Segmentos ProporcionaisSemelhança de Triângulos

Capítulo 4

Páginas: 180 à 189

LIVRO 1

MATEMÁTICA

Teorema de Tales

s

t

u

r

v

feixe de paralelas

A

B

C

D

E

F

"a razão entre dois segmentos obtidos de uma mesma transversal éigual a razão dos segmentos correspondentes na outra transversal"

transversais: u e v

=ABBC

DEEF

=AB+BCDE+EF

[17. p182] (UNIRIO - Modelo ENEM)No desenho abaixo apresentado, as frentes para a rua A dos quarteirões I e II medem, respectivamente, 250 m e 200 m, e a frente do quarteirão I para a rua B mede 40 m a mais do que a frente do quarteirão II para a mesma rua.

Sendo assim, pode-se afirmar que a medida, em metros, da frente do menor dos dois quarteirões para a rua B é:a) 160 b) 180 c) 200 d) 220 e) 240

resolução

250 200

xx + 40

x+40 250=x 200x+40 5=x 44(x+40)=5x4x+160=5xx=160 m

[16. p182] (UNICAMP-SP)A figura seguinte mostra um segmento AD dividido em três partes: AB = 2 cm, BC = 3 cm e CD = 5 cm. O segmento AD’ mede 13 cm e as retas BB’ e CC’ são paralelas a DD’. Determine os comprimentos dos segmentos AB’, B’C’ e C’D’.

2 3 5

13

x

y

z

10

2 10=x 13→ →26 13x= x=

5103 10=y 13 → 39y=

10

5 10=z 13→ →65 13z= z=

10 2

resolução

[EXTRA 1] (UNESP-SP)Considere 3 retas coplanares paralelas, r, s e t, cortadas por 2 outras retas, conforme a figura.

Os valores dos segmentos identificados por x e y são, respectivamente,a) 3/20 e 3/40. b) 6 e 11. c) 9 e 13. d) 11 e 6. e) 20/3 e 40/3.

x 5=4 3

20x=3

x 5=y 10→2x=y

⋅20y=23

40y=3

resolução

[EXTRA 2] (UFSM-RS)A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscar alternativas na geração de energia elétrica para a manu-tenção do maquinário. Uma alternativa em-contrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena hidroelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações. Observamos a figura e admi-tindo que as linhas retas r, s e t sejam para-lelas, pode-se afirmar que a barreira mede

a) 33 m b) 38 m c) 43 m d) 48 m e) 53 m

30 24

32

x

x + 2

x+2 32=30 24

x+2 4=30 3

x+2=40x=38 m

resolução

Teorema da Bissetriz Interna

D

"Num triângulo qualquer, a bissetriz interna de um ângulo divide o lado oposto em dois segmentos proporcionais aos lados adjacentes"

=ACCD

ABBD

A

BC

////

[20. p183] (CESGRANRIO-RJ)No triângulo ABC da figura, CD é a bissetriz do ângulo interno de vértice C. Se AD = 3 cm, DB = 2 cm e AC = 4 cm, então o lado BC mede, em centímetros:a) 3. b) 5/2. c) 7/2. d) 8/3. e) 4.

x 4=2 3

3 2

4 x

8x=3

resolução

[21. p183] (FEI-SP)O perímetro de um triângulo ABC é 100 m. A bissetriz interna do ângulo A divide o lado oposto BC em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determinar os lados desse triângulo.

////

1624

xy

yx =16 24

→ 2yx=3

x+y+24+16=100x+y=60

2y+y=603

→2y+3y=1805y=180y=36 m

2yx=3

→ 2.36x=3

x=24 m

Resposta:

Os lados do triângulo são: AB = 24 m, AC = 36 m e BC = 60 m.

resolução

Semelhança de Triângulos

Dois triângulos são considerados semelhantes se:

- os ângulos de um deles forem congruentes aos correspondentes ângulos do outro;

- os lados de um deles forem igualmente proporcionais aos correspondentes lados do outro (lados homólogos);

A

BC a

cb

M

NPk.a

k.ck.b~

CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA (CASOS DE SEMELHANÇA)

se 2 triângulos possuem 2 ângulos correspondentes congruentes

se 2 triângulos possuem os 3 lados correspondentes proporcionais

se 2 triângulos possuem 1 ângulo correspondente congruente entre 2 lados correspondentes proporcionais

Exemplo A

BCa

cb

M

N Pk.a

k.c k.b~60°

80°60°

40°

40°

80°

Exemplo A

BC6

75

M

N P12

14 10~αααα

χχχχ

αααα

ββββ

ββββ

χχχχ

Exemplo A

BC3

c2

M

N P6

2.c 4~αααα

70°αααα

ββββ

ββββ

70°

resolução[32. p186] (MACKENZIE-SP)Na figura abaixo, a medida x vale:

a) 12,75 b) 12,25 c) 11,75 d) 11,25 e) 1100

15

20

25

�

�

x15

x 15=15 20

225x=20

x=11,25

resolução[34. p186] (FUVEST-SP)Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um quadrado, AB = 1 e AC = 3. Quanto mede o lado do quadrado?a) 0,70 b) 0,75 c) 0,80 d) 0,85 e) 0,90

1

3

LL �

1

3

�1 - LL

1-L L=1 3

3-3L=L3=4L

3L=4

L=0,75

resolução[37. p187] (UFSE - SE) Na figura abaixo, são dados AC = 8 cm e CD = 4 cm. A medida de BD é, em centímetros,a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 16 8

4

8

Ĉ

Ĉ

x

4x - 4

x 8=

8 4

x = 16

resolução[41. p187] (UNICAMP-SP - MOD ENEM) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta, Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que, após caminhar 12,3 metros sobre a rampa, está a 1,5 metro de altura em relação ao solo.a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.

4 m

�1,5 m12,3 m

x

b) Por semelhança de triângulos:

12,3 12,3+x=41,5

123 12,3+x=415

→ 41 12,3+x=5 4

164 =12,3+x5

→32,8=12,3+x

x=20,5 m

a)

resolução[42. p187] (FUVEST - SP) Na figura abaixo, as distâncias dos pontos A e B à reta r valem 2 e 4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são os pontos C e D. Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá estar o ponto E, do segmento CD, para que CÊA = DÊB?a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7.

x 9 - x

αα

x 9 - x=

2 4

x 9 - x=

1 2

2x = 9 - x

3x = 9

x = 3

9

resolução[43. p187] (UNESP - SP) Na figura, B é um ponto do segmento de reta AC e os ângulos DAB, DBE e BCE são retos. Se AD = 6 dm, AC = 11 dm e EC = 3 dm, as medidas possíveis de AB, em dm, são:a) 4,5 e 6,5. b) 7,5 e 3,5. c) 18 e 3.d) 7 e 4. e) 9 e 2.

6

3

11

αααα

90°- αααα

x 11 - x

90°- αααα

αααα

x 3=

6 11- xx.(11- x) = 3.6

211x - x = 18

2x -11x +18 = 0

x = 2

ou

x = 9

resolução[46. p188] (MOD ENEM) Em uma cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, que estacionou a aproximadamente 50 metros do solo. Um helicóptero do Exército, situado a aproximadamente 30 metros acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura seguinte. A sombra projetada pelo disco no solo tinha em torno de 16 metros de diâmetro.

Sendo assim, pode-se concluir que a medida, em metros, do raio desse disco-voador éaproximadamente:a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7.

�

�

80

8

�

�

30

r

80 30=

8 r

r = 3 m

resolução

[49. p188] (ETEC - SP) Leia o texto a seguir:Tales, o grande matemático do século VI a.C.,

foi também um próspero comerciante. Certa

vez, visitou o Egito em viagem de negócios.

Nessa ocasião, ele assombrou o faraó e toda a

corte egípcia, medindo a altura da pirâmide de

Ouéops, cuja base é um quadrado de 230

metros de lado.

Para calcular a altura da pirâmide, Tales fincou

verticalmente no solo uma estaca que ficou

com altura de 1 metro acima do solo. As

medidas dos comprimentos da sombra da

pirâmide e da sombra da estaca são,

respectivamente, 255 metros e 2,5 metros.

(Adaptado de: Jakubovic, J., Centurion, M. e Lelliss, MC. Matemática na Medida certa. Volume 1 - SP - Scipione)

Com base nas informações do texto, é válido afirmar que a altura da pirâmide, em metros, éa) 14,80. b) 92,50. c) 148.d) 925. e) 1480.

H

�

405

�1

2,5

H 1=

370 2,5

H = 148 m

115 255

resolução[52. p189] (FUVEST - SP) Na figura, o lado de cada quadrado da malha quadriculada mede 1 unidade de comprimento.

Calcule a razão DE/BC.

A

D

E

A

B

C

AD AB=

DE BC→

AD DE=

AB BC

4

2

2 2 2(AD) = 4 +2AD = 20

6

3 2 2 2(AB) = 6 +3AB = 45

4

2� 6

3�

DE 2 5=

BC 3 5 →DE 2

=BC 3

AD = 2 5

AB = 3 5

resolução[53. p189] (FUVEST - SP) A figura representa um retângulo ABCD, com AB = 5 e AD = 3. O ponto E está no segmento CD de maneira que CE = 1, F é o ponto de intersecção da diagonal AC com segmento BE. Então a área do triângulo BCF valea) 6/5. b) 5/4. c) 4/3. d) 7/5. e) 3/2.

5

3

1

5

1

�

�

x

3 - x

5 1=

3 - x x

5x = 3 - x → 6x = 3 →1

x =2

3

BCF BCE CEFA = A - A

⋅⋅

BCF

113 1 2A = -

2 2→ BCF

3 1A = -

2 4

BCF

5A =

4