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páginas Web directamente ligadas porlinks de hipertexto. E são exactamente aspropriedades topológicas destas redesque reúnem vários sistemas biológicos etecnológicos numa mesma categoria:sítios que não estão directamente ligadosestão separados por um número muitopequeno de conexões e alguns (poucos)sítios possuem um número grande deconexões, enquanto muitos outros sãopouco conectados.

A verificação experimental de que váriossistemas possuem tais propriedades levoua uma revolução no estudo de redescomplexas, devidamente documentadapor dois dos mais activos participantesdesta revolução: José Fernando Mendes,da Universidade de Aveiro, e SergeiDorogovtsev, do Instituto Ioffe, em SãoPetesburgo. O livro "Evolution ofNetworks: From Biological Nets to theInternet and WWW" constitui actual-mente a melhor referência no tema,contendo uma bibliografia bastantecompleta, documentação das observa-ções empíricas mais relevantes e umdesenvolvimento matemático cuidadosodos modelos propostos para a criação eevolução de tais redes - muitos delesdesenvolvidos pelos próprios autores.

Após uma introdução ao conceito deredes e definição concisa das proprie-dades topológicas de interesse, os autoresexpõem uma lista extensa de sistemasnaturais e tecnológicos que podem sermapeados em redes e suas respectivaspropriedades topológicas. Os capítulos 4e 5 constituem o cerne do livro, comuma descrição detalhada da teoriamatemática de redes. Usando ferramen-tas da mecânica estatística, como teoriade ensembles, equações-mestras e teoriade escala, os autores chegam a resultadosgerais para as propriedades topológicasde redes cuja evolução se dá somentepela adição e remoção de ligações(chamadas redes em equilíbrio, poranalogia com sistemas em equilíbriotermodinâmico) e redes cuja evoluçãoinclui também a adição de novos sítiosno sistema (chamadas redes de não--equilíbrio, por analogia com sistemasonde não se atinge o equilíbrio). A lei-tura dos capítulos 4 e 5 requer conhe-

cimentos medianos de probabilidade eestatística e, acompanhados das devidasreferências, podem ser facilmenteadaptados para um curso de tópicos demecânica estatística.

Outra questão importante discutidapelos autores no capítulo 6 é a darobustez de tais redes frente a falhasaleatórias ou ataques a sítios específicos.Espera-se, por exemplo, que sistemasbiológicos sejam resistentes a falhas,como a morte de um neurónio nocérebro ou a deficiência na produção deum determinado metabolito. A resi-liência de tais redes face a falhas alea-tórias deriva da estrutura topológica dasredes associadas com tais sistemas eacarreta invariavelmente uma fragilidadede tais sistemas face a ataques a sítiosaltamente conectados, como mostra ateoria de percolação em redes. Outrostópicos abordados neste capítulo envol-vem a transmissão de informação emredes - importante para o estudo dapropagação de doenças em redes sociais evírus de computador na Internet - e ocomportamento crítico do modelo deIsing em redes complexas.

Especulações acerca da relação entre evo-lução de redes, criticalidade auto-orga-nizada e processos estocásticos comruído multiplicativo encerram o livro,deixando o leitor com uma mensagemfinal: vivemos num mundo repleto deredes - sociais, económicas, biológicas outecnológicas - e a identificação de prin-cípios organizacionais comuns repre-senta um passo importante para o seuentendimento.

Este livro representa para a comunidadeda Física uma referência indispensávelno assunto.

Márcio Argollo Ferreira de MenezesDepartamento de Física, Universidadede Notre Dame, EUA, mdemenez@nd.edu

LIVROS E MULTIMÉDIA

A FÍSICA DA MÚSICA

Luís L. Henrique, "Acústica Musical",Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa,2003

As relações entre arte e ciência sãomuitas e variadas. O praticante de qual-quer uma delas procura a harmonia. Aprática de cada uma delas exige criativi-dade. Mas, se há uma arte em que a har-monia e a criatividade aparecem muitoclaramente, essa arte é a música. E, se háuma ciência em que a harmonia e a cria-tividade dão o "tom", essa ciência é a física.Não admira por isso que haja relações es-peciais entre a música e a física.

A parte da física que trata a música é a"acústica musical". A acústica é o capí-tulo da física que estuda o som (o nomevem da palavra grega "akouein", que sig-nifica ouvir). E a acústica musical é ocapítulo da acústica que se debruça sobreo som musical, o som harmonioso, o somque não é ruído, embora a distinção entreesse som e os outros não seja tão claraquanto à primeira vista possa parecer.

Foi Pitágoras, o grande sábio grego en-volto em lenda do qual nenhum escritonos chegou, quem terá realizado asprimeiras experiências com cordas vi-brantes, usando o chamado monocórdio.Terá verificado que, quanto mais pe-quena fosse a corda, mais agudo era osom e terá até chegado a uma relaçãoquantitativa entre o tamanho da corda e

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a altura do som. Pitágoras foi mais longe:os números estão por todo o lado doUniverso (nisso antecipou Galileu) e amúsica é uma representação da har-monia do Universo (um tema que viria aser glosado por Kepler).

Pitágoras foi pois o avô da acústica mu-sical. Seguiu-se uma longa história, queainda decorre. Com efeito, a investi-gação sobre acústica musical mantém-seactual. Essa história vem contada no pri-meiro capítulo de um extraordináriolivro: "Acústica Musical", de Luís L.Henrique. O livro é extraordinário emvários sentidos: em primeiro lugar peloseu volume (e peso!). O autor abarcatodos os domínios da Acústica Musicalnas 1130 páginas da obra. Em segundolugar, vem acompanhada de um discocompacto, com exemplos vários de sonsmusicais (aparecem, entre outros, os sonsda guitarra de Pedro Caldeira Cabral). E,em terceiro lugar, embora dirigindo-sepreferencialmente, aos praticantes demúsica, o autor não foge à matemática, oque está certo porque, como Pitágoras eGalileu afirmaram, a matemática estápor todo o lado do mundo e, portanto,está também nessa parte do mundo queé o som.

É a primeira obra alargada em portuguêssobre a acústica musical. O autor, que fezuma ampla consulta bibliográfica napreparação do livro, refere apenas doislivros anteriores do mesmo género: Luísde Freitas Branco, "Elementos deSciências Musicais. Vol. I, Acústica,Lisboa, edição do autor, 1929, e PedroMartins da Silva, "Elementos de Acús-tica Musical", Lisboa, Laboratório Na-cional de Engenharia Civil, 1989. Oprimeiro desses autores era músico e osegundo é físico. Mas repare-se que ne-nhuma dessas edições está facilmentedisponível. Pelo contrário, o livro deLuís Henrique está facilmente disponívelpela edição cuidada da FundaçãoGulbenkian, à qual não se devem rega-tear elogios pelo seu plano de edições,que tem uma extraordinária relaçãoqualidade-preço para professores e alunos.

Luís Henrique é músico e professor demúsica no Porto. Ao folhear o seuvolume forçoso é deduzir que fez um

esforço fora do comum para "entrar" naFísica dos sons, em particular dos sonsemitidos pelos vários instrumentos mu-sicais. Começa no capítulo 2, depois deter definido a acústica musical e ter abor-dado a sua história, por descrever siste-mas vibratórios simples, dando exemplosde relevo para a arte musical (o diapasão).Depois passa para os sistemas vibratórioscomplexos, para as ondas, para a análisede sons e instrumentação acústica e vi-bratória. A partir do capítulo 7, fazem-seouvir os instrumentos musicais (o fazer--se ouvir é literal por causa do CD): oscordofones, friccionados ou dedilhadosou de tecla, os membrafones, os idiofo-nes, os aerofones (flautas, palhetas, metais,órgão, voz) e os modernos electrofones.Os capítulos finais tratam da experimen-tação e inovação em instrumentosmusicais, da acústica de salas - um ramoda acústica muito complexo e com co-nhecidas aplicações (nos exemplos, o autornão se esquece de incluir o Grande Au-ditório da Gulbenkian), o sistemaauditivo humano, a percepção de sonsmusicais, o registo e reprodução de sons(cujas aplicações, que vão das gravações àreprodução doméstica de som numaparelho de alta fidelidade, são tambémbem conhecidas), os intervalos e a afina-ção dos instrumentos e as escalas e tem-peramentos (voltando, como que emfecho de círculo, a Pitágoras e ao dia-pasão). Alguns apêndices destinam-se aajudar o leitor menos familiarizado coma Física e a matemática, tratando degrandezas, unidades e dimensões, con-ceitos físicos da acústica, noções de ma-temática, etc. (o último apêndice enumerae descreve os exemplos musicais do CD).

É, sem dúvida, um grande livro, que serecomenda não só aos profissionais eamadores da execução musical, mastambém a todos, e são muitos, interes-sados pela música - os melómanos - quepassaram a dispor de um elemento deconsulta precioso para esclarecer as suasdúvidas sobre a ciência e tecnologiamusical. Alguns ficarão intimidados pelamatemática e pela física, mas esses, alémde ouvirem o CD, podem sempre ler aspequenas caixas, que em profusão,aparecem por todo o livro e que contêmalgumas curiosidades na área da acústica.Há um índice de caixas, logo no início, a

seguir ao índice geral (no fim há utilís-simos índices de nomes e de assuntos),em que se afloram questões como o even-tual aperfeiçoamento de um Stradivarius(talvez não...), se é ou não possível ouvira forma de um tambor (isto é, se oespectro dos sons emitidos permiteinequivocamente determinar a fronteirada membrana, um problema matemá-tico que já deu pano para muitas man-gas), a questão se o ouvido humano ésensível à diferença entre analógico edigital (entre o LP e o CD, ou ainda en-tre um amplificador a válvulas ou umamplificador a transístores: a discussãopermanece), qual é o melhor piano domundo (desfaça-se já o mistério: para opianista Cláudio Arrau, é um Steinway,que se encontra na Salle de Musique dacidade suíça de La Chaux-de-Fonds) e sea orquestra deve ou não afinar pelo oboé(em resposta à questão; já houve tenta-tivas de afinação por uma fonte electrónicamas os músicos não gostaram!)

Por falar em erros, este livro tem muitopoucos para o tamanho e para a com-plexidade dos assuntos tratados. Tem dese reconhecer o cuidado que o autor e aeditora colocaram na revisão. Há pe-quenos erros, que poderão ser emendadosse esta edição, como merece, se esgotar eo público exigir uma outra. Assim, só pa-ra dar alguns exemplos, o ponto apareceem vez da vírgula na notação de núme-ros com decimais, o símbolo de grausCelsius aparece mal grafado (a bolinha eo C de Celsius têm de estar juntas), aequação (2-17) não descreve o estadodos gases mas sim uma transformaçãoadiabática, etc. Mas eles não desafinam osom geral da orquestra que é bastanteafinado.

Caros leitores que gostem de música equeiram saber mais sobre a ciência e atécnica por detrás dela: têm ao seu al-cance em língua portuguesa um recursoincontornável.

Carlos Fiolhaistcarlos@teor.fis.uc.pt