2Matemtica 3 Edio - 2002R&A EditoraAutor:Professor Joselias Santos da SilvaReviso:Silvio Luis MottaEditorao Eletrnica:Valquria Farias dos SantosCapa:Studio Color Company - ( 3326.8366Projeto Grfico:R&A EditoraR&A Editora Cursos e Materiais Didticos LtdaRua Sete de Abril, 230 - 11 andar - Bloco B - So Paulo - Cep.: 01044-000Fone: (011) 3258.8153 - 3259.7703 - Fax: (011) 3214.0182TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. Proibida a reproduo total ou parcial, por qualquer meio ou processo, especial-mente por sistemas grficos, microfilmicos, fotogrficos, repogrficos, fonogrficos, videogrficos. Vedada a memorizaoe/ouarecuperaototalouparcial,bemcomoainclusodequalquerpartedestaobraemqualquersistemadeprocessamento de dados. Essas proibies aplicam-se tambm s caractersticas grficas da obra e sua editorao. Aviolao dos direitos autorais punvel como crime (art. 184 e do C.P.), com pena de priso e multa, busca e apreensoe indenizaes diversas (arts. 101 110 da Lei 9.610 de 19/02/1998, Lei dos Direitos Autorais).Impresso no BrasilPrinted in BrazilR&A Editora Cursos e Materiais Didticos Ltda.(setor grfico)3MatemticaConcursos PblicosMATEMTICASo PauloTEORIACom mais de 500 questesresolvidas e comentadasJoselias Santos da Silva4MatemticaDados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)(Cmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)Silva,Joselias Santos da, 1957-Concursos Pblicos: matemtica : teoria, commais de 500 questes resolvidas e comentadas /Joselias Santos da Silva. -- So Paulo :R&AEditora Cursos e Materiais Didticos, 1999.Bibliografia.1. Matemtica - Concursos pblicos I. Ttulo99-2008 CDD-510.76ndices para catlogo sistemtico:1. Matemtica : Concursos pblicos 510.765Matemticandice1. As quatro operaes com nmeros inteiros, fracionrios e decimais;Nmeros Pares, mpares, Primos e Compostos; ........................................... 7 Operaes e propriedades com nmeros inteiros ........................................... 8 Nmeros Pares ............................................................................................. 11 Nmeros mpares.......................................................................................... 11 Divisibilidade ................................................................................................. 11 Mltiplos e Divisores...................................................................................... 14 Nmeros Primos ........................................................................................... 14 Nmeros Compostos: .................................................................................... 15 Mximo Divisor Comum (MDC) ..................................................................... 15 Mnimo Mltiplo Comum (MMC) .................................................................... 15 Nmeros Fracionrios e Decimais ................................................................ 18 Operaes nas Formas Fracionrias e Decimais.......................................... 202. Sistema Mtrico Decimal (medidas de comprimento, rea, volume,capacidade, massa e tempo) ......................................................................... 32 Sistema Mtrico Decimal ............................................................................... 32 Medidas de Superfcie (rea) ........................................................................ 36 Medida de Volume......................................................................................... 37 Medidas de Capacidade ................................................................................ 38 Medidas de Massa ........................................................................................ 39 Medidas no decimais ................................................................................... 393. Juros e Porcentagem..................................................................................... 51 Conceitos de Matemtica Financeira ............................................................ 51 Regime de Capitalizao............................................................................... 53 Capitalizao Simples ................................................................................... 55 Porcentagem................................................................................................. 634. Razo e Proporo; Regra de Trs Simples e Composta;Divises Proporcionais.................................................................................. 71 Razes e Propores .................................................................................... 71 Srie de Razes iguais ou porpores em srie ........................................... 74 Razes .......................................................................................................... 76 Divises Proporcionais .................................................................................. 766Matemtica Regra de Sociedade ...................................................................................... 80 Regra de Trs Simples .................................................................................. 90 Regra de Trs Composta .............................................................................. 925. Sistema do 1 grau ......................................................................................... 986. Potenciao e Radiciao............................................................................ 104 Potenciao................................................................................................. 104 Radiciao .................................................................................................. 105 Produtos Notveis ....................................................................................... 1057. Equao do 2 grau ...................................................................................... 107 Trinmio do 2 grau ..................................................................................... 107 Inequao do 2 grau .................................................................................. 1108. Questes Resolvidas e Comentadas .......................................................... 1179. Bibliografia.................................................................................................... 2857MatemticaAs quatro operaes com Nmeros Inteiros,Fracionrios e Decimais;Nmeros Pares, mpares, Primos e Compostos;MMC e MDC; Divisibilidade.A matemtica desenvolvida nesta apostila no ter o compromisso de ensinar osverdadeiros princpios de numerao que motivaram a criao dos nmeros.Lembramos ao leitor que este material est voltado aos candidatos aos concursospblicos que exigem o segundo grau completo, portanto partimos da premissa que oaluno j possui a iniciao matemtica necessria ao entendimento dos assuntosabordados, no sendo precisos detalhes triviais do 1 grau.Representaremos inicialmente os nmeros naturais: 0, 1, 2, 3, 4,...A coleo de todos os nmeros naturais representaremos pela letra N e chamare-mos de conjunto dos nmeros naturais, ento :N={ 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ... }.Assim, o leitor j observou que os nmeros naturais servem para contar, e este foi ogrande salto da humanidade no sentido matemtico, quando as primeiras civiliza-es comearam a contar seus rebanhos.A seguir, traremos a idia de nmeros inteiros; suponha que na reta marquemos ospontos como na figura:... 3 2 1 0 1 2 3 4 ...Os pontos marcados representam os nmeros inteiros e observe que teremos intei-ros positivos, negativos, no positivos e no negativos.Ento, Z o conjunto dos nmeros inteiros. Da:Z = { ... 4 ,3 ,2 ,1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,4 , ... }Representaremos por Z o conjunto dos nmeros no positivos. Da :Z = { ... 4 ,3 ,2 ,1 ,0 }Se no conjunto dos inteiros considerarmos apenas os nmeros no negativos, tere-mos a notao Z+.Logo :Z+ = { 0 ,1 ,2 ,3 ,4 , ... }Obs.: Voc viu que o conjunto dos inteiros no negativos o conjunto dos naturais?8MatemticaVamos introduzir a notao com (*), para dizer que o conjunto no possui zero, isto ,Z*=Z { 0 }={... 3 ,2 ,1 ,1 ,2 ,3... }Ento, representaremos por conjunto dos nmeros inteiros negativos a :Z* ={ ... ,3,2,1 }Analogamente representaremos por conjunto dos inteiros positivos a :Z*+ ={1 ,2 ,3 ,4 ,... }OPERAES E PROPRIEDADES COM NMEROS INTEIROSA. ADIOChamaremos de adio operao de reunir em um s nmero as quantida-des representadas por dois ou mais nmeros.Representaremosaoperaodeadiopelosmbolo+.Aoresultadodaadio chamaremos de soma.Exemplo :Seja uma caixa A com 10 canetasSeja uma caixa B com 20 canetasEnto,ototaldecanetasseraadiodasquantidadesdascaixasAeBrepresentaremos por 10 + 20 = 30.Ao resultado da adio chamaremos de soma, isto , 30 canetas o resultadoda adio de 10 canetas com 20 canetas.PROPRIEDADESSejam os nmeros inteiros:Ento:I. a + 0=a( Existncia do neutro).O nmero no se altera quando adicionamos o 0 (zero).II. a + b=b + aA adio comutativa.III. a + b + c=a +( b + c )=( a + b ) + cA adio associativa.Exemplo:Uma pessoa tinha x livros.Comprou mais 5 livros, com quantos livros ficou ?Resposta :( x + 5 )livros.Exemplo:Uma microempresa possui 3 funcionrios ( A, B e C ). Se A ganha R$ 300,00,B ganha R$ 400,00 e C ganha R$ 500,00, qual o valor da folha de pagamentoda microempresa?9MatemticaSOLUOA adio entre 300, 400 e 500300 + 400 + 500=R$ 1.200,00B. SUBTRAOChamaremos subtrao operao de achar a quantidade que um nmeroexcede o outro e esta operao representaremos pelo smbolo .Ao resul-tado da subtrao chamaremos de diferena.Exemplo:Suponhamosqueumapessoatinha40canetaseperdeualgumasficandocom 30 canetas ao final. Quantas canetas ela perdeu ?SOLUOA subtrao entre 40 e 30 40 30 = 10 canetas perdidas.Exemplo:Suponha que um vendedor ambulante tinha 50 canetas para vender. Se du-rante a manh ele vendeu 15 canetas e tarde vendeu 18 canetas, com quantascanetas acabou o dia ?SOLUO50 15 18=35 18=17 CanetasC. MULTIPLICAOChamamos de multiplicao operao de realizar a adio de um nmeroquantas vezes for o outro.A operao de multiplicao representaremos pelo smbolo . Ao resultadoda multiplicao chamaremos de produto. Aos nmeros envolvidos na opera-o chamamos de fatores.Exemplo:a. 3 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15b. 7 4 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28c. 10 6 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60PROPRIEDADES1. A ordem dos fatores no altera o produto (Comutativa).Exemplo:a. 2 3 = 3 2 = 6b. 5 4 3 = 4 3 5 = 3 4 5 = 602. Associativa5 3 4 2 = 5 12 2 = 12010Matemtica3. Qualquer nmero multiplicado por 0 tem como resultado zero.2 0 = 03 4 0 = 04. O produto de qualquer nmero por 1 igual ao prprio nmero.a 1 = a120 1 = 120D. DIVISOChamamos de diviso de um nmero (dividendo) por outro nmero (divisor) operao de achar um terceiro nmero (quociente) tal que multiplicado pelodivisorproduzaodividendo.Aoperaodedivisoserrepresentadapelosmbolo : ExemploDividir 650 por 13 encontrar um nmero (50) tal que 50 multiplicado por 13produza 650.650 50 13dividendo quociente divisorx12 4 3 4 12 4 3 4 12 4 3 4PROPRIEDADES1. O quociente da diviso de um nmero por 1 o prprio nmero:30 1 = 3027 1 = 272. Um nmero, diferente de zero,dividido por ele mesmo sempre iguala 1.20 20 = 147 47 = 1EXERCCIOS PROPOSTOS01. Efetue os produtos :a. 9 9 =b. 9 98 =c. 9 987 =d. 9 9876 =e. 9 987.654.321 =RESPOSTAa. 81 b. 882 c. 8883 d. 88.884 e. 8.888.888.889.11Matemtica02. Efetue os produtos :a. 12.345.679 9 =b. 12.345.679 18 =c. 12.345.679 27 =d. 12.345.679 45 =RESPOSTAa. 111.111.111 b. 222.222.222 c. 333.333.333 d. 555.555.55503. Efetue a diviso.888.888.888 98.765.432RESPOSTA9 (veja exerccio 01)NMEROS PARESChamamos de nmeros pares aos nmeros que terminam com 0, 2, 4, 6 ou 8.NMEROS MPARESChamamos de nmeros mpares aos nmeros que terminam com 1, 3, 5, 7 ou 9.DIVISIBILIDADEEstapartedomaterialirtratardasregrasquepermitemdizerseumnmerodivisvel por outro sem precisar efetuar os clculos.DIVISIBILIDADE POR 2Um nmero divisvel por 2 quando par ( termina em 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ).Exemplos: 10 , 24 , 1.208DIVISIBILIDADE POR 3Um nmero divisvel por 3 quando a soma de seus algarismos produz como resultadoum nmero mltiplo de 3.Exemplo:a. 36 (3 + 6 = 9)b. 147 (1 + 4 + 7 = 12)DIVISIBILIDADE POR4Um nmero divisvel por 4 quando os 2 ltimos algarismos formam um nmerodivisvel por 4.Exemplo:a. 840 (40 divisvel por 4)b. 1.232 (32 divisvel por 4)c. 987.624 (24 divisvel por 4)12MatemticaDIVISIBILIDADE POR 5Um nmero divisvel por 5 quando termina em zero ou cinco.Exemplo:a. 1.230b. 1.345DIVISIBILIDADE POR 6Um nmero divisvel por 6, quando divisvel por 2 e 3, simultaneamente. Portanto,tem que ser par e divisvel por 3.Exemplo:a. 324b. 126DIVISIBILIDADE POR 7No h regra, porm vou apresentar um algoritmo que certa vez um professor meapresentou.Exemplo:315 divisvel por 7.Veja como verificar:1 Sempre separe a casa das unidades.nn31 n 5nn2 Multiplique o algarismo direita da separao por 2, e subtraia do algarismo esquerda.Logo:31 2 X 5 = 31 10 = 213 Se o resultado for divisvel por 7, ento o nmero original divisvel por 7.Exemplo:8.638 divisvel por 7.nn863 n 8nn863 8 X 2 = 863 16 = 847.13Matemticann84 n 7nn84 7 X 2 = 70 divisvel por 7. Logo 8.638 divisvel por 7.DIVISIBILIDADE POR8Um nmero divisvel por 8 quando os trs ltimos algarismos formam um nmerodivisvel por 8.Exemplo:a. 12.160 divisvel por 8, pois 160 divisvel por 8.b. 23.800 divisvel por 8, pois 800 divisvel por 8.DIVISIBILIDADE POR 9Um nmero divisvel por 9, quando a soma dos seus algarismos formam um nmerodivisvel por 9.Exemplo:a. 297 divisvel por 9,pois 2 + 9 + 7 = 18 divisvel por 9.b. 1.107 divisvel por9,pois 1 + 1 + 0 + 7 = 9 divisvel por 9.c. 8.883 divisvel por9,pois 8 + 8 + 8 + 3 = 27 divisvel por 9.DIVISIBILIDADE POR 10Um nmero divisvel por 10 quando termina em 0 (zero).Exemplo:a. 12.340 divisvel por 10.b. 987.650 divisvel por 10.DIVISIBILIDADE POR 11Um nmero divisvel por 11, quando a diferena entre a soma dos algarismos deordem par e a soma dos algarismos de ordem mpar divisvel por 11.Exemplo:a. 14.927 divisvel por 11 pois, soma dos algarismos de ordem par: 4 + 2 = 6 soma dos algarismos de ordem mpar: 1 + 9 + 7 = 17Diferena: 17 6 = 11 divisvel por 11.14MatemticaExemplo:a. 909.293 divisvel por 11. soma dos algarismos de ordem par: 0 + 2 + 3 = 5 soma dos algarismos de ordem mpar: 9 + 9 + 9 = 27Diferena: 27 5 = 22 divisvel por 11.MLTIPLOS E DIVISORESSendo x e y nmeros inteiros; x mltiplo de y, se x produto de y por um outronmero inteiro z.Exemplo:a. 21 mltiplo de 7, pois 21 = 7 . 3b. 21 mltiplo de 3, pois 21 = 3 . 7c. 9 mltiplo de 3, pois 9 = 3 . (3)d. 0 mltiplo de 10 pois 0 = 10 . 0Observamosquezeromltiplodequalquernmerointeiro,pois0=x.0,paraqualquer nmero x Z.Se x , y so nmeros inteiros, definimos que x mltiplo de y ou z , tal que x= y . z,nestas condies y e z so divisores de x.Exemplo:a. 3 divisor de 21, pois 21 = 3 . 7b. 7 divisor de 21, pois 21 = 7 . 3c. 3 divisor de 9, pois 9 = 3 . (-3)d. 10 divisor de 0, pois 0 = 10 . 0Observao:Indicaremos por D(x) o conjunto dos divisores de x.Indicaremos por M (x) o conjunto dos mltiplos de x.D (x) = { d Z| ddivide x }M (x) = { m Z | m mltiplo de x }Exemplo:a. D(6) = { 6 ,3 ,2 ,1 ,1 ,2 ,3 ,6 }b. D(3) = { 3 ,1 ,1 ,3 }c. M(5) = { ... 15 ,10 ,5 ,0 ,5 ,10 , 15,...}d. M(2) = { ... 4 ,2 ,0 ,2 ,4 ,6 ,.... }NMEROS PRIMOSUm nmero inteiro x , x t1 primo, se e somente se, seus nicos divisores so 1, 1, x, x.15MatemticaObservao:Por esta definio observe que0 ,1 ,1, no so primos.NMEROS COMPOSTOS:Chamamosdenmerosparesaosnmerosquepossuemmaisdedoisdivisorespositivos.MXIMO DIVISOR COMUM (MDC)Dados dois inteiros x e y, no nulos, seu mximo divisor comum, que se indica porMDC(x , y), o maior elemento do conjunto( ) ( ) D x D y I .Exemplo:Sejam os inteiros 15 e 24Ento, temos:D (15)= { 15 , 5 , 3 , 1 , 1 , 3 , 5 , 15 }D (24)= { 24 , 12 , 8 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24}O mximo divisor comum de 15 e 24 ser o maior elemento deD (15) I D (24) = { 3 , 1 , 1 , 3 },logo: MDC (15 , 24) = 3.NMEROS PRIMOS ENTRE SIDizemos que dois inteiros so primos entre si, quando o MDC entre eles um.Exemplo:5 e 9 so primos entre si, pois o MDC (5 , 9)= 1MNIMO MLTIPLO COMUM (MMC)Dados dois inteiros x e y, no nulos, o mnimo mltiplo comum entre x e y, o menorelemento positivo do conjunto M (x) I M (y)Exemplo:Considere os inteiros 6, 8.M (6) = { ... 36 , 30 , 24 , 18 , 12 , 6 ,0 , 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , .... }M (8) = { .... 40 , 32 , 24 , 16 , 8 ,0 ,8 , 16 , 24 , 32 , 40 , 48 , .... }M (6)IM(8)= { .... 24 , 0 , 24 , 48 .... }O MMC (6, 8) o menor inteiro positivo do conjunto M (6) I M (8), logo oMMC (6 , 8) = 24.16MatemticaNota importante:Para se calcular o MDC ou MMC, consideramos a decomposio nos fatores primos.Sendo assim teremos:a. O MDC ser o produto dos fatores primos comuns tomados com os menoresexpoentesb. O MMC ser o produto de todos os fatores primos tomados com os maioresexpoentes.Exemplo:Considere os inteiros 40 e 72.40 2 72 220 2 36 210 2 18 25 5 9 31 3 3140 = 2 x 5172 = 2 x 3Logo: MDC (40, 72) = 2 = 8MMC (40, 72) = 2 x 3 x 51 = 8 x 9 x 5 = 360Exemplo:Calcule: MDC (72, 120) e MMC (72, 120)72 2 120 236 2 60 218 2 30 29 3 15 33 3 5 51 172 = 2 x 3 120 = 2 x 31 x 51MDC (72, 120) = 23 x 31 = 8 x 3 = 24MMC (72, 120) = 23 x 32 x 51 = 8 x 9 x 5 = 360Exemplo:Trs satlites artificiais giram em torno da Terra, em rbita constante.O tempo de rotao do primeiro de 42 minutos, o do segundo 72 minutos e odo terceiro 126 minutos.Em dado momento eles se alinham no mesmo meridiano, embora em latitudesdiferentes.Eles voltaro a passar, em seguida, simultaneamente, pelo meridiano depoisde :17Matemticaa. 16h e 24 minb. 7h e 48 minc. 140 mind. 126 mine. 8h e 24 minSOLUOO tempo de rotao do satlite A = 42 min.O tempo de rotao do satlite B = 72 min.O tempo de rotao do satlite C = 126 min.Houve uma coincidncia, a prxima coincidncia ocorrer daqui a:MMC (42, 72, 126) = 23 x 32 x 71=8 x 9 x 7 = 504 min.42 2 72 2 126 221 3 36 2 63 37 7 18 2 21 31 9 3 7 73 3 1142 = 21 X 31 X 7172 = 23 X 32126 = 21 X 32 X 71Logo, decorrero 504 minutos para que os satlites passem simultaneamentepelo mesmo meridiano.Dai,504 min 6024 min 8hResposta: 8h e 24 min. EExemplo:Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e no mesmo sentido, do mesmoponto de partida de uma pista circular. O primeiro d uma volta em 132 segundose o outro em 120 segundos. Calcule os minutos que levaro para se encontrarnovamente.a. 1.320b. 132c. 120d. 60e. 2218MatemticaSOLUOO primeiro d uma volta em 132 seg.O segundo d uma volta em 120 seg.Houve uma coincidncia, a prxima coincidncia ocorrer em :MMC (132, 120) = 23x31 x 51 x 111 = 1.320 seg.132 2 120 266 2 60 233 3 30 211 11 15 31 551132 = 22 x 31 x 111120 = 23 x 31 x 51MMC (132, 120) = 1.320 seg.1.320 seg 60120 seg 22 min0 Resposta: 22 min.ENMEROS FRACIONRIOS E DECIMAISSuponha que temos uma pizza e a dividimos em 8 pedaos iguais.Cada pedao representa 18 (um oitavo) da pizza.(19MatemticaLogo, os trs pedaos apresentados na figura acima representam 3 oitavos da pizza(38 da pizza).Ento o leitor tem que comear a entender que uma frao representa uma parcela(ou vrias parcelas) de um todo.Seja ento a frao ab.Chamamos de a o numerador da frao e de bo denominador da frao.Quandoodenominadordafraoforiguala10oumltiplode10afraoserchamada de frao decimal, caso contrrio de frao ordinria.Exemplo:a.18 frao ordinria.b.45 frao ordinria.c.310 frao decimal.d.7100 frao decimal.Quando o numerador for menor que o denominador, a frao ser chamada de fraoprpria, caso contrrio ser chamada de frao imprpria (ou mista).Exemplo:34 (prpria)45 (prpria)95 (imprpria)103(imprpria)obs: As fraes imprprias so tambm chamadas de mistas e escritas da formaqrb.20MatemticaExemplo:a.10331310 31 3b.74134 7 43 1c.19534519 54 3Onde:313 l-se 3 inteiros e 1 tero.134 l-se 1 inteiroe trs quartos.345 l-se 3 inteiros e quatro quintos.OPERAES NAS FORMAS FRACIONRIAS E DECIMAISADIO E SUBTRAO DE FRAESDevemos primeiramente reduzir as fraes a um denominador comum para depoisrealizar as operaes necessrias.Exemplo:a.234635+ + Vamos achar o denominador comum:3 - 6 - 5 23 - 3 - 5 31 - 1 - 5 51 - 1 - 1MMC (3, 6, 5) = 30Logo:2346352 x 10 + 4 x 5 + 6 x 33020 + 20 +18+ + 30583030:3 = 1030:6 = 530:5 = 6(((21MatemticaLogo, o resultado 5830 , que pode ser simplificado por 2 (dividindo numeradore denominador por 2).58302915114151529 Exemplo:4537221315+ + Vamos calcular o denominador comum:5 - 7 - 21 - 15 35 - 7 - 7 - 5 51 - 7 - 7 - 1 71 - 1 - 1 - 1 105MMC ( 5, 7, 21, 15 ) = 105Logo:105 : 5 = 21105 : 7 = 15105 :21 = 5105 :15 = 7Logo, a resposta ser a frao: 118105113105MULTIPLICAO DE FRAESBasta lembrar o esquema :abcda cb d Exemplo:47584 57 82056xxx quepodesersimplificada:bastadividironumeradoreodenominadorpor 4.2056514 + + + + + + 4 3 2 3 4 21 3 15 2 5 3 710584 45 10 21105118105521715215157x x x x

22MatemticaDIVISO DE FRAESBasta lembrar o esquema:abcdabxdc: Exemplo:253725731415: xEXERCCIOS RESOLVIDOS04. Calcule 34 de 160.Resposta : 34 x 160 = 3 x 40 = 12005. Calcule 35 de 200.Resposta : 35 x 200 = 3 x 40 = 12006. Qual o valor de X para que 35 seja 60.Resposta : 35X = 60 XxX x X 60 5320 5 10007. Qual o valor do produto : 11311411511n

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La.1nb.2nc.2 1 ( ) nnd.( )21 n n +e.( )31 n n +23MatemticaSoluo:11311411511 2334451 2

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_,

L Lnnn n Resposta:B08. Calcular 25de 34Resposta: = 2534620 simplificando por 2 temos : 62031009. Um comerciante vende uma mercadoria por R$ 1.200,00, ganhando nessatransao 15do preo de custo; por quanto deveria vender a mercadoriapara ganhar do preo de custo?SoluoSeja x o preo de custo.Logo,x x +15 representa R$ 1.200,00portanto,65x representa R$ 1.200,00Isto , 65x= 1.200,00 x1200 56.x = 200 . 5x = R$ 1.000,00OpreodecustoR$1.000.00;comoqueroganhar12dopreodecusto121000 de .

_, , temos que o preo de venda ser: R$ 1.000,00 + R$ 500,00=R$ 1.500,00.10. (FUVEST) Dividir um nmero por 0,0125 equivale a multiplic-lo por :a.1125b.18c. 8d. 12,5e. 8024MatemticaSoluo:Dividir um nmero por 0,0125 equivale a multiplic-lo pelo inverso10 0125 ,,Logo 10 0125 ,= 80. Resposta : E11. O produto de dois nmeros inteiros positivos, que no so primos entresi, igual a 825.Ento, o mximo divisor comum desses dois nmeros:a. 1b. 3c. 5d. 11e. 15Soluo:Sejam x e y os nmeros inteiros positivos dados. Como x e y no so primosentre si, existe um fator primo comum na decomposio deles.Como x . y = 825 = 3 . 52 . 11, ento, o fator primo comum s pode ser 5.Da o MDC ( x , y ) = 5Resposta: C12. Numa corrida de automveis, o primeiro corredor d uma volta completana pista em 10 segundos, o segundo, em 11 segundos e o terceiro em 12segundos.Quantas voltas ter dado cada um, respectivamente, at o momento emque passaro juntos na linha de sada ?a. 66, 60, 55b. 62, 58, 54c. 60, 55, 50d. 50, 45, 40e. 40, 36 e 32Soluo:Corredor A - d uma volta em 10 segundos.Corredor B - d uma volta em 11 segundos.Corredor C - d uma volta em 12 segundos.Dado que partiram juntos, passaro juntos em:25MatemticaMMC ( 10, 11, 12 ) = 660 segundos10 - 11 - 12 25 - 11 - 6 25 - 11 - 3 35 - 11 - 1 51 - 11 - 1 111 - 1 - 1 660Logo, em 660 seg.A - dar 6601066 voltasB - dar 6601160 voltasC - dar 6601255 voltasResposta: A13. Quantos divisores positivos possui o nmero 216?Soluo:Vamos decompor o nmero 216216 2108 254 227 39 33 31216 = 23 .33Para achar o nmero de divisores positivos, basta somar 1 a cada expoente emultiplic-los (3 + 1) .(3 + 1) = 4 . 4 = 16 divisores positivos.14. Temos3caixascomigualnmerodebalasemaisumacom10balasapenas, tirando-se 6 balas de cada uma das caixas, ficamos com 61 balas.Quantas balas tinha cada uma das 3 primeiras ?a. 23b. 25c. 28d. 31e. 3426MatemticaSoluo:Seja x a quantidade de balas em cada caixa.Logo, temos ( 3x + 10 ) balas nas 4 caixas.Se tirarmos 6 de cada caixa, ficaremos com:3x + 10 24 = 3x 14Logo, 3x 14 igual a 61.3x 14 = 613x = 61 + 14 3x = 75x = 753 x = 25Resposta : B15. Dois concursos tm o mesmo nmero de candidatos. Os34dos candidatosdo primeiro concurso excedem de 560 os25 dos candidatos do segundo.O nmero de candidatos de cada concurso :a. 2.000b. 1.800c. 1.600d. 800e. 400Soluo:Seja x o nmero de candidatos em cada concurso. Logo345254560560 20715 820560 80 20720560x x xx xxx x 1.600 candidatosResposta: C16. O salrio do Sr. Agenor 112vezes o salrio do Sr. Antenor. Ento, o Sr.Antenor ganha que frao do salrio do Sr. Agenor ?a.12b13c.23d.5627MatemticaSoluo:Se o salrio do Sr. Agenor 112 vezes o salrio do Sr. Antenor, ento, o salriodo Sr. Agenor 32do Sr. Antenor, isto , o salrio doSr. Agenor =32 salrio doSr. Antenor. Logo, o salrio do Sr. Antenor =23 salrio do Sr. Agenor.Resposta : C17. Resolva a expresso:( 25.308 ) + ( 9.080 ) ( +767 ) + ( +49 ) ( 6 )a. 35.210b. 15.406c. 16.952d. 33.578e. 35.100Resposta : E18. Efetuar os clculos: ( + 57 ) . ( 722 ) : ( 19 )a. 13.718b. 2.166c. 114d. 35e. 684Resposta : B19. Omaiordivisoreomenormltiplodosnmeros12,18e30so,respectivamente:a. 6 e 180b. 1 e 30c. 2 e 90d. 60 e 60e. 3 e 360Resposta : A20. Resolver a seguinte expresso :231612:341212

_,

+

1]11+

_,

a. 3b. 4c.41128Matemticad.53e.316Resposta: A21. A expresso 563a10215+

_,

idntica a :a.a419+b.1560215a+c.3101090a+d.a213+e.1336Resposta: A22. Efetuar as operaes :65,90 ( 57,40 : 2 ) 1,4 + 7,88a. 13,83b. 33,60c. 37,52d. 39,44e. 53,28Resposta: B23. Calcular : 0,0525101083a. 52,5b. 5,25c. 525d. 5.250e. 52.500Resposta: D29Matemtica24. Sabendo-se que A = 2x . 32 . 5 ,B = 22x . 3 . 52 e que MMC ( A , B ) tem 45divisores, o valor de x ser:a. 1b. 2c. 3d. 4e. 5Resposta : B25. O tero e a metade de um nmero fazem juntos 860. Qual esse nmero?a. 1.002b. 1.022c. 1.032d. 1.042e. 1.052Resposta : C26. Qual o nmero cujo125aumentado de 600 d 1.000 como soma ?a. 100b. 1.000c. 10.000d. 100.000e. 1.000.000Resposta : C27. Viviane quer comprar 4 pacotes de biscoitos que custam R$ 0,57 cadaum. Pagando com uma nota de R$ 10,00, quanto receber de troco?a. R$ 2,28b. R$ 7,30c. R$ 7,72d. R$ 9,43e. R$ 9,72Resposta : C28. Joo 4 anos mais velho que seu irmo Jos. Se em 1995 Jos completou22 anos, ento Joo nasceu em:a. 1.969b. 1.970c. 1.973d. 1.975e. 1.977Resposta : A30Matemtica29. Um produto que custa R$ 2,60 estava sendo vendido a R$ 1,70. Vivianeaproveitou a oferta e comprou 6 unidades do produto. Quanto Vivianeeconomizou?a. R$ 0,90b. R$ 4,30c. R$ 5,40d. R$ 5,60e. R$ 25,80Resposta : C30. JooeMariasoirmos.Marianasceuem1972eJoocompletou18anos em 1995. Qual era a idade de Maria quando Joo nasceu ?a. 2 anosb. 3 anosc. 5 anosd. 7 anose. 8 anosResposta : C31. Quero comprar 3 lpis ao preo de R$ 0,42 cada um. Pagando com umanota de R$ 10,00, quanto receberei de troco ?a. R$ 8,58b. R$ 8,74c. R$ 9,04d. R$ 9,58e. R$ 9, 74Resposta : B32. Augusto 7 anos mais novo que seu irmo Antnio. Se Antonio nasceuem 1971, quantos anos Augusto completou em 1995?a. 17b. 19c. 24d. 31e. 33Resposta: A33. (CESGRANRIO)Numacidadede248.000habitantes,arazoentreonmero de mulheres e de homens igual a 35. A diferena entre o nmerode homens e o nmero de mulheres de:a. 62.000b. 124.000c. 93.00031Matemticad. 155.000e. 208.000Resposta : A34. (CESGRANRIO) Um pequeno agricultor separou para consumo de suafamlia 18de sua produo de feijo. Se ainda sobraram 112 Kg para seremvendidos, a produo, em Kg, foi de:a. 128b. 160c. 360d. 784e. 846Resposta : A35. (CESGRANRIO) Quatro amigos compraram 850 arrobas de carne. Trsficaramcom1825dototaleoquartocomorestante.O1oficoucomodobro do 3o mais 100 arrobas; o 2o, com a metade do que coube ao lomais 40 arrobas. Quantas arrobas couberam, ao que comprou mais e aoque comprou menos, respectivamente?a. 612 e 238b. 612 e 105,5c. 311 e 195,5d. 311 e 105,5e. 238 e 105,5Resposta : D32MatemticaSistema Mtrico Decimal(medidas de comprimento, rea, volume,capacidade, massa e tempo)SISTEMA MTRICO DECIMALO sistema mtrico decimal o conjunto de medidas que tm como base a unidadepadro de comprimento chamada de metro, e seus mltiplos e submltiplos, queso: 10,100,1000, etc, vezes maiores ou menores.MEDIDAS DE COMPRIMENTOA unidade padro de medida de comprimento o metro e representamos por m.Ento teremos seus mltiplos e submltiplos.Mltiplos do metroKm - quilmetro (1000 metros)hm - hectmetro (100 metros)dam - decmetro (10 metros)Submltiplos do Metrodm - decmetro (0,1 metro)cm - centmetro (0,01 metro)mm - milmetro (0,001 metro)Na prtica interessante construir a escada abaixo:33MatemticaEXEMPLOS:Completar :a. 0,1234 km = ..................... mb. 2,3456 hm = ..................... mc. 0,3678 km = ................... cmd. 789,2 m = ...................... mme. 1.234,5 mm = ................... mf. 89.765,43 cm = .............. hmg. 765,3 dm = ..................... kmh. 23 m = ............................ cmi. 23 m = ............................ hma. Observe que vamos transformar km em m, logo, vamos descer trs graus emnossa escada, e no sentido da direita.Portanto, vamos deslocar a vrgula trs posies para a direita.Logo: 0,1234 km = 123,4 m.b. Observe que vamos transformar hm em m, logo, vamos descer dois degrausem nossa escada, e no sentido da direita.Portanto, vamos deslocar a vrgula duas posies para a direita.Logo: 2,3456 hm = 234,56 m34Matemticac. Observe que vamos transforrnar km em cm, logo, vamos descer cinco degrausem nossa escada e no sentido da direita.Portanto, vamos deslocar a vrgula cinco posies para a direita e neste casopreenchemos as posies com zero quando necessrio, logo: 0,3678 km =36.780 cmd. Observe que vamos transformar m em mm, analogamente aos itens anteriorese conclumos que 789,2 m = 789.200 mme. Observe que vamos transforrnar mm em m, logo, vamos subir trs degrausem nossa escada, e, portanto, agora no sentido da esquerda.Portanto, vamos deslocar a vrgula trs posies para a esquerda, logo: 1.234,5mm = 1,2345 m35Matemticaf. Observe que vamos transformar cm em hm, logo, vamos subir quatro degrausem nossa escada, e no sentido da esquerda, claro.Portanto, vamos deslocar a vrgula quatro posies para a esquerda.Logo : 89.765,43 cm = 8,976543 hmg. fcil verificar que:765,3 dm = 0,07653kmh. fcil verificar que:23 m = 2.300 cmi. fcil verificar que:23 m = 0,23 hmEXERCCIOCalcule em metros.a. 0,02 km + 0,1 hm + 2 m =b. 0,234 hm + 0,l dam + 30 cm =c. 0,045 km + 1000 m + 12.345dm =d. 0,25 hm + 200 dm + 1.000cm =e. 12,34 km + 300 m + 13.456 mm =Resposta: a. 32 mb. 24,7 mc. 2.279,5 md. 55 me. 12.653,456 m36MatemticaMEDIDAS DE SUPERFCIE (REA)A unidade padro de medida de superfcie o metro quadrado e representamos porm2.Ento teremos seus mltiplos e submltiplos.MLTIPLOS DO METRO QUADRADOkm2- quilmetro quadrado (1000.000 m2)hm2- hectmetro quadrado (10.000 m2)dam2- decmetro quadrado (100 m2)SUBMLTIPLOS DO METRO QUADRADOdm2- decmetro quadrado (0,01 m2)cm2- centmetro quadrado (0,0001 m2)mm2- milmetro quadrado (0,000001 m2)Naprticainteressanteconstruiraescadaabaixo,elembrarquecadadegrauequivale a duas casas decimais.Exemplo:Completar:a. 0,001234 km2 = ................... m2b. 0,002356 km2 = ................... m2c. 0,000036 hm2 =.................. cm2d. 0,789 m2 =........................ mm2e. 87.965,4 cm2 = .................. hm2Respostas: a. 1.234 m2b. 2.356 m2c. 3.600 cm2d. 789.000 mm2e. 0,000879654 hm237MatemticaMEDIDA DE VOLUMEA unidade padro de medida de volume o metro cbico e representamos por m3.Teremos, ento, mltiplos e submltiplos.MLTIPLOS DO METRO CBICOkm3- quilmetro cbico ( 1.000.000.000 m3 )hm3- hectmetro cbico ( 1.000.000 m3 )dam3- decmetro cbico ( 1.000 m3 )SUBMLTIPLOS DO METRO CBICOdm3- decmetro cbico (0,001 m3)cm3- centrmetro cbico (0,000001m3)mm3- milmetro cbico (0,000000001 m3)Naprticainteressanteconstruiraescadaabaixo,elembrarquecadadegrauequivale a trs casas decimais.EXEMPLO:Completara. 0,000.123.4 km3 = ............................... m3b. 0,000.234 km3 = .................................. m3c. 0,000.000.036 hm3 = ......................... cm3d. 0,000.789 m3 =................................. mm3e. 879.656,4 cm3 = .................................. m3Resposta:a. 123.400 m3b. 234.000 m3c. 36.000 cm3d. 789 000 mm3e. 0,8.796.564 m338MatemticaMEDIDAS DE CAPACIDADEA unidade padro de capacidade o litro e representamos porl .Ento teremos seus mltiplos e submltiplos.MLTIPLOS DO LITROkl - Quilolitro (1.000 litros)hl - Hectolitro (100 litros)dal - Decalitro (10 litros)SUBMLTIPLOS DO LITROdl - decilitro (0,1 do litro)cl - centilitro (0,01 do litro)ml - mililitro (0,001 do litro)Analogamente, teramos:Obs.: A relao entre a medida de capacidade e de volume :1l= 1 dm3Exemplo:Completara. 2l= ................................................... dm3b. 3 dm3 = ................................................. lc. 3.243l= ............................................. m3d. 8.426,7 m3 =...................................... dm3e. 5.000l= ............................................. m3Resposta: a. 2 dm3b. 3lc. 3,243 m3d. 8,4267 dm3e. 5 m339MatemticaMEDIDAS DE MASSAA medida de massa tem como unidade padro o grama e representamos por g.Anlogamente, temos os mltiplos e submltiplosMLTIPLOSQuilograma (kg) - 1.000 gHectograma (hg) - 100 gDecagrama (dag) - 10 gSUBMLTIPLOSDecigrama (dg) - 0,1 gCentigrama (cg) - 0,01 gMiligrama (mg) - 0,001 gMEDIDAS NO DECIMAISTEMPO1 Dia = 24 Horas1 Hora = 60 min.1 Minuto = 60 Seg.Ano Comercial = 360 DiasAno Civil = n exato de Dias = 365 dias (ou 366 dias)Ms Comercial = 30 DiasMs Civil = n exato de Dias = 28/29, ou 30, ou 31 diasEXEMPLO:Uma pessoa caminha com passadas iguais de 80 cm e com velocidade constantede 2m/s. Quantos passos ela dar em 60 segundos ?Soluo:v = 2m/st = 60 seg.s = vts = 2 60s = 120 ms = 12.000 cmO nmero de passos 12 00080150. passos40MatemticaEXEMPLO:Uma indstria possui, em seu reservatrio, 0,25dam3 + 150m3 + 22.000dm3 +3.000.000cm3 de leo de soja. A empresa pretende embalar o produto em latasde 900 ml . Sabendo-se que no processo de embalagem h uma perda de 1%do lquido, qual o nmero de latas de soja que a indstria produzir ?Soluo:0,25 dam3 = 250.000 dm3 = 250.000l150 m3 = 150.000 dm3 = 150.000l22.000 dm3 = 22.000 dm3 = 22.000l3.000.000 cm3 = 3.000 dm3 = 3.000lTotal = 425.000 dm3 = 425.000l1% de perdaResta4.250 420.750 llDistribumos em latas de 900 ml .Teremos:420.750l: 900 ml= 420.750l: 0,9l= 467.500 latas.EXEMPLO:100 dm x 0,1 dam x 100 mm =Soluo:100 dm x 0,1 dam x 100 mm = 10 m x 1 m x 0,1 m = 1m3EXEMPLO:Uma sala de 0,007 km de comprimento, 80 dm de largura e 400 cm de altura,tem uma porta de 2,40 m2 de rea e uma janela de 2m2 de rea. Sabendo-se quecom 1 litro de tinta pinta-se 0,04 dam2, indique a quantidade de tinta necessriapara pintar a sala toda, inclusive o teto.Soluo:Dados do problema:comprimento: 0,007 km = 7 mlargura: 80 dm = 8 maltura: 400 cm = 4 mEnto a rea total da sala, sem considerar o cho, :2 x 7 x 4 + 2 x 8 x 4 + 8 x 7 == 56 + 64 + 56 = 176 m2Deduzindo a rea da porta e janela, temos:176 m2 2,40 m2 2 m2 == 171,6 m2 a ser pintado.41MatemticaO problema diz que "com 1 litro de tinta pinta-se 0,04 dam2 (4 m2 ), fazendo a regrade trs, temos:1l _____ 4 m2xl _____ 171,6 m2x 17164,x =42,9 litrosEXEMPLO:Uma regio retangular de 20 km por 15 km est sendo mapeada em uma escalaem que 1 km : 300 km. Qual o menor nmero de folhas de papel de 5m x 2m queso necessrias para fazer tal mapa?Soluo:20 km x 15 kmMapeada a regio 20 km30015 km300que usa 0,06666 km x 0,05 kmisto :66,666 m x 50 mFolhas de papel 5 m x 2 mSe considerarmos 5 m x 2 m,teremos: 14 x 25 = 350 folhasSe considerarmos 2 m x 5 m,teremos: 34 x 10 = 340 folhasResposta: 340 folhasEXEMPLO:Para percorrer totalmente uma ponte de 100 m de comprimento, um trem de200 m, a 60Km/h, leva:Soluo:Ponte: 100mTrem: 200mv60.000 m3.600 s503m/ s s v t tsvt t 300 35090050t= 18 s42MatemticaEXEMPLO:Se 300 cm3 de uma substncia tm uma massa de 500g, quanto custaro 75 dldessa substncia, sabendo-se que vendida R$ 25,50 o quilograma?Soluo:Obs.: 1l= l dm3 , logo:300 cm3 = 0,3 dm3 = 0,3 l = 3dlCapacidade Massa3 dl 0,5 kg75 dl x kg3750 5,xx = 12,5 kgLogo, o custo total ser: 12,5 kg x 25,50 = R$ 318,75EXEMPLO:Uma tartaruga percorreu, num dia, 6,05 hm. No dia seguinte, percorreu mais0,72 km e, no terceiro dia, mais 12.500 cm. Podemos dizer que essa tartarugapercorreu nos trs dias uma distncia de :Soluo:Distncia percorrida no primeiro dia: 6,05 hm = 605 mDistncia percorrida no dia seguinte: 0,72 km = 720 mDistncia percorrida no terceiro dia: 12.500 cm = 125 mlogo:605 m + 720 m + 125 m = 1.450 mEXEMPLO:Num mapa, cuja escala 13.000.000a estrada Belm-Braslia tem 67 cm. Calcular,em km, a distncia real.Soluo:1 cm no mapa equivale a 3.000.000 cm na estradalogo: 67cm no mapa equivalem a 67 x 3.000.000 cm na estrada.Portanto, a distncia 201.000.000 cm; transformando para km: temos 2.010 km.43MatemticaEXEMPLO:Um automvel percorre a distncia de Braslia a Belo-Horizonte, de 729 km, em7 horas e 30 minutos. Qual a sua velocidade mdia?Soluo:Velocidade mdia = distanciatempoVelocidade mdia = 729 km7,5hVelocidade mdia = 97,2 km/hEXEMPLO:Na planta de um apartamento, as dimenses da sala so: 9 cm de largura e12cm de comprimento. Ao construir o apartamento, a sala ficou com uma largurade 7,5 m. A medida do comprimento dessa sala :Soluo:Na planta, temos:largura: 9cmcomprimento: 12cmNa construo, temos:largura: 7,5mcomprimento: xTrata-se de um problema de regra de Trs.largura comprimento9 cm 12 cm7,5 m x mx 12 7 59,x = 10m^44MatemticaEXEMPLO:Um automvel, com velocidade de 80 km/h, percorre uma estrada em 1h 30min.Em quanto tempo o mesmo automvel percorrer 3/5 da mesma estrada com25% da velocidade inicial ?Soluo:V1 = 80 Km/ht1 = 1,5 hS1 = v1 t1S1 = 80 x 1,5S1 = 120 kmS2 = 35120 S2 = 72 kmV2 = 25% 80V2 = 20 km/hTSVT22227220 T2 = 3,6 hLogo: T2 = 3 h + 0,6 hT2 = 3 h + 0,6 x 60 min.T2 = 3h e 36 min.EXEMPLO:Um arquiteto planejou uma caixa de gua de base quadrada, para 2.000 litrosdecapacidade,comalturaigualaodobrodolado.Naexecuodaobra,oconstrutor fez o lado igual altura planejada.Sabendo-se que a caixa de gua continuou com a mesma capacidade, a novaaltura mede :Soluo:A caixa de gua planejada:Como a capacidade era 2.000 litrosTemos:capacidade = 2.000l= 2.000 dm3 = 2 m3capacidade = 2 m345Matemticalogo:capacidade = 2x x2 = 2 m32x3 = 2 m3x3 = 1 m3x = 1 mConcluso: a altura planejada era 2x, portanto:altura planejada = 2mA caixa de gua construda com o lado igual altura planejada,logo: a capacidade 22y = 24y = 2y 24y = 0,5 mObs.: Entendemos como lado, a aresta da base.EXERCCIOS PROPOSTOS01. Se a velocidade mdia de um veculo 12m/seg., quantos quilmetrosele percorrer em 3 horas? (Dado: 1 hora equivale a 3.600 segundos).a. 129,60b. 130c. 132,50d. 135e. 148,40Resposta: A02. As dimenses de um terreno retangular so: 80m de comprimento por12m de largura. Em um outro terreno, a medida do comprimento 80% damedidadocomprimentodoprimeiro.Seambostmamesmarea,alargura do segundo terreno ? (em metros)a. 9b. 1046Matemticac. 12d. 15e. 18Resposta: D03. (BANESPA) - Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e no mesmosentido, do ponto de partida em pista circular. O primeiro d uma voltaem 132 segundos e o outro em 120 segundos. Calcule os minutos quelevaro para se encontrar novamente.a. 1.320b. 132c. 120d. 60e. 22Resposta: E04. O ptio de um colgio retangular e mede 104m de comprimento e 56mde largura. Quer-se plantar eucaliptos em volta, mantendo entre as rvo-res a mesma distncia, que deve ser a maior possvel. Determinar o n-mero de ps de eucaliptos, sabendo que se planta um p em cada canto.a. 40b. 38c. 35d. 29e. 18Resposta: A05. Um indivduo compra um terreno retangular que tem um permetro de 64metros e cuja largura 5 metros maior do que a metade do comprimento.Pode-se concluir que a relao entre a largura e o comprimento do terre-no :a. 3/5b. 7/9c. 5/7d. 6/8e. 4/6Resposta: B47Matemtica06. Duas vasilhas contm, em conjunto, 36 litros de gua. Se transfersse-mos, para a que tem menos gua, 2/5 da gua contida na outra, ambasficariam com a mesma quantidade de gua. Quantos litros de gua con-tm cada vasilha?a. 30 e 6b. 29 e 7c. 28 e 8d. 27 e 9e. 31 e 5Resposta: A07. Dois viajantes esto distantes, um do outro, 400 km. Se um deles viaja deprimeira classe e o outro de segunda classe, quanto dever viajar cadaum para que as suas despesas sejam as mesmas, sabendo-se que o pre-o, por km, R$ 75.000,00 para a primeira classe e R$ 50.000,00 para asegunda classe.a. 160 km e 240 kmb. 150 km e 250 kmc. 140 km e 260 kmd. 130 km e 270 kme. 120 km e 280 kmResposta: A08. Um automvel consome 8 litros de gasolina quando funciona durante 40minutos seguidos. Se funcionasse durante 3 horas e 20 minutos, quantoslitros de gasolina consumiria?a. 40 lb. 60 lc. 38 ld. 55 le. 72 lResposta: A09. Uma caixa leva 900 litros de gua, uma torneira a enche em 9 horas eoutra a esvazia em 18 horas. Abrindo-se as duas torneiras a caixa ficarcheia em :a. 18 horasb. 12 horasc. 06 horasd. 03 horase. 08 horasResposta: A48Matemtica10. (TTN) - Uma caixa de gua com capacidade de 960 litros, possue umatubulao que a enche em 7 horas. Possue um "ladro" que a esvazia em12 horas. Com a gua jorrando, enchendo a caixa e o "ladro" funcionan-do simultaneamente, em quanto tempo a caixa ficar cheia?a. 16h e 8min.b. 14h e 8min.c. 16h e 28min.d. 16h e 48min.e. 14h e 48min.Resposta: D11. Um gramado de 720 m2 foi podado por dois homens, que trabalharam 6horas por dia, durante 2 dias. Quantos metros quadrados trs homensconseguiriam podar se trabalhassem 8 horas por dia durante 3 dias?a. 2.160b. 2.560c. 2.060d. 2.000e. 2.560Resposta: A12. (TTN) - No interior de um colgio h um grande ptio quadrado compostode uma rea calada e outra no calada, destinado aos alunos. A reacalada est em redor rea no calada e tem uma largura de 3m nosseus lados paralelos. A rea da parte no calada est para a rea totaldo ptio, assim como 16 est para 25. O lado do ptio mede:a. 36mb. 24mc. 18md. 32me. 30mResposta: E13. (TTN) - Uma pessoa caminha com passadas iguais de 80cm, com veloci-dade constante de 2m/s. Quantos passos ela dar em 60s?a. 240b. 180c. 150d. 120e. 90Resposta: C49Matemtica14. Uma roda faz 4.590 rotaes em 27 minutos. Quantas rotaes far em2horas e 24 minutos?a. 24.480 voltasb. 28.440 voltasc. 24.840 voltasd. 24.880 voltasResposta: A15. Duas torneiras so abertas juntas, a primeira enchendo um tanque em 5horas, a segunda outro tanque de igual volume em 4 horas. No fim dequanto tempo, a partir do momento em que as torneiras so abertas, ovolume que falta para encher o segundo tanque 1/4 do volume que faltapara encher o primeiro tanque?a. 3h e 54 minb. 3h e 45 minc. 4h e 53 mind. 4h e 35 mine. 5h e 34 minResposta: B16. (MPU) - Uma pea de certo tecido foi dividida em 4 partes proporcionaisaos nmeros 10, 12, 16 e 20. Sabendo-se que a pea tinha 232 metros, ocomprimento do menor corte foi de:a. 20 metrosb. 40 metrosc. 30 metrosd. 48 metrose. 64 metrosResposta: B17. (MPU) Sabe-se que o comprimento, a largura e a altura de um depsitode gua, cuja capacidade de 7.680.000 litros so proporcionais, respec-tivamente, aos nmeros 10, 6 e 2, nessas condies a medida da larguradesse depsito de:a. 8 metrosb. 12 metrosc. 40 metrosd. 16 metrose. 24 metrosResposta: E50Matemtica19. (TRT) - Um trem de 400 metros de comprimento, tem velocidade de 10km/h.Quantotempoeledemoraparaatravessarcompletamenteumaponte de 300 metros de comprimento?a. 1min e 48segb. 2min e 24segc. 3min e 36segd. 4min e 12sege. 5minResposta: D51MatemticaJuros e PorcentagemCONCEITOS DE MATEMTICA FINANCEIRA1.1 INTRODUOO pouco tempo disponvel para o perfeito e ideal desenvolvimento dos alunosde Matemtica Financeira em classe, alm da necessidade de oferecer aoscandidatosaoscargospblicoseprivadosummaterialprticoprovocouonascimento desse material. Nas prximas pginas, o leitor ter a oportunidadede conhecer e manipular diversas formas de aplicaes financeiras e, conse-qentemente, analisar as relaes entre elas e as respectivas evolues como decorrer do tempo.1.2 DEFINIESJURO(J)Podemos definir juro como sendo a remunerao do emprstimode um re-curso financeiro, isto ,podemos encarar o juro como sendo o aluguel pago(ourecebido) pelo uso de um recurso financeiro.Por exemplo, suponhamos que pedimos um emprstimode R$ 1000,00 aoBanco da Praa, para pagamento de 10% de juro daqui a um ms . evidenteque o dinheiro no nosso, porm ele est a nossa disposio e podemosfazer o que bem entendermos com ele durante um ms. No fim do ms deve-mosdevolveraquantiadeR$1000,00epagarpeladisponibilidadedessaquantia nesse perodo; este pagamento , da disponibilidade, chamado dejuro. (neste caso R$ 100,00)CAPITAL(C)Chamamos de Capital ou Principal ao recurso financeiro transacionado. Noexemplo anterior o capital foi a quantia de R$ 1000,00.TAXA DE JURO(i) o valor do juro, em uma unidade de tempo, e ser expresso como porcen-tagem do capital, logo chamaremos de taxa de juro durante essa unidadede tempo.Sendo assim, teremos:a. A taxa de juro de 10% a.d.(dez por cento ao dia) significa que o valor do juro igual a 10% do capital, por dia.b. A taxa de juro de 20% a.a.(vinte por cento ao ano) significa que o valor dojuro igual a 20% do capital, por ano.52MatemticaSendo assim, teremos:J = JuroC = Capitali = Taxa de Juro expressa como porcentagem do capital.Da, pela definio, temos: iJCObservequepodemosconcluirquejuroemumaunidadedetempooproduto do capital pela taxa de juro, isto : J = C . iMONTANTE(M)Chamaremos de montante o capital acrescido do juro, e denotaremos por M,isto : M= C+JResumoa. A definio de juro equivalente ao pagamento de um aluguel de dinheiro.b. Observamos a definio taxa de juro(no singular), em uma unidade de tem-po, isto , taxa de juro definida para uma unidade de tempo.EXEMPLOQual o juro e o montante obtido em uma aplicao de R$ 1.000,00, duran-te um ano, a uma taxa de juro de 25% a.a.?Soluo:Como a taxa de juro est expressa no perodo anual temos:C= R$ 1.000,00i= 25% a.a.Logo o juro em um ano serJ = C.iJ = 1000 . 25%J = 1000 . 25100J = 10 . 25J = R$ 250,00 montante serM = C + JM = 1.000 + 250M = R$ 1.250,0053MatemticaREGIME DE CAPITALIZAOChamamosderegimedecapitalizaomaneiracomoomontanteevoluiatravs de vrios perodos, aos quais a taxa se refere. Sendo assim, teremosdois conceitos:a. Regime de Capitalizao Simples o regime em que a taxa de juro incide somente sobre o capital inicial.Portanto, em todos os perodos de aplicaes, os juros sero sempre iguaisao produto do capital pela taxa do perodo.EXEMPLOSeja a aplicao de um capital de R$ 1.000,00, taxa de juro igual a10%a.m.,durante3meses.Qualosjurostotaisequalomontantedessa aplicao, se o regime o de capitalizao simples?Soluo:Seja J1 o juro no fim do primeiro ms:J1 = 1.000 x 10%J1 = R$ 100,00Seja J2 o juro no fim do segundo ms:J2 = 1.000 x 10%J2 = R$ 100,00Seja J3 o juro no fim do terceiro ms:J3 = 1.000 x 10%J3 = R$ 100,00Assim teremos o Juro Total (J):J = J1+J2+J3J = 100,00 + 100,00 + 100,00J = R$ 300,00O montante (M) ser:M = C+JM = 1.000,00 + 300,00M = R$ 1.300,00b. Regime de Capitalizao Composta o regime em que a taxa de juro incide sobre o montante obtido no perodoanterior, para gerar juros no perodo atual.EXEMPLOSeja a aplicao de um capital de R$ 1.000,00 taxa de juro igual a10% a.m., durante 3 meses, no regime de capitalizao composta.54MatemticaNo fim do 1 ms teremos o Juro e o Montante:J1 = 1.000 x 10%J1 = R$ 100,00M1 = R$ 1.100,00No fim do 2 ms teremos o Juro e o Montante:J2 = 1.100 x 10%J2 = R$ 110,00M2 = R$ 1.210,00No fim do 3 ms teremos o Juro e o Montante:J3 = 1.210 x 10%J3 = R$ 121,00M3 = R$ 1.331,00FLUXO DE CAIXA a representao grfica de um conjunto de entradas e sadas de dinheirorelativas a um determinado intervalo de tempo, na seguinte forma:a. Coloca-se na linha horizontal o perodo consideradob. Representam-se as entradas por setas de sentido para cima, e as sadascom setas de sentido para baixo.c. Evidentemente haver sempre dois pontos de vista.EXEMPLOUm carro, que custa RS 500.000,00 vendido a prazo por 5 prestaesmensais e iguais a R$ 120.000,00, com a primeira prestao vencendo 1ms aps a venda.No ponto de vista do vendedor a diferena entre a soma das entradas e ovalordocarro,correspondeaosjurosrelativosaplicaodeR$500.000,00, tambm representada no grfico.C = R$ 500.000,00No ponto de vista do comprador a diferena entre a soma das sadas e ovalordocarro,correspondeaojurorelativoaoemprstimodeR$500.000,00, tambm representada no grfico55MatemticaC = R$ 500.000,00R$ 120.000,00CAPITALIZAO SIMPLES1. CLCULO DE JUROS SIMPLES E MONTANTESejaCumCapital(ouPrincipal)aplicadotaxaiporperodo,duranteumprazo de n perodos consecutivos, sob o regime de capitalizao simples.Conforme vimos no captulo anterior, os juros sero iguais em todos os pero-dos, e, portanto, teremos:Onde:J1 = J2 = J3 = ... = Jn = C.ida, o Juro total nos n perodos serJ = J1 + J2 + J3 + ... = JnJ = C.i + C.i + C.i + ... + C.iJ = C.i.nPara o Montante teremosM = C+JM = C + C.i.nM = C.[ 1 + i . n]EXEMPLOSQual o valor dos juros obtidos por um emprstimo de R$ 2.000,00, peloprazo de 3 meses, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada de5% ao ms?Soluo:C = R$ 2.000,00i = 5% a.m.n = 3 meses56MatemticaJ = C . i . nJ = 2.000 . 5% . 3J = 2.000 . 5100 . 3J = 20 . 5 . 3J = R$ 300,00Um capital de R$ 500.000,00 aplicado durante 5 meses, a juros simples,rende R$ 10.000,00. Determinar a taxa de juros cobrada.Soluo:C = R$ 500. 000,00n = 5 mesesJ = R$ 10.000,00J = C . i . n10.000 = 500.000 . i . 52.500.000 . i = 10.000i = 100002500000.. .i = 1250 = 0,004i = 0,4% a.m.Calcular o montante da aplicao de R$ 100.000,00, pelo prazo de 6 me-ses, taxa de juros simples de 5% a.m.Soluo:C = R$ 100.000,00n = 6 mesesi = 5% a.m.M=C.[1+i.n]M = 100.000 . [1 + 5% . 6]M = 100.000 . [1 + 30%]M = R$ 130.000,002. TAXAS PROPORCIONAISDuas taxas so ditas proporcionais se mantiverem entre si a mesma razoque os perodos de tempo a que se referem.Assim, a taxa i1 a . n1 proporcional taxa i2 a . n2 se, e somente se:iinn121257MatemticaEXEMPLOQual a taxa mensal proporcional taxa de 36% a.a.?Soluo:iinn1212i136%112i1 = 3% a.m.3. TAXAS EQUIVALENTESDuas taxas so ditas equivalentes, a juros simples, se aplicadas a um mesmocapital e durante um mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo juro.Sejam:i: a taxa de juros simples aplicada no perodo de 0 a 1ik: a taxa de juros simples aplicada a cada intervalo fracionrio 1k

_, do perodo.Se i e ik so equivalentes, temos:J = C.ie J = C.ik.kento: iikk EXEMPLOQual a taxa mensal simples equivalente a 36% a.a.?iikkik 36%12ik = 3% a.m.Qual a taxa semestral simples equivalente taxa de 10% a.m.?i = ? a.s.ik =10% a.m.K = 1 semestre = 6 mesesi = ik . k58Matemticai = 10% . 6i = 60% a.s.Obs.: Observe que no regime de capitalizao simples, as taxas equiva-lentes produzem o mesmo conceito que as taxas proporcionais.EXEMPLOCalcular o juro simples de uma aplicao de R$ 1.000,00, taxa de juro de36% a.a., durante o prazo de 6 mesesC = R$ 1.000,00i = 36% a.a.n = 6 mesesObserve que o perodo a que se refere a taxa (ano) no o mesmo perodo deaplicao (ms). Portanto, a taxa mensal equivalente a 36% a.a. ser 3% a.m.Logo:J=1.000 . 3% . 6J = 1.000 . 3100 . 6J = R$ 180,004. JURO EXATO E JURO COMERCIAL (ORDINRIO)Quando as aplicaes ocorrem por alguns dias ser conveniente utilizarmos ataxa equivalente diria. Nesse caso teremos dois enfoques:a. Ano Civil: 365 dias ou 366 dias para ano bissexto e os meses com o nme-ro real de dias.b. Ano Comercial: 360 dias e os meses com 30 dias.Os juros que seguem o enfoque a so chamados de juros exatos.Os juros que seguem o enfoque b so chamados de juros comerciais (ouordinrios).EXEMPLOQual o juro exato de uma aplicao de R$ 365.000,00, taxa simples de10% a.a. durante 10 dias?Soluo:C = R$ 365.000,00i = 10% a.a.n = 10 dias59MatemticaTaxa diria equivalente a 10% a.a. = 10%365 a.d.J = 365.000. 10%365. 10J = 1.000 . 10% . 10J = R$ 1.000,005. VALOR ATUAL E VALOR NOMINALChamamos de Valor Nominal de um ttulo, ao valor dele na data de vencimen-to. Tambm conhecido como valor face.Chamamos de Valor Atual de um ttulo, ao valor dele em qualquer data anteriorao seu vencimento.No caso de capitalizao simples, o valor atual de um ttulo ser o valor queaplicado, a juros simples, durante os n perodos de antecipao ao seu venci-mento, produzir como montante o valor nominal do ttulo.Chamando de N o valor nominal e V o valor atual com n perodos deantecipa-o teremos:Dessa forma:N = V . [1 + i.n]V= Ni n 1+ .EXEMPLOO valor nominal de um ttulo de R$ 1.600,00 sendo que seu vencimentoocorrer daqui a 3 meses.Se a taxa de juros simples de mercado de 20% a.m., determine o valoratual do ttulo hoje.60MatemticaSoluo:N = R$ 1.600,00i = 20% a.m.n = 3 meses de antecipaoV = Ni n 1+ .V = 16001 20%.3.+V = R$ 1.000,00EXERCCIOS RESOLVIDOS1. Calcule a taxa de juro mensal, proporcional s seguintes taxas:a. 300% a.a.b. 90% a.s.Soluo:a. i = 300%12 = 25% a.m.b. i = 906 = 15% a.m.Respostas:a. 25% a.m.b. 15% a.m.2. Seja um capital de R$ 800.000,00, investido durante 4 meses e a taxa dejuros simples de 120% a.a.. Calcule:a. O juro obtidob. O montanteSoluo:C = R$ 800.000,00i = 120% a.a. (equivalente a i = 10% a.m.)n = 4 mesesa. J = C.i.nJ = 800.000 . 10% . 4J = R$ 320.000,00b. M = C + JM = 800.000 + 320.000M = R$ 1.120.000,00Respostas:a. J = R$ 320.000,00b. M = R$ 1.120.000,0061Matemtica3. Em que prazo R$ 12.000,00 rende R$ 1.800,00, se a taxa de juros simplesutilizada 5% a.m.?Soluo:C = R$ 12.000,00J = R$ 1.800,00i = 5% a.m.J = C . i . n1.800 = 12.000 . 5% . nn = 180012 000 5%.. = 3 mesesResposta: 3 meses4. Calcule a taxa de juros simples de uma aplicao, sabendo que apliqueiR$ 5.200,00 e resgatei R$ 6.448,00, depois de 4 meses.Soluo:C = R$ 5.200, 00M = R$ 6.448, 00n = 4 mesesJ = R$ 1.248, 00 (por que ?)J = C . i . n1.248 =5200 . i . 4i = 12485200 4.i = 0,06i = 6% a.m.Resposta: 6% a.m.5. Em quantos meses um capital de R$ 740.000,00, aplicado a 3,6% a.m., ajuros simples, render juro necessrio para a formao de um montantede R$ 953.120,00?Soluo:C = R$ 740.000,00M = R$ 953.120,00i = 3,6% a.m.J = R$ 213.120,00 (por que?)J = C . i . n213.120 = 740.000. 3,6% . nn = 213 120740000 3 6% . ,= 8 mesesResposta: 8 meses62Matemtica6. Um capital aplicado taxa dejuros simples de 8%a.m., triplica em queprazo?Soluo:C = Capital aplicadoM = 3 C (por que ?)i = 8% a.m.J = 2 C (por que ?)Como:J = C . i . n2C = C . 8% . n8% . n = 2n = 2008 = 25 mesesResposta: 25 meses7. Um investidor recebeu R$ 480.000,00 por uma aplicao de R$ 300.000,00 taxa de juros simples de 10% a.m.. De quantos meses foi essa aplica-o?Soluo:M = R$ 480.000,00C = R$ 300. 000,00i = 10% a.m.J = R$ 180.000,00 (por que ?)J = C . i . n180.000 = 300.000 . 10% . nn = 180 000300000 10%.. n = 6 mesesResposta: 6 meses8. Possuo uma letra de cmbio no valor nominal de R$ 1.300.000,00, que resgatvel daqui a 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros simples cor-rente de mercado de 10% a.m., quanto devo pagar por esta letra hoje?Soluo:N = R$ 1.300.000,00n = 3 meses (perodo de antecipao)i = 10% a.m.V = Ni n 1+V = 13000001 10% 3. .+ V = R$ 1.000.000,00Resposta: R$ 1.000. 000,0063MatemticaPORCENTAGEMA porcentagem nada mais do que uma notao ( % ) usada para representar umaparte de cem partes.Isto , 20% l-se 20 por cento, que representa a frao2010030% l-se 30 por cento, que representa a frao 30100EXEMPLO:Calcule:a. 10% de 200b. 15% de 300c. 25% de 400Soluo:a. A palavra, "de" deve ser entendida como produto.10% 200 20 de 200=10100 b.15% 3004 50010045 de 300=15100 .c.25% 40010000100100 de 400=25100 .Agora vamos ver como so simples os problemas que envolvem porcenta-gem.Estes problemas geralmente so encontrados no nosso cotidiano.EXEMPLO:A mdia de reprovao em concurso de 82%. Quantas pessoas seroaprovadas em um concurso pblico com 6.500 inscritos ?Soluo:Se a mdia de reprovao de 82%, vamos concluir que a mdia de aprova-o de 18%.Logo, basta calcular :18% 6 500 1170 de 6.500=18100 aprovados . .64MatemticaEXEMPLO:Se eu comprar um objeto por R$ 20.000,00 e vend-lo por R$ 25.000,00,qual ser a minha porcentagem de lucro?Soluo:Lucro: R$ 25.000,00 R$ 20.000,00Lucro: R$ 5.000,00Logo,paraacharaporcentagembastadividirolucropelabase,isto,dividir R$ 5.000,00 por R$ 20.000,00:5 000200000252510025%.., EXEMPLO:Sabendo que um artigo de R$ 50.000,00 foi vendido com um abatimentode R$ 1.600,00, encontrar a taxa usada na operao.Soluo:Basta dividir o abatimento pelo preo do produto, isto :1600500000 0323 21003 2%..,,, EXEMPLO:Um produto foi vendido, com um lucro bruto de 20%. Sobre o preo totalda nota, 10% correspondem a despesas. O lucro lquido do comerciante de:Soluo:Vamossupor,semperdadegeneralidade,queopreoinicialdoproduto100.Preo inicial - 100Preo de venda com lucro de 20% 120Despesa (10% de 120) 12Preo com lucro lquido = 120 12 = 108Logo, lucro lquido = 108 100 = 8Logo, % do lucro lquido = 8100 = 8%EXEMPLO:Joocomproudiretamentedeumafbricaumconjuntodesofspagando R$ 322.000,00 incluindo o Imposto sobre Produtos Industrializa-dos (IPI). Sabendo-se que a alquota do imposto de 15%, ad valorem, ovalor do imposto foi de:65MatemticaSoluo:Seja :x o valor do produtox +15%x= 322.000x + 0,15x = 322.0001,15x = 322.000x 322000115.,x = R$ 280.000,00Logo, o valor do imposto :R$ 322.000,00 R$ 280.000,00 = R$ 42.000,00EXEMPLO:Um cliente obteve do comerciante desconto de 20% no preo da mercado-ria. Sabendo-se que o preo de venda,sem desconto, superior em 20%ao custo, pode-se afirmar que houve por parte do comerciante um .... :Soluo:Preo de custo = 100 (un.)Preo de venda s/desc = 120 (un.)Preo de venda c/desc. = 120 x 80% = 96 (un.)Comparando o preo de custo com o preo de venda c/ desconto, temos:96 1001004% Houve um prejuzo de 4%EXEMPLO:Maria vendeu um relgio por R$18.167,50 com prejuzo de 15,5% sobre opreo de compra. Para que tivessem um lucro de 25% sobre o custo, eladeveria ter vendido por:Soluo:Preo vendido: R$ 18.167,50Preo de compra: x84,5%x = 18.167,50x 18167 500845. ,,x = 21.500Para ter um lucro de 25%,Teremos:21.500 x 1,25 = R$ 26.875,0066MatemticaEXEMPLO:A empresa Vestebem comprou o produto A pagando 10% de impostosobre o preo de aquisio e 30% de despesas com transporte sobre ocusto da mercadoria, com o imposto. Sabendo-se que na venda de A aempresa obteve um lucro de R$ 143,00, correspondente a 20% sobre opreodeaquisiomaisdespesas(impostoetransporte),opreodeaquisio da mercadoria com o imposto foi de R$:Soluo:x . (1,10. 1,30 . 0,20) = 143x 143110 130 0 2 , , ,x = R$ 500,00 (preo da mercadoria)Impostos (10%) = R$50,00Preco de aquisio da mercadoria + imposto: R$ 550,00EXEMPLO:Umlojistasabeque,paranoterprejuzo,opreodevendadeseusprodutos deve ser no mnimo 44% superior ao preo de custo. Porm, elepreparaatabeladepreosdevendaacrescentando80%aopreodecusto, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momentoda compra.Qual o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preoda tabela, de modo a no ter prejuzo?a. 10%b. 15%c. 20%d. 25%e. 36%Soluo:Sejax - preo de custopreo de venda sem prejuzo = x . 1,44preo de venda com 80% = 1,80 . xLogo, xx144180,,= 0,8% = 80%Portanto, preo de venda sem prejuzo = 80% do preo de venda com 80%de acrscimo.Da, o desconto mximo ser de 20%.67MatemticaEXEMPLO:Joovendeuumfogocomprejuzode10%sobreopreodevenda.Admitindo-se que ele tenha comprado o produto por R$ 264.000,00 o pre-o de venda foi de:Soluo:Seja:x - preo de vendaComo teve prejuzo de 10% sobre o preo de venda, temos:Preo de compra = preo de venda + 10% preo de venda264.000 = x + 10% . x264.000 = x + 0,1 . x264.000 = 1,10 . x1,10 . x = 264.000x 264 000110.,= 240.000O preo de venda foi de R$ 240.000,00EXEMPLO:Um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com um lucro de 10%; em se-guida, foi revendido por R$ 20.700,00. O lucro total das duas transaesrepresenta, sobre o custo inicial do terreno, um percentual de:SOLUOSe um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com 10% de lucro, ento opreo inicial foi de:16 50011015000.,. Logo, o lucro total foi:20700 15 00015 000. .. 5 70015 0000 38 38%.., 68MatemticaEXERCCIOS PROPOSTOS01. A frao 0,01040,65 equivalente a :a.1250b.2125c.150d.3125e.7250Resposta: B02. Efetuando-se 121,70 81,80 101,8630 + + , obtm-se:a. 1,72b. 1,74c. 1,75d. 1,78e. 1,79Resposta: D03. Pelopagamentoatrasadodaprestaodeumcarn,novalordeR$1.200,00, recebeu-se uma multa de 7,5 % do seu valor. O total pago foi :a. R$ 1.250,00b. R$ 1.275,00c. R$ 1.290,00d. R$ 1.680,00e. R$ 2.100,00Resposta: C04. Se uma pesssoa j liquidou os 716 do valor de uma dvida, a porcentagemdessa dvida que ainda deve pagar :a. 56,25%b. 56,5%c. 58,25%d. 58,5%e. 62,25%Resposta: A69Matemtica05. Um lojista comprou 180 canetas de um mesmo tipo e vendeu 120 delaspelomesmopreototalpagopelas180.Sevendercadaumadas60canetas restantes ao preo unitrio das outras 120, a porcentagem delucro desse lojista, pela venda de todas as canetas, ser de:a. 40%b. 50%c. 52%d. 55%e. 60%Resposta: B06. Um ttulo, no valor de R$ 80.000,00, foi pago com 3 meses de antecedncia,sofrendo um desconto comercial simples de R$ 1.500,00. A taxa anual dodesconto foi :a. 7,75%b. 7,5%c. 7,25%d. 6,5%e. 6,25%Resposta: B07. (BANESPA) - Um pequeno silo de milho perdeu 15% da carga pela aoderoedores.Vendeu-se1/3dacargarestanteeaindaficoucom42,5toneladas.Portanto,acargainicialemtoneladas,antesdaaodosroedores, era:a. 61b. 75c. 87,5d. 90e. 105Resposta: B08. (TTN) - Num clube 2/3 dos associados so mulheres. Se 3/5 das mulheresso casadas e 80% das casadas tm filhos, o nmero de associados doclube, sabendo-se que as mes casadas so em nmero de 360, de:a. 4.500b. 1.752c. 750d. 2.250e. 1.125Resposta: E70Matemtica09. Sabendo que um artigo de R$ 50.000,00 foi vendido com abatimento deR$ 1.600,00, encontrar a taxa utilizada na operao.a. 3,2%b. 3,5%c. 3,8%d. 4,2%e. 2,3%Resposta: A10. Calcular a taxa que foi aplicada a um capital de R$ 4.000,00, durante 3anos, sabendo-se que se um capital de R$ 10.000,00 fosse aplicado duranteo mesmo tempo, a juros simples de 5% a.a., renderia mais R$ 600,00 queo primeiro. A taxa de:a. 8,0% a.ab. 7,5% a.ac. 7,1% a.ad. 6,9% a.ae. 6,2% a.aResposta: B11. Dois capitais esto entre si como 2 est para 3. Para que, em perodo detempoigual,sejaobtidoomesmorendimento,ataxadeaplicaodomenor capital deve superar a do maior em:a. 20%b. 60%c. 40%d. 50%e. 70%Resposta: D12. (TTN) - Um negociante comprou alguns bombons por R$ 720,00 e vendeu-osaR$65,00cadaum,ganhando,navendadetodososbombons,opreo de custo de um deles. O preo de custo de cada bombom foi de:a. R$ 12,00b. R$ 75,00c. R$ 60,00d. R$ 40,00e. R$ 15,00Resposta: C71MatemticaRazo e Proporo;Regra de Trs Simples e Composta;Divises Proporcionais.RAZES E PROPORESSejam quatro nmeros a, b, c, e d (todos diferentes de zero). Dizemos que a, b, c, edformam uma proporo se a razo ab igual a razo cd. Ento indicaremos aproporo por:abcd l-se: a est para b; assim como c est para d.Obs.: Chamamos tambm a e dde extremos da proporo e b e c de meios daproporo. Alm disso dizemos que a e c so antecedentesda proporo;b e d so conseqentes da proporo.EXEMPLO:Na proporo 1, 2, 3, e 6 temos: 1236l-se: 1 est para 2 assim como 3 est para 6.antecedentes: 1 e 3conseqentes: 2 e 6meios: 2 e 3extremos: 1 e 6PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA PROPOROEm toda proporo o produto dos meios igual ao produto dos extremos.EXEMPLO:a.abcd ento ad = bcb.1236 ento 1 x 6 = 3 x 272MatemticaEXEMPLO:Verifique se os itens abaixo so ou no propores:a.341216b.2367Soluo:a.341216, como o produto dos extremos tem que ser igual ao produto dos meiostemos: 3 . 16 = 48 = 4 . 12. Logo, 341216 uma proporo.b.2367, observe que o produto dos extremos no igual ao produto dos meios,isto , 2 . 7 = 143 . 6 = 18. Logo, 2367 no uma proporo.EXEMPLO:Calcule x nas propores:a.34 20xb.238xSoluo:a.34 20x, como o produto dos meios tem que ser igual ao produto dos extremos,temos,4x=3.204x = 60 x=604 x = 15b.238x, como o produto dos extremos tem que ser igual ao produto dos meios,temos2x = 3 . 82x = 24x x 2421273MatemticaPROPRIEDADEQuando somamos (ou subtramos) os antecedentes e os conseqentes a proporono se altera. Isto :Se abcd uma proporo, ento: abcda cb da cb d ++EXEMPLO:Calcular x e y na proporo x2y6 , sabendo que x + y = 4 .Soluo:Se x y2 6 uma proporo, ento, x y x y2 6 2 6 ++Logo:x y x y2 6 8 +x y2 648 Logo:x24888 8x = 4.2 8x = 8 x =x = 1y648248 8y = 6.4 8y = 24 y =y = 3EXEMPLO:Calcular x e y na proporox36y12, sabendo que x y = 6 .Soluo:Como x y36 12 uma proporo, temos: x y36 12 =x - y36 - 12x y36 12 =x - y24x y36 12 =624Dax3621624 62424x = 36.6 24x = 216 x =x = 9y127224 62424y =12.6 24y = 72 y =y = 374MatemticaSRIE DE RAZES IGUAIS OU PROPORES EM SRIEChamamos de srie de razes aigualdade de vrias razes.abcd=...mnEXEMPLO:1.21 42=63=842.39 412=515=618=721PROPRIEDADESeja a srie de razes abcd=... =mnento:aba c mb d n + + ++ + +cd=... =mn......EXEMPLO:Calcule x , y , z , na srie de razo x3y5 = z1, sabendo que x + y + z = 180Soluo:x3 y5=z1=x + y + z3 + 5 +1Logox3 y5=z1=1809x35409 18099x = 3.180 9x = 540 x =x = 60y59009 18099y = 5.180 9y = 900 y =y =100z11809 18099z = 1.180 9z = 180 z =z = 2075MatemticaEXERCCIOS01. Calcular x, tal que x510517Resposta: x = 15002. Calcular o valor de x, tal que 14412x10Resposta: x = 12003. Calcular x e y, na proporo x4y5, sabendo que x + y = 45.Resposta: x = 20; y= 2504. Calcular x e y, na proporo x5y3, sabendo que x y = 14Resposta: x = 35; y= 2105. Calcular x ,y , z e wna srie de proporox5y4z3w7 = =, sabendo que x+ y + z + w = 114Resposta: x = 30; y= 24; z=18e w=4206. Calcular a e b na proporo a19b17, sabendo que a + b = 72Resposta: a = 38; b= 3407. Calcular a e b na proporoa4b3, sabendo que a b = 5Resposta: a = 20; b= 1508. Calcular x e y na proporo x12y3, sabendo que x2 + y2 = 68Resposta: x = 8; y= 2ou x=-8 e y=-209. Calcular x e y na proporox10y5, sabendo que x2 y2= 12Resposta: x = 4; y= 2ou x=-4 e y=-210. Calcular a, b e c sabendo que 8ab = 5ac = 2bce a + b + c = 150Resposta: a = 20; b= 50; c=8011. Calcule x, y e z na srie de proporo 1x2y = 4z, sabendo que x . y . z = 64Resposta: x = 2;y= 4; z=812. Calcular x ,y e z na proporo x2y3 = z4, sabendo que 2x + 3y + 4z = 58Resposta: x = 4; y= 6; z=876Matemtica13. Calcular x, y e z na proporo x1y2 = z3, sabendo que 4x + 3y + 2z = 48Resposta: x = 3; y= 6; z= 914. Calcular x, y e z sabendo que 2xy = 3xz = 4yz e que x + y + z = 18Resposta: x = 8; y= 6; z=4RAZESChamamos de razo entre dois nmeros a e b (b # 0) ao quociente de a por b.Denotamos:abou a : b ( l-se a est para b )EXEMPLO:a. A razo de 1 est para 2 12 ou 0,5.b. A razo de 9 est para 3 93 ou 3.c. A razo de 24 est para 4 244 ou 6.Obs.: Sendo assim chamaremos de razo entre duas grandezas razo entre suasmedidas.EXEMPLO:a. A razo entre 2m de um fio e 5m de uma linha :Soluo:25mm 25= 0,4b. Um carro percorre 20Km em 30 minutos. Ento a razo entre o espaopercorrido e o tempo gasto :Soluo:2030kmmin 23km/ minDIVISES PROPORCIONAISDIRETAMENTE PROPORCIONAISDizemos que duas grandezas so diretamente proporcionais, quando a razo entreseus valores sempre constante.77MatemticaEXEMPLO:Sejam x e y duas grandezas, tal que:x : 2 , 3 , 5y : 6 , 9 , 15logo, x e y so diretamente proporcionais, pois : 26 39=515INVERSAMENTE PROPORCIONAISDizemosqueduasgrandezassoinversamenteproporcionais,quandooprodutoentre seus valores sempre constante.EXEMPLO:Sejam x e y duas grandezas, tal que:x : 1 , 2 , 3y : 12 , 6 , 4logo, x e y so inversamente proporcionais, pois: 1 x 12 = 2 x 6 = 3 x 4EXEMPLOS DE DIVISES PROPORCIONAISVamos iniciar esta seo com um exemplo.EXEMPLO:Dividir o nmero 80 em trs partes diretamente proporcionais a 2 , 3 e 5.Soluo:Como vamos dividir o nmero 80 em trs partes. Sejam, x , y e z essas partes, datemos:x + y + z = 80Como as grandezas x , y e z tm que ser diretamente proporcionais a 2 , 3 e 5 temos,que a razo entre os valores das grandezas constante.Isto , xk k2 ,y3= k e z5Portanto, temos:xk 2 x = 2k(1)yk 3 y = 3k(2)zk 5 z = 5k(3)78MatemticaSomando as equaes (1), (2) e (3) temos:x = 2ky = 3k+z = 5kx + y + z = 10k 10k = x + y + z10k = 80 kk80108O k chamado de constante de proporcionalidade.Como queremos os valores de x, y e z, basta substituir k = 8, nas equaes(1), (2)e (3).Logo:x = 2k x = 2 x 8 x = 16y = 3k y = 3 x 8 y = 24z = 5k z = 5 x 8 z = 40EXEMPLO:Dividir 120 em trs partes diretamente proporcionais a: 3 , 4 e 5.Soluo:J observamos que se x , y e z so as partes procuradas, temos: x + y + z = 120Analogamente, como as grandezas x , y e z tm que ser diretamente proporcionaiss grandezas 3, 4 e 5 temos, que a razo entre seus valores sempre constante, da:x3= kx = 3k (1)y4= ky = 4k (2)z5= kz = 5k (3)Somando (1), (2) e (3), temos:x = 3ky = 4k +z = 5k120 = 12k12k = 120 k = 10Substituindo k =10 em (1), (2) e (3) temos:x = 3 . 10 x = 30y = 4 . 10 y = 40z = 5 . 10 z = 50Ento o aluno j percebeu que, os problemas de divises proporcionais so sim-plesmente as aplicaes de grandezas proporcionais.Vamos agora ver os casos de inversamente proporcionais.79MatemticaEXEMPLO:Dividir o nmero 52 em trs partes inversamente proporcionais a 2 , 3 e 4.Soluo:Sejam x, y e z as trs partes procuradas. Da temos: x + y + z = 52Como as grandezas x, y e z so inversamente proporcionais as grandezas 2 , 3 , e 4,temos, que o produto dos seus valores so constantes, da:2x = k3y = k4z = kDa teremos:xk2(1)yk3(2)zk4(3)Logo, somando (1) , (2) e (3) temos:x y zk+ + 2+k3+k4522k+k3+k4k252 +k3+k46 4 312k k k + += 521312k= 52 k =52.1213 k=48k chamado de constante de proporcionalidade.Substituindo k = 48 em (1), (2) e (3) temos:x = 482 x = 24; y = 483 y = 16; z = 484 z = 1280MatemticaEXEMPLO:Dividir o nmero 94 em trs partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 5.Soluo:Analogamente, sejam x, y e z as partes procuradas, da, x + y+ z = 94Como x, y e z so inversamente proporcionais a 3, 4 e 5 temos que o produto entre osvalores constante, da:3x = k x =k3(1)4y = k y =k4(2)5z = k z =k5(3)Somando (1), (2) e (3) temos:x y zk+ + + =k3+k4 5945=k3+k4 +kk3+k4 + k59420k +15k +12k60= 94

47k60= 94k 94.6047k=120logo, a constante de proporcionalidade k = 120.Substituindo k = 120 em (1), (2) e (3) temos:x 1203 x = 40y 1204 y = 30z 1205 z = 24REGRA DE SOCIEDADEGeralmente, os problemas de divises proporcionais que envolvem divises de lu-cros, prejuzos, capitais e etc., recebem o nome de regra de sociedade.81MatemticaEXEMPLO:(TTN) Dois scios lucraram com a dissoluo da sociedade e devem dividirentre si o lucro de R$ 28.000,00. O scio A empregou R$ 9.000,00 durante 1 anoe 3 meses e o scio B empregou R$ 15.000,00 durante 1 ano. O lucro do scio Afoi de:a. R$ 8.000,00b. R$ 10.000,00c. R$ 12.000,00d. R$ 14.000,00e. R$ 16.000,00Soluo:Este um problema tpico de regra de sociedade.x = a parcela de lucro do scio A.y = a parcela de lucro do scio B.Ento: x + y = 28.000ComooscioAficounaempresa1anoe3meses(15meses)eempregouR$9.000,00, temos que x diretamente proporcional a 15 e 9.000, logo :x = 9.000 x 15 kx = 135.000 k (1)Analogamente, o scio B ficou na empresa 1 ano (12meses) e empregou R$ 15.000,00,temos ento, que y diretamente proporcional a 12 e 15.000 , logo :y = 15.000 x 12 ky = 180.000 k (2)Se: x + y = 28.000x = 135.000 ky = 180.000 kx + y = 315.000 k315.000 k = 28.000k 28.000315.000k 28315k 445Substituindo k 445 em (1) e (2), temosx 135 000 . .445 x = 12.000y 180 000 . .445 y = 16.000Resposta: C82MatemticaEXEMPLO:Trs scios querem dividir um lucro de R$ 13.500,00. Sabendo-se que partici-param da sociedade durante 3, 5 e 7 meses. Qual a parcela de lucro de cadaum?Soluo:Sejam :x a parcela do 1 scio.y a parcela do 2 scio.z a parcela do 3 scio.Como o lucro diretamente proporcional ao tempo na sociedade, temos que:x + y + z = 13.500x = 3k (1)y = 5k + (2)z = 7k (3)13.500 = 15 kk = 900Logo, substituindo em (1), (2) e (3) temos:x = 3 x 900 x = R$ 2.700,00 (lucro do 1 scio).y = 5 x 900 y = R$ 4.500,00 (lucro do 2 scio).z = 7 x 900 z = R$ 6.300,00 (lucro do 3 scio).EXERCCIOS RESOLVIDOS1. Um prmio de R$ 152.000,00 ser distribudo aos cinco participantes deum jogo de futebol de salo, de forma inversamente proporcional s fal-tas cometidas por cada jogador. Quanto caber a cada um, se as faltasforam 1, 2, 2, 3 e 5? (R$)Soluo:x=k, y = k2, z = k2, v = k3, w = k5k + k2 + k2 + k3 + k5 = 152.00030 15 15 10 630152000k k k k k + + + + .763015200076k .k =152.000 30 k = 60.00083Matemticax =R$ 60.000,00 (1 jogador).y =R$ 30.000,00 (2 jogador).z =R$ 30.000,00 (3 jogador).v =R$ 20.000,00 (4 jogador).w = R$ 12.000,00 (5 jogador).2. Distribuir o lucro de R$ 28.200,00 entre dois scios de uma firma, saben-do que o primeiro aplicou R$ 80.000,00 na sociedade durante 9 meses eque o segundo aplicou R$ 20.000,00 durante 11 meses.Soluo:x = 9 x 80.000 ky = 11 x 20.000 kx + y = 28.200Logo:x = 720.000 ky = 220.000 k28.200 = 940.000 kk 28 200940 0003100.. k =Logo:x 7200003100. .x =R$ 21.600,00y 2200003100. .y =R$ 6.600,003. Trs pessoas formaram uma sociedade entrando com a mesma quantia,sendo que o capital da l pessoa esteve empregado durante 2 anos, o da2 pessoa durante 3 anos e o da 3 pessoa durante 20 meses. Se o lucroauferido for de R$ 400.000, quanto receber a 1 pessoa, sabendo-se queela ainda tem mais 10% de lucro, conforme contrato?Soluo:Sejam :x = 24 ky = 36 kz = 20 kx + y + z = 360.00080 k = 360.000k = 4.500A 1pessoa receber:x = 24 x 4.500 = 108.000 mais 40.000, portanto, receber: R$ 148.000,0084Matemtica4. Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia til de cada ms, os trsprimeiros fregueses que chegarem ao seu estabelecimento coma quan-tiadeR$507.000,00divididaempartesinversamenteproporcionaisa2 14,123 e 1,2. Nessas condies, o prmio de menor valor a ser pago serde:Soluo:Observe que :214=2 4 +14=94123=1 3 + 23=53Logo:xk k94, y = ,z =k1,253xk 49yk 35zk12 ,Portanto:x y zk k+ + 493+5+k1,2507 00024 32 4 4554.,+ +k k k k = 270.000x 49270.000 x =R$ 120.000,00y 35270.000 y =R$ 162.000,00z 27000012., z =R$ 225.000,00Resposta: R$ 120.000,0085Matemtica5. Duas pessoas devem dividir entre si a importncia de R$ 180.000,00. Aprimeira pretende receber 23 da importncia total e a segunda acha quetem direito a receber R$ 72.000,00. Por fim concordaram em dividir a im-portnciatotalproporcionalmentesrespectivaspretenses.Quantorecebeu cada uma?Soluo:Primeira pessoa (x): de 23 180.000.00 = 120.000Segunda pessoa (y): 72.000Assim temos:x = 120.000 ky = 72.000 kx + y = 180.000 = 192.000 kk 180000 .192.000 k =1516x 120 00015.16 x =112.500y 7200015.16 y = 67.5006. Joo resolveu fazer um bolo para jogar na sena. Convidou inicialmentePedroedepoisAntnio,tendoJoocontribudocomR$12,00eseusamigos com R$ 6,00 e R$ 18,00, respectivamente. Sabendo-se que a re-partio do prmio, a Joo, Pedro e Antnio, foi feita diretamente propor-cional s importncias desembolsadas e inversamente proporcional aosnmeros 2, 3 e 6, respectivamente, e que Antnio ganhou R$ 12.000,00,mais que Pedro. O valor do prmio foi de R$:Soluo:Joo J 1212k J = 6kPedro P 613k P = 2kAntnio A 1816k = 613k +12.0001816k = 613k +12.0003k = 2k + 12.0003k - 2k = 12.000 k = 12.00086Matemticateremos:Joo = 6k = 6 x 12.000 = 72.000Pedro = 2k = 2 x 12.000 = 24.000Antnio = 2k + 12.000 = 2 x 12.000 + 12.000 = 36.000Total do prmio = 132.0007. Doisamigosconstituemumasociedadeparticipandoo1comR$10.000,00 e o 2 com R$ 8.000,00. Aps 10 meses de existncia da empre-sa, o 1 scio aumentou seu capital em mais R$ 5.000,00. Decorridos 2meses dessa data o 2 scio retirou R$ 2.000,00 de sua cota inicial. Sa-bendo-se que ao final de 2 anos apurou-se um lucro de R$ 23.900,00. Ao2 scio coube a participao no lucro de: (R$).Soluo:x = R$ 10.000 . 10 + R$ 15.000 . 14 x = 310.000 ky = R$ 8.000 . 12 + R$ 6.000 . 12 y = 168.000 kx + y = 478.000 k23.900 = 478.000 kk 23 900 .478.000 k = 0,05logo:y = 168.000 x 0,05 y = R$ 8.400,008. Uma pessoa deseja repartir 135 balas para duas crianas, em partes quesejam ao mesmo tempo proporcionais diretamente 2/3 e 4/7 e inversa-mente a 4/3 e 2/21. Quantas balas cada criana receber ?Soluo:x 239k4y 4721k2x + y = 135logo:xk32y = 6k13536 +kk215135k2 k =135 215 k = 1887MatemticaLogo:xk 3 32 x =218x = 27y = 6k y = 6 . 18y = 1089. Dividir o nmero 570 em trs partes, de tal forma que a primeira estejapara a segunda como 4 est para 5, e a segunda esteja para a terceiracomo 6 est para 12.Nestas condies, a terceira parte vale:Soluo:Sejam as partes x ,yezLogo :xyy=45 x =54yz=612 y =12z =z26x + y + z = 570Logo:xz 4225y =45 x =5zSe:x + y + z = 57025705z +z2 + z4 5 10 z z z + +10= 57019 570 1010z = 570 z =19z = 30010. Uma herana de R$ 200.000,00 foi dividida entre trs irmos, de acordocom suas idades e de tal forma que ao mais velho caberia a maior parcelae ao mais novo a menor parcela. Juntos, os irmos mais velhos recebe-ram R$ 150.000,00. Sabendo-se que a soma das idades dos trs irmos de 40 anos, a idade do irmo mais novo, contada em anos :88MatemticaSoluo:t1 , t2 , e t3 as idades dos irmos, ex, y e zas respectivas parcelas, onde: t1 < t2 < t3Ento temos:x + y + z = 200.000y + z = 150.000logo:x = 50.000Temos ainda que:t1 + t2 + t3 =40Como ao mais velho caberia a maior parcela temos que a diviso direta-mente proporcional as idades.Logox = k t1(1)y= k t2(2)z= k t3(3)Somando (1), (2) e (3)x + y + z = k . ( t1+ t2 + t3 ) 200.000 = k . 40 40 . k = 200.000k = 5.000Voltando em (1)x = k . t150.000 = 5.000 . t15.000 . t1 = 50.000t150 000 .5.000 t =101Portanto, a idade do mais novo 10 anos.11. TrsamigosA,BeCconstituemumasociedadeque,apsumano, apura um lucro de R$ 48.000,00, cabendo ao scio B R$ 16.000,00e a C o valor correspondente a 13 de A. Sabendo-se que o capital deC R$ 24.000,00 menor do que do B, o capital da empresa de R$:Soluo:Soluo - Regra de sociedadelucro do 1 xlucro do 2 y = 16.000lucro do 3 x389Matemticalucro total: x + 16.000 + x3 = 48.0004x3= 32.000x =32.000 34x = 24.000Portanto, teramos :lucro do 1 scio = 24.000 = k . c1(1)lucro do 2 scio = 16.000 = k . c2(2)lucro de 3 scio = 8.000 = k . (c2 24.000) (3)Dividindo (2) por (3), temos :kc2k (c - 24.000)=16.0008.0002c2c - 24.000= 2c = 2c - 48.00022 2c2 = 48.000Da substituindo c2 em (2), temos :k . c2 = 16.00048.000 . k = 16.000k 16 000 .48.000 k =13Substituindo k em (1), temos:k . c1 = 24.00013c = 24.000 c = 24.000 3 c = 72.0001 1 1 Portanto, temos:Capital do lscio R$ 72.000,00.Capital do 2scio R$ 48.000,00.Capital do 3scio RS 24.000,00.Total R$ 144.000,0090MatemticaREGRA DE TRS SIMPLESChamamosdeproblemasderegradetrsaotipodeproblemasqueenvolvemgrandezas diretamente ou inversamente proporcionais.Vamos iniciar esta seo com um exemplo simples:EXEMPLO:24 operrios fizeram 60 metros de um muro. Quantos operrios, nas mesmascondies, faro 90 metros do mesmo muro?Soluo:O caminho para resolver ser mais fcil se voc se concentrar nas variveis, vejaento que as variveis so operrios e metros do muro.Analise ento que, quanto mais (menos) metros de muro tiverem que ser construdos,mais (menos) operrios sero necessrios.Observamos que quanto mais cresce (ou diminue) a varivel metros do muro maiscresce (ou diminue) a varivel operrios. Isto , quanto maior for o muro mais operriossero necessrios. Logo, as duas variveis tem o mesmo sentido. Neste caso, como mesmo sentido, fixamos um sentido para a varivel que possui a incgnita (veja afigura), e como possuem o mesmo sentido repetimos o sinal da figura.OperriosMetros de Muro Agora colocamos os dadosOperrio Metros de Muro24x6090Como o sentido o mesmo, mantemos a razo:24 6090 xAgora s resolver60x = 24 x 90x = 36 operriosAgora vamos criar um algoritmo para resolver.1. Leia o problema e escreva todas as variveis envolvidas.OperriosMetros de Muro2. Veja em que sentido elas variam, fazendo uma pergunta, por exemplo quantomais metros de muro temos que fazer, mais ou menos operrios precisamos?.Resposta: mais operrios . Logo, verifica-se que tm o mesmo sentido, asvariveis.91Matemtica3. Desenhe o sentido das variveis,Operrios Metros de Muro4. Coloque agora os dados.Operrios Metros de Muro24x60905. Escreva a razo da varivel que possui a incgnita e o sinal de = .24x6. Se possui o mesmo sentido mantenha a razo da outra.24 6090 x7. Agora resolva a operao60x = 24 x 90x = 36 operriosEXEMPLO:Um funcionrio recebeu R$ 960,00 por 24 dias de trabalho. Quanto deveria re-ceber se trabalha-se 30 dias ?Soluo:1. Leia o problema e escreva todas as variveis envolvidas.Salrio Dias2. Quantomaisdiassetrabalha,maisoumenossalriosdevemosreceber?Resposta: mais salrios; logo, temos o mesmo sentido para as variveis.Salrio Dias3. Vamos colocar os dados.Salrio Dias960x24304. A razo da varivel que possui a incgnita (Salrio) e o sinal de =960x=5. Como as variveis possuem o mesmo sentido, mantemos a razo da outravarivel.960 2430 x92Matemtica6. 24x = 960 x 30x 960 3024x = R$ 1.200,00EXEMPLO:24operriosfazemumservioem40dias.Emquantosdias30operriosfaro o mesmo servio?Soluo:1. Escreva as variveisOperrios Dias2. Quanto mais operrios trabalham, menos dias vo levar para terminar. Logo,observe que o sentido oposto, logo escolha um sentido para cada varivel.Operrios Dias 3. Coloque os dados:Operrios Dias243040x4. Escreva a razo da varivel que possui a incgnita e "="40x5. Como o sentido "contrrio", inverta a razo da outra varivel e iguale40 3024 xlogo: 30x = 40 x 24 30x = 960 x = 32 diasREGRA DE TRS COMPOSTAOs problemas de regra de trs que possuem mais de duas variveis, so conhecidoscomo problemas de regra de trs composta.EXEMPLO:Em 30 dias, 24 operrios asfaltaram uma avenida de 960 metros de comprimen-to por 9 metros de largura. Quantos operrios seriam necessrios para fazerum asfaltamento, em 20 dias, de 600 metros de comprimento por 10 metros delargura.93MatemticaSoluo:1. Primeiramente vamos escrever as variveis envolvidas no enunciado.DIAS OPERRIOS COMPRIMENTO LARGURA2. Vamos colocar os dados e a incgnita do problema.DIAS OPERRIOS COMPRIMENTO LARGURA30 24 960 920 x 600 103. Vejamos qual a varivel que possui a incgnita e a relao (direta ou inversa)entre ela e as outras variveis. Quanto mais dias tenho de prazo, menos operrios preciso. (Relao in-versa). Quanto mais comprido for o asfaltamento mais operrios preciso para reali-za-lo. Quanto mais largo for o asfaltamento mais operrios eu preciso.4. Vamos escrever a razo da varivel "operrios" e considerar as outras razes, noproduto delas, conforme a relao direta ou inversa.DIAS OPERRIOS COMPRIMENTO LARGURA302024x96060091024 2030960600910 x Simplificando:24 239660910 x Simplificando, ainda temos:24 23966091012481553x/ /24 2 8 35 104850 x 24x48x = 24 x 5048x = 1.200 x = 25 operrios94MatemticaEXEMPLO:Um gramado de 720m2 foi podado por dois homens, que trabalharam 6 horaspor dia durante 2 dias. Quantos metros quadrados trs homens conseguiriampodar se trabalhassem 8 horas por dia durante 3 dias.Soluo:Vejamos as variveis e os dados do problema.GRAMADO HOMENS HORAS POR DIA DIAS720 2 6 2x 3 8 3Vejamos as relaes entre a varivel Gramado e as outras. Quanto mais Gramado podado mais homens sero necessrios. Quanto mais horas por dia os homens trabalharem mais Gramado seria po-dado. Quanto maior for o Gramado, mais dias de trabalho sero necessrios.GRAMADO HOMENS HORAS POR DIA DIAS720x236823720 236823 x 720 2472 x24x = 720 x 72x = 2.160 m2EXEMPLO:24 operrios fazem 25 de determinado servio em 10 dias, trabalhando 7 horaspor dia. Em quantos dias a obra estar terminada, sabendo-se que foram dis-pensados 4 operrios e o regime de trabalho diminudo de 1 hora por dia.Soluo:Vejamos as variveis.OPERRIOS DIAS HORAS POR DIA SERVIOAntes de colocar os dados, veja que se 25 do servio foi feito, ento falta 35 paraterminar a obra,logo:OPERRIOS DIAS HORAS POR DIA SERVIO242010x76253595Matemtica10 2024672535x Calculando:2535255323//10 202467231021 x 10xx = 21 diasEXEMPLO:Se 23 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operrios trabalhando 6 horaspor dia, o restante da obra ser feito, agora com 6 operrios, trabalhando 10horas por dia, em quantos dias?Soluo:Evidente que teremosOBRA DIAS OPERRIOS HORAS POR DIA23135x86610Observe que: Quanto maior for a obra mais dias sero necessrios. Quanto mais operrios esto trabalhando menos dias sero necessrios. Quanto mais horas por dia trabalharem menos dias sero necessrios.5 681062313x 5 2168106 x 5 12048 x120x = 5 . 48x = 2 diasEXEMPLO:Uma empresa se compromete a realizar uma obra em 30 dias, iniciando-se aobra com 12 operrios, trabalhando 6 horas dia. Decorridos 10 dias, quando jhavia realizado 1/3 da obra, a empresa teve que colocar 4 operrios para outroprojeto. Nessas condies para terminar a obra no prazo pactuado, a empresadeve prorrogar o turno por mais:96MatemticaSoluo:Regra de trs composta.OBRA DIAS OPERRIOS HORAS/DIA12330201286x6 1 203081223x 6 812 x 8x = 72x = 9 horas/diaPortanto, a empresa deve prorrogar o turno por mais 3 horas.EXEMPLO:Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6horas por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8 horas por dia, a estrada ser conclu-da em:Soluo:TRABALHADORES DIAS HORAS/DIA10 96 610 x 8Trata-se de regra de trs, quanto mais horas/dias, ser preciso menos dias.Da teremos:TRABALHADORES DIAS HORAS/DIA101096x68Logo: 96 101086 x x =96 68x=72diasEXEMPLO:12pedreirosconstroem27m2deummuroem30dias,de8horas.Quantashoras devem trabalhar por dia 16 operrios, durante 24 dias, para construrem36m2 do mesmo muro?Soluo:PEDREIROS MURO DIAS HORAS/DIA1216273630248x8 161227362430 x 97Matemtica8 45 xx = 10 horas/diaEXEMPLO:Um criador sabe que 900 frangos consomem, em 30 dias, 8,1 toneladas de ra-o.Eleadquiriu1.000frangose10,5toneladasderao.Considerando-seque o agricultor pretende abater essas aves daqui a 40 dias, quando elas esti-verem no peso ideal, o criador para que no falte alimento as aves, deve com-prar, adicionalmente, a quantidade de rao em Kg. de:Soluo:FRANGOS DIAS RAO9001000 .304081 ,x81 9001000304091034,. x 8,1x81 274040,x 27x = 8,1x = 12 toneladas ou x = 12.000 kg.Deve o agricultor adicionar :12.000 10.500 = 1.500 kg.98MatemticaSistema do 1 grauUm sistema de equaes do 1 grau com n variveis, um conjunto de equaes dotipoai1 . x1 + ai2 . x2 + ... ain . xn = bionde i* e ai1 , ai2 ... ain so nmeros reais.Vamos concentrar nossa ateno somente nos sistemas com duas variveis.EXEMPLOS:a.x yx y + '12 7b.2 4 1012 4 4x yx y+ 'Queremos, no caso de duas variveis, achar os valores de x e y que satisfazem atodas as equaes, simultaneamente.MTODOS DE RESOLUO1. Mtodo da substituioExpressamos uma das variveis em funo da outra, ento substitumos estafunonaoutraequao.Teremosentoumaequaocomapenasumaincgnita. Resolvendo esta equao chegamos a soluo parcial do sistema,bastandoapenassubstituirovalorencontradonaexpressoinicialparaencontrar a soluo final.ExemploVamos encontrar a soluo do seguinte sistema de equaes do 1 grau.x yx y + '12 7Vamos expressar a varivel x em funo da varivel y, na primeira equaox yx y + '12 7 x = 1+ y(*)Substituindo a expresso da varivel x na segunda equao teremosx + 2y = 71 + y + 2y = 71 + 3y = 7 3y = 7-1 3y = 6y =36 y = 299MatemticaEncontramos o valor da incgnita y (y=2).Substituindo y = 2 na equao (*) temosx = 1+yx = 1+2 x = 3Logo, a soluo do sistema : x = 3ey = 2EXEMPLO:Encontrar a soluo do sistema de equao do 1 grau.2 4 1012 4 410 42x yx yy+ ' 2x=10 - 4yx x=5 - 2y(*)Substituindo (*) na segunda equao temos:12x - 4y = 412 (5-2y) - 4y = 460 - 24y - 4y = 460 - 28y = 4-28y = 4-60-28y = -56y 5628y = 2Substituindo o valor de y (y=2) na equao (*) temos:x = 5-2yx = 5 - 2 2x = 5 - 4 x = 1Logo, a soluo do sistema : x = 1ey = 22. Mtodo da comparaoExpressamosamesmaincgnitaemtodasasequaeseigualamosasexpresses. Encontramos assim uma das incgnitas. Para encontrar a soluoda outra incgnita basta substituir o valor encontrado em uma das expressesanteriores.EXEMPLO:Vamos encontrar a soluo do seguinte sistema de equaes do 1 grau.x yx yy y + '+ 12 71 7 2

x =1+ y (*) x = 7 - 2y 1+y+2y=7 1+3y=7 3y=7-1 3y = 6 y 63

y = 2100MatemticaSubstituindo y = 2 em (*) temosx = 1+y x=1+2 x=3Logo a soluo :x = 3 e y = 2EXEMPLOVamos encontrar a soluo do seguinte sistema de equaes do 1 grau.2 4 1012 4 4 4 412x yx y y+ '+'

x =10 - 4y2 x x = 5 - 2y (*)x =1+ y3(**)Igualando (*) e (**) temos5 213 +yy3(5-2y) = 1 + y15 - 6y = 1 + y-7y = -14y 147y = 2Substituindo y=2 em (*) teremosx = 5 - 2yx = 5 - 2 2x = 5 - 4x = 1Soluo:x = 1ey = 23. Mtodo de reduo ao mesmo coeficienteComparamos as duas equaes de modo que possuam o mesmo coeficientepara a mesma incgnita. Eliminamos ento esta incgnita obtendo assim asoluo da outra.Aps obter esta soluo procedemos como no caso anterior.Alguns exemplos para facilitar a compreenso.Exemplo:x yx y + '12 7Multiplicando a primeira equao por 2 teremos:2 2 22 7x yx y + '101MatemticaSomando as equaes:2 2 22 7x yy + 'x+3x=9 x = 3Substituindo x = 3 na primeira equao:x - y = 13 - y = 1- y = 1-3- y = -2y = 2Soluo x = 3 e y = 2EXEMPLO2 4 104 4x yx y+ '12Somando as duas equaes:2 4 104 4x yx y+ '12 +14x=14 x =1Substituindo x = 1 na primeira equao:2x + 4y = 1021 + 4y = 102 + 4y = 104y = 10 - 24y = 10 - 24y = 8 y = 2Soluox = 1 e y = 2EXEMPLO2 6 184 11x yx y+ + 'Calculando o MMC (6,4) = 12, vemos que basta multiplicar a primeira equaopor 2 e a segunda equao por 3.Obtemos ento4 12 363 12 33x yx y+ + '102MatemticaSubtraindo as equaes temos4 12 363 12 33x yx y+ + ' -x = 3Substituindo na 1 equaoObtemos 2x + 6y = 1823 + 6y = 186 + 6y = 186y = 18 - 66y = 12y = 2TIPOS DE SISTEMAa. Sistema possvel e determinado o sistema que possui apenas uma soluo possvel. Podemos represent-lopor duas retas concorrentes.b. Sistema possvel e indeterminadoO sistema possvel e indeterminado quando uma equao for resultado damultiplicao da outra por uma constante. Neste caso cada equao representaa mesma reta. H infinitas solues.c. Sistema impossvelNestecasoosistemanopossuisoluo.Asequaesrepresentamretasparalelas.103MatemticaEXERCCIOS01. Resolva os sistemas:a.x yx y+ '71Resposta: x=4 e y=3b.x yx y+ '2 112Resposta: x=5 e y=3c.x yx y+ + '4 182 3 21Resposta: x=6 e y=3d.3 7 232 3 23x yx y + 'Resposta: x=10 e y=1e.2 5 133 13x yx y+ + 'Resposta: x=4 e y=1f.x y zz u xy z uu x y+ + + + + + + + '6345Resposta: x=2; y=3; z=1e u=0g.x yxy+ '32Resposta: x=1 e y=2 ou x=2 e y=1h.x yxy+ '56Resposta: x=2 e y=3 ou x=3 e y=2i. + '1025Resposta: = 5 e = 5j.x yx uy zz u+ + + + '4338Resposta: Impossvel104MatemticaPotenciao e RadiciaoPOTENCIAOSeja a um nmero real diferente de zero e n um nmero natural positivo.Ento,an =a . a . a . a ....... an vezesPOR DEFINIO a1 = a e a0 = 1EXEMPLOa. 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81b. 210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1.024a-n = 1anEXEMPLOa.2121833 b.41416433 PROPRIEDADES: a R, a 0 m, n N1. am . an = am+n2.aaamnm n3