logica digital

Matemática aplicada – prof.Renato A. Toledo

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Exercícios complementares

1.Passe para a base 2 os seguintes números:

a) 29

b) 75

c) 120

d) 2578

e) 40038

f) 11048

g) 29516

h) 3D916


20

20

2.Passe para a base 10 os seguintes números:

a) 10001112

b) 1100110112

c) 2358

d) 1418

e) 2C516

f) 110B16


21

21

3º) Efetue:

a) 1110012 + 1011112

b) 110011012 + 1010112

c) 110012 - 101102

d) 1000112 - 111112

e) 1101102 x 112

f) 10111012 x 1012

g) 1001102 : 110012

h) 11111012 : 110012


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CONCEITOS BÁSICOS DE LÓGICA DIGITAL

Boa parte das operações realizadas por um computador digital são simples operações

aritméticas na forma binária. Essas operações são realizadas fisicamente por circuitos eletrônicos

que recebem o nome de circuitos lógicos.Os circuitos do computador na maioria é constituído por

resistências, condensadores, diodos, transistores, etc, na sua maioria implementado em circuitos

integrados , miniaturizado e introduzido em pequenas cápsulas de silício configurando os circuitos

lógicos.

Os sistemas lógicos são estudados pela álgebra desde o século XIX pelo matemáticos inglês

George Boole, por isso ser chamada de álgebra Booleana. Boole codificou proposições, enunciados

em verdadeiros ou falsos, através de uma linguagem simbólica. Posteriormente, percebeu-se que a

álgebra de Boole descrevia dois estados verdadeiro ou falso, ou nos circuitos lógicos ligado ou

desligado ( alta ou baixa tensão). Para entendermos melhor os circuitos lógicos que virão,

faremos uma comparação com as chaves empregadas em circuitos elétricos, as quais apresentam

duas possibilidades: chave aberta (0) ou chave fechada (1). Operações lógicas

Basicamente, as relações entre as variáveis lógicas são estabelecidas através de três

operações lógicas:

Soma ( função or ) representada pelo símbolo (+)

Produto ( função and ) representada por um ponto (.) Inversão ( função not) que pode ser representada por uma barra sobre a variável ou um

apóstrofe junto a variável.

Função and

Considere o circuito abaixo:

Podemos agora fazer a representação da função and através de uma tabela verdade com

todas as possíveis combinações para as chaves A e B e o respectivo valor de saída, representado

pela lâmpada L.

A B A . B 0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Chave aberta (0) Chave fechada (1)

A B

L

Podemos perceber pelo esquema ao lado que a

lâmpada L , só acenderá se as chaves A e B

estiverem fechadas.

Perceba que A . B = L , onde

percebemos que a lâmpada só acendeu

quando as duas chaves estavam

fechadas.


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23

Função or


Podemos agora fazer a representação da função or através de uma tabela verdade com todas

as possíveis combinações para as chaves A e B e o respectivo valor de saída, representado pela

lâmpada L.

A B A + B 0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Função not


Tabela verdade

Portas lógicas

A L

0 1

1 0

Podemos perceber pelo esquema ao lado que a

lâmpada L , só acenderá se uma ou ambas as

chaves A e B estiverem fechadas.

Perceba que A + B = L , onde

percebemos que a lâmpada só ficou

apagada quando as duas chaves

estavam abertas.

A

B

L

A Neste caso a lâmpada acenderá

somente se a chave A estiver

aberta.

Representação: L = A ,

A

B A . B A

B A + B

AND OR

A A ,

NOT


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24

ÁLGEBRA BOOLEANA A álgebra Booleana trabalha somente com os valores 0 e 1 ( verdadeiro ou falso). O estudo

da álgebra de Booler é muito importante para a compreensão dos circuitos lógicos, muito utilizados

nos computadores digitais.

Já vimos os operadores and , or e not, que aceitam entradas gerando saídas definidas.

Observe agora algumas propriedades definidas na álgebra para as variáveis Booleanas A e B:

A + 0 = A A . A = A

A + 1 = 1 A . A’= 0

A + A = A A . B = B . A

A + A’= 1 A + B = B + A

A . 1 = A ( A + B ) + C = A + ( B + C )

A . 0 = 0 A . ( B + C ) = A . B + A . C

Funções Booleanas As funções Booleanas trabalham com variáveis Booleanas e operadores lógicos que podem

ser transformados através de todas as possibilidades de 0 e 1, atribuídos as variáveis, em tabelas

verdades e circuitos lógicos.

Exemplos: Dada a função Booleana F = A . B + A' temos:

Tabela verdade

A B A' A . B F = A . B + A'

0 0 1 0 1

0 1 1 0 1

1 0 0 0 0

1 1 0 1 1

Circuito lógico

A

B


25

25

Observe mais esse exemplo:

Dada a função Booleana F = A . B + B' . C temos:

Tabela verdade

A B C B' A . B B' . C F = A . B + B' . C 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1

Circuito lógico Obs.: Perceba que quando tinhamos duas variáveis Booleanas ficamos com quatro combinações

possíveis e no caso de três variáveis Booleanas ficamos com oito combinações.

Simplificação de funções Booleanas Em alguns casos é interessante simplificar a função Booleana antes de construir a tabela

verdade e o circuitro lógico. Essas simplificações não alteram a saída só facilitam a construção da

tabela verdade e do circuito lógico.

Exemplos:

Simplifique as seguintes expressões Booleanas:

a) A + A . B = A . ( 1 + B ) = A . 1 = A

b) A . B + A . B' = A . ( B + B' ) = A . 1 = A

A

B

C

1

1


26

26

Exercícios 1. Simplifique as seguintes expressões Booleanas:

a) A . B + B

b) A . C + A' . C

c) A . ( A' + B )

d) A . B + A . C + A

e) X . ( X' + Y ) + Y f) ( X + Y ) . ( Y + X' ) g) ( X + Y' ) . X' . Y' . Z' 2. Sabendo que X e Y são variáveis Booleanas, prove através da tabela verdade que:

a) ( X + Y )' = X ' . Y '

b) ( X . Y ) ' = X' + Y'

3.Através das propriedades Booleanas vistas, mostre que:

a) X + Y . Z = ( X + Y ) . ( X + Z )

b) X' + X . Y = X' + Y


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27

4. Nas tabelas abaixo determine a expressão Booleana representada pela função F:

a) b)

A B F

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

5. Elabore a tabela verdade para as seguintes expressões Booleanas:

a) A . B + B'

b) A . B' + A' . B

c) B . ( A' + B )

d) A . C + A' . B

A B F

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0


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28

6. Elabore um circuito lógico para cada uma das funções Booleanas abaixo:

a) A . B + B'

b) (A + B' ) . ( A' + B )

c) ( A' + B ) . (B + C' )

d) ( A + B' ) . C + D

e) [ ( A' + B ) . ( C' + D ) ]'


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29

7. Determine a tabela verdade e a expressão Booleana correspondente a cada circuito lógico

abaixo:

a)

b)

A

B

C

A

B


30

30

c)

8. Nos quartos e nas escadas das residências, normalmente, são colocados dois interruptores que

acendem e apagam a mesma lâmpada. O princípio de funcionamento desses interruptores é o

seguinte: Se os dois interruptores estiverem ligados ou desligados a lâmpada não acende. A

lâmpada só acenderá se um interruptor estiver ligado e outro desligado. Com base nessas

informações , construa uma tabela verdade, determine a função Booleana e construa o circuito

lógico que represente o controle da lâmpada citada acima.

C

A

B

logica digital

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