4.1 Em cada caso use a denio para calcular f 0 (x) . (a) f (x) = x3 , x R (b) f (x) = 1/x, x 6= 0 (c) f (x) = 1/ x, x > 0.

4.2 Mostre que a funo f (x) = x1/3 , x R, no diferencivel em x = 0. 4.3 Considere a funo f : R R denida por f (x) = x2 , para x racional, e f (x) = 0 para x irracional. Mostre que f diferencivel em x = 0 e encontre f 0 (0) . 4.4 Considere um nmero natural n e dena f : R R por f (x) = xn , para x 0, e f (x) = 0 para x < 0. Para que valores de n a funo f 0 contnua em x = 0? Para que valores de n a funo f 0 diferencivel em x = 0? 4.5 Se uma funo f : R R diferencivel em c e f (c) = 0, mostre que a funo x 7 |f (x)| diferencivel em c se, e somente se, f 0 (c) = 0. 4.6 Determine onde cada uma das seguintes funes de R R diferencivel e encontre a derivada. (a) f (x) = |x| + |x + 1| (b) g (x) = x |x| (c) h (x) = |sen x| .

4.7 Mostre que se uma funo par f : R R (f ser par signica que f (x) = f (x) , x) tem derivada em todo ponto, ento a derivada f 0 uma funo mpar, isto , f 0 (x) = f 0 (x). 4.8 Mostre que a funo f : R R denida por f (x) = x2 sen 1/x2 para x 6= 0 e f (0) = 0

diferencivel em todo ponto x R e que a derivada f 0 no limitada no intervalo compacto [1, 1]?

4.9 Admitindo que exista uma funo L : (0, +) R tal que L0 (x) = 1/x, x > 0, calcule, onde 3 e h (x) = L (L (x)) . existir, a derivada de cada uma das funes f (x) = L (2x + 3) , g (x) = L x2 4.10 Sejam f, g, h : X R tais que f (x) g (x) h (x) , x X. Suponha que em um ponto a X X 0 se tenha f (a) = h (a) e f 0 (a) = h0 (a). Mostre que g derivvel em a e g 0 (a) = f 0 (a) . 4.11 Seja f : [a, b] R uma funo contnua e derivvel em (a, b). Se k um nmero real, mostre que existe c em (a, b) tal que f 0 (c) = kf (c) . (sug. aplique o Teorema de Rolle funo g (x) = f (x) exp (kx))

4.12 Se uma funo f : R R tal que f (x + y) = f (x) + f, x, y, mostre que f derivvel se, e s se, o for em x = 0. 4.13 Um nmero a uma raiz dupla do polinmio p (x) quando p (x) = (x a)2 q (x), para algum polinmio q (x). Prove que a raiz dupla de p se, e somente se, p (a) = p0 (a) = 0. 4.14 Seja f : R R derivvel e suponha que f (0) = 0 e |f 0 (x)| |f (x)| , x R. Mostre que f 0. 4.15 Seja f : R+ R uma funo derivvel e suponha que f (1) = 0 e f 0 (x) = 1/x, x > 0. Mostre que f (xy) = f (x) + f (y) , x, y R+ . (sug. derive a funo x 7 f (xy) ) 4.16 O que se pode armar sobre uma funo f de classe C 1 em (a, b) tal que f 0 (x) sempre racional? 4.17 Seja f : R R diferencivel na origem tal que f (tx) = |t| f (x) , t, x R. Mostre que f 0. 4.18 Com respeito a uma funo f : R R mostre que as seguintes armaes so equivalentes: (a) existe k R tal que f (tx) = tk f (x) , para todo x R e t > 0; (b) existe k R tal que kf (x) = f 0 (x) x, x R. 4.19 Seja r > 0 um nmero racional e seja f : R R denida por f (x) = xr sen (1/x) para x 6= 0 e f (0) = 0. Determine os valores de r para os quais f 0 (0) existe. 4.20 Se f : R R diferencivel em x = c, mostre que f 0 (c) = lim n [f (c + 1/n) f (c)].n

4.21 Dado que a funo f (x) = x3 + 2x + 1, x R, tem uma inversa f 1 em R, encontre o valor de 1 0 (y) nos pontos correspondentes a x = 0, 1, e 1. f 4.22 Mostre que a funo uniformemente contnua f (x) = mas a derivada no limitada. 4.23 Sejam a > b > 0 e n um nmero natural. Mostre que a1/n b1n < (a b)1/n (sugesto: mostre x, 0 x 1, diferencivel em (0, 1) ,

que a funo f (x) = x1/n (x 1)1/n decrescente em [1, +) e calcule f em x = 1 e x = a/b). 4.24 Use o TVM para provar que |sen x sen y| |x y| , x, y R. 4.25 Usando o TVM e mais o fato que D (log x) = 1/x, x > 0, mostre que: x1 < log x < x 1, para x > 1. x 2

4.26 Seja f : [a, b] R uma funo contnua e suponha que f derivvel em (a, b). Se lim f 0 (x) = A,xa 0 mostre que f derivvel direita em x = a e que f+ (a) = A. (use o TVM e a denio de derivada)

4.27 Mostre que a funo f : R R denida por f (x) = 2x4 + x4 sen (1/x) , para x 6= 0, e f (0) = 0 tem um valor mnimo em x = 0, mas sua derivada muda de sinal em qualquer vizinhana da origem. 4.28 Para a funo f : R R denida por f (x) = x + 2x2 sen (1/x) , para x 6= 0, e f (0) = 0 mostre que f 0 (0) = 1, mas sua derivada muda de sinal em qualquer vizinhana da origem. Conclua que f no monotnica em vizinhana alguma da origem. 4.29 Seja I um intervalo da reta real e seja f : I R uma funo diferencivel. (a) Se f 0 positiva em I, mostre que f estritamente crescente em I; (b) Se f 0 (x) 6= 0, x I, mostre que f 0 no muda de sinal em I; (c) Se f 0 limitada em I, mostre que f lipschitziana em I. 4.30 Mostre que uma funo real f : R R satisfazendo |f (x) f (y)| |x y|2 , x, y, constante. 4.31 Seja f : I R duas vzes diferencivel no ponto c interior ao intervalo I. Mostre que: f 0 (c) = lim f 00 (c) = lim f (c + h) + f (c h) h0 2h (1) (2)

f (c + h) + f (c h) 2f (c) . h0 h2

D exemplo para mostrar que o limite em (1) pode existir, sem que a funo tenha derivada no ponto c. 4.32 Considere as constantes reais C0 , C1 , C2 , , Cn tais que: C0 + Cn C1 C2 + + + = 0. 2 3 n+1

Mostre que a equao C0 + C1 x + C2 x2 + + Cn xn = 0 possui ao menos uma raiz real no intervalo [0, 1] . 4.33 Considere uma funo denida e derivvel para x > 0 e suponha que f 0 (x) 0, quando x +. Mostre que a funo g (x) = f (x + 1) f (x) , x > 0, tem limite quando x +. 4.34 A Regra de lHpital. J. Bernoulli descobriu uma regra para o clculo de limites de fraes cujos numeradores e denominadores tendem para zero. A regra conhecida atualmente como Regra de lHpital, em homenagem ao marqs de St. Mesme, Guillaume Franois Antoine de lHpital (1661-1704),

3

um nobre francs que escreveu o primeiro texto introdutrio de clculo diferencial, em que a regra foi impressa pela primeira vez. Forma Indeterminada 0/0 Se as funes contnuas f (x) e g (x) so zero em x = a, ento f (x) xa g (x) lim no pode ser calculado com a substituio x = a. A substituio gera a expresso 0/0, sem signicado algum. Recorde-se dos argumentos que utilizamos em sala de aula para calcular limx0 (sen x) /x, em que a substituio x = 0 produziu a forma indeterminada 0/0. Por outro lado, fomos bem sucedidos com o limitexa

lim

com o qual calculamos a derivada f 0 (a) e que sempre resulta na forma 0/0 com a substituio x = a. A Regra de lHpital nos permite usar derivadas para calcular llimites que, abordados de outra forma, conduzem a formas indeterminadas. Teorema (Regra de lHpital) Suponha que f (a) = g (a) = 0, que f e g sejam derivveis em um intervalo aberto contendo a e que g 0 (x) 6= 0 nesse intervalo exceto, possivelmente, em x = a. Ento: f (x) f 0 (x) = lim 0 , xa g (x) xa g (x) lim desde que exista o limite do lado direito de (3). Ateno Ao aplicar a Regra de lHpital no caia na armadilha de usar a derivada de f /g. O quociente a ser usado f 0 /g 0 e no (f/g)0 . Formas indeterminadas /, 0, Uma verso da Regra de lHpital tambm se aplica a quocientes que produzem as formas indeterminadas /, 0, . Por exemplo, se f (x) e g (x) tendem ao innito quando x a, ento a frmula (3) continua vlida, desde que o limite do lado direito exista. Aqui, como tambm na forma indeterminada 0/0, o ponto a onde investigamos o limite pode ser nito ou . 4x0

f (x) f (a) xa

(3)

Exemplo Aplicando a Regra de lHpital 1 cosx A expresso com x = 0 produz a indetermix + x2 nao 0/0 e aplicando a regra (5.3), encontramos: lim 0 1 cosx senx = =0 = lim x0 1 + 2x x + x2 1

Calcule sec x (a) lim x/2 1 + tg x Exemplo Soluo

(b) lim

ln x x 2 x

(a) Note que o numerador e o denominador so descontnuos em x = /2, ento investigaremos os limites laterais nesse ponto. Temos: lim sec x = 1 + tg x

x(/2)

= (lHpital) =

lim

x(/2)

sec x tg x = lim sen x = 1. sec2 x x(/2) . Logo, o limite 1.

O limite lateral direita tambm 1, e a forma indeterminada nesse caso (b) ln x = x 2 x lim

= (lHpital) = lim

1/x 1 = lim = 0. x 1/ x x x

Exemplo Trabalhando com as Formas Indeterminadas 0 e Calcule 1 (a) lim x sen x x Soluo (a) (b) lim 1 1 sen x x

x0

1 1 (b) Se x 0+ , ento sen x 0+ e, portanto, . De maneira similar, se x 0 , sen x x 1 1 + . Nenhuma das duas formas revela o que acontece com o limite. A sada ento sen x x combinarmos as fraes: 1 1 x sen x = sen x x x sen x e, ento, aplicamos a Regra de lHpital ao resultado: 1 x sen x 1 cos x 1 = lim = 0 = (lHpital) = lim = lim 0 x0 sen x x0 x sen x x0 sen x + x cos x x 0 sen x = = 0. = lim x0 2 cos x x sen x 2 Formas Indeterminadas 1 , 00 e 0 Os limites que produzem essas formas indeterminadas podem s vezes ser tratados utilizando-se logartmos. De fato, da relao f (x) = exp [ln f (x)] deduzimos que: h i lim ln [f (x)] = L = lim exp [ln f (x)] = exp lim ln f (x) = eL .xa xa

1 1 = 0 = (fazer t = 1/x) = lim sen t = 1. lim x sen x x t t0+

0 0

= (lHpital) =

xa

(4)

5

Em (4) o ponto a pode ser nito ou . Exemplo Calcule 1 x (a) lim 1 + x x Soluo (a) Trata-se de uma indeterminao do tipo 1 , a qual ser convertida em 0/0 por aplicao do logartimo. Considerando f (x) = (1 + 1/x)x , temos: ln (1 + 1/x) ln (1 + 1/x) 1 1 x = = f (x) = exp = x ln 1 + ln f (x) = ln 1 + x x 1/x 1/x e, portanto: ln (1 + 1/x) lim f (x) = lim exp [ln f (x)] = exp lim = exp( x x x 1/x 1 = e1 = e. = exp lim x 1 + 1/x 0 0

(b) lim xxx0+

(c) lim x1/xx

) = (lHpital) =

(b) Trata-se de uma indeterminao do tipo 00 e procederemos como no tem (a). Temos: x 0 = lim exp [ln xx ] = exp lim x ln x = exp lim ln x = exp( ) = lim x = 0 x0+ x0+ x0+ x0+ 1/x 1/x = exp lim (x) = e0 = 1. = (lHpital) = exp lim + 1/x2 x0 x0+ (c) Temos agora uma indeterminao do tipo 0 e procederemos como no tem (a). Temos: i h 1/x 0 = lim exp ln x1/x = exp lim ln x = exp( ) = = lim x x x x x 1/x 1 = (lHpital) = exp lim = exp lim = e0 = 1. x 1 x x

Escrevendo para aprender

Demonstrando a Regra de lHpital

Vamos demonstrar a Regra de lHpital (3), no caso em que o limite nito, isto , quando a for um nmero real. A demonstrao na verdade uma aplicao do Teorema do Valor Mdio de Cauchy, que uma verso um pouquinho mais geral do Teorema do Valor Mdio apresentado em sala de aula. Teorema do Valor Mdio de Cauchy Suponha que as funes f e g sejam contnuas no intervalo fechado [a, b] e derivveis no intervalo aberto (a, b) e suponha, ainda, que g 0 (x) 6= 0 em qualquer x do intervalo (a, b) . Ento existe um nmero c em (a, b) tal que: f (b) f (a) f 0 (c) = 0 . g (b) g (a) g (c) 6 (5)

Prova do TVM de Cauchy Daremos o roteiro e deixaremos os detalhes da demonstrao para voc preencher. No deixe de faz-lo. (i) Aplique o Teorema de Rolle funo g em [a, b] e deduza que g (b) 6= g (a) ; essa condio necessria em (5). (ii) Aplique o Teorema de Rolle funo F (x) = f (x) f (a) f (b) f (a) [g (x) g (a)] g (b) g (a)

para deduzir que existe c em (a, b) tal que F 0 (c) = 0 e a partir dessa igualdade obtenha (5) Prova da Regra de lHpital Comece revendo as condies exigidas na regra. Suponha que x esteja direita de a e aplique o TVM de Cauchy ao intervalo [a, x] . Existe c entre a e x tal que: f (x) f (a) f (x) f 0 (c) = = 0 (c) g g (x) g (a) g (x) Logo, f 0 (c) f (x) = . g 0 (c) g (x) Conforme x tende para a, o nmero c tambm se aproxima de a, porque est entre x e a. Conseqentemente, tomando o limite na ltima igualdade, com x a+ , obtemos:xa+

(lembre-se que f (a) = g (a) = 0).

lim

f (x) f 0 (c) f 0 (x) = lim 0 = lim 0 , a+ g (x) x g (c) xa+ g (x)

que estabelece a Regra de lHpital. O caso em que x est esquerda de a o TVM de Cauchy aplicado ao intervalo [x, a] e o limite obtido o limite lateral esquerda. 4.35 Considere a funo f : R R denida por: exp 1/x2 , se x 6= 0 f (x) = 0, se x = 0.

(a) Mostre por induo que f (n) (0) = 0, n = 1, 2, 3, . . . ; (c) Determine o resto innitesimal de Taylor para f.

(b) Qual a classe de diferenciabilidade de f ? A funo f analtica em x = 0?

4.36 Seja f uma funo duas vzes diferencivel em (0, +) e sejam M0 , M1 e M2 os supremos de |f (x)| , |f 0 (x)| e |f 00 (x)|, respectivamente, em (0, +). Usando a relao f 0 (x) = 1 {f (x + 2h) f (x)} hf 00 () , 2h 7

2 que conseqncia da frmula de Taylor, prove que |f 0 | hM2 + M0 /h e da deduza que M1 4M0 M2 .

4.37 Seja f uma funo duas vzes diferencivel em (0, +) e suponha que f 00 seja a limitada e que f (x) 0, quando x +. Usando o exerccio precedente em (a, +), prove que limx+ f 0 (x) = 0. D um exemplo para mostrar que a hiptese de ser f 00 limitada no pode ser omitida. 4.38 Seja f uma funo derivvel em [a, b] tal que f (a) = 0 e suponha que exista um nmero positivo M tal que |f 0 (x)| M |f (x)| em [a, b] . Mostre que f 0 em [a, b] . (sugesto: xe c em [a, b] e verique que |f (x)| M1 (c a) M (c a) M0 , onde M0 e M1 so, respectivamente, o supremo de |f (x)| e |f 0 (x)| em [a, c] e da deduza que M0 = 0, se M (c a) < 1.) 4.39 Seja 0 < a < 1 e considere a funo f : R R denida por ax + x2 sen (1/x) , se x 6= 0 f (x) = 0, se x = 0.

Mostre que f derivvel em R, mas f 0 no contnua em x = 0. Mostre que f no invertvel em vizinhana alguma da origem, embora f 0 (0) 6= 0. Por que isto no contradiz o Teorema da Funo Inversa? 4.40 Se f : R R uma funo de classe C 1 , mostre que o conjunto dos pontos crticos de f um conjunto fechado. D exemplo de uma funo derivvel f : R R e de uma seqncia {xn } de pontos crticos de f tais que: xn 0 e f 0 (0) > 0. 4.41 Funo Convexa. Uma funo duas vzes derivvel dita convexa quando f 00 (x) 0, x. Mostre que uma funo f : R R convexa se, e somente se, dados x, y R e r, s [0, 1], com r + s = 1 tem-se f (rx + sy) rf (x) + sf (y) . 4.42 Seja f : [a, b] [a, b] uma funo contnua e convexa tal que f (a) 6= a e f (b) 6= b Mostre que f tem um nico ponto xo em [a, b] . 4.43 Seja f : [a, b] R contnua e convexa tal que f (a) < 0 < f (b). Prove que existe um nico c em (a, b) tal que f (c) = 0. 4.44 Seja X R um subconjunto convexo. Mostre que f : X R convexa se, e somente se, o conjunto A (f ) = {(x, y) X R; y f (x)} convexo. 4.45 Mostre que o conjunto X = {(x, y) R+ R; ln x + y 0} convexo. 8