Lista de Exercícios - Álgebra Linear - Professor Ricardo Almeida

1. Sejam os vetores u = (2,−3, 2) e v = (−1, 2, 4) em R3.a) Escreva o vetor w = (7,−11, 2) como combinação linear de u e v.b) Para que valor de k o vetor (−8, 14, k) é combinação linear de u e v?c) Determinar uma condição entre a,b e c para que o vetor (a, b, c) sejauma combinação linear de u e v.

2. Consideremos no espaço P2 = {at2 + bt + c/a, b, c ∈ R} os vetoresp1 = t2 − 2t+ 1, p2 = t+ 2 e p3 = 2t2 − ta) Escrever o vetor p = 5t2− 5t+ 7 como combinação linear de p1, p2ep3.b) Escrever o vetor p = 5t2 − 5t+ 7 como combinação linear de p1 e p2.c) Determinar uma condição para a, b e c de modo que o vetor at2+bt+cseja combinação linear de p2 e p3.d) É possível escrever p1 como combinação linear de p2 e p3?

3. Seja o espaço vetorial M(2, 2) e os vetores

v1 =[1 01 1

]v2 =

[−1 20 1

]v3 =

[0 −12 1

]

Escrever o vetorv =

[1 80 5

]Como combinação linear dos vetores v1,v2 e v3.

4. Escrever o vetor 0 ∈ R2 como combinação linear dos vetores: a) v1 =(1, 3) e v2 = (2, 6) b) v1 = (1, 3) e v2 = (2, 5)

5. Sejam os vetores v1 = (−1, 2, 1), v2 = (1, 0, 2) e v3 = (−2,−1, 0).Expressar cada um dos vetores u = (−8, 4, 1), v = (0, 2, 3) e w = (0, 0, 0)como combinação linear de v1,v2 e v3.

6. Expressar o vetor v = (−1, 4,−4, 6) ∈ R4 como combinação linear dosvetores v1 = (3,−3, 1, 0), v2 = (0, 1,−1, 2) e v3 = (1,−1, 0, 0).

7. Seja o conjunto A = v1, v2, sendo v1 = (−1, 3,−1) e v2 = (1,−2, 4).Determine:a) O subespaço G(A). b) O valor de k para que o vetor v = (5, k, 11)pertença a G(A).

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8. Sejam os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 0) e v3 = (1, 3,−1). Se(3,−1, k) ∈ [v1, v2, v3], qual o valor de k?

9. Mostrar que os vetores v1 = (2, 1) e v2 = (1, 1) geram o R2.

10. Mostrar que os vetores v = (1, 1, 1), u = (0, 1, 1) e w = (0, 0, 1) geram oR3.

11. Determinar o subespaço de P3 gerado pelos vetores p = x3 + 2x2−x+ 3e q = −2x3 − x2 + 3x+ 2.

12. Determinar o subespaço de R4 gerado pelos vetores u = (2,−1, 1, 4),v = (3, 3,−3, 6) e w = (0, 4,−4, 0).

13. Verificar se o vetor v = (−1,−3, 2, 0) pertence ao subespaço do R4 ge-rado pelos vetores v1 = (2,−1, 3, 0), v2 = (1, 0, 1, 0) e v3 = (0, 1,−1, 0).

14. Classificar os seguintes subconjuntos como LI ou LD:a) {(1, 3)}b) {(1, 3), (2, 6)}c) {(2,−1), (3, 5)}d) {(1, 0), (−1, 1), (3, 5)}e) {(1,−1, 1), (−1, 1, 1)}f) {(2,−1, 0), (−1, 3, 0), (3, 5, 0)}g) {(2, 1, 3), (0, 0, 0), (1, 5, 2)}h) {(1,−1,−2), (2, 1, 1), (−1, 0, 3)}i) {(1, 2,−1), (1, 0, 0), (0, 1, 2), (3,−1, 2)}j) 2 + x− x2,−4− x+ 4x2, x+ 2x2

k) 1− x+ 2x2, x− x2, x2

l) 1 + 3x+ x2, 2− x− x2, 1 + 2x− 3x2,−2 + x+ 3x2

m) {(2, 1, 0, 0), (1, 0, 2, 1), (−1, 2, 0,−1)}n) {(0, 1, 0,−1), (1, 1, 1, 1), (−1, 2, 0, 1), (1, 2, 1,−2)}

15. Mostrar que os São LD os vetores v1, v2ev3, com v1 e v2 vetores arbitrá-rios de uma espaço vetorial V e v3 = 2v1 − v2.

16. Mostrar que se u,v e w são LI, então u+v, u+w e v+w são também LI.

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17. Sendo v1 = (1, 2) ∈ R2, determinar v2 ∈ R2 tal que {v1, v2} seja basede R2.

18. Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R2:a) {(1, 2), (−1, 3)}b) {(3,−6), (−4, 8)}c) {(0, 0), (2, 3)}d) {(3,−1), (2, 3)}

19. Para que valores de k o conjunto β = {(1, k), (k, 4)} é base do R2?

20. O conjunto β = {(2,−1), (−3, 2)} é uma base do R2. Escrever o vetorgenérico do R2 como combinação linear de β.

21. Considerando as seguintes bases do R2 : A = {(1, 1), (0,−1)} e B ={(2,−3), (−3, 5)}.a) Determinar a matriz mudança de base [I]AB.b) Calcular vB, sendo vA = (2, 3)c) Determinar a matriz mudança de base de B para A.

22. Repetir o problema B = {(3,−1), (1,−2)} e B = {(3, 2), (2, 2)}, sendovA = (4, 3).

23. Sejam B = {(1, 0), (0, 1)}, A = (1, 1), (−1, 0), C = {(−1, 1), (2,−3)} eD = {(2, 1), (−5,−1)}, bases do R2.a) Determine as matrizes mudanças de base: [I]AB,[I]BA, [I]CB,[I]BC e [I]DC .b) determinar o vetor v = (−3, 4) em relação às bases B,A,CeD.

24. Sabendo que:

[I]AB =[−1 44 −11

]e B = (3, 5), (1, 2), determinar a base A.

25. Sabendo que:

[I]AB =[−7 6−11 8

]e A = (1, 3), (2,−4), determinar a base B.

26. A base B é obtida da base canônica A do R2 pela rotação de π3 rad.

Calcular:a) [I]AB b) [I]BA

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