lista de exercícios - comunicacao sem fio
TRANSCRIPT
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
DISCIPLINA: COMUNICAÇÕES SEM FIO DOCENTE: ANTONIO LUIZ PEREIRA DE SIQUEIRA CAMPOS
RESOLUÇÃO DA LISTA DE EXERCÍCIOS DE COMUNICAÇÕES SEM FIO
FRANCISCO CARLOS GURGEL DA SILVA SEGUNDO
VALDEMIR PRAXEDES DA SILVA NETO
NATAL - RN 2012.
RESOLUÇÃO DA 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Considere a função densidade de probabilidade da distribuição
uniforme para um intervalo [a,b]. Calcule o valor médio e o valor médio
quadrático da distribuição em função de a e b.
Considerando que a variável aleatória apresenta distribuição uniforme no
intervalo [a,b], a função de densidade de probabilidade para a variável em
questão é expressa pelo gráfico seguinte.
O valor médio da variável aleatória pode ser calculado por meio da
determinação da esperança da variável aleatória, como é definida pela
equação seguinte.
dxxpxxE )(.
Onde x representa o processo aleatório e p(x) a função densidade de
probabilidade.
O valor médio quadrático, também é determinado pelo cálculo da
esperança do sinal, por meio da equação abaixo:
dxxpxxE )(.22
Nesse contexto, o cálculo para o valor médio e valor médio quadrático
para o processo aleatório em questão é mostrado a seguir.
Valor médio:
[ ( )] ∫
∫
[ ( )]
( )( )
( )( )( )
[ ( )]
Valor médio quadrático:
[ ( )] ∫
∫
[ ( )]
( )( )
( )( )( )
[ ( )]
2) Considere um processo randômico X(t) definido como
( ) ( )
Em que fC é uma variável randômica uniformemente distribuída sobre o
intervalo [0,W]. Mostre que X(t) é não estacionário.
Por processo aleatório estacionário, entende-se como sendo todo
processo estocástico em que os seus parâmetros não variam com o tempo.
Para mostrar que o processo aleatório X(t), descrito no enunciado, basta
mostrar que algum dos parâmetros desse processo varia com o tempo.
Considerando o processo ( ) ( ), com fc sendo uma variável
aleatório de distribuição uniforme no intervalo de [0,W]; a função densidade de
probabilidade para esta variável é mostrado a seguir.
Calculando-se a esperança do processo aleatório X(t) temos:
[ ( )] ∫
( )
∫ ( )
[ ( )]
( )
( ( ) )
[ ( )]
( ( ))
Como E[x(t)] depende do tempo, o processo aleatório X(t) é não
estacionário.
3) Um processo randômico X(t) definido por:
( ) ( ) Em que A é uma variável randômica com distribuição gaussiana de média
zero e variância . Este processo randômico é aplicado a um integrador
ideal produzido a saída:
( ) ∫ ( )
Determine:
a) A função densidade de probabilidade da saída Y(t) em um tempo
qualquer tk;
Considerando o processo Y(t), definido por ( ) ∫ ( )
, temos que:
( ) ∫ ( )
( )
Como a única variável aleatório do processo Y(t) é A, que apresenta
distribuição gaussiana com média nula e variância , o processo aleatório Y(t)
terá também uma distribuição gaussiana, nos restando apenas determinar sua
média e variância. Neste sentido, os momentos de primeira e segunda ordem
para o processo Y(t), podem ser então determinados por:
[ ( )]
( ) [ ]
( )
[ ( )] [( ( )) ] [ ]
[ ( )] [
( )]
[ ( )]
( ) [ ]
( )
Portanto, Y(t) apresenta distribuição gaussiana com média nula e
variância
( ) .
Sendo a função f(y) a função densidade de probabilidade para um
processo aleatório y(t) genérico, com média m e variância temos que:
( )
√ ( )
Considerando-se a média e variância calculadas anteriormente,
podemos concluir que a função densidade de probabilidade para o processo
Y(t) é dado por:
( ) √
( )
( )
( )
( ) √
( )
( )
b) Se o processo Y(t) é ou não estacionário.
O processo aleatório Y(t) é não estacionário visto que a variância de
Y(t) apresenta dependência temporal, conforme pode-se verificar no
resultado obtido anteriormente.
Mesmo a esperança do processo aleatório Y(t) sendo independente do
tempo, ao calcularmos a variância (momento de ordem 2), vemos que a
mesma apresenta dependência temporal o que nos permite concluir que o
processo estocástico y(t) é não estacionário de 2ª ordem.
4) Prove as seguintes duas propriedades da função auto-correlação Rx(τ)
de um processo randômico X(t):
a) Se X(t) contém uma componente CC igual a A, então Rx(τ) conterá uma
componente constante igual a A2;
Considerando um processo aleatório x(t) formando por uma combinação
linear de uma componente constante e um processo aleatório qualquer,
conforme podemos ver pela equação seguinte:
( ) ( )
Por função de auto-correlação, define-se como sendo o produto escalar
hilbertiano (admitindo-se que as funções aleatórias pertencem a um espaço de
Hilbert munido de um produto escalar). Considerando o processo aleatório X(t)
real, podemos calcular sua auto-correlação por:
( ) ( ) ( )
( ) ∫ ( ( )) ( ( ))
( ) ∫ [ [ ( ) ( )] ( ) ( )]
Pela expressão anterior, podemos verificar a existência de três integrais
a serem resolvidas. A primeira integral corresponde a ∫
é exatamente
igual a média do processo A2, como este processo representa um termo
constante sua média é exatamente igual a A2.
A segunda integral corresponde a ∫ [ ( ) ( )]
pode ser
quebrada em duas outras integrais, cujo resultado de cada uma corresponde a
média ou a esperança do processo aleatório Y(t); e por fim a última integral
dada por ∫ ( ) ( )]
representa a auto correlação do processo Y(t),
portanto, a função de auto correlação do processo X(t), formado pela
combinação linear de uma constate e Y(t) é dada por:
( ) ( ) [ ( )]
Supondo que Y(t) é um processo aleatório que apresenta média nula
temos:
( ) ( )
b) Se X(t) contém uma componente senoidal, então Rx(τ) também conterá
uma componente senoidal de mesma frequência.
Tomando-se base da propriedade de linearidade da função de auto
correlação, que foi anteriormente demonstrada ao resolver a alternativa
anterior, podemos provar a propriedade em questão partindo-se de um
processo aleatório X(t) definido por:
( ) ( ) Calculando-se sua função de auto-correlação temos que:
( )
∫ ( ) ( ( ))
[ ( ) ( )]
( )
∫ ( ( ) ( ))
A integral ∫ ( ( )
= 0, viso que recai-se em uma
integral da função cosseno e com os limites de integração considerados,
resulta-se em valores de sen(+π)=0; portanto:
( )
( ) (
)
( )
( )
5) Suponha um enlace com propagação no espaço livre, a 2,5 GHz, na
distância de 5 km. Se no enlace forem utilizadas antenas parabólicas com
ganho de 25 dBi colocadas a uma distância de 60m do transmissor e do
receptor e ligadas a estes por guias elípticos com uma atenuação
de 44,3 dB/km e se o transmissor tiver uma potência de 1 W, qual a
potência na entrada do receptor em dBm?
De acordo com os dados enunciados na questão, podemos
esquematizar o enlace descrito pela figura seguinte:
Dados: f = 2,5GHz d = 5Km Gt = Gr = 25dBi ht =hr = 60m Acabos = 44,3dB/km Pt = 1W. Pr= ?
Inicialmente calculamos a atenuação no espaço livre pela seguinte
equação:
(
)
Convertendo essa resultado pera dB, temos:
Calculando-se a atenuação em cada um dos cabos temos:
dB
Podemos obter a potência recebida utilizando-se da Equação de Friis,
conforme mostrado a seguir:
= - 69,34 dBW
Para realizar a conversão desse resultado para dBm, basta somarmos
30 ao valor em dB. Portanto, a potência recebida em dBm é:
Pr = -39,34 dBm
6) Comparação entre os sistemas de comunicação, calculando-se para cada um deles.
a) Densidade de Potência no Receptor
Considerando a densidade de potência no receptor dada por:
Calcularemos agora, a expressão para cada um dos sistemas anteriores
em função da distância do enlace.
1º Sistema: Visada Direta
[
]
2º Sistema: TV
[
]
3º Sistema: Satélite UL
[
]
4º Sistema: Satélite DL
[
]
Plotando-se a densidade de potência na entrada do receptor como
função da distância, em escala logarítmica para os dois eixos, podemos
comparar esses sistemas. Conforme os resultados anteriores previam, o
sistema que se apresentou como sendo o mais eficiente, no que concerne a
densidade de potência foi o satélite UL, como era de se esperar visto que o
mesmo é o que apresenta o maior valor para o produto Pt x Gt, uma vez que o
parâmetro densidade de potência não depende de outros parâmetros.
Seguindo-se temos, o sistema de TV, o visada direta e o satélite DL.
b) Intensidade de Campo elétrico
Considerando a densidade de potência no receptor dada por:
√
Calcularemos agora, a expressão para cada um dos sistemas anteriores
em função da distância do enlace.
1º Sistema: Visada Direta
√
[
]
2º Sistema: TV
√
[
]
3º Sistema: Satélite UL
√
[
]
4º Sistema: Satélite DL
√
[
]
Pelo mesmo motivo que no caso anterior, a intensidade de campo
elétrico depende apenas do produto de PtxGt, logo, a ordem de sistemas que
apresentam a maior intensidade de campo decresce da mesma forma que no
caso da densidade de potência no receptor, conforme pode ser visto no gráfico
seguinte.
c) Potência Recebida
A potência recebida no receptor, pode ser determinada pela seguinte
expressão:
onde Lp representa as perdas por propagação, que no caso do espaço livre
pode ser expressa por:
(
)
1º Sistema: Visada Direta
(
)
(
)
[ ]
2º Sistema: TV
(
)
(
)
[ ]
3º Sistema: Satélite UL
(
)
(
)
[ ]
4º Sistema: Satélite DL
(
)
(
)
[ ]
Conforme previsto numéricamente os gráficos mostram que embora
sistemas com um alto valor de potência transmistida e ganho de antena alto,
como por exemplo o satélite UL, a nível de atenuação é maior visto que existe
um porporcionalidade entre atenuação no espaço livre e frequência de
operação, ou seja quanto maior a frequência maior será a atenuação; o que
podemos comprovar com o gráfico seguinte.
d) Relação Pr/Pt A relação Pr/Pt corresponde basicamente a relação entre o produto de
ganhos e a atenuação no espaço livre anteriormente calculadas. A comparação
gráfica entre esses sistemas pode ser realizada com auxílio da figura seguinte.
7) Suponha terra plana e sem atmosfera, deduza a expressão do n-ésimo
elipsóide de Fresnel e represente graficamente o 1º elipsóide de Fresnel
num perfil longitudinal do percurso para uma distância de 50 km e
frequências de 4 e 6 GHz. As cotas das antenas dos terminais são,
respectivamente, de 100 e 200 m para o transmissor e o receptor.
Na figura abaixo, consideramos h como sendo o raio de uma
circunferência qualquer, no plano descrito e centrada no ponto A.
Sabendo-se que um percurso que passa por qualquer outro ponto da
circunferência de raio h pode ser dado por:
Considerando que o valor máximo dos percursos que partem do ponto A
se diferem de
, temos que:
( )
( )
√ ( )
onde h = rn é o raio do n-ésimo elipsoide de Fresnel a uma distância d1 da
fonte.
Considerando-se as aplicações numéricas solicitadas, tais que os dados
são os seguintes:
f1= 4GHz f2= 6GHz ht = 100m hr = 200m d = 50 km Os raios do primeiro elipsoide de Fresnel são os seguintes (admitindo o
ponto A no meio do percurso total):
Para f1:
√
Para f2:
√
8) Considere um enlace de micro-ondas sobre terra plana operando na
frequência de 4 GHz. A distância entre transmissor e receptor é de 15 km
e a altura da antena transmissora é de 80 m. Considerando polarização
horizontal, trace o gráfico da potência recebida quando a altura da antena
de recepção varia entre 0 e 150 m. Calcule os máximos e mínimos da
potência recebida para a situação referida.
Considerando-se propagação em terra plana, a potência recebida pode
ser expressa pela equação seguinte:
(
)
(
)
Para efeito do estudo da influência da variação da altura do receptor na
potência recebida, parâmetros como a potência de transmissão e os ganhos
das antenas para o enlace em questão serão considerados unitários, o que nos
faz recair sobre uma equação da potência recebida como sendo:
(
)
(
)
Plotando-se essa expressão para a variação da altura do receptor considerada
[0,150m] temos que:
Para realizarmos um estudo sobre os máximos e mínimos de potência
recebida, basta-nos que encontremos os instantes em que a primeira derivada,
da expressão para a potência recebida é nula e tais pontos são candidatos a
máximos ou mínimos de potência recebida.
Para sabermos se o ponto é máximo ou mínimo é necessário realizar um
estudo do sinal para a segunda derivada da expressão para a potência
recebida. Se o sinal da segunda derivada, no ponto interesse for maior que
zero dizemos que este ponto trata-se de um ponto de máxima potência
recebida, se ele for menos que zero trata-se de um ponto de mínima potência
recebida. As equações seguintes descrevem as expressões para a primeira e
segunda derivadas da expressão da potência recebida. Logo em seguida são
apresentados os gráficos das três expressões, onde podemos identificar os
pontos em que a primeira derivada se anulam e classifica-los em pontos
máximo e mínimo a partir do estudo do sinal da segunda derivada.
Expressão para a primeira derivada:
[ (
)
] (
) (
)
Expressão para a segunda derivada:
[ (
)
] (
) [(
) [ (
)
(
)
]]
Os pontos assinalados representam os instantes em que a primeira
derivada é nula, logo serão os candidatos a pontos de máxima ou mínima
potência recebida. A partir do sinal da curva em verde, podemos classificar
em pontos em máximo ou mínimo conforme anteriormente explicado.