_->b' A b'-->c a--->c i) (ai b) +c' (a ' b)+c --_.--.__-.. a°b il a-->lb--›c) 3 iz--›i ‹z ll (a --~>c) + (d +9) ld+el' a--›c llo +‹il'l' _ r' .- ` l - I'nla c 6° °' T 61 ol la' *ut b'l + c lã' -"-* b'l' C Dis'-"->lt'rl } lt'rl s l Completar cada um dos seguintes argumentos validos al lr ' Dl "tm Q' lq'l' ? bl a---*lb-->c) ? af cl la' b'l +(b ' c'l ? a°b' d) (ar ___* br): + C: ? e) aí>(b°c) ? a_-rd' ml f“"""-*liD+ql' , i' ._ i *-×_./\i-/\./'N-ø'
  • ¬..-/\u/\-/\nu/ 61 PROVA DIRETA - Diz-se que uma proposição q é formalmente dedutível (conseqüência) de s certas proposições dadas (premissas) quando e somente quando for possivel for- 4 mar uma seqüência de proposições pj, pg, p3, pn de tal modo que: ` `i al Dn ë exatamente qq; s E bl para qualquer valor de i (i = 1, 2,3, nl. Di ou é uma das_premissas Í f Provar r + SI dadas as premissas: J ou constitui a conclusão de um argumento válido formado a partir Í I- S ' Q das proposições que a precedem na seqüência. ‹ Escreve-se P1 ` ) P2 _ pf ou i›z.r›z.i>z...-.Dn-1 lí Pnlql- Pn-1 - Pnlflll i A proposição q no caso de ser formalmente dedutível chama-se teorema e a ,Í seqüência formada chama-se prova ou demonstração do teorema. É 1* õ 5- --¡cl). . ou seia. q “'""~> lq'l' 63 Vejamos alguns exemplos: zj* q _ 19 Exemplo: Provar s' dadas as premissas: 2. t ---› q' Demonstração: ) 6 ` 3. q' z› s' Tecnicos Dedutivos 9"P9°!°Z"" m`.Q_.Q`1*"°' f|fl`-os Justificação da passagem 4: 'I -_* Q'. I . ' ¡ ' 29 Exemplo: Í 2.t--›q' 3. t'---›r. _._.._.›_;-__:_____.____.._>_... Demonstração: °°`l95$”:"'$'°'°-' .rali-*m'§Áa\d¡i4äui¡¿..-i..__.__z__.i.x...__ FfU! _I .D .D É O0 ¬¬r§`:ó`_Qr-1;+_:m5 ¬ .Lfblíú§Êii¡hi¿»'i:ieài.liti›x¡¡£A'1.¬ë.'¬4›f_u..z¿¡o|'›..siefm4.-ir.-- ` Justificação das passagens: 4. ,ou seja,s 'q““;>q premissa premissa premissa Modus Ponens, 1 e 2 Modus Ponens, 3 e 4 c.q.d. ou seja, (t ---› q') - t í> q', conforme se pode verificar q pela lista das regras de inferência premissa premissa premissa s,1 DN,4 MT,2 e 5 MP,,3 e 6 A, 7 c.q.d.
  • 39 ExemPIo: .,_ _ 1 I I Í t "í“)' q r ) ir 1 l Im) 6. ----£;-_- , ou seja, (t--›q) - (q) _) tz Inicialmente, por razões de conveniência, passemos as proposições dadas ( :.- - ,-za _ ara a forma simbólica. Nosso roblema reduzir-se-á ao se uinte:P 9 ) t' . ri tt ¡ fd'7. -_-r-- , ou seja, lt --› rl t' í> r. Provar a dadas as premissas: I r v ¡És!8- --~. . OU Seia. r Í-> r + s”.r + 5 z-*-. ii .'-:-É _ _- 'E-5 Na indicação das regras de inferência utilizadas na demonstração de um teo- rema, MP 3 e 6 significam que a regra Modus Ponens foi aplicada entre as propo- sições de n95 3 e 6 da seqüência, o mesmo ocorrendo com as demais abreviações. I*¿ 'l _: __; V 1;; ._ I' Observações: 1 -i. '›-- I ' al Qualquer tautologia pode ser incluida na seqüência após qualquer proposição i 4 já colocada. ' I Í _!=i De fato, seja oi uma proposição qualquer já escrita na seqüência e B uma tau- ' 1:. -...J4....T.-115' tologia. É claro que o argumento ido, pois: seiQ\ oi, então, seguindo-se a oi pode-se colocar B. _ _`_."_._ X __.-_ De fato, sendo B í> oi, temos: B oi. Logo, ii ¢â oi pode entrar na ¬\. ._ . ('24--›a __ seqüência por ser uma tautologia. Mas, -z-E--B-. Logo, or -B pode ser inclui- da na seqüência. E, finalmente, pode-se escrever B pela regra do Modus Ponens. .v¡` ...~_ 11-.. -. Provar x = O dadas as seguintes premissas: l , ` _; _ .gil. A 1 1. a'-_>b 2. b i>c 3. c' Demonstração : a'->b V 535-"':"'$^°!°I'^ nicr 'oobn*-eo MT, 2 e 3 (a')' MT,1 e 4 DN, 5 c.q.d. 49 Exemplo: Provar a dadas as premissas: :P'9°!`°:-* ¬'I a'í>c c--rm' m+r i Demonstração: . a' --> c ‹opo×içn5.n.i>wio-› 3 "C¡'U'U`C1 . c -->m' . m +r . r' SD, 3e4 (m'l' DN, 5 _ c' MT,2e6 (a')' MT,1 e 7 _ a DN,8 c.q.d. 6.2 PROVA coNoicioNAi. 1_ X ;¿ 0' então' X = Y H Seja provar cr--›(i dadas as premissas p, , pz , p3, .:. , pn. Fazendo aconjun 2_ X z V, então, X = Z çao das premissas igual a P, trata-se de mostrar que é valido o argumento' P 1+- 3. × se z _ lí oz --›[i, isto é: -:íg__-;-B-. Trata-se de validar esse argumento. Ocorrendo a 65 ¬‹ ~L 1.. , lC D
  • ) I _ -r validade, temos: P -TÔ (oz -*Bi ou P ---> (oi *->fi). A letra grega 1' SODFB 0 si'mbolo do condicional indica tratar-se de uma tautologia. Princípio da Exportacao Para mostrar este princi'pio utilizaremos a equivalência notável : p -->q p' + q. Então, temos: P-ll+ur-+5)¢=â>e+4a-wnP~+m~+mb dadas as premissas: 1. 3+]--+9 2. j_í__›(gr.hr) I a¡+b Demonstração : 1. 3 +j'-->g p 2- lg' ' l'I') p 3. j+b p 4. a g pp 5. 3 +j A' 4 A9 Meias 7- Í""`*(9 *hr EquivaIência,2 &9+h As 9- [(9 + h)']' DN' 8 'Ui' ~~Mr7z9 1Lb soseio 12.a-->b PC,4a11 c.q.d. 6.3 PROVA BICONDICIONAL I A r va ' ~ › ‹ . .. .p o de um argumento cuia conclusao e uma proposiçao da forma bicon- erlslfäzlfialsa 5; semelhante a prova condicional, com a diferenca de que é feita partes istintas. Entao, dada uma proposição Q ‹--› 5, pr¡me¡,-O prova- se oz -›fi ' _ __, . .memo ez 3 5e9uir, PTOVG 59 5 oi, concluindo-se pela validade do argu-
  • Exemplo Provar a la' --> oz) (Principio da Exportação) Ora, essa última proposiçãoconstitui uma tautologia se ocorrer a seguinte implicação: P í> la' --Hx), isto é,Pi-- oi'--*cr oi' -->cr (a')' +ai>oz +a oi .'.Pi--a e P' a'i--oi Então, para mostrar a validade de um argumento por prova ou demonstra- ) ção indireta, introduz-se a negação da conciusão como premissa provisória e de- duz-se uma contradição (por exemplo: q ' q'). ' 19 Exemplo: Provar r dadas as premissas: -_ _.. ~‹z~ -zz -~ - ” = 1.p'--~›r 2. r' _->q 3. lo ' ql' Demonstração: .p'--->r -›....› .*Pf~°9°."P°91:'>$°!°-''ñ-'‹¬¬U`-Íõ-.-¡_-_-,_Q--1___.õ-..--; ¬__""'š+° QE UTD I_í_›q ql' p PD MP, 2e4 De Morgan, 3 DN, 5 SD, 68 7 MP,1e8 Prova indireta de 4 a 10 c.q.d. ¬1'C'¬1¬d'~f¬uf~‹f~./~..×~.. »..z\ur\ur\I\dlV'-/× \...×\-ø\|v\-f u,4e9 )
  • Observação: _. l n + 1' Ip __* q . ... . , n + 2. (p' + q)' Equivalência (n +1). t contradi ao r ' r pará Pf0V3" f‹ P°' ~ 'Da mesma forma como encon ramos a Ç I n + 3 p _ q, De Morgan (n + 2) ~_. l' pp deremos encontrar a contradição q ° q' para provar p', como verem0S HO B×emP 0 n + 4' S ( 3)_ , ,_ .. da « -D ,n+ocurada ode envolver ou nao a n'\€Sm3 letra _,a seguir. Isto e, a contradiçao pr p . n + 5. q S' (n + 3) proposição a ser provada. 29 Exemplo: Provar p' dadas as premissas: ¡l r $»'°!°:" .o-o_o -1 1+ "¬ \¡ ~ Demonstraçao: '°9°I`*'9'*9":'*$^°!'°." 'c:i__.o1::__¬..'o5-.D'D-D__ Q___šl+ aq.' -1 "'¬ I' 6.5 PROVA INDIRETA DA FORMA CONDICIONAL " ) -1. Provar t' dadas as premissas: 'U'U`O DP DN,4 MP,2e5 SD,1e~6 U,3e7 Pl,4a8 c.q.d. .; ¡ri ê. .ÊI _' 'I É 15 '¬_~ . Í ...~ l l . - - = E ndicio-Para provar a validade de um argumento cuja conclusao e da füfmë 0° ._ 1 p ___) S' remis- 1 ` 'nal (p --> q) mediante a demonstração indireta, usamos (P "_“* Q) °°m° P Exemplo: . Provar r --.+ q' dadas as premissas 1. r'+s' 2. q-->s Demonstração.: .5.‹==s=°:~'s==s«fl.¬=~s›~›i×>:-›¬.o.o.o`‹f›_-;:3~¬.o¬_l-L¬~fir:n__U. EXE RCÍCIOS . .. . . ° .. '- 4 2. D ' CISa provisória (ppl. a seguir lp' + ql iwf eqflivalsflfiifl E (P ' Q l» $°9“'"d° 5° dm' 3. 5 - r --› r' p, q'. Na prática, começamos pela hipótese (H) e pela negação da ÍGSE IT) °°m° ¿ premissas provisórias: H T Provar: P "'*"*I Q W 1. 2. I' 4' P « 70 kn.. -.' .'= .“'` .':'\_ ._ ._ ' - .i- ';_z'. -- za,'_ r_.- - 4. q ---> r 2. Provar s dadas as premissas: 1. t --> r 2. r' 3. t+s 3. Provar t ° s dadas as premissas: 1. e--*s . 2. :'-›j' 3.e'j 7I P D DD DP DN,3 SD,1e5 MT,6e2 DN,4 U,8e7 Pl,3a9 c.q.d
  • Provar s dadas as premissas: 11- Pf°V3f Í' dadas 35 Pfem'5535 ) 1- P-_-*Q'f 2.p 3.t-->q' 4. t+s Provar r + s' dadas as premissas: 1. s'q 2.tí>q' 3. t'--->r Provar x + y = 5 dadas as premissas: 1. 3×+y=i1‹--›'3×=9 2. (3×=9--+3×+y=11)y=2 3. y=f=2 ou ×+y=5 Utilizando a demonstração condicional: Provar a -› h dadas as premissas: 1. a+f--->g .2-i-->9'°h' 3.] Provar t + s' --> r dadas as premissas: 1. r' -+ q 2. t' 1 3. s' --> q' Provar q' --> t dadas as premissas: 1. s ---> r 2. s+pi 3.i›--*Q 4. r-rt Utilizando a demonstração indireta: Provary = 2---> x =y dadas as premissas 1. ×#=y--->×>y ou y>× 2.ya'=2 ou ×=2 E 3. x>y ou y>x-_>×#=2 L Í -'IL z_` _-fi ,,.“.ç:I_ " _' _. ” _-_ .s -z'_-`-7.' :_ ,__›_ - _ __- i"_ _-'J _; 5,. -_ ¿. ._ -_; T_ __ -_ __ f,. ___=,¡ _- -. -_ Í:- * _ _ n ` E__ _* ›-. =:-um-z=_z .¬z.'- __ J' _.~_¿ . ‹ . 1. t-->s 2.f-->t 3. s+f Provar e + m dadas as premissas 1. s+r 2. s--->e' 3. r-->m Provar (t + sl dadas as premissas 1. r'+b' ) 2. t+s-->r 3. b+s 4. t' Utilizando a demonstração indireta do condicional Provar p -> q dadas as premissas 1. lr›_>‹-i +r 2. s+t-->r' 3.s+(t Provar p ---> q dadas as premissas 1. p ---> q + r 2. r' . .Provar p ---> s dadas as premissas 1. lp--*ci + r S 2.q ) Utilizando um método dedutrvo de sua escolha Provar p _-> q dadas as premissas 1- P ' q '""`* V' 'I' 5' 1 2. r ' s Provar p --> r' dadas as premissas 1.r›+
  • I 3 1 'i _.| 3 i c_/"u|/\_/\..z---/\i/\-.|/×--/ J ) ) 3 );_ ) ) i.› ) ) __. ) ) ) J i J Provar s' dadas as premissas: 1. p+q 2. s--->p' 3. (q+r)' Provar s' dadas as premissas: 1. (p---*ql-"-* lr ' S_>tl 2. D ---> q ' r. 3.r Provar 2x = 12 --* V = 4 dadas as premissas: 1. 2×+3y=24 , 2. (×=6--›y=4) ou 2×=12 à 3. (2×=12-->×=6) ou 2x+3y¢24 4. ×a'=6 Verificar, mediante as regras de inferência, a validade dos seguintes argumen- ÍOS I Nas demonstrações abaixo, justificar as passagens indicadas. al 1. 2 3 4 (D@"~IO)€J1 b)1 2 3 4 5 6 - r ral (s°e),e -_->g,s--->g bl S-_*i1.D~_-:*lw+il.s'w'.i cl a-*u.u'+lb'i'l.b-+a.li"ta'l'+b.i*-'"* H' p_>‹i rÍ__i_+ql 'lp' +5 pf S ¬|ñ¬_QflO cn i_>e" P P 'l' 0 c.q.d D (er: sr): _ p I P 8+$ ef S _ c.q.d. 1 fr ; .ss ._ . __ JT `.i. F' _ 1.- 4' -'à_ : ar'¡‹ _. ¬_ 1.~ .r .= ' .a.f_!ä` 1 2 3 4 ‹°°°~ii===.°¬ 10 11 12 13 14 1 2 '5cogo-io:›u1.i>w 1 2 3 4 ço~.icnui 1 2 3 4 5. 6 7 8. a--->(b--->cl (c°d)*_>e f*_*lb'd) lf"+a')' U`U'l'DU'-""*¬ .I O c d c'd e lp' ‹i'l +(q ° r') D-*S s'+t _gz----mf-i› -b `U`UU'U c.q.d 'O'U'O'U c.q.d P D PD c.q.d.D _. P P
  • E hi i)1.a--'¬>(b"'"“*Cl p 2.(a-dl+lâ"°l p 9. d 10. b 11. a b'-->a' b-*~>(c+d) l‹=° el c.q.d. c.q.d. c.q.d. c.q.d ¡- -4 I. z - 1-.§ 11 'i_, ›,.. _ _- --.=. 5- % 1* '* Y.-Lê T* ÍÍ" ` Irr '- :'Í¡ "I‹` - 'Í :__ \_'*'¶ z. 'ífl 1.-..¢'" É 7 Fluxogromos _ O fluxograma constitui um método alternativo para as tabelas-verdade na verificação da validade de um argumento, no qual se ilustra o raciocinio utilizado. Neste método, para verificação da validade de um argumento ou prova de um teorema, procede-se da seguinte maneira: 1. consideram-se as premissas verdadeiras; 2. aplicam-se as definições dos conectivos lógicos para determinar o valor lógico da conclusão que deverá ser a verdade (1), para que o argumento seja válido ou o teorema provado; Caso ocorram situações em que não se possa determinar o valor lógi- co da conclusão, ou em que O = 1 (contradição), o argumento é falho. O teste de validade de argumentos ou prova de teoremas mediante o uso do fluxograma pode ser feito pelo método direto ou indireto, obedecendo às particu- laridades de cada uma das técnicas dedutivas já estudadas. Vejamos alguns exemplos. 19 Exemplo: Provar p' dadas as premissas: 1-D-*fi 2. q' ~¬./;dÔÔ¬Ú€"í'í¬|fi¬l,.._f'__¬-.. 1 _) l/l 1_) \ll \ J l 'lJi /l I
  • c.../wi/'Í*í\¡l\-/~¬/~_ ×.../\¡Í\í`Inn/ SoluÇ30: 'Í z- É . l r›' 1 I Justificação' _ ¿ . Consideramos as premissas verdadeiras fazendo p -* Q = 1 0 Q' = 1- 2. Como q' = 1, pela negação temos: q = 0. 1 3. Levandoq =0em p--->q =1.tem0SiP'”_*0=l- 4. Pela definição de condicional p --~> 0 = 1 se e somente se P = 0- A 5. Como p = 0, temos p' = 1, o que mostra ser válido o argumento, pois premissas verdadeiras conduzem a uma conclusão verdadeira. 1 2° Exemplo: Testar a validade do argumento: O Solução ..¡'...‹.:.a-«_-. ¿. LJ...L Solução ._ a_______›b'_aI'b! _ 1- í 2. É - 78 ‹- Í _ 1 2. _ 3. _ 4. . 5. _ 6. Jusziffcâçâa- . Consideramos as premissas verdadeiras fazendo a -*> b -I-' 1 e a' = 1, . Como a' = 1, pela negação, a = 0. .Levandoa =0em a--›b = 1, temos:0 b= 1. _ Não podemos concluir se b é verdadeira ou falsa, pois, pela definição de °°fld¡0Í0fla|. Ú “'-'* 1 = 1 6 0 -_* O = 1. Se b pode ser verdadeira ou falsa, então a conclusão b' pode também ser .verdadeira ou falsa e, portanto, o argumento é falho. _ 39 Exemplo: Provar q' dadas as premissas: I. p + q' 2. p--*r 3. r' _ W '__I; *rf 1 Justificação .' Consideramos as premissas verdadeiras, fazendo p +q'= 1, p --> r = 1 e r' = 1. Como r' = 1, por negação temos: r = 0. Levando r=0emp--->r=1,temos:p--> 0= 1. Pela definição de condicional p --+ O = 1 se e somente se p = 0. Fazendo p = 0 na premissa p + q' = 1, temos: O + q' = 1, . Pela definição de disjunção O + q' = 1 somente se q' = 1. Portanto, o argumento é válido.
  • 49 Exemplo: Testar a validade do argumento: DTCI. p+q Solução : 3.' 4. 5. Justificação: r .P 2. I D=1 I q=1 l O *~ I | D+0 =1 pi __ l_- 1 1. Consideremos as premissas verdadeiras, fazendo p + q = 1 e p + q' = 1 2. Pela definição de disjunção, se p + q = 1, então p = 1 ou q = 1. Se p = = 1, o argumento é válido, pois premissas verdadeiras levam a uma conclusão verdadeira. 3-' 59 Cl = 1. substituindo na premissa p + q' = 1, temos: p + ,1' = 1 4. Pela negação, temos: p + O = 1. 5. Pela definição de disjunção, p + O = 1 somente se p = 1. Portanto, o argumento é válido, pois premissas verdadeiras levam a uma conclui- são verdadeira. 59 Exemplo: Testar a validade do argumento i›->‹:1 O I I' Í(p+q) èn 1. ,.1.* :L .*'.i*':¡'1. J i 5És ".'9-uiu .`‹` ii-nv _ Qí ~ 1.E Ii› ,;‹› -1; _ I. _ _ ___' .-. 'L i ni-,__ › _ }_ rc. 1- " -ar ` _ 1. :_ 4 À ã «i *if '16=i. VT P.-8¬‹ ¬'-'z ¬ A, .r U* l -2 I É fi: §|;` .T -ITQ: I,Z 'Tjã _ 5.., __ -' -S - “z'. *Ê .V- J_ _...-_i*._~ '- -É 1, É ff: 'I. . .- . › --.' ,'_._ ;_. . Êiizriälnsärm 1 ‹....--I-P z ea ' ›. na _ . §~- f-'im _ "=;;§]Í'-A rf1 = šäi _.-`-7' ¡i`-5 .- Íc-rwãiz  .wa. ~ ~ «mf_ 1?-f 1 '_'""_^._¡__ _ --`?-í.:-‹* ` _ -.I.1_' T' I.. Solução _' __ 'mw ____ iu7 ._ 1 Inn 1. I pi>q=1I IlD'+Ql'=l 2. 3. 4. l d+q= 5. 1-"">'O=1 T pu-1 6. I o=1 I Justificação: 1. Consideremos as premissas verdadeiras fazendo p .--> q = 1 0 lp' + +q)'=1. '- 2. Pela negação, p' + q = O. =0 I I d=0 .p_= 3. Pela definição de disjunçã'o, se p' + q = O, então p' = 0 e q = 0. 4. Como p' = 0, pela negação temos: p = 1. 5. Levando p = 1 e q = O na premissa'p -""* q = 1, temos: 1 --> 0 = 1. 6. Pela definição de condicional 1 ----> O = 0. Considerando as premissas i 1 verdadeiras, chegamos a uma contradição. Portanto, o argumento é falho. 69 Exemplo: Provar p' --> r dadas as premissas: 1.p+q 2. q--->r Solução: Como a conclusão é da forma condicional, consideramos o antecedente p' verdadeiro e procuraremos mostrar que o conseqüente r é verdadeiro. __ ~.../sfi*\Ú\Úí\1¬d€~d¬uIz-›¿_~... \. \./'í'í'ííÍ\ni|f\.../ Ii l_) l,I ¡l Il ji
  • »_/'~nnif"¬f'*u/¬-1/-/`¬-ni Ii \_) \ /ll . `| ×-/íílltf _) ) ) ) ii ) ) i ) J 1 ) J ) i _) ) _) 82 1. I p+ 2. 3. lli f il= 1--)›= 4. 0+q= 5. 6. 7. Justificação: 1. Consideremos as premissas verdadeiras fazendo p + q = 1 e q --> r = 1. 2. Consideremos verdadeiro o antecedente da conclusão (premissa pro- visória), fazendo p' =_ 1. 3. Como p' = 1, pela negação, temos: p = 0. 4. Levando p = 0 na premissa p + q = 1, temos O + q = 1. ci=1 1--->r=1 i=>'= __): 0] r=1 5. Pela definição de disjunção, O + q_= 1 somente se q = 1. 6. Substituindoq =1 em q ---+ r=1,temos:1---› r = 1. 1 7. Pela definição de condicional, 1 --~> r = 1 somente se r = 1. Portanto, zi r seria verdadeira, isto é, O ---> r = 1. ' ff _~ 79 Exemplo: Provar p dadas as premissas: 1.p+‹1 2. p'--+q' Solução.: Usemos o método indireto. =' __', ___ ..z: L , _ \ ' ' .r .I _- _. 'z T, _- ât `¬ ~ "_ _ __; ." 'Hr Z 1 "É .«¬ . alii . ‹- ";' *Iv 1 f.z ~.~'¬'. .z sf-: ¿-- . ¬_-: z- :Ê.ti 9.. F- ›.. -_ __ __ _,_. .- .'.'. Us ~-''._ =' ~_' .- às ' A *_ 'Ê j *Í __» .1 3.. _ e ".';Â..A`Í IP*-':,_.` ÊA ' _'\ _.;'.¬› _; ê:- ~ z . ' I; l. ., _ _' '_ .¬ za;-_ _ -. _;__:. _-'1.f:-Í... _' " -ia_. _ ¿_ _ i.~1r_ ._ 1.' Ip+ 2. 3. 4. 5. 6. 7. q=1¶ Ip'-í)q'=1| i‹›~-›‹z»-«ri Justificação.: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 89 Exemplo Consideremos as premissas verdadeiras fazendo p +q = 1 e p'---> q' = 1. Consideremos a conclusão falsa (negação da conclusão) fazendo p = O. Levando p = Oem p'_;q' = 1, temos: 0'--->q' = 1. Pela negação, temos: 1 ---› q' = 1. Pela definição de condicional 1 ---> q' = 1 somente se q' = 1. Pela negação, q = 0. Fazendop=Oeq=0emp+q=1,temos:0+0=1. Usando a premissa provisória p = 0, chegamos à contradição 0 + O = 1. Portanto, p = O é eliminada, ficando a outra possibilidade p = 1 como soluçao. Provar p dadas as premissas: I. p+q 2. q-->r 3. r' Solução: Usemos o método indireto.
  • «_ i s i izz~¬z¬i i_»+«¬i 2. ' °=° 1 › __ ,T 3» 4» í 5« 6» [1 -›°= il niJustificaçao: 1. Consideremos as premissas verdadeiras fazendo P + Q = 1» Q ” V = ='1er'=1. r dadas as prem¡SSflSI 1-p+q 2. q-->r _¡- _.:-¡_-.._ Q ,1. .fiz 1. r¬_ ' ___,¢.; _:i _ .._;- - _ _.. _'_.¡:¶_ H ¿_- z.z`"j _'z ‹_~-› ¬. _= `-__'4.›'...f _-' _'-f~ _»É Exencfcios 1 s0¡Uçã,0'_ 1. Testar a validade dos argumentos abaixo, mediante o uso de fluxogramas. Usemoso método indireto. ¬_ _z _; .f“ -:.`_ 3; .___ ' '›*1.§_-.›a L *gi ' ^ ._‹l ._ ..Z__-~ ,__. _. _..__. . _ L. .'~r._ .¡,¿;¬¿. '__ 1,1z`,-I..¿,;'. ..§¡'‹¬^TH' I‹ _¡_. I'-' .'‹_".' _. -,~__ ¬¬i ' '_, ._ú .ff ‹ .._›.__..._ lei,_.. .;.:'›c ,.._ . _ - _ ¡. '_..¿é__ ¡_! 9; '_"_-.í'fi¡"`-`¶" .S _._¬+.', ¡_._-i-._ __ al ‹=i_*ir›'.lr›'l'.q' bl p_->q'. D'q.q p +q.r'.p' d) a_*"*b,(C'+b)',c'--›a' _ -_ _-. Ê. A } 84 3) p + fl, p -i->' ql q --i-)› |" 5: r' ) > J 1. J › .l
  • ___* + r'_*_› 5+ Aqualdosaru 1 bflip Gi r s. qq g)1+×=1-->×=0 #0ou2×-0 m9 en os a aixo corresponde o fluxograma? a a ---›b b ,a b C 3 "_"*b (fl nenhum dele;× í b+c b+C b+c2x=#O-->1+x=#1 2 Mostre atraves do fluxograma, usando os metodos direto e indireto, que o argumento abaixo tem premissas contraditorias D ""“* Cl I 3 Mostre atraves do fluxograma usando os métodos direto e indireto que o iii...-._ í-í -ii.- a'--)*b= C:_ Jg, argumento abaixo nao contém informaçoes suficientes para deduzir a con clusão 4 Dados os argumentos abaixo, a qual deles corresponde o fluxograma? p'-*Q q+rl p S a"__-+1: P' 1” Cl' bl p p + dl nenhum deles P'“"*q D'--*Q P'-*Q q:_____›p -. 6 O Iflua uxograma corresponde ao argumento p+q q r ppifli ‹i= = `U__ - ex -1.
  • _~ ,1 ii í 1 )P+ci'=1 q°'=1 W 1 s d) nenhum deles. _. Í* "` ‹ --1 E «› l°¬=' 1 lis* Í __ tz rã' -_ -- .Y \.'..__ xi.. "'=\ _ Í :__ 1 !__=¬j¬-__"_l-r -_ 'Q f~1:zst `° if' ` ' 4 -.if.Í- _É'T'ii.i«_¬'_"í-*___..r_% ' '..i.:. ;Í É -nl _*-C_ -=-s "4.z _ _ vi-_-.____. ___;_.'¡___aflühàfi. -I._._.¿¬ Í* lã=in Quontificodoresi . ¬ .~__v _ ._=__ ,_ _ ___`_ *__ - _n}' ' '- _. 1 _. \._-, .___ ...g _ 1 x1 _-É W, .s - '_-._z. __ - ¿_¿' z_¡_~ Í: )2 É; ›z * .1 ~-'›_1"›'.i~.¿_-»:_ ._ __ - ' . -¡r_ _- - e'_ ._ -.3_. ;›- ) :i ›*'5!\. _Já' 8.1 SENTENÇA ABERTA Sejam as proposiçoes: p:3+5~š.11, V(p)=1 q: x + 5 Q 11, V(q) = ? fiësr ›, if .. .:: Â' ..._ ____\. 'Í'¿_“""ÂÉ-:`-'1'*fa1,13'¿-_¿1-'_'._`l`-_¡ ..7_"Pi_-__|,-z_" _..¡¡.r_._¡_L¡__`-¡Í.- KV2'`:.:Pfl"':E-¡'V- ._.____*____..__.`..___.. ._çä;¿~..____._:'-\'¬__-'~`Y‹_'z-"z.‹.¡ - E. .-1.ii é_:_.;› ' Í Ei 'I-;" iz % P ii Jz _ .,.¡i¶ __ .¬ .",.. V s-1--‹ V \ _.-¿_ __ '_ - . '13 .I 1 _ ._ __ ._ _ "__ _ ai _ :_ fi- \ :~: -z -' -H???-|_'_ Ji;. ‹~\'_, 5 _. __.sr 1 -' 1.-'e z. rf _i- 5: H' _;.» z_ .___ _. i. 4 L. _ 11. i-_; _ .“.'! Í-V g. ~.~'_ 'mz -_ __ -:va 5 ._ aí. :__ __ _ *(1 .'“_"" Í |,'. _ . _ '_-._ -'-.rf _is _.. : ._ 1-- - .- Y 'U$ 'Z' fr... +1`¿ -5 Uí *mir _.-›z F' A proposição p, como podemos ver, é verdadeira, ao passo que nada pode- mos afirmar sobre o valor lógico na proposição q ° Vlq), que somente será conhecido quando x for identificado. Neste caso, dizemos que a proposição q é uma senten- ça aberta ou função proposícional. Nas sentenças abertas, os simbolos x, y, X e Éoutros sao chamados variaiveis. Chamamos conjunto universo (da variável) ao conjunto das possibilidades ló- gicas que podem substítuir a variável na sentença. Denotaremos este conjunto por U. Cada elemento de U chama-se valor da variável. U às vezes é tacitamente im- posto pelo contexto, mas pode também ser escolhido pelo agente de estudo em questão. 19 Exemplo: Seja a sentença aberta: x + 5 Q 11. Podemos impor que o conjunto universo da variável seja N ou Z ou Q ou R ouoconjuntoU= {1,3,5,7,...}. _ s 29 Exemplo: Seja a sentença aberta: O planeta “X” é o maior planeta do Sistema Solar. O conjunto universo da variável X é, pelo contexto, dado pelo conjunto dos planetas conhecidos do Sistema Solar. I T ) ) ) ) ) -vuvvu'vv ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ). ) ) ) _) J _)
  • U(×) = {Mercurio Venus, Terra, Marte. JUPWGH 5aÍUm°‹ Uf3“° Net“"° Plutao} »./×./\¢'¬ur~/ CONJUNTO VERDADE (da sentença) e o conjunto dos valores da variável para os quais a sentença e verdadeira Denotaremos este conjunto por V v = {×eu lvlplxll =1 onde p(x) e uma sentença aberta na variavel x ×..,/\-f\í'\ini/-.../ 1° Exemplo Dada 3 Sentença aberta × + 5 < 11 x E Fl determinar seu conjunto verdade So/ucão V= {×€R lxsáfi 20 Exemplo O conjunto verdade da sentença aberta O planeta X e o maior planeta do Sistema Solar e ~._/\|¡/%|f'\--/ V = iJupiter} 3° Exemplo Determinar o conjunto verdade das seguintes sentenças abertas x+1= = x-5x€O. 2. Para todo x, sex€Z, então xEQ. 3. Para todo x, sex€Z, então xEO. 4. Para cada x, sex€Z, então xE0. 5.-V-x(x€Z-->xE0) 6. Qualquer que seja x, x E Z --> x E 0. 19 Exemplo: Escrever de maneira simbólica a proposição: os números do conjunto A são todos os reais. So/uÇà"o: R(×):x é real - V-x(xEA
  • 19 Exemplo: Escrever de maneira simbólica a proposição: Existe x tal que x2 + 1 -_= 2x. Solução.: A P‹×iz×2 +1 = 2`× Hx, P(×). 29 Exemplo: Simbolizar a proposição: Existe x E O tal que 0 < x < 1. Solução : x Pi×izo
  • .___ _) ___ ' -*, ~: ¡_, ._ z*~-` _' ~ - Á 'Ê _-‹z- f.« '?"-:ff . '-'_`¬;1._-. z; . Portanto: 3°¡U¢5° -'- 3 _._ z i Í (V x, P(x))' (šlx, senzx + coszx se 1) + ( Vx, 2x é par).Existem alunos estudiosos. 2 ) Elx, P(x). ) i E a negação desta sentença equivale a: i ia×. P‹×›i' v×. iPi×›i' _ ~. Svlurãv-'ou seja, l 69 Exemplo: . .if '- É -' "›'‹Í¬¬ r _' Negar a sentença:V-x Ely, x + y =11. __ __ _ (VxE|V,x+y= 11)'3xVy,x+ya#11Todos os alunos nao sao estudiosos. 29 Exemplo' \.._____,`*¬,_,.-\-of (D .h iii”1'5-`-'«.:'¡_.¡'.i.*_l'**j=I¬iI-É'*;g--="i_1l).'} 7° Exemplo' Ne9ar a sentença: Todos os pescadores são mentirosos. . _ Nega' 3 sememai 3 × V' V» ()× = 0) + (V + 1 `< 7))
  • oluçáb: ~ Liz. "".Í Ei __ fi la× v v. l‹× = oi + iv +1 4 7)))' _,__ .i-_ --- V-x šlv. l(× = 0)' ° lv + 1 < 7l') -- v×av.li×¢o) -‹y+1>7)). _ 5.;_. _ -._ ¬ _--1._ i -..:_z ~ i EXERCÍCIOS *S 9 _ Determinar o conjunto-verdade das seguintes sentenças abertas: a)x+11=21 = b)2x-5 7. . e) Para todo x, existe y tal que x + y< 3. “ “zw - I \ .,} 'Y V- Àlntroduçoo Õ Álgebra de Boole . ` ) 9.1 OPERADOR BINÁRIO Iniciaremos nosso estudo recordando alguns conceitos primitivos de especial interesse que são: a noção de conjunto, elemento de um conjunto e a relação de pertinência. Assim, dado um conjunto A = {1,2,3}, dizemos que 1, 2 e 3 são ele- mentos de A e, em conseqüência, pertencem ao conjunto A. Neste caso podemos escrever: 1 E A, 2 E A, 3 E A, que se lê: “1 pertence ao conjunto A", etc. Caso tenhamos um elemento 4 que não pertence ao conjunto A, denotamos o fato escrevendo 4 É A, que se lê: ”4 não pertence ao conjunto A". X Chama-se operador binário ou operação b¡na'ria (ii) a lei pela qual todo par ordenado de elementos (x, y) leva um terceiro elemento z. Notaçâb: x ii V = z. Os l 1 iu Ip u 3 Q Q fsinais aritmeticos +, -, '_ + sao exemplos de operadores binários. 9.2 PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES * P1. Seja X um conjunto. Dizemos que X é fechado em relação a ii se x * * y G X, Vx, y E X. Por exemplo, considerando o conjunto Cj de todos os inter- ruptores, se a, b GC¡,então,a +b€C¡ ea ' b€C¡, istoé,a +bea ° bsãotam- bém interruptores e pertencem a C1. "*'°"_"°'""" a + b Chamando C2 o conjunto de todos os conjuntos de pontos, se a, b E C, , s então a + b G C2 e a ' b G C2, isto é, a união e a interseção de a com b são tam- bém conjuntos e, conseqüentemente, pertencem a C, _
  • I W É J ) _) __./*u/*u/\-J' 'J ) ) \ .P ) ) ) ) à P) ú ) Â , i `i I _/ ,. ' p zm" f W* mf " '= 11 e~ ~ 1 z a+b ' h a'b Se tomarmos o conjunto C3 de todas as proposições, e se a, b 6 C3, então, a + b E C3 e a - b E C3, isto é, dadas as proposições: . a: João estuda. b: João trabalha. P Temos as seguintes proposições (compostas): a + b: João estuda ou trabalha. a ' b: João estuda e trabalha. Ou, mediante as tabelas-verdade: It ' ` . .. 'í. .I '“ zzzzw ;aíb a+b a'bz -t q ____ . oo-- Ç)-¡@_¡ @.-s-n-.¡ OO-á O 4: . , __ _. L.. _._¬-.z -zz P2. O operador * é oomutativo se x * y = y *,×,V'×, y E x. 19E×ompIo: Sea,bEC¡,então,a+b=b+aea° b=b'a,istoé: V › E a b H Ã a+b b+a1 ¬ 3 .b--W z zb ~ .a z J98 a'b _b'3 -_ ._ .__ _ ._ ~.\. ' f'. H í'-.- E.-_¡ r.` .;\__4 i-'=~í‹ . HT- ' .az . v* __1,.- -” 1 I_z_. ._, , .ez - wi: à-L..-.z-z... z-. 29 Exemplo: P Sea,b€C2,entâ'o,a+b=b+aea°b=b°a,istoé: * i * T* ¬ se i L* ~ . .zz _ J ;-__ “__ __ _ a+b b+a _ I Ú _ l_ _ W _ l P .H b = âa b, 1 ' _ ¬-¡ ~ 7 _. _ z -¡_ __ 7 _.__ _ 3'b b°a 39 Exempio: Sea,bGC3,entã'o,a+b=b+aea'b=b°a. i Podemos verificar esta propriedade mediante as tabelas-verdade. T ._ , _ .-.T ...._ .. f _ff __ _ É az b a+b flb+z5 z-bi b-z~ ._ ___; z- , ,;~ ___ zz~z zz __ z..zzJ I 1 `i i 1 F 2.-- 1..- Q....z...z..¿ ff _ _f_f Y _ ___ _ f L L____J L____3 I P3. Dizemos que o operador * é associativo se × * (y * z) = (x * y) 1 z, V'×,y,zEX. p 19 Exemplo: i isto é ‹ 306.b.0€C¡,entâ'o,a+(b+c)=(a+b)+cea°(b-c)=(a°b)-c. . .
  • ~Lâi1f aíšlir a+(b+c) (a+b)+c --a'í--b-----c--' = --a-"-'-b---c--' a°(b°c) (a°b)'c 29 Exemplo: ` Sea,b,cEC2,entã'o,a+(b+c)=(a+bl+cea'(b°c)=(a'b)'c, isto é: ___ __ ___* ffff 'ff' _ _ ff» 7 z ¡ L J___f ff* ___ 1 f 7 f f-.-1L-f.--. 3 _' 8 a+(b+c) (a+b)+c _ 1-U7 ll-I-I r» zzzzzz“ 7 a Ê a f i“ Ç b c 1 b c a-(b-c) (a°b)-c u 39 Exemplo: _ Sea,b,cGC3,entäo,a+(b+c)=(a+bi+C8.ã'(b'C)=l8'b)'C. isto é: _ ID U' O b+c a+(b+c)__ --.os + U' (8+b)+c oooca-›-›-›-› ` l lr @@-.¡_¡@@-_¡._¡ O-*O-*CD-H o_¡ @-.¡_¡-.¡c)_¡...¡-_; 1 1 Gíííflnnfií íüííí OO 1 1 o_¡_¡-.n-¡¿ ' f -v Lv- ID U' O E T b'c a lb cla°b ø--. QI .Éo Õ L--..-......F nn-I-nnlil-L _ I:ff~ OOOC) OO--*-'CCD-1'--* l _ _J_ O-*CD-*O-*C3-4 DOO-*GOES-* ll Í, `| ODOCJOOO--1 QOOOQ-¡-\ OOOOOCDO-l P4 Um operador ‹+ edlstributivo sobre El se x * (y Elz) = (× * y) El (x * 2), 'V'x, y, z EX 19 Exemplo: Sea,b,cEC,,então,a+(b-c)=(a+b)-(a+c)ea-(b+¢)=(a-b)+ (a ' c), isto é -§;1~l;:} T* p¿O Ii 5--F 'l a+(b¬'cl la+bl'lab a¬-.._.. .-~f “l-1 ~l Pa c 101 J-C ff 1. a'(b+c) (a-b)+(a-c) I ...f'-n-f'\q'/¬-I-n/'-h-ra ~_.--' i \| ) ) l r ,.-\.××~._- 1'
  • -.- _-...f --.f/ ../\./'\-/»___/\-/'°uu/\un/-..f»_/\../\uI'\J\|/-.-z-/ VVV--_×- 1_: `\-f`\-_/\._~¬..__,- l "-.___~....-"~._z-.,_. 2'?ExempIo: Se a,b,c€C1,então,a+(b - c)=(a+bl'(a+c)€8°(b+Cl=(3° bl+ +{a - c),isto é: _. f f fz fff ¡ fff ff f f ff 1T a "%% ` _ _ __ ___ _ ___ __ Í W __ __ _ ._.._,¡ ¡ _ ff f __ _ff_f f f JL __ __ * "Wa+m-C) ta+m-‹a+d ___ -f- ___ _ _ f ..¬ " fff ff "E" " * ' ** ' WT ll  3 ' 1 * . , . z ff ff __a`_ W; _ ¡_ _ f_ _. " z fff a- (b+c) (a°‹b)+(a°c) 39 Exemplo: if Se a,b,c€C3,então,a+(b - c)=(a+bl' (a+Cle8°lb+Cl=(ã" b)+ + (a ° cl, isto é, construindo-se as tabelas-verdade correspondentes a cada caso, teremos: p ___ ___ OJ U' OA b-¢iz+ls-az+b a+c‹a+br‹a+o¬ W" 1 i 1 @@...¡_.¡....¡-.t @...¡@-.a@..-L OC)-*DOO-' W;@@_.¡....¡........\_¡ ÇDÇj..¿-¡..¡_.¡.....¡_..¡ ...›@-.¡..-¡....¡-a.....¿ L_.p.-u-¡....¡...¡_¡ DOOOO DO o_.¡ G) O O 102 portanto a + lb c) = (3 + b) - (3 + c) pois suas tabelas verdade são iguais. Analogamente ID U' O E Ú b+C8'lb+Cla b a'c(a'b)+(a l "'Ffffizl @@@-¡._¡-..¡_¡ ©--*Q-\©--\@..¡ -L-\ío¢,¡tg aí 0 " O CDCDDOCD-\-4--b OOOO-A-e CDC) OOCDCJO-HC)-r ff;._ ff . if f _ z 7 1 1 OOCDCDCD-* P5 Um elemento e, é um elemento neutro para a operacao se e somente S€.× €=e *×=×,,VxEx. 19 Exemplo: ' a ffffif"' ff 1*f"' f ff : a 29 Exemplo: 59Í33EC1.€flIã'0.a+0=O+a=aea 1=1°a=a,Va€C¡. _ _ a ___ a+b Dad0aGC2,então,a+0;-0'1'a=aea 1=1Ia=a"v'aEC2_ p p + __ L 3 O / I 1 a 1'fl=a 103 If __ fff _ fl 'ff ¡ ¶| 1u.f_ ffffff_ 1,.- ¡_ _ l l 3 _ Wa ___ .l _ 1 3 _._.-:I;:_-:-?í:f;:¡¡«fí;S;;.-. _ -fi; Ç- z Ç -_'.z._'ff;~;._\¡ .`~_'-z._-._ .`f_-.'_-:f."_f¡_ '-fi:-`:f$f'7'Í;f:'šf:?;J;r¡:§. P '~›r-:“úf;:›:í;'~';f-:~:f;-:1f:¬;?:i:If:1;í:‹:;›:~:5;f 'I-2;;.'?:?:i¿:-:fi-':?;: :-`:¡:;¿:-:¡:.-f;:f:ff?;Í;; E a
  • 39 Exemplo: Dado a€5C3,então, a * e= e * a =a,*+a€C3. .-'.;__¡‹. . f aii- "--.=~..-' -"' 1-'' .-›_‹‹ `-=-Í1'-N-'-li'f lá..:;'.^.i3.4uz; li . . Í=`_Í . ~ ¡ f lr _' para ii = +, temos que a disjunção inclusiva ou soma logica é falsa, somente quando ambas as prol3osiÇões consideradas forem falsas. Então. dada Uma PYO' É -.› _zf _ .‹. _ _ _f,: posição a e Vlal = 1. Vfimí 3.-«l-_O = 3,'V`3. . \ para ii = - , temos que a conjunção é verdadeira, somente quando as propo- sições componentes forem verdadeiras; logo, dada uma proposição a e Vlal = =1,vem: 3 -1= a,'\7“a. EXERCÍCIOS 1. Seja o conjunto C = {T, 1, O}. Definamos dois operadores binários * e El E A pelas tabelas abaixo. Para lera primeira tabela,jpor exemplo, a * b, tomamos a interseção da linha correspondente a a e coluna correspondente a b, onde a e b podem ser quaisquer destes simbolos. Então:O * J. = T e O El .l. = 1. -|=i‹ _-l-lOl- l-O fl_'+- O.ÚA -l¡- O_ .. f f_ *¬_;ffff__i \ à " 1.-'z.f._. z .= _ _ . ' _' 'Í \.,_' 3,. ; .`_'_,1 1 f f 2-ii* › 1s›. = 1.' im- -. 5_; ..› _ .' ' W:z`1* f ~.` r ' ` ` ':l¡'¬:';..= --g¡.Í - _. :';;..";-_ ___;:F_›r. flr¿=`.›'-1*..=.l.:‹-ii _ Í›_ . .~¿ ç.-te _' - sa: .¬' . . .Ê _: _ f`q; .-z .;. -z .f '_. _; »._= .¿.¡‹-2..- fz.¬~., ___ -:lã z .u - i` lš_. zzz.._ V àš,-I É .. .›\› _.â 'i '.'Í- "' ú_¡ _. 'L -cr "- '_ ›\zz z ._ f_ z z il fff _ r _ Q r.l- O i- -| Ol- -l-I ifr- OO__ __ ¡ ___ ¬ ffff _ _;___ _. .,O i- -IO al O operador * é comutativo? é associativo? b) O operador El é comutativo? é associativo? c) Os operadores * e El são distributivos um em relaçao ao outro? 2. Dados os operadores aritméticos +, -, - e -I-, dizer quais dentre eles são ope- _ ' radores binários no conjunto Z de todos os inteiros. 3 Considerando os operadores aritméticos +. -. ' E *z dilef ¿l`Ufl¡5 dfiflíffi' eles são operadores binários no conjunto N dos números naturais. 4 Seia 3 ,, b z \/ 32 + b2 onde a, b G R. O operador * é fechado? é comutati- vo? é associativo? * é distributivo em relação a Z? É É d¡SÍf¡bU't¡V0 Em H”-'la' ção a * ? * admite elemento neutro? - .f if ›.-'\-L'=f. _ ..: ~ =1. '_ `". - . . _ . . t" : 5. _' ÍÍ5 ›‹. ‹.. : . 3,., `: :|-I.. __ _i_._.,-z -2-' .¿ ,..¡Í.1,¿.Z^ :_ - H .: zf-¬'â- '› f' '-:,- 4- , . ,*-' _*ii ¡lu! Tt, ;.-~. ---fr :-.,¬.§_._ 4 u; .` .` '-5 à .| i zzízzfiz.-_-f ._ i- 5. Dados os operadores * e El distributivos um sobre o outro, reduzir ou desen- volver as expressões a seguir de modo a apresentá-las sob forma diferente. a) a*(bElc). b)alIllalÍ.lb). c) arlalflbl. dl alIl(b*lcl_Íld)l. e) (blIla)*lbElb). fl la‹b)E1lfl*Cl. 9.3 SISTEMAS ALGÉBRICOS Antes de estudarmos a definição de uma Álgebra de Boole vejamos o que é um sistema algébrico ou uma álgebra abstrata também chamada simplesmente de álgebra. Chamamos álgebra abstrata ou sistema algébrico a um conjunto não vazio munido de um ou mais operadores binários sobre ele definidos. Denotando por A o conjunto e por * e É] os operadores definidos sobre A, podemos ter: . (A. *l ou lA.lIl) l que são álgebras com um operador ou uma operação, e (A. *. 'Ill que é uma álgebra com dois operadores ou duas operações. Uma álgebra pode satisfazer a alguma, a todas ou a nenhuma das proprieda- des dos operadores, assumindo nomes particulares para os diferentes casos, como: se`migrupo, monóide, grupo, anel, corpo, espaço vetorial, conforme as proprieda- des satisfeitas pelo operador ou operadores definidos sobre um conjunto conside- rado. Não trataremos destes casos em nosso curso, para o qual têm especial inte- resse os sistemas algébricos chamados Álgebras de Boole, que definiremos a seguir. l' I IDizemos que o sistema algebrico (B, +. ' ) e uma Álgebra de Boole quando e somente quando -V-a, b, c E B, valem os axiomasz AL a+b€B. AZ a'b€B. A3 a+b=b+a A4 a'b=b*a As. a+‹s-z›=‹z+i››-‹z+zz›. 105 J
  • l 'l 'i ir \_./wzfwffiú/\-./' l _/\/\ø\J iz« ) ) \_ ) ) 1. J ) `| |\ _l› 1) 1 l i _J '1 l 1 l A6. a'lb+cl=(a°bl+(a'cl. A7. ElOGBtalqueparacada aEB,a+0=0+a=a_ A8. 31€BtalqueparacadaaEB,a°1=1'a=a A9. ParacadaaEB,Ela'EB tal quea+a'=1ea' a'=0. No axioma 9, o elemento a'chama-se complemento de a. Uma Álgebra de Boole é dita degenerada quando os elementos neutros para as operações + e ° são iguais, isto é: 0 = 1. Consideraremos apenas álgebras não de- generadas, isto é, Âlgebras de Boole nas quais O =/= 1. Vejamos alguns exemplos. 19 Exemplo: B2 = {0,1} é uma Álgebra de Boole cujos operadores são definidos pelas tabelas a seguir: Esta álgebra é conhecida como álgebra dos interruptores ou álgebra da co- mutação, e é a mais útil entre as Âlgebras de Boole. É o fundamento matemá- tico da análise e projeto dos circuitos de interruptores ou de comutação que compõem os sistemas digitais. B2 é o exemplo mais simples de Álgebra dei Boole não degenerada. 29 Exemplo: _ B4 = {0, a, b, 1} é uma Álgebra de Boole com quatro elementos descrita pelas tabelas: I. ';' 'i Í " W* O CTCDCI OCJCD n›CDn› CI' Q __"-z_zz ;__¬.z z. zz z_ _ __- Teorema 1 - (Principio da Dualidade): Todo resultado dedutível dos axiomas de 106 uma Álgebra de Boole permanece válido se nele trocarmos + por ° e 0 por 1, e vice versa H- 01 + 0 1 0 0 0 o o 1 1 0 1 1 1 1 o z sf + 0 z ló 1" *H 3 za1 =b b ¡ b 1 1 1 ;11 11%, L, O a b 1 ....¡3'_¡U" Inllfiínlnlfixfi ._"-'7fÂ.."°_..'\.‹,13"|'.ii¢\¡.*Í' 'MHV.'...¡___-,_.¡-_~__. riu.#1.-1:‹|‹uuiifiIt1' ' | _` . ._ F__.-. _ .- _. Prova Pela simetria da definição de uma Álgebra de Boole entre os operadores + e -, e os elementos 0 e 1, tanto os operadores como O e 1 podem ser intercam- biados conduzindo a outros resultados também verdadeiros. . c.q.d. 19 Exemplo: Dualizar a expressão: x ~ y' + x' - y - z + y - z'_ Solução.- Como a expressão não apresenta os valores O e 1, basta trocar os sinais ' por + e + por °; temos: 1 l×+WP(W+v+zP(v+fl que é o dual da expressão dada. Obs.:- 1. Não houve qualquer modificação nas letras complementadas, ou seja, onde aparecem ×', y', z', continuam sendo x', y', z'. 2. A dualidade tem grande semelhança com as leis de DeMorgan que veremos adiante, diferindo apenas pela observação 1. 29 Exemplo: Dar o dual da expressão: x' + y = O Solução: Trocando na expressão dada + por ° e O por 1, vem: .s ×'.y=1 que é o resultado procurado. Teorema2- a+a=a,a'a=a,-V-aEB. Prova a+a=(a+a)'1 . . . . . . ..A8 = (a+a)'(a+a') . . . . . . ..A9 = a+_(a'a') . . . . . . ..A5 = a+0 . . . . . . ..A9 = a . . . . . . ..A7 a+a=a.
  • Teorema 3 - a + a bl Analogamente, ...- ...... 1 00 a+1=1,a°0=O,VaEB. Pelo Principio da Dualidade, temos: s Teorema 4 - (Lei da Absorção): a + la ° bl = a, a ' (a + bl = a. Teorema5- a+(ë"bl=a+b. flJDJflJQJ""""'D.'I DJ IOCO OJ ° al +la ° (a+a'l A6 = a c.q.d. (a+1): h+1l%a+ãl a+(1°a'l A5 a+a' . . . . . . ..A8, a+1=1 '(1+b) 'lb+1l .....A3. '1 .....Teor.3 a + (a ' bl = a e, pela dualidade, temos: a°(a+b)=a Teorema 6 - Os operadores + e ' são associativos. Prova (a+b)+c = ((a+b)+c)'(a+a') . . . . . . ..A8,9 = (((a+b)+c)'a)+(((a+bl+c)°a') . . . . . . ..A6 = (a°((a+b)+c))+(a'°((a+b)+c)l . . . . ....A4 = (la:(a+b))+(a'c))+((a"(a+b)l+(a"cll . . . . . . ..A6 =` (a + (a - c)l + llle' ' al + la' ° bl) + la' ° cl) . . _ Teor. 4,A6 = a+((O+(a"b))+(a"c)) ..Teor.4,A4,9 = a+((a':b)+(a'*c)) . . . . . . ..A3,7 = a+(a'-(b+C)) . . . . . . ..A6 = a-l¿(b+c) . . . . ..Teor.5 (a+bl+c=a+lb+c). Pelo Princípio da Dualidade, temos: (a°bl'c=a'(b-cl Expressões como (a + bl + c e (a ° bl ' c podem ser escritas sem parênteses, e expressões tais como la' + b) ° (_c + d + el podem ser desenvolvidas como na Álgebra usual; a ' b pode ser escrita ab e o operador ° tem precedência sobre + , de modo que a + lb ° c) pode ser escrita a + b - c ou a + bc. , c.q.d. Teorema 7- O complemento de cada elemento de uma Álgebra de Boole é único. Pro va I N 3Suponhamos que a e x sejam complementos de a. Entao: a+x=1 °~ z-×=o. l Logozx = x(a+a') = a×+a'× (a+a') '(3-l-b) . . . . . . ..A5 a+la'°b)=a+b L.- ¢ -1 O + a'x a'a + a'x a'(a + xl a' ° 1 a'. Corolário- Qualquer Álgebra de Boole nao degenerada tem um numero par de elementos.
  • Teorema 9 - ab + ab' D. Teorema 10 - 0+1 O-1 Logo: 0' e 1' Então, la' + b'l é o complemento de la ° bl, isto é: la ' bl' Teorema 8 - (a'l' = ab + ab' = a. 1 -nu 0'=1e1'=O la +b'l+l8'bl' '+b')-(a'b) 3 Pelo teorema 7, existe um único complemento, portanto: HT a(b+b') a-1 ab+ab'=a. Teorema 11 - (De Morgan): la ° bl' = a'+ b'e (8 +bl' = 6' ° b'- _;. af-I-bf I (a+bl' = 1 . . . . . . ..A9 (a'+b'+a)°la'+b'+bl l1+b'l' l1+a') a"a°b+b'°a'b-0. a' é o complemento de a, então: a + a' = 1 e a ' a' = 0. Mas estas eQU3ÇÕ°5 apenas mostram que a é o complemento de a', isto é: a = la')'. . . A3,7 _ . A4,8 ' Teor. 1 ._11.;Faé¡:. l ab+a'c+bc ab+a'c+bc la + bl la' + cl lb la + bl la' + cl la + bl la' + cl 19 Exemplo: Simplificar la + bl la + b' + c ) QI»11- nn1- gn._ í1 11 F + íum -_uq gx1 í iq 11 íí _- -_ Teorema 12- ab+a'c+bc-=ab+ac I' I'ab+ac+bc(a+al ab+a'c+abc+abc ab(1+c)+acl1+bl ab+a'c ab+a'c Teorema 13- (a+b) (a'+c) lb-1-c)=a¢+ab `la+blla'+0llb+cl = laa'+ac+a'b+bc) (b+c) 0+abc+abb+bbc+acc+abc+bcc abc+a'b+bc+ac+abc+bc abc+a'b+bc+ac+abc ac(1+bl+abl1+cl+bc ac+a'b+bc ac+a'b cl = ac+a'b TO0I'8m8 14- (a+b) (a'+c)=ac+ab aa'+ac+ab+bc ac+a'b+bc ac+a'b+bcla+a') ac+a'b+abc+abc a'b(1+cl+ac(1+b) a'b + ac ac + a'b Esses teoremas têm sua grande aplicação na simplrflcaçao de expressoes bo oleanas e circuitos de interruptores, conforme veremos nos exemplos a seguir
  • III lSoluçao. a+blla+b'+c'l= aa+ab'+ac'+ab+bb'+b0' a+ab'+ac'+ab+0+bC' a+bc' 2° Exemplo: Simplificar o circuito: Soludo: lp + qr) lp'q' + r'l + p'q'r' 3° Exemplo: rm f 1 p:___ Í _. _¡_q'kz . _----- f e o circuito simplificado sera: Simplificar o circuito: Solução nc' + mr + P'f _- - _--1 pr, + p¡q:rr lp + 1›'‹11'lf' (p + q:)rr q,,,.|'‹- p H D-§~.l l "_ .í--í-will p:~qf ...... ----p- '- 1:›"-*_""' f = p (qr + qr) + p;_"¿l'zÍ;___f = = Dq' + Dr + D'f = Dq' + lp + 1='lf = D‹1'+1f = D‹1'+f of-f ~ "¬ 1^_fI*"-`- ‹_¡!'. Fã Desenhando o circuito da expressão simplificada, vem: ¬lI°_üÍ°'J~ 49 Exemplo: Determinar o complemento de pq' + pfq. Solução: lpq' + D'‹1)'= l1:›q'l' - lr›'ql' = ln'+ l‹:i'l') - llp'l' +q') ' = lr›'+ql-lD_+q'l' = |r›'n+D'c'+1›q+qq' = r›‹:1+r›'q' ` Teorema 15 - Se uma Álgebra de Boole contém pelo menos dois elementos dis- tintos, então 0 #= 1. S Prova Á ' Suponhamos que existe uma Álmbra de Boole com pelo menos dois ele- mentos distintos, para a qual O = 1. Seja a um elemento tal que a 5* 0 Portanto, O aê 1. c.q.d. ~ Sejam a e b elementos de uma Álgebra _de Boole. Dizemos que a é menor ou igualablašblse esomentesea+b=b. f Teorema 16 - < é uma ordem parcial. Prova Pelo teorema 2, a + a = a. Logo, ai < a. 'S 1 'Sea
  • __./\Ií'í%/¬--f 1. Sea~€bea
  • r'-"'*"-* ""'-'-"""'b'dl l “ Y cz i_._._a..__b . b_______c #8__l-_:b'---0' 1 .z -zbz-~-c' '-_-C 3 zzlno,i, c --g-d' r zb- -S d-f im . l . _ d 2 =--ó 9. Determinar o circuito complemfifltaf (lei al 1 ¡ `_""'b' b---c' c----I' b) ×"_"`_"'Y Z ×---y'---2 Í . Ál bra de Boole. 0 10. Provar que para quaisquer elementos a e b de uma 9° se, e somente se, ab' = 0. P À . Ál bra de Boo 11. Provar que para quaisquer elementos a e b de uma 9° se, e somente se. bla =1- * l mentos.12. Mostrar que nenhuma Álgebra de Boole tem tres e B I - V _ ° ' mais de um 13. Mostrar que nenhuma Álgebra de Boole finita com p tem um número ímpar de elementos. 10 Funções Booleonos Seja B uma Álgebra de Boole e, sejam xl , ..., xn variáveis tais que seus valo- res pertencem a B. Chama-se função booleana de n variáveis a uma aplicação f de B" em B satisfazendo as seguintes regras: 1. Se para quaisquer valores de xl, ..., xn, f(ס, ,,_, ×n) = 3, 3 E 13, en. tão f é uma função booleana. É a função constante. 2. Se para quaisquer valores de ס, xa, flxl , ..., xnl = x¡ para algum i (i = nl, então fé uma função booleana. É a função projeção. 3. Se f é uma função booleana, então g definida por glxl, xnl = = (flxl , ..., xnll' para todos ×1 , xn é uma função booleana. 4. Se f e g são funções booleanas, então h e k, definidas por hlxlz --‹, Xfll = f(X1 , ..., ×|1)+ Q(X¡, ..., Xnl G |
  • ._/\-/\-/\./ : _.,¡ 19 Exemplo: fl×l = x + x a 29 Exemplo: fl×. Vl = ×'Y + XY' + V' 39 E×emp|o: flx. Y. zl = a×v'2 + V2' + a + ×Y As expressões desses exemplos são funções booleanas, onde as variáveis ×, y e z percorrem uma Álgebra de Boole e a é um elemento dessa álgebra. Por causa das relações existentes entre as operações, uma função booleana pode assumir muitas formas. 49 Exemplo: Dadas f(x, yl = x'v'~e glx, Vl = lx + Vl”, sabemos pelas leis de De Morgan, que f e g são a mesma função, isto é, elas assumem ~ o mesmo valor para valores idênticos das variáveis. Para melhor determinar se duas expressões representam a mesma função booleana, torna-se desejável a existência de uma forma padrão ou canônica na qual as expressões podem ser transformadas. Desenvolveremos tal forma no teorema a' seguir. 1 Teorema - Se f é uma função booleana de uma variável, então, para todos os valo- V resrde x, flxl = fl1)× + f(0)×'. 1 Prova Examinemos as possiveis formas de f. 19 Caso: “ f é uma função constante, flxl = a. f(1)x+f(0)x'=ax+ax'=a(x+x')=a1=a=f(x). . 29 Caso: f é a função identidade, flxl = x. f(1)x + f(0lx' =1x + Ox' = x + O = x = f(x). 39 Caso: Suponhamos que o teorema vale para f e seja Qlxl = lfl×ll'. 9l×l = lflxll' = lfl1l× +fl0l×'l' = lfl1)×l'lfl0l×'l' = llf(1ll'+x'llfl0ll'+×l ; = lfl1ll'lfl0l)'+fl1ll'×+fl0ll'×'+××' , = lf(1ll'lfl0)l'l1) + lf(1))'× + (f(0)i'×= = lfl1ll'lfl0ll'× + lf(1ll'× + (fl1ll'lfl0ll'x' = lfl1ll'lfl0ll'× + lf(1))'× + (f(1))'(f(0))=×f + lfl0ll'×' = lfllwx "`lfl0)l'×' (absorção) = 9l1l× +9l0l×'. 49 Caso: Suponhamos que o teorema vale para f e g, e seja hlxl = flxl + g(x) hlxl = flxl + g(×) =' flllx + fl0)×' + g(1)× _+g(0)×- = lfl1l+ gl1›i× + ifioi +gio›i×' = hlllx + hl0)×'. 5.0 Caso: Suponhamos que o teorema vale para f e g, e seja k(×) = f(×)g(×) l
  • Valores de flxl = x + x'a f-1-Tí* Í x l flxl ç, 0 Í a ` t a 0 a .i---¬ aÍ ` 1 .`i ` 1 il 1 b) g(1,1) = 0 e g(1,0) = g(0,1) =- g(0,0) = 1, de modo que a forma canôni- ca para g é gl×,Vl = Oxy +1xy' + 1x'y +1x'y'. . Valores de g(x,yl = x'y + xy' + y' *fi f rf r 1 1 t i` Yi. l rl M\° A1' eaO ;\‹i_l ...__. _... ...,_. ¬ -zz zzz _ -z __i __ z z_ __ 741._ _ _ ` _ il-l _ __ l _ __ __ 1 _ _ _.__ _ _ _ ._ , .__1 . _;93* -r _-l_il L__ Q) OIQi Ona _ÍJL_ Note-se que em ambas as funções, a forma canônica reduz-se facilmente forma original. s s ¬ A forma canônica que discutimos é conhecida como uma soma de prod ou forma normal disjuntíva (FND). Existe também um produto de somas ou for ma normal conjuntiva (FNC). Cada termo de uma FND é, às vezes, chamado mm term lm) e os fatores de uma FNC são chamados mexterm (Ml. EXERCÍCIOS 0 1. Suponhamos que f é uma função booleana de uma variável sobre uma gebra de Boole de 4 elementos, fl0) = a' e flll = a. Determinar uma exp são para f. 2. Escrever a forma canônica geral para uma função booleana de três variáveis Determinar a forma canônica para cada uma das seguintes funções' al flxl = xx”. z .. lb f = ' . . ,l _l׋Vl XV + BX + by, onde a e b sao elementos fixos distintos de uma Algebra de Boole. cl fl×=V=Zl = ×lV + 82') + l×' + 2) (ax + V' + zl. Suponhamos que B é uma Álgebra de Boole sobre o conjunto il). 0. a'. bz b'. C. C', 1}, e seja f uma função booleana tal que f(0,0,0) = = fl0,0,1l = fl1,0,0l = 8. fl0.1,0l = 0, f(0,1,1l = 1, fl1,0,1l = f(1,1,0) = c', e fl1,1,1l = b. Determinar f(a',c,b). Á
  • \ Q\ =. a'b'c' + a'bc' + a'bc + a'b'C 11 1 DIAGRAMAS DE VENN OU CIRCULOS DE EULER Seja representar as funções: 3) y = f(a,b) = ab' + ab + a'b Verificação Algébríca: ab' + ab + a'b alb ~l~ b') + a'b 3-1+a% a+a% a+b í 1Representoçoo dos FunÇO2S Booleonos /Í i ` gi/ u (13.) Í3 b . + = ' _. 7 .. " Íá. C C 'fzfz,%'/J _ _ . _ a'b c' a'bc' a'bC a'b C \\ __.._f_---*'.:__- W/ # = / 3. :a+b mfi ab. ab a'b V = ab' + ab + a' b = @~ 'Ê -li. i¬\‹‹.i. ‹¿_¡`i`~'-hr'-_ ëlfew‹'.iii- .ii-_›_-_'. ~'la-i'=-lli'f~eiillíllsz.-*afff nz 1 ‹ 'v 'U . . ` _›¬.,.I - 3. fz., Lil? Í- v.f. ...err rcaçao Algébrica: a'b'c' + a'bc' + a'bc + a'b'c a'blc + c'l + a'b'lc + c'l a'b + a'b' a'(b + b'l a. Y Para mais de três variáveis, torna-se muito difícil representar as interse ções formadas pelos respectivos círculos de Euler. Neste caso, utiliza se a dispo sição mostrada a seguir para quatro variáveis: a, b, c, d. a'b'c'd a'b'cd' I I = __ __¿__¬ l ab'c'd' l l _;íinicieiz-ig ab'cd' . abc'd'" -1 _l__J ! l ...-Jzb}§á7°" ¡ a'b'cd- a'b'c'd -_ínL.lÇun- ab'cd 1-;--nn fa abcd n --il. me '“u oíoín ab'c'd r abc'd T'"'7_ íí______ _Yw*¬' _ f 1 _* '__ _ _ _' -nn 1 __ f_ __ t : 11.2 TABELAS-VERDADE Construamos a tabela-verdade da função: f(a,bl = a + a'b' fm' ' j z. fa _ *__- _¬__ íen|i-|eeíe¡qi|n-|neoínní¢¡q|¡i--¡¡- g¡_ í, gi __ í o a'bc'd' a'bcd' a'bcd a'bc'd ío001_ neínaíuníuníunínní 15 í í í a b a' b' fi a'b' f ".' O O í í ú ü O -¡ d O O _`I i __¡_ -3 CD O “; O;O d, __; 4;¬j7_ u-B -nl %; -__~-~ O @1 O. _l`i Nosso problema consiste em determinar a função booleana f dada sua tabe la-verdade. Ti.- Q. .‹- a'b' 1+-ab' 1+-ab 14
  • Solução: - -- ' 'á l com lementadar Fazendo a variável nao complementada igual a 1 e a vari ve _ P igual a 0, pelos valores de a,b e c correspondentes a f = 1 em cada linha da tabcela. vemos que os termos da função procurada são a'b'c, a'bc e abc. Logo, temos a un- ção: a[b C ' Íf 1 if '_ m f ir* O O ,O 1* T1 O C3.1__ l _-¬_c 1 -*CD -Ô CD .za O O___WL_ O -À í l #17 _ W 'T fz -.› CD___ ___ l C) O,-A ...À O 1 zzl -_ z, -I Wf O i __ __ i í O *mg__ 1l ¡`;_;~d nal -.I í í - ~ b l -verdade:Exemplo: Determinar a funçao booleana f representada pela ta e a ‹-- a'b'c “
  • .l 1. ¬../*w/\u/*-/--/ `\| i1 ) /` ) ) 126 '°° -. ¿,;›_¿... _ .‹'.¿.;; _ `Ir .cn _ -..;z -. , .. i- ._..\ ....,¬¿=.- i.-- -.fFÍíÍ'¡‹'1LI' _.-._ 1%* A representação geométrica de uma função de n variáveis é o conjunto dos vértices do n-cubo correspondentes aos minterms da funçao. __;-_\--___r Exemplo: Representar geometricamente a função f(8.b.Cl = ÊmÍÚz2-3‹7l- Solução: ' m-1 910. Á mz' I ao .Á Observação: 1 Cada um dos vértices correspondentes aos minterms da função é dito 0-cuboz s dessa função. E 2. D'ois 0-cubos de uma função formam um 1-cubo quando diferem entre si por somente um valor da variável como, por exemplo, 000 e 010, 010 e 011, 011 3. Quatro 0-cubos formam um 2-cubo da função. Dizemos que um p-cubo lp Q n) é um subcubo de um n-cubo, quando . os seus vértices pertencem ao coniunto dos vértices desse n-cubo, ou seia, p-cubo está contido ou coberto pelo n-cubo. E Exemplo: Na representação a seguir: ' Ar lv O 0-cubo 100 está coberto pelos 1-cubos 100 e 101 100 e 110 100 e 000 e pelo 2-cubo 100,101,110, 111 I' I I e . Defínimos a distância entre dois pontos de _ um n cubo como o número de valores das variáveis em que diferem as representa- çoes bmarias dos dois pontos. Assim, dados os pontos 101 e 011 de um 3-cubo a distancia entre eles é d = 2, pois diferem entre si em duas posições. Indicamos o fato escrevendo: d(3,5) = 2, onde 3 e 5 são os valores decimais desses pontos en- contrados nos minterms m3 e m 5 . R Vejamos agora alguns exemplos de representação geométrica das funções booleanas. R 19 Exemplo: .Dar a representação geométrica do circuito ~× - y'.z ~ e~~ z ~ Solução: E f(×.v.zl = ×v'2 x y' z101 ¿ ¿ J' 1 0 1 29 Exemplo: Representar geometricamenteocircuito -‹‹~ - ×' z a z -__ z . _ ._ SoIuçâ'o.° f(×,Z) = ×'z = x'yz + x'y'z né ~O4- + C)¿_× @(_~
  • Solução f(×,y,z) = xy +×yz =xyz+×yz +×yz JW a) f(×y,z)=×(yz + l b) f(× y,z) = y(× i c) f(× y,z) = x y + xyz dl f(×v.zl=v(×+2)+×v2 el f(× v.2l = V I' I Í xyz + xyz' + ×'y'Z lr Hi Hi ll 111 110 001 EXERCICIOS Representar geometricamente as funções: Dar a representaçao geométrica dos circuitos Í '__ __ y'________2'___}$__ L -X zz Y Z ___,z zzzzz' _)(': LV' Y Z . ___ y _ z' - 5 í Z' - í yv › 2' ea ~ X e ff › Y'f .= “ «iiY1;' 1 `y.íí«--n ›Vei ›Z v 2 W I I'1_|_¡¡¡|p-ri; ×___V.__,. › Determinar as seguintes distâncias em n-cubo: al d(7.13) b) d(2,7) cl d(7,15) dl d(3,11) e) d(9,14i Determinar a função booleana representada geometricamente por al bl Fz"“"-"-|×\_|×\|I nn/ mz I I ¡¡ J' me _..__. m4 m3 m7 I Í Í ¡I!; / z 1,' f '/ /Í ) [Tio ÍTI4 \ -""'_"_I-DIIII-uy \L.____._.....
  • R:"""""I\|`\I II I I z / I -_"""_`1\ mo _ma mz; .. › _1-.z _ ,Í ~- 31;; ` _ '-.`_¡-_' --- ' -_';›Lf... :__ Çv¡š'-`‹- 1_ _,fl..z_. _ _ 'Qi-|' ' -, . __¡_'-'››._ _ - ' ;:1*' _ i cl ma m7 E ms Í _ _zf¬._ __ I __* _ _ #3 Formos Normois _`Ô_ ._ - l`‹ V ”` '\ \ \ '\ \ .:1;L*-fl..-_é;___1 .-‹'_-;f\`_''frf-Íf.~:-'laE\_1-_›. \_ . ._:_=Í`.¬ -" _-‹z.~ _ 'šlí' -Í _ . _'1.Í.~;;`¡ . __':¡~" 12.1 FORMA NORMAL a n VARIÁVEIS E , ,.,z- __ =‹5.¿›,_f_4._ _5 ¬ :‹.»-ru ' - _ ¡ ¡..¡..(› -`› _ I . '"›t`-¡`~5?‹'1\i-. -_ ' *E' Dizemos que uma função booleana está na forma norma/ a n varia've¡s quan- ___ do envolve todas essas variáveis ou seus complementos. 7: 53'» . -__1_-in-...FTI4 __ 19 Exemplo: a + b' é normal em a e b. _I“3s?.: - z | __:^_' " . _ ~_ 29 Exemplo: a ' b' e normal em a e b. ~.,¬ ‹¿`¬m 3 m 7 E 39 Exemplo: a + ab é normal em a e b. . |._ ¡,_›?.§.- .‹_u' ._ V _ 49 Exemplo: a + b + c'd'e' é normal em a,b,c,d e e. ,Ff _ _ _.'_¿__ s 59 Exemplo: ab'c'de é normal em a,b,c,d e e. _ _. .J//.z A 12.2 FORMA NORMAL DISJUNTIVA 1- / / "' z 11.1? ¿.'_ _ `Uma funçao booleana está na forma norma/ disjuntiva quando em todos os . ..z.§¿;.¬ __ ` '15' l"_m4 r seus termos aparecem todas as variáveis envolvidas ou seus complementos. - _ are. 1" l-Í' 19 Exemplo: I _ A função booleana × = ab' + a(ab) + a'b' está ha forma normal d¡sjuntiva_ -x ._._,,.,..»v. - _'\'‹¡'§-_ _-| -- ›- ;';_;_ 29 Exemplo: __i. - _ A função booleana y = abc' + ab'c + a'b'c'estã na forma normal disjuntiva. '›\7.Ê`.:. -_ .
  • 4o Exemplo l " “E *Í ' ii Íl_6.bC_z1z' A função abc + ab C + ab nao esta na forma normal disiuntiva, pois, no ter ceiro termo falta a variável c ou seu complemento 50 Exemplo As funçoes abaixo nao estao na forma normal disiuntiva =ab+bc+ac =abc+abd +acd =abc+ac =abc +bã-
  • 20 Exemplo z = la' + b) (a + b' + cl não esta' na forma normal conjuntiva porque no pri- meiro fator falta a variável c. _ “ííxr TRANSFORMAÇÃO DA FORMA NORMAL DISJUNTIVA EM FORMA NORMAL CONJUNTIVA MEDIANTE A TABELA-VERDADE Seia transformar a função da forma normal disiuntiva para a forma normal conjuntiva. Procede-se da seguin- te maneira a) Constrói se a tabela-verdade de y: e diz-se que a função está na forma binária. v = a'b + ab s0zU‹,zâa.~ _ 'Ii ív _ OCB CDO O -›c› ~_/ fu* mm* * t __ . ___.. ' "Í fz* 7 'JI Q-.s Ar I ¬ i E ,a ba'a'b abíy O n-\ n-ul .Í 1 1" *'Wl}f::T _... _..__ __ 7 ---oo --Ao-ca .z.a_._. oo-~o -aaa -O--a IIÍI-flxflc -'CCD--6 o-o-› l E `l i
  • Nessa tabela. Í9m05 n°dec1mal ) n° bIfläf¡0 com-*C9 528 p 1 1 _ __ _* __ ~»¬¿__ 'mm fzzz ' "' GSCFBVB I' f(a,b) = Êl2,3). ~.1a:u1-amu-O __ L-T Í zz l» ¡|_n-lu-II , rf 4 'I' 4- : b f .........-s-hQOOG ...-c:›c›-;-*OQ ...Q-~O-^°"'.'°0 ‹:;-c›o;›¿›.-'° ` ` 1 Í *l I ll. ' » I ‹1--- Í: l._...| I, F' .J "Í0-) m-Jmmhww-*O _,,__._._..._.¢›oc:.1o‹=›OO°, 44,4' ..c›c›....-o‹:›-=-=›c›C=---*O0 O-nO-nO-oO-*O-*°""'°"""‹3 oÇ›--o-oo-1-*O-*°°"'°_I ¬ l 1 l , 1 1 l1 1 1 i gllfl 1* ` 1 1 1 1 - 1 r JuE-lt. r.. ,__ LO 1 fla,b,c,d) * 2l1.4.6.7.1Ú‹12)- Entao, os valores decimais que correspondem a f = 1 são 2 6 3- P°d9m°$ P dendo de manerra análoga nas funções dadas pelas tabelas a seguir,roce fla,b,c) = El1.3.5) l *gin- l *í l 4_.__- .;‹...-, -~×\'z;-':If_ - ¬ l.=-.-:_ _ ll - âú^.`JšI'-í- " ' _. .11.-_ .3,_='f_-'I ` ) 1‹,-*_i.'-. - 1 ..:`¬L¡§.I. ` ' l _ ln¬¡=.r-_I:¬r1-ais-_--' 2 3 4. 5. 6. 7. 8. 9. '\ 10. EXERCÍCIOS _ - 1, 1. Representar mediante cfrculos de Euler a função n ” E lõ" " E E “ y = abc' + a'bc' + abc + a'bc Indicar mediante uma tabela-verdade, a função: y=ad. Representar sobre uma tabela-verdade, a função: s y = ab'cd' + ad. Usando a tabela-verdade, dar a função y = a + d sob a forma normal dis iu ntiva. Passar para a forma normal disjuntiva as funções: a) y = a + bc' b) y = d c)_ × = a(d' (b + c) + b'(c'd + a'b'c)) d) V-= ad + cd Dar as funções do exercicio 5 na forma binária. Dar as funções do e×erc1'cio 5 na forma decimal. Determinar, mediante a tabela-verdade, a inversa da funçao booleana y = abc' + a'b'c' + a'bc + ab'c Transformar para a forma normal conjuntiva as seguintes funções booleanas a)y=a+c b)×=(a+b')'(a'+b) c) z=(a+b+c) ' (a'+c')' (a+b') d)×=(a+b)'(H+C)'(b+d) ` Representar mediante círculos de Euler as funções ai y‹z,1z,‹z1 = 2‹2,3,5,ô,71 ' bi ׋z,b,¢1 = z1ooo,oo1,o11,111› Exprimir sob forma binária as funções: a) x=ab+bc b) y=a'b+bc+ac' c) z=ab'c+bc+ab' ~4:.../-:YumiÀfiní-_~×...z_-z»__\n/l-¬¡-r¿->~_. _\n/-\.1|/--×.¬_ \.
  • d)w=abC+bC+ab 9) t=abcd+abc +abd Exprimir sob a forma decimal as funçoes do exercicio 11 qxøx/u/V/\/\/\/V Construir as tabelas verdade relativas as funçoes a) x(a,b) = 2(2 3) bl via i›,al = Elooo 010110) ai via b,a1 = 21001011 11il ai via b,ai = 210 3 5) ai zla,b,a dl = 2i0010 0101 01101011) f) zla,b,c d) = Êl0 3 5 711) 13 Minimizoçõo de Funções Minimizar ou simplificar uma função booleana é a operação mediante a qual se reduz ao minimo o número de seus termos, resultando em economia do circuito a ela correspondente. Os métodos de aplicação mais freqüentes na minimização de uma função ou expressão booleana são: O 1, Método Algébrico; 2 Método do Mapa de Karnaugh; 3 Método de Quina-Mcl
  • = b+b'c'+a'c' = b+c'+a'c' = b+c'(1+a') _= b+c' 13.2 MÉTODO DO MAPA DE KARNAUGH O mapa de Karnaugh é uma forma modificada de tabela-verdade e nos per- mite representar graficamente uma função booleana e, se for o caso, simpli- ficá-Ia. ' MAPA A UMA VARIÁVEL No caso de uma variável, o mapa é formado por duas celas que correspon- dem a cada um dos valores 0 e 1 que podem se atribuídos à variável. Esta tabela pode ser lida de uma das seguintes maneiras: 01 01 =°~= conforme usemos os valores atribuídos à variável ou à própria variável' na forma complementada ou não. Atribuiremos sempre o valor 1 à variável não comple- mentada e o valor 0 à variável complementada. MAPA A DUAS VARIÁVEIS E formado por quatro celas que correspondem às combinações binárias que podem ocorrer com estas variáveis. Os termos da função a ser representada devem ser escritos em ordem alfabética e, em todos os mapas de Karnaugh, a ordem em que entrarão as variáveis deve vir claramente anotada na parte superior esquerda. Representação binária Representação literal Representação decimal b°0 1 b'e 1 b'_0 1 ,IIIJIIIIEI IiãIIIiIII °~IIJIIIIãII EIIII EI!! IIEI =f-- _ _"¬Í*›z 'fzëfl..« ,V-z 1 'ff' , 'fe-.Qz ~ wi _ . .¡~a:f¡-=-¬¬i_ _ _ "‹'!"!_ -' _ '---vy-:_ z.‹: -Tr 5"*.- . 1.»-z -. . ._ ,z.-. _¿ _, " _ :f_'f'¡- _ {~zê._a_ê_z;i;¡ z-, ., _ 1,, - .=_' l. MAPA A TRÊS vAi=iiAvEis ab°' 0° IWIIEÍI 01 EEIIEII 11 EIIIIII 1° EEE = 0 1 M 01 11 1° äfl MAPA A QUATRO VARIÁVEIS ab cd 00 01 11 10 00 0000 0100__1_100 1000 01 0001 0_10`11101 1001 11 001101111111 10 9010 0110 7 71110 ,10101 oo afblczrdi arbcrds abcfdf abocsda 10 _afb,'_aa_'_ azigad' abaú' aizraai' O À ni-I NJ _; U1 (AJ \I NJ O3 '\ MAPA A ciNco vARiÃvEis 0 1 as:28°; ‹==i ab °° °' _ ___'_'_ ___l9_ 11 a'bfcdi a'_bo:lñ abcd ab'cd bcda 00 _01_ 1_1 10 ) 00 Í 3 1 , 01 _, g ia, 9 11 _ _ 1 _10 g 14 iq” J ' I 11 10 I Iab abll aa 139 07 “___10 ad _99___°l00 W 1 00 ° “ 01 1 101 0" ^ 11 , 11: “ 10 _ A 10 l ill 1 )
  • MAPA A seis vAi=iiÃvEis Of 0 1 1 ab ab cd 00 O1 11 10 cd 00 01 11 10 00 00 01 11 10 10 ab ab ~ 00 01 11 10 cd 00 01 11 10 001111 1 01 011111 11 111111 10 101111 010 11 _ 00 Como se pode notar, a partir de seis variáveis o processo de representação torna-se complicado e difícil e não atende ao caráter prático da Álgebra de Boole. Posteriormente, estudaremos outro método que supera esta dificuldade. REPRESENTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO NA FORMA CANÕNICA MEDIANTE A 0 MAPA DE KARNAUGH E ç Representemos, mediante o mapa de Karnaugh, a seguinte função na forma normal disiuntiva: y = abc' + ab'c' + abc + a'b'c. ' Trata-se de uma função a três variáveis e o mapa a ser utilizado é: É be _ O 1 00 01 11 10 Para representar a função através do mapa, colocamos o valor 1 nas celas 142 correspondentes a cada termo da função deixando as demais vazias. Assim: ' 1 _. .`¡,§ _ E - .-.-'agr-'zzz ' .fiíilèv-.IV ILLJ.. '..'.--'»;›'-...t ... _. z--_ . Í 7711. '51 i _V§;_L'...¿. ¿ -V -›-z; v ...'_:.'.-~~ 6' - Ív'-.Â.'è- 5---.. . ._ . ..` : . 'JÍ-5 ¡' ez-i:‹_*z - '_-AW' ëá - -- ,Y lvvfi' nt- ÇA=¶I`l¶\'\ FME* ia: ° 1 -II 01..- 11 -HI 10 -II y = abc' + ab'c' + abc + a'b'c nEPi=iEsENTAçÃo os UMA |=uNçÃo ouAi.ouEi=i Representar a função a quatro variáveis que não está na forma normal disjuntiva, e em três de seus ter mos falta uma variável. Usando o teorema expresso por ab + ab = a, temos a'b'cd + ab'cd + ab'c'd + abc'd + abc'd' + abc d' + ab'c'd a'b'cd + ab'cd + ab'c'd + abc'd + abc'd' + ab c'd YZ y = a'b'cd + ab'd + abc' + ac'd', e, construindo o mapa correspondente, vem: Note-se que no caso de funções como y = a'bcd' + ab deve se considerar todas as possibilidades de aplicação do teorema ab + ab' = a, ficando o mapa cor ab ._ cd: -W1 01 00 11 A 01 -- °'°'°d 11 “- 10 -- í g y = a'b'cd + ab'cd + ab'c'd + abc'd + abc'd' + ab c d respondente como se vê a seguir: _ I OQ.. llU' e III2 :nl III: 0° I01 I11 I10 IIIII -LO -.niO
  • .'-.Pseí -1 za-_ _-_-_.;¡___,_ ‹ __ _ _. ..¬.._.., 'irei' no naSIMPLIFICAÇAO DE FUNÇOES MEDIANTE O MAPA DE KARNAUGHNa representação de uma função mediante o mapa de Karnaugh deve-se buscar a forma mais simples de representação, considerando-se que uma função _, ¡Dada uma funçao representada em um mapa de Karnaugh, se encontrarmosa duas variáveis pode ser representada em mapas para maior número de variáveis. Assim, a função y = ab tem as seguintes representações: 8 H ab a 0 1 ba O 1 ad0 00 1 01 11 10 a8 Ô qn. lí mí Ô 01 11 Duas celas que diferem em apenas uma variável são ditas adjacentes e podem ser combinadas pelo teorema ab + ab' = a. Num mapa de Karnaugh podemos ter celas adjacentes sem que tenham lados comuns. Exemplos: a1ba01 blaaaoi 0 00 Ê 1 01 s cla Ê 10 iaba 0 1 1116.13 00 011110 00oo _I:oi __11__ 101 01 11 10 1 às ab ab bc 00 01 11 10 - (IJ 01 11 10 G) 01 11 10 ‹×› -__-oi In--I:11 IIIIIia Il___ P' termos em celas adiacentes, podemos fazer uma simplificação. No mapa que repre- senta a função 8. O-*OU- _; Ú _; -0@ fli sentado. Quando os termos a simplificar encontram-se em celas nos extremos do mapa, indicamos conforme segue: ab _ C 00 y = a'bc'd' + abc'd + a'b'cd + a'bcd + ab'cd', ) podemos efetuar uma simplificação, substituindo a'b'cd + a'bcd por a'cd. A ope- 1 ração é indicada agrupando-se os dois termos conforme mostra o mapa retroapre- ) 0° E _.I.. OI.. 01 ¡Il- H I: 10 -ÍíflIIIIIE .gp 1 No mapa da função -A y = a'bc'd' + a'bc'd + a'bcd + abc'd I O o:28aã'- III8III2 ni IIII: o III::L:Í-'_Er.L' 1 ¡- _¡. 1. 1. ~§i::IIfl¡:m¶e›;e;1"'
  • O -.A temos b ® ___ - a a ';1 -'I112.,__\1f_' __ _¡:'. ‹'_I,_.{~ -aum;_..____... _ 11 10 aa 00 01 11 10 ai/ O0 --ll-- 01 -(il-'DIa I \/*íàf y = a'b'c' + abc'd + a'bcd *uai/\-.-/\|nf×~_z_../í"Ií1`\ni/-... ab ~ cd 00 01 11 10 0° !-I_- °1-Ífl1-I- ~ 11 -lfllí-I 10 -__- y = a'bd + a'bc'd' + abc'd Transportando estas representações para um único mapa, obtemos: ab c 00 01 11 10 11 101-- 10 -IÍI-- y = a'bc' + a'bd +`bc'd que é a função simplificada. Para simplificar ao máximo uma função torna-se ne- cessário incluir o mesmo termo em diversos agrupamentos. Vejamos agora o caso em que as celas sao adjacentes duas a duas. ~ Seja simplificar a função Vy = a'b'c + a'bc + ab'c + abc. 1 O mapa correspondente é: 11 --I-I 10 -__- y = bc'd + a'bc'd' + a'bcd 639 1 01 -EDÍIIÊÉ @› _ -1-=` Jg- `=¬- . _ë_ 121151;__ ç- _. V '_ 11;-z __í____ ,__ , 1,; :ii 1_____ ; _' - ' 1-1__f._ --" '^__1'›' 'rísr S- "-':Í*-_;_Ít;.- -_ *... ¬;-' : 7_--T T' ¡'1--_.1` - ,q_-,-._ _ ` !I_ ãi. 0 bca 0 1 00 -- 01 .III 11 IIII 10 -- e, temos duas maneiras diferentes para simplificar a mesma função, ou seja aaa 0 1 1 0 1 _- --z1ierre°@e::a-a 11 __.. 10 ia Considerando que as celas adjacentes no caso de ac e a'c diferem na variável a e no caso de bc e b'e diferem na variável b, podemos agrupá-las da maneira mos trada a seguir, ou seja: 80.. naQI- 6. bc 0 1 01 /'1`~._ r'i`~. Q 01 _°° aiii raiiii11 im 11 lšiiilio Éã ia EZ Outros casos de simplificação: ab - 00 01 11 10 _ 01 @ 00 lili:-lili _ _ 01 KIÍÃIÉÍÚE IBÉS' 3. 'ill'2 I»E 11 XXVII!-'E__ 10 1 1 v=ab'+a'd' y=bd+b'd'+‹z'd GED @
  • ... z_.;: _.;§,"..Vejamos agora em que as celas são adjacentes quatro a quatro. _ ë!-` Seja o mapa de Karnaugh que representa a função _-.qn-_. :z=\.ë' ` ..!-.CÍI1 i -›.H. ., Ii-.,=-1‹ 'WP á .¡_' -':-.',':'--vi- _Íêl.‹\1., -..`.-_”Wi v = a'b'c'd + a'b'cd + a'bcd + a'bcd + abcd + abcd + ab'cd + ab'cd. _ tl; _`,«¡ .. V. 1-. a 3e ElleElle Ille *r.__ _.¬‹1-=-.;.z Í01 '_' . 1-ri' . `._`v'Í-Í; -. i~- -_‹;«. _ ‹:-- az-t-_-'-¬ i.-.il ¬.¡, .^¡É`: 1. _ ~'_* F2- _ '_Í:. "vÊ'-Í-"(' .V 'Y i L f ..==¬z- _. (là _--:ft ,'~ z« .fi;f.~~ ,_ » -¿ ¡
  • l 1 ú 1 1 ) 1 1 0) 1 | r l ) ¬~¬-/\-/`-...-/"~1-/ _) ) 1 1 ) _] Jf ) ) ) J ) ) 1 150 v = a'bcd' izbca' + a'b'c'd + a'bcd + z'b‹zó'.+ zbcdt `z__.'?B.4.¬'__x ':¡‹', _ I , ' -';'¬ _ E211 :.--.1-4 J.-l`.`-ÍÍÊÂÍÁ Í.r .'I__;_'_ “___. fz z.E__¿z-,-._ jfi',, , .__. .s'.,.-..., _. _-,~....tv z . J-¬¬'.,_:_' z .'.'z;'-.-»;.¬. '... 29 Exemplo: Solução: Minimizar a funçao: 15? Y = a'b'cde + ab'cde' + a'b'c'de' + ab'c'd'e' + 8b'C'Cl€' + 8'b0d'B 'l' + abcd'e' + a'bcde + a' + a'bcd'e' + a'b'0d'B'. Solução: Por conveniência de notação, podemos escrever a função dada na forma bi- nária ou decimal. Temos: y(a,b,c,d,e) = Ê(00111,10110,00010,10000,10010,01101,11100, 01111,01100,00100) e v‹z.b,z.ó.e›= ›:‹v.22.2.1õ.18.13.28.1f›.12.4›z 2 q N af ¬2,1a -šo N _ 4 - ` P " 1' \4,12 0,-¬ -› b'c'ide' 1 ;¿à 9.. oo -›-~oi-Í›'Ê›o,-›c›,‹:?0E_¡_.\_¡'-_.›@-AQ-¡Ô! _¿@_-B-6-LA-¡@@@-P:ga-›-›ooooo i"š\\\\ O 516 Y 16,18 1*o - 1 12 12,28. - _. 9. -zé oo 1 _ I ¡ I 1 13 1e,22¡1o - Y f nun!'13 i"' E 22 28 15 e a função simplificada é: Y = b'c'de' + a'cd'e' + bcd'e' + ab'de' + a'cde + a'bCe. 39 Exemplo: Minimizar a função: V- v(a,b,c,dl = 2(o100,1100,0001,0101,0110,1110) e v(a.b.‹=.dl = >3l4.12.1.5.6.14l _a1bcd Ímëabcwcl _L.abcd 1,5 - 0 1 4,12,6,14 - 0 _ 4,12 O Éí \\\\ Hao\ a»z-cn01 É :unle-Ãu-IEz»\\i/ v = bd' + a'c'd + a'bc' + a'ba'_. Embora a função esteja simplificada, não está minimizada, pois, apesar de serem seus termos irredutiveis, não são termos irredutíveis indispensáveis. Para identificar tais termos, usamos o crivo dos termos irredut/1/eis. 1 M4 __5,_,_”_,e _, 125 14 bd' a a'c'd a'bd' Neste crivo aparece na horizontal a notação decimal correspondente aos .termos e na vertical os termos da função simplificada. O fato de cada termo da fun- ção simplificada ser parte dos termos representados na forma decimal é indicado por um ponto na interseção das linhas e colunas correspondentes do crivo. As co- lunas em que a cada número decimal corresponde apenas um único termo, identi- fica um termo irredutfvel e indispensável. Assim, bd' e a'c'd são termos irreduti- veis indispensáveis; os demais são termos supérfluos. Então, a função minimizada resulta: y = bd' + a'c'd.
  • Exencrcios 1. Determinar a função representada no mapa: O _ 1 - :`_ _ _ if 1 7 f _ _ _ z f I' 7* ,I _' í _ L' já Tlabizza 00 01 11 10_ ,C Q0_ 01,11 1° 00 1 ç 1, _ L 00 _,1_ _ _ _ 01 1" W _ . 01 _ 1 H 1 ° 11 T1 A 11 _ 1 “ 10 iii I -1 í 10 Í, jm, Z _ ¡ l _,_ _ _' L Í fr' 2 Representar as seguintes fuflÇÕ95 U0 mapa de K3ma“9h¡ 1 Y(a.b.c) = ab + b'c + a'b' + Gb' + bd i viz,b.z.a› =# and + abr: + bc'd + bfid' JmQ..§'I_CJ'9L v(a,b,¢,ai = 2i0001,0101,1111,1010,1001›_ ) y(a,b,c,d) = E('2,4,5,6,7,11,14) ` y=(3+b)1b'+C'l'C1i fi V = ab¢(a' + c' + d') _ _ _ . " ' ' 2. 3. Simplificar mediante o mapa de Karnaugh as fuflÇ0e5 do e×°'°'°'° _ _ _ . - _ ' f " :4. Simplificar pelo metodo de Quine McClusl
  • 1154 14 ,I Í 0Portos' Logicos Até agora estudamos as funções booleanas descritas algebricamente. Nos circuitos lógicos, costuma-se indicar tais funções graficamente de modo a torná- -las mais simples. i A representação gráfica das funções booleanas é feita mediante simbolos padronizados por normas internacionais chamados blocos ou portas lógicas. As portas lógicas são as bases dos circuitos lógicos e têm por finalidade corn- binar as diferentes grandezas booleanas de modo a realizar determinada função. Cada porta lógica pode ter diferentes linhas de entrada, porém. somente uma linha de sa ida, conforme veremos. No decorrer do nosso estudo, trabalharemos com as normas americanas MIL-STD-806B IMILITARY STANDARD) de uso muito freqüente na prática; citaremos as normas da CEI (COMISSION ÉLECTROTECHNIOUE INTERNA- CIONALE) reconhecidos internacionalmente e as normas alemãs DIN 40700 IDEUTSCHE INDUSTRIE NORM). I Daremos, a seguir, uma tabela com os circuitos, tabelas-verdade que os de- finem, portas lógicas segundo as normas citadas e funções booleanas correspon- dentes que interessarão ao nosso estudo. __-_--:_ -ie ' 1";-Ú 'J .Li 1 fiífš F U N ÇAO BOOLEANA TABELA I L D NCIRCUITO VERDADE iii Í M i -51* ¡l_ ¡D_ :Ep ..z.z, 13-ID- Êh :@,_ ×=iz+izi “"¿°“mn“°"'°°Eni: I|NvEnsoaNEGAÇÃOI fr “1 T_`¬í"` TTTÊ; ....in-AQQI -*O-#00' _¡-u_u× 1----I O O -i--Ji--_z -Â-oc: --*O-*OU' @..¡....¡_; (NAN D) -i-¡@@fl¡ -*Ô--\C3U' QDO-*X I .i_........l...... ¡$._ :Ê2 .=1.-...i Ú :)D_ :@_ ×=:i. +1-iz. --H-ICDO -no-poa' ;Í...Í4Q-› É × invertida -ííuíil_1u_v -l-*OO -¡Q-aC)U' ----i-1---Ii 1invertida _.._L_...L_... ' -¡_¡@° -*O-*O Q-¡-¡@ Exclusivo L..i........í...._..i.
  • 1° Exemplo Representar mediante portas logicas a função x =ab :i;>_~›Soluçao 29 Exemplo Dar o circuito logico correspondente à funçao z = ab + H b Soluçao z = ab + b 39 Exemplo Determinar a funçao correspondente ao circuito logico O..‹'>U'm Soluçao = b+c+d) (h )= ~ 11 -_ _,_,,,, __._.f›vii;f~i ›-.-.. ..Vejamos a resoluçao de alguns exemplos 1137.' i- - É - faiz: tz,..., ... z-.'11 - -__ 7- 1 __ - "_+='z.~ I -_ ' __., 92: _ 1.'-¡.-_ .. __V . .,._ "ama z.,.¡‹-¡._-,-_ ¡ ¬ ._;§-.z-;-".~1;_. 1-2;'z '-3-1: . ~â'Ê.M'_ 3-. Solução _' 49 Exemplo Representar a função definida pela tabela verdade como circuito logico A tabela verdade define a funçao x =ab0+abc+abc' +abc Simplifiquemos a funçao Então,x = bc+ab+ac E o circuito lógico correspondente será if _ -¡@ ,L._¡. "*CD@@ -›-oc:o‹:› ---›oo-›c› -aoca5 ... O _ d -*C3 -o “Nil _ 41. í .nl 4.....l -ul -ui abc+a(bc+bc'+bc) abc+a((b +b)c+bc) abc+a(c+bc) abc+a(c+b) abc+ac+ab (ac+a)b+ac (c+a)b+ac bc+ab+ac
  • 59 Exemplo ~_./\-¢'\-/~..../~..~_/-/*Ilffin/-u/*---f Soluçao -.../\_/\-/`\u-/ Dar o circuito logico correspondente a area hachurada nos circulos de A função correspondente a area hachurada e ×=abc+abc+abc Simplificando, obtemos --_ Portanto, x = ac + bc E o circuito Iog|co procurado e C ) b 6° Exemplo: Simplificar o circuito logico mediante utihzaçao do mapa de Kamaugh Iäll Ê äiflíãf /¡,///¿ É-JD*-J Solução O circuito Iog|co dado corresponde a funçao = abd + acd + bcd + ab + a cd a quatro variáveis e que nao esta na for ma normal disiuntiva, faltando uma variavel em quatro de seus termos e duas va a (b C + bo) + a be riáveis em um de seus termos Usando o teorema expresso por ab + ab = a, temos ac+abc h+am c (a+b) c ac+bc = abcd + abcd +abcd +ab cd+abcd+a bcd +abcd +abcd +a bcd + que, representada no mapa de Karnaugh, nos dá null-› na *Hum
  • 1. Representar mediante portas lógicas as funções: _ __-i.- donde tiramos a função simplificada: x = ab + cd =. 4,' fi .T-__ '*'_ '_ --1._-' __ ;¿,fi¡¡_¬?_'›¡.. .'_ ._,._.. _¬ _.¡__¡ _.«_-i .ii 3-. ._ , _ ,;.'š” *a §§_-_ ›`-.›_ 1., ___ -< '_¡.¿¬_|;; _-zb ' "iL.¿'°Ê?..Í_:;~1í*. 1.._ _^;{_-s. `- ` ›;`.1Ê"._x - i -lr ii" ~- ›_ zv;.,-.'-r¡_, _ -*i:‹:*_-_ .. .`._,_',-~ ; Ê. 'i.Y'¬"¡-šff _- 5-`f¡. _§¡é.¡_~'¿ ii'I:'‹',l¡-:ÀxK-É;:‹_ =`*Éãfihñ-à' 1' .~~'I_-: `,. .d ii ¡1- 57.' J-vi ,f :¿. C _ *_ ‹.d -'- :'i Hš;_r`-bç _»:' __;.;.* ‹ Íá.?":'_¿;'| «¿__.;_--_¿_^-¡ ' gif' ';í;;~_~ -.`\*~- .z '~: ;''-tl* =f .f}›:.t;=.. \-‹~~,.-_,.¡.-. _ ¿. f:. ,, . ._-\,¿.'._... .‹`.¿-_À. ¿~. ¡ §.¿,,-.'._ "_, É _ _ M1. -__.- - › ._' - -,~,_z Exercícios: i .-.,.._›i.- _ ` ' "`.'e,'Ê ,__ | `?`L- 4? ' - . "-__ §v..'-31'? + t"4.. `:` 34:,^ z -'=Ê*r?5:'f*`-.. _ 'I;f'Í.. .Ít-"r:.^› ` _;-ii. z-‹" -z_‹1_;-z`=. :U '.r'.- - ;.'_ z-zw-'rt . ..§.;.;.,¿ .\ e desenhamos o circuito lógico pedido: ou cl 3bšj-»C a b dl 8 C el a b a b (C . lj. _ .b) z = _(a ' b) + z_.\- _ c x = a + b c + d dl Y = a'bc + ab'c' i Dar as tabelas-verdade correspondentes a cada circuito logico. 3 . Í E a x = a + b + c os b fi v +1» Ú ,_.,,__. i. 'r.'~_ .T _? ; ` :HW 1 ;;.`.`- - -:Ê--_:-1; i b2. Determinar as funções correspondentes aos circuitos lógicos: .É - -_;‹.r..z-._. ¿_-i"f&`--- .z.._ _ '--,z-.¿_.' _ )_,,›› 15161* rf: .1 2. :._._.._._-__ _ -a) .T_ ¿r. ___l, ._ _* _-a ¡z¡ ›:z'¡;-.L ~ ... z. ››._' _. _.-;if-_,,___¿.¡__¡__‹__ ‹¬_- z.- ‹ ,i_ _. `_ ._ . _ › 'F .ii _~._§- ;-›'=_ _-___¬..q¡9_*\` _._ ug- .-.:';;.:- f Í b c b i ` dl.-`_. .. .-- '_ '›_ _-*.‹'¬.*: `_z;.- __. ._ -Ç.-: --_ -._-.il ,_ c ` Í.*;.~:.'a .. '..r _ 2 f›_i .-¿_-- '- .~., _. , _) Qu._ ___ ','~_=.1 --',- - '-`i'› '.'*›-_`- `f.'-_ .ha- z'. ...'Í' . *iii '- 'K .-,à _ A E ) M ih __a i 160 c _ _ _. ' ,'‹ =___* -.._ › a b a b dilviviwfifiwdw D ) l l \ ) ) \¡f\ufí\flí l l ) ) ) ) ) Í. ,) ) ) J 1 'l
  • l l il r ~_/`~.ƒí~í'uf¬-r'\/ i _l ) ) ) `\ I M./\-/\/~...z l J ) ) 1 ) ) _) 1 J `› ) J çi ,i É 4 Desenhar os circuitos correspondentes lS¡mDl¡f¡°3d°5l às t3b°la5'Vefdad°¡ al bl cl -¬-r¬-1 ia b° `z_ab lazb_cy ii°;_ 0 1;Í.i.i...--ic¡:›E.›‹:›c:›i ...ÁÓEÓÀE-Íoiói ....ci:ÍÃb-35ci __o oo oio -›‹:§ ;c› call-›t:›-Deco __;...iÍ.._i{¿:i l _. i _ l] . __ 1 oo ..›_.Í ...S -foo ___¡ ¿ 1 . ------l-¬-i--1O Ã-{-áóÓ -4doDE-=›c:› .....›.-À-t ...¡-¡@ _..5_. ._1..._. '! a. ` O I l ,f Qf 6. Desenhar os circulos de Euler correspondentes aos circuitos logicos: a) - _ X fff? bl.r.._._._i.Li__.-iii-.-gni l li * a ? l^ ~ i _ _ b V _ _ __ O __ ._ , 5 i _ 1 _ _ I O _ _:,;... util' -_1\' .z-_ - _ :_ ,_ :` ,:`- _- _*-. ›=I.t{.Í_'__'. ' E - - - - ' uler.5. Desenhar os circuitos logicos correspondentes aos circulos de E _ b_ _-,z__ N.- ‹.+ -zh;-'-; '- `u.`¿~ _ "zz. _ -1 1.4- ~is 'Éh -of - _ zh §_, §\” \ _ '_ ___ 3 ¿ ,__ ...__ . _ a _, b t `. -“¬""'. ... ._ ' ' ru :.' _ ‹ - 51 ln. - :+' eu eu V _ `,-,z_: el išlltii -:J-f ' _ ,_ _ .à~ 11-- _ .1'. ›..L-4 - ' 2-5:1-5".-_'-Z' '_ ¡¡ _ t __.~ ` _ ‹. ¡__‹¬‹ _ _ 2. :‹\\ -.\.::. -*'E -É '_ ._ .. ~.- ‹.~v,'_I«' - _. ._ - _-L-.‹ ,_\ ' .õ_ 1-*t __ __.;'z_¿,¬;_z_-~._z¡,_= _ _.'.w¡_.‹_ _ - ~ - ' . . , .8) __ _ _7. Simplificar, usando os teoremas da Álgebra de Boole, os circuitos Iogicos _ __: 1-em 3 _: _div/ Ê" Í` -:'f?‹---=.';_ -_..---'z 163 --¿_-*z_'‹'› -.;» §f.J¡|ç.fÍ=.¡2 .ti fm-
  • bl 8bm zC ÊÊD 3 b . cl b a b a b 8. Simplificar os circuitos lógicos mediante utilização do mapa de Karnaugh al 8 b 3' W __ __* _ ....__ _.. C _ b c 8 - . × -::- za' š--_ "_'__;,; _ ._ _ iii .;£;¬'¡..-_‹›-¬¬@*""`f"_* __ = b) _ `_- L~:1-;'- _ .- ; ;=-ZÉ' ¿_1-_.. _ P*-L. '›_'*_¬&5 " b c cl b dl al' b C i 3br C ai C dr 3 C 3 cl' al af al al b c o.o_crn›__ › × ' Z .ff ~....z\-f\.‹\v¬ur\nr-r×..zzc._z'¬n|v~ufufvd\lVwd¬nII"d'v|f¬II'¬I i J 1z ~....z-...×\-f\-r\-IN..-f )i lê lff 1 lii
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