logica a discreta fasciculo web-sem4

Mtodos e Estratgias de Estudo Lgica e Matemtica Discreta

45

LGEBRA DAS PROPOSIES

Agora, que j aprendemos muito sobre proposies, estamos preparados para aprender sobre a lgebra das proposies.

6.1 PROPRIEDADES DA CONjUNOSejam p, q e r proposies simples quaisquer e sejam t e c proposies tambm simples, cujos valores lgicos respectivos so V (verdade) e F (falsidade) (ALENCAR FILHO, 2003). (a) Idempotente : p p V F p V F p p p p p V V p

(b) Comutativa : p p V V F F q V F V F

q p V F F F q

q

p q V F F F p p q V V V V q p

46 Vanessa Battestin Nunes

(c) Associativa : (p p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F p q V V F F F F F F

q)

r

p

(q q r V F F F V F F F

r) p (q V F F F F F F F r) (p q) r p (q r) V V V V V V V V

(p q) r V F F F F F F F

As colunas 5 e 7 so equivalentes (d) Identidade : p p V F t V V c F F t p V F pep t p F F c c c p t V V p p c V V c

As colunas equivalentes so 1, 4 e 3, 5.

6.2 PROPRIEDADES DA DISjUNOSejam p, q e r proposies simples quaisquer e sejam t e c proposies tambm simples cujos valores lgicos respectivos so V (verdade) e F (falsidade) (ALENCAR FILHO, 2003). (a) Idempotente : p p V F p V F q q V V V F p p p p V V q p p p

(b) Comutativa : p p V V F F q V F V F p V V V F q

p p q V V V V q p

47 Lgica e Matemtica Discreta

(c) Associativa : (p p V V V V F F F F q V V F F V V F F

q)

r

p q) V V V V V V V F

(q r q

r) r p V V V F V V V F (q V V V V V V V F r) (p q) r V V V V V V V V p (q r)

r p q (p V V F V V V F V V V F V V F F F

As colunas 5 e 7 so equivalentes (d) Identidade : p p V F t V V c F F t p V V tep t p V F c c p p t V V p p c V V c

As colunas equivalentes so 1, 5 e 2, 4.

6.3 PROPRIEDADES DA CONjUNO E DA DISjUNO(a) Distributivas (i) p p V V V V F F F F (q q V V F F V V F F r) r V F V F V F V F (p q V V V F V V V F q) r p (p r) (q V V F F F F F F r) p V V V F F F F F q p V F V F F F F F r (p q) V V V F F F F F (p r)

As colunas 5 e 8 so equivalentes


(ii) p p V V V V F F F F

(q q V V F F V V F F

r)

(p

q)

(p (q V V V V V F F F

r) r) p V V V V V V F F q p V V V V V F V F r (p q) V V V V V F F F (p r)

r q r p V V F F V F F F V V F F V F F F

As colunas 5 e 8 so equivalentes (b) Absoro (i) p p V V F F (p q V F V F q) p V V V F p q p (p V V F F q) p (p q) V V V V p

As colunas 1 e 4 so equivalentes (ii) p p V V F F (p p V F V F q) p q V F F F p p (p q) V V F F p (p q) V V V V p

As colunas 1 e 4 so equivalentes (c) Regras de DE MORGAN (1806 1871) Com De Morgan pode-se colocar a negao associada a cada uma das proposies, sejam elas conjunes ou disjunes ou seja (ALENCAR FILHO, 2003): (i) ~ (p q) ~ p ~ q ( ex. No verdade que a rua est molhada e tambm suja equivale a dizermos que ou a rua no est molhada ou no est suja.)


Explicando o exemplo, quando montamos uma conjuno ela formada por duas proposies que ocorrem ao mesmo tempo. Para que uma conjuno formada por duas proposies seja F, uma das duas proposies falhou. p V V F F q V F V F p V F F F q ~(p F V V V q) ~p F F V V ~q F V F V ~p F V V V ~q

As colunas 4 e 7 so equivalentes ~ p ~ q (ex. No verdade que eu tirei mais de (ii) ~ (p q) 5 na prova ou que eu tirei menos de 3 na prova. Equivale dizer que eu no tirei mais de 5 na prova e tambm no tirei menos que 3 na prova. Explicando o exemplo, quando temos uma disjuno, uma das duas proposies verdadeira. Para que eu negue uma disjuno, no basta apenas uma ser falsa, as duas devem ser falsas. p V V F F q V F V F p q V V V F ~(p q) F F F V ~p F F V V ~q F V F V ~p ~q F F F V

As colunas 4 e 7 so equivalentes

Regras de De Morgan: (i) Negar que duas preposies so ao mesmo tempo verdadeiras equivale a afirmar que uma pelo menos falsa. (ii) Negar que pelo menos uma de duas preposies verdadeira equivale a afirmar que ambas so falsas.


6.4 NEGAO DA CONDICIONALComo p q ~ p q (ex. Se choveu ento a rua est molhada. Ou no choveu ou a rua est molhada.), temos (ALENCAR FILHO, 2003): ~( p q) ~( ~p q) ~~ p ~q, ou seja, ~( p ~q, como se pode ver na tabela-verdade abaixo: p V V F F q V F V F p V F V V q ~(p F V F F q) ~q F V F V p ~q F V F F q) ) p

q no possui as propriedades idempotente, A condicional p comutativa e associativa, pois as tabelas-verdade de p p, p qeq p, (p q) rep (q r) no so idnticas.

6.5 NEGAO DA BICONDICIONALComo p p ~(p ~(p ~(p q q) q) q) q (~p (p q) q) (~q q) ~q) ~q) (q (q p), temos (ALENCAR FILHO, 2003):

p), e, portanto: ~(~q (~~q ~p) p) ~p)

~(~p (~~p (p

Como se pode ver na tabela-verdade abaixo: p V V F F q V F V F p V F F V q ~(p F V V F q) ~q F V F V p ~q F V F F ~p F F V V ~p q F F V F (p ~q) (~p q) F V V F


A tabela verdade das proposies ~(p so idnticas p V V F F q V F V F p V F F V q) p q ~(p F V V F ~q q) ~q F V F V ~p

q), p

~q, ~p

q

p F V V F q

~q

~p F F V V

~p F V V F

q

Portanto, ~(p

q no possui a propriedade idempotente, A bicondicional p pois as tabelas-verdade de p p e p no so idnticas.

6.6 EQUIVALNCIAS NOTVEISNos prximos captulos, utilizaremos as seguintes equivalncias: 1. Idempotncia (ID): p ^ p 2. Comutao (COM) : p ^ q p; p p p q q p (p T q) r

q ^p; p

3. Associao (ASSOC): (p ^ q) ^ r p (q r)

p ^ ( q ^ r) ;

p; p^C C; p 4. Identidade (IDENT): p ^ T C p obs.: T = Tautologia e c: Contradio 5. Distributiva (DIST): p ^ ( q (p q) ^ ( p r) 6. Absoro (ABS): p ^ (p q) r) (p ^ q) p; p ~p ~p q ~q; q

T; p (q ^ r)

(p ^r); p p q)

(p ^ q) ~(p

7. De Morgan (DM): ~( p ^q) 8. Condicional (COND): p q 9. Bicondicional (BICOND): p ( p ^q) v (~p ^~q) 10. Contraposio (CP): p q 11. Dupla negao (DN): ~~p

~p ^ ~q

(p q) ^ (q p); p

q

~q ~p p p (q r)

12. Exportao Importao (EI): p ^ q r


Para exercitar, vamos realizar algumas das atividades propostas por (PINHO, 1999, p. 75): 1. Demonstrar as propriedades comutativa e associativa da bicondicional, isto : (a) p q q p (b) (p (q q) r) r p

2. Demonstrar, por tabelas-verdade, as equivalncias: (a) p (b) p q q r r (p (p q) q) (p (p r) r)

3. Dar, em linguagem corrente, a negao das seguintes proposies: (a) O cu azul e as nuvens so brancas. (b) falso que no est frio ou chovendo. (c) No verdade que Maria faz informtica, mas no medicina. 4. Demonstrar as seguintes regras de De Morgan: (a) ~(p (b) ~(p q q r) r) ~p ~p ~q ~q ~r ~r

Para maior compreenso, ler o captulo 7 lgebra das Proposies do livro ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciao Lgica Matemtica. So Paulo: Nobel, 2003.

Mtodos e Matemtica de Estudo Lgica e Estratgias Discreta

53

MTODO DEDUTIVO

Vamos dar um grande passo agora: realizar demonstraes por meio de proposies. Isso muito importante, inclusive, na nossa vida, para conseguirmos deduzir solues dos problemas do dia-a-dia.

At o momento fizemos demonstraes por intermdio de tabelasverdade, que podem ser utilizadas para mostrar que um argumento vlido ou invlido. No entanto, esse mtodo apresenta dois srios inconvenientes (PINHO, 1999): Em primeiro lugar, o nmero de linhas cresce muito rapidamente, medida que aumenta o nmero de proposies simples envolvidas no argumento. Por exemplo, com 10 proposies a tabela necessita de 1024 linhas, e com 11, o nmero de linhas vai a 2048. Com mais umas poucas proposies, sua construo se torna impraticvel. A segunda restrio ainda pior. No Clculo de Predicados, que veremos mais tarde, muitas vezes no existe um procedimento que permita estabelecer o valor lgico de uma dada afirmao, o que torna impossvel a construo da Tabela Verdade. Por esse motivo foram desenvolvidos outros mtodos para que se possa mostrar a validade de um argumento. Tais mtodos so chamados mtodos dedutivos, cuja aplicao se chama deduo. Segundo Descartes, o mtodo dedutivo um mtodo lgico que pressupe e existncia de verdades gerais j afirmadas e que sirvam de base (premissas) para se chegar, por meio dele, a conhecimentos novos. Em termos mais formais, o conceito de deduo pode ser apresentado da seguinte forma:

Dado um argumento P1 P2 ... Pn Q chama-se demonstrao ou deduo de Q a partir das premissas P1 , ... Pn, a seqncia finita de proposies X1, X2, ... Xk, tal que cada Xi ou uma premissa ou decorre logicamente de proposies anteriores da seqncia, de tal modo que a ltima proposio Xk seja a concluso Q do argumento dado (PINHO, 1999).


Cada proposio Xi que inclumos na seqncia deve decorrer logicamente das anteriores; isso significa que deve ser obtida atravs da atuao de equivalncias ou inferncias sobre uma proposio ou uma conjuno de proposies anteriores. Se for possvel obter a concluso Q com base no procedimento de deduo, o argumento vlido; caso contrrio, no vlido. Assim, se todas as premissas so verdadeiras, a concluso deve ser verdadeira. O processo de deduo consiste basicamente dos seguintes passos (PINHO, 1999): Dado um argumento: P1 P2 ... Pn Q

Definimos o conjunto P constitudo pelas premissas {P 1, P2, ..., Pn}; Fazemos atuar equivalncias e inferncias conhecidas sobre um ou mais elementos do conjunto, obtendo novas proposies, e incluindo-as no conjunto P; Repetimos o passo acima at que a proposio includa seja o conseqente Q.

7.1 ExEMPLOSA seguir vamos ver alguns exemplos de demonstraes usando o mtodo dedutivo. Aqui, T representar tautologias e C contradies (ALENCAR FILHO, 2003). (1) Demonstrar a implicao: p q p (Simplificao) Se p q p, ento p q p uma tautologia. Assim:~q T ~q T

Demonstrao: p q p ~(p q) p (~p ~q) p (~p p) (2) Demonstrar a implicao: p p v q (Adio) Demonstrao: p p q ~p (p q) (~p p) q T q T (3) Demonstrar a implicao: (p q) p q (Modus ponens) Demonstrao: (p q) p q ~((p q) p) v q ~((~p v q) p) vq ~(~p v q) v ~p v q (p ^ ~q) v ~p v q (p ^ ~q ) v ~(p ^ ~q) T

(4) Demonstrar a implicao: (p q) ~q ~p (Modus tollens) Demonstrao: (p q) ~q (~p q) ~q (~p ~q) (q ~q) (~p ~q) C ~p ~q ~p


(5) Demonstrar a equilvalncia: p ^ q r p (q r) Se p ^ q r p (q r), ento aplicando as regras de equilvalncia em p ^ q r chegamos a p (q r). Assim: Demosntrao: p ^ q r (p ^ q) v r p v ~q v r p v (q r) p (q r)

7.2 REDUO DO NMERO DE CONECTIVOS

Teorema: entre os cinco conectivos fundamentais (~, , , , ) trs so expressados em termos de apenas dois dos seguintes pares: (1) ~ e (2) ~ e (3) ~ e

7.3 FORMA NORMAL

Uma proposio est na forma normal (FN) se e somente se contm os conectivos ~ , e (ALENCAR FILHO, 2003). Existem dois tipos de FN: Forma Normal Conjuntiva Forma Normal Disjuntiva

7.4 FORMA NORMAL CONjUNTIVA (FNC)

Uma proposio est na forma normal conjuntiva (FNC) se e somente forem verificadas as seguintes condies (ALENCAR FILHO, 2003): Contm apenas conectivos ~ , e ~ no aparece repetido, como ~~ e no tem alcance sobre e como em ~(p ^ q) no tem alcance sobre (no existe p (q r))


Esto na FNC.:p ^q pvqvr ~p ^ ~q

Como transformar uma proposio em outra, equivalente, na FNC? 1. Elimine os conectivos -> e substituindo:p q por ~p v q pq por (~p v q) ^(p v ~q)

2. Elimine as duplas negaes e a negao de parnteses substituindo: ~~ p por p~ (p q) por ~ p ~ q ~ (p q) por ~ p ~ q

3. Substitua p (q r) por (p q) (p r )

7.5 FORMA NORMAL DISjUNTIVA (FND)

Uma proposio est na forma normal disjuntiva (FND) se e somente so verificadas as seguintes condies (ALENCAR FILHO, 2003): Contm apenas conectivos ~ , ^ e V ~ no aparece repetido, como ~~ e s incide sobre letras proposicionais ^ no tem alcance sobre v (no existe p ^ (q v r) )

Esto na FND: p^q^r p v ~q p v (q ^ r) Como transformar uma proposio em outra, equivalente, na FNC? 1. Use as duas primeiras regras para FNC


2. Substituap (q r) por (p q) (p r ) (p q ) r por (p r) (q r )

7.6 DUALIDADESeja P uma proposio que s contem os conectivos ~, e . A proposio Q obtida de P trocando por e trocando por denominada dual de P. P: ~(p q) ~r Dual de P: ~(p q) ~r Princpio da dualidade: Se P1 e P2 so duas proposies equivalentes ento as duais Q1 e Q2 tambm so equivalentes.

Para exercitar, vamos realizar algumas das atividades propostas por (PINHO, 1999, p. 85: 1. Demonstrar as equivalncias:(a) p (p q) p (b) p (p q) p

2. Simplificar as proposies:(a) ~(p ~q) (c) (p q) ~p (b) ~(~p q) (d) (p q) (p q)

3. Use o mtodo dedutivo para demonstrar:(a) p p q (c) ~p p p (b) p p q p q (d) (p q) (p r) p q r

4. Determinar uma FNC para as proposies:(a) p q (c) (p p) (q q) (b) p ~p (d) (~p q) q

5. Determinar uma FND para as proposies:(a) p q (c) (p q) p (b) ~(~p ~q) (d) p ~p


Para maior compreenso, ler o captulo 8 Mtodo Dedutivo do livro Alencar Filho, Edgard de. Iniciao lgica matemtica. So Paulo: Nobel, 2003.

___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ____________________________________________________

Mtodos e Estratgias de Estudo Lgica e Matemtica Discreta

59

ARGUMENTOS E REGRAS DE INFERNCIA

Vamos continuar aperfeioando nossos conhecimentos em demonstraes por meio de proposies. Para isso aprenderemos alguns novos conceitos.

8.1 ARGUMENTO

Argumento toda afirmao que uma dada seqncia finita P1, P2,...,Pn de proposies tem como conseqncia, ou acarreta, uma proposio final Q (ALENCAR FILHO, 2003). As proposies P1, P2,..., Pn dizem-se as premissas do argumento, e a proposio final Q diz-se a concluso do argumento. Um argumento de premissas P1, P2,...,Pn e de concluso Q indica-se por: P1, P2,...,Pna Q, onde se l: P1P2,...,Pn acarretam Q. Na forma padronizada as premissas invocadas para servir de justificativa, acham-se sobre o trao horizontal e a concluso do argumento estar sob o mesmo trao horizontal da seguinte forma: P1 P2 ... Pn _____ Q


8.2 VALIDADE DE UM ARGUMENTO

Um argumento P1, P2,..., Pn a Q diz-se vlido se e somente se a concluso Q verdadeira todas as vezes que as premissas P1, P2,..., Pn so verdadeiras (ALENCAR FILHO, 2003). Portanto, todo argumento vlido goza da seguinte caracterstica: A verdade das premissas incompatvel com a falsidade da concluso. Um argumento no-vlido diz-se um sofisma. Desse modo, todo argumento tem um valor lgico, digamos V se vlido(correto, legtimo) ou F se um sofisma(incorreto, ilegtimo). As premissas dos argumento so verdadeiras ou, pelo menos admitidas como tal. Alis, a Lgica s se preocupa com a validade dos argumentos e no com a verdade ou falsidade das premissas e das concluses. A validade de um argumento depende, exclusivamente, da relao existente entre as premissas e a concluso. Portanto, afirmar que um dado argumento vlido significa afirmar que as premissas so verdadeiras.

8.3 CRITRIO DE VALIDADE DE UM ARGUMENTO

Teorema um argumento P1, P2,..., Pn a Q diz-se vlido se e somente se a condicional: (P1 P2 ... Pn) Q tautolgica (ALENCAR FILHO, 2003).

8.4 CONDICIONAL ASSOCIADA A UM ARGUMENTO

Dado um argumento P1, P2,..., Pn a Q, a este argumento corresponde a condicional: (P1 P2 ... Pn) Q (ALENCAR FILHO, 2003).


8.5 ARGUMENTOS VLIDOS FUNDAMENTAISSo argumentos vlidos fundamentais ou bsicos (de uso corrente) os constantes da seguinte lista (ALENCAR FILHO, 2003): I . Adio (AD): (i) p | p V q; II. Simplificao (SIMP): (i) p q | p; (ii) p q | q (ii) p | q V p

III. Conjuno (CONJ): (i) p, q | p q; (ii) p, q | q p p p q | p q, p (p p |q q)

IV Absoro (ABS): V. Modus Ponens (MP): VI. Modus Tollens (MT):

q, ~ q| ~p

VII. Silogismo disjuntivo (SD): (i) p V q, ~ p | q; (ii) p V q, ~ q | p

VIII. Silogismo hipottico (5H): p q, q r | p r

IX. Dilema construtivo (DC): p q, r s, p V r | q V s

X. Dilema destrutivo (DD): p q, r s, ~ q V ~ s | ~ p V ~ r

A validade desses dez argumentos conseqncia imediata das tabelasverdade.


8.6 REGRAS DE INFERNCIAOs argumentos que vimos, anteriormente, so usados para fazer inferncias, isto , executar os passos de uma deduo ou demonstrao, por isso chamam-se tambm, regras de inferncia.

Uma inferncia lgica, ou, simplesmente uma inferncia, uma tautologia da forma p q. A proposio p chamada antecedente, e q, conseqente da implicao. As inferncias lgicas, ou regras de inferncia, so representadas por p q (PINHO, 1999).

q, se e somente se, o Da definio decorre imediatamente que p conseqente q assumir o valor lgico V, sempre que o antecedente p assumir esse valor. Em outras palavras, para que a condicional seja verdadeira, essa condio necessria, pois, se o conseqente for falso com o antecedente verdadeiro, a condicional no verdadeira. Por outro lado, a condio tambm suficiente, pois, quando o antecedente falso, a condicional verdadeira, no importando o valor lgico do conseqente. As regras de inferncia so, na verdade, formas vlidas de raciocnio, isto , so formas que nos permitem concluir o conseqente, uma vez que consideremos o antecedente verdadeiro; em termos textuais, costumamos utilizar o termo logo (ou seus sinnimos: portanto, em conseqncia, etc) para caracterizar as Regras de Inferncia; a expresso p q pode ento ser lida: p; logo, q. possvel mostrar que as regras de inferncia tm as seguintes propriedades: Reflexiva: Transitiva: p p Se p qeq r, ento p r

Aqui neste material ser habitual escrev-los na forma padronizada abaixo indicada, colocando as premissas sobre um trao horizontal e, em seguida, a concluso sob o mesmo trao (ALENCAR FILHO, 2003) I. Regra da Adio (AD):


II.

Regra de Simplificao (SIMP):

III. Regra da Conjuno (CONJ):

IV.

Regra da Absoro (ABS):

V.

Regra Modus Ponens (MP):

VI:

Regra Modus Tollens (MT):

VII.

Regra do Silogismo Disjuntivo (SD):

VIII.

Regra do Silogismo Hipottico (SH):


IX.

Regra do Dilema construtivo (DC):

X.

Regra do Dilema destrutivo (DD):

Com o auxlio dessas dez regras de inferncia pode-se demonstrar a validade de um grande nmero de argumentos mais complexos.

8.7 ExEMPLOS DO USO DAS REGRAS DE INFERNCIADamos a seguir exemplos simples do uso de cada uma das regras de inferncia na deduo de concluses a partir de premissas dadas (ALENCAR FILHO, 2003). 1. Regra da Adio - Dada uma proposio p, dela se pode deduzir a sua disjuno com qualquer outra proposio, isto , deduzir p V q, ou p V r, ou s V p, ou t V p, etc. Exemplos:

II. Regra da Simplificao Da conjuno p q de duas proposies se pode deduzir cada uma das proposies, p ou q. Exemplos:


III. Regra da Conjuno -- Permite deduzir de duas proposies dadas p e q (premissas) a sua conjuno p q ou q p (concluso).

IV. Regra da Absoro Esta regra permite, dada uma condicional - como premissa, dela deduzir como concluso uma outra condicional com o mesmo antecedente p e cujo consequente a conjuno p q das duas proposies que integram a premissa, isto , p p q. Exemplos:

V. Regra Modus Ponens - Tambm chamada Regra de separao e permite deduzir q (concluso) a partir de p q e p (premissas). Exemplos:

VI. Regra Modus Tollens - Permite, a partir das premissas p q (condicional) o ~ q (negao do consequente), deduzir como concluso ~ p (negao do antecedente). Exemplos:


VII. Regra do Silogismo Disjuntivo Permite deduzir da disjuno p V q de duas proposies e da negao ~ p (ou ~ q), de uma delas, a outra proposio q (ou p). Exemplos:

VIII. Regra do Silogismo Hipottico Esta regra permite, dadas duas condicionais: p qeq r (premissas), tais que o consequente da primeira coincida com o antecedente da segunda, deduzir uma terceira condicional p r (concluso), cujos antecedente e consequente sejam, respectivamente, o antecedente da premissa p q e o consequente da outra premissa q r (transitividade da seta ).

IX. Regra do Dilema Construtivo Nessa regra, as premissas so duas condicionais e a disjuno dos seus antecedentes, e a concluso a disjuno dos consequentes dessas condicionais.

X. Regra do Dilema Destrutivo Nesta regra, as premissas so duas condicionais e a disjuno da negao dos seus consequentes, e a concluso a disjuno da negao dos antecedentes destas condicionais.


Para exercitar, vamos realizar algumas das atividades propostas por (PINHO, 1999, p. 96): 1. Construir a condicional associada aos seguintes argumentos: (a) ~p, ~q (b) p q| p| ~(p q ~q)

2. Indicar a regra de inferncia que valida os seguintes argumentos: (a) p (b) p (c) (q q| (q r) (p r), p | ~p, ~~p | 3 1 3>1

4. Usar Modus Tollens para deduzir a concluso das seguintes premissas: (a) (1) (p (2) ~~(r q) s) ~(r s) (b) (1) x =z (2) x 6 x=6

5. Usar o Silogismo Disjuntivo para deduzir a concluso das seguintes premissas: (a) (1) s (2) ~s 6. Usar o Silogismo Hipottico para deduzir a concluso das seguintes premissas: (a) (1) p (2) r r ~s ~s t (r t)


7. Usar o Dilema Construtivo para deduzir a concluso das seguintes premissas: (a) (1) p (2) ~q (3) p r ~s ~q

8. Verifique a validade dos argumentos utilizando regras de inferncia (a) r (b) p (c) p (d) t, t (e) p (f) p q p q, p q, p r (p q, r, ~p | r| ~s | s| s p t ), p r, ~r | q r q s ~s s r| t u q, ~q, p ~q, ~q

No esquea de fazer os demais exerccios que constam no captulo 9 do livro de Edgard de Alencar Filho - Iniciao Lgica Matemtica. So Paulo: Nobel, 2003.

Para maior compreenso, ler o captulo 9 Argumento e Mtodos de Inferncia do livro Alencar Filho, Edgard de. Iniciao lgica matemtica. So Paulo: Nobel, 2003.

logica a discreta fasciculo web-sem4

Documents