livro - cálculo a - resolução seção 1.6
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
2
CAPÍTULO I
Seguem as sugestões de solução dos exercícios da lista 1.6. Observamos que em al guns
exemplos existem mais de um caminho ou maneira para chegar à solução. Apresentamos
somente uma opção.
SEÇÃO 1.6 – p. 10
1. Determinar todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo.
Fazer a representação gráfica.
a) xx 353 +<−
21
42
24
24
353
−>
−>
−>
<−
−<−−
x
x
x
x
xx
),2/1( ∞+−
b) 3
1
4
3
3
152
xxx
−++<−
( )
3
16
12
491
3
16
12
44924
3
151
12
14924
53
1
3
1
4
32
<−
<+−−
+<
−−−
+<−
−−
x
xxx
xxx
xxx
3
19
68
57
204
20457
3
17
12
91
12
4
3
16
12
91
<
<
<
<
+<
x
x
x
x
x
)19/68,(−∞
c) 7332 −≥−−> x
3
4
3
5
435
37332
≤<−
−≥−>
+−≥−>+
x
x
x
]3/4,3/5(−
d) 4
35<
x
1° caso: 3203200 >∴<⇒> xxx
Solução 1° caso: ( ) ( ) ( )∞+=∞+∩∞+ ,320,320,0
2° caso: 3203200 <∴>⇒< xxx
4
Solução 2° caso: ( ) ( ) ( )0,320,0, ∞−=∞−∩∞−
Solução final: ( ) ( )∞+∩∞− ,3200, ou [ ]320,0∉x
e) 92≤x
( ) ( ) 033
092
≤+−
≤−
xx
x
1° caso:
3
03
≥
≥−
x
x e
3
03
−≤
≤+
x
x
Solução 1° caso: ( ] [ ) o/=∞+∩−∞− 33,
2° caso:
3
03
≤
≤−
x
x e
3
03
−≥
≥+
x
x
Solução 2° caso: ( ] [ ) [ ]3,333, −=∞+−∩∞−
Solução final: [ ]3,3−
f) 0232>+− xx
( ) ( )
[ ]2,1
021
∉
>−−
x
xx
5
g) 021 2≥−− xx
( ) ( )
[ ]21,1
0121
012 2
−∈
≤−+
≤−+
x
xx
xx
h) x
x
x
x
+<
−
+
32
1
1° caso:
2
02
<
>−
x
x e
3
03
−>
>+
x
x
( ) ( ) ( )2,3,32, −=∞+−∩∞−
( ) ( ) ( )
satisfazquexexistenãoxx
xxxxx
xxxx
⇒<++
−<+++
−<++
0322
233
231
2
22
2° caso:
2
02
<
>−
x
x e
3
03
−<
<+
x
x
( ) ( ) ( )3,3,2, −∞−=−∞−∩∞−
( ) ( ) ( )
IRxxx
xxxx
∈⇒>++
−>++
0322
231
2
6
Solução 2° caso: ( ) ( ) ( )3,3,, −∞−=−∞−∩∞+∞−
3° caso:
2
02
>
<−
x
x e
3
03
−>
>+
x
x
( ) ( ) ( )∞+=∞+∩∞+− ,2,2,3
IRxxx ∈⇒>++ 0322 2
( ) ( ) ( )∞+=∞+∩∞+∞− ,2,2,
4° caso:
2
02
>
<−
x
x e
3
03
−<
<+
x
x
( ) ( ) 03,,2 /=−∞−∩∞+
Solução final: ( ) ( ) [ ]2,30,23,0 −∉⇒/∪∞+∪−∞−∪/ x
i) xxx +>+23 1
( ) ( ) 011
01
2
23
>+−
>+−−
xx
xxx
Portanto,
01 >+x ou 1>x .
j) ( ) ( ) 0412≤+− xx
( ) ( ) ( ) 0411 ≤++− xxx
7
1° caso:
1
01
≤
≤−
x
x,
1
01
−≤
≤+
x
x e
4
04
−≤
≤+
x
x
Solução: ]4,( −−∞
2° caso:
1
01
≥
≥−
x
x,
1
01
−≥
≥+
x
x e
4
04
−≥
≥+
x
x
Solução: 0/
3° caso:
1
01
≤
≤−
x
x,
1
01
−≥
≥+
x
x e
4
04
−≥
≥+
x
x
Solução: [ ]1,1−
4° caso:
1
01
≥
≥−
x
x,
1
01
−≥
≥+
x
x e
4
04
−≤
≥+
x
x
Solução: 0/
Solução final: ( ] [ ] ( ] [ ]1,14,01,104, −∪−∞−=/∪−∪/∪−∞−
k) 12
2
2
2≤
−
+≤
− x
x
x
1° caso: 202 >⇒>− xx
( )
0
40
2222
222
/
−≤≤
−−≤≤−
−≤+≤
xx
xx
xx
2 caso: 202 <⇒<− xx
8
040
222
≤⇒−≥≥
−≥+≥
xxx
xx
Solução: ( ] ( ) ]0,(2,0, −∞=∞−∩∞−
l) 24 xx ≥
( ) ( ) 011
0
2
24
≥+−
≥−
xxx
xx
1° caso:
1
01
≥
≥−
x
x e
1
01
−≥
≥+
x
x
Solução 1° caso: [ )∞+,1
2° caso:
1
01
≤
≤−
x
x e
1
01
−≤
≤+
x
x
Solução: ( ]1, −∞−
Solução final: ( ] { } [ )∞+∪∪−∞− ,101,
m) 43
<−x
x
1° caso: 303 >⇒>− xx
9
( )
4
123
123
124
124
34
<
<
−<−
−<−
−<
−<
x
x
x
xx
xx
xx
Solução 1° caso: ( )∞+,4
2° caso: 303 <⇒<− xx
( )
4
123
123
124
124
34
>
>
−>−
−>−
−>
−>
x
x
x
xx
xx
xx
Solução 2° caso: ( )3,∞−
Solução final: ( ) ( )∞+∪∞− ,43,
[ ]4,3∉x
n) 14
321>
+
−
x
x
1° caso: 404 −>⇒>+ xx
14
72
1
342
1
432
1
−<
>−
+>−
+>−
x
x
xx
xx
10
Solução 1° caso: 0/
2° caso: 404 −<⇒<+ xx
14
72
1
342
1
432
1
−>
−>
+<−
+<−
x
x
xx
xx
Solução 2° caso: ( )4,14 −−
Solução final: ( )4,14 −−
o) 25
3≤
−x
1° caso: 505 >⇒>− xx
( )
213
132
132
1023
523
≥
≥
−≤−
−≤
−≤
x
x
x
x
x
Solução 1° caso: [ ]∞+,213
2° caso: 505 <⇒<− xx
( )
213
523
≤
−≥
x
x
11
Solução 2° caso: ( )5,∞−
Solução final: ( ) [ )∞+∪∞− ,2135,
[ )213,5∉x
p) 0223>−−− xxx
( ) ( )202
012 2
>⇒>−
>++−
xx
xxx
q) 0233≤+− xx
( ) ( ) 02122≤++− xxx
( ) ( ) 0212
≤+− xx
202 −≤⇒≤+ xx
Solução Final: }1{]2,( ∪−−∞
r) 2
3
1
1
−≥
+ xx
1° caso:
1
01
−>
>+
x
x e
2
02
>
>−
x
x ou ( )∞+,2
12
( )
25
52
233
332
132
−≤
≥−
+≥−
+≥−
+≥−
x
x
xx
xx
xx
Solução 1° caso: 0/
2° caso:
1
01
−<
<+
x
x e
2
02
<
<−
x
x ou ( )1, −∞−
)1(32 +≥− xx
25−≤x
Solução 2° caso: ]25,( −−∞
3° caso:
1
01
−>
>+
x
x e
2
02
<
<−
x
x ou ( )2,1−
( )
25
132
−≥
+≤−
x
xx
Solução 3° caso: ( )2,1−
° caso:
1
01
−<
<+
x
x e
2
02
>
>−
x
x ou 0/
Solução final: ( ] ( )2,125, −∪−∞−
13
s) 01248 23<+−− xxx
( ) ( ) 012122
<+− xx
21
12
012
−<
−<
<+
x
x
x
t)
02112012
2112012
23
23
≥−+−
+−≥−
xxx
xxx
( ) ( ) 023122
≥−− xx
32
23
023
≥
≥
≥−
x
x
x
Solução Final: }2/1{),3/2[ ∪+∞
2. Resolva as equações em IR
a) 1235 =−x
3
515
155
3125
ou1235
=
=
=
+=
=−
x
x
x
x
x
59
95
3125
1235
−=
−=
+−=
−=−
x
x
x
x
14
Solução: { }3,59−
b) 7124 =+− x
1211
1112
4712
ou7124
=
=
+=
=+−
x
x
x
x
41
123
312
4712
7124
=
−=
−=
+−=
−=+−
x
x
x
x
x
Solução: { }1211,41−
c) 5732 −=− xx
52
25
25
3572
ou5732
=
=
−=−
+−=−
−=−
x
x
x
xx
xx
( )
98
89
3572
5732
5732
=
−=−
−−=−−
−=+−
−=−−
x
x
xx
xx
xx
Solução: { }98,52
d) 52
2=
−
+
x
x
( )
3
412
124
2105
1052
252
ou2,52
2
=
=
−=−
−−=−
−=+
−=+
≠=−
+
x
x
x
xx
xx
xx
xx
x
( )
34
68
86
2105
1052
252
2,52
2
=
=
=
−=+
+−=+
−−=+
≠−=−
+
x
x
x
xx
xx
xx
xx
x
15
Solução: { }3,34
e) 432
83=
−
+
x
x
( )
4
520
205
81283
12883
32483
ou2/3432
83
=
=
−=−
−−=−
−=+
−=+
≠=−
+
x
x
x
xx
xx
xx
xx
x
( )
114
411
81283
12883
32483
2/3432
83
=
=
−=+
+−=+
−−=+
≠−=−
+
x
x
xx
xx
xx
xx
x
Solução: { }4,114
f) xx −=+ 523
43
34
253
ou523
=
=
−=+
−=+
x
x
xx
xx
( )
27
72
253
523
523
−=
−=
−−=−
+−=+
−−=+
x
x
xx
xx
xx
Solução: { }43,27−
g) xx =− 119
16
811
118
119
ou119
0
=
=
=−
=−
>
x
x
xx
xx
x
1011
1110
119
119
0
−=
=−
=−−
=−−
<
x
x
xx
xx
x
Solução: { }811,1011−
h) 172 +=− xx
8
712
172
ou0
=
+=−
+=−
>
x
xx
xx
x
0 de condição a satisfaz não3/8
83
712
172
0
<=
=
+=+
+−=−
<
xx
x
xx
xx
x
Solução: { }8
3. Resolva as inequações em IR
a) 712 <+x
519
127127
7127
−<<−
−<<−−
<+<−
x
x
x
( )5,19 −−∈x
b) 243 ≤−x
17
23
2
632
42342
2432
≤≤
≤≤
+≤≤+−
≤−≤−
x
x
x
x
[ ]2,32∈x
c) 965 ≥− x
965 ≥− x ou 965 −≤− x
32
64
46
596
−≤
≥−
≥−
−≥−
x
x
x
x
37
614
146
146
596
≥
≥
≥
−≤−
−−≤−
x
x
x
x
x
( ]32, −∞−∈x ou [ )∞+∈ ,37x ou, de forma equivalente, ( )37,32−∉x
d) 352 >−x
352 >−x ou 352 −<−x
4
82
532
>
>
+>
x
x
x
1
22
532
<
<
+−<
x
x
x
Solução: ( ) ( )∞+∪∞−∈ ,41,x ou [ ]4,1∉x
e) xx −<+ 426
18
( ) ( )
( ) ( ) 010323
01023
020323
81642436
426
2
22
22
<++
<++
<++
+−<++
−<+
xx
xx
xx
xxxx
xx
( )32,10 −−∈x
f) 624 −≤+ xx
( ) ( ) 02310
020323
020323
36244168
2
2
22
≥−−
≥+−
≤−+−
+−≤++
xx
xx
xx
xxxx
0)3/2)(10(3 ≥−− xx
Solução: ( ] [ ]∞+∪∞− ,1032, ou ( )10,32∉x
g) xx 253 −>
( ) ( ) 051
025205
420259
2
22
>+−
>−+
+−>
xx
xx
xxx
[ ]1,5−∉x
h) 2
1
35
27≤
+
−
x
x
19
( )
( ) ( ) 09719
01711427
9302516112196
93025428494
35272
2
1
35
27
2
22
22
≤−−
≤+−
++≤+−
++≤+−
+≤−
≤+
−
xx
xx
xxxx
xxxx
xx
x
x
0)7/9)(19(7 ≤−− xx
Solução: [ ]19,79∈x
i) 421 ≥++− xx
1° caso: 1
01
≥
≥−
x
x e
2
02
−≥
≥+
x
x isto é 1≥x
23
32
412
421
≥
≥
≥+
≥++−
x
x
x
xx
2° caso: 1
01
<
<−
x
x e
2
02
−<
<+
x
x isto é 2−<x
25
52
412
421
−≤
≥−
≥−−
≥−−+−
x
x
x
xx
3° caso: 12 <≤− x
43
421
≥
≥+++− xx
Solução : 0/
Resultado Final: [ ) ( ]25,,23 −∞−∪∞+ ou ( )23,25−∉x
20
j) 421 <+< x
1° caso: 02 ≥+x 2−≥x
21
421
<<−
<+<
x
x
( )2,1−∈x
2° caso: 02 <+x 2−<x
63
421
<−<
<−−<
x
x
36 −<<− x
( )3,6 −−∈x
Solução final: ( )3,6 −− ∪ ( )2,1−
k) 43
2>
−
+
x
x
( )
( )( ) 01432
014010015
169614444
691644
342
3,43
2
2
22
22
<−−
>−+−
+−>++
+−>++
−>+
≠>−
+
xx
xx
xxxx
xxxx
xx
xx
x
0)3/14)(2(3 <−− xx
Solução: ( ) { }3314,2 −∈x
l) 2
1
12
5
−≥
− xx
21
( )
( )( ) 01173
0999621
14410010025
1444425
1225
|2|
1
|12|
5
2
22
22
≥−−
≥+−
+−≥+−
+−≥+−
−≥−
−≥
−
xx
xx
xxxx
xxxx
xx
xx
( )3,711∉x e 2
1≠x
m) xx <+ 1
1° caso: 0≥x
10
1
1
−<
−<−
<+
xx
xx
Solução: 0/
2 caso: 0<x
2/1
12
12
1
1
>
>
−<−
−<−−
<+−
x
x
x
xx
xx
Solução: 0/
Solução Final: 0/
n) 113 <+− xx
1° caso:
22
1
01
≥
≥−
x
x e 0≥x ou seja 1>x
( )
1
44
314
133
113
<
<
+<
<+−
<+−
x
x
x
xx
xx
Solução: 0/
2° caso:
1
01
<
<−
x
x e 0<x
( ) ( )
2
1
24
24
133
113
>
>
−<−
<−+−
<−++−
x
x
x
xx
xx
Solução: 0/
3° caso:
1
01
≥
≥−
x
x e 0<x
Solução: 0/
4° caso:
1
01
<
<−
x
x e 0≥x
23
( )
1
22
22
133
113
>
>
−<−
<++−
<++−
x
x
x
xx
xx
Solução : 0/
Solução Final: 0/
o) 3332 2≤++ xx
1° caso:
IRx
xx
∈
≥++ 0332 2
2° caso:
0
0332 2
/
<++ xx
( ) 032
032
3332
2
2
≤+
≤+
≤++
xx
xx
xx
Solução Final: [ ]0,23−∈x
p) xxx 431 <−+−
1° caso: 3≥x
2
42
42
0442
431
−>
−>
<−
<−−
<−+−
x
x
x
xx
xxx
Solução: 3≥x ou ),3[ +∞∈x
24
2° caso: 31 <≤ x
2/1
42
431
>
<
<−−+
x
x
xxx
Solução: 31 <≤ x ou )3,1[∈x
3° caso: 10 <≤ x
3/2
64
442
431
>
<
<+−
<+−+−
x
x
xx
xxx
Solução:
∈ 1,
3
2x
4° caso: 0<x
2
42
442
431
−<
−<
−<+−
−<+−+−
x
x
xx
xxx
Solução: )2,( −−∞∈x
[ )3,1
Solução Final: ( ) ( )∞+∪−∞− ,322,
q) 5
1
31
1≥
−+ xx
315 −+≥ xx
1° caso: 3>x
1
01
−>
>+
x
x e
3
03
>
>−
x
x
25
( ) ( )
( ) ( ) 024
082
335
315
2
2
≤+−
≤−−
−+−≥
−+≥
xx
xx
xxx
xx
[ ]4,2−∈x
Solução: ( ]4,3∈x
2° caso: ∈x ( )3,1−
( ) ( )
IRx
xx
xxx
xx
∈
≥+−
+−+−≥
+−+≥
022
335
315
2
2
Solução: ( )3,1−∈x
3° caso: 1−<x
( ) ( )
082
335
315
2
2
≤−−
−+−≥
+−−−≥
xx
xxx
xx
[ ]4,2−∈x
Solução: )1,2[ −−∈x
Solução Final: [ ] { }3,14,2 −−−
r) 121
21<
+
−
x
x
0
02
02
4
11
4
1
2/1,2121
22
>
>
<−
++<+−
−≠+<−
x
x
x
xxxx
xxx
Solução Final: ),0( +∞
26
s) 41
23≤
+
−
x
x
( )
( )( ) 07216
074412
074412
1632164129
21164129
1,1423
2
2
22
22
≥++
≥++
≤−−−
++≤+−
++≤+−
−≠+≤−
xx
xx
xx
xxxx
xxxx
xxx
Solução: ( )61,27 −−∉x
4. Demonstre:
a) Se 0≥a e 0≥b , então 22 ba = se e somente se ba = .
(i) 22 baba =⇒= (é obvia)
(ii) baba =⇒=22
Se 22 ba = , baba =⇒=22
Como 0≥a aa =
Como 0≥b bb =
Logo ba = .
b) Se yx < ,então ( ) yyxx <+<2
1
yx < yx <
( )yxx
yxx
xyxx
+<
+<
+<+
2
1
2
( ) yyx
yyx
yyyx
<+
<+
+<+
2
1
2
Logo, ( ) yyxx <+<2
1
27
c) ax > se e somente se ax > ou ax −< , onde 0>a
(i) 0,|| >> aax ⇒ axax −<> ou
Se . portanto, e, || , 0 axxxx >=>
Se . || , 0 xxx −=< Temos, então: ax >− e dessa forma ax −< .
(ii) axaaxax >⇒>−<> ||0,ou
.|| Então .00 , axxaax >>⇒>>
. pois , || Portanto, .00 , axaxxxaax −<>−=<⇒>−<
d) Se ba <<0 , então 2
baab
+<
baba <<⇒<< 00
( )
abba
aabb
ab
2
02
02
>+
>+−
>−
ou 2
baab
+<