livro inclusivo e interativo de lançamento oblí quo...
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Livro Inclusivo e Interativo
de Lançamento Oblí quo
com Realidade Aumentada
Raryel Costa Souza – [email protected]
Claudio Kirner – [email protected]
Universidade Federal de Itajubá
2012
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Agradecemos à FAPEMIG (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas
Gerais) pela concessão da bolsa de iniciação científica que possibilitou a realização
desse trabalho.
Fonte da imagem na capa: <http://osfundamentosdafisica.blogspot.com/2011/01/preparando-se-para-as-
provas_17.html>
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Sumário 1 Introdução ao lançamento oblíquo .......................................................................................................................... 4
2 Trajetória de um projétil em lançamento oblíquo .................................................................................................... 4
3 Composição de movimentos .................................................................................................................................... 6
4 Componentes do vetor velocidade ao longo da trajetória ........................................................................................ 7
4.1 Exercício de fixação .......................................................................................................................................... 8
4.2 Gabarito do exercício ....................................................................................................................................... 9
5 Lançamentos com velocidades diferentes e mesmo ângulo.................................................................................... 10
6 Lançamentos com mesma velocidade e ângulos diferentes .................................................................................... 11
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Legenda
Nessa página é mostrada a legenda para os componentes que aparecem em
alto relevo nesse livro.
Ponto de Interação (ponto em que pode ser utilizado o marcador de interação para ouvir as instruções narradas). Caso esteja no meio de uma trajetória também indica
uma posição instantânea do projétil.
Projeção do projétil em um dos eixos
Linha que forma o quadriculado das ilustrações
Trajetória do movimento do projétil
Vetor indicativo da velocidade do projétil em um ponto da trajetória
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1 Introdução ao lançamento oblíquo Pode-se definir informalmente lançamento oblíquo como sendo o
lançamento de um objeto, com o vetor velocidade de lançamento formando
um ângulo maior que 0º e menor que 90º com o plano horizontal. São
exemplos de lançamentos oblíquos arremessar uma pedra ou chutar uma bola de
futebol em certo ângulo com a horizontal.
Em todos os exemplos desse livro serão desprezados os efeitos da resistência do ar. As ilustrações do livro estão
em alto relevo, e muitas delas possuem mais de um ponto de interação (ponto em que pode ser usado o
marcador de realidade aumentada para ouvir as instruções narradas). Sempre comece sua exploração pelo
ponto de interação na extremidade inferior esquerda da ilustração.
2 Trajetória de um projétil em lançamento oblíquo A trajetória descrita por um projétil em lançamento oblíquo tem sempre o formato de uma parábola com
concavidade voltada para baixo. A primeira ilustração que se segue mostra um exemplo para esse tipo de
trajetória, enquanto que, nas outras duas ilustrações que se seguem, são mostrados exemplos de trajetórias
incorretas para um lançamento oblíquo, com as quais alguns estudantes se confundem.
Figura 1 – Exemplo de trajetória descrita por um projétil em lançamento oblíquo
A Figura 1 mostra um exemplo de trajetória descrita por um projétil em lançamento oblíquo. Por convenção, em todas
as ilustrações, o sentido do lançamento é da esquerda para a direita. O lançamento começa justamente no ponto da
extremidade inferior esquerda da ilustração. Deve-se notar que a trajetória é curva, mas não é circular. Esse é o formato
de uma parábola. A altura do projétil vai aumentando gradativamente até que ele chega ao cume da trajetória, e então
sua altura diminui gradativamente até que ele chegue ao chão. Outra propriedade a se notar é que a trajetória de
subida é simétrica à trajetória de queda.
y
x
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Na Figura 2 é mostrado um exemplo de trajetória incorreta para um lançamento
oblíquo. Deve-se notar a diferença dessa trajetória para a trajetória correta: ela não é
curva em nenhum ponto. A trajetória desse exemplo é composta de duas retas
concorrentes: uma para o movimento de subida, e outra para a descida, formando
um “V” virado de cabeça para baixo. Nenhum lançamento oblíquo se comporta dessa
forma.
Figura 2 – Exemplo 1 de trajetória incorreta para um lançamento oblíquo
Na Figura 3 é mostrado outro exemplo de trajetória incorreta para um lançamento oblíquo. Até o ponto de
altura máxima da trajetória esse exemplo se comporta da mesma forma como o exemplo correto (curvo e não circular),
entretanto, a partir desse ponto a trajetória consiste de uma reta vertical para baixo. Nenhum lançamento oblíquo se
comporta dessa forma.
Figura 3 - Exemplo 2 de trajetória incorreta para um lançamento oblíquo
y
y
x
x
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3 Composição de movimentos O lançamento oblíquo é um tipo de movimento composto, compondo-se de
um movimento na horizontal e outro na vertical. Cada um desses
movimentos se comporta de forma independente. Na horizontal se tem um
movimento uniforme (velocidade se mantém constante), e na vertical se tem um
movimento uniformemente variado (velocidade varia a uma aceleração constante,
que no caso, é a aceleração da gravidade).
Figura 4 - Composição de movimentos no lançamento oblíquo
A Figura 4 pretende dar uma ideia mais clara de que os movimentos nos dois eixos se comportam de forma
independente. Cada um dos pontos de interação nessa ilustração representam o projétil em certo instante do
movimento. Cada um deles está separado do outro por um mesmo intervalo de tempo.
Deve-se seguir a trajetória do projétil e, em cada ponto, conferir as projeções do projétil nas margens esquerda e
inferior da ilustração. Em seguida pode-se comparar a posição da projeção atual do projétil com a posição da projeção
anterior. Na subida irá se notar que a distância percorrida pela projeção vertical do projétil é cada vez menor, num
mesmo espaço de tempo, o que indica que ele está sofrendo uma desaceleração. Na horizontal a distância entre as
projeções do projétil não se altera ao longo da trajetória, indicando que a velocidade nesse eixo é constante.
Para o ponto 3, observe a desaceleração sofrida pelo projétil, comparando a distância percorrida entre as projeções
verticais do ponto 3 e do ponto 2, com a distância percorrida entre as projeções verticais do ponto 2 e do ponto 1. Note
que nesse mesmo espaço de tempo a projeção horizontal se movimentou com velocidade constante.
Para o ponto 4, que está no início da queda, observe a aceleração sofrida pelo projétil de forma similar ao que foi feito
no ponto 3, só que agora usando as projeções verticais dos pontos 4, 5 e 6. Note que as projeções verticais desses
pontos coincidem com as projeções verticais dos pontos 1, 2 e 3.
y
x
Pto3
Pto2
Pto4
Pto5
Pto6
Pto1
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4 Componentes do vetor velocidade ao longo da trajetória Nessa seção se complementa o que foi falado na seção anterior,
apresentando-se as componentes do vetor velocidade (na horizontal e na
vertical) em cada um dos pontos da trajetória, reforçando que na horizontal
se tem um movimento uniforme, e que na vertical se tem um movimento
uniformemente variado.
Figura 5 - Componentes da velocidade no eixo horizontal e no eixo vertical ao longo da trajetória
Na Figura 5, para cada um dos pontos da trajetória observe o módulo das componentes do vetor velocidade (na
horizontal e na vertical), representado na ilustração pelo comprimento das setas indicativas dos vetores, e compare-os
com os dos demais pontos. Note que no cume da trajetória o módulo da velocidade no eixo vertical é nulo.
Outra propriedade interessante a se notar é que o módulo da componente vertical da velocidade nos pontos simétricos
da trajetória é o mesmo, enquanto que o sentido dessa componente é inverso, como por exemplo, no caso dos pontos 1
e 5, e no caso dos pontos 2 e 4. Note também que o módulo da componente horizontal da velocidade não se altera ao
longo do movimento.
y
x
Pto1
Pto2
Pto3
Pto4
Pto5
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4.1 Exercício de fixação Com base no que se aprendeu na seção anterior, mostre para cada ponto da
trajetória os erros existentes na configuração das componentes do vetor
velocidade na horizontal e na vertical. A resposta deste exercício se encontra
na página seguinte.
Em cada um dos pontos, use o marcador no modo controle para alternar
entre as respostas disponíveis (ambos os vetores corretos, velocidade
horizontal maior ou menor do que o correto, e o mesmo para a velocidade vertical). Há no máximo um erro em
cada um dos pontos da trajetória.
Figura 6 - Exercício de fixação para as componentes dos vetores velocidade
y
x
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4.2 Gabarito do exercício Na Figura 7 é apresentada a resposta do exercício da página anterior. Apenas
os vetores errados estão em alto-relevo. Clicando nos pontos é possível ouvir
qual é o erro em cada um deles.
Figura 7 - Gabarito do exercício sobre componentes do vetor velocidade
y
x
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5 Lançamentos com velocidades diferentes e mesmo
ângulo Nessa seção será estudado sobre o comportamento da trajetória de um
projétil em lançamento oblíquo para um mesmo ângulo de lançamento, mas
com velocidades de lançamento diferentes.
Figura 8 - Mesmo ângulo de lançamento e velocidades diferentes
Na Figura 8 são mostrados três lançamentos diferentes. Os três foram feitos com ângulo de 45º com a horizontal,
entretanto, cada um deles foi feito com uma velocidade diferente do outro. Deve-se notar que há três trajetórias
parabólicas diferentes na ilustração, e, analisando da esquerda para a direita, cada uma tem um alcance maior do que a
outra.
y
x
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6 Lançamentos com mesma velocidade e ângulos
diferentes Nessa seção será estudado sobre o comportamento da trajetória de um
projétil em lançamento oblíquo para uma mesma velocidade de lançamento,
mas com ângulos de lançamento diferentes.
Figura 9 - Mesma velocidade de lançamento e ângulos diferentes
Na Figura 9 são mostrados três lançamentos diferentes. Os três foram feitos com uma mesma velocidade de
lançamento, entretanto, cada um deles foi feito com um ângulo diferente do outro (30º, 45º e 60º com a horizontal).
Deve-se notar que cada uma das parábolas apresenta diferenças significativas com as outras, uma tem a concavidade
mais aberta, outra é mais fechada. Algo interessante de se notar é que o alcance do lançamento com 30º é o mesmo
que para o lançamento com 60º. Isso vale também para todos os outros ângulos complementares (somados inteiram
90º) como 15º e 75º, entre outros. Note também que o lançamento com 45º apresenta o maior alcance (isso vale
sempre para os lançamentos oblíquos sem resistência do ar).
y
x
30º
45º
60º