libro uni mate financiera

7/16/2019 LIBRO UNI Mate Financiera

http://slidepdf.com/reader/full/libro-uni-mate-financiera 1/40

Hernán B. Garrafa araGón

M A T E M Á T I C A F I N A N C I E R A



Rector AurelioPadillaRíos

PrimerVicerrector JoséS.MartínezTalledo

SegundoVicerrector LuisCabelloOrtega

yPresidentedelaComisióndelProgramaEditorial

EduardodeHabich-TextosUNI

Primeraedición,juniode2008

MateMática Financiera

ImpresoenelPerú/PrintedinPeru

© HernánB.GarrafaAragón

Derechos reservados

EditorialUniversitariadela

UniversidadNacionaldeIngeniería

Av.TupacAmaru210,Rímac-Lima

PabellónCentral/SótanoTelf.:481-1070anexo240

E-mail:[email protected]

JefeEDUNI:Pf. Áv Mñ Fi

DiseñoyDiagramación:EDUNI

Impresopor...................................

ISBN:..............................................

HechoelDepósitoLegalenlaBibliotecaNacional

delPerúNº.........................................

Prohibidalareproduccíóndeestelibroporcualquiermedio,

totaloparcialmente,sinpermisoexpresodelautor.



A mi esposa, Jessica

A mi hija, Yemitsu

A mis padres: Braulio y Margarita

A mi hermana, Inés

A mis hermanos: José, Franck, Tino

A mi sobrina, Vanesa.



ConTEnIdo

Prólogoyagradecimientos 13

Introducción 15

Interés sIMPle

1.1.Introducción 17

1.2.Elinteréssimple 20

1.3.Períododetiempo 23

1.4.Interésexactoeinterésordinario 23

1.5.Normacomercial 24 1.6.Valorpresente 24

1.7.Monto 24

1.8.Variacionesdetasas 26

1.9.Ecuacionesdevalor 28

Problemasresueltos 32

Problemaspropuestos 39

Interés CoMPuesto


2.2.Interéssimpleeinteréscompuesto 43

2.3.Monto 45

2.4.Valoractual 47

2.5.Montoconvariacionesdetasas 49

2.6.Ecuacionesdevalor 51

Problemasresueltos 55 Problemaspropuestos 68

DesCuento


3.2.Descuentoracional 74

3.3.Descuentobancario 76

3.4.Descuentocomercial 80

1

2

3



8 Hernán B. G arrafa araGón



tasas

4.1.Introducción 93 4.2.Tasanominalytasaproporcional 94

4.3.Tasaefectiva 96

4.4.Tasasequivalentes 98

4.5.Tasaactivaypasiva 103

4.6.Tasadeinteréscompensatorio 106

4.7.Tasadeinterésmoratorio 107

4.8.Tasadeinteréslegal 109 4.9.Tasadeinflación 110

4.10.Tasareal 113

4.11.Tasadedevaluación 114

4.12.Tasasconcapitalizacióncontinua 118



anualIDaDes 5.1.Introducción 137

5.2.Montodeunaanualidadvencida 138

5.3.Valorpresentedeunaanualidadvencida 140

5.4.Montodeunaanualidadanticipada 143

5.5.Valorpresentedeunaanualidadanticipada 144

5.6.Anualidadesdiferidas 146


Casos 167


anualIDaDes PerPetuas


6.2.Valorpresentedeunaanualidadperpetua vencida 177

4

5

6



M ateMática financiera

6.3.Valorpresentedeunaanualidadperpetua anticipada 179



GraDIentes


7.2.Valorpresentedeanualidadesquevaríanen progresiónaritmética 197

7.3.Valorpresentedelosgradientesuniformes 198

7.4.Equivalenciasentreanualidadesuniformesy anualidadesquevaríanenprogresiónaritmética 199

7.5.Valorpresenteconanualidadesenprogresión geométrica 203

Problemasresueltos 206 Problemaspropuestos 218

aMortIzaCIón


8.2.Fondodeamortización 221

8.3.CuadrodelFondodeAmortización 221 8.4.Amortización 224

8.5.CuadrodeAmortización 224

8.6.Valoractualneto 228

8.7.Tasainternaderetorno 231

8.8.Depreciación 233


Casos 265 Casopropuesto 276


oblIGaCIones

9.1Introducción 281

9.2.Terminología 282

9.3.Bonos 283

7

8

9




9.4Opcióndecompra 284

9.5.Valuacióndeunagraduación 285

9.6.Larelaciónentretasadeinteréseinflación 291

9.7.BonosBrady 392

BonosPar 292 BonosalDescuento 293

BonosFlirbs(FrontLoadInterestReduction

Bonds) 293

BonosdeConversióndeDeuda(DCBs)y NuevoDinero(NMBs) 293

BonosdeInteresesRetrasados 294

BonosdeInteresesCapitalizados 294 Problemasresueltos 295


Glosario 303

Citasbibliográficas 313

Referenciasbibliográficas 313

Anexo 315



11M ateMática financiera

ÍnDICe De tablas

t Dcipci Pági

1ATasaactivapromedioensolesydólares.Fuente:BCRP. 105

1BTasapasivapromedioensolesydólares.Fuente:BCRP.

105

2AÍndicedepreciosalconsumidordeLima.(índicebasediciembre2000=100).Fuente:INEI.

111

2BInflaciónmensualdeLima(variación%mensual).Elaboración:propia.

111

3ATCydevaluaciónorevaluación(nuevosol/dólar).Fuente:BCRP,SBS,ReutersyDatatec.

116

ÍnDICe De GrÁFICos

Fig Dcipci Pági

1.1 Evolucióndelatasadeinterésensolesydólares.Fuente:DatosdelBCR.Gráfico:Elaboraciónpropia. 20

1.2 RelaciónentrePysuvalorfuturo. 21

1.3 Relaciónvalorpresenteymonto. 25

1.4 Interéssimpleconvariacionesdetasa. 27

2.1 Relaciónentreinteréssimpleycompuesto. 44

2.2 Capitalizaciónanualversuscapitalizacióntrimestral. 45

2.3 Relaciónentrevaloractualymonto. 48

8.1 EvolucióndelVANenfuncióndelcostodecapital. 230



Póg y agaecimiet

Estelibrorecogelasexperienciasquealolargodelosañosmehadadoelhaberdictandoestamateria,aunadasalasoperacionesconbancosque,comocualquierciudadano,

herealizado.Adicionalmente,herecibidosugerenciaseideasde partededocentesdeestamaterialoquemehapermitidomejorarlacalidaddeestetrabajo.

Expreso mi agradecimiento y aprecio al MBA Germán Ríos,funcionariodeMiBanco,quepermitióincluirproblemasdeope-

racionesfinancierasquesegeneran,comúnmente,enlabanca privadapara,deestamanera,hacermásefectivoyútilestelibro paraestudiantesdelamateria.

TambiénmireconocimientoalaSeccióndePostgradodelaFIECSenlosprofesores:Mag.EnriqueSatoKurodayMag.UlisesHu-malaTassoporelapoyoaestapublicación,convocandoalospro-fesoresDr.LuisNavarroHuamaníyMag.JuanLamÁlvarezquie-nescolaboraronenlarevisióndeestematerial.AlseñorFreddyBartolaporlasútilesideasparamejorarestaprimeraedición.

EstelibrorecogeelesfuerzodelosestudiantesdelcursodeMa-temáticaFinancieraconloscualesseresolvióvariosejemplosy

problemasplanteadosenelpresentevolumen.



Itucció

Este libro está dirigido al estudiante universitario en elcursodeMatemáticaFinancieraenlasespecialidadesdecienciaseconómicas,ingeniería,administraciónyconta-

bilidadenlascualessedictaestecurso.

MatemáticaFinancieraestáconsideradaenelcampodelama-temáticaaplicadaqueestudiaelvalordeldineroeneltiempo,teniendoencuentavariosfactores,como:latasa,elcapitalyeltiempoparaobtenerunmontoointerésquepermitentomarde-cisionesdeinversión.

Conesaóptica,permitiráalalumnoelaborarmodelosmatemáti-cosencaminadosainterpretaryresolverlosproblemasfinancie-rosque,confrecuencia,sepresentanenlagestióndelasempre-sas,organismosdeinversionesyentidadesdelsistemabancarioyfinanciero.

Adicionalmente,ayudaaresolverproblemasqueselepresentaacualquierciudadanoensuvidadiaria,como,porejemplo,adqui-rirunautomóvil,unacasa,cualquierbienoproductoobtenidoa

plazo;solicituddecréditos,contratodepólizas,acciones,obliga-ciones(bonos)uotrotipodeinversiónrentable.Elconocimientodelasmatemáticasfinancieras,portanto,lepermitiráalalumna-doprestaroinvertirsudineroenunaformamásracional.

Lacaracterísticaprincipaldeestelibroesutilizarpocasfórmu-las,inusualenlostextosdeMatemáticaFinanciera,para,deestamanera,darlesimplicidadalasolucióndelosproblemasycasos.Sibienesciertoqueeldesarrollodelosmismosestárealizadoen



Excel se hace utilizando las operaciones comunes potenciación




Excel,sehaceutilizandolasoperacionescomunes,potenciación,radicaciónylogaritmo.

Alolargodellibroseplanteayresuelveproblemasprácticos paraasíilustrarmejorlasfórmulasdesarrolladasenlateoría.

También, en este tomo, se ha recogido problemas al nivel demaestríaeneconomía,administraciónycontabilidadloscualeshansidoresueltostratandosiempredequelasolucióndelosmismosseasimple.

Sepresentacasosrealesdeproblemasdeamortizacióndenuestra bancanacionalydeprestamistasinformales.Puedesuceder,porejemplo,quelafórmulaaplicadaparadeterminarelmontodel

pagoperiódicoes lamismadesarrolladaen lateoríaexistiendo

pequeñasdiferenciascon respectoa cómo lo obtieneel bancoconrespectoaestateoría.Esporelloquesemuestraeldesarrollodeestetipodeproblemasycuálesladiferenciaconrespectoalateoríamostradaenellibro.

Los temas financieros ocupan una posición muy relevante ennuestrasociedad.Sepuedeobservarinformaciónfinancieraenlosdiarios,revistas,televisión,etc.yesqueparatomarunadecisión,deíndolefinanciera,sedebeestarinformadoyasesoradoporuna persona con conocimientos en finanzas. Es esta creciente

necesidad deconocimientos de temas financieros loque hace posible la edición de libros de matemáticas financieras comouninicionecesarioparaingresarenelimportantemundodelasfinanzas.

MatemáticaFinancieraeselcursoinicialbásicoparalassiguientesmaterias:AnálisisFinancierooAdministracióndeInversionesyIngeniería Financiera; suaplicación seorienta a personasquetienencomofuncióntomardecisionesdefinanciamiento;paraellodebenteneryprocesarinformaciónpara,deestamanera,estarencondicionestomarunadecisiónadecuada.

Finalmente,deboprecisar,conrespectoallibro,queresultaríaabsurdoreclamaroriginalidadporqueexistemuchomateriales-critoacercadeestostemas,porloquemeremitoalenunciadodeAdamSchaff(“HistoriayVerdad”):“Laúnicaoriginalidadque

puedepretenderelautorresideenlamaneraenquedispongaenunconjuntoloselementosyaconocidosyenelusoenquehagadeeseconjuntoensusrazonamientos”.



Capítulo

1



Capítulo

InTErés sIMPlE

1.1. Idcci

Antesdedesarrollarestetema,explicaréelconceptodeinterés,debidoasuimportanciaenloscapítulosposteriores.Elinteréseselprecioapagarporelusodedineroquenoesnuestro,esdecir,lospréstamosquegeneralmentenos

brindan:unamigo,laempresadondelaboramos,unainstituciónbancaria,etc.Porestepréstamo,solicitamosuntiempodeterminadoparasudevolución.Determinarestepreciosignificasaber¿cuáleslacuantíadelpréstamo?y¿porcuántotiemposelevaausar?Alvalordeeseprecio,cuandoseexpresaporunidaddecapitalyunidaddetiempo,selellamatasadeinterés(magnitudindependientedelaunidadmonetariautilizadaparaelpréstamo),elcualde -

pendedelaunidaddetiempo.Estenivelestarádeterminadoporlaofertaylademandadedineroenlaeconomía(ofertaodemandamonetaria)yéstas,asuvez,dependendelapolíticamonetariayfiscal;cuandoexisteescasezdedine-

roenlaeconomíasuniveldeprecioaumentaráycuandoexisteabundanciadedinero,suniveldepreciodisminuirá.Adicionalmente,paraesteniveltambiéninfluyenlasexpectativasdelosagenteseconómicossobreelcomportamientofuturodelaactividadeconómica.Todosestosfactoresdeterminanesteniveldeprecio.

AcontinuaciónseexplicaráelconceptoDinero,OfertaMonetaria,InversiónyCrédito,antesdeiniciareltemadeinteréssimple.

Di.Seconoce comúnmentepor aquelloque puedeser utilizado como

mediodeintercambio,detalformaqueporunacantidaddeesteelementose puedeobtenerciertosbienesoservicios(Ayres,Jr.Frank).

Desdeestepuntodevista,sonllamadosdinero:lasmonedasdemetal,lasmonedasdepapel(billetes),loschequesylastarjetasdecrédito(engeneral,llamadodineroplásticoodinerodeplástico–esunatarjetadeplásticoconuna

bandamagnética–)Visa,MasterCard,etc.,todasellaspuedenserutilizadascomomediodeintercambioparaobtenerproductososervicios.

1


http://slidepdf.com/reader/full/libro-uni-mate-financiera 30/40of mi.Existenvariasposiblesdefiniciones,lamásrestringidaesla que expresa que están constituidos exclusivamente por los billetes y mo




laqueexpresaqueestánconstituidosexclusivamenteporlosbilletesymo-nedasencirculaciónmáslosdepósitosalavistaoencuentacorrientequesehallanenelsistemabancario.También,esllamadaofertamonetariabásicaocirculante.

Elbienestardeloshabitantesdeunpaísestárelacionadoporlaofertamone-taria(Ayres,Jr.Frank).

Siexistepocodineroenunaeconomía,aparecelaci(existenciadebie-nesyserviciosdondeparadójicamenteloshabitantesengeneralnotienenlacapacidaddecompra).Elcasoopuesto,escuandoexisteexcedentededineroenlaeconomía,entoncesaparecelaifci(escasezdeciertosbienesyser-vicios,locualconllevaalincrementoconstantedelosprecios).Enestecaso,unproductopuedetenerunprecioenlamañanayotromayorporlatarde.

Tantolarecesióncomolainflaciónsonnocivasparalaeconomíadeunpaís.Porello,elBCRP1eslainstituciónquedebeproporcionaranuestropaísunaofertamonetariadeacuerdoalasnecesidades;enesecontexto,éstadebeserindependientedelmanejopolíticodelgobierno.

Ivi.Eslaoperacióndecolocarcapitalesenentidadesfinancieras(di-neroquesetransformaencapitalcuandoconélproducimosriqueza)conlafinalidaddeobtenerganancias,traducidasenbeneficioseconómicosporde- positareninstitucionesquepaganuninterés,trabajandosucapital.Alrealizar

estaacción,seestáinvirtiendosucapital.Porlogeneral,inviertenlaspersonasnaturales,empresas,institucionesyelgobierno.Alhacerestasinversiones buscan:

1. n pdid d cpi. Esimportantesaberdeunainstituciónseriaenlaquepuedacolocarsucapital,nodejándosellevarporlapropagandaacercadealtastasasdeinterés,comofueCLAE(bancoinformal)enelcualmuchaspersonasnaturalesyjurídicasperdieroncompletamentesucapital.

2. Pcci ivi. Lasempresasalvenirainvertirlohacenenunmarcojurídicoynosepuedecambiarésteporqueunadelaspartesasíloquiere.Alrespetarestascondiciones,estamosmostrandoseguridadenlainversión.Adicionalmente,mostramosseriedad,detalmaneraqueotras empresas extranjeras podrían traer futuras inversiones. Para queestosuceda,sedebetenerunPoderJudicialautónomoynodependientedelgobiernodeturno.

BancoCentraldelaReservadelPerú.


http://slidepdf.com/reader/full/libro-uni-mate-financiera 32/403. bfici c p. Todaempresatrataderecuperarsuinversiónen el menor tiempo posible; ejemplo de ello se tiene a empresas que en




enelmenortiempoposible;ejemplodeellosetieneaempresasqueencortotiemporecuperaronsuinversióncomo:TelefónicayLuzdelSur.

4. Icm v d ivi. Estotambiénpuedesucederde

formacasual;porejemplo,eltenerunacasadestinadaparaviviendaenunazonaurbanayenunmomentodeterminadoconstruyenfrenteaellaunaUniversidadounHospital,automáticamentepasaaservalorizadaesacasacomounprediocomercial,loqueimplicaunaumentodelvalormonetariodelapropiedad.

5. Vj fic. Son medidas que adopta un ente para propiciar eldesarrollo de una zona determinada (frontera), y el sector productivo(exportaciones).Generalmente,elgobiernopropiciaestetipodeaccionesconlafinalidaddeatraerinversionesazonaspobrescomosonlasde

fronterayquepuedenconsistirennocobrarimpuestosalasempresasqueinviertanenesosámbitos.

Cdi.Cuandosecompraunacasasepuedehacerdedosformas:condine-ropropio,esdecir,pagaralcontadooalnocontarconeldinerosuficienteparacancelarelvalordelacasasepuedehacerentregadeunpagoinicialprevioacuerdodecancelarperiódicamenteladiferenciaporuntiempodeterminado.Loquesehaceesadquirirunpréstamo.Estaoperaciónesconocidacomoob-tencióndeuncréditoydeestamanerasecancelaelvalordelacasa.Cuandoal

valordeestepréstamoseleaplicaunfactorllamadotasadeinterés(preciodel préstamoenelmercadofinancieroexpresadoenporcentaje)seestáobtenien-doelioc d cdiquesepagaporelvalordelpréstamo.

EstatasadeinterésesfijadaporelBancoCentraldecadapaísalosotrosban-cosyéstos,asuvez,lafijanalaspersonasporlospréstamosodepósitos.ElBCRPeselentequeregulalatasadeinterésparapréstamosodepósitos.Unadeestetipoeslatasadeinterésactivapromedioennuevossoles(TAMN)ylatasadeinterésactivapromedioendólaresoTAMEX.Laevolucióndeestatasadeinterésennuestropaís,expresadoenporcentajeentrelosaños1997y

2006.




Fig 1.1.Evolucióndelatasadeinterésennuevossolesydólares.

Sepuedeapreciarqueestatasaestáreduciéndosetantoennuevossolescomoendólares.

1.2. e i imp

Tambiénllamadorégimendecapitalizaciónsimpleenelquelosinteresespro-ducidosaltérminodelperiododecapitalizaciónofechaquesedaporfina-lizadalaoperaciónseretiranestosintereses(nosereinvierte),quedando,deestaforma,elcapitalinicialconstantehastalafechaenquesehayaconvenidosureembolso.Sedenominacpi iiciopicipalacantidaddedineroquerecibimoscomopréstamoodepositamosaliniciodeunaoperación,sien-doelprecioquesepagaporelusodeestedineroéselcualdependede

lossiguientesfactores:• Elig queconllevalaoperación,implicarálamayoromenortasade

interés.Laseguridad,solvencia,respaldoogarantíaquepuedepresentarelsolicitantedelpréstamoparalacancelacióndelmismopermitiráobte-nerelpréstamoencondicionesmásconvenientes.Ejemplo,elfinparaelquesevaausarestedinero;noeslomismoutilizarunpréstamoparalacompradeunacasaqueparalacompradeunauto;noeslomismopres-taraempresasquesonconsideradasimportantesqueaotrasquenosonconsideradascomotales.



• A mayor periodo de imp, habrá un mayor pago por concepto deinterés.




• Del mcd,puedeendeterminadomomentoexistirunagranofertamonetaria,entonceslatasadeinteréstiendeabajar,comopuedesuceder

el caso contrario. Ejemplo, cuando la situación económica, social y políticadeunpaíspresentacaos,elriesgopaís2(indicadordeconfianzaenlaeconomíadeunpaís)tiendea subirautomáticamente,por tanto,latasadeinteréssube,loqueimplicaelmayorpagoporconceptodeinterés.

Entonces,elinterés(I)dependedecómoevolucionanestosfactores.Parade-terminarelinteréssimple,lodefiniremoscomoelproductodelcapitalinicial(P),tasadeinterés()yelperiododetiempo().

I=Prn(1)

Donde:

I Interéspagadoporelpréstamoocrédito.

P Capitalinicialoprincipal.

r Tasadeinteréssimpleporunidaddetiempo.

n Periodode tiempo,expresado en lasmismas unidades que la tasa de

interés.EsteinterésserelacionaconP deacuerdoalasiguientegráfica:

Fig 1.2. RelaciónentrePysuvalorfuturo.

ejmp 1.UnapersonaconcedióunpréstamoaunamigoporS/.35000comprometiéndoseéste adevolverlodentro deunaño.Por elmencionado

préstamo le cobróuna tasade interés simpledel12%anual.¿Cuál será elinterésquedeberápagaresteamigoporelpréstamo?

sci: En este caso,se tienecomo datosP,nyr,de la fórmula(1)setiene:

ElPerútieneunbajoriesgopaísenrelaciónaotrospaísesdeAméricaLatina.



P=35000soles

r=12%anualcomoI=Prn




n=1añoentoncesI=35000x12%x1=4200soles

ElinterésapagarserádeS/.4200.

ejmp 2. Desarrolleelejemploanterior,considerandounatasadeinterésdel12%semestral.

sci:Comoytienenqueserexpresadosenunidadeshomogéneas,entonces:

P=35000soles

r=12%semestral De(1)setieneque:

n=2semestres I=35000x12%x2=8400soles

EnestecasoelinterésapagarserádeS/.8400.

ejmp 3.Unaparejadeesposossolicitaunpréstamoaunapersonaporunmontode$23000paracomprarunauto.Estapersonacobraunatasadein -teréssimpleparapréstamosdel24%anual,silospagosmensualesarealizarseránde$520,¿quépartedelprimerpagosedestinaalpagodeinterésyasaldarelpréstamo?

sci:Setienequecalcularelinterésquesepagaporelprimermes,lain-formacióndelatasadeinterésesanual,comosenecesitamensual,porlotantosedivideentre12(númerodemesesquetieneelaño).Lapartequeamortizaladeudaesladiferenciaentreloquesepagamensualmenteyelinterés.

P=23000dólares

r=2%mensual

n=1mes I=23000x2%x1=460dólares

Paraelpagodeinterésdestinó$460yparasaldarladeuda$60($520-$460).

ejmp 4. UnseñorsolicitóunpréstamodeS/.800paraliquidarloentresmesesypagóporelloS/.120porconceptodeinterés.¿Cuáleslatasadein-teréstrimestralyanual?

sci: Enestecaso,elperiodoes1trimestre,resumiendolosdatos:

libro uni mate financiera

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