RETAS

1) Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas das retas nos seguintes casos:

a) determinada pelo ponto A(1,–2,1) e pelo vetor v

=(3,1,4);

b) determinada pelos pontos A(2,-1,3) e B(3,0,–2) ;

c) possui o ponto A(1,–2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto B(2,0,1) e pelo vetor diretor v

=(2,–2,3);

d) possui o ponto M (1,5,–2) e é paralela à reta determinada pelos pontos A(5,–2,3) e

B(–1,–4,3);

e) possui o ponto A(2,1,0) e é paralela à reta de equação

21z

34y

52x:r −

=+

=−+ ;

f) possui o ponto A(–6,7,9) e é paralela ao vetor

v

= (–2,0,–2);

g) possui o ponto A(0,0,4) e é paralela ao vetor v

=(8,3,0);

h) possui o ponto A(2, –2,1) e é paralela ao eixo OX ;

i) possui o ponto A(8,0,–11) e é paralela ao eixo OZ.

2) Sendo A=(4,3,0) e B=(–2,–3,3), os pontos M e N dividem o segmento AB em três partes. Sabendo que o ponto P=(0,-1,0), liga-se aos pontos A e B formando as retas PM e PN, determine o ângulo formado entre elas.

RESP: θ = arc cos 31 ,θ ≅ 700 31'43''

3) A reta 2 4:

4 5 3x z

r− +

= = , forma um ângulo de 300 com

a reta determinada pelos pontos A(0,−5,−2) e

B(1, n−5, 0). Calcular o valor de n. RESP: n=7 ou n=1

4) Determine as equações da reta r definida pelos pontos A (2,–1,4) e B= 21 rr ∩ , com

+=+=

=

−−

=−

=−

m2zm21y

m3x:r e

21z

43y

21x:r 21 .

RESP:

+=+−=2xz1xy

5) Determinar as equações paramétricas da reta t, que é perpendicular a cada uma das retas:

a) 3 2 2 44 8: 3 e :

2 4 10 2x y y z

s z r x− − − +

= = + = =−

, e

que passa pelo ponto P(2,3,5);

b) 2 2 2-y: 3 3 e r: x 4

2 4 -2 3x y z

s z−

= = + + = =− −

, e

que passa pelo ponto P(2,–3,1);

c) 2 3

:10 18

y xr

z x= − −

= +

e

2 12:

6 272

yx

sy

z

−=

− +=

, e que passa

pelo ponto P(3,−3,4).

6) São dadas as retas

−=+=

1z2y1zx

:r e

−=+=

5zy3zx

:s e o

ponto A(3,–2,1). Determine as coordenadas dos pontos P e Q pertencentes, respectivamente a r e a s, de modo que A seja o ponto médio do segmento PQ. RESP: P(1, –1,0) e Q(5,3,2)

7) Determine as equações da reta s, traçada pelo ponto P(−1,−3,1), que seja concorrente com a reta

−=−=

2z2y1z3x

:r e seja ortogonal ao vetor ( )1,0,2v −= .

RESP: 3 1: 1

1 2y zs x + −

+ = =−

8) Determinar os pontos da reta r : 132 1 2: yx zr +−

= =− − que têm:

a) abscissa 5 b) ordenada 4 c) cota 1.

PLANOS 1) Determine a equação geral do plano π que:

a) passa pelo ponto D(1,–1,2) e é ortogonal ao vetor v

=(2,–3,1);

b) passa pelo ponto A(1,−2,1) e é paralelo aos vetores kjia

−+= e k2jib

−+= ;

c) passa pelos pontos A(–2,1,0) , B(–1,4,2) e

C( 0,–2,2);

d) passa pelos pontos P(−2,1,0),Q(−1,4,2) e R(0,−2,2);

e)passa pelos pontos A(2,1,5), B(−3,−1,3) e C(4,2,3);

f) passa pelo ponto E( 1,2,2) e contém os vetores v

=(2,–1,1) e w

=( –3,1,−2);

g) passa pelo ponto P(2,−1,3) e é paralelo ao plano XOZ;

RESP: a)π:2x−3y+z−7=0 b)π:x−y−z=0 c)π:12x+2y−9z+22=0 d) π:12x+2y−9z+22=0 e)π:6x−14y−z+7=0 f)π:x+y−z−5=0 g)π:y+1=0

2)Determine a equação geral do plano α que contém os pontos A (1,−2,2) e B(−3,1,−2) e é perpendicular ao plano π: 2x+y−z+8-0. RESP: α: x−12y−10z−5=0

3) Um plano π que contém o ponto P(3,3,−1) intercepta os semieixos coordenados positivos OX,OY e OZ, respectivamente nos pontos A,B, e C, tais que |OB|2|OA| = e | OC|3 || =OA . Determine a equação geral de π. RESP: π;x+2y+3z−6=0

4)Determinar equação geral do plano π que passa pelo ponto A(4, 1, 0) e é perpendicular aos planos

π1: 2x –y –4z– 6 = 0 e π2: x + y + 2z -3 = 0. RESP: π: 2x−8y+ 3z=0

5) Calcule o volume do tetraedro, cujas faces são os planos coordenados e o plano π:5x+4y−10z−20=0.

RESP: VT=320 u.v.

6) Dados os planos π1: -4x +4y –4 = 0 e

π2: -2x + y + z = 0, determine:

a) a interseção entre π1 e π2.

b) o ângulo formado entre π1 e π2.

RESP: a) y = z +2 e x = z+1 b) 30°

7) Sabendo que o plano π: x+y−z−2=0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos D, E e F, determine a área A e a altura h do triângulo DEF.

RESP:

8) No paralelepípedo abaixo, tem-se que P = (2,4,3)

a) Determine a equação do plano que passa pelos pontos A, E e C.

b) Determine a equação do plano que passa pelos pontos O, P e D.

c) Determine a equação do plano que contém a face BCDP

d) Determine as coordenadas de um vetor normal ao plano que contém face DPFE

9) Determine um vetor normal:

a) ao plano α determinado pelos pontos P=(-1,0,0),

Q = (0,1,0) e R = (0,0,-1)

b) ao plano β que passa pelos pontos A=(1,0,1) e

B= (2,2,1) e é paralelo ao vetor (1,-1,3)

c) ao plano π que passa pelo ponto A=(1,0,3) e é ortogonal ao vetor (3,2,5).