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Centro de Estudos Gilberto Gualberto – Ancorando a sua aprendizagem Geometria Plana aplicada na FGV e INSPER

Questão 01 - (FGV /2016)

O triângulo ABC possui medidas conforme indica a figura a seguir.

A área desse triângulo, em cm2, é igual a

a) 8.

b) .

c) .

d) 10.

e) .


As cordas e de uma circunferência de centro O são, respectivamente, ladosde polígonos regulares de 6 e 10 lados inscritos nessa circunferência. Na mesmacircunferência, as cordas e se intersectam no ponto P, conforme indica afigura a seguir.

A medida do ângulo , indicado na figura por , é igual a

a) 120°.

b) 124°.

c) 128°.

d) 130°.

e) 132°.


A figura a seguir representa a tela de um quadro pós-moderno, um quadrado cujoslados medem 2 metros. Deseja-se pintar o quadro nas cores cinza e preta, comodescrito na figura.

a) Qual a área que deverá ser pintada em preto? Expresse a resposta em

metros quadrados. Qual é a proporção de cor preta para cor cinza?

b) Se a pintura na cor preta custa R$ 100,00 o metro quadrado, e a pintura nacor cinza, R$ 200,00 o metro quadrado, qual será o custo total de pintura doquadro?

c) Se as cores forem invertidas (sendo a área cinza pintada de preto e a áreapreta pintada de cinza), qual será a variação percentual do custo total de pinturado quadro, com relação ao custo total obtido no item B?


No plano cartesiano, a área do polígono determinado pelo sistema

de inequações é igual a

a) 12.

b) 12,5.

c) 14.

d) 14,5.

e) 15.


A figura indica um semicírculo de centro C e diâmetro DE = 24 cm, e um triânguloretângulo ABC. A área sombreada no semicírculo é igual a 69 cm2.

Nas condições descritas, a medida do ângulo , denotado por , é igual a

a) 75°.

b) 75,5°.

c) 82°.

d) 82,5°.

e) 85°.


A figura abaixo mostra a trajetória de Renato com seu barco.

Renato saiu do ponto A e percorreu 10 km em linha reta, até o ponto B, numatrajetória que faz 50º com a direção norte. No ponto B, virou para o leste epercorreu mais 10 km em linha reta, chegando ao ponto C.Calcule a distância do ponto A ao ponto C.Dados: sen 20º = 0,342, cos20º = 0,940 .


A figura abaixo mostra um quadrado ABCD e os pontos médios de cada um doslados. Traçando os segmentos que unem cada ponto médio aos dois vértices do ladooposto do quadrado, forma-se a “estrela” que está sombreada na figura a seguir

A área da estrela representa que porcentagem da área do quadrado?


Na figura a seguir, ABCD é um quadrado de lado 6, CN = 2 e DM = 1.

A área do triângulo PMN é

a) 9.

b) .

c) 15.

d) 12.

e) .


Um triângulo isósceles tem a base medindo 10 e um dos ângulos da base medindo45º. A medida do raio da circunferência inscrita nesse triângulo é:

a) b) c) d) e)


A figura abaixo mostra o trapézio isósceles ABCD de bases AB e DC, o segmentovariável PQ paralelo a AB e o ponto M, médio de AB.

Considere as medidas a seguir:

AB = 8 , DC = 2 , AD = BC = 5 e AP = x (0 < x 5)

a) Calcule a área do triângulo MPQ quando x = 2 .

b) Determine o valor máximo para a área do triângulo MPQ.

Questão 11 - (IBMEC SP/2016)

Na figura, o hexágono regular ABCDEF tem lado medindo 2 cm e o arco decircunferência CE tem centro no vértice A.

A área da região sombreada, em cm2, é igual a

a) b) c) d) e)


As retas e interceptam‐se no ponto T do lado do retângulo ABCD e ossegmentos e são paralelos, conforme mostra a figura.

Sabendo que 3QT = 2TA e que a área do triângulo PQT é igual a 12 cm2, é corretoconcluir que a área do retângulo ABCD, em cm2, é igual a

a) 36.

b) 42.

c) 54.

d) 72.

e) 108.


A linha curva indicada na figura tem extremidades em A e B e é formada apenaspor semicircunferências.

Se o comprimento de é igual a x, então o comprimento da linha curva será iguala

a) b) c) d) e)

TEXTO: 1 - Comum à questão: 14

A equipe que está preparando os efeitos de iluminação de um show a ser feito em

um estádio precisa instalar um canhão de luz num ponto a 20 metros de altura emrelação ao chão, no qual está posicionado um palco de 20 metros de comprimentoonde o cantor irá se apresentar. Para definir o ângulo de movimentação do canhãode luz de modo que ele possa acompanhar o cantor por todo o palco, a equipemodelou o problema utilizando o plano cartesiano abaixo, no qual cada unidadeequivale a 10 metros.

Se necessário, utilize os dados da tabela abaixo.


Para que não seja formada nenhuma sombra na projeção de luz feita pelo canhão,não pode haver nenhum objeto posicionado no espaço indicado pela regiãosombreada na figura, cuja área é igual a

a) 2 m2.

b) 4 m2.

c) 20 m2.

d) 40 m2.

e) 200 m2.


A pavimentação indicada na fotografia possui simetria rotacional de 90º e é formadapor quadrados, círculos e figuras com a forma . Em relação ao desenho feitosobre a fotografia, sabe-se que A, B, C e D são centros dos círculos, e que BM =MN = 1 m.

Fotografia da calçada do Palácio Galveias, em Lisboa, Portugal.

Em um plano totalmente recoberto por reproduções completas do quadrado ABCDindicado na figura, a razão entre a área preenchida com ladrilhos pretos e a áreapreenchida com ladrilhos brancos é igual a

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .


Em uma malha, formada por quadrados de lado medindo 1 cm, foram traçados doissegmentos paralelos, tendo um deles 7 pontos em destaque, e o outro 6, conformeindica a figura.

Um quadrilátero deve ser desenhado sobre essa malha de maneira que tenha osquatro vértices dentre os 13 pontos destacados dos segmentos. O quadrilátero deveráter apenas um par de lados paralelos, e área igual a 12 cm2. O total de quadriláterosdiferentes que podem ser desenhados atendendo às condições estabelecidas é igual a

a) 19.

b) 22.

c) 29.

d) 32.

e) 33.


Quinze bolas esféricas idênticas de bilhar estão perfeitamente encostadas entre si, epresas por uma fita totalmente esticada. A figura mostra as bolas e a fita, em vistasuperior.

A medida do raio de uma dessas bolas de bilhar, em centímetros, é igual a

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .


Cada lado do polígono indicado na figura mede 10 cm e seus ângulos internos têmmedidas de 45º, 90º, 135º e 270º, como mostra a figura. A área desse polígono, emcm2, é igual a

a) 500 .

b) 450 .

c) 400 .

d) 350 .

e) 300 .


Uma máquina cortadora a laser é capaz de executar duas funções: cortar e gravar.Cortar significa aplicar o laser com intensidade e por tempo suficientes para que aplaca de material seja atravessada; gravar significa aplicar o laser brevemente sobreo material, de modo que sua superfície seja levemente queimada e assuma coloração

mais escura que a do material.Uma gráfica oferece os serviços dessa máquina a seus clientes, cobrando da seguinteforma:

¨ R$ 0,20 por cm2 de gravação

¨ R$ 0,50 por cm de corteO material fica por conta do cliente, que deve levar a placa em tamanho compatívelcom a cortadora.


A dona de uma sorveteria decidiu fazer um enfeite no formato de um picolé, comomostra a figura a seguir.

Sabe-se que:

é um arco de circunferência de diâmetro ; ACDI é um retângulo tal que DI = 10 cm e AI = 15 cm;

EFGH é um retângulo tal que o lado está contido no segmento e os pontosmédios de e coincidem. HE = 2 cm e HG = 10 cm.

Para obter tal enfeite, a máquina precisou executar serviços tanto de corte, quanto degravação. A partir da placa de madeira que a dona da sorveteria levou, cortou-se ocontorno da figura (que exclui o segmento ) e gravou-se a região destacada emcinza.

Considerando-se = 3, o valor cobrado para executar tal serviço deve ser igual a

a) R$ 20,00.

b) R$ 35,00.

c) R$ 37,50.

d) R$ 75,00.

e) R$ 77,00.


A figura abaixo mostra o alvo de uma academia de arco e flecha. A pontuação que

um jogador recebe ao acertar uma flecha em cada uma das faixas circulares estáindicada na respectiva faixa. O raio do círculo maior mede 60 cm, o do menor mede10 cm e a diferença entre os raios de quaisquer dois círculos consecutivos é de 10cm. Todos os círculos têm o mesmo centro.


A soma das áreas das faixas em cinza na figura é igual a

a) 900 cm2.

b) 1100 cm2.

c) 1300 cm2.

d) 1500 cm2.

e) 1700 cm2.

GABARITO:

1) Gab: A2) Gab: E3) Gab:

a) A área total do quadrado é: 2×2 = 4m2

A área cinza é formada por 3 triângulos retângulos isósceles de cateto = 1m

Portanto a área cinza vale e a área preta vale .

Desse modo, a razão entre as áreas será:

b) A área pintada em preto é de 2,5 m2 e a área pintada em cinza é de 1,5 m2.Assim, o custo total será de 2,5×R$ 100 + 1,5×R$ 200 = R$ 550,00.

c) Se as cores forem invertidas, o custo total será de 2,5×R$ 200 + 1,5×R$100 = R$ 650,00. O aumento percentual será de (R$ 650 – R$ 550)/R$ 550 =18,18%.

4) Gab: E5) Gab: D6) Gab:

Observando a figura abaixo temos, e .

Fazendo AC = x temos, pela lei dos senos,

Assim, x = 20cos20º = 20×0,94 = 18,8.AC = 18,8 km.

7) Gab:

Escolhemos como unidade de medida, a metade do lado do quadrado.Sendo E e F os pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente, considere ossegmentos DE e AF que se cortam em P (figura abaixo).

Os triângulos DAE e ABF são congruentes. Assim,

e, portanto, os segmentos DE e AF são perpendiculares.Os triângulos APE e ABF são semelhantes. Daí, como e fazendo PA = b e

PE = c temos , ou sejam, e .

Assim, a área do triângulo APE é e a área S da estrela é igual a

. A razão que esse valor representa da área do quadrado é

8) Gab: A9) Gab: D10) Gab:

Traçamos DE, CF, PG e QH perpendiculares a AB como na figura acima.Como EF = DC = 2 e AB = 8 temos AE = FB = 3 , pois o trapézio é isósceles.Assim, no triângulo retângulo AED, temos DE = 4.Sejam PG = h e AG= y.Da semelhança entre os triângulos AGP e AED temos

, ou seja, o que dá e .A base do triângulo MPQ é:

PQ = GH = AB – AG – HB = AB – 2y =

A área S(x) do triângulo MPQ é igual a , ou seja,

a) .

b) O valor máximo de S(x) ocorre para .Assim, o valor máximo da área do triângulo MPQ é:

.

11) Gab: A12) Gab: C

13) Gab: C14) Gab: E15) Gab: B16) Gab: B17) Gab: E18) Gab: A19) Gab: D20) Gab: D

Telefone fixo: (62) 3661 – 0312 / Celular CGG: (62) 99974 – 7350 / Celular (62) 99976 – 8757Rua 232, nº 171, Setor Universitário – Em frente à área V da PUC – GO – 1ª rua abaixo do Hospital Araújo Jorge

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