logica matematica

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Lógica MatemáticaBreve Histórico, Definições

e Conceitos Básicos

Fábio Gondim

fabio.iesp # gmail.com

http://fabio.iesp.googlepages.com

Lógica

A Lógica surge na sua expressão primeira, na obra do filósofogrego Aristóteles (séc. IV a.C.), como uma “Analítica” dasformas da linguagem através das quais se poderia concluircertas afirmações a partir de certas teses estabelecidas.

O que hoje podemos chamar de “Lógica”, enquanto atividadeteórica da investigação, é bastante amplo e, até certo ponto,variável conforme a perspectiva teórica que se possa assumir.

Uma definição razoável seria:

Lógica é o estudo sistemático do pensamento que permiteconstruir raciocínios válidos, e que possibilita distinguir osargumentos corretos dos incorretos.

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Uma boa explicação contida na Wikipédia (http://pt.wikipedia.org )

“A lógica é uma ciência de índole matemática e

fortemente ligada à Filosofia. Já que o pensamento é

a manifestação do conhecimento, e que o

conhecimento busca a verdade, é preciso estabelecer

algumas regras para que essa meta possa ser

atingida. Assim, a lógica é o ramo da filosofia que

cuida das regras do bem pensar, ou do pensar

correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar. A

aprendizagem da lógica não constitui um fim em si.

Ela só tem sentido enquanto meio de garantir que

nosso pensamento proceda corretamente a fim de

chegar a conhecimentos verdadeiros. (continua...)3

Podemos, então, dizer que a lógica trata dos argumentos,

isto é, das conclusões a que chegamos através da

apresentação de evidências que a sustentam. O principalorganizador da lógica clássica foi Aristóteles, com sua obra

chamada Organon. Ele divide a lógica em formal e

material.

A Lógica Formal, também chamada de Lógica Simbólica,

preocupa-se, basicamente, com a estrutura do raciocínio.

A Lógica Formal lida com a relação entre conceitos e

fornece um meio de compor provas de declarações. NaLógica Formal os conceitos são rigorosamente definidos, e

as sentenças são transformadas em notações simbólicas

precisas, compactas e não ambíguas.” (...)

Para ler o resto do artigo visite o endereço:http://pt.wikipedia.org/wiki/Lógica (com acento)

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Lógica: surgimento da palavra

Originada na Filosofia grega, onde:

Logos Linguagem-discurso e pensamento-conhecimento.

Conduziu os filósofos a indagarem se o logos obedecia ou não a regras, possuía ou não normas, princípios e critérios para o seu funcionamento.

Lógica

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Personagens e Períodos Históricos

Período Aristotélico ( +/- 390 a +/- 1840 d.C.)

Aristóteles (384 - 322 a.C)

Gottfried Leibniz (1646-1716)

Período Booleano (+/- 1840 a +/- 1910)

George Boole (1815-1864)

Augustus de Morgan (1806-1871)

Gotlob Frege (1848-1925)

Giuseppe Peano

Período atual (1910-...)

Bertrand Russel (1872-1970)

David Hilbert (1862-1943)

Kurt Gödel (1906-1978) , Tarski (1902-)6

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Conceitos Básicos

Proposição:

Na lógica proposicional é uma expressão, verbal ousimbólica, suscetível de ser dita verdadeira ou falsa. É,portanto, todo o conjunto de palavras ou símbolos queexprimem um pensamento de sentido completo. Para tantodeve ser uma declaração afirmativa ou negativa nãopodendo ser imperativa, exclamativa ou interrogativa.

Ex: O ano de 2008 é bissexto.

Não foi concluída a obra.

“Joaquim, vá estudar sua lição” é imperativa logo não é umaproposição. “Qual foi o resultado da loteria?” é interrogativa logo,também não é uma proposição.

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Princípios Fundamentais da Lógica Proposicional

A lógica matemática adota como regras fundamentais osseguintes princípios ou axiomas:

(I) PRINCÍPIO DA IDENTIDADE - Aquele que afirma aidentidade de determinada coisa com ela mesma. Pode serassim enunciado: Toda coisa é o que é.

(II) PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: Uma proposição nãopode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

(III) PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Qualquerproposição é verdadeira ou falsa, não podendo ser nada maisdo que isso.

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Proposição simples ou atômica:

É aquela que não contém nenhuma outraproposição como parte integrante de simesma.

Exemplos:

1) A lua é quadrada.

2) A lua é redonda.

Veja pelos exemplos acima que umaproposição pode ser falsa (A lua é quadrada)ou verdadeira (A lua é redonda).

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Proposição composta ou molecular:

É aquela que contém pelo menos uma outraproposição mais simples que ela mesma.

Exemplo:

Pedro estuda e trabalha.

Equivale a:

Pedro estuda e Pedro trabalha.

É a conjunção de duas proposições simples,logo a conclusão dependerá do resultado deambas.

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Proposição fechada:

É aquela que podemos garantir com todacerteza que é verdadeira ou que é falsa.

Ex.: 5 + 5 = 10.

Proposição aberta:

É aquela que contém uma variável, umelemento desconhecido, e, portanto nãopodemos tirar nenhuma conclusão sobre oseu resultado.

Ex.: x + 5 = 10.11

Modos de Negação de uma proposição:

Antepondo-se a expressão “não” ao seu verbo:

Jorge gosta de mamão.

Jorge não gosta de mamão.

Retirando-se a negação antes do verbo:

Paulo não é dentista.

Paulo é dentista.

Substituindo-se um termo da proposição por umantônimo:

A casa é bonita.

A casa é feia.12

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Negação de “Todo”:

Considere a afirmação:

Todo gato come alface.

Se você quiser negar esta afirmação não deveráargumentar que nenhum gato come alface. Existindo umgato que não come alface já muda o resultado daafirmação feita.

Portanto a negação será:

Algum gato não come alface.

Ou se preferir:

Pelo menos um gato não come alface.

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Negação de “Nenhum”:


Nenhum gato come alface.

Se você quiser negar esta afirmação não deveráargumentar que todo gato come alface. Existindo umgato que coma alface já muda o resultado da afirmaçãofeita.


Algum gato come alface.

Ou se preferir:

Pelo menos um gato come alface.

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Negação de “Algum”:


Algum gato come alface.

Está sendo argumentado que pelo menos um gatocome alface. Neste caso será necessário que nenhumgato coma alface para negar a afirmação que pelomenos um o faz.


Nenhum gato come alface.

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Argumento:Raciocínio, indício ou prova pelo qual se tira

uma conseqüência ou dedução (DicionárioAurélio).

Um argumento é um conjunto de proposiçõesem que se pretende justificar ou defenderuma delas, a conclusão, com base nasoutras, que se chamam premissas.

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Paradoxo (antinomia):Considere a sentença:

Esta sentença não é verdadeira.

Há duas opções: A sentença é verdadeira ou é falsa.

Suponha que a sentença seja verdadeira. Então,chegamos ao resultado de que a sentença é falsa.

Agora suponha que a sentença seja falsa. Então,contraditoriamente chegamos ao resultado de que asentença é verdadeira.

Em ambos os casos, chega-se a conclusão de que asentença é verdadeira e falsa.

Este tipo de paradoxo ficou conhecido como paradoxo domentiroso e foi descoberto pelo filósofo grego Eubúlidesde Mileto (384-322 a.C.).

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Um paradoxo que é muito encontrado em livros e sites da internet (com

pequenas variações) é o paradoxo da prova surpresa:

“Imagine que o período letivo acabe no próximo dia 30. Dez dias antes,

o professor ameaça os alunos, dizendo que até o fim desse período

letivo haverá uma prova surpresa.”

“Porém é impossível a aplicação dessa prova surpresa: a prova não

pode ser no dia 30, que é o último dia de aula, pois, no fim do dia 29,

não havendo ela ocorrido, ainda, os alunos já saberiam que a prova

seria no dia 30 (e assim não seria mais surpresa). Sendo assim, o dia

29 passa a ser o último dia possível para que o professor aplique uma

prova surpresa. Mas então, no fim do dia 28, os alunos já saberão que a

prova seria no dia 29, e ela deixaria de ser surpresa. Esse raciocínio

pode ser estendido dia por dia, de forma que não resta ao professor

nenhum dia para a aplicação de uma prova realmente surpresa.”

Por este raciocínio é impossível a aplicação da prova surpresa, mas se

ela for aplicada no dia 25, por exemplo, terá sido sim uma surpresa,

pois os alunos não sabiam que seria naquele dia. 18

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Paradoxo (definição):“São raciocínios em que se parte de enunciados não-contraditórios, mas as conclusões feitas sãocontraditórias. Um paradoxo demonstra tanto averacidade quanto a falsidade de um argumento.”

Henrique Rocha no livro Raciocínio Lógico(ver bibliografia)

De acordo com o dicionário Aurélio:

1.Conceito que é ou parece contrário ao comum; contra-senso, absurdo, disparate. (...)

5.Lóg. Dupla implicação entre uma proposição e suanegação, que caracteriza uma contradição insolúvel. (...)

6.Lóg. Dificuldade na conclusão de um raciocínio, sejapela vaguidade dos termos das suas proposições, sejapela insuficiência dos instrumentos lógicos formais. (...)

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Sentenças auto-referentes:

Assim como as sentenças imperativas,exclamativas e interrogativas, as sentenças

auto-referentes, que se referem ao seu

próprio valor verdade, também, devem serevitadas. Este tipo de sentença pode resultarem paradoxos e impedir a atribuição de umvalor verdade, como visto anteriormente noexemplo: “Esta sentença é falsa”.

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Ambigüidade:Segundo o dicionário Aurélio:

1.Qualidade ou estado de ambíguo. (...)4.Lóg. Sofisma verbal.

Ambíguo:

1.Que se pode tomar em mais de um sentido;equívoco. (...)

Ex: Considera a sentença abaixo:Vejo uma amiga na praia com os meus binóculos.Quem está com os binóculos? O interlocutor ou aamiga dele? Veja que a frase fica aberta a duasinterpretações. É ambígua.

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Alguns Tipos de Raciocínios

O saco de feijões de Peirce

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Alguns Tipos de Raciocínio

Os exemplos, a seguir,

foram empregados

pelo filósofo, cientista

e matemático norte-

americano, Charles

Sanders Peirce (1839-

1914) .PEIRCE C. S. Collected Papers of

Charles Sanders Peirce, edição de

Charles Hartshorne, Paul Weiss e

Arthur W. Burks, 8 vol., Cambridge

(Massachusetts), Harvard University

Press, 1931-1966.

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DeduçãoRegra: Todos os feijões deste saco são brancos.Caso: Estes feijões provêm deste saco.

Resultado: ?

InduçãoRegra: Estes feijões provêm deste saco.Caso: Estes feijões são brancos.

Resultado: ?

AbduçãoRegra: Todos os feijões deste saco são brancos.

Caso: Estes feijões são brancos.Resultado: ?

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Dedução (O resultado representa uma certeza)Regra: Todos os feijões deste saco são brancos.

Caso: Estes feijões provêm deste saco.

Resultado: Estes feijões são brancos.

Indução (O resultado representa uma probabilidade)Regra: Estes feijões provêm deste saco.

Caso: Estes feijões são brancos.

Resultado: Todos os feijões deste saco são brancos.

Abdução ou Apagogia (O res. rep. uma hipótese)Regra: Todos os feijões deste saco são brancos.


Resultado: Estes feijões provêm deste saco. 25

Dedução (O resultado representa uma certeza)Regra: Todos os feijões deste saco são brancos.

Caso: Estes feijões provêm deste saco.


Indução (O resultado representa uma probabilidade)Regra: Estes feijões provêm deste saco.



Abdução ou Apagogia (O res. rep. uma hipótese)Regra: Todos os feijões deste saco são brancos.


Resultado: Estes feijões provêm deste saco. 26

Dedução

Geral: Todos os feijões deste saco são brancos.

Particular: Estes feijões provêm deste saco.


Na dedução a partir de um conjunto de proposições,chamadas premissas, se tira, por inferência, umaoutra, chamada conclusão.Neste tipo de raciocínio se caminha do geral para oparticular, do todo para a parte, para daí chegar a umresultado.Em um argumento dedutivo válido, se as premissasforem verdadeiras é impossível que a conclusão sejafalsa. Analise o exemplo acima e verifique que se asduas primeiras proposições forem verdadeiras aconclusão também será.

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Indução

Regra: Estes feijões provêm deste saco.



Neste tipo de raciocínio a verdade das premissas não bastapara assegurar a verdade da conclusão. Apesar de haver umarelação entre as premissas, note que o fato de ter tiradoapenas feijões brancos não garante que todos os feijões nosaco sejam da mesma cor. No entanto, quanto maior aamostra de feijões exclusivamente brancos retirados do sacomaior a probabilidade da conclusão acima ter sido correta.Mas certeza absoluta só teremos se tirarmos todos os feijõesdo saco. Neste curso veremos a lógica proposicional que nãotrata deste tipo de problema. Este tipo de raciocínio éestudado na estatística e outros tipos de lógica (ex.: lógica depredicados). 28

Abdução

Regra: Todos os feijões deste saco são brancos.


Resultado: Estes feijões provêm deste saco.

Veja que analisadas as duas premissas iniciais não existenenhuma relação que comprove a conclusão. Podemoschegar, apenas, a conclusão que é possível que os feijõesprovenham do saco, e levantarmos uma hipótese que deveráser investigada.A abdução é o processo de criação de uma hipóteseexplicativa. É a única operação lógica que apresenta umaidéia nova. A Dedução prova que algo deve ser; a Induçãomostra a probabilidade de ser; a Abdução simplesmentesugere que alguma coisa pode ser.

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Silogismo: noções básicas

Silogismo é uma forma de raciocínio dedutivo emque, partindo-se de certas informações, infere-seuma determinada conclusão. Nos silogismoscategóricos, formais ou regulares são postas duasproposições, chamadas premissa maior epremissa menor, e delas, por inferência, se tirauma terceira, chamada conclusão. A premissamaior é a premissa geral de maior extensão e quevem geralmente citada primeiro. A premissa menoré a premissa mais particular que vem geralmenteem segundo.

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Silogismo

Exemplo clássico:

Premissa maior: Todos os homens são mortais;Premissa menor: Sócrates é homem;Conclusão: Sócrates é mortal.

Ou seja:

Quando são dadas as seguintes proposições:Todos os homens são mortais.Sócrates é homem.

A conclusão a que podemos chegar é:Sócrates é mortal.

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Falácia: Paralogismos e Sofismas

Falácia é um falso raciocínio lógico com aparência deverdadeiro. O termo deriva do verbo latino fallere, quesignifica enganar. Algumas falácias são cometidasinvoluntariamente e, neste caso, são denominadasparalogismos; outras, elaboradas com o objetivo deconfundir, são denominadas sofismas. As falácias podemser elaboradas com base em premissas falsas oupremissas verdadeiras que, por representarem casosespecíficos (e não gerais), não podem ser generalizadas.Ex.:

Premissa 1: Eu sou mortal;Premissa 2: Sócrates é mortal;Conclusão: Todos os homens são mortais.

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Estes livros fazem parte do

acervo de nossa biblioteca.

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Bibliografia• ABE, Jair Minoro; SCALZITTI, Alexandre; FILHO, João I. da Silva.

Introdução à lógica para a ciência da computação. São Paulo: Arte &Ciência, 2002.

• ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à lógica matemática. São Paulo:Nobel, 2002.

• AZEREDO, Vânia Dutra de. Introdução à Lógica. 3. ed. Ijuí: Unijuí, 2004.

• DAGHLIAN, Jacob. Lógica e álgebra de Boole. 4. ed. São Paulo: Atlas,2006.

• ROCHA, Enrique. Raciocínio lógico. Rio de Janeiro: Elsevier, 2006.• SILVA, Flávio S. Corrêa da; FINGER, Marcelo; MELO, Ana C. Vieira de.

Lógica para computação. São Paulo: Thompson Learning, 2006.• SOUZA, João Nunes de. Lógica para ciência da computação.

Rio de Janeiro: Elsevier, 2002.

• Notas de Aulas do Professor Edson Holanda.

• Novo Dicionário Eletrônico Aurélio versão 5.11a.• Pesquisas em sites voltados para o estudo da Filosofia, Lógica, Matemática

e Computação.34

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