LISTA DE EXERCICIOS #4 - MATEMATICA APLICADA A FISICA III

Obs.: exceto quando explicitamente dito em contrario, sempre usaremos unidades do SI nos problemas.

1. O potencial eletrico numa dada regiao e dado por

V = 2xyez + z2 lnx

Ache o campo eletrico na regiao, lembrando que ~E = −∇V .

2. A pressao numa tubulacao e dada por

P = x2 + 2x+ y2 − 3y − z2

Determine a taxa maxima de variacao da pressao (modulo, direcao e sentido) no ponto (1, 0, 2). Determine,tambem, o ponto de pressao extrema, indicando se e maxima ou mınima.

3. Um campo eletrico e dado por

~E = (2xyz + z) ı− 2yz j+ k

Calcule o divergente (∇ · ~E ) e o rotacional (∇× ~E ) desse campo eletrico.

4. Um campo magnetico e dado por

~B = (y − z) ı+ (x+ z) j

Determine o divergente de ~B. Sabendo que ∇× ~B = µ0~J , ache a densidade de corrente ~J .

5. Um sistema tem uma energia potencial gravitacional dada por

U = −GMm

√

x2 + y2 + z2

Ache a forca correspondente, lembrando que ~F = −∇U .

6. Sabendo que ∇ · ~G = −4πG, onde e a densidade de massa, G e a constante gravitacional e ~G e o campogravitacional numa certa regiao, ache se

~G = −4πGM

a(x ı+ y j+ z k)

onde a e uma constante.

7. A aceleracao de um movel e dada por

~a(t) = (2t+ 3) ı− et j+ [t3 + cos(2t)] k

Sabe-se que o movel saiu da posicao ~r0 = 5 k com velocidade ~v0 = 2 ı. Ache ~v(t) e ~r(t).

8. A forca resultante sobre um objeto de massa m = 2 kg (constante) e dada por

~F (t) = −2 ı+ t j+ 5t2 k

(a) Ache a aceleracao do objeto.

(b) Sabe-se que o objeto partiu do repouso. Determine a velocidade ~v(t).

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(c) Sabe-se que o objeto partiu da posicao ~r0 = 5 j− k. Ache ~r(t).

9. A forca sobre um objeto e dada por

~F = x ı + y j

O objeto move-se sobre a curva

~r = t ı+ 2t j

Ache o trabalho realizado pela forca ~F quando o objeto passa do ponto A(0, 0) para o ponto B(1, 2).

10. Um sistema tem uma energia potencial

U =k

2(x2 + y2)

onde k e uma constante.

(a) Ache a forca correspondente, lembrando que ~F = −∇U .

(b) Uma partıcula sujeita a essa forca move-se sobre a curva

~r = t2 ı+ 2t j

indo do ponto A(1, 2) ao ponto B(4, 4). Determine o trabalho da forca ~F realizado durante o movi-mento.

11. O campo eletrico numa dada regiao e dado por

~E = αr

R3r

onde α e R sao constantes. Sabe-se que o potencial eletrico em r = a vale V0. Utilizando esse pontocomo referencia, e lembrando que, em coordenadas esfericas, d~ℓ = dr r + rdθ θ + r sen θdφ φ, determine opotencial eletrico num ponto qualquer da regiao.

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