Calculo Diferencial e Integral II

Lista 1 - Seque^ncias

1. a) O que e uma seque^ncia?

b) O que signica dizer que limn!1

an = 8?

c) O que signica dizer que limn!1

an =1?

2. Liste os cinco primeiros termos da seque^ncia.

a) an = 1 (0; 2)n b) an = 3(1)n

n!c) a1 = 3; an+1 = 2an 1

3. Encontre uma formula para o termo geral an da seque^ncia, assumindo que o padr~ao dos primeiros

termos continua.

a) f12; 14; 18; 116; :::g b) f2; 7; 12; 17; :::g c) f1;2

3; 49; 8

27; :::g

4. Em cada item, escreva os quatro primeiros termos da seque^ncia e determine se a seque^ncia e

convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.

a)

n+ 1

2n 1

b)

2n2 + 1

3n2 n

c)

n2 + 1

n

d)

en

n

e)nnsen

n

of)

lnn

n2

g)

1p

n2 + 1 n

h)p

n+ 1pn i) 1 + 13n

n

5. Determine se a seque^ncia converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a) an = n(n 1) b) an = 3 + 5n2

n+ n2c) an =

2n

3n+1

d) an =(1)n1nn2 + 1

e) an = cosn2

f)

(2n 1)!(2n+ 1)!

g)

en + en

e2n 1

h) fn2eng i)cos2(n)

2n

1

6. Mostre que as seque^ncias

n2

n 3e

n2

n+ 4

divergem, porem, a seque^ncia

n2

n 3 n2

n+ 4

e convergente.

7. Suponha que voce^ saiba que fang e uma seque^ncia decrescente e que todos os termos est~aoentre os numeros 5 e 8. Explique por que a seque^ncia tem um limite. O que voce^ pode dizer

sobre o valor do limite?

8. Determine se a seque^ncia dada e crescente, decrescente ou n~ao monoto^nica. A seque^ncia e

limitada?

a) an =1

2n+ 3b) an =

n

n2 + 1

9. Mostre que as seque^ncias abaixo s~ao convergentes fazendo uso do teorema das seque^ncias

monotonas.

a)n n3n+1

ob)

n2

2n

10. Calcule o limite da seque^ncia

fp2;

q2p2;

r2

q2p2; :::g

O resultado: Se fang for convergente ent~ao limn!1

an+1 = limn!1

an, e util na resoluc~ao do proximo

exerccio.

11. O tamanho de uma populac~ao de peixes pode ser modelado p ela formula

pn+1 =bpn

a+ pn

onde pn e o tamanho da populac~ao de peixes depois de n anos e a e b s~ao as constantes positivas

que dependem da especie e de seu habitat. Suponha que a populac~ao no ano 0 seja p0 > 0.

a) Mostre que se fpng e convergente, ent~ao os unicos valores possveis para seu limite s~ao 0e b a.

b) Mostre que pn+1 < (b=a)pn.

2

c) Use o item b) para mostrar que, se a > b, da limn!1

pn = 0, em outras palavras, a populac~ao

morre.

Respostas:

Abreviac~oes: C, convergente; D, divergente.

1-a) Uma sequee^ncia e uma lista ordenada de numeros. Pode tambem ser denida como uma

func~ao cujo domnio e o conjunto dos numeros inteiros positivos. b) Os termos an tendem a 8 quando

n torna-se grande. c) os termos an tornam-se grandes quando n torna-se grande.

2- a) 0,8;0,96;0,992;09984;0,99968. b) -3,3/2, -1/2,1/8,-1/40. c) 3,5,9,17,33.

3- a) an =12n, b) an = 5n 3, c) an = (23)n 1

4- N~ao esta escrito aqui os 4 primeiros termos da seque^ncia. a)C,1/2; b)C,2/3; c)D; d)D; e)C,

; f)C,0; g)D; h)C, 0; i)C, e1=3.

5- a)D; b)C,5; c)C,0; d)C,0; e)D; f)C,0; g)C,0; h)C, 0; i)C,0.

7- Convergente pelo Teorema das seque^ncias monotonas, 5 L < 8.8- a)Decrescendo,sim; b)Decrescendo,sim.

10- 2

3