licenciatura em engenharia...

Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNICA I

Exame de Época de Recurso – 25/07/2003

NOME: ___________________________________________________________________________

1/8

1) (3 VAL.) Tempo estimado de resolução – 20 minutos

a) Considere o cabo representado na Figura, suspenso entre os pontos A e B, submetido a uma acção

distribuída variável descendente p(x). Mostre que, independentemente da lei que caracteriza a força

p(x), o esforço axial no cabo é máximo em B.

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b) Defina ângulo de atrito estático eφ . Relacione-o com o coeficiente de atrito estático eµ entre as

duas superfícies. Justifique a resposta com base na análise das condições de equilíbrio do bloco de

peso P assente numa superfície inclinada caracterizada pelo ângulo α.

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l

hy

xA

B

p(x)

α

P



2/8

c) Considere o seguinte sistema estrutural. Determine as reacções pelo método do polígono funicular.

B C

E

F

A

D



3/8

Nota: A resolução dos exercícios deve ser apresentada de uma forma simples, explícita, organizada

e com todos os cálculos intermédios. Se necessário, faça um rascunho, mas não o entregue!


A estrutura ilustrada na figura representa um sistema plano constituído pelos corpos rígidos [DGHI],

[JK], [PQOT] e [RSUV], pelo cabo [ILMNO] e pelo sistema articulado rígido [ABCDEF]. O cabo

[ILMNO] sustem o corpo rígido [JK], que impõe em cada ponto I, L, M,N e O uma força de igual

valor P = 8kN. Os corpos [PQOT] e [RSUV] encontram-se ligados entre si por duas bielas [TU] e

[QR] paralelas.

a) Determine a tensão máxima no cabo e o valor da força F de interacção nos nós I e O;

b) Determine as reacções de apoio nos nós V e G. Se não resolveu a alínea anterior, considere

F = 20kN inclinada de 45o em relação à horizontal;

c) Determine o esforço axial na barra bi-articulada [TU].

O

9kN/m

4.0 4.0 4.0 4.0 2.5 4.0 4.0 2.0 4.0 4.0

5.0

15 kN 10 kN

2.5 2.5 2.5

5 kN

A B C D G J K

Q R

T U

P

V E F H I

S

L M N 3.0



4/8


Considere a treliça representada na figura. Esta é uma das vigas principais de uma ponte metálica e

está submetida ao carregamento apresentado:

4,0 2,0 4,0

3,0

2,0 2,02,0

100 kN 100 kN 100 kN

AB

C

D

E

F

G

H

I

J

[m]

a) Recorrendo ao Método de Ritter determine o esforço axial da barra CF e da barra BE.

b) Identifique as barras da estrutura com esforço axial nulo.

c) Indique para as restantes o sentido do esforço axial (compressão ou tracção) sem efectuar cálculos.

Justifique os resultados recorrendo a equilíbrios de nós esquemáticos.

d) Suponha que a ponte foi reforçada com um cabo exterior, como se ilustra no esquema seguinte.

Admitindo que o esforço axial no cabo é de 300 kN, determine as forças exercidas pelos novos

elementos na estrutura original (ou seja, calcule o esforço axial nas barras [KB], [KE], [LE] e [LH]).

C

4,0

A

3,0

Cabo

I

H

G

F

E

D

B

4,02,02,02,02,0

K L

2,0

Roldanas

[m]



5/8


Considere o sistema estrutural representado na seguinte figura.

G

B D

3 kN

20 kNm

ECA

5 kN

Através do Princípio dos Trabalhos Virtuais determine:

a) A reacção de apoio vertical em A.

b) A reacção de apoio vertical em D.

c) O momento no apoio em G.

Nota: Realize as construções geométricas necessárias na folha anexa.



NOME: ___________________________________________________________________________

6/8

Não esqueça de escrever o

nome Assinale nas quadrículas verdadeiro V ou falso F .

Nota: Poderão existir nenhuma ou mais do que uma resposta verdadeiras.

5) (3 VAL.)

a)

Um torsor cujos invariantes escalar e vectorial são nulos é equivalente a zero.

Os elementos definidores de um campo de momentos são o vector principal e o vector momento num ponto qualquer do espaço.

Adicionando a um sistema de forças um vector igual e oposto à sua resultante, aplicado num ponto qualquer do eixo central, obtém-se um novo sistema de forças equivalente a binário.

b)

F1

F3

F4

F2

F5

F6

O torsor { }4321 F,F,F,Frrrr

≡τ representado na Figura é equivalente a resultante aplicada no centroíde.

O polígono funicular associado ao sistema de forças { }4321 F,F,F,Frrrr

≡τ é aberto.

Adicionando ao torsor τ os vectores 5Fr

e 6Fr

, de magnitude 2, obtém-se um torsor equivalente a zero.

7/8

c)

Figura 1 Figura 2

20 kNGFEDCB45º

10 kNA

4.0m 4.0m2.0m2.0m2.0m2.0m 1.0m

Figura 3

O sistema estrutural representado na Figura 1 é hipostático.

O sistema estrutural representado na Figura 2 é uma vez hiperestático.

A reacção de apoio em D do sistema estrutural representado na Figura 3 vale 10kN (ascendente).

d) Considere o sistema estrutural representado na Figura, submetido às forças concentradas

indicadas.

3.0m

4.0m 4.0m 4.0m

10 kN10 kN

10 kN

A B C D

F E

O esforço axial na barra BF é nulo.

A barra EF está comprimida e as barras AB, BC e CD estão traccionadas.

A barra FC está comprimida e submetida a um esforço axial de 25/6 kN.

8/8



NOME: ___________________________________________________________________________

e) Considere o cabo flexível representado na Figura, de peso próprio desprezável, submetido a uma

força uniformemente distribuída constante por unidade de comprimento na direcção horizontal;

10.0m

4.0m

10º B

A

2 kN/m

O esforço axial é mínimo em B.

O cabo tem uma configuração geométrica parabólica.

Sendo o esforço axial em B dado por T=45,4kN, então o esforço axial em A vale 52,7kN.

f) O bloco B1, de peso P=20N encontra-se apoiado sobre um bloco B2, de peso Q=40N, de acordo

com a representação da Figura, estando submetido a uma força horizontal H, aplicada de forma

gradual .

0.10

0.15

0.05

0.20

0.10

Q=40kN

P=20kNH B1

2B

Admitindo que o movimento relativo entre os dois blocos está impedido, sendo os coeficientes de atrito estático e dinâmico na superfície de contacto de 30.0e =µ e

20.0d =µ , respectivamente, então o movimento do conjunto só é possível mediante a aplicação de uma força mínima de 12N.

Admitindo agora que o movimento relativo entre os blocos B1 e B2 não está impedido e que o coeficiente de atrito estático entre as respectivas superfícies de contacto é de 50.0e =µ , então a aplicação de uma força horizontal de 10N leva ao derrube iminente do bloco B1.

O derrube e deslizamento iminentes do bloco B1 são concomitantes quando o coeficiente de atrito estático entre as superfícies de contacto dos dois blocos é 33.0e =µ .

B1

B2

40N

20N

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