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LN CURSOS E CONCURSOS MATEMTICA FINANCEIRA BANCOS FEDERAIS PROF. JONAS

LISTA 02 JUROS E DESCONTOS COMPOSTOS, TAXAS: NOMINAL, PROPORCIONAL E EQUIVA-

LENTE, CAPITALIZAO, FLUXO DE CAIXA E TAXA INTERNA DE RETORNO

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Resoluo das questes da lista 02. 01.) O montante no regime de juros compostos dado por

M = C.(1 + i)t Onde: C = 600,00 i = 4% a.m. = 0,04 a.m. n = 1 ano = 12 meses Assim, M = 600 . (1 + 0,04)12 = 600 . (1,04)12 Ou seja, M = 600 . 1,6010 = 960,60 a) R$ 956,52 Dado: 1,0412 = 1,6010 b) R$ 996,52 c) R$ 970,23 d) R$ 966,52 e) R$ 960,60 02.) O montante no regime de juros compostos dado por

M = C.(1 + i)t Onde: C = 2000,00 i = 12% a.a. = 3% a.t. = 0,03 a.t. t = 2 anos = 8 trimestres Assim, M = 2000.(1 + 0,03)8 = 2000.(1,03)8 Ou seja, M = 2000 . 1,2668 = 2.533,60 a) R$ 2293,41 Dados: 1,122 = 1,2544 b) R$ 2379,72 1,038 = 1,2668 c) R$ 2521,40 1,0424 = 2,5633 d) R$ 2522,40 1,0412 = 1,6010 e) R$ 2533,60 03.) Antes de completar um perodo, ou seja, a data 1, que pode ser um ms, um ano, etc, conforme seja a capitaliza-o, o grfico mostra que vantagem para o credor (aque-le que empresta o dinheiro) a capitalizao no sistema de juros simples.

O que mostra a alternativa (E) como correta. (A) compostos, sempre. (B) compostos, se o perodo do emprstimo for menor do que a unidade de tempo. (C) simples, sempre. (D) simples, se o perodo do emprstimo for maior do que a unidade de tempo. (E) simples, se o perodo do emprstimo for menor do que a unidade de tempo. 04.) O valor presente no desconto comercial composto dado por A = N.(1 - i)t Logo: A = 24200.(1 0,10)2 = 24200 . (0,9)2 = 24200 . 0,81 Ou seja, Ac = 19602,00 Assim, D = 24200,00 19602,00 = 4.598,00 O valor presente no desconto racional composto dado por A = N/(1 + i)t Logo: A = 24200/(1 + 0,10)2 = 24200/(1,1)2 = 24200/1,21 Ou seja, Ar = 20000,00 Assim, d = 24200,00 20000,00 = 4.200,00 Finalmente, D d = 4598,00 4200,00 = 398,00 (A) 399,00 (B) 398,00 (C) 397,00 (D) 396,00 (E) 395,00 05.) O capital quadruplicar significa que M = 4.C Como M = C.(1 + i)t, teremos:

C . (1 + i)t = 4.C E, sendo t = 2 anos, teremos: (1 + i)2 = 4 Ou seja: 1 + i = 4

A capitalizao trimestral. 1 ano = 4 trimestres. 12% a.a. = 12% para 4 trimestres = 3% a.t. O tempo e a taxa devem estar compatveis

com a capitalizao.




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P

0 1

1.100,00 1.210,00

1.331,00

2

0

P

0 1 2

P

10500,00 11025,00

Data (meses)

1 + i = 2 i = 1, ou seja, i = 100% a.a. (A) 25,0% ( B) 30,0% (C) 33,1% (D) 35,0% (E) 100,0% 06.) No sistema de juros simples, o montante dado por

M = C.(1 + i.t)

Assim, M = 500.(1 + 0,04.3) = 500 . 1,12 = 560,00 Esse montante obtido foi aplicado a juros compostos, taxa de 5% a.m., durante 2 meses. No sistema de juros compostos, o montante dado por

M = C.(1 + i)t

Assim, M = 560.(1 + 0,05)2 = 560 . 1,1025 = 617,40 (A) R$ 560,00 (B) R$ 585,70 (C) R$ 593,20 (D) R$ 616,00 (E) R$ 617,40 07.) Levando a quantia R$ 100,00 da data zero para a data 1, temos: 100,00 100 . (1 + i)1 = 100.(1 + i) Na data 1, igualamos as quantias: 100.(1 + i) = 120 Assim: 1 + i = 120/100 1 + i = 1,2 i = 0,2 = 20% a) 2% b) 20% c) 25% d) 50% e) 200% 08.) Vamos passar todas as quantias para data zero, pois, estando l o que ns procuramos, P, as contas sero facili-tadas

1100,00

1210,00

1331,00

Logo, P = 1000,00 + 1000,00 + 1000,00 = 3.000,00

a) 2500,00 b) 3000,00 c) 3050,00 d) 3100,00 e) 3150,00 09.) No sistema de juros compostos, qualquer data focal pode ser utilizada como aplicao da taxa interna de re-torno. Vamos escolher como data focal a data 1, onde consta o que procuramos, P, e nossa conta ficar reduzida. Assim, como a taxa interna de retorno i = 10% a.m., temos: 4500,00 4500.(1 + 0,10)1 = 4500 . 1,1 = 4.950,00

4235,00 3.850,00

P 3850,00 Data (meses)

4950,00 Logo, P + 3850 = 4950 P = 4950 3850 = 1.100,00 a) 1100,00 b) 2200,00 c) 2400,00 d) 2550,00 e) 500,00 10.)

Como 1 ano = 4 trimestres, a taxa trimestral 100%/4 = 25%




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0

P

60,50

2 Data (anos)

38,50 22,00

Escolhendo como data focal a data zero, com taxa interna de retorno i = 5% a.m., temos:

10500,00 10.000,00

11025,00 10.000,00

Assim, teremos o seguinte diagrama equivalente: Assim, P = 10000 + 10000 = 20.000,00 (A) R$ 18.000,00 (B) R$ 18.500,00 (C) R$ 19.000,00 (D) R$ 19.500,00 (E) R$ 20.000,00 11.) O esquema pode ser apresentado como o diagrama de fluxo de caixa abaixo: 50 Nesse caso, para achar a taxa interna de retorno, o melhor fazermos por tentativas, investigando cada uma das al-ternativas de resposta. Vamos escolher a data 2 como a focal (poderia ser outra). Vejamos a alternativa (a): 10% 50 50.(1 + 0,10)2 = 50 . 1,21 = 60,50 35 35.(1 + 0,10)1 = 35 . 1,10 = 38,50 Na data 2, ficamos, ento, com duas entradas de R$ 38,50 e R$ 22,00 e uma sada de R$ 60,50, ou seja, a soma das en-tradas igual sada, o que nos garante que, de fato, i = 10% a.a. a taxa interna de retorno.

Veja: De fato: 38,50 + 22,00 = 60,50 (A) 10% (B) 12% (C) 15% (D) 18% (E) 20% Obs1: testando os demais valores, no teramos igualdade da soma das entradas com a soma das sadas. Obs2: poderamos ter achado o valor de i na vera, como falam alguns colegas em Paulo Afonso e Delmiro Gouveia, como foi feito na questo 7. Ficaria a equao: 50.(1 + i)2 = 35.(1 + i) + 22 Se achar conveniente, verifique, e encontre i = 0,10 = 10%. 12.) Como na questo anterior, vejamos o diagrama: P P 410 conveniente que a data focal escolhida seja 1 ou 2 pois nelas consta o que procuramos, ou seja, o valor de P.

Importante!!!

1.) Pode haver mais de uma taxa interna de retorno para um mesmo diagrama de flu-xo de caixa;

2.) Pode no haver uma taxa de retorno que atenda a um determinado diagrama de fluxo de caixa;

3.) No sistema de juros compostos, como normalmente vem nas provas, qualquer data focal pode ser escolhida, encontran-do-se em qualquer delas a(s) mesma(s) taxa(s);

4.) No sistema de juros simples, a taxa inter-na de retorno pode ser diferente em datas focais diferentes.




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Assim, escolhendo a data 2, para acharmos a taxa interna de retorno i = 5% a.m., temos: 410 410.(1 + 0,05)2 = 410.(1,05)2 = 452,025 P P . (1 + 0,05)1 = P . 1,05 = 1,05.P Assim, com todos os valores na data 2, ficamos com o se-guinte diagrama: 1,05. P P 452,025 E, assim: 1,05.P + P = 452,025 2,05.P = 452,025

P = = 220,5

Obs.: a soluo poderia ter sido obtida por tentativas (A) 216,5 (B) 217,5 (C) 218,5 (D) 219,5 (E) 220,5 13.) No regime de juros simples, a taxa equivalente a taxa proporcional. Veja:

14.) No sistema de juros compostos, para passar a taxa de 5% ao ms para outro perodo, usamos a relao:

(1 + ia)1 = (1 + isem)2 = (1 + iquad)3 = (1 + itrim)4 = = (1 + ibim)6 = (1 + im)12 = ... Assim, I.) Taxa anual, sabendo a mensal:

(1 + ia)1 = (1 + im)12 Ou seja; 1 + ia = (1 + 0,05)12

1 + ia = (1,05)12

1 + ia = 1,7959 ia = 0,7959 = 79,59% Obs.: o valor de (1,05)12 consta em tabela fornecida pela Cesgranrio. II.) Taxa semestral, sabendo a mensal:

(1 + isem)2 = (1 + im)12 Dividindo os expoentes por 2, temos:

(1 + isem)1 = (1 + im)6 Ou seja: 1 + isem = (1 + 0,05)6 1 + isem = (1,05)6 1 + isem = 1,34 isem = 0,34 = 34% Obs.: o valor de (1,05)6 consta em tabela fornecida pela Cesgranrio. III.) Taxa bimestral, sabendo a taxa mensal:

(1 + ibim)6 = (1 + im)12 Dividindo os expoentes por 6, temos: (1 + ibim)1 = (1 + im)2 Ou seja: 1 + ibim = (1 + 0,05)2 1 + ibim = (1,05)2 1 + ibim = 1,1025 ibim = 0,1025 = 10,25% 15.) De maneira anloga questo 14, temos: I.) Taxa mensal, sabendo a taxa anual de 44%:

I.) 48% a.a. = 4% a.m. 1 ano = 12 meses. Logo, divida 48 por 12.

II.) 36% a.sem. = 6% a.m. 1 sem. = 6 meses. Logo, divida 36 por 6. III.) 0,5% a.d. = 15% a.m. 1 ms = 30 dias. Logo, multiplique 0,5 por 30. IV.) 9% a.t. = 3% a.m. 1 trim. = 3 meses. Logo, divida 9 por 3. V.) 7% a.b. = 3,5% a.m. 1 bim. = 2 meses. Logo, divida 7 por 2. VI.) 8,5% a.q. = 2,125% a.m. 1 quadrim. = 4 meses. Logo, divida 8,5 por 4

Assim: Maior para menor DIVIDE Menor para maior MULTIPLICA




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(1 + im)12 = (1 + ia)1 Ou seja:

(1 + im)12 = (1 + 0,44)1 (1 + im)12 = 1,44 1 + im = 1 + im = 1,0308 im = 0,0308 = 3,08% Obs.: 1.) A informao = 1,0308 algo, normalmen-te, fornecido pelo autor da questo. 2.) A informao = 1,0308 equivalente a 1,441/12 = 1,0308. Comentamos isso em sala. II.) Taxa semestral, sabendo a taxa anual 44%:

(1 + isem)2 = (1 + ia)1 Ou seja: (1 + isem)2 = (1 + 0,44)1 (1 + isem)2 = 1,44 1 + isem = 1 + isem = 1,2 isem = 0,2 = 20% Obs.: a informao = 1,2 fcil de ser obtida, como vimos em sala, no sendo fornecida, normalmente, por quem elaborou a questo. III.) Taxa trimestral, sabendo a taxa anual de 44%:

(1 + itrim)4 = (1 + ia)1 Ou seja: (1 + itrim)4 = (1 + 0,44)1 (1 + itrim)4 = 1,44 1 + itrim = 1 + itrim = 1,0954 itrim = 0,0954 = 9,54% Obs.: a informao = 1,0954 fornecida pelo autor da questo, e equivalente a 1,441/4 = 1,0954 (ou, ainda, 1,440,25 = 1,0954, pois = 0,25).

16.) A taxa nominal um disfarce. Encontre a taxa conforme a capitalizao e, s assim, proceda como na questo anterior. A capitalizao bimestral e, desse modo, usando a pro-porcionalidade, teremos: 40% a.q. = 20% a.b. (Lembre: 1 quadrim. = 2 bim. Logo, divida 40 por 2) Agora, a pergunta pode ser vista assim: Qual a taxa semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa bimestral de 20%? Esta, voc responde como fez na questo anterior. Ou seja:

(1 + isem)2 = (1 + ibim)6 Dividindo os expoentes por 2, temos: (1 + isem)1 = (1 + ibim)3 Assim: (1 + isem)1 = (1 + 0,20)3 1 + isem = (1,2)3 1 + isem = 1,728 isem = 0,728 = 72,8% (A) 75,0% ( B) 72,8% (C) 67,5% (D) 64,4% (E) 60,0% 17.) De maneira anloga questo anterior, temos: 80% a.q. = 20% a.m. (Lembre: 1 quadrim. = 4 meses. Logo, divida 80 por 4) Agora, a pergunta pode ser vista assim: Qual a taxa trimestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa mensal de 20%?

Usamos a relao: (1 + itrim)4 = (1 + im)12 Dividindo os expoentes por 4, temos: (1 + itrim)1 = (1 + im)3 Assim: (1 + itrim)1 = (1 + 0,20)3 1 + itrim = (1,2)3 1 + itrim = 1,728 itrim = 0,728 = 72,8% (A) 77,0% ( B) 75,8% (C) 72,8% (D) 66,5% (E) 60,0%




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Obs.: o gabarito que forneci inicialmente indicava a alter-nativa (B) como correta. A correta, porm, a alternativa (C). 18.) Na frmula ficaro a taxa efetiva fornecida e a taxa de capitalizao.

Assim, ficamos com: (1 + ibim)6 = (1 + ia)1 Ento: (1 + ibim)6 = (1 + 0,50)1 (1 + ibim)6 = 1,5 1 + ibim = 1 + ibim = 1,07 ibim = 0,07 = 7% O problema diz: i % ao semestre, capitalizada bimestralmente Ou seja: i % ao semestre = 7% ao bimestre Como 1 semestre = 3 bimestres, conclumos que i = 21. O nmero 21 tem 4 divisores positivos: 1, 3, 7 e 21. (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 Obs.: na prova, no constava a informao de que = 1,07. Voc deve, ento, observar na tabela fornecida para o fator de aumento (1 + i)n, qual o valor da taxa que, para n = 6, deixa como resposta o valor 1,5.

Ou seja, para (1 + ibim)6 = 1,5, qual deve ser o valor de ibim? A resposta, usando a tabela dada pela Cesgranrio 7%.

Gabarito 01 E 02 E 03 E 04 B 05 A 06 E 07 B 08 B 09 A 10 E 11 A 12 E 13 4%, 6%, 15%, 3%, 3,5% e 2,125% 14 79,6%, 34% e 10,25% 15 3,08%, 20% e 9,54% 16 B 17 C 18 A Conclumos a lista 02. A prxima lista ser entregue at tera-feira, dia 20/03/12, com a resoluo prevista para o dia seguinte. At mais. Prof. Jonas

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