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  • publicao citlci: *|H

    i_GicA E LGEBRA DE Booi.EDiferentemente de textos convencionais, este livro adota a estratgia de ensi-nar atravs de exemplos, com a utilizao de um instrumental lgico que faci-lita O 9edm60 B 8 mOde|agem de sistemas reais. O uso de ilustraescomo meio de exposio proporciona, neste texto, bases seguras para gene-ralizaoes e para o prprio conhecimento e desenvolvimento da lgica peloleitor. A introduo Lgica e lgebra de Boole visa mostrar um exemplo de mode-Iomatematico de inumeras e importantes aplicaes em diferentes- ramos daatividade humana como eletrnica, computao e outros. O livro resultou de intensa pesquisa e da experincia de magistrio do autor.Por isso, sua forma agradvel de apresentar o contedo programtico:,emvez de uma abordagem orientada para o conhecimento da Matemtica pura,abstrata, o autor optou pela apresentao de um sistema algbrico que repre-sentou importante passo no desenvolvimento da eletrnicac, computao,pneumtica e outras aplicaesque envolvem at a Pesquisa Operacional.

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    NOTA SOBRE O AUTOR AJacob Daghlian licenciado em Matemtica pela Faculdade de Filosofia,Cincias e Letras da Fundao Santo Andr, onde lecionou lgebra.Foi pro-fessor de lgebra Dooleana na Faculdade de Filosofia, Cincias e Letras "Prof.Carlos Pasquale". E reitor da Universidade Metodista-de So Paulo (UM-ESP) epossui larga vivncia industrial que lhe permitiu avaliar a importncia da matriaora apresentada. A APucAo Livro-texto para as disciplinas LGICA MATEMTICA e INTRODUAO LOGICA dos cursos de Matemtica (bacharelado) e Tecnologia de Processa-mento de Dados. Texto complementar para a disciplina CIRCUITOS LOGI-COS E OFiGANlZAAO DE COMPUTADORES do curso de Cincias daComputao.

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    www.EditoraAt1as.com.br1783522 41255

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    JACOB DAGHLIAN

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    LGMZAE LGEBRADE BQOLE4 Edicao

    SO PAULOEDITORA ATLAS S.A. - 2008

  • 1986 by Editora Atlas S.A. go i~*I'*'~1_,

    1. ed. 19s; 2. ed. 19ss;3.@.199o, i4. ed. 1995; 12. reimpresso zoos

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    -1% -O*' .giCapa: Paulo Ferreira Leite mmolComposio: Style Up

    Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)(Cmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

    Daghlian, Jacob, 1936 - *Lgica e lgebra de Boole/Jacob Daghlian. - 4. ed. - 12. reimpr. - So Paulo : Atlas,

    2008.

    Bibliografia.ISBN 978-85~224-1256-3

    1. lgebra booleana 2. Lgica simblica e matemtica I. Ttulo.

    95-0876 CDD-511.324

    ndice para catlogo sistemtico:

    1. lgebra booleana 511.324

    TODOS OS DIREITOS RESERVADOS - proibida a reproduo total ou parcial, de qualquerforma ou por qualquer meio. A violao dos direitos de autor (Lei ng 9.610/98) crimeestabelecido pelo artigo 184 do Cdigo Penal.

    Depsito legal na Biblioteca Nacional conforme Decreto ni* 1.825, de 20 de dezembro de1907.

    impresso no Brasil/Printed in Brazil

    Editora Atlas S.A.Rua Conselheiro Nbias, 1384 (Campos Elisios)01203-904 So Paulo (SP)Tel.: (0_ _11) 3357-9144 (PABX)www.EditoraAtlas.com.br

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    Agradecimentos

    Antonio ngelo Fratoni(Desenhos do Captulo 14)Vnia Linda Domingues(Datilografia do Captulo 14)

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    Carlos Alberto Garcia Calioli (in memoriame Rubener da Silva FreitasMestres e amigos cujo entusiasmo eincentivo me conduziram ao Magistrio.

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    Pela ajuda de do/'s sbios: meus pais, Leon e HripsmPelo incen tivo de minha esposa: HuldaPela carinhosa presena de meus filhos: Leon e RicardoPelos meus irmos: Carlos, Luz e CeliPela oportunidade de realizar este trabalhoElevo 0 pensamento em gratido a DEUS.

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    Sumrio

    Prefcio, 13Apresentao, 15

    1SISTEMAS DICOTMICOS, 17

    1.1 Introduo, 171.2 Interruptores, 181.3 Conjuntos, 221.4 Proposies, 26

    1.4.1 Princpios fundamentais da lgica matemtica, 271 4.2 Tabela-verdade, 28

    Exu =.`S, 29

    2OPERAES LGICAS SOBRE PROPOSIES, 31

    2.1 Negao (), 322.2 Conjuno ('), 322.3 Disjuno inclusiva ou soma lgica (+), 322.4 Disjuno exclusiva (), 332.5 Condicional (--r), 342.6 Bicondicional (), 35Exercicios, 36

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    7CONSTRUO DA TABELA-VERDADE, 39 FLUXOGRAMAS, 77

    Iumiidn-u;.\n?ul-fzz..um, _ 1 Exerccios, 85Exerc1c1os, 42

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    __ _ OUANTIEICADORES, 89RELAOES DE IMPLICAAO E DE EOU1vALENc1A,48.1 Sentena aberta, 89 g

    4-1 Denies 46 8.2 Quanticador universal, 904.2 Relao de implicao 47 8.3 Quanticador existencial, 914.3 Relao de equivalncga 47 8.4 Valores lgicos de sentenas quanticadas, 9344 Equivalncias notveis, s 8.5 biegao de sentenas quanticadas, 934.5 Propriedades, 51 Exercicios' 96Exerccios, 51

    95 , INTRODUO LOEBRA DE BOOLE, 97

    AROUMENTO VLIDO, 54 9.1 Operador binrio, 979.2 Propriedades das operaes, 97

    5_1 Deni-0, 54 9.3 Sistemas algbricos, 1055.2 Regras de inferncia, 56 Exefclclosf 114Exerccios, 5 8

    106 9 FUNOES BOOLEANAS, 117

    TCNICAS DEDUTIVAS, 62 Exerccios, 120

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    6.1 Prova direta, 626.2 Prova condicional, 65 A 1 16.3 Prova bicondicional, 67 4 - -6.4 Prova indireta ou por reduo ao absurdo, 68 O REPRESENTAAO DAS FUNOES BOOLEANAS' 1226-5 Pwva indireta da forma Cnd0n1 70 11.1 Diagramas de Venn ou crculos de Euler, 122Exerc1c1os, 71 . . 11.2 Tabelas-verdade, 123 g

    - 11.3 Representao geomtrica, 124l Exerccios, 128 1 1

  • FORMAS NORMAIS, 131

    12.1 Forma normal a n variveis, 13112.2 Forma normal disjuntiva, 13112.3 Forma normal conjuntiva, 13312.4 Funes na forma binria, 13412.5 Funes na forma decimal, 135Exercicios, 137

    13MINIMIZAAO DE FUNOES, 139

    c 13.1 Mtodo algbrico, 13913.2 Mtodo do Mapa de Karnaugh, 14013.3 Mtodo de Qune-McC1uskey, 148Exerccios, 152

    14PORTAS LGICAS, 154

    Bibliografia, 166

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    Prefcio

    Os ltimos 10 anos vm presenciando um aumento sem precedentes da apli-cao da Matemtica, particularmente da lgebra, no entendimento e soluo dosproblemas das Cincias da Computao. Estruturas algbricas, cada vez mais, estosendo empregadas na modelagem e controle de circuitos eletrnicos e de sistemasde informaes. A lgebra aplicada computao vem sendo paulatinamente in-troduzida nos currculos das escolas de 2.0 e 39 graus sob formas diversas.

    , pois, com grande satisfao que apresentamos ao leitor este dedicado tra-balho do colega Jacob Daghlian. Trata-se de um livro que surgiu como frutodointenso trabalho de pesquisas bibliogrficas e das experincias do magistrio viven-ciadas pelo autor no ensino de disciplinas cujos contedos abrangem este texto.

    sabido que os estudantes so mais hbeis quando conhecem a causa pelaqual aprendem uma tcnica particular e tendem a perder o interesse se os mtodosmatemticos so apresentados de maneira puramente abstrata, sem aplicaes pr-ticas. Consciente, o autor adota a estratgia de ensinar, atravs de exemplos, utili-Zando o instrumental lgico para o entendimento e a modelagem de sistemas reais.O uso de ilustraes familiares como meio de exposio, por certo, oferecerbase para generalizaes e o prprio conhecimento e desenvolvimento da Lgicapelo leitor.

    Devemos deixar claro que no desaprovamos a abordagem orientada exclusi-vamente para o conhecimento da Matemtica Pura. Porm, entendemos que,quando o trabalho bsico inicial estiver bem assentado, o aluno ter estmulo paraaprofundar os indispensveis conhecimentos tericos da Matemtica Pura.

    Com esses objetivos o autor produziu um livro-texto claro e compreensveldestinado aos cursos introdutrios de lgebra Aplicada Computao que certa-mente dar os fundamentos para que os leitores caminhem com segurana nosestudos, investigaes e pesquisas nessa rea do conhecimento humano.

  • Congratulamo-nos com o Prof. Jacob Daghlian e com a Editora Atlas pelapublicao, augurando a continuao de empreendimentos desta natureza.

    So Paulo, abril de 1986

    PROF. GILBERTO DE ANDRADE MARTINS

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    Apresentoo

    O presente texto originou-se das notas de aula do curso que ministramos halguns anos aos alunos do curso de Matemtica da Faculdade de Filosofia, Cin-cias e Letras da Fundao Santo Andr. Ao redigi-lo, como primeira razo, moveu--nos o interesse de entregar aos nossos alunos um texto que contivesse os pontosprincipais de nosso curso e que superasse a necessidade, nesta primeira parte dosestudos, de livros estrangeiros de difcil e cara obteno. Outro aspecto importan-te que nos levou a este trabalho e nos mantm motivados no seu aprimoramento a apresentao de um sistema algbrico que representou importante passo nodesenvolvimento' da eletrnica, computao, pneumtica e outras aplicaes queenvolvem at a Pesquisa Operacional. Sua presena marcante nos estudos deautomatizao, levando a simplificaes com sensveis redues de custo, tendodado origem a mtodos que representam grande economia de tempo em projetoscom os quais possa relacionar-se.

    Nada apresentamos de original e, em alguns casos, incorremos na linguagemcaracterstica de queridos mestres como o foi Alcides Boscolo, de saudosa mem-ria, e ainda o Edgard de Alencar Filho, no deixando de mencionar a marcanteinfluncia de alguns textos citados na bibliografia.

    Agradecemos o apoio dos colegas, bem como as crticas recebidas, sendo oserros e imprecises de nossa inteira responsabilidade. Em particular, agradecemosao Prof. Jos Otvio Moreira Campos o incentivo e empenho para a concretizaodeste trabalho.

    Finalizando, prestamos nossa homenagem aos professores que desde o Jar-dim da Infncia participaram de Jnossa formao, dedicando-lhes este livro e, paraevitar omisses, citando as diferentes escolas que cu rsamos:Jardim da In fncia e Primrio

    Academia de Comrcio Horcio Berlinck -- Ja - SP

    , 14 15

  • GinsioGinsio Estadual de Ja -Ja - SPColgio So Norberto - Ja - SPColgio Dante Alighieri- So Paulo - SP

    Centff/'coEscola Preparatria de Cadetes do Exrcito - So Paulo - SPEscola Preparatria de Cadetes do Exrcito - Porto Alegre - RS

    SuperiorAcademia Militar das Agulhas Negras -_ Resende - RJFaculdade de Filosofia, Cincias e Letras da Fundao Santo Andr - Santo

    Andr - SPOrganizao Santamarense de Educao e Cultura - OSEC- - So Paulo -

    SP (Especializao) 'Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo - PUC -_ So Paulo - SP

    (Ps-Graduao)Instituto Metodista de Ensino Superior - IMS - So Bernardo do Cam-po - SP (Mestrado em Administrao)

    So Paulo, 1995

    JACOB DAGHLIAN

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    Sistemos Dicotmicos

    1.1 INTRODUO

    O mundo em que vivemos apresenta situaes com dois estados apenas, quemutuamente se excluem, algumas das quais tabelamos a seguir:

    1' 7' ' ' ' ' 77 7 ' 7 W" 77 7 ' ' l 77%' 7' ' 77" ' 77 F ,

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    li 1 Dia NoitePreto or Branco *

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    l Ligado ii Desligado o

    H situaes como morno e tpido, diferentes tonalidades de vermelho etc. queno se apresentam como_ estritamente dicotmicas, ou seja, com dois estados ex-cludentes bem definidos.

    A Lgica comeou a desenvolver-se com Aristteles (384-322 a.C.) e os an-tigos filsofos gregos passaram a usar em suas discusses sentenas enunciadas nasformas afirmativa e negativa, resultando assim grande simplificao e clareza, comefeito de grande valia em toda a Matemtica. Por volta de 1666, Gottfried WilhelmLeibniz (1646-1716) usou em vrios trabalhos o que chamou ca/cu/us rarr`0tr`nator,ou /og/'ca mathematca ou /ogrstca. Estas idias nunca foram teorizadas porLeibniz, porm seus escritos trazem a idia da Lgica Matemtica.

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    No sculo XVIII, Leonhard Euler (1707-1783) introduziu a representaaogrfica das relaes entre sentenas ou proposies, mais tarde ampliada porJohn Venn (1834-1923), E. W. Veitch em 1952 e lVl. Karnaugh em 1953. Em1847, Augustus DeMorgan (1806-1871) publicou um tratado Forma//og/'c envol- 17

  • vendo-se em discusso pblica com o filsofo escocs William Hamilton (que nadatinha a ver com o matemtico William Rowan Hamilton), conhecido por sua aver-so Matemtica, o qual, entre outras coisas escreveu: A Matemtica congela eembota a mente; um excessivo estudo da Matemtica incapacita a mente para asenergias que a filosofia e a vida requerem. George Boole (1815-1864), ligado pelaamizade a Del\/lorgan, interessou-se pelo debate entre o filsofo e 0 matemtico,escrevendo The mathematfca ana/yss of /ogic (1848) em defesa de seu amigo;mais tarde publicou um livro sobre lgebra de Boole, chamado An investigar/'onof the laws of thought (1854) e em 1859 escreveu Treatse on dfferental equa-tions no qual discutiu o mtodo simblico geral. O trabalho de George Boole foiampliado por Lewis Carrol (1896), Whitehead (1898), Huntington (1904 e 1933),Sheffer (1913) e outros. Este perodo de desenvolvimento da Lgica culminoucom a publicao do Principfa mathematica por Alfred North-Whitehead (1861--1947) e Bertrand Russell (1872-1970), que representou grande ajuda paracompletar 0 programa sugerido por Leibniz, que visava dar uma base lgica paratoda a Matemtica.

    A lgebra de_Boole, embora existindo h mais de cem anos, no teve qual-quer utilizao prtica at 1937, quando foi feita a primeira aplicao anlisede circuitos de rels por A. Nakashima, que no foi bem-sucedido, pois, ao invsde desenvolver a teoria j existente, tentou desenvolver a lgebra Booleana porconceitos prprios. Em 1938 Claude E. Shannon mostrou, em sua tese de mestra-do no Departamento de Engenharia Eltrica do MIT (Massachusetts Institute ofTechnology), a aplicao da Algebra de Boole na anlise de circuitos de rels,usando-a com rara elegncia, o que serviu de base para o desenvolvimento da teo-ria dos interruptores.

    O assunto deste curso, ainda que elementar, visa mostrar as aplicaes dalgebra de Boole ou Algebra Lgica no s no processamento automtico de dados(computao), como tambm na automatizao da produo industrial, mediantea utilizao desta teoria aplicada aos fluidos.

    1.2 INTERRUPTORES

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    2. Desenhar os circuitos cujas ligaes so dadas pelas expresses:alr'(q+rlblm+(D"Q"r')]im+n+p+qdll'vl+("el, f. . f

    fl lr+ql'lp'+q'lgl lD+ql(r>+q'+r'lhi(a+b-c)(a"b'+c')+a'b"c'i) p'[q'(s+r)+r's] +(q+p')-(rs'+s)

    l Aten:'o: O leitor no deve passar s pginas seguintes sem que se sintaperfeitamente capaz e desembaraado nos dois tipos de exer-

    po e os erros cometidos.ccios das seqncias acima. Tente de novo, marcando o tem- l

    7 i"` 1.3 CONJUNTOS

    Sejam a, b, c, conjuntos de pontos tomados num espao E dado. Na fi-gura abaixo, o retngulo o nosso espao E e as figuras internas so os conjuntos22 ' 8 a' 0 1 23

    =f'vvzi,;(sv_~.v

    'av

    -1

    rf f s /r @H , __ a _ c ,l . . a' b ___ c ___. ,_E__ , ,

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  • Para dois conjuntos quaisquer a e b do universo 1 valem as igualdades:

    Podemos verificar sua validade construindo os diagramas apropriados, porexemplo, pelos crculos de Euler ou diagramas de Venn. Outros resultados podem

    0+00+11+01+1a+a'=

    ..- --Q oo -zo

    a+b=a+0a+1

    mU'_..-...

    + ID

    m0Jm_..\...

    1 a

    ser obtidos para trs conjuntos quaisquer a, b e c.

    19 Exemplo:

    U'm__-C3

    01

    Mostrar mediante diagramas apropriados que:

    Soluo:

    `%_)

    a+(

    Cb

    b'c)=(a+b)(a

    ..._1-

    +c)

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    29 Exemplo:

    ; Soluo :

    8+(b'Cl (a+b)(a+c)

    Q 4Q F Cl l ID Cir Dr' + p'qr-

    llustrar pelos cfrculos de Euler a expresso pr' + p'qr.

    I O I

    m m ,ii lllli

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    a b'c

    'Will

    3P Exemplo:

    C

    O

    i Dar a expressao da regio hachurada no diagrama:

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    ilrrliiii llllljil lllilili viii,ll liliiliiir. rill .mi * "* '*'l ' .z (1.

    4 l ;i,ll(ll 1 S0lU.'0=_ X V Z: + xr yr Z

    24 a + b 3 + C

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    EXERCCIOS

    1. Desenhar os diagramas de Euler-Venn para mostrar:a)lJ+q'bl i1q'cl p'+icl (D'l'=P

    1.4 Pnoeosioes ooChamamos conceito primitivo aquele conceito que aceitamos sem defini-

    o. Enquadraremos neste caso o conceito de proposio G. D0|'30z 0300 def*niremos. Entretanto, nada impedeque conheamos suas qualidades, lembrandoque propos:"o uma sentena declarativa, afirmativa e que deve exprimir umpensamento de sentido completo, podendo ser escrita na forma Slmbvlw OU linguagem usual. Ento, so proposies:

    a) tg -:L = 1

    b)\/3q:1+2=3implica21

    Observaes'

    a) Quando for conveniente indicar que uma proposio composta P formada pelas proposies simples p, q, r,..., escreve-se:P (p, q, r, ...).

    b) As proposies componentes de uma proposio composta podem ser,elas mesmas, proposies compostas. A

    c) As proposies compostas .so`tambm chamadas frmulas proposi-crona/s.

    lndicaremos o va/or lgico de uma proposio simples p, por V(p). Assim,se p verdadeira, V(p) = 1 e se p falsa, V(p) = 0. No caso de uma proposiocomposta P, indica-se por V(p). Nas proposis abaixo:

    p: O sol verde. V(p) = 0.q: Um hexgono tem 9 diagonais. V(q) = 1.r: 2 raiz da equao xz + 3x - 4 = 0. V(r) = 0.

    1.4.1 Princpios fundamentais da lgica matemtica

    a) Princrjoio da No-contradio:

  • 28 l

    5'

    T

    bl Princiivio do Terceiro Excludo: bl P(p'q'f)Toda proposio ou s verdadeira ou s falsa, nunca ocorrendo um tercei-

    ro caso. T T * " '. . _ - . - ~ P * q i f li 0 f

    De acordo com esses principios, podemos afirmar que. toda proposiao K , 1: ___* 1ladmite umeum s dos va/ores 1,0. l ii 1 1; O z O * O i

    . , . H - , , :__ ,W;_ 1

    Chamam-se conectivos lgicos palavras ou expressoes que se usam para for- T 1 ii 1 f q 1. H . . ~ 1 .; li ij li l

    mar novas proposioes, a partir de proposioes dadas. Damos abaixo algumas pro- 2 \ 0 0 1 i Qposies compostas por diferentes conectivos (grifados): T. . ...___ J r

    P: O nmero 4 quadrado perfeito e o nmero 3 impar. l 3 0 1 l 0 *I pO: O tringulo ABC retngulo ou issceles. F" TFl: Se Joo estuda, ento sabe a matria. 1 4 1 0 1 1 il

    U1 _.,e Oe ,ga, e ,1.o` ` f

    _ rfffff 71.4.2 Tabela-verdade ir , "lr 6 i 1 o z 1 T qPelo Principio do Terceiro Excludo, toda proposio tem Vlp) = 1 ou F T.: 0. _ 7 . 1 1 E O

    _ I'ff- i 1' Lf;i=f 0 fa11i11------1 ,.:.;i_ L- `, eu ll

    i O sp1. 1 1 Apresentaremos, sem demonstrar, o seguinte teorema:

    iil i

    Nas composies, o valor lgico de qualquer proposio composta depende _ o nmero de proposies componentes.unicamente dos valores lgicos das proposies simples componentes, ficando por 1eles unvocamente determinado. Usaremos como meio auxiliar na construo das , itabelas-verdade o diagrama da rvore, que se v ao lado das tabelas._Na.situaao i Exemplos: atual, os nmeros que aparecem na primeira coluna tem apenas a finalidade de a) Dada pg n = 1 e a tabemverdade ter 21 = 2 unhas.indicar 0 nmero de linhas para cada exemplo apresentado. TT s bl Dada Plp,q), n = 2 e a tabela-verdade ter 22 = 4 linhas.

    Para as proposies compostas, veremos que o nmero das componentes D cl Dada Plp,q,rl, n = 3 e a tabela-verdade ter 23 = 8 linhas.simples determina o nmero de linhas das tabelas-verdade. Exemplos: ~

    oal Plp-ql exe Rc rciosl il `

    _______Ff_____ O Q t. 1. Determinar o valor lgico (1 ou Ol de cada uma das seguintes proposies:_10 E O 1 al O nmero 11 primo. VlaN. O __..

    TJO

    fi .- i -_ Q- _ dl sec2 32 = 1 + tgz 32. V(d

    lg \ \ bl senz 25 'T+ cos225 = 1. V(b)

    i 3 *1 O 1 1 cl O hexaed ro regular tem 8 arestas. Vlcll

    4 *T 1 1% q 1 , el ioga.-= 1. vie)

    i Teorema: O nmero de linhas de uma tabe/a-verdade dado por 2", onde n

    I

    s.../.f\l\f-iuuf'|f|I`l~..v~

    ll

    \...\./\./\.r\-f\.z_z\f\|f\|f\i\uf.z

    ))))l)

  • I))))ll)i\

    l

    x.../"~u/\u/*IIII"

    ))))

    ))

    )l

    1)JJl)Jil

    i

    f) loga1= 0. \/(f) zgi semi 30 + CQS2 30 = 2.h) senz g + cosz g = 1.i) log (2 3) = log 2 + log 3.j) Todo nmero divisvel por 5 termina em O.l) O par { x} igual a {x}.

    Vlgl =Vlhl =Vll =Vlil =V zz

    lO dl l-l l m 2 ~ *' '1:, ,,;;,' _ ~ mg Operooes Logicos sobreol cos(-xl = cosx. V(0) = . - ~vipi z ProposioesDl -2

  • Outras maneiras de exprimir uma negao! O valor lgico da disjuno inclusiva de duas proposies definido pelaNo e' verdade que Joo estudante. tabela-Vefdadei - falso que Joo estudante.

    2.2 CONJUNO (.l

    A conjuno de duas proposies p e q uma proposio verdadeira quandoV(p) f= V(q) = 1, e falsa nos demais casos, isto , s verdadeira quando ambas ascomponentes forem verdadeiras. Chamamos p 1 q a conjuno de p e q e l-se:np e qn'

    L*

    D 1iD+1O

    _`O

    .z O , 1

    101_ Ei.---E. ee E

    i ' ' 3. , 1;1=1,1

    Ento dadas as proposies abaixo vem:O valor lgico da conjuno de duas proposies definido pela tabela- ' '-verdade: 1

    to q=r'=i~ao oiol!ET

    lL i

    4-;r;-cz. _ 1 _ . i

    l1:1,; -- - - - - -

    1111_. ___z;zlz__.zz..__z__ . V il

    Ento, dadas as proposies abaixo, vem:

    al pzsen = - i (1)1 q:cos0=1 (1)

    Vl.p'ql =lbl r: |ogz2=1 (1)

    s: 2.=2 (O)V(r s)=0

    2.3 DISJUNO INCLUSIVA OU SOMA LGICA (+l

    A disj'un'o de duas proposies p e q uma proposio falsa quandoV(p) = V(q) = 0 e verdadeira nos demais casos, ou seja, quando pelo menos umadas componentes verdadeira. Chamamos este conectivo disfuno inclusiva ousoma lgica; denotaremos a disjuno de p e q por p + Q. 8 l-S62 "D OU Q"-

    l1olo^ \

    Q

    11

    al p:Tr=3 (0)1: ~ J *` q:9-3?6 (1)

    1 - ,- VlD+ql =1

    0 110. bpz/

  • I)))l

    -~./ul'-ui/~..'

    l

    l

    --/-./\-/\-/

    '\

    )))_)

    tt))i))l

    l

    ilJl

    iJJ

    O valor lgico da disjuno exclusiva definido pela tabela-verdade:,_ _

    'U .Q

    O Oii. _

    EO

    _)

    1-J -aoO _.:

    _-_

    O

    Ento, dadas as proposies abaixo, vem:

    al p:rr2V(pql=1

    bl p:tr 1 (ll-verdade: WP ** ql = 1

    z bi r:/IT E 2 ioi p _) q- =i=/ > 1 iii

    ca ci ni-'L Vip*->ql=0

    Ento, dadas as proposies abaixo, vem: bl P T

    'ff

    O 1-ul

    r__

    1-Lzbunnl -o`c: Daremos de maneira breve a ordem de precedncia a ser observada entre asoperaes estudadas, que a seguinte:

    al'

    c)->al pztgg-=1 (1) d),.,_____,_

    q:sen0=-'-O (1) ` _

    VP _* ql = 1 a identificao da forma da proposio composta, conforme mostramos a seguir: 3Esta ordem de precedencia entre os conectivos tem a finalidade de permitir

  • Assim, p -- q _- r da forma bicondicional; a proposio p + q' -- q - r C) 3 > 2 ou sen90 > tg45. da forma condicional, ao passo que, p + lq' --> C1 ' rl composta por disjun- d) se l -1 I < O ento sen90 = 1.o. Portanto. a correta colocao de parnteses, quando for o caso, de extrema e) 3 > 1 _ 30 -.z 3_importncia. _ .P 1 f) 1; > 4 i 3 >

    \/egl tgn = 1 se e somente se senrr = 0.

    _ h) No verdade que 12 um nmero impar.EXERCICIOS ) (1 +1 = 2+-4+3=5)'.

    , it jl (sen 0 = O ou1. Sejam as proposies p: Joo joga futebol e q: Joo joga tenis. Escrever na Iin-

    guagem usual as seguintes proposies: 'A .5_ Sabendo que V(p) = 1 e V(q) = 0, determinar o valor lgico de cada uma dasa) p + q proposioeszbl ia Q al ia Q'cl iv q' bl r+q'dlr'q-r' t

    fl lD+o'l-(rsl

    hl [D-->lq' rl]il lr+larl1'-s' lP'+f) (p+_q)._r' bl lr+(r-rs

    t cl lp' + lr

    bl senrr = 0 e cosir = 0.

    sl']4. Determinar o valor lgico de cada uma das seguintes proposies: dl [CI *_* lp' S

    el3+2=7 e 5+5=1o llpHl+lq`_`>pl` fl lD**Cil'lr'-'--rs)

    ll

    ll'

    ei lp - qq' + (r _). 5) V 8. Para que valores lgicos de p_e q se tem Vlp ql = Vlp ---.q)?

    gn [D ___) (Q _ rn _ S z 9. Se V(p) = Vlql = 1 e V(rl = Vlsl = 0, determinar os valores lgicos das seguin-' , tes proposies:

    fnffrwiwiiduiudw

    il

    OO

    2l1

    li

  • rll 9) {[Ci' ' lo - s'll'}'i lh i>'+la lr-s'll

    il lD'+fl'_'*lq--*sll .

    ../-/--f~./

    l

    __)

    )

    il [D + lq-' sli' + lr-_s'lll Cl" lll"+Sl-_-lD-_->q'll

    ml lP'_*l rl ' s, sabendo que Vlrl = 1.

    Determinar os valores lgicos das proposies abaixo, justificando os casos em i 3

    9) p -- (r + 5), sabendo que yr,-) = 1_ Para se construir a tabela-verdade de uma proposio composta dada, proce-h) lp 1 ql r, sabendo que V(q) = 1. de-se da seguinte maneira:) [lp '_-_ fll . p]__ pl' Sabend que Vlp) = 0' al determina-se o nmero de linhas da tabela-verdade que se quer consll D _* (Cl ' rl. sabendoque V(q) = O e Vlrl = 1. trur_

    J bl observa-se a precedncia entre os conectivos, isto , determina-se a forma das proposies que ocorrem no problema; ') . . _ .. .. . . . _c) aplicam-se as definioes das operaoes logicas que o problema exigir.

    ll) .

    )il r-- -rf ~ -I' I' fl') e ~ - -i ij ` . 1

    )

    l i. z _ ___ i-__ illll

    Vejamos alguns exemplos: .

    19 Exemplo:Construir a tabela-verdade da proposio: P(p,q) = (p q')'.

    Soluo : J

    ~ p 11

  • e, para todas as linhas da tabela-verdade, vem:

    P(00,01,10,11l =

    O conjunto V = {00,01,10,11} o conjunto de todos os valores possiveis ~de serem assumidos pelas proposies componentes de PlP.Cll e, considerando que *a cada elemento de V corresponde um e somente um dos valores de {0,1}, dire- 1 -mos que

    Pieeiz v -~ {0.1}. - lou seja, a tabela-verdade de P(p,q) uma aplicao de V em {0,1}. O mesmo se d A z l T 1com proposies compostas por um nmero maior de proposies componentes. S 5 l

    29 Exemplo:Construir a tabela-verdade da proposio

    Hmw=%o'm"+m**pY. ` 1 iSoluo:

    39 Exemplo:Construir a tabela-verdade da proposio:

    1101.A Hmmd=D+r~*q'f.

    Soluo :

    lp T" + I q r r p r q r p+r -->q rser - -~~~ fr f ~f Cl ' 'l _____ __L _ _ __ _ _

    ----c>oc:c:> --~oo--oo --*CJ-O-*O-*O CD-*O-*O-*O-H _;-......_\@...@_ O--IOQO-*OO @...@@.-.........\

    O

    -. L _l____ zz zzzzz __ _ _ _ _ _ _ r

    No caso de trs proposies componentes, temos:i

    O Pl000l = Pl100l =O O'P Q pq mqY arco lqttm' w'qY+h**DYlO Pioo1i= Piio1i=-A O

    -*OOO Q.-aa.-a-.L -\@@-.L

    ___ _|_ _ __ __1-uinq _!-lu-rm

    V, P(010l = P(110l =P011l=1 Pl111l=

    V, P(000,001,010,011,100,101,110,111) = 01110010.l

    O ui-I d ni-

    1 1 i il __O OC

    @-A o_\

    T "J"`" Fazendo V = {000,001,010,011,100,101,110,111}, ou seja, V o conjunprocedendo de manea anwga ao exempm anteor' temos: toxde todos os valores possiveis de serem assumidos pelas proposioes componen

    P(00l =Pl01l =P(10l =P(11l == @..s...-s Q

    H outros mtodos para construo de tabelas-verdade, porm nos restrin- f p(p'q) = ip __> q) . (q _, r) _, (D ___., r _40 giremos ao mtodo utilizado nos exemplos dados. _ ' P '

    tes de P(p,q,rl, mediante raciocinio anlogo ao caso de P(p,q), temos:

    HmmdW-*{Q0-

    Ento, a tabela-verdade de P(p,q,rl uma aplicao de V em {0,1}.ou P(00,01,1 0,1 1) = 1110.

    49 Exemplo:

    ~.../uId'dd~dul-/..

    `i,l

    O

    /J'

    \./\/\f\I"\-'

    ))

    _ )Eno, determinar P(O0,01,10,11) consiste em construir a tabela verdade para a _ V P _ __proposio dada e responder na forma indicada nos exemplos dados. Cn5tr" a tabla`l'e'dade da p"p5'a-

    l 41ll

  • IIIQSoluao.

    F _ __ _ ___ .__ __ __ _ __ __ _ _. _zzzz M1

    rf 1 1 i

    -/..../\uf'rud-./

    i-i

    P fi ',f**."*frr>rP+qdl is'--li-ilel ln-'>ql-~iqfl ai*-+ai" iasl li+-:i'l--ri+i=hl lrDl--+lD--rldl lp--rl--lD'-r'l

    Dizer quais as proposies que satisfazem s tabelas verdade abaixo

    ? bl 7 cl ?Qi

    1 e V(q) = Vlsl = 0 determinar o valor logico de

  • Bariri Brp--*ri BIG*-*Ppr-ra C=r'--*ri C=i>p D:p'q D:p'q'nenhuma delas. E: nenhuma delas. E: nenhuma delas.

    8 Determinar as proposies compostas por conjuno que satisfazem a cada uma sdas tabelas verdade indicadas.

    l

    --ioo

    L p ,ql A l B C W D E _

    CD

    CD

    _.

    ._.._. QI- -*-eCD -eCDC3 _(3_.-l CD _ 1CD _; Li

    9 Determinar as proposies compostas por disjuno que satisfazem a cada umadas tabelas verdade indicadas.

    _ _ JI' '' ' '7"____ __ __,iun, ' ' LY

    +- l 1

    P ___ __ _-+- L ___ zi ___ --

    Al B i C*___

    _;-ih@3 __4____lF _;Q-L3_Q C)._-s_; CDCDCD-^

    _A-4i...z

    -.L-.ni-.L@

    ...@...

    CD-*CDCDl_ 1 _i______ .___ _ _

    xlL___

    10 Determinar as proposies compostas por condicional que satisfazem a cadauma das tabelas verdade indicadas.

    "notre ff r rf* i 1

    PT

    Q

    _-AQQ -.@...@ O__;-A...abir_-__-

    CDCDCD-eLie-1._

    ._-A_;@ CD-4CDCD -li-@-a

    p +q Ap +q' A;p-- q 11. Determinar quais das seguintes proposioes so tautologias, contradioes oucontingncias:alD'_*(D'_'>qlbl p'+q-*lp-*~>qlel na->lq_>lq-*rolldl (lp-rol*-*ql-rnel i+

  • i

    nl

    l

    il

    ))X

    fl

    -...\-/\./~../_/

    l

    )

    ll

    ))

    \

    l

    )i 1

    1

    fl\ll

    \l

    )

    J) 46 i

    J l

    Reloes de lmplicoo e del

    I A 0qu|vo|enc|o

    O estudo das relaes de implicao e de equivalncia, de grande importn-cia na Lgica, ser feito de maneira suscinta, como convm ao nosso estudo. Antes,porm, definiremos alguns conceitos introdutrios.

    4.1 DEFINIES

    a) Duas proposioes sao ditas independentes quando, em suas tabelas-verdade,ocorrem as quatro alternativas. L

    Exemplo:_

    ne]

    -=`OC>m...

    bl Dizemos que duas proposies so dependentes quando, em* suas tabelas-verda-de, uma ou mais alternativas no ocorrem.

    Exemplo:1 ff* '_ 'ff *___ *_ *mf 7 _

    . po q p__

    --*O-IO -s-..@..-1

    No ocorre a alternativa 10l entrepeq->p.

    I.__s__JL_...- "lr _Neste caso, dizemos que existe uma relao entre as proposies p e q --> p.

    Examinaremos as relaes simples (quando uma alternativa no ocorre) e as rela-es duplas (quando duas alternativas no ocorrem).

    4.2 RELAO DE IMPLICAO

    Diz-se que uma proposio p implica uma proposio q quando, em suas ta-belas-verdade, no ocorre 10 (nessa ordem!).

    Nota:'o: p -i> q.

    Observaao importante: `No confundir os smbolos --> e -L->, pois, enquanto o primeiro re-presenta uma operaao entre proposies dando origem a uma nova pro-posio. o segundo_ indica apenas uma relao entre duas proposiesdadas.

    Exemplo: Verificar se piq --> p.

    Soluo:3 Q r fl-.

    31. '__

    1

    ---*Q

    Comparando as tabelas-verdade p e q -~ p, verificamos que no ocorre 10(nessa ordemll numa mesma linha. Portanto: p q -- p. . `

    4.3 RELAO DE EQUIVALNCIA

    Diz-se que uma proposio p equivalente a uma proposio q quando, emsuas tabelas-verdade, no ocorrem 10 nem 07.

  • Natao p q Leis comutativas:al D + Q :> fi + D.

    Observaco importante b) p _ q q _ p.

    emplo Verificar se p q (p + q

    uop+q ln +ril

    _ _ -L . L* L-

    CD--*O OOC3 @-..... _@_|. ..-......... DOO--*CDO

    Vale para os simbolos

  • Destas tabelas tiramos as seguintes equivalncias notveis:Leis distributivasalp lli> ql+(p lblp+m rM%=$%p+qllp+n

    E I q+r lq+r) E'O zz..i

    lp -- ql i> iq' --> D'liq _> pl ln' --> Ci').

    4 5 PROPRIEDADESo

    Tca o o

    --_...

    nf O O O O

    A condio necessria e suficiente para que p > q que o condicionalp - q seja uma tautologia.CDO

    O n_I -nl C)

    QDO DOO CJOCD\...../ O zin-L --o ._.i_ xlanl OC)

    1___

    Demonstrao:

    lu-lnnl --oo -*O--IO ..-....@..._. ql -- (p -1-I- ql.Se p > q, no ocorre 10, logo o condicional p _- q uma tautolo-gia.A condio suficiente: (p -L- q) _- (p > ql.Se p -T- q, no ocorre em sua tabela-verdade a alternativa 10; logo,p "-"'---> q. - c.q.d.

    bl A condio necessria e suficiente para que p i> q que p q seja umatautologia.p-Hi D-- Qblq--+0'c p--qdlq'+i2>elo Q

    b q -- p (contrapositivo)c) q -- p (reciproca do condicional)d p' --> q (reciproca do contrapositivol

    L _ E qn-me-->p ri---ip--=i Mostrar que:a) q _ p --- qbl ql=>i'=i-rC Dq' no implica p'-- q'd) pno implica p ' qel D+Q=l$p--oo -~o--c:i o:--- cado-

    __ _ _ 7 77 f _ _p

  • Verificar mediante tabelas-verdade as seguintes equivalncias:z i+''i=+f,bi (lp ' q'l'l' ) p ' 'C) f'f'>I"

    dli='i'+i'q'IPi) i:iJ'fli>-"'*'miip.-ql+lD-->fll>'f'-"'*fl'

    Dada; as proposies abaixo, escrever as proposies equivalentes usando asequivalncias notveis indicadas.al Dupla ne93

    (lp +1l'l'lli" q'l'l'P ' Q

    bl Leis idempotentes:P' +

  • 5Argumento \/dl ido

    51 DEFINIO i

    Chama-se argumento vlido toda seqncia de proposies pj , pz, .. ., pn+1 .n E N, na qual sempre queas premisms pj, p, , ..., pn so verdadeiras a conclusopn+1 tambm verdade e tal que a conjuno das n primeiras implica a ltima,

    P1'

    Ento, para testar a validade de um argumento, procede-se da seguinte ma-

    ) al constri-se a tabela-verdade de pj pz p3 ' - pn;) tb) constri-se a tabela-verdade de pn+1 ; V) Cl comparam-se as tabelas: se na mesma linha ocorrer 10 (nesta ordemll,

    no h implicao (m) e o argumento falho; se na mesma linhal no ocorrer 10, haver implicao (il e o argumento vl ido.

    Observao.

    A seqncia das proposies pode apresentar-se nas seguintes formas:

    P1P2Pa'

    DnDn+1

    P2 ' Pa ' ' Dn > Pn+1i I

    p1rp2rp3r 'rpr pI'II'1

    19 Exemplo:

    Testar a validade do argumento: p ~-- q , q, p-

    Soluo:

    Temos: p:p--ql323Cl VP330

    ` Devemos verificar se nas condies da definio, pl pg > p3, isto :

    lp ~~> fil 'Q D?

    Procedendo conforme o critrio j estabelecido, temos:

    u Q lp-:lol Q l-ig;-ql-ql P

    |_ 1___ o|

    -*O-*O -.\@.-..n...... _@_@ _\@ _..Q

    ` Na 29 linha, as premissas so verdadeiras e a concluso falsa.Na 4% linha, as premissas e a concluso so verdadeiras.A 2? linha contradiz a definio de validade: sempre que as premissas so

    verdadeiras, a concluso deve ser verdadeira. Ocorre 10. Portanto, (p-ql. qgpe o argumento falho. _

    ` O leitor deve ter notado na tabela a repetio da coluna correspondente ltima proposio da seqncia p , para evitar que, na verificao da ocorrnciaou no, numa mesma linha, dos valores 10, no se incorra em erro, verificando aimplicao:

    i@ii--ii-qem vez de verificar:

    lo _ ql ' Q $> o

    que seria a forma correta.

  • 2.0 Exemplo: ~

    Testar a validade do argumento:

    p+qpl'

    . . q

    Soluo:

    Devemos verificar se nas condies da denio:

    lD+Cll' D'>q -

    Construindoas tabelas-verdade correspondentes, temos:

    ri ci p'Z_i+q lr+nli'

    --oo ._o-.@ @@_\....... -._\_@ OO-*O -.s@_@

    Neste argumento, somente a 29 linha tem ambas as premissas verdadeiras.Como a concluso tambm verdadeira, no ocorre 10. Portanto. (p+q) - p' => qe o argumento vlido.

    5.2 REGRAS DE iNi=ERENciAAs regras de inferncia so argumentos vlidos (simples).

    Unio (U):

    a implicao: D ' q 1) p '_ q.

    Modus Ponens (MP):

    P * qi P56 ----E---. a implicao: (p -_ q) ' p > q.

    Modus Tollens (MT):

    D -r Ci . fi'

    1l

    --T-. a implicao: (p -~~ ql ' q' > p'. sl

    Adio (Al:D - . _ ...__..__ . E a implicaaoz > + .D ,q ri D Ci

    l`i\l.

    \i

    Simplificao IS): )

    p q E a implicao: p q > p.

    Silogismo Hipottico (SH):p-H'q|qr. rzz. . a implicao: (p -- q) (q _ r) 1) p -_ ,-_

    Silogismo Disjuntivo (SD):D + CI. D

    lIII

    l

    ))

    \iiI

    --q-_. a implicao: (p +q) - p' > q. )

    Regras do Bicondicional (BIC):

    al D ~ pqiq p a implicao: (p-- q) - (q --p) ip -- q.

    . p-q _ _ _ _ _bl fpzzz za zzz E a implicaao. p-q ---> (p-q) (q-p).

    Dilema Construtivo (DC):Pi* . """'* i 'I' . _ ..r q~zrz sz . a implicaao: (p -- q) (r - s) - (p + r) =>+q S ---_->q+s.

    Dilema Destrutivo (DD):D--Hi. r---s. q'+s')*ef b._, se - a implicao: lp -- ql - lr _- sl -, i

    " IQ' + s'l r"""'i> p' + r' ` 57l

    ll

    iI.

    \...\./\..-./:._\

    Ji

    l

    i/l

    l

    l

    J

    l

  • J'

    i

    l

    l

    )3

    li

    Dupla Negao (DN): I

    Regra da Absoro (RA):

    i-i----5 a implicao: p q f_-> p (p qi-->lr'q

    ) Simplificao Disjuntiva (S+):

    J.I

    \-/\/\-/\J

    )) .ril

    \-/"f'\-i/x..

    CDCD-e

    -.._-...ro O_....|.._ O-o-

    i

    l i

    i ea _ L ___ _ _ __i

    ,z\_.\_zxw-\_\_vlhr'\_

    -*OO

    ....@.....@58 t

    l l D . . ..pp ou (p,),. a implicaao: (p'l':;> p ou p > (p')'_

    p+r: ' . . ...I-----E---. E a implicaao: (p+r) - (p+r') > p.

    EXE RCCIOS

    1. Testar a validade dos seguintes argumentos:llll*-_>Q' blt--r,r',t+5,5

    p+q'ii

    _---_.;-1.____._....

    2. Dados os conjuntos de valores lgicos:

    iAi I' iai I* ici ioi

    CD

    qual deles torna o seguinte argumento vlido?

    _ Jl

    i T f' f 'f f *fea-

    D j Q l premssal premissa ji concluso

    HJ

    ___)

    .7?

    ici -I-I-nl?

    ._

    ? iO Ozz _ _l z z _ i __ Z l

    3. Dado o argumento: I

    P* l"i YPTTTP . l W" E *CL, p * q 1 premissa premissa conclusao (l .ii __ ~ __ . .___ zz ~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~z. zi1 z l

    I ?? iii 1 i?

    1 1 1 ? `

    _...oo --*O--*O __.......@ o--oll__ w____ l _- l l __ _

    qual dos conjuntos de valores lgicos abaixo torna esse argumento vlido?

    .iAi 1 iaiz icil ioii-me 7 ' 1* ff ___ 4l.i~ff '___ fff ___ 4).

    _.(3Q;_;

    4. Mediante o uso de tabelas-verdade, testar a validade dos argumentos:

    al ri --- D, Tlr'l'ii

    bl D--~q'p+qi (b +c), b -~>a', a'.

    el (n+ql'.i1i->r.iJ+liD'->=il.

  • bl f-f->lb+dl(i:+;ii'

    f.

    ci lp ' q'l +lq - r')lp ' q'l'q'r'

    dld'(a+b'la+b'

    e) r'--+5'ls'l' `r

    fl la bl'c--->a

    6.

    labl' lc-->a)

    gl b-c(b->c)+d'

    hl a_->b'A b'-->c

    a--->c

    i) (ai b) +c'(a ' b)+c--_.--.__-..

    ab

    il a-->lb--c)3

    iz--i zll (a --~>c) + (d +9)

    ld+el'a--c

    llo +il'l' _r' .-

    ` l- I'nla c

    6 ' T 61

    ol la' *ut b'l + cl' -"-* b'l'

    C

    Dis'-"->lt'rl }lt'rl

    s l

    Completar cada um dos seguintes argumentos validosal lr ' Dl "tm Q'

    lq'l'?

    bl a---*lb-->c)?af

    cl la' b'l +(b ' c'l?

    ab'd) (ar ___* br): +

    C:

    ?

    e) a>(bc)?

    a_-rd'

    ml f"""-*liD+ql' ,i'

    ._ i

    *-_./\i-/\./'N-'

  • ..-/\u/\-/\nu/

    61 PROVA DIRETA -

    Diz-se que uma proposio q formalmente dedutvel (conseqncia) de scertas proposies dadas (premissas) quando e somente quando for possivel for- 4mar uma seqncia de proposies pj, pg, p3, pn de tal modo que: ` `i

    al Dn exatamente qq; s

    E bl para qualquer valor de i (i = 1, 2,3, nl. Di ou uma das_premissas f Provar r + SI dadas as premissas:J ou constitui a concluso de um argumento vlido formado a partir I- S ' Q

    das proposies que a precedem na seqncia.

    Escreve-se

    P1 `) P2 _

    pf ou iz.rz.i>z...-.Dn-1 l Pnlql-

    Pn-1 -Pnlll i

    A proposio q no caso de ser formalmente dedutvel chama-se teorema e a ,seqncia formada chama-se prova ou demonstrao do teorema. 1*

    5- --cl). . ou seia. q '""~> lq'l' 63Vejamos alguns exemplos: zj* q

    _ 19 Exemplo:

    Provar s' dadas as premissas:

    2. t --- q'

    Demonstrao:

    ) 6 ` 3. q' z s'

    Tecnicos Dedutivos9"P9!Z"" m`.Q_.Q`1*"'

    f|`-os

    Justificao da passagem 4:

    'I -_* Q'. I. '

    ' 29 Exemplo:

    2.t--q'3. t'---r.

    _._.._._;-__:_____.____.._>_...

    Demonstrao:

    `l95$:"'$''-'

    .rali-*m'a\di4ui..-i..__.__z__.i.x...__

    FfU!

    _I .D

    .D

    O0 r`:`_Qr-1;+_:m5

    .Lfbliihi'i:iei.litixA'1..'4f_u..zo|'..siefm4.-ir.--

    `

    Justificao das passagens:

    4. ,ou seja,s 'q;>q

    premissapremissapremissaModus Ponens, 1 e 2Modus Ponens, 3 e 4c.q.d.

    ou seja, (t --- q') - t > q', conforme se pode verificarq pela lista das regras de inferncia

    premissapremissapremissas,1DN,4MT,2 e 5MP,,3 e 6A, 7c.q.d.

  • 39 ExemPIo:

    .,_ _1

    I I

    t ")' q r ) ir 1 l Im)6. ----;-_- , ou seja, (t--q) - (q) _) tz Inicialmente, por razes de convenincia, passemos as proposies dadas (

    :.- - ,-za _ ara a forma simblica. Nosso roblema reduzir-se- ao se uinte:P 9 )t' . ri tt fd'7. -_-r-- , ou seja, lt -- rl t' > r. Provar a dadas as premissas:

    Ir v s!8- --~. . OU Seia. r -> r + s.r + 5 z-*-. ii

    .'-:-_ _- 'E-5

    Na indicao das regras de inferncia utilizadas na demonstrao de um teo-rema, MP 3 e 6 significam que a regra Modus Ponens foi aplicada entre as propo-sies de n95 3 e 6 da seqncia, o mesmo ocorrendo com as demais abreviaes. I* 'l

    _: __;V 1;;

    ._ I'

    Observaes: 1-i. '-- I '

    al Qualquer tautologia pode ser incluida na seqncia aps qualquer proposio i4

    j colocada. ' I _!=i

    De fato, seja oi uma proposio qualquer j escrita na seqncia e B uma tau-' 1:. -...J4....T.-115'

    tologia. claro que o argumento ido, pois: seiQ\ oi, ento, seguindo-se a oi pode-se colocar B. _ _`_."_._

    X __.-_

    De fato, sendo B > oi, temos: B oi. Logo, ii oi pode entrar na \. ._ .('24--a __

    seqncia por ser uma tautologia. Mas, -z-E--B-. Logo, or -B pode ser inclui-

    da na seqncia. E, finalmente, pode-se escrever B pela regra do Modus Ponens..v`

    ...~_ 11-..

    -.

    Provar x = O dadas as seguintes premissas:

    l, ` _; _ .gil. A 1

    1. a'-_>b2. b i>c3. c'

    Demonstrao :a'->b V

    535-"':"'$^!I'^ nicr

    'oobn*-eo

    MT, 2 e 3(a')' MT,1 e 4

    DN, 5c.q.d.

    49 Exemplo:

    Provar a dadas as premissas:

    :P'9!`:-* 'I

    a'>cc--rm'm+r i

    Demonstrao:. a' --> c

    opoin5.n.i>wio-

    3"C'U'U`C1

    . c -->m'

    . m +r

    . r'SD, 3e4

    (m'l' DN, 5_ c' MT,2e6

    (a')' MT,1 e 7_ a DN,8

    c.q.d.

    6.2 PROVA coNoicioNAi.1_ X ; 0' ento' X = Y H Seja provar cr--(i dadas as premissas p, , pz , p3, .:. , pn. Fazendo aconjun2_ X z V, ento, X = Z ao das premissas igual a P, trata-se de mostrar que valido o argumento' P 1+-3. se z _ l oz --[i, isto : -:g__-;-B-. Trata-se de validar esse argumento. Ocorrendo a 65

    ~L1..

    , lC D

  • ) I

    _ -rvalidade, temos: P -T (oz -*Bi ou P ---> (oi *->). A letra grega 1' SODFB 0si'mbolo do condicional indica tratar-se de uma tautologia.

    Princpio da Exportacao

    Para mostrar este princi'pio utilizaremos a equivalncia notvel : p -->q p' + q. Ento, temos:

    P-ll+ur-+5)=>e+4a-wnP~+m~+mb dadas as premissas:1. 3+]--+92. j___(gr.hr)

    I a+b

    Demonstrao :1. 3 +j'-->g p2- lg' ' l'I') p3. j+b p4. a g pp5. 3 +j A' 4

    A9 Meias7- ""`*(9 *hr EquivaIncia,2&9+h As9- [(9 + h)']' DN' 8'Ui' ~~Mr7z91Lb soseio12.a-->b PC,4a11

    c.q.d.

    6.3 PROVA BICONDICIONALI

    A r va ' ~ . .. .p o de um argumento cuia conclusao e uma proposiao da forma bicon-erlslfzlalsa 5; semelhante a prova condicional, com a diferenca de que feita

    partes istintas. Entao, dada uma proposio Q -- 5, prme,-O prova-se oz - ' _ __, . .memo ez 3 5e9uir, PTOVG 59 5 oi, concluindo-se pela validade do argu-

  • ExemploProvar a la' --> oz) (Principio da Exportao)

    Ora, essa ltima proposioconstitui uma tautologia se ocorrer a seguinteimplicao:

    P > la' --Hx), isto ,Pi-- oi'--*croi' -->cr (a')' +ai>oz +a oi.'.Pi--a e P' a'i--oi

    Ento, para mostrar a validade de um argumento por prova ou demonstra- )o indireta, introduz-se a negao da conciuso como premissa provisria e de-duz-se uma contradio (por exemplo: q ' q'). '

    19 Exemplo:

    Provar r dadas as premissas:

    -_ _.. ~z~ -zz -~ - = 1.p'--~r2. r' _->q3. lo ' ql'

    Demonstrao:

    .p'--->r

    -.... .*Pf~9."P91:'>$!-''-'U`--.-_-_-,_Q--1___.-..--;__""'+

    QE

    UTDI__q

    ql' pPDMP, 2e4De Morgan, 3DN, 5SD, 68 7MP,1e8

    Prova indireta de 4 a 10c.q.d.

    1'C'1d'~fuf~f~./~..~..

    ..z\ur\ur\I\dlV'-/

    \...\-\|v\-f

    u,4e9 )

  • Observao: _. l n + 1' Ip __* q. ... . , n + 2. (p' + q)' Equivalncia (n +1). t contradi ao r ' r par Pf0V3" f P' ~ 'Da mesma forma como encon ramos a I n + 3 p _ q, De Morgan (n + 2)

    ~_.

    l' pp

    deremos encontrar a contradio q q' para provar p', como verem0S HO BemP 0 n + 4' S ( 3)_ , ,_ .. da -D ,n+ocurada ode envolver ou nao a n'\Sm3 letra _,a seguir. Isto e, a contradiao pr p . n + 5. q S' (n + 3)proposio a ser provada.

    29 Exemplo:

    Provar p' dadas as premissas:l

    r

    $'!:" .o-o_o

    -1

    1+ "

    \ ~

    Demonstraao:

    '9I`*'9'*9":'*$^!'." 'c:i__.o1::__..'o5-.D'D-D__Q___l+

    aq.' -1

    "'I'

    6.5 PROVA INDIRETA DA FORMA CONDICIONAL ") -1. Provar t' dadas as premissas:

    'U'U`O

    DPDN,4MP,2e5SD,1e~6U,3e7Pl,4a8c.q.d.

    .; ri. .I _''I

    15 '_~ .

    ...~

    ll

    . - - = E ndicio-Para provar a validade de um argumento cuja conclusao e da ffm 0 ._ 1 p ___) S' remis- 1 ` 'nal (p --> q) mediante a demonstrao indireta, usamos (P "_* Q) m P

    Exemplo: .

    Provar r --.+ q' dadas as premissas1. r'+s'2. q-->s

    Demonstrao.:

    .5.==s=:~'s==s.=~s~i>:-.o.o.o`f_-;:3~.o_l-L~fir:n__U.EXE RCCIOS

    . .. . . .. '- 4 2. D ' CISa provisria (ppl. a seguir lp' + ql iwf eqivalsi E (P ' Q l $9'"d 5 dm' 3. 5 - r -- r'p, q'. Na prtica, comeamos pela hiptese (H) e pela negao da GSE IT) m premissas provisrias:

    H T

    Provar: P "'*"*I Q

    W 1.2.

    I'4'

    P 70 kn..

    -.' .'= .'` .':'\_ ._._ ' - .i- ';_z'.-- za,'_ r_.- -

    4. q ---> r2. Provar s dadas as premissas:

    1. t --> r2. r'3. t+s

    3. Provar t s dadas as premissas:1. e--*s

    . 2. :'-j'3.e'j 7I

    PDDDDPDN,3SD,1e5MT,6e2DN,4U,8e7Pl,3a9

    c.q.d

  • Provar s dadas as premissas: 11- PfV3f ' dadas 35 Pfem'5535 )1- P-_-*Q'f2.p3.t-->q'4. t+s

    Provar r + s' dadas as premissas:1. s'q2.t>q'3. t'--->r

    Provar x + y = 5 dadas as premissas:1. 3+y=i1--'3=92. (3=9--+3+y=11)y=23. y=f=2 ou +y=5

    Utilizando a demonstrao condicional:

    Provar a - h dadas as premissas:1. a+f--->g.2-i-->9'h'3.]

    Provar t + s' --> r dadas as premissas:1. r' -+ q2. t' 13. s' --> q'

    Provar q' --> t dadas as premissas:1. s ---> r2. s+pi3.i--*Q4. r-rt

    Utilizando a demonstrao indireta:

    Provary = 2---> x =y dadas as premissas1. #=y--->>y ou y>2.ya'=2 ou =2 E3. x>y ou y>x-_>#=2

    L -'IL z_`_-fi ,,..:I_ " _' _.

    _-_ .s

    -z'_-`-7.' :_

    ,___ -

    _ __- i"__-'J _;

    5,.-_ . ._ -_; T_ __ -___ f,. ___=, _--. -_:- * _

    _ n` E__

    _*

    -. =:-um-z=_z .z.'-

    __ J'_.~_ .

    .

    1. t-->s2.f-->t3. s+f

    Provar e + m dadas as premissas1. s+r2. s--->e'3. r-->m

    Provar (t + sl dadas as premissas1. r'+b' )2. t+s-->r3. b+s4. t'

    Utilizando a demonstrao indireta do condicional

    Provar p -> q dadas as premissas1. lr_>-i +r2. s+t-->r'3.s+(t

    Provar p ---> q dadas as premissas1. p ---> q + r2. r'

    . .Provar p ---> s dadas as premissas1. lp--*ci + r S2.q )

    Utilizando um mtodo dedutrvo de sua escolha

    Provar p _-> q dadas as premissas1- P ' q '""`* V' 'I' 5' 12. r ' s

    Provar p --> r' dadas as premissas1.r+

  • I31

    'i_.|

    3i

    c_/"u|/\_/\..z---/\i/\-.|/--/

    J

    ))3);_

    ))

    i.

    ))

    __.

    )))

    JiJ

    Provar s' dadas as premissas:1. p+q2. s--->p'3. (q+r)'

    Provar s' dadas as premissas:1. (p---*ql-"-* lr ' S_>tl2. D ---> q ' r.3.r

    Provar 2x = 12 --* V = 4 dadas as premissas:1. 2+3y=24 ,2. (=6--y=4) ou 2=12

    3. (2=12-->=6) ou 2x+3y244. a'=6

    Verificar, mediante as regras de inferncia, a validade dos seguintes argumen-OS I

    Nas demonstraes abaixo, justificar as passagens indicadas.

    al 1.234

    (D@"~IO)J1

    b)123456

    - r ral (se),e -_->g,s--->gbl S-_*i1.D~_-:*lw+il.s'w'.icl a-*u.u'+lb'i'l.b-+a.li"ta'l'+b.i*-'"* H'

    p_>ir__i_+ql

    'lp' +5pf S

    |_QO cn

    i_>e"

    PP

    'l' 0

    c.q.d

    D(er: sr): _ p

    I P8+$ef

    S _c.q.d.

    1

    fr ;

    .ss ._ . __

    JT `.i. F'

    _ 1.-

    4'

    -'_ : ar' _.

    _ 1.~ .r .=

    ' .a.f_!`

    1234

    ~ii===.1011121314

    12

    '5cogo-io:u1.i>w

    1234

    o~.icnui

    12345.678.

    a--->(b--->cl(cd)*_>ef*_*lb'd)lf"+a')'

    U`U'l'DU'-""*

    .I

    O

    cdc'de

    lp' i'l +(q r')D-*Ss'+t

    _gz----mf-i-b

    `U`UU'U

    c.q.d

    'O'U'O'U

    c.q.dPDPD

    c.q.d.D _.

    PP

  • Ehi

    i)1.a--'>(b"'"*Cl p2.(a-dl+l"l p

    9. d10. b11. a

    b'-->a'b-*~>(c+d)

    l= el

    c.q.d.

    c.q.d.

    c.q.d.

    c.q.d

    -

    -4

    I.

    z

    - 1-. 11'i_, ,.. _ _-

    --.=. 5-

    % 1* '* Y.-LT* "

    ` Irr '-

    :' "I` - ':__ \_'*'

    z. 'fl1.-..'"

    7Fluxogromos

    _ O fluxograma constitui um mtodo alternativo para as tabelas-verdade naverificao da validade de um argumento, no qual se ilustra o raciocinio utilizado.

    Neste mtodo, para verificao da validade de um argumento ou prova deum teorema, procede-se da seguinte maneira:

    1. consideram-se as premissas verdadeiras;

    2. aplicam-se as definies dos conectivos lgicos para determinar ovalor lgico da concluso que dever ser a verdade (1), para que oargumento seja vlido ou o teorema provado;

    Caso ocorram situaes em que no se possa determinar o valor lgi-co da concluso, ou em que O = 1 (contradio), o argumento falho.

    O teste de validade de argumentos ou prova de teoremas mediante o uso dofluxograma pode ser feito pelo mtodo direto ou indireto, obedecendo s particu-laridades de cada uma das tcnicas dedutivas j estudadas.

    Vejamos alguns exemplos.

    19 Exemplo:

    Provar p' dadas as premissas:1-D-*fi

    2. q'

    ~./;d"'|l,.._f'__-..

    1

    _)

    l/l

    1_)

    \ll

    \J l

    'lJi

    /l

    I

  • c.../wi/'*\l\-/~/~_

    .../\\`Inn/

    Solu30: '

    z-

    . l r' 1 I

    Justificao' _

    . Consideramos as premissas verdadeiras fazendo p -* Q = 1 0 Q' = 1-2. Como q' = 1, pela negao temos: q = 0. 13. Levandoq =0em p--->q =1.tem0SiP'_*0=l-4. Pela definio de condicional p --~> 0 = 1 se e somente se P = 0- A5. Como p = 0, temos p' = 1, o que mostra ser vlido o argumento, pois

    premissas verdadeiras conduzem a uma concluso verdadeira.

    1

    2 Exemplo:Testar a validade do argumento: O

    Soluo

    ..'....:.a-_-.

    .

    LJ...L

    Soluo

    ._ a_______b'_aI'b! _

    1- 2.

    - 78 - _

    1 2._ 3._ 4.. 5.

    _ 6.

    Jusziffca-. Consideramos as premissas verdadeiras fazendo a -*> b -I-' 1 e a' = 1,. Como a' = 1, pela negao, a = 0..Levandoa =0em a--b = 1, temos:0 b= 1._ No podemos concluir se b verdadeira ou falsa, pois, pela definio

    de d00a|. '-'* 1 = 1 6 0 -_* O = 1. Se b pode ser verdadeiraou falsa, ento a concluso b' pode tambm ser .verdadeira ou falsa e,portanto, o argumento falho. _

    39 Exemplo:Provar q' dadas as premissas:

    I. p + q'2. p--*r3. r'

    _ W '__I; *rf

    1

    Justificao .'

    Consideramos as premissas verdadeiras, fazendo p +q'= 1, p --> r = 1 er' = 1.Como r' = 1, por negao temos: r = 0.Levando r=0emp--->r=1,temos:p--> 0= 1.Pela definio de condicional p --+ O = 1 se e somente se p = 0.Fazendo p = 0 na premissa p + q' = 1, temos: O + q' = 1, .Pela definio de disjuno O + q' = 1 somente se q' = 1. Portanto, oargumento vlido.

  • 49 Exemplo:Testar a validade do argumento:

    DTCI. p+q

    Soluo :

    3.'

    4.

    5.

    Justificao: r

    .P

    2. I D=1 I q=1

    l

    O

    *~ I |

    D+0 =1

    pi

    __ l_-1

    1. Consideremos as premissas verdadeiras, fazendo p + q = 1 e p + q' = 12. Pela definio de disjuno, se p + q = 1, ento p = 1 ou q = 1. Se p =

    = 1, o argumento vlido, pois premissas verdadeiras levam a umaconcluso verdadeira.

    3-' 59 Cl = 1. substituindo na premissa p + q' = 1, temos: p + ,1' = 14. Pela negao, temos: p + O = 1.5. Pela definio de disjuno, p + O = 1 somente se p = 1. Portanto, o

    argumento vlido, pois premissas verdadeiras levam a uma conclui- so verdadeira.

    59 Exemplo:Testar a validade do argumento

    i->:1

    OI

    I' (p+q)n

    1.

    ,.1.*:L

    .*'.i*':'1.

    J

    i5s

    ".'9-uiu

    .``

    ii-nv

    _ Q ~ 1.E Ii ,; -1;_ I. _

    _ ___'

    .-.'L i

    ni-,__

    _ }_rc. 1- "

    -ar ` _1. :_4

    i*if

    '16=i.VT P.-8

    '-'z A,

    .r U*

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    fi:

    |;` .T -ITQ: I,Z 'Tj _5.., __

    -' -S -z'. * .V- J_ _...-_i*._~

    '- - 1,

    ff: 'I. . .-.

    --.','_._ ;_. .

    iizrilnsrm1

    ....--I-P zea '

    . na _. ~- f-'im _

    "=;;]'-A

    rf1 =i_.-`-7' i`-5 .-c-rwiz .wa. ~ ~

    mf_1?-f 1 '_'""_^.___ _

    --`?-.:-* `

    _ -.I.1_' T' I..

    Soluo _'

    __ 'mw ____ iu7 ._ 1 Inn

    1. I pi>q=1I IlD'+Ql'=l

    2.

    3.

    4.

    ld+q=

    5. 1-"">'O=1T pu-1

    6. I o=1 I

    Justificao:1. Consideremos as premissas verdadeiras fazendo p .--> q = 1 0 lp' +

    +q)'=1. '-2. Pela negao, p' + q = O.

    =0 I I d=0

    .p_=

    3. Pela definio de disjun'o, se p' + q = O, ento p' = 0 e q = 0.4. Como p' = 0, pela negao temos: p = 1.5. Levando p = 1 e q = O na premissa'p -""* q = 1, temos: 1 --> 0 = 1.6. Pela definio de condicional 1 ----> O = 0. Considerando as premissas

    i 1 verdadeiras, chegamos a uma contradio. Portanto, o argumento falho.

    69 Exemplo:

    Provar p' --> r dadas as premissas:1.p+q2. q--->r

    Soluo:

    Como a concluso da forma condicional, consideramos o antecedente p'verdadeiro e procuraremos mostrar que o conseqente r verdadeiro.

    __

    ~.../s*\\\1d~duIz-_~...

    \.

    \./'''\ni|f\.../

    Ii

    l_)

    l,I

    l

    Il

    ji

  • _/'~nnif"f'*u/-1/-/`-ni

    Ii

    \_)

    \

    /ll

    .`|

    -/lltf

    _)

    )))ii))i)J1)J)i

    _)

    )_) 82

    1. I p+

    2.

    3.

    lli f il= 1--)=

    4. 0+q=

    5.

    6.

    7.

    Justificao:1. Consideremos as premissas verdadeiras fazendo p + q = 1 e q --> r = 1.2. Consideremos verdadeiro o antecedente da concluso (premissa pro-

    visria), fazendo p' =_ 1.3. Como p' = 1, pela negao, temos: p = 0.4. Levando p = 0 na premissa p + q = 1, temos O + q = 1.

    ci=1

    1--->r=1

    i=>'=

    __): 0]

    r=1

    5. Pela definio de disjuno, O + q_= 1 somente se q = 1.6. Substituindoq =1 em q ---+ r=1,temos:1--- r = 1. 17. Pela definio de condicional, 1 --~> r = 1 somente se r = 1. Portanto, zi r seria verdadeira, isto , O ---> r = 1. ' ff _~

    79 Exemplo:Provar p dadas as premissas:

    1.p+12. p'--+q'

    Soluo.:Usemos o mtodo indireto.

    =' __', ___ ..z:L , _ \ ' '

    .r .I _- _.'z T, _-t ` ~ "_ _ __;

    ." 'Hr

    Z

    1

    "

    .

    . alii. -

    ";'

    *Iv 1 f.z ~.~''. .z sf-: -- . _-: z-:.ti 9..

    F- ..-_ __

    __ _,_..- .'.'.

    Us ~-''._ =' ~_' .-s '

    A *_ ' j *__ .1

    3.._ e".';..A` IP*-':,_.` A

    ' _'\ _.;'. _; :-~ z

    . ' I; l.

    ., __' '_ . za;-_ _-. _;__:.

    _-'1.f:-..._' " -ia_. _ _

    _ i.~1r_ ._

    1.' Ip+

    2.

    3.

    4.

    5.

    6.

    7.

    q=1 Ip'-)q'=1|

    i~-z-ri

    Justificao.:

    1.2.3.4.5.6.7.

    89 Exemplo

    Consideremos as premissas verdadeiras fazendo p +q = 1 e p'---> q' = 1.Consideremos a concluso falsa (negao da concluso) fazendo p = O.Levando p = Oem p'_;q' = 1, temos: 0'--->q' = 1.Pela negao, temos: 1 --- q' = 1.Pela definio de condicional 1 ---> q' = 1 somente se q' = 1.Pela negao, q = 0.Fazendop=Oeq=0emp+q=1,temos:0+0=1.Usando a premissa provisria p = 0, chegamos contradio 0 + O = 1.Portanto, p = O eliminada, ficando a outra possibilidade p = 1 comosoluao.

    Provar p dadas as premissas:I. p+q2. q-->r3. r'

    Soluo:Usemos o mtodo indireto.

  • _ i s i izz~zi i_+i2. ' = 1

    __ ,T

    34 56 [1 -= il

    niJustificaao: 1. Consideremos as premissas verdadeiras fazendo P + Q = 1 Q V =

    ='1er'=1.

    r dadas as premSSSI1-p+q2. q-->r

    _- _.:-_-.._Q ,1. .fiz 1.r_ ' ___,.; _:i _ .._;- -

    _ _.. _'_.:_ H_- z.z`"j _'z _~- .

    _= `-__'4.'...f _-' _'-f~ _ Exencfcios 1

    s0U,0'_ 1. Testar a validade dos argumentos abaixo, mediante o uso de fluxogramas.

    Usemoso mtodo indireto._ _z _; .f -:.`_ 3; .___

    ' '*1._-.a L *gi' ^ ._l ._ ..Z__-~ ,__. _. _..__. . _

    L. .'~r._ .,;. '__

    1,1z`,-I..,;'. ..'^TH' I

    __.

    I'-' .'_".'_. -,~__ i ' '_, ._ .ff

    .._.__..._ lei,_.. .;.:'c,.._ . _

    - _ . '_..__ _! 9;

    '_"_-.'"`-`"

    .S _._+.', _._-i-._ __

    al =i_*ir'.lr'l'.q'bl p_->q'. D'q.q

    p +q.r'.p'd) a_*"*b,(C'+b)',c'--a' _

    -_ _-. . A }

    84 3) p + fl, p -i->' ql q --i-) |" 5: r' )

    >J1.J.l

  • ___* + r'_*_ 5+ Aqualdosaru 1 bflip Gi r s. qqg)1+=1-->=0

    #0ou2-0

    m9 en os a aixo corresponde o fluxograma?

    a a ---b b ,a b C 3 "_"*b (fl nenhum dele; b+c b+C b+c2x=#O-->1+x=#1

    2 Mostre atraves do fluxograma, usando os metodos direto e indireto, que oargumento abaixo tem premissas contraditorias

    D ""* ClI

    3 Mostre atraves do fluxograma usando os mtodos direto e indireto que o

    iii...-._ - -ii.-

    a'--)*b= C:_ Jg,

    argumento abaixo nao contm informaoes suficientes para deduzir a concluso

    4 Dados os argumentos abaixo, a qual deles corresponde o fluxograma?

    p'-*Q q+rl p S

    a"__-+1:

    P' 1 Cl' bl p p + dl nenhum delesP'"*q D'--*Q P'-*Q

    q:_____p

    -.

    6 O Iflua uxograma corresponde ao argumento p+q q r ppiii= =

    `U__

    -ex -1.

  • _~ ,1

    ii 1)P+ci'=1 q'=1 W

    1

    sd) nenhum deles.

    _. * "`

    --1E

    l=' 1 lis* __ tz r' -_-- .Y \.'..__ xi.. "'=\ _ :__ 1

    !__=j-__"_l-r -_

    'Q

    f~1:zst `

    if' ` '

    4

    -.if.- _'T'ii.i_'_"-*___..r_%

    ' '..i.:.

    ;

    -nl _*-C_ -=-s"4.z _ _

    vi-_-.____. ___;_.'___ah.

    -I._._.

    * l=in

    Quontificodoresi . .~__v _ ._=__,_ _ ___`_ *__

    - _n}' ' '-

    _. 1

    _. \._-, .___...g _ 1 x1 _- W,

    .s- '_-._z. __ -

    _' z__~

    : )2;

    z * .1 ~-'_1"'.i~._-:_ ._ __-

    ' . -r_ _- - e'_

    ._ -.3_. ;-)

    :i *'5!\. _J' 8.1 SENTENA ABERTA

    Sejam as proposioes:p:3+5~.11, V(p)=1q: x + 5 Q 11, V(q) = ?

    sr, if .. .:: '

    ..._ ____\.

    ''_""-:`-'1'*fa1,13'-_1-'_'._`l`-_ ..7_"Pi_-__|,-z_" _...r_.__L__`-.- KV2'`:.:Pfl"':E-'V- ._.____*____..__.`..___.. ._;~..____._:'-\'__-'~`Y_'z-"z..

    - E. .-1.ii _:_.; ' Ei

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    1.-'e z. rf_i- 5:

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    _;. z_

    .___ _. i.4 L. _ 11.

    i-_;

    _ ..'!-V g.

    ~.~'_ 'mz -_ __ -:va 5._ a.:__ __ _

    *(1 .'_"" |,'. _ . _

    '_-._ -'-.rf _is_.. : ._

    1-- - .-Y 'U$ 'Z'fr... +1` -5

    U*mir

    _.-z

    F'

    A proposio p, como podemos ver, verdadeira, ao passo que nada pode-mos afirmar sobre o valor lgico na proposio q Vlq), que somente ser conhecidoquando x for identificado. Neste caso, dizemos que a proposio q uma senten-a aberta ou funo proposcional. Nas sentenas abertas, os simbolos x, y, X e

    outros sao chamados variaiveis.Chamamos conjunto universo (da varivel) ao conjunto das possibilidades l-

    gicas que podem substtuir a varivel na sentena. Denotaremos este conjunto porU. Cada elemento de U chama-se valor da varivel. U s vezes tacitamente im-posto pelo contexto, mas pode tambm ser escolhido pelo agente de estudo emquesto.

    19 Exemplo:Seja a sentena aberta: x + 5 Q 11.Podemos impor que o conjunto universo da varivel seja N ou Z ou Q ou R

    ouoconjuntoU= {1,3,5,7,...}. _ s

    29 Exemplo:

    Seja a sentena aberta: O planeta X o maior planeta do Sistema Solar.O conjunto universo da varivel X , pelo contexto, dado pelo conjunto dosplanetas conhecidos do Sistema Solar.

    I

    T)))))

    -vuvvu'vv

    )))))))

    )

    )))).)))_)J_)

  • U() = {Mercurio Venus, Terra, Marte. JUPWGH 5aUm Uf3 Net"Plutao}

    ././\'ur~/

    CONJUNTO VERDADE (da sentena) e o conjunto dos valores da varivelpara os quais a sentena e verdadeira Denotaremos este conjunto por V

    v = {eu lvlplxll =1

    onde p(x) e uma sentena aberta na variavel x

    ..,/\-f\'\ini/-.../

    1 ExemploDada 3 Sentena aberta + 5 < 11 x E Fl determinar seu conjunto verdade

    So/ucoV= {R lxs

    20 ExemploO conjunto verdade da sentena aberta O planeta X e o maior planeta do

    Sistema Solar e

    ~._/\|/%|f'\--/

    V = iJupiter}

    3 ExemploDeterminar o conjunto verdade das seguintes sentenas abertas

    x+1= =x-5xO.2. Para todo x, sexZ, ento xEQ.3. Para todo x, sexZ, ento xEO.4. Para cada x, sexZ, ento xE0.5.-V-x(xZ-->xE0)6. Qualquer que seja x, x E Z --> x E 0.

    19 Exemplo:Escrever de maneira simblica a proposio: os nmeros do conjunto A

    so todos os reais.

    So/u"o:R():x real

    - V-x(xEA

  • 19 Exemplo:

    Escrever de maneira simblica a proposio: Existe x tal que x2 + 1 -_= 2x.

    Soluo.: APiz2 +1 = 2`Hx, P().

    29 Exemplo:Simbolizar a proposio: Existe x E O tal que 0 < x < 1.

    Soluo : xPiizo

  • .___

    _)

    ___ ' -*, ~: _, ._ z*~-`_'

    ~ - ' _-z- f. '?"-:ff . '-'_`;1._-. z; .

    Portanto: 3U5 -'- 3 _._ zi (V x, P(x))' (lx, senzx + coszx se 1) + ( Vx, 2x par).Existem alunos estudiosos. 2

    ) Elx, P(x).

    )

    i

    E a negao desta sentena equivale a:

    i ia. Pi' v. iPii' _ ~. Svlurv-'ou seja,l

    69 Exemplo: ..if '- -'

    "' r _'

    Negar a sentena:V-x Ely, x + y =11.

    __ __ _ (VxE|V,x+y= 11)'3xVy,x+ya#11Todos os alunos nao sao estudiosos.

    29 Exemplo'

    \.._____,`*,_,.-\-of (D .h

    iii1'5-`-'.:'_.'.i.*_l'**j=IiI-'*;g--="i_1l).'} 7 Exemplo'

    Ne9ar a sentena: Todos os pescadores so mentirosos. . _ Nega' 3 sememai 3 V' V () = 0) + (V + 1 `< 7))

  • olub: ~

    Liz.

    "". Ei

    __ fi

    la v v. l = oi + iv +1 4 7)))' _,__ .i-_--- V-x lv. l( = 0)' lv + 1 < 7l')-- vav.lio) -y+1>7)). _ 5.;_. _

    -._ _--1._ i-..:_z

    ~ iEXERCCIOS *S 9 _

    Determinar o conjunto-verdade das seguintes sentenas abertas:a)x+11=21 =b)2x-5 7. .e) Para todo x, existe y tal que x + y< 3.

    zw -

    I\ .,}'Y V-

    lntroduoo lgebra de Boole. ` )

    9.1 OPERADOR BINRIO

    Iniciaremos nosso estudo recordando alguns conceitos primitivos de especialinteresse que so: a noo de conjunto, elemento de um conjunto e a relao depertinncia. Assim, dado um conjunto A = {1,2,3}, dizemos que 1, 2 e 3 so ele-mentos de A e, em conseqncia, pertencem ao conjunto A. Neste caso podemosescrever: 1 E A, 2 E A, 3 E A, que se l: 1 pertence ao conjunto A", etc. Casotenhamos um elemento 4 que no pertence ao conjunto A, denotamos o fatoescrevendo 4 A, que se l: 4 no pertence ao conjunto A". X

    Chama-se operador binrio ou operao bna'ria (ii) a lei pela qual todo parordenado de elementos (x, y) leva um terceiro elemento z. Notab: x ii V = z. Os

    l 1 iu Ip u 3 Q Q fsinais aritmeticos +, -, '_ + sao exemplos de operadores binrios.

    9.2 PROPRIEDADES DAS OPERAES

    * P1. Seja X um conjunto. Dizemos que X fechado em relao a ii se x ** y G X, Vx, y E X. Por exemplo, considerando o conjunto Cj de todos os inter-ruptores, se a, b GC,ento,a +bC ea ' bC, isto,a +bea bsotam-bm interruptores e pertencem a C1.

    "*'"_"'"""a + b

    Chamando C2 o conjunto de todos os conjuntos de pontos, se a, b E C, ,s ento a + b G C2 e a ' b G C2, isto , a unio e a interseo de a com b so tam-

    bm conjuntos e, conseqentemente, pertencem a C, _

  • IW

    J

    )_)

    __./*u/*u/\-J'

    'J

    ))\

    .P

    )

    )))

    P)

    )

    , i`i I _/ ,. ' p

    zm" f W* mf " '= 11 e~ ~ 1

    z a+b ' h a'b

    Se tomarmos o conjunto C3 de todas as proposies, e se a, b 6 C3, ento,a + b E C3 e a - b E C3, isto , dadas as proposies: .

    a: Joo estuda.b: Joo trabalha. P

    Temos as seguintes proposies (compostas):a + b: Joo estuda ou trabalha.a ' b: Joo estuda e trabalha.

    Ou, mediante as tabelas-verdade:

    It ' ` . .. '. .I ' zzzzw

    ;ab a+b a'bz -t q ____ .

    oo-- )-@_ @.-s-n-. OO-O

    4: . , __ _. L.. _._-.z -zz

    P2. O operador * oomutativo se x * y = y *,,V', y E x.

    19EompIo:Sea,bEC,ento,a+b=b+aea b=b'a,isto: V

    E a b H

    a+b b+a1 3 .b--W z zb ~ .a z

    J98 a'b _b'3

    -_

    ._ .__ _ ._~.\. ' f'. H '-.-E.-_ r.` .;\__4

    i-'=~ . HT- '.az . v* __1,.-- 1 I_z_. ._, ,.ez - wi:

    -L..-.z-z... z-.

    29 Exemplo: PSea,bC2,ent'o,a+b=b+aeab=ba,isto:

    * i * T* se i

    L* ~ . .zz _ J ;-__ __ __ _a+b b+a

    _ I _ l_ _ W _ l

    P

    .H b = a b,

    1 ' _ - ~ 7 _. _ z -_ __ 7 _.__ _

    3'b ba

    39 Exempio:Sea,bGC3,ent'o,a+b=b+aea'b=ba. iPodemos verificar esta propriedade mediante as tabelas-verdade.

    T ._ , _ .-.T ...._ .. f _ff __ _

    az b a+b b+z5 z-bi b-z~._ ___; z- , ,;~ ___ zz~z zz __ z..zzJ

    I 1 `i i 1 F

    2.-- 1..- Q....z...z.. ff _ _f_f Y _ ___ _ f LL____J L____3

    I

    P3. Dizemos que o operador * associativo se * (y * z) = (x * y) 1 z,V',y,zEX. p

    19 Exemplo: i

    isto

    306.b.0C,ent'o,a+(b+c)=(a+b)+cea(b-c)=(ab)-c.. .

  • ~Li1f alira+(b+c) (a+b)+c

    --a'--b-----c--' = --a-"-'-b---c--'a(bc) (ab)'c

    29 Exemplo: `Sea,b,cEC2,ent'o,a+(b+c)=(a+bl+cea'(bc)=(a'b)'c,

    isto :

    ___ __ ___* ffff 'ff' _ _ ff 7 z L J___f ff* ___ 1 f 7 f f-.-1L-f.--.

    3 _' 8

    a+(b+c) (a+b)+c

    _ 1-U7 ll-I-I r zzzzzz 7

    a a fi

    b c 1 b c

    a-(b-c) (ab)-cu

    39 Exemplo: _Sea,b,cGC3,ento,a+(b+c)=(a+bi+C8.'(b'C)=l8'b)'C.

    isto : _

    ID U' O b+c a+(b+c)__ --.os + U' (8+b)+c

    oooca----` l

    lr

    @@-._@@-_._

    O-*O-*CD-H

    o_ @-._-.c)_...-_;

    11

    Gnn

    OO

    11

    o__-.n-' f

    -v Lv-

    ID U' OE T

    b'c a lb clab --. QI .o L--..-......F

    nn-I-nnlil-L

    _ I:ff~

    OOOC) OO--*-'CCD-1'--*l

    _ _J_

    O-*CD-*O-*C3-4 DOO-*GOES-* ll, `|

    ODOCJOOO--1

    QOOOQ--\

    OOOOOCDO-l

    P4 Um operador + edlstributivo sobre El se x * (y Elz) = ( * y) El (x * 2),'V'x, y, z EX

    19 Exemplo:Sea,b,cEC,,ento,a+(b-c)=(a+b)-(a+c)ea-(b+)=(a-b)+

    (a ' c), isto

    -;1~l;:}

    T* pO Ii 5--F'l

    a+(b'cl la+bl'lab a-.._.. .-~f l-1 ~l Pa c101

    J-C ff 1.

    a'(b+c) (a-b)+(a-c)

    I

    ...f'-n-f'\q'/-I-n/'-h-ra

    ~_.--'

    i

    \|

    ))l

    r

    ,.-\.~._-1'

  • -.-

    _-...f

    --.f/

    ../\./'\-/___/\-/'uu/\un/-..f_/\../\uI'\J\|/-.-z-/

    VVV--_-

    1_:

    `\-f`\-_/\._~..__,-

    l

    "-.___~....-"~._z-.,_.

    2'?ExempIo:Se a,b,cC1,ento,a+(b - c)=(a+bl'(a+c)8(b+Cl=(3 bl+

    +{a - c),isto :_. f f fz fff fff ff f f ff 1T a

    "%%` _ _ __ ___ _ ___ __ W __ __ _ ._.._,

    _ ff f __ _ff_f f f JL __ __ * "Wa+m-C) ta+m-a+d___ -f- ___ _ _ f .. " fff ff "E" " * ' ** ' WT

    ll 3 '

    1 * . ,. z ff ff __a`_ W; _ _ _ f_ _. " z fff

    a- (b+c) (ab)+(ac)

    39 Exemplo: ifSe a,b,cC3,ento,a+(b - c)=(a+bl' (a+Cle8lb+Cl=(" b)+

    + (a cl, isto , construindo-se as tabelas-verdade correspondentes a cada caso,teremos: p___ ___

    OJ U' OA b-iz+ls-az+b a+ca+bra+oW" 1 i 1

    @@..._.....-.t @...@-.a@..-L

    OC)-*DOO-'

    W;@@_.............\_

    Dj..-.._......_..

    ...@-...-....-a.....

    L_.p.-u-......._

    DOOOO DO o_. G) O O

    102 portanto a + lb c) = (3 + b) - (3 + c) pois suas tabelas verdade so iguais.

    Analogamente

    ID U' OE

    b+C8'lb+Cla b a'c(a'b)+(al "'Ffffizl

    @@@-._-.._

    --*Q-\--\@..

    -L-\o,tg

    a

    0 " O CDCDDOCD-\-4--b

    OOOO-A-e

    CDC) OOCDCJO-HC)-rff;._ ff . if f _ z 7

    11

    OOCDCDCD-*

    P5 Um elemento e, um elemento neutro para a operacao se e somenteS. =e *=,,VxEx.

    19 Exemplo:

    ' a ffffif"' ff 1*f"' f ff : a

    29 Exemplo:

    5933EC1.I'0.a+0=O+a=aea 1=1a=a,VaC._ _ a ___

    a+b

    Dad0aGC2,ento,a+0;-0'1'a=aea 1=1Ia=a"v'aEC2_

    p p +

    __ L3 O

    /

    I

    1 a1'=a 103

    If __ fff _ fl 'ff | 1u.f_ ffffff_ 1,.-

    _ _

    l l 3

    _Wa

    ___

    .l _

    13

    _._.-:I;:_-:-?:f;:f;S;;.-. _-fi; - z -_'.z._'ff;~;._\ .`~_'-z._-._

    .`f_-.'_-:f."_f_ '-fi:-`:f$f'7';f:'f:?;J;r:.

    P '~r-:f;::;'~';f-:~:f;-:1f:;?:i:If:1;::;:~:5;f

    'I-2;;.'?:?:i:-:fi-':?;: :-`::;:-::.-f;:f:ff?;;;

    E a

  • 39 Exemplo:Dado a5C3,ento, a * e= e * a =a,*+aC3.

    .-'.;__. .

    f aii- "--.=~..-'-"' 1-'' .-_

    `-=-1'-N-'-li'fl..:;'.^.i3.4uz; li . .

    =`_ . ~ f lr _'

    para ii = +, temos que a disjuno inclusiva ou soma logica falsa, somentequando ambas as prol3osies consideradas forem falsas. Ento. dada Uma PYO'

    -. _zf _

    .. _ _ _f,:

    posio a e Vlal = 1. Vm

    3.-l-_O = 3,'V`3.

    . \

    para ii = - , temos que a conjuno verdadeira, somente quando as propo-sies componentes forem verdadeiras; logo, dada uma proposio a e Vlal ==1,vem:

    3 -1= a,'\7a.

    EXERCCIOS

    1. Seja o conjunto C = {T, 1, O}. Definamos dois operadores binrios * e ElE A pelas tabelas abaixo. Para lera primeira tabela,jpor exemplo, a * b, tomamos

    a interseo da linha correspondente a a e coluna correspondente a b, ondea e b podem ser quaisquer destes simbolos. Ento:O * J. = T e O El .l. = 1.

    -|=i _-l-lOl- l-O fl_'+- O.A -l- O_ .. f f_ *_;ffff__i

    \

    " 1.-'z.f._. z .= _ _. ' _' ' \.,_'3,. ; .`_'_,1

    1 f f 2-ii*

    1s.

    = 1.' im- -.5_;

    .. _

    .' ' W:z`1* f~.` r

    ' ` ` ':l':';..= --g. - _.

    :';;..";-_ ___;:F_r. flr=`.'-1*..=.l.:-ii _ _. .~ .-te

    _' - sa: .'. . . _:

    _ f`q; .-z.;. -z .f '_. _; ._= ..-2..- fz.~., ___

    -:l z.u - i` l_. zzz.._ V ,-I

    .. .\ _.'i '.'- "' _ _. 'L-cr "- '_ \zz z ._ f_ z z il fff _ r _Q r.l- O i- -|

    Ol- -l-I ifr- OO__ __ ___ ffff _ _;___ _. .,O i- -IOal O operador * comutativo? associativo?b) O operador El comutativo? associativo?c) Os operadores * e El so distributivos um em relaao ao outro?

    2. Dados os operadores aritmticos +, -, - e -I-, dizer quais dentre eles so ope- _ 'radores binrios no conjunto Z de todos os inteiros.

    3 Considerando os operadores aritmticos +. -. ' E *z dilef l`U5 df' elesso operadores binrios no conjunto N dos nmeros naturais.

    4 Seia 3 ,, b z \/ 32 + b2 onde a, b G R. O operador * fechado? comutati-vo? associativo? * distributivo em relao a Z? dSfbU'tV0 Em H-'la'o a * ? * admite elemento neutro? -

    .f if .-'\-L'=f. _

    ..: ~ =1. '_ `".

    - . . _ . .

    t": 5. _' 5 . .. : . 3,.,

    `: :|-I.. __ _i_._.,-z

    -2-'. ,...1,.Z^

    :_

    - H .: zf-'- ' f' '-:,- 4- ,. ,*-' _*ii

    lu! Tt, ;.-~. ---fr :-.,._._4 u; .`

    .` '-5

    .| i

    zzzzz.-_-f._ i-

    5. Dados os operadores * e El distributivos um sobre o outro, reduzir ou desen-volver as expresses a seguir de modo a apresent-las sob forma diferente.

    a) a*(bElc).b)alIllal.lb).c) arlalbl.dl alIl(b*lcl_ld)l.e) (blIla)*lbElb).fl lab)E1l*Cl.

    9.3 SISTEMAS ALGBRICOS

    Antes de estudarmos a definio de uma lgebra de Boole vejamos o que um sistema algbrico ou uma lgebra abstrata tambm chamada simplesmente delgebra.

    Chamamos lgebra abstrata ou sistema algbrico a um conjunto no vaziomunido de um ou mais operadores binrios sobre ele definidos. Denotando por Ao conjunto e por * e ] os operadores definidos sobre A, podemos ter:

    . (A. *l ou lA.lIl) l

    que so lgebras com um operador ou uma operao, e

    (A. *. 'Ill

    que uma lgebra com dois operadores ou duas operaes.

    Uma lgebra pode satisfazer a alguma, a todas ou a nenhuma das proprieda-des dos operadores, assumindo nomes particulares para os diferentes casos, como:se`migrupo, monide, grupo, anel, corpo, espao vetorial, conforme as proprieda-des satisfeitas pelo operador ou operadores definidos sobre um conjunto conside-rado. No trataremos destes casos em nosso curso, para o qual tm especial inte-resse os sistemas algbricos chamados lgebras de Boole, que deniremos a seguir.

    l'I IDizemos que o sistema algebrico (B, +. ' ) e uma lgebra de Boole quando

    e somente quando -V-a, b, c E B, valem os axiomasz

    AL a+bB.AZ a'bB.A3 a+b=b+aA4 a'b=b*aAs. a+s-z=z+i-z+zz. 105 J

  • l'l

    'i

    ir

    \_./wzfwf/\-./'

    l

    _/\/\\J

    iz

    ))\_

    ))

    1.

    J)

    `|

    |\_l

    1)1

    l

    i

    _J

    '1l

    1l

    A6. a'lb+cl=(abl+(a'cl.A7. ElOGBtalqueparacada aEB,a+0=0+a=a_A8. 31BtalqueparacadaaEB,a1=1'a=aA9. ParacadaaEB,Ela'EB tal quea+a'=1ea' a'=0.

    No axioma 9, o elemento a'chama-se complemento de a.Uma lgebra de Boole dita degenerada quando os elementos neutros para

    as operaes + e so iguais, isto : 0 = 1. Consideraremos apenas lgebras no de-generadas, isto , lgebras de Boole nas quais O =/= 1. Vejamos alguns exemplos.

    19 Exemplo:B2 = {0,1} uma lgebra de Boole cujos operadores so definidos pelas

    tabelas a seguir:

    Esta lgebra conhecida como lgebra dos interruptores ou lgebra da co-mutao, e a mais til entre as lgebras de Boole. o fundamento matem-tico da anlise e projeto dos circuitos de interruptores ou de comutao quecompem os sistemas digitais. B2 o exemplo mais simples de lgebra deiBoole no degenerada.

    29 Exemplo: _B4 = {0, a, b, 1} uma lgebra de Boole com quatro elementos descrita

    pelas tabelas:

    I. ';'

    'i " W*O

    CTCDCI

    OCJCD nCDn CI'Q __"-z_zz ;__.z z. zz z_ _ __-

    Teorema 1 - (Principio da Dualidade): Todo resultado dedutvel dos axiomas de106 uma lgebra de Boole permanece vlido se nele trocarmos + por

    e 0 por 1, e vice versa

    H- 01 + 0 10 0 0 o o 11 0 1 1 1 1

    o z sf + 0 z l 1"

    *H 3 za1=b b b

    1 1 1 ;11

    11%, L,

    Oab1 ....3'_U" Inllnlnlx

    ._"-'7f.."_..'\.,13"|'.ii\.*' 'MHV.'...___-,_.-_~__.riu.#1.-1:|uuiiIt1'

    ' | _` .

    ._ F__.-. _

    .- _.

    ProvaPela simetria da definio de uma lgebra de Boole entre os operadores

    + e -, e os elementos 0 e 1, tanto os operadores como O e 1 podem ser intercam-biados conduzindo a outros resultados tambm verdadeiros. .

    c.q.d.

    19 Exemplo:Dualizar a expresso: x ~ y' + x' - y - z + y - z'_

    Soluo.-Como a expresso no apresenta os valores O e 1, basta trocar os sinais ' por

    + e + por ; temos: 1

    l+WP(W+v+zP(v+flque o dual da expresso dada.

    Obs.:- 1. No houve qualquer modificao nas letras complementadas, ouseja, onde aparecem ', y', z', continuam sendo x', y', z'.

    2. A dualidade tem grande semelhana com as leis de DeMorganque veremos adiante, diferindo apenas pela observao 1.

    29 Exemplo:Dar o dual da expresso: x' + y = O

    Soluo:Trocando na expresso dada + por e O por 1, vem:

    .s '.y=1

    que o resultado procurado.

    Teorema2- a+a=a,a'a=a,-V-aEB.

    Provaa+a=(a+a)'1 . . . . . . ..A8

    = (a+a)'(a+a') . . . . . . ..A9= a+_(a'a') . . . . . . ..A5= a+0 . . . . . . ..A9= a . . . . . . ..A7

    a+a=a.

  • Teorema 3 -

    a + a bl

    Analogamente,

    ...-

    ......

    1

    00

    a+1=1,a0=O,VaEB.

    Pelo Principio da Dualidade, temos: s

    Teorema 4 - (Lei da Absoro): a + la bl = a, a ' (a + bl = a.

    Teorema5- a+("bl=a+b.

    JDJJQJ""""'D.'I

    DJ

    IOCO OJ

    al +la (a+a'l A6

    = a c.q.d.

    (a+1):h+1l%a+la+(1a'l A5a+a' . . . . . . ..A8,

    a+1=1

    '(1+b)'lb+1l .....A3.'1 .....Teor.3

    a + (a ' bl = ae, pela dualidade, temos:

    a(a+b)=a

    Teorema 6 - Os operadores + e ' so associativos.

    Prova(a+b)+c = ((a+b)+c)'(a+a') . . . . . . ..A8,9

    = (((a+b)+c)'a)+(((a+bl+c)a') . . . . . . ..A6= (a((a+b)+c))+(a'((a+b)+c)l . . . . ....A4= (la:(a+b))+(a'c))+((a"(a+b)l+(a"cll . . . . . . ..A6=` (a + (a - c)l + llle' ' al + la' bl) + la' cl) . . _ Teor. 4,A6= a+((O+(a"b))+(a"c)) ..Teor.4,A4,9= a+((a':b)+(a'*c)) . . . . . . ..A3,7= a+(a'-(b+C)) . . . . . . ..A6= a-l(b+c) . . . . ..Teor.5

    (a+bl+c=a+lb+c).Pelo Princpio da Dualidade, temos:

    (abl'c=a'(b-cl

    Expresses como (a + bl + c e (a bl ' c podem ser escritas sem parnteses,e expresses tais como la' + b) (_c + d + el podem ser desenvolvidas como nalgebra usual; a ' b pode ser escrita ab e o operador tem precedncia sobre+ , de modo que a + lb c) pode ser escrita a + b - c ou a + bc. ,

    c.q.d.

    Teorema 7- O complemento de cada elemento de uma lgebra de Boole nico.

    Pro vaI N 3Suponhamos que a e x sejam complementos de a. Entao:

    a+x=1~ z-=o. l

    Logozx = x(a+a')= a+a'

    (a+a') '(3-l-b) . . . . . . ..A5

    a+la'b)=a+b

    L.-

    -1

    O + a'xa'a + a'xa'(a + xla' 1a'.

    Corolrio- Qualquer lgebra de Boole nao degenerada tem um numero par deelementos.

  • Teorema 9 -

    ab + ab'

    D.

    Teorema 10 -

    0+1O-1

    Logo: 0'e 1'

    Ento, la' + b'l o complemento de la bl, isto :la ' bl'

    Teorema 8 - (a'l' =

    ab + ab' = a.

    1-nu

    0'=1e1'=O

    la +b'l+l8'bl'

    '+b')-(a'b)

    3

    Pelo teorema 7, existe um nico complemento, portanto:HT

    a(b+b')a-1

    ab+ab'=a.

    Teorema 11 - (De Morgan): la bl' = a'+ b'e (8 +bl' = 6' b'-

    _;. af-I-bf I

    (a+bl' =

    1 . . . . . . ..A9

    (a'+b'+a)la'+b'+bll1+b'l' l1+a')

    a"ab+b'a'b-0.

    a' o complemento de a, ento: a + a' = 1 e a ' a' = 0. Mas estas eQU35apenas mostram que a o complemento de a', isto : a = la')'.

    . . A3,7_ . A4,8 '

    Teor. 1

    ._11.;Fa:.

    l

    ab+a'c+bc

    ab+a'c+bc

    la + bl la' + cl lb

    la + bl la' + cl

    la + bl la' + cl

    19 Exemplo:Simplificar la + bl la + b' + c )

    QI11-

    nn1-

    gn._

    1

    11

    F

    +

    um

    -_uq

    gx1

    iq

    11

    _--_

    Teorema 12- ab+a'c+bc-=ab+ac

    I' I'ab+ac+bc(a+alab+a'c+abc+abcab(1+c)+acl1+blab+a'cab+a'c

    Teorema 13- (a+b) (a'+c) lb-1-c)=a+ab

    `la+blla'+0llb+cl = laa'+ac+a'b+bc) (b+c)0+abc+abb+bbc+acc+abc+bccabc+a'b+bc+ac+abc+bcabc+a'b+bc+ac+abcac(1+bl+abl1+cl+bcac+a'b+bcac+a'bcl = ac+a'b

    TO0I'8m8 14- (a+b) (a'+c)=ac+ab

    aa'+ac+ab+bcac+a'b+bcac+a'b+bcla+a')ac+a'b+abc+abca'b(1+cl+ac(1+b)a'b + acac + a'b

    Esses teoremas tm sua grande aplicao na simplrflcaao de expressoes booleanas e circuitos de interruptores, conforme veremos nos exemplos a seguir

  • III lSoluao.a+blla+b'+c'l= aa+ab'+ac'+ab+bb'+b0'

    a+ab'+ac'+ab+0+bC'a+bc'

    2 Exemplo:Simplificar o circuito:

    Soludo:lp + qr) lp'q' + r'l + p'q'r'

    3 Exemplo:

    rm f 1

    p:___ _. __q'kz . _----- f

    e o circuito simplificado sera:

    Simplificar o circuito:

    Soluo

    nc' + mr + P'f

    _--

    _--1

    pr, + pq:rr

    lp + 1'11'lf'(p + q:)rr

    q,,,.|'- p H

    D-~.l l "_

    .---will

    p:~qf...... ----p- '-

    1:"-*_""' f

    = p (qr + qr) + p;_"l'z;___f=

    = Dq' + Dr + D'f= Dq' + lp + 1='lf= D1'+1f= D1'+f

    of-f ~ "

    1^_fI*"-`- _!'.

    F

    Desenhando o circuito da expresso simplificada, vem:

    lI_'J~49 Exemplo:

    Determinar o complemento de pq' + pfq.

    Soluo:lpq' + D'1)'= l1:q'l' - lr'ql'

    = ln'+ l:i'l') - llp'l' +q')' = lr'+ql-lD_+q'l'

    = |r'n+D'c'+1q+qq'= r:1+r'q' `

    Teorema 15 - Se uma lgebra de Boole contm pelo menos dois elementos dis-tintos, ento 0 #= 1. S

    Prova 'Suponhamos que existe uma lmbra de Boole com pelo menos dois ele-mentos distintos, para a qual O = 1. Seja a um elemento tal que a 5* 0

    Portanto, O a 1. c.q.d. ~

    Sejam a e b elementos de uma lgebra _de Boole. Dizemos que a menor ouigualablablse esomentesea+b=b. f

    Teorema 16 - < uma ordem parcial.

    ProvaPelo teorema 2, a + a = a. Logo, ai < a. 'S 1

    'Sea

  • __./\I'%/--f

    1. Sea~bea

  • r'-"'*"-* ""'-'-"""'b'dl l Y czi_._._a..__b. b_______c

    #8__l-_:b'---0'1 .z -zbz-~-c'

    '-_-C

    3

    zzlno,i,c --g-d'

    r zb- -S d-fim

    .l

    . _ d 2=--

    9. Determinar o circuito complemtaf (lei

    al 1 `_""'b'b---c'c----I'

    b) "_"`_"'Y Z

    ---y'---2

    . l bra de Boole. 010. Provar que para quaisquer elementos a e b de uma 9

    se, e somente se, ab' = 0. P . l bra de Boo

    11. Provar que para quaisquer elementos a e b de uma 9se, e somente se. bla =1-

    * l mentos.12. Mostrar que nenhuma lgebra de Boole tem tres e BI - V

    _ ' mais de um13. Mostrar que nenhuma lgebra de Boole finita com p

    tem um nmero mpar de elementos.

    10Funes Booleonos

    Seja B uma lgebra de Boole e, sejam xl , ..., xn variveis tais que seus valo-res pertencem a B. Chama-se funo booleana de n variveis a uma aplicao f deB" em B satisfazendo as seguintes regras:

    1. Se para quaisquer valores de xl, ..., xn, f(, ,,_, n) = 3, 3 E 13, en.to f uma funo booleana. a funo constante.

    2. Se para quaisquer valores de , xa, flxl , ..., xnl = x para algumi (i = nl, ento f uma funo booleana. a funo projeo.

    3. Se f uma funo booleana, ento g definida por glxl, xnl == (flxl , ..., xnll' para todos 1 , xn uma funo booleana.

    4. Se f e g so funes booleanas, ento h e k, definidas porhlxlz --, Xl = f(X1 , ..., |1)+ Q(X, ..., Xnl G

    |

  • ._/\-/\-/\./

    : _.,19 Exemplo: fll = x + x a29 Exemplo: fl. Vl = 'Y + XY' + V'39 Eemp|o: flx. Y. zl = av'2 + V2' + a + Y

    As expresses desses exemplos so funes booleanas, onde as variveis, y e z percorrem uma lgebra de Boole e a um elemento dessa lgebra.

    Por causa das relaes existentes entre as operaes, uma funo booleanapode assumir muitas formas.

    49 Exemplo: Dadas f(x, yl = x'v'~e glx, Vl = lx + Vl, sabemos pelas leis deDe Morgan, que f e g so a mesma funo, isto , elas assumem

    ~ o mesmo valor para valores idnticos das variveis.

    Para melhor determinar se duas expresses representam a mesma funobooleana, torna-se desejvel a existncia de uma forma padro ou cannica na qualas expresses podem ser transformadas. Desenvolveremos tal forma no teoremaa' seguir. 1

    Teorema - Se f uma funo booleana de uma varivel, ento, para todos os valo-V resrde x, flxl = fl1) + f(0)'. 1

    ProvaExaminemos as possiveis formas de f.

    19 Caso: f uma funo constante, flxl = a.

    f(1)x+f(0)x'=ax+ax'=a(x+x')=a1=a=f(x). .

    29 Caso:f a funo identidade, flxl = x.f(1)x + f(0lx' =1x + Ox' = x + O = x = f(x).

    39 Caso:Suponhamos que o teorema vale para f e sejaQlxl = lflll'.9ll = lflxll' = lfl1l +fl0l'l'

    = lfl1)l'lfl0l'l'= llf(1ll'+x'llfl0ll'+l ;= lfl1ll'lfl0l)'+fl1ll'+fl0ll''+' ,

    = lf(1ll'lfl0)l'l1) + lf(1))' + (f(0)i'== lfl1ll'lfl0ll' + lf(1ll' + (fl1ll'lfl0ll'x'= lfl1ll'lfl0ll' + lf(1))' + (f(1))'(f(0))=f+ lfl0ll''= lfllwx "`lfl0)l'' (absoro)= 9l1l +9l0l'.

    49 Caso:Suponhamos que o teorema vale para f e g, e seja hlxl = flxl + g(x)hlxl = flxl + g()

    =' flllx + fl0)' + g(1) _+g(0)-= lfl1l+ gl1i + ifioi +gioi'= hlllx + hl0)'.

    5.0 Caso:Suponhamos que o teorema vale para f e g, e seja k() = f()g()l

  • Valores de flxl = x + x'a

    f-1-T*

    x l flxl ,

    0 a `t a 0 a .i---

    a ` 1 .`i

    ` 1 il 1

    b) g(1,1) = 0 e g(1,0) = g(0,1) =- g(0,0) = 1, de modo que a forma canni-ca para g gl,Vl = Oxy +1xy' + 1x'y +1x'y'. .

    Valores de g(x,yl = x'y + xy' + y'

    *fi f rf r 1 1 ti` Yi. l rl M\ A1'

    eaO ;\i_l ...__. _... ...,_. -zz zzz _ -z __i __ z z_ __ 741._ _ _ ` _

    il-l _ __ l _ __ __ 1 _ _ _.__ _ _ _ ._ , .__1 ._;93* -r _-l_il L__ Q) OIQi Ona _JL_

    Note-se que em ambas as funes, a forma cannica reduz-se facilmenteforma original. s s

    A forma cannica que discutimos conhecida como uma soma de prodou forma normal disjuntva (FND). Existe tambm um produto de somas ou forma normal conjuntiva (FNC). Cada termo de uma FND , s vezes, chamado mmterm lm) e os fatores de uma FNC so chamados mexterm (Ml.

    EXERCCIOS 0

    1. Suponhamos que f uma funo booleana de uma varivel sobre umagebra de Boole de 4 elementos, fl0) = a' e flll = a. Determinar uma expso para f.

    2. Escrever a forma cannica geral para uma funo booleana de trs variveis

    Determinar a forma cannica para cada uma das seguintes funes'al flxl = xx. z .. lb f = ' . . ,l _lVl XV + BX + by, onde a e b sao elementos fixos distintos de uma

    Algebra de Boole.

    cl fl=V=Zl = lV + 82') + l' + 2) (ax + V' + zl.

    Suponhamos que B uma lgebra de Boole sobre o conjuntoil). 0. a'. bz b'. C. C', 1}, e seja f uma funo booleana tal que f(0,0,0) == fl0,0,1l = fl1,0,0l = 8. fl0.1,0l = 0, f(0,1,1l = 1, fl1,0,1l = f(1,1,0) = c',e fl1,1,1l = b. Determinar f(a',c,b).

  • \Q\

    =. a'b'c' + a'bc' + a'bc + a'b'C

    11 1 DIAGRAMAS DE VENN OU CIRCULOS DE EULER

    Seja representar as funes:3) y = f(a,b) = ab' + ab + a'b

    Verificao Algbrca:ab' + ab + a'balb ~l~ b') + a'b3-1+a%a+a%a+b

    1Representooo dos FunO2S

    Booleonos

    / i ` gi/ u (13.)3 b . + = ' _. 7 ..

    " . C C 'fzfz,%'/J _ _ . _a'b c' a'bc' a'bC a'b C

    \\

    __.._f_---*'.:__- W/# = /

    3.

    :a+b

    m

    ab. ab a'b V = ab' + ab + a' b =

    @~ '

    -li.

    i\.i. _`i`~'-hr'-_

    lfew'.iii-.ii-__-_'.

    ~'la-i'=-lli'f~eiillllsz.-*afffnz

    1 'v 'U

    . . ` _.,.I - 3. fz.,

    Lil? -

    v.f. ...err rcaao Algbrica:

    a'b'c' + a'bc' + a'bc + a'b'ca'blc + c'l + a'b'lc + c'la'b + a'b'a'(b + b'la.

    Y

    Para mais de trs variveis, torna-se muito difcil representar as intersees formadas pelos respectivos crculos de Euler. Neste caso, utiliza se a disposio mostrada a seguir para quatro variveis: a, b, c, d.

    a'b'c'd

    a'b'cd'

    I

    I

    =

    __

    ____

    l

    ab'c'd'

    l l _;inicieiz-ig

    ab'cd' .

    abc'd'" -1_l__J! l

    ...-Jzb}7" a'b'cd-

    a'b'c'd-_nL.lun-

    ab'cd1-;--nn fa

    abcdn

    --il.

    me 'u oon

    ab'c'd r abc'dT'"'7_ ______ _Yw*' _ f 1 _* '__ _ _

    _' -nn 1 __ f_ __ t :

    11.2 TABELAS-VERDADE

    Construamos a tabela-verdade da funo:

    f(a,bl = a + a'b'fm' ' j z. fa _ *__-

    ___

    en|i-|eeeqi|n-|neonnq|i--- g_ , gi __ o

    a'bc'd'

    a'bcd'

    a'bcd

    a'bc'd

    o001_ nenaunununnn 15

    a b a' b' fi a'b' f".'

    O O

    O - d O O_`I

    i

    ___

    -3 CD O ; O;O d,__;

    4;j7_ u-B -nl%; -__~-~

    O @1 O. _l`i

    Nosso problema consiste em determinar a funo booleana f dada sua tabela-verdade.

    Ti.- Q.

    .- a'b'

    1+-ab'1+-ab

    14

  • Soluo:- -- ' ' l com lementadar Fazendo a varivel nao complementada igual a 1 e a vari ve _ P

    igual a 0, pelos valores de a,b e c correspondentes a f = 1 em cada linha da tabcela.vemos que os termos da funo procurada so a'b'c, a'bc e abc. Logo, temos a un-o:

    a[b C' f 1

    if '_ m f ir*

    O O ,O1* T1

    O C3.1__ l _-_c 1-*CD -

    CD .za O O___WL_O -

    l

    #17 _W 'T fz

    -. CD___ ___ l C) O,-A

    ... O1 zzl -_ z,

    -I

    Wf

    Oi __ __

    i O*mg__

    1l `;_;~d

    nal -.I

    - ~ b l -verdade:Exemplo: Determinar a funao booleana f representada pela ta e a

    -- a'b'c

  • .l

    1.

    ../*w/\u/*-/--/

    `\|

    i1

    )

    /`

    )

    )

    126 '

    -. ,;_... _

    .'..;;_ `Ir .cn _

    -..;z -. , .. i-._..\

    ....,=.- i.---.fF''1LI'

    _.-._1%*

    A representao geomtrica de uma funo de n variveis o conjunto dosvrtices do n-cubo correspondentes aos minterms da funao. __;-_\--___r

    Exemplo: Representar geometricamente a funo f(8.b.Cl = mz2-37l-

    Soluo:' m-1

    910. mz' I

    ao . Observao:1 Cada um dos vrtices correspondentes aos minterms da funo dito 0-cuboz

    s dessa funo. E2. D'ois 0-cubos de uma funo formam um 1-cubo quando diferem entre si por

    somente um valor da varivel como, por exemplo, 000 e 010, 010 e 011, 011

    3. Quatro 0-cubos formam um 2-cubo da funo.Dizemos que um p-cubo lp Q n) um subcubo de um n-cubo, quando .

    os seus vrtices pertencem ao coniunto dos vrtices desse n-cubo, ou seia,p-cubo est contido ou coberto pelo n-cubo. E

    Exemplo: Na representao a seguir: '

    Arlv

    O 0-cubo 100 est coberto pelos 1-cubos 100 e 101 100 e 110 100 e 000e pelo 2-cubo 100,101,110, 111

    I' I I

    e . Defnimos a distncia entre dois pontos de_ um n cubo como o nmero de valores das variveis em que diferem as representa-

    oes bmarias dos dois pontos. Assim, dados os pontos 101 e 011 de um 3-cubo adistancia entre eles d = 2, pois diferem entre si em duas posies. Indicamos ofato escrevendo: d(3,5) = 2, onde 3 e 5 so os valores decimais desses pontos en-contrados nos minterms m3 e m 5 . R

    Vejamos agora alguns exemplos de representao geomtrica das funesbooleanas. R

    19 Exemplo:.Dar a representao geomtrica do circuito ~ - y'.z ~ e~~ z ~

    Soluo: E

    f(.v.zl = v'2

    x y' z101 J'

    1 0 1

    29 Exemplo:Representar geometricamenteocircuito -~ - ' z a z -__ z . _ ._

    SoIu'o.f(,Z) = 'z = x'yz + x'y'z

    n ~O4- + C)_ @(_~

  • Soluof(,y,z) = xy +yz

    =xyz+yz +yz

    JW

    a) f(y,z)=(yz + lb) f( y,z) = y( ic) f( y,z) = x y + xyzdl f(v.zl=v(+2)+v2el f( v.2l = V

    I' I

    xyz + xyz' + 'y'Zlr Hi Hi ll

    111 110 001

    EXERCICIOS

    Representar geometricamente as funes:

    Dar a representaao geomtrica dos circuitos

    '__ __ y'________2'___}$__

    L -X zz Y Z

    ___,z zzzzz' _)(': LV'

    Y Z .

    ___ y _ z' - 5

    Z' -

    yv 2' ea ~X e ff Y'f

    .=

    iiY1;' 1 `y.--nVei Z

    v 2 W

    I I'1_|_|p-ri;

    ___V.__,. Determinar as seguintes distncias em n-cubo:al d(7.13)b) d(2,7)cl d(7,15)dl d(3,11)e) d(9,14i

    Determinar a funo booleana representada geometricamente por

    al

    bl

    Fz""-"-|\_|\|I

    nn/

    mz I I J'

    me

    _..__. m4

    m3 m7

    I I!; / z

    1,' f'/ / )

    [Tio TI4

    \

    -""'_"_I-DIIII-uy

    \L.____._.....

  • R:"""""I\|`\I II I I

    z/

    I

    -_"""_`1\

    mo

    _ma mz; ..

    _1-.z _ ,~- 31;; `

    _ '-.`_-_' --- '

    -_';Lf... :__

    v'-`- 1_ _,..z_. _ _'Qi-|' ' -, .

    ___'-'._ _ -' ;:1*' _ i

    cl ma m7 E

    ms

    _ _zf._ __ I

    __* _ _#3

    Formos Normois_`_ ._ -l` V `

    '\\\

    '\\

    .:1;L*-fl..-_;___1 .-'_-;f\`_''frf-f.~:-'laE\_1-_. \_ . ._:_=`. -" _-z.~ _'l' - _

    . _'1..~;;` .__':~"

    12.1 FORMA NORMAL a n VARIVEIS E, ,.,z- __ =5.,_f_4._ _5 :.-ru ' - _

    ....( -` _ I

    . '"t`-`~5?'1\i-. -_ '

    *E' Dizemos que uma funo booleana est na forma norma/ a n varia'ves quan-___ do envolve todas essas variveis ou seus complementos.

    7: 53' . -__1_-in-...FTI4__ 19 Exemplo: a + b' normal em a e b.

    _I3s?.: - z| __:^_' " . _

    ~_ 29 Exemplo: a ' b' e normal em a e b.~., `m 3 m 7 E 39 Exemplo: a + ab normal em a e b.

    . |._ ,_?..-._u' ._ V _ 49 Exemplo: a + b + c'd'e' normal em a,b,c,d e e.,Ff _ __.'___ s 59 Exemplo: ab'c'de normal em a,b,c,d e e.

    _ _. .J//.z A 12.2 FORMA NORMAL DISJUNTIVA1-

    // "'

    z 11.1? .'_ _ `Uma funao booleana est na forma norma/ disjuntiva quando em todos os. ..z.;. __ `

    '15' l"_m4 r seus termos aparecem todas as variveis envolvidas ou seus complementos.

    - _ are.1"

    l-' 19 Exemplo:I _ A funo booleana = ab' + a(ab) + a'b' est ha forma normal dsjuntiva_

    -x ._._,,.,..v.

    - _'\''-_ _-| -- -

    ;';_;_ 29 Exemplo:__i. -

    _ A funo booleana y = abc' + ab'c + a'b'c'est na forma normal disjuntiva.'\7.`.:. -_ .

  • 4o Exemplol " E * ' ii l_6.bC_z1z'

    A funo abc + ab C + ab nao esta na forma normal disiuntiva, pois, no terceiro termo falta a varivel c ou seu complemento

    50 ExemploAs funoes abaixo nao estao na forma normal disiuntiva

    =ab+bc+ac=abc+abd +acd=abc+ac=abc +b-

  • 20 Exemploz = la' + b) (a + b' + cl no esta' na forma normal conjuntiva porque no pri-

    meiro fator falta a varivel c. _

    xr

    TRANSFORMAO DA FORMA NORMAL DISJUNTIVA EM FORMANORMAL CONJUNTIVA MEDIANTE A TABELA-VERDADE

    Seia transformar a funo

    da forma normal disiuntiva para a forma normal conjuntiva. Procede-se da seguin-te maneira

    a) Constri se a tabela-verdade de y:

    e diz-se que a funo est na forma binria.

    v = a'b + ab s0zU,za.~

    _ 'Ii v _

    OCB CDO

    O

    -c~_/

    fu* mm* * t __ . ___.. ' " fz* 7 'JI

    Q-.s

    Ar I i E

    ,a ba'a'b aby O n-\ n-ul. 1 1" *'Wl}f::T _... _..__ __ 7

    ---oo --Ao-ca .z.a_._. oo-~o -aaa -O--a III-xc -'CCD--6 o-o-

    l E

    `l

    i

  • Nessa tabela. 9m05

    ndec1mal ) n bIf0

    com-*C9528

    p 1 1_ __ _* __ ~__ 'mm fzzz ' "'

    GSCFBVB I'

    f(a,b) = l2,3).

    ~.1a:u1-amu-O__ L-T zz l |_n-lu-II

    , rf 4 'I' 4-

    : b f

    .........-s-hQOOG ...-c:c-;-*OQ ...Q-~O-^"'.'0 :;-co;.-'

    ` ` 1

    *l

    I

    ll.

    ' I 1---

    : l._...|

    I,

    F'.J

    "0-)

    m-Jmmhww-*O

    _,,__._._..._.oc:.1o=OO,

    44,4'

    ..cc....-o:-=-=cC=---*O0 O-nO-nO-oO-*O-*""'"""3 o--o-oo-1-*O-*"'_I

    l1 l

    , 11 l1 1

    1 i

    gll

    1* ` 11

    11

    - 1 r

    JuE-lt. r.. ,__ LO1

    fla,b,c,d) * 2l1.4.6.7.112)-

    Entao, os valores decimais que correspondem a f = 1 so 2 6 3- Pd9m$

    P dendo de manerra anloga nas funes dadas pelas tabelas a seguir,roce

    fla,b,c) = El1.3.5)

    l*gin-

    l*

    l4_.__-

    .;...-,

    -~\'z;-':If_ - l.=-.-:_ _ ll

    - ^.`JI'-- " '

    _. .11.-_.3,_='f_-'I ` )

    1,-*_i.'-. - 1..:`L.I. ` '

    l _

    ln=.r-_I:r1-ais-_--'

    2

    3

    4.

    5.

    6.

    7.

    8.

    9.

    '\

    10.

    EXERCCIOS

    _ - 1, 1. Representar mediante cfrculos de Euler a funon E l" " E E y = abc' + a'bc' + abc + a'bc

    Indicar mediante uma tabela-verdade, a funo:

    y=ad.

    Representar sobre uma tabela-verdade, a funo:s y = ab'cd' + ad.

    Usando a tabela-verdade, dar a funo y = a + d sob a forma normal disiu ntiva.

    Passar para a forma normal disjuntiva as funes:a) y = a + bc'b) y = dc)_ = a(d' (b + c) + b'(c'd + a'b'c))d) V-= ad + cd

    Dar as funes do exercicio 5 na forma binria.

    Dar as funes do eerc1'cio 5 na forma decimal.

    Determinar, mediante a tabela-verdade, a inversa da funao booleana

    y = abc' + a'b'c' + a'bc + ab'c

    Transformar para a forma normal conjuntiva as seguintes funes booleanasa)y=a+cb)=(a+b')'(a'+b)c) z=(a+b+c) ' (a'+c')' (a+b')d)=(a+b)'(H+C)'(b+d) `

    Representar mediante crculos de Euler as funesai yz,1z,z1 = 22,3,5,,71 'bi z,b,1 = z1ooo,oo1,o11,111Exprimir sob forma binria as funes:a) x=ab+bcb) y=a'b+bc+ac'c) z=ab'c+bc+ab'

    ~4:.../-:Yumin-_~...z_-z__\n/l--r->~_.

    _\n/-\.1|/--._

    \.

  • d)w=abC+bC+ab9) t=abcd+abc +abd

    Exprimir sob a forma decimal as funoes do exercicio 11

    qxx/u/V/\/\/\/V

    Construir as tabelas verdade relativas as funoesa) x(a,b) = 2(2 3)bl via i,al = Elooo 010110)ai via b,a1 = 21001011 11ilai via b,ai = 210 3 5)ai zla,b,a dl = 2i0010 0101 01101011)f) zla,b,c d) = l0 3 5 711)

    13 Minimizoo de Funes

    Minimizar ou simplificar uma funo booleana a operao mediante a qualse reduz ao minimo o nmero de seus termos, resultando em economia do circuitoa ela correspondente. Os mtodos de aplicao mais freqentes na minimizao deuma funo ou expresso booleana so: O

    1, Mtodo Algbrico;2 Mtodo do Mapa de Karnaugh;3 Mtodo de Quina-Mcl

  • = b+b'c'+a'c'= b+c'+a'c'= b+c'(1+a')

    _= b+c'

    13.2 MTODO DO MAPA DE KARNAUGH

    O mapa de Karnaugh uma forma modificada de tabela-verdade e nos per-mite representar graficamente uma funo booleana e, se for o caso, simpli-fic-Ia. '

    MAPA A UMA VARIVEL

    No caso de uma varivel, o mapa formado por duas celas que correspon-dem a cada um dos valores 0 e 1 que podem se atribudos varivel.

    Esta tabela pode ser lida de uma das seguintes maneiras:

    01 01=~=

    conforme usemos os valores atribudos varivel ou prpria varivel' na formacomplementada ou no. Atribuiremos sempre o valor 1 varivel no comple-mentada e o valor 0 varivel complementada.

    MAPA A DUAS VARIVEIS

    E formado por quatro celas que correspondem s combinaes binrias quepodem ocorrer com estas variveis. Os termos da funo a ser representada devemser escritos em ordem alfabtica e, em todos os mapas de Karnaugh, a ordem emque entraro as variveis deve vir claramente anotada na parte superior esquerda.

    Representao binria Representao literal Representao decimalb0 1 b'e 1 b'_0 1,IIIJIIIIEI IiIIIiIII ~IIJIIIIIIEIIII EI!! IIEI

    =f-- __"*z 'fz.. ,V-z1 'ff' , 'fe-.Qz ~ wi

    _ . .~a:f-=-i_ _ _"'!"!_ -' _

    '---vy-:_ z.:-Tr 5"*.- . 1.-z -.

    . ._ ,z.-. _ _,

    "_ :f_'f'- _ {~z._a__z;i;

    z-, .,_ 1,, -.=_'

    l.MAPA A TRS vAi=iiAvEis

    ab'0 IWIIEI01 EEIIEII11 EIIIIII

    1 EEE

    = 0 1M01111

    MAPA A QUATRO VARIVEIS

    abcd 00 01 11 10

    00 0000 0100__1_100 100001 0001 0_10`11101 100111 00110111111110 9010 0110

    7 71110 ,10101oo afblczrdi arbcrds abcfdf abocsda

    10 _afb,'_aa_'_ azigad' aba' aizraai'

    O ni-I NJ

    _; U1

    (AJ \I

    NJ O3

    '\

    MAPA A ciNco vARivEis

    0 1

    as:28;

    ==i ab ' _ ___'_'_ ___l9_

    11 a'bfcdi a'_bo:l abcd ab'cd

    bcda 00 _01_ 1_1 10 )00 3 1

    , 01 _, g ia, 911 _ _ 1 _10 g 14 iq J

    ' I

    11 10 I Iab abll aa 139 07 ___10 ad _99___l00 W 1 00 01 1 101 0"

    ^ 11 , 11: 10 _ A 10l

    ill 1 )

  • MAPA A seis vAi=iivEisOf 0 1 1

    ab abcd 00 O1 11 10 cd 00 01 11 10

    00 000111

    10 10ab ab ~

    00 01 11 10 cd 00 01 11 10001111

    1 01 01111111 11111110 101111

    010 11

    _ 00

    Como se pode notar, a partir de seis variveis o processo de representaotorna-se complicado e difcil e no atende ao carter prtico da lgebra de Boole.Posteriormente, estudaremos outro mtodo que supera esta dificuldade.

    REPRESENTAO DE UMA FUNO NA FORMA CANNICA MEDIANTEA 0 MAPA DE KARNAUGH E

    Representemos, mediante o mapa de Karnaugh, a seguinte funo na formanormal disiuntiva:

    y = abc' + ab'c' + abc + a'b'c. '

    Trata-se de uma funo a trs variveis e o mapa a ser utilizado :

    be _ O 1

    00011110

    Para representar a funo atravs do mapa, colocamos o valor 1 nas celas142 correspondentes a cada termo da funo deixando as demais vazias. Assim: '

    1_. .`, _ E

    - .-.-'agr-'zzz' .ilv-.IV ILLJ..

    '..'.--';'-...t ...

    _. z--_ .

    7711. '51 i_V;_L'.... -V --z; v...'_:.'.-~~ 6'- v'-..'- 5---.. . ._ . ..` : .'J-5 'ez-i:_*z - '_-AW' -

    -- ,Y lvv'

    nt- A=I`l\'\ FME*

    ia: 1-II

    01..-11 -HI10 -II

    y = abc' + ab'c' + abc + a'b'c

    nEPi=iEsENTAo os UMA |=uNo ouAi.ouEi=iRepresentar a funo

    a quatro variveis que no est na forma normal disjuntiva, e em trs de seus termos falta uma varivel. Usando o teorema expresso por ab + ab = a, temos

    a'b'cd + ab'cd + ab'c'd + abc'd + abc'd' + abc d' + ab'c'da'b'cd + ab'cd + ab'c'd + abc'd + abc'd' + ab c'd

    YZ

    y = a'b'cd + ab'd + abc' + ac'd',

    e, construindo o mapa correspondente, vem:

    Note-se que no caso de funes como y = a'bcd' + ab deve se considerartodas as possibilidades de aplicao do teorema ab + ab' = a, ficando o mapa cor

    ab ._

    cd: -W1 01

    00 11A 01 --

    ''d 11 -10 --

    g

    y = a'b'cd + ab'cd + ab'c'd + abc'd + abc'd' + ab c d

    respondente como se v a seguir: _ I

    OQ..

    llU' e

    III2:nl

    III:0 I01 I11 I10 IIIII

    -LO

    -.niO

  • .'-.Pse-1 za-_ _-_-_.;___,_ __ _

    _. ...._..,'irei' no naSIMPLIFICAAO DE FUNOES MEDIANTE O MAPA DE KARNAUGHNa representao de uma funo mediante o mapa de Karnaugh deve-se

    buscar a forma mais simples de representao, considerando-se que uma funo _, Dada uma funao representada em um mapa de Karnaugh, se encontrarmosa duas variveis pode ser representada em mapas para maior nmero de variveis.Assim, a funo y = ab tem as seguintes representaes:

    8 H aba 0 1 ba O 1 ad0 00

    1 011110 a8

    qn. l m

    0111

    Duas celas que diferem em apenas uma varivel so ditas adjacentes e podemser combinadas pelo teorema ab + ab' = a. Num mapa de Karnaugh podemos tercelas adjacentes sem que tenham lados comuns.

    Exemplos:

    a1ba01 blaaaoi0 00 1 01

    s cla

    10

    iaba 0 1 1116.13 00 01111000oo _I:oi __11__

    101011110 1

    sab ab

    bc 00 01 11 10 - (IJ 01 11 10G)011110

    -__-oi In--I:11 IIIIIia Il___

    P' termos em celas adiacentes, podemos fazer uma simplificao. No mapa que repre-senta a funo

    8.

    O-*OU-

    _;

    _; -0@

    i

    sentado. Quando os termos a simplificar encontram-se em celas nos extremos domapa, indicamos conforme segue:

    ab _C 00

    y = a'bc'd' + abc'd + a'b'cd + a'bcd + ab'cd', )

    podemos efetuar uma simplificao, substituindo a'b'cd + a'bcd por a'cd. A ope- 1rao indicada agrupando-se os dois termos conforme mostra o mapa retroapre- )

    0 E _.I.. OI..01 Il-H I:10 -IIIIIE .gp

    1 No mapa da funo

    -A y = a'bc'd' + a'bc'd + a'bcd + abc'dI

    O

    o:28a'-III8III2

    ni

    IIII:o

    III::L:-'_Er.L'1 -

    _.1.

    1.~i::II:me;e;1"'

  • O -.A

    temos b ___ -a a

    ';1 -'I112.,__\1f_'__ _:'.

    '_I,_.{~

    -aum;_..____...

    _

    11 10 aa 00 01 11 10

    ai/

    O0 --ll--01 -(il-'DIa I

    \/*f y = a'b'c' + abc'd + a'bcd

    *uai/\-.-/\|nf~_z_../"I1`\ni/-...

    ab ~cd 00 01 11 10

    0 !-I_-1-1-I- ~11 -ll-I10 -__-

    y = a'bd + a'bc'd' + abc'd

    Transportando estas representaes para um nico mapa, obtemos:

    abc 00 01 11 10

    11 101--10 -II--

    y = a'bc' + a'bd +`bc'd

    que a funo simplificada. Para simplificar ao mximo uma funo torna-se ne-cessrio incluir o mesmo termo em diversos agrupamentos. Vejamos agora o casoem que as celas sao adjacentes duas a duas. ~

    Seja simplificar a funo

    Vy = a'b'c + a'bc + ab'c + abc. 1

    O mapa correspondente :

    11 --I-I10 -__-

    y = bc'd + a'bc'd' + a'bcd

    639 101 -EDII @

    _ -1-=` Jg- `=- .__ 121151;__ - _.

    V '_ 11;-z

    ______ ,__ ,

    1,; :ii 1_____ ; _' - ' 1-1__f._ --" '^__1'' 'rsrS- "-':*-_;_t;.- -_ *...;-' : 7_--T T' '1--_.1` - ,q_-,-._

    _ ` !I_ i.

    0

    bca 0 100 --01 .III11 IIII10 --

    e, temos duas maneiras diferentes para simplificar a mesma funo, ou seja

    aaa 0 1 1 0 1_- --z1ierre@e::a-a 11 __..10 ia

    Considerando que as celas adjacentes no caso de ac e a'c diferem na varivela e no caso de bc e b'e diferem na varivel b, podemos agrup-las da maneira mostrada a seguir, ou seja:

    80.. naQI- 6.bc 0 1

    01 /'1`~._ r'i`~. Q 01 _ aiii raiiii11 im 11 liiilio ia EZOutros casos de simplificao:

    ab- 00 01 11 10

    _ 01 @ 00 lili:-lili_ _ 01 KIIE

    IBS' 3. 'ill'2 IE 11 XXVII!-'E__ 10 1 1v=ab'+a'd' y=bd+b'd'+z'd

    GED@

  • ...

    z_.;:

    _.;,"..Vejamos agora em que as celas so adjacentes quatro a quatro._ !-`

    Seja o mapa de Karnaugh que representa a funo _-.qn-_.:z=\.'

    ` ..!-.CI1 i

    -.H. .,

    Ii-.,=-1'WP

    ._'-':-.',':'--vi- _l.\1., -..`.-_Wi

    v = a'b'c'd + a'b'cd + a'bcd + a'bcd + abcd + abcd + ab'cd + ab'cd.

    _ tl; _`, .. V.

    1-.a3e

    ElleElle Ille*r.__ _.1-=-.;.z

    01'_' . 1-ri' . `._`v'-; -. i~-

    -_;. _ :-- az-t-_-'-i.-.il ., .^`: 1. _~'_* F2- _ '_:.

    "v'--"('

    .V 'Y

    iL f

    ..==z- _.(l _--:ft ,'~ z .;f.~~ ,_

    -

  • l1

    11)11

    0)1

    |r

    l

    )

    ~-/\-/`-...-/"~1-/

    _)

    )11)

    _]

    Jf

    )))

    J

    )

    )1

    150 v = a'bcd' izbca' + a'b'c'd + a'bcd + z'bz'.+ zbcdt

    `z__.'?B.4.'__x ':', _ I , '-';' _ E211 :.--.1-4J.-l`.`- .r .'I__;_'_ ___. fz z.E__z-,-._

    j',, , .__..s'.,.-..., _. _-,~....tv z .

    J-'.,_:_' z.'.'z;'-.-;.. '...

    29 Exemplo: Soluo:Minimizar a funao: 15?

    Y = a'b'cde + ab'cde' + a'b'c'de' + ab'c'd'e' + 8b'C'Cl' + 8'b0d'B 'l'+ abcd'e' + a'bcde + a' + a'bcd'e' + a'b'0d'B'.

    Soluo:Por convenincia de notao, podemos escrever a funo dada na forma bi-

    nria ou decimal. Temos:

    y(a,b,c,d,e) = (00111,10110,00010,10000,10010,01101,11100,01111,01100,00100) e

    vz.b,z..e= :v.22.2.1.18.13.28.1f.12.4z

    2 q N af 2,1a -o N_ 4 - ` P " 1' \4,12 0,-

    - b'c'ide' 1; 9.. oo

    --~oi-'o,-c,:?0E__.\_'-_.@-AQ-! _@_-B-6-LA-@@@-P:ga--ooooo i"\\\\

    O 516 Y 16,18 1*o -1 12 12,28. - _. 9.

    -z oo1 _ I

    I

    1 13 1e,221o - Y f nun!'13 i"' E222815

    e a funo simplificada :

    Y = b'c'de' + a'cd'e' + bcd'e' + ab'de' + a'cde + a'bCe.

    39 Exemplo:

    Minimizar a funo:

    V-

    v(a,b,c,dl = 2(o100,1100,0001,0101,0110,1110) ev(a.b.=.dl = >3l4.12.1.5.6.14l

    _a1bcd mabcwcl _L.abcd1,5 - 0 1 4,12,6,14 -

    0 _4,12 O

    \\\\

    Hao\az-cn01 :unle-u-IEz\\i/

    v = bd' + a'c'd + a'bc' + a'ba'_.

    Embora a funo esteja simplificada, no est minimizada, pois, apesar deserem seus termos irredutiveis, no so termos irredutveis indispensveis. Paraidentificar tais termos, usamos o crivo dos termos irredut/1/eis.

    1 M4 __5,_,__,e _, 125 14bd' a

    a'c'd

    a'bd'

    Neste crivo aparece na horizontal a notao decimal correspondente aos.termos e na vertical os termos da funo simplificada. O fato de cada termo da fun-o simplificada ser parte dos termos representados na forma decimal indicadopor um ponto na interseo das linhas e colunas correspondentes do crivo. As co-lunas em que a cada nmero decimal corresponde apenas um nico termo, identi-fica um termo irredutfvel e indispensvel. Assim, bd' e a'c'd so termos irreduti-veis indispensveis; os demais so termos suprfluos. Ento, a funo minimizadaresulta:

    y = bd' + a'c'd.

  • Exencrcios1. Determinar a funo representada no mapa:

    O _ 1

    - :`_

    _ _ if 1 7 f_ _ _ z f I' 7* ,I _' _ L'

    j Tlabizza 00 01 11 10_ ,C Q0_ 01,11 100 1 1, _ L 00 _,1_ _ _ _01 1" W _ . 01 _ 1 H 1

    11 T1 A 11 _ 1 10 iii I -1 10 , jm, Z _

    l _,_ _ _' L fr'2 Representar as seguintes fu95 U0 mapa de K3ma9h

    1 Y(a.b.c) = ab + b'c + a'b' + Gb' + bdi viz,b.z.a =# and + abr: + bc'd + bd'

    JmQ..'I_CJ'9L

    v(a,b,,ai = 2i0001,0101,1111,1010,1001_) y(a,b,c,d) = E('2,4,5,6,7,11,14)

    ` y=(3+b)1b'+C'l'C1ifi V = ab(a' + c' + d')

    _ _ _ . " ' ' 2.3. Simplificar mediante o mapa de Karnaugh as fu0e5 do e'''

    _ _ _ . - _ ' f " :4. Simplificar pelo metodo de Quine McClusl

  • 1154

    14,I 0Portos' Logicos

    At agora estudamos as funes booleanas descritas algebricamente. Noscircuitos lgicos, costuma-se indicar tais funes graficamente de modo a torn--las mais simples. i

    A representao grfica das funes booleanas feita mediante simbolospadronizados por normas internacionais chamados blocos ou portas lgicas.

    As portas lgicas so as bases dos circuitos lgicos e tm por finalidade corn-binar as diferentes grandezas booleanas de modo a realizar determinada funo.Cada porta lgica pode ter diferentes linhas de entrada, porm. somente uma linhade sa ida, conforme veremos.

    No decorrer do nosso estudo, trabalharemos com as normas americanasMIL-STD-806B IMILITARY STANDARD) de uso muito freqente na prtica;citaremos as normas da CEI (COMISSION LECTROTECHNIOUE INTERNA-CIONALE) reconhecidos internacionalmente e as normas alems DIN 40700IDEUTSCHE INDUSTRIE NORM). I

    Daremos, a seguir, uma tabela com os circuitos, tabelas-verdade que os de-finem, portas lgicas segundo as normas citadas e funes booleanas correspon-dentes que interessaro ao nosso estudo.

    __-_--:_

    -ie

    ' 1";-'J

    .Li

    1

    fif F U N AOBOOLEANA

    TABELA I L D NCIRCUITO VERDADE iii M i

    -51*l_ D_ :Ep ..z.z,

    13-ID-h :@,_ =iz+izi

    "mn"'Eni:

    I|NvEnsoaNEGAOI fr1

    T_`"`

    TTT;

    ....in-AQQI -*O-#00' _-u_u

    1----IO O

    -i--Ji--_z

    --oc: --*O-*OU' @......_;

    (NAN D)

    -i-@@ -*--\C3U' QDO-*XI

    .i_........l......

    $._ :2 .=1.-...i

    :)D_ :@_ =:i. +1-iz.

    --H-ICDO -no-poa' ;...4Q-

    invertida-uil_1u_v

    -l-*OO -Q-aC)U'

    ----i-1---Ii 1invertida_.._L_...L_...

    '

    -_@ -*O-*O Q--@

    Exclusivo

    L..i............_..i.

  • 1 Exemplo

    Representar mediante portas logicas a funo x =ab

    :i;>_~Soluao29 Exemplo

    Dar o circuito logico correspondente funao z = ab + H b

    Soluao

    z = ab + b

    39 Exemplo

    Determinar a funao correspondente ao circuito logico

    O..'>U'm

    Soluao

    = b+c+d) (h )=

    ~ 11-_ _,_,,,, __._.fvii;f~i -.-..

    ..Vejamos a resoluao de alguns exemplos1137.' i- -

    -faiz: tz,..., ...

    z-.'11 - -__ 7- 1 __- "_+='z.~ I -_ '

    __., 92: _ 1.'-.-_ .. __V . .,._"ama

    z.,.-._-,-_ ._;-.z-;-".~1;_. 1-2;'z '-3-1: .

    ~'.M'_ 3-.

    Soluo _'

    49 Exemplo

    Representar a funo definida pela tabela verdade como circuito logico

    A tabela verdade define a funao

    x =ab0+abc+abc' +abc

    Simplifiquemos a funao

    Ento,x = bc+ab+ac

    E o circuito lgico correspondente ser

    if _

    -@

    ,L._.

    "*CD@@

    --oc:o:---oo-c -aoca5

    ...

    O_

    d -*C3

    -oNil _ 41.

    .nl

    4.....l-ul -ui

    abc+a(bc+bc'+bc)abc+a((b +b)c+bc)abc+a(c+bc)abc+a(c+b)abc+ac+ab(ac+a)b+ac(c+a)b+acbc+ab+ac

  • 59 Exemplo

    ~_./\-'\-/~..../~..~_/-/*Ilfn/-u/*---f

    Soluao

    -.../\_/\-/`\u-/

    Dar o circuito logico correspondente a area hachurada nos circulos de

    A funo correspondente a area hachurada e

    =abc+abc+abc

    Simplificando, obtemos--_

    Portanto, x = ac + bcE o circuito Iog|co procurado e

    C

    ) b

    6 Exemplo:

    Simplificar o circuito logico mediante utihzaao do mapa de Kamaugh

    Ill if

    /,///

    -JD*-JSoluo

    O circuito Iog|co dado corresponde a funao

    = abd + acd + bcd + ab + a cd a quatro variveis e que nao esta na forma normal disiuntiva, faltando uma variavel em quatro de seus termos e duas va

    a (b C + bo) + a be riveis em um de seus termos Usando o teorema expresso por ab + ab = a, temosac+abch+am c(a+b) cac+bc

    = abcd + abcd +abcd +ab cd+abcd+a bcd +abcd +abcd +a bcd +

    que, representada no mapa de Karnaugh, nos d

    null-na *Hum

  • 1. Representar mediante portas lgicas as funes: _

    __-i.-

    donde tiramos a funo simplificada:

    x = ab + cd =. 4,' fi

    .T-__ '*'_'_ --1._-' __

    ;,_?_'.. .'_ ._,._.. _ _.__ _._-i.ii 3-. ._ , _

    ,;.' *a _-_ `-._ 1., ___ -< '_._|;; _-zb ' "iL.'?.._:;~1*.

    1.._ _^;{_-s. `- `

    ;`.1"._x - i-lr ii"

    ~- _ zv;.,-.'-r_,_ -*i::*_-_ .. .`._,_',-~

    ; . 'i.Y'"-ff_- 5-`f. _._~'

    ii'I:'',l-:xK-;:_

    =`*fih-'1' .~~'I_-:

    `,. .d

    ii

    1-57.'

    J-vi,f

    :.

    C _ *_ .d -'- :'i H;_r`-b _:' __;.;.* .?":'_;'| __.;_--__^- '

    gif' ';;;~_~-.`\*~- .z '~: ;''-tl* =f

    .f}:.t;=..\-~~,.-_,..-. _ . f:. ,, .

    ._-\,.'._... .`.-_.~. .,,-.'._ "_,

    _ _ M1. -__.- - ._' - -,~,_zExerccios: i .-.,.._i.- _

    ` ' "`.'e,' ,__| `?`L- 4? ' -

    . "-__ v..'-31'?+ t"4.. `:` 34:,^ z -'=*r?5:'f*`-..

    _ 'I;f'.. .t-"r:.^` _;-ii. z-" -z_1_;-z`=. :U

    '.r'.- - ;.'_ z-zw-'rt

    . ...;.;., .\

    e desenhamos o circuito lgico pedido: ou

    cl 3bj-Cab

    dl

    8C

    el ab

    ab

    (C . lj. _ .b) z = _(a ' b) +z_.\- _

    c x = a + b c + ddl Y = a'bc + ab'c' i

    Dar as tabelas-verdade correspondentes a cada circuito logico.

    3. E a

    x = a + b + c os bfi v +1

    ,_.,,__.i. 'r.'~_ .T _? ;

    ` :HW 1 ;;.`.`-

    - -:--_:-1;

    i b2. Determinar as funes correspondentes aos circuitos lgicos: .- -_;.r..z-._. _-i"f&`--- .z.._ _ '--,z-._.' _ )_,,

    15161* rf: .1 2. :._._.._._-__ _ -a).T_ r. ___l, ._ _* _-a z :z';-.L ~

    ... z. ._' _. _.-;if-_,,___._______- z.-

    ,i_ _.`_ ._ .

    _ 'F .ii

    _~._- ;-'=__-___..q9_*\` _._ ug-.-.:';;.:- f

    bc

    b i ` dl.-`_. .. .-- '_'_ _-*.'.*: `_z;.- __. ._ -.-: --_ -._-.il ,_

    c ` .*;.~:.'a .. '..r_ 2 f_i .-_-- '- .~., _. ,_) Qu._ ___ ','~_=.1 --',- - '-`i' '.'*-_`- `f.'-_ .ha-

    z'. ...'' .

    *iii'-

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    ) M ih __a i160 c _

    _ _. ' ,' =___* -.._

    ab

    ab

    dilviviwwdw

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    M./\-/\/~...z

    lJ))1))_)

    1

    J`)Ji,i

    4 Desenhar os circuitos correspondentes lSmDlf3d5l s t3bla5'Vefdad

    al bl cl --r-1ia b `z_ab lazb_cy ii;_

    0

    1;.i.i...--ic:E.:c:i ...EE-oii ....ci:b-35ci__o

    oo oio -:;c

    call-t:-Deco __;...i.._i{:i

    l _. i _ l]. __ 1

    oo .._. ...S -foo

    ___ 1 .

    ------l--i--1O

    -{- -4doDE-=c:......--t ...-@ _..5_. ._1..._.

    '! a.

    ` O I l ,f Qf 6. Desenhar os circulos de Euler correspondentes aos circuitos logicos:

    a) -

    _ X

    fff? bl.r.._._._i.Li__.-iii-.-gni l li * a? l^ ~ i _ _ b V

    _ _ __ O __ ._ ,

    5 i _ 1 _ _ I O _ _:,;...

    util'-_1\' .z-_ - _ :_ ,_

    :` ,:`-

    _- _*-.

    =I.t{._'__'. '

    E- - - - ' uler.5. Desenhar os circuitos logicos correspondentes aos circulos de E _ b_ _-,z__ N.- .+ -zh;-'-; '- `u.`~ _ "zz. _ -1 1.4- ~is

    'h-of -

    _ zh

    _, \ \ _ '_ ___ 3 ,__ ...__ . _

    a_, b

    t `. -""'. ... ._' ' ru :.' _

    - 51 ln.

    - :+' eu euV

    _ `,-,z_:

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    __ __.;'z_,;_z_-~._z,_= __.'.w_._ _

    - ~ - ' . . , .8) __ _ _7. Simplificar, usando os teoremas da lgebra de Boole, os circuitos Iogicos

    _ __: 1-em 3 _: _div/ " ` -:'f?---=.';_ -_..---'z 163

    --_-*z_''-.; f.J|.f=.2 .ti

    fm-

  • bl8bm zCD

    3

    b .cl

    b

    ab

    ab

    8. Simplificar os circuitos lgicos mediante utilizao do mapa de Karnaugh

    al8b

    3' W __ __* _ ....__ _..C _

    bc

    8 - .

    -::- za' --_"_'__;,; _ ._ _ iii

    .;;'..-_-@*""`f"_* __

    = b)_ `_- L~:1-;'- _ .-

    ; ;=-Z' _1-_.. _

    P*-L. '_'*_&5 "

    b

    c

    cl

    b

    dlal'

    bC

    i 3br

    C

    ai

    Cdr

    3C

    3cl'

    al

    af

    al

    al

    bc

    o.o_crn__

    ' Z

    .ff

    ~....z\-f\.\vur\nr-r..zzc._z'n|v~ufufvd\lVwdnII"d'v|fII'IiJ

    1z

    ~....z-...\-f\-r\-IN..-f

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  • 1l1

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