MatemáticaEmpresarial

MatemáticaEmpresarial

Márcia Castiglio da Silveira

Obra organizada pela Universidade Luterana do Brasil. Informamos que é de inteira responsabilidade dos autores a emissão de conceitos.

Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora da ULBRA.

A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei nº 9.610/98 e punido pelo Artigo 184 do Código Penal.

Márcia Castiglio da Silveira é natural de Porto Alegre, Rio Grande do Sul, nasceu em 25 de março de 1977. Formou-se professora das Séries Iniciais no Curso de Magistério em 1995. Ingressou na Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) em 1996, recebendo o diploma de Licenciada em Matemática em 30 de janeiro de 2000. Realizou o curso de Mestrado em Educação pelo Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (PPGEDU/UFRGS), no período 2000-2002. Sua dissertação tem o título “Produção de significados sobre Matemática nos cartuns”. Em 2008, concluiu o curso de Especialização em Educação a Distância pelo Senac/RS. Iniciou sua carreira na docência como professora substituta na Faculdade de Educação da UFRGS, entre 2002 e 2004. Ainda em 2002, foi nomeada professora do Estado do Rio Grande do Sul, onde ainda trabalha como professora de Matemática no Ensino Médio. Desde 2004, é professora na Universidade Luterana do Brasil (ULBRA) em diversos cursos tecnológicos, de graduação e de extensão.

Conselho Editorial EADDóris Cristina Gedrat (coordenadora)

Mara Lúcia MachadoJosé Édil de Lima Alves

Astomiro RomaisAndrea Eick

ISBN 978-85-7528-257-1

Dados técnicos do livro

Fontes: Antique Olive, Book AntiquaPapel: offset 90g (miolo) e supremo 240g (capa)

Medidas: 15x22cm

Impressão: Gráfica da ULBRAMarço/2010

Setor de Processamento Técnico da Biblioteca Martinho Lutero - ULBRA/Canoas

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

S587m Silveira, Márcia Castiglio da.Matemática empresarial. / Márcia Castiglio da Silveira. – Canoas: Ed.

ULBRA, 2010. 160p.

1. Matemática empresarial. 2. Regra de arrendodamento. 3. Estatística. 4. Medida de variabilidade. 5. Juros. 6. Séries de pagamento. I.Título.

CDU: 658.15

Sumário

Apresentação .....................................................................................7

1 Razão e proporção ..........................................................................11

2 Grandezas proporcionais e regra de três ....................................25

3 Regras de arredondamento e porcentagem................................37

4 Estatística: conceitos básicos .........................................................51

5 Medidas de tendência central .......................................................71

6 Medidas de variabilidade .............................................................85

7 Juros ..................................................................................................99

8 Descontos .......................................................................................117

9 Estudo das taxas ...........................................................................129

10 Séries de pagamento ....................................................................141

Referências ....................................................................................157

Apresentação

9

Ap

rese

nta

ção

Apresentamos neste livro o conteúdo da disciplina de Matemática Empresarial. Ela contempla dois assuntos importantes: matemática financeira e estatística.

Nos primeiros capítulos, revisamos conceitos básicos de razão, proporção, grandezas proporcionais e regra de três, pois esses são essenciais para o entendimento das relações entre as variáveis, tanto na matemática financeira quanto na estatística.

Vamos ver diferentes modos de cálculos envolvendo porcentagens e os conceitos básicos de estatística, as tabelas, os gráficos e as medidas de tendência central e de variabilidade.

Com relação à matemática financeira, vamos estudar os juros, os descontos, as taxas, as equivalências de capitais e as séries de pagamento.

No estudo de matemática financeira, além das operações simples como multiplicações e divisões, são também realizadas operações como potenciação e radiciação. Assim, uma calculadora quatro operações é insuficiente para realizar as atividades propostas. Para operar com as fórmulas da matemática financeira precisamos no mínimo de uma calculadora científica. Além dela, podemos utilizar calculadoras financeiras (por exemplo, a HP-12C) e também a planilha de cálculo Excel. Por isso, ao longo do livro você vai encontrar dicas de como utilizar essas ferramentas de cálculo.

Para complementar seus estudos, sugerimos alguns livros que apresentam os conteúdos de matemática financeira com o uso de calculadoras financeiras:

BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.

DAL ZOT, Willi. Matemática Financeira. 4. ed. rev. ampl. Porto Alegre: Ed. da Universidade da UFRGS, 2006.

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Ap

rese

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ção

GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP 12c e Excel. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.

KRUSE, Fábio. Matemática Financeira: conceitos e aplicações com uso da HP-12C. 2. ed. Novo Hamburgo : Ed. FEEVALE, 2005

Concluindo, cada aluno deve fazer uso da calculadora que melhor se adequar as suas necessidades.

Bons estudos!

Profª. Márcia Castiglio da Silveira

Razão e proporção

1

Razã

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13

Existem conceitos bastante simples em matemática e que são fundamentais em problemas do dia-a-dia, além de servirem de base para outros conceitos matemáticos. Vejamos, neste capítulo, os conceitos de razão, proporção e divisão proporcional.

1.1 Razão

De modo muito simples, em Matemática, razão significa divisão. Isto é:

Razão é o quociente entre dois números.

Vamos ver alguns exemplos nos quais podemos perceber a razão como um instrumento útil para comparar dois números.

a) Em determinado período, enquanto a Revista ABC tem vendagem de 20.000 exemplares, a Revista XYZ tem vendagem de 5.000 exemplares.

Calculando a razão entre a vendagem das revistas, temos:

20000 45000

Revista ABCRevista XYZ

= =

Isso quer dizer que a Revista ABC vende 4 vezes mais que a Revista XYZ.

b) Uma empresa realiza seleção de funcionários para preenchimento de 15 vagas. São inscritos para essa seleção 74 candidatos. Qual é a relação de candidatos por vaga?

Calculando a razão entre o número de candidatos e o número de vagas, temos:

74 4,93333333...15

nº de candidatosnº de vagas

= =

Razã

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14

Isso significa que existem 4,93333... candidatos por vaga. Nesse caso, como a razão é um número decimal, podemos fazer uma aproximação e dizer que temos mais de 4 candidatos por vaga, ou ainda, que temos aproximadamente 5 candidatos por vaga.

Conceito de Razão[1]

Razão de dois números a e b, com b ≠ 0, é o quociente de a por b.

Representação:a ou a : bb

Lê-se: a está para b ou, simplesmente, a para b.Os termos a e b são chamados de antecedente e consequente,

respectivamente.

Assim, na razão 23

, por exemplo, lê-se 2 está para 3 ou 2 para 3, em

que 2 é o antecedente e 3 é o consequente.

1.2 Razão inversa ou recíproca

Duas razões são chamadas razões inversas ou recíprocas quanto o antecendente de uma é o consequente da outra, e vice-versa.

Por exemplo:

As razões 2 3 e 3 2

são inversas.

As razões 1 e 44

são inversas. 4Lembre-se que 4 é o mesmo que .1

As razões 5 4 e 4 5

− − são inversas. (Não há nenhum problema se

as duas razões forem negativas.)

Razã

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15

É importante ressaltar que o número zero não possui razão inversa, pois zero pode ser antecedente, mas não pode ser consequente.

Outra observação é que o produto de duas razões inversas é sempre 1 (um). Veja os exemplos:

2 3 6 13 2 6

× = =

1 4 4 14 4

× = =

5 4 20 14 5 20

− × − = = (Lembre-se que menos vezes menos é mais.)

Os conceitos de razão e de razão inversa são bastante simples e muito importante para fundamentar o conceito de proporção.

1.3 Proporção

Uma proporção é a igualdade de duas razões. Desse modo, para que se tenha a igualdade, as duas razões devem representar a mesma

quantidade. Por exemplo, 12

e 48

formam uma proporção, pois 1 42 8= .

Para que fique claro, veja a ilustração abaixo:

Razã

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pro

po

rção

16

Como se pode notar, a parte destacada mais escura que representa 12

é igual à parte destacada que representa 48

.

Nesse caso, a fração 12

é considerada coeficiente de proporcionalidade ou

constante de proporcionalidade. Usa-se a fração na sua forma irredutível, isto

é, que não é mais simplificável, mas também está correto utilizar a forma

decimal que, neste exemplo, é 0,5.

Outros exemplos:2 66 18= o coeficiente de proporcionalidade é

13

, pois as razões são

equivalentes a 13

.

20 2100 10

= o coeficiente de proporcionalidade é 15

, pois as razões são

equivalentes a 15

.

Conceito de Proporção[2]

Proporção é a igualdade de duas razões a c e b d

(com a, b, c e d ≠ 0).

Representação:

a c ou a:b c:db d= =

Lê-se: a está para b, assim como c está para d.

Os termos a e d são chamados extremos e os termos b e c são chamados meios.

Razã

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17

Assim, na proporção 2 43 6= , por exemplo, lê-se 2 está para 3, assim como

4 está para 6, em que 2 e 6 são extremos e 3 e 4 são meios.

1.4 Propriedade Fundamental das Proporções

Para toda a proporção, vale a seguinte propriedade:

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, e vice-versa.

Por exemplo, na proporção 2 43 6= , o produto dos meios (3 × 4) é igual

ao produto dos extremos (2 × 6) que é igual a 12. Veja na ilustração abaixo:

23

46

meios

extremos

=

3 × 4 = 2 × 612 = 12

Esta propriedade é muito importante para se calcular um termo desconhecido em uma proporção. Por exemplo, qual o valor de x na

proporção x 94 2= ?

Utilizando a propriedade fundamental das proporções, faz-se o produto dos meios (4 × 9) igual ao produto dos extremos (x × 2), isto é:

Razã

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pro

po

rção

18

4 . 9 = x . 2 (Preferimos utilizar o ponto como sinal de multiplicação.)36 = 2x2x = 36 (Preferimos trabalhar com a incógnita no 1º membro da

equação, por isso trocamos o 1º com o 2º membro.)2x 36 2 2

= (Simplificamos os dois membros por 2.)

x = 18

Assim, 18 é o termo desconhecido.Esta propriedade será utilizada na resolução dos problemas em que

temos uma divisão proporcional e também nos problemas de regra de três.

1.5 Números proporcionais[3]

Podemos comparar duas sucessões numéricas de números reais não-nulos (a, b, c, d, ...) e (a’, b’, c’, d’, ...) para saber se elas são sucessões de números direta ou inversamente proporcionais.

Para ser diretamente proporcional, precisamos que:

a b c d ... ka' b' c' d'= = = = = , em que k é a constante de proporcionalidade.

Para ser inversamente proporcional, precisamos que os números reais

não-nulos a, b, c, d, ... sejam diretamente proporcionais ao inverso dos

números a’, b’, c’, d’, ..., ou seja, diretamente proporcionais a 1a'

, 1b'

, 1c'

, 1d'

, ..., isto é:

a b c d ... k1 1 1 1a' b' c' d'

= = = = = , em que k é a constante de proporcionalidade.

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Isto equivale a: a.a' b.b' c.c' d.d' ... k= = = = = .

Vejamos dois exemplos:a) As sucessões (30, 45 e 60) e (2, 3 e 4) são diretamente proporcionais,

pois:30 45 60 152 3 4= = =

15 é a constante de proporcionalidade.

b) As sucessões (15, 10 e 6) e (2, 3 e 5) são inversamente proporcionais, pois:

15.2 10.3 6.5 30= = =

30 é a constante de proporcionalidade.

1.6 Divisão proporcional[4]

Em algumas situações é necessário dividir um número em partes proporcionais ao invés de dividir em partes iguais. Por exemplo, quando duas ou mais pessoas se juntam em uma sociedade com atividade de fins lucrativos é justo que os lucros e os prejuízos sejam divididos entre elas proporcionalmente ao que cada uma investiu no negócio, ao invés de dividir igualmente.

Por exemplo, imagine duas pessoas entrando em uma sociedade com os valores de R$ 20.000,00 e R$ 30.000,00. Transcorrido certo tempo, elas obtiveram R$ 100.000,00 de lucro. É justo dividir proporcionalmente. Como cada pessoa investiu um valor diferente, cada uma delas irá receber um valor também diferente. Digamos que a pessoa que investiu R$ 20.000,00 vai receber x e a que investiu R$ 30.000,00 vai receber y.

Ao total terão que receber R$ 100.000,00, de onde, x + y = 100.000.

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20

Para ser diretamente proporcional, x y20000 30000

= .

x y x20000 30000 20000

+=

+ (Em uma proporção, podemos somar

os antecedentes entre si e também somar os consequentes entre si que a

constante de proporcionalidade se mantém.)

100000 x50000 20000

= (Trocamos x + y por 100000)

50000x = 100000 . 20000 (Propriedade Fundamental das Proporções)

50000x = 2000000000

50000x 2000000000 50000 50000

= (Simplificamos os dois membros por

50000.)

x = 40000

Como x + y = 100000, então:40000 + y = 100000y = 100000 – 40000y = 60000

Logo, a pessoa que investiu R$ 20.000,00 terá direito a R$ 40.000,00 e a pessoa que investiu R$ 30.000,00 terá direito a R$ 60.000,00.

Atividades1

1) Quais os valores de a e b na proporção a b2 3= , sabendo que

a + b = 75?a) a = 30 e b = 45b) a = 45 e b = 30

1 As atividades deste capítulo foram adaptadas de PARENTE e CARIBÉ, 1996.

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c) a = 40 e b = 35d) a = 35 e b = 40e) a = 25 e b = 50

2) Sabendo que x + y + z = 29, descubra os valores de x, y e z na proporção x y z6 20 32= = .

a) x = 10, y = 16 e z = 3b) x = 16, y = 10 e z = 3c) x = 3, y = 10 e z = 16d) x = 6, y = 13 e z = 10e) x = 13, y = 6 e z = 10

3) No Distrito Federal, a relação entre o número de funcionários públicos e o número de habitantes, em 1989, era, aproximadamente de 2 : 45. Se, nessa época, a população do DF era de 1.567.609 habitantes, o número de funcionários públicos pertence ao intervalo:a) entre 50 e 55 milb) entre 55 e 60 milc) entre 60 e 65 mild) entre 65 e 70 mile) entre 70 e 75 mil

4) Encontre os valores de x, y e z, sabendo que as sucessões (x, 3, z) e (9, y, 36) são inversamente proporcionais com coeficiente de proporcionalidade k = 36.a) x = 4, y = 12 e z = 3b) x = 4, y = 12 e z = 1c) x = 12, y = 4 e z = 3d) x = 3, y = 12 e z = 4e) x = 1, y = 4 e z = 12

5) Duas pessoas formaram uma sociedade comercial e combinaram que o lucro da firma seria dividido em partes diretamente proporcionais

Razã

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às quantias investidas por cada uma na formação da sociedade. A primeira pessoa investiu R$ 20.000,00 e a segunda R$ 30.000,00. Sabendo que a sociedade rendeu R$ 15.000,00, no final de um ano, calcule a parte desse lucro que caberá ao sócio que investiu R$ 20.000,00.a) R$ 1.000,00b) R$ 3.000,00c) R$ 6.000,00d) R$ 9.000,00e) R$ 12.000,00

6) O dono de uma indústria resolveu distribuir entre seus três gerentes uma gratificação de R$ 133.700,00. Quanto coube a cada um, se a distribuição foi feita em partes de proporcionalidade composta, diretamente ao tempo de serviço de cada um e inversa aos seus salários?

Gerente Tempo (anos) Salário (R$)

A 15 12.000

B 13 9.100

C 12 10.800

a) A = R$ 39.200,00, B = R$ 44.100,00 e C = R$ 50.400,00 b) A = R$ 44.100,00, B = R$ 39.200,00 e C = R$ 50.400,00c) A = R$ 39.200,00, B = R$ 50.400,00 e C = R$ 44.100,00d) A = R$ 50.400,00, B = R$ 44.100,00 e C = R$ 39.200,00e) A = R$ 44.100,00, B = R$ 50.400,00 e C = R$ 39.200,00

7) (Banco do Brasil) A e B fundaram uma sociedade. Três meses depois admitiram outro sócio, C. Sete meses depois da entrada do terceiro sócio C, aceitaram também o sócio D. Sabendo-se que todos entraram com capitais iguais, calcular a parte do sócio D no lucro de R$ 227.835,00, verificado dois anos após a fundação da sociedade.a) R$ 21.352,00b) R$ 38.430,00c) R$ 43.560,00

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d) R$ 57.645,00e) R$ 58.000,00

Gabarito

1. (a); 2. (c); 3. (d); 4. (b); 5. (c); 6. (e); 7. (b)

Referências

[1] CRESPO, 1999, p. 11.

[2] CRESPO, 1999, p. 13.

[3] PARENTE, CARIBÉ, 1996, p. 25-26.

[4] PARENTE, CARIBÉ, 1996, p. 28.

Grandezas proporcionais e regra

de três

2

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Neste capítulo, vamos ver mais conceitos fundamentais para lidar com problemas matemáticos do cotidiano. Para melhor compreender a regra de três simples e também a regra de três composta, precisamos inicialmente saber identificar quando duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais.

2.1 Grandezas diretamente e inversamente proporcionais[1]

Para iniciar, vamos entender o que vem a ser grandeza:

Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido.

Por exemplo: comprimento, tempo, força, massa, velocidade, área, volume, intensidade de som, entre outros.

Além de ser medida, a grandeza é suscetível a variações, isto é, ela pode aumentar ou diminuir.

Ao comparar duas grandezas, podemos classificá-las como diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais entre si.

• Para que duas grandezas sejam diretamente proporcionais, ao ocorrer o aumento do valor de uma, necessariamente ocorre o aumento do valor da outra seguindo a mesma proporção.

• Para que duas grandezas sejam inversamente proporcionais, ao ocorrer o aumento do valor de uma, necessariamente ocorre a diminuição do valor da outra seguindo a mesma proporção.

Vamos ver um exemplo de cada situação:

a) Grandezas tempo e distância são diretamente proporcionais.Um automóvel com velocidade constante de 80 km/h percorre:

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Tempo (h) Distância (km)1 802 1603 240

Quando ocorre o aumento do tempo de viagem ocorre proporcionalmente o aumento da distância percorrida. As sucessões numéricas são diretamente proporcionais, então a razão entre os valores do tempo e os valores da distância é constante, isto é:

1 2 3 ..80 160 240

= = = .

b) Grandezas tempo e velocidade são inversamente proporcionais.Um automóvel com velocidade constante de 50 km/h percorre certa

distância em 7 horas e com velocidade constante de 70 km/h percorre a mesma distância em 5 horas.

Velocidade (km/h) Tempo (h)50 770 5

Quando ocorre o aumento da velocidade do automóvel ocorre proporcionalmente a diminuição do tempo de viagem. As sucessões numéricas são inversamente proporcionais, então a razão entre os valores do tempo e os valores da distância é constante, isto é:

50 701 17 5

= ⇒ 50 . 7 = 70 . 5 ⇒ 350 = 350

2.2 Regra de três simples[2]

A regra de três é um conceito básico da Matemática que permite comparar duas grandezas direta ou inversamente proporcionais,

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relacionando os seus valores em uma proporção, na qual três termos são conhecidos e um termo é desconhecido.

Exemplo 1: Em uma fábrica, 300 operários produzem 9000 peças ao dia. Com a admissão de mais 100 operários, quantas peças serão produzidas ao dia?

Em primeiro lugar, vamos considerar que a capacidade de cada funcionário é a mesma, ou seja, eles têm o mesmo rendimento, produzindo a mesma quantidade de peças por dia.

As duas grandezas relacionadas neste problema são: número de operários e número de peças produzidas ao dia. Então, para facilitar, anotamos os dados em uma tabela:

Nº de operários Nº de peças

300 9000

400 x

Precisamos decidir se a relação entre as grandezas é direta ou inversamente proporcional. Veja que quanto mais aumenta o número de funcionários, mais peças serão produzidas ao dia. Então, como quando uma grandeza aumenta a outra grandeza também aumenta, a relação é diretamente proporcional.

Basta montar a proporção, fazendo a razão entre o número de operários igual a razão entre o número de peças produzidas ao dia:

300 9000400 x

=

300x = 400 . 9000300x = 3 600 000300x 3600000 300 300

=

x = 12 000

Logo, com 400 funcionários a fábrica produz 12000 peças ao dia.

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Exemplo 2: Para realizar a construção de uma casa, 24 pedreiros levaram 180 dias. Se, ao invés de 24 fossem 15 pedreiros, quantos dias eles levariam para construir a mesma casa?

Novamente, vamos considerar que a capacidade de cada pedreiro seja a mesma, isto é, que eles têm o mesmo rendimento de trabalho.

As duas grandezas relacionadas neste problema são: número de pedreiros e quantidade de dias para execução da obra. Então, para facilitar, anotamos os dados em uma tabela:

Nº de pedreiros Nº de dias24 18015 x

Veja que quanto mais diminui o número de funcionários, mais dias serão necessários para a conclusão da obra. Então, como quando uma grandeza diminui a outra grandeza aumenta, a relação é inversamente proporcional.

Quando a relação é inversa, para montar a proporção, fazemos a razão entre o número de pedreiros igual à razão inversa entre o número de dias:

24 x15 180

=

15x = 24 . 180

15x = 432015x 4320 15 15

=

x = 288Logo, com 15 pedreiros a obra vai levar 288 dias para estar

concluída.

2.3 Regra de três composta[3]

A regra de três composta nada mais é do que relacionar três ou mais grandezas, sendo que uma delas varia na dependência proporcional das outras.

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Exemplo 1: Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo 14 operários produzirão, trabalhando 18 dias?

As três grandezas relacionadas neste problema são: número de operários, número de peças produzidas e número de dias. Então, para facilitar, anotamos os dados em uma tabela:

Nº de operários Nº de peças Nº de dias3 400 614 x 18

Na regra de três composta, relacionamos a grandeza que contém a variável com as demais grandezas.

Comparando o número de operários com número de peças, note que quanto mais aumenta o número de operários, mais peças serão produzidas. Então, como quando uma grandeza aumenta a outra grandeza aumenta, a relação é diretamente proporcional.

Comparando o número de peças com o número de dias, perceba que para produzir mais peças são necessários mais dias. Logo, como quando uma grandeza aumenta a outra grandeza aumenta, a relação é diretamente proporcional.

Neste caso, para montar a equação, fazemos a razão entre o número de peças (grandeza em que temos a variável x) igual a razão entre o número de operários vezes a razão entre o número de dias:

400 3 6x 14 18

= ⋅

400 18x 252

=

18x = 400 . 25218x = 100800

18x 100800 18 18

=

x = 5600Logo, com 14 operários, trabalhando 18 dias, serão produzidas 5600

peças.

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32

Exemplo 2: Se 20 operários levam 10 dias para levantar um muro de 2 metros de altura e 25 metros de comprimento, quantos dias levarão 15 operários para construir um outro (de mesma largura), mas com 3 metros de altura e 40 metros de comprimento?

As quatro grandezas relacionadas neste problema são: número de operários, número de dias, altura e comprimento. Então, para facilitar, anotamos os dados em uma tabela:

Nº de operários Nº de dias Altura (m) Comprimento (m)

20 10 2 25

15 x 3 40

Temos que relacionar a grandeza que contém a variável (nº de dias) com as demais grandezas.

Comparando o número de operários com o número de dias, note que quanto mais aumenta o número de operários, menos dias serão necessários para a construção do muro. Então, como quando uma grandeza aumenta a outra grandeza diminui, a relação é inversamente proporcional.

Comparando a altura com o número de dias, perceba que quanto mais alto for o muro mais dias serão necessários para a construção. Logo, como quando uma grandeza aumenta a outra grandeza aumenta, a relação é diretamente proporcional.

Comparando o comprimento com o número de dias, veja que quanto mais comprido for o muro mais dias serão necessários para a construção. Assim, como quando uma grandeza aumenta a outra grandeza aumenta, a relação é diretamente proporcional.

Neste caso, para montar a equação, fazemos a razão entre o número de dias (grandeza em que temos a variável x) igual à razão inversa entre o número de operários vezes a razão entre as alturas vezes a razão entre os comprimentos:

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10 15 2 25x 20 3 40= ⋅ ⋅

10 750x 2400=

750x = 10 . 2400750x = 24000

750x 24000 750 750

=

x = 32Logo, 15 operários, para construir um muro de 3 metros de altura por

40 metros de largura levarão 32 dias.

Atividades2

1) Uma viagem seria feita em 12 dias percorrendo-se 150 km por dia. Quantos dias seriam necessários para fazer a mesma viagem percorrendo-se 200 km por dia?a) 6 diasb) 9 diasc) 12 diasd) 16 diase) 18 dias

2) Um litro de água do mar contém 25 g de sal. Quantos litros de água devem ser evaporados para obtermos 8 kg de sal?a) 0,32 litrosb) 3,2 litrosc) 32 litrosd) 320 litrose) 3200 litros

2 As atividades deste capítulo foram adaptadas de PARENTE e CARIBÉ, 1996, e CRESPO, 1999.

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3) Um certo rei mandou 30 homens plantar árvores em seu pomar. Se em 9 dias eles plantaram 1000 árvores, em quantos dias 36 homens plantariam 4400 árvores?(Proposto no Líber Abaci, do ano de 1202.)a) 17 diasb) 24 diasc) 33 diasd) 47 diase) 53 dias

4) Se 6 datilógrafos, em 18 dias de 8 horas, preparam 720 páginas de 30 linhas, com 40 letras por linha, em quantos dias de 7 horas, 8 datilógrafos comporão 800 páginas, de 28 linhas por página e 45 letras por linha?a) 10 diasb) 12 diasc) 14 diasd) 16 diase) 18 dias

5) A produção de uma tecelagem era de 8000 m de tecido/dia. Com a admissão de mais 300 operários, a indústria passou a produzir 14000 m de tecido/dia. Qual era então o número de operários antes da admissão dos 300?a) 200 operáriosb) 300 operáriosc) 400 operáriosd) 500 operáriose) 600 operários

6) (Banco do Brasil) Vinte e sete operários, trabalhando 8 horas diárias, durante 15 dias, fizeram um muro de 20 metros de comprimento, 1 metro e 80 centímetros de altura e 30 centímetros de espessura. Quantos operários seriam necessários para a construção de outro muro

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de 30 metros de comprimento, 2 metros de altura e 27 centímetros de espessura, se eles trabalhassem 9 horas por dia, durante 18 dias?a) 27 operáriosb) 28 operáriosc) 29 operáriosd) 30 operáriose) 31 operários

7) As dificuldades de dois trabalhos estão na razão de 3 para 4. Um operário, que faz 20 metros do primeiro trabalho, quantos metros fará do segundo, no mesmo tempo?a) 15 metrosb) 16 metrosc) 17 metrosd) 18 metrose) 19 metros

Gabarito

1. (b); 2. (d); 3. (c); 4. (e); 5. (c); 6. (d); 7. (a)

Referências

[1] PARENTE, CARIBÉ, 1996, p. 44-45.

[2] PARENTE, CARIBÉ, 1996, p. 45.

[3] PARENTE, CARIBÉ, 1996, p. 48.

Regras de arredondamento e

porcentagem

3

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39

Este capítulo aborda as regras de arredondamento e o conceito de porcentagem. Os arredondamentos são necessários, pois os valores obtidos tanto nos cálculos de matemática financeira como nos cálculos estatísticos frequentemente são não-exatos, de modo que precisamos utilizar um valor aproximado. Já o conceito de porcentagem é fundamental nos cálculos estatísticos e as taxas de juros costumam ser dadas como uma taxa percentual.

3.1 Regras de arredondamento

Para realizar contagens e numerações, utilizam-se, de modo exato, os números naturais (0, 1, 2, 3, 4, ...) que são valores discretos ou descontínuos.

Para realizar algumas outras medidas, utilizam-se escalas contínuas de tal forma que os valores, sendo não-exatos, precisam ser arredondados. A precisão da medida está relacionada ao número de casas decimais consideradas. Por exemplo, quando trabalhamos com moeda interessa uma aproximação em duas casas decimais. No caso do Real, uma aproximação em centavos.

Desse modo, quando for necessário realizar um arredondamento de dados, utiliza-se a Resolução nº 886/66 da Fundação IBGE[1]:

Tabela 1: De acordo com a Resolução nº 886/66 da Fundação IBGE, o arredondamento é efetuado da seguinte maneira:

Condições Procedimentos Exemplos

< 5 O último algarismo a permanecer fica inalterado.

53,24 passa a 53,2

> 5 Aumenta-se de uma unidade o algarismo a permanecer.

42,87 passa a 42,9

25,08 passa a 25,1

53,99 passa a 54,0

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Condições Procedimentos Exemplos

= 5 Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade no algarismo a permanecer.

2,352 passa a 2,4

25,6501 passa a 25,7

76,250002 passa a 76,3

Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem zeros, o último algarismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar.

24,75 passa a 24,8

24,65 passa a 24,6

24,7500 passa a 24,8

24,6500 passa a 24,6

Fonte: Adaptado de CRESPO, 1998, p.174.

De modo mais prático:• Quando a condição for menor que 5, o último algarismo fica

inalterado.• Quando a condição for maior ou igual a 5, aumenta-se uma unidade

no último algarismo a permanecer.

Observações:Em todos os capítulos deste livro serão utilizadas as regras acima.Para evitar distorções, não devem ser feitos arredondamentos

sucessivos, o melhor é fazer o arredondamento no final dos cálculos.

Usando uma calculadora

As calculadoras científicas operam no modo algébrico, as calculadoras financeiras, como, por exemplo, a HP-12C operam no modo RPN. Ambas apresentam no visor valores arredondados, mas elas operam, internamente, com o máximo de precisão.

Em uma calculadora financeira, podemos definir o número de casas decimais no visor, por exemplo, usando as teclas f (2) determinamos que serão usadas duas casas decimais.

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Desse modo, ao fazer (2÷3×100) digitamos:2 Enter 3 ÷ 100 ×no visor mostrará 66,67.

Usando o Excel

O Excel (planilha de cálculo do pacote Microsoft Office) possui uma função =ARRED(núm;núm_digitos) para arredondamentos. O exemplo acima poderia ser feito assim:

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3.2 Porcentagem[2]

A expressão p%, que se lê “p por cento”, é chamada taxa percentual3 e

representa a razão P

100.

p% = P

100

Assim,

5% = 5

100 (cinco por cento)

12% = 12100

(doze por cento)

30% = 30

100 (trinta por cento)

A taxa percentual pode ser transformada em taxa unitária, fazendo a

razão P

100 ser expressa na forma decimal. Isto é:

5% = 5

100= 0,05

12% = 12100

= 0,12

30% = 30

100 = 0,3

3.2.1 Cálculo direto de porcentagem

Calcular p% de um valor x é multiplicar x por P

100.

Exemplo: Calcule 15% de 800.É multiplicar 800 por 15%.

Como 15% = 15100

= 0,15, na prática, basta multiplicar por 0,15:

3 Também é correta a expressão taxa porcentual.

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800 × 0,15 = 120Logo: 15% de 800 é 120.

3.2.2 Cálculo direto de acréscimo

Acrescentar p% a um valor x é multiplicar x por um fator de correção

f (maior que 1), dado por f = 1 + P100

.

Exemplo: Um produto com preço R$ 150,00 tem seu valor reajustado em 18%. Calcule o seu novo preço.

Valor inicial: 150

Acréscimo: 18%, então f = 1 + P100

= 1 + 18100

= 1 + 0,18 = 1,18

Valor final: 150 × 1,18 = 177Logo: O seu novo preço será de R$ 177,00.

3.2.3 Cálculo direto de desconto

Reduzir um valor x de p% é multiplicar x por um fator de correção f

(menor que 1), dado por f = 1 − P100

.

Exemplo: Um produto com preço R$ 150,00 tem seu valor reduzido em 18%. Calcule o seu novo valor.

Valor inicial: 150

Redução: 18%, então f = 1 − P100

= 1 − 18100

= 1 − 0,18 = 0,82

Valor final: 150 × 0,82 = 123Logo: O seu novo valor é R$ 123,00.

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3.2.4 Cálculo direto de “quanto por cento”

Para saber quanto por cento um valor x é de um valor y, calcula-se a

razão entre x e y, ou seja, xy .

Exemplo: 182 corresponde a quanto por cento de 650?

Calcula-se a razão 182650

= 0,28 = 28100

= 28%

Então, 182 corresponde a 28% de 650.

3.2.5 Cálculo do fator de correção

f (correção) = valor finalvalor inicial

Podem ocorrer três casos:f (correção) > 1, neste caso houve um acréscimo.f (correção) = 1, neste caso valor final é igual ao valor inicial.f (correção) < 1, neste caso houve uma redução.

Exemplo 1: Um equipamento teve seu valor reajustado de R$ 100,00 para R$ 125,00. Qual foi o percentual de acréscimo?

f (correção) = 125100

= 1,25 = 125% = 100% + 25%

Então, o percentual de acréscimo foi de 25%.

Exemplo 2: Um produto com preço R$ 500,00 foi vendido por R$ 450,00. Qual o percentual de redução no preço deste produto?

f (correção) = 450500

= 0,9 = 90% = 100% − 10%

Então, o percentual de redução é de 10%.

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3.2.6 Cálculo do fator acumulado

f (% acumulado) = produto dos fatores

Exemplo: Os índices semestrais de inflação em certo ano foram de 4,2% e 5,5%, respectivamente. Qual o índice de inflação nesse ano?

f (% acumulado) = 1,042 × 1,055 = 1,09931 = 1 + 0,09931 = 100% + 9,931%Então, p% = 9,931%

3.2.7 Cálculo do ganho real

f (ganho real) = f (ganho nominal)

f (inflação)

Para f (ganho nominal) diferente de f (inflação) podem ocorrer dois casos:

f (ganho real) > 1, neste caso, houve um ganho real.f (ganho real) < 1, neste caso, houve uma perda real.

Exemplo 1: Uma aplicação semestral foi remunerada à taxa de 30%. Se nesse período a inflação foi de 25%, qual o ganho real desse investimento?

f (ganho real) = 1,301,25

= 1,04

Então, ganho real é de 4%.

Exemplo 2: Com uma inflação anual de 12% admitindo-se que o salário foi corrigido em 8%, qual a variação real do poder de compra de um assalariado?

f (ganho real) = 1,081,12

= 0,9643

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Como 0,9643 é menor que 1, houve uma perda é de 1 − 0,9643 = 0,0357 = 3,57%

Então, a perda real é de 3,57%.

3.3 Imposto de Renda[3]

Vamos ver o exemplo de contribuição ao Imposto de Renda (IR) como uma aplicação dos cálculos de porcentagem. Como o cálculo da contribuição ao IR é feito sobre o salário bruto menos a contribuição ao Instituto Nacional do Seguro Social (INSS), vamos conhecer primeiro como é calculada a contribuição ao INSS.

Mensalmente, os trabalhadores segurados pelo INSS pagam uma alíquota proporcional ao seu salário bruto, seguindo normas estabelecidas. Este valor vem descontado em sua folha de pagamento.

Veja abaixo as alíquotas válidas a partir de 1º de março de 2008.

Tabela 2: Tabela de contribuição dos segurados empregados, empregado doméstico e trabalhador avulso, para remuneração

a partir de 1º de março de 2008.

Salário-de-Contribuição (R$) Alíquota para fins de recolhimento ao INSS

até 911,70 8,00%

de 911,71 até 1.519,50 9,00%

de 1.519,51 até 3.038,99 11,00%

Fonte: Portaria nº 77, de 12 de março de 2008

Existe um valor máximo de contribuição, também denominado teto de contribuição. Para esse período a partir de 1º de março de 2008 o teto foi fixado em R$ 334,28.

Vamos ver alguns exemplos:

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Exemplo 1: Um trabalhador com salário bruto de R$ 750,00 está na primeira faixa de contribuição, sendo a alíquota de 8%. Calculando:

750 . 8% = 60Este trabalhador contribui com R$ 60,00.

Exemplo 2: Outro trabalhador com salário bruto de R$ 2.500,00 está na segunda faixa de contribuição, sendo a alíquota de 11%. Calculando:

2500 . 11% = 275Este trabalhador contribui com R$ 275,00.

Depois de descontada a contribuição ao INSS, é descontado o Imposto de Renda. O desconto desse imposto segue uma tabela anualmente atualizada pelo governo federal e publicada no Diário Oficial. Vamos citar abaixo a tabela válida para 2008.

Tabela 3: Tabela Progressiva Mensal – 2008

Base de Cálculo (R$) Alíquota (%) Parcela a Deduzir do IR (R$)

Até 1.372,81 - -

De 1.372,82 até 2.743,25 15 205,92

Acima de 2.743,25 27,5 548,82

Fonte: Receita Federal. Disponível em: http://www.receita.fazenda.gov.br/Legislacao/Leis/2007/lei11482.htm. Acesso em 12/12/08.

Exemplo 1: O trabalhador com salário bruto de R$ 750,00 e contribuição ao INSS de R$ 60,00, terá como salário líquido parcial 750 – 60 = 690.

Então, R$ 690,00 é menos que R$ 1.372,81, por isso este trabalhador é isento.

Exemplo 2: O trabalhador com salário bruto de R$ 2.500,00 e contribuição ao INSS de R$ 275,00, terá como salário líquido parcial 2500 – 275 = 2225.

R$ 2.225,00 está na segunda faixa, na qual a alíquota do imposto é de 15%.

Então, 2225 . 15% = 244,75.

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Do valor R$ 244,75 deduzir a parcela R$ 205,92:244,75 – 205,92 = 38,83Salário líquido: 2225 – 38,83 = 2186,17.

Exemplo 3: O trabalhador com salário bruto de R$ 5.000,00 terá como contribuição ao INSS o teto de R$ 334,28 e seu salário líquido parcial 5000 – 334,28 = 4665,72.

R$ 4.665,72 está na terceira faixa, na qual a alíquota do imposto é de 27,5%. Então,

4665,72 . 27,5% = 1283,073, arredondando R$ 1.283,07.Do valor R$ 1.283,07 deduzir a parcela R$ 548,82:1283,07 – 548,82 = 735,25Salário líquido: 4665,72 – 735,25 = 3930,47.

Atividades4

1) Qual a porcentagem de desconto que a loja está dando na venda de uma jaqueta de couro de R$ 260,00 por R$ 221,00?a) 8%b) 10%c) 12%d) 15%e) 17%

2) Sobre o trabalho noturno feminino, consta na Consolidação das Leis do Trabalho (CLT): “Cada hora do período noturno de trabalho das mulheres terá 52 minutos e 30 segundos”. Levando-se em conta que uma funcionária trabalha das 22h às 5h do dia seguinte, qual será, aproximadamente, o percentual de acréscimo do seu salário nesse período?

4 As atividades deste capítulo foram adaptadas do Banco de Questões Super Pro da Interbits.

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a) 10,2%b) 12,1%c) 14,3%d) 16,3%e) 18,4,%

3) O salário de um trabalhador passou de R$ 840,00 para R$ 966,00. Qual foi a porcentagem de aumento?a) 14%b) 15%c) 16%d) 18%e) 19%

4) A diferença entre o preço de venda anunciado de uma mercadoria e o preço de custo é igual a R$2,00. Se essa mercadoria for vendida com um desconto de 10% sobre o preço anunciado, dará ainda um lucro de 20% ao comerciante. Determinar seu preço de custo.a) R$ 6,00b) R$ 6,60c) R$ 6,90d) R$ 7,20e) R$ 7,50

5) A população de uma certa cidade crescerá 10% a cada ano por 4 anos. A porcentagem de crescimento da população após esse período é de, aproximadamente,a) 10%b) 20%c) 24%d) 40%e) 46%

6) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo.

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Porém ele prepara a tabela de preços de venda, acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo?a) 10 %b) 15 %c) 20 %d) 25 %e) 36 %

7) 95% da massa de uma melancia de 10 kg é constituída por água. A fruta é submetida a um processo de desidratação (que elimina apenas água) até que a participação da água na massa da melancia se reduza a 90%. A massa da melancia após esse processo de desidratação será igual a:a) 5/9 kgb) 9/5 kgc) 5 kgd) 9 kge) 9,5 kg

Gabarito

1. (d); 2. (c); 3. (b); 4. (a); 5. (e); 6. (c); 7. (c)

Referências

[1] CRESPO, 1998, p. 174.

[2] MORGADO, CESAR, 2005.

[3] ARAÚJO, 2006, p. 27.

Estatística: conceitos básicos

4

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ica:

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53

Veja como Cordani[1] explica o que é Estatística:

O verbete Estatística foi introduzido no século XVIII, com origem na

palavra latina status (Estado), e serviu inicialmente a objetivos ligados à

organização político-social, como o fornecimento de dados ao sistema de

poder vigente, provavelmente para cobrança de impostos e registros de

nascimento e morte.

Hoje em dia a metodologia estatística é utilizada em diferentes contextos,

como testes ligados ao desempenho escolar, pesquisas eleitorais, estudos

financeiros, controle de qualidade, análises de crescimento de doenças,

taxas populacionais, data mining, índices de desenvolvimento, índices de

desemprego, modelagem de fenômenos da natureza etc.

Assim, de maneira geral, pode-se dizer que a Estatística surgiu da necessidade de organizar dados e informações para o Estado. No Brasil, os dados são coletados, organizados e divulgados pelo IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística[2], órgão federal subordinado ao Ministério do Planejamento, Orçamento e Gestão.

Os jornais e revistas apresentam dados estatísticos apresentados em tabelas ou em gráficos. Para compreensão destas informações, as pessoas devem ser capazes de ler e interpretar tabelas e gráficos. Assim, neste capítulo, vamos conhecer as características das tabelas e dos diferentes tipos de gráficos.

4.1 Tabelas

As tabelas são quadros que resumem um conjunto de dados observados.

Em uma tabela, temos:

a. corpo – conjunto de linhas e colunas que contém informações sobre a variável em estudo;

b. cabeçalho – parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas;

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c. coluna indicadora – parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas;

d. linhas – retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido horizontal, de dados que se inscrevem nos seus cruzamentos com as colunas;

e. casa ou célula – espaço destinado a um só número;

f. título – conjunto de informações, as mais completas possíveis, respondendo às perguntas: O quê?, Quando?, Onde?, localizado no topo da tabela.

Há ainda a considerar os elementos complementares da tabela, que são a fonte, as notas e as chamadas, colocados, de preferência, no seu rodapé.

Fonte: CRESPO, 1998, p. 25.

Exemplo:

Fonte: CRESPO, 1998, p. 26

Para nosso estudo, interessa conhecer as tabelas de distribuição de frequências. Vamos ver tabelas de distribuição de frequências para dados não-agrupados e tabelas de distribuição de frequências para dados agrupados.

Vamos supor que a Empresa ABC deseje contratar um plano de saúde para seus funcionários e que para isso precise conhecer se seus funcionários são mais jovens ou mais velhos. Para isso, foi anotada a idade

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de cada funcionário e organizada em ordem crescente, como mostrado abaixo:

Tabela 1: Idade dos funcionários da Empresa ABC26 36 41 45 54

28 38 41 51 58

34 39 42 51 60

36 40 42 53 60

36 41 42 54 65

Fonte: Hipotética

A partir destes dados, pode ser organizada uma tabela de distribuição de frequências, anotando em uma coluna a variável idade e na outra a frequência com que esta idade ocorre entre os funcionários:

Tabela 2: Frequência de idade dos funcionários da Empresa ABCIdade (anos) Frequência

26 1

28 1

34 1

36 3

38 1

39 1

40 1

41 3

42 3

45 1

51 2

53 1

54 2

58 1

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Idade (anos) Frequência

60 2

65 1

A tabela acima apresenta os dados não-agrupados, no entanto, ele não é prático, na medida em que apresenta cada uma das idades que ocorre na população (funcionários da Empresa ABC).

Assim, podemos apresentar a tabela de outro modo, criando intervalos de idades. Em estatística, os intervalos são denominados classes. Para

definir quantas classes teremos, podemos calcular k n= , em que n é o número de elementos da amostra e 5 k 20≤ ≤ , isso porque com menos de 5 classes pode-se perder muita informação ou com mais de 20 classes pode-se ter detalhamento desnecessário. Na verdade, este é um cálculo feito apenas para dar alguma referência a quem está organizando a tabela, mas não é um valor determinante5.

No exemplo acima, k 25 5= = . Então fazemos 5 classes.

Depois disso, precisamos calcular a amplitude total (H) que é a variação total dos dados da amostra.

H = Ls − Li

Em que:Ls é o limite superior da distribuição de frequências.Li é o limite inferior da distribuição de frequências.

No exemplo, H = Ls − Li = 65 – 26 = 39

A partir daí, vamos calcular a amplitude da classe (h) que é a variação dentro de cada uma das classes:

5 Existem outras regras, como a regra de Sturges, que calcula k = 1 + 3,3 . log n, mas também não é uma determinação, vai depender de um julgamento pessoal.

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Hhk

=

39h5

=

h = 7,8

Então, para usar números inteiros, vamos fazer classes com variação de 8 anos e colocar na primeira coluna (Idade em anos).

Tabela 3: Frequência de idade dos funcionários da Empresa ABCIdade (anos)

Ponto médio da

classe

Frequência absoluta

(fi)

Frequência absoluta

acumulada (Fi)

Frequência relativa (fri)

Frequência relativa

acumulada (Fri)

26 |– 34 30 2 2 2 0,08 8%25

= =2 0,08 8%25

= =

34 |– 42 38 10 12 10 0,40 40%25

= =12 0,48 48%25

= =

42 |– 50 46 4 16 4 0,16 16%25

= =16 0,64 64%25

= =

50 |– 58 54 5 21 5 0,20 20%25

= =21 0,84 84%25

= =

58 |– 66 62 4 25 4 0,16 16%25

= =25 1 100%25

= =

Na segunda coluna (Ponto médio da classe), calcularmos o valor que representa a classe. Ele é a média entre o limite inferior e o limite superior de cada classe. Por exemplo, na primeira classe (26 |– 34) a média é

calculada por 26 34 302+

= e assim por diante.

Esta

tíst

ica:

co

nce

ito

s b

ásic

os

58

Importante, o símbolo |– significa que o intervalo é fechado a esquerda e aberto a direita, ou seja, na primeira classe (26 |– 34) o 26 está e o 34 não está na primeira classe.

Na terceira coluna (Frequência absoluta - fi), calculamos a frequência de ocorrência em cada classe.

Na quarta coluna (Frequência absoluta acumulada - Fi), calculamos o somatório das frequências ocorridas até a classe em que estamos.

Na quinta coluna (Frequência relativa - fri), calculamos a razão entre a frequência absoluta e o total de elementos.

Na sexta coluna (Frequência relativa acumulada - Fri), calculamos o somatório das frequências relativas ocorridas até a classe em que estamos.

4.2 Gráficos[3]

Os gráficos apresentam os dados estatísticos de modo rápido para uma leitura visual. Eles podem ser de diferentes tipos: linhas, colunas, barras, setores e outros.

4.2.1. Gráfico de linhas

Os gráficos de linhas também são conhecidos como gráficos de segmentos, ou gráficos em curva. Esse tipo é utilizado, principalmente, quando a intenção é verificar a variação de um valor em tempos distintos ou para estimar valores entre dois pontos quaisquer.

Para construir o gráfico, utilizamos os eixos cartesianos e marcamos pontos representados pelo par ordenado (x, y).

Exemplo: Suponhamos que uma livraria fez o levantamento dos livros vendidos durante os seis primeiros meses de 2008, obtendo os seguintes resultados:

Esta

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ica:

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os

59

Tabela 4: Número de livros vendidosMês Número de livros vendidos

Janeiro/08 460

Fevereiro/08 420

Março/08 540

Abril/08 540

Maio/08 575

Junho/08 620

Fonte: Hipotética

Gráfico 1: Número de livros vendidosFonte: Hipotética

A inclinação de cada segmento indica se houve crescimento, decréscimo ou estabilidade entre um mês e outro. Por exemplo:

• De janeiro para fevereiro houve um decréscimo nas vendas.• De março para abril houve uma estabilidade nas vendas.• De fevereiro a março houve um acréscimo nas vendas.

Esta

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60

4.2.2. Gráfico de colunas ou de barras

Este tipo de gráfico representa os valores usando retângulos que podem ser dispostos verticalmente (colunas) ou horizontalmente (barras).

Exemplo: Imagine que uma empresa avaliou o desempenho de seus funcionários e chegou ao seguinte resultado:

Tabela 5: Desempenho dos funcionáriosDesempenho Número de funcionários

Ótimo 15%

Bom 65%

Regular 15%

Insuficiente 5%

Fonte: Hipotética

Gráfico 2 (em colunas): Desempenho dos funcionários

Note que quando o gráfico é de colunas, a altura de cada retângulo varia de acordo com a frequência que ele representa em cada categoria.

Usando o mesmo exemplo, veja como ficaria o gráfico de barras:

Esta

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61

Gráfico 3 (em barras): Desempenho dos funcionários

Observe que quando o gráfico é de barras, o comprimento de cada retângulo varia de acordo com a frequência que ele representa em cada categoria.

Tanto no gráfico de colunas como o gráfico de barras, mantêm os retângulos espaçados uns dos outros.

4.2.3 Gráfico de setores

O gráfico de setores, também conhecido como gráfico “pizza”, mostra a contribuição de um valor para um total.

Usa-se um círculo para representar o total e cada categoria é representada por um setor do círculo, isto é, por uma “fatia da pizza”.

É comum usar esse tipo de gráfico quando se tem poucas categorias e quando os valores são dados em porcentagem.

Para calcular o tamanho de cada setor, usa-se uma regra de três simples e direta, lembrando que 360º corresponde a 100%.

Exemplo: Vamos considerar uma empresa divida em três setores distintos, cada um deles contribuindo com os lucros.

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62

Tabela 6: Lucros da empresa por setorSetor Contribuição nos lucros

A 55%

B 25%

C 20%

Fonte: Hipotética

Contribuição nos lucros por setor

55%

25%

20%

A B C

Gráfico 4: Contribuição nos lucros por setor

Observe que como o setor do círculo azul é maior, podemos visualmente concluir que o setor A contribui mais que os setores B e C para os lucros da empresa. Além disso, é possível perceber que o setor A contribui com mais da metade dos lucros, pois sua região é maior que a metade do círculo.

4.2.5 Histograma

O histograma é usado quando os dados são agrupados em classes (intervalos).

A representação é feita por retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe.

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63

Exemplo: Vamos usar a tabela apresentada anteriormente que apresenta a frequência de idade dos funcionários da Empresa ABC:

Tabela 7: Frequência de idade dos funcionários da Empresa ABCIdade (anos) Ponto médio da

classeFrequência absoluta (fi)

26 |– 34 30 2

34 |– 42 38 10

42 |– 50 46 4

50 |– 58 54 5

58 |– 66 62 4

Histograma 1: Frequência de idade dos funcionários da Empresa ABC

Esta

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64

4.2.5 Pictograma

Os pictogramas têm uma fácil compreensão. São gráficos cuja representação gráfica utiliza figuras e imagens relacionadas ao assunto do gráfico.

Exemplos:

Pictograma 1: Pictograma da venda anual de lâmpadas em um supermercado

Fonte: Imagem disponível em http://www.codelco.com/educa/divisiones/norte/estudio/matematica2.html.

Atividades6

1) (ENEM 2003) O tempo que um ônibus gasta para ir do ponto inicial ao ponto final de uma linha varia, durante o dia, conforme as condições do trânsito, demorando mais nos

6 As atividades deste capítulo foram adaptadas do Banco de Questões Super Pro da Interbits.

Esta

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65

horários de maior movimento. A empresa que opera essa linha forneceu, no gráfico abaixo, o tempo médio de duração da viagem conforme o horário de saída do ponto inicial, no período da manhã.

De acordo com as informações do gráfico, um passageiro que necessita chegar até as 10h30min ao ponto final dessa linha, deve tomar o ônibus no ponto inicial, no máximo, até as:a) 9h20minb) 9h30minc) 9h00mind) 8h30mine) 8h50min

2) (ENEM 2004) O excesso de veículos e os congestionamentos em grandes cidades são temas de frequentes reportagens. Os meios de transportes utilizados e a forma como são ocupados têm reflexos nesses congestionamentos, além de problemas ambientais e econômicos. No gráfico a seguir, podem-se observar valores médios do consumo de energia por passageiro e por quilômetro rodado, em diferentes meios de transporte, para veículos em duas

Esta

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66

condições de ocupação (número de passageiros): ocupação típica e ocupação máxima.

Esses dados indicam que políticas de transporte urbano devem também levar em conta que a maior eficiência no uso de energia ocorre para os:a) ônibus, com ocupação típica.b) automóveis, com poucos passageiros.c) transportes coletivos, com ocupação máxima.d) automóveis, com ocupação máxima.e) trens, com poucos passageiros.

3) (FGV 2006) O gráfico a seguir representa os lucros anuais, em reais, de uma empresa ao longo do tempo.

Podemos afirmar que:a) O lucro da empresa em 2003 foi 15% superior ao lucro de

2001.

Esta

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67

b) O lucro da empresa em 2005 foi 30% superior ao lucro de 2001.

c) O lucro da empresa em 2004 foi 10% inferior ao de 2002.d) O lucro em 2003 foi 90% do lucro obtido pela empresa no ano

anterior.e) O lucro obtido em 2005 superou em 17% o do ano anterior.

4) (UFMG 2006) Este gráfico representa o resultado de uma pesquisa realizada com 1000 famílias com filhos em idade escolar:

Considere estas afirmativas referentes às famílias pesquisadas:I) O pai participa da renda familiar em menos de 850 dessas

famílias.II) O pai e a mãe participam, juntos, da renda familiar em mais

de 500 dessas famílias. Então, é CORRETO afirmar que:

a) nenhuma das afirmativas é verdadeira.b) apenas a afirmativa I é verdadeira.c) apenas a afirmativa II é verdadeira.d) ambas as afirmativas são verdadeiras.

5) (UFRN 2003) O gráfico abaixo representa a taxa de desemprego na grande São Paulo, medida nos meses de abril, segundo o Dieese:

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68

Carta Capital, 05 de jun. de 2002. Ano VIII, nº 192. Analisando o gráfico, podemos afirmar que a maior variação na taxa

de desemprego na Grande São Paulo ocorreu no período dea) abril de 1985 a abril de 1986.b) abril de 1995 a abril de 1996.c) abril de 1997 a abril de 1998.d) abril de 2001 a abril de 2002.

6) (UFRN 2004) Numa pesquisa de opinião, feita para verificar o nível de aprovação de um governante, foram entrevistadas 1000 pessoas, que responderam sobre a administração da cidade, escolhendo uma – e apenas uma – dentre as possíveis respostas: ótima, boa, regular, ruim e indiferente. O gráfico abaixo mostra o resultado da pesquisa.

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De acordo com o gráfico, pode-se afirmar que o percentual de pessoas que consideram a administração ótima, boa ou regular é de:a) 28%.b) 65%.c) 71%.d) 84%.

7) (UFRGS 2004) Os resultados de uma pesquisa de opinião foram divulgados utilizando um gráfico de setores circulares, como o representado na figura abaixo.

Ao setor a estão associadas 35% das respostas, ao setor b, 270 respostas e, aos setores c e d, um mesmo número de respostas. Esse número é:a) 45.b) 90.c) 180.d) 450.e) 900.

8) (UFSCAR 2001) Num curso de iniciação à informática, a distribuição das idades dos alunos, segundo o sexo, é dada pelo gráfico seguinte.

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Com base nos dados do gráfico, pode-se afirmar que:a) o número de meninas com, no máximo, 16 anos é maior que o

número de meninos nesse mesmo intervalo de idades.b) o número total de alunos é 19.c) a média de idade das meninas é 15 anos.d) o número de meninos é igual ao número de meninas.e) o número de meninos com idade maior que 15 anos é maior

que o número de meninas nesse mesmo intervalo de idades.

Gabarito

1. (e); 2. (c); 3. (d); 4. (c); 5. (c); 6. (d); 7. (d); 8. (d)

Referências

[1] CORDANI, 2006, p. 3.

[2] http://www.ibge.gov.br/

[3] CRESPO, 1998, p. 38-53.

Medidas de tendência central

5

Med

idas

de

ten

dên

cia

cen

tral

73

As medidas de tendência central são bastante importantes, pois os valores de uma distribuição de frequência tendem a se agrupar em torno dos valores centrais. Dentre as medidas de tendência central, as mais utilizadas são: média aritmética, mediana e moda.

Neste capítulo, vamos ver como são calculadas essas medidas de tendência central com dados não-agrupados e com dados agrupados.

5.1 Medidas de tendência central para dados não-agrupados[1]

Vejamos como calcular média aritmética, mediana e moda para dados não-agrupados.

5.1.1 Média aritmética para dados não-agrupados (x)

A média aritmética é, com certeza, a medida de tendência central mais utilizada no cotidiano. É calculada pela soma dos elementos, dividido pela quantidade de elementos.

Exemplo: Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos, observamos que a média de idade é:

22 20 21 24 20 107x 21,45 5

+ + + += = =

Dizemos então que a média de idade do grupo é de 21,4 anos.

Med

idas

de

ten

dên

cia

cen

tral

74

Generalizando, com n valores x1, x2, x3, ..., xn de uma variável, a média aritmética ( x ) é obtida por:

n

i1 2 3 n i 1

xx x x ... x

xn n

=+ + + += =

∑

Nota: o símbolo n

ii 1

x=∑ significa o somatório dos números x sabendo

que o índice i varia de 1 a n.

A média aritmética pode ser ponderada, isto é, quando a importância dos elementos é diferente e para cada um deles é dado um “peso”.

Para calcular a média aritmética ponderada (podemos dizer apenas média ponderada), multiplicamos o valor de cada elemento pelo seu “peso”, somamos os resultados e dividimos pela soma dos “pesos”.

Exemplo[2]: O Índice Geral de Preços (IGP-M) é calculado pela Fundação Getúlio Vargas (FGV) por meio de uma média ponderada entre o Índice de Preços no Atacado (IPA), que tem peso 6; o Índice de Preços ao Consumidor (IPC) no Rio de Janeiro e São Paulo, com peso 3; e o Índice de Custo da Construção Civil (INCC), com peso 1. Imagine que, em um determinado mês, o valor do IGP-M tenha sido de alta de 0,992%, do IPA tenha sido de alta de 1,2%, do INCC, alta de 0,32%. Qual será a alta registrada para o IPC?

Escrevendo a expressão para a média ponderada temos:

Med

idas

de

ten

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cen

tral

75

6 IPA 3 IPC 1 INCCIGP M6 3 1

6 1,2% 3 IPC 1 0,32%0,992%10

7,2% 3 IPC 0,32%0,992%10

7,52% 3 IPC0,992%10

10 0,992% 7,52% 3 IPC9,92% 7,52% 3 IPC9,92%-7,52% 3 IPC2,4% 3 IPC2,4% IPC

30,8% IPC

× + × + ×− =

+ +× + × + ×

=

+ × +=

+ ×=

× = + ×= + ×

= ×= ×

=

=

Generalizando, com n valores x1, x2, x3, ..., xn de uma variável e pesos f1, f2, f3, ..., fn, respectivamente, a média aritmética ponderada (MP) é obtida por:

MP =

n

i i1 1 2 2 3 3 n i 1

n1 2 3

ii 1

x fx f x f x f ... x f

f f f ... f f

n

n

=

=

+ + + +=

+ + + +

∑

∑

Nota: o símbolo n

i ii 1

x f=∑ significa o somatório dos produtos dos

valores de x pelos valores dos pesos p, sabendo que o índice i varia de

1 a n. O símbolo n

ii 1

f=∑ significa o somatório dos pesos p, sabendo que

o índice i varia de 1 a n.

Med

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de

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76

5.1.2 Mediana para dados não-agrupados (Md)

A mediana é a medida de tendência central que divide os dados ordenados em duas partes de mesma frequência.

Deste modo, com n elementos colocados em ordem crescente ou decrescente, a mediana é:

• o número que ocupa a posição central, se n for um número ímpar;• a média aritmética dos dois números centrais, se n for um número

par.

Exemplo: Vamos supor que estas sejam as notas de 15 alunos:3; 5; 7; 6; 9; 10; 7; 4; 8; 9; 7; 2; 6; 7; 3;Ordenando as notas:

2; 3; 3; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 8; 9; 9; 10

7 elementosantes

7 elementosdepois

Este é o elemento que ocupa a 8ª posição.

Para esse exemplo,a mediana, então, é igual a 7,0

5.1.3 Moda para dados não-agrupados (Mo)

A moda nada mais é do que o valor mais frequente de um grupo de valores observados.

No exemplo anterior, a moda é a média 7,0, pois ela é a que mais aparece, num total de quatro vezes.

Em um evento em que temos dois valores que aparecem em uma mesma quantidade, e são os que mais aparecem, dizemos que ele é bimodal.

Med

idas

de

ten

dên

cia

cen

tral

77

5.2 Medidas de tendência central para dados agrupados[3]

Vejamos como calcular média aritmética, mediana e moda para dados agrupados.

5.2.1 A média aritmética para dados agrupados ( x )

Para calcularmos a média aritmética para dados agrupados, convencionamos que todos os elementos de uma classe sejam iguais ao seu ponto médio e calculamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula:

n

i ii 1

n

ii 1

x fx

f

=

=

=∑

∑

Onde xi é o ponto médio da classe e fi é a frequência da classe.

Exemplo[4]: Considere a tabela abaixo com dados das alturas de 40 pessoas.

Tabela 1: Frequência de alturasi Alturas (cm) fi xi fi xi

1 150 |– 154 4 152 608

2 154 |– 158 9 156 1404

3 158 |– 162 11 160 1760

4 162 |– 166 8 164 1312

5 166 |– 170 5 168 840

6 170 |– 174 3 172 516

40=∑ 6440=∑Fonte: CRESPO, 1998, p. 85

Med

idas

de

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cia

cen

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78

O modo mais fácil é criando na tabela colunas para fi (frequência da classe), xi (ponto médio da classe), e xi fi (produto das duas colunas anteriores). Assim,

n

i ii 1

n

ii 1

x f6440x 161

40f

=

=

= = =∑

∑

Portanto, a média de altura das 40 pessoas é 161 cm.

5.2.2 Mediana para dados agrupados (Md)

O cálculo da mediana para dados agrupados é bastante semelhante ao cálculo da mediana para dados não-agrupados. Um cálculo importante a se fazer é a frequência acumulada em cada classe.

Encontrada a classe mediana, ou seja, aquela classe que corresponde

à frequência acumulada imediatamente superior a if2∑ .

Usando o exemplo das alturas de 40 pessoas, vemos que a classe

mediana é a terceira, pois if 40 202 2

= =∑ .

Tabela 2: Frequência de alturasi Alturas (cm) fi Fi

1 150 |– 154 4 4

2 154 |– 158 9 13

3 158 |– 162 11 24

4 162 |– 166 8 32

5 166 |– 170 5 37

6 170 |– 174 3 40

40=∑Fonte: CRESPO, 1998, p. 85

Med

idas

de

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cia

cen

tral

79

Para o cálculo da mediana, devemos supor que dentro da classe os valores estejam uniformemente distribuídos. Então, como há 11 elementos na classe mediana e o intervalo de classe é igual a 4, fazemos:

20 13 7 28Md 158 4 158 4 158 158 2,54 160,5411 11 11−

= + × = + × = + = + =

Logo, Md = 160,54 cm.

Generalizando:1º) Determinamos as frequências acumuladas

2º) Calculamos if2∑

3º) Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada

imediatamente superior a if2∑ – classe mediana – e, em seguida,

empregamos a fórmula:if

F(ant) h*2

Md *f*

l

−

= +

∑

Na qual:l* é o limite inferior da classe medianaF(ant) é a frequência acumulada da classe anterior à classe

medianaf* é a frequência simples da classe medianah* é a amplitude do intervalo da classe mediana.

Fonte: CRESPO, 1998, p. 98

5.2.3 Moda para dados agrupados (Mo)

No caso de dados agrupados, a moda está na classe de maior frequência, sendo, portanto denominada classe modal.

No entanto, é possível calcular uma moda bruta, fazendo o ponto médio da classe modal.

* *Mo2

l L+=

Med

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80

Onde:l* é o limite inferior da classe modalL* é o limite superior da casse modal

Usando o exemplo das alturas de 40 pessoas, vemos que a classe modal é a terceira.

Tabela 3: Frequência de alturasi Alturas (cm) fi Fi

1 150 |– 154 4 4

2 154 |– 158 9 13

3 158 |– 162 11 24

4 162 |– 166 8 32

5 166 |– 170 5 37

6 170 |– 174 3 40

40=∑Fonte: CRESPO, 1998, p. 85

Fazendo:* * 158 162 320Mo 160

2 2 2l L+ +

= = = =

Logo, a moda é 160 cm.

Atividades7

1) (FGV 2007) Quatro amigos calcularam a média e a mediana de suas alturas, tendo encontrado como resultado 1,72 m e 1,70 m, respectivamente. A média entre as alturas do mais alto e do mais baixo, em metros, é igual a:

7 As atividades deste capítulo foram adaptadas do Banco de Questões Super Pro da Interbits.

Med

idas

de

ten

dên

cia

cen

tral

81

a) 1,70.b) 1,71.c) 1,72.d) 1,73.e) 1,74.

2) (FGV 2008) Sejam os números 7, 8, 3, 5, 9 e 5 seis números de uma lista de nove números inteiros. O maior valor possível para a mediana dos nove números da lista é:a) 5. b) 6. c) 7. d) 8. e) 9.

3) As notas de um candidato em suas provas de um concurso foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2.

A nota média, a nota mediana e a nota modal desse aluno, são respectivamente:a) 7,9; 7,8; 7,2b) 7,2; 7,8; 7,9c) 7,8; 7,8; 7,9d) 7,2; 7,8; 7,9e) 7,8; 7,9; 7,2

4) (FUVEST/G.V. 92) Num determinado país a população feminina representa 51% da população total. Sabendo-se que a idade média (média aritmética das idades) da população feminina é de 38 anos e a da masculina é de 36 anos. Qual a idade média da população?a) 37,02 anosb) 37,00 anosc) 37,20 anosd) 36,60 anose) 37,05 anos

Med

idas

de

ten

dên

cia

cen

tral

82

5) (UFU 99) O Departamento de Comércio Exterior do Banco Central possui 30 funcionários com a seguinte distribuição salarial em reais:

Quantos funcionários que recebem R$ 3.600,00 devem ser demitidos para que a mediana desta distribuição de salários seja de R$ 2.800,00?a) 8b) 11c) 9d) 10e) 7

6) (PUCCAMP 2005) Nas principais concentrações urbanas do país, trabalhadores de baixa renda percorrem grandes distâncias a pé. Outros pedalam muitos quilômetros para usar uma condução a menos, deixando a bicicleta em estacionamentos próprios.

A tabela abaixo mostra os resultados de uma pesquisa sobre a faixa salarial dos funcionários de uma empresa que usam bicicleta para ir ao trabalho.

Med

idas

de

ten

dên

cia

cen

tral

83

O salário médio desses trabalhadores é:a) R$ 400,00b) R$ 425,00c) R$ 480,00d) R$ 521,00e) R$ 565,00

Gabarito

1. (e); 2. (d); 3. (a); 4. (a); 5. (d); 6. (e)

Referências

[1] ARAÚJO, 2006, p. 37-48.

[2] ARAÚJO, 2006, p. 56.

[3] ARAÚJO, 2006, p. 49-60.

[4] CRESPO, 1998, p. 85.

Medidas de variabilidade

6

Med

idas

de

vari

abili

dad

e

87

As medidas de tendência central – média aritmética, moda e mediana – são importantes para caracterizar um conjunto de valores, mas não o bastante, pois não conseguem expressar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores que compõem um conjunto. Então, neste capítulo, para ver o quanto um conjunto de valores é homogêneo ou heterogêneo, estudaremos as medidas de variabilidade: amplitude (A), a variância (σ2) e o desvio padrão (σ).

6.1 Amplitude[1]

A amplitude é medida de variabilidade que nos diz em quanto os valores variaram, logo, é dada pela diferença entre o maior e o menor dos valores.

Com dados não agrupados, fazemos:

A = xmáx − xmín

em que:xmáx é o maior valor observadoxmín é o menor valor observado

Exemplo: Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos a amplitude é dada por:

A = xmáx − xmín

A = 24 − 20A = 2

Com dados agrupados, fazemos a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe.

A = Lmáx − Lmín

em que:Lmáx é o limite máximoLmín é o limite mínimo

Med

idas

de

vari

abili

dad

e

88

Exemplo: Considere a tabela abaixo com dados das alturas de 40 pessoas.

Tabela 1: Frequência de alturasi Alturas (cm) fi xi fi xi

1 150 |– 154 4 152 608

2 154 |– 158 9 156 1404

3 158 |– 162 11 160 1760

4 162 |– 166 8 164 1312

5 166 |– 170 5 168 840

6 170 |– 174 3 172 516

40=∑ 6440=∑Fonte: CRESPO, 1998, p. 85

A amplitude é calculada por:A = Lmáx − Lmín

A = 174 − 150A = 24

A amplitude dá uma noção da variabilidade, mas é pouco precisa, na medida em que só considera dois valores extremos, desconsiderando a variabilidade entre os valores intermediários. Em situações como determinar a variação da temperatura em um dia, calcular a amplitude pode ser suficiente, mas em outras situações, melhor utilizar outras medidas de variabilidade, como a variância e o desvio padrão.

6.2 Variância e Desvio Padrão[2]

A variância (σ2) é uma medida de variabilidade que considera os valores de um conjunto em sua totalidade e por isso é mais geralmente empregada que a amplitude que só considera os extremos.

Med

idas

de

vari

abili

dad

e

89

A variância utiliza os desvios em torno da média aritmética, calculando a média dos quadrados dos desvios, ou seja:

Em que:

ix são os valores da variável

x é a média aritmétican é o número de elementos do conjunto

∑ é o somatório

Quando temos uma população, utilizamos a fórmula acima, mas

quando temos apenas uma amostra (isto é, parte da população), devemos

multiplicar o resultado da variância por nn 1−

.

Então, para o cálculo da variância:

De uma população, usamos .

De uma amostra, usamos .

Porém, esta não é uma medida de variabilidade muito utilizada, pois não expressa o resultado na mesma unidade dos valores observados (conjunto de dados). Em geral, a medida usada é o desvio padrão (σ) que significa o quanto, em média, os valores estão afastados do valor médio e, como se pode perceber, o desvio padrão (σ), por não ter o termo ao quadrado (σ2), é dado pela raiz quadrada da variância, ou seja:

Med

idas

de

vari

abili

dad

e

90

O desvio padrão é expresso na mesma unidade dos valores observados (conjunto de dados).

O cálculo da variância para dados agrupados é feito pela fórmula:

para a população

para a amostra.

O desvio padrão é calculado da mesma forma, ou seja, é a raiz quadrada da variância.

Exemplo com dados não agrupados: Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos.

Precisamos da média aritmética:

22 20 21 24 20 107x 21,45 5

+ + + += = =

Fazemos uma tabela:

Tabela 2: Frequência de idadexi xi - x (xi - x )2

20 20 – 21,4 = – 1,4 (– 1,4)2 = 1,96

20 20 – 21,4 = – 1,4 (– 1,4)2 = 1,96

21 21 – 21,4 = – 0,4 (– 0,4)2 = 0,16

22 22 – 21,4 = 0,6 0,62 = 0,36

24 24 – 21,4 = 2,6 2,62 = 6,76

107=∑ 11,2=∑

Med

idas

de

vari

abili

dad

e

91

Calculando a variância:

Calculando o desvio padrão:

Exemplo com dados agrupados: Considere a tabela abaixo com dados das alturas de 40 pessoas.

Tabela 3: Frequência de alturasi Alturas (cm) fi xi fi xi

1 150 |– 154 4 152 608

2 154 |– 158 9 156 1404

3 158 |– 162 11 160 1760

4 162 |– 166 8 164 1312

5 166 |– 170 5 168 840

6 170 |– 174 3 172 516

40=∑ 6440=∑Fonte: CRESPO, 1998, p. 85

Calculamos a média aritmética:n

i ii 1

n

ii 1

x f6440x 161

40f

=

=

= = =∑

∑

Calculamos a variância de uma população, para isso, vamos fazer uma tabela que nos auxiliará nos somatórios:

Med

idas

de

vari

abili

dad

e

92

Tabela 4: Frequência de alturasi Alturas (cm) fi xi fi xi fi (xi)2

1 150 |– 154 4 152 608 92416

2 154 |– 158 9 156 1404 219024

3 158 |– 162 11 160 1760 281600

4 162 |– 166 8 164 1312 215168

5 166 |– 170 5 168 840 141120

6 170 |– 174 3 172 516 88752

40=∑ 6440=∑ 1038080=∑Fonte: CRESPO, 1998, p. 85

Calculando a variância para dados agrupados:

Calculando o desvio padrão:

Observações:• Quando todos os valores de um conjunto de dados são iguais, a

variância e o desvio padrão são iguais a zero.• Quanto mais próximo de zero o desvio padrão, mais homogênea é a

distribuição de valores no conjunto de dados.

Med

idas

de

vari

abili

dad

e

93

6.3 Aplicando o conceito de variabilidade

Vamos utilizar o conceito de variabilidade em uma situação concreta, para perceber a vantagem do uso da variância e do desvio padrão.

Suponha que você seja responsável pelo departamento de recursos humanos e há uma vaga de gerente de produção. Após realizar testes com diferentes candidatos, você separou os dois melhores candidatos cujos desempenhos estão na tabela abaixo:

Tabela 5: Desempenho dos candidatos Ana e FelipeCandidato

Assunto

Ana Felipe

Conhecimento de informática 8,5 9,5

Língua Portuguesa 9,5 9,0

Língua Inglesa 8,0 8,5

Matemática 7,0 8,0

Conhecimentos de economia 7,0 5,0

Média = 8,0 Média = 8,0

Como podemos notar, a média aritmética dos candidatos é a mesma, portanto, não há como diferenciá-los.

Então vamos calcular a variância e o desvio padrão de Ana e de Felipe, de modo a ver qual deles tem um desempenho mais homogêneo, ou seja, que suas notas sejam menos dispersas da média.

Med

idas

de

vari

abili

dad

e

94

Tabela 6: Desempenho de AnaAna xi - x (xi - x)2

8,5 8,5 – 8 = 0,5 0,52 = 0,25

9,5 9,5 – 8 = 1,5 1,52 = 2,25

8,0 8,0 – 8 = 0 02 = 0

7,0 7,0 – 8 = −1 (−1)2 = 1

7,0 7,0 – 8 = −1 (−1)2 = 1

4,5∑=

Variância:

Desvio padrão:

Tabela 7: Desempenho de FelipeFelipe xi - x (xi - x )2

9,5 9,5 – 8 = 1,5 1,52 = 2,25

9,0 9,0 – 8 = 1 12 = 1

8,5 8,5 – 8 = 0,5 0,52 = 0,25

8,0 8,0 – 8 = 0 02 = 0

5,0 5,0 – 8 = −3 (−3)2 = 9

12,5∑=

Variância:

Desvio padrão:

Comparando, vemos que a variância do desempenho de Ana é menor que a variância do desempenho de Felipe (0,9 < 2,5). Comparando o desvio padrão deles temos 0,95 < 1,58, isso quer dizer que Ana teve um desempenho mais regular que Felipe.

Med

idas

de

vari

abili

dad

e

95

Atividades8

1) Podemos dizer que a média, associada ao desvio padrão, é uma boa medida de variabilidade quando:a) todos os valores da população ou da amostra estão em seu

entorno, o que implica em um grande desvio padrão.b) todos os valores da população ou da amostra estão em seu

entorno, o que implica em um pequeno desvio padrão.c) os valores da população ou da amostra estão bastante dispersos

e implicam em um grande desvio padrão.d) os valores da população ou da amostra estão bastante dispersos

e implicam em um pequeno desvio padrão.

2) Um pequeno desvio padrão significa que:a) todos os valores da amostra ou da população estão bem

afastados da média.b) alguns dos valores da amostra ou da população estão bem

próximos da média, mas a maioria deles bastante afastados dela.

c) a grande maioria dos valores da população ou da amostra estão bem próximos da média.

d) a variância é um valor bem grande.

3) Um conjunto de dados numéricos tem variância igual a zero. Podemos concluir que:a) a média também vale zero.b) a mediana também vale zero.c) a moda também vale zero.d) o desvio padrão também vale zero.e) todos os valores desse conjunto são iguais a zero.

8 As atividades deste capítulo foram adaptadas do Banco de Questões Super Pro da Interbits e de DANTE, 2008.

Med

idas

de

vari

abili

dad

e

96

4) A tabela adiante apresenta o levantamento das quantidades de peças defeituosas para cada lote de 100 unidades fabricadas em uma linha de produção de autopeças, durante um período de 30 dias úteis.

Considerando S a série numérica de distribuição de frequências de peças defeituosas por lote de 100 unidades, julgue os itens abaixo, atribuindo-lhes a letra V, quando verdadeiras, e a letra F, quando falsas.(1) A moda da série S é 5.(2) Durante o período de levantamento desses dados, o percentual

de peças defeituosas ficou, em média, abaixo de 3,7%.(3) Os dados obtidos nos 10 primeiros dias do levantamento

geram uma série numérica de distribuição de frequências com a mesma mediana da série S.

a) V V Vb) F F Fc) V F Vd) F V Fe) F V V

5) As vésperas de um jogo decisivo, o técnico de uma equipe de basquetebol deve optar pela escalação de um dentre dois jogadores A e B. As duas tabelas seguintes mostram o desempenho de cada jogador nos últimos cinco jogos dos quais participou:

Med

idas

de

vari

abili

dad

e

97

Jogador A Jogador B

Jogo Número de pontos Jogo Número de pontos

1 20 1 30

2 22 2 14

3 18 3 20

4 20 4 12

5 20 5 24

Para tomar sua decisão o técnico calculou o desvio padrão de cada um dos jogadores nesses cinco jogos. Ele obteve como desvio padrão do jogador A e como desvio padrão do jogador B, respectivamente:a) 1,26 e 6,57b) 6,57 e 1,26c) 0,63 e 3,28d) 3,28 e 0,63e) 0,54 e 2,28

6) A tabela abaixo mostra o peso (em quilogramas) de um grupo de 20 pessoas.

Peso (kg) Frequência

40 |– 44 1

44 |– 48 3

48 |– 52 7

52 |– 56 6

56 |– 60 3

total 20

A média, a mediana e a moda são, respectivamente:a) 51,4 kg; 50 kg e 50 kgb) 50 kg; 51,4 kg e 50 kgc) 50 kg; 50 kg e 51,4 kgd) 51,4 kg; 51,4 kg e 50 kge) 50 kg; 51,4 kg e 51,4 kg

Med

idas

de

vari

abili

dad

e

98

Gabarito

1. (b); 2. (c); 3. (d); 4. (e); 5. (a); 6. (a)

Referências

[1] CRESPO, 1998, p. 109-111.

[2] CRESPO, 1998, p. 111-113.

Juros

7

Juro

s

101

O conceito de juros é fundamental em Matemática Financeira. Este capítulo vai abordar juros simples e também juros compostos.

Em primeiro lugar, é preciso ficar claro o que é juro. Nas palavras de Garrity (2000)[1]:

Sempre que se pega dinheiro emprestado, é cobrada uma taxa pelo

uso destes fundos. Da mesma forma, quando você investe ou deposita

dinheiro em uma caderneta de poupança, você é pago pelo uso de seus

recursos. O juro (J) refere-se à quantidade de dinheiro que se ganha ou se

cobra pelo uso do dinheiro. Às vezes, você ganha, como quando deposita

em uma caderneta de poupança, às vezes você paga, quando financia um

carro ou faz uma hipoteca. O valor dos juros é determinado pela taxa que

o banco emprega para calculá-los. E com a matemática, seremos capazes

de determinar o valor dos juros.

São dois os fatores que influenciam o cálculo dos juros: tempo e taxa.Quanto mais tempo, mais juros serão gerados.Quanto maior a taxa, maiores os juros.Tempo e taxa implicam nos juros e consequentemente no valor futuro

(montante).

7.1 Juros Simples

No regime de juros simples, não há capitalização dos juros no final de cada período, só no final do prazo. Isso quer dizer que os juros simples são calculados unicamente sobre o valor presente (PV)9, também denominado valor inicial, capital ou principal.

O valor futuro (FV) também é denominado valor final ou montante.A taxa de juros refere-se sempre a um dado período financeiro: ao dia

(a.d.), ao mês (a.m.), ao bimestre (a.b.), ao semestre (a.s.), ao ano (a.a.), etc. e pode ser apresentada de duas formas:

• Percentual, por exemplo, 14% a.m.• Unitária, por exemplo, 0,14 a.m.

9 Vamos utilizar preferencialmente as mesmas siglas utilizadas na calculadora HP-12C.

Juro

s

102

O número de períodos é o tempo que decorre desde o início até o final da operação financeira. É o prazo durante o qual os juros estão sendo acumulados.

Existem duas convenções[2] para contagem dos períodos de tempo:• Prazo exato: é aquele que leva em conta o ano civil de 365 dias e 366

dias (anos bissextos).• Prazo comercial (ou bancário): é aproximado considerando o mês

com 30 dias e o ano com 360 dias.

Observação: O prazo comercial (ou bancário) é o mais frequentemente usado, por isso, neste livro, usar-se-á o prazo comercial (ou bancário) quando não estiver especificado o uso do prazo exato.

Exemplo: Vamos analisar os juros um capital de R$ 10.000,00, aplicados por 5 meses, à taxa de 5% a.m.

Tabela 1: Juros SimplesMeses

(n)Capital

(PV)Juros

(J)Montante

(FV)

1 10.000,00 500,00 10.500,00

2 10.000,00 500,00 11.000,00

3 10.000,00 500,00 11.500,00

4 10.000,00 500,00 12.000,00

5 10.000,00 500,00 12.500,00

7.1.1 Fórmula para cálculo do montante no regime de Juros Simples

FV = PV + PV. i . nFV = PV (1 + i . n)

FV: valor futuro, valor final, montante.PV: valor presente, valor inicial, capital, principal.

Juro

s

103

i: taxa de juros.n: número de períodos.

No exemplo:FV = 10000 (1 + 0,05 . 5)FV = 12500,00

Usando a calculadora científica

Digitar: 10000 × (1 + 0.05 × 5 ) =

Usando a calculadora HP-12C

f(2)

f REG

5 Enter 0.05 X

1 +

10000 X

Define o número de casas decimais no visor

Limpa memória

Multiplica 5 por 0,05

Adiciona 1

Multiplica por 10000

Usando o Excel

O montante é uma P.A. (Progressão Aritmética) de razão (PV. i).No exemplo: (10500, 11000, 11500, 12000, 12500).

Juro

s

104

7.2 Taxas de juros[3]

Devemos sempre ter o cuidado de utilizar a taxa de juros e o período em uma mesma unidade de tempo. Tratando-se de juros simples, basta multiplicarmos ou dividirmos diretamente valores que obteremos esta relação, veja dois exemplos:

Taxa de 15% a.m. é o mesmo que: • Se o período estiver em dias: 15 ÷ 30 = 0,5 % a.d.• Se o período estiver em anos: 15 x 12 = 180% a.a.

3 meses é o mesmo que:• Se a taxa estiver em dias: 3 x 30 = 90 dias• Se a taxa estiver em anos: 3 ÷ 12 = 0,25 anos

Desta forma, quando temos juros com taxas mensais, nosso período tem de ser em meses, se a taxa for diária, o período tem de ser em dias e assim por diante.

7.3 Juros Compostos

No regime de juros compostos, há capitalização dos juros no final de cada período. Isso quer dizer que os juros simples são calculados, em cada período, sobre o montante do período anterior.

Exemplo: Vamos analisar os juros um capital de R$ 10.000,00, aplicados por 5 meses, à taxa de 5% a.m.

Juro

s

105

Tabela 2: Juros CompostosMeses

(n)Capital

(PV)Juros

(J)Montante

(FV)

1 10.000,00 500,00 10.500,00

2 10.500,00 525,00 11.025,00

3 11.025,00 551,25 11.576,25

4 11.576,25 578,81 12.155,06

5 12.155,06 607,75 12.762,82

7.3.1 Fórmula para cálculo do montante no regime de Juros Compostos

FV = PV . (1 + i)n

FV: valor futuro, valor final, montante.PV: valor presente, valor inicial, capital, principal.i: taxa de juros.n: número de períodos.

No exemplo:FV = 10000 (1 + 0,05)5

FV = 12762,82

Usando a calculadora científica

Digitar: 10000 × (1 + 0.05) ^ 5 =

Obs.: A tecla de potência pode ser ^ ou ainda xy dependendo do modelo da calculadora.

Juro

s

106

Usando a calculadora HP-12C

f (2)

f REG

STO EEX

10000 CHS PV

5 n

5 i

FV

Define o número de casas decimais no visor

Limpa memória

Convenção exponencial

Memoriza 10000 como valor presente

Memoriza o prazo de 5 meses

Memoriza a taxa mensal de 5%

Calcula valor futuro

Obs.: Para usar a convenção exponencial temos que ter no visor a letra “C”. Para isso, teclamos STO EEX. Ao teclar novamente, apagamos a letra “C”, desabilitando a convenção exponencial.

Outra forma de usar a calculadora financeira é fazendo o cálculo

algébrico e usando a tecla que calcula potência .

No exemplo: 1 Enter 0,05 + 5 10000 ×

Usando o Excel

Juro

s

107

O montante é uma P.G. (progressão geométrica) de razão (1+ i).No exemplo: (10500; 11025; 11576,25; 12155,06; 12762,82).

7.4 Comparando graficamente Juros Simples e Juros Compostos

montante

capital inicial

montante composto

montante simples

período

A função que descreve o montante no regime de juros simples é uma função polinomial do primeiro grau, enquanto a função que descreve o montante no regime de juros compostos é uma função exponencial.

Quando o período varia entre 0 e 1, o montante a juros simples é maior que o montante a juros compostos.

Quando o período é igual a 1, os montantes são iguais (veja que os gráficos se cruzam).

Quando o período é maior que 1, o montante a juros simples é menor que o montante a juros compostos.

Logo, juros compostos crescem mais rapidamente que juros simples.

Juro

s

108

7.5 Exercícios resolvidos

a) Calcular os juros simples produzidos por um capital de R$ 3.000,00 aplicado durante 1 ano a uma taxa de 1,8% a.m. de juros simples.

Resolução:PV = 3000n = 1 ano = 12 mesesi = 1,8% a.m. = 0,018 a.m.

J = PV . i . nJ = 3000 . 0,018 . 12J = 648

b) Um capital de R$ 500,00 produziu em 1 semestre um montante de R$ 590,00. Qual a taxa de juros simples mensal aplicada?

Resolução:PV = 500FV = 580n = 1 semestre = 6 meses

FV = PV (1 + i . n)590 = 500 (1 + i . 6)590 = 500 + 3000i590 – 500 = 3000i90 = 3000i

90i3000

= = 0,03 = 3% a.m.

c) O preço à vista de um produto é R$ 480,00. O mesmo pode ser pago com uma entrada de 25% mais um cheque pré-datado de R$ 381,60. Determine o prazo do cheque, sabendo que a taxa mensal de juros simples é de 4% a.m.

Resolução:PV = 480Condição: Entrada 25% + 381,60 (pré)i = 4% a.m. = 0,04 a.m.25% de 480 = 120480 – 120 = 360

FV = PV (1 + i . n)381,60 = 360 (1 + 0,04 . n)381,60 = 360 + 14,4n381,60 – 360 = 14,4n21,60 = 14,4n

21,60n14,4

= = 1,5 meses ou 45 dias

Juro

s

109

d) Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 22.125,00 sabendo que a taxa é de 15% a.s., capitalizado semestralmente, em regime de capitalização composta.

Resolução:PV = 11000

FV = 22125

i = 15% a.s. = 0,15 a.m.

n = ?

( )( )

( )

( )

( )

( )

n

n

n

n

FV PV 1 i

22125 11000 1 0,1522125 1,1511000

22125ln ln 1,151100022125ln n.ln 1,1511000

22125ln11000n

ln 1,15n 5 semestres

= +

= +

=

= =

=

=

Usando logaritmos

Quando a variável aparece no expoente, precisamos utilizar logaritmos. Optamos aqui por utilizar logaritmo neperiano (ou logaritmo natural, representado por ln), pois é a função que temos disponível na calculadora HP-12C. No entanto, com uma calculadora científica ou com o Excel, também é possível utilizar logaritmo de base 10.

No exemplo acima, usamos a “propriedade do tombo”:

ln M = N . ln MN

O N que é expoente do logaritmando “cai” multiplicando o ln M.

Juro

s

110

No exemplo:

( )

( )

( )

n22125ln ln 1,151100022125ln n.ln 1,1511000

22125ln11000n

ln 1,15

= =

=

Para calcular ( )

22125ln11000n

ln 1,15

= , usando a HP-12C, digitamos:

f REG

f (2)

22125 Enter 11000 ÷

g LN

1,15 g LN

÷

Zera as memórias

Duas casas decimais

Divide 22125 por 11000

Calcula o logaritmo natural de 2,01

Calcula o logaritmo natural de 1,15

Calcula a divisão entre os logaritmos

No Excel, ( )

22125ln11000n

ln 1,15

= pode ser assim calculado:

Juro

s

111

e) O valor de R$ 550.000,00 é aplicado à taxa de juros compostos de 12% a.m. com capitalização mensal durante 5 meses. Qual o valor acumulado no final da operação?

Resolução:PV = 550000

i = 12% a.m. = 0,12 a.m.

n = 5 meses

n

5

5

FV PV(1 i)FV 550000(1 0,12)FV 550000(1,12)FV 969287,93

= +

= +

==

f) Ao aplicar R$ 654.000,00 durante 7 meses resgatou-se o montante de R$ 2.145.883,80. Qual a taxa mensal de juros da operação a juros compostos?

Resolução:PV = 654000

FV = 2145883,80

n = 7 meses

i = ?

n

7

7

7

7

FV PV(1 i)2145883,80 654000(1 i)2145883,80 (1 i)

6540003,28116789 (1 i)

3,28116789 1 i1,185 1 ii 0,185 18,5% a.m.

= +

= +

= +

= +

= += +

= =

Usando raízes de índice maior que 2

No exemplo acima, precisamos em 73,28116789 (1 i)= + tirar o expoente 7. Para isso, extraímos a raiz sétima dos dois membros da equação:

7 3,28116789 1 i= +

Então, como calcular raiz sétima?

Juro

s

112

Na calculadora científica, costuma aparecer a tecla x y , neste caso, digitamos:

7 x y 3.28116789 =

Na calculadora HP-12C só é possível calcular raiz quadrada, então uma opção é transformar uma raiz em uma potência de expoente fracionário. Vale a propriedade:

ab a bn n=

O expoente a “está por dentro”, quem “está por dentro fica por cima”. O índice b “está por fora”, quem “está por fora está por baixo”.

Daí, podemos calcular 7 3,28116789 fazendo 1

73,28116789 .

Na calculadora HP-12C, digitamos:3.28116789 Enter 1 Enter 7 ÷ yx

No visor, 1,185000000

No Excel para fazer 173,28116789 :

g) Qual o juro pago no empréstimo de R$ 1.000,00 à taxa de juro composto de 2% a.m. capitalizado mensalmente e pelo prazo de 10 meses?

Juro

s

113

Resolução:PV = 1000

i = 2% a.m. = 0,02 a.m.

n = 10 meses n

10

10

FV PV(1 i)FV 1000(1 0,02)FV 1000(1,02)FV 1218,99

= +

= +

==

J = VF – VP = 1218,99 – 1000 = 218,99

Atividades10

1) Determine os juros simples de um capital de R$ 800,00 aplicado a uma taxa de 12% a.a., durante 7 meses.a) R$ 56,00b) R$ 58,00c) R$ 60,00d) R$ 63,00e) R$ 65,00

2) O capital de R$ 200,00 foi investido a juros simples, à taxa de 7,5% a.m., após certo prazo a taxa foi majorada para 10% a.m. O montante 4 meses após a majoração foi de R$ 370,00. Qual o prazo total da aplicação?a) 2 mesesb) 4 mesesc) 6 mesesd) 8 mesese) 10 meses

10 As atividades deste capítulo foram adaptadas de diversos livros citados nas Referências Gerais.

Juro

s

114

3) O capital de R$ 400,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 4% a.m. Após 1 semestre a taxa foi majorada, ficando durante 3 meses com este valor. Se o montante no final de 9 meses foi R$ 568,00, qual a taxa no segundo período?a) 4% a.m.b) 5% a.m.c) 6% a.m.d) 7% a.m.e) 8% a.m.

4) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 20.000,00 aplicado em regime de juro composto a uma taxa de 5% a.m. capitalizado mensalmente, durante 2 meses.a) R$ 20.050,00b) R$ 21.500,00c) R$ 22.050,00d) R$ 23.500,00e) R$ 24.050,00

5) Calcule o capital que produziu um montante de R$ 3.200,00, aplicado em regime de juro composto a 2% a.m., capitalizado mensalmente, durante 4 meses.a) R$ 2.870,29b) R$ 2.956,31c) R$ 3.950,45d) R$ 3.157,09e) R$ 3.450,11

6) Uma loja financia um bem no valor de R$ 320.000,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 404.000,00 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada, a juros compostos, pela loja se a capitalização é mensal?a) 0,18% a.m.b) 1,49% a.m.c) 2,66% a.m.

Juro

s

115

d) 3,96% a.m.e) 4,12% a.m.

7) Ao aplicar R$ 654.000,00 durante 7 meses resgatou-se o montante de R$ 2.145.883,80. Qual a taxa mensal de juros compostos da operação?a) 18,5% a.m.b) 18,9% a.m.c) 19,3% a.m.d) 19,9% a.m.e) 20,7% a.m.

Gabarito

1. (a); 2. (e); 3. (c); 4. (c); 5. (b); 6. (d); 7. (a)

Referências

[1] GARRITY, 2000, p. 5.

[2] PARENTE, CARIBÉ, 1996, p. 83.

[3] ARAÚJO, 2006, p. 88.

Descontos

8

Des

con

to

119

Desconto é o abatimento sobre o valor de um título ao qual alguém faz jus por trocá-lo em data anterior ao seu vencimento. Vamos, neste capítulo, conhecer o desconto simples comercial, o desconto simples racional e o desconto composto racional.

No desconto de um título são elementos importantes:• Valor nominal (valor futuro do título, valor de face ou valor de resgate)

é o valor do título na data do seu vencimento.• Valor atual (valor presente do título) é o valor do título na data

(antecipada) em que ele é resgatado.

Veja o esquema abaixo:

Data do vencimento(valor nominal - VN)

Desconto

(valor atual - VA)

D = valor nominal - valor atualD = VN - VA

Segundo Kruse[1]:

São inúmeras as situações onde contraímos dívidas a serem pagas no

futuro. Para que os credores possam provar que são os beneficiados,

emite-se um título com vencimento determinado, onde constam

também o nome do devedor, do credor e o valor a ser pago. Os títulos

mais conhecidos são: nota promissória (NP) (muito usada entre pessoas

físicas ou entre pessoa física e uma instituição financeira), duplicata

(emitida por uma pessoa jurídica), e a letra de câmbio (LC) (que já era

muito usada antigamente).

Des

con

to

120

Os descontos simples podem ser de dois tipos: comercial (bancário ou “por fora”) ou racional (matemático ou “por dentro”).

No Brasil, usa-se predominantemente o desconto simples comercial, quando as operações são de curto prazo. O desconto simples racional é muito pouco usado.

O desconto composto racional costuma ser utilizado em operações de longo prazo.

8.1 Desconto simples comercial

O desconto comercial (bancário ou “por fora”) equivale ao juro simples produzido pelo valor nominal (valor de face) do título no período de tempo correspondente e à taxa de desconto (id) fixada.

Dc = VN . d . n

Como o desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual, substituindo na fórmula acima, temos:

VN – VA = VN . id . nVN − VN . id . n = VA

VN (1 – id.n) = VAou

d

VAVN(1 i .n)

=−

Exemplo: Qual o valor líquido de uma duplicata de valor nominal equivalente a R$ 120,75, à taxa de desconto de 6% a.a., 4 meses antes do vencimento?

d

VAVN(1 i .n)

=−

Des

con

to

121

VA120,7541 0,06.

12

= −

VA120,750,98

=

VA 120,75.0,98=

VA = 118,335, arredondando, VA = 118, 34.O valor líquido (atual) será de R$ 118,34.

8.2 Desconto simples racional

O desconto racional (matemático ou “por dentro”) equivale aos juros simples produzidos pelo valor atual (presente) do título numa taxa (i) fixada e durante o tempo (n) correspondente.

Dr = VA . i . n

Como o desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual, substituindo na fórmula acima, temos:

VN – VA = VA . i . nVN = VA + VA . i . nVN = VA . (1 + i . n)

Exemplo: Determine o desconto de um título de valor nominal equivalente a R$ 135,00, pago 2 meses antes do vencimento, à taxa de juros de 1% a.m.

VN = VA . (1 + i . n)135 = VA . (1 + 0,01 . 2)135 = VA . 1,02

Des

con

to

122

VA = 1351,02

= 132,3529412, arredondando, VA = 132,35.

D = VN - VAD = 135,00 - 132,35D = 2,65O desconto será R$ 2,65.

8.3 Taxa de desconto e taxa de juros[2]

A taxa de desconto e a taxa de juros não são iguais. É fácil perceber isso, na medida em que a taxa de desconto (id) incide sobre o valor nominal e a taxa de juros (i) incide sobre o valor atual, sendo o valor nominal maior que o valor atual, a taxa de desconto (id) será menor que a taxa de juros (i).

As taxas de desconto e as taxas de juros se relacionam diretamente:

( )dii

1 i.n=

+ e ( )d

d

ii

1 i .n=

−

Exemplo: Em uma nota promissória de valor nominal R$ 452,40, foi abatida a taxa de desconto de 21% a.m., faltando 18 dias para seu vencimento. Calcule o valor do desconto e a taxa de juros, respectivamente.

d

VAVN(1 i .n)

=−

VA452,40(1 0,21.0,6)

=−

Des

con

to

123

VA452,400,874

=

VA = 452,40.0,874VA = 395,3976, arredondando, VA = 395,40.

D = VN − VAD = 452,4 − 395,40 = 57,00O desconto é de R$ 56,00.

( )d

d

ii

1 i .n=

−

( )0,21i

1 0,21.0,6=

−

0,21i0,874

=

i 0,2402745= = 24%

Taxa de juros 24% a.m.

Em resumo:

• No desconto simples comercial devemos utilizar taxa de desconto (id).• No desconto simples racional devemos utilizar taxa de juros (i).• id < i (taxa de desconto é sempre menor que taxa de juros, pois incide

sobre um capital maior).

8.4 Desconto composto racional[3]

Vamos estudar apenas o desconto composto racional, pois o desconto composto comercial não é utilizado.

No regime de juro composto, o desconto é calculado por:

Des

con

to

124

VA (1 + i)n = VN

( )nVNVA

1 i=

+

ou

( )-nVA VN 1 i= +

O termo ( )n1 i+ é o fator de descapitalização.

Exemplo: Calcule o valor atual de um título de valor nominal de R$ 1.120,00, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 18% ao semestre, capitalizados semestralmente (desconto composto racional).

VN = 1120i = 18% a.s. = 0,18 a.s.n = 2 anos e 6 meses = (4 + 1) semestres = 5 semestres

( )( )( )

-n

-5

-5

VA VN 1 i

VA 1120 1 0,18

VA 1120 1,18VA 489,56

= +

= +

=

=

Usando a calculadora científica

Para calcular uma potência com expoente negativo, basta atribuir o sinal ao expoente.

No exemplo acima, digitamos: 1.18 ^ 5 − × 1120Resultado: 489,56

ATENÇÃO: O – “negativo” não é a tecla de “menos” que faz a operação de

subtração, mas sim a tecla que muda o sinal do número que está no visor. Dependendo do modelo da calculadora científica essa tecla pode ter diferentes apresentações.

Des

con

to

125

Usando a HP-12C

Para calcular uma potência com expoente negativo, basta atribuir o sinal ao expoente, utilizando a tecla CHS.

No exemplo acima: 1.18 Enter 5 CHS yx 1120 ×Resultado: 489,56

Usando o Excel

Atividades11

1) Qual o valor atual de uma nota promissória de R$ 7.500,00, 4 meses antes de seu vencimento, 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de 60% a.a.? (Considere o desconto racional simples.)a) R$ 5.250,00b) R$ 5.500,00c) R$ 6.250,00d) R$ 6.450,00e) R$ 6.700,00

11 As atividades deste capítulo foram adaptadas de CESAR, 2000, e PARENTE e CARIBÉ, 1996.

Des

con

to

126

2) Por uma duplicata de R$ 20.000,00, um banco pagou o líquido de R$ 19.250,00. Quantos dias ainda faltavam para o vencimento do título, se a operação deu-se à taxa comercial de 30% a.a.?a) 15 diasb) 30 diasc) 35 diasd) 45 diase) 60 dias

3) (Petrobrás) Resgatei um título em um banco que me pagou o líquido de CR$ 20.350,00. O resgate deu-se a 10 dias do vencimento, à taxa de 24% a.m., pelo critério do desconto racional. O valor nominal desse título é:a) CR$ 22.780,00b) CR$ 22.030,00c) CR$ 21.978,00d) CR$ 21.359,00

4) (Banco do Brasil) Descontei duas notas promissórias de valores diferentes, cuja soma é de CR$ 400.000,00, usando a taxa de 7% a.m., de desconto comercial simples. Uma era vencível em 36 dias e a outra, vencível em 48 dias. O total dos descontos foi de CR$ 36.400,00. O maior valor nominal dentre os referidos títulos é:a) CR$ 250.000,00b) CR$ 300.000,00c) CR$ 320.000,00d) CR$ 350.000,00

5) (TTN) O valor atual racional de um título cujo valor de vencimento é de: R$ 256.000,00, daqui a sete meses, sendo a taxa de juros simples, utilizada para o cálculo, de 4% ao mês é:a) R$ 200.000,00b) R$ 220.000,00c) R$ 180.000,00d) R$ 190.000,00

Des

con

to

127

6) (AFTN) Obtenha o valor hoje de um título de R$ 10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim de três meses, a uma taxa de juros de 3% ao mês, considerando um desconto racional composto e desprezando os centavos.a) R$ 9.140,00b) R$ 9.126,00c) R$ 9.151,00d) R$ 9.100,00e) R$ 9.174,00

7) Um título no valor de R$ 20.000,00 foi saldado três meses antes do vencimento. A taxa de desconto comercial composto aplicada foi de 10% ao mês. Qual o valor recebido?a) R$ 12.640,00b) R$ 13.160,00c) R$ 13.570,00d) R$ 14.290,00e) R$ 14.580,00

Gabarito

1. (c); 2. (d); 3. (c); 4. (b); 5. (a); 6. (c); 7. (e)

Referências

[1] KRUSE, 2005, p.91.

[2] KRUSE, 2005, p.96-97.

[3] CRESPO, 1998, p. 127.

Estudo das taxas

9

Estu

do

das

tax

as

131

Neste capítulo, serão abordadas as taxas efetivas e as taxas nominais[1].• Chamamos de taxas efetivas de juros aquelas em que o período de

capitalização da taxa coincide com o período de referência da taxa. Ex.: 10% a.m./c.m. (Lê-se dez por cento ao mês com capitalização

mensal.) Veja que o período de capitalização (mês) é igual ao período de

referência (mês). OBSERVAÇÃO: Quando se tem uma taxa efetiva se pode omitir o período

de capitalização. Então, 10% a.m. é o mesmo que 10% a.m./c.m.• As chamadas taxas nominais de juros são aquelas cujo período de

capitalização não coincide com o período de referência da taxa. Ex.: 10% a.m./c.b. (Lê-se 10 por cento ao mês com capitalização

bimestral. Como você pode perceber, o período de capitalização é bimensal e o período de referência é mensal.)

Nesta situação, o capital é capitalizado somente a cada dois meses.

9.1 Transformação de uma taxa nominal em uma taxa efetiva

É bastante comum no mercado financeiro o uso de taxa nominal (geralmente ao ano), por isso devemos saber transformar uma taxa nominal em uma taxa efetiva. Para calcular uma taxa proporcional equivalente à taxa nominal, basta multiplicar ou dividir.

Exemplos:a) 12% a.a./c.m (taxa nominal)Para transformar em taxa efetiva, devemos mudar a.a. para a.m. Então,

como um ano tem 12 meses, dividimos por 12.12% ÷ 12 = 1% a.m./c.m. (taxa efetiva)

b) 1,4% a.m./c.a. (taxa nominal)Para transformar em taxa efetiva, devemos mudar a.m. para a.a. Então,

como 12 meses equivalem a um ano, multiplicamos por 12.1,4% .12 = 16,8% a.a./c.a. (taxa efetiva)

Estu

do

das

tax

as

132

c) 15% a.a./c.s. (taxa nominal)Para transformar em taxa efetiva, devemos mudar a.a. para a.s. Então,

como um ano tem 2 semestres, dividimos por 2.15% ÷ 2 = 7,5% a.s./c.s. (taxa efetiva)

d) 0,6% a.d./c.m. (taxa nominal)Para transformar em taxa efetiva, devemos mudar a.d. para a.m. Então,

como 30 dias equivalem a um mês, multiplicamos por 30.0,6% . 30 = 18% a.m./c.m. (taxa efetiva)

Generalizando:Para calcular a taxa efetiva (iE), basta dividir a taxa nominal (iN) pelo

número de capitalizações no período ao qual se refere a taxa nominal (k), isto é:

NE

ii

k=

Um exemplo clássico nos livros de Matemática Financeira é a taxa de juros da Caderneta de Poupança. Essa taxa é calculada pela variação da TR e por uma taxa de juros de 6% a.a. A taxa de 6% a.a. é nominal, pois a Poupança tem capitalização mensal, então é 6% a.a./c.m. Transformando em taxa efetiva, temos:

E6%

i a.m. 0,5%a.m12

9.2 Transformação de taxas efetivas[2]

Duas ou mais taxas de juros são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, por tempos iguais, produzem montantes iguais.

Para transformarmos taxas efetivas não basta dividirmos pelo número de capitalizações, já que temos uma capitalização composta. A partir da

Estu

do

das

tax

as

133

expressão dos juros compostos, facilmente obtemos a seguinte relação para estas taxas:

( )a

ba bi 1 i 1= + −

Onde:ia = taxa desejada ib = taxa dadaa = prazo da taxa desejada (ia) b = prazo da taxa dada (ib)

Vamos ver as relações entre taxas anuais e taxas mensais.

• Se for dada a taxa mensal e se deseja a taxa anual: ( )

121

anual mensali 1 i 1= + − , pois um ano é composto de 12 meses.

• Se for dada a taxa anual e se deseja a taxa mensal: ( )

112

mensal anuali 1 i 1= + − , pois um ano é composto de 12 meses.

Como você pode perceber, a razão a/b serve, apenas, para indicar quantas vezes o tempo da taxa que queremos é maior (ou menor) que o tempo da taxa que temos.

As relações entre as taxas equivalentes podem ser assim resumidas[3]:

360 12 4 2 1d m t s a(1 i ) (1 i ) (1 i ) (1 i ) (1 i )+ = + = + = + = +

Onde:id é a taxa diária de juro compostoim é a taxa mensal de juro compostoit é a taxa trimestral de juro compostois é a taxa semestral de juro compostoia é a taxa anual de juro composto

Estu

do

das

tax

as

134

Usando a calculadora científica

Por exemplo: vamos transformar imensal = 12% em taxa anual.

( ) ( )12 121

anuali 1 0,12 1 1,12 1= + − = −

Na calculadora digitamos: 1.12 ^ 12 – 1.Resultado: 2,895975993 arredondando 289,60% a.a.Não é preciso utilizar parênteses, pois a calculadora científica realiza

a operação de potenciação antes da subtração.

Por exemplo: vamos fazer o contrário, transformar ianual = 12% em taxa mensal.

( ) ( )1 112 12

mensali 1 0,12 1 1,12 1= + − = −

Na calculadora digitamos: 1.12 ^ ( 1 / 12 ) – 1. Resultado: 0,009499793 arredondando 0,95% a.m.Para calcular uma potência de expoente fracionário, fazemos o uso

de parênteses, pois é preciso que a divisão de 1 por 12 seja feita antes de elevar 1.12 ao resultado dessa divisão.

Usando a calculadora HP-12C

Para calcular na HP-12C potências:

Por exemplo: ( ) ( )12 121

anuali 1 0,12 1 1,12 1= + − = −Na calculadora digitamos: 1.12 Enter 12 yx 1 −Resultado: 2,895975993 arredondando 289,60% a.a.

No exemplo com expoente fracionário:

( ) ( )1 112 12

mensali 1 0,12 1 1,12 1= + − = −

Na calculadora digitamos: 1.12 Enter 1 Enter 12 ÷ yx 1 −Resultado: 0,009499793 arredondando 0,95% a.m.

Estu

do

das

tax

as

135

Usando o Excel

No exemplo com expoente fracionário:

( )112

mensali 1 0,12 1= + −

Outro modo de calcular potências no Excel é usando a função Potência pré-definida:

=POTÊNCIA(núm;potência)

No exemplo acima:

Estu

do

das

tax

as

136

Exemplo 1: Em Boletim do Banco Central do Brasil de 2003, foi informado que a taxa Selic mensal era de 1,37% a.m. e que esta mesma taxa anual foi de 17,737% a.a. Vamos verificar a equivalência entre essas taxas. Vamos encontrar a taxa anual equivalente à taxa mensal de 1,37%.

( )

( )

anualmensal

anual mensal

121

anual

12anual

anual

i 1 i 1

i 1 0,0137 1

i 1,0137 1i 0,177371064 17,737% a.a.

= + −

= + −

= −= =

Como vemos, 17,737% a.a. é o mesmo que 1,37% a.m.

Exemplo 2: No ano de 2002, a taxa TBF ficou em 21,78% a.a. Qual a taxa média ao mês?

( )

( )

( )

mensalanual

mensal anual

112

a

112

a

a

i 1 i 1

i 1 0,2178 1

i 1,2178 1i 0,016556053 1,66% a.m.

= + −

= + −

= −

= =

9.3 Equivalência de Capitais

Em Dal Zot[4], encontramos uma boa explicação para a equivalência de capitais:

Uma situação que ocorre, com muita frequência, no mundo dos negócios,

é o desequilíbrio entre as entradas e as saídas de caixa, fazendo com

que as empresas ou instituições financeiras ora tenham excesso de

disponibilidades de caixa, ora tenham falta de recursos financeiros. Reduzir

esse desequilíbrio, atenuando os picos e valores da disponibilidade de

caixa, é um dos mais importantes objetivos da administração financeira.

Para atenuar o desequilíbrio de caixa, busca-se substituir direitos ou

obrigações existentes por outros de datas diferentes.

Estu

do

das

tax

as

137

Desse modo, equivalência de capitais é utilizada para mudar a data de vencimento de um título ou para mudar a forma de pagamento, por exemplo, trocando um título por outros dois títulos.

Dois ou mais capitais, com datas de vencimento diferentes, são ditos capitais equivalentes quando, transportados para uma mesma data, à mesma taxa, produzirem, nessa data, valores iguais.

A1 = A2 igualando os valores atuaisN1 (1 − id.n1) = N2 (1 − id.n2)

Exemplo 1: Um título, com valor nominal de R$ 450,00 e vencimento para 4 meses, será substituído por outro com vencimento para 10 meses. Se a taxa de desconto utilizada nessa operação é de 3% a.m., qual o valor nominal do novo título?

N1 . (1 - id.n1) = N2 . (1 - id.n2)450 . (1 - 0,03 . 4) = N2 . (1 - 0,03 . 10)450 . 0,88 = N2 . 0,7396 = N2 .0,7

N2 = 3960,7

N2 = 565,71428, arredondando, 565,71.Logo, o valor nominal do novo título será R$ 565,71.

Exemplo 2: Um título de R$ 3.000,00 com vencimento para 4 meses será substituído por dois novos títulos de mesmo valor nominal com vencimento respectivamente para 3 e 6 meses, considerando a taxa de desconto de 2% a.m. Qual o valor nominal dos novos títulos?

N1 (1 - id.n1) = N2 (1 - id.n2) + N3 (1 - id.n3)3000 . (1 - 0,02 . 4) = N2 . (1 - 0,02 . 3) + N3 . (1 - 0,02 . 6)2760 = N . 0,94 + N . 0,88 (substituímos N2 e N3 por N, pois serão

valores iguais)2760 = N . 1,82

N2 = 27601,82

Estu

do

das

tax

as

138

N2 = 1516,48351, arredondando, 1516,48.Logo, os dois novos títulos terão o valor R$ 1.516,48.

Atividades12

1) (FISCAL TRIB.-CE) Obter a taxa de juros anual equivalente à taxa mensal de 5%, a juros compostos, em porcentagem e aproximação de uma casa decimal.a) 60,0%b) 69,0%c) 72,8%d) 74,9%e) 79,6%

2) (AFTN) Indique qual a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 8% ao ano com capitalização semestral.a) 8,20%b) 8,05%c) 8,16%d) 8,10%e) 8,00%

3) (Banco do Brasil) Qual a taxa semestral equivalente à taxa de 25% ao ano?a) 11,40%b) 11,50%c) 11,60%d) 11,70%e) 11,80%

12 As atividades deste capítulo foram adaptadas de diversos livros citados nas Referências Gerais.

Estu

do

das

tax

as

139

4) (AFTN) A taxa de 40% ao bimestres, com capitalização mensal, é equivalente a uma taxa trimestral de:a) 60,0%b) 66,6%c) 68,9%d) 72,8%e) 84,4%

5) Um credor deve a uma financeira dois títulos, um de R$ 1.500,00, com vencimento para 2 meses e outro de R$ 1.800,00 com vencimento para 5 meses. Esse credor pretende substituir esses dois títulos por outros dois com vencimento para 12 meses e 24 meses, respectivamente, sendo o segundo, com o dobro do valor nominal do primeiro. Admitindo-se uma taxa de 2,4% a.m., qual o valor nominal desses novos títulos?a) R$ 1.430,56 e R$ 3.761,12b) R$ 1.930,77 e R$ 3.861,54c) R$ 1.870,72 e R$ 2.580,45d) R$ 1.290,32 e R$ 3.541,23e) R$ 2.230,07 e R$ 3.901,08

6) Um título de R$ 3.000,00 com vencimento para 4 meses será substituído por dois novos títulos de mesmo valor nominal com vencimento respectivamente para 3 e 6 meses, considerando a taxa de desconto de 2% a.m. Qual o valor nominal dos novos títulos?a) R$ 1.298,16b) R$ 1.450,33c) R$ 1.516,48d) R$ 1.602,91e) R$ 1.870,29

7) Dois títulos de R$ 1.000,00 cada, exigíveis em 3 e 4 meses respectivamente, serão substituídos por dois títulos de mesmo valor nominal para 5 e 6 meses respectivamente, com taxa de desconto de 3% a.m. Calcule o valor nominal dos novos títulos.

Estu

do

das

tax

as

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a) R$ 1.071,86b) R$ 1.155,37c) R$ 1.276,27d) R$ 1.302,45e) R$ 1.477,05

Gabarito

1. (e); 2. (c); 3. (e); 4. (d); 5. (b); 6. (c); 7. (a)

Referências

[1] KRUSE, 2005, p.76-77.

[2] PARENTE, CARIBÉ, 1996, p. 155.

[3] PARENTE, CARIBÉ, 1996, p. 156.

[4] DAL ZOT, 2006, p.115.

Séries de pagamento

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Séries de pagamento também são chamadas de renda certa ou de anuidades.

Vamos ver, neste capítulo, que séries de pagamento são usadas para construir um capital ou resgatar uma dívida depositando ou pagando certas quantias em épocas distintas.

Capitalização × Amortização[1]

• Ao construir um capital temos uma capitalização.• Ao resgatar uma dívida temos uma amortização.

Principais Elementos das Séries• PV: valor presente, valor atual, soma dos temos descapitalizados.• FV: valor futuro, valor nominal, montante, soma dos termos

capitalizados.• PMT: valor de cada prestação, pagamento, termo.• n: número de períodos.• i: taxa.

Séries Uniformes de Pagamentos Periódicos• Postecipadas• Antecipadas• Diferidas

10.1 Séries Postecipadas

São aquelas em que o pagamento é efetuado no final de cada período e o valor futuro coincide com o pagamento da última prestação. São as compras sem entrada, por exemplo.

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Fonte: Adaptado de Araújo, 2006, p.138.

10.1.1 Valor presente de uma série postecipada

O valor presente (PV) de uma série postecipada é definido como o somatório das prestações descapitalizadas até o instante zero.

( ) ( ) ( )2 n-1 n

PMT PMT PMT PMTPV ...1 i 1 i 1 i 1 i

= + + + ++ + + +

( ) n1 1 iPV PMT

i

− − +=

O termo ( ) n1 1 ii

− − +

é chamado Fator de Valor Presente.

Logo,

PV = PMT . fvp(i%,n)

Sendo fvp (i%, n) o fator de valor presente tabelado.

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10.1.2 Valor futuro de uma série postecipada

O valor futuro (FV) de uma série postecipada é definido como o somatório das prestações capitalizadas até a data da última prestação. Basta capitalizarmos o valor presente por n períodos.

( )( ) ( )

( )

n

nn

n

FV PV 1 i

1- 1 iFV PMT 1 i

i

1 i -1FV PMT

i

−

= +

+= × +

+

=

aplicando a propriedade distributiva

O termo ( )n1 i -1i

+

é chamado Fator de Valor Futuro.

Logo,

FV = PMT . fvf(i%,n)

Sendo fvf (i%, n) o fator de valor futuro tabelado.

10.2 Séries Antecipadas

São aquelas em que o pagamento é efetuado no início de cada período e o valor futuro é obtido num intervalo de tempo após o pagamento da última prestação. São as compras com entrada, por exemplo, onde já no ato da compra é paga a primeira prestação.

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Fonte: Adaptado de Araújo, 2006, p.147.

10.2.1 Valor presente de uma série antecipada

O valor presente de uma série antecipada PV(ant) pode ser interpretado como a capitalização de um período do valor presente de uma série postecipada PV.

( ) n

(ant)

1 1 iVP PMT (1 i)

i

− − += × +

O termo ( ) n1 1 ii

− − +

é chamado Fator de Valor Presente.

Logo,

( ) ( )(ant)PV PMT fvp i%,n 1 i= × × +

Sendo fvp (i%, n) é o fator de valor presente tabelado.

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10.2.2 Valor futuro de uma série antecipada

O valor futuro de uma série antecipada FV(ant) pode ser interpretado como a capitalização de um período do valor futuro de uma série postecipada FV.

FV(ant) = FV . (1 + i)

( ) ( )n

(ant)

1 i -1FV PMT 1 i

i

+= × +

O termo ( )n1 i -1i

+

é chamado Fator de Valor Futuro.

Logo,

FV(ant) = PMT . fvf(i%,n) . (1 + i)

Sendo fvf (i%, n) o fator de valor futuro tabelado.

10.3 Cálculos de séries de pagamento postecipadas e antecipadas no Excel

A seguir, serão apresentadas algumas fórmulas pré-definidas do Excel sobre valor presente (PV), valor futuro (FV), valor da prestação (PMT), número de prestações (n) e taxa de juros (i) de séries de pagamento postecipadas e antecipadas, juntamente com seus respectivos exemplos:

=VP(taxa;nper;pgto;vf;tipo) − Exibe o valor presente de uma série de pagamentos iguais, mediante algumas informações: taxa (constante), número de prestações, valor da prestação ou valor futuro e tipo. O valor da prestação deve ser precedido do sinal (-), pois significa uma saída de caixa. Dessa forma, o valor presente calculado será positivo.

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ATENÇÃO:Tipo significa definir se a série de pagamento é postecipada ou

antecipada. Digitamos em Tipo o número 1 para série de pagamento antecipada e digitamos 0 para série de pagamento postecipada. Se não for informado o tipo, o Excel considera uma série postecipada.

Exemplo 1:Supondo que você deseje comprar um DVD pagando em 8 parcelas

de R$ 68,80, sem entrada, à taxa de 2,5% ao mês. Qual é o valor presente do DVD?

Lembrete: como é sem entrada, o problema trata de uma série de pagamento postecipada, por isso podemos omitir a definição do tipo, ou digitar 0.

=VP(0,025;8;-68,80; 0;0) é igual a R$ 493,31

=VF(taxa;nper;pgto;vp;tipo) − Exibe o valor futuro de uma série de pagamentos iguais, mediante algumas informações: taxa (constante), número de prestações, valor da prestação ou valor presente e tipo. O valor da prestação deve ser precedido do sinal (-), pois significa uma saída de caixa. Dessa forma, o valor futuro calculado será positivo.

Exemplo 2:Suponha que você deseje comprar um DVD pagando em 8 parcelas

de R$ 68,80 a uma taxa de 2,5% ao mês, sendo a primeira parcela paga no ato da compra. Qual é o valor futuro do DVD?

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Lembrete: como a primeira parcela coincide com o ato da compra, o problema trata de uma série de pagamento antecipada, por isso devemos informar que o tipo é 1.

=VF(0,025;8;-68,8;0;1) igual a R$ 616,07

=PGTO(taxa;nper;vp;vf;tipo) − Exibe o valor da prestação a ser paga, mediante algumas informações: taxa (constante), número de prestações, valor presente ou valor futuro e tipo. O valor presente ou o valor futuro serão informados com sinal positivo, desta forma o valor de PGTO calculado será negativo, pois significa uma saída de caixa.

Exemplo 3:Suponha que você deseje comprar um DVD pagando em 8 parcelas,

sem entrada, a uma taxa de 2,5% ao mês e com valor presente de R$ 493,31. Qual é valor da prestação do DVD?

=PGTO(0,025;8;493,31;0;0) é igual a R$ 68,80

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=NPER(taxa;pgto;vp;vf;tipo) − Exibe o número de prestações, mediante algumas informações: taxa (constante), valor da prestações, valor presente ou valor futuro e tipo. O valor da prestação deve ser precedido do sinal (-), pois significa uma saída de caixa. Os valores de vp e vf são positivos.

Exemplo 4:Suponha que você deseje comprar um DVD com a prestação de R$

68,80, sem entrada, a uma taxa de 2,5% ao mês, valor presente de R$ 493,31. Quantas serão as prestações?

=NPER(0,025;-68,8;493,31;0;0) é igual a 8.

=TAXA(nper;pgto;vp;vf;tipo;estimativa) − Exibe a taxa de mediante algumas informações: valor da prestação, número de prestações, valor presente ou valor futuro, tipo e estimativa. O valor da prestação deve ser precedido do sinal (-), pois significa uma saída de caixa. Os valores de vp e vf são positivos.

Exemplo 5:Suponha que você deseje comprar um DVD pagando em 8 prestações

de R$68,80, sem entrada, com o valor presente de R$ 493,31. Qual será a taxa de juros?

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=TAXA(8;-68,8;493,31;0;0) é igual a 2,5% ao mês

10.4 Cálculos de séries de pagamento postecipadas e antecipadas com HP-12C

Para o cálculo de séries postecipadas, você pode usar funções financeiras básicas[2]:

Grupo 1 PV PMT FVGrupo 2 i n

Ao realizar um cálculo usando a HP-12C, deve-se lançar o número zero para tecla do Grupo 1 que não será utilizada. Procure sempre digitar os cinco valores, pois as funções são programadas para trabalhar conjuntamente.

Exemplo: Você compra uma televisão de 29 polegadas financiada em 10 parcelas iguais. A loja cobra juros de 5% ao mês e a primeira parcela vence 30 dias após a compra. Calcule o valor das parcelas, sabendo que o valor à vista da TV é de R$ 1.500,00.

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Na HP-12C:f CLxf (2)1500 PV0 FV10 n5 iPMTO valor no visor será -194,26.

OBS.: VP e PMT sempre têm sinais contrários. O PMT negativo quer dizer que você irá pagar as parcelas.

Para cálculo de séries antecipadas, a HP-12C tem uma função especial, que deve ser acionada antes do cálculo. A função é denominada BEGIN (significa ‘início’). Ela é acionada pelas teclas g 7(BEG).

Exemplo: Você compra uma televisão de 29 polegadas financiada em 10 parcelas iguais. A loja cobra juros de 5% ao mês e a primeira parcela é dada na entrada. Calcule o valor das parcelas, sabendo que o valor à vista da TV é de R$ 1.500,00.

Na HP-12C:f CLxf (2)g 7(BEG).1.500 PV0 FV10 n5 iPMTO valor no visor será -185,01.

Depois do cálculo, para desativar a função BEGIN, devem ser pressionadas as teclas g 8(END). A palavra BEGIN desaparece do visor.

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10.5 Séries Diferidas

São aquelas em que o primeiro pagamento ocorre após certo período de carência (também chamado de diferimento inicial).

Também pode ocorrer um diferimento final, quando o valor futuro é obtido num certo período de tempo após o pagamento da última prestação.

Período decarência

VP(dif)

VP(ant)VF (dif)0

k k+1 k+2 k+3 k+4 .. k+n

PMT

Veja que a primeira prestação ocorre após um certoperíodo de tempo (carência).

n = número de períodosi = taxa

Fonte: Adaptado de Araújo, 2006, p.151.

k períodos de carêncian prestações

10.5.1 Valor presente de uma série diferida

O valor presente de uma série diferida PV(dif) pode ser interpretado como a descapitalização de k períodos do valor presente de uma série antecipada PV(ant).

PV(dif) = PV(ant) . (1 + i)-k

( ) ( )n

k(dif)

1 1 iPV PMT 1 i (1 i)

i

−−

− += × × + × +

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( ) nk 1

(dif)

1 1 iPV PMT (1 i)

i

−− +

− += × × +

Logo,

k 1(dif)PV PMT fvp(i%,n) (1 i)− += × × +

Sendo fvp (i%, n) é o fator de valor presente tabelado.

10.5.2 Valor futuro de uma série diferida

O valor futuro de uma série diferida FV(dif) pode ser interpretado como a capitalização de k períodos do valor futuro da série antecipada FV(ant).

FV(dif) = FV(ant) . (1 + i)k

( ) ( ) ( )n

k(dif)

1 i -1FV PMT 1 i 1 i

i

+= × + × +

( ) ( )n

k 1(dif)

1 i -1FV PMT 1 i

i+ +

= × +

Logo,

FV(dif) = PMT . fvf(i%,n) . (1 + i)k+1

Sendo fvf (i%, n) é o fator de valor futuro tabelado.

Atividades13

1) O valor da prestação do financiamento de uma geladeira, em 6 vezes, sem entrada, é R$ 230,00. Sabendo-se que a taxa de juros utilizada foi de 3,5% ao mês, calcule o preço, à vista, da geladeira.

13 As atividades deste capítulo foram adaptadas de diversos livros citados nas Referências Gerais.

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a) R$ 1.225,57b) R$ 1.268,46 c) R$ 1.559,26 d) R$ 1.506,54

2) Qual o valor atual de uma série de 20 prestações iguais a R$ 12.500,00, postecipadas, a uma taxa de 1,9% ao mês?a) R$ 306.424,66b) R$ 300.711,15c) R$ 210.300,37d) R$ 206.379,17

3) Sabendo-se que uma loja financia suas vendas com uma taxa de juros de 4% ao mês e que um cliente deseja comprar um eletrodoméstico no valor à vista de R$ 430,00, em 5 prestações mensais sem entrada, calcule o valor da prestação.a) R$ 76,34b) R$ 79,34c) R$ 92,87d) R$ 96,59

4) Uma loja calculou o financiamento de um conjunto de estofados em 10 prestações mensais iguais a R$ 600,00, a primeira delas na entrada. Sabe-se que o crediário da loja utiliza uma financeira cuja taxa de juros é de 2,5% ao mês. Calcule qual foi o valor dos sofás à vista.a) R$ 5.251,24b) R$ 5.382,52c) R$ 6.722,03d) R$ 6.890,08

5) O departamento de crédito de uma loja financia seus clientes em 5 prestações mensais iguais, sendo a primeira na entrada. Sabendo-se que a taxa de juros utilizada é de 3,5% ao mês, calcule qual será o valor da prestação do financiamento de um refrigerador, no valor de R$ 1.200,00.

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a) R$ 216,21b) R$ 223,78c) R$ 256,79d) R$ 265,78

6) Calcule o valor da prestação de um enxoval de noivas de R$ 1.700,00, financiado em 6 prestações mensais iguais, a primeira vencendo 4 meses após a compra, a uma taxa de juros de 3,9% ao mês.a) R$ 376,69b) R$ 362,55c) R$ 323,24d) R$ 311,11

7) Sabendo-se que a taxa de juros adotada pelo crediário de uma loja é de 2,70% ao mês, calcule o valor, à vista, de um refrigerador que foi vendido em 12 prestações iguais a R$ 120,00, sendo a primeira com vencimento em 5 meses após a compra.a) R$ 1.064,48b) R$ 1.093,22c) R$ 1.216,16d) R$ 1.248,99

Gabarito

1. (a); 2. (d); 3. (d); 4. (b); 5. (c); 6. (b); 7. (b)

Referências

[1] ARAÚJO, 2006, p. 137.

[2] GIMENES, 2006, p. 120-121.

Referências

Refe

rên

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