Lista de Cálculo Diferencial e Integral I

Derivadas

1. Um forno industrial coze a temperatura constante de 608 graus centígrados. A temperatura doforno, desde o início em que é ligado até atingir a temperatura de cozedura, é dada por: T (t) =20t2 + 5t+ 32

t+ 2, t em minutos e T (t) em ◦C. Determine:

(a) a temperatura inicial do forno?

(b) a variação da temperatura no intervalo de tempo [2, 10].

(c) a variação instantânea da temperatura para t = 10.

2. O valor de um automóvel ao �m de t anos é dado por V (t) = 50000e−0.12t, sendo V dado em reais et em anos.

(a) Por qual preço foi comprado o automóvel?

(b) Represente gra�camente a função e determine o valor aproximado do automóvel daqui a 5 anos.

(c) A taxa de variação é negativa para qualquer valor de t. Justi�que esta a�rmação e interpreteeste fato no contexto da situação.

(d) Em que momento a taxa de variação é -2500 reais ao ano?

(e) Mostre que o grá�co V ′ tem uma assíntota horizontal. Qual o seu signi�cado relativo à situação?

3. Seja y = 3√

3x+ 2 a equação do movimento de uma partícula, determine:

(a) a velocidade da partícula quando transcorridos 2s.

(b) a aceleração da partícula quando transcorridos 2s.

4. Um carro está a s =

(16t

32 − 24t+ 16

)km a leste de uma parada no instante t horas. Pergunta-se:

(a) Qual é a velocidade no instante t =1

4h e qual é o sentido que ele se move?

(b) Qual a posição do carro quando sua velocidade é nula?

5. Dois corpos têm movimento em uma mesma reta segundo as equações s1 = t3 + 4t2 + t − 1 es2 = 2t3 − 5t2 + t+ 2. Determine a velocidade e as posições desses dois corpos no instante em que assuas acelerações são iguais. Considere s1 e s2 em metros e t em segundos.

6. Dois pontos partem da origem do eixo x no instante t = 0 e se movem ao longo desse eixo de acordocom as equações x1 = t2 − 2t e x2 = 8t− t2, com x1 e x2 em metros e t em segundos.

(a) Em que instante os dois têm mesma velocidade?

(b) Qual a velocidade desses pontos no instante em que eles têm a mesma posição?

1

7. A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo y varia com o tempo x segundo a equação

y =v0c

(1− e−cx

), x ≥ 0, onde v0 e c são constantes positivas. Determinar a velocidade da partícula

no instante x.

8. Use aproximações lineares para estimar o valor de

(a) 4√

17

(b) (8, 06)23

(c) tan(44◦)

(d) ln(1, 05)

(e)√

99, 8

9. Suponha que não temos uma fórmula para g(x), mas sabemos que g(2) = −4 e g′(x) =√x2 + 5

para todo x. Use uma aproximação linear para estimar g(1, 95) e g(2, 05).

10. A aresta de um cubo tem 30cm, com um possível erro de medida de 0,1cm. Use diferenciais paraestimar o erro possível no cálculo

(a) do volume do cubo.

(b) da área da superfície do cubo.

11. Por meio de diferenciais obtenha uma fórmula aproximada do volume de uma �na coroa cilíndrica dealtura h, raio interior r e espessura ∆r. Qual o erro decorrente do uso desta fórmula?

12. Estima-se em 12cm o raio de uma esfera com erro máximo de 0,05cm. Estime o erro máximo para nocálculo do volume da esfera.

13. Uma janela tem o formato de um quadrado com um semicírculo em cima. A base da janela mede60cm com um possível erro na medida de 1mm. Use diferenciais para estimar o maior erro possívelno cálculo da área desta janela.

14. Na medida que a areia escoa de um recipiente, vai formando uma pilha cônica cuja altura é sempreigual ao raio. Se, num dado instante, o raio é 10cm, use diferenciais para aproximar a variação doraio que ocasiona um aumento de 2cm3 no volume da pilha.

15. A área de um quadrado de lado s é dada por s2. Para um acréscimo ∆s de s, ilustre geometricamentedA e ∆A− dA.

16. Aproxime, por meio de diferenciais, N = (2, 01)4− 3(2, 01)3 + 4(2, 01)2− 5. Qual o valor exato de N?

Respostas:

1. (a) 16◦C.

(b) 17,875◦C.

(c) 19,29◦C por minuto.

2. (a) 50000 reais (d) 7,3 anos.

3. (a) v(2) =1

4u.c./s (b) a(2) = − 1

16u.c./s2

2

1. (a) v(1/4) = −12km/h e está indo na direção oeste (b) s(1) = 8km

2. t = 3s; v1(3) = 52m/s; v2(3) = 25m/s; s1(3) = 65m; s2(3) = 14m

3. (a) 2,5s (b) t = 0s ⇒ v1 = −2cm/s e v2 = 8cm/s; t = 5s ⇒ v1 = 8cm/s e v2 = −2cm/s

4. v0e−cxu.c./u.t.

8. (a) (a)65

32= 2, 03125

(b) (b) 4, 02

(c) (c)90− π

90≈ 0, 9651

(d) (d) 0, 05

(e) (e) 9, 99

9. g(1, 95) ≈ −4, 15 e g(2, 05) ≈ −3, 85

10. dV = 270cm3 e dA = 36cm2

11. V = 2πrh∆r =(Área lateral do cilindro interior)×(Espessura) e E = πh(∆r)2

12. dV = 28, 8πcm3

13. dA = 16, 7263cm2

14. dr =1

50πcm

15. A região sombreada corresponde a dA e ∆A− dA está indicado

16. N ≈ 3, 12 e N = 3, 12100501

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