UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO II

Lista 10 1. Mostrar que a sequência

€

an{ } é estritamente crescente ou estritamente decrescente usando a Diferença entre Termos Sucessivos:

1.1.

€

1n

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

1.2.

€

1− 1n

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

1.3.

€

n2n +1

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

1.4.

€

n4n −1

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

1.5.

€

n − 2n{ } 1.6.

€

n − n2{ }

2. Mostrar que a sequência

€

an{ } é estritamente crescente ou estritamente decrescente usando a Razão dos Termos Sucessivos:

2.1.

€

n2n +1

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

2.2.

€

2n

1+ 2n⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

2.3.

€

ne−n{ }

2.4.

€

10n

2n( )!⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

2.5.

€

nn

n!

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

2.6.

€

5n

2n2

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

3. Mostrar que a sequência

€

an{ } é estritamente crescente ou estritamente decrescente usando a Diferenciação:

3.1.

€

n2n +1

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

3.2.

€

3− 1n

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

3.3.

€

1n + lnn

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

3.4.

€

ne−2n{ } 3.5.

€

ln(n + 2)n + 2

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

3.6.

€

tg−1n{ }

4. Mostrar que a sequência

€

an{ } é estritamente crescente ou estritamente decrescente usando qualquer método:

4.1.

€

2n2 − 7n{ } 4.2.

€

n3 − 4n2{ } 4.3.

€

nn2 +10

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

4.4.

€

n +17n

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

4.5.

€

n!3n

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

4.6.

€

n5e−n{ }

5. Determine se cada seqüência a seguir é crescente, decrescente ou não-monótona:

5.1.

€

1n

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

5.2.

€

1− 2n2

n2⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

5.3.

€

cos 13nπ

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

5.4.

€

5n

1+ 52n⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

5.5.

€

(2n)!5n

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

5.6.

€

n !3n

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

5.7.

€

nn

n !

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

5.8.

€

3n −14n + 5

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

5.9.

€

sen nπ{ } 5.10.

€

n e−n{ } 5.11.

€

2n −14n −1

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

5.12.

€

n2 + 3n +1

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

6. Prove que as seguintes seqüências são convergentes, utilizando os teoremas 5, 6, 7 e 8.

6.1.

€

3n −14n + 5

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

6.2.

€

n3n+1

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

6.3.

€

1.3.5.....(2n −1)2.4.6.....(2n)

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

6.4.

€

5n

1+ 52n⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

6.5.

€

n!1.3.5.....(2n −1)⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

6.6.

€

n e−n{ }

7. Dada uma seqüência

€

an{ } monótona tal que

€

1≤ an ≤ 2 . 7.1. Essa seqüência deve convergir? Caso afirmativo, o que pode ser dito sobre o limite? 7.2. Suponha que

€

an{ } seja uma seqüência monótona tal que

€

an ≤ 2 . A seqüência deve convergir? Se sim, o que se pode dizer sobre o limite?

8. Para provar o limite

€

limn→+∞

xn

n!= 0 podemos usar sequências . Claro que se

€

x = 0 fica óbvio e, sendo assim, vamos usar somente

€

x ≠ 0.

Analise cada item abaixo e resolva:

8.1. Seja

€

an =x n

n!, mostre que

€

an+1 =x

n +1an ;

8.2. Mostre que a sequência

€

an{ } é estritamente decrescente a partir de um certo termo; 8.3. Mostre que a sequência

€

an{ } converge; 8.4. Use os resultados dos itens 8.1 e 8.3 para mostrar que

€

an → 0 quando

€

n→ +∞ ;

8.5. Obtenha o resultado do limite

€

limn→+∞

xn

n! usando o observado no item anterior.

RESULTADOS LISTA 10 1. 1.1. Estritamente decrescente

€

∀ n ≥ 1 1.2. Estritamente crescente

€

∀ n ≥ 1 1.3. Estritamente crescente

€

∀ n ≥ 1 1.4. Estritamente decrescente

€

∀ n ≥ 1 1.5. Estritamente decrescente

€

∀ n ≥ 1 1.6. Estritamente decrescente

€

∀ n ≥ 1 2. 2.1. Estritamente crescente

€

∀ n ≥ 1 2.2. Estritamente crescente

€

∀ n ≥ 1 2.3. Estritamente decrescente

€

∀ n ≥ 1 2.4. Estritamente decrescente

€

∀ n ≥ 1 2.5. Estritamente crescente

€

∀ n ≥ 1 2.6. Estritamente decrescente

€

∀ n ≥ 1 3. 3.1. Estritamente crescente

€

∀ n ≥ 1 3.2. Estritamente crescente

€

∀ n ≥ 1 3.3. Estritamente decrescente

€

∀ n ≥ 1 3.4. Estritamente decrescente

€

∀ n ≥ 1 3.5. Estritamente decrescente

€

∀ n ≥ 1 3.6. Estritamente crescente

€

∀ n ≥ 1 4. 4.1. Estritamente crescente

€

∀ n ≥ 2 4.2. Estritamente crescente

€

∀ n ≥ 3 4.3. Estritamente decrescente

€

∀ n ≥ 3 4.4. Estritamente crescente

€

∀ n ≥ 4 4.5. Estritamente crescente

€

∀ n ≥ 3 4.6. Estritamente decrescente

€

∀ n ≥ 6 5. 5.1. Decrescente

€

∀ n ≥ 1 5.2. Decrescente

€

∀ n ≥ 1 5.3. Não-monótona 5.4. Decrescente

€

∀ n ≥ 1 5.5. Crescente

€

∀ n ≥ 1 5.6. Crescente,

€

∀ n ≥ 3 5.7. Crescente

€

∀ n ≥ 1 5.8. Crescente

€

∀ n ≥ 1 5.9. Não-monótona 5.10. Decrescente

€

∀ n ≥ 1 5.11. Crescente

€

∀ n ≥ 1 5.12. Crescente

€

∀ n ≥ 1

6. 6.1. É monótona crescente, limitante

inferior

€

29

, limitante superior

€

34

-

sequência limitada é convergente; 6.2. É monótona decrescente, limitante

inferior

€

0 , limitante superior

€

19

- sequência

limitada é convergente; 6.3. É monótona decrescente, limitante

inferior

€

0 , limitante superior

€

12

- sequência

limitada é convergente; 6.4. É monótona decrescente, limitante

inferior

€

0 , limitante superior

€

526

-

sequência limitada é convergente; 6.5. É monótona decrescente, limitante inferior

€

0 , limitante superior

€

1 - sequência limitada é convergente; 6.6. É monótona decrescente, limitante

inferior

€

0 , limitante superior

€

1e

- sequência

limitada é convergente; 7. 7.1. Sim: uma seqüência monótona é crescente ou decrescente; se é crescente e tem limite superior, pelo teorema 6, é convergente. Se é decrescente e tem limite inferior, é convergente, pelo teorema 7. Pelo teorema 5, uma série monótona limitada (no intervalo [1,2]) é convergente. 7.2. Pode convergir levando em consideração que ela seja crescente e tem limite superior em 2, mas caso seja decrescente nada se pode afirmar, pois não tem limite inferior, e, sendo assim, pode divergir.

8. 8.1.

€

an+1 =x n+1

(n +1)!=

x n . x(n +1)n!

=

an+1 =x

(n +1).x n

n!=

x(n +1)

an

8.2.

€

an+1an

=

x(n +1)

an

an=

x(n +1)

< 1

Se n > x −1

8.3. Se an é decrescente e para todo

€

n > x −1

Sabendo que

€

x(n +1)

→ 0 , concluímos que

o limitante inferior é zero, sendo assim, an é limitada, sendo , assim, convergente 8.4. Por 8.3,

€

limn→+∞

an = L por an convergir

e por 8.1

€

limn→+∞

an = L⇒ L =x

limn→+∞

(n +1)L = 0.L = 0

8.5.

€

limn→+∞

x n

n!= limn→+∞

an = 0