Lista de Exercfcios --- Cap. 11 Gravidade

.3 Uma mensagem recebida do espa<;o pedia socorro:"Estamos perdidos em orbita em torno do Sol com pertodo de 5anos. Qual a nossa distancia ao Sol?" Um calculo rapido propor-ciona a resposta. Qual e ela?• • 8 0 asteroidelcaro, descoberto em 1949, foi assim de-nominado por ter 6rbita muito excentrica que 0 aproxima ex-traordinariamente do Sol, ao passar pelo perielio. A excentrici-dade de lima elipse define-se por dp = a(l - e), em que dp e adistancia no perielio, a 0 semi-eixo maior da elipse e e a excentri-cidade. A excentricidade da 6rbita de lcaro e de 0,83 e 0 seu peri-odo de revolucao 1,1 ano. (a) Determinar 0 semi-eixo maior daorbita de Icaro. (b) Determinar as distancias de Icaro ao Sol noperielio e no af_e_li_o.__• 9 Por que nao sentimos a atracao gravitacional de umagrande edificacao ao passarmos pelas suas proximidades?• 10 Osastronautas, em 6rbita num satelite a 300 km de altu-ra sobre a superficie da Terra, sentem-se sem peso. Por que? A forcada gravidade da Terra sobre eles, nessa altura, e desprezivel?

• 13 0 raio medic da 6rbita de urn dos satelites de JUpiter,Io, e de 4,22 x 10Km e 0 perfodo de revolucao e de 1,53 X lOSs. (a)Calcular 0 raio medic da orbita de outro satelite de Jupiter,Calisto, cujo perfodo de revolucao e de 1,44 X 106 s. (b) Com 0valor conhecido de G, estimar a massa de JUpiter.• 17 Urn corpo cai da aitu~; de 6,37 X 10" m acima da su-perficie da Terra. Qual a acele:a<;ao inicial ~ queda?• 20 Um planeta orbita em torn a de urn sol de grande mas-sa, com 0 momento angular constante. Quando 0 planeta esta noperielio, a sua velocidade e de 5 X 104 m/s e a distancia ao sol ede 1,0 X 1015 m. 0 raio da orbita, no afelio, e de 2,2 X 1015 m. Quala velocidade do planeta?

•• 25 Imagine que Kepler descobrisse que 0 period? de re-volucao de urn planeta, numa orbita circular: era prop~rCIonal aoquadrado do raio da orbita. A q~e conclusao chegana Newto~sobre a dspendencia entre a atracao gravltaclOnal de dois corpo"e a distancia entre eles?•• 29 A massa da Terra e de 5,97 X 1024 kg e 0 seu raio e de6370 km. 0 raio da Lua e de 1738 km. A aceleracao da gravidadena superficie da Lua e 1,62 m/s2. Qual a razao entre a densidademedia da Lua e a da Terra?••• 30 Urn fio de prumo, nas proximidades de uma grandemontanha, desvia-se ligeiramente da vertical em virtude da atra-<;aogravitacional da grande massa montanhosa. Estimar a ordemde grande:.:a do angulo de desvio, fazendo as hipoteses que fo-rem convenientes.• 31 Por que e dificil medir G com grande exatidiio?.32 Os dados de uma balanca de Cavendish sao: 1/11 = 10kg e IlIl = 10 g; separacao entre os centros das esferas = 6 em ecomprimento da haste que une as duas pequenas esferas = 20 cm.(n) Qual a forca de atracao entre as esferas grandes e as peque-nas? (b) Que torque tern que proporcionar a suspensao para equi-librar essas forcas?• 36 Urn certo corpo, tornado como padrao, tem a massa exa-ta de 1 kg e a aceleracao de 2,6587 m/s2 quando atuado por umacerta forca, Urn outro corpo. de massa desconhecida, adquire aaceleracao de 1,1705m/s2 sob a acao da forca mencionada. (a) Quemassa tern 0 segundo corpo? (b) A massa determinada na parteanterior foi a massa gravitacional ou a inercial?

\ • • 59Z Um corpo e lancado ,:,ertica1m~nte da superff~ie daTerra. ostrar que a altura maxima atingida pelo corpo e H =RTH'/(Rr - H'), onde H' e a altura maxima que atingiria se 0campo gravitacional fosse constante.

•. • • 44 Podemos considerar a nossa galaxia como urn grandedlSCOde raio Rea massa M, com densidade de massa aproxima-damente hornogenea. (a) Imagine urn anel de raio r e espessura drnesse diSCO.Calcular a energia potencial gravitacional de urn cor-po de 1kg situado no eixo desse anel, a distancia x do seu centro .(~)lntegrar ? resultado da parte anterior para ter a energia poten-cial gravltaclOnal do corpo de 1 kg e do disco, 11 distancia x sobre arespectivo eixo. (c) Com F. = -dUI dx e com 0 resuJtado anterior,determinar 0 campo gravitacional g, sobre 0 eixo do disco.

• • • 45 A hipotese de a densidade de ma sa da galaxia, aceitano Problema 44, nao e exata. A densidade de massa aumentabastante na m~oria das galaxias. 11 medida que se avan<;apara 0centro. Repetir 0 Problema 44 usando a densidade areolar demassa com a forma a(r) = CI r, em que a(r) e a massa por unida-de de area do disco (densidade areolar), a distancia r do centro.Determine, inicialmente, a constante C em funcao de R e de M;depois resolva como no Problema 44.• SO Calcular a velocidade de escape de urn foguete dispa-rado na Lua. A aceleracao da gravidade na Lua e igual a 0,166vezes a aceleracao da gravida de na Terra eo raio da Lua e 0,237RT.

• • 55 Mostrar que entre a velocidade de escape de urn pla-neta, !Ie' e a velocidade de urn satelite em orbita circular quase nasuperficie do planeta, v,, ha a relacao Ve = .J2 lIc-

• • 60 Um corpo (por exemplo, urn cometa) entra no sistemasolar e passa uma vez em torno do Sol. Como poderemos dizerse este corpo voltara ou nao, muito anos depois, a passar em vol-ta do Sol?

• • 61 Uma nave especial, de 100 kg, esta em orbita circularem torno da Terra, a altura h = 2RT. (a) Qual 0 periodo de revolu-cao desta nave? (b) Qual a energia cinetica da nave? (c) Oar 0 mo-menta angular L da nave em relacao a Terra, em term os da ener-gia~inetica K, e calcular 0 respectivo valor.

• • 63 E teoricamente possivel colocar urn satelite entre aTerra e 0 Sol, sobre a reta que une os dois astros. num ponto ondeas forcas gravitacionais do Sol e da Terra sabre a satelite se COUl-binarn de modo que a 6rbita do satelite seja circular e sincronacom a movimento de revolucao da Terra. (Ou seja, 0 satelite e aTerra tern 0 mesmo periodo de revolucao em torno do Sol, em-bora os raios das respectivas 6rbitas sejarn diferentes. 0 satelitefica sempre sobre a reta que une 0 centro. do Sol ao centro daTerra.) Oar a expressao da velocidade orbital t' do satelite, nessasituacao, em funcao da distancia r. A expressao tera outras gran-dezas, dadas na Fig. 11-20, alern da constante da gravitacao G.

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r - - _.••.' ,.

• 64 Urn corpo de 3 kg sofre, num ponto P, a acao de umaforca gravitacional de (12 N) i .Qual 0 campo gravitacional nes-te ponte?

•• 68 Urn corpo puntiforrne de massa rtli = 2 kg esta na ori-gem e outro, semelhante, de massa 11'2 =. 4 ~g, esta sobre 0 eixodos x em x = 6 rn. Calcular 0 campo gravitacional em (a) x = 2 me (b) x = 12 m. (c) Calcular 0 ponto sobre 0 eixo dos x no qual g =0.

•• • • 72 Uma barra hornogenea de massa M e comprimento L

esta sobre 0 eixo dos x com 0 seu centro na origem. Seja um ele-mente dx da barra a distancia x da origem. (a) Mostrar que esteelemento provoca urn campo gravitacional num ponto Xo do eixodos x(xo > L12) dado por

GMdgx = ?-dx

L(xt) - x)-

(b) Integrar este resultado sobre 0 comprimento da barra para terocampo gravitacional da barra no ponto xo' (c) Que forca atuasobre urn corpo de massa rrlo situado em xu? (d) Mostrar que se» L 0 campo coincide, aproximadamente, com 0 de urna maysa puntiforrne M na origem.

• 76 Duas esferas, 5\ e 5:; tern raios iguais R e massas iguaisM. A.d:nsi.dade da esfera 5\ e constante, e a da esfera 52dependeda distancia ao centro conforme p{r) = Clr. Se a aceleracao dagravidade na superffcie da esfera 5] for g1l qual a aceleracao dagravidade na superficie da esfera 5/

• • 77. Duas esferas homogeneas, 5, e 52' tern massas iguaimas raios diferentes, R, e Rz. A aceleracao da gravidade na su-perficie da esfera 5\ e g\. Qual a aceleracao da gravidade na su-perficie da esfera 52?

• • 80 Imagine que a Terra seja uma esfera de massa uniforme.Urn poc;oradial atinge a profundidade de 15.000 m. Qual seria aperda de peso de uma pessoa no fundo deste poc;o, sendo de 800No peso na superficie do solo?

• • • 84 A densidade de uma esfera e dada par p{r) = Ctr. Aesfera tem a raio de 5 mea massa de 1011 kg. (a) Determinar aconstante C. (b) Dar as expressoes do campo gravitacional para(1) r > 5 m e (2) r < 5 m.

• 88 Se K for a energia cinetica da Lua na sua orbita emtorno da Terra e se U for a energia potencial do sistema Terra-Lua, qual a relacao entre K e U?• 92 Calcular a massa da Terra a partir dos valores conhe-cidos de G, g e RT·

• • 96 Imaginemos que a forca gravitacional de atracao MOdependa de 1/r2, mas seja proporcional a distancia que separaduas massas, como a forca de mola elastica. Nurn sistema plane-tario, como 0 sistema solar, que relacao haveria entre 0 periodode revolucao de urn planeta e 0 raio da respectiva orbita, adrni-tindo seja orbita circular?

• • 100 A densidade media da Lua e p = 3340 kg'/rrr', Calcu-lar 0 menor periodo de revolucao T de uma nave espacial emorbita lunar.

• • 102 Duas colonies espaciais, de massas iguais, orbitam urnacerta estrela (Fig. 11-26).Os Jangs, em nI" descrevern orbita circu-lar, de raio 101'm, com 0 pertodo de2 anos. Os Tins,em nl:!J descre-vem 6rbita eliptica com a distancia minima a estrela r, = 1011meadistancia maxima '2 = 1,8 X 1011m. (a) Estimar a duracao do anoda colonia Iin, sabendo que a raio media de urna orbita eliptica eigual ao serni-eixo maior da 6rbita. (b) Estimar a massa da estrela,(c) Que colonia tem velocidade maior no ponto P da Fig. 11-26?(If)Que colonia tern maior energia? (e) Qual a relacao entre a veloci-dade da colonia lin no ponto Pea velocidade no ponto A?

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I Estrela \I \, '[ \___ .J ... .._.. ~ rI ,\ I\ I\ I, I, H

'... "'I..• '•....... "," ~---- ,...._ ..... - -,.,.-"-------Figura 11-26 Problema 102

• • 105 Abre-se urn poc;o radial da superficie ate 0 centro daTerra (Fig. 11-27). Ignorando a rotacao da Terra e a resistencia doar, responda as seguintes perguntas: (a) Que trabalho e necessa-ria para elevar urna particula de massa 111 docentro da Terra ate a superficie do solo? (b)Qual a velocidade de uma particula que cai nopo<;o,a partir do repouso, ao atingir 0 centroda Terra? (c) Qual a veloeidade de escape deuma particula disparada no fundo do poco?Dar a resposta em funcao de m, g e RT.

Figura 11-27Problema 105

••• 110 Uma vara uniforms. de massa M = 20 kg e compri-mento L = 5 rn, e curvada num semidrculo. Qual a forca gravita-cional que a barra exerce sobre uma particula de massa nl = 0,1kg situada no centro do arco circular?