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Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial Cadeira de Mecânica e Ondas

Docentes: João Fonseca, [email protected] Malaquias, [email protected]

Licenciatura em Engenharia e Gestão industrial – Cadeira de Mecânica e Ondas2º semestre de 2015/2016


Movimento relativo de translacção

https://www.youtube.com/watch?v=la-hSjKP2TU

https://www.youtube.com/watch?v=bMUdXJPUwm8

https://www.youtube.com/watch?v=la-hSjKP2TU

https://www.youtube.com/watch?v=bMUdXJPUwm8


Movimento relativo de rotação(gravidade artificial)

https://www.youtube.com/watch?v=EHKQIC5p8MU

https://www.youtube.com/watch?v=EHKQIC5p8MU


Movimento relativo de rotação(aceleração de coriolis)https://www.youtube.com/watch?v=dt_XJp77-mk&ebc=ANyPxKrZo3lRDxYg8hy_Kc9-2KwIe_DGwxwTX-XaVE-RUcbcRJ5aA01UhXXXAtfbArsWZcT9hhwLtZkHgVYuK1Fp9ItCiHT_cA


Dinâmica


Dinâmica1ª Lei de Newton, ou Princípio da Inércia (enunciado por Galileu, quase 100 anos de Newton):- Um corpo isolado mantém inalterado o seu estado de movimento, ou seja,

move-se com velocidade constante em módulo, direcção e sentido.


Dinâmica2ª Lei de Newton, ouLei fundamental da dinâmica

F = m a


Dinâmica3ª Lei de Newton, ouLei da igualdade acção-reacção


Dinâmica

Forças traduzem interacções entre corpos

INTERACÇÃOGRAVÍTICA


Dinâmica


INTERACÇÃOELECTRO-MAGNÉTICA


Dinâmica


INTERACÇÃOFORTE EINTERACÇÃOFRACA


? ?Forças traduzem interacções entre corpos

Dinâmica

“Força” é um conceitoantropomórfico



Dinâmica

?F



Dinâmica?F


Dinâmica

F = m a

F = 𝒅

𝒅𝒕(mv)


?F


Dinâmica

Forças traduzem interacções


DIAGRAMA DE CORPO LIVREF = ma


Dinâmica pressão hidrostática:p = p0+rgh

Sendop0 a pressão à superfícier a massa volúmica do fluidoh a profundidade

Através de qualquer superfície Ds no interior de um fluido exerce-se uma força F = p Ds prependicular à superfície

(transferência de momento linear porcolisão entre partículas de um e de outro lado da superfície)


Dinâmica pressão hidrostática:p = p0+rgh

Sendop0 a pressão à superfícier a massa volúmica do fluidoh a profundidade

Princípio de Arquimedes (impulsão):Um corpo submerso sofre uma força vertical,de baixo para cima, igual em módulo ao pesodo fluido deslocado.


Dinâmica

Fx = - k Dx

Mola ideal:

Forças traduzem interacções


Dinâmica Força de reacção normal𝑛 sin 𝜃 =

𝑚𝑣2

𝑅

RC

𝑛 cos 𝜃 = 𝑚𝑔


Dinâmica atrito

𝑛 sin 𝜃 + 𝐹𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑚𝑣2

𝑅

RC

Fa

𝑛 cos 𝜃 − 𝐹𝑎 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑚𝑔


Dinâmica

q

T

𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = −𝑚𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑇 − 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑚𝑣2

𝑅


Dinâmica – massa variável

m

v

Sen

tid

o p

osi

tivo

instante t

mg



-dm

m

m+dmv

v+dv

vg

Sen

tid

o p

osi

tivo

instante t instante t+dt

Nota: dm < 0 !

Força exterior no instante t: mgLogo:

F=𝛿𝒑

𝛿𝑡= mg

Podemos calcular 𝛿𝒑 :𝛿𝒑 = p(t+dt) – p(t) =

= (m+dm)(v+dv) + (-dm) vg - mv

vE é a velocidade dos gases em relação ao foguetevg é a velocidade dos gases em relação à Terra

Logo, é vE = vg - v , e, em módulo, vE = vg + v

Reescrevendo a expressão de dp para asprojecções segundo o eixo, e tendo em contaos sinais:𝛿𝑝 = (m+dm)(v+dv) - (-dm) (vE - v) - mv = (mv+m dv+dm v + dmdv) + dm vE - dm v - mv =

= m dv + dm vE

E portanto

−𝑚𝑔 =𝛿𝑝

𝛿𝑡= 𝑚

𝛿𝑣

𝛿𝑡+𝛿𝑚

𝛿𝑡𝑣𝐸

vE

mg



m

v

Sen

tid

o p

osi

tivo

instante t

−𝑚𝑔 = 𝑚𝛿𝑣

𝛿𝑡+𝛿𝑚

𝛿𝑡𝑣𝐸

ou, tendo em conta que m = m0 – at e

portanto 𝛿𝑚

𝛿𝑡= – a,

−𝑚𝑔 + 𝛼𝑣𝐸 = m𝛿𝑣

𝛿𝑡

−𝑚𝑔 + 𝛼𝑣𝐸 = mapeso propulsão

mg



m

v

Sen

tid

o p

osi

tivo

instante t

−𝑚𝑔 + 𝛼𝑣𝐸 = m𝛿𝑣

𝛿𝑡

Logo, 𝛿𝑣

𝛿𝑡= −𝑔 +

𝛼𝑣𝐸

𝑚0−𝛼𝑡

donde se pode concluir que

𝑣 𝑡 = −𝑔𝑡 + 𝑣𝐸ln(𝑚0𝑚0−𝛼𝑡)

v(m

/s)

t (s)

a (m

/s^2

)

mg

0

200

400

600

800

1000

1200

0 20 40 60

0

20

40

60

80

100

120

140

160

a = 850 kg/s;m0 = 50000 kg;vE = 600 m/s


Dinâmica – Trabalho e Energia

Dr



O operador gradiente

𝒈𝒓𝒂𝒅 𝒇 =𝝏𝒇

𝝏𝒙û𝒙 +

𝝏𝒇

𝝏𝒚û𝒚+𝝏𝒇

𝝏𝒛û𝒛



O operador rotacional

rot 𝒗 = (𝝏𝒗𝒛

𝝏𝒚−𝝏𝒗𝒚

𝝏𝒛)û𝒙 + (

𝝏𝒗𝒙

𝝏𝒛−𝝏𝒗𝒛

𝝏𝒙) û𝒚+ (

𝝏𝒗𝒚

𝝏𝒙−𝝏𝒗𝒙

𝝏𝒚) û𝒛


Energia potencial gravítica:

ou

?

𝐸𝑝 = 𝑚𝑔ℎ

𝐸𝑝 = − 𝐺𝑀𝑚

𝑟

hr


Verdadeiro ou falso?


1500 m

3000 m

P Q

Um bólide explode quando se encontra3000 m acima da superfície, dando origema dois meteoritos. Um deles, com cerca de2/3 da massa total, caiu a uma distância horizontal de 1500 m da projecção vertical doponto de explosão. Estime o local onde caiu o outro fragmento. Admita que as três trajectórias estão contidas no mesmo plano. A velocidade antes da explosão era 1500 m/s fazendo um ângulo de 30º abaixo da horizontal. O fragmento maior é projectado fazendo um ângulo de 60º abaixo

da horizontal. Considere g constante.

?


Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular,> momento de inércia

N = r x F

Vector posição do ponto de aplicação

Força

Momento da força r

N

F



N = r x FMomento da força

r N

F




r N

F


Reacções nas dobradiçascancelam o peso do gatoe o momento do peso



N = r x F

r

F

N = r x F


https://www.youtube.com/watch?v=AQLtcEAG9v0&spfreload=10

Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular> momento de inércia

Claramente, há energia de movimento (energia cinética) associada ao rodopio da patinadora. Mas não há movimentode translacção! É preciso um conceitonovo para representar a “quantidade demovimento“ neste caso. É o momento angular:

Para uma partícula: 𝒍 = 𝒓 × 𝑚𝒗

Para um corpo: 𝑳 = 𝒓𝑖 × 𝑚𝑖𝒗𝑖

L

https://www.youtube.com/watch?v=AQLtcEAG9v0&spfreload=10



𝑵 = 𝒓𝑖 × 𝑭𝑖Momento da força

r1

N

F1

𝑳 = 𝒓𝑖 × 𝑚𝑖𝒗𝑖

r2

F2

Momento angular

𝑑𝑳

𝑑𝑡= 𝒓𝑖 × 𝑚𝑖

𝑑𝒗𝑖

𝑑𝑡+ 𝑑𝒓𝑖

𝑑𝑡× 𝑚𝑖𝒗𝑖 =

𝒓𝑖 × 𝑭𝑖 + 𝒗𝑖 × 𝑚𝑖𝒗𝑖 = 𝒓𝑖 × 𝐹𝑖= 𝑵

𝑁 =𝑑𝑳

𝑑𝑡



ri

F1

𝑳 = 𝒓𝑖 × 𝑚𝑖𝒗𝑖Momento

angular

miRi

= 𝒓𝑖 × 𝑚𝑖(𝝎 × 𝒓𝑖)

w

𝐿𝑧 = 𝜔 𝑚𝑖𝑅𝑖2

li

𝐼 = 𝑚𝑖𝑅𝑖2

𝐿𝑧 = 𝐼𝜔ou

com Momento de inércia




𝐿𝑧 = 𝐼𝜔

Momento de inércia

w L

Lz




𝑳 = 𝐼𝝎

Momento de inércia

w

L

𝑑𝑳

𝑑𝑡= 𝑁 = 𝐼 𝜶

sem

pre

se I

cte




𝑳 = 𝐼𝝎

Momento de inércia

w

L

𝑑𝑳

𝑑𝑡= 𝑁 = 𝐼 𝜶

𝐸𝑐𝑟𝑜𝑡 =1

2𝐼 𝜔2



Qualquer objectoTem trêseixos principaisde inércia,ortogonais entre si



Rotação em torno de um eixo arbitrário:

L// = Iw

L

w



Rotação em torno de um eixo principal de inércia:

L = Iw

L

w


Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular> momento de inércia centro de massa centro de gravidade r1

N

F1

r2

F2

𝑁 = 𝐼 𝜶


Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular> momento de inércia centro de massa centro de gravidade N

av

𝑁 = 𝐼 𝜶 ? ? ?Resposta: só se a origem do referencial estiver no centrode massa (CM) do corpo


Movimento de ROTAÇÃO> momento de uma força> momento angular> momento de inércia centro de massa centro de gravidade

mi

ri

x

y

z

𝒓𝐶𝑀 = 𝑖𝑚𝑖𝒓𝑖 𝑖𝑚𝑖



CMrCM

x

y

z

𝒓𝐶𝑀 = 𝑖𝑚𝑖𝒓𝑖 𝑖𝑚𝑖 X



CMrCM

x

y

z

𝒗𝐶𝑀 = 𝑖𝑚𝑖𝒗𝑖 𝑖𝑚𝑖 X

𝑷 = 𝑀 𝒗𝐶𝑀

ou

massa total



CMrCM

x

y

z

𝒂𝐶𝑀 = 𝑖𝑚𝑖𝒂𝑖 𝑖𝑚𝑖 X

𝑭𝑒𝑥𝑡 = 𝑀 𝒂𝐶𝑀

ou

massa total

Só forças exteriores porque

as interiores se cancelam duas a

duas



av

𝑵 = 𝐼 𝜶 ? ? ?(o referencial não é inercial)



av

𝑁 = 𝐼 𝜶 ? ? ?Resposta: só se a origem do referencial estiver no centrode massa (CM) do corpo



CMrCM

x

y

z

𝑵𝐶𝑀 = 𝐼 𝜶

X

a CM


Cálculo do CM de um corpo composto:

x

y

z

sabendo que o comprimento da barra é 0.80m, o lado do quadrado é 0.60m e o raio da esfera é 0.10m, podemosconcluir que, no referencial escolhido …

- o CM do conjunto tem coordenadas xCM e zCM nulas, por simetria;- o CM da esfera está em yCMe = -0.10m;- o CM da barra está em yCMb= 0.40m;- o CM do quadrado está em yCMq= 1.10m;

A coordenada y do CM do conjunto é dada por-0.10 me + 0.40 mb + 1.10 mq

yCM= = 0.36mme + mb + mq

ou seja, cada parte do corpo pode ser tratada como uma única partícula concentrada no respectivo CM

CMCMe

CMb

CMq


CÁLCULO DO CM DE UM CORPO A DUAS DIMENSÕES:

x

y

a

b

y = -(b/a)x+by = (b/a)x+b

dy

O triângulo pode ser encarado como uma“pilha” de tiras infinitamente estreitas, de altura dy e largura 2[a-(a/b)y].

Se chamarmos s à massa por unidade de áreaou densidade superficial, a massa da tiraque se encontra à altura y serádm = 2s [(a-(a/b)y] dy.

Podemos calcular a coordenada y do CM tratando cada “tira” como uma partícula:

𝑦𝐶𝑀 = 𝑖 𝑦𝑖𝑑𝑚𝑖

𝑖 𝑑𝑚𝑖

= 0𝑏2𝜎𝑦[𝑎 −

𝑎𝑏𝑦] 𝑑𝑦

0𝑏2𝜎[𝑎 −

𝑎𝑏𝑦] 𝑑𝑦

=1

𝑀

0

𝑏

2𝜎𝑦[𝑎 −𝑎

𝑏𝑦] 𝑑𝑦

y


CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA DE UM CORPO A DUAS DIMENSÕES:

MOMENTO DE INÉRCIA DE UM TRiÂNGULO EM RELAÇÃO A UM EIXO QUE PASSA PELO CM

x

y

a

b

y = -(b/a)x+by = (b/a)x+b

dx

Vamos calcular o contributo de metade do triângulo, entre x=0 e x=a (O I total será o dobro)

O triângulo pode ser encarado como uma “pilha” de tiras infinitamente estreitas, de altura [b-(b/a)x] e largura dx.

Se chamarmos s à massa por unidade de áreaou densidade superficial, a massa da tiraque se encontra na coordenada x será dm = s[b-(b/a)x] dx.

Podemos calcular o momento de inércia tratando cada “tira” como uma partícula:

𝐼 = 𝑖 𝑑𝑚𝑖𝑥𝑖2

= 2

0

𝑎

𝜎𝑥2 𝑏 −𝑏

𝑎𝑥 𝑑𝑥 =

1

6𝑀𝑎2

x


CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA DE UM CORPO A TRÊS DIMENSÕES:

MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ESFERA EM RELAÇÃO A UM EIXO QUE PASSA PELO CM

Vamos calcular o contributo da massa assinalada a amarelo: chamando r à massa por unidade de volume, e tendo em conta que o volume é𝑑𝑉 = 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝜃, a massa elementar será

𝑑𝑚 = 𝜌 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝜃E o seu contributo para o momento de inércia em relação ao eixo Oz será

𝑑𝐼 = (𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜑)2𝜌 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑑𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝜃É necessário integrar sobre as três variáveis para obter o momento de inércia total:

𝐼 = 𝜌

0

2𝜋

0

𝜋

0

𝑅

𝑟4𝑠𝑒𝑛3𝜑 𝑑𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝜃

=2𝜋𝜌𝑅5

5 0

𝜋

𝑠𝑒𝑛3𝜑 𝑑𝜑 =8

15𝜋𝜌𝑅5

Nota: 𝑃 𝑠𝑒𝑛3𝜑 =1

3𝑐𝑜𝑠3𝜑 − 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑐

Tendo em conta que a massa total é

𝑀 =4

3𝜋𝑅3𝜌, resulta

𝐼 =2

5𝑀𝑅2


TEOREMA DE STEINER:MOMENTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO A UM EIXO QUALQUER A PARTIR DO MOMENTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO AO EIXO PARALELO QUE PASSA PELO CM:

Dr

r'r

Em relação ao eixo que passa pelo CM,o momento de inércia é (a duas dimensões):

𝐼𝐶𝑀 =

𝑖

𝑚𝑖|𝒓′𝑖|2

e em relação ao eixo de rotação, é

𝐼 =

𝑖

𝑚𝑖|𝒓𝑖|2

Tendo em conta que r’i = ri + Dre que |𝒓𝒊|

2 = 𝒓𝒊. 𝒓𝒊 , resulta

𝐼 =

𝑖

𝑚𝑖( r’i−Dr).(r’i−Dr)

=

𝑖

𝑚𝑖|𝒓′𝑖|2 + |Dr|2

𝑖

𝑚𝑖 − 2Dr.

𝑖

𝑚𝑖𝒓′𝑖

= 𝐼𝐶𝑀 +𝑀𝑑2

sendo d = |Dr| a distância entre os eixos.

Nota: 𝑖𝑚𝑖𝒓′𝑖 é (à parte o factor M) a posição

do CM no referencial centrado no CM, logo tem que ser zero.

CM

mi

𝐼 = 𝐼𝐶𝑀 +𝑀𝑑2


MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS

https://www.youtube.com/watch?v=J5Q_Sve9toMhttps://www.youtube.com/watch?v=h8uEA50thsQ

https://www.youtube.com/watch?v=J5Q_Sve9toM

https://www.youtube.com/watch?v=h8uEA50thsQ



molaamortecedor



molaamortecedor

Amortecedor hidráulico

força de atrito viscoso: F = -b v



molaamortecedor

b

m

Forças sobre a massa m:

Força elástica (mola ideal) : 𝐹𝑥𝑚𝑜𝑙𝑎 = −𝑘 𝑥 − 𝑥0

Força de atrito viscoso : 𝐹𝑥𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡 = −𝑏

𝑑𝑥

𝑑𝑡

Segunda lei de Newton: : m𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= −𝑏

𝑑𝑥

𝑑𝑡− 𝑘𝑥

x

(se x0 = 0)



b

m

m𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= −𝑏𝑑𝑥

𝑑𝑡− 𝑘𝑥

ou

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 2𝜆𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑥 = 0

com 𝜆 =𝑏

2𝑚𝑒 𝜔0 =

𝑘

𝑚

xb



b

m

𝑑2𝑥


𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑥 = 0

x

Na ausência de atrito viscoso (l=0), será𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+𝜔02 𝑥 = 0

Pergunta: que função x(t) obedece a esta equação diferencial?Palpite: deve ser do tipo x(t) = sen(𝜔0t) ou x(t) = cos(𝜔0t)Podemos tentar a função x(t) = c1 sen(𝜔0t) + c2 cos(𝜔0t), com c1 e c2 arbitrários.Tendo em conta que sen a cos b + cos a sen b + sen (a+b), podemos fazer a = 𝜔0t,

c1 = A cos d, c2 = A sen d, e escrever x(t) = A sen (𝜔0t+d)

OSCILADOR HARMÓNICO SIMPLES:



b

m

𝑑2𝑥


𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑥 = 0

x

x(t) = A sen (𝜔0t+d)

OSCILADOR HARMÓNICO SIMPLES

t

x 𝑇 =2𝜋

𝜔0

A

A e d devem ser calculados a partir dascondições iniciais,por exemplo, posição e velocidade em t=0s.

OSCILADOR HARMÓNICO SIMPLES:



b

m

𝑑2𝑥


𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑥 = 0

x

OSCILADOR HARMÓNICO AMORTECIDO



Palpite: 𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑒𝑟1𝑡 + 𝑐2𝑒

𝑟2𝑡

𝑑2𝑥


𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑥 = 0

OSCILADOR HARMÓNICO AMORTECIDO




𝑟2𝑡

Tendo em conta que é 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑐1𝑟1𝑒

𝑟1𝑡 + 𝑐2𝑟2𝑒𝑟2𝑡 e

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= 𝑐1𝑟1

2𝑒𝑟1𝑡 + 𝑐2𝑟22𝑒𝑟2𝑡

terá que ser𝑐1𝑟12𝑒𝑟1𝑡 + 𝑐2𝑟2

2𝑒𝑟2𝑡 + 2𝜆𝑐1𝑟1𝑒𝑟1𝑡 + 2𝜆𝑐2𝑟2𝑒

𝑟2𝑡 + 𝜔02𝑐1𝑒𝑟1𝑡 + 𝜔0

2𝑐2𝑒𝑟2𝑡 = 0

ou seja𝑐1(𝑟12 + 2𝜆𝑟1 + 𝜔0

2) 𝑒𝑟1𝑡 = 0 𝑒 𝑐2(𝑟22 + 2𝜆𝑟2 +𝜔0

2) 𝑒𝑟2𝑡 = 0Por outras palavras,

𝑟1e 𝑟2 𝑠ã𝑜 𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛ó𝑚𝑖𝑜 𝑟2 + 2𝜆𝑟 + 𝜔0

2

(método do polinómio característico)

As raízes são dadas por 𝑟1 =−2𝜆− 4𝜆2−4𝜔0

2

2= −𝜆 − 𝜆2 − 𝜔0

2

e 𝑟2 =−2𝜆+ 4𝜆2−4𝜔0

2

2= −𝜆 + 𝜆2 − 𝜔0

2

𝑑2𝑥


𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑥 = 0




𝑟2𝑡

Conclusão:

𝑑2𝑥


𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑥 = 0

𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑒[−𝜆− 𝜆2−𝜔0

2 ]𝑡+ 𝑐2𝑒

[−𝜆+ 𝜆2−𝜔02 ]𝑡= 𝑒−𝜆𝑡 𝑐1𝑒

− 𝜆2−𝜔02 𝑡+ 𝑐2𝑒

𝜆2−𝜔02 𝑡

Se 𝜆 < 𝜔0:

𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒−𝜆𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔02 − 𝜆2 𝑡 + 𝛿

Nota: usou-se a igualdade

𝑐𝑜𝑠𝜙 =𝑒−𝜙 + 𝑒𝜙

2




𝑟2𝑡

Conclusão:

𝑑2𝑥


𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑥 = 0

𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑒[−𝜆− 𝜆2−𝜔0

2 ]𝑡+ 𝑐2𝑒

[−𝜆+ 𝜆2−𝜔02 ]𝑡= 𝑒−𝜆𝑡 𝑐1𝑒

− 𝜆2−𝜔02 𝑡+ 𝑐2𝑒

𝜆2−𝜔02 𝑡

Se 𝜆 < 𝜔0:

𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒−𝜆𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔02 − 𝜆2 𝑡 + 𝛿




𝑟2𝑡

Conclusão:

𝑑2𝑥


𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑥 = 0

𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑒[−𝜆− 𝜆2−𝜔0

2 ]𝑡+ 𝑐2𝑒

[−𝜆+ 𝜆2−𝜔02 ]𝑡= 𝑒−𝜆𝑡 𝑐1𝑒

− 𝜆2−𝜔02 𝑡+ 𝑐2𝑒

𝜆2−𝜔02 𝑡

Se 𝜆 = 𝜔𝑜:

Amortecimento crítico

Amortecimentosubcrítico




𝑟2𝑡

Conclusão:

𝑑2𝑥


𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑥 = 0

𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑒[−𝜆− 𝜆2−𝜔0

2 ]𝑡+ 𝑐2𝑒

[−𝜆+ 𝜆2−𝜔02 ]𝑡= 𝑒−𝜆𝑡 𝑐1𝑒

− 𝜆2−𝜔02 𝑡+ 𝑐2𝑒

𝜆2−𝜔02 𝑡

Se 𝜆 > 𝜔𝑜:

Amortecimento supercrítico



Amortecimento supercrítico

Amortecedor em bom estado: 𝝀 > 𝝎𝒐.

O carro retoma rapidamente a posição de equilíbrio(amortecimento supercrítico)



Amortecedor em mau estado: 𝝀 < 𝝎𝒐.

O carro oscila várias vezes antes de retomara posição de equilíbrio

(amortecimento subcrítico)

𝝀 < 𝝎𝒐

Amortecimentosubcrítico



OSCILAÇÕES FORÇADAS



OSCILAÇÕES FORÇADAS 𝐹𝑧 = 𝐹0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡

m𝑑2𝑧

𝑑𝑡2= −𝑏𝑑𝑧

𝑑𝑡− 𝑘𝑧 + 𝐹0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡

𝑑2𝑧

𝑑𝑡2+ 2𝜆𝑑𝑧

𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑧 = 𝑓0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡

com 𝜆 =𝑏

2𝑚, 𝜔0=

𝑘

𝑚𝑒 𝑓0 =

𝐹0

𝑚

(nota: o efeito do peso equivale a mudar A posição de equilíbrio da mola)




𝑑2𝑧



Palpite: z(t) = A sen 𝜔𝑓𝑡 + 𝛿 ?




𝑑2𝑧




Seria 𝑑𝑧

𝑑𝑡= 𝜔𝑓 A cos 𝜔𝑓𝑡 + 𝛿 e

𝑑2𝑧

𝑑𝑡2= −𝜔𝑓

2 A sen 𝜔𝑓𝑡 + 𝛿

Substituindo:

−𝜔𝑓2 A sen 𝜔𝑓𝑡 + 𝛿 + 2𝜆A 𝜔𝑓cos 𝜔𝑓𝑡 + 𝛿 + 𝜔0

2A sen 𝜔𝑓𝑡 + 𝛿 = 𝑓0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡

(𝜔02 − 𝜔𝑓

2) A sen 𝜔𝑓𝑡 + 𝛿 + 2𝜆A 𝜔𝑓cos 𝜔𝑓𝑡 + 𝛿 = 𝑓0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡

(𝜔02 − 𝜔𝑓

2) A [sen (𝜔𝑓t )cos 𝛿 + cos (𝜔𝑓t )𝑠𝑖𝑛 𝛿]+

+2𝜆A 𝜔𝑓[cos (𝜔𝑓t )cos 𝛿 − sin (𝜔𝑓t )𝑠𝑖𝑛 𝛿] = 𝑓0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡

[(𝜔02 − 𝜔𝑓

2)cos 𝛿-2𝜆𝜔𝑓 𝑠𝑖𝑛 𝛿] A sen (𝜔𝑓t )+

+ [(𝜔02 − 𝜔𝑓

2)𝑠𝑖𝑛𝛿 +2𝜆𝜔𝑓 cos 𝛿] A cos (𝜔𝑓t) = 𝑓0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡

A[(𝜔02 − 𝜔𝑓

2) cos 𝛿-2𝜆𝜔𝑓 𝑠𝑖𝑛 𝛿] = 𝑓0 e A[ (𝜔02 − 𝜔𝑓

2) 𝑠𝑖𝑛𝛿 +2𝜆𝜔𝑓 cos 𝛿] = 0



OSCILAÇÕES FORÇADAS 𝐹𝑧 = 𝐹0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡

só se

𝐴[(𝜔02 −𝜔𝑓

2) cos 𝛿-2𝜆𝜔𝑓 𝑠𝑖𝑛 𝛿] = 𝑓0 e

𝐴[(𝜔02 −𝜔𝑓


ou seja,

𝐴 =𝑓0

𝜔02 − 𝜔𝑓

2 2 + 4𝜆2𝜔𝑓2

; 𝛿 = −𝑡𝑔−12𝜆𝜔𝑓𝜔02 − 𝜔𝑓

2





Só se

𝐴[(𝜔𝑓2 −𝜔0




ou seja,

𝐴 =𝑓0

𝜔02 − 𝜔𝑓

2 2 + 4𝜆2𝜔𝑓2

; 𝛿 = −𝑡𝑔−12𝜆𝜔𝑓𝜔𝑓2 − 𝜔0

2

l

l

l

wf

l = 0

Frequência externa




Só se





ou seja,

𝐴 =𝑓0

𝜔02 − 𝜔𝑓

2 2 + 4𝜆2𝜔𝑓2

; 𝛿 = −𝑡𝑔−12𝜆𝜔𝑓𝜔𝑓2 − 𝜔0

2

l

l

l

wf

l = 0

Frequência externa

A amplitude é máxima quando o argumento da raiz do denominador é mínima. Essa condição ocorre para o valor de wf que verifica a condição

𝑑

𝑑𝜔𝑓𝜔02 −𝜔𝑓

22+ 4𝜆2𝜔𝑓

2 = 0

−4𝜔𝑓( 𝜔02 −𝜔𝑓

2 + 8𝜆2𝜔𝑓 = 0

𝜔𝑓 = 𝜔02 − 2𝜆2

Conclusão: 𝜔𝑓 = 𝜔02 − 2𝜆2 corresponde à máxima

amplitude de oscilação, ou ressonância de amplitude.




Só se





ou seja,

𝐴 = 𝛿 = −𝑡𝑔−12𝜆𝜔𝑓𝜔02 − 𝜔𝑓

2

l = 10-2

l = 0.2

l = 0.5

l =1.0

l =1.5

l =2.0

𝜋

2

0

p

Quando 𝜔𝐹 = 𝜔0, a diferença de fase entre a força e o

deslocamento é 𝜋

2. Resulta que a diferença de fase entre

a força e a velocidade é zero. A potência (trabalho por unidade de tempo) é o produto interno da força pela velocidade. O trabalho produzido num intervalo de

tempo Dt, 0Δ𝑡𝑭. 𝒗 𝑑𝑡, é máximo se a diferença de fase

entre F e v for zero, ou seja, se 𝛿 =𝜋

2.

Conclusão: 𝜔𝐹 = 𝜔0 corresponde à máxima transferência de potência, ou ressonância de energia.



ANÁLISE DE FOURIER OU porque é que é importante saber a resposta de um sistema linear quando o input é uma função harmónica (seno ou coseno)



ANÁLISE DE FOURIEROU porque é que é importante saber a resposta de um sistema linear quando o input é uma função harmónica (seno ou coseno)

A resposta de um sistema linear a um input que seja uma soma de funções é a soma das respostas a cada função em separado.

A análise de Fourier permite encarar qualquer função f(t) como a soma de funções sinusoidais com amplitude e fase inicial criteriosamente escolhidas.

Se conhecermos a respostra de um sistema linear a uma sinusoide genérica fi(t)=Aicos(wit+di) podemos calcular a resposta do sistema a qualquer função f(t)


MOVIMENTOS OSCILATÓRIOSPêndulo simples



Segundo a direcção tangencial:

𝑚𝑑𝑣

𝑑𝑡= −𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃

Segundo a direcção radial:

𝑚𝑣2

𝐿= 𝑇 −𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠𝜃

Tendo em conta que 𝑣 = 𝐿𝑑𝜃

𝑑𝑡, resulta:

𝐿𝑑2𝜃

𝑑𝑡2= −𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2+ 𝜔02 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 𝑐𝑜𝑚 𝜔0 =

𝑔𝐿

SE 𝜃 for um ângulo pequeno (<10º), será sen 𝜃 ~ 𝜃, e nesse caso

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2+ 𝜔02 𝜃 = 0𝜃 𝑡 = 𝐴 cos(𝜔0𝑡 + 𝛿)



𝜃 𝑡 = 𝐴 cos(𝜔0𝑡 + 𝛿)

𝑇 =2𝜋

𝜔0


MOVIMENTOS OSCILATÓRIOSPêndulo amortecido (força de atrito viscoso do ar)

𝐹𝑣 = −𝑏𝑣



Segundo a direcção tangencial:

𝑚𝑑𝑣

𝑑𝑡= −𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑏𝑣

Segundo a direcção radial:

𝑚𝑣2

𝐿= 𝑇 −𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠𝜃

Tendo em conta que 𝑣 = 𝐿𝑑𝜃

𝑑𝑡, resulta:

𝑚𝐿𝑑2𝜃

𝑑𝑡2= −𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑏𝐿

𝑑𝜃

𝑑𝑡𝑑2𝜃

𝑑𝑡2+ 2𝜆𝑑𝜃

𝑑𝑡+ 𝜔02 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0

𝑐𝑜𝑚 𝜔0 = 𝑔𝐿 𝑒 𝜆 =

𝑏

2𝑚

SE 𝜃 for um ângulo pequeno (<10º), será sen 𝜃 ~ 𝜃, e nesse caso

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2+ 2𝜆𝑑𝜃

𝑑𝑡+ 𝜔02 𝜃 = 0

𝜃 𝑡 = 𝐴𝑒−𝜆𝑡 cos 𝜔02 − 𝜆2 𝑡 + 𝛿

Se 𝜆 < 𝜔0(𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑢𝑏 − 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜)




𝜃 𝑡 = 𝐴𝑒−𝜆𝑡 cos 𝜔02 − 𝜆2 𝑡 + 𝛿

Se 𝜆 < 𝜔0 (𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑢𝑏 − 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜)


"𝑇" =2𝜋

𝜔02−𝜆2



Utilização das condições iniciais (pêndulo simples)

No instante t=0, um pêndulo passa pela posição 𝜃 =𝜋

6𝑟𝑎𝑑,

rodando no sentido horário, com a velocidade de 3.0 m/s. Sabendo que o cumprimento do fio é L=4.0m, escreva a lei do movimento, na ausência de atrito.

Resolução: a lei do movimento deve ser da forma𝜃 𝑡 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜔0𝑡 + 𝛿

E por conseguinte a velocidade linear deve ser dada por

𝑣 𝑡 = 𝐿𝑑𝜃

𝑑𝑡= 𝜔0𝐿𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 + 𝛿

sendo A e d constantes arbitrárias. As condições iniciais permitem escrever que

𝜃 0 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝛿 = 𝜋/6 ; 𝑣 0 = 𝜔𝑜𝐿𝐴𝑐𝑜𝑠𝛿 = −3.0O sinal (-) traduz o facto de que o sentido do movimento é

negativo (𝑑𝜃

𝑑𝑡< 0).

Solução:

A = 0.708 radd= 2.31 rad

Nota: escolheu-se o valor de d para o qual A é positivo.



Utilização das condições iniciais (pêndulo amortecido)

No instante t=0, um pêndulo passa pela posição 𝜃 =𝜋

6𝑟𝑎𝑑, rodando

no sentido horário, com a velocidade de 3.0 m/s. Sabendo que o cumprimento do fio é L=4.0m, escreva a lei do movimento, tendo em conta que a força de atrito é 𝐹𝑣 = −0.5 𝑣 (𝑆𝐼) e que 𝑚 = 0.5 𝑘𝑔.

Resolução: a lei do movimento deve ser da forma

𝜃 𝑡 = 𝐴 𝑒−𝜆𝑡𝑠𝑒𝑛 𝜔′𝑡 + 𝛿 𝑐𝑜𝑚 𝜆 =𝑏

2𝑚= 0.5𝑠−1 𝑒

𝜔′ = 𝜔02 − 𝜆2 = 1.483 𝑟𝑎𝑑𝑠−1

A velocidade linear deve ser dada por

𝑣 𝑡 = −𝜆𝐿𝐴 𝑒−𝜆𝑡𝑠𝑒𝑛 𝜔′𝑡 + 𝛿 + 𝜔′𝐿𝐴 𝑒−𝜆𝑡𝑐𝑜𝑠 𝜔′𝑡 + 𝛿sendo A e d constantes arbitrárias. As condições iniciais são agora

𝜃 0 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝛿 =𝜋

6;

𝑣 0 = −𝜆𝐿𝐴 𝑠𝑒𝑛𝛿 + 𝜔′𝐿𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝛿 = −3.0



EXPERIÊNCIA PARA MEDIR A VISCOSIDADE DO AR:

Pendurou-se uma massa esférica de 2.0 kg e com 0.10m de raio usando um fio com 2.4m. Desviou-se o fio da vertical de um ângulo de 8º. Largou-se a partir dessa posição, e mediu-se o tempo até que a amplitude se reduziu a 4º, obtendo-

se o resultado de 85.5 s.

Calcule a viscosidade do ar. Tenha

em conta que a relação entre a força

de atrito viscoso e a velocidade é

𝐹𝑣 = 6𝜋𝜇𝑅𝑣 (lei de Stokes), sendo ma viscosidade.

A/2

t1/2



ESTABILIDADE DE UM NAVIO




A força de impulsão a que un navio fica sujeito por estar parcialmente submerso é igual ao peso do volume de líquido deslocado, e está aplicada no CM desse líquido, designado por centro de impulsão (B).

Quando o navio oscila o centro de impulsão desvia-se da linha central do navio, como se mostra na figura (há mais água deslocada do ladodireito da linha central). Designa-se por metacentro (M) a intersecção da vertical que passa pelo centro de impulsão com a linha central.

A que condição deve obedecer a posição dometacentro para que o navio seja estável?




Metacentro acimado CM

Metacentro abaixodo CM



ESTABILIDADE E ENERGIA POTENCIAL

Só num mínimo da energia potencial a força conservativa age sempre como força restituidora


F = -grad Ep

Equilíbrio estável(mínimo da energia potencial)

Equilíbrioinstável

(máximo da energia potencial)

Equilíbrio indiferente

F = -grad Ep



ESTABILIDADE E ENERGIA POTENCIALL

Só num mínimo da energia potencial a força conservativa age sempre como força restituidora


Ep = 1

2𝑘𝑥2

F = -grad Ep =-kx

Equilíbrio estável(mínimo da energia potencial)

Comprimento natural da mola


Ondas sísmicas a propagarem-se à superfície da Terra (muito exageradas!)

Modelo devido a Aristóteles que explica os sismos através da circulação de vapores subterrâneos. Foi adoptado desde o século IV AC até meados do século XVIII (ou seja, mais de 2000 anos). Era necessário recorrer ao vapor como meio de transporte da energia, porque não se entendia que a energia se podia propagar por meio de ondas, sem transporte de matéria.


ONDAS

propagação

Vibração das partículas

ONDAS PROGRESSIVAS LONGITUDINAIS(as particulas vibram na direcção de propagação)

video_ondas.mp4


ONDAS

ONDAS PROGRESSIVAS LONGITUDINAIS(as particulas vibram na direcção de propagação)

propagação


video_ondas.mp4


ONDAS

ONDAS PROGRESSIVAS TRANSVERSAIS(as particulas vibram prependicularmenteà direcção de propagação)

propagação


video_ondas.mp4


ONDAS

ONDAS ESTACIONÁRIAS

video_ondas.mp4


ONDAS

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

video_ondas.mp4


ONDAS

A

B


EQUAÇÃO DAS ONDAS(d’Alembert, 1747)

A

B

y

x

dx

A que condição deve obedecer a função y(x,t) que representa a forma de uma corda esticada que sofre uma perturbação transversal?



A massa por unidade de comprimento da corda é m, e a projecção horizontal da tensão é T. Como as partículas da corda se movem segundo y apenas, T é constante:

𝑇 = 𝑇𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜃𝐴 = 𝑇𝐵 𝑐𝑜𝑠𝜃𝐵 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

O movimento do segmento de corda de massa m dx obedece a

𝑇𝐵𝑠𝑖𝑛𝜃𝐵 − 𝑇𝐴𝑠𝑖𝑛𝜃𝐴 = 𝜇 𝛿𝑥𝑑2𝑦

𝑑𝑡2

ou, dividindo ambos os termos por T e usando a igualdade anterior,

𝑡𝑔 𝜃𝐵 − 𝑡𝑔 𝜃𝐴 =𝜇

𝑇𝛿𝑥𝑑2𝑦

𝑑𝑡2

Tendo em conta que 𝑡𝑔𝜃 =𝑑𝑦

𝑑𝑥, e que

𝑓(𝑥𝐵) ≈ 𝑓(𝑥𝐴) +𝑑𝑓

𝑑𝑥(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴), resulta

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2𝛿𝑥 =

𝜇

𝑇𝛿𝑥𝑑2𝑦

𝑑𝑡2

logo, 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=1

𝑣2𝑑2𝑦

𝑑𝑡2𝑐𝑜𝑚 𝑣 =

𝑇

𝜇

A

B

y

x

dx



QUAL A FUNÇÃO QUE OBEDECE A ESTA EQUAÇÃO?

EQUAÇÃO DAS ONDAS (A UMA DIMENSÃO):

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=1

𝑣2𝑑2𝑦

𝑑𝑡2𝑐𝑜𝑚 𝑣 =

𝑇

𝜇

RESPOSTA: Qualquer função f(x,t), desde que asvariáveis x e t surjam apenas combinadas na forma 𝑥 ± 𝑣𝑡 .

Ou seja, qualquer função 𝑓 𝑥 ± 𝑣𝑡

A escolha da função f vai determinar a forma da onda. Essa forma mantém-se no tempo, e desloca-se no sentido positivo (se o sinal for -) ou negativo (se o sinal for +) do eixo Ox.

A

B

y

x

dx



Exemplo de solução da equação das ondas:

A

B

y

x

dx

-2

0

2

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

t=0s𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)

(𝑥 − 0.1𝑡)

x(m)


A

B

y

x

dx

-2

0

2

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

t=0s𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)

(𝑥 − 0.1𝑡)

x

-2

0

2

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

t=10s

x

-2

0

2

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

t=20s

x

-2

0

2

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

t=40s

x(m)


Exemplo de solução da equação das ondas:


ONDAS ESTACIONÁRIAS

Problema

A) Pretende fabricar cordas de guitarra, que funcionem com uma tensão de 150 N. A distância entre os extremos fixos das cordas é de 0.55m. Calcule as massas lineares das cordas.

B) Num controle de qualidade, afinou-se a primeira corda, e de seguida fez-se vibrar essa corda pressionada no 5º trasto e simultaneamente a quinta corda. Foi audível um batimento de 30 Hz. Calcule o acréscimo de tensão que é necessário dar à quinta corda.

Freq (Hz) Nota 82.4 MI E - open 6th string 87.3 FA F92.5 FA sustenido F#98.0 SOL G103.8 SOL sustenido G#110.0 LA A - open 5th string 116.5 LA sustenido A#123.5 SI B130.8 DO C138.6 DO sustenido C#146.8 RE D - open 4th string 155.6 RE sustenido D#164.8 MI E174.6 FA F185.0 FA sustenido F#196.0 SOL G - open 3rd string 207.6 SOL sustenido G#220.0 LA A233.1 LA sustenido A#246.9 SI B - open 2nd string 261.6 DO C - "middle C" 277.2 DO sustenido C#293.6 RE D311.1 RE sustenido D#329.6 MI E - open 1st string 349.2 FA F370.0 FA sustenido F#392.0 SOL G415.3 SOL sustenido G#440.0 LA A - 5th fret on 1st string 466.1 LA sustenido A#493.8 SI B523.2 DO C 554.3 DO sustenido C#587.3 RE D622.2 RE sustenido D#659.2 MI E - 12th fret on 1st string


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)

(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIAS

Análise de Fourier

Vamos admitir que, ao perturbarmos um ponto P da corda deslocando-o a partir da posição de equilíbrio, ele fica a oscilarde acordo com

𝑦𝑃 𝑡 = 𝐴 cos(𝜔0𝑡)Para uma vibração diferente, podemos considerar que estamos atratar apenas uma das suas componentes harmónicas.

P

y


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)

(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASVamos admitir que, ao perturbarmos um ponto P da corda deslocando-o a partir da posição de equilíbrio, ele fica a oscilarde acordo com

𝑦𝑃 𝑡 = 𝐴 cos(𝜔𝑡)Para uma vibração diferente, podemos considerar que estamos atratar apenas uma das suas componentes harmónicas. Esta perturbação vai-se propagar em ambas as direcções com

velocidade 𝑣 = ±𝑇

𝜇, pelo que a forma da corda de ser dada

pela função

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑘(𝑥 ± 𝑣𝑡)ONDA HARMÓNICA

Formas alternativas de escrever esta equação:

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 ± 𝜔𝑡 logo 𝜔 = 𝑘𝑣

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 2𝜋(𝑥

𝜆±𝑡

𝑇) logo 𝑘 =

2𝜋

𝜆; 𝜔 =

2𝜋

𝑇

k – número de ondas angular; l – comprimento de onda

w – frequência angular; T – período; 𝑓 =1

𝑇− frequência

P

y


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)

(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASVamos admitir que, ao perturbarmos um ponto P da corda deslocando-o a partir da posição de equilíbrio, ele fica a oscilarde acordo com

𝑦𝑃 𝑡 = 𝐴 cos(𝜔𝑡)Para uma vibração diferente, podemos considerar que estamos A tratar apenas uma das suas componentes harmónicas. Esta perturbação vai-se propagar em ambas as direcções com

velocidade 𝑣 = ±𝑇

𝜇, pelo que a forma da corda de ser dada

pela função

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑘 𝑥 − 𝑣𝑡 + 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑘 𝑥 + 𝑣𝑡ou seja, é a sobreposição de duas ondas a propagarem-se em sentidos opostos.Tendo em conta que sen(a+b)+sen(a-b)=2 sen a cos b, resulta

𝑦 𝑥, 𝑡 = 2𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑣𝑡Como sabemos que y(0,t)=y(L,t)=0 para qualquer t, tem que ser 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝐿 = 0

𝑘𝐿 = 𝑛𝜋, com 𝑛 = 1,2,3… ou

𝜔𝑛 =𝑛𝜋𝑣

𝐿=𝑛𝜋

𝐿

𝑇

𝜇

P

y


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)

(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIAS𝜔𝑛 =𝑛𝜋𝑣

𝐿=𝑛𝜋

𝐿

𝑇

𝜇

Ou alternativamente, a frequência de vibração deve verificar

𝑓𝑛 =𝑛𝑣

2𝐿=𝑛

2𝐿

𝑇

𝜇

P

y


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)

(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIAS𝜔𝑛 =𝑛𝜋𝑣

𝐿=𝑛𝜋

𝐿

𝑇

𝜇

Ou alternativamente, a frequência de vibração deve verificar

𝑓𝑛 =𝑛𝑣

2𝐿=𝑛

2𝐿

𝑇

𝜇

Um ponto em 𝑥 = 𝑥𝑄 vai oscilar com esta frequência entre as

posições 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 2𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥𝑄 e 𝑦𝑚𝑖𝑛 = −2𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥𝑄 , e tendo

em conta que 𝑘 =𝑛𝜋

𝐿e que o comprimento de onda l é dado por

𝜆 =2𝜋

𝑘, o comprimento de onda da envolvente da amplitude é

𝜆𝑛 =2𝐿

𝑛, 𝑛 = 1,2,3,…𝜆1 = 2𝐿

𝜆2 = 𝐿

𝜆3 =2𝐿

3

𝜆4 =𝐿

2


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)

(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASBatimento

Ocorre um batimento (modulação da amplitude) quando se sobrepõem duas ondas com frequências quase iguais.

Onda 1 (40 Hz)

Onda 2 (50 Hz)

sobreposição (frequência do batimento: 10 Hz)

Interferência destrutiva interferência construtiva

Piano:

diapasão:


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)

(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASBatimento

Ocorre um batimento (modulação da amplitude) quando se sobrepõem duas ondas com frequências quase iguais.

Onda 1 (40 Hz)

Onda 2 (50 Hz)

sobreposição (frequência do batimento: 10 Hz)

Interferência destrutiva interferência construtiva

Seja 𝑦1 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos 𝑘1𝑥 − 𝜔1𝑡 𝑒 𝑦2 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos 𝑘2𝑥 − 𝜔2𝑡A onda resultante é observada no ponto x=0. Será:

𝑦1 𝑥, 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔1𝑡 + 𝐴 cos 𝜔2𝑡 = 2𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜔2 −𝜔12𝑡 𝑐𝑜𝑠

𝜔2 +𝜔12𝑡

Número de batimentos por segundo: 𝑓𝑏𝑎𝑡 = 2𝜔2−𝜔1

2x2𝜋= 𝑓2 − 𝑓1

(notar que há dois batimentos em cada período da envolvente)

Piano:

diapasão:


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)

(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASTubo de Ruben – a altura das chamas depende

da velocidade de saída do gás, que é dada por

𝑣 = (2(𝑝 − 𝑝2)/𝜌 (Eq. Bernoulli)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 5 10 15 20 25 30

tubo de Ruben

1.22 velocidade no nodovelocidade média num anti-nodo

pressão num nodoVelocidade no anti-nodopressão num anti-nodo

anti-nodo

nodo

pressão no anti − nodo: 𝑝 = 𝑝1 + 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)

Velocidade de saída do gás no anti-nodo: 𝑣 = (2(𝑝 − 𝑝2)/𝜌

pressão no nodo: 𝑝 = 𝑝1

Velocidade de saída do gás no anti-nodo: 𝑣 = (2(𝑝1 − 𝑝2)/𝜌

𝑝1

𝑝2

A velocidade média de saída do gás no nodo é mais elevada, por isso a chama é mais alta


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)

(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASTubo de Ruben

𝑝1

A velocidade média de saída do gás no nodo é mais elevada, por isso a chama é mais alta


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)

(𝑥 − 0.1𝑡)ONDAS ESTACIONÁRIASEfeito Doppler

ONDAS ESTACIONÁRIASEfeito Doppler


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)



frequência mais elevada(mais ciclos por segundo)

frequência menos elevada(menos ciclos por segundo)

FONTE MÓVEL

𝑣𝑆


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)



frequência mais elevada(mais ciclos por segundo)

frequência menos elevada(menos ciclos por segundo)

RECEPTOR MÓVEL

𝑣𝑅

𝑣𝑅


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)



FONTE MÓVELVelocidade da fonte em relação ao ar: 𝑣𝑆Velocidade do som em relação aom ar: u

𝜆′ = 𝑢𝑇 ± 𝑣𝑆𝑇 =𝑢 ± 𝑣𝑆𝑓

𝑓′ =𝑢

𝜆′, logo,

𝑓′ =𝑢

𝑢 ± 𝑣𝑆𝑓

𝜆′

𝑣𝑆


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)



RECEPTOR MÓVELVelocidade do receptor em relação ao ar: 𝑣𝑅Velocidade do som em relação aom ar: u

Para o ciclista que se aproxima da fonte, o tempo que decorre entre um máximo e o máximo seguinte é

𝑇′ =𝜆

𝑢 + 𝑣𝑅=𝑢

𝑢 + 𝑣𝑅𝑇

Invertendo, e tendo em conta que quando se afasta se aplica o sinal (-),

𝑓′ =𝑢 ± 𝑣𝑅𝑢𝑓

𝑣𝑅

𝑣𝑅


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)



FONTE E RECEPTOR MÓVEISVelocidade da fonte em relação ao ar: 𝑣𝑆Velocidade do receptor em relação ao ar: 𝑣𝑅Velocidade do som em relação aom ar: u

𝑓′ =𝑢 ± 𝑣𝑅𝑢 ± 𝑣𝑆

𝑓

𝑣𝑅


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)


HIDROSTÁTICA- Estuda em que condições um fluido fica equilíbrio.

Pergunta: o que é um fluido?Fluido é uma porção de matéria sem forma definida, que se adapta à forma do recipiente em que se encontra. Se não tiver volume definido e ocupar todo o volume do recipiente, dizemos que é um gás. Caso tenha volume definido, dizemos que é um líquido.


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)



Pergunta: o que é um fluido?Quando perguntamos se uma substância é sólida ou fluida, a conclusão a que chegamos depende do tempo de observação. As rochas da astenosfera (região da Terra abaixo da litosfera, ~120 km) comportam-se como um sólido no que respeita à propagação das ondas sísmicas (propagam ondas transversais, ou ondas S) mas comportam-se como um fluido no que respeita à Tectónica de Placas (formam-se células de convecção). No primeiro caso é T~1 segundo, no segundo caso é T~1Ma (~3x1013 segundos).


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)



Em última análise, é a viscosidade que determina se um corpo é um sólido indeformável (viscosidade infinita) ou um fluido viscoso (viscosidade finita).

A viscosidade mede a resistência à deformação.

A tensão de corte (shear stress) no interior de um fluido viscosoé a força tangencial por unidade de superfície aplicada por uma camada Sobre a camada adjacente, quando as suas velocidades são diferentes:

𝜏 = 𝜇𝑑𝑣𝑥𝑑𝑦

Em equilíbrio (hidrostática), não existem forças tangenciais.𝐹 = 𝜇𝐴

𝑣

𝐿

y

x


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)



Pergunta: O vidro é fluido, ou sólido?

A ideia de que os vidros das janelas das catedrais são mais grossos na base porque o vidro flui apósalguns séculos é um mito urbano. Apesar de seruma substância amorfa (sem estrutura cristalina), à temperatura ambiente o vidro levaria milhares demilhões de anos a deformar-se por efeito do seupeso.

Ao que parece, alguns vidros são mais grossos na base porque o processo de fabrico assim determinava, e eram colocados nessa posição para ficarem mais estáveis...


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)



Pergunta: a que forças está sujeito um elemento de volume no interior de um fluido?

Em equilíbrio, a resultante das forças através da superfíciedo elemento de volume tem que equilibrar o seu peso.

No interior de um fluido em equilíbrio, as forças que se exercem através de uma superfície são perpendiculares a essa superfície.

Logo, deve ser−𝑝𝐴𝑆 + 𝑝𝐵𝑆 − 𝜌𝑔𝑆𝛿𝑧 = 0; 𝐹𝐸−𝐹𝐷= 0

ou 𝑝𝐵 = 𝑝𝐴 + 𝜌𝑔𝛿𝑧e em geral

𝑝 𝑧 = 𝑝0 + 𝜌𝑔𝑧 z

z=0

zA

z=d

zB=zA+dz

FA = -pAS

FB = pBS

p0

FE FD


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)

(𝑥 − 0.1𝑡)HIDRODINÂMICA- Equação de Bernoulli

Fluido incompressível (𝜌 constante) Regime estacionário: a velocidade pode variar

de ponto para ponto, mas num dado ponto não

pode variar no tempo (ou seja, 𝜕𝒗

𝜕𝑡= 0)

Será 𝑣1𝐴1 = 𝑣2𝐴2 (incompr. )Trabalho das forças de pressão no intervalo de tempo 𝛿t:

Mas 𝛿𝑊 =1

2𝜌𝐴1𝑣1𝛿𝑡 𝑣1

2 − 𝑣22 + 𝜌𝐴1𝑣1 𝛿𝑡 g(z1-z2)

^^ variação de Ec^^ ^^ variação de Ep^^

Logo,𝑝

𝜌+𝑣2

2+ 𝑔𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (Eq. Bernoulli)

p1

p2

𝛿𝑊 = 𝑝1𝐴1𝑣1𝛿t-𝑝2𝐴2𝑣2𝛿t


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)

(𝑥 − 0.1𝑡)HIDROSTÁTICA

Exemplo de aplicação: prensa hidráulica

A massa do elefante da figura é de 7 toneladas. Calcule a força F1 necessária para e e levar o elefante. A área A1 é 0.05 m2 e a área A1 é 9.0 m2 . Calcule o deslocamento d1 necessário para elevar o elefante 0.20m.


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)


Exemplo de aplicação: tubo de Venturi

O dispositivo da figura permite determinar a velocidade de escoamento da água no interior de uma conduta. Estabeleça a relação entre o desníve nos tubos verticais e a velocidade v. Se a secção reduzida é um terço da secção normal e o desnível é 0.10m, calcule v.

v v


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)


Exemplo de aplicação: tubo de Pitot

Este dispositivo permite calcular a velocidade de um avião em relação à massa de ar envolvente, a partir da diferença entre a pressão atmosférica pS e a pressão pS no interior do tubo. Estabeleça a relação entre pt – pS e a velocidade do avião. Sugestão: aplique a equação de Bernoulli no referencial do avião, e coloque um dos pontos a distância infinita (ar não perturbado pelo avião).

Nota: em Junho de 2009 um Airbus A330 da Air France caiu no Oceano Atlântico junto à costa do Brasil, porque se formou gelo no interior dos tubos de Pitot.


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)

(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIAL

tA

tB = tAacontecimento A

acontecimento BtB>tA

tB>tA

tB

xB

xA

xAxB

O que é um acontecimento?


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)

(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIALO que é um acontecimento?

Acontecimento é um fenómeno caracterizado por

um instante no tempo

e

um local no tempo

ou seja, um ponto no espaço-tempo


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)


Experiência de Michelson e Morley (1881)

Velocidade da luz = c-v

Velocidade da luz = c+v

Velocidade

da luz = 𝒄𝟐 − 𝒗𝟐

Pretendia determinar a velocidade da Terra em relação ao “éter”, substância hipotéticaque servia de meio à propagação da luz. Admitia-seque o éter estava em repouso, e que o movimento da Terra originava o “vento do éter”.

𝑡2 =2𝑙

𝑐

1

1 −𝑣2

𝑐2

𝑡1 =2𝑙

𝑐

1

1 −𝑣2

𝑐2


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)


Postulado de Einstein (1905):

A velocidade da luz é uma constante, independente do estado de movimento do observador.

Velocidade da luz = c-v

Velocidade da luz = c+v

Velocidade

da luz = 𝒄𝟐 − 𝒗𝟐


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)

(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIALConsequências do postulado de Einstein:Acontecimento 1 – a lâmpada acendeAcontecimento 2 – a luz chega ao detector

O tempo entre os acontecimentos dependedo estado de movimento do observador:

É mínimo no referencial de repouso> dilatação do tempo

hv

espelho

Lâmpada detector

Para quem está dentro da carrinha, a luz percorreu o espaço

2h à velocidade c, e demorou ∆𝑡0 =2ℎ

𝑐

Para quem está parado na rua, a luz percorreu a distância

2𝑙 = 21

2𝑣∆𝑡

2

+ ℎ2 = 𝑐∆𝑡, logo, ∆𝒕 =∆𝒕𝟎

𝟏 − 𝒗𝟐/𝒄𝟐> ∆𝒕𝟎

𝑙 𝑙

1

2𝑐∆𝑡

Licenciatura em Engenharia e Gestão industrial – Cadeira de Mecânica e Ondas2º semestre de 2015/2016,

𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)

(𝑥 − 0.1𝑡)

Consequências do postulado de Einstein:Acontecimento 1 – a lâmpada acendeAcontecimento 2 – a luz chega ao detector

O comprimento de um objecto dependedo estado de movimento do observador:

É máximo no referencial de repouso contracção do espaço

Visto de fora da carrinha:

v

espelho

Lâmpada detector

Para quem está dentro da carrinha, a luz percorreu o espaço 2𝐿0 à

velocidade c, no tempo ∆𝑡0 =2𝐿0

𝑐. Para quem está parado na rua, a luz

levou o tempo ∆𝑡 = ∆𝑡1 + ∆𝑡2 =𝐿

𝑐−𝑣+𝐿

𝑐+𝑣(𝑣𝑒𝑟 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑚𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜)

=2𝑐𝐿

𝑐2 − 𝑣2, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝐿 =

1

2𝑐∆𝑡 1 −

𝑣2

𝑐2

Substituindo ∆t por∆𝑡0

1−𝑣2

𝑐2

=1

𝑐

2𝐿0

1−𝑣2

𝑐2

, vem 𝑳 = 𝑳𝟎 1 −𝑣2

𝑐2< 𝑳𝟎

∆𝑡1 = (𝐿 + 𝑣∆𝑡1)/c

𝐿0

∆𝑡2 = (𝐿 − 𝑣∆𝑡2)/c


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)

(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIALO carro e a garagem têm o mesmo

comprimento, porque os seus extremos coincidiram no espaço no mesmo instante. O carro move-se em relação a mim com velocidade de 4m/s, e para o dono do carro ele mede L0 = 6m. Portanto para mim o carro mede

𝐿 = 𝐿0 1 −𝑣2

𝑐2= 6 1 −

42

52= 3.6𝑚

e a garagem também mede 3.6m

xAxB


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)

(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIALSe a garagem mede 3.6m para o vendedor,

para mim ela está a mover-se com a velocidade de 4m/s, logo mede

𝐿 = 𝐿0 1 −𝑣2

𝑐2= 3.6 1 −

42

62= 2.16m

por isso o meu carro de 6m não cabe na garagem

xAxB


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)

(𝑥 − 0.1𝑡)RELATIVIDADE ESPECIALE quanto à

simultaneidade da entrada da traseira e da saida da dianteira? Foram ao mesmo tempo? Foram

desfasadas no tempo?

xAxB


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)


Transformação de Lorentz:

xx’

x’= 0x = 0vt

Referencial SReferencial S’

𝑥′ =𝑥 − 𝑣𝑡

1 −𝑣2

𝑐2

𝑦′ = 𝑦

𝑧′ = 𝑧

𝑡′ =𝑡 −𝑣𝑐2𝑥

1 −𝑣2

𝑐2

v


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)



xx’

x’= 0x = 0vt


Se o observador em repousovê o semáforo no ponto x mudar de cor no instante t,o condutor da carrinha vê osemáforo no ponto x’ mudarde cor no instante t’.


1 −𝑣2

𝑐2

𝑦′ = 𝑦

𝑧′ = 𝑧


1 −𝑣2

𝑐2

v


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)


Transformação de Galileu:

xx’

x’= 0x = 0vt


v

𝑥′ = 𝑥 − 𝑣𝑡

𝑦′ = 𝑦

𝑧′ = 𝑧

𝑡′ = 𝑡


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)



xx’

x’= 0x = 0vt


Respeita a constância da velocidade da luz!


1 −𝑣2

𝑐2

𝑦′ = 𝑦

𝑧′ = 𝑧


1 −𝑣2

𝑐2

v


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)


xAxB

Seja (S) o referencial do vendedor.No instante t a dianteira está em xA

e a traseira está em xB. Para o condutor, no referencial (S’),esses acontecimentos ocorrem nosinstantes

𝑡′𝐴 =𝑡−𝑣

𝑐2𝑥𝐴

1−𝑣2

𝑐2

e 𝑡′𝐵 =𝑡−𝑣

𝑐2𝑥𝐵

1−𝑣2

𝑐2

Pelo que 𝑡′𝐵 − 𝑡′𝐴 =

𝑣

𝑐2𝑥𝐴−𝑥𝐵

1−𝑣2

𝑐2

> 0

ou seja, a traseira entra depois de adianteira sair. Não há simultaneidade em (S’)


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)


Transformação relativistada velocidade:

xx’= 0x = 0vt

Referencial S Referencial S’


1 −𝑣2

𝑐2


1 −𝑣2

𝑐2

v

x

d𝑥′ =𝑑𝑥−𝑣 𝑑𝑡

1−𝑣2

𝑐2

𝑑𝑡′ =𝑑𝑡 −𝑣𝑐2𝑑𝑥

1 −𝑣2

𝑐2

𝑢′ =𝑑𝑥′

𝑑𝑡′=𝑑𝑥 − 𝑣 𝑑𝑡

𝑑𝑡 −𝑣𝑐2𝑑𝑥=

𝑑𝑥𝑑𝑡− 𝑣

1 −𝑣𝑐2𝑑𝑥𝑑𝑡

Ou seja

𝑢′ =𝑢 − 𝑣

1 −𝑣𝑐2𝑢

Velocidade u segundo (S)Velocidade u’ segundo (S’)

Se 𝑢 = 𝑐, será 𝑢′ =𝑐 − 𝑣

1 −𝑣𝑐2𝑐= 𝑐𝑐 − 𝑣

𝑐 − 𝑣= 𝑐, como era de esperar


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)


Limite superior para a velocidade:

x = 0

Referencial S Referencial S’

v=-0.99c

𝑢′ =𝑢 − 𝑣

1 −𝑣𝑐2𝑢

Velocidade u segundo (S)Velocidade u’ segundo (S’)

Se 𝑢 = 𝛼𝑐 𝑒 𝑣 = −𝛽𝑐 será 𝑢′ =𝛼 + 𝛽 𝑐

1 +𝛽𝑐𝑐2𝑐=𝛼 + 𝛽

1 + 𝛽𝑐 < 𝑐

Para 𝛼 = 0.990 𝑒 𝛽 = 0.99,0 𝑢′ = 0.995𝑐

u=0.99c


𝐹 𝑥, 𝑡 =𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 0.1𝑡)


Massa relativistaEnergia relativista

Além da constância da velocidade da luz no vácuo, Einstein postulou também que as leis da Física deviam ser válidas em todos os referenciaisde inércia. Contudo, a conservação do momento linear durante a colisãode partículas parecia não se verificar nos diferentes referenciais de inércia. Einstein intuiu que a conservação se verificava, mas era preciso redefinir a massa:Uma partícula com massa m0 no referencial em que está em repouso (massaprópria), quando se move em relação a um observador com velocidade v tem para ele a massa

𝑚 =𝑚0

1 −𝑣2

𝑐2

Considerando agora que um corpo de massa inicialmente em repousoé sujeito a uma força F , que realiza um trabalho

𝑊 = 𝑭. 𝑑𝒓 = 𝑑(𝑚𝒗)

𝑑𝑡. 𝑑𝒓 = 𝒗. 𝑑

𝑚0𝒗

1−𝑣2

𝑐2

= ⋯

= 𝑚𝑐2 −𝑚0𝑐2

Uma vez que 𝑊 = ∆𝐸, podemos concluir que a partícula tinha energia 𝐸 = 𝑚0𝑐

2 quando estava em repouso, e quando em movimento passou a ter energia

𝐸 = 𝑚𝑐2

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