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  • 1. Matemtica Computacional Introduo 1

2. Definio A Lgica tem, por objeto deestudo, as leis gerais dopensamento, e as formas deaplicar essas leis corretamentena investigao da verdade.2 3. Origem Aristteles - filsofo grego - 342 a.C,sistematizou os conhecimentos existentes emLgica, elevando-os categoria de cincia. Em sua obra chamada Organum (ferramentapara o correto pensar), estabeleceuprincpios to gerais e to slidos que athoje so considerados vlidos.3 4. Origem Aristteles se preocupava com as formas deraciocnio que, a partir de conhecimentosconsiderados verdadeiros, permitiam obternovos conhecimentos. A partir dos conhecimentos tidos comoverdadeiros, caberia Lgica a formulao deleis gerais de encadeamentos lgicos quelevariam descoberta de novas verdades.Essa forma de encadeamento chamada, emLgica, de argumento. 4 5. Argumento Um argumento uma sequncia de proposies na qualuma delas a concluso e as demais so premissas. Aspremissas justificam a concluso. Proposies: sentenas afirmativas que podem ser verdadeiras ou falsas. Premissas: afirmaes disponveis Exemplo:Todo aluno de ADS precisa estudar Lgica. (premissa)Jos aluno de ADS.(premissa)Logo, Jos precisa estudar Lgica.(concluso)5 6. Argumento O objetivo de um argumento justificar uma afirmao que sefaz, ou dar as razes para uma certa concluso obtida.Exemplo: Voc me traiu. Pois, disse que ia estudar e meu irmo lhe viu na boate. Um argumento demonstra/prova como a partir dos dados deum problema chegou-se a uma concluso. 6 7. Argumento:Raciocnio e Inferncia Exerccio 1:Um turista est andando pela terra dos honestos ementirosos. L, as pessoas so radicais, umas s falam averdade e outras s falam mentiras. Chegou a hora doalmoo e o turista encontra-se numa estrada com umabifurcao. O turista sabe que um dos caminhos paraum restaurante e o outro para um abismo, mas no sabedistingui-los. Nesta bifurcao ele encontra um homemnativo. Naturalmente o turista no sabe se ele honestoou mentiroso. Como o turista descobre o caminho para orestaurante fazendo uma nica pergunta a esse nativo? 7 8. Argumento:Raciocnio e Inferncia Exerccio 2:Um rei resolveu dar a liberdade a um de seus trsprisioneiros. Mandou trazer trs chapus brancos e doisvermelhos. Vendou os olhos dos prisioneiros, colocou umchapu em cada um e depois foi retirando a venda dosolhos deles. Ganharia a liberdade aquele que soubessedizer, de forma convincente, a cor do seu prprio chapuolhando para os outros prisioneiros. Os dois primeirosno souberam dizer. O terceiro, antes que o rei lhe tirassea venda dos olhos, afirmou com toda certeza a cor do seuchapu.Qual a cor do chapu do terceiro prisioneiro? Justifique.8 9. Argumento:Raciocnio e Inferncia Para convencer que voc sabe a resposta (que no um chute) voc tem de expor as razes que olevaram a concluso (justificar).Pontos de PartidaRaciocnio ouCaminhos SeguidosProcesso de InfernciaConcluso Um argumento poderia ser considerado umareconstruo explcita do raciocnio efetuado9 10. Argumento:Raciocnio e Inferncia Inferncia a relao que permitepassar das premissas para a concluso(um encadeamento lgico) A palavra inferncia vem do latim,Inferre, e significa conduzir para10 11. Argumento O objeto de estudo da lgica determinar sea concluso de um argumento ou nodecorrente das premissas (uma inferncia). 11 12. Validade de um Argumento Em um argumento vlido, as premissas soconsideradas provas evidentes da verdade daconcluso, caso contrrio no vlido. Quando vlido, podemos dizer que aconcluso uma conseqncia lgica daspremissas, ou ainda que a concluso umainferncia decorrente das premissas.12 13. Validade de um Argumento Exemplo 1: O argumento que segue vlido?Se eu ganhar na Loteria, serei rico.Eu ganhei na Loteria.Logo, sou rico. Vlido(a concluso uma decorrncialgica das duas premissas.) 13 14. Validade de um Argumento Exemplo 2: O argumento que segue vlido?Se eu ganhar na Loteria, serei ricoEu no ganhei na LoteriaLogo, no sou rico No Vlido(a concluso no uma decorrncia lgica das duas premissas.) 14 15. Validade de um Argumento A lgica se preocupa com o relacionamentoentre as premissas e a concluso, ou seja,com a estrutura e a forma do raciocnio. Averdade do contedo de cada premissa e daconcluso estudo das demais cincias. A validade do argumento est diretamenteligada forma pela qual ele se apresenta(Lgica Formal estuda a forma dosargumentos). 15 16. Deduo e Induo A Lgica dispe de duas ferramentasque podem ser utilizadas pelopensamento na busca de novosconhecimentos: a deduo e a induo,que do origem a dois tipos deargumentos: Dedutivos e Indutivos.16 17. Argumentos Dedutivos Os Argumentos Dedutivos pretendem quesuas premissas forneam uma provaconclusiva da veracidade da concluso.Podem ser: Vlidos: quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem provas convincentes para a concluso. Isto , se as premissas forem verdadeiras, impossvel que a concluso seja falsa; Invlidos: no se verifica a caracterstica anterior.17 18. Argumentos Dedutivos Exemplos de argumentos dedutivos: Ela toca piano ou violo. Ela toca piano.Argumento Invlido Logo, ela no toca violo. Todo homem mortal. Scrates um homem. Argumento Vlido Logo, Scrates mortal. 18 19. Argumentos Indutivos Os Argumentos Indutivos no pretendem que suaspremissas forneam provas cabais da veracidade daconcluso, mas apenas que forneam indicaesdessa veracidade. (possibilidade, probabilidade) Seguem do Raciocnio Indutivo, isto , obtmconcluses baseada em observaes/experincias.Enquanto que um Raciocnio Dedutivo exigi umaprova formal sobre a validade do argumento. Os termos vlidos e invlidos no se aplicam para osargumentos indutivos. Eles so avaliados de acordocom a maior ou a menor probabilidade com que suasconcluses sejam estabelecidas.19 20. Argumentos Indutivos Exemplo1:Joguei uma pedra no lago, e ela afundou;Joguei outra pedra no lago e ela tambm afundou;Joguei mais uma pedra no lago, e ela tambmafundou;Logo, se eu jogar uma outra pedra no lago, ela vaiafundar. 20 21. Argumentos Indutivos Exemplo2:A vacina funcionou bem nos ratos.A vacina funcionou bem nos macacos.Logo, vai funcionar bem nos humanos. Exemplo3:80% dos entrevistados vo votar no candidato X.Logo, o candidato X vai vencer as eleies.21 22. Argumentos Indutivos A Lgica Formal Clssica s estudaArgumentos Dedutivos, verificando seso ou no vlidos. 22 23. Validade e Verdade Verdade e Falsidade: so propriedadesdas proposies, nunca dos argumentos Validade ou Invalidade: so proprie-dades dos argumentos dedutivos quedizem respeito a inferncia ser ou novlida (raciocnio ser ou no correto) 23 24. Validade e Verdade Exemplo 1Toda baleia um mamfero (V)Todo mamfero tem pulmes (V)Logo, toda baleia tem pulmes (V) Argumento vlido e a conclusoverdadeira.24 25. Validade e Verdade Exemplo 2Toda aranha tem seis pernas(F)Todo ser de seis pernas tem asas (F)Logo, toda aranha tem asas (F) Argumento vlido e a conclusofalsa 25 26. Validade e Verdade Os conceitos de argumento vlido ou invlido soindependentes da verdade ou falsidade de suaspremissas e concluso. Qualquer combinao de valores verdade entreas premissas e a concluso possvel, excetoque nenhum argumento dedutivo vlido tenha aspremissas verdadeiras e a concluso falsa. Um argumento dedutivo no qual todas aspremissas so verdadeiras dito ArgumentoCorreto, evidentemente sua concluso tambm verdadeira.26 27. Lgica Clssica eLgica Simblica. Lgica Informal formula os argumentos emlinguagem natural, mas enfrenta problemas deambigidade e de construes confusas. A Lgica Simblica ou Lgica Matemtica utilizasmbolos de origem matemtica para formular osargumentos.Tabalho iniciado pelo matemtico ingls GeorgeBoole (1815 1864) Algebra Booleana. econsolidado pelo filsofo e matemtico alemoGoottlob Frege (1848 1895) Regras deDemonstrao Matemtica.27 28. Lgica Clssica eLgica Simblica. Uma vez que , a Lgica Simblica tem suaprpria linguagem tcnica, um instrumentopoderoso para a anlise e a deduo dosargumentos, especialmente com o uso docomputador (Prova Automtica deTeoremas). Tradicionalmente a Lgica tem sido estudadapara orientaes filosficas e matemticas.Na computao, ela utilizada pararepresentar problemas e para obter suassolues.28 29. O que estudaremos nessadisciplina? Argumentos (estrutura, formalizao evalidade). Sistemas Lgicos (Lgica Proposicional eLgica de 1 ordem) e provas de suaspropriedades bsicas (teoremas). Mtodos Algortmicos para testar se umafrmula de um sistema lgico verdadeiraou no (Prova Automtica de Teoremas). Aplicaes de Prova Automtica deTeoremas na resoluo de problemas emreas da computao. Um pouco de Programao em Lgica29 30. Referncia Bibliogrfica GERTING, J. L. Fundamentos matemticospara a cincia da computao, 3 edio, Riode Janeiro, LTC, 2001. SOUZA, Joo Nunes de. Lgica para cinciada computao: fundamentos de linguagemsemntica e sistemas de deduo, Rio deJaneiro; Campus, 2002. Mortari, Cezar A.; Introduo Lgica;Imprensa OFICIAL; Ed. UNESP 30