lista de exercícios 37 - integrais de funções...

28
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Página 1 de 28 Lista de Exercícios – Integrais de Funções Trigonométricas 1) Calcule a integral. a) ( 2sen 3cos x x dx + ( 2sen 3cos 2sen 3cos x x dx x dx x dx + = + ( 2sen 3cos 2 sen 3 cos x x dx x dx x dx + = + ( 2sen 3cos 2cos 3sen x x dx x x C =- + + b) ( 1 cossec cotg t t dt - ( ( 1 cossec cotg cossec cotg t t dt dt t t dt - = - ( ( 1 cossec cotg cossec t t dt t t C - = - + ( 1 cossec cotg cossec t t dt t t C - = + + c) ( 2 cos sec cos d - θ θ θ ( 2 2 cos sec cos cos sec cos d d d - = - θ θ θ θ θ θ θ ( 2 cos sec cos cotg sen d C - =- - + θ θ θ θ θ d) sen2x dx 1 sen2 2 sen2 2 x dx x dx = 2 2 u x du dx = = 1 sen2 sen 2 x dx u du = ( 29 1 sen2 cos 2 x dx u C = - + 1 sen2 cos2 2 x dx x C =- +

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UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop

Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil

Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I

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Lista de Exercícios – Integrais de Funções Trigonom étricas

1) Calcule a integral. a) ( )2sen 3cosx x dx+∫

( )2sen 3cos 2sen 3cosx x dx x dx x dx+ = +∫ ∫ ∫

( )2sen 3cos 2 sen 3 cosx x dx x dx x dx+ = +∫ ∫ ∫

( )2sen 3cos 2cos 3senx x dx x x C+ = − + +∫

b) ( )1 cossec cotgt t dt−∫

( ) ( )1 cossec cotg cossec cotgt t dt dt t t dt− = −∫ ∫ ∫

( ) ( )1 cossec cotg cossect t dt t t C− = − +∫

( )1 cossec cotg cossect t dt t t C− = + +∫

c) ( )2cossec cos d−∫ θ θ θ

( )2 2cossec cos cossec cosd d d− = −∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ

( )2cossec cos cotg send C− = − − +∫ θ θ θ θ θ

d) sen2x dx∫

1

sen2 2 sen22

x dx x dx= ⋅∫ ∫

2 2u x du dx= ⇒ =

1

sen2 sen2

x dx u du=∫ ∫

( )1sen2 cos

2x dx u C= − +∫

1sen2 cos2

2x dx x C= − +∫

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I

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e) 2xcosx dx∫

2 21

xcos 2xcos2

x dx x dx=∫ ∫

2 2u x du xdx= ⇒ =

2 1

xcos cos2

x dx udu=∫ ∫

2 1xcos sen

2x dx u C= +∫

2 21xcos sen

2x dx x C= +∫

f) 2sec2x

dx∫

2 21

sec 2 sec2 2 2x x

dx dx=∫ ∫

1

2 2x

u du dx= ⇒ =

2 2sec 2 sec2x

dx u du=∫ ∫

2sec 2tg2x

dx u C= +∫

2sec 2tg2 2x x

dx C = +

g) tg3x dx∫

1

tg3 3tg33

x dx x dx=∫ ∫

3 3u x du dx= ⇒ =

1

tg3 tg3

x dx u du=∫ ∫

1tg3 ln cos

3x dx u C= − +∫

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I

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1tg3 ln cos3

3x dx x C= − +∫

h) 3 2tg secx x dx∫

2tg secu x du x dx= ⇒ =

3 2 3tg sec ux x dx du=∫ ∫

43 2 u

tg sec4

x x dx C= +∫

43 2 tg

tg sec4

xx x dx C= +∫

i) cotg x dx∫ π

( ) ( )1cotg cotgx dx x dx=∫ ∫π π π

π

u x du dx= ⇒ =π π

( ) 1cotg cotgx dx u du=∫ ∫π

π

( ) 1cotg ln senx dx u C= +∫ π

π

( ) ( )1cotg ln senx dx x C= +∫ π π

π

j) cossec 2x dx∫

1

cossec 2 2cossec 22

x dx x dx=∫ ∫

2 2u x du dx= ⇒ =

1

cossec 2 cossec2

x dx u du=∫ ∫

1cossec 2 ln cossec cotg

2x dx u u C= − +∫

1cossec 2 ln cossec 2 cotg2

2x dx x x C= − +∫

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k) 2sec 2

tg 2x

dxx∫

2 2sec 2 1 2sec 2

tg 2 2 tg 2x x

dx dxx x

=∫ ∫

2tg 2 2sec 2u x du x dx= ⇒ =

2sec 2 1

tg 2 2x du

dxx u

=∫ ∫

2sec 2 1ln

tg 2 2x

dx u Cx

= +∫

2sec 2 1ln tg 2

tg 2 2x

dx x Cx

= +∫

l) sec tgsec 1

x xdx

x −∫

sec 1 sec tgu x du x x dx= − ⇒ =

sec tgsec 1

x x dudx

x u=

−∫ ∫

sec tgln

sec 1x x

dx u Cx

= +−∫

sec tgln sec 1

sec 1x x

dx x Cx

= − +−∫

m) sen

1 cosx

dxx+∫

sen sen

1 cos 1 cosx x

dx dxx x

−= −+ +∫ ∫

1 cos senu x du x dx= + ⇒ = −

sen

1 cosx du

dxx u

= −+∫ ∫

senln

1 cosx

dx u Cx

= − ++∫

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senln 1 cos

1 cosx

dx x Cx

= − + ++∫

n) 2

3

cosseccotg

xdx

x∫

Resolução 1:

2 2

33

3

1cossec sen

coscotgsen

x xdx dxxxx

=∫ ∫

2 3

3 2 3

cossec 1 sencotg sen cos

x xdx dx

x x x= ⋅∫ ∫

2

3 3

cossec sencotg cos

x xdx dx

x x=∫ ∫

2

3 3

cossec sencotg cos

x xdx dx

x x−= −∫ ∫

cos senu x du x dx= ⇒ = −

2

3 3

cosseccotg u

x dudx

x= −∫ ∫

23

3

cosseccotg

xdx u du

x−= −∫ ∫

2 2

3

cosseccotg 2

x udx C

x

= − +−∫

2

3 2

cossec 1cotg 2

xdx C

x u= +∫

2

3 2

cossec 1cotg 2cos

xdx C

x x= +∫

Resolução 2:

2 2

33

3

1cossec sen

coscotgsen

x xdx dxxxx

=∫ ∫

2 3

3 2 3

cossec 1 sencotg sen cos

x xdx dx

x x x= ⋅∫ ∫

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I

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2

3 3

cossec sencotg cos

x xdx dx

x x=∫ ∫

2

3 2

cossec sen 1cotg cos cos

x xdx dx

x x x= ⋅∫ ∫

22

3

cossectg sec

cotgx

dx x x dxx

= ⋅∫ ∫

2tg secu x du x dx= ⇒ =

2

3

cosseccotg

xdx u du

x=∫ ∫

2 2

3

cosseccotg 2

x udx C

x= +∫

2 2

3

cossec tgcotg 2

x xdx C

x= +∫

o) ( )sen ex xe dx∫

x xu e du e dx= ⇒ =

( )sen e senx xe dx u du=∫ ∫

( )sen e cosx xe dx u C= − +∫

( ) ( )sen e cos ex x xe dx C= − +∫

p) ( )tg ex xe dx− −∫

( ) ( )tg e tg ex x x xe dx e dx− − − −= − −∫ ∫

x xu e du e dx− −= ⇒ = −

( )tg e tgx xe dx u du− − = −∫ ∫

( )tg e ln cosx xe dx u C− − = +∫

( ) ( )tg e ln cos ex x xe dx C− − −= +∫

q) ( )2

sen2 cos2x x dx+∫

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( ) ( )2 2 2sen2 cos2 sen 2 2sen2 cos2 cos 2x x dx x x x x dx+ = + +∫ ∫

( ) ( )2sen2 cos2 1 sen4x x dx x dx+ = +∫ ∫

( )2sen2 cos2 sen4x x dx dx x dx+ = +∫ ∫ ∫

( )2 1sen2 cos2 4sen4

4x x dx dx x dx+ = +∫ ∫ ∫

4 4u x du dx= ⇒ =

( )2 1sen2 cos2 sen

4x x dx dx u du+ = +∫ ∫ ∫

( )2 1sen2 cos2 cos

4x x dx x u C+ = − +∫

( )2 1sen2 cos2 cos4

4x x dx x x C+ = − +∫

r) cosxx dx∫

u dv uv v du= −∫ ∫

cos sendv xdx v x= ⇒ =

u x du dx= ⇒ =

cosx sen senxx dx x x dx= −∫ ∫

cosx sen cosx dx x x x C= + +∫

s) 2sec xx dx∫

u dv uv v du= −∫ ∫

2sec tgdv xdx v x= ⇒ =

u x du dx= ⇒ =

2sec x tg tgx dx x x x dx= −∫ ∫ 2sec x tg ln cosx dx x x x C= + +∫

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2) Calcule a integral definida

a) 4

0

4xcos

3dx∫

π

4x 3 4 4x

cos cos3 4 3 3

dx dx=∫ ∫

4x 43 3

u du dx= ⇒ =

4x 3

cos cos3 4

dx u du=∫ ∫

4x 3cos sen

3 4dx u C= +∫

4x 3 4cos sen

3 4 3x

dx C= +∫

4 4

0 0

4x 3 4cos sen

3 4 3x

dx =

π π

4

0

4x 3 4 4cos sen sen 0

3 4 3 4 3dx

= ⋅ − ⋅

∫π

π

4

0

4x 3cos sen sen0

3 4 3dx = −

ππ

4

0

4x 3 3cos

3 4 2dx = ⋅∫

π

4

0

4x 3 3cos

3 8dx =∫

π

b)

23

2

2

xsec

2dx∫

π

π

2 2x 1 x

sec 2 sec2 2 2

dx dx=∫ ∫

x 12 2

u du dx= ⇒ =

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2 2xsec 2 sec

2dx u du=∫ ∫

2 xsec 2tg

2dx u C= +∫

2 xsec 2tg

2 2x

dx C = +

2 2

3 32

22

xsec 2 tg

2 2x

dx =

∫π π

ππ

23

2

2

x 1 2 1sec 2 tg tg

2 2 3 2 2dx

= ⋅ − ⋅

∫π

π

π π

23

2

2

xsec 2 tg tg

2 3 4dx = −

∫π

π

π π

( )2

32

2

xsec 2 3 1

2dx = −∫

π

π

c) ( )1

0

tg 1 x dx−∫

( ) ( )tg 1 tg 1x dx x dx− = − − −∫ ∫

1u x du dx= − ⇒ = −

( )tg 1 tgx dx u du− = −∫ ∫

( )tg 1 ln cosx dx u C− = +∫

( ) ( )tg 1 ln cos 1x dx x C− = − +∫

( ) ( )1

1

00

tg 1 ln cos 1x dx x − = − ∫

( ) ( ) ( )1

0

tg 1 ln cos 1 1 ln cos 1 0x dx − = − − − ∫

( )1

0

tg 1 ln cos0 ln cos1x dx − = − ∫

( )1

0

tg 1 ln1 ln cos1x dx − = − ∫

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( )1

0

tg 1 ln cos1x dx− = −∫

3) Determine o volume do sólido gerado pela rotação , em torno do

eixo x , da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.

sec , 0, 0, 4

y x y x x= = = = π

1sec

cosy x y

x= ⇒ =

[ ]2Volume ( )

b

a

f x dx= ∫π

42

0

Volume sec x dx= ∫π

π

[ ] 40

Volume tgx=π

π

Volume tg tg04

= −

ππ

[ ]Volume 1 0= −π

Volume = π

4) Aproxime a integral definida

2

0

sen, 0

f(x) , ( ) 1, 0

xx

dx f x xx

>= =

∫π

tomando 4n = e aplicando (a) a Regra do Trapézio e (b) a Regra de Simpson.

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a) Regra do Trapézio

024 8

b ax

n

−−∆ = = =π π

0 1 2 3 4

30, , , ,

8 4 8 2x x x x x= = = = =π π π π

( ) ( ) ( ) ( )0 1 1( ) 2 22

b

n na

b af x dx f x f x f x f x

n −−

≈ + + + + ∫ …

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

0 1 2 3 40

sen2 2 2

16x

dx f x f x f x f x f xx

≈ + + + + ∫π

π

[ ]2

0

sen1,0000 1,9490 1,8006 1,5684 0,6366

16x

dxx

≈ + + + +∫π

π

2

0

sen1,3655

xdx

x≈∫

π

b) Regra de Simpson

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 3 1( ) 4 2 4 43

b

n na

b af x dx f x f x f x f x f x f x

n −−

≈ + + + + + + ∫ …

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

0 1 2 3 40

sen4 2 4

24x

dx f x f x f x f x f xx

≈ + + + + ∫π

π

[ ]2

0

sen1,0000 3,8980 1,8006 3,1369 0,6366

24x

dxx

≈ + + + +∫π

π

2

0

sen1,3708

xdx

x≈∫

π

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5) Calcule a integral. a) 3 2sen cosx x dx∫

3 2 2 2sen cos sen sen cosx x dx x x x dx=∫ ∫

( )3 2 2 2sen cos 1 cos sen cosx x dx x x x dx= −∫ ∫

( )3 2 2 2sen cos 1 cos sen cosx x dx x x x dx= − − −∫ ∫

cos senu x du xdx= ⇒ = −

( )3 2 2 2sen cos 1 u ux x dx du= − −∫ ∫

( )3 2 2 4sen cos u ux x dx du= − −∫ ∫ 3 5

3 2 u usen cos

3 5x x dx C= − + +∫

5 33 2 u u

sen cos5 3

x x dx C= − +∫

3 2 5 31 1sen cos cos cos

5 3x x dx x x C= − +∫

b)

34

5 3

2

sen cosx x dx∫π

π

5 3 5 2sen cos sen cos cosx x dx x x x dx=∫ ∫

( )5 3 5 2sen cos sen 1 sen cosx x dx x x x dx= −∫ ∫

sen cosu x du xdx= ⇒ =

( )5 3 5 2sen cos u 1 ux x dx du= −∫ ∫

( )5 3 5 7sen cos u ux x dx du= −∫ ∫

5 3 6 81 1sen cos u u

6 8x x dx C= − +∫

5 3 6 81 1sen cos sen x sen x

6 8x x dx C= − +∫

3 3

4 45 3 6 8

22

1 1sen cos sen x sen x

6 8x x dx = −

∫π π

ππ

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34

5 3 6 8 6 8

2

1 3 1 3 1 1sen cos sen sen sen sen

6 4 8 4 6 2 8 2x xdx

= − − −

∫π

π

π π π π

3 6 84

5 3 6 8

2

1 2 1 2 1 1sen cos 1 1

6 2 8 2 6 8x x dx

= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ∫π

π

34

5 3

2

1 1 1 1 1 1sen cos

6 8 8 16 6 8x x dx

= ⋅ − ⋅ − −

∫π

π

34

5 3

2

1 1 1 1sen cos

48 128 6 8x x dx = − − +∫

π

π

34

5 3

2

8 3 64 48sen cos

384x x dx

− − +=∫π

π

34

5 3

2

11sen cos

384x x dx = −∫

π

π

c) 2cos d∫ θ θ

( )2 1cos cos2 1

2= +θ θ

( )2 1cos cos2 1

2d d= +∫ ∫θ θ θ θ

( )2 1cos cos2 1

2d d= +∫ ∫θ θ θ θ

2 1 1cos cos2

2 2d d d= +∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ

2 1 1cos 2cos2

4 2d d d= +∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ

2 1cos sen2

4d C= + +∫ θ θ θ θ

d) ( )4

0

sen 3t dt∫π

( ) ( ) 24 2sen 3 sen 3t dt t dt = ∫ ∫

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( )2 1sen 1 cos 2

2t t = −

( ) ( )2 1sen 3 1 cos 6

2t t = −

( ) ( )2

4 1sen 3 1 cos 6

2t dt t dt

= − ∫ ∫

( ) ( ) 24 1sen 3 1 cos 6

4t dt t dt = − ∫ ∫

( ) ( ) ( )4 21sen 3 1 2cos 6 cos 6

4t dt t t dt = − + ∫ ∫

( ) ( ) ( )4 21 1 1sen 3 2cos 6 cos 6

4 4 4t dt dt t dt t dt= − +∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )4 1 1 1 1sen 3 6cos 6 cos12 1

4 12 4 2t dt dt t dt t dt = − + +

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )4 1 1 1sen 3 6cos 6 cos12 1

4 12 8t dt dt t dt t dt= − + +∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )4 1 1 1 1sen 3 6cos 6 cos 12

4 12 8 8t dt dt t dt t dt dt = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )4 1 1 1 1sen 3 6cos 6 12cos 12

4 12 96 8t dt dt t dt t dt dt = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )4 1 1 1 1sen 3 sen 6 sen 12

4 12 96 8t dt t t t t C= − + + +∫

( ) ( ) ( )4 3 1 1sen 3 sen 6 sen 12

8 12 96t dt t t t C= − + +∫

( ) ( ) ( )4

00

3 1 1sen 3 sen 6 sen 12

8 12 96t dt t t t = − +

ππ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4

0

3 1 1 3 1 1sen 3 sen 6 sen 12 0 sen 6 0 sen 12 0

8 12 96 8 12 96t dt = − + − ⋅ − ⋅ + ⋅

∫π

π π π

( ) [ ]4

0

3sen 3 0 0 0 0 0

8t dt = − + − − +

∫π

π

( )4

0

3sen 3

8t dt =∫

π

π

e) ( )2

1 cos d+∫ θ θ

( ) ( )2 21 cos 1 2cos cosd d+ = + +∫ ∫θ θ θ θ θ

( )2 21 cos 2cos cosd d d d+ = + +∫ ∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ

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( ) ( )2 11 cos 2 cos 1 cos2

2d d d d+ = + + +∫ ∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ

( ) ( )2 11 cos 2 cos 1 cos2

2d d d d+ = + + +∫ ∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ

( )2 1 11 cos 2 cos cos2

2 2d d d d d+ = + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ θ

( )2 1 11 cos 2 cos 2cos2

2 4d d d d d+ = + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ θ

( )2 1 11 cos 2sen sen2

2 4d C+ = + + + +∫ θ θ θ θ θ θ

( )2 3 11 cos 2sen sen2

2 4d C+ = + + +∫ θ θ θ θ θ

f) 4

4 2

0

sen cosx x dx∫π

4 2 2 2 2sen cos sen sen cosx x dx x x x dx=∫ ∫

( )24 2 2sen cos sen sen cosx x dx x x x dx=∫ ∫

( )2

4 2 1 1sen cos 1 cos2 sen2

2 2x x dx x x dx = −

∫ ∫

( )4 2 21sen cos 1 cos2 sen 2

8x x dx x x dx= −∫ ∫

4 2 2 21 1sen cos sen 2 sen 2 cos2

8 8x x dx x dx x x dx= −∫ ∫ ∫

( )2 1sen 1 cos 2

2x x = − sen2u x=

( )2 1sen 2 1 cos 4

2x x = − 2cos2du x dx=

( )4 2 21 1 1sen cos 1 cos4 2sen 2 cos2

8 2 16x x dx x dx x x dx= − −∫ ∫ ∫

( )4 2 21 1sen cos 1 cos4

16 16x x dx x dx u du= − −∫ ∫ ∫

34 2 1 1 1

sen cos cos416 16 16 3

ux x dx dx x dx= − − ⋅∫ ∫ ∫

34 2 1 1

sen cos 4cos416 64 48

ux x dx dx x dx= − −∫ ∫ ∫

34 2 sen4 sen 2

sen cos16 64 48x x x

x x dx C= − − +∫

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Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil

Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I

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34 2 1 sen4 sen 2

sen cos16 4 3

x xx x dx x C

= − − +

3 44

4 2

0 0

1 sen4 sen 2sen cos

16 4 3x x

x x dx x

= − −

∫ππ

44 2 3 3

0

1 1 1 1 1sen cos sen sen 0 sen0 sen 0

16 4 4 3 2 4 3x xdx

= − − − − −

∫π

π ππ

( )4

4 2

0

1 1sen cos 0 0 0 0

16 4 3x x dx

= − − − − −

∫π

π

44 2

0

1 1sen cos

16 4 3x x dx = −

ππ

44 2

0

1 3 4sen cos

16 12x x dx

−= ⋅∫π

π

( )4

4 2

0

1sen cos 3 4

192x x dx = −∫

π

π

g) 3sen cosx x dx∫

3 2sen cos sen sen cosx x dx x x x dx=∫ ∫

( )3 2sen cos 1 cos sen cosx x dx x x x dx= −∫ ∫

cosx senu du xdx= ⇒ = −

( )( )3 2sen cos 1 cos sen cosx x dx x x x dx= − − −∫ ∫

( )3 2sen cos 1 ux x dx u du= − −∫ ∫

( ) 13 2 2sen cos u 1x x dx u du= −∫ ∫

( )5 13 2 2sen cos ux x dx u du= −∫ ∫

372 2

3 u usen cos

7 32 2

x x dx C= − +∫

373 2 22 2sen cos u u

7 3x x dx C= − +∫

13 32 2 2sen cos u u

7 3x x dx u C = − +

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3 32 2sen cos cos cosx cos

7 3x x dx x x C = − +

h) 2 3cos tgx x dx∫

3

2 3 23

sencos tg cos

cosx

x x dx x dxx

=∫ ∫

32 3 sen

cos tgcos

xx x dx dx

x=∫ ∫

22 3 sen sen

cos tgcosx x

x x dx dxx

⋅=∫ ∫

( )2

2 31 cos sen

cos tgcos

x xx x dx dx

x

− ⋅=∫ ∫

cosx senu du xdx= ⇒ = −

( ) ( )2

2 31 cos sen

cos tgcos

x xx x dx dx

x

− ⋅ −= −∫ ∫

( ) ( )2

2 3cos 1 sen

cos tgcos

x xx x dx dx

x

− ⋅ −=∫ ∫

22 3 u 1

cos tgx x dx duu−=∫ ∫

2 3 1cos tgx x dx u du

u = −

∫ ∫

2 3 1cos tgx x dx u du du

u= −∫ ∫ ∫

2 3 21cos tg ln

2x x dx u u C= − +∫

2 3 21cos tg cos ln cos

2x x dx x x C= − +∫

i) 1 sen

cosx

dxx

−∫

1 sen 1 sen 1 sen

cos cos 1 senx x x

dx dxx x x

− − += ⋅+∫ ∫

( )21 sen 1 sen

cos cos 1 senx x

dx dxx x x

− −=+∫ ∫

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( )21 sen cos

cos cos 1 senx x

dx dxx x x

− =+∫ ∫

1 sen coscos 1 sen

x xdx dx

x x− =

+∫ ∫

1 senx cosu du xdx= + ⇒ =

1 sen

cosx du

dxx u

− =∫ ∫

1 senln

cosx

dx u Cx

− = +∫

1 senln 1 senx

cosx

dx Cx

− = + +∫

j) 2sec tgx x dx∫

Resolução 1:

2tg secu x du xdx= ⇒ =

2sec tgx x dx udu=∫ ∫

2 21sec tg

2x x dx u C= +∫

2 21sec tg tg

2x x dx x C= +∫

Resolução 2:

2sec tg sec sec tgx x dx x x xdx=∫ ∫

sec sec tgu x du x x dx= ⇒ =

2sec tgx x dx udu=∫ ∫

2 21sec tg

2x x dx u C= +∫

2 21sec tg sec

2x x dx x C= +∫

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k) 6sec t dt∫

6 4 2sec sec sect dt t t dt=∫ ∫

( )26 4 2sec sec tg 1t dt t t dt= +∫ ∫

2tg secu t du t dt= ⇒ =

( )26 2sec u 1t dt du= +∫ ∫

( )6 4 2sec u 2u 1t dt du= + +∫ ∫

6 5 31 1sec u 2 u

5 3t dt u C= + + +∫

6 5 31 2sec tg tg tg

5 3t dt t t t C= + + +∫

l) 3

5 4

0

tg secx x dx∫π

5 4 5 2 2tg sec tg sec secx x dx x x x dx=∫ ∫

( )5 4 5 2 2tg sec tg 1 tg secx x dx x x x dx= +∫ ∫

2tg secu x du xdx= ⇒ =

( )5 4 5 2tg sec u 1 ux x dx du= +∫ ∫

( )5 4 5 7tg sec u ux x dx du= +∫ ∫

5 4 6 81 1tg sec u u

6 8x x dx C= + +∫

5 4 6 81 1tg sec tg tg

6 8x x dx x x C= + +∫

3 3

5 4 6 8

00

1 1tg sec tg tg

6 8x x dx x x = +

π π

35 4 6 8 6 8

0

1 1 1 1tg sec tg tg tg 0 tg 0

6 3 8 3 6 8x x dx

= + − +

∫π

π π

( ) ( )3 6 8

5 4

0

1 1 1 1tg sec 3 3 0 0

6 8 6 8x x dx

= ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

∫π

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( )3

5 4

0

1 1tg sec 27 81 0 0

6 8x x dx

= ⋅ + ⋅ − +

∫π

35 4

0

9 81tg sec

2 8x x dx = +∫

π

35 4

0

36 81tg sec

8 8x x dx = +∫

π

35 4

0

117tg sec

8x x dx =∫

π

m) 3tg secx x dx∫

3 2tg sec tg tg secx x dx x x x dx=∫ ∫

( )3 2tg sec sec 1 tg secx x dx x x x dx= −∫ ∫

sec sec tgu x du x xdx= ⇒ =

( )3 2tg sec u 1x x dx du= −∫ ∫

3 31tg sec u

3x x dx u C= − +∫

3 31tg sec sec sec

3x x dx x x C= − +∫

n) 5tg x dx∫

( )25 2tg tg tgx dx x x dx=∫ ∫

( )25 2tg sec 1 tgx dx x x dx= −∫ ∫

( )5 4 2tg sec 2sec 1 tgx dx x x x dx= − +∫ ∫ 5 4 2tg sec tg 2sec tg tgx dx x x dx x x dx x dx= − +∫ ∫ ∫ ∫ 5 3tg sec sec tg 2 sec sec tg tgx dx x x x dx x x x dx x dx= − +∫ ∫ ∫ ∫

sec sec tgu x du x x dx= ⇒ =

5 3tg u 2 tgx dx du u du x dx= − +∫ ∫ ∫ ∫

5 4 21 1tg u 2 u ln sec

4 2x dx x C= − ⋅ + +∫

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5 4 21tg sec sec ln sec

4x dx x x x C= − + +∫

o) 3

4

tgcos

d∫θ θθ

3

3 44

tgtg sec

cosd d=∫ ∫

θ θ θ θ θθ

33 2 2

4

tgtg sec sec

cosd d=∫ ∫

θ θ θ θ θ θθ

( )3

3 2 24

tgtg 1 tg sec

cosd d= +∫ ∫

θ θ θ θ θ θθ

2tg secu du d= ⇒ =θ θ θ

( )3

3 24

tgu 1 u

cosd du= +∫ ∫

θ θθ

( )3

3 54

tgu u

cosd du= +∫ ∫

θ θθ

34 6

4

tg 1 1u u

cos 4 6d C= + +∫

θ θθ

34 6

4

tg 1 1tg tg

cos 4 6d C= + +∫

θ θ θ θθ

p) 3 3cotg cossec d∫ α α α

3 3 2 2cotg cossec cotg cossec cotg cossecd d=∫ ∫α α α α α α α α

( )3 3 2 2cotg cossec cossec 1 cossec cotg cossecd d= −∫ ∫α α α α α α α α

cossec cossec cotgu du d= ⇒ = −α α α α

( ) ( )3 3 2 2cotg cossec 1d u u du= − −∫ ∫α α α

( )3 3 2 2cotg cossec 1d u u du= −∫ ∫α α α

( )3 3 2 4cotg cossec d u u du= −∫ ∫α α α

3 3 3 51 1cotg cossec

3 5d u u C= − +∫ α α α

3 3 3 51 1cotg cossec cossec cossec

3 5d C= − +∫ α α α α α

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q) cossec x dx∫

cossec cotg

cossec cosseccossec cotg

x xx dx x dx

x x−= ⋅−∫ ∫

cossec cotgu x x= −

( )2cossec cotg cossecdu x x x dx= − +

2cossec cossec cotg

cosseccossec cotg

x x xx dx dx

x x−=

−∫ ∫

cossecdu

x dxu

=∫ ∫

cossec lnx dx u C= +∫

cossec ln cossec cotgx dx x x C= − +∫

r) sen 5 sen 2x x dx∫

( ) ( )1sen 5 sen 2 cos 5 2 cos 5 2

2x x dx x x x x dx = − − + ∫ ∫

( ) ( )1sen 5 sen 2 cos 3 cos 7

2x x dx x x dx = − ∫ ∫

( ) ( )1 1sen 5 sen 2 cos 3 cos 7

2 2x x dx x dx x dx= −∫ ∫ ∫

( ) ( )1 1sen 5 sen 2 3cos 3 7cos 7

6 14x x dx x dx x dx= −∫ ∫ ∫

1 1sen 5 sen 2 sen3 sen7

6 14x x dx x x C= − +∫

s) cos 7 cos 5 d∫ θ θ θ

( ) ( )1cos 7 cos 5 cos 7 5 cos 7 5

2d d = − + + ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ θ

( ) ( )1cos 7 cos 5 cos 2 cos 12

2d d = + ∫ ∫θ θ θ θ θ θ

( ) ( )1 1cos 7 cos 5 cos 2 cos 12

2 2d d d= +∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ

( ) ( )1 1cos 7 cos 5 2cos 2 12cos 12

4 24d d d= +∫ ∫ ∫θ θ θ θ θ θ θ

1 1cos 7 cos 5 sen2 sen12

4 24d C= + +∫ θ θ θ θ θ

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6) Calcule sen cosx x dx∫ por quatro métodos: (a) a substituição

cosu x= , (b) a substituição senu x= , (c) a identidade sen2 2sen cosx x x= e (d) integração por partes. a) sen cosx x dx∫

sen cos sen cosx x dx x x dx= − −∫ ∫

cos senu x du x dx= ⇒ = −

sen cosx x dx u du= −∫ ∫

21

1sen cos

2x x dx u C= − +∫

21

1sen cos cos

2x x dx x C= − +∫

b) sen cosx x dx∫

sen cosu x du x dx= ⇒ =

sen cosx x dx u du=∫ ∫

22

1sen cos

2x x dx u C= +∫

22

1sen cos sen

2x x dx x C= +∫

c) sen cosx x dx∫

1

sen cos 2sen cos2

x x dx x x dx=∫ ∫

1sen cos sen2

2x x dx x dx=∫ ∫

1sen cos 2sen2

4x x dx x dx=∫ ∫

2 2u x du dx= ⇒ =

1

sen cos sen4

x x dx u du=∫ ∫

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3

1sen cos cos

4x x dx u C= − +∫

3

1sen cos cos2

4x x dx x C= − +∫

d) sen cosx x dx∫

sen cosu x du x dx= ⇒ =

cos sendv xdx v x= ⇒ =

sen cos sen sen sen cosx x dx x x x x dx= ⋅ −∫ ∫ 2sen cos sen cos senx x dx x x dx x+ =∫ ∫

22 sen cos senx x dx x=∫

24

1sen cos sen

2x x dx x C= +∫

7) Determine a área da região limitada pelas curvas dadas.

3sen , sen , 0, 2y x y x x x= = = = π

[ ]Área ( ) ( )b

a

f x g x dx= −∫

( )2

3

0

Área sen senx x dx= −∫π

( )2

2

0

Área sen 1 senx x dx= −∫π

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22

0

Área sen cosx x dx= ∫π

22

0

Área sen cosx x dx= − −∫π

cos senu x du x dx= ⇒ = −

cos 0 1 e cos 02

a b= = = =π

0

2

1

Área u du= −∫

03

1

1Área

3u = −

3 31Área 0 1

3 = − −

1Área

3=

8) Determine o volume obtido pela rotação da região limitada pelas

curvas dadas ao redor dos eixos especificados. a) sen , , , 02y x x x y= = = =π π ; ao redor do eixo x .

[ ]2Volume ( )

b

a

f x dx= ∫π

( )2

2

Volume sen x dx= ∫π

π

π

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2

2

Volume sen x dx= ∫π

π

π

( )2

1Volume 1 cos2

2x dx= −∫

π

π

π

2

1Volume sen2

2 2x x = −

π

π

π

1 1Volume sen2 sen

2 2 2 2 = − − −

π ππ π π

( )Volume 0 02 2 = − − −

π ππ

Volume2 2 = −

π ππ

Volume2 2

= ⋅π π

2

Volume4

= π

b) cos , 0, 0, 2y x y x x= = = = π , ao redor do eixo 1y = − .

[ ] [ ]( )2 2Volume ( ) ( )

b

a

f x g x dx= −∫π

( )2

2 2

0

Volume 1 cos 1x dx = + − ∫

π

π

( )2

2

0

Volume 1 2cos cos 1x x dx= + + −∫π

π

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( )2

2

0

Volume 2cos cosx x dx= +∫π

π

2 22

0 0

Volume 2cos cosx dx x dx= +∫ ∫π π

π π

( )2 2

0 0

1Volume 2 cos 1 cos2

2x dx x dx= + +∫ ∫

π π

π π

( )2 2

0 0

Volume 2 cos 1 cos22

x dx x dx= + +∫ ∫π π

ππ

2 2 2

0 0 0

Volume 2 cos cos22 2

x dx dx x dx= + +∫ ∫ ∫π π π

π ππ

[ ] [ ] [ ]2 2 20 0 0

Volume 2 sen sen22 4

x x x= + +π π ππ ππ

[ ]Volume 2 sen sen0 0 sen sen02 2 2 4

= − + − + −

π π π ππ π

2

Volume 24

= + ππ

9) Uma partícula se move em uma linha reta com a fu nção velocidade

2( ) sen cosv t t t= ω ω . Determine sua função de posição ( )s f t= se (0) 0f = .

2( ) sen cosv t t t= ω ω

2( ) sen coss t t t dt= ∫ ω ω

( )cos sen senu t du t dt t dt= ⇒ = − = −ω ω ω ω ω

2( ) sen coss t t t dt= ∫ ω ω

21( ) sen coss t t t dt= − −∫ ω ω ω

ω

21( )s t u du= − ∫ω

31 1( )

3s t u C= − ⋅ +

ω

31( ) cos

3s t t C= − +ω

ω

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(0) 0s =

( )31(0) cos 0 0

3s C= − × + =ω

ω

10

3C− + =

ω

13

C =ω

Portanto:

31 1( ) cos

3 3s t t= − +ω

ω ω

( )31( ) 1 cos

3s t t= − ω

ω