lista de exercicios

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DINMICADEESTRUTURASSISTEMASDE1GRAUDELIBERDADEProblema1Partindo da rigidez elementar das molas, determine a rigidez equivalente das mesmas agora combinadas e escreva a equao do movimento do sistema molamassa mostrados nas trs situaesabaixo.

Problema2Osistemaseguinteconsistenumabarrargidademassatotal, m1 (distribudauniformemente aolongodoseucomprimento),apoiadanumpontofixoenumamoladeconstantek.Numadas extremidades encontrase uma massa de raio desprezvel (momento de inrcia nulo), m 2 . Calcule a frequncia de vibrao do sistema para pequenos deslocamentos. Tome como coordenadaongulo.Assuma,queaposiotracejada(horizontal)correspondeaposiodo equilbrioesttico.

Problema3Osistemarepresentadoconsistenumachapargida,rectangular,comdensidadeeespessura constante e, apoiada num ponto fixo e suportada por uma mola de constante k. Calcule a frequncia de vibrao do sistema para pequenos deslocamentos. Assuma, que a posio tracejadacorrespondeaposiodoequilbrioesttico.Desprezeoefeitodopeso.

1

Problema4Determineafrequnciadevibrao(admitindopequenosdeslocamentos)dosistemadafigura abaixo, constitudo por duas massas ligadas por uma barra rgida de massa desprezvel. Na situaodeequilbrioestticoabarraencontrasenahorizontal.

l2 l1

Problema5Considereopnduloemmovimentolivrerepresentadonafiguraequeconsistenumcorpode massam,suspensoporumfiodemassadesprezveldecomprimentol. 1. 2. Deduzaaequaoquedefineoseumovimento. Verifiquequeafrequnciadopndulonodependedamassadocorpoqueseprendena extremidadedofioecalculeasuarespectivafrequncianaturaladmitindoquesetemum pndulocomumfiodel=2,45m(admitag=9,81m/s2).

2

Problema6O sistema seguinte consiste numa massa, m, suportada por uma barra rgida (de massa desprezvel) ligada a um apoio por intermdio de uma mola de rotao (helicoidal) de constante k. Determine a frequncia de vibrao do sistema admitindo pequenos deslocamentos.Assuma,queamolaindeformadaasseguraabarra(semamassacolocada)na posio vertical. No entanto a posio de equilbrio esttico com a massa colocada j no vertical. Certifique que neste caso preciso de considerar o peso da massa. Calcule com o pressuposto que o ngulo que corresponde ao equilbrio esttico no se pode considerar pequeno.

Problema7AbarrauniformeABcommassamABestarticuladaemAe ligada a duas molas, cada uma com constante de rigidez k. Considere que a barra est em equilbrio esttico na posio indicada (barra horizontal) e que o perodo das pequenas oscilaesdeT.Determine: a)amassadoblocoC; b)adeformaodasmolasnaposiodeequilbrioesttico; c) Se a extremidade B for deslocada uB=5mm e, depois, libertada, determine a velocidade mximavmaxdoblocoC. Dados:k=300N/m;mAB=0.2kg;a=0,1m;b=0,2m;c=0.05m;T=0,2s;

Problema8

A c

B

C

D

k1k2

k3

E

3

Osistemarepresentadonafiguraconsistedeumabarrargida,apoiadanumpontofixoemB, ligada a um conjunto de molas e a um amortecedor (c=200Ns/m, k1=800N/m, k2=500N/m, k3=700N/m). O troo DE no possui massa estando uma placa circular de massa mE ligada rigidamente ao ponto E. A barra AD tem massa de 0,5kg/m. Os troos AB, BC, CD e DE tm comprimentosde0,2m;0,8m;0,2me0,3m,respectivamente.ConsiderequeabarraADestem equilbrioestticonaposiohorizontal. Determine: a)aequaodemovimentodosistemaparapequenasoscilaes; b)amassaEparaqueafrequncianaturalnoamortecidadosistemaseja2Hz; c)adeformaoestticadoconjuntodasmolasquecorrespondeaposiodeequilbrio; d)afrequnciadasvibraesamortecidas; e)aposiodopontoDem0,5segundos,assumindoqueoinciodomovimentofoidadopelo deslocamentodopontoDde2cmparabaixoedepoislibertado.

Problema9Oblocodemadeiramostradonafiguratem10kgfdepesoearigidezdamolade1000N/m. Umabalapesando0.5kgfdisparadanadirecodoblocosendoavelocidadenoinstantedo choquede60m/s,ficandoapartirdessemomentoincrustadanobloco.Determineomovimento u(t)subsequentedobloco.

Problema10A massa m1 suportada pela mola k e amortecedor com constante c estando em equilbrio esttico. Uma segunda massa m2 cai de uma altura h e choca com a massa m1, ficando as massas, a partir do instante do choque, ligadas umaoutra.Determineosubsequentemovimentou(t).Em particular: a)afrequncianaturalcircularnoamortecida; b)ocoeficientedoamortecimentocrtico; c)ofactordeamortecimento;

k

c

4

d)afrequncianaturalcircularamortecida; e)aamplitudedomovimento; f)afasedomovimento; g)velocidadeemt; Dados:m1=6kg;m2=10kg;k=1kN/m;c=35N.s/m;h=900mm;t=2,46s.

Problema11Na figura seguinte, encontrase representada em planta uma massa, m, que se encontra entre duasparedes,squaisestligadapordoisfios,equeestapoiadanumasuperfciehorizontal. Determineoperododevibraodosistemaparapequenosdeslocamentosparaumamassade 0.3 kg, l igual a 2.0 m e uma tenso nos fios de 100 N (despreze o atrito entre a massa e a superfciedeapoioassimcomoamassadosfios.

Problema12Osistemaaseguirrepresentadoconsistenumabarrargidasuspensapordoisfiosinextensveis (edemassadesprezvel)decomprimentoh.Qualafrequnciadeoscilaodosistemapara movimentosderotaonoplanoxy.Admitaqueosdeslocamentossopequenos.

h

Problema13Umcandeeirodeformacircularestpenduradodotectoporintermdiodetrsfios.Determine afrequnciadevibraodocandeeiroquandoestepostoemtornodesiprprio.Admitaque osfiosnotmmassaequeosdeslocamentossopequenos.

5

Problema14Umaformadedeterminaromomentodeinrcia,IOA,deumcorpoemtornodeumeixoconsiste emligloaumabarradetorso,proconjuntoavibrarededuzirIOAapartirdafrequnciade oscilao.Sabendoqueaconstantedetorsodabarrade81.0Nm/radequeafrequnciadas vibraesde13.0rad/s,qualovalordomomentodeinrciadocorporepresentado.

Problema15Uma mesa pesada suportada por quatro pernas de ao, sendo o seu perodo fundamental quandovibralateralmentede0.50seg.Depoisdeumachapade50kgfdepesoseraparafusada aotampodamesaoperodofundamentalaumentoupara0.75seg.Qualopesodamesaequala suarigidezlateral?

6

Problema16Considereaestruturaabaixoindicada,actuadanograudeliberdadeqporumaforaexcitadora harmnica F. Determine a fora mxima na mola no regime estacionrio. Calcule tambm o tempo necessrio para se poder a resposta total considerar estacionria. Considere que a resposta natural considerase desprezvel quando a sua amplitude no ultrapasse 5% da amplitudedarespostaestacionria. F(t)=25sin(20t)[kN] =0.05 kmola=50kN/m EI=2500kNm2 M=10ton

Problema17A figura abaixo representa o modelo estrutural de um degrau em consola encastrado parcialmentenumaparedeflexvel(simuladopelamolak). 1. Calculeafrequnciaprpriadomodelo,adoptandoograudeliberdadeindicado.

Assumaexcitaonaforma:F(t)=5cos(70t+1.32)[kN]. 2. 3. =0.05 k=7000kNm/rad M=0.50ton2 EI=5000kNm

Calculeodeslocamentomximodamassanoregimeestacionrio. Calculeomomentomximonamolanoregimeestacionrio.

Problema18Considereoprticorepresentadonafigura,paraoqualseadmite,simplificadamente,quetoda amassaestconcentradaaonveldaviga. 1. 2. Calculeafrequnciaprpriadevibraodaestrutura. Calcule o momento flector mximo nos pilares no regime estacionrio, devido a excitao pelaforaharmnicaF(t).

7

=0.05 F(t)=20sin(8t)[kN] m=2.0ton/m EIp=5000kNm2 EIv=

Problema19Considereaseguinteestrutura,comograudeliberdadeindicado,queactuadapelaforaF(t). Admitaqueostirantesapenasresistemaesforosdetraco. 1. 2. Calculeafrequnciaprpriadevibraodaestrutura. Calcule a amplitude mxima de vibrao, de velocidade e de acelerao no regime estacionrio. 3. =0.05 F(t)=15sin(4t)[kN] M=20.0ton EA=10000kN Calculeaforamximanostirantesnoregimeestacionrio.

Problema20Considereumaestruturaemconsolaqualfoiaplicada,deformaquaseesttica,umaforade 50kgf.Aforafoiretiradainstantaneamentetendodadoorigemaomovimentorepresentadono grfico. 1. 2. 3. Determineafrequnciaprpria(amortecidaenoamortecida)daestrutura. Calculeofactordeamortecimento. Colocandoagoraumvibradormecniconapontadaconsolaavibraremressonnciacoma estrutura,originandoumaforasinusoidaldeamplitude1000kgf,calculeodeslocamento, velocidadeeaceleraomximasnotopo(noregimeestacionrio).

8

Problema21

Umautomveldeslocaseaolongodeumviadutodegrandeextensoconstitudoportramos devoconstantede40m.Porefeitodeflunciadobetoalongoprazoaflechaameiotramode cada tramo de 10.0 cm. A rasante do viaduto pode assim ser aproximada por uma curva sinusoidalcomamplitudede5.0cmeperodode40m.Oosciladorcomumgraudeliberdade representado consiste numa idealizao aproximada do automvel, sendo a sua massa de 2.0 ton,arigidezdasuspensode100kN/meocoeficientedeamortecimentode40%docrtico. 1. Calculeaamplitudemximadodeslocamentoverticaldoveculoquandoestesedeslocaa 100km/h. 2. Calculeavelocidadedoveculoparaaqualocorreressonncia(odeslocamentoabsoluto mximo).

Problema22Considereosistemaindicadonafigura. 1. Determineodeslocamentorelativomximoentreamassaeosoloemqueseverificauma&& aceleraodosolo u g = 0.50 sin (2 t ) [m/s2].

9

2.

Qual o deslocamento absoluto da massa? Este valor igual soma dos deslocamentos mximosrelativoedosolo?

k=157.9kN/m M=1.0ton c=2.51kNm1s

Problema23UtilizandoointegraldeDuhamel,determinearespostadeumosciladornoamortecidofacea um impulso rectangular de amplitude P0 e durao td. Considere as condies iniciais homogneas.

Problema24Considereumosciladornoamortecidocom1GDLcomasseguintescaractersticas:m=4.0kg ek=64.0N/m. 1. Utilizando o integral de Duhamel, determine a sua resposta para os intervalos de tempot < t 1 , t 1 < t < 2t 1 e t > 2t 1 , face fora P(t) representada graficamente. Represente

graficamenteasequaesdomovimentoresultantepara t 1 = 0.10 seg e t 1 = 1.0 seg . 2. 3. Calculeodeslocamentomximodoosciladorpara t 1 = 0.10 seg . Repita a alnea anterior utilizando agora um mtodo aproximado para o clculo do deslocamento mximo. Compare os resultados e calcule o erro que cometeu ao utilizar o mtodoaproximado. Assumecondiesiniciaisdemovimentohomogneas.

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Problema25Paraoosciladordoproblemaanteriorcalculeasuaresposta,parat=4.0seg,devidaacoa seguirindicada.

Problema26O reservatrio de gua representado na figura abaixo tem um peso de 3000 kN quando est cheiodeguae1000kNquandoestcompletamentevazio.Assumesequeocomportamento dinmico da estrutura pode ser estudado com base num modelo de 1 GDL, sendo a rigidez lateraldatorrede25000kN/meamortecimentodesprezvel. 1. Para o reservatrio cheio determinea funo do deslocamento lateral e oseu mximo para cadaumadasacesindicadas.

2.Analisearespostadoreservatriocheioevaziofaceaexplosesqueocorremnaatmosfera. Para efeito, consideraramse as diferentes aces a seguir representadas. Determine o esforo transversoeomomentoflectormximosnabasedatorre.Compareosresultados.

400

160 40

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Problema27Umedifciodeumspisoidealizadocomoumprticodedoispilaresmetlicosrotuladosna baseeligadosrigidamenteaumavigaindeformvel.Cadaumdospilaresconstitudoporum perfilHEA260(Ix=104.5106m4).

m = 50 ton

a)Desprezandooamortecimentocalculeodeslocamentoeomomentoflectormximosdevido aumimpulsorectangulardeamplitude50kNeduraode0.2seg. b)Repitaocalculoconsiderandoagoraqueospilaresestoencastradosnafundao.Compare osresultados.

Problema28Considere o prtico representado na figura, para a qual se admite que a totalidade da massa estconcentradaaonveldavigaecujospilarestmumarigidezdeflexoEI=25000kNm2. 1. UtilizandoointegraldeDuhamel,determineodeslocamentotransversaldevidoforaP(t) representadagraficamente,paraosintervalosdetempot0.2seg.Desprezeo amortecimentoerepresentegraficamenteessedeslocamento. 2. 3. Calculeodeslocamentoeomomentoflectormximo. Calculeodeslocamentomximoutilizandoomtodoaproximadoedetermineoseuerro.

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Problema29Analise o prtico do Problema 27 para a aco ssmica tipo 1, terreno tipo B, classe de importncia IV, localizao no conselho de Almada. Considere um coeficiente de amortecimento de 2%. Calcule o deslocamento e o momento flector mximos para as duas situaesseguintesecompareosresultados. 1. 2. Ospilaresencontramserotuladosnafundao. Ospilaresestoencastradosnafundao.

Useoespectroderespostaelsticoeconsidereaacossmicadeprojecto.

Problema30Analise o prtico do Problema 28 para a aco ssmica tipo 2, terreno tipo C, classe de importnciaI,localizaonoconselhodeFaro.Considereumcoeficientedeamortecimentode 6%.Calculeomomentoflectormximo. Useoespectroderespostaelsticoeconsidereaacossmicadeprojecto.

Problema31OreservatrioreferidonoProblema26,declassedeimportnciaI,localizadonaIlhadeSanta Maria,foianalisadoparaaacossmicatipo2,terrenotipoB.Considerouseumcoeficientede amortecimentode5%econtabilizousearespostanolineardaestrutura,sendoestadebeto armado/ao de classe de ductilidade alta. Use o espectro de resposta de clculo e considere a acossmicadeservio. 1. Determine o valor do deslocamento mximo do reservatrio e o esforo transverso e o momentoflectormximos. 2. O projectista concluiu que os esforos obtidos so excessivos e decidiu aumentar a resistncia do fuste aumentando as dimenses das seces tendo, por consequncia, a rigidez do reservatrio aumentando para 75000 kN/m. Recalcule o deslocamento do reservatrioeosdiagramasdeesforotransversoemomentoflectornofusteecompareos resultadoscomosobtidosanteriormente. 3. Calcule o reservatrio com o fuste reforado para a situao em que se encontra vazio. Verifiquequalainflunciadamassadoreservatrionasuaresposta.

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MTODODERAYLEIGHProblema1Sabendo que o valor exacto da frequncia fundamental (circular) de uma consola de comprimentoL,massadistribudaerigidezemflexoEI, n =3,516 L2 EI ,analiseovalore

o erro das frequncias fundamentais obtidas pelo mtodo de Rayleigh para vrias possveis configuraesdeformadasduranteavibrao.

Problema2Considere uma consola de comprimento L, massa distribuda e rigidez em flexo EI, encastradanaladoesquerdoeapoiadanoladodireitopelaumamoladiscretaderigidez5EI/L3. CalculeafrequnciafundamentaldaestruturapelomtododeRayleighusandoumafunode deformada polinomial, que satisfaz as condies cinemticas e estticas nas extremidades. Analiseoerrosabendoqueovalorexacto n =5,602 EI . L2

L

k=

5EI L3

Problema3Considereumvigasimplesmenteapoiadacomumamassaadicionalconcentradadevalorigual massadaviga,colocadanomeio.Desprezeainrciaderotaodamassaecalculeprimeirae segunda frequncia de vibrao pelo mtodo de Rayleigh usando vrias aproximaes da funo de deformada durante a vibrao. Compare com o valor exacto n = analiseoerro.5,679 EI e L2

m = LEI,

L

Problema4A estrutura de um edifcio pode ser idealizada, numa dada direco e para efeitos de anlise dinmica, por uma srie de prticos paralelos como indicado na figura. Considere os pisos

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indeformveis. Determine a frequncia fundamental usando o mtodo de Rayleigh simplificado.

h

h

SISTEMASDEVRIOSGRAUSDELIBERDADEProblema1ConsidereaestruturadoProblema4docaptuloanterior. a) Determineasequaesdomovimentoemregimelivreparaosgrausdeliberdadeindicados. b) Determine as frequncias prprias (naturais) e os modos de vibrao da estrutura. Normalizeosmodoseverifiqueaortogonalidade.

h

h

Problema2Um reservatrio de gua elevado pode ser idealizado pelo modelo a seguirrepresentado.Opesodoreservatrioquandocheiode3000kN, sendooseumomentodeinrciade25000tonm2eEI=45106kNm2. 1. Determineamatrizderigidezeamatrizdemassasparaosgrausde liberdadeindicados. 2. Calculeasfrequnciasprpriaseosrespectivosmodosdevibrao. Normalizeosmodoseverifiqueaortogonalidade.

15

3.

Compareasoluocomocasodegraudeliberdadeapenasnadirecohorizontal.

Problema3Considereoseguinteprticodepisosindeformveis,contraventadoportirantes.Admitaqueos tirantesestopresforadoscomumvalorsuficientementeelevadoparaqueosesforostotais sejamsempredetraco. 1. 2. Determineamatrizderigidezeamatrizdemassasparaosgrausdeliberdadeindicados. Determineasfrequnciasprpriaseosmodosdevibrao.Normalizeosmodoseverifique aortogonalidade. 3. DetermineoprimeiromododevibraousandoomtodoiterativodeStodola.

Considereopesototaldecadapisode1000kN. EIpilares=12000kNm2 EAescoras=30000kN 3.0m

3.0m

Problema4Considereaseguintecoberturacomascaractersticasindicadas.Desprezandoadeformaopor esforonormal,determineamatrizdinmica,asfrequnciasprpriaseosmodosdevibrao para os graus de liberdade indicados. Normalize os modos e verifique a ortogonalidade. ConfirmeaindaosmodosdevibraousandoomtododeStodola. EIAC=EIBD=5000kNm2 mB=mD=200kg mC=600kg

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Problema5Considereaseguintecoberturacomascaractersticasindicadas.Desprezandoadeformaopor esforonormal,determineamatrizdinmica,asfrequnciasprpriaseosmodosdevibrao paraosgrausdeliberdadeindicados.Normalizeosmodoseverifiqueaortogonalidade. EIAB=40000kNm2 EIBD=30000kNm2 mB=mC=4000kg mD=2000kg

A

3.0m

Problema6Considereaestruturaindicadaaolado,emqueapartesuperior considerada rgida com a massa total m uniformemente distribuda ao longo do comprimento, e a parte inferior considerase de massa desprezvel, de rigidez de flexo EI. Determineasfrequnciasprpriaseosmodosdevibraopara os graus de liberdade indicados. Normalize os modos e verifiqueaortogonalidade. Dados:EI=40000kNm2,m=4000kg,L=2m.

u1

2L,m

u2 L,EI

Problema7Considere o seguinte prtico em tudo igual ao indicado no Problema 1 com a excepo de os pisos seremdeformveis.Determine: 1. Amatrizderigidezeamatrizdemassasparaos grausdeliberdadeindicados(utilizeomtododa condensaoestticadeformaareduzironmero degrausdeliberdade). 2. Asfrequnciasprpriaseosmodosdevibrao.

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