Leonhardt tomo i (Hormign Armado)

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Hormigon Armado

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1. Fria Leonhardt TOMO I ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO Bases para el dimensionado de estructuras de hormig6n armado 2. , ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO 3. PLAN DE LA OBRA TOMO I F. Leonhardl E. MOnnlg: BASES PARA EL DIMENSIONADO DE ESTRUCTURAS DE HORMI. GON ARMADO TOMO 11 F. Leonhardt - E. MOnnlg: CASOS ESPECIALES DEL DIMENSIONADO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO TOMO /fJ F. Leonhardl E. MOnnig: BASES PARA EL ARMADO DE ESTRUCTURAS DE HOAMIGON AR. MADO TOMO IV F. leonhardt: VERIFICACION DE LA CAPACIDAD DE USO TOMO V F. Leonhardl: HOAMIGON PRETENSADQ TOMO VI F. Leonhardt: BASES PARA LA CONSTRUCCrON DE PUENTES MONOLlTICOS - 4. ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO TOMO I BASES PARA EL DIMENSIONADO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO Fritz Leonhardt Ingeniero civil. Profesor emrUo en el Instituto de Construcciones de la Universidad de Sluttgart. - .Eduard Monnig Doctor ingeniero. Doctor Honoris Causa. Profesor emnto en el Instituto de Construcciones de la Universidad de Sluttgarl. 11111111 Traduccin del Ingeniero civil CURT R. LESSER, Diploma de Honor de la U.B.A. (1936), con la desinteresada colaboracin del Ingeniero civil ENRIQUE D. FLlESS ( t 1984), Profesor Emrito de la U.B.A. SEGUNOA I niCie N REVISADA Reimpresin LtBAERIA " EL ATENEO" EDITORIAL IUENOS AIRES LIMA - AIO DE JAIIIEIRO CARACAS MUltO " BARCELONA MADRID I OGOTA 5. "El Ateneo" quiere dejar constancia del desinteresado asesoramiento y apoyo para la realizacin de esta obra, prestados en todo momento por e/Ingeniero Enrique D. Titulo de r. obra original: " Vorlesungen ber Massivbau" C> 1973 por Sprlnger VerlaO. Berlln/Heldelberg Todos los derechos reservados. Este libro no puede reproducirse, lola' o parcialmente, por nlngUn mtodo gr',lco, eleclrnlco o mecnico, Incluyendo loa sistemas de fotocopia, regIstro magnetofnico o de allmemacl6n de datos, sin expreso consentimIento del editor. Oued. hecho.1 dePsllo QUoe " ',bleee I1 ley N 11723 1985. 198&, 1988. " El ATENEO" Pedro Garera S.A L,lmu liI. Edltorl.1 Inmobiliaria, Florida 340, Bue no~ Aires Fundaa en 1912 por don PedrQ Gafer . ..S.B.N'. 950-0252422 edicin completa Flless (t .1984), prestigioso y antiguo colaborador de nuestra casa. lS.B.N. 950-02-5259-7 tomo 1, segunda edicin, revisada y corregida (I.S.B.N. 950-02-52430 tomo 1, segunda edicin) J.S.B.N. 3-540-06488-5 Sprlnger . Verlag, Berlin, edicin original Imp,.1Q en T. G Y"NIN.... A. Aroentlna ~. v "lIlna. B. Aa., " 10 lIe ma.ro .,. t g/lll IMPRESO EN LA ARGENTINA , 6. Prlogo Sin duda 8S un honor prologar una obra del Dr. Ing. Leonhardt y especlalme,1te sta que llene tanta Importancia en 10$ ms recientes progresos en la TcnIca de las Construc ciones de Hormign Armado y Pretensado. En electo. en los albores de esta tcnica fas bases rBcionales con sustento experimen- ta/ fueron establecidas por el famoso Ingeniero E. M6rsch en numerosos trabajos y en su cono- clde obra en seis tomos, cuya traduccin a nuestro fdloma ha tenido amplia difusin (Teorla y practica del hormign armado). La obra de MOrsch data de la dcade de/30 y desde entonces se ha progresado mucho en la teorfa yen fas aplicaciones del hormign armado. Varios nombres pueden asociarse 8 as- tas progresos, tafes como Sa/iger, Olschlnger, Pucher, etctera, pero, sin duda, la Influencia ms notable es la de Leonhardt, que ha realizado profundos estudios terIcos, adems de "u- merosas experiencias en la Universidad de Stuttgart_ Conviene tener presente que los reglamentos en uso en la poca de Morsch, tales como la OIN 1045 en su edicin de 1932, que fue adaptade en nuestro Reglamento Tcnico de la Ciudad de Buenos Aires de 1935, constltulan prcticamente un "manual" en el que unas pocas reglas prcticas permitlan proyectar todos los elementos constitutivos de una estructura de hormign (en aquella poca solamente en bases. columnas. vigas y losas). Eran tan simples las reglas que aun un IngenIero sin conocimIentos profundos de la Tcnica de las Construcciones, ni del Anlisis Estructural, podfa realizar un proyecto sin dificultad. De aquel/os reglamentos-manual se ha pasado ahora a lo que pOdrramos l/amar los reglamentos-tratado. En estos ltimos, por ejemplo la Norma OIN 1045 de 1978, adems de reglas constructivas y de proyecto, se plantean una serie de problemas cuya resolucIn queda 8 cargo de quien realiza el proyecto en cada caso particular. El proyectista en nuestros dlas debe ser, para poder actuar con xito, un profundO cono- cedor de la Mecnica de las Estructuras. Lalnlfuencla de Leonhardt en la Norma O/N 1045 delalJo 1978es, sin duda, importantlsl- ma y se ha ejercido a travs de la ComisIn Alemana para el Hormign Armado y tambin del Comit Euro-Internacional del Hormign. En nuestro pals acaban de ser aprobadOS, en el mbito nacionel, los Reglamentos CIR- SOC (Centro de InvestigacIn de los Reglamentos Nacionales de SegurIdad para las Obras Ci- viles) que en lo concerniente al Calculo de los Elementos de Hormign Armado y Pretensado son fundamentalmente una adaptacIn de la norma alemana citada en ltimo trmino. La importancia de la obra de Leonhardt, que a partir de ahora estar al alcance de los estudiosos Ingenieros de habla hispana, asl como de quienes tengan un Inters profesional en el hormign armado, resulta de que l mIsmo no sOlo ha Influido en las nuevas normas, sino que adems es un critico de algunos aspectos de e/1as, con los que no est de acuerdo. Sus de- sacuerdos en la gran mayorla de los casos tienen tambin sustento experimental y los resulta- dos de sus experiencias estn cuidadosamente expuestos en este magistral tratado. Considero que esta obra es Indispensable para cualquier Ingeniero que deba tratar en " VII 7. alguna forma los temas del hormlg6n armado y pretensado, puesto que en ella encontrarn no 1010 el porqu de muchas disposiciones reglamentarias que ahora, por lo que se dilo, son co- munes a la Norma OIN y a los Reglamentos CIRSOC, sino tambin /a descrlpci6n de su funda- mento experimental y adems su crftica muy correctamente sustentada. La versl6n en nuestro Idioma fue realizada por e/Ingeniero Curt R. Lesser, egresado en 1936 de la Universidad de Buenos Aires con Diploma de Honor, habiendo tenido durante su ex- tensa carrera profesional un Intimo contacto con las estructuras de hormig6n. En esta impor- tante y dillclltarea cont6 con la desinteresada colaboraci6n y gula del Ingeniero Enrique D. A. Flless ( t 1984), Profesor Emrito de la Universidad de Buenos Aires. cuya versaci6n en los te- mas relacionados con e/ hormign armado qued evidenciada a lo largo de una serie de traba- jos de la especialidad bien conocidos en nuestro medio y en al extranjero. En los tiempos que vivimos. la vida til de los textos y los IIatados es, en general. muy breve. Puedo afirmar que en este caso /a regla general no se cumplir pues los experimentos y fa profundIdad de la teorfa son tales que perdurarn por muchos allos. Es por ello que esta obra servir para la formacin de alumnos, futuros ingenieros, que luego la seguirn consultando a /0 largo de su vida profeslona/. Esto justifica plenamente el esfuerzo realizado por ellng. Flless. ellng. Lesser y la Edl torla/ "El Ateneo". Arturo Juan Bignoll Ingeniero civil. Profesor en las Universidades de Buenos Aires y Catlica Argentina. Miembro titular de las Academias Nacionales de Ingeniera y de Ciencias Exactas, Flsicas y Naturales y Acadmico Correspondiente de la Academia Nacional de Ciencias de Crdoba. Buenos Aires, diciembre de 1984 , VIII 8. Indica Notacin, XVII Blbllogralla de mayor Imponencia. XXLII ' , . INTRODUCCtON, 2. HORMIGON, 3 2.1. Cemento, -4 2.1 1. Cementos normales segUn DIN 116-4, -4 2.1.2. Eleccin del cemento, 5 2.1.3. Cemento no normalizado, 5 2.2. Agregados Inerles, 5 2.2.1. Divisin de los agregados, 5 2.2.2. Dosificacin de los agregados, 6 2.3. Agua de amasado, 1 2.4. AdlHvos al hormign, 1 2.5. Hormign fresco, 8 2.5.1. Composicin del hormign, 8 2.5.1.1. Contenido de cemento, peso del cemento, 8 2.5.1 .2. Contenido de agua, cantidad de agua, 8 2.5.1 .3. Contenido de material fino, 8 2.5.2. Propiedades del hormign Iresco, 8 2.6. Factores que Influyen en el endurecimiento del hormign, 9 2.6.1. Tipo de cemento, 10 2.6.2. Temperatura y grado de madurez, 10 2.6.3. Curado al vapor, 11 2.6.-4. Aecompactado, 11 2.6.5. Curado, 11 2.7. Plazo de desencofrado, 11 2.6. Resistencia del hormign endurecido, 12 2.8.1. Resistencia ala compresin, 12 2.8.1.1. Probetas y mtodo de ensayo, 12 2.8.1.2. Resistencia caracterlstica /JwN segn OIN 10-45, 13 2.8.1.3. Ensayos de urgencia del hormign, 1-4 2.8.1.-4. Ensayos acelerados, 1-4 2.8.1.5. Resistencia a la compresin para cargas de larga duracin, '4 2.8.1.6. Resistencia a la compresin para cargas de fallga u o.cllantes, ,-4 2.8.1.7. Resl.tencla a compresin para temperaturas muy alta, y muy bajas, ,-4 2.8.1.8. Resistencia a la compresin en la estructura, ,-4 2.8.2. Resistencia a la traccin, 15 , IX 9. 2.8.2.1. Resistencia axll a la traccin, 15 2.8.2.2. Resistencia a la traccin por compresin. 15 2.8.2,3. Traccin por flexin (mdulo de rotura), t6 2.8.2.4. Valores numricos de las resistencias a la traccin, t 7 2.8.3. Resistencias para solicitaciOnes en mAs de una direccin, 17 2.8.". Resistencias al corle, punzonado y torsin, 18 2.9. Deformacin del hormign, 19 2.9.1. Deformaciones elasllcas, 19 2.9.1.1. Mdulo de elasticidad del hormign, 19 2.9.1.2. Deformacin trmica, 20 2.9.1.3. Deformacin y mdulo de elasticidad transversales, 20 2.9.2. Deformaciones plsticas, independientes del tiempo, 21 2.9.3. Deformaciones en func l6n del tiempo. 22 2.9.3.1. Tipos y causas, 22 2.9.3.2. Desarrollo y dependencia de la contraccin de fraguado , 24 2.9.3.3. Desarrollo y factores Que alectan la 'Iuencla, 25 2.9.3.4. Restricciones a la contraccin de fraguado y a la fluencla , 27 2.9.3.5. Efectos de la fluencla y la contraccin de fraguado sobre las estructuras. 28 2.9.3.6. Expresiones para el clculo de la contraccin de fraguado y la fluencla segun OIN 1045. 29 2.9.3.7. Expresiones para el clculo de la contraccin de fraguado y de la fluencla segUn OIN 4227, 31 2.10. Propiedades trslcas del hormlg6n desde el punto de vlsla constructivo. 34 2.10.1 . Durabilidad del hormign. 34 2.10.2. Conductibilidad trmica. 35 3. ACERO PARA HORMIGON. 36 3.1. Clases y grupos de aceros para hormlg6n, 36 3.2. Propiedades de los aceros para hormign, 37 3.2.1. Resistencias, 37 3.2.1.1. Resistencia a la tracci6n, 37 3.2.1.2. Resistencia a la fatiga, 37 3.2.2. Caracterlsllcas de la deformacl6n, 39 3.3. Influencia de la temperatura sobre las propiedades de los aceros para hormign, 41 3.4. Aptitud para la soldadura de los aceros para hormign, 42 4. El MATERIAL COMBINADO " HORMIGON ARMADO", 44 4.1. Comportamiento conjunto del acero con el hormig6n, 44 4.1.1. la adherencia en la barra traccionada de hormign armado, 44 4.1.2. la adherencia en vigas de hormign armado, 47 4.1.3. Orlgenes de las tensiones de adherencia en las estructuras portantes. 48 4.2. Forma de actuar de la adherencia, 48 4.2.1. Tipos del efecto de adherencia. 48 4.2.1 .1. Adherencia por contacto, 48 4.2.1.2. Adherencia por rozamiento, 48 4.2.1.3. Adherencia por corte, 50 4.2.2. ley de la deformacin por adherencia. 52 4.2.2.1. Descripcin cualitativa de la deformacin por adherencia, 52 4.2.2.2. Probetas para el ensayo de arrancamiento, 53 4.2.3. Resistencia a la adherencia, 54 4.2.3.1. Inlluencla de la calidad del hormign sobre la reslslencla ala adherenCia. 54 4.2.3.2. Inltuencla del perfilado de la superllcle y del dimetro de las barras. 55 4.2.3.3. Influencia de la posicin de la barra. al hormlgonar. 55 4.3. leyes que rigen la adherencia en los elementos de anclaje, 56 4.3.1. Ensayos de arrancamiento con ganchos, 56 4.3.2. Ensayos de arrancamiento en barras con barras trasversates soldadas, 58 4.4. Valores numricoS de la adherencia para el clculo, 58 4.4.1. Generalidades, 58 4.4.2. Verilieaci6n da la adherencia segn DIN 1045. 58 5. COMPORTAMIENTO BAJO CARGA DE LAS ESTRUCTURAS OE HORMIGON ARMADO, 60 5.1. Vigas simplemente apoyadas de hormigOn armado solicitadas por lIexiOn y corte, 60 5.1.1. Estado, y comportamiento bajo cargas, 60 " x 10. 5.1.1.1. Estados I y 11, 60 5.1.1.2. Solicitaciones del acero y hormigOn, 65 5.1.1.3. Rigidez y delormaciOn a la lIexlOn, 65 5.1.2. Comportamiento para 'laKjn pura, 66 5.1 .2.1. Capacidad de carga y capacidad liUl, 66 5.1.2.2. Tipos de rotura por flexin, 67 5.1.3. Comportamiento para Ilexln y corte, 67 5.1.3.1. Estado 1, 67 5.1.3.2. Estado 11, 67 5.1.3.3. Formas de rotura por corte, 71 5.2. Vigas continuas de hormign armado, 71 5.3. Barras y vigas solicitadas por torsin, 72 5.3.1. Torsin pura, 12 5.3.2. Torsin con lIelCin y corte, 74 5.4. Columnas y otros elementos comprimidos, 74 5.5. losas (placas) de hormign armado, 75 5.5.1. Losas de hormign armado. armadas en una direccin, 75 5.5.2. Losas armadas en dos direcciones, 76 5.5.3. Losas de hormign armado apoyadas en puntos, 77 5.6. Lminas y vigas de gran altura (vigas-pared). 77 5.7. Estructuras plegadas, 80 5.8. Cscaras (membranas). 82 5.9. Comportamiento de estructuras de hormign armado para solicitaciones especiales, 82 5.9.t. Forma de aplicar las cargas, 82 5.9.2. Inlluencia de la temperatura, 83 5.9.3. Fuego, incendios, 83 5.9.4. Contraccin del hormlQn, 85 5.9.5. Fluencla del hormign, 85 5.9.6. Comportamiento para oscilaciones e Impactos, 85 5.9.7. Comportamiento slsmico, 86 6. BASES PARA LA VERIFICACIQN DE LA SEGURIDAD, 87 6.1. Conceptos bsicos, 87 6.1.1. Objeto, 87 6.1.2. Solicitaciones, 87 6.1.3. limites de las posibilidades de uso. est ados limites, 88 6.2. Mtodos de clculo para garantizar la seguridad, 86 6.2.1. El procedimiento antiguo sobre la base de tensiones admisibles, 89 6.2.2. Procedimientos basados sobre los estados limites, 89 6.2.3. Procedimiento basado en la leorla de la probabilidad, 89 6.3. Magnitud de 105 coeficientes de seguridad, 90 6.3.1. Seguridad para la capacidad de carga y estabilidad, 90 6.3.2. Seguridad contra la prdida de la capacidad de uso, 92 6.4. Dimensionamiento de las estructuras. 92 6.4.1. Conceptos fundamentales para el dimensionado, 92 6.4.2. Proceso del dimensionado, 93 6,4.3. Dimensionamiento para los distintos tipos de esfuerzos caracterlstlcos en una seccin. 93 6.4.4. Influencia sobre los esfuerzos caraclerlstlcos de las relaciones de rigidez de los estados I y 11 en las estructuras estllcamenle Indeterminadas, 94 6.4.5. Observaciones relatlY8S a los procedimientos usuales de calculo, 94 7. DIMENSIONADO PARA FLEXION y ESFUERZO AXIL, 96 7.1. Bases de clculo, 96 7.1.1. Hiptesis para dimensionar, 96 7.1.2. Valores caracterlstlcos de las resistencias de 108 materiales y de 105 diagramas tensin- deformacin, 97 7.1.3. 7.1.2.1. Valores caracterlstlcos del hormign, 97 7.1.2.2. Valore!! cafacterlstlCOS,del acero para hormign, 100 Tipos de rotura, distribucin de las deformaciones y magnitud del coeficiente de segurl dad, 100 , XI 11. 7.1.3.1. Tipos de rotura. 100 7.1.3.2. Reparticin de las deformaciones especificas y magnitud del coeficiente de segu rldad, 10t 7.1.4. Esfuerzos caracterlstlcos en las secciones y condiciones de equilibrio, 104 7.1.4.1. Esfuerzos caracterls!icos debidos a causas externas. 104 71.4.2. Esfuerzos Internos en la seccin. 105 7.1.4.3. Magnitud y ubicacin de la resultante de compresin DI) en el hormign, 101 7.1.4.4. Condiciones de equilibrio, 110 1.2. Dimensionamiento de secciones con zona comprimida rectangular, 112 7.2.1. Observaciones previas, 112 12.2. Dimensionamiento para lIexin con esfuerzo axU con grandes excentricidades (eje neutro ubicado muy arriba de la seccin), 112 1.2.2.1. Ecuaciones para el clculo numrico, 112 7.2.2.2. Diagrama de dimensionamiento adimenslonal (segn H. RCtsch) para secciones sin armadura comprimida, 115 7.2.2.3. Utilizacin del diagrama de clculo (segn H. Rsch) para secciones con armadu' ra comprimida, 118 7.2.2.4. Tablas de clculo, con dimensiones. para secciones sin armadura comprimida. 118 7.2.2.5. Empleo de las labias con dimensiones para secciones con armadura comprimida, 121 7.2.2.8. Deduccin de un diagrama de clculo adlmenslonal para secciones sin armadura comprimida. solicitadas a flexin simple. 124 7.2.2.7. Frmulas emplrlcas para dimensionar secciones sin armadura comprimida en l1e. xln simple normal. 126 7.2.3. Clculo para lIexln con esfuerzo axU para excentricidades media y reducida (eje neutro muy bajo o que no corte a la seccin), 127 1.2.3.1. Diagramas de clculo segn Morsch'Pucher para armadura asimtrica (el eje neutro corta a la seccin muy abajo de la misma). 127 7.2.3.2. Diagrama de clculo para flexin con esfuerzo axil y armadura simtrica. '33 7.2.3.3. Dimensionado para esfuerzo normal de traccin con pequena excentricidad. '36 7.2.4. Diagramas generales para el dimensionado de secciones rectangulares (diagramas de in ler.ccln), 137 7.3. DimenSionado de secciones para zona comprimida ~el hormign no rectangular. '39 7.3.1. Inlroduccln, 139 1.3.2. Ancho activo de las vlgasplaca, 139 7.3.2.1. Planteo del problema, 139 7.3.2.2. Determinacin del ancho activo, 143 7.3.3. Dimensionamiento de las vigas-placa, 145 7.3.3.1. Divisin de los procedimientos de calculo. 145 1.3.3.2. Dimensionado Sin aproximaciones, 146 7.3.3.3. Procedimiento aproximado para secciones compactas con b/bo - .0,2 o _ Traccin .G, / ~, 0,2 - O,, -0,6 - 0,8 - 1,0 - 1,2 "! 1,' Flg. 2.16. Hormign bajo solicitacin blaxlaIJ27]. t Compresin I - rsD Il3p compresin crece, mientras que aun pequeMs tracciones en una direccin, reducen conside- rablemente la resistencia a la compresin en la otra direccin. El aumento de resistencia a la compresin para solicitacin biaxial puede tambin origi narse en la inhibicin de la deformacin transversal (ver Seco 2.8.1.1). En ello se basa la accin beneficiosa del zunchado y armaduras transversales, usadas por ejemplo en columnas zuncha- das, anclaje de elementos tensores y cargas superficiales parciales. la reduccin de la resiso tencia a la compresin en la solicitacin doble por compresin y traccin debe tenerse muy en cuenta en esfuerzos que puedan originar fisuras o en la zona comprimida de las vigasplaca, et- ctera. 2.8.4. Resistencias al corte, punzonado y torsin Resistencia al corle Resistencia al punzonado Resistencia a la torsin l no existen resistencias es- pecificas para el hormign como material frgil En realidad, tanto para los esfuerzos de corte, torsin o punzonado, se origina un siste 18 41. ma de tensiones de traccin y compresin Inclinadas (tensiones principales). La rotura ocurre al sobrepasarse la resistencia a la traccin en la direccin de la tensin principal de traccin: a 45 para resbalamiento simple sin esfuerzo normal (por ejemplo en torsin), como linea en zig zag en el caso de punzonado. 2.9. Deformacin del hormign Para el hormign endurecido cabe distinguir: 1. deformaciones elsticas, debidas a cargas o temperatura, las que al cesar la causa que las origin desaparecen totalmente. 2. deformaciones plsticas, producidas por cargas de corta duracin pero muy elevadas, que al descargar no desaparecen totalmente. J. deformaciones en funcin delliempo y de las condiciones climticas, debidas a modifi caciones del gel del cemento, entre las que es necesario distinguir: contraccin e hinchamiento, como deformaciones Independientes de las cargas, produ cidos por variaciones de humedad en el gel del cemento; fluencia (creep) y recuperacin, como deformaciones dependientes de las cargas como consecuencia de cambios de volumen del gel del cemento debidos a cargas y descaro gas. Al cargar, comienza la fluencla al poco tiempo de actuar la carga, de modo que es dificil observar deformaciones puramente elsticas. Por ello en mediciones al efectuar ensayos en estructuras es necesario determinar siempre el tiempo transcurrido entre la aplicacin de la carga y la medicin, pero tambin es necesario establecer la temperatura y humedad ambien tes. El clculo de las deformaciones se efecta esencialmente mediante la teorla matemti- ca de la elasticidad. En principio se parle para ello de las deformaciones especificas c= olE de un prisma solicitado axilmente con o, donde E es el mdulo de elasticidad (mdulo de Young), constante elstica del material. En lo que sigue trataremos las deformaciones del hormign con agregados ptreos nor males, en lo esencial teniendo en cuenta el diagrama tensin-deformacin (o - el correspon- diente a un prisma solicitado axilmente. 2.9.1. Deformaciones elsticas 2.9.1.1. Mdulo de elsstlcidad del hormign Un comportamiento elstico puro del hormign con E = oh = Cte Slo eXiste para ten slones reducidas y de corta duracin (o hasta ~pl3). la determinacin del mdulo E del hormign se efecta de acuerdo al procedimiento que muestra la Fig. 2.17. Por repeticin rpida del escaln de carga 6 t}::: fJplJ con una veloci dad de carga de 5 kp/cm' por segundo es posible eliminar las componentes plsticas inidales Flg. 2.17. Determinacin del m6- dulo Een prismas de hormign se- gun DIN 1048. ., DIagrama o-e para la primera carga t- t L-_~__~~~~____-1> E -t ~ -~ ~p Fuera de escala dE 10 19 42. de la deformacin. El mdulo E tambin es funcin de la velocidad de aplicacin de la carga. Los valores del mdulo E obtenidos de esta manera a los 28 dlas en hormigones preparados de acuerdo a normas, se basan en lo establecido en las normas OIN. Los valores de Eb correspondientes a una determinada calidad de hormign son slo va- lores medios, porque el tipo de agregado, la granulometrla y la relacin agua-cemento W/Z tienen adems marcada influencia. Adems debe tenerse presente que Eb tambin varia con la edad, la temperatura y hu- medad ambientes (grado de madurez). Para grandes estructuras debe, por ello, determinarse el mdulo Eb al realizar los ensayos de calidad. Una frmul de uso corriente es (Eb y fJw en kplcml ): Eb 18 OOO~ (2.7) En Alemania se admiten, segn OIN 1045, los valores de la tabla de Fig. 2.18, siendo aceptables variaciones de 20 "lo. Clase de reslalencla Bn 100 Bn 150 Bn 250 Bn 350 Bn 450 Bn 550 Eb 2 220 000 260 000 300000 340 000 370000 390000 (kp/cm 1 FIg. 2.18. Valores de calculo del mdulo de elasticidad Eb segiJn DIN 1045. Muchas veces aparecen en la blbliografla valores ms elevados de un astllamado " m- dula E dinmico", que se determina, por ejemplo, en los ensayos snicos (ver Seco 2.8.1.8). Para variaciones muy rpidas de las tensiones, es decir para oscilaciones de alta frecuencia, no es posible que las tensiones alcancen un mismo nivel en la totalidad Clel volumen del cuerpo, de modo que la deformacin resulta menor y el mdulo E aparentemente mayor. Por ello no es po- sible utilizar el "mdulo dinmico E" para el clculo de deformaciones en hormign armado. 2.9.1.2. Deformacin termica El coeficiente de dilatacin trmica (l'T es la deformacin que corresponde a una va- riacin de 1 e de temperatura. Para el hormign se tiene -."'r0'.IO -.a 12. 10 f~ 1Oc En promedio puede admitirse el mismo valor que para el acero (ver Cap. 3) O'T = 10 - 10 l . El coeficiente de dilatacin trmica depende de la temperatura: cuando las mismas son elevadas, O'T aumenta al crecer la temperatura (hasta cerca de 22.10-1, ver (32]); para tempera turas bajas, (l'T disminuye al disminuir las mismas (hasta cerca de 5.10-1, ver [33J). 2.9.1.3. Deformacin y mdulo de elasticidad transversales Cada fuerza o tensin, adems de la deformacin en la direccin de las mismas, origi- nan deformaciones transversales. la relacin entre la deformacin especifica transversal y la longitudinal =~ (coeficiente de Polsson) en el caso del hormign varIa en funcin de la resis- tencia a la compresin del mismo y del grado de solicitacin, y su valor oscila entre 0,15 Y0,25; en prom6l1io puede admitirse como valor ~ = 0,2. , 43. Mediante el valor de 11. y conforme a la Teoria de la Elaslicldad, puede determinarse el m6dulo de elasticidad transversal G: G E (2.8) El valor de G s610 puede utilizarse para determinar las deformaciones por corte en estructuras constituidas por material homogneo, de donde, para el caso del hormign, sola- mente antes de la fisuracln y para tensiones bajas. Este valor no es posible utilizarlo para cal- cular deformaciones por corte en el caso de elementos de hormign lisurados. 2.9.2. Deformaciones plsticas, Independientes del tiempo los diagramas tensin-deformacin del hormign, para cargas de corta duracin y len- siones mayores que 1/3 flp. muestran una fuerle curvatura; en consecuencia, al descargar, la deformacin especifica no se anula (Fig. 2.19). A las deformaciones elsticas hay que agregar las deformaciones plsticas, es decir, 'tot ='el + 'pto por lo cual, para solicitaciones elevadas no es posible calcular con Eb =constante. En las Figs. 2.20 a 136) '1 2.20 b 137] se han representado los diagramas tensin deformacin, correspondientes a hormigones de distintas resistencias (para el mismo tipo de agregado y granulometrfa), para velocidad de deformacin constante (p. eJ: 1 /00 en 100 mln) y carga ax!! y para velocidad de carga constante, respectivamente. Puede observarse que los valores en los vrtices (ob mx :::: IIp) corresponden a Lb = 2,0 a 2,5 /00, Independientemente de la resistencia a la compresin, '1 que los diagramas para hor- migones de resistencia reducida, hasta alcanzar su vrtice, presentan una curvatura mucho mayor que la de los hormigones de alta resistencia; de ahl que los primeros posean una mayor proporcin de deformacin plstica. la forma de los diagramas tensin-deformacin '1 la magnitud de la resistencia a la compresin dependen adems de la diferencia entre la direccin de la carga '1 del hormlgona- do, como lo muestra la Ilg. 2.21 para un hormign de /1w:::: 200 kp/cmJ los prismas hormigona dos vertlcalmente muestran cuando la carga acta en dicha direccin mayores deformaciones 'b y menores resistencias que cuando esta llima acta en direccin normal a la de hormi g~ nado. la explicacin de ello reside en la existencia de pequenos vaclos bajo los granos gruesos del agregadQ por asentamiento del mortero fresco. Para hormigones de alta calidad, las diferencias son menores 138). G 1- -"7-----~- Descarga + nueva carga E Flg. 2.19. Deformaciones de un prisma de hormign bajo carg. (esQuematlco). 21 44. S"b[kPlcm2j al b) SOo / I "-400 w..600 1// I "JOO -- 1// " t ...l.. ......... . 450 20O &V --...~......0O - - JO ,j~=600 O O / ~ '/ , ~ O / '//' I~JOOI O =225 ~ ,/' O SO 4. 2. O ji~__~__~____~__~__-L__-L__~__~' , O "l [olooJO 2 J 4 5 , , ["1.0) O 2 Fig. 2.20. Diagramas tensin-delormacin pata hormigones de distinta calidad, determinados en prismas con carga axll: a) velocidad de deformacin cte. (361: b) velocidad de carga ele. (31]. G'b kp/cm 2 200 15. /. y- .00 s. VO --,/ Cerga normal a la direccin de hormigonado Carga en ta direccin de hormigonado "'.. ["'"" [ Flg. 2.21. Influencia de la diferencia entre las direcciones de carga y hormigonado sobre los diagramas 0-' de un hormign con ~w '" 200 kp/cmJ [381. 2.9.3. Oeformaclones en funci6n del tiempo 2.9.3. 1. Tip,?s y causas Por efecto del medio ambiente (atmsfera, agua), es decir por las condiciones climti cas, el hormign experimenta con el tiempo, variaciones volumtricas. la contraccin de fra- guado es la disminucin de volumen originada por la evaporacin del agua contenida en el hor- mign y no combinada qulmicamente. Expansin es el aumento de volumen del hormign debl do a la absorcin de agua por elevado grado de humedad ambiente o por curado bajo agua. Mientras que la contraccin de fraguado y la expansin constituyen deformaciones in- dependientes de las cargas, se entiende por fluencia y relajamiento, fenmenos en funcin del tiempo, que dependen simultneamente de la carga o de la deformacin. Fluencla es el incre- mento de una deformacin con el tiempo por efecto de cargas o tensiones de larga duracin. la disminucin del valor de la tensin original, para longitud constante, se denomina relaja- miento. 22 45. Las causas Que originan estas variaciones anelstlcas de las tensiones y deforma- ciones, residen en ia microestructura de la pasta de cemento endurecida (ver (6))_ Esta pasta de cerTl8nto es la lechada endurecida, Que envuelve las parllculas de los agregados y las vincula entre sI. La base fundamental de la pasta endurecida la constituye el gel de cemento, masa co loidal de alta resistencia y muy homognea, Que incluye en su seno partlculas de mayor lama no. como peQuenos trozos de kllnker y cri stales de hidrato de calcio. En el gel de cemento exls te agua en distintas formas: como agua combinada Qulmicamente, como agua coloidal en los poros del gel (aproximadamente 100 veces menores Que los capilares) y como agua libre, ade- mas de aire en los capilares y macroporos. Por ello, la contraccin de fraguado se origina por corrugamiento (disminucin de volu- men) de la masa de gel, proceso duranle el cual se evapora agua no combinada Qumicamente del gel de cemento. Ello ocurre en los elementos de hormign independientemente de su esta- do de tensin y es funcin de las tensiones capilares, del tiempo o bien de la edad del hormi gn y esencialmente de las condiciones climaticas, es decir de la temperatura y humedad rela- tiva ambientes. La contraccin de fraguado es, en parte, reversible por expansin por curado en agua o muy elevada humedad relativa ambiente (Fig. 2.22). En la fluencia de los elementos de hormign, sometidos a tensiones de larga duracin, el agua no combinada Qulmlcamente es Impelida de los microporos del gel de cemento (poros del gel) hacia los capilares y se evapora, lo Que tiene como consecuencia una disminucin de volumen del gel (ver tambin 139, 40J). Como en el caso de la contraccin de fraguado, este proceso resulta Influido por las ten slones capilares y en especial influyen nuevamente las condiciones climticas. El Incremento de la deformacin por fluenda es cada vez menor con el transcurso del tiempo y se anula slo despus de mucho tIempo; en estructuras al aire libre, por ejemplo, re cin despus de 15 a 20 anos. En el caso de compresin axll 0l, aparece tambin en direccin Iransversal una defor- macin por ftuencla debida a la deformacin transversallq = "'ll- Los resultados experimen tales de este problema son aun escasos y se contradicen parcialmente [41 , 42]. Para poder cal- cular deformaciones por lIuencia en estados dobles de tensin con suficiente exactitud, debe- rla conocerse la deformacin transversal por fluencia. Anlogamente con lo Que ocurre en el caso de la contraccin de fraguado, las deforma- ciones por fluencia son parcialmente reversibles. Es asl Que puede ob~ervarse al proceder a una descarga que, adems de la recuperacin elstica, ocurre con elllempo una disminucin adicional de deformacin, a la que se denomina " recuperacin de lIuencla", "fluencia rever- e 'ES ('/..) ~ 0,2e ~ w ".- en agua t 0,22 10 '~ " 20 [meses,, " , - ) e 0,4 ~ u u 0.6E 8 -Es , I '- , '-, - --1-- I I-- I al aire al aire - (70". rL F. 18C) en agla I I ('/..) Flg.2.22. Contraccin y expansin de un hormlon con Z 275 y un contenido de cemento de 300 a350 kg/ml (segUn A. Hummel [7]). 23 46. E Contraccin ... Iluencla Descarga G'b t,(2~ - - 4---~~_.__-~' Eb 2 1......_ _......~E:!.k .tl I I tbt ,E, Ek IFluencia , r' ~rga contracCin: l1 Gb V --L - -t- - , - ---,~ E.f~~L_E...:b::.I . I/V- - - - l ~-- L+-------_+------+_--t o tI '2 E,k ,Ey recuperacin de Iluencia. elasticidad retardada. Ebt. E, = deformacin permanente por lIuencla, escurrimiento plstico. Flg. 2.23. Desarrollo de la contracCin y de la fluencla para carga y descarga de un prisma de hormign (es- Quemalizado par. la comprensin del concepto). sible" o "elasticidad retardada" (Fig. 2.23). Solamente la parte restante 'b( de la deformacin especifica es permanente o Irreversible y se la denomina "escurrimiento plstico" (f. En la relajacin el proceso de expulsin del agua no combinada qulmicamenle comien- za en un principio como en el caso de la fluencia. Por la prdida de agua interior, debido a la constancia de volumen, el eslado interno de tensin disminuye, es decir que el resto del agua es expulsadO con menor presin. Esle proceso se desarrolla tambin con intensidad decrecien- te y depende de las condiciones climticas. la lIuencla y la relajacin ocurren para cualCluier tipo de solicitacin, es decir compre- sin, traccin, corte y torsin; deben tenerse en cuenta principalmente para compresin. Estas deformaciones dependientes del tiempo resultan siempre Influidas por las pro- piedades de la masa del gel, es d"Elclr por el contenido de cemento y la relacin agua-cemento. Un eremento de hormign cargado al poco tiempo de comenzar a endurecer (secado y grado de madurez reducidos), lIuye ms que otro hormign al que se le aplica la carga luego de Iranscurrido mucho tiempo. En las secciones siguientes se hacen consideraciones cualitativas y cuanIHatlvas sobre contraccin de fraguado y lIuenda. 2.9.3.2. Desarrollo y dependencias de la contracci6n de 'ragua do la Flg. 2.24 muestra el desarrollo en el tiempo de la contraccin de fraguado medida en prismas, y expresada como deformacin especifica " para distintas condiciones. Las pro- piedades de la contraccin de fraguado de cada hormign se definen por la contraccin final l,... para un tiempo t = "". Para la contraccin de fraguado podemos citar los siguientes factores que la influyen: 1. La humedad relativa ambiente (rLF.) influye tanto en la magnitud como en la duracin de la contraccin de fraguado (Fig. 2.24). Para ello es necesario tener en cuenta la contrac- cin final ts'" para un t = "". El mximo de la contraccin de fraguado (ts'" =:: 60 . 10-') ocurre en edilicios con calefaccin o en zonas de clima extremadamente seco. 2. La contraccin final depende considerablemente de la edad o del grado de madurez del hormign al comienzo del desecamiento (Flg. 2.24). Si al hormign se lo mantiene hUme do durante un ano es posible reducir la contraccin final hasta el 40 %. Para el tiempo normal de curado de 10 a 28 dlas (zona rayada en Fig. 2.24), la influencia de la edad es, sin embargo, tan reducida, que en la prctica generalmente puede despreciarse. 24 47. 0 ~L-~~~---++---~, ---+~ t o 500 r L F. 35'/, 0,4+- - 0,2 o o 500 2 2 1000, 3 1009 3 1500, 4 1500, 4 5 5 2000 di., anos t 2000 dias anos Flg. 2.24. VarIacin en funcin del tiempo de la contraccin de fraouado en prismas de hormlgOn de 12112136 cm, par. curados hUmedos de dlsllnla duracin para aproximadamente + 180 C,hasta el comien- zo de las mediciones (segn M. Ms [43J). 3. las curvas de Fig. 2.24 muestran que la conlraccin de fraguado de prisma con una seco cin de aproximadamente 12 x 12 cm!, para una humedad relativa constan te (rLF) flnaH- za entre los 2'y 4 aflos. Elementos de mayor espesor requieren un tiempo mayor, por ejemplo, para d >1m. se lIe ga a los 15 anos, porque su secado es mas lento; alcanzan en su Interior un mayor grado de madurez al comienzo de la desecacin y muestran una contraccin final menor. la influencia del espesor es considerable y debe tenerse en cuenta al calcular la contrac cin de fraguado (ver Figs. 2.29 y 2.32). 4. Ya se ha aclarado, que tanto el contenido de agua como de cemento del hormign Influ yen en el valor de la contraccin del mismo: un elevado contenido de cemento y/o una re lacln agua-cemento alta, aumentan las deformaciones por contraccin de fraguado. En el clculo, ello se tiene en cuenta partiendo de valores iniciales distintos de la contrac cln para los distintos tipos de consistencia K1 , K2 o K3 (ver Seco2.9.3.6 y 2.9.3.7). 5. la temperatura del ambiente que rodea al hormign influye en el desecamiento del hormi- gn y con ello en la contraccin de fraguado. Observaciones realizadas en estructuras muestran que en Invierno, en general, la contraccin se detiene. No existen prcticamen- te todavla resultados experimentales al respecto; sin embargo, en la prctica, el inge- niero debe tener en cuenta esta circunstancia. 2.9.3.3. Desarrollo y factores que afectan la lIuencia la deformacin por fluencia, para solicitaciones de hasta O'b 80 1W!l- ,'0 40 20 1 f-- O 0 11 1 2 , l "-+ Prismas de 12112136 cm Caro. aplicada a lOS ,. dlas 1rLF. 70 '/.; T::::. 18C , : 2,25 , ~ ,(f'b = 200 kp/cm ~w :::5OQkp/cm - 1- 4 S 7 8 9 10 t anos FIg. 2.25. VariaCin con el tIempo de la Iluencla de prismas con carga ul1 para humedad relativa ambiente y temperatura constantes (segun M. R/Ss [43]). -- -,--, - - tipo de cemento - --1--;r7l .~ .;r.; ~ 'afe~~!!' de a~. 21' . t - ~ ~ ~ "~ 1.0 - 1/' / ~8 ,. ~ ,.8 0.5 humedad rel8,llva ambiente 100 90 80 70 .0 50 40 JO ("/. ]rLF. Flg. 2.2e. Variacin dellactor de Iluencia en luncln de la humedad relativa ambiente para cemenlOS nOf- ma'es '1 de alla resistencia (segun O. Wagner 139]). 6. la Influencia de la clase de piedra de los agregados slo se halla en los comienzos de su investigacin (47]. El comportamiento del hormign con agregados livianos ser tratado en una seccin especial. 7. la calidad del cemento influye siempre que los cementos de alta resistencia Inicial alean cen, en menos dlas, un grado de madurez mayor que los cementos de endurecimiento nor mal. 2.9.3.4. Restricciones a /a contraccin de 'raguado ya/a fluenc/a la contraccin de fraguado comienza siempre en las superficies exteriores y resulta fre- nada por las zonas Interiores, por lo c'ual,especialmente en estructuras gruesas, se originan tensiones internas. Estas tensiones propias pueden originar lisuras, por cuanto los mayores acortamientos por fraguado se producen en la parte exterior de un hormign joven de reducida resistencia a la compresin. En consecuencia deberla retardarse siempre el comienzo de la contraccin el mayor tiempo posible, protegiendo al hormign contra el desecamiento (curado). (Ver Krenkler 123]). SI se impide la contraccin de fraguado por causas externas, por barras de armadura o por rozamiento sobre el suelo de fundacin, las tensiones de traccin derivadas de los acorta mlentos por contraccin se reducen por la fluencia del hormign. 27 50. Esta reduccin de tensiones en grandes estructuras de ingenlerla y en estructuras de hormign pretensado se determina generalmente por clculo. En los casos simples de esquele- tos de edificios, para cuanUas medias de armadura es posible tener en cuenta este efecto en forma aproximada. reduciendo los valores de la contraccin de fraguado (ver tabla de Fig. 2.28). Por ejemplo, si la deformacin por contraccin resulta impedida por una armadura dls puesta en la direccin en que ocurre la contraccin, el hormign resulta descargado por re distribucin de tensiones sobre las barras de la armadura. Cuando se Impide la deformacin por contraccin por esfuerzos externos, dichos esfuerzos aumentan por contraccin y las ten slones en el hormign se reducen por relajamiento. En ambos casos se trata de problemas en los que se acoplan la fluencia y el relajamiento. 2.9.3.5. Electos de /a lIuenc/a y /a contraccin de Iraguado sobre las estructuras Entre los efectos desfavorables podemos mencionar (ver (5)>: Aumento de la deformacin por fleltin por contraccin de fraguado y fluencia en ta zona comprimida (por ejemplo, en vigas y placas). Aumento de la curvatura por fluencia en columnas con carga excntrica, con lo cual la ex centrlcldad Inicial aumenta y la capacidad de carga de la columna disminuye. En elementos pretensados. prdidas de tensin previa por contraccin de fraguado y lIuencia. Redislribucin de tensiones por contraccin de fraguado y fluencia en un elemento estructural vincutado rlgidamente a otras estructuras (por ejemplo, revestimientos de pa redes o pilares de puentes). Fisuras superficiales por tensiones propias por contraccin de fraguado (vase la Seco 2.9.3.4). Los efectos favorables son: Eliminacin de los picos de tensin por fluencla (por ejemplo, en nudos de prticos) Opor cargas concentradas (localizadas) sobre el hormign. t '.0 '0 < l ,O i! , ,Ou liu t,O ~ O t ,,O u < l,O i! ,,Ou ~ t,O~ O r LF 70'/ I. /' :--- 1/ Ir v-- '==:;-;] ,LF1S /. - - ;. '( / 'L /' , J , , J , - J 1 5 - I "9. 365 t arios ,, ~ 90/365 Safios Fig. 2.27. Influencia de la edad del hormign al comienzo de la carga sobre el desarrollo de la lIuencla en prismas de 12 x 12 x 36 cm (/lw-=' 500. !lb :: 100 kplcml; T = 18 C). (segun M. Al5s [43]). 28 51. Eliminacin por relajamiento y Iluencla de tensiones originadas en causas exlernas (por ejemplo, asenlamienlo de apoyos en vigas conllnuas). 2.9.3.6. Expresiones para el clculo de la contraccin de fraguado y la fluencia segun DIN 1045 Para el clculo de las deformaciones por contraccin de fraguado y fluencla, la DIN 1045 parte de los siguientes valores bsicos para el tiempo t = oo. (so = valor Ilnal de la contraccin de fraguado f90 = lactar final de fluencia. Estos valores bsicos segun DIN 1045 aparecen en la tabla de Flg. 2.28, en funcin de la humedad ambiente y de la consistencia del hormign y son vlidos para un curado de unos 28 dlas de duracin a unos 20" C. Para determinar la deformacin por contraccin de fraguado originada hasta un deter minado tiempo t se utiliza el coeficiente k! que aparece en Fig. 2.29 y, en consecuencia. para el valor de la contraccin tst se tiene: (paraT = + 20 oC! ) (2. 12) El coeficiente k, que corresponde al desarrollo en el tiempo de la contraccin, IIgura en el grfico para distintos "espesores aclivos" dw, por cuanto las estructuras de mucho espesor se secan, y en consecuencia se conlraen, ms lentamente que las delgadas. Para elementos planos es dw = d = espesor de la pieza; para estructura de barras es vlida la expresin (don de F =rea y U =perlmetro de la seccin de hormign): (2. 13) Hume Valor final Factor IInal de dad ,.. de la conlraccln Ituencia lenta latlva e Valor redo- Ubicacin amblen a,o ~o cido de la de la " conlrac estructura para consistencias cin. (rLA K 1 K 1 , K3 K3 ,["Io[ K2 K2 a,o en agua - - - 1, O 1, S - en aire 90 - 10' 10-5 - 15 10-5 -S muy hmedo 1, S 2,2 - 5 10 en general. 70 - 25 10-5 - 37 10-5 2,0 3,0 - 10 10-5 al aire libre en aire 40 seco _ 40'10- 5 - 60 10 -S 3,0 4,S - 15 . 10-5 Fig. 2.28. Valor IInal de la contraccin de fraguado asl como de la contraccin reducida en funCIn de la humedad relativa ambiente y de la consistencia del hormign (segUn DIN t(),45: a 200 e para curado normal durante 28 dlas). 29 52. O.' O~ O.' 0.' o '----3;---7--~I~'--~'.~~~~~t,~I.fO~d~'.-'----~, tiempo 'ag I 12 S arios Flg 2.29. Coeficiente k. para el desarrollo en el tiempo de la contraccin de Iraguado y de la !luencia la T = 20 CJ en funcin del espesor activo dw del elemento estructural (segun DIN 1045). "'.0 1.0 '.' '.' '.' '.- 1 '.- 1,1, r 1 I Cemento de endure cimiento lento L ." rcimiento rapldo 0,7 Cemento de endUfl 0,'5 J "'.>1'" log Q Edad a del hormlg6n al comienzo de la carga para O+-----____~__~_____ 3 7 14 28 JO 100 1000 ,,~ 'SO 365 dlas T=20oC=C1e grado de madurez' 10000 log R Flg. 2.30. Coeficiente k, con8spondiente a la Inlluencia del grado de endurecimiento del hormigOn en lun- eiOn de la edad 8 o del grado de madurez R del hormign al comienzo de la carga y dellipode cemento (s. gn DIN 1045). Suele ocurrir que distintos elementos estructurales puedan contraerse libremente duo rante un cierto tiempo t, antes de que se los vincule entre 51. Cuando por causa de dicha vincu lacin resulte impedida la continuacin de la contraccin de fraguado, se originan tensiones inducidas por el impedimento de que se produzca la contraccin por fraguado restante tJ. {s Mediante el coeficiente kJ se obtiene para A lS: (2. 14) El calculo de las deformaciones por fluencia para tensiones constantes se efecta me dlante el ya mencionado factor de fluencla 'PI, es decir: a b ~ ~ - !P k Eb t (2.9) donde Eb es el mdulo de elasticidad del hormign determinado a los 28 dias de curado norma! en prismas (en general. el valor de clculo segn DIN 1045 que figura en la tabla de Fig. 2.18). Cuando la tensin 0b es variable puede admitirse aproximadamente el valor promedio entre los valores inicial y final. siempre que la tensin final no difiera de la inicial en mas del 70 %. 30 53. El factor de fluencia 'Pt lo calcula la DIN 1045 mediante la expresin: (2. 15) El desarrollo de la fluencia con el tiempo es similar al de la contraccin de fraguado y se lo contempla mediante el coeficiente kzsegun Fig. 2.29. El coeficiente k tiene en cuenta el grado de endurecimiento del hormigOn al comenzar a actuar la tensin 0b que da origen a la fluencia (edad a del hormign); aparece en Fig. 2.30. Para temperaturas considerablemente variables y, en especial, para bajas temperaturas, ya no es determinante la edad del hormign sino su grado de madurez A: R '" :t (T+ 10) (2. 1(J) donde t = numero de dlas con temperatura T T =temperatura media diaria del hormigOn en o C. 2.9.3.7. E)(presiones para el clculo de la contraccin de fraguado y de la fluencia segun O/N 4227 (nueva edicin de 1972) La comparaCin de los valores de la contraccin y la fluencia obtenidos por mediciones, con los clculos en la seccin anterior mediante el procedimiento simplificado de la DIN 1045, mostr algunas deficiencias, lo que condujO a proponer un nuevo procedimiento de clculo [48] para la DIN 4227 (nueva edicin de 1972). Las deficiencias son: la influencia del espesor sobre el factor linal de fluencia no se tiene en cuenta (slo se lo inCluye en el desarrollo con el tiempo). no se considera la influencia de la humedad relativa ambiente sobre "el espesor activo del elemento". no se tiene en cuenta la influencia del espesor sobre el coeficiente k, de la DIN 1045 (un elemento de hormign de mucho espesor fluye con el tiempo ms que uno delgado). no existe en realidad ninguna influencia del espesor en estructura bajo agua. al desarrollo de la fluencia durante los primeros dias en la Fig. ~.29 se lo subestima. La diferencia fundamental entre los procedimientos de clculo para la determinacin del factor de fluencia ept de la OIN 4227 con el de la DIN 1045 reside en la separacin de la delor macin por Iluencia en una parte correspondiente a escurrimiento y otra a la deformacin els tica diferida (ver Fig. 2.23), es decir: (2. 17) E)(isten otras posibilidades para tener en cuenta la divisin entre escurrimiento y como portamiento elstico diferido. Para ello cabe referirse a los trabajos de Trost y lerna, quienes, para el clculo de los fenmenos vinculados con el relajamiento,introducen un "coeficiente de relajamiento" [49]. En lo que sigue, aclararemos brevemente el procedimiento de clculo segun DIN 4227 (nueva edicin 1972). Para el clculo del valor de la contraccin de fraguada y del factor de fluencla se parte del valor bsico de la contraccin (so Y del factor bsico de fluencia 0.45 ~J5 1,0 0,5 o w 10 100 1000 tO 4 dlas Flg. 2.32.Coeficiente ks correspondiente al desarrollO en elliempo de la contraccin de fraguado,en fun cin de la edad eficaz del hormign 'w y del espesor activo dw(segun DIN 4227, nueva edicin de 1972). 33 56. ',5 '.o 0.5 O , l "1' '-r '"' ~El1 '1:'t-+---- r-----' l _ _._ - .J--c -+ . ,1 4) sOlo para d lO 12 mm e deformacin de rotura ~ 10 18 ".~ 10 % 8 % G ;hso !{ - nervurado 1 .. sin tratar K = conformado en frlo HA ; al tope con aporte de malerlal E - por arco voltaico RP .. al tope por resistencia elctrica Flg. 3.1. Tabla de aceros para hormign segun DIN 1045'1 DIN 488 61. - La forma de las nervadura~ de las barras de armadura se determin sobre la base de en- sayos de fatiga [52]. Se demostr que las nervaduras transversales no deblan unirse con toda su seccin a las nervaduras longitudinales, como resultaba conveniente para el procedimiento de laminaci6n, sino que era preferible que terminaran delante de las nervaduras longitudinales con sus extremos en bisel. Adems, las nervaduras transversales con una inclinacin de 60 con respecto al ele de la barra se comportaban mejor que las dispuestas normales al mismo. Es as! como se lleg a las disposiciones de 105 aceros nervurados alemanes (Flg. 3.5). Cada tipo de acero para hormign deberla -aunque se lo utilice s610 en partes de estructuras sujetas "principalmente a cargas lijas" (ver DIN 1055, Hoja 3)- admitir una ampli tud de oscilacin de carga 2 0a;' 1000 kp/cm!. Las barras que se utilicen en estructurs'sometidas a cargas pulsatorias que pueden re petirse ms de 11('1.4 veces, deben admitir, en probetas segn Fig. 3.3, para 210' reiteraciones de carga, lo~ valores de la amplitud de pulsacin 2 0a =00 - 0u dadas en la tabla de Fig. 3.1. [kp/cm2 ] 5000 SS, 22134 GU -iI ".. 4000 3000 2000 1000 o Ec; 1000 ~ 2000 / " b' , Resistencia p /~ VJ l' .....,,3'm / I e/r'Resistencia a -- las oscllacione, ss, 42f50RK "s~toria 2 o~~ X J 13'1 ,,/ ', ,,/ '- )/ L// 13', " / ./ V - V G G"Q.G"!.! V m - 2 , G'm >- O 1000 2000 3000 O 1000 2000 3000 LOOO [kp/cm 2] Flg. 3.2. Resistencia pulsatorla 2 o, '" 00 - 0u para probetas no hormlgonadas para 2 10" repeticiones de carga en lunclOn de la lensiOn media 0m (Diagrama de Smlh). 3.2.2. Caracterlsticas de la deformacin La Flg 3.6 muestra los diagramas tensindeformacin de algunos aceros solicitados por traccin. Para compresin pueden admitirse con suficiente aproximacin los mismos diagramas. Como valor del mdulo de elasticidad Ee de los aceros para hormign puede admitirse 2.100.000 kp/cm! (para aceros deforrnados en fria su valor se reduce a 2.050.000 kplcm!). Se entiende por "limite de elasticidad" la tensin hasta la cual las deformaciones son proporcionales a las tensiones. En la prctic3,para los clculos se considera como propor cionalidad hasta la tensin para ICi cual la defornlacin permanente no supera el 0,01 % (deno mil1~do tambin, limite de proporcionalidad). Para estimar la capa:::idad de deformacin o ductilidad (ductility) se considera la defor macin de rotura di, {%j (ultima te elongation). La misma corresponde a la deformacin pero manente de una longitud de barra igual a 10 de en el ensayo de traccin. La misma incluye una parte que corresponde a la estriccin en la zona de rotura y otra constituida por alargamientos plsticos en el resto de la lona de medicin, la denominada deformacin uniforme. Esta ltima corresponde aproximadamente a la deformacin para 0e = ~z que aparece en Fig. 3.6 Ysu va lor, segn sea el tipo de acero, vana entre 4 y 20 %. Para establecer la facHidad de doblado en obra son determinantes los ensayos de fle xin (bendin,q test) . las barras de B SI 22134 G U deben satisfacer el ensayo de plegado o; 1800 Sobre mandrilflS de diametro 2 de sin que aparezcan lisuras. las barras de todos los aceros res 39 62. Bn 250 ()'o' 0,8 ~O,2 Sanclaje mediante trozo de barras. soldados 0b Y T, en un prisma de hormign armado sin lisurar (Ulaco 1) para traccin axll. la tensin en el acero disminuye en la longitud 'ede "eo a "e,. En el extremo de la longl lud de transferencia 'eel esfuerzo de traccin Zb transferido al hormig6n vale: "Zb " (aeo - ae1 ) Fe " ! 1'1 (x), U dx " abo F bn (4.2 En la prctica se admite un vator medio Tlm para la tensin de adherencia, por lo que es posible simplificar la expresin anterior como sigue: Z ~ 1' ut " ab'F bnb 1m e 14. 3) Entre ambas zonas de transferencia, para el estado 1,Ias tensiones "e y "b se determinan mediante una condicin de equilibrio y otra de deformacin: equilibriO (4.4 ) deformacin 14.5) 45 69. Para tensiones bajas 0b < flbZ, ambos materiales 58 compurtan casi elsticamente, es decir Que son vlidas: (4. 6) De donde, para el estado I resulta: (4. 7) donde el valor n = EelEb, relaciOn entre los mOdulos de elasticidad de ambos materiales, va rla entre 6 y 10, de acuerdo con la calidad del hormign. En el estado 1, las tensiones en el acero mantienen un valor reducido, y para un hormign Bn 550 pueden alcanzar un valor de n 0bZ = 6 ' 60 = 360 kplcm' . la tensin 0b en el hormign se obtiene reemplazando la Ec. (4.7) en la Ec. (4.4): I F + a ., b F bn p p ;1'F'b-n-'+C:n:-iF',---- F i A Fila denominaremos seccin ideal: 14. 8) (4.9a) Para el estado I en la seccin ideal FI pueden calcularse las tensiones en el hormign y en el acero como si se tratara de un material homog&neo. Utilizando la cuantla de armadura 1.1 = FeJFb, es posible tambin eKpresar F en lit forma siguiente: F i F b + (n - 1) !o'e " [1 + (n - 1) .1] Fb (4. 9b) Si al aumentar la carga, la tensin en el hormign o~ = P/F alcanza el valor de la resiso tencla a la traccin PbZ, el mismo se lisura en las zonas dbiles de su estructura interna (Fig. 4.2). En correspondencia con la lisura, la barra se halla entonces en el estado 11. Al producir se la fisura, el esfuerzo de traccin Zb, r = PbZ . Fbn que hasta ese momento absorbla el hormi- gn en la fisura, se transfiere a la barra de acero, aumentando instantneamente en dicho lu- gar la tensin a 0eo = PIFe, por cuanto en la fisura Slo trabaja el acero. la adherencia acta en forma tal Que, tanto 0e como 0b, en la fisura, no varlen bruscamente, sino mediante curvas sobre nuevas zonas de transferencia 'een las cuales, actan nuevamente las tensiones TI' Que sin embargo, cambian en la fisura su direccin y con ello de signo. Al continuar aumentando la carga, se originan ms lisuras, cuya separacin depende del grado de adherencia, porque ai lado de una fisura y a lo sumo dentro de la longitud de trans- ferencia e (4. 10) puede alcanzarse nuevamente el esfuerzo de traccin Zb, r requerida pala que contine la fisu- racin. En la Ilg. 4.2 aparece rayada la distribuc!on cualitativa de las tensiones entre fisuras. 46 70. Fisuras 1 , Corte 11 p-+~._----1_+L------1t-PF.~I Flg..2. Distribucin pe las tensiones "e, "b YT, en un prisma de hormign armado Ilsurado(estado 11)5011' cllado a la traccin 8l(1I. 4.1.2. La adherencia en vigas de hormign armado Cuando se carga una viga, el hormign colabora en la zona de traccin hasta tanto la lensln por flexin en el borde 0bZ. no alcance el valor de la tensin de roJura a la traccin por rrexln, es decir 0bZ O [mm] Flg. 4.13. Influencia del dimetro de la barra de sobre la ten$.ln media de adherencia r.lativa para'" = 5 lO 1, 'R = 0,065, '"1 =14 cm, Pw = 225 kpJcml (561. 4.2.3.3. Influencia de la posicin de la barra, al hormlgonar En lo que respecta a la calidad de la adherencia, es Importante el hecho de que las barras, al hormlgonar, estn dispuestas horizontalmente o verticalmente, asl como su distan- cia al encofrado. Debido al asentamiento del hormig6n fresco, se Junta debajo de las barras al go de agua, que posteriormente es absorbida por el hormign, formando oquedades o numero- sos poros (Flg. 4.14). La calidad de la adherencia puede, por ello, reducirse hasta menos de la mitad del ms fa- vorable valor que corresponde a las barras verticales; la reduccin depende de la relacin agua- cemento, de la dIstancia de la barra al encofrado o tambin de la capa de hormign hormigona da previamente (Flg. 4.15). Estas grandes diferencias deben ser tenIdas en cuenta al considerar los valores para el calculo. FIg. 4.14. Formacl6n de oquedades o poros deba- Jo de barras horizontales como consecuencia del asentamiento y e)(udacin de agua. , ,,, Oquedad ,. Poros 55 78. 0,3 0,2 0,1 / ~/ '- o O - acero n8fVorado ___ acero r6'1ondo liso - V V V/' V :/ ~ ~V V _. r-' -- -- 0,2 0,4 O,, ~ ...-- -~-~ -~ 0,8 V -- - '"1,0 [mm} Fig. 4.15. Representacin eSQuemtica de los resullados de ensayos de arrancamiento en barras rectas, con distinta posicin durante el hormlgonado, segUn G. Rehm [56]. 4.3. Leyas que rigen la adherencia en los elementos de anclaje 4.3.1. Ensayos de arrancamiento con ganchos Aun en el caso de existir ganchos extremos, la disposicin de las barras durante el hor mlgonado conduce a diferencias de rigidez, expresadas en este caso por los diagramas o - 6. las Flgs. 4.16 y4.17 muestran, respectivamente, los resultados experimentales efectuados con barras lisas y nervuradas de acero para hormign armado de" 12 mm. las barras verticales con ganchos dispuestos con la curvatura dirigida hacia arriba, de- muestran ser las ms electivas. Al comienzo del gancho, las presiones oblicuas de gran magni tud originan deformaciones localizadas que conducen a mayores deslizamientos horizontales, cuando el hormign, por asentamiento resulta poroso. En el acero nervurado, los ganchos, en la parle Inferior de la zona sujeta a tensiones re- sultan mucho ms rlgldos que los de acero liso, pero con todo, la capaCidad portante difiere muy poco. 12 H @) ~ . - - barr.~lisas .12 4 O '"0,4 O,, ~. 1,0 (nwnJ Flg. 4.16. Dlagramasoe - .&. comparativos, para barras lisas de0 12 mm provlat., de oanchos en distintas disposiciones durante el hormlgonado [56). 56 79. 12 Q. 2; V_i,_ -- ->_D~5'/~ Vc-- '@1 # V(b) V ...-- @ ~ i/ f-" V 1,1 V v .-- r- ~ ~~ , -- , I - , -+ -_. - barras nervuradas )4 12 8 4 @ Q] ~ @ [CJ o ~ < 8 o ~ 'E "~ .. @t?J ~ < "o o "i5 "0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 [mm) Flg. 4.17. Diagramas 0e - 4 comparativos para barras nervuradas en distintas disposiciones durante el hormlgonado [56]. ~. r---r--'--'---r--r--'---r-~~~-, Pw 8 4 0,01 0,2 Direccin del I hormlgonado V Fig. 4.18. Influencia comparativa del ngulo" de plegado del gancho en los diagramas"e - a. para aceros nervurados para longitud de anclaje Iv ::: 100 , Si se hormigonan barras nervuradas de iguallongltud de anclaje lv = 100 Y se varia el ngulo O' de plegado del gancho, cuyo comienzo se encuentra a 1 = 20, de 0 pasando a 45, 90,1350 Y 1800 sucesivamente (Fig. 4.18), es posible observar que a la barra recta dispuesta verticalmente corresponde la mxima rigidez por adherencia y que, en cambio, a la horizontal corresponde la mlnima, y que la Influencia del plegado del gancho s610 es mayor con respecto a las barras dispuestas horizontalmente. En consecuencia, en las barras verticales, la Influen- cia del gancho es Inoperante. los ganchos dan una seguridad mayor para los efectos reducto- res del asentamiento. los extremos rectos de barras, que se prolongan detrs de los ganchos, slo comienzan a actuar despus que ocurren los grandes deslizamientos y no tienen mayor sentido. Para el acero liso, a fin de evitar un deslizamiento, son necesarios ganchos con un a ml- nimo de 135. 57 80. 4.3.2. Ensayos de arrancamIento en barras con barras transversa/es soldadas De acuerdo con la Flg. 4.11 el, los ensayos de arrancamiento de barras nervuradas con trozos soldados de barras transversales [59), indican Que la adherencia de la barra longitudinal y las barras transversales soldadas actOan y colaboran conjuntamente en el anclaje. El esfuer- zo de anclaje que es capaz de absorber la barra transversal, Queda limitado a la resistencia al corte de la soldadura del nudo, que depende de la relacin de dimetros IZI y de la efectividad del equipo soldador. Es mucho mayor una vez hormigonada que si se la ensaya libre. La resisten- cia al corte se manifiesta ciertamente en toda su magnitud recin despus de producido un de- terminado deslizamiento. A en el lugar en Que esta ubicada la barra transversal soldada. La Fig. 4.19 muestra una comparacin de los diagramas promedio de oe-A, referidas a flw. La existencia de la barra transversal en el comienzo del anClaje, permite absorber mayores esfuerzos al Iniciarse la traccin, Que con dos barras transversales soldadas en el final de la longitud de anclaje. Las barras transversales ubicadas en el final de la longitud de anclaje, re- cin actan con eficiencia para grandes deslizamientos. 28 ~ l. ~'(;)' ~I'P'o~ 'O b" /.724 ~ ~1~/~_ ./ ~,OII!.,S . @&,O -r-' -- _ . ~_12,~-::::: '/.",,- ,...- - v: a., a~m_. 20 " " -- ~::::--V ~ barras nervuradas (KAAI) , oO Q02 'lOL 'l06 'l08 0,10 0,12 0,1l, t; 0,16 (mm] Fig. 4.19. Diagramas promedio 0.,,4 relativos para barras nervuradas con barras transversales soldadas (segn [59D. 4.4. Valores numricos de la adherencia para el c lculo 4.4.1. Generalidades Para una dada relacin TI,A es poSible determinar la variacin d aeJdx de la tensin en el acero, siempre Que se conozca la distribucin deTI (x). Para ello, en realidad, lo nico interesan te son las condiciones para el estado 11. Empero en las fisuras, la distribucin de TI (x) depende de tantos factores Que la ecuacin diferencial de ta adherencia, tal como fuera planteada por G. Rehm (55J, Slo tiene un inters cienUllco, pero para la prctica hasta ahora no tiene ninguna significacin. 4.4.2. Verificacin de la adherencIa segn DlN 1045 La adherencia Juega un papel Importante en la seguridad de las estructuras de horml' gn armado, no obstante lo cual la verificacin numrica es necesaria solamente en anclajes y esfuerzos de corte muy elevados para el estado 11. Para dichas verificaciones, la norma DIN 1045 da las tensiones TI adm correspondlenles a cargas tltes para dos casos, Que correspon- den a la posicin de las barras durante el hormigonado (Fig. 4.20). Los valores Incluyen un co- ellciente de seguridad v =3 con respecto al valor TIA y de v =5 a 6 con relacin a fln. 58 81. Tladm 2 [kp/cm 1 posicin al hormlgonar Sn Bn Bn Bn Bn 150 250 3~O 450 550 barras A 3 3, 5 4 4, 5 5 redondas IIllas B 6 7 8 9 10 barras A 7 9 I I 13 15 nervuradaa B 14 18 22 26 30 Flg..20. Valores admisibles de clculo de la tensin de adherencia T" para cargas estticas predominan- tes (segun DIN 100i!5). Posicin A: para todas aquellas barras Que no respondan 8 la posicin B (condiciones des- favorables de adherencia). Posicin B: par. todas las barras que al hormigonar, estn lnclinadas entre 45 y 90 con respecto a la horizontal; en el caso de tratarse de barras planas menos inclina- das u horizontales, slo 51 al hormigonar se encuentran ubicadas en la mitad In- ferlOl' del elemento estructural o por lo menos 30 cm por debajo del borde supe- rior de la parte de la seccin o de la capa parcial hormigonada (condiciones de buena adherencia). Cuando la carga eCJttlca no es predominante, slo se admite el85 % de los valores Indl cados. Para estructuras solicitadas por cargas fuertemente variables, los valores debern re- duclrse de " = 1 - 0;62 aa1aeo ... 0,5. 59 82. 5 Comportamiento bajo carga de las estructuras de hormign armado En lo que se refiere a la capacidad de carga de las estructuras, cabe distinguir entre estructuras de barras y estructuras laminares. Por ejemplo, las vigas y las columnas son estructuras de barras, mientras que las placas, las lminas planas y curvas son estructuras la- minares. Las Flgs. 5.1 y 5.2 muestran la multiplicidad de posibles formas de estructuras y de seco ciones de las mismas. 5_1. Vigas simplemente apoyadas de hormign armado solicitadas por flexin y corte 5.1.1. Estados y comportamiento bajo cargas 5.1.1.1. Estados I y 11 La Flg. 5.3 muestra una viga de hormign armado cargada con dos cargas concentradas simtricas armada con una armadura longitudinal para absorber los esfuerzos de traccin por flexin y otra para los esfuerzos de resbalamiento (armadura del alma). Esta ultima puede estar constituida solamente por estribos b por una combinacin de estribos y barras levantadas de la armadura longitudinal (barras inclinadas). Para cargas P reducidas'no aparecen en la viga fisuras mientras que la tensin en el bor- de debida a la flexin se mantenga inferior a la resistencia a la traccin por flexin es decir 0bZ < {JbZ Para este esrado I se origina un estado de tensiones principales de traccin y de compresin; las trayectorias de las tensiones principales -que constituyen las envolventes de las direcciones principales- se han representado en la Fig. 5.3 a. Al aumentar la carga apare- cen las primeras fisuras de flexin en la zona comprendida entre las cargas, una vez que se ha alcanzado la resistencia a la traccin del hormign, es decir 0bZ = {JbZ (Flg. 5.3 b). Dicha zona se encuentra entonces en el estado 11 (zona de traccin fisurada), mienfi"as que en las partes comprendidas entre las cargas y los apoyos no se presentan fisuras y por lo tanto se en- cuentran en estado lo En la Fig. 5.3 b se han representado, adems, la parte activa de la seccin para los esta- doSl y 11, asl como tambin las correspondientes distribuciones de deformaciorres y tensiones. Continuando con el aumento de carga, aparecen tambin fisuras en las zonas entre caro gas y apoyos, las que, como consecuencia de la inclinacin de las trayectorias de la tensin principal 01 en dicha zona, son oblicuas (fisuras de corte). La inclinacin de las fisuras se corresponde en cierto modo con la de las trayectorias de las tensiones principales (ver Flg. 5.3 a), es decir que es aproximadamente normlll a la direccin de las tensiones principales de trac cin. 60 83. @ muro de contencin o Entrepisos 'Itecho~ aportlcados losas para ","bl,,,~~_--o:-::,o-;,,,,o;;~ mnsulas para columna @ recinto prefabricado @ Estructura espacial de barras tribuna d, """.",0. dado de fundacin Fig. S.1. Estructuras portantes de hormign armado. "bp'Os = PPDeformaciones especificas y tensiones en una seccin donde se ha alcanzado la rotura Flg. 5.3. Comportamiento bafo carga '1 eslados de una "iga de hormign armado simplemente apoyada al ser cargada hasta alcanzar la rotura 86. "'.%)00 200 ~ .. lOO J O LOOO &:s JOOO ; ~2000 ! .21000 ! O O "'lO o ~ 2000 ..:3000 ~ ~ 4000 sooo G. [ 1) ~ 1,0 ,,O Ilep cm '1 i'" / / /I / ~ '-'-' f', 1'- "- ko/em 2] l,- l, ..- P iPP I ~s = 4880 kp/cll'l2 v, Pu - l/ V ' 1/ v Pc,uw 1'1---p,.P , . 1/ P, .P J I 1 [" I T I F:: Dlagra~a 7'zIF,tef'00 -n:rP02 * 4700 lep Icm 2 " : O,U Pu e- ~ Pcrll ~ -- I r '11. , - VV "- 1 ~~ ~ bjV . ~ v/- V V Pe,u Pu - 1- Seccin LO , .. 1 i 1-1= 0,99'. ae, Bii kplcml] 5000 LOOO "'" / O P O 5 ID 15 20 25["0] G", {ko/em 2 J 5000 LOOO - f ~ ~.f - 'r,~y 08 max en el 11 centro dellflmo " 2000 1000 JIO P 5 10 15 20 25 [..~ Flg. 5.4 . Desarrollo de las solicitaciones en la zona comprimida del hormign, en los estrlbos y en las barras longitudinales a lo largo de una viga experimental, para tres escalones de carga lOO}. 64 87. En consecuencia, para cargas elevadas, la viga se encuentra trabajando casi en toda su longitud en el estado 11, quedando en general libres de fIsuras hasta la rotura, unlcamente las zonas en el entorno de los apoyos. 5.1.1.2. Solicitaciones del acero y hormign Es posible obtener una imagen conceptual del comportamiento bajo carga de una viga de hormign armado mediante ensayos y por las deformaciones especificas l medidas en los mismos, mediante las cuales es posible calcular las tensiones o =t E. L, fig. 5.4 muestra la variacin de las tensiones longitudinales 0b medidas en la superficie de la viga y 0e en la arma- dura longitudinal, para tres estados de carga: 1. Carga litll: 2. Cerga critica: 3. Inmediatamente antes de la rotura: Pg+P = 12 Mp Perl!. = 21 Mp Pu=24Mp Se ha representado el diagrama de las correspondientes a la carga crllica, calculada segn la teorla de la ftexln para el estado 11. Al establecer la comparacin puede observarse que las tensiones de borde en el hormign, en la zona de flexin pura (Q =O) alcanzan los valo- res tericos 0e y 0b, pero en la zona donde existen esfuerzos de corte, las 0b son menores y las 0e mayores que las tericas. Sobre los apoyos el esfuerzo de traccIn no es nulo. Ms adelante aclararemos este hecho y deduciremos las consecuencIas que tiene para el clculo. La viga fall por haberse sobrepasado el limite de lIuencla de la armadura longitudinal 0e >Ils (rotura por flexin). En los estribos (armadura de corte) aparecen tenstones elevadas nicamente en la parte media de la zona en que existen esfuerzos de corte y, tanto en las cercanlas de los apoyos co- mo en las del punto de aplicacin de las cargas son visiblemente menores, por cuanto, en dichos lugares, en fazn de la transferencia de cargas, actan tensiones vertIcales de compre- sin ay. Importa aclarar que las tensiones en los estribos debidas a la carga lit11 mantienen un valor reducido (en promedio 1000 kpJcm') y recin para elevados incrementos de carga aumen tan desproporclonadamente (duplicando la carga litil se llega de 3200 a 4000 kp/cml , ver diagra- ma cargastensiones). De ello se deduce que el dimensionamIento debe partir del estado previo a la rotura. 5.1.1.3. Rigidez y deformacin 8 la flexin La variacin de la deformacin en el centro del tramo, en funcin de la carga P, se ha representado en la Fig. 5.5 para la viga de ensayo de Flg.5.4. Para el estado 1, la deformacin se manliene reducida y se corresponde exactamente con el valor terico, calculado sobre la base de la rigidez a la flexin EJI, teniendo los valores Ideales de la seccin. En cuanto aparecen las primeras fisuras, las deformaciones por flexin crecen ms rpidamente. Para fisuras cerradas Flg. 5.5. Diagrama carga deformacin resultante de un en- sayo realizado con una viga simplemente apoyada, de seccin rectangular y ji" 1.0 'lo. Carga P [Mp] '.0 - ~I 3,0 iJ/ / "V I V I / 2p ,,O / I O O s /' ./ p p I I I f 10 15 [mm] 65 88. y repitiendo la carga ocurre una nueva relacin, casi lineal, que corresponde a una rigidez a la flexin EJII. En el estado lila viga se comporta tambin en forma algo elastica, y su deforma cin puede calcularse mediante la teorla de la elaSticidad, considerando ta seccin activa del estado 11 con E JII. La relacin de rigideces a la flexin correspondientes a los estados I y 11, depende fun damentalmente de la cuanUa de armadura ,I: cuanto mayor sea ,I, tanto mayor resultar la zona comprimida del hormign correspondiente al estado 11 y con ello tambin ser mayor E JII. La elastica de deformacin resultar ms aplanada cuando el acero comienza, a es- currir y/o el hormign se, deforma plsticamente. Esta fase plstica del comportamiento de la viga se denomina estado 111. 5.1 .2. Comportamiento para flexin pura 5.1.2.1. Capacidau de carga y capacidad til Para flexin pura (M = Cle., a = O), se originan lisuras de flexin cuya separacin do pende de la cuantla de armadura y delllpo de la misma (Flg. 5.6). Las lisuras se extienden en al tura hasta cerca del eje neutro (t = O). La posicin del mismo es tal que las fuerzas Interiores, correspondientes a la resultante tle traccin le que acta en las barras de acero y la resultante de compresin Db de la zona comprimida del hormign, resulten Iguales y cuya distancia z (bra- zo elstico Interno) sea tal que el momento de las fuerzas interiores MI = 0b ' z = Ze ' z resulte Igual al momento de las fuerzas exteriores Ma (condiciones de equivalencia). La "capacidad de carga" puede considerarse como agotada cuando, al aumentar la caro qa se alcance en el hormign la deformacin limite lb mx del 3 al 3.5 %o o en el acero la defor- macin limite te max =5 %O. La correspondiente carga se llama en este caso carga crItica. La carga ulll admIsIble es la carga cnllca alectada del coeliciente v de segundad. ('s deCIr. Pg + P = p p Pcrl! -,- Seccin en la lisura t t 'b G b lli=;=i::::=:)==.E=)e"e"~"oti !1I:1~ (5. 1) Reducido numero de lisuras grandes de lIexin para cuant!as de armadura relativamente pequenas o para pocas barras gruesas p p Seccin en la fisura ji ) : Eje 08""0 'b "'b k )lJJ::i1flS Numerosas fisuras finas para cuanUas relativamente grandes o barras delgadas bien distribuidas Flg. 5.6. Flsuracln y distribucin de daformaciones en vigas poco y muy armadas. Mientras la zona comprimida de la seccin sea lo suficientemente grande, la viga rompe recin cuando alcanza una carga aun mayor (carga de rotura). En este caso, el acero contina deformndose por encima del limite de escurrimiento fJs sin un apreciable aumento de tensin, el eje neutro se desplaza hacia arriba aumentando el brazo elstico l , hasta que la zona comp,- 66 J 89. mida se ha estrechado tanto que el hormign alcanza su deformacin de rotura y pierde, en consecuencia, su capacidad para absorber carga. En la flexin, la "capacidad de uso" de una viga queda asegurada cuando: a) la abertura de las fisuras no SObrepase determinados valores, fijados por el peligro de corrosin. b) la deformacin no sea tan grande, que pueda originar Inconvenientes, segn sea el destl no de la viga. 5.1.2.2. TIpos de rofura por flexin Para las cuantlas corrientes de armadura ~ = Fefbh la deformacin limite del acero (emax es alcanzada antes del colapso de la zona comprimida. El acero de la armadura longltu dinal es el primero en fallar. estamos ante una rotura por traccin por flexin, que se manifies ta por la aparicIn de fisuras y una gran deformacin. Cuando la armadura longitudinal es muy fuerte (vigas sobrearmadas) se alcanza primero (b mx, en consecuencia la zona comprimida de la seccin falla antes que la armadura longitudinal: existe entonces una rotura por compre sin por flexin que, en el caso de hormigones buenos de alta resistencia, puede producirse bruscamente, sin manifestaciones previas ostensibles. Sllas secciones estn muy dbilmente armadas, puede resultar que el esfuerzo de trae cin por flexin en el hormign Zb resulte ser mayor que el esfuerzo de traccin que puede ab- sorber la armadura Zeu = pz' Fe; en este caso, al producirse la primera fisura, la armadura p!Jede romper bruscamente Sin manifestaciones previas (61). Esta peligrosa forma de rotura de- be evitarse, para lo cual se especifica una cuantla mlnima de armadura ,.min. 5.1.3. Comportamiento para flexin y corte 51.3.1. Estado I Para vigas simplemente apoyadas solicitadas por carga uniforme, los momentos lIe)(o- res M(x) Ycon ellos tambin las tensiones de INrde 0x crecen desde los apoyos al centro del tra mo, y simultneamente acta un esfuerzo de corte a (x) =dMldx. Sobre la altura de la seccin rectangular o en el alma de una vigaplaca, existe en este caso un sistema de tensiones princi- pales de traccin y de compresin, Que a nivel del eje neutro (para el estado I baricntrico) lienen inclinaciones de 450 y 1350 respectivamente, respecto del eje de la viga (Fig. 5.7). De acuerdo con la teoria de la Resistencia de Materiales, las tensiones principales pueden des- componerse en las tensiones 0x. 0,/ YTX,/' de las que 0,/, que tiene importancia slo en la zona de aplicacin de las cargas, puede despreciarse (Fg. 5.8, ver tambin Cap. 8). El ingeniero debe tener una nocin precisa de QLIe la tensin de resbalamiento TX,/ no constituye una solicitacin Que acta asl =o asl U. sino que. lo mismo que las componentes de tensin Ox y 0y, constituye solamente un valor auxiliar de clculo, Que resulta de haber elegido el sistema de coordenadas x-y con el eje x paralelo al eje de la viga. En realidad, en la viga ac- tan nicamente las tensiones principales 01 y 011 de acuerdo con las Figs. 5.7 5.3 a. Sin em- bargo para el dimensionamiento en hormign armado se parte generalmente de 0x o T. Todo esto fue perfectamente aclarado en 1927 por E. MOrsch (62). El hecho quo para la tensin de resbalamiento T se trate de un valor auxiliar de clculo y no de una solicitacin real, resulta perfectamente claro cuando se calculan las tensiones en un elemento prismtico con solicitacin 8)(11, referido a un sistema de ejes coordenados x-y, inclinado de 450 y 1350 respec- to del eje de la pieza (Fig. 5.9). Para una columna donde 00 = 100 kplcm1, resultada T = 50 kplcm'. Esta columna no podrla ser construida de acuerdo a ningn Rewlamento; por cuanto, T supera considerablemente el valor admisible! En la realidad, es capaz de soportar cargas sin ninguna armadura de corte. 5.1.3.2. Estado /1 Cuando la tensin principal de traccin en el alma de una viga sobrepasa la resistencia a la traccin del hormign tJbZ, aparecen lisuras de corte (Fig. 5.10) normales a 01, es decir,en la direccin de las trayectorias de compresin. Las tensiones prlnclpales de compresin entre las 67 90. I I I I I I I III III III I I I I I I I I I I I I Direccin de 01 (tensiones de traccin) , I Direccin de 011 (tensiones de compresin) 1 I I 1, i1111+11111111111J1]JlllJD4 M I : I Q Flg. 5.7. Trayectorias de las tensiones principales en una viga homognea para carga uniforme (en el caso de hormign armado = estado 1). , , Tensin por lIexlOn Tensin de resbalamiento Tensin principal de traccin Tensin principal de compresin ngulo Ip entre el semieje + 11 Y 01 G)( t "w a-s tt.,.t,.' --J -b Ig ~ ...L G Flg. 5.8. Definicin y calculo de las tensiones para un estado plano de tensin. lisuras de corte, pueden continuar actuando prcticamente sin perturbaciones, siempre que los esfuerzos de traccin que aparecen en el hormign (como resultado de las 01) sean absorbi- dos por armaduras de corte, con lo que se impide que las lisuras de corte se continen abrien do. Para ello, lo mejor es disponer la armadura de corte en la direccin de las trayectorias de "1, es decir inclinadas de aproximadamente 45. Las fisuras de corte, para secciones rectangulares, se originan generalmente a partir de las fisuras de flexin, y su Inclinacin resulta influida por la redistribucin de esfuerzos en es 68 91. tas ltimas y en parte su inclinaci6n es menor de 450 Como consecuencia, los esfuerzos de traccl6n en el alma disminuyen. Fisuras puramente de corte, originadas en el alma de la viga, ocurren en vlgaslcon alas tracclonadas o en vigas de hormign pretensado (Fig. 5.11). En el es tado 11, para la zona de corte fisurada, la mejor forma de materializar la transmisin de esfuer zas es Imaginar una viga de reticulado (analogia de Morsch). las barras de la armadura de coro te conslltuyen las diagonales traccionadas, y los prismas de hormig6n entre las fisuras de coro te, las diagonales comprimidas de un reticulado de mallas estrechas. las diagonales trac cionadas con 450 de Inclinacin son las que mejor se corresponden con las tensiones principa les (Flg.5.12 al. Por razones practicas, se prefiere que la armadura de corte est constituida por estribos verticales. En este caso. el reticulado esta formado por montantes verticales trac cionados y diagonales comprimidas (Fig. 5.12 bl. la diferencia de los montantes traccionados con la direccl6n de al resulta ciertamente de 450 , lo que constituye un efecto desfavorable sobre el espesor de las fisuras de corte y la magnitud dE' esfuerzo en las diagonales comprimi das. En este caso, el esfuerzo en las diagonales comprimidas casi se duplica. los esfuerzos en los cordones en el caso de la analogia del reticulado se obtienen partiendo de la hiptesis de un reliculado Isostatlco simple en un corte vertical (ver Seco8.3): z o M ~ M Q (5. 2)-+ , D = - -,z 2 z p =2 '*'"Y3,5 %J. Es equivalente para cualquier calidad del hormign! La ecuacin de la pa. rbola (donde lb aparece en valor absoluto en %o y el sublndice b caracteriza a l como abra. vlatura) es: (7. 1) En el ".Ico usual de la Argentina se habla de lIexln normal o corte normal por lo Que en lo sucesivo usaremos esla denominacin. (N. del r.) Excentricidad "M.IN. del n.N 91 120. La forma adoptada para el diagrama o -, del hormign (parablica rectangular) no difiere substancialmente del diagrama (Jo' real (ver Flg. 7.3 b) Yfacilita el formuleo de los problemas de dimensionamiento. La deformacin especifica mxima del hormign 'b = 3,5 O/"" puede utill zarse solamente para secciones cuyo diagrama de deformaciones especificas sea triangular, es decir en las zonas comprimidas de secciones en el estado 11. Para secciones con diagrama trapecial (estado 1) slo se admiten deformaciones especificas reducidas en los bordes (ver seco 7.1.3), y en el caso limite solamente (b = 2 "/",, para compresin axil (reparticin rectangu- lar de las deformaciones). NI-) 1 L excentlicidades me- dias 'f grandes e de una fuerza normal de compresin N, defor maclones por trac- cin en el borde Inle- rlor _ Estado!! peQuena excentrlcl dad e de una luena normal de compre sln N, no existen de- formaciones por trae- 'I"_ Estado 1 pequena excentrlcl dad e de una fuena normal de traccin N: slo existen deforma clones por Iraccln - - Estado 11 (actua solamente la seccl6n del acero) excentricidades me dlas y grandes e de una fuena normal de traccl6n N: deformacin por trac- cin en el borde Infe. no< _ Esladoll Seccin activa Diagramas de, 0,07 ",/~ k' k 1, O 0,00 0,31 0,975 0,01 0.95 0,025 0,925 0,04 0,30 0, 90 0,05 0,875 0,06 0,85 0,07 0,825 0,08 0,80 0,09 0,29 0,775 0,10 0,75 0,11 0,725 0,12 0,70 O, 13 0,28 b) coeficientes li y ke para ( 0,33811 ,75 =0,193, un progresivo aumenlo de la seccin de armadura Fe Slo conduce a Incrementos reducidos de los momentos Que es posible absorber. Para construir un diagrama de clculo adimenslonal, Que debe ser Independiente de las calidades del hormign y del acero, se introduce la cuantla mecnica de armadura ;; Que se de fine como: (7.72) Teniendo en cuenta Que el diagrama de clculo se limitar a deformaciones del acero (,!I~ 3 %0, para todos los casos se liene 0eU = PS; por ello, reemplazando la (7.72) en las Ec. (7.70) y (7.71) se obtienen las relaciones simples: m " k . IJ U z IJ a.k x mu,m 0.50..---r~-'- - TI - - r - ~~d''1'~'}"'_lE'r's=';"~"'~'1"~'__tm-=u=t-1E~,2.38~;, _~! ~ -0,424- 0,40 0)79- 0)63- - BS~~~-'~) ~'~O BSI 22/3< IBSt NI / / les. mI [BS111 O,JO -!-++I/j-+-V-7!-----------+---+-----t m -...--- - -=-E -::;=.::tf"'-==-=-.;:j-0,20 0.10 o I~,m/ t' / , / (1 /1. r- BStI , / / 2 l < , Calidad del hormigO Bn 250 (~R .175 kp/cm 2 ) , 1 ('1, J F. bh (7. 73) (7 . 74) FIg. 7.20. Vl':aci..... de lOS momentos reducidos mu, que pueden ser absorbidos en flell iOn simple en una secciOn rectangular sin armadura comprimida. pata Bn 250 en lunciOn de la cuanUs geomtrica .. y de la calidad del acero. 125 148. Como ya se ha explicado, es posible calcular pares de valores mU y , para distribu clones arbitrarlas de las deformaciones (siempre para [e > 3 %0). Estas relaciones entre mu y se han representado en la Flg. 7.21 como curva de cAlculo. La linea punteada corresponde al momento reducido m debido a la carga de servicio, que se obliene dividiendo mu por el coefi- ciente de seguridad v = 1,75. Para la curva correspondiente a mu es posible dar una expresin aproximada, fcil de recordar, vlida para la zona de te >3 %0_ 0,3 0,2 IJ O,, O,, ~ ... :(1-O,5p:) 0,2 IJ..t'H-I+'+-'e' H++11 I 0,3 O,, I AproxImacIn demparaz", irh mparaz ", lh 9 (7.7 5 FIg. 7.21. Distribucin del momento reducidO mU que puede ser absorbido en flexin simple normal por una seccin rectangular sin armadura comprimida en funcin de la cuanlla mecanlca ~ (las aproxima- ciones segun Seco 7.2.2.7, con fOrmulas emplrlcas para el brazo elastlco Interno, se han representado en U- neas Interrumpidas). 7.2.2.7. F6rmulas emplricas para dimensionar secciones sin armadura comprimida en flexi6n simple normal la seccin necesaria de acero, en el caso de flexin simple normal sin armadura comprimida, puede, de acuerdo con la Ec. (7.47), es decir ,. .eU determinarse fcilmente, Siempre que sea posible conocer una aproximacin para el valor del brazo elstico interno z '" zb. El diagrama de Fig. 7.16 muestra que el brazo elstico interno, aproveChando una deformacin del acero de (e '" 5 0/00, segun sea et grado de solicitacin del hormign en la zona comprimida, dentro de los limites de utilizacin prcticos, vada entre z = 0,83 h Y z = 0,92 h. 126 149. El dimensionamiento de la armadura longitudinal queda del lado de la seguridad si -como es normal en la practica desde hace dcadas- se fija aproximadamente ~ 5 (hasta blbo = 25), tos valores intermedios pueden interpolarse. 7.3.4. Dimensionado para lonas comprimidas del hormign de forma arbitraria 7.3. .1. Generalidades Las secciones cuyas zonas comprimidas difieren de la forma rectangular o de r, slo son posibles en algunos casos especiales, de resolver por calculo en forma sencilla (secciones cillndricas, anulares y triangulares), de modo que en general slo se dispone de muy pocos ele- mentos au)(iliares de elculo. En algunos casos es posible, con suficiente aproximacin, re emplazar por rectngulos las formas que difieren de los mismos, como sucede en los ejemplos que muestra la Fig. 7.47. Cuando las diferencias con respecto a la forma rectangular son considerables y para secciones cuya asimetna es grande, no es posible un calculo directo. En tales casos se calcula en forma aproximada admillendo una reparticin de tensiones rectangular en la zona comprl mida del hormign, o se conforma uno con la verificacin de que la armadura de traccin pre viamente estimada, juntamente con la seccin de hormign dada (eventualmente incluyendo armadura comprimida) en posicin y dimensiones, conduzcan a una seguridad su.ficiente en lo que respecta a alcanzar el estado limite. Para una reparticin de tensiones lineal en la zona comprimida del hormign (por ejemplo en el antiguo mtodo n) como consecuencia de proporcionalidad existente entre ten siones y deformaciones, son aplicables procedimientos de clculo mas sencillos (ver (2]). Ac Fig. 7.47. Transformacin aproximada de lonas comprimidas de forma arbllrarla en l onas rectangulares. 151 174. tualmente, sin embargo, slo son aplicables para verificaciones con grados de solicitacin muy reducidos, por ejemplo, para cargas de servIcio. Es comn tener que dimensionar secciones solicitadas por " flexin oblicua" (blBx/al bendlng) es decir, cuando el eje neutro no es paralelo al borde comprimido. Este caso se pre- senta para secciones asImtrIcas (por ejemplo vigasplaca con arrlostramlento unilateral contra la torsin, o solicitadas por momentos en que la linea de fuerzas es Incllnada,con y sin esfuerzo axil (Fig. 7.48). En la prctica se presentan relativamente pocas secciones de formas arbitrarias, pero en cambio son muy comunes las secciones rectangulares sujetas a flexin oblicua con I.$sfuerzo Bxll (por ejemplo columnas de esquina en los esqueletos de hormign ar- mado). Para estos casos, se dispone de algunos mtodos grficos auxiliares de clculo, por ejemplo en DIN 4224 Yen (72) y (76). Han sido preparados para una serie de problemas posibles solamente para calidades elegidas de aceros, de la distancia al borde de la armadura, de la dls posicin de la misma y de la magnitud relaUva de la fuerza axil. Prescindiremos aqul de las de- ducciones y aclaraciones, debiendo para ello recurrlrse a la blbllografla. 7.3.4.2. DlreccJn y posIcin del eje neutro Para una primera estimacin dela posicin y direccin del eje neutro y de la disposicIn de la armadura de traccin estimada (cuya magnitud es fcil de determinar sobre la base del brazo elstico zestimado), las siguientes condiciones constituyen una ayuda valiosa. la recta que une los puntos de aplicacin de las resultantes Db y le (Indicada con en Flg. 7.48) debe en flexin simple (sin fuerza aKI1), ser normal al vector representativo del momento resul- tante M (a determinar vectorialmente mediante Mx Y My). en flexin con solicitacin axll, pasar por el centro de presin. Para la primera estimacin de la direccin del eje neutro debe cumplirse: 1. Para secciones arbitrarlas es posible utilizar la circunferencia de Inercia de Mohr para la seccin supuesta en un principio como homognea (Estado I sin tener en cuenta la armadu raloSe determinan J,,, Jy y Jxy con respecto a un par de ejes coordenados con origen coinciden- te con el barlcentro de la seccin, siendo J .. Jx YdF e 0,5 (J +J) -J o L X .- Y . t:.F. xy X Y 45 8.) 8, j J Con estos datos se construye la circunferencia de Inercia siguiendo las reglas de la me- cnica del slido (Flg. 7.49). la Interseccin e de la linea de fuerzas N - O con la circunferencia se une con el eKtremo del segmento representativo del momento centrifugo JI! . Su prolonga cln corta a la circunferencia en D, con lo que queda definida la direccin del efe neutro por la recta O D. la posicin verdadera del eje neutro, paralela a O O,debe estimarse. Esta cons truccln supone una reparticin aproximadamente de la armadura sobre el perlmetro de la sec- cin. El momento centrifugo siempre es fcil de calcular sobre la base de J450cuando la seco cin est limitada por rectas, puesto que en este caso J-450(momento de Inercia con respecto a la bisectriz de un cuadrante poslllvo) puede calcularse en forma sencilla mediante sumas o res- tas de superficies triangulares. Para secciones que poseen uno o dos ejes de slmetrfa, resulta J xy =0, 'J en este caso, en la Flg. 7.49, T Y E colncldlnan. 2. Para secciones rectangulares, supuestas previamente como de material homogneo, resulta ms sencillo construir la elipse de inercia (elipse central), cuyos semiejes son dJVl2 y bI.j"IT(ver Fig. 7.50). la tangente trazada en el punto de Interseccin de la linea de fuerzas N . O con la elipse da la direccin del eje neutro; como valor del ngulo o entre la tangente y el eje x se tiene: tan o. 152 M J. M x (7.118) 175. - , N N 0---- ------:-1 t' I I Eje neutro Eje neutro ~.. Z '..-. . Vlgaplaca asimtrica sin estar asegurada contra corrimientos y rotaciones / tMy "'~M. Corle Planta -- )] M' Viga rectangular solicitada por los momentos Mx Y My segn ambos ejes de slmetrla (1lexl6n oblicua) Fig. 7.48. Ejemplos de secciones con perlmetros rectangulares, pero en que la zona comprimida del hormi gn no es rectangular. ., Cenlro de presin (p. de ap. de N) Circunferencia de inercia'Direccin del eje neutro Flg. 7.49. Determinacin de la direccin del eje neutro mediante la circunferencia de Mohf, para una seco cln arbitraria, supuesta homognea (fuera de escala). Una vez hallada la direccin del ele neutro, se traza perpendicular a la misma un diagra ma de deformaciones y con elto se obtiene una primera orientacin acerca de la posicin del eje neutro (Fig. 7.51). ~ara ello se adopta un diagrama de deformaciones, que parta de Le max = 5 %o Idel lado traccionado o de lb max = 3,5 "too del lado comprimido. Para la zona comprimida delimitada de esta forma, en general, ~ calculo de la resultan te de compresin Dbu, utilizando el diagrama rectiUneoparabllco de Flg. 7.3, resulta muy la borloso. Para ello es necesario dividir la zona comprimida en fajas paralelas al eje neulro de es pesor Ay y determinar para cada una de ellas esfuerzos parciales .tr.Db en funcin del Lb corres pondlente al barlcentro de la faja (Flg. 7.51); se tiene as!: (7. 11 9) 153 176. donde debe reemplazarse de acuerdo con F lg. 7.3 O Ec. (7.1): - 1- I d/V12 d Elipse centra! de inercia 1 - o (' 4 'R ~ Centro de presl6n -+--'1- ._, tangente en A = direc ci6n del eje neulro Fig. 7.50. Determinaci6n de la dlreccl6n del ele neutro mediante la elipse central de Inercia para una sec cln supuesta homognea, solicitada a la lIexin oblicua. Direccl6n del eje neutro o Linea de fuerzas o E~para F". I lb correspondiente a la faja .&. y -b (9) E, p.r. 6F, Fig. 7.51 . Determlnacl6n de los esfuerzos parciales.&. 0b, .&.De y.&. le partiendo de las deformaciones" para una direccin del eje neutro supuesta () determinada aproximadamente (en el caso Ilustrado la poslcl6n del eje neutro se supuso para un estado de deformacin te "" 5 %o Ylb" 3,5 ""'J. 154 177. - Los esfuerzos 60e YlIZe se obtienen de las correspondientes deformaciones del acero ('e y [e y de los diagramas 0"( de Fig. 7.5, obtenindose ADa = oe . IIFey tr.Ze =0L b. Fe' Los puntos de aplicacin de las resultantes de compresin Dbu = IADb + I 6De Y de la de traccin ~U = I lile se obtienen mediante los procedimientos corrientes de la Esttica. luego es necesario verificar si se satisfacen las condiciones de equilibrio y las adi clonales antes mencionadas. En caso necesario, en pasos sucesivos se modifican tanlo la po- sicin como la direccin del eje neutro hasta alcanzar un resultado satisfactorio. Para secciones rectangulares solicitadas por flexIn oblicua con esfuerzo axil, tanto en la DIN 4224 como en [72) y [76) se han publicado diagramas de Interaccin que, para distintas disposiciones de la armadura, permiten un clculo simple para los esfuerzos caracterlsticos Mx, My Y N debidos a las cargas de servicio. 7.3.4.3. Determinaci6n de los esfuerzos caracter/sOcos crfticos Mu y Nu mediante el procedl miento grfico de M6rsch Para determinar la posicin definida del eje neutro,E. Morsch propuso un mtodo grfi co sencillo (77], que adems sirve para determinar los esfuerzos caracterlsticos crlticos. En ge' neral, el procedimiento es aplicable para cualquier forma de seccin. Al determinar los esfuerzos caracterlsticos criticas Mu y NU deben distinguirse dos ca sos: 1. M YN se aumentan con el mismo factor de seguridad vM = VN = v, es decir el valor de la excentricidad se mantiene constante. v . M M M IN ' N N : e 2. El esfuerzo axil no se aumenta (VN = 1,0), es decir el valor de la excentricidad varia con vM: u la determinacin de los esfuerzos caracteristicos Mu Y Nu que se desarrolla a conti nuacin, corresponde a las aclaraciones generales dadas en Seco 7.2.2 (distribucin de defor- maciones conocida; se calculan los esfuerzos internos; se resuelven las condiciones de equilibrio). con la nica diferencia que la solucin de las ecuaciones correspondientes 'a las condiciones de equilibrio se resuelve grficamente. El procedimiento grfico se aclara mediante dos ejemplos muy comunes: 1. Se conoce e = Cte, y se buscan Mu Y NU o VM = VN 2. Se conocen NU = N, es decir VN =1 Y se determina eU y consecuentemente MU. Con respecto al nmero de incgnitas especificadas en Seco 7.2.2 pueden imaginarse otras muchas poslbilidades,como por ejemplo: condiciones preestablecidas para las distribu- ciones de las deformaciones (debe utilizarse totalmente el acero), para lo cual es necesario de- terminar la seccin de armadura Fe. Determlnaci6n de Mu y Nu para e = ete: Cuando se conozcan a priori las dimensiones de la seccin es neces~rio, para una excentricidad eU = e dada, calcular los valores del esfuer zo axil Nu y del momento flexor Mu. Partiendo de una distribucin cual.qulera de deformaciones, por ejemplo, el caso limite con (e = 5 %0 Y(b = 3,5 %0 como primera hiptesis, se calculan en la forma conocida los es- fuerzos internos Db. De y le (ver, por ejemplo Seco 7.1.4.3). Para la Solucin debe partirse de una condicin de equilibrio que no Incluya la Incgnita NU. es decir IM = Ocon respeclo al punto de aplicacin de NU (ver Flg. 7.5.2). 155 178. (7.120) donde y A nivel del eje neutro, establecido mediante el diagrama de deformaciones correspon- diente a (e =50/00 Ylb =3,5 %o se llevan los valores correspondientes a los miembros izquier- do y derecho de la ecuacin, en una escala cualquiera. Los dos valores ~D = De {e - ye> + Db ' eb y ~z = le' ee, en general, para esta primera hiptesis de la distribu cln de deformaciones, no resultan ser Iguales. En consecuencia se adopta otra variante para el diagrama de deformaciones con (b < 3,5 0/00, cuando hubiese resultado ~O > ~Z (es decir cuando el acero fuera determinante, Fig. 7.52 a) o con 'e [eS como consecuencia de la constancia de la correspondiente OeU =PS, de modo que la recta fJz = le .ee se mantiene paralela a la linea vertical de referencia. Para deformaciones [e fJbZ (es decir, sin partir de una fisura de flexIn, ver Fg. 5.11). Si, en estos casos, la armadura del alma es muy dbil, la fisura se extiende hacia abajo en todo el espesor y la viga falla (Fig 8.9). Este tipo de rotura debe tenerse muy especialmente en cuenta en vi gas de horm,gn pretensado. 8.4.1.3. Rotura de las diagonales Ideales comprimidas En el caso de secciones! con alas muy gruesas, almas muy delgadas y armadura de las mismas muy robustas se presentan numerosas fisuras de corte inClinadas a 45D las zonas comprimidas del hormign entre fisuras fallan bruscamente, por estallido, cuando su solicita cin alcallza la resistencia a la compresin del hormign anles que la armadura del alma lle- gue al limite de escurrimiento (Figs. 8.10 y 8.11). Este tipo de rotura (web compression 'si/ure, web crushlng 'ailure) determina el limite superior de la capacidad portante al corte del alma de las vigas, la que, en consecuencia, depende de la resistencia del hormign a la compresin. la magnitud del esfuerzo de compresin en las diagonales Ideales comprimidas resulta Influida, en primer trmino, por la inclinacin de la armadura de corte (ver analogla del reticulado). 804.1.4. Rotura en el anclaje En losas, vigas rectangulares y vigasIo T con almas de gran espesor, la armadura longi tudinal, por el efecto de arco, resulta muy solicitada hasta los apoyos (ver Flg. 5.15), de modo 183 206. que para un anclaje deficiente, ceden las uniones entre las diagonales Ideales comprimidas y el cordn tracclonado en las cercanras del apoyo (Flg. 8.12). Cuando existen ganchos, el hor- mign del alma puede astillarse (rotura por astllladura). La rotura en el anclaje (anchorage !ailute) se produce bruscamente. El cedlmlento del anclaje por deslizamiento de la armadura puede tener como consecuencia una rotura por corte en el alma; estrictamente hablando, este ltimo tipo de rotura no es en realidad,una rotura por corte porque no son los elementos resiso tentes del alma los que ceden, sino que es el anclaje del cordn tracclonado el que lo hace en la zona cercana a los apoyos. 8.4.2. Factores que Influyen en fa capacidad portante al corte 8.4.2.1. Enumeracin de 18S Influencias En la Seco 5.3.1.2 se aclar en forma sucinta el comportamiento bajo carga de una viga en la zona de corte. Result claro que muchos par.metros (aproximadamente veinte) Influlan en la capacidad portante al corte; son los siguientes: 1. Tipo de carga: carga concentrada P, carga uniforme p o q 2. Ubicacin de la carga y esbeltez de la viga: distancia relativa alh de una carga concentrada P al apoyo o valores relativos entre mo- mentos y esfuerzos de corte MIOh esbeltez de la viga l/h en el caso de carga uniforme 3. Posicin y forma de aplicacin de la carga: directa o indirecta cargas suspendidas inferiormente 4. Armadura longitudinal: cuantla de armadura I'L, en especial a )( ::::.3 d del apoyo calidad del acero y en consecuencia deformacin de la armadura de traccin grado de adherencia, influida por la distribucin de la armadura de traccin anclaje escalonado de la armadura de traccin 5. Armadura de corte en el alma: cuantla de armadura JoIS calidad del acero grado de adherencia anclaje en ambos cordones separacin de barras tipo (estribos verticales, estribos inclinados, barras longitudinales levantadas, combina cln de estas ltimas con estribos) 6. Calidad del hormign 7. Granulometrla del hormign: el tamano mximo del agregado grueso influye sobre la trabazn interna del hormign (agrega te interlock) 8. Forma de la seccin: por ejemplo, relacin blbo en vigasplaca 9. Altura absoluta de la seccin: las leyes de similitud mec.nica no tienen validez general 10. Configuracin de la estructura: vigas simples o continuas 184 207. Fisuras de corte -r/~..- Estribos r/ '" [j V C> V I ~isurasJd p ) e flexin Estribos estirados o fracturado$. Flg. 8.9. Rotura a traccin por corte, en una viga con alma de poco espesor y dbil armadura de corte: Fig. 8.10. Rotura por compresin de las diagonales ideales en el caso de una armadura del alma muy fuerte (Ialla brusca del hormign del alma por tensiones oblicuas de compresin). Fig. 8. t 1. Rotura por compresin del alma en una seccin lcon luerte armadura de corte constituida por estribos a 45 Iflp = 225 kplcml , TOU = 159 kp/cml al alcanzarse la carga de rotura). Ensayos de Stuttgart [8~ . 185 208. I I I I I I I I I I I I I I 1 I I I I I I I I I I ~ I I ,1 I I~- ... ~-~- ~-~-'-F-- --T-.... -t--.-1'"- -.-T-t-- --... -.,-- Flg. 8.12. Roturas en los anclajes (segn E. MOrsch (11). En los capltulos siguientes se analizarn las Influencias mas Importantes sobre la base de resultados experimentales que, en su mayarla, se obtuvieron en los resultados de ensayos de corte realizados en Stuttgart entre los arios 1960 y 1966 (Informes relativos a ensayos: [64, 85, 86. 87, 88] Yresumenes [63, 89)). 8.4.2.2. Posfcin y tipo de carga La Influencia del tipo de carga es significativa: para carga uniformemente repartida (car- gas que actan directamente aplicadas en la parte superior) los ensayos muestran para vigas esbeltas, sin armadura de corte, una capacidad portante al corte entre el 20 'le. Yel 30 % supe- rior a la del caso de cargas conceniradas ubicadas en la posicin ms desfavorable (Flg. 8.13). Teniendo en cuenta que en la realidad no puede garantlrse una reparticin uniforme de las caro gas, al establecer las normas de clculo deben considerarse tos resultados ms desfavorables correspondientes a cargas concentradas. En el caso de cargas concentradas la distancia de las mismas al apoyo Influye conside- rablemente, en cambio para cargas uniformes es determinante la esbeltez lIh (Flgs. 8.14 Y8.15). Como posicin ms peligrosa para una rotura por corte, con o sin armadura de corte, pa- ra el caso de una carga concentrada, resulta ser una distancia a :::: 2,5 h a 3,5 h, a lo que corres ponde una relacin momento-esfuerzo de corte MIQh = alh :::: 2,5 a 3,5. Para el caso de cargas uniformes, esbelteces lIh = 10 a 14 corresponden al mximo peligro de rotur&por corte, es de cir, a la mlnlma capacidad portante al corte. la capacidad portante al corte crece considerablemente, en el caso de cargas cercanas. a los apoyos, al disminuir la relacin a/h < 2,5; para cargas uniformes ocurre un incre mento similar cuando se tiene llh < 10. Esto responde a que el efecto de estallido resulta ms favorecido, cuanto mayor sea la pendiente de las diagonales Ideales comprimidas, suponiendo naturalmente un buen anclaje de las barras longitudinales !racclonadas (Fig. 5.13). Al dimen sionar la armadura de corte, conviene tener en cuenta este efecto favorable en la capacidad portante al corte. SI en un dlagr~ma se representan los momentos de rotura de vigas de hOmign armado similares sin armadura de corte, con respecto a las relaciones entre momentos y corte, puede observarse una disminucin, que comienza para aJh = 1, alcanza su mlnlmo para a/h ::: 3 y luego comienza a crecer hasta que para a/h =7 alcanza el valor del momento de rotura por fle- xin terico. G. Kanl denomin a dicha depresin "Valle de corte" 190, 91). Flg. 8.15. El ancho y la profundidad de dicho valle dependen de la rigidez de la armadura longitudinal tracclonada, es 186 209. 'Col) [kp/cm2 ] 100 , OV t .0 40 '0 O carg1as con~entra~as ./Car~a unlf~rme JI;:..., ~ .... p p l , l, , OOUOp 1 1=$2S 2S l ' l~ ~ IIh Esbeltez (para carga uniforme) O 4 B 12 16 20 24 2B ,11---+1--"--"--"--"--1'--11 a/h Aelacin MomentoCorte 0 1 2 3 4 5 6 7 Q.h = + (pA.ra cargas concentradas) Flg. 8.13. Capacidad portante al corte de vigas sin armadura de corte para cargas uniformes y concentra das en funcin de JIh y respectivamente de a/h. M SU [Mpm} 12 Momento rotura por fleK. calculado _ Me =tl,1M;;; 10 & , .;; O O - h r - - , -,-VV 1 /'VMomento MSU .... , 3 4 5 7 h p p 1 l , l, , Relacin momento-corte " ..- Q h h para I'L = 1,88 % j Flg. 8.14. Influencia de la posicin de la carga sobre la capacidad portante al corte en vigas sin armadura de corte!J,lL = 1,88 %l. Flg. 8.15. Influencia de la posicin de la carga aIh y de la cuanlla de armadura longitudinal sobre la re- lacin entre el momento de la rotura por corte y el momento de rot ura por flexin, en vigas Sin arma dura por corte ("$chubtal" segiXI G. Kani(90D. '0 O.iit::Vh, 4 - 1,88 ~ 2,8~L ['/.) 187 210. decir de la cuantla de armadura longitudinal f.ll y del grado de adherencia (ver Seco8.4.2.4). Al disminuir f.ll, el momento de rotura por flexin decrece ms rpidamente que el momento que produce la rotura por corte, de modo que eluvalle", para cuantlas reducidas, es menos profun- do que para cuantfas f./L grandes. La misin de la armadura de corte es equilibrar la falta de ca- pacidad portante al corte, puesta de manifiesto por la existencia del "valle", de modo que siempre se alcance la capacidad portante a la flexin. En el caso de cargas con M/Oh = alh >1 o cargas uniformes para esbelteces IIh > 24, aun sin armadura de corte, no existe peligro de rotura por corte. Considerando que en la zona a d es suficiente, en cada zona de borde, disponer la armadura mlnima referida en cada una de ellas a un ancho br = h12. 8.5.3.5. Reduccin adicional de la armadura de corte necesaria en el caso de cargas cercanas a los apoyos o vigas carlas Sobre la base del efecto portante favorable de voladizo, mostrado en Sec. 8.4.2.2 para dichas zonas, se permite que, para las cargas vecinas a los apoyos que disten menos de 2 h. la parte que Influye del esfuerzo de corte Qp se reduzca aplicando el factor Para vigas cortas de esbeltez lIh " 8, en el caso de cargas uniformemente distribuidas puede utilizarse como factor de reduccin del esfuerzo de corte " .-.,... 8 h - 201 224. El factor J( se ha representado en Fig. 8.29 en funcin de a/h y de l/h. Al calcular la armadura de corte de este tipo de vigas, se determina el valor caracterlsti co de la tensin de corte TO para un esfuerzo de corte reducido a red, es decir TO = a red/bol, tenindose para vigas con llh >8 y carga concentrada a una distancia alh < 2 Y sobrecarga distri buida p: Q red Q + K Qp g+ P para vigas con lIh T03 T T o 205 228. En el caso de flexin y traccin y eje neulro que no corta a la viga, no se admiten valores TO >T02' Ten - limites para TO (kp/cm'l Ele sl6n de Verlflcacl6n Coberturameno Zona ""rt. por calidades de hormlg6n Bn de la cobertu Observa al corte10 ra al corte clones , 15. 25. 35. 45. 55. o 2,5 3,5 4 5 5,5 F. Interrumpida 1 no nacesa- ninguna,011 ,la 5,. , 7 8 Losas 3,5 F. continua 2 12 18 24 27 3. necesaria cobertura reducl,02 .a 1 , 5 7,5 l. 11 12,5 no necesa armadura al cor- tambl'n 012 "a te mln. en 10S8$ Vigas 2 , 12 18 24 27 ,. necesaria cobertura reducl- 02 .a , '03 2. 3. 4. 45 5. necesaria cobertura lolal 5610 para do ;.. 45 cm empleando acero nervurado Flg. 8.31. Limites de los valores caracterlstlcos de ta tensin de corte TO par. cargas de servIcIo segn DIN 1045. 8.8. Dlmenllonado al corte en calOI especiales 8.6.1. Armaduras de unin de cordones En vigas-placa o vigas'caJn, las losas, que actan como cordones comprimidos o trac clonados.deben vincularse al alma en forma resistente al corte. En la Sec. 7.3.1 se aclar la colaboracin de la losa como elemento comprlmfdo de una viga-placa. Con relacin a la distribucin de las trayectorias de las tensiones principales que muestra la Flg. 7.31, se origina, para el estado 11, es decir cuando 01 alcanza la resistencia ala Iraccin del hormign. un slslema de diagonales comprimidas (entre fisuras) y de !racclonadas correspondientes stas a armadura de vinculacin. Como base de calculo, sirve, anlogamente que para el caso de las vigas.un modelo constituido por un reticulado simple; la Fig. 8.32 muestra un ejemplo donde,en lo que respecta a la separacin ea de las barras tracclonadas de la armadura de vinculacin, el esfuerzo de compresin 01 en la losa es absorbido por tres barras ideales. Dichas tres barras en la losa comprimida, absorben cada una de ellas 01/3,para lo cual, de acuerdo con la Seco 7.3(Flg. 7.34), se admite que la tensin o. es constante sobre todo el ancho acUvo. La direccin de los elo- mentos comprimidos oblicuos se corresponde con la de las trayectorias de compresin en la losa y se supone que las cercanlas de los apoyos es de 45; las mismas se aplanan al crecer M y disminuir Q. La direccin de las barras traccionadas de la armadura de vinculacin debe, normal mente, ser perpendicular al eje x. Sobre la longitud dx, la parte dO. correspondiente a la losa de la diferencia de las resul- tantes de compresin dD =dMfz debe transferirse a ambos lados del alma (Flg. 8.32 a). 206 229. Despreciando las tensiones de compresin en el alma, el factor de transferencia" para el caso de simetrla vale d b mI b d a y con .60 = .6Mlz y.6MI.6x a se tiene d (b - b ) a o 2 b da 6x Q, b - b o 2b (8.50) (8. 51) Del pollgono de fuerzas correspondiente a un nudo se obtiene el esfuerzo de traccin Za = .6D}13 Ycon la Ec. (8.51) el esfuerzo de traccin correspondiente a la armadura de vincula- cin referida a la unidad de longitud .6x13 z' b - b o 2 b _ (8. 52) , Si la armadura de vinculacin tiene una separacin ea y una seccin efectiva Fe, a. re- sulta entonces con fea = Fealea una tensin en el acero o e,a z'a -f- e,a Q z f e,a b - b o 2 b (8.53) La armadura de vinculacin necesaria debe determinarse para una tensin en el acero 0e. a = f1s y una carga de servicio afectada d~ " =1,75 (agotamiento del acero) y resulta ser fe,a nec. b - b o 2 b v Q z ~S (8. 54) Partiendo del valor caracterlstico establecido en 8.3.3 para la tensin de corte en el al- ma TO = Olboz, puede deducirse un valor caracterlstico Ta para la tensin de corte en la unin: b (b - b ) o oT a 2 b d a y por analogla con la Ec. (8.39) se tiene en consecuencia fe,a nec. F =~ e a T. d o e (8.55) (8. 56) Este valor Ta es mayor que TO para da < bo (b'bo) f2b lo que ocurre muy a menudo para las grandes losas comprimidas en puentes. Cuando se trafa de la vinculacin de un cordn traccionado fuera del alma (Fig. 8.33) el esfuerzo .6Z1 en cada lado, la correspondiente armadura del cordn Fe,l, debe unirse en el alma a las diagonales ideales comprimidas a 45. Para igual tensin en la totalidad de las barras de 207 230. -+ I I I I f, 0,,---> Fm : bm d m 20m dm tmln bmtl dm t2 dm ' l] -,.. "rd - 5,32 dT 0,113 d' -t- .j - S,'I :~ 0,130 d' Flg. 9.6. Tensin de torsin TT mb y momento de inercia polar para algunas secciones homogneas segn la leerla de la elasticidad. 21. 242. En secciones huecas, cuyo espesor de paredes es pequetlo en relacin con las restan- tes dimensiones de la seccin, la burbuja debe extenderse de la linea media de la seccin ha- cia todo el espacio vaclo. La analogla de la membrana de Prandtl es especialmente til en sec- ciones Irregulares para ubicar rpidamente los puntos de mxima tensin de torsin. Asl como en la teorla de la elasticidad la analogia de la membrana sirve para visualizar las tensiones de torsin, lo mismo ocurre en la teorla de la plasticidad con la analogIa del mon- tlculo de arena de A. Nada/. Una seccin totalmente plastificada posee tensiones de torsin constanles, asl como el correspondiente montlculo de arena tiene el mismo talud en todos los bordes (Fig. 9.8). El volumen del montlculo de arena es proporcional al momento de plastifica cin total Mr. u. Para secciones constituidas por rectngulos es poslDle, aproximadamente, sumar los JT de cada uno de ellos y distribuir el momento torsor MT en proporcin a los JT individuales (Flg. 9.9). Se supone con ello que cada rectngulo parcial gira en torno a su propio centro de corte; en realidad existe un nico eje total de torsin que pasa por el centro de corte de la sec- cin total. En realidad el clculo de los JT deberla efectuarse en relacin al centro de corte M. Pero como en el clculo slo aparecen las relaciones relativas de los JT, en general el error co- metido es mlnlmo. Para secciones cualesquiera irregulares, secciones substitutas constltuidas por elipses o circulas Inscriptos, conducen a valores utilizables de Tf y JT (Fig. 9.10). En secciones huecas se utiliza la frmula de Bredt (ver Flg. 9.6). 2. F t (9.3) m 9_2.2. Observaciones acerca de la torsin con alabeo restringido de la seccin Aparte de las rotaciones de la torsin segn Salnt Venant, las deformaciones w de las fibras de la direccin del eje de la barra se denominan alabeos. La Fig. 9.11 muestra el alabeo de una barra de seccin rectangular, que se ha hecho visible mediante una cuadricula dibujada en las caras laterales 1105]. En este caso, el plano de la seccin se transforma en una superficie curva espacial, de- pendiendo la magnitud del alabeo de la forma de la seccin_ En la Fig. 9.12, para algunas sec- ciones se han representado las lineas de nivel de las superficies alabeadas. Tangente Corte a-a horizontal tangente G' TT = O tangente ~ TT max Presin Interior Flg. 9.7. Analogla de la membrana de L. Prandtl para rgimen elastleo. 220 Membrana 243. )..- :,...;// - Flg. 9.8. Analogla del monUculo de arena segn A. Nadar para rgimen plstlco. para la parta n se tiene: l:J. MT,n J T. n ", JT,n "t l, n 36M T,n b , o do Fig. 9.9". Descomposicin en rae,ngulos de un perfil compuesto. Flg. 9,1,. Barra prismtica solicitada por torsin (segun Tlmoshenko [105)), Fig.9.10. Secciones substitutas para el clculo de secciones Irregulares. 221 244. '-...... cuadrado rectngulo bid > 1,45 Flg. 9.12. Alabeo de algunas secciones segn E. Chwalla [103]. " anillo I M circulo " " I " I " I I s " s ,. l- ~ '- ,- ,-/ t- , M tringulo equllatero ~ S I Secciones constituidas por la Jas angostas cuyas lineas me dias se corlan en un punto. ,, V --. I ----- ~ -1 " , b " ~. Flg. 9.13. Ejemplos de secciones sin alabeo (ver otras en [103]). 222 , Secciones huecas para deter minadas condiciones geo- mtricas 245. En algunos casos especiales de secciones, el alabeo es w = O, denominndose stas "secelones sin alabeo" (ejemplos en Flg. 9.13). Cuando en secciones que se alabean, el alabeo se impide, por ejemplo mediante un blo que macizo en el extremo de la barra; como consecuencia se originan tensiones longitudinales de traccin y compresin 0x, que hacen que la torsin de la seccin y con ello las tensiones tan genclales TT, disminuyan. La dislribucin de las tensiones longitudinales por alabeo varia a lo largo de la longitud de la barra. En los lugares donde se produce el impedimento del alabeo, aparecen las ten slones mximas, y a partir de ahl disminuyen mas o menos rpidamente segn sea la rigidez a la torsin y la esbeltez de la barra. En la mayor parte de los casos, la zona perturbada es menor que la "zona de perturbacin de Salnt Venan!", con x" d. En Fig. 9.14 se ha representado la distribucin de las tensiones longitudinales por alabeo para una vIga de seccin rectangular. La restriccin del alabeo aparece, entre otras causas, en los apoyos Intermedios de vIgas con tinuas, en el punto de aplicacin de un momento torsor y en los empotramientos extremos. El clculo de la magnitud y dIstribucin de las tensiones longitudinales por alabeo, se efecta normalmente en base a la taorla matematica de la elasllcldad, pero en hormign arma do estos mtodos slo son vlidos para aquellas zonas de las vIgas que se encuentran en esta do l. Para vigas en estado 11 no se han propuesto an mtodos satisfactorios de clculo. En vi gas con rigidez a la torsin, las tensiones debidas al Impedimento del alabeo originan fisuras en el hormign, y se reducen allrabajar sle en estado 11, por lo cual en lo que respecta a la se- guridad juegan un papel secundario. Se recomienda armar las zonas perturbadas, como en el caso de tensiones inducidas, con el objeto de prever una reduccin del ancho de las fisuras (ver tambin [l06D. 9.3. E,fuarzos y tanslonas en elementos estructurales de hormign armado debidos a torsin pur. (Est.do 11) 9.3.1 . Ana/ogfa del ret/culado en torsin pura Ensayos realizados en Slullgart 1107) y Zurich (65) demostraron que, luego de aparecer las fisuras en espiral a 1350 originadas por la torsin (Fig. 5.1n, con la armadura usual, cerca de la superficie de la seccin total continuaba colaborando una delgada lmina de hormign. Ello fue comprobado, entre airas hechos, por la circunstancia que la barra de seccin cuadra da llena, trabajando en estado 11 conduce al mismo diagrama de deformacin y a las mismas tensiones en el acero que la seccin hueca (suponiendo Iguales armaduras, Fig. 9.15). Otra comprobacin se deduce del hecho que rectngulos de igual seccin con b . d = Cte pero distlntos d y b, para el estado 11 poseen la misma rigidez e Igual capacidad por tante a la torsin (Fig. 9.16) aun cuando la relacin d/b varle de 1 a 6, lo cual, segn Fig.9.6 para I I ~l -W- ~ I ~- Sistema esttIco I I DIstribucIn de Iss tensiones longitudinales por alabeo Flg. g.14. Distribucin de las tensiones longitudinales por alabeo para una viga de seccin rectangular. 223 246. el estado I conducirla a grandes diferencias en lo que respecta a JT y TT. Dicho diagrama muestra tambin la notable reduccin de la rigidez a la torsin para el estado 11, en el caso de una armadura segn Flg. 5.18. Estos resultados experimentales muestran que para secciones llenas es posible calcu- lar las tensiones con suficiente aproximacin tomando como modelo una seccin hueca; la Flg.9.17, segun W. Fuchsstelner {lOS], muestra los esfuerzos que se originan en este caso. Las tensiones reales en el acero se obtienen cuando se hace pasar el contorno medio de la seccin My [Mpm] " 12 / 1 f / V 10 6 4 2 O O -? .-- ,.- 2 , .-.. ~T :0,91 0'0 (la misma armadura) ngulo especifico de t()(sln L [1 10 2 J Flg. 9.15. Torsin especifica de vigas de secciones llenas y huecas. FiGTTl de d l b = 1 .0 ....... d/b:2 < ' 60 ~ " 40 N di b '6 f&%B':!0&:J =$ J.-. ~ ~ C. ii 20 O l-----1-.::.==~~=--~ MT O 2 3 [Mpm] Flg.9.16. Rigideces a la torsin de distintas secciones rectangulares de igual area para los estados I y 11. 224 247. Flg. 9.17. Modelo de una seccin llena IIsurada en torsin pura segn W. Fuchssteiner [lOS}. por el centro de las barras longitudinales ubicadas en los vrtices. En lo que respecta a la in- tensidad de las tensiones en el acero y con ello en el dimensionado de la armadura de torsin, el espesor tr de la pared de tubo hueco supuesto no tiene ninguna influencia y slo se necesita para el clculo de las tensiones de compresin en el hormign o del valor caracterlstico de la tensin tangencial de torsin (ver Seco 9.3.3). Los valores limites de los espesores Ir de pared a considerar figuran en Seco 9.3.3. Al proyectar la armadura de torsin debe tenerse en cuenta que las paredes del tubo hueco de pared delgada considerado para el clculo se suponen constituidas por reticulados, sea por una sucesin de reticulados mltiples o por reticulados cruzados, anlogamente al caso de los reticulados supuestos para las almas de vigas solicitadas al corte (Fig. 8.5). Las diago- nales comprimidas de hormign tienen un desarrollo hellcoidal en torno al tubo hueco con una Inclinacin de 135 con respecto al eje de la pieza. Anlogamente que en el caso de corte, en la torsin los reticulados tubulares se consideran como resultado de la superposicin de reticula dos tubulares simples, de modo que el clculo de los esfuerzos y tensiones se realiza en relicu- lados simples; ver al respecto las figuras 9.18 y 9.19 segn sea la direccin de la armadura. Los esfuerzos de traccin del reticulado son totalmente absorbidos por la armadura, por lo que no es posible una reduccin Isimilar al caso del corte, porque estos reticulados no pose en ni cordones.comprimidos inclinados ni diagonales comprimidas de Inclinacin menor de 45. 9.3.2. Esfuerzos y tensiones en reticulados espaciales tubulBres 9.3.2.1. Reticulados espaciales tubulares con barras tracclonadas a 45 Para el reticulado tubular de Fig. 9.18, el equilibrio en el nudo A se satisface cuando Del equilibrio de las fuerzas interiores y exteriores en el carie 1-1 resulta: (9. 4) con lo cual: Z:: D 225 248. Par. pasar al retfculado multlple se requiere conocer los esfuerzos relativos referidos a la unidad de longitud aZ =2 bm . sen 450 =bm V2 =ao= z' .. D' z o" _ 0 - o a Z a o (9. 5) Con ellas es posible calcular las tensiones que ocurren en rellculados cruzados. Si para una seccin rectangular se reemplaza b:n por el rea media Fm de la seccin hueca, se tiene para - la tensin en el acero: donde - la tensIn en el hormign: F e, e O' a b o - o t T e F . ..2 e,. seccin de la espiral (9.6) separacin de las barras en la direccin x (eje de la pieza) 2 F . t m T (9. 7) con tr =espesor de la pared del tubo hueco supuesto; para valores limites de tr ver Seco 9.3.3. 9.3.2.2. Reticulado espacial con barras longitudinales y estribos transverseles Del equilibrio del nudo B del reticulado espacial de Flg. 9.19 (comparar con la armadura de Flg. 5.18) se tiene con D450 = D: o0 - 12 y del equilibrio en la seccin vertical 1111 resulta asl como tambin 400 _ ' 226 o4,- V2 b m -2- o (9,8) 249. Esfuerzos caracteristlcos en la seccin H b.. Empotramiento en la cara extrema I Esfuerzos en las barras que concurren al nudo A .......-'/.I. 0,,_ 0,,_ / Las barras de corOn no absorben esfuerzos I Cara e)(trema donde actoa MT ---- "."""",=== Barras traccionadas Diagonales ideales comprimidas Flg. 9.18. Retlculado para torsin pura, con armadura de lorsin a 450 (seccin cuadrada hueca y de- sarrollo simple del reliculadc). Con ello los esfuerzos resultan ser D " y D " -{2 " Para los esfuerzos referidos a la correspondiente unidad de longitud se obtiene: D MT D " Ta D (9. 9) m Z~tl ZB MT " -- "-- aB 2b 2 (9. 10) m 227 250. -cona L - U m -,- .b m z'L (9.11) Para un retlculado compuesto, resultan con ello, para una seccin rectangular con Fm en lugar de b:n: - las tensiones en el acero z'L u EF L me, Esfuerzos caracterlstlcos en la seccin 1111 r'm D Cara extrema en que acta MT eBa F e. BU u m (9. 12) (9.13) EF e,L Empotramiento en la cara extrema Esfuerzos en las barras que concurren ar nudO B Barras traccionadas ---- ==~,~'C'O Diagonales Ideales ==a:IlC;;:o comprimidas Frg. 9.19. Retrculado para torsin pura en el caso de armadura de torsin paralela y ortogonal al eje de la pieza (seccin tubular cuadrada, retlculado simple). 228 251. - la tensin en el hormign F . t m T (9, 14) Para las armaduras ortogonales corrientes constituidas por barras longitudinales y estribos perpendiculares la tensin de compresin en el hormign segn Ec. (9.14), en las diagonales a 45, resultan ser por el efecto de retlculado de un valor doble que en el caso de ar- maduras a 45 segn Ec. (9.7). (Ver proporciones anlogas en las tensiones de corte, Seco 8.3.2). En realidad, ras tensiones localizadas en el hormign resultan ser an mayores (ver 9.4.3). Por ello es necesario por precaucin, reducir suficientemente las tensiones en el hormign. Para el establecimiento de las condiciones de equilibrio importa poco el que, por ejemplo, las barras longitudinales estn ubicadas en los cuatro vrtices o en.el centro de los la- dos. Para asegurar la transferencia de los esfuerzos en las diagonales Ideales comprimidas, debe sin embargo disponerse (aun en el caso de armadura a 45) una armadura en los vrtices (ver Seco 9.4.4). Para secciones de grandes dimensiones, y desde el punto de vista de limitacin de fisuras, es necesario repartir la armadura longitudinal a lo largo del perfmetro de la seccin. 9.3.3. Valor caracterlstlco de la tensin tangencial de torsin para el estado 11 El valor caracterlstlco de la tensin tangencial por torsin se determina para la seccin tubular hueca medIante la frmula de Bredt: v' M T (9.15) en la que, con la notacin de Fig. 9.20, para un espesor tT de pared valen los limites siguientes: tT '" ~ donde b es el lado menor del rectngulo, o tT '" ~ donde bm es la separacin entre los ejes de las barras de los vrtices correspon- dlent~s al lado menor de la seccin, resultando con ello definido dm. Para una seccin rectangular, la Fig. 9.20 muestra las distintas poSibilidades de elec cin de la seccin hueca sustituta: b b para ;: < 6 IFlg. 9.20 b)' F b d (9. 16)m m m b b b b 5 bm (Fig. 9.20 c):para ..> 6 F m "(b-6') (d-6') z sb(d- S) 19. 17) SI resulta determinante el criterio tT = bl6, es decir cuando tas barras de esquina estn ubicadas cercanas al borde (Fig. 9.20 cl, corresponde elegir la seccin tubular sustituta, segn [24J, de modo tal que sus lados exteriores coincidan con el perfmetro de la seccin dada. Observacin: antes, de acuerdo con E. Aausch (1091 en la frmula (9.15) se consideraba a Fm como la superficie encerrada por el eje del estribo. Esta hiptesis resulta sin embargo In- segura, porque con elta Fm resulta demasiado grande y .en consecuencia T~ demasiado reduci- da. En el caso de secciones constituidas por rectAngulos, para la determinacin del rea de la seoclOn hueca se procede como indica la seccin 9.21. Para secciones irregulares, la seccin hueca ficticia se forma de acuerdo a lo indicado en Fig. 9.22, donde d o en su caso dm corresponden al mximo circulo inscripto. 229 252. fF 'm II / = d m d a) esquemas bsicos b) barras de esquIna ubicadas profundamente .... t, T 1 Detalle A t,t .,f.-,," -,.. d Fm-t b1d -+ el barras de esquina ubicadas cerca del borde L Flg. 9.20. Secciones huecas sustitutas para torsin en seccIones rectangulares en el estado 11, y distintas ubicaciones de las barras de esquinas. I .~ r,2 5 t r,l 'tT ,n = MJ Flg. 9.21. Seccin hueca sustituta para torsin de una seccin larmada por rectngulos. 230 d ="6 dm .-,- Flg. 9.22. Seccin hueca sustituta para lorsln de una seccin rregular. 253. d 'm_ resp. __ s l.,j IT b) seccin hueca de pared delgada Ir bl66 bm15, en este caso se considera, como para la seccin llena, una seccin hueca sustltuta. La ubicacin del contorno medio de la seccin hueca sustituta, depende de la ubicacin de la armadura de torsin (ver Flg. 9.23 a y b). Para la seccin en cajn hueco, tlplea de un puen- le Que mueslra la Fig. 9.241as parles do losa en voladizo prcticamente no contribuyen en la re- slstoncla a la torsl6n y no se tienen en cuenta. 231 254. 9.4. Comportamiento de estructuras de hormign armado para torsin pura 9.4.1. Ensayos clsicos,ala torsin de E. Mrsch efectuados en los afias 1904 y 1921 La rotura por torsi6n en cilindros huecos sin armadura (Fig. 9.25) confirma existencia de tensiones principales de tracci6n a 45 y su trayectoria helicoldal. Morsch, mediante la serie de ensayos representados en Fig. 9.26, constat6 que una aro madura dispuesta en una sola direccl6n a 0 6 90 (s610 armaduras,longitudinales o transver- sales) no podla aumentarse la capacidad de carga a la torsi6n. En cambio, las armaduras heli- coidales dispuestas segn las trayectorias de las tensiones principales de traccin en una ni- ca direccin a 45,conduclan a los mejores resultados, siendo la carga de rotura considerable- mente mayor que la correspondiente al caso de armaduras en dos direcciones, a 0 y 90. Es tos resultados recin fueron confirmados y ampliados en los anos posteriores a 1966 mediante nuevos ensayos. 9.4.2. Rotura a la traccin por torsin (agotamiento de /a armadura) El peligro de una rotura brusca, sin anuncio previo, al producirse la primera fisura, elds- te tambin en las solicitaciones por torsin. Por ello es necesario disponer una armadura mlnl- ma, capaz de absorber los esfuerzos de traccin transmitidos por el hormign a la armadura y que evite una rotura instantnea. Si la armadura se dimensiona para TT, el acero romper primero siempre que TT no sea tan elevada como para que los elementos oblicuos comprimidos de hormign sufran aplas- tamiento (ver Seco 9.4.3). En el caso de armaduras constituidas por estribos y barras longitudinales, las seco ciones fe en ambas direcciones deben ser iguales (fe, l Yfe, BU); si son distintas, la menor de ambas es determinante en la rotura. Dentro de determinados limites, las diferencias entre fe, l Y fe BO' permiten transferencias de esfuerzos por cuanto la direccin de los elementos compri- midos se modifica [65]. Las tensiones en el acero alcanzaron tos valores calculados para cargas repetidas en la analogla de la seccin tubular en estado 11. En la primera carga el incremento de la tensin en el acero al sobrepasarse la carga de fisuracin no fue, como en el caso de las tensiones tan- genciales por corte, ms o menos paralelo al diagrama 0e =TIlA, sino mucho ms acentuada (Fig. 9.27). En el caso de la torsin no es posible considerar ninguna reduccin de las tensiones de corte en el alma, porque en el reliculado supuesto no es posible considerar la existencia de un cordn comprimido Inclinado. La reduccin corriente en los EE.UU. para el dimensionado a la torsin es inadmisible por esta razn. Es natural que las armaduras deben estar perfectamente ancladas. 9.4.3. Rotura a la compresin por torsin (aplastamiento de los puntales comprimidos del hor- mign) La solicitacin del hormign depende en primer trmino de la direccin de la armadura; adems, adicionalmente aparecen tensiones elevadas secundarias. Para armaduras a 0 y 90 se han observado en el centro de las superficies exteriores de Fig. 9.25. Cilindro hueco de homllgn simple luego de su rotura por torsin (Morsch, 1904). 232 255. Serie 2 2,33 2,33 ,> Serie 3 , ,'" Serle4 Serie 5 Resultados experimentales (promedios de 3 ensayos) Momento de fisuracin [Mpm 1 2,33 2,50 2,47 Momento de rotura [Mpm 1 2,38 2,50 3,78 + la maquina de ensayo no tenra potencia para alcanzar la rotura '>'V'-,"-,' ~ --- #... ... Serie 6 2,70 > 7,00 + Flg. 9.26. Ensayos a la torsin de E. MOrsch (1921) en cilindros con distintas armaduras (fJw = 150 kplcm'). las partes comprimidas, acortamientos (b del hormign a 1350 , que corresponden a tensiones 0b =4 TT a 6 TT, es decir mucho mayores que las de esperar en la analogla del reticulado (ver Sec. 9.3.2). Thrlimann y Lampert (Zurich) encontraron que la justificacin residla en el conside- rable alabeo de las superficies laterales (Flg. 9.28), por lo cual las partes comprimidas lo eran con gran excentricidad y por ello el colapso ocurrla mucho antes que para el caso de corte. En consecuencia, en la torsin el limite superior de TT debe reducirse con respecto al ca so de corte. Con armadura a 450 , el alabeo es menor Y0b mAx un 40 % ms reducido, pero, sin em bargo, y a este respecto, slo existen actualmente pocos ensayos, por ejemplo tl0). 233 256. G'. ,Bu ' OOO~----------'-----'-----r-7?-' 4000 GJ------ ->---Si mb f 6, Q:S cm JOOO -1-----+ ----+- 2000 -1--------+---- 1000 o 2 3 4 Flg. 9.27. Varlacl6n de las tensiones en los estribos en vigas rectangulares, con armadura perpendicular en torsin pura. Superficie de dOble curvalura " -"'0-""" '1i, Tensiones secundarias de flexin t travs de un corte de la zona comprimida Os Flg. 9.28. Deformaciones de una viga de hormign armado en torsin [65J. 234 traccin z 257. empottemlento 8 torsin u vrtice Que rompe u estribo Flg. 9.29. Desvlo de los elementos comprimidos en las aristas. 9.4.4. Roturas en las aristas A lo largo de las aristas de las vigas rectangulares, los esfuerzos de compresin de las zonas comprimidas oblicuas deben variar de direccin en las esquinas, por lo que se originan esfuerzos de desvlo U (Fig. 9.29), que slo pueden ser absorbidos por la resistencia a la Irac cln del hormign hasta un determinado valor de TT. Si TT resulta elevado, rompen los vrtices, salvo que estribos poco separados o barras de esquina rlgldas absorban los esfuerzos de des vIo. Ensayos realizados con estribos de distintas s'eparaciones demostraron que para el caso de TT elevados, este tipo de rotura slo puede evitarse si se adopta una separacin de estribos " 10 cm (111). El limite de ry, por sobre el cual se exigen estribos muy junIos o barras de es quina de gran dimetro, puede fijarse normalmente para 1 veces la carga de servicio, en el valor .,11 .. 0. 04 13 NT w, 9.4.5. Rotura en los anclajes En este tipo de rotura, la armadura cede en los anclajes, es decir que los estribos pueden "resbalar" y las barras longitudinales pueden deslizarse en las zonas de absorcin del flujo de las tensiones tangenciales debidas a la torsin. 9.5. Dimensionado de estructuras de hormign armado sujetas a torsin pura 9.5.1. Planteo del dimensionado a torsin pura 9.5.1.1. Cuantfas de armadura a fa torsin y tensiones Las cuanl/as de armadura lIT correspondientes constituidas por barras longitudinales y estribos o hlices a 45 se definen como se expresa a continuacin: para barras longitudinales: ~T.L EF Le, Suma de las barras longitudinales 19. 18) Ir perlmelro del eje medio de la pared 235 258. - para estribos verticales: ..e, BU Fe de un estribo " ,----,T, BU t T eBU tr' separacin de los estribos para armadura en espiral a (1 = 45: IlT s '" t . e . "o (la. 5) (10, 6) Para determinar los esfuerzos inlernos relativos db 'J de, de es necesario adems cono- cer los diagramas,, (para el hormign y el acero. Para el clculo de deformaciones al verificar 254 277. la capacidad portante (teorla de II orden), en general se utilizan los diagramas ideales (bi- lineales) 0-' del hormign y acero, segn Figs. 7.4 y 7.5 respectivamente. 5i, para cuantlas mecnicas dadas y F' e bd ~s ~R se fiJa a priori la curvatura relativa i ='1 - (J y se varlan (1 (J dentro de los limites admitidos para el dimensionado (ver Fig. 7.6), se obtienen de las curvas de un diagrama ni - mi funcin del parmetro i, las relaciones m-n - i M - N - IC. Las Flgs. 10.17 a ~ muestran dichas familias de curvas para una seccin rectangular con armadura simtrica de B SI 42/50 Y o =ji(, = 0,12; 0,24; 0,48 Y0,72. Para.e! estado de equilibrio buscado entre los esfuerzos caracterlsticos internos yexter- nos de una seccin (es decir NI =Na Y Mi =Ma o tambin ni = na y mi =mal es posible obte ner de dichos diagramas, en cada caso,la correspondiente curvatura i en "A:o. La relacin M - N - IC asi obtenida, puede tambin representarse usando ni como pa- rmetro, Fig. 10.18, lo que es comn encontrar en la blbliografla [118,122.123[. Esta forma de representacin permite apreciar otros aspectos del problema y puede resultar til en la prctl ca del clcuto. Puede observarse que para esfuerzos normales de compresin de gran intensi- dad (por ejemplo ni = 1,25) el colapso comienza para pequeflas curvaturas (2,5 ".(,o), mientras para compresiones de reducido valor, adems de los momentos !Iexores mI mucho mayores que pueden absorberse simultneamente, tambin las curvaturas pueden llegar a ser conside- rables. , ~ ';J.: b /~ 0 / " "/ , ", d / I~F~ F, II Olstrlbucin de deformaciones 'R ~ E, -E:2: const ---- paralela a(Ddesplazada " -- E, E, E. Tensiones en el hormign Tensiones en el acero G' i G, I Esfuerzos internos Esfuerzos calacterlslicos de la seccin Fig. 10.16. Deformaciones. fuerzas y esfuerzos caraclerfsllcos en una seCcin rectangular con armadura simtrica para el estado l. 255 278. o ~. ~ m. ~ '" o' o ~ ~ ~ ~ -, - '. o N (1)', ......,. " ~ ~ ~ ~ -' i- E "o o, I 51 ~ ~ N N ., - O ' ;:}N U a " o ~ < .f ~ o';; " U " '" o ":J.. 0 --; '" < p< " '" " ~ o ,,0- < .2 ", D- ~ ",, , o . -~ " , ON, , 00 ~. ,. "i ' .~ , ~ 'l!- Isz'o ' "M.- ,- ~, , 1- r- r--r- ~ -.. o' t--. t- t--..-.. . 1 ~ t--~ ..... c-- r-,...k- r- ~....... :--- r---: ::::: -,o , -8'w ....... 8' ~ ~ -:;} o ~ - " ,~ ~ '. 3 o : ~ j ~ " < , E 281. ; . O) 0,25 0.2 O,lS 0, O,os O r r 1",:-0,5 0,0,75 + n,:-(pS t-- 1- . ---- - /' l A'" ",.-1,00 - ~ - I n ',25 -l - -1- - ~ .- I X: 'M,. d e -o~ -1) -1,5 -2J) - 2,5 - 3,0 -lS - t./) -'.5 -~ -s,S -6,0 -6,5 b ..] Flg. 10.18. Diagrama m -n - IC con n como parametro para secciones rectangulares con armadura si- mtrica con "o ;- ;;O :: 0,24 y B SI 42/50 (segun Flg. 10.17 b) m; ----------=-"..-- Q)Q) de acuerdo con Fig. 7.4. La seccin no se ' isura, de modo que aparece una nueva 259 282. modificacin, cuando en el punto 3 la armadura comprimida alcanza el limite de escurri miento; el punto 4 representa nuevamente la carga critica segun Cap. 7. Para la estabilidad de una columna esbelta de hormign armado ocurre a menudo que no es el punto 4 el determinante, sino los puntos 2 3, que corresponden a haberse alcanzado el mite de escurrimiento en la armadura, porque en dicho caso el momento de los esfuerzos internos no crece tan rpidamente. las recomendaciones que figuran en la Seco 10.5 y en la DIN 4224, para clculos aproximados, utilizan las propiedades antes mencionadas de las curo vas M - N - x, con N como parmetro; ver Fig. 10.18. la inclinacin de las curvas ni, analogamente a lo que ocurre en la teorla de la elastici dad. puede interpretarse como rigideces a la fle)(in EJ. Aproximadamente dichas curvas dan al mismo tiempo, aproximaciones vlidas de la verdadera rigidez a la flexin de secciones de hormign armado sometidas a solicitaciones crecientes. 10.3.4. Verificacin de la capacidad portante segn la teorla de /1 orden De los numerosos procedimientCls de clculo que figuran en la bibliografla (ver p. ej . [124,125]) utilizaremos en lo que sigue el mtodo de EngesserVianello. En primer trmino ana lizaremos el caso sencillo de una columna articulada en ambos extremos, en la que la fuerza de compresin v . P acta en los extremos con la misma excentricidad e. En primer trmino dividiremos la longitud de la barra en n partes iguales de longitud tr, x, para lo cual, cuanto menor es la longitud de las mismas, aumenta la exactitud del valor de las deformaciones vk calculadas para la barra (Fig. 10.20). Partiendo de los esfuerzos caracterfsti cos obtenidos con la teorla de I orden para cada punto k y se obtiene en ell er paso de la iteracin utilizando las relaciones M - N - x (por ejemplo de Fig. 10.17) los pesos elsticos W en cada uno de los puntos. Admitiendo una variacin parabli ca de la curvatura, para tr, x = sin se tiene en general: wo W n x 12 (3, 5' )0,0 + 3 )0,1 0,5 )0,2) (extremo superior de la barra) X Wk :: 12 (1'.k_1 + 10 "k + kk+ 1) (10. 7) x 12 (3,5 )O,n + 3 1'.n.l - 0,5 ).n-2) (extremo Inferior de la barra) Para la barra recta se tiene que, para ell er paso de la iteracin, M = constante y con ello x = cte., de modo que resulta: Partiendo de las analoglas 260 wo - , ~ W n y 1~ 2 !lx,). (10. 8) - p 283. puede concebirse la determinacin de la linea elslica v(x) como el trazado del diagrama de momentos M(x) debido a una carga Ideal Plx) = xIx). Para ello se supone a la barra cargada en los puntos k con las ca~as concentradas Wk y luego se determina para este estado de carga tos momentos flexores Mk mediante los procedimientos corrientes. En consecuencia, los mo- mentos flexores Mk corresponden a las deformaciones de la barra vk(11, los esfuerzos de carie Qk a las rotaciones de la barra f4lk(11 debidos al primer paso de la iteracin. , Las condiciones de apoyo del denominado sistema substituto de Mohr deben elegirse en concordancia con las condiciones de deformacin de la barra comprimida. Para una barra comprimida articulada en ambos extremos se tiene: Condiciones de deformacin de la barra comprimida en los puntos Oy n: Condiciones de apoyo del sistema sustituto de Mohr en los puntos O y n: v O M' O I O Q I O Por conveniencia se adopta un numero impar de elementos 6.X y en consecuencia, en el primer paso de la iteracin de los pesos elsticos W puede expresarse Inmediatamente: y para el centro de la barra m - 1 1 e Q " - r:W - W " - 8' It n 2 O 2 M m 2 ,...--.-. v (1) m (10.9) (lO. 10) Los restantes valores vk(l) se obtienen de la distribucin parablica de los diagramas de Mo de '1(1). En el segundo paso de la iteracin se parte de los esfuerzos caracterlsticos en las seco clones del sistema deformado N., . ". '" ",..,.. p M', { , I ., 'lo, , "", " I -I'-"#.'f' P Barra Momentos comprimida MI p , w, , " w" Sistema sustituto de Mohr con los pesos elsticos W Rolaciones de la barra kili Fig. 10.20. Clculo de deformaciones segun Vianello (ler paso de iteracin). DeformacIones de la barra 'Ik(11 261 284. 4' p oo' ~Ul t , '" T , , w, , Mcf~o ~O I , ._: ~~1l Qk=~21 . L- ~ k . k Wk k J-'O O Wo O Mn~~2~O t, i5" pI 21 P O - O BaHa comprimida Sistema substituto Rotaciones Deformaciones Momentos Mil de Mohr con cargas de la barra '4'k(2) de la barra ~k(2) elsticas W Fig, 10.21. Clculo de deformaciones segun Vianello (20 paso de Iteracin), y nuevamente, utilizando las relaciones M - N - K , se determinan los correspondientes pesos elsticos W, punto a punto segn Ec. (10.7). Luego se calculan nuevamente en el sistema sustl tuto de Mohr, las deformaciones corregidas de la barra Vk(2) (Fig. 10.21). El clculo por Heracin puede interrumpirse cuando las deformaciones Vk(n) calculadas, coinciden con las Vl(n.,). En tal caso, los esfuerzos caracterlsticos de acuerdo con la teorla de ff orden resultan (10. 11) comprobndose ast a exisl encia de un estado de equilibrio estable para una carga 1 veces la carga de servicio. El colapso de una barra por efecto de una carga 1 veces la carga de servicio se manifies ta por el hecho de que, en un paso de iteracin, el valor J(k de la curvatura correspondiente a los esfuerzos caracterlsticos Ni = l' P y Mi = 1 P (e + vlln)), en las relaciones M - N - J( segUn Flg. 10.7, resulta exterior a la envolvente de las curvas M - N-J(. Los puntos exteriores a las envolventes, implicarlan deformaciones lb> 3,5 %o o (e > 5 %O, lo cual no es admisible segn Cap. 7. Ello significa que las deformaciones de la barra no convergen hacia una linea elstica estable, sino que las mismas crecen continuamente y por (lila conducen a la rotura de la barra Esta tendencia es comn en las deformaciones del acero poco antes de alcanzarse ellfmite de escurrimiento. En forma totalmente anloga puede efectuarse la verificacin de la capacidad portante de una columna empotrada en su base y libre en su extremo superior. Slo hay que tener pre sente que el sistema substituto de Mohr lo constituye una barra empotrada en su extremo su perlor y libre en el inferior (Fig. 10.22). En el caso de una barra comprimida estticamente indeterminada por v(ncu(o externo, se parte en general de una barra articulada en ambos extremos y las incgnitas hiperestticas se determinan de forma tal que satisfagan las condiciones de deformacin. Para la barra articulada en su extremo superior y empotrada en el inferior (Fig. 10.23), lo anterior significa que: en cada paso de la iteracin para determinar las deformaciones horizon tales, debe determinarse el momento de empotramiento Xnen el punto n, tambin por iteracin mediante las relaciones M - N- x, de modo tal que se obtengan sI2 (y siempre y cuando para las mismas sK no haya sido determinado para articu- laciones). En la bibliografla, por ejemplo (129},existe numerosa informacin complementaria relati va a la longitud de pandeo en elementos comprimidos de sistemas de nudos no desplazabies. Pueden ser aplicados a casos generales aunque han sido desarrollados para materiales homo- gneos como el acero. 10.4.2.3. Longitud de pandeo de columnas (pilares) en prticos con nudos desplazables En el caso de sistemas aportlcados con nudos desplazables, estos ltimos pueden desplazarse horizontalmente, y el corrimiento horizontal slo queda limitado por la rigidez del prtico. la longitud de pandeo es, tambin en el caso de barras desplazables, Igual a la longi tud de la semionda de la configuracin de pandeo, que segn sea el sistema, puede prolongar se en forma Imaginaria por ftlera del mismo, con el objeto de obtener la semionda total. Para prticos altos de varios pisos, la estabilidad total puede facilmente peligrar como consecuencia de los desplazamientos horizontales (Fig. 10.29). La inclinacin de las columnas sobre varios pisos conduce a una excentricidad creciente de la carga resultante total. Si a la dlfl cultad de calculo se agregan los grandes riesgos a que se encuentran sometidos los pilares del prtico como consecuencia de la desplazabilidad del sistema, debe llegarse a la conclusin que es necesario en lo posible, al proyectar, evitar sistemas desplazables, y fijar la estructura contra desplazamientos horizontales mediante losas de entrepisos y contraventamientos, ca- Jas de escaleras o ascensores, etctera[ $6/0 un Ingeniero sin experiencia puede asumir la res- cargar al comitente el costo de un prtico de varios pisos, desplazable horizon- :a'de,splaz;,bIIH;dad aumenta la longitud de pandeo, como puede observarse de la como paracin de los sistemas de nudos desplazables y no desplazables de Fig. 10.30. En la barra empotrada en ambos lados, la longitud de pandeo, como consecuencia dela desplazabllldad de uno de sus extremos aumenta de 0,5 s a 1,0 s. En prticos con dos articulaciones la longitud de pandeo de los pilares, en los casos prctiCOS y segn sea la rigidez a la flexin y tipo de car- ga del dintel puede aumentar de 1,2 s a 5,0 s (como consecuencia de la desplazabilidad del pr- tico, la longitud de pandeo es de por lo menos 2 s). En el caso de cargas asimtricas las longitudes de pandeo de los pilares de prtiCOS son distintas entre si y el pilar menos cargado posee la mayor longltudJe pandeo (Fig. 10.31). Para series de columnas con grados de solicitacin al pandeo (K =sK PI E J muy dispares y cuando existen columnas articuladas junto con otras empotradas, la longidud de pandeo de los pilares que confieren rigidez al sistema puede ser muy grande, aspecto ste que ha hecho 2fi7 290. ~- .L~- , --{ --t' ' ,, , I , , , -+ ,SI( ?;: S , -,r--- r , " , '" , , '1, sK ; s " , - 1----- - -1 J , j JRa 00 "''1 , 'K JRS -J-'-2 - 2 " , ,. Fg. 10.29. Configuracin de pandeo de un prtico de varios pisos. ~.J. , ' t' p , ,, , , + , ,p p p --lPSI( ~2.sf t : I, ,, I , , --:;..- - -- .I II , , S : - 1 , , , I I, K, 2 , , , , , I, l , ,, SK;: f2 , , ." , . 2 , I , , , I , I 1... ..,.. , ,5 K _ 1 - '1 P p , 1, b Fig. 10.30. Comparacin de las configuraciones y longitudes de pandeo de sistemas con nudos fijos '1 desplazables. T 'K, 1 Fig. 10.31 . Configuracin de pandeo de un prtico empotrado. desplazable con cargas en (as columnas de distinta Intensidad. 268 291. ~ 100 "30 20 10 , , 2 a k, ------ ,W7f0 ,, 3 2 '.' -----W/0~~ 1 no debe utilizarse esla lona ka ~ 'l%30 20 10 , , 2 a Flg. 10.32. Nomograma para la determinacin de la longitud de pandeo SK de barras comprimidas. corres- pondientes a prticos mltiples desplazables 126, 1271. se las I seguridad! Sin en tambin Q.uede ser En el caso d.P"';''os desplazables, para determinar el valor k del dintel, debe necesa- riamente ulllizarse momento de inercia JIU) correspondiente al Estado 11, mientras Que para las columnas puede aceptarse JII), Cuando Jt quiere evitar clculos muy precisos, puede acep- tarse una reduccin de la rlgldeP'. la flexin del dintel hasta por lo menos el 60% y en el caso de un dintel articulado en un extremo, hasta el 35%. En los prticos mltiples de varios pisos, el nomograma da coeficientes ~ de la longitud de pandeo suficientemente exctos, unlcamente cuando el grado de solicitacin al pandeo de dos columnas superpuestas no difieren en ms del 25%. Adems, en sistemas aportlcados desplazables, es Indispensable elegir culdadosamen te las condiciones de empotramIento en las fundaciones, porque aun peQuenas rotaciones de 269 292. jN ,..~ f ---f', -1 - + 1 , I L N N ~. '1 Rotacin lfI '1 de la funda- ~ J cln " N I~ l' Empotramiento d , Empotramiento elstico Igido en el terreno I , en el terrenoI , I, -.f Fig. 10.33. Comparacin de las deformaciones y longitudes de pandeo correspondientes a una columna d gidamenle empotrada en el terreno y otra elasticamente empotrada. plllco biarticulado 'K , 2 sv' N1 oN1' y .0, l. e , N, J, J, , 'K2 , 2SVN+ NZ' VI. O,l.e 'N, - -J tN, N, t J , I, , J , ", I -+ prtico empotrado 'VN! oN Z ,.0,1. c; 'K' , , N, ,.0,2 e J, 1J. , - -J 'K2 , 'V NI' N2 ,.O,l. e 'N, '.0,2 e tN, N,t ,, , J, I , entramado mltiple J, Jofo J, J,fJi,F, J ~ J, I " , ,F ' , J,, J, 0' J, , [2J a o lm-11 Jilm . . F, , [ 2F a om I} F, m Fig. 10.34. Frmulas para el clcu lo de a longitud de pandeo de sistemas aporticados desplazables. 270 293. las mismas Influyen considerablemente en la configuracin de pandeo y aumentan la longilUd de pandeo (Fig. 10.33) segn [135); ver al respecto DIN 4224 (H 220 DAIStb). Otras normas Incluyen frmulas sencillas para la longitud de pandeo de pilares de prti cos simples; en la Fig. tO.34 se han compitado ejemplos de ONOAM (ver tambin DIN 4114). Las deformaciones correspondientes a la teona de 11 orden, originan tambin un aumen- to de los momentos de empotramiento' de los pitares. Si la unin del pilar se dimensiona sola mente para el momento de empotramiento correspondiente a la teona de I orden, pueden origi narse en dicha seccin articulaciones plsticas prematuras, que reducen la rigidez a la lIexin supuesta para los dinteles y con ello afectan la seguridad al pandeo del prtico. Por ello, los dinteles deben dimensionarse tambin para absorber y transferir los momentos secundarlos debidos a la deformacin de los pilares (Teona de 11 orden). 10.5. Verificacin de la seguridad al pandeo segun DIN 1045 Y DIN 4224 10.5.1. Resumen del problema La DIN 1045 establece que para elementos comprimidos esbeltos, adems del dlmen slonado de acuerdo con lo establecido en Cap. 7 debe efectuarse una verificacin de la capacl dad portante considerando las deformaciones de la barra, es decir, debe efectuarse una "verifi- cacin de la seguridad al pandeo". Debido a que dicha verificacin segn la teorla de 11 orden, en general es muy trabajosa, en la DIN '045, para determinados limites de la esbeltez = SK'i y de la excentricidad relativa eld correspondientes a la seccin determinante, se Indican proce- dimientos aproximados. Corresponde distinguir los siguientes casos: 'lA"20 2) eld ... 3,5 para < 70 eld ... 3,5 mopara >70 3a).1. < 45 para pilares internos de pr- ticos regulares,cuando se considera la longitud de pandeo = altura del piso, sK =s; b)< 45 - 25 ~r para l Mr l>I Md para elementos comprimidos y elsti- camente empotrados en sus extremos sin cargas transversales (si > 45 se dimensIonar. para IMI >I M1 1> 0,2 d) 4)20 < .1. 70 (Elementos comprimidos esbeltos) 6).1.>200 Oimenslonado segn Cap. 7 para el elemento comprimido sin deformar, es decir sin verificacin de la seguri- dad al pandeo Clculo simplificado de la mxima de- formacin v mediante frmulas para una "excentricIdad adicional", f, que Incluye la excentricidad Involuntaria eu y para sistemas no desplazables la de- formacin vk por contraccin. Para siso temas desplazables con 1 > 45, debe considerarse especialmente vk. Dimensionado mediante tablas y no- mogramas de DIN 4224 (H. 220 DAIStb) o del BetonKalender. Inadmisible. (Serfa preferIble que el 11 mite para SK'd = 45 fuera.l. = 1501) 271 294. las aproximaciones comprendidas de 3) a 5) pueden, sin embargo, usarse solamente para elementos comprimidos, de seccin constante (y tambin Fe y Fe constantes). la DIN 4224 da, a travs de diagramas y figuras, una visin general de las prescrip- ciones y simplificaciones de la DIN 1045. 10.5.2. Disposiciones fundamenta/es En general se considera que la seguridad al pandeo de una barra comprimida de horml gn armado es satisfactoria, cuando se verifica que, cuando actan simultneamente en la si tuacln ms desfavorable cargas 1,75 veces mayores que las cargas de servicio, es posible un estado de equilibrio estable que tiene en cuenta las deformaciones de la barra (teorla de 11 oro den). Simultneamente debe garantirse, que la barra comprimida sin deformar es capaz de ab- sorber las cargas de servicio con los coeficientes de seguridad 1 =1,75 a 2,1 que Se Indican en el Cap. 7, Fig. 7.6 (es deGir, Seco 17.2.2 de OIN 1045). Para ello deben utilizarse los diagramas 0'( correspondientes al hormign y acero que aparecen en la Seco 7.1, aunque para simplificar tam- bin puede utilizarse para el hormign el diagrama bilineal de Fig. 7.4. la excentricidad normal e = M/N del esfuerzo ax!! N debe aumentarse de una excentri cldad accidental eu o por una curvatura de la barra que acta en sentido desfavorable: (10.14) En casos especiales, como ser torres o pilares de puentes muy altos, puede convenirse con la direccin de la obra, otro tipo de verificacin. Fundamentalmente, la distribucin de la excentricidad accidental o consecuente curva tura Inicial de la barra comprimida debe ser afln con la configuracin de pandeo: es decir que la barra solicitada ai pandeo posea, cuando no est sujeta a tensiones una deformacIn previa cuyo mximo valor sea eu en la seccin de la mxima defOfmactn por pandeo (Fig. 10.35 a, c.) P. ra simplificar el clculo debe, sin embargo, suponerse a la deformacin previa con variaciones lineales parciales (Flg. 10.35 b) o tenerse en Cuenta mediante una excentricidad adicional (Fig. 10.35 dI. las deformaciones lentas deben tenerse en cuenta cuando en sistemas no despla zables resulta..l. >70 (en sistemas desplazables..l. > 45) o cuando en el tercio medio de la longi tud de pandeo resulta eld < 2,0. Deben determinarse p~lIfa las cargas permanentes correspon dientes al estado de carga de servicio (en casos especiales Incluyendo las partes correspon dIentes a las cargas mviles) y teniendo en cuenta las deformaciones elbticas originadas por las mismas (Teorla oe 1I orden) )' excentricidades accidentales eu. la deformacin por fluencia lenta puede calcularse en forma aproximada mediante las ecuaciones que figuran en Seco 10.5.4.5. las def-:>rmaclones conducer" especial en barras comprimidas de sistemas aportica -#---.-- " .3 ~ :.tt I , , l I .>- " , " > 1 I --I I I .,-( - I I , ,, I I , 1I -- " 'K Iy }, I J.-- I I I , I bI di .1 Flg. 10.35. Hiptesis sobre la distribucin de excentricidad accidental ey Sobre la longitud de la barra. 272 295. dos sin arriostramlento (tambin en columnas en voladizo empotradas en la fundacin) a un aumento del momento de empotramiento. los elementos empotrados en el elemento compri- mido (por ejemplo dintetes de prticos. fundaciones) deben ser dimensionados para dichas so- licitaciones adlcionates. Unlcamente en el caso de estructuras en eleyacin. arriostradas contra despla!:amientos horizontales, puede presclndlrse de una yerlflcacin analllica de la ab- sorcin de dichos esfuerzos caracterlstlcos adicionales. 10.5.3. Verificacin simplificada de elementos comprimidos de reducida esbeltez (20< .l." 70) Y seccin constante Estos elementos comprimidos pueden. sobre la base del procedimiento de la barra sus- tituta. dimensionarse mediante una excentricidad adicional l. la deformacin laterat y de la .barra por efecto de v veces la carga de servicio y la excentricidad accidental eu se tienen en cuenta mediante la excentricidad adicional f. que debe suponerse constante sobre toda la ton- gitud de pandeo. En sistemas desplazables con}. > 45 debe considerarse, ademb, la deforma- cin por fluencia lenta vk. Para la verificacin de la seguridad al pandeo es determinante la seccin ubicada dentro del tercio medio de la longitud de pandeo, a la que corresponde para el estado de carga de servlclo,la mKima excentricidad normal e del esfuerzo axll. En sistemas no desplazables. la mxima excentricidad normal e debldai a la carga de servicio en el tercio medio de la longitud de pandeo, para variacin lineal de momentos entre extremos de barras. puede calcularse en forma aproximada en la forma siguiente: 1 - (O 65 . N ' (1 0. 15) donde IMtl > IMII y M Y N corresponden a la carga de servicio. SI uno de los extremos de barra est articulado y el otro elsticamente empotrado, utili zando la barra sustituta de Flg. 10.36 se obtiene como expresin de la excentricidad e O,67. (10. 16) En el caso de sistemas desplazables es necesario estimar una configuracin de pandeo y luego calcular el mximo momento Mo en el tercio medio de la distancia entre puntos de infle xtn (= longitud de pandeo) (Flg. 10.31). J:M1 , r -+ , O ' ~O "N' ~i ","" 1..., ~ - + 1 ~ .' o'., ~ '1.- -+ 1N Seccin de dimensionado (). O para la verlllcacl6n de la seguridad al pandeo .,.':tt j..., = 0,411 /D corresponderla ~ = 0,4 - 241HlO ='" 0,10. Con esta armadura, para excentricidad y esbeltez constantes, podrla absor- Mrse el esfuerzo axll relativo n = - 0,45, que se obtiene en el punto 2 de la interseccin de la recta O - 1 con la curva correspondiente a :io = 0,1 . (Observacin: la pendiente de la recta -1 corresponde a la excentricidad relativa existente eld = m/n = 0,1). la cuanUa mlnima relativa referida a la seccin de hormign de 30140 cm resulta enton- ce. .Iomln nec = 0,4. y con ello la armadura mlnlma necesaria 0,40 0 , 45 0,355 % Fenec = Fenec = 0,355 l'Otl . 30 40 4.,3 2 cm 10.6. Verificacin de la .eguridad al pandeo en cesos especllle. 10.8.1. Seguridad al pandeo para el caso de esfuerzo de compresin con excentricidad en dos direcciones 10.6.1.1. Generalidades SI una fuerza de compresin excntrica acta, por ejemplo, en una seccin rectangular no sobre el eje x o el y sino en un plano oblicuo con excentricidades ex y ey (compresin axil con flexin oblicua, pandeo oblicuo), la barra, segn sean los valores de ex/b y eyld, las corres- pondientes rigideces a la flexin EJx YEJy Ylas configuraciones de pandeo en las direcciones x e y, pueden pandear tanto en la direccin x como en la y. Para determinadas relaciones, la direccin de pandeo puede, sin embargo, ser tambin oblicua (no " pandeo en dos direcciones" sino en una direccin oblicua). Para pandeo oblicuo, las verificaciones son naturalmente dltlclles, y no se conocen an soluciones exactas que re Quieran un trabajo ,ezonable. 10.6.1.2. Verificacin simpUflcada de la seguridad al pandeo en flexin compuesta oblicua La DIN 1045 permite varlflcar la seourldsd s, oandeo Independientemente para cada d/- reccln prlncl".)( o y, cuando los tercios medios de las configuraciones de pandeo en los pia- nos J( e y 110 se superponen entre si. Es el caso, por ejemplo, de las columnas del cobertizo de Flg. 10.44, donde en la dlreccin)( la columna funciona como mnsula empotrada en su base (tercio medio de la longitud de pandeo en la zona de empotramiento) y en la direccin y como empotrada en su base y en el extremo superior con una articulacin no desplazable (tercio me- dio de la longitud de pandeo determinante situado en la parte superior de la COlumna). 283 306. Si se superponen los tercios medios de las configuraciones de pandeo (por e/emplo, co- mo en el caso corriente de las columnas de esquina de edilicios elevdos) pueden lambin efectuarse las verificaciones en forma ~areda peral.. direcciones principales x e y, siempre que la columna tenga seccin rectangular y la relacin entre las excentricidades relativas ex/b y eyld se mantenga Inferior a 0,2. Ello significa que el esfuerzo normal resultante est aplicado dentro de la zona rayada de Flg. 10.45, en cuyo caso es tg CI " 0,2 bid. En todos los casos restanles, la OIN 1045 exige una verlflca~/6n a'pandeo para f'ex/n compuesta oblicua, para lo cual la excentrlcld.ad accidental euse determina sobre la base de la mayor de las longitudes de pandeo sKx YSKy' pero que se supone actuando en el plano del mo- mento actuante. La DIN 4224 (H. 220 OAIStb) da para este caso un procedimiento aproximado, pero de aplicacin limitada a columnas de seccin rectangular y longitudes de pandeo sKx = SKy' Con la notacin de Fig. 10.46, el procedimiento aproximado se aplica en la forma que se explica a continuacin. De las excentricidades relativas a los ejes ( e y M J. N 'y M Ni V2 2'e e + e y (10.31) se determina un valor de clculo er de la excentricidad de la carga en funcin del ngulo Jentre la direccin del momento y el eje x: tan J' a J.. Con ello introduciendo la excentricidad accidental eu resulta e {cos,,'}' + -db lsenJ') (e+ e) r u En esta expresin, el lado b corresponde siempre a la direccin x. (10.32) (10.33) La direccin del eje neutro queda determinada en forma aproximada por el ngulo CI con respecto al ele x (como la tangente a la elipse de semidimetros Ix e Iy. ver Sec. 7.3.4) tan CL y 2 ( ~) b M 2 -L (~) M b x (10. 34) Con este ngulo CI y sKx =SKy = sK se determina un valor de clculo sKr de la longitud de pandeo . Kr 2 + (d/ b) . 2 cos Cl (10.35) El resto del desarrollo de la verificacin al pandeo con respecto a un eje oblicuo se redu- ce, medIante el valor de clculo er par. la excentricidad segn Ec. (10.33) y sKr para la longitud de pandeo, a una verificacin de 'egurldad al pandeo respecto del eje y(Flg. 10.46), mediante los procedimientos aproximados explicados en Seco 10.5.3 y 10.5.4. Como valores relativos se Introducen e,lb y sKld Yrespectivamente 1 = 1/12.sKlb,,ln dependlentemente de si b es el lado mayor o menor de la seccin. En la Ec. (10.33), de acuerdo con el procedimiento aproximado para el clculo de er, no es necesario tener en cuenta espe- cialmente la excentricidad accidental. 284 307. Flg. 10.4-4. Ejemplo de un. columna 8n l. que los tercios medios del., longitudes de pandeo SI(x y SKI no se superponen (es admisible una verllicac 60 de l. seguridad al pandeo Inde- pendlenta para 188 dlrecclon.es x e y). t , +- b--+ Direccin de ndeo d d lan .L'l 0,2 b " N Direccin x N rI I I I I I N 'K13 Direccin y Flg. 10.45. Verificacin Independiente en 1.,direcclones x e y admisible, cuando el punto de aplicacin del 8S fuerzo normal cae dentro de las zonas rayadas. Direccin del pi.no de tre- ,lOo Direccin del ele neutro " " ,. " , My /N M./N d y; ...L 'i2 +-- b J Flg. 10.46. Seccin rectangular solicitada a la flexin compuesta oblicua. 285 308. 10.6.2. Verificaci6n de la estabilidad de sfstemas aport/cados la estabilidad de sistemas aportlcados rlgidos no resulta suficientemente asegurada en todos los casos, por las verificaciones de la seguridad al pandeo de los pilares de prtl cos analizados hasta ahora. A este respecto, la DIN 1045 en la Seco 17.4.9 hace algunas consi deraclones. De acuerdo con ellas, el conjunto del sistema puede analizarse segun la teorla de 11 orden para 1,75 veces la carga de servicio, para lo cual se suponen una inclinacin del sistema correspondiente al valor de eu de la barra aislada y valores aproximados de la rigidez a la fle- xin. la DIN 4224 (H. 220 DAIStb) recomienda suponer para la rigidez a la Ilexin: Para la seccin rectangular solicitada a la flexin compuesta (10. 36a) Para Ilexln pura, seccin rectangular con armadura simple (10. 36b) viga-placa con armadura simple (10. 36e) Para flexin con traccin, seccin rectangular (10. 36d) En esta ultima expresin, cuande la seccin de la armadura ne es constante a lo largo de la barra, deben considerarse para ...o y ...;, valores medios. Cuando se trata un sistema aportlcade regular (por ejemplo, prticos de entrepisos en edificios), puede admitirse como medida de la inclinacin, segun Flg. 10.47 t8no. " - ,1,3 ~ h u (lO. 37) donde h = altura total n = nmero de pisos eu = ~ = excentricidad accidental, a determinar para cada piso El factor 1,3 en la Ec. (10.37) tiene en cuenta que la excentricidad accidental determina da para cada una de las barras, deberla suponerse alln con la configuracin de pandeo. Dado que las barras apenas se Inclinan mantenindose rectas, para obtener una seguridad suficien- te, se ha introducido el factor de mayoracln 1,3. En forma aproXimada, y para las relaciones corrientes de rigidez, puede tambin suponerse: 1 tan 0." 154 (10. 38) Para el sistema tetal supuesto inclinado en la forma Indicada, utilizando las rigideces a flexin (EJ)w muy cercanas a las reales, puede calcularse por Iteracin una distribucin de los esfuerzos caracterlsticos y determinar las deformaciones mediante la Ec. (10.25) que da valo res aproximados de las relaciones M - N - lt. 286 309. : :, j-I , I , h , I , I I I I I, I l ~ .. ,. Fig. 10. 7. Definicin del 'ngulo de IncHnacl6n de un prtico. -,,, (...a, J I,I I I .. El anlisis finaliza, cuando el paso (n + 1) de la Iteracin no presenta diferencias sen- sibles de los resultados con respecto a los correspondientes al paso n de la Iteracin. En el apndice del cuaderno 220 DAfStb figuran ms aclaraciones sobre la verificacin del conjunto del sistema. 10.8.3. Verificacin de la seguridad al pandeo en columnas zunchadas La Influencia creciente del zunchado sobre la carga portante debe (ver Seco 7.4) tenerse en cuenta para el clculo slo hasta esbelteces .1. = sK/i " 50 Yexcentricidades eld" 1/8, por cuanto la misma, al aumentar la flexin deja de ser e'ecliva. Para columnas zunchadas con l > 20 es necesario tambin lener en cuenta la deformacin del eje de la barra segn la leorla de 11 orden. Dado que .l est limitada a 50 puede, en general, utilizarse para columnas zuncha das la aproximacin segn Seco 10.5.3. Tambin la excentricidad normal e =M/N debe aumentarse del valor f segn Ec. (10.18): r A - 20 d k 100 VO" +..!... ~ O d - k (10. 39) la ecuacin (7.135) que aparece en la Seco7.4 para la determinacin del incremento de la carga portante debido al zunchado, en el caso de columnas donde exista el peligro de pan deo, toma la siguiente forma: (10. 40) Para columnas zunchadas esbeltas, slo podr tenerse en cuenta el aumento de la ca pacidad portante como consecuencia del zunchado, cuando se cumpla e + f 1 -- ~ - d - 8 k 10.7. Capacidad portante de elementos comprimidos de hormign simple 10.7.1. Sobre el comportamiento bajo carga de elementos comprimidos de hormign simple lOs elementos comprimidos de hormign simple, aun en el caso de esbeltez moderada, son sensibles a las variaciones de la excentricidad de la carga, porque la aparicin de ten slones de traccin al analizar la seguridad, hace Que sea necesario considerar la fisuracln y con ello una reduccin de la seccin act iva. A este respecto, se remite a los valores incremen 287 310. tados de los coeficientes de seguridad y ecuaciones de dimensionado en funcin de (JR y de la excentricidad e que figuran en Seco 7.6. De las consideraciones efectuadas en la Seco 10.2, relativas a la capacidad portant& de elementos esbeltos comprimidos armados considerando su CUl'latura, el consecuente aumento de la excentricidad (rearla de JI orden) y adems la influencia de la contraccin diferl da e imperfecciones constructivas, resulta que los elementos de hormign simple comprlml dos, al aumentar su esbeltez, deben calcularse con coeficientes de seguridad mayores que pa ra el caso de los elementos armados. Fundamentalmente, para elementos comprimidos de hormign simples podrlan tamo bln establecerse las relaciones M - N -x, y mediante las mismas (ver Seco 10.3.3) calcular la carga Que,al ser sobrepasada, harla que los esfuerzos caracterfsticos internos no pudieran acampanar el incremento de los esfuerzos caracterlstlcos externos. Pero, considerando que Ids elementos comprimidos de hormiQn simple, slo en muy pocos casos son esbeltos y Que casi nicamente se utilizan como paredes, se prescinde aqul del desarrollo de dichoS medios auxiliares de clculo. Para casos especiales consideraremos los procedimientos de M. Levy y E. Spira (137] y B. Lewicki (138J. Los autores nombrados en primer trmino parten en su anlisis de un diagrama IN curvo para el hormign (hasta 3,6 0/00) Ycontrariamente a los principios bsicos aceptados en Ale manla, Introducen en el clculo tambin la resistencia a la traccin del hormign (deformacin por traccin (b " 1 0/00). En la Fig. 10.48 se han representado los resultados de dicho estudio. El diagrama da para una dada esbeltez sKld Yaxcentricidad normal e/d, el valor de la carga por tante nU referida a bd PR. Dado Que no se tuvieron en cuenta imperfecciones (es decir, aumen tos de la excentricidad accidental) ni la Influencia de la contraccin diferida, es necesario ele- gir un coeficiente de seguridad mayor, por ejemplo 2,5 a 3,0, para poder obtener de Pkr la carga de servicio admisible. La linea de trazos da, para loS valores situados a su Izquierda, la resiso tencia a la compresin del hormign y a la derecha la estabilidad del elemento comprimido, de- terminantes del colapso del elemento. Por debajo de la linea de puntos se tiene la zona para la cual aparecen fisuras antes de alcanzarse la carga de servicio. Numerosos edificios altos se han construido con paredes de carga de hormign simple (espesores de no menos de 7 cm para alturas de pisos de 2,75 m y arriostradas las paredes con tabiques transversales), lo que comprueba la posibilidad de utilizar dichos elementos compri mldos. .... '/d - -"O,O,,l ......... ""'"..... ~S .......... .......... 0.8 /' 0--' """'- ......t--......... JO, '. '" ..... o'1S r-...... -..:.;,;;;;----.. .............. 0,6 ............ O,,lO, r-.. .......... -.....::.:,-.-.. .... ........... ~ r-. ---- o'JO, 04 0.2 "'" . OJ5 040 o 5 /O /5 20 25 JO J5 Fig. 10.48. Carga portante NU de elementos comprimidos sin armadura en funcin de la esbeltez SKld Yde la excentricidad relatlva eld j137j. 288 311. 10.7.2. Dimensionado de elementos comprimidos esbeltos de hormign simple segn DIN 1045 La DIN 1045 da un procedimiento aproximado para tener en cuenta la Inlluencia reduc tora de la esbeltez sobre la capacidad portante, que, junto con las normas de clculo dadas en Seco7.6, permiten obtener estructuras porlantes suficientemente seguras. En principio se exige que para barras comprimidas la esbeltez.l. = SKIi" 40 (es decir, que para secciones rectangulares SK/d < 11,5) no debe ser sobrepasada. Para paredes, donde fallas localizadas resullan protegidas por zonas vecinas ms resistentes, la esbeltez limite es mayor,a saber .l." 70 (para la seccin rectangular SK/d" 20). La reduccin de la carga portante como consecuencia de las deformaciones del eje de la barra, se tiene en cuenta mediante un coeficiente le, con el que debe disminuirse la carga por- tante calculada mediante la Ec. (7.151): La expresin le es donde: m = e/k = k =WoIFb = A m x 1 --(1+-) 140 3 excentricidad referida al radio nuclear k radio nuclear referido al borde comprimido y simplemente para secciones rectangulares , 1 (1 + 2: ) (10.41) (10.42) la DIN 4224 (H. 220 OAfStb) Incluye un diagrama, del que pueden obtenerse los valores de le. 289 312. FRITZ LEONHAROT ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO ,. Bases pala el dimensionado de estluctulas de hOlmign armado Estructuras de hormign armado. monumental tratado de Fritz Leonhardt con Eduard Monnig como coautor de los tres primeros tomos, esta planeado en seis partes: "Bases para el dimensionado de estructuras de hormign armado", "Casos especiales del dimensionado", "Bases para el armado de estructuras", "Verificacin de la capacidad de uso", "Hormign pretensado" y "Construccin de puentes monoliticos". En esta primera parte se abordan los aspectos lundamentales del dimensionado de estructuras de hormign armado, o sea, las propiedades de los materiales constituyentes del hormign, de los aceros para armaduras y del hormign armado propiamente dicho. Trata. tambin, el comportamiento de los elementos estructurales bajo la accin de las solicitaciones, presenta modernas consideraciones sobre la teoria de seguridad de las estructuras, y enfoca problemas especificos del dimensionado de elementos solicitados a flexin, a esfuerzos de corte y a torsin, y del dimensionado de elementos comprimidos, incluso pandeo. El gran valor del texto radica, por una parte, en el propsito de hacer comprender el funcionamiento del complejo material hormigon armado y. por otra. en proporcionar ayuda practica para el dimensionado en el trabajo diario del constructor. Estructuras de Ilurrnlgon armado es, en pocas palabras, una obra ya clasica que satisface todas las necesidades del estudio y tambin de la practica. 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