LOG - Lógica Matemática

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<p>27/04/12</p> <p>(Verso para impresso) Lgica Matemtica</p> <p>Lgica MatemticaContedoAula 01 - Lgica proposicional1.1 Introduo Lgica Proposicional 1.2 A linguagem da Lgica Proposicional 1.2.1 O vocabulrio da Lgica Proposicional 1.2.2 Sintaxe do clculo proposicional 1.2.3 Semntica da Lgica Proposicional</p> <p>Aula 02 Linguagem natural e mtodo de tabelas verdade2.1 Lgica Proposicional e linguagem natural 2.2 O mtodo de tabelas verdade</p> <p>Aula 03 Propriedades semnticas, equivalncia e argumentao3.1 Propriedades semnticas da Lgica Proposicional 3.2 Equivalncia e implicao em frmulas da Lgica Proposicional 3.3 Argumentao na Lgica Proposicional</p> <p>Aula 04 Inferncia e equivalncias notveis4.1 Inferncia 4.2 Equivalncias notveis</p> <p>Aula 05 Mtodo dedutivo5.1 Mtodo direto 5.2 Mtodo dedutivo indireto</p> <p>Aula 01 - Lgica proposicionalNesta Aula, voc aprender a desenvolver a sua primeira linguagem formal, a linguagem proposicional. Trata-se de uma linguagem bastante simples, mas que associada a um sistema dedutivo, consistir num poderoso instrumento de anlise lgica.</p> <p>1.1 Introduo Lgica ProposicionalA lgica proposicional extremamente til para diver sos domnios. Sua compreenso indispensvel no s para o filsofo e o matemtico, mas tambm para outras reas, por exemplo, para os profissionais da Tecnologia da Informao. A Lgica, como a conhecemos, nasceu h mais de 2000 anos entre os filsofos gregos para a elaborao e avaliao de argumentos. Seres humanos raciocinam e argumentam todo o tempo, de maneira informal ou de maneira formal. Num bate papo entre amigos, se voc quisercatolicavirtual.br/conteudos/graduacao/cursos/tec_informacao/html/1o_semestre//index.php?_s 1/43</p> <p>27/04/12</p> <p>(Verso para impresso) Lgica Matemtica</p> <p>convenc-los de algo preciso argumentar de forma que suas idias sejam inquestionveis. O mesmo se d, por exemplo, na rea jurdica. Um trabalho tremendo feito por juristas para que as leis no gerem interpretaes erradas, ou seja, para que o raciocnio correto no leve a concluses indesejadas para a sociedade. Ento, a Lgica permite que se identifique melhor a validade ou a circunstncia em que uma argumentao procedente; tambm facilita a elaborao de argumentos e raciocnios corretos. Existem, na verdade, vrias lgicas. Pode-se dizer que a Lgica Proposicional a mais simples delas. Ela nos ajuda a raciocinar com idias simples, como: Quando chove, a rua fica molhada. Ruas molhadas ficam escorregadias e, portanto, ficam mais perigosas. Assim, em caso de chuva, preciso aumentar o cuidado ao se dirigir. Lgicas como a Lgica de Predicado de 1 Ordem e a Lgica Temporal, por exemplo, so necessrias para raciocinar sobre idias que relacionam conceitos ou que lidam com eventos que so falsos ou verdadeiros, dependendo do momento em que so considerados. A Lgica Proposicional no aplicvel nesses casos. No entanto, isso no tira sua importncia. Os computadores atuais no existiriam sem a Lgica de Boole, que , essencialmente, uma forma de se interpretar a Lgica Proposicional. A diferena que na lgica booleana manipula-se 0s e 1s no lugar de Falso e Verdadeiro. A Lgica Proposicional manipula sentenas que expressam idias simples, chamadas de enunciados ou proposies. Proposies podem ser verdadeiras ou falsas, mas cabe a algum associar a elas um desses valores. Por exemplo, a frase Computadores so caros corresponde a uma idia simples, portanto a uma proposio. J a frase Computadores so caros, mas so teis composta de duas idias simples: Computadores so caros e Computadores so teis. Assim, uma proposio pode ser composta de proposies mais simples. Consideremos agora as trs proposies a seguir: Uma hora antes de morrer, Joo estava vivo. Se [ verdade que] quando chove, a grama fica molhada, ento [ verdade que] se a grama no est molhada, porque no h chuva. A Terra redonda. Para convencer algum a respeito da primeira proposio, basta que se conhea o significado das palavras. Dizemos que essa proposio uma verdade lingustica. Ou seja, se chega concluso de que isso bvio! Para se convencer sobre a se da proposio, preciso saber o que significam as estruturas gun lingusticas se ... ento ... e no .... preciso tambm saber que as duas idias contidas na frase,"chove" e "grama molhada", so tambm proposies, isto , podem ser verdadeiras ou falsas. Podemos substituir essas idias por outras quaisquer e a frase continuar verdadeira. Peguemos, por exemplo, as seguintes proposies: estudei e fui aprovado. Inseridas nas estruturas lingusticas citadas, teremos: se verdade que quando estudo, sou aprovado, ento se fui reprovado porque no estudei. Esse tipo de verda lingustica chamada de verdade de lgica. A terceira proposio, no entanto, no uma verdade lingustica, pois ela ex pressa um fato incontestvel. Esse enunciado , portanto, uma verdade factual.</p> <p>1.2 A linguagem da Lgica Proposicionalcatolicavirtual.br/conteudos/graduacao/cursos/tec_informacao/html/1o_semestre//index.php?_s 2/43</p> <p>27/04/12</p> <p>(Verso para impresso) Lgica Matemtica</p> <p>Como para qualquer linguagem, a Lgica Proposicional, assim como a Matemtica ou as lnguas naturais, como o Portugus, tem um vocabulrio, ou seja, um conjunto de smbolos para representar seus objetos, um conjunto de regras gramaticais, ou sintaxe, que definem e estrutura correta de suas frases, e uma semntica, que associa os smbolos a idias precisas. Por exemplo, o vocabulrio da Matemtica composto de smbolos como +, -, x, /, , , , =, x, y, z, A, B, ... Existem regras gramaticais que definem frases matemticas corretas ou bem formadas. Assim, a frase x + y = 5 bem formada, enquanto a frase x + = y 5 no . Ou seja, a primeira est sintaticamente correta, enquanto a segunda no. Podemos entender a frase x + y = 5 como sendo a soma de um valor x com um y totalizando o valor 5, no importando o que x e y representam. Podem-se imaginar diversas interpretaes para x e y, ou seja, os valores que eles podem assumir para que essa frase seja verdadeira: (0,5), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) ou (5,0). Assim, a semntica do operador +, para os nmeros Naturais (Inteiros maiores ou iguais a zero), tal que 0 + 5 = 1 + 4 = 2 + 3 = 3 + 2 = 4 + 1 = 5 + 0 = 5. Vejamos agora o vocabulrio, a sintaxe e a semntica da Lgica Proposicional.</p> <p>1.2.1 O vocabulrio da Lgica ProposicionalA Lgica Proposicional utiliza um vocabulrio formado por smbolos que representem proposies. Assim como na matemtica temos operadores para construir expresses, como os de soma (+), subtrao (-), multiplicao (), diviso (/), entre outros, as idias que a Lgica Proposicional articula so aquelas que se servem dos seguintes operadores: ... e ... (conjuno), ... ou ... (disjuno), verdade que ... (afirmao), no verdade que ... (negao), se ... ento ... (condicional) e ... se e somente se ... (bicondicional). Podemos utilizar letras minscu even las, t ualmente indexadas, e cinco operaes, ou conectivos, para expressar as idias que podem ser tratadas pela Lgica Proposicional, como mostrado na tabela abaixo. nome negao conjuno disjuno condicional bicondicional smbolo usual tipo unrio binrio binrio binrio binrio outros smbolos -, ~, not, no &amp;, ., and, e , or, ou leitura no ... ... e ... ... ou ... se .... ento ... ... se e somente se ... Assim,</p> <p>Existem muitas variaes de smbolos para representar os mesmos conectivos. dependendo do livro ou material utilizado, preciso verificar o vocabulrio utilizado.</p> <p>Como dissemos, proposies representam idias que podem ser interpretadas como verdadeiras ou falsas. A verdade lgica citada acima pode ser representada da seguinte maneira: se representarmos a frase simples chove por um smbolo qualquer, p, por exemplo, e a frase a grama fica molhada (ou simplesmente a idia grama molhada) por outro smbolo qualquer, como o q, poderamos representar graficamente as frases Se chove, a grama fica molhada e Se a grama no est molhada, porque no h chuva. Elas poderiam ser representadas da seguinte maneira:catolicavirtual.br/conteudos/graduacao/cursos/tec_informacao/html/1o_semestre//index.php?_s 3/43</p> <p>27/04/12</p> <p>(Verso para impresso) Lgica Matemtica</p> <p>p e q</p> <p>q</p> <p>p</p> <p>E a frase original Se [ verdade que] quando chove, a grama fica molhada, ento [ ver de da que] se a grama no est molhada, porque no h chuva seria representada por: (p q) ( q p)</p> <p>Como vimos, essa frmula continua uma verdade lgica, quaisquer que se os enunciados jam representados pelas pro posies p e q. Se p = estudar e q = aprovado, obteremos uma mesma frmula, da mesma forma que, na matemtica, (x + y = 1) (x = 1 y) pode ser empregada em qualquer situao, ou seja, qualquer que seja a interpretao dada para x e y.</p> <p>1.2.2 Sintaxe do clculo proposicionalComo so formadas as frases em portugus? a partir de um conjunto de palavras vlidas para o portugus e de um conjunto de smbolos de pontuao que se forma o vocabulrio da lngua portuguesa. E a partir das regras gramaticais, ou sintaxe, que se produzem frases corretas ou bem formadas. Vejamos, por exemplo, o seguinte subconjunto das regras gramaticais (RG) da lngua portuguesa: (1) (2) (3) (4) uma frase pode ser composta de um sujeito e de um predicado, um sujeito pode ser formado por um artigo e um substantivo, um predicado pode ser formado por um verbo e um objeto direto e um objeto direto pode ser formado por um artigo e um substantivo.</p> <p>Elas podem ser representadas da seguinte maneira: RG1: ::= RG2: ::= RG3: ::= RG4: ::= . Para verificar se a frase O gato pulou o muro bem formada, basta verificar se ela pode ser gerada a partir das regras acima. Assim, a partir da RG1, temos: Como o um artigo, gato e muro so substantivos e pulou um verbo, temos:</p> <p>Podemos utilizar as regras R2 e R4:</p> <p>catolicavirtual.br/conteudos/graduacao/cursos/tec_informacao/html/1o_semestre//index.php?_s</p> <p>4/43</p> <p>27/04/12</p> <p>(Verso para impresso) Lgica Matemtica</p> <p>E aplicando-se a regra R3, teremos:</p> <p>E pela regra R1:</p> <p>Como foi possvel utilizar as regras para mostrar que a frase O gato pulou o muro pode ser reconhecida pelas regras, ento ela uma frase bem formada. A mesma coisa se d com a Matemtica: uma frmula, assim como uma frase, uma reunio de palavras construda segundo certas regras. Vamos considerar a seguintes regras de formao para a gerao de uma frmula matemtica simples: (a) Todo valor numrico uma frmula. Toda varivel uma frmula bem formada. (b) Se A e B so frmulas, ento (A + B), (A B), (A / B) e (A * B) so frmulas bem formadas. (c) Uma frmula bem formada se obtm unicamente a partir das regras (a) e (b). Aparecem nas regras dois novos smbolos: A, B, ( e ). Os parn t eses, aberto e fechado, permitem de t erminar, de certa forma, a ordem na qual as regras foram aplicadas. Por exem na plo, frmula ((x + 2) / y),catolicavirtual.br/conteudos/graduacao/cursos/tec_informacao/html/1o_semestre//index.php?_s 5/43</p> <p>27/04/12</p> <p>(Verso para impresso) Lgica Matemtica</p> <p>a regra indutiva foi aplicada duas vezes: a primeira aplicao deu lugar fru (x + 2) a partir m la das frmulas x e 2, en quanto que a segunda aplicao deu lu frmula final a partir das gar frmulas (x + 2) e y. A razo fundamental do uso de parnteses a estrutura arborescente das expresses aritm as. t i c Assim, ((x + 2) / y) uma frmula bem formada porque x e y so variveis e, portanto, so frmulas. O mesmo pode ser dito sobre o valor 2. Ento (x + 2) uma frmula bem formada porque sabemos que (A + B) uma frmula bem formada se A e B forem substitudas por frmulas bem formadas. Da mesma forma, ((x + 2) / y) tambm uma frmula bem formada porque sabemos que (x + 2) uma frmula bem formada, assim como y uma frmula bem formada. De uma maneira grfica, podemos representar a equao numa forma arborescente:</p> <p>Agora, vejamos as regras de formao de frmulas (bem formadas) da Lgica Proposicional: (a) Toda proposio uma frmula. (b) Se A e B so frmulas, ento A, (A B), (A B), (A B), (A (c) Uma frmula se obtm unicamente a partir das regras (a) e (b). B) so frmulas.</p> <p>Os parnteses so utili dos aqui da mesma maneira que na aritmtica. Assim, da mesma forma za que para as equaes matemticas, a frmula lgica (p (q regras de formao, podemos construir a seguinte rvore: r)) bem formada porque, pelas</p> <p>Utilizam-se parnteses para distinguir frmulas. Por exemplo, (p (q r)) e ((p q) r)</p> <p>Do mesmo jeito que, na aritmtica, deve-se distinguir a * (b + c) de (a * b) + c. Mas algumas frmulas no precisam de parntesis, pois no h confuso possvel. Por exemplo, a frmula p entendida. q r ou p q r, assim como a equao aritmtica a + b + c, facilmente</p> <p>1.2.3 Semntica da Lgica ProposicionalComo vimos, a sintaxe define o conjunto de regras para se escrever corretamente frases em uma lngua, seja ela natural (como o portugus) ou formal (como a Matemtica ou a Lgica). Acatolicavirtual.br/conteudos/graduacao/cursos/tec_informacao/html/1o_semestre//index.php?_s 6/43</p> <p>27/04/12</p> <p>(Verso para impresso) Lgica Matemtica</p> <p>semntica, por sua vez, atribui significado s frases. Quando estudamos matemtica, aprendemos o significado de cada um de seus smbolos. Por exemplo, sabemos o que significa 1 + 1 = 2 porque sabemos o significado de cada um de seus smbolos (1, 2, + e =). Alm disso, uma frmula x + y pode ser interpretada em diversos conjuntos (Naturais, Inteiros, Reais, ...). Chamamos de semntica o significado de cada uma das frmulas. Todos os smbolos da matemtica tm um significado prprio. O smbolo +, por exemplo, faz com que associemos 1 + 1 com o smbolo 2, uma vez que a soma de 1 com 1 resulta no valor 2. Na lgica proposicional, os nicos valores considerados so Verdadeiro (V) ou Falso (F). comum tambm represen os va t ar lores V e o valor F pelos smbolos 1 e 0, respectivamente. In terpretar uma frmula da lgica proposicional consiste em atribuir-lhe um desses dois valores a cada uma de suas variveis. Assim, a semntica associada ao smbolo o da operao de negao. Ela associa o valor V com o valor F e vice-versa, como mostrado na tabela abaixo. X V F X F V</p> <p>Se interpretarmos X como verdadeira (X = V), a avaliao de sua negao ser falsa ( X = F), e vise-versa (se X = F, ento X = V). Da mesma forma, existe uma semntica associada a cada um dos demais conectivos da lgica proposicional, como mostrado na tabela abaixo. X V V F F Y V F V F X V F F F Y X V V V F Y X V F V V Y X V F F V Y) seja verdadeira, Y</p> <p>A frmula (X Y) representa a conjuno (... E ...), ou seja, para que (X preciso que tanto X como Y sejam verdadeiras. A frmula (X Y) representa a disjuno (... OU ...), ou seja, para que (X basta que X ou Y seja verdadeira. A frmula (X</p> <p>Y) seja verdadeira,</p> <p>Y) representa a condio (SE ... ENTO ...), ou seja, Y consequncia de X.</p> <p>Assim, (X Y) s ser falsa, se X for verdadeira e Y for falsa. Ou seja, no se pode concluir coisas falsas a partir de uma afirmao verdadeira. A frmula (X Y) representa a bicondio (... SE E SOMENTE SE ...), ou seja, (X Y) s ser verdadeira, se X e Y forem verdadeiros e se ambos forem falsos. Podemos caracterizar uma frmula em funo de seu operador de maior prioridade. Assim, ascatolicavirtual.br/conteudos/graduacao/cursos/tec_informacao/html...</p>

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