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5/11/2018 lista3ea - slidepdf.com

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3◦ Lista de Estruturas Algebricas I

1) Mostre que o conjunto Q dotado das operacoes a⊕ b = a + b − 1 e a a + b− ab para a, b ∈ Q

e um anel.

2) Seja (A, +, ·) um anel. Em A×A estao definidas as duas operacoes (a, b)⊕ (c, d) = (a + c, b + d)

e (a, b) (c, d) = (ac, 0), para a,b,c,d ∈ A. Mostre que (A × A,⊕,) e um anel.

3) Mostre que Z × Z munido das operacoes (a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b) (c, d) =

(ac − bd, ad + bc), para a,b,c,d ∈ A, e um anel comutativo com unidade.

4) Seja A um anel em que a2 = a para todo a ∈ A. Mostre que a = −a, ∀a ∈ A e que A e

comutativo. Dica: considere os produtos (a + a)2 e (a + b)2.

5) Seja A = {a,b,c,d}. Sabe-se que (A, +, ·) e um anel em que os elementos neutros das operacoes

+ e · sao, respectivamente, a e b. Conhecendo-se os compostos b + b = a, c + c = a, cd = a, construa

as tabuas das duas operacoes.

6) Calcule todos os divisores de zero e todos os elementos invertıveis dos aneis Z6,Z8,Z18

7) Seja p primo. Mostre que Z[√

p] = {a + b√

p : a, b ∈ Z} e um domınio de integridade e calcule

todos os elementos invertıveis de Z[√

p].

8) Seja p primo. Mostre que Q[√

p] = {a + b√

p : a, b ∈ Q} munido das operacoes

soma: (a + b√

p) + (c + d√

p) = (a + c) + (b + d)√

p

produto: (a + b√

p) · (c + d√

p) = (ac + pbd) + (bc + ad)√

p,

onde a,b,c,d ∈ Q, e um corpo.

9) Seja C[0, 1] = {f : [0, 1] → [0, 1] | f e contınua} o conjunto das funcoes contınuas definidas em

[0, 1]. Mostre que C[0, 1] com as operacoes de soma e produto de funcoes possui divisores de zero.

10) Seja A um domınio de integridade e seja a ∈ A, a = 0. Entao prove que a funcao f a : A → A,

definida por f a(x) = ax, e injetiva.

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11) Mostre que Z[i] = {a + bi : a, b ∈ Z} com as operacoes de soma, (a + bi) + (c + di) =

(a + c) + (b + d)i, e produto (a + bi) · (c + di) = (ac− bd) + (bc + ad)i, e um domınio de integridade e

calcule todos os elementos invertıveis de Z[i]. Mostre que (Q[i], +, ·) e um corpo.

12) Sejam A um anel e a ∈ A. Se existe n ∈ N, n = 0, tal que an = 0, dizemos que elemento a

e nilpotente. Supondo A um domınio de integridade, mostre que todo elemento nilpotente a de A e

zero, isto e, se existe n ∈ N\{0} tal que an = 0 entao a = 0.

13) Verifique se os seguintes subconjuntos de Q sao subaneis:

a) B = {x ∈ Q| x /∈ Z};

b) B = { a2n

∈ Q| a, n ∈ Z}.

14) Mostre que QQ (conjunto das funcoes de Q em Q) e um subanel de RR.

15) Encontre todos os subaneis de Z6 e Z12. Dica: determine todos os subgrupos de (Z6, +) e

(Z12, +) e verifique quais sao fechados para a multiplicacao.

16) Seja {Bi}i∈N e uma sequencia de subaneis do anel A. Mostre que:

a) B =

i∈N

Bi e um subanel de A.

b) Se B0 ⊂ B1 ⊂ B2 ⊂ ... ⊂ Bn ⊂ ..., entao C =

i∈N

Bi e um subanel de A.

17) Mostre que se A e um domınio de integridade, x ∈ A e x2 = x entao, x = 0 ou x = 1.

18) Verifique quais dos subconjuntos abaixo sao subaneis, subcorpos e domınios de integridade de

R.

a) A = {2x + 1| x ∈ Z}

b) B = {x√

2| x ∈ Q}

c) C = {x + y√

2 + z√

3| x,y,z ∈ Q}

19) Mostre que Z (A) = {x ∈ A| x · y · x, ∀ y ∈ A} e um subanel do anel A.

20) Seja {K i}i∈N e uma sequencia de subcorpos do corpo K . Mostre que:

a) B =

i∈N

K i e um subcorpo de K .

b) Se K 0 ⊂ K 1 ⊂ K 2 ⊂ ... ⊂ K n ⊂ ..., entao C =

i∈N

K i e um subcorpo de K .

21) Sejam K um corpo e P a intersecao de todos os subcorpos de K . Prove que P e o menor

subcorpo de K .

22) Prove que Q e o menor subcorpo de R. Conclua que Q e o unico subcorpo de Q. (Dica: use

inducao para mostrar que se K e um subcorpo de R, entao Q ⊂ K .)

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23) Mostre que Z p e corpo se, e somente se, p e um numero primo.

24) Verifique que sao ideais.

a) {0, 2, 4} no anel Z6.

b) mZ× nZ no anel Z× Z, com as operacoes usuais.

c) {x ∈ Z| mdc(x, 5) = 1} no anel Z

25) Mostre que todos ideais de Z sao ideais principais.

26) Mostre que todos os ideais de Zm sao principais. Determine todos os ideais de Z8.

27) Seja {I i}i∈N e uma sequencia de ideais do anel A. Mostre que:

a) I =

i∈N

I i e um ideal de A.

b) De um exemplo de dois ideais I e J em um anel A de modo que I ∪ J nao e um ideal de A.

c) Se I 0 ⊂ I 1 ⊂ I 2 ⊂ ... ⊂ I n ⊂ ..., entao J =i∈N

I i e um ideal de A.

28) Sejam I e J ideais de um anel A. Prove que

a) I + J = {x + y | x ∈ I, y ∈ J } e um ideal de A.

b) I · J = {x1y1 + ...xnyn | n ∈ N, xi ∈ I, yi ∈ J } e um ideal de A.

29) Sejam I = x e J = y dois ideais de Z. Mostre que I +J = mdc(x, y) e I ∩J = mmc(x, y).Determine 9 + 15 e 9 ∩ 15.

30) Mostre que um anel comutativo com unidade A e um domınio de integridade se, e somente se,

0 e ideal primo.

31) Seja p ∈ Z. Prove que pZ = p e um ideal primo de Z se, e somente se, p e um numero primo.

32) Mostre que todo ideal primo P = {0} em Z e maximal.

33) Mostre que M =

{f

∈RR

|f (1) = 0

}e um ideal maximal de RR. (Dica: a funcao constante

I (x) = 1, ∀ x ∈ R e o elemento unidade de RR.)

34) Mostre que 2Z× 3Z e um ideal de Z× Z. Determine (Z× Z)/(2Z× 3Z).

35) Seja A um anel comutativo com unidade e I um ideal de A. Mostre que a+I ∈ A/I e invertıvel

se, e somente se, existe r ∈ A tal que ar − 1 ∈ I .

36) De um exemplo de um domınio de integridade A e de um ideal I em A tal que A/I nao seja

domınio de integridade.

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37) Mostre que se A possui unidade, entao A/I tambem possui unidade.

38) Verifique em cada caso se f e um homomorfismo de aneis. Determine a imagem e o nucleo dos

homomorfismos. Verifique se os homomorfismos sao epimorfismos, monomorfismos ou isomorfismos.

a) f : Z→ Z dada por f (x) = kx, onde k ∈ Z dado.

b) f : R→ R dada por f (x) = x + 1.

c) f : Z→ Z× Z dada por f (x) = (x, 0).

d) f : Z× Z→ Z dada por f (x, y) = x.

e) f : Z→ Zn dada por f (x) = x, para algum n ∈ N dado.

f) f : Z× Z→ Z× Z dada por f (x, y) = (−y, −x).

39) Sejam A e B aneis e f : A → B um homomorfismo de aneis. Mostre que

a) Im f e um subanel de B.

b) Ker f e um ideal de A.

c) f e injetora se, e somente se, Ker f = 0A.

d) Se J e um ideal de B, entao f −1(J ) = {a ∈ A | f (a) ∈ J } e um ideal de A.

e) Se a ∈ A e um elemento nilpotente, entao f (a) ∈ B tambem o e.

40) Seja A um anel com unidade. Seja a um elemento invertıvel em A. Mostre que a aplicacao

f a : A → A definida por f a(x) = axa−1 e um isomorfismo.

41) Sejam (A, +A, ·A), (B, +B, ·B) e (C, +C , ·C ) aneis. Sejam f : A → B e g : B → C homomor-

fismo de aneis. Mostre que g ◦ f : A → C e um homomorfismo de aneis.

42) Seja f : A → B um epimorfismo de aneis. Mostre que:

a) B e um domınio de integridade se, e somente se, Ker f e um ideal primo.

b) B e um corpo se, e somente se, Ker f e um ideal maximal.

43) Mostre que Z/pZ e isomorfo a Z p. Conclua disto, que p e primo se, e somente se, pZ e maximal.

44) Seja f : Z15 → Z5 dada por f (¯x) = x, onde ¯x e x sao, respectivamente, as classes de restos

modulo 15 e 5, determinadas por x ∈ Z.

a) Mostre que f esta bem definida e e um homomorfismo de aneis.

b) Encontre que ker f e Im f . Conclua que Z15/(Ker f ) ∼= Im f .

c) Que conclusoes pode-se tirar de Z15/(Ker f ).

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