Leonhardt tomo i (Hormign Armado)

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Hormigon Armado

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  • 1. Fria Leonhardt TOMO I ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO Bases para el dimensionado de estructuras de hormig6n armado

2. , ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO 3. PLAN DE LA OBRA TOMO I F. Leonhardl E. MOnnlg: BASES PARA EL DIMENSIONADO DE ESTRUCTURAS DE HORMI. GON ARMADO TOMO 11 F. Leonhardt - E. MOnnlg: CASOS ESPECIALES DEL DIMENSIONADO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO TOMO /fJ F. Leonhardl E. MOnnig: BASES PARA EL ARMADO DE ESTRUCTURAS DE HOAMIGON AR. MADO TOMO IV F. leonhardt: VERIFICACION DE LA CAPACIDAD DE USO TOMO V F. Leonhardl: HOAMIGON PRETENSADQ TOMO VI F. Leonhardt: BASES PARA LA CONSTRUCCrON DE PUENTES MONOLlTICOS - 4. ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO TOMO I BASES PARA EL DIMENSIONADO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO Fritz Leonhardt Ingeniero civil. Profesor emrUo en el Instituto de Construcciones de la Universidad de Sluttgart. - .Eduard Monnig Doctor ingeniero. Doctor Honoris Causa. Profesor emnto en el Instituto de Construcciones de la Universidad de Sluttgarl. 11111111 Traduccin del Ingeniero civil CURT R. LESSER, Diploma de Honor de la U.B.A. (1936), con la desinteresada colaboracin del Ingeniero civil ENRIQUE D. FLlESS ( t 1984), Profesor Emrito de la U.B.A. SEGUNOA I niCie N REVISADA Reimpresin LtBAERIA " EL ATENEO" EDITORIAL IUENOS AIRES LIMA - AIO DE JAIIIEIRO CARACAS MUltO " BARCELONA MADRID I OGOTA 5. "El Ateneo" quiere dejar constancia del desinteresado asesoramiento y apoyo para la realizacin de esta obra, prestados en todo momento por e/Ingeniero Enrique D. Titulo de r. obra original: " Vorlesungen ber Massivbau" C> 1973 por Sprlnger VerlaO. Berlln/Heldelberg Todos los derechos reservados. Este libro no puede reproducirse, lola' o parcialmente, por nlngUn mtodo gr',lco, eleclrnlco o mecnico, Incluyendo loa sistemas de fotocopia, regIstro magnetofnico o de allmemacl6n de datos, sin expreso consentimIento del editor. Oued. hecho.1 dePsllo QUoe " ',bleee I1 ley N 11723 1985. 198&, 1988. " El ATENEO" Pedro Garera S.A L,lmu liI. Edltorl.1 Inmobiliaria, Florida 340, Bue no~ Aires Fundaa en 1912 por don PedrQ Gafer . ..S.B.N'. 950-0252422 edicin completa Flless (t .1984), prestigioso y antiguo colaborador de nuestra casa. lS.B.N. 950-02-5259-7 tomo 1, segunda edicin, revisada y corregida (I.S.B.N. 950-02-52430 tomo 1, segunda edicin) J.S.B.N. 3-540-06488-5 Sprlnger . Verlag, Berlin, edicin original Imp,.1Q en T. G Y"NIN.... A. Aroentlna ~. v "lIlna. B. Aa., " 10 lIe ma.ro .,. t g/lll IMPRESO EN LA ARGENTINA , 6. Prlogo Sin duda 8S un honor prologar una obra del Dr. Ing. Leonhardt y especlalme,1te sta que llene tanta Importancia en 10$ ms recientes progresos en la TcnIca de las Construc ciones de Hormign Armado y Pretensado. En electo. en los albores de esta tcnica fas bases rBcionales con sustento experimen- ta/ fueron establecidas por el famoso Ingeniero E. M6rsch en numerosos trabajos y en su cono- clde obra en seis tomos, cuya traduccin a nuestro fdloma ha tenido amplia difusin (Teorla y practica del hormign armado). La obra de MOrsch data de la dcade de/30 y desde entonces se ha progresado mucho en la teorfa yen fas aplicaciones del hormign armado. Varios nombres pueden asociarse 8 as- tas progresos, tafes como Sa/iger, Olschlnger, Pucher, etctera, pero, sin duda, la Influencia ms notable es la de Leonhardt, que ha realizado profundos estudios terIcos, adems de "u- merosas experiencias en la Universidad de Stuttgart_ Conviene tener presente que los reglamentos en uso en la poca de Morsch, tales como la OIN 1045 en su edicin de 1932, que fue adaptade en nuestro Reglamento Tcnico de la Ciudad de Buenos Aires de 1935, constltulan prcticamente un "manual" en el que unas pocas reglas prcticas permitlan proyectar todos los elementos constitutivos de una estructura de hormign (en aquella poca solamente en bases. columnas. vigas y losas). Eran tan simples las reglas que aun un IngenIero sin conocimIentos profundos de la Tcnica de las Construcciones, ni del Anlisis Estructural, podfa realizar un proyecto sin dificultad. De aquel/os reglamentos-manual se ha pasado ahora a lo que pOdrramos l/amar los reglamentos-tratado. En estos ltimos, por ejemplo la Norma OIN 1045 de 1978, adems de reglas constructivas y de proyecto, se plantean una serie de problemas cuya resolucIn queda 8 cargo de quien realiza el proyecto en cada caso particular. El proyectista en nuestros dlas debe ser, para poder actuar con xito, un profundO cono- cedor de la Mecnica de las Estructuras. Lalnlfuencla de Leonhardt en la Norma O/N 1045 delalJo 1978es, sin duda, importantlsl- ma y se ha ejercido a travs de la ComisIn Alemana para el Hormign Armado y tambin del Comit Euro-Internacional del Hormign. En nuestro pals acaban de ser aprobadOS, en el mbito nacionel, los Reglamentos CIR- SOC (Centro de InvestigacIn de los Reglamentos Nacionales de SegurIdad para las Obras Ci- viles) que en lo concerniente al Calculo de los Elementos de Hormign Armado y Pretensado son fundamentalmente una adaptacIn de la norma alemana citada en ltimo trmino. La importancia de la obra de Leonhardt, que a partir de ahora estar al alcance de los estudiosos Ingenieros de habla hispana, asl como de quienes tengan un Inters profesional en el hormign armado, resulta de que l mIsmo no sOlo ha Influido en las nuevas normas, sino que adems es un critico de algunos aspectos de e/1as, con los que no est de acuerdo. Sus de- sacuerdos en la gran mayorla de los casos tienen tambin sustento experimental y los resulta- dos de sus experiencias estn cuidadosamente expuestos en este magistral tratado. Considero que esta obra es Indispensable para cualquier Ingeniero que deba tratar en " VII 7. alguna forma los temas del hormlg6n armado y pretensado, puesto que en ella encontrarn no 1010 el porqu de muchas disposiciones reglamentarias que ahora, por lo que se dilo, son co- munes a la Norma OIN y a los Reglamentos CIRSOC, sino tambin /a descrlpci6n de su funda- mento experimental y adems su crftica muy correctamente sustentada. La versl6n en nuestro Idioma fue realizada por e/Ingeniero Curt R. Lesser, egresado en 1936 de la Universidad de Buenos Aires con Diploma de Honor, habiendo tenido durante su ex- tensa carrera profesional un Intimo contacto con las estructuras de hormig6n. En esta impor- tante y dillclltarea cont6 con la desinteresada colaboraci6n y gula del Ingeniero Enrique D. A. Flless ( t 1984), Profesor Emrito de la Universidad de Buenos Aires. cuya versaci6n en los te- mas relacionados con e/ hormign armado qued evidenciada a lo largo de una serie de traba- jos de la especialidad bien conocidos en nuestro medio y en al extranjero. En los tiempos que vivimos. la vida til de los textos y los IIatados es, en general. muy breve. Puedo afirmar que en este caso /a regla general no se cumplir pues los experimentos y fa profundIdad de la teorfa son tales que perdurarn por muchos allos. Es por ello que esta obra servir para la formacin de alumnos, futuros ingenieros, que luego la seguirn consultando a /0 largo de su vida profeslona/. Esto justifica plenamente el esfuerzo realizado por ellng. Flless. ellng. Lesser y la Edl torla/ "El Ateneo". Arturo Juan Bignoll Ingeniero civil. Profesor en las Universidades de Buenos Aires y Catlica Argentina. Miembro titular de las Academias Nacionales de Ingeniera y de Ciencias Exactas, Flsicas y Naturales y Acadmico Correspondiente de la Academia Nacional de Ciencias de Crdoba. Buenos Aires, diciembre de 1984 , VIII 8. Indica Notacin, XVII Blbllogralla de mayor Imponencia. XXLII ' , . INTRODUCCtON, 2. HORMIGON, 3 2.1. Cemento, -4 2.1 1. Cementos normales segUn DIN 116-4, -4 2.1.2. Eleccin del cemento, 5 2.1.3. Cemento no normalizado, 5 2.2. Agregados Inerles, 5 2.2.1. Divisin de los agregados, 5 2.2.2. Dosificacin de los agregados, 6 2.3. Agua de amasado, 1 2.4. AdlHvos al hormign, 1 2.5. Hormign fresco, 8 2.5.1. Composicin del hormign, 8 2.5.1.1. Contenido de cemento, peso del cemento, 8 2.5.1 .2. Contenido de agua, cantidad de agua, 8 2.5.1 .3. Contenido de material fino, 8 2.5.2. Propiedades del hormign Iresco, 8 2.6. Factores que Influyen en el endurecimiento del hormign, 9 2.6.1. Tipo de cemento, 10 2.6.2. Temperatura y grado de madurez, 10 2.6.3. Curado al vapor, 11 2.6.-4. Aecompactado, 11 2.6.5. Curado, 11 2.7. Plazo de desencofrado, 11 2.6. Resistencia del hormign endurecido, 12 2.8.1. Resistencia ala compresin, 12 2.8.1.1. Probetas y mtodo de ensayo, 12 2.8.1.2. Resistencia caracterlstica /JwN segn OIN 10-45, 13 2.8.1.3. Ensayos de urgencia del hormign, 1-4 2.8.1.-4. Ensayos acelerados, 1-4 2.8.1.5. Resistencia a la compresin para cargas de larga duracin, '4 2.8.1.6. Resistencia a la compresin para cargas de fallga u o.cllantes, ,-4 2.8.1.7. Resl.tencla a compresin para temperaturas muy alta, y muy bajas, ,-4 2.8.1.8. Resistencia a la compresin en la estructura, ,-4 2.8.2. Resistencia a la traccin, 15 , IX 9. 2.8.2.1. Resistencia axll a la traccin, 15 2.8.2.2. Resistencia a la traccin por compresin. 15 2.8.2,3. Traccin por flexin (mdulo de rotura), t6 2.8.2.4. Valores numricos de las resistencias a la traccin, t 7 2.8.3. Resistencias para solicitaciOnes en mAs de una direccin, 17 2.8.". Resistencias al corle, punzonado y torsin, 18 2.9. Deformacin del hormign, 19 2.9.1. Deformaciones elasllcas, 19 2.9.1.1. Mdulo de elasticidad del hormign, 19 2.9.1.2. Deformacin trmica, 20 2.9.1.3. Deformacin y mdulo de elasticidad transversales, 20 2.9.2. Deformaciones plsticas, independientes del tiempo, 21 2.9.3. Deformaciones en func l6n del tiempo. 22 2.9.3.1. Tipos y causas, 22 2.9.3.2. Desarrollo y dependencia de la contraccin de fraguado , 24 2.9.3.3. Desarrollo y factores Que alectan la 'Iuencla, 25 2.9.3.4. Restricciones a la contraccin de fraguado y a la fluencla , 27 2.9.3.5. Efectos de la fluencla y la contraccin de fraguado sobre las estructuras. 28 2.9.3.6. Expresiones para el clculo de la contraccin de fraguado y la fluencla segun OIN 1045. 29 2.9.3.7. Expresiones para el clculo de la contraccin de fraguado y de la fluencla segUn OIN 4227, 31 2.10. Propiedades trslcas del hormlg6n desde el punto de vlsla constructivo. 34 2.10.1 . Durabilidad del hormign. 34 2.10.2. Conductibilidad trmica. 35 3. ACERO PARA HORMIGON. 36 3.1. Clases y grupos de aceros para hormlg6n, 36 3.2. Propiedades de los aceros para hormign, 37 3.2.1. Resistencias, 37 3.2.1.1. Resistencia a la tracci6n, 37 3.2.1.2. Resistencia a la fatiga, 37 3.2.2. Caracterlsllcas de la deformacl6n, 39 3.3. Influencia de la temperatura sobre las propiedades de los aceros para hormign, 41 3.4. Aptitud para la soldadura de los aceros para hormign, 42 4. El MATERIAL COMBINADO " HORMIGON ARMADO", 44 4.1. Comportamiento conjunto del acero con el hormig6n, 44 4.1.1. la adherencia en la barra traccionada de hormign armado, 44 4.1.2. la adherencia en vigas de hormign armado, 47 4.1.3. Orlgenes de las tensiones de adherencia en las estructuras portantes. 48 4.2. Forma de actuar de la adherencia, 48 4.2.1. Tipos del efecto de adherencia. 48 4.2.1 .1. Adherencia por contacto, 48 4.2.1.2. Adherencia por rozamiento, 48 4.2.1.3. Adherencia por corte, 50 4.2.2. ley de la deformacin por adherencia. 52 4.2.2.1. Descripcin cualitativa de la deformacin por adherencia, 52 4.2.2.2. Probetas para el ensayo de arrancamiento, 53 4.2.3. Resistencia a la adherencia, 54 4.2.3.1. Inlluencla de la calidad del hormign sobre la reslslencla ala adherenCia. 54 4.2.3.2. Inltuencla del perfilado de la superllcle y del dimetro de las barras. 55 4.2.3.3. Influencia de la posicin de la barra. al hormlgonar. 55 4.3. leyes que rigen la adherencia en los elementos de anclaje, 56 4.3.1. Ensayos de arrancamiento con ganchos, 56 4.3.2. Ensayos de arrancamiento en barras con barras trasversates soldadas, 58 4.4. Valores numricoS de la adherencia para el clculo, 58 4.4.1. Generalidades, 58 4.4.2. Verilieaci6n da la adherencia segn DIN 1045. 58 5. COMPORTAMIENTO BAJO CARGA DE LAS ESTRUCTURAS OE HORMIGON ARMADO, 60 5.1. Vigas simplemente apoyadas de hormigOn armado solicitadas por lIexiOn y corte, 60 5.1.1. Estado, y comportamiento bajo cargas, 60 " x 10. 5.1.1.1. Estados I y 11, 60 5.1.1.2. Solicitaciones del acero y hormigOn, 65 5.1.1.3. Rigidez y delormaciOn a la lIexlOn, 65 5.1.2. Comportamiento para 'laKjn pura, 66 5.1 .2.1. Capacidad de carga y capacidad liUl, 66 5.1.2.2. Tipos de rotura por flexin, 67 5.1.3. Comportamiento para Ilexln y corte, 67 5.1.3.1. Estado 1, 67 5.1.3.2. Estado 11, 67 5.1.3.3. Formas de rotura por corte, 71 5.2. Vigas continuas de hormign armado, 71 5.3. Barras y vigas solicitadas por torsin, 72 5.3.1. Torsin pura, 12 5.3.2. Torsin con lIelCin y corte, 74 5.4. Columnas y otros elementos comprimidos, 74 5.5. losas (placas) de hormign armado, 75 5.5.1. Losas de hormign armado. armadas en una direccin, 75 5.5.2. Losas armadas en dos direcciones, 76 5.5.3. Losas de hormign armado apoyadas en puntos, 77 5.6. Lminas y vigas de gran altura (vigas-pared). 77 5.7. Estructuras plegadas, 80 5.8. Cscaras (membranas). 82 5.9. Comportamiento de estructuras de hormign armado para solicitaciones especiales, 82 5.9.t. Forma de aplicar las cargas, 82 5.9.2. Inlluencia de la temperatura, 83 5.9.3. Fuego, incendios, 83 5.9.4. Contraccin del hormlQn, 85 5.9.5. Fluencla del hormign, 85 5.9.6. Comportamiento para oscilaciones e Impactos, 85 5.9.7. Comportamiento slsmico, 86 6. BASES PARA LA VERIFICACIQN DE LA SEGURIDAD, 87 6.1. Conceptos bsicos, 87 6.1.1. Objeto, 87 6.1.2. Solicitaciones, 87 6.1.3. limites de las posibilidades de uso. est ados limites, 88 6.2. Mtodos de clculo para garantizar la seguridad, 86 6.2.1. El procedimiento antiguo sobre la base de tensiones admisibles, 89 6.2.2. Procedimientos basados sobre los estados limites, 89 6.2.3. Procedimiento basado en la leorla de la probabilidad, 89 6.3. Magnitud de 105 coeficientes de seguridad, 90 6.3.1. Seguridad para la capacidad de carga y estabilidad, 90 6.3.2. Seguridad contra la prdida de la capacidad de uso, 92 6.4. Dimensionamiento de las estructuras. 92 6.4.1. Conceptos fundamentales para el dimensionado, 92 6.4.2. Proceso del dimensionado, 93 6,4.3. Dimensionamiento para los distintos tipos de esfuerzos caracterlstlcos en una seccin. 93 6.4.4. Influencia sobre los esfuerzos caraclerlstlcos de las relaciones de rigidez de los estados I y 11 en las estructuras estllcamenle Indeterminadas, 94 6.4.5. Observaciones relatlY8S a los procedimientos usuales de calculo, 94 7. DIMENSIONADO PARA FLEXION y ESFUERZO AXIL, 96 7.1. Bases de clculo, 96 7.1.1. Hiptesis para dimensionar, 96 7.1.2. Valores caracterlstlcos de las resistencias de 108 materiales y de 105 diagramas tensin- deformacin, 97 7.1.3. 7.1.2.1. Valores caracterlstlcos del hormign, 97 7.1.2.2. Valore!! cafacterlstlCOS,del acero para hormign, 100 Tipos de rotura, distribucin de las deformaciones y magnitud del coeficiente de segurl dad, 100 , XI 11. 7.1.3.1. Tipos de rotura. 100 7.1.3.2. Reparticin de las deformaciones especificas y magnitud del coeficiente de segu rldad, 10t 7.1.4. Esfuerzos caracterlstlcos en las secciones y condiciones de equilibrio, 104 7.1.4.1. Esfuerzos caracterls!icos debidos a causas externas. 104 71.4.2. Esfuerzos Internos en la seccin. 105 7.1.4.3. Magnitud y ubicacin de la resultante de compresin DI) en el hormign, 101 7.1.4.4. Condiciones de equilibrio, 110 1.2. Dimensionamiento de secciones con zona comprimida rectangular, 112 7.2.1. Observaciones previas, 112 12.2. Dimensionamiento para lIexin con esfuerzo axU con grandes excentricidades (eje neutro ubicado muy arriba de la seccin), 112 1.2.2.1. Ecuaciones para el clculo numrico, 112 7.2.2.2. Diagrama de dimensionamiento adimenslonal (segn H. RCtsch) para secciones sin armadura comprimida, 115 7.2.2.3. Utilizacin del diagrama de clculo (segn H. Rsch) para secciones con armadu' ra comprimida, 118 7.2.2.4. Tablas de clculo, con dimensiones. para secciones sin armadura comprimida. 118 7.2.2.5. Empleo de las labias con dimensiones para secciones con armadura comprimida, 121 7.2.2.8. Deduccin de un diagrama de clculo adlmenslonal para secciones sin armadura comprimida. solicitadas a flexin simple. 124 7.2.2.7. Frmulas emplrlcas para dimensionar secciones sin armadura comprimida en l1e. xln simple normal. 126 7.2.3. Clculo para lIexln con esfuerzo axU para excentricidades media y reducida (eje neutro muy bajo o que no corte a la seccin), 127 1.2.3.1. Diagramas de clculo segn Morsch'Pucher para armadura asimtrica (el eje neutro corta a la seccin muy abajo de la misma). 127 7.2.3.2. Diagrama de clculo para flexin con esfuerzo axil y armadura simtrica. '33 7.2.3.3. Dimensionado para esfuerzo normal de traccin con pequena excentricidad. '36 7.2.4. Diagramas generales para el dimensionado de secciones rectangulares (diagramas de in ler.ccln), 137 7.3. DimenSionado de secciones para zona comprimida ~el hormign no rectangular. '39 7.3.1. Inlroduccln, 139 1.3.2. Ancho activo de las vlgasplaca, 139 7.3.2.1. Planteo del problema, 139 7.3.2.2. Determinacin del ancho activo, 143 7.3.3. Dimensionamiento de las vigas-placa, 145 7.3.3.1. Divisin de los procedimientos de calculo. 145 1.3.3.2. Dimensionado Sin aproximaciones, 146 7.3.3.3. Procedimiento aproximado para secciones compactas con b/bo 40 mm) deberlan emplearse mold~s de 30 cm de arista y para granulometrlas muy finas 15 mm) los de 10 cm de arista. El valor normal fJw para cubos de 20 cm de arista puede obtenerse aproximadamente multlpllcando los resultados de los ensayos por los siguientes faclores k: arista del cubo factor k 10cm 0,85 30 cm 1,05 Para transformar la resistencia clllndrica a la compresin Pe (en cilindros de d = 15 cm y h =30 cm) o la prismtica fJp en resistencia cubica a la compreSin fJw (cubos de 20 cm de arista) son vlidos los siguientes valores: segun DI N 1045: Q 'w 1,25 ac para hormigones" Bn 150 aw " 1, 18 Q 'c para hormigones i!": Bn 250 segn las recomendaciones CES (1964): a " 0,83 a yc w 2.8.1.2. Reslstenci8 C8r8cterfstlC8 fJwN segn O/N 1045 ac " 1,05 ap (2.2) (2 .3) La divisin de las clases de resistencia del hormign (p. ej. Sn 150, Sn 250, etc.) 5G efec- ta sobre la base de ensayos de calidad a los 28 dlas, en relacin al mlnlmo valor.de la resisten ., 13 36. cia cbica a la compresin en probetas de 20 cm de arista. Para elto se parte de descartar el 5 % de la totalidad de los ensayos, es decir que slo un 5 % de un conjunto arbitrario de resul lados de ensayos de probetas puede arrojar valores de resistencia Inferiores a ~wN. Anlisis es- ladlstlcos realizados en numerosas obras de gran magnitud y en laboratorios de ensayo de ma- teriales IndIcaron que la fraccin del 5 % se mantiene cuando el valor medio ~wm de una serie de tres cubos de tres hormigonadas distintas es superior en 50 kplcmJ a fJwN. Este valor se lo denomina "acotacin" de 50 kplcmJ; por ejemplo, el valor medio de una serie de tres cubos de- be alcanzar un valor de fJwm = 400 kplcml para un hormign de la clase Sn 350. 2.8.1.3. Ensayos de urgencia del hormign Cuando sea necesario conocer, para ensayos de adecuacin y calidad, la resistencia Cl; blca a compresin f1w28 a 28 dlas, partiendo de la correspondiente resistencia a 7 dlas, son vli das segn DIN 1045 las siguientes relaciones: I3 w28 .. 1,4 I'w7 para Z 250 ; I3 w28 11 1,3 ~w7 para Z 350 L; 2.8. 1.4. Ensayos acelerados B w28 " 1,2 I3 w7 para Z 350 F Y Z 450 L ~w28 1, 1 I3w7 para Z 450 F Y Z 550 SI a una probeta impermeabilizada, luego de dos horas de su preparacin se la sumerge durante 6 horas en agua hirviente o (sin impermeabilizar) 6 horas en una cmara a 80 e, al dla siguiente y una vez enlriada la probeta, es posible ensayarla a la compresin. De este resulta do, y comparndola con ensayos previOS comparativos de calidad, es posible deducir con sull clente aproximacin la resistencia normal a 28 dias (ver Walz y Dahms [29f). 2.8.1.5. Resistencia a la compresin para cargas de larga duracin la resistencia a la compresin disminuye para cargas de larga duracin (aflos) (ver [30j). Esta calda de resistencia se equilibra en parte con el aumento posterior de la misma. A pesar de ello, para cargas de larga duracin, en las normas de clculo, se efecla para el valor de clculo iJR una reduccin del 15 % de 0,85 {Jp (ver Cap. 1). 2.8.1.6. Resistencia a la compresin para cargas de fatiga u oscilantes la resistencia en el caso de cargas oscilantes depende del nmero de alternancias de carga y de la amplitud de oscilacin 2 0a o de la tensin media Qm' Como resistencia a la fatiga (1F se considera el mxImo valor de la resistencia alcanzada para 2 millones de alternancias de la carga. En el caso de solicItacin por compresin, la Fig. 2.10 muestra la relacin entre la re- sistencia a la latlga f3F y la resIstencia prismtica fJp en dos formas distintas de representacin 1311_ 2.8.1.7. Resistencia a compresin para temperaturas muy altas y muy bajas la Influencia de temperaturas muy altas o muy bajas sobre la resistencia a la compre sin del hormign endurecido ha sido poco investigada. las temperaturas muy elevadas, de hasta 500 e en reactores nucleares en funcionamiento, 1100 e en incendios que suelen presentarse, reducen la resIstencia a la compresin, como puede observarse en la Flg. 2.11, de acuerdo con ensayos de Welgler y Flscher [32). Temperaturas muy bajas, de _ 150 a-200 C pueden ocurrir en tanques que contienen gas licuado, en tanques de hormign armado que re cubren tanques de acero, sean subterrneos o ubicados a nivel del terreno. Ensayos realizados con cilindros de d = 5 cm y h = 10 cm mostraron Que al descender la temperatura,aumentaba la resIstencia (Fig. 2.12 de [33)). 2.8.1.8. Resistencia a la compresin en la estructura La resistencia del hormign ya endurecido en una estructura, puede determinarse pos terlormente sea mediante probetas extraldas de la misma o bien mediante los denominados -, " 37. ensayos "no destructivos" mediante dispositivos especiales. Las probetas se preparan de tro zos de hormign extraldos de la estructura, aserrndolos en forma cbica o prismtica, o mejor an, en forma cillndrlca mediante perforadoras. de ncleos. Los ensayos no destructivos del hormign en estructuras son de dos tipos: de impacto y acsticos (ver [341 y DIN 4240); deben ser realizados nicamente por especialistas con experlen cia. En el ensayo de Impacto se determina sea la impronta (penetracin) de una esfera en el hormign mediante el marUllo de Impacto (por ejemplo: martillo a resorte de Frank) o bien se mide el rebote de un martillo a resorte (esclermetro de Schmidt). El ensayo acstico, en reali dad ultrasnico, se utiliza en los EE.UU. y ta U.R.S.S., pero en Alemania se emplea slo en ca sos muy especiales. En este sistema se deduce la resistencia del hormign, de su conductlbili dad al sonido O ultrasonido. 2.8.2. ResistencIa a la traccIn La resistencia a la traccin depende de numerosos factores, en especial de la adheren- cia enlfe los granos de los agregados y la pasta endurecida de cemento. Los resultados experi mentales muestran gran dispersin, porque, por eJemplo,es casi imposible evitar la presencia de tensiones propias (residuales) debidas a efectos de temperatura y contraccin de fraguado. Segn el mtodo de ensayo empleado cabe distinguir entre: resistencia axll a la traccin, resis- tencia a la traccin por compresin y resistencia a la traccin por flexin. 2.8.2.1. Resistencia axila la traccin Los nuevos adhesivos en base a resinas sintticas de gran resistencia, permiten ensa- yar a traccin pura a las probetas de hormign, sin que las mismas experimenten sensibles perturbaciones de borde en sus extremos por efecto de las mordazas (Fig. 2.13). 2.8.2.2. ResIstencIa a la traccin por compresin De acuerdo con la Fig. 2.14 la resistencia a la traccin por compresin se determina sobre una probeta cillndrlca apoyada sobre una generalriz y cargada en la opuesta. El estado de tensin en este caso es doble; sin embargo la resistencia a la traccin obtenida (JspZ es en general algo mayor que la correspondiente al ensayo de traccin J)lJra, por cuanto la 'isuracin debe comenzar en etlnterior de la probeta (ver Bonzel [35]). 80 1W!l- ,'0 40 20 1 f-- O 0 11 1 2 , l "-+ Prismas de 12112136 cm Caro. aplicada a lOS ,. dlas 1rLF. 70 '/.; T::::. 18C , : 2,25 , ~ ,(f'b = 200 kp/cm ~w :::5OQkp/cm - 1- 4 S 7 8 9 10 t anos FIg. 2.25. VariaCin con el tIempo de la Iluencla de prismas con carga ul1 para humedad relativa ambiente y temperatura constantes (segun M. R/Ss [43]). -- -,--, - - tipo de cemento - --1--;r7l .~ .;r.; ~ 'afe~~!!' de a~. 21' . t - ~ ~ ~ "~ 1.0 - 1/' / ~8 ,. ~ ,.8 0.5 humedad rel8,llva ambiente 100 90 80 70 .0 50 40 JO ("/. ]rLF. Flg. 2.2e. Variacin dellactor de Iluencia en luncln de la humedad relativa ambiente para cemenlOS nOf- ma'es '1 de alla resistencia (segun O. Wagner 139]). 6. la Influencia de la clase de piedra de los agregados slo se halla en los comienzos de su investigacin (47]. El comportamiento del hormign con agregados livianos ser tratado en una seccin especial. 7. la calidad del cemento influye siempre que los cementos de alta resistencia Inicial alean cen, en menos dlas, un grado de madurez mayor que los cementos de endurecimiento nor mal. 2.9.3.4. Restricciones a /a contraccin de 'raguado ya/a fluenc/a la contraccin de fraguado comienza siempre en las superficies exteriores y resulta fre- nada por las zonas Interiores, por lo c'ual,especialmente en estructuras gruesas, se originan tensiones internas. Estas tensiones propias pueden originar lisuras, por cuanto los mayores acortamientos por fraguado se producen en la parte exterior de un hormign joven de reducida resistencia a la compresin. En consecuencia deberla retardarse siempre el comienzo de la contraccin el mayor tiempo posible, protegiendo al hormign contra el desecamiento (curado). (Ver Krenkler 123]). SI se impide la contraccin de fraguado por causas externas, por barras de armadura o por rozamiento sobre el suelo de fundacin, las tensiones de traccin derivadas de los acorta mlentos por contraccin se reducen por la fluencia del hormign. 27 50. Esta reduccin de tensiones en grandes estructuras de ingenlerla y en estructuras de hormign pretensado se determina generalmente por clculo. En los casos simples de esquele- tos de edificios, para cuanUas medias de armadura es posible tener en cuenta este efecto en forma aproximada. reduciendo los valores de la contraccin de fraguado (ver tabla de Fig. 2.28). Por ejemplo, si la deformacin por contraccin resulta impedida por una armadura dls puesta en la direccin en que ocurre la contraccin, el hormign resulta descargado por re distribucin de tensiones sobre las barras de la armadura. Cuando se Impide la deformacin por contraccin por esfuerzos externos, dichos esfuerzos aumentan por contraccin y las ten slones en el hormign se reducen por relajamiento. En ambos casos se trata de problemas en los que se acoplan la fluencia y el relajamiento. 2.9.3.5. Electos de /a lIuenc/a y /a contraccin de Iraguado sobre las estructuras Entre los efectos desfavorables podemos mencionar (ver (5)>: Aumento de la deformacin por fleltin por contraccin de fraguado y fluencia en ta zona comprimida (por ejemplo, en vigas y placas). Aumento de la curvatura por fluencia en columnas con carga excntrica, con lo cual la ex centrlcldad Inicial aumenta y la capacidad de carga de la columna disminuye. En elementos pretensados. prdidas de tensin previa por contraccin de fraguado y lIuencia. Redislribucin de tensiones por contraccin de fraguado y fluencia en un elemento estructural vincutado rlgidamente a otras estructuras (por ejemplo, revestimientos de pa redes o pilares de puentes). Fisuras superficiales por tensiones propias por contraccin de fraguado (vase la Seco 2.9.3.4). Los efectos favorables son: Eliminacin de los picos de tensin por fluencla (por ejemplo, en nudos de prticos) Opor cargas concentradas (localizadas) sobre el hormign. t '.0 '0 < l ,O i! , ,Ou liu t,O ~ O t ,,O u < l,O i! ,,Ou ~ t,O~ O r LF 70'/ I. /' :--- 1/ Ir v-- '==:;-;] ,LF1S /. - - ;. '( / 'L /' , J , , J , - J 1 5 - I "9. 365 t arios ,, ~ 90/365 Safios Fig. 2.27. Influencia de la edad del hormign al comienzo de la carga sobre el desarrollo de la lIuencla en prismas de 12 x 12 x 36 cm (/lw-=' 500. !lb :: 100 kplcml; T = 18 C). (segun M. Al5s [43]). 28 51. Eliminacin por relajamiento y Iluencla de tensiones originadas en causas exlernas (por ejemplo, asenlamienlo de apoyos en vigas conllnuas). 2.9.3.6. Expresiones para el clculo de la contraccin de fraguado y la fluencia segun DIN 1045 Para el clculo de las deformaciones por contraccin de fraguado y fluencla, la DIN 1045 parte de los siguientes valores bsicos para el tiempo t = oo. (so = valor Ilnal de la contraccin de fraguado f90 = lactar final de fluencia. Estos valores bsicos segun DIN 1045 aparecen en la tabla de Flg. 2.28, en funcin de la humedad ambiente y de la consistencia del hormign y son vlidos para un curado de unos 28 dlas de duracin a unos 20" C. Para determinar la deformacin por contraccin de fraguado originada hasta un deter minado tiempo t se utiliza el coeficiente k! que aparece en Fig. 2.29 y, en consecuencia. para el valor de la contraccin tst se tiene: (paraT = + 20 oC! ) (2. 12) El coeficiente k, que corresponde al desarrollo en el tiempo de la contraccin, IIgura en el grfico para distintos "espesores aclivos" dw, por cuanto las estructuras de mucho espesor se secan, y en consecuencia se conlraen, ms lentamente que las delgadas. Para elementos planos es dw = d = espesor de la pieza; para estructura de barras es vlida la expresin (don de F =rea y U =perlmetro de la seccin de hormign): (2. 13) Hume Valor final Factor IInal de dad ,.. de la conlraccln Ituencia lenta latlva e Valor redo- Ubicacin amblen a,o ~o cido de la de la " conlrac estructura para consistencias cin. (rLA K 1 K 1 , K3 K3 ,["Io[ K2 K2 a,o en agua - - - 1, O 1, S - en aire 90 - 10' 10-5 - 15 10-5 -S muy hmedo 1, S 2,2 - 5 10 en general. 70 - 25 10-5 - 37 10-5 2,0 3,0 - 10 10-5 al aire libre en aire 40 seco _ 40'10- 5 - 60 10 -S 3,0 4,S - 15 . 10-5 Fig. 2.28. Valor IInal de la contraccin de fraguado asl como de la contraccin reducida en funCIn de la humedad relativa ambiente y de la consistencia del hormign (segUn DIN t(),45: a 200 e para curado normal durante 28 dlas). 29 52. O.' O~ O.' 0.' o '----3;---7--~I~'--~'.~~~~~t,~I.fO~d~'.-'----~, tiempo 'ag I 12 S arios Flg 2.29. Coeficiente k. para el desarrollo en el tiempo de la contraccin de Iraguado y de la !luencia la T = 20 CJ en funcin del espesor activo dw del elemento estructural (segun DIN 1045). "'.0 1.0 '.' '.' '.' '.- 1 '.- 1,1, r 1 I Cemento de endure cimiento lento L ." rcimiento rapldo 0,7 Cemento de endUfl 0,'5 J "'.>1'" log Q Edad a del hormlg6n al comienzo de la carga para O+-----____~__~_____ 3 7 14 28 JO 100 1000 ,,~ 'SO 365 dlas T=20oC=C1e grado de madurez' 10000 log R Flg. 2.30. Coeficiente k, con8spondiente a la Inlluencia del grado de endurecimiento del hormigOn en lun- eiOn de la edad 8 o del grado de madurez R del hormign al comienzo de la carga y dellipode cemento (s. gn DIN 1045). Suele ocurrir que distintos elementos estructurales puedan contraerse libremente duo rante un cierto tiempo t, antes de que se los vincule entre 51. Cuando por causa de dicha vincu lacin resulte impedida la continuacin de la contraccin de fraguado, se originan tensiones inducidas por el impedimento de que se produzca la contraccin por fraguado restante tJ. {s Mediante el coeficiente kJ se obtiene para A lS: (2. 14) El calculo de las deformaciones por fluencia para tensiones constantes se efecta me dlante el ya mencionado factor de fluencla 'PI, es decir: a b ~ ~ - !P k Eb t (2.9) donde Eb es el mdulo de elasticidad del hormign determinado a los 28 dias de curado norma! en prismas (en general. el valor de clculo segn DIN 1045 que figura en la tabla de Fig. 2.18). Cuando la tensin 0b es variable puede admitirse aproximadamente el valor promedio entre los valores inicial y final. siempre que la tensin final no difiera de la inicial en mas del 70 %. 30 53. El factor de fluencia 'Pt lo calcula la DIN 1045 mediante la expresin: (2. 15) El desarrollo de la fluencia con el tiempo es similar al de la contraccin de fraguado y se lo contempla mediante el coeficiente kzsegun Fig. 2.29. El coeficiente k tiene en cuenta el grado de endurecimiento del hormigOn al comenzar a actuar la tensin 0b que da origen a la fluencia (edad a del hormign); aparece en Fig. 2.30. Para temperaturas considerablemente variables y, en especial, para bajas temperaturas, ya no es determinante la edad del hormign sino su grado de madurez A: R '" :t (T+ 10) (2. 1(J) donde t = numero de dlas con temperatura T T =temperatura media diaria del hormigOn en o C. 2.9.3.7. E)(presiones para el clculo de la contraccin de fraguado y de la fluencia segun O/N 4227 (nueva edicin de 1972) La comparaCin de los valores de la contraccin y la fluencia obtenidos por mediciones, con los clculos en la seccin anterior mediante el procedimiento simplificado de la DIN 1045, mostr algunas deficiencias, lo que condujO a proponer un nuevo procedimiento de clculo [48] para la DIN 4227 (nueva edicin de 1972). Las deficiencias son: la influencia del espesor sobre el factor linal de fluencia no se tiene en cuenta (slo se lo inCluye en el desarrollo con el tiempo). no se considera la influencia de la humedad relativa ambiente sobre "el espesor activo del elemento". no se tiene en cuenta la influencia del espesor sobre el coeficiente k, de la DIN 1045 (un elemento de hormign de mucho espesor fluye con el tiempo ms que uno delgado). no existe en realidad ninguna influencia del espesor en estructura bajo agua. al desarrollo de la fluencia durante los primeros dias en la Fig. ~.29 se lo subestima. La diferencia fundamental entre los procedimientos de clculo para la determinacin del factor de fluencia ept de la OIN 4227 con el de la DIN 1045 reside en la separacin de la delor macin por Iluencia en una parte correspondiente a escurrimiento y otra a la deformacin els tica diferida (ver Fig. 2.23), es decir: (2. 17) E)(isten otras posibilidades para tener en cuenta la divisin entre escurrimiento y como portamiento elstico diferido. Para ello cabe referirse a los trabajos de Trost y lerna, quienes, para el clculo de los fenmenos vinculados con el relajamiento,introducen un "coeficiente de relajamiento" [49]. En lo que sigue, aclararemos brevemente el procedimiento de clculo segun DIN 4227 (nueva edicin 1972). Para el clculo del valor de la contraccin de fraguada y del factor de fluencla se parte del valor bsico de la contraccin (so Y del factor bsico de fluencia 0.45 ~J5 1,0 0,5 o w 10 100 1000 tO 4 dlas Flg. 2.32.Coeficiente ks correspondiente al desarrollO en elliempo de la contraccin de fraguado,en fun cin de la edad eficaz del hormign 'w y del espesor activo dw(segun DIN 4227, nueva edicin de 1972). 33 56. ',5 '.o 0.5 O , l "1' '-r '"' ~El1 '1:'t-+---- r-----' l _ _._ - .J--c -+ . ,,,' 1 /!--tI I I V I I I I I I 1Tensiones en el hormign al nivel Ye , II I I ---I II ~II ~' 1 I 1 1 1 I I 1 I Tensiones de adherencia 1 I I 1 I 1 I ti I Momentos lIexores M I 1 I 1 Esfuerzos de corte a Q: o G"b::: PbZ para elescalndecarga PI G'b para el escaln de carga P2 > PI Estado I Flg. 4.3. Distribucin de tensiones 0,.0b YTI en una viga de hormign armado para 10$ estados t y 11. 49 73. mlgn. El coeficiente de rozamlonto, como consecuencia de la rugosidad superficial del acero, es elevado (A = 0,30 a 0,60). La Ilg. 4.4 muest.a las grandes diferencias de la rugosidad de las superficies de acero redondo oxidado y recin laminado, asl como tambin de alambre trafilado, aumentadas 36 ve ces. La oxidacin origina una rugosidad tal que da lugar a un endentamlento mecnico y con ello adherencia por corte. . ' la adherencia por rozamiento conduce a un efecto de adherencia aceptable slo cuan- do la presin transversal acta en forma sistemtica. acero radondo oxidado acero .adondo roclen laminado - alambre tralilado Flg. 4.4. Rugosidad superllclal .umentada 36 veces (segn [55]). .2.1.3. Adherencia por corre Cuando se trata de un endentado mecnico de tipo de enclavijado entre la superllcle del acero y el hormign, deben, en primer lugar, romper por corte las "mnsulas de hormign" que se forman 8fltre las salientes de la barra, antes que sta pueda deslizarse en el hormign (Fig. 4.5). la resistencia al corte constituye el tipo de adherencia ms efectivo y seguro, y por otra parte, necesaria para poder utlllzar tensiones elevadas en el acero. Normalmente se obtiene me- diante nervaduras producidas durante el Il'lmlnado (acero nervurado), pero tambin se obtiene mediante barras de seccin adecuada sometidas a una fuerte torsin (por ejemplo barras cuadradas en el denominado acero Caron), que actan con efecto de sacacorcho yen las que el paso, para el caso de rugosidad natural de laminado,debe ser" 7 0 . En el caso de barras nervuradas, la magnitud de la resistencia al corte depende de la lar ma e inclinacin de las nervaduras, de su altura a y de su separacin C. G. Rehm ha descrito dichas dependencias en {57) y ha demnstrado que la denominada "superficie neflurada relati- va" IR constituye un patrn prctico para comparar barras con distintos tipos de nervaduras. Dicha superficie nervurada relativa constituye la relacin entre la superficie de las nervaduras FR, que es Igual a la superficie extrema de la consola de hormign en contacto con el nervio, y la superficie lateral FM del cilindro de hormign que rompe por corte. Para una nervadura Ideal anular, segn Figs. 4.5 y 4.6, se tiene: (4.14) Para nervaduras en rnedia luna o Inclinadas (Fig. 4.6), que conducen a una resistencia a la latiga mayor que las nervaduras anulares se deben considerar las proyecciones de la super- ficie de las nervaduras. Tratndose de aceros comunes para hormign usuales que responden a la DIN 488 se tiene una superficie nervurada relativa IR que varia entre 0,065 y 0,10; fR no deberla ser mayor de 0, t5, porque si no la resistencia de las consolas de hormign no podrla ser aprovechada (Flg. 4.5 b). La superficie de rotura por corte de las consolas de hormign, por tratarse de un mate rlal frgil, es una superficie endentada (Flg. 4.7) segn las direcciones principales de traccin y compresin (ver Fig. 4.7 b Ytambin c segun E. Mrsch 11)). Es decir que la rotura por corte se inicia por una rotura por traccin en la direccin de las tensiones principales de traccin, conti- nuando con un desplazamlenlo transversal con fisuracin en el hormign vecino hasta que se establezca un deslizamiento relallvo entre tos dientes. 50 74. al barra nervurada Ideal / / / / / ; , /,' Efecto de agrietamiento '4'/ / '/ -:/. /. f /' ,/ /. / _z Separacin grande entre nervaduras (fA < 0,10) /"//,,/,, ". "/ ' /,/ , Separacin pequena ~ ..J!. / ~ entre nervaduras _ (fA >0,15) _ z b) superficies de roturade las consolas enlre nervaduras Flg. 4.5. Aclaraciones de las caracterlstlcas de una barra Ideal, con nervaduras anulares y posibles superfl cles de rotura de les consolas de hormign entre nervaduras [56]. F. Neryaduras anulares Neryaduras en media luna Flg. 4.6. Superficie FA de las nervaduras anulares'y en media luna. , , 1- - - - - Trayectorias de traccin' " - - - - - Trayectorias de compresin ~ ~z./:Traccin ~Trayectorias y superficies de rotura [56J a) para gran separacin de ner b) para pequel'la separacin de yaduras nervaduras Traccin e) Superficie de rotura por corte segn E. MOrsch 11]. Flg. 4.7. Distribucin cualitativa de las tensiones principales y superficies de rotura en las consolas de hor mlgn entre nervaduras anulares. 51 75. Q r-----' O ' :I I L_____J Flg. 4.8. Mlcroflsuras en la zona de hOfmign vecina a una barra ner- vUfada (segUn Y. Goto [57]). 52 4.2.2. Ley de 18 deformacl6n por adherencIa 4.2.2.1. Descrlpcl6n cualitativa de 18 deformacl6n por adherencia En la teorla utilizada para el dimensionado del hormign armado se admite, groseramente, la vall dez de lb =[e aun para el estado 11, es decir que no existen desplazamientos relativos entre acero y hor mign. Ello es correcto para muchos tramos entre fl suras. Sin embargo, en las fisuras y entre ellas. se producen desplazamientos relativos A entre ambos materiales, en parte porque se pierde la adherencia por contacto, y tambin por deformaciones y fisuras secundarias en las "consolas de hormign" o "en- dentados de hormign" entre nervaduras por adhe- rencia por corte_ Ello ha sido verificado por Y. Gato (57] Inyectando tinta roja en el hormign en las cerca- nras de las barras nervuradas tracclonadas, luego de la flsuracln (Flg. 4.8). De esta forma fue posible veri- ficar la existencia, entre las fisuras principales, de fi- suras secundarlas Interiores en cada nervadura transversal, y deformaciones en el endentado de hor- mign, asl como tambin una considerable prdida de adherencia (Fig. 4.9). las fisuras secundarias cambian su Inclina- cin, entre dos fisuras principales, lo que se corres- ponde con el cambio de signo de la tensin de adhe- rencia (ver Ilg. 4.2). En una fisura principal, el primer diente de hormign rompe en mayor o menor medida en cada direccin; la adherencia por corte, para ele- vadas solicitaciones se destruye en una pequena longitud, lo que trae como consecuencia un aumento del espesor de la lisura. Luego de 10.000 ciclos de c"rga entre o. = 500 Y 2000 kp/cmJ, la tinta. roja se habla distribuido sobre casi la totalidad de la superfl cie de la barra; en consecuencia, la adherencia por contacto se habla destruido, actuando nicamente la adherencia por corte. Los desplazamientos 6 se originan prlnclpal- mente por deformacin del endentado del hormign, y son funcin de la tensin de corte TI' de la superfi- cie relativa de la nervadura fA, y de la resistencia del hormign. La relacin TI/6 puede considerarse como resistencia por adherencia (Flg. 4.10). La gran peno diente inicial del diagrama 11 6 corresponde a la adherencia por contacto, la parte inclinada a la adhe rencla por corte y la parte extendida, que para barras laminadas lisas es muy pronunciada, representa la adherencia por rozamiento. Si el diagrama TI6 es ho- rizontal o declina, eUo significa que la adherencia ha sido destruida y la barra desliza como consecuencia de una reslstencla insuficiente por rozamiento. G. Rehm ha Investigado exhaustivamente es ta relacin, y menciona una " ley fundamental de la adherencia" (55). Los diagramas T 6 asl como la re- sistencia por adherencia y la rigidez por adherencia, se determinan por "ensayos de arrancamiento". 76. Trayecto rias de las tensiones prinCipales de compre' sin PreslOn trans- versal debida 'a la restrlc ~~f';l~ ~~:::tclOn de la de- formaclOn transversal p al Probeta Inadecuada, mostrando es Quemticamente el efecto de bveda y la presin transversal r-" L p Medicin del desliza miento relat!vo .1 entre el extremo de la barra y la probeta b) Probeta segun G. cl Probela segn las Reco- Rehnl (551 mendaciones de RI lEMICEBlFIP 1581 Flg. 4.11. Probetas para el ensayo de arrancamiento y las correspondientes distribuciones de las ten siones de adherencia sobre la longitud Iv. La presunta distribucin de T, sobre la longitud de anclaje de Fig. 4.11 muestra que con ello, slo en el caso de la probeta b) se obtiene un valor cercano a 11 max =:: (h,; para al y C), 1 1 m queda muy por debajo de la resistencia por adherencia. Por otra parte, los valores de 1, m son salisfaclorios a los efectos comparativos y como base para los calculas. 4.2.3. Resistencia a /a adherencia Para el dimensionamiento se ha definido como valor de clculo de /a resistencia por adherencia TIR. a la tensin de a:1herencia a la que corresponde un deslizamiento del extremo libre de la barra con respecto al hormign de Il =:: 0.1 mm. Teniendo en cuenta la correspon- diente fuerza P (6. =:: 0,1) se tiene: P(t:.=O,l) T IR u t (4, 16) v En realidad, la resistencia real por adherencia, especialmente para adherencia por coro te, es mucho mayor y puede llegar hasta 2 veces el valor de clculo, en cuyo caso pueden ocurrir deslizamientos de hasta!J. =:: 1 mm. Teniendo en cuenta la gran dispersin de los valo- res de la adherencia, se recomienda, sin embargo, utilizar para el dimensionado un valor de clculo bastante alejado de {Jn. 4.2.3.1. Influencia de la calidad del hormign sobre le resistencIa por edherencla Los ensayos de G. Rehm 1551 han demostrado que, con suficiente aproximacin, puede admltirse una relacin lineal entre {Jyl y {Jw. 54 77. 4.2.3.2. Inlluencia del perfilado de la superllcle y del dMmetro de /85 barras la Flg. 4.12 muestra la Influencia de la superficie de la barra, especialmente la de la su- perficie nervurada relat;va fA. De acuerdo con la Fig. 4.13, el dimetro de de la barra Influye poco sobre el valor de Tlm. Sin embargo, las barras delgadas son preferibles a las gruesas, porque la seccin y con ello el esfuerzo le que soporta, crece cuadrtlcamente con el dimetro (de!), en cambio el perlmetro u lo hace linealmente. Disminuyendo el dimetro de de la barra a la mitad (para un mismo Tm sobre la longitud IJ. 1), puede ser utilizada para una tensin 0e doble. direccin del hOrmlgonado , ,mbo" c:Ji,m ~ I I tlRfl!w +-lOd,--.f- O," 0,20 O,IS ,v..A " ) 0,10 0.05 o O V-,.,..: , ' V ope L. '.0,12 FIg. ".12. Influencia de la superficie nervu rada relativa fR sobre el valor de clculo de la resistencia a la adherencia relsllva TIR para longitud de anclaje I v = 10 de cons- tante. 0,200 0.100 f I I I mpotramlento vertical I I empotramiento horizontal , - --.-::!:.. t~- , I I I I I O+-+-l-l--I--..J.J---4 '. O 7 14 20 28 4042 t>O [mm] Flg. 4.13. Influencia del dimetro de la barra de sobre la ten$.ln media de adherencia r.lativa para'" = 5 lO 1, 'R = 0,065, '"1 =14 cm, Pw = 225 kpJcml (561. 4.2.3.3. Influencia de la posicin de la barra, al hormlgonar En lo que respecta a la calidad de la adherencia, es Importante el hecho de que las barras, al hormlgonar, estn dispuestas horizontalmente o verticalmente, asl como su distan- cia al encofrado. Debido al asentamiento del hormig6n fresco, se Junta debajo de las barras al go de agua, que posteriormente es absorbida por el hormign, formando oquedades o numero- sos poros (Flg. 4.14). La calidad de la adherencia puede, por ello, reducirse hasta menos de la mitad del ms fa- vorable valor que corresponde a las barras verticales; la reduccin depende de la relacin agua- cemento, de la dIstancia de la barra al encofrado o tambin de la capa de hormign hormigona da previamente (Flg. 4.15). Estas grandes diferencias deben ser tenIdas en cuenta al considerar los valores para el calculo. FIg. 4.14. Formacl6n de oquedades o poros deba- Jo de barras horizontales como consecuencia del asentamiento y e)(udacin de agua. , ,,, Oquedad ,. Poros 55 78. 0,3 0,2 0,1 / ~/ '- o O - acero n8fVorado ___ acero r6'1ondo liso - V V V/' V :/ ~ ~V V _. r-' -- -- 0,2 0,4 O,, ~ ...-- -~-~ -~ 0,8 V -- - '"1,0 [mm} Fig. 4.15. Representacin eSQuemtica de los resullados de ensayos de arrancamiento en barras rectas, con distinta posicin durante el hormlgonado, segUn G. Rehm [56]. 4.3. Leyas que rigen la adherencia en los elementos de anclaje 4.3.1. Ensayos de arrancamiento con ganchos Aun en el caso de existir ganchos extremos, la disposicin de las barras durante el hor mlgonado conduce a diferencias de rigidez, expresadas en este caso por los diagramas o - 6. las Flgs. 4.16 y4.17 muestran, respectivamente, los resultados experimentales efectuados con barras lisas y nervuradas de acero para hormign armado de" 12 mm. las barras verticales con ganchos dispuestos con la curvatura dirigida hacia arriba, de- muestran ser las ms electivas. Al comienzo del gancho, las presiones oblicuas de gran magni tud originan deformaciones localizadas que conducen a mayores deslizamientos horizontales, cuando el hormign, por asentamiento resulta poroso. En el acero nervurado, los ganchos, en la parle Inferior de la zona sujeta a tensiones re- sultan mucho ms rlgldos que los de acero liso, pero con todo, la capaCidad portante difiere muy poco. 12 H @) ~ . - - barr.~lisas .12 4 O '"0,4 O,, ~. 1,0 (nwnJ Flg. 4.16. Dlagramasoe - .&. comparativos, para barras lisas de0 12 mm provlat., de oanchos en distintas disposiciones durante el hormlgonado [56). 56 79. 12 Q. 2; V_i,_ -- ->_D~5'/~ Vc-- '@1 # V(b) V ...-- @ ~ i/ f-" V 1,1 V v .-- r- ~ ~~ , -- , I - , -+ -_. - barras nervuradas )4 12 8 4 @ Q] ~ @ [CJ o ~ < 8 o ~ 'E "~ .. @t?J ~ < "o o "i5 "0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 [mm) Flg. 4.17. Diagramas 0e - 4 comparativos para barras nervuradas en distintas disposiciones durante el hormlgonado [56]. ~. r---r--'--'---r--r--'---r-~~~-, Pw 8 4 0,01 0,2 Direccin del I hormlgonado V Fig. 4.18. Influencia comparativa del ngulo" de plegado del gancho en los diagramas"e - a. para aceros nervurados para longitud de anclaje Iv ::: 100 , Si se hormigonan barras nervuradas de iguallongltud de anclaje lv = 100 Y se varia el ngulo O' de plegado del gancho, cuyo comienzo se encuentra a 1 = 20, de 0 pasando a 45, 90,1350 Y 1800 sucesivamente (Fig. 4.18), es posible observar que a la barra recta dispuesta verticalmente corresponde la mxima rigidez por adherencia y que, en cambio, a la horizontal corresponde la mlnima, y que la Influencia del plegado del gancho s610 es mayor con respecto a las barras dispuestas horizontalmente. En consecuencia, en las barras verticales, la Influen- cia del gancho es Inoperante. los ganchos dan una seguridad mayor para los efectos reducto- res del asentamiento. los extremos rectos de barras, que se prolongan detrs de los ganchos, slo comienzan a actuar despus que ocurren los grandes deslizamientos y no tienen mayor sentido. Para el acero liso, a fin de evitar un deslizamiento, son necesarios ganchos con un a ml- nimo de 135. 57 80. 4.3.2. Ensayos de arrancamIento en barras con barras transversa/es soldadas De acuerdo con la Flg. 4.11 el, los ensayos de arrancamiento de barras nervuradas con trozos soldados de barras transversales [59), indican Que la adherencia de la barra longitudinal y las barras transversales soldadas actOan y colaboran conjuntamente en el anclaje. El esfuer- zo de anclaje que es capaz de absorber la barra transversal, Queda limitado a la resistencia al corte de la soldadura del nudo, que depende de la relacin de dimetros IZI y de la efectividad del equipo soldador. Es mucho mayor una vez hormigonada que si se la ensaya libre. La resisten- cia al corte se manifiesta ciertamente en toda su magnitud recin despus de producido un de- terminado deslizamiento. A en el lugar en Que esta ubicada la barra transversal soldada. La Fig. 4.19 muestra una comparacin de los diagramas promedio de oe-A, referidas a flw. La existencia de la barra transversal en el comienzo del anClaje, permite absorber mayores esfuerzos al Iniciarse la traccin, Que con dos barras transversales soldadas en el final de la longitud de anclaje. Las barras transversales ubicadas en el final de la longitud de anclaje, re- cin actan con eficiencia para grandes deslizamientos. 28 ~ l. ~'(;)' ~I'P'o~ 'O b" /.724 ~ ~1~/~_ ./ ~,OII!.,S . @&,O -r-' -- _ . ~_12,~-::::: '/.",,- ,...- - v: a., a~m_. 20 " " -- ~::::--V ~ barras nervuradas (KAAI) , oO Q02 'lOL 'l06 'l08 0,10 0,12 0,1l, t; 0,16 (mm] Fig. 4.19. Diagramas promedio 0.,,4 relativos para barras nervuradas con barras transversales soldadas (segn [59D. 4.4. Valores numricos de la adherencia para el c lculo 4.4.1. Generalidades Para una dada relacin TI,A es poSible determinar la variacin d aeJdx de la tensin en el acero, siempre Que se conozca la distribucin deTI (x). Para ello, en realidad, lo nico interesan te son las condiciones para el estado 11. Empero en las fisuras, la distribucin de TI (x) depende de tantos factores Que la ecuacin diferencial de ta adherencia, tal como fuera planteada por G. Rehm (55J, Slo tiene un inters cienUllco, pero para la prctica hasta ahora no tiene ninguna significacin. 4.4.2. Verificacin de la adherencIa segn DlN 1045 La adherencia Juega un papel Importante en la seguridad de las estructuras de horml' gn armado, no obstante lo cual la verificacin numrica es necesaria solamente en anclajes y esfuerzos de corte muy elevados para el estado 11. Para dichas verificaciones, la norma DIN 1045 da las tensiones TI adm correspondlenles a cargas tltes para dos casos, Que correspon- den a la posicin de las barras durante el hormigonado (Fig. 4.20). Los valores Incluyen un co- ellciente de seguridad v =3 con respecto al valor TIA y de v =5 a 6 con relacin a fln. 58 81. Tladm 2 [kp/cm 1 posicin al hormlgonar Sn Bn Bn Bn Bn 150 250 3~O 450 550 barras A 3 3, 5 4 4, 5 5 redondas IIllas B 6 7 8 9 10 barras A 7 9 I I 13 15 nervuradaa B 14 18 22 26 30 Flg..20. Valores admisibles de clculo de la tensin de adherencia T" para cargas estticas predominan- tes (segun DIN 100i!5). Posicin A: para todas aquellas barras Que no respondan 8 la posicin B (condiciones des- favorables de adherencia). Posicin B: par. todas las barras que al hormigonar, estn lnclinadas entre 45 y 90 con respecto a la horizontal; en el caso de tratarse de barras planas menos inclina- das u horizontales, slo 51 al hormigonar se encuentran ubicadas en la mitad In- ferlOl' del elemento estructural o por lo menos 30 cm por debajo del borde supe- rior de la parte de la seccin o de la capa parcial hormigonada (condiciones de buena adherencia). Cuando la carga eCJttlca no es predominante, slo se admite el85 % de los valores Indl cados. Para estructuras solicitadas por cargas fuertemente variables, los valores debern re- duclrse de " = 1 - 0;62 aa1aeo ... 0,5. 59 82. 5 Comportamiento bajo carga de las estructuras de hormign armado En lo que se refiere a la capacidad de carga de las estructuras, cabe distinguir entre estructuras de barras y estructuras laminares. Por ejemplo, las vigas y las columnas son estructuras de barras, mientras que las placas, las lminas planas y curvas son estructuras la- minares. Las Flgs. 5.1 y 5.2 muestran la multiplicidad de posibles formas de estructuras y de seco ciones de las mismas. 5_1. Vigas simplemente apoyadas de hormign armado solicitadas por flexin y corte 5.1.1. Estados y comportamiento bajo cargas 5.1.1.1. Estados I y 11 La Flg. 5.3 muestra una viga de hormign armado cargada con dos cargas concentradas simtricas armada con una armadura longitudinal para absorber los esfuerzos de traccin por flexin y otra para los esfuerzos de resbalamiento (armadura del alma). Esta ultima puede estar constituida solamente por estribos b por una combinacin de estribos y barras levantadas de la armadura longitudinal (barras inclinadas). Para cargas P reducidas'no aparecen en la viga fisuras mientras que la tensin en el bor- de debida a la flexin se mantenga inferior a la resistencia a la traccin por flexin es decir 0bZ < {JbZ Para este esrado I se origina un estado de tensiones principales de traccin y de compresin; las trayectorias de las tensiones principales -que constituyen las envolventes de las direcciones principales- se han representado en la Fig. 5.3 a. Al aumentar la carga apare- cen las primeras fisuras de flexin en la zona comprendida entre las cargas, una vez que se ha alcanzado la resistencia a la traccin del hormign, es decir 0bZ = {JbZ (Flg. 5.3 b). Dicha zona se encuentra entonces en el estado 11 (zona de traccin fisurada), mienfi"as que en las partes comprendidas entre las cargas y los apoyos no se presentan fisuras y por lo tanto se en- cuentran en estado lo En la Fig. 5.3 b se han representado, adems, la parte activa de la seccin para los esta- doSl y 11, asl como tambin las correspondientes distribuciones de deformaciorres y tensiones. Continuando con el aumento de carga, aparecen tambin fisuras en las zonas entre caro gas y apoyos, las que, como consecuencia de la inclinacin de las trayectorias de la tensin principal 01 en dicha zona, son oblicuas (fisuras de corte). La inclinacin de las fisuras se corresponde en cierto modo con la de las trayectorias de las tensiones principales (ver Flg. 5.3 a), es decir que es aproximadamente normlll a la direccin de las tensiones principales de trac cin. 60 83. @ muro de contencin o Entrepisos 'Itecho~ aportlcados losas para ","bl,,,~~_--o:-::,o-;,,,,o;;~ mnsulas para columna @ recinto prefabricado @ Estructura espacial de barras tribuna d, """.",0. dado de fundacin Fig. S.1. Estructuras portantes de hormign armado. "bp'Os = PPDeformaciones especificas y tensiones en una seccin donde se ha alcanzado la rotura Flg. 5.3. Comportamiento bafo carga '1 eslados de una "iga de hormign armado simplemente apoyada al ser cargada hasta alcanzar la rotura 86. "'.%)00 200 ~ .. lOO J O LOOO &:s JOOO ; ~2000 ! .21000 ! O O "'lO o ~ 2000 ..:3000 ~ ~ 4000 sooo G. [ 1) ~ 1,0 ,,O Ilep cm '1 i'" / / /I / ~ '-'-' f', 1'- "- ko/em 2] l,- l, ..- P iPP I ~s = 4880 kp/cll'l2 v, Pu - l/ V ' 1/ v Pc,uw 1'1---p,.P , . 1/ P, .P J I 1 [" I T I F:: Dlagra~a 7'zIF,tef'00 -n:rP02 * 4700 lep Icm 2 " : O,U Pu e- ~ Pcrll ~ -- I r '11. , - VV "- 1 ~~ ~ bjV . ~ v/- V V Pe,u Pu - 1- Seccin LO , .. 1 i 1-1= 0,99'. ae, Bii kplcml] 5000 LOOO "'" / O P O 5 ID 15 20 25["0] G", {ko/em 2 J 5000 LOOO - f ~ ~.f - 'r,~y 08 max en el 11 centro dellflmo " 2000 1000 JIO P 5 10 15 20 25 [..~ Flg. 5.4 . Desarrollo de las solicitaciones en la zona comprimida del hormign, en los estrlbos y en las barras longitudinales a lo largo de una viga experimental, para tres escalones de carga lOO}. 64 87. En consecuencia, para cargas elevadas, la viga se encuentra trabajando casi en toda su longitud en el estado 11, quedando en general libres de fIsuras hasta la rotura, unlcamente las zonas en el entorno de los apoyos. 5.1.1.2. Solicitaciones del acero y hormign Es posible obtener una imagen conceptual del comportamiento bajo carga de una viga de hormign armado mediante ensayos y por las deformaciones especificas l medidas en los mismos, mediante las cuales es posible calcular las tensiones o =t E. L, fig. 5.4 muestra la variacin de las tensiones longitudinales 0b medidas en la superficie de la viga y 0e en la arma- dura longitudinal, para tres estados de carga: 1. Carga litll: 2. Cerga critica: 3. Inmediatamente antes de la rotura: Pg+P = 12 Mp Perl!. = 21 Mp Pu=24Mp Se ha representado el diagrama de las correspondientes a la carga crllica, calculada segn la teorla de la ftexln para el estado 11. Al establecer la comparacin puede observarse que las tensiones de borde en el hormign, en la zona de flexin pura (Q =O) alcanzan los valo- res tericos 0e y 0b, pero en la zona donde existen esfuerzos de corte, las 0b son menores y las 0e mayores que las tericas. Sobre los apoyos el esfuerzo de traccIn no es nulo. Ms adelante aclararemos este hecho y deduciremos las consecuencIas que tiene para el clculo. La viga fall por haberse sobrepasado el limite de lIuencla de la armadura longitudinal 0e >Ils (rotura por flexin). En los estribos (armadura de corte) aparecen tenstones elevadas nicamente en la parte media de la zona en que existen esfuerzos de corte y, tanto en las cercanlas de los apoyos co- mo en las del punto de aplicacin de las cargas son visiblemente menores, por cuanto, en dichos lugares, en fazn de la transferencia de cargas, actan tensiones vertIcales de compre- sin ay. Importa aclarar que las tensiones en los estribos debidas a la carga lit11 mantienen un valor reducido (en promedio 1000 kpJcm') y recin para elevados incrementos de carga aumen tan desproporclonadamente (duplicando la carga litil se llega de 3200 a 4000 kp/cml , ver diagra- ma cargastensiones). De ello se deduce que el dimensionamIento debe partir del estado previo a la rotura. 5.1.1.3. Rigidez y deformacin 8 la flexin La variacin de la deformacin en el centro del tramo, en funcin de la carga P, se ha representado en la Fig. 5.5 para la viga de ensayo de Flg.5.4. Para el estado 1, la deformacin se manliene reducida y se corresponde exactamente con el valor terico, calculado sobre la base de la rigidez a la flexin EJI, teniendo los valores Ideales de la seccin. En cuanto aparecen las primeras fisuras, las deformaciones por flexin crecen ms rpidamente. Para fisuras cerradas Flg. 5.5. Diagrama carga deformacin resultante de un en- sayo realizado con una viga simplemente apoyada, de seccin rectangular y ji" 1.0 'lo. Carga P [Mp] '.0 - ~I 3,0 iJ/ / "V I V I / 2p ,,O / I O O s /' ./ p p I I I f 10 15 [mm] 65 88. y repitiendo la carga ocurre una nueva relacin, casi lineal, que corresponde a una rigidez a la flexin EJII. En el estado lila viga se comporta tambin en forma algo elastica, y su deforma cin puede calcularse mediante la teorla de la elaSticidad, considerando ta seccin activa del estado 11 con E JII. La relacin de rigideces a la flexin correspondientes a los estados I y 11, depende fun damentalmente de la cuanUa de armadura ,I: cuanto mayor sea ,I, tanto mayor resultar la zona comprimida del hormign correspondiente al estado 11 y con ello tambin ser mayor E JII. La elastica de deformacin resultar ms aplanada cuando el acero comienza, a es- currir y/o el hormign se, deforma plsticamente. Esta fase plstica del comportamiento de la viga se denomina estado 111. 5.1 .2. Comportamiento para flexin pura 5.1.2.1. Capacidau de carga y capacidad til Para flexin pura (M = Cle., a = O), se originan lisuras de flexin cuya separacin do pende de la cuantla de armadura y delllpo de la misma (Flg. 5.6). Las lisuras se extienden en al tura hasta cerca del eje neutro (t = O). La posicin del mismo es tal que las fuerzas Interiores, correspondientes a la resultante tle traccin le que acta en las barras de acero y la resultante de compresin Db de la zona comprimida del hormign, resulten Iguales y cuya distancia z (bra- zo elstico Interno) sea tal que el momento de las fuerzas interiores MI = 0b ' z = Ze ' z resulte Igual al momento de las fuerzas exteriores Ma (condiciones de equivalencia). La "capacidad de carga" puede considerarse como agotada cuando, al aumentar la caro qa se alcance en el hormign la deformacin limite lb mx del 3 al 3.5 %o o en el acero la defor- macin limite te max =5 %O. La correspondiente carga se llama en este caso carga crItica. La carga ulll admIsIble es la carga cnllca alectada del coeliciente v de segundad. ('s deCIr. Pg + P = p p Pcrl! -,- Seccin en la lisura t t 'b G b lli=;=i::::=:)==.E=)e"e"~"oti !1I:1~ (5. 1) Reducido numero de lisuras grandes de lIexin para cuant!as de armadura relativamente pequenas o para pocas barras gruesas p p Seccin en la fisura ji ) : Eje 08""0 'b "'b k )lJJ::i1flS Numerosas fisuras finas para cuanUas relativamente grandes o barras delgadas bien distribuidas Flg. 5.6. Flsuracln y distribucin de daformaciones en vigas poco y muy armadas. Mientras la zona comprimida de la seccin sea lo suficientemente grande, la viga rompe recin cuando alcanza una carga aun mayor (carga de rotura). En este caso, el acero contina deformndose por encima del limite de escurrimiento fJs sin un apreciable aumento de tensin, el eje neutro se desplaza hacia arriba aumentando el brazo elstico l , hasta que la zona comp,- 66 J 89. mida se ha estrechado tanto que el hormign alcanza su deformacin de rotura y pierde, en consecuencia, su capacidad para absorber carga. En la flexin, la "capacidad de uso" de una viga queda asegurada cuando: a) la abertura de las fisuras no SObrepase determinados valores, fijados por el peligro de corrosin. b) la deformacin no sea tan grande, que pueda originar Inconvenientes, segn sea el destl no de la viga. 5.1.2.2. TIpos de rofura por flexin Para las cuantlas corrientes de armadura ~ = Fefbh la deformacin limite del acero (emax es alcanzada antes del colapso de la zona comprimida. El acero de la armadura longltu dinal es el primero en fallar. estamos ante una rotura por traccin por flexin, que se manifies ta por la aparicIn de fisuras y una gran deformacin. Cuando la armadura longitudinal es muy fuerte (vigas sobrearmadas) se alcanza primero (b mx, en consecuencia la zona comprimida de la seccin falla antes que la armadura longitudinal: existe entonces una rotura por compre sin por flexin que, en el caso de hormigones buenos de alta resistencia, puede producirse bruscamente, sin manifestaciones previas ostensibles. Sllas secciones estn muy dbilmente armadas, puede resultar que el esfuerzo de trae cin por flexin en el hormign Zb resulte ser mayor que el esfuerzo de traccin que puede ab- sorber la armadura Zeu = pz' Fe; en este caso, al producirse la primera fisura, la armadura p!Jede romper bruscamente Sin manifestaciones previas (61). Esta peligrosa forma de rotura de- be evitarse, para lo cual se especifica una cuantla mlnima de armadura ,.min. 5.1.3. Comportamiento para flexin y corte 51.3.1. Estado I Para vigas simplemente apoyadas solicitadas por carga uniforme, los momentos lIe)(o- res M(x) Ycon ellos tambin las tensiones de INrde 0x crecen desde los apoyos al centro del tra mo, y simultneamente acta un esfuerzo de corte a (x) =dMldx. Sobre la altura de la seccin rectangular o en el alma de una vigaplaca, existe en este caso un sistema de tensiones princi- pales de traccin y de compresin, Que a nivel del eje neutro (para el estado I baricntrico) lienen inclinaciones de 450 y 1350 respectivamente, respecto del eje de la viga (Fig. 5.7). De acuerdo con la teoria de la Resistencia de Materiales, las tensiones principales pueden des- componerse en las tensiones 0x. 0,/ YTX,/' de las que 0,/, que tiene importancia slo en la zona de aplicacin de las cargas, puede despreciarse (Fg. 5.8, ver tambin Cap. 8). El ingeniero debe tener una nocin precisa de QLIe la tensin de resbalamiento TX,/ no constituye una solicitacin Que acta asl =o asl U. sino que. lo mismo que las componentes de tensin Ox y 0y, constituye solamente un valor auxiliar de clculo, Que resulta de haber elegido el sistema de coordenadas x-y con el eje x paralelo al eje de la viga. En realidad, en la viga ac- tan nicamente las tensiones principales 01 y 011 de acuerdo con las Figs. 5.7 5.3 a. Sin em- bargo para el dimensionamiento en hormign armado se parte generalmente de 0x o T. Todo esto fue perfectamente aclarado en 1927 por E. MOrsch (62). El hecho quo para la tensin de resbalamiento T se trate de un valor auxiliar de clculo y no de una solicitacin real, resulta perfectamente claro cuando se calculan las tensiones en un elemento prismtico con solicitacin 8)(11, referido a un sistema de ejes coordenados x-y, inclinado de 450 y 1350 respec- to del eje de la pieza (Fig. 5.9). Para una columna donde 00 = 100 kplcm1, resultada T = 50 kplcm'. Esta columna no podrla ser construida de acuerdo a ningn Rewlamento; por cuanto, T supera considerablemente el valor admisible! En la realidad, es capaz de soportar cargas sin ninguna armadura de corte. 5.1.3.2. Estado /1 Cuando la tensin principal de traccin en el alma de una viga sobrepasa la resistencia a la traccin del hormign tJbZ, aparecen lisuras de corte (Fig. 5.10) normales a 01, es decir,en la direccin de las trayectorias de compresin. Las tensiones prlnclpales de compresin entre las 67 90. I I I I I I I III III III I I I I I I I I I I I I Direccin de 01 (tensiones de traccin) , I Direccin de 011 (tensiones de compresin) 1 I I 1, i1111+11111111111J1]JlllJD4 M I : I Q Flg. 5.7. Trayectorias de las tensiones principales en una viga homognea para carga uniforme (en el caso de hormign armado = estado 1). , , Tensin por lIexlOn Tensin de resbalamiento Tensin principal de traccin Tensin principal de compresin ngulo Ip entre el semieje + 11 Y 01 G)( t "w a-s tt.,.t,.' --J -b Ig ~ ...L G Flg. 5.8. Definicin y calculo de las tensiones para un estado plano de tensin. lisuras de corte, pueden continuar actuando prcticamente sin perturbaciones, siempre que los esfuerzos de traccin que aparecen en el hormign (como resultado de las 01) sean absorbi- dos por armaduras de corte, con lo que se impide que las lisuras de corte se continen abrien do. Para ello, lo mejor es disponer la armadura de corte en la direccin de las trayectorias de "1, es decir inclinadas de aproximadamente 45. Las fisuras de corte, para secciones rectangulares, se originan generalmente a partir de las fisuras de flexin, y su Inclinacin resulta influida por la redistribucin de esfuerzos en es 68 91. tas ltimas y en parte su inclinaci6n es menor de 450 Como consecuencia, los esfuerzos de traccl6n en el alma disminuyen. Fisuras puramente de corte, originadas en el alma de la viga, ocurren en vlgaslcon alas tracclonadas o en vigas de hormign pretensado (Fig. 5.11). En el es tado 11, para la zona de corte fisurada, la mejor forma de materializar la transmisin de esfuer zas es Imaginar una viga de reticulado (analogia de Morsch). las barras de la armadura de coro te conslltuyen las diagonales traccionadas, y los prismas de hormig6n entre las fisuras de coro te, las diagonales comprimidas de un reticulado de mallas estrechas. las diagonales trac cionadas con 450 de Inclinacin son las que mejor se corresponden con las tensiones principa les (Flg.5.12 al. Por razones practicas, se prefiere que la armadura de corte est constituida por estribos verticales. En este caso. el reticulado esta formado por montantes verticales trac cionados y diagonales comprimidas (Fig. 5.12 bl. la diferencia de los montantes traccionados con la direccl6n de al resulta ciertamente de 450 , lo que constituye un efecto desfavorable sobre el espesor de las fisuras de corte y la magnitud dE' esfuerzo en las diagonales comprimi das. En este caso, el esfuerzo en las diagonales comprimidas casi se duplica. los esfuerzos en los cordones en el caso de la analogia del reticulado se obtienen partiendo de la hiptesis de un reliculado Isostatlco simple en un corte vertical (ver Seco8.3): z o M ~ M Q (5. 2)-+ , D = - -,z 2 z p i'o. Flg. 7.23. Guia para el uso del diagrama de Flg. 7.22. SSI 1.2fSO h' fh , 0.1 s" ISO 250 350 "O Ps I f3 R 1,0,0 21, ,0 la,3 15,6 h F' EO,l,Sof.. ,~.--- ", ~ O.~- ,~ x' k. h O, h I -}---- '1" d " F. !,,---- Z.,.---, h ~ b -~ t(',S-Ofoo te (Ofo.] e, Zona no utilizable ,- --- , , , 110 t , 110' P:o ", M N 'le ".ssO m, b d 2 ~R 11,,0 "; MoN V' M' m' O d2 f3R M il, +. F, " ~S/PRbd fl~ F' - - - bd ~S' PR 5,0 TlT-----rrrr Trr n,-lrT---rr" l1r 'n---- ' ~ l ,15 k, 0,1, 2 L,O 3,0 2,0 ~ o' " .. 0,1 0,2 o~ o ' 0,3 o ;:;. +/-+,/ , O,L 0,5 0,6 o~ o' 0,7 0,8 1 0,9 1, O 1,1 1 1.15 0,1,38 0,1,61 0,500 o.S3a 0,583 187 - 0,6)6 1,93 0,700 1,98 0,118 2,01, 0,815 1,000 Fig, 7.24. Diagrama de Mrsch-Pucher para el dimensionado de secciones rectangulares con armadura comprimida para es/uerlOs csrsc/er/sOcos debidos a cargas de servicio M 'J N (eje neulro bajo) para aSI 42150 y h-/h -= 0,10_ 154. ponde prever armadura simple, Por esta razn sE!.. prescinde de la interpretacin del diagrama para dicha zona, SI el punto de interseccin de las curvas antes mencionadas queda ubicado por debajo dellfmlle del diagrama de Fig. 7.22, estamos ante un caso de pequena excentricidad con tensiones de compresin en toda la seccin (Estado 1). En la Flg. 7,25 se muestra a titulo de ejemplo un diagrama correspondiente a este mbito de deformaciones para ~ = h'lh = 0,1 YaSt 42/50. Se utiliza enJa misma forma que el de Flg. 7.22, la manera de evitar que resulte Fe > Fe debe Invertirse: slo son utilizables las soluciones correspondientes a rectas ubicadas por encima de las intersecciones de las curvas correspondientes a meu y meu. la Flg. 7.25 permite adems conocer que para las secciones que trabajan en Estado I re- sulta siempre conveniente adoptar armadura simtrica, que tambin conduce a un mlnimo del consumo total de acero, Para secciones con armadura simtrica son, sin embargo, ms aproo piados los diagramas de Flgs. 7.27 y 7.29, que se reproducen en las secciones siguientes. h rth+- , ,2 "" , h' k 1,33 l .2,00 eSI lo 2/50 h'/ h . O,1 -r - 2,O~El~ 3,S I.. M,U Dt'l,U m,u b d2 3 R '" r. M.U DbU m'eU bd 2PRd NU F, ~ b d ',2 PS'P. De2, ~'o- ( - 0~E2~-2 1.. " Ts'iifR bd b -- 3,0 ~ l l.o, r n , r;.tl' .0p.-. . ~ V .~~11/ V ki ~_9 i3' .'/'-.,wV ~ ~ V f-'- N~ - E o' o o g ~./- _.~-,,::,- 2,5 2,0 o 0,1 0,2 O) O,, 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 !lo'p.o c lave para la utilizacin E, "I..) , meU- I- -=='::-~ + -. .- I I 1zona no utilizable I Fg. 7.25. Diagrama segUn M6rSCh,PuCher para el dimensionado de secciones rectangulares con armadura comprimida para valores de rotura Mu Ij NU (el eje neulto no corta a la secclOn) para eSt 42150 Ij h'/h = 0,10, 132 155. 7.2.3.2. Diagramas de clculo para flexi6n con esfuerzo axil y armadura simtrica Como fuera demostrado mediante el diagrama de Fig. 7.25, para flexin con esfuerzo axil de compresl6n y pequena excentricidad (Estado 1) lo ms conveniente es la armadura si- mtrica Fe =Fe o Fe1 =Fe2. El diagrama que se muestra a continuacin en Fig. 7.27 permite un dimensionamiento rpido y exacto de las secciones rectangulares con armadura simtrica. Su deduccin se acla rar con la notacin de Flg. 7.26 para el estado de deformacin correspondiente al Estado 1. Se introduce la fuerza normal referida a la seccin de hormign bd (y no a bh como ocurre en la Ec. (7.42)): (7. 9l) En lo que sigue se utiUzarn las ya conocidas expresiones: h' 1 h' " d-h . ~d~ . h h --d 1 + I 1 + I F e2 F el ~S, "o ._- ."o ._- y "o "o JoSbd bd R El eje neutro, exterior a la seccin, dista del borde ms comprimido de la misma (las de formaciones en valor abSOluto): x d (7.92 donde se entiende por (1 la deformacin del hormign (acortamiento) correspondiente al borde ms solicitado; con (2 = (14 - 4q)13 segn Ec. (7.22) resulta: 3 10, controlar la deforma cin'lb de la losa comprimida como complemento de clculo, y en caso necesario, modificar convenientemente las dimensiones de la seccin. la forma de la seccin activa, es decir la zona comprimida de una vigaplaca en el Esta do 11, depende de la posicin del eje neutro. la altura x de la zona comprimida puede ser estl' mada odeterminada mediante tablas de clculo (por ejemplo la de Fig. 7.17) utilizando el coefi- ciente kx, que corresponda al respectivo ancho activo. De acuerdo con la posicin del eje neutro, cabe distinguir los siguientes casos: 1) El eje neutro cae dentro de la IOS8, es decir )( < d (Fig. 7.4 tI. la zona comprimida es rectangular y el dimensionado se efecta de Igual forma Que para una zona comprimida rectan- gular del hormign, segn Seco7.2. (Determinacin de kx mediante kh en la tabla de Fig. 7.17; por medio de ke puede calcularse de inmediato Fenec.) 2) El eje neutro corta el alma, es decir x > d (Fig. 7.42). la zona comprimida se extiende sobre una parte de la seccin en forma de T. Para el dimensionamiento pueden considerarse los siguientes procedimientos: a) Solucin exacta: la determinacin exacta del eje neutro y del punto de aplicacin de la re sullante de compresin requiere un considerable esfuerzo de clculo (ver Seco 7.3.3.2), pe- ro el procedimiento tiene validez general ,de modo Que en casos especiales es posible te ner en cuenta la armadura de compresin. b) Solucin aproximada para secciones compactas con blbo .. 5: el alma absorbe una parte considerable del esfuerzo de compresin en el hormign y el dimensionado se efecta utilizando un zona de compresin rectangular de un ancho substituto b (Sec.7.3.3.3). 145 168. i'-- - - , ," Fig. 7.41. Viga-placa con el eje neutro ubicado dentro de la losa (x < d, dimensionamiento como para el ca so de zona comprimida rectangular de ancho b). .,-- ,I D, L z. Fig 7,42. Vlga,placa en la Que el eje neutro corta al alma. e) Solucin aproximada para secciones esbeltas con blbo'" 5: ,a parte del esfuerzo de compresin que acta sobre el alma es reducida y simplificando puede despreciarse en comparacin con la que acta sobre la losa (ver Seco 7.3.3.4). 7.3.3.2. Dimensionado sin aproximaciones En las vigas-placa se alcanza generalmente, para el estado limite, el valor (e max = 5 o/co, pero no asl (bmax. De acuerdo con la lig. 7.43, en este caso, existe entre la de- formacin [b del hormign y la distancia x de la linea neutra al borde comprimido, la relacin (L sin signo '1 en IY...): , _ _ x_ fE : 5 _ x_ bh-xe h-x (7. 108) Estimando a priori el valor x, se calcula el valor de la deformacin [r en el borde inferior de la losa: (7.109) la intensidad de la resultante de compresin Db se determina como diferencia en las fuerzas Dbl que acta sobre la superficie F, = bx '1 Db2 que lo hace sobre F2 = (b bol (x dI, donde en cada caso debern calcularse los coeficientes de uniformidad "1 '1 "2 mediante la Ec. (7.14), correspondientes a las deformaciones de borde lb '1 (r o es decir: ' 46 169. (1 ~)lbqx R (7. 110) la distancia k.m,)! de la resultante de compresin al borde superior se obtiene de: k om x Dbl . kal . x - Db2 [ d + "a2 (x - d) ] Db b d [d d 1_-,I,--_kO",I,--_-",-,(,-I_--,~,-)_(:...lh--'.~c.),,;~+_k0"",-,(,--1_--';'-):2-.x b d '1 -', (1 - bO)(1 -;) (7. 11l) Para el brazo elstico entre la resultante de compresin Db y el esfuerzo de traccin le en la armadura resulta as!: z =h-k -x b am (7.112) Cuando se conoce la posicin e intensidad de la resultante de compresin en el hormi- gn Db. el dimensionado de las vigas-placa puede efectuarse mediante las reglas conocidas (ver Seco 7.2 l. la condicin de equilibrio I M = Ocon respeclo al punto de aplicacin de Zeu segn Ec. (7.25) con Meu segn la Ec. (7.6). constituye el control de que la ubicacin estimada para el eje neutro es correcta. Si la diferen- cia es grande (mas del 4 o/,), debe repetirse el clculo con una estimacin mejorada de lI. Una vez hallada la posicin de equilibrio, de la condicin I N = Ose tiene M eU - z- + N U b [tI+- L ---- b, / / / I Fig. 7.43. Determinacin de la resultante de compresin Db como diferencia de loSesfuerzos Dbl en la su perficie F, :: b)( 'J ~2 de ias superlicles F2 ::: (b - bo) (x - d). 147 170. y la seccin necesaria de armadura con 0eU = (JS (por ser te = 5 '00) z U Fenec =_e_ Ps La determinacin de la posicin correcta del eje neutro x puede obtenerse tambin me- diante el procedimiento grfico de E. M6rsch (ver Sec. 7.3.4.3). 7.3.3.3. Procedimiento aproximado para secciones compactas con blbo,. 5 La superfici en forma de T de la zona comprimida del hormign, solicitado por el es fuerzo de compresin Db se la transforma en un rectngulo, cuyo ancho bl se elige de forma tal que para la misma posicin del eje neutro conduzca a la misma resultante de compresin Db que en la seccin en forma de T (Fig. 7.44), es decir Db(v.placal = O b{reclngulo)' En este caso se prescinde del hecho Que la posicin de DbU no coincide totalmente con la real. Ello no inlluye en la seguridad porque el punto de aplicacin en el rectngulo de re emplazo queda por debajo del de la seccin real, con lo que resulta z algo menor y Fe algo ma yor. En la DIN 4224 existen tablas para la determinacin de bl, deducidas de las relaciones que se desarrollan a continuacin. Debe tenerse: de donde con Ql - QI como coeficientes de uniformidad de la seccin rectangular: x f a (y). b (y) . dy " 0.. b. x ~ 0 . 11 R de donde se deduce, con Db de la Ec. (7.110) el ancho b: con el 1 - 0. 2 ( 1 -.;;-) ( 1 - ~) b ). . b 01 - o. 2 ,. o 1 ( ho)( d) d '1 -b 1 - ; z 1 _ 0.2 (1 _ bO'(l _ h ) 0. 1 0. 1 b ) kx (7.113) (7. 114) En la tabla de Fig. 7.45 figuran los valores de Aen funcin de d/h, b/bo Ykx. Para que la tabla resulte de uso sencillo y evitar en lo posible muchas interpolaciones, se han disminuido los valores de l, desde el punto de vista de la seguridad. Para kx ante todo y por precaucin, de be tomarse un valor mayor (obsrvese que para (e = 5 %G Y lb mx '= 3.5 %G se tiene kx =0,412). Con el ancho Ideal b =A b es posible realizar el clculo como para una seccin con zo- na comprimida rectangular. Si en este caso kx resulta mayor que el supuesto para la determina cin de Ay b, entonces debe calcularse nuevamente para el mayor valor de kx! La labia vale hasta k)( = 0,54 (correspondiente a k';). es decir para la totalidad del mbi to de las deformaciones hasla que sea necesaria una armadura de compresin. 7.3.3.4. Procedimiento aproximado para vigas'placa con alma delgada (blbo O). 5) En esta aproximacin se desprecian las tensiones de compresin en el alma, y el punto 148 171. b in " , Db T dIT JI h Obi Fig. 7.44. Transformacin de la zona comprimida en forma de T en un reclngulo, con un ancho Ideal b, pa- ra Iguales esfuerzos de compresin Db = ~ para vlgas,placas de seccin compacta, (blbo " 5). de aplicacin de la resultante de compresin puede suponerse con suficiente aproximacin ubicada a df2 del borde superior (Fig. 7.46). El brazo elstico de las fuerzas inlernas, admitiendo la simplificacin es d z = h - 2' (7. 115) 'i de I M = Ocon respecto al punto de aplicacin de Zeu. resulla ObU = MeUIz, donde MeU se determina mediante la Ec. (7.6) y utilizando la condicin IN = O, se obtiene la seccin necesa rla de acero. Fe nec (7,116) Una vez determinada la armadura debe controlarse que no se SObrepase la resistenCIa de la zona comprimida del hormign. Para ello se verifica que la lensin media 0bm en la losa no sobrepase el valor caraclerlslico PR. Con DbU = MeU/z se obllene: D bU M eU a - - o ---'"'-7db,m b d bd(h-2') (7. 117) Esta estimacin de 0bm slo es aceptable cuando la parte lineal del diagrama tensin- deformacin cubre totalmente el espesor d de la losa, es decir, cuando la deformacin en el borde inlerior de la losa 'es (r'" 2 'Y.... Si esto no se cumple. es decir Sllr< 2 Ofo:, (a la parte infe- rior de la losa le corresponde la zona parablica del diagrama eN del hormign). las diferencias resultan sin embargo muy reducidas y se equilibran al adoptar un brazo elstico Interno desfa vorable. Si de la Ec. (7.117) se obtienen valores 0bm >PR debe aumentarse ya sea el espesor de la losa o la altura h de la viga-placa. los procedimientos aprO)limados e)lplicados parten de suponer la falla del acero (es de cir le>'eS> y en consecuencia conducen a resultados admisibles solamente en el caso de fle- )lin simple sin esfuerzo a)(il o con esfuerzo axil de traccin y especialmente para vigas-placa con dlh -"'l'-t.:~ ~-COI al 1="T 11-col a ) ~!Z"O" --- _ ___~z.'2'" '-COI a :::......_~ . Retlculado cru~ado l Retlculado doble Rellculado simple 1, J Esfuerzos en el cordn comprimido O Esfuerzos en el cordn tracclonado Z Fi.9. 8.6. Calculo y distribucin de los esfuerzos en los cordones y barras de alma de un retlculado ideal se- gun Mrsch con barras de alma tracclonadas Inclinadas de un angula cualQuiera a. 179 202. Se tiene as! 6M """Q y con AM =AZ . Zy AZ segUn Ec. (8.18) se obtiene el valor del desplazamiento horizontal,deno- minado medida v del desplazamiento y cuya expresin es: . 6 zV" xz-(l_cota.) 2 (8.20) En el primitivo mtodo de clculo de Morsch,no se tenia en cuenta dicho desplazamien to del diagrama de esfuerzos de traccin. 8.3.2.2. Reticu/ados clsfcos con barras de alma fraccionadas, inclinadas de 45 90 De las ecuaciones generales de la seccin anterior, pueden deducirse las siguientes re laclones para los reticulados ms comunes con (J = 45 90 . Retlculados con barras fraccionadas a 45 (Barras levantadas o estribos Inclinados) Alma: Z' Q ;V; (8. 21a) Q e ae,. z F f2 e,' (8. 22a) , 9D z (8. 23a) ab ,45 " ..9...- b z o (8. 24a) Cordones: ------ (8. 25a) Z D M z (8. 26a) v O (8. 27a} Retlculados con barras fraccionadas a 90 (Estribos verticales) , ZB .. ~ z (8. 21b) .~ e B ae,Bil z F e, B (8. 22b) D' 2 Q z (8. 23b) a b ,45 " 2 -'L b z o (8. 24b) Z M Q -+ .,Z (8. 25b) D M Q - - .,z (8. 2Gb) v 0,5 z (8. 27b) SI se comparan los esfuerzos en ambos reliculados, resulta que el retlculado con dlago nales a 45 se comporta en forma ms favorable,pofQue en este caso la direccin de la armadu ra de corte coincide a nivel del eje baricnlrico, con la de las tensiones principales de traccin para el Estado I (ver trayectorias de las tensiones principales de Fig. 5.7). En los reuculados con estribos verticales, la diferencia con la direccin de las tensiones principales de traccin, origina que las tensiones en el hormign de las barras ideales comprimidas se dupliquen, y que los esfuerzos de traccin en los cordones aumenten de AZ =0 12. 8.3.2.3. Inffuencla del nivel de aplicacin de fas cargas sobre los esfuerzos en un reticulado Al comienzo de la Seco 8.3.2.1 se estableci Que, para reticulados sometidos a cargas uniformes, stas se deben suponer siempre como si actuaran por mitades en los cordones su 180 203. a) Carga aplicada arriba U I 1] 1 LlUIU I I I I I I I I I I I I 1 p o I I I I l LU '-LO U IlLI I r 1t b) Carga colgada de abajo el Garga p/2 arriba y abaJo --~ ---- (carga al [carga b] [carga el ---- ~ 1, J 11 p Esfuerzos relativos de Itraccin en el alma le I I !Esfuerzos de traccin Ien el c~d6n / " ,--, ' , . DlagramaMlz l Aetlculadoslmplel 7..:a......-~~__ I Retlculado doble F~~~;"";.~~;;_;;=...,--,___~I Z~M.Q z 2 Retlculado mulUple cruzado Flg. 8.7. Distribucin de los esluerzos relativos de traccin en el alma '1 de traccin en el cordn para dis- tintas formas de aplicacin de las cargas, para un retlculado con estribos verticales y carga uniforme. perlor e Inferior, con el objeto de poder establecer las ecuaciones correspondientes a los es- fuerzos en el reticulado. SI se determinan los esfuerzos en el alma teriendo en cuenta el nivel de aplicacin de las cargas, se llega por ejemplo para un retlculado con estribos verticales a lo siguiente: Para una carga p actuando superiormente (caso a de Fig. 8.7) los esfuerzos relativos de traccin en el alma disminuyen en p12. Para una carga p suspendida de la parte inferior (caso b de Fig. 8.7) los esfuerzos relati vos de traccin en el alma Z'B aumentan de p/2. En la Flg. 8.7 aparecen los esfuerzos relativos de traccin en el alma, as! como tambin su distribucin a lo largo de la viga. En comparaCin con una viga cargada superiormente, los estribos, en el caso de una viga con carga inferior soportan una carga Al = P veces mayor. El nivel de aplicacin de la carga no influye en la magnitud de los esfuerzos en los cordones ni en los de compresin en el alma. 181 204. 8.3.3. Vafor numerico de fa tensiOn de resbalamiento TO en el alma psrs el Estado 11 Como valor numrico de la tensin de resbalamiento en el alma de una viga de hormign armado fisurada se dellne: (8.28) Este valor puede admitirse como el valor del esfuerzo de resbalamiento a nIvel del eje neutro de una seccin en el Estado 11, porque el brazo elstico Interno z corresponde al coelen te JfS para el eje barlcntrico o,en su caso,para el eje neutro de la seccin fisurada; ver a este respecto Ec. (8.3) y (8.7). Para las verificaciones de tensiones, en la prctica son suficientes va lores aproximados del brazo elstico z, por ejemplo ver Seco 7.2.2.7 y 7.3.3.4. El valor numrico de la tensin de resbalamiento, asl como tambin la solicitacin de las diagonales ideales comprimidas del hormign resultan mximas, donde el ancho bo del ai ma entre el eje neutro y la armadura del cordn tracclonado es mlnlmo. Con el objeto de evitar para secciones circulares y anulares clculos complejos para la determinacin de z, se Indican a continuacin las siguientes expresiones aproximadas: - Circulo: Seccin anular: T T T ~ o ~ o -o Q 0.402' r Q 0,36 2r 0,64 Q 2 r - para r " 0,85 r e 0,95 rpara r e 2 r, 8.4. Capacidad portante al corte del alma de las vigas 8.4.1 . 'TIpos de rotura por corte (8.29) (B.30) Cuando en el alma de una viga las tensiones principales Inclinadas de traccin alcan- zan el valor de la resistencia a la traccin del hormign, se originan en direccin normal a las de 01 fisuras de corte, que dan lugar a la transferencia de los esfuerzos actuantes en el alma para el estado 1, a la armadura de corte y a las diagonales ideales de hormign. Esta transferen cia de esfuerzos internos depende considerablemente de la seccin y direccin de la armadura de corte y,an consecuencia,son posibles distintas formas de rotura por corte. 8.4.1.1. Rotura al corte por flexiOn En la zona de esfuerzos de corte, al aumentar la carga se desarrollan fisuras de corte a partir de las fisuras de flexin, y cuya curvatura coincide sensiblemente con las trayectorias de las tensiones principales de compresin. Las fisuras de corte cercanas a los apoyos cambian rpidamente su direccin muy aplanada Inclinndose hacia arriba y reducen la zona comprimi- da en una medida tal, que hace que la misma rompa bruscamente por estallido. Este tipo de ro tura tambin ocurre cuando no existe armadura de corte, ver Fig. 8.8. El puntal Inclinado Os em puja, como consecuencia general, a la armadura longitudinal hacia abajo y la separa del resto de la viga, lo que origina fisuras a lo largo de la armadura. En este caso se habla de una " rotura de corte por flexin" (dIagonal tanslon 'ai/ura). Una cuantla moderada de armadura de carIe es suficiente para impedir una rotura de este tipo (ver armadura mlnima de corte en Sec. 8.5.3.4 y 8.5.4.3). 1B2 205. " -I -" ..:.. '.~ -....... Fg. 8.8. Rotura de corte por lIexln en una viga reclangular y una losa sin armaduras de corte. 8.4.1.2. Rotura de corte por 'raccin a) Rotura de corte por traccin para espesores normales del alma. Como consecuencia de las fisuras de flexin se originan numerosas fisuras de corte, de modo que se origina el efecto de reticulado que muestran las figuras 5.12 y 8.5. SI, al aumentar la carga, se supe- ra el limite de escurrimiento de la armadura de corte ubicada en el alma, como conse- cuencia se abren las fisuras de corte y se prolongan hacia el cordn comprimido. Enton- ces, o los estribos se arrancan o la zona comprimida por lIexl6n rompe en forma semejan- te al caso de rotura de corte por flexl6n; puede, sin embargo, tambin ocurrir Que las diagonales ficticias comprimidas fallen por solicitaciones adicionales a la flexin (Flg. 5.10). El origen de la rotura reside en que la armadura del alma alcanz el limite de escurri- miento del acero (web reln'orcement 'allure). b) Rotura de corte por tracci6n en vigas con alma muy delgada. En secciones I con almas delgadas, en las zonas de momentos reducidos y grandes esfuerzos de corte (cercanlas de un apoyo extremo) se originan las fisuras de corte en el alma, cuando en dichos luga- res 01 > fJbZ (es decir, sin partir de una fisura de flexIn, ver Fg. 5.11). Si, en estos casos, la armadura del alma es muy dbil, la fisura se extiende hacia abajo en todo el espesor y la viga falla (Fig 8.9). Este tipo de rotura debe tenerse muy especialmente en cuenta en vi gas de horm,gn pretensado. 8.4.1.3. Rotura de las diagonales Ideales comprimidas En el caso de secciones! con alas muy gruesas, almas muy delgadas y armadura de las mismas muy robustas se presentan numerosas fisuras de corte inClinadas a 45D las zonas comprimidas del hormign entre fisuras fallan bruscamente, por estallido, cuando su solicita cin alcallza la resistencia a la compresin del hormign anles que la armadura del alma lle- gue al limite de escurrimiento (Figs. 8.10 y 8.11). Este tipo de rotura (web compression 'si/ure, web crushlng 'ailure) determina el limite superior de la capacidad portante al corte del alma de las vigas, la que, en consecuencia, depende de la resistencia del hormign a la compresin. la magnitud del esfuerzo de compresin en las diagonales Ideales comprimidas resulta Influida, en primer trmino, por la inclinacin de la armadura de corte (ver analogla del reticulado). 804.1.4. Rotura en el anclaje En losas, vigas rectangulares y vigasIo T con almas de gran espesor, la armadura longi tudinal, por el efecto de arco, resulta muy solicitada hasta los apoyos (ver Flg. 5.15), de modo 183 206. que para un anclaje deficiente, ceden las uniones entre las diagonales Ideales comprimidas y el cordn tracclonado en las cercanras del apoyo (Flg. 8.12). Cuando existen ganchos, el hor- mign del alma puede astillarse (rotura por astllladura). La rotura en el anclaje (anchorage !ailute) se produce bruscamente. El cedlmlento del anclaje por deslizamiento de la armadura puede tener como consecuencia una rotura por corte en el alma; estrictamente hablando, este ltimo tipo de rotura no es en realidad,una rotura por corte porque no son los elementos resiso tentes del alma los que ceden, sino que es el anclaje del cordn tracclonado el que lo hace en la zona cercana a los apoyos. 8.4.2. Factores que Influyen en fa capacidad portante al corte 8.4.2.1. Enumeracin de 18S Influencias En la Seco 5.3.1.2 se aclar en forma sucinta el comportamiento bajo carga de una viga en la zona de corte. Result claro que muchos par.metros (aproximadamente veinte) Influlan en la capacidad portante al corte; son los siguientes: 1. Tipo de carga: carga concentrada P, carga uniforme p o q 2. Ubicacin de la carga y esbeltez de la viga: distancia relativa alh de una carga concentrada P al apoyo o valores relativos entre mo- mentos y esfuerzos de corte MIOh esbeltez de la viga l/h en el caso de carga uniforme 3. Posicin y forma de aplicacin de la carga: directa o indirecta cargas suspendidas inferiormente 4. Armadura longitudinal: cuantla de armadura I'L, en especial a )( ::::.3 d del apoyo calidad del acero y en consecuencia deformacin de la armadura de traccin grado de adherencia, influida por la distribucin de la armadura de traccin anclaje escalonado de la armadura de traccin 5. Armadura de corte en el alma: cuantla de armadura JoIS calidad del acero grado de adherencia anclaje en ambos cordones separacin de barras tipo (estribos verticales, estribos inclinados, barras longitudinales levantadas, combina cln de estas ltimas con estribos) 6. Calidad del hormign 7. Granulometrla del hormign: el tamano mximo del agregado grueso influye sobre la trabazn interna del hormign (agrega te interlock) 8. Forma de la seccin: por ejemplo, relacin blbo en vigasplaca 9. Altura absoluta de la seccin: las leyes de similitud mec.nica no tienen validez general 10. Configuracin de la estructura: vigas simples o continuas 184 207. Fisuras de corte -r/~..- Estribos r/ '" [j V C> V I ~isurasJd p ) e flexin Estribos estirados o fracturado$. Flg. 8.9. Rotura a traccin por corte, en una viga con alma de poco espesor y dbil armadura de corte: Fig. 8.10. Rotura por compresin de las diagonales ideales en el caso de una armadura del alma muy fuerte (Ialla brusca del hormign del alma por tensiones oblicuas de compresin). Fig. 8. t 1. Rotura por compresin del alma en una seccin lcon luerte armadura de corte constituida por estribos a 45 Iflp = 225 kplcml , TOU = 159 kp/cml al alcanzarse la carga de rotura). Ensayos de Stuttgart [8~ . 185 208. I I I I I I I I I I I I I I 1 I I I I I I I I I I ~ I I ,1 I I~- ... ~-~- ~-~-'-F-- --T-.... -t--.-1'"- -.-T-t-- --... -.,-- Flg. 8.12. Roturas en los anclajes (segn E. MOrsch (11). En los capltulos siguientes se analizarn las Influencias mas Importantes sobre la base de resultados experimentales que, en su mayarla, se obtuvieron en los resultados de ensayos de corte realizados en Stuttgart entre los arios 1960 y 1966 (Informes relativos a ensayos: [64, 85, 86. 87, 88] Yresumenes [63, 89)). 8.4.2.2. Posfcin y tipo de carga La Influencia del tipo de carga es significativa: para carga uniformemente repartida (car- gas que actan directamente aplicadas en la parte superior) los ensayos muestran para vigas esbeltas, sin armadura de corte, una capacidad portante al corte entre el 20 'le. Yel 30 % supe- rior a la del caso de cargas conceniradas ubicadas en la posicin ms desfavorable (Flg. 8.13). Teniendo en cuenta que en la realidad no puede garantlrse una reparticin uniforme de las caro gas, al establecer las normas de clculo deben considerarse tos resultados ms desfavorables correspondientes a cargas concentradas. En el caso de cargas concentradas la distancia de las mismas al apoyo Influye conside- rablemente, en cambio para cargas uniformes es determinante la esbeltez lIh (Flgs. 8.14 Y8.15). Como posicin ms peligrosa para una rotura por corte, con o sin armadura de corte, pa- ra el caso de una carga concentrada, resulta ser una distancia a :::: 2,5 h a 3,5 h, a lo que corres ponde una relacin momento-esfuerzo de corte MIQh = alh :::: 2,5 a 3,5. Para el caso de cargas uniformes, esbelteces lIh = 10 a 14 corresponden al mximo peligro de rotur&por corte, es de cir, a la mlnlma capacidad portante al corte. la capacidad portante al corte crece considerablemente, en el caso de cargas cercanas. a los apoyos, al disminuir la relacin a/h < 2,5; para cargas uniformes ocurre un incre mento similar cuando se tiene llh < 10. Esto responde a que el efecto de estallido resulta ms favorecido, cuanto mayor sea la pendiente de las diagonales Ideales comprimidas, suponiendo naturalmente un buen anclaje de las barras longitudinales !racclonadas (Fig. 5.13). Al dimen sionar la armadura de corte, conviene tener en cuenta este efecto favorable en la capacidad portante al corte. SI en un dlagr~ma se representan los momentos de rotura de vigas de hOmign armado similares sin armadura de corte, con respecto a las relaciones entre momentos y corte, puede observarse una disminucin, que comienza para aJh = 1, alcanza su mlnlmo para a/h ::: 3 y luego comienza a crecer hasta que para a/h =7 alcanza el valor del momento de rotura por fle- xin terico. G. Kanl denomin a dicha depresin "Valle de corte" 190, 91). Flg. 8.15. El ancho y la profundidad de dicho valle dependen de la rigidez de la armadura longitudinal tracclonada, es 186 209. 'Col) [kp/cm2 ] 100 , OV t .0 40 '0 O carg1as con~entra~as ./Car~a unlf~rme JI;:..., ~ .... p p l , l, , OOUOp 1 1=$2S 2S l ' l~ ~ IIh Esbeltez (para carga uniforme) O 4 B 12 16 20 24 2B ,11---+1--"--"--"--"--1'--11 a/h Aelacin MomentoCorte 0 1 2 3 4 5 6 7 Q.h = + (pA.ra cargas concentradas) Flg. 8.13. Capacidad portante al corte de vigas sin armadura de corte para cargas uniformes y concentra das en funcin de JIh y respectivamente de a/h. M SU [Mpm} 12 Momento rotura por fleK. calculado _ Me =tl,1M;;; 10 & , .;; O O - h r - - , -,-VV 1 /'VMomento MSU .... , 3 4 5 7 h p p 1 l , l, , Relacin momento-corte " ..- Q h h para I'L = 1,88 % j Flg. 8.14. Influencia de la posicin de la carga sobre la capacidad portante al corte en vigas sin armadura de corte!J,lL = 1,88 %l. Flg. 8.15. Influencia de la posicin de la carga aIh y de la cuanlla de armadura longitudinal sobre la re- lacin entre el momento de la rotura por corte y el momento de rot ura por flexin, en vigas Sin arma dura por corte ("$chubtal" segiXI G. Kani(90D. '0 O.iit::Vh, 4 - 1,88 ~ 2,8~L ['/.) 187 210. decir de la cuantla de armadura longitudinal f.ll y del grado de adherencia (ver Seco8.4.2.4). Al disminuir f.ll, el momento de rotura por flexin decrece ms rpidamente que el momento que produce la rotura por corte, de modo que eluvalle", para cuantlas reducidas, es menos profun- do que para cuantfas f./L grandes. La misin de la armadura de corte es equilibrar la falta de ca- pacidad portante al corte, puesta de manifiesto por la existencia del "valle", de modo que siempre se alcance la capacidad portante a la flexin. En el caso de cargas con M/Oh = alh >1 o cargas uniformes para esbelteces IIh > 24, aun sin armadura de corte, no existe peligro de rotura por corte. Considerando que en la zona a d es suficiente, en cada zona de borde, disponer la armadura mlnima referida en cada una de ellas a un ancho br = h12. 8.5.3.5. Reduccin adicional de la armadura de corte necesaria en el caso de cargas cercanas a los apoyos o vigas carlas Sobre la base del efecto portante favorable de voladizo, mostrado en Sec. 8.4.2.2 para dichas zonas, se permite que, para las cargas vecinas a los apoyos que disten menos de 2 h. la parte que Influye del esfuerzo de corte Qp se reduzca aplicando el factor Para vigas cortas de esbeltez lIh " 8, en el caso de cargas uniformemente distribuidas puede utilizarse como factor de reduccin del esfuerzo de corte " .-.,... 8 h - 201 224. El factor J( se ha representado en Fig. 8.29 en funcin de a/h y de l/h. Al calcular la armadura de corte de este tipo de vigas, se determina el valor caracterlsti co de la tensin de corte TO para un esfuerzo de corte reducido a red, es decir TO = a red/bol, tenindose para vigas con llh >8 y carga concentrada a una distancia alh < 2 Y sobrecarga distri buida p: Q red Q + K Qp g+ P para vigas con lIh T03 T T o 205 228. En el caso de flexin y traccin y eje neulro que no corta a la viga, no se admiten valores TO >T02' Ten - limites para TO (kp/cm'l Ele sl6n de Verlflcacl6n Coberturameno Zona ""rt. por calidades de hormlg6n Bn de la cobertu Observa al corte10 ra al corte clones , 15. 25. 35. 45. 55. o 2,5 3,5 4 5 5,5 F. Interrumpida 1 no nacesa- ninguna,011 ,la 5,. , 7 8 Losas 3,5 F. continua 2 12 18 24 27 3. necesaria cobertura reducl,02 .a 1 , 5 7,5 l. 11 12,5 no necesa armadura al cor- tambl'n 012 "a te mln. en 10S8$ Vigas 2 , 12 18 24 27 ,. necesaria cobertura reducl- 02 .a , '03 2. 3. 4. 45 5. necesaria cobertura lolal 5610 para do ;.. 45 cm empleando acero nervurado Flg. 8.31. Limites de los valores caracterlstlcos de ta tensin de corte TO par. cargas de servIcIo segn DIN 1045. 8.8. Dlmenllonado al corte en calOI especiales 8.6.1. Armaduras de unin de cordones En vigas-placa o vigas'caJn, las losas, que actan como cordones comprimidos o trac clonados.deben vincularse al alma en forma resistente al corte. En la Sec. 7.3.1 se aclar la colaboracin de la losa como elemento comprlmfdo de una viga-placa. Con relacin a la distribucin de las trayectorias de las tensiones principales que muestra la Flg. 7.31, se origina, para el estado 11, es decir cuando 01 alcanza la resistencia ala Iraccin del hormign. un slslema de diagonales comprimidas (entre fisuras) y de !racclonadas correspondientes stas a armadura de vinculacin. Como base de calculo, sirve, anlogamente que para el caso de las vigas.un modelo constituido por un reticulado simple; la Fig. 8.32 muestra un ejemplo donde,en lo que respecta a la separacin ea de las barras tracclonadas de la armadura de vinculacin, el esfuerzo de compresin 01 en la losa es absorbido por tres barras ideales. Dichas tres barras en la losa comprimida, absorben cada una de ellas 01/3,para lo cual, de acuerdo con la Seco 7.3(Flg. 7.34), se admite que la tensin o. es constante sobre todo el ancho acUvo. La direccin de los elo- mentos comprimidos oblicuos se corresponde con la de las trayectorias de compresin en la losa y se supone que las cercanlas de los apoyos es de 45; las mismas se aplanan al crecer M y disminuir Q. La direccin de las barras traccionadas de la armadura de vinculacin debe, normal mente, ser perpendicular al eje x. Sobre la longitud dx, la parte dO. correspondiente a la losa de la diferencia de las resul- tantes de compresin dD =dMfz debe transferirse a ambos lados del alma (Flg. 8.32 a). 206 229. Despreciando las tensiones de compresin en el alma, el factor de transferencia" para el caso de simetrla vale d b mI b d a y con .60 = .6Mlz y.6MI.6x a se tiene d (b - b ) a o 2 b da 6x Q, b - b o 2b (8.50) (8. 51) Del pollgono de fuerzas correspondiente a un nudo se obtiene el esfuerzo de traccin Za = .6D}13 Ycon la Ec. (8.51) el esfuerzo de traccin correspondiente a la armadura de vincula- cin referida a la unidad de longitud .6x13 z' b - b o 2 b _ (8. 52) , Si la armadura de vinculacin tiene una separacin ea y una seccin efectiva Fe, a. re- sulta entonces con fea = Fealea una tensin en el acero o e,a z'a -f- e,a Q z f e,a b - b o 2 b (8.53) La armadura de vinculacin necesaria debe determinarse para una tensin en el acero 0e. a = f1s y una carga de servicio afectada d~ " =1,75 (agotamiento del acero) y resulta ser fe,a nec. b - b o 2 b v Q z ~S (8. 54) Partiendo del valor caracterlstico establecido en 8.3.3 para la tensin de corte en el al- ma TO = Olboz, puede deducirse un valor caracterlstico Ta para la tensin de corte en la unin: b (b - b ) o oT a 2 b d a y por analogla con la Ec. (8.39) se tiene en consecuencia fe,a nec. F =~ e a T. d o e (8.55) (8. 56) Este valor Ta es mayor que TO para da < bo (b'bo) f2b lo que ocurre muy a menudo para las grandes losas comprimidas en puentes. Cuando se trafa de la vinculacin de un cordn traccionado fuera del alma (Fig. 8.33) el esfuerzo .6Z1 en cada lado, la correspondiente armadura del cordn Fe,l, debe unirse en el alma a las diagonales ideales comprimidas a 45. Para igual tensin en la totalidad de las barras de 207 230. -+ I I I I f, 0,,---> Fm : bm d m 20m dm tmln bmtl dm t2 dm ' l] -,.. "rd - 5,32 dT 0,113 d' -t- .j - S,'I :~ 0,130 d' Flg. 9.6. Tensin de torsin TT mb y momento de inercia polar para algunas secciones homogneas segn la leerla de la elasticidad. 21. 242. En secciones huecas, cuyo espesor de paredes es pequetlo en relacin con las restan- tes dimensiones de la seccin, la burbuja debe extenderse de la linea media de la seccin ha- cia todo el espacio vaclo. La analogla de la membrana de Prandtl es especialmente til en sec- ciones Irregulares para ubicar rpidamente los puntos de mxima tensin de torsin. Asl como en la teorla de la elasticidad la analogia de la membrana sirve para visualizar las tensiones de torsin, lo mismo ocurre en la teorla de la plasticidad con la analogIa del mon- tlculo de arena de A. Nada/. Una seccin totalmente plastificada posee tensiones de torsin constanles, asl como el correspondiente montlculo de arena tiene el mismo talud en todos los bordes (Fig. 9.8). El volumen del montlculo de arena es proporcional al momento de plastifica cin total Mr. u. Para secciones constituidas por rectngulos es poslDle, aproximadamente, sumar los JT de cada uno de ellos y distribuir el momento torsor MT en proporcin a los JT individuales (Flg. 9.9). Se supone con ello que cada rectngulo parcial gira en torno a su propio centro de corte; en realidad existe un nico eje total de torsin que pasa por el centro de corte de la sec- cin total. En realidad el clculo de los JT deberla efectuarse en relacin al centro de corte M. Pero como en el clculo slo aparecen las relaciones relativas de los JT, en general el error co- metido es mlnlmo. Para secciones cualesquiera irregulares, secciones substitutas constltuidas por elipses o circulas Inscriptos, conducen a valores utilizables de Tf y JT (Fig. 9.10). En secciones huecas se utiliza la frmula de Bredt (ver Flg. 9.6). 2. F t (9.3) m 9_2.2. Observaciones acerca de la torsin con alabeo restringido de la seccin Aparte de las rotaciones de la torsin segn Salnt Venant, las deformaciones w de las fibras de la direccin del eje de la barra se denominan alabeos. La Fig. 9.11 muestra el alabeo de una barra de seccin rectangular, que se ha hecho visible mediante una cuadricula dibujada en las caras laterales 1105]. En este caso, el plano de la seccin se transforma en una superficie curva espacial, de- pendiendo la magnitud del alabeo de la forma de la seccin_ En la Fig. 9.12, para algunas sec- ciones se han representado las lineas de nivel de las superficies alabeadas. Tangente Corte a-a horizontal tangente G' TT = O tangente ~ TT max Presin Interior Flg. 9.7. Analogla de la membrana de L. Prandtl para rgimen elastleo. 220 Membrana 243. )..- :,...;// - Flg. 9.8. Analogla del monUculo de arena segn A. Nadar para rgimen plstlco. para la parta n se tiene: l:J. MT,n J T. n ", JT,n "t l, n 36M T,n b , o do Fig. 9.9". Descomposicin en rae,ngulos de un perfil compuesto. Flg. 9,1,. Barra prismtica solicitada por torsin (segun Tlmoshenko [105)), Fig.9.10. Secciones substitutas para el clculo de secciones Irregulares. 221 244. '-...... cuadrado rectngulo bid > 1,45 Flg. 9.12. Alabeo de algunas secciones segn E. Chwalla [103]. " anillo I M circulo " " I " I " I I s " s ,. l- ~ '- ,- ,-/ t- , M tringulo equllatero ~ S I Secciones constituidas por la Jas angostas cuyas lineas me dias se corlan en un punto. ,, V --. I ----- ~ -1 " , b " ~. Flg. 9.13. Ejemplos de secciones sin alabeo (ver otras en [103]). 222 , Secciones huecas para deter minadas condiciones geo- mtricas 245. En algunos casos especiales de secciones, el alabeo es w = O, denominndose stas "secelones sin alabeo" (ejemplos en Flg. 9.13). Cuando en secciones que se alabean, el alabeo se impide, por ejemplo mediante un blo que macizo en el extremo de la barra; como consecuencia se originan tensiones longitudinales de traccin y compresin 0x, que hacen que la torsin de la seccin y con ello las tensiones tan genclales TT, disminuyan. La dislribucin de las tensiones longitudinales por alabeo varia a lo largo de la longitud de la barra. En los lugares donde se produce el impedimento del alabeo, aparecen las ten slones mximas, y a partir de ahl disminuyen mas o menos rpidamente segn sea la rigidez a la torsin y la esbeltez de la barra. En la mayor parte de los casos, la zona perturbada es menor que la "zona de perturbacin de Salnt Venan!", con x" d. En Fig. 9.14 se ha representado la distribucin de las tensiones longitudinales por alabeo para una vIga de seccin rectangular. La restriccin del alabeo aparece, entre otras causas, en los apoyos Intermedios de vIgas con tinuas, en el punto de aplicacin de un momento torsor y en los empotramientos extremos. El clculo de la magnitud y dIstribucin de las tensiones longitudinales por alabeo, se efecta normalmente en base a la taorla matematica de la elasllcldad, pero en hormign arma do estos mtodos slo son vlidos para aquellas zonas de las vIgas que se encuentran en esta do l. Para vigas en estado 11 no se han propuesto an mtodos satisfactorios de clculo. En vi gas con rigidez a la torsin, las tensiones debidas al Impedimento del alabeo originan fisuras en el hormign, y se reducen allrabajar sle en estado 11, por lo cual en lo que respecta a la se- guridad juegan un papel secundario. Se recomienda armar las zonas perturbadas, como en el caso de tensiones inducidas, con el objeto de prever una reduccin del ancho de las fisuras (ver tambin [l06D. 9.3. E,fuarzos y tanslonas en elementos estructurales de hormign armado debidos a torsin pur. (Est.do 11) 9.3.1 . Ana/ogfa del ret/culado en torsin pura Ensayos realizados en Slullgart 1107) y Zurich (65) demostraron que, luego de aparecer las fisuras en espiral a 1350 originadas por la torsin (Fig. 5.1n, con la armadura usual, cerca de la superficie de la seccin total continuaba colaborando una delgada lmina de hormign. Ello fue comprobado, entre airas hechos, por la circunstancia que la barra de seccin cuadra da llena, trabajando en estado 11 conduce al mismo diagrama de deformacin y a las mismas tensiones en el acero que la seccin hueca (suponiendo Iguales armaduras, Fig. 9.15). Otra comprobacin se deduce del hecho que rectngulos de igual seccin con b . d = Cte pero distlntos d y b, para el estado 11 poseen la misma rigidez e Igual capacidad por tante a la torsin (Fig. 9.16) aun cuando la relacin d/b varle de 1 a 6, lo cual, segn Fig.9.6 para I I ~l -W- ~ I ~- Sistema esttIco I I DIstribucIn de Iss tensiones longitudinales por alabeo Flg. g.14. Distribucin de las tensiones longitudinales por alabeo para una viga de seccin rectangular. 223 246. el estado I conducirla a grandes diferencias en lo que respecta a JT y TT. Dicho diagrama muestra tambin la notable reduccin de la rigidez a la torsin para el estado 11, en el caso de una armadura segn Flg. 5.18. Estos resultados experimentales muestran que para secciones llenas es posible calcu- lar las tensiones con suficiente aproximacin tomando como modelo una seccin hueca; la Flg.9.17, segun W. Fuchsstelner {lOS], muestra los esfuerzos que se originan en este caso. Las tensiones reales en el acero se obtienen cuando se hace pasar el contorno medio de la seccin My [Mpm] " 12 / 1 f / V 10 6 4 2 O O -? .-- ,.- 2 , .-.. ~T :0,91 0'0 (la misma armadura) ngulo especifico de t()(sln L [1 10 2 J Flg. 9.15. Torsin especifica de vigas de secciones llenas y huecas. FiGTTl de d l b = 1 .0 ....... d/b:2 < ' 60 ~ " 40 N di b '6 f&%B':!0&:J =$ J.-. ~ ~ C. ii 20 O l-----1-.::.==~~=--~ MT O 2 3 [Mpm] Flg.9.16. Rigideces a la torsin de distintas secciones rectangulares de igual area para los estados I y 11. 224 247. Flg. 9.17. Modelo de una seccin llena IIsurada en torsin pura segn W. Fuchssteiner [lOS}. por el centro de las barras longitudinales ubicadas en los vrtices. En lo que respecta a la in- tensidad de las tensiones en el acero y con ello en el dimensionado de la armadura de torsin, el espesor tr de la pared de tubo hueco supuesto no tiene ninguna influencia y slo se necesita para el clculo de las tensiones de compresin en el hormign o del valor caracterlstico de la tensin tangencial de torsin (ver Seco 9.3.3). Los valores limites de los espesores Ir de pared a considerar figuran en Seco 9.3.3. Al proyectar la armadura de torsin debe tenerse en cuenta que las paredes del tubo hueco de pared delgada considerado para el clculo se suponen constituidas por reticulados, sea por una sucesin de reticulados mltiples o por reticulados cruzados, anlogamente al caso de los reticulados supuestos para las almas de vigas solicitadas al corte (Fig. 8.5). Las diago- nales comprimidas de hormign tienen un desarrollo hellcoidal en torno al tubo hueco con una Inclinacin de 135 con respecto al eje de la pieza. Anlogamente que en el caso de corte, en la torsin los reticulados tubulares se consideran como resultado de la superposicin de reticula dos tubulares simples, de modo que el clculo de los esfuerzos y tensiones se realiza en relicu- lados simples; ver al respecto las figuras 9.18 y 9.19 segn sea la direccin de la armadura. Los esfuerzos de traccin del reticulado son totalmente absorbidos por la armadura, por lo que no es posible una reduccin Isimilar al caso del corte, porque estos reticulados no pose en ni cordones.comprimidos inclinados ni diagonales comprimidas de Inclinacin menor de 45. 9.3.2. Esfuerzos y tensiones en reticulados espaciales tubulBres 9.3.2.1. Reticulados espaciales tubulares con barras tracclonadas a 45 Para el reticulado tubular de Fig. 9.18, el equilibrio en el nudo A se satisface cuando Del equilibrio de las fuerzas interiores y exteriores en el carie 1-1 resulta: (9. 4) con lo cual: Z:: D 225 248. Par. pasar al retfculado multlple se requiere conocer los esfuerzos relativos referidos a la unidad de longitud aZ =2 bm . sen 450 =bm V2 =ao= z' .. D' z o" _ 0 - o a Z a o (9. 5) Con ellas es posible calcular las tensiones que ocurren en rellculados cruzados. Si para una seccin rectangular se reemplaza b:n por el rea media Fm de la seccin hueca, se tiene para - la tensin en el acero: donde - la tensIn en el hormign: F e, e O' a b o - o t T e F . ..2 e,. seccin de la espiral (9.6) separacin de las barras en la direccin x (eje de la pieza) 2 F . t m T (9. 7) con tr =espesor de la pared del tubo hueco supuesto; para valores limites de tr ver Seco 9.3.3. 9.3.2.2. Reticulado espacial con barras longitudinales y estribos transverseles Del equilibrio del nudo B del reticulado espacial de Flg. 9.19 (comparar con la armadura de Flg. 5.18) se tiene con D450 = D: o0 - 12 y del equilibrio en la seccin vertical 1111 resulta asl como tambin 400 _ ' 226 o4,- V2 b m -2- o (9,8) 249. Esfuerzos caracteristlcos en la seccin H b.. Empotramiento en la cara extrema I Esfuerzos en las barras que concurren al nudo A .......-'/.I. 0,,_ 0,,_ / Las barras de corOn no absorben esfuerzos I Cara e)(trema donde actoa MT ---- "."""",=== Barras traccionadas Diagonales ideales comprimidas Flg. 9.18. Retlculado para torsin pura, con armadura de lorsin a 450 (seccin cuadrada hueca y de- sarrollo simple del reliculadc). Con ello los esfuerzos resultan ser D " y D " -{2 " Para los esfuerzos referidos a la correspondiente unidad de longitud se obtiene: D MT D " Ta D (9. 9) m Z~tl ZB MT " -- "-- aB 2b 2 (9. 10) m 227 250. -cona L - U m -,- .b m z'L (9.11) Para un retlculado compuesto, resultan con ello, para una seccin rectangular con Fm en lugar de b:n: - las tensiones en el acero z'L u EF L me, Esfuerzos caracterlstlcos en la seccin 1111 r'm D Cara extrema en que acta MT eBa F e. BU u m (9. 12) (9.13) EF e,L Empotramiento en la cara extrema Esfuerzos en las barras que concurren ar nudO B Barras traccionadas ---- ==~,~'C'O Diagonales Ideales ==a:IlC;;:o comprimidas Frg. 9.19. Retrculado para torsin pura en el caso de armadura de torsin paralela y ortogonal al eje de la pieza (seccin tubular cuadrada, retlculado simple). 228 251. - la tensin en el hormign F . t m T (9, 14) Para las armaduras ortogonales corrientes constituidas por barras longitudinales y estribos perpendiculares la tensin de compresin en el hormign segn Ec. (9.14), en las diagonales a 45, resultan ser por el efecto de retlculado de un valor doble que en el caso de ar- maduras a 45 segn Ec. (9.7). (Ver proporciones anlogas en las tensiones de corte, Seco 8.3.2). En realidad, ras tensiones localizadas en el hormign resultan ser an mayores (ver 9.4.3). Por ello es necesario por precaucin, reducir suficientemente las tensiones en el hormign. Para el establecimiento de las condiciones de equilibrio importa poco el que, por ejemplo, las barras longitudinales estn ubicadas en los cuatro vrtices o en.el centro de los la- dos. Para asegurar la transferencia de los esfuerzos en las diagonales Ideales comprimidas, debe sin embargo disponerse (aun en el caso de armadura a 45) una armadura en los vrtices (ver Seco 9.4.4). Para secciones de grandes dimensiones, y desde el punto de vista de limitacin de fisuras, es necesario repartir la armadura longitudinal a lo largo del perfmetro de la seccin. 9.3.3. Valor caracterlstlco de la tensin tangencial de torsin para el estado 11 El valor caracterlstlco de la tensin tangencial por torsin se determina para la seccin tubular hueca medIante la frmula de Bredt: v' M T (9.15) en la que, con la notacin de Fig. 9.20, para un espesor tT de pared valen los limites siguientes: tT '" ~ donde b es el lado menor del rectngulo, o tT '" ~ donde bm es la separacin entre los ejes de las barras de los vrtices correspon- dlent~s al lado menor de la seccin, resultando con ello definido dm. Para una seccin rectangular, la Fig. 9.20 muestra las distintas poSibilidades de elec cin de la seccin hueca sustituta: b b para ;: < 6 IFlg. 9.20 b)' F b d (9. 16)m m m b b b b 5 bm (Fig. 9.20 c):para ..> 6 F m "(b-6') (d-6') z sb(d- S) 19. 17) SI resulta determinante el criterio tT = bl6, es decir cuando tas barras de esquina estn ubicadas cercanas al borde (Fig. 9.20 cl, corresponde elegir la seccin tubular sustituta, segn [24J, de modo tal que sus lados exteriores coincidan con el perfmetro de la seccin dada. Observacin: antes, de acuerdo con E. Aausch (1091 en la frmula (9.15) se consideraba a Fm como la superficie encerrada por el eje del estribo. Esta hiptesis resulta sin embargo In- segura, porque con elta Fm resulta demasiado grande y .en consecuencia T~ demasiado reduci- da. En el caso de secciones constituidas por rectAngulos, para la determinacin del rea de la seoclOn hueca se procede como indica la seccin 9.21. Para secciones irregulares, la seccin hueca ficticia se forma de acuerdo a lo indicado en Fig. 9.22, donde d o en su caso dm corresponden al mximo circulo inscripto. 229 252. fF 'm II / = d m d a) esquemas bsicos b) barras de esquIna ubicadas profundamente .... t, T 1 Detalle A t,t .,f.-,," -,.. d Fm-t b1d -+ el barras de esquina ubicadas cerca del borde L Flg. 9.20. Secciones huecas sustitutas para torsin en seccIones rectangulares en el estado 11, y distintas ubicaciones de las barras de esquinas. I .~ r,2 5 t r,l 'tT ,n = MJ Flg. 9.21. Seccin hueca sustituta para torsin de una seccin larmada por rectngulos. 230 d ="6 dm .-,- Flg. 9.22. Seccin hueca sustituta para lorsln de una seccin rregular. 253. d 'm_ resp. __ s l.,j IT b) seccin hueca de pared delgada Ir bl66 bm15, en este caso se considera, como para la seccin llena, una seccin hueca sustltuta. La ubicacin del contorno medio de la seccin hueca sustituta, depende de la ubicacin de la armadura de torsin (ver Flg. 9.23 a y b). Para la seccin en cajn hueco, tlplea de un puen- le Que mueslra la Fig. 9.241as parles do losa en voladizo prcticamente no contribuyen en la re- slstoncla a la torsl6n y no se tienen en cuenta. 231 254. 9.4. Comportamiento de estructuras de hormign armado para torsin pura 9.4.1. Ensayos clsicos,ala torsin de E. Mrsch efectuados en los afias 1904 y 1921 La rotura por torsi6n en cilindros huecos sin armadura (Fig. 9.25) confirma existencia de tensiones principales de tracci6n a 45 y su trayectoria helicoldal. Morsch, mediante la serie de ensayos representados en Fig. 9.26, constat6 que una aro madura dispuesta en una sola direccl6n a 0 6 90 (s610 armaduras,longitudinales o transver- sales) no podla aumentarse la capacidad de carga a la torsi6n. En cambio, las armaduras heli- coidales dispuestas segn las trayectorias de las tensiones principales de traccin en una ni- ca direccin a 45,conduclan a los mejores resultados, siendo la carga de rotura considerable- mente mayor que la correspondiente al caso de armaduras en dos direcciones, a 0 y 90. Es tos resultados recin fueron confirmados y ampliados en los anos posteriores a 1966 mediante nuevos ensayos. 9.4.2. Rotura a la traccin por torsin (agotamiento de /a armadura) El peligro de una rotura brusca, sin anuncio previo, al producirse la primera fisura, elds- te tambin en las solicitaciones por torsin. Por ello es necesario disponer una armadura mlnl- ma, capaz de absorber los esfuerzos de traccin transmitidos por el hormign a la armadura y que evite una rotura instantnea. Si la armadura se dimensiona para TT, el acero romper primero siempre que TT no sea tan elevada como para que los elementos oblicuos comprimidos de hormign sufran aplas- tamiento (ver Seco 9.4.3). En el caso de armaduras constituidas por estribos y barras longitudinales, las seco ciones fe en ambas direcciones deben ser iguales (fe, l Yfe, BU); si son distintas, la menor de ambas es determinante en la rotura. Dentro de determinados limites, las diferencias entre fe, l Y fe BO' permiten transferencias de esfuerzos por cuanto la direccin de los elementos compri- midos se modifica [65]. Las tensiones en el acero alcanzaron tos valores calculados para cargas repetidas en la analogla de la seccin tubular en estado 11. En la primera carga el incremento de la tensin en el acero al sobrepasarse la carga de fisuracin no fue, como en el caso de las tensiones tan- genciales por corte, ms o menos paralelo al diagrama 0e =TIlA, sino mucho ms acentuada (Fig. 9.27). En el caso de la torsin no es posible considerar ninguna reduccin de las tensiones de corte en el alma, porque en el reliculado supuesto no es posible considerar la existencia de un cordn comprimido Inclinado. La reduccin corriente en los EE.UU. para el dimensionado a la torsin es inadmisible por esta razn. Es natural que las armaduras deben estar perfectamente ancladas. 9.4.3. Rotura a la compresin por torsin (aplastamiento de los puntales comprimidos del hor- mign) La solicitacin del hormign depende en primer trmino de la direccin de la armadura; adems, adicionalmente aparecen tensiones elevadas secundarias. Para armaduras a 0 y 90 se han observado en el centro de las superficies exteriores de Fig. 9.25. Cilindro hueco de homllgn simple luego de su rotura por torsin (Morsch, 1904). 232 255. Serie 2 2,33 2,33 ,> Serie 3 , ,'" Serle4 Serie 5 Resultados experimentales (promedios de 3 ensayos) Momento de fisuracin [Mpm 1 2,33 2,50 2,47 Momento de rotura [Mpm 1 2,38 2,50 3,78 + la maquina de ensayo no tenra potencia para alcanzar la rotura '>'V'-,"-,' ~ --- #... ... Serie 6 2,70 > 7,00 + Flg. 9.26. Ensayos a la torsin de E. MOrsch (1921) en cilindros con distintas armaduras (fJw = 150 kplcm'). las partes comprimidas, acortamientos (b del hormign a 1350 , que corresponden a tensiones 0b =4 TT a 6 TT, es decir mucho mayores que las de esperar en la analogla del reticulado (ver Sec. 9.3.2). Thrlimann y Lampert (Zurich) encontraron que la justificacin residla en el conside- rable alabeo de las superficies laterales (Flg. 9.28), por lo cual las partes comprimidas lo eran con gran excentricidad y por ello el colapso ocurrla mucho antes que para el caso de corte. En consecuencia, en la torsin el limite superior de TT debe reducirse con respecto al ca so de corte. Con armadura a 450 , el alabeo es menor Y0b mAx un 40 % ms reducido, pero, sin em bargo, y a este respecto, slo existen actualmente pocos ensayos, por ejemplo tl0). 233 256. G'. ,Bu ' OOO~----------'-----'-----r-7?-' 4000 GJ------ ->---Si mb f 6, Q:S cm JOOO -1-----+ ----+- 2000 -1--------+---- 1000 o 2 3 4 Flg. 9.27. Varlacl6n de las tensiones en los estribos en vigas rectangulares, con armadura perpendicular en torsin pura. Superficie de dOble curvalura " -"'0-""" '1i, Tensiones secundarias de flexin t travs de un corte de la zona comprimida Os Flg. 9.28. Deformaciones de una viga de hormign armado en torsin [65J. 234 traccin z 257. empottemlento 8 torsin u vrtice Que rompe u estribo Flg. 9.29. Desvlo de los elementos comprimidos en las aristas. 9.4.4. Roturas en las aristas A lo largo de las aristas de las vigas rectangulares, los esfuerzos de compresin de las zonas comprimidas oblicuas deben variar de direccin en las esquinas, por lo que se originan esfuerzos de desvlo U (Fig. 9.29), que slo pueden ser absorbidos por la resistencia a la Irac cln del hormign hasta un determinado valor de TT. Si TT resulta elevado, rompen los vrtices, salvo que estribos poco separados o barras de esquina rlgldas absorban los esfuerzos de des vIo. Ensayos realizados con estribos de distintas s'eparaciones demostraron que para el caso de TT elevados, este tipo de rotura slo puede evitarse si se adopta una separacin de estribos " 10 cm (111). El limite de ry, por sobre el cual se exigen estribos muy junIos o barras de es quina de gran dimetro, puede fijarse normalmente para 1 veces la carga de servicio, en el valor .,11 .. 0. 04 13 NT w, 9.4.5. Rotura en los anclajes En este tipo de rotura, la armadura cede en los anclajes, es decir que los estribos pueden "resbalar" y las barras longitudinales pueden deslizarse en las zonas de absorcin del flujo de las tensiones tangenciales debidas a la torsin. 9.5. Dimensionado de estructuras de hormign armado sujetas a torsin pura 9.5.1. Planteo del dimensionado a torsin pura 9.5.1.1. Cuantfas de armadura a fa torsin y tensiones Las cuanl/as de armadura lIT correspondientes constituidas por barras longitudinales y estribos o hlices a 45 se definen como se expresa a continuacin: para barras longitudinales: ~T.L EF Le, Suma de las barras longitudinales 19. 18) Ir perlmelro del eje medio de la pared 235 258. - para estribos verticales: ..e, BU Fe de un estribo " ,----,T, BU t T eBU tr' separacin de los estribos para armadura en espiral a (1 = 45: IlT s '" t . e . "o PKI son posibles un estado estable (curva 1b) Yuno inestable de equilibrio (recta lc). Para P = PKI existe equilibrio indiferente (punto de bifurcacin). Existe tambin una bifurcacin del equilibrio cuando el material de la barra se comporta en forma idealmente elstica e Idealmente plstica, de acuerdo con Flg. 10.4. La carga de bifur cacin PKI es, sin embargo, en general, distinta para cada diagrama o -[. La forma de la linea elstica, que para P = PKI, es posible independientemente del valor de v, constituye la configuracin de pandeo del sistema. La distancia entre puntos de Inflexin de la configuracin de pandeo, se denomina longitud de pandeo sK. La esbeltez A. Juega un Im- portvnte papel en la magnitud de PKI; siendo A. = SK/i donde sK = longitud de pandeo e i = JtiFb =radio de giro. En secciones rectangulares b . d, la esbeltez A. se acostumbra tam- bin a expresar por la relacin sK/d, donde SK/d =1 v'12 =0,289 A.. 10.1.2.2. Capacidad portante para compresin excntrica Si la barra cargada excntricamente segn Flg. 10.2 est constituida por un material elstico Ideal (Fig. 10.3), en ese caso a cad rga P corresponde una determinada deforma- cin v (Flg. 10.6, diagrama 2). P puede aumentar hasta tanto la tensin de borde de la seccin comprimida donde acta el momento mximo debido a N = P YM = P (e + v) alcance el valor limite ou =N/F MfW = {Jz. Estamos en consecuencia ante un problema tensiona/. Admitiendo para la barra con carga excntrica de Flg. 10.2 un material de comporta- 244 267. P 1"JP Fig. 10.5. Barra con carga 8)(11. Fig. 10.6. Diagramas carg.delormacl6n. [P "-~--P" 10 p P P , I ' .., "'. '.. '. , r@~IO"""""@~Ib"""""@~""""""P-'O-b-,e-m-'-d.-.-Sl-'-b;-lid-'-d-'-O-'-b-'-"-"-'-'-"-'-d-.-,-.-q,-,-,,-.,-,o-11P @prOblema tenslanal oProblema de establ1idad sin bifurcacin del equilibrio miento elastoplastlco Ideal segn Flg. 10.4, el comportamiento bajo carga varia fundamental- mente al alcanzarse el limite de escurrimiento en la secci6f' ms solicitada. En el penodo elsllco (oe '" j1s) el momento interno que es capaz de absorber la seccin 'i que se opone al momento de las fuerzas exteriores, puede aumentar t;n la medida que lo hace este ultimo momento M = P (e + v) en funcin de la deformacin v creciente. Sin embargo, el momento Interno crece mas lentamente cuando en el borde se alcanza el limite de escurri miento y la plastlficacin contina penetrando. La capacldaljl de carga se agota cuando el diagrama 3 en Flg. 10.6 alcanza su mximo para Pkr = carga rltica. Para cargas P < Pkr Y deformaciones v Pkr ya no es posible equilibrio alguno y se produce el colapso de la barra; Pkr se denomina carga portante. Si se aumenta la deformacin por sobre vkr. el equilibrio slo es posible cuando simult neamente se reduzca la carga P. Esta rama descendente del diagrama carga-deformacin defl ne el estado de equilibrio Inestable, por cuanto pequenas perturbaciones conducen instantne- amente al colapso de la barra. SI P < Pk..exlsten dos posiciones de equilibrio; uno estable cuando v =VI Y otro ines- table para v = v1. Debido a que el diagrama carga-deformaciones es continuo, se dice que se est ante un problema de estabilidad sin bifurcaciones del equilibrio. La configuracin de deformacin (configuracin de pandeo) correspondiente a P = Pkr se denomina elstica de pandeo del sistema, ver Seco10.1.2.1. 10.2. Capacidad portante de elementos esbeltos de hormign armado comprimidos 10.2.1. Planteo del problema de los elementos esbeltos de hormign armado comprImidos El comportamiento bajo deformacin del hormign armado no puede ser descrito en foro ma tan simple como muestran las Figs. 10.3 10.4. El diagrama o - t para el hormign no es line- al y es distinto segn sea la calidad del hormign (ver Fig. 2.20). La distribucin en la zona 245 268. comprimida difiere de la correspondiente a la zona traccionada, donde s610 es posible alcanzar valores reducidos de la resistencia. Adems, en el hormign sujeto a una carga de larga dura- cin, se originan deformaciones plsticas funcin del tiempo, que aumentan la deformacin ia- teral v. Para '31 acero de dureza natural puede suponerse con suficiente aproximacin un com- portamiento elastoplstico segn Fig. 10.4, con las mismas resistencias en las zonas trac cionada y comprimida, ver Fig. 7.5. F'ara el acero deformado en fria, las reservas de resistencia por sobre la rama horizontal 0e = fJs son de cierta Importancia e incrementan la carga porlante. Al actuar conjuntamente el acero con el hormign en el hormign armado, resulta despropor cionadamente ms complejo el tratamiento anaUtico de la relacin entre cargas y deforma clones que lo que resulta para el acero solamente. Los mtodos de clculo utilizados en cons trucclones metlicas para resolver problemas tenslonales en teonas de 11 orden y en problemas de estabilidad del equilibrio, no pueden aplicarse sin ms a elementos de hormign armado. Los diagramas cargas-deformaciones de columnas de hormign armado tienen, en ge- neral, y en funcin de la cuantia de armadura, la forma que muestra la curva 3 de Fig. 10.6. La columna puede romper antes de alcanzar la deformacin cntica vkr. Tal es el caso cuando para P < Pkr, se alcanzan los esfuerzos caracterlsticos de rotura que es capaz de absorber la seco cin segn Cap. 7 (Indicados como Mu y Nu). En la Flg. 10.7 se han representado en un diagra ma de interaccin funcin de Pu y Mu las posibilidades de Colapso. En el mismo la curva Oca- racteriza el colapso por haberse alcanzado los valores de los esfuerzos caracterlsticos de rotu- ra segn Cap. 7 con deformaciones [e Y~b limitadas, ver Fig. 7.29. Cuando las deformaciones v son despreciables (por ejemplo, para columnas cortas), la barra rompe para PUl (rotura del material, curva 1). Para esbelteces moderadas l. = sK'i Ydefor maciones v perceptlbles,slo se puede alcanzar la carga PUl < PUl, en cuyo caso y como conse- cuencia del incremento de la excentricidad de e a (e + v), resulta Mu1 > MUI (rotura del mate- rial, curva 2). El colapso tiene en este caso tambin origen en el hecho de haberse alcanzado los esfuerzos caracterlstlcos de rotura; estamos ante un problema tensional de Ir orden. $1 contina aumentando la esbeltez, la deformacin adicional v crece muy rpidamente, y para Pkr' < PUl la barra se vuelve inestable, sin que se hayan alcanzado los esfuerzos caracterlsti cos de rotura segn Cap. 7 (rotura por Inestabilidad del equilibrio, curva 3). I I 1, p p p. Q'l M Q'l U' U --- ~------------~~--------~"U , curva~: Se alcanzan los esfuerzos caracterlsticos de rotura de la seccin (Pu y MUsegun Cap. 7). Curva I : Relacin PM para y =O; MI .0/Pu..0 .. v; rotura del material. Curva : Relacin P.M para y" O; Mu01Pu'D = (e + v); rotura del material Pk,@no se alcanza por rotura previa del material. Curva@: Relacin PM para y .. O; Mkr@/Pkr' = e + v; rotura por Inestabilidad. Flg. 10.7. Posibilidades de colapso de elementos comprimidos de hormign armado, representadas como diagramas de interaccin entre Pu y Mu. 246 269. p para QM z F{1 para 2,0 1,0 " 3 Vr,. ..-/: o O '. t, 1 d""=T 50 Ij para t2; - tI Puparat2:tl 100 150 /3,0 ~ 3 ~''1' .y 2,0 ~ ~. 1 7''1' 1,0 O O 50 100 150 ).; S.K 100 ' 100 "). .--,- , " ,,I , I ,,, Po ,,,, "Po Po 1" JPo ~~t, " Bn 350 BSt '2150 IJ.o: IJ.'o : 0,5 0 '0 .h::Ol d ' Po ,,,I 1" J Fig. 10.8. Relacin 0M entre las cargas portantes de columnas con distintos diagramas de momentos en funcin de la esbeltez ..1. [118]. El planteo del problema del clculo y dimensionado de elementos comprimidos de hor- mlgOn armado, de acuerdo con lo expresado anteriormente, puede formularse como sigue: .. Para un sistema esttico dado, en el que se conocen las dimensiones de las secciones, disposiciones de las armaduras, cuantlas de las mismas y excentricidades, debe verifi carse que el sistema para la carga portante requerida = v veces la carga de servicio, al crecer ea (e + v) continue mantenindose en un estado de equilibrio estable y que tamo poco se sobrepasen los valores de los esfuerzos caracterlstlcos de rotura. Todas las verificaciones de la capacidad portante en columnas de hormigOn armado se han resumido segun la DIN 1045 bajo el concepto de Verificacin de la seguridad alpandeo, pe- se a que en su mayor parte se trate de problemas tensionales. 10.2.2. Factores que influyen en /8 capacidad portante de elementos comprimidos de hormign armado En la exposicin siguiente de las diversas influencias sobre la capacidad portante de 247 270. columnas de hormign armado sujetas al peligro de pandeo,se han utilizado fundamentalmen- te los trabajos de investigacin (118, 119J. 10.2.2.1. Influencia de la distribucin de momentos Los momentos p . e, consecuencia de una excentricidad sistemtica e, en las barras comprimidas pueden diferenciarse segn se tenga 6:t = el e, = O el = - el o si el difiere de el de alguna manera. En la Flg. 10.8 se han representando, en funcin de la esbeltez , las rela- ciones Q"M entre las cargas portantes de columnas con Bn 350 y B SI 42150 Ye, =OYlas corres- pondientes a las mismas columnas con el =el (barra tipo). Puede observarse que las colum nas con diagramas con distribucin triangular de momentos poseen una capacidad portante mayor que 1.. de una columna con diagrama d momentos rectangular (Flg. 10.8 a). Si la excentricidad el = - el (Flg. 10.8 b) la capacidad portante es conSiderablemente mayor, tanto con respecto a la columna con e, = el como con la de e) = O. La capacidad por- tante resulta aun mayor al aumentar el valor de la excentricidad el/d. "u "u 1,6 O,, O,, "IOL 156 156 O+-____r-__~~~~~--~m~u O 0,2 0,'- 04-____~----,_----~---cm~u O . 0,2 0,4 Caso a) e, =e, Caso b) el = O "u 1,' Caso a) Caso b) Caso e) laL " ",', / / / / Pu, Pu Pu .)< O,, I ,, ,, ,, " I I I ,,, - , m Pu Pu P / , lJ (la. 5) (10, 6) Para determinar los esfuerzos inlernos relativos db 'J de, de es necesario adems cono- cer los diagramas,, (para el hormign y el acero. Para el clculo de deformaciones al verificar 254 277. la capacidad portante (teorla de II orden), en general se utilizan los diagramas ideales (bi- lineales) 0-' del hormign y acero, segn Figs. 7.4 y 7.5 respectivamente. 5i, para cuantlas mecnicas dadas y F' e bd ~s ~R se fiJa a priori la curvatura relativa i ='1 - (J y se varlan (1 (J dentro de los limites admitidos para el dimensionado (ver Fig. 7.6), se obtienen de las curvas de un diagrama ni - mi funcin del parmetro i, las relaciones m-n - i M - N - IC. Las Flgs. 10.17 a ~ muestran dichas familias de curvas para una seccin rectangular con armadura simtrica de B SI 42/50 Y o =ji(, = 0,12; 0,24; 0,48 Y0,72. Para.e! estado de equilibrio buscado entre los esfuerzos caracterlsticos internos yexter- nos de una seccin (es decir NI =Na Y Mi =Ma o tambin ni = na y mi =mal es posible obte ner de dichos diagramas, en cada caso,la correspondiente curvatura i en "A:o. La relacin M - N - IC asi obtenida, puede tambin representarse usando ni como pa- rmetro, Fig. 10.18, lo que es comn encontrar en la blbliografla [118,122.123[. Esta forma de representacin permite apreciar otros aspectos del problema y puede resultar til en la prctl ca del clcuto. Puede observarse que para esfuerzos normales de compresin de gran intensi- dad (por ejemplo ni = 1,25) el colapso comienza para pequeflas curvaturas (2,5 ".(,o), mientras para compresiones de reducido valor, adems de los momentos !Iexores mI mucho mayores que pueden absorberse simultneamente, tambin las curvaturas pueden llegar a ser conside- rables. , ~ ';J.: b /~ 0 / " "/ , ", d / I~F~ F, II Olstrlbucin de deformaciones 'R ~ E, -E:2: const ---- paralela a(Ddesplazada " -- E, E, E. Tensiones en el hormign Tensiones en el acero G' i G, I Esfuerzos internos Esfuerzos calacterlslicos de la seccin Fig. 10.16. Deformaciones. fuerzas y esfuerzos caraclerfsllcos en una seCcin rectangular con armadura simtrica para el estado l. 255 278. o ~. ~ m. ~ '" o' o ~ ~ ~ ~ -, - '. o N (1)', ......,. " ~ ~ ~ ~ -' i- E "o o, I 51 ~ ~ N N ., - O ' ;:}N U a " o ~ < .f ~ o';; " U " '" o ":J.. 0 --; '" < p< " '" " ~ o ,,0- < .2 ", D- ~ ",, , o . -~ " , ON, , 00 ~. ,. "i ' .~ , ~ 'l!- Isz'o ' "M.- ,- ~, , 1- r- r--r- ~ -.. o' t--. t- t--..-.. . 1 ~ t--~ ..... c-- r-,...k- r- ~....... :--- r---: ::::: -,o , -8'w ....... 8' ~ ~ -:;} o ~ - " ,~ ~ '. 3 o : ~ j ~ " < , E 281. ; . O) 0,25 0.2 O,lS 0, O,os O r r 1",:-0,5 0,0,75 + n,:-(pS t-- 1- . ---- - /' l A'" ",.-1,00 - ~ - I n ',25 -l - -1- - ~ .- I X: 'M,. d e -o~ -1) -1,5 -2J) - 2,5 - 3,0 -lS - t./) -'.5 -~ -s,S -6,0 -6,5 b ..] Flg. 10.18. Diagrama m -n - IC con n como parametro para secciones rectangulares con armadura si- mtrica con "o ;- ;;O :: 0,24 y B SI 42/50 (segun Flg. 10.17 b) m; ----------=-"..-- Q)Q) de acuerdo con Fig. 7.4. La seccin no se ' isura, de modo que aparece una nueva 259 282. modificacin, cuando en el punto 3 la armadura comprimida alcanza el limite de escurri miento; el punto 4 representa nuevamente la carga critica segun Cap. 7. Para la estabilidad de una columna esbelta de hormign armado ocurre a menudo que no es el punto 4 el determinante, sino los puntos 2 3, que corresponden a haberse alcanzado el mite de escurrimiento en la armadura, porque en dicho caso el momento de los esfuerzos internos no crece tan rpidamente. las recomendaciones que figuran en la Seco 10.5 y en la DIN 4224, para clculos aproximados, utilizan las propiedades antes mencionadas de las curo vas M - N - x, con N como parmetro; ver Fig. 10.18. la inclinacin de las curvas ni, analogamente a lo que ocurre en la teorla de la elastici dad. puede interpretarse como rigideces a la fle)(in EJ. Aproximadamente dichas curvas dan al mismo tiempo, aproximaciones vlidas de la verdadera rigidez a la flexin de secciones de hormign armado sometidas a solicitaciones crecientes. 10.3.4. Verificacin de la capacidad portante segn la teorla de /1 orden De los numerosos procedimientCls de clculo que figuran en la bibliografla (ver p. ej . [124,125]) utilizaremos en lo que sigue el mtodo de EngesserVianello. En primer trmino ana lizaremos el caso sencillo de una columna articulada en ambos extremos, en la que la fuerza de compresin v . P acta en los extremos con la misma excentricidad e. En primer trmino dividiremos la longitud de la barra en n partes iguales de longitud tr, x, para lo cual, cuanto menor es la longitud de las mismas, aumenta la exactitud del valor de las deformaciones vk calculadas para la barra (Fig. 10.20). Partiendo de los esfuerzos caracterfsti cos obtenidos con la teorla de I orden para cada punto k y se obtiene en ell er paso de la iteracin utilizando las relaciones M - N - x (por ejemplo de Fig. 10.17) los pesos elsticos W en cada uno de los puntos. Admitiendo una variacin parabli ca de la curvatura, para tr, x = sin se tiene en general: wo W n x 12 (3, 5' )0,0 + 3 )0,1 0,5 )0,2) (extremo superior de la barra) X Wk :: 12 (1'.k_1 + 10 "k + kk+ 1) (10. 7) x 12 (3,5 )O,n + 3 1'.n.l - 0,5 ).n-2) (extremo Inferior de la barra) Para la barra recta se tiene que, para ell er paso de la iteracin, M = constante y con ello x = cte., de modo que resulta: Partiendo de las analoglas 260 wo - , ~ W n y 1~ 2 !lx,). (10. 8) - p 283. puede concebirse la determinacin de la linea elslica v(x) como el trazado del diagrama de momentos M(x) debido a una carga Ideal Plx) = xIx). Para ello se supone a la barra cargada en los puntos k con las ca~as concentradas Wk y luego se determina para este estado de carga tos momentos flexores Mk mediante los procedimientos corrientes. En consecuencia, los mo- mentos flexores Mk corresponden a las deformaciones de la barra vk(11, los esfuerzos de carie Qk a las rotaciones de la barra f4lk(11 debidos al primer paso de la iteracin. , Las condiciones de apoyo del denominado sistema substituto de Mohr deben elegirse en concordancia con las condiciones de deformacin de la barra comprimida. Para una barra comprimida articulada en ambos extremos se tiene: Condiciones de deformacin de la barra comprimida en los puntos Oy n: Condiciones de apoyo del sistema sustituto de Mohr en los puntos O y n: v O M' O I O Q I O Por conveniencia se adopta un numero impar de elementos 6.X y en consecuencia, en el primer paso de la iteracin de los pesos elsticos W puede expresarse Inmediatamente: y para el centro de la barra m - 1 1 e Q " - r:W - W " - 8' It n 2 O 2 M m 2 ,...--.-. v (1) m (10.9) (lO. 10) Los restantes valores vk(l) se obtienen de la distribucin parablica de los diagramas de Mo de '1(1). En el segundo paso de la iteracin se parte de los esfuerzos caracterlsticos en las seco clones del sistema deformado N., . ". '" ",..,.. p M', { , I ., 'lo, , "", " I -I'-"#.'f' P Barra Momentos comprimida MI p , w, , " w" Sistema sustituto de Mohr con los pesos elsticos W Rolaciones de la barra kili Fig. 10.20. Clculo de deformaciones segun Vianello (ler paso de iteracin). DeformacIones de la barra 'Ik(11 261 284. 4' p oo' ~Ul t , '" T , , w, , Mcf~o ~O I , ._: ~~1l Qk=~21 . L- ~ k . k Wk k J-'O O Wo O Mn~~2~O t, i5" pI 21 P O - O BaHa comprimida Sistema substituto Rotaciones Deformaciones Momentos Mil de Mohr con cargas de la barra '4'k(2) de la barra ~k(2) elsticas W Fig, 10.21. Clculo de deformaciones segun Vianello (20 paso de Iteracin), y nuevamente, utilizando las relaciones M - N - K , se determinan los correspondientes pesos elsticos W, punto a punto segn Ec. (10.7). Luego se calculan nuevamente en el sistema sustl tuto de Mohr, las deformaciones corregidas de la barra Vk(2) (Fig. 10.21). El clculo por Heracin puede interrumpirse cuando las deformaciones Vk(n) calculadas, coinciden con las Vl(n.,). En tal caso, los esfuerzos caracterlsticos de acuerdo con la teorla de ff orden resultan (10. 11) comprobndose ast a exisl encia de un estado de equilibrio estable para una carga 1 veces la carga de servicio. El colapso de una barra por efecto de una carga 1 veces la carga de servicio se manifies ta por el hecho de que, en un paso de iteracin, el valor J(k de la curvatura correspondiente a los esfuerzos caracterlsticos Ni = l' P y Mi = 1 P (e + vlln)), en las relaciones M - N - J( segUn Flg. 10.7, resulta exterior a la envolvente de las curvas M - N-J(. Los puntos exteriores a las envolventes, implicarlan deformaciones lb> 3,5 %o o (e > 5 %O, lo cual no es admisible segn Cap. 7. Ello significa que las deformaciones de la barra no convergen hacia una linea elstica estable, sino que las mismas crecen continuamente y por (lila conducen a la rotura de la barra Esta tendencia es comn en las deformaciones del acero poco antes de alcanzarse ellfmite de escurrimiento. En forma totalmente anloga puede efectuarse la verificacin de la capacidad portante de una columna empotrada en su base y libre en su extremo superior. Slo hay que tener pre sente que el sistema substituto de Mohr lo constituye una barra empotrada en su extremo su perlor y libre en el inferior (Fig. 10.22). En el caso de una barra comprimida estticamente indeterminada por v(ncu(o externo, se parte en general de una barra articulada en ambos extremos y las incgnitas hiperestticas se determinan de forma tal que satisfagan las condiciones de deformacin. Para la barra articulada en su extremo superior y empotrada en el inferior (Fig. 10.23), lo anterior significa que: en cada paso de la iteracin para determinar las deformaciones horizon tales, debe determinarse el momento de empotramiento Xnen el punto n, tambin por iteracin mediante las relaciones M - N- x, de modo tal que se obtengan sI2 (y siempre y cuando para las mismas sK no haya sido determinado para articu- laciones). En la bibliografla, por ejemplo (129},existe numerosa informacin complementaria relati va a la longitud de pandeo en elementos comprimidos de sistemas de nudos no desplazabies. Pueden ser aplicados a casos generales aunque han sido desarrollados para materiales homo- gneos como el acero. 10.4.2.3. Longitud de pandeo de columnas (pilares) en prticos con nudos desplazables En el caso de sistemas aportlcados con nudos desplazables, estos ltimos pueden desplazarse horizontalmente, y el corrimiento horizontal slo queda limitado por la rigidez del prtico. la longitud de pandeo es, tambin en el caso de barras desplazables, Igual a la longi tud de la semionda de la configuracin de pandeo, que segn sea el sistema, puede prolongar se en forma Imaginaria por ftlera del mismo, con el objeto de obtener la semionda total. Para prticos altos de varios pisos, la estabilidad total puede facilmente peligrar como consecuencia de los desplazamientos horizontales (Fig. 10.29). La inclinacin de las columnas sobre varios pisos conduce a una excentricidad creciente de la carga resultante total. Si a la dlfl cultad de calculo se agregan los grandes riesgos a que se encuentran sometidos los pilares del prtico como consecuencia de la desplazabilidad del sistema, debe llegarse a la conclusin que es necesario en lo posible, al proyectar, evitar sistemas desplazables, y fijar la estructura contra desplazamientos horizontales mediante losas de entrepisos y contraventamientos, ca- Jas de escaleras o ascensores, etctera[ $6/0 un Ingeniero sin experiencia puede asumir la res- cargar al comitente el costo de un prtico de varios pisos, desplazable horizon- :a'de,splaz;,bIIH;dad aumenta la longitud de pandeo, como puede observarse de la como paracin de los sistemas de nudos desplazables y no desplazables de Fig. 10.30. En la barra empotrada en ambos lados, la longitud de pandeo, como consecuencia dela desplazabllldad de uno de sus extremos aumenta de 0,5 s a 1,0 s. En prticos con dos articulaciones la longitud de pandeo de los pilares, en los casos prctiCOS y segn sea la rigidez a la flexin y tipo de car- ga del dintel puede aumentar de 1,2 s a 5,0 s (como consecuencia de la desplazabilidad del pr- tico, la longitud de pandeo es de por lo menos 2 s). En el caso de cargas asimtricas las longitudes de pandeo de los pilares de prtiCOS son distintas entre si y el pilar menos cargado posee la mayor longltudJe pandeo (Fig. 10.31). Para series de columnas con grados de solicitacin al pandeo (K =sK PI E J muy dispares y cuando existen columnas articuladas junto con otras empotradas, la longidud de pandeo de los pilares que confieren rigidez al sistema puede ser muy grande, aspecto ste que ha hecho 2fi7 290. ~- .L~- , --{ --t' ' ,, , I , , , -+ ,SI( ?;: S , -,r--- r , " , '" , , '1, sK ; s " , - 1----- - -1 J , j JRa 00 "''1 , 'K JRS -J-'-2 - 2 " , ,. Fg. 10.29. Configuracin de pandeo de un prtico de varios pisos. ~.J. , ' t' p , ,, , , + , ,p p p --lPSI( ~2.sf t : I, ,, I , , --:;..- - -- .I II , , S : - 1 , , , I I, K, 2 , , , , , I, l , ,, SK;: f2 , , ." , . 2 , I , , , I , I 1... ..,.. , ,5 K _ 1 - '1 P p , 1, b Fig. 10.30. Comparacin de las configuraciones y longitudes de pandeo de sistemas con nudos fijos '1 desplazables. T 'K, 1 Fig. 10.31 . Configuracin de pandeo de un prtico empotrado. desplazable con cargas en (as columnas de distinta Intensidad. 268 291. ~ 100 "30 20 10 , , 2 a k, ------ ,W7f0 ,, 3 2 '.' -----W/0~~ 1 no debe utilizarse esla lona ka ~ 'l%30 20 10 , , 2 a Flg. 10.32. Nomograma para la determinacin de la longitud de pandeo SK de barras comprimidas. corres- pondientes a prticos mltiples desplazables 126, 1271. se las I seguridad! Sin en tambin Q.uede ser En el caso d.P"';''os desplazables, para determinar el valor k del dintel, debe necesa- riamente ulllizarse momento de inercia JIU) correspondiente al Estado 11, mientras Que para las columnas puede aceptarse JII), Cuando Jt quiere evitar clculos muy precisos, puede acep- tarse una reduccin de la rlgldeP'. la flexin del dintel hasta por lo menos el 60% y en el caso de un dintel articulado en un extremo, hasta el 35%. En los prticos mltiples de varios pisos, el nomograma da coeficientes ~ de la longitud de pandeo suficientemente exctos, unlcamente cuando el grado de solicitacin al pandeo de dos columnas superpuestas no difieren en ms del 25%. Adems, en sistemas aportlcados desplazables, es Indispensable elegir culdadosamen te las condiciones de empotramIento en las fundaciones, porque aun peQuenas rotaciones de 269 292. jN ,..~ f ---f', -1 - + 1 , I L N N ~. '1 Rotacin lfI '1 de la funda- ~ J cln " N I~ l' Empotramiento d , Empotramiento elstico Igido en el terreno I , en el terrenoI , I, -.f Fig. 10.33. Comparacin de las deformaciones y longitudes de pandeo correspondientes a una columna d gidamenle empotrada en el terreno y otra elasticamente empotrada. plllco biarticulado 'K , 2 sv' N1 oN1' y .0, l. e , N, J, J, , 'K2 , 2SVN+ NZ' VI. O,l.e 'N, - -J tN, N, t J , I, , J , ", I -+ prtico empotrado 'VN! oN Z ,.0,1. c; 'K' , , N, ,.0,2 e J, 1J. , - -J 'K2 , 'V NI' N2 ,.O,l. e 'N, '.0,2 e tN, N,t ,, , J, I , entramado mltiple J, Jofo J, J,fJi,F, J ~ J, I " , ,F ' , J,, J, 0' J, , [2J a o lm-11 Jilm . . F, , [ 2F a om I} F, m Fig. 10.34. Frmulas para el clcu lo de a longitud de pandeo de sistemas aporticados desplazables. 270 293. las mismas Influyen considerablemente en la configuracin de pandeo y aumentan la longilUd de pandeo (Fig. 10.33) segn [135); ver al respecto DIN 4224 (H 220 DAIStb). Otras normas Incluyen frmulas sencillas para la longitud de pandeo de pilares de prti cos simples; en la Fig. tO.34 se han compitado ejemplos de ONOAM (ver tambin DIN 4114). Las deformaciones correspondientes a la teona de 11 orden, originan tambin un aumen- to de los momentos de empotramiento' de los pitares. Si la unin del pilar se dimensiona sola mente para el momento de empotramiento correspondiente a la teona de I orden, pueden origi narse en dicha seccin articulaciones plsticas prematuras, que reducen la rigidez a la lIexin supuesta para los dinteles y con ello afectan la seguridad al pandeo del prtico. Por ello, los dinteles deben dimensionarse tambin para absorber y transferir los momentos secundarlos debidos a la deformacin de los pilares (Teona de 11 orden). 10.5. Verificacin de la seguridad al pandeo segun DIN 1045 Y DIN 4224 10.5.1. Resumen del problema La DIN 1045 establece que para elementos comprimidos esbeltos, adems del dlmen slonado de acuerdo con lo establecido en Cap. 7 debe efectuarse una verificacin de la capacl dad portante considerando las deformaciones de la barra, es decir, debe efectuarse una "verifi- cacin de la seguridad al pandeo". Debido a que dicha verificacin segn la teorla de 11 orden, en general es muy trabajosa, en la DIN '045, para determinados limites de la esbeltez = SK'i y de la excentricidad relativa eld correspondientes a la seccin determinante, se Indican proce- dimientos aproximados. Corresponde distinguir los siguientes casos: 'lA"20 2) eld ... 3,5 para < 70 eld ... 3,5 mopara >70 3a).1. < 45 para pilares internos de pr- ticos regulares,cuando se considera la longitud de pandeo = altura del piso, sK =s; b)< 45 - 25 ~r para l Mr l>I Md para elementos comprimidos y elsti- camente empotrados en sus extremos sin cargas transversales (si > 45 se dimensIonar. para IMI >I M1 1> 0,2 d) 4)20 < .1. 70 (Elementos comprimidos esbeltos) 6).1.>200 Oimenslonado segn Cap. 7 para el elemento comprimido sin deformar, es decir sin verificacin de la seguri- dad al pandeo Clculo simplificado de la mxima de- formacin v mediante frmulas para una "excentricIdad adicional", f, que Incluye la excentricidad Involuntaria eu y para sistemas no desplazables la de- formacin vk por contraccin. Para siso temas desplazables con 1 > 45, debe considerarse especialmente vk. Dimensionado mediante tablas y no- mogramas de DIN 4224 (H. 220 DAIStb) o del BetonKalender. Inadmisible. (Serfa preferIble que el 11 mite para SK'd = 45 fuera.l. = 1501) 271 294. las aproximaciones comprendidas de 3) a 5) pueden, sin embargo, usarse solamente para elementos comprimidos, de seccin constante (y tambin Fe y Fe constantes). la DIN 4224 da, a travs de diagramas y figuras, una visin general de las prescrip- ciones y simplificaciones de la DIN 1045. 10.5.2. Disposiciones fundamenta/es En general se considera que la seguridad al pandeo de una barra comprimida de horml gn armado es satisfactoria, cuando se verifica que, cuando actan simultneamente en la si tuacln ms desfavorable cargas 1,75 veces mayores que las cargas de servicio, es posible un estado de equilibrio estable que tiene en cuenta las deformaciones de la barra (teorla de 11 oro den). Simultneamente debe garantirse, que la barra comprimida sin deformar es capaz de ab- sorber las cargas de servicio con los coeficientes de seguridad 1 =1,75 a 2,1 que Se Indican en el Cap. 7, Fig. 7.6 (es deGir, Seco 17.2.2 de OIN 1045). Para ello deben utilizarse los diagramas 0'( correspondientes al hormign y acero que aparecen en la Seco 7.1, aunque para simplificar tam- bin puede utilizarse para el hormign el diagrama bilineal de Fig. 7.4. la excentricidad normal e = M/N del esfuerzo ax!! N debe aumentarse de una excentri cldad accidental eu o por una curvatura de la barra que acta en sentido desfavorable: (10.14) En casos especiales, como ser torres o pilares de puentes muy altos, puede convenirse con la direccin de la obra, otro tipo de verificacin. Fundamentalmente, la distribucin de la excentricidad accidental o consecuente curva tura Inicial de la barra comprimida debe ser afln con la configuracin de pandeo: es decir que la barra solicitada ai pandeo posea, cuando no est sujeta a tensiones una deformacIn previa cuyo mximo valor sea eu en la seccin de la mxima defOfmactn por pandeo (Fig. 10.35 a, c.) P. ra simplificar el clculo debe, sin embargo, suponerse a la deformacin previa con variaciones lineales parciales (Flg. 10.35 b) o tenerse en Cuenta mediante una excentricidad adicional (Fig. 10.35 dI. las deformaciones lentas deben tenerse en cuenta cuando en sistemas no despla zables resulta..l. >70 (en sistemas desplazables..l. > 45) o cuando en el tercio medio de la longi tud de pandeo resulta eld < 2,0. Deben determinarse p~lIfa las cargas permanentes correspon dientes al estado de carga de servicio (en casos especiales Incluyendo las partes correspon dIentes a las cargas mviles) y teniendo en cuenta las deformaciones elbticas originadas por las mismas (Teorla oe 1I orden) )' excentricidades accidentales eu. la deformacin por fluencia lenta puede calcularse en forma aproximada mediante las ecuaciones que figuran en Seco 10.5.4.5. las def-:>rmaclones conducer" especial en barras comprimidas de sistemas aportica -#---.-- " .3 ~ :.tt I , , l I .>- " , " > 1 I --I I I .,-( - I I , ,, I I , 1I -- " 'K Iy }, I J.-- I I I , I bI di .1 Flg. 10.35. Hiptesis sobre la distribucin de excentricidad accidental ey Sobre la longitud de la barra. 272 295. dos sin arriostramlento (tambin en columnas en voladizo empotradas en la fundacin) a un aumento del momento de empotramiento. los elementos empotrados en el elemento compri- mido (por ejemplo dintetes de prticos. fundaciones) deben ser dimensionados para dichas so- licitaciones adlcionates. Unlcamente en el caso de estructuras en eleyacin. arriostradas contra despla!:amientos horizontales, puede presclndlrse de una yerlflcacin analllica de la ab- sorcin de dichos esfuerzos caracterlstlcos adicionales. 10.5.3. Verificacin simplificada de elementos comprimidos de reducida esbeltez (20< .l." 70) Y seccin constante Estos elementos comprimidos pueden. sobre la base del procedimiento de la barra sus- tituta. dimensionarse mediante una excentricidad adicional l. la deformacin laterat y de la .barra por efecto de v veces la carga de servicio y la excentricidad accidental eu se tienen en cuenta mediante la excentricidad adicional f. que debe suponerse constante sobre toda la ton- gitud de pandeo. En sistemas desplazables con}. > 45 debe considerarse, ademb, la deforma- cin por fluencia lenta vk. Para la verificacin de la seguridad al pandeo es determinante la seccin ubicada dentro del tercio medio de la longitud de pandeo, a la que corresponde para el estado de carga de servlclo,la mKima excentricidad normal e del esfuerzo axll. En sistemas no desplazables. la mxima excentricidad normal e debldai a la carga de servicio en el tercio medio de la longitud de pandeo, para variacin lineal de momentos entre extremos de barras. puede calcularse en forma aproximada en la forma siguiente: 1 - (O 65 . N ' (1 0. 15) donde IMtl > IMII y M Y N corresponden a la carga de servicio. SI uno de los extremos de barra est articulado y el otro elsticamente empotrado, utili zando la barra sustituta de Flg. 10.36 se obtiene como expresin de la excentricidad e O,67. (10. 16) En el caso de sistemas desplazables es necesario estimar una configuracin de pandeo y luego calcular el mximo momento Mo en el tercio medio de la distancia entre puntos de infle xtn (= longitud de pandeo) (Flg. 10.31). J:M1 , r -+ , O ' ~O "N' ~i ","" 1..., ~ - + 1 ~ .' o'., ~ '1.- -+ 1N Seccin de dimensionado (). O para la verlllcacl6n de la seguridad al pandeo .,.':tt j..., 70) 10.5.4.1. Conceptos fundamentales Para columnas esbeltas la Norma DIN 1045 exige una verificacin sobre la base de la te- orla de 11 orden (ver Sec. 10.31. La DIN 4224 (H 220 DAIStb) trae, para secciones rectangulares y circulares con determinadas distribuciones de armadura, nomogramas y tablas, que facilitan la verificacin. Estas ayudas de clculo han sido establecidas sobre la base de hiptesis simplificadas para las relaciones M - N - It Ypara la distribucin de la curvatura a lo largo de la longitud de la barra, ver tambin [136]. 10.5.4.2. Hiptesis para las relaciones entre M - N - It Las formas muy variadas de las curvas de los diagramas m-n - It, de Fig. 10.18 -con n como parmetro- se reemplazan por tramos rectos segn Flg. 10.19. Dichas recias, para barras comprimidas con BS! 42150 y BSI 50155 se han elegido como prolongaciones de las rec tas de unin de los puntos 8 y b, donde el punto 8 queda ubicado a una altura de 0,5 mU sobre las verdaderas curvas n y el punto b a 1,0 mu sobre el punto de Interseccin a - 2 (en el caso de carga axil reducida) o respectivamente O- 3 (para grandes cargas axiles), ver Fig. 10.19. Las tablas 28 b a 36 b del cuaderno 220 de la DAIStb, contienen los siguientes valores: momento relativo de la carga de servicio m' (10. 21) curvatura relativa 3 XV - la . KU . d rigidez relativa a la fiexin bU m" __ o I I (10.22) En todos los casos se han representado en funcin: del esfuerzo axil relatlvo dado n (10.23) de la cuantla total de armadura (10.24) El factor fJ (ver labia de Fig. 10.41) sirve en este caso para poder usar para otras calida des de hormign, las tablas calculadas para Bn 250. 275 298. la curvatura.: correspondiente a un momento M cualquiera, se obtiene con la relacin simplificada entre MN.: siguiente: (10.25) Para barras comprimidas con eSt 22134, en el cuaderno 220 de la DAfStt:;, en las tablas 37 b a 39 b se incluyen valores basados en un.diagrama poligonal en lugar de la recta sustituta. 10.5.4.3. Deformaciones supuestas de la barra y momentos correspondientes segun la teorfa de If orden La DIN 4224 recomienda como simplificacin adicional para la verificacin de la seguri dad al pandeo segun la teorla de 1I orden en una barra tipo, suponer que la variacin de la curva NUnu; __- bd i3R nu d 1,_ ,< Segn teorla de I orden f N"Ud 2 Segn teorla de I f11 orden I I f ~, K 1 10,< IN N O m '~ O 0,1 0,2 0,3 0,< U b i3R Fig. tO.38. Curvas de carga portante de elementos comprimidos para distintas esbelteces l . m Curva correspondiente a n 0f-------------~--~ O U R a) Diagrama para esfuerzos longl1udlnales reducidos m 0,5 m.n--t-;~ , Curva correspondiente. n "U "b) Diagrama para esfuerzos longitudinales de gran Intensidad Fig. tO.39. Aproximaciones de las relackmes m-n -2, con n como parmetro, para elementos comprlml dos con eSt 42/50 y BSI 50155. 276 299. I y moJI / - '-=-fl '.J:im: T -, .... Yk, '.2 ----f t V.N Barra sustituta defor- mada 1 Distribucin de la curvatura de la barra susti tuta (supuesta parablica) Carga vlrlual de la barra sus tltuta Distribucin de los mo- mentos vir tuales Flg. 10.-40. Distribucin de la curvatura y diagrama de momentos virluales para el clculo de la dellexin ia- tera' v max. tura debida a flexiones adicionales 8 lo largo de la longitud de pandeo sK es parablica. La deflexln vm en el centro de la barra, resulta con ello facil de expresar: v ro J - 2 [ 5 = ."'. M. da .. - 8K 48 ( "'m - 1 2 1 v m ... - 10 8K ( )l m + '4 "' e) (10.26) donde Km es la curvatura en el centro de la barra y xe la correspondiente a los extremos de la misma debidas a los momentos extremos M = N e; M es el momento en 81 lugar k, originado por una fuerza virtual 1 que actua en el centro de la longitud de la barra (Flg. 10.(0): Mk = 0,51Xk SI se considera que la excentricidad accidental eu =81300 (igual a sK/JOO en la barra normal) debe tambin tenerse en cuenta, de la Ec. (10.26) se deduce que el momento en el centro de la barra de acuerdo con la teorla de 11 orden es [ 2 1 r} EN -(e+-)+-(" + m U 300 10 m ~ .)]4 e (10.27) SI M~< Mu, la verificacin de la seguridad al pandeo se satisface. Suponiendo que JCm =JCU y utilizando la Ec. (10.25) para determlna~ ICe, donde se hace M = - Nu (e + eu), es poSible establecer una ecuacin para poder aprovechar totalmente la barra comprimida, en funcin de Mu y Nu, la que permite calcular la mblma longitud de pan deo admisible de la barra normal s.dm = sK adm. ( sodm "odm [ "u "u + NU (e + ';g;)1)M IIN -(e+--)+-- +_+ : --lJ U 300 10 U 4 4 Bu = N - (e + - - ) + { Sodm U 300 (lO. 28) 277 300. Para barras comprimidas con aSt 22/34, resultan dos ecuaciones de condicin, debido a las rectas sustitutas quebradas necesarias para este caso, reproducidas en OIN 4224 (H. 220, OAfStb). 10.5.4.4. Nomogramas Partiendo de la Ec. (10.28), K. Kordlna ha construido nomogramas, que figuran en OIN 4224 (H. 220 OAIStb) como tablas 28 a a 39 a. las mismas permiten dimensionar para n, mi, eld y SK'd dados, es decir, determinar directamente la armadura necesaria. En ellas se tiene en cuenta la excentricidad accldenlal eu y no es necesario sumarla a la excentricidad normal e. En la Flg. 10.41 se ha reproducido uno de dichos nomogramas; en la Seco 10.5.4.6 se aclara su empleo mediante un ejemplo. 10.5.4.5. Determinacl6n simplificada de las deformaciones por contraccin diferida vI( Sobre la base del valor!p del coeficiente de contraccin, estimable en forma grosera, un clculo exacto terico de las deformaciones por contraccin diferida, conducirla a una exacti- tud engaflosa, que no existe en la realidad. Como aproximacin al valor mximo de vk, de acuerdo a una sugerencia de K. Kordlna que figura en el cuaderno 220 de DAfStb, es posible re- comendar la siguiente ecuacin: En la misma se tiene: N ~ = seguridad al pandeo, relerida a la carga de pandeo de Euler NE No TT 2 (EJ) N E __,,...--'W,- carga de pandeo de Euler, d,!nde 'K (E JI W [0,6+ 20 (l + .l' )]. E . J : rigidez activa a la flexin o o b b (10.29) N D parte de la carga de servicio que acta en forma permanente =carga permanente q: coeficiente de contraccin diferida segn Ec. (7) de OIN 1045, Seco 16.4.2 (ver a este respecto Seco 2.9.3.3) = excenlricldad normal en el tercio medio de la longitud de pandeo sK. debida a la carga permanente 'K e u 300 = excentricidad accidental segn Ec. (10.14) En muchos casos es suficiente emplear la ecuacin ms simplificada: (10. 30) cuya solucin se ha representado en el diagrama de Flg. 29 del cuaderno 220 de OAfStb. 278 301. Tabla 29 a Esfuerzo normal reducido RU Bn 250 ". f7.1=l=T ~-'-;- ~r--------' ~,-I '..,; B SI 42150 h'/d_O. IO Sistema esttico de la bar" sustituta )..' .. aplicacin: SK'd > la El efecto de la excentricidad accidental Su segn DlN 1045,Sec. 17.4.6, ya se tiene en , ~__~C~"~'~O~I'~'~O~.~I~~~~~~~~___________ Excentricidad normal Factor de transformacin fJ Calidad del Bn 150 Bn 250 Bn 350 Bn 450hormign , 1,66 1, O 0,76 0,65 Armadura necesaria: F + F e eFe tot " Bn 550 0,58 Fig. 10.41 . Nomograma para el dimensionado de elementos comprimidos esbeltos (Tabla 29 a del cuader- no 220 DAIStb, DIN 4224). 279 302. Las ecuaciones (10.29) y (10.30) tienen en cuenta la reduccin de ta deformacin por contraccin diferida debida a la existencia de armaduras. Por ello slo deberlan aplicarse para secciones con armadura aproximadamente simtrica. La distribucin de las deformaciones vk por contraccin diferida debe nuevamenle su ponerse con una exactitud satisfactoria, afln a la configuracin de pandeo. Con la excentricidad normal e y las deftexiones laterales del eje de la barra (eu + vJ, re- sulta Que la seguridad al pandeo de una columna, Que hasta ahora slo consideraba la Influen- cia de las cargas permanentes sobre la carga de servicio, resulta verificada hasta un tiempo t = 00 para v veces la carga de servicio total. 10,5.4.6. Ejemplo de clculo Una columna, empotrada rlgldamente en su base, y con un apoyo mvil en su extremo superior, con d/b = 40130 cm debe verificarse para las cargas de Fig. 10.42. Se conoce la configuracin de pandeo (ver Fig. 10.24); la longitud de pandeo sK Ycon ello la de la barra sustituta es sK = 2,0 5,0 =10,0 m (caso 1 de Euler). (Para empotramiento elstico -por ejemplo como consecuencia de un asentamiento del terreno de fundacin- ire- sullarla de la Flg. 37 de DIN 4224 un factor > 2,O!). La esbeltez es 1.r;;;' 8K 10 O ). a V12. d a 3,46 rr - 87 > 70 , Considerando Que la esbeltez}. eSj> 70, es necesario tener en cuenta las deformaciones por contraccin diferida. Con Ho =0,5 Mp, No =25 Mp, qJ= 0,2 Y~o tol. =2,5% se calcula la deformacin dife- rida en la forma siguiente: "o 0,5 . 5,0 0,1 " 10 cm 'D . " NO " m 25,0 'K 10,0 0,033 3,3, " 300 300 " m " cm u 2 n [0,6 + 20 0,025] . 3 10 6 . 3 03~, 12 ",," 10,0 2 . 25,0 - 20 . R De la Ec. (10.29) se obtiene 0,8' 2,0 [ 20,8-1 v k '" (0,100 + 0,033) 2,718 1] a 0..011 m - 1,1 cm o, mediante la ecuacin simplificada (10.30) " (O 100 + O 033) 0,8' 2,0 vk , 20,8-1-0,4' 2,0 0 . 011 m . 1,1 cm Con ello resulta como excentricidad determinante e + v k 0,2'::6 + 0,011 0,277 m. 2110 303. t .0,266m o_. O tolo . 8," toIpm t E o 'ii ~ Bn 250 BSt "2ISO Momentos lIexores Barra sustituta Secci6n y materiales Flg. 10."2. Datos para un ele.mplo de c6lculo de elementos comprimidos esbeltos. La excentricidad accidental eu no es necesario sumarla en este caso, ya Que el no mograma de Fig. 10.41 la Incluye. Sin embargo es necesario an determinar las siguientes magnitudes iniciales: na 1,0 -31,5 _ 263 Mp/ m 2 0, 3' 0,4 (JJ =1,0 por ser Bn 250) 1 m .. 1, O 8,' 175 Mp/m 2 0,3 ' 0, 4'0,4 'K -d- ' lO, O 25 O,T "' 0, 277 O,, " 0,69 En ia parte derecha del nomograma (Flg. 10.41) se marca el punto Que corresponde a los valores SK'd =25 Ye/d =0,69; en la escala del borde Izquierdo se busca m =175, Yluego se unen ambos puntos mediante una recta. Entre las rectas gula verticales vecinas, correspon dientes a n = - 200 Y n = - 300, se determina por Interpolacin sobre la recta 1 el punto correspondiente a n = - 263. La ubicacin del punto asi determinado, que da la solucin, refe- rida a las rectas fJJ foIo tal) nos da la cuantla necesaria de armadura. En este caso se llene fJ . foIo tol = 0,022 O,confJ =1,OYfolotol = 0,0 22 Fe noc = Fe noc = % 0,022 30 40 = 13,2 cm! 281 304. SI se traza una linea auxiliar 2 entre el origen de la escala SK/d derecha y el punto que da la solucin, su prolongacin hasta la escala de momentos de la Izquierda nos da el momento Ag segn la teorfa de 11 orden: Il 2 m 300 Mp/m O,Con S. '" 1,0: ~~ 300.0,30,4.0,4 14,4 Mpm 10.5.5. Recomendaciones sobre disposIciones constructivas Tanto para el dimensionado de elementos constructivos como para la verificacin de la seguridad al pandeo, es necesario tener presente algunas prescripciones constructivas conte- nidas en DIN 1045. A ellas corresponden especialmente: El espesor mlnlmo de elementos comprimidos armados con estribos, de seccin llena debe ser: para moldeado in situ verticalmente ); 20 cm para moldeado horizontal y para elementos prefabricados ); 14 cm la armadura longitudinal Fe, en el borde menos comprimido o, en su caso, Iraccionado debe ser ); 0,4% de Fb y la armadura total 1 Fe de la seccin tOlal,); 0,8% Fb. En este caso se entiende como Fb "la seccin de hormlgOn necesaria estticamente". la armadura comprimi- da Fe, en tos casos de verificacin de ta capacidad porlante y de la seguridad al pandeo, debe Incluirse en el clculo, a lo sumo con el valor de la armadura Fe existente en la misma seccin en el borde traccionado o menos comprimido. En las secciones de hormign que desde el punto de vista esttico no se aprovechan to- talmente, las cuantfas mlnlmas de armadura correspondientes a las secciones de hormign existentes, pueden reducirse en la relacin entre el esfuerzo axll de compresin actuante y el que puede absorber la seccin de hormign existente. Esle esfuerzo axll que puede ser absor- bido debe, en este caso, calcularse con la excentricidad que se presenta en la barra, sin modifi- car su esbeltez. "_ N - b. d ~1t - 0,7 , I i-::-O.'- 0.6 t--+-j-+--"--~ --+---.--1 - 0.5f'-.,-l'.....-+-cr....'-+----1~+--1 -0,45-- - 0,4 - O. J t----+-+_ -0.2+-+_ - 0,1 " FIg. 10.43. Ejemplo de la determlnacl6n de la armadura mlnlma para el caso de secciones de hormlgOn no utilizad.s al maxlmo. 282 305. la Flg. 10.43 sirve como aclaracin, y corresponde a una parte simplificada de la Fig. 7.20. Para una seccin rectangular de 30140 cm armada simtricamente con SSt 42150 y de 8n 250, se han obtenido como esfuerzos caracterlsUcos determinantes (por ejemplo luego de reali zar una verlfic.c16n simplificada de la seguridad al pandeo segn Sec. 10.5.3) los siguientes: m" 0,04.; n ~O,4.0 (para carga de servicio) Con estos valores, el punto 1 nos da JoIo nae = ..o = 0,04 o tambin , .lo nec " !Jo 0,04 24.,0 '" 0,17 % A la armadura mlnlma prescripta de JoIo = 14> = 0,411 /D corresponderla ~ = 0,4 - 241HlO ='" 0,10. Con esta armadura, para excentricidad y esbeltez constantes, podrla absor- Mrse el esfuerzo axll relativo n = - 0,45, que se obtiene en el punto 2 de la interseccin de la recta O - 1 con la curva correspondiente a :io = 0,1 . (Observacin: la pendiente de la recta -1 corresponde a la excentricidad relativa existente eld = m/n = 0,1). la cuanUa mlnima relativa referida a la seccin de hormign de 30140 cm resulta enton- ce. .Iomln nec = 0,4. y con ello la armadura mlnlma necesaria 0,40 0 , 45 0,355 % Fenec = Fenec = 0,355 l'Otl . 30 40 4.,3 2 cm 10.6. Verificacin de la .eguridad al pandeo en cesos especllle. 10.8.1. Seguridad al pandeo para el caso de esfuerzo de compresin con excentricidad en dos direcciones 10.6.1.1. Generalidades SI una fuerza de compresin excntrica acta, por ejemplo, en una seccin rectangular no sobre el eje x o el y sino en un plano oblicuo con excentricidades ex y ey (compresin axil con flexin oblicua, pandeo oblicuo), la barra, segn sean los valores de ex/b y eyld, las corres- pondientes rigideces a la flexin EJx YEJy Ylas configuraciones de pandeo en las direcciones x e y, pueden pandear tanto en la direccin x como en la y. Para determinadas relaciones, la direccin de pandeo puede, sin embargo, ser tambin oblicua (no " pandeo en dos direcciones" sino en una direccin oblicua). Para pandeo oblicuo, las verificaciones son naturalmente dltlclles, y no se conocen an soluciones exactas que re Quieran un trabajo ,ezonable. 10.6.1.2. Verificacin simpUflcada de la seguridad al pandeo en flexin compuesta oblicua La DIN 1045 permite varlflcar la seourldsd s, oandeo Independientemente para cada d/- reccln prlncl".)( o y, cuando los tercios medios de las configuraciones de pandeo en los pia- nos J( e y 110 se superponen entre si. Es el caso, por ejemplo, de las columnas del cobertizo de Flg. 10.44, donde en la dlreccin)( la columna funciona como mnsula empotrada en su base (tercio medio de la longitud de pandeo en la zona de empotramiento) y en la direccin y como empotrada en su base y en el extremo superior con una articulacin no desplazable (tercio me- dio de la longitud de pandeo determinante situado en la parte superior de la COlumna). 283 306. Si se superponen los tercios medios de las configuraciones de pandeo (por e/emplo, co- mo en el caso corriente de las columnas de esquina de edilicios elevdos) pueden lambin efectuarse las verificaciones en forma ~areda peral.. direcciones principales x e y, siempre que la columna tenga seccin rectangular y la relacin entre las excentricidades relativas ex/b y eyld se mantenga Inferior a 0,2. Ello significa que el esfuerzo normal resultante est aplicado dentro de la zona rayada de Flg. 10.45, en cuyo caso es tg CI " 0,2 bid. En todos los casos restanles, la OIN 1045 exige una verlflca~/6n a'pandeo para f'ex/n compuesta oblicua, para lo cual la excentrlcld.ad accidental euse determina sobre la base de la mayor de las longitudes de pandeo sKx YSKy' pero que se supone actuando en el plano del mo- mento actuante. La DIN 4224 (H. 220 OAIStb) da para este caso un procedimiento aproximado, pero de aplicacin limitada a columnas de seccin rectangular y longitudes de pandeo sKx = SKy' Con la notacin de Fig. 10.46, el procedimiento aproximado se aplica en la forma que se explica a continuacin. De las excentricidades relativas a los ejes ( e y M J. N 'y M Ni V2 2'e e + e y (10.31) se determina un valor de clculo er de la excentricidad de la carga en funcin del ngulo Jentre la direccin del momento y el eje x: tan J' a J.. Con ello introduciendo la excentricidad accidental eu resulta e {cos,,'}' + -db lsenJ') (e+ e) r u En esta expresin, el lado b corresponde siempre a la direccin x. (10.32) (10.33) La direccin del eje neutro queda determinada en forma aproximada por el ngulo CI con respecto al ele x (como la tangente a la elipse de semidimetros Ix e Iy. ver Sec. 7.3.4) tan CL y 2 ( ~) b M 2 -L (~) M b x (10. 34) Con este ngulo CI y sKx =SKy = sK se determina un valor de clculo sKr de la longitud de pandeo . Kr 2 + (d/ b) . 2 cos Cl (10.35) El resto del desarrollo de la verificacin al pandeo con respecto a un eje oblicuo se redu- ce, medIante el valor de clculo er par. la excentricidad segn Ec. (10.33) y sKr para la longitud de pandeo, a una verificacin de 'egurldad al pandeo respecto del eje y(Flg. 10.46), mediante los procedimientos aproximados explicados en Seco 10.5.3 y 10.5.4. Como valores relativos se Introducen e,lb y sKld Yrespectivamente 1 = 1/12.sKlb,,ln dependlentemente de si b es el lado mayor o menor de la seccin. En la Ec. (10.33), de acuerdo con el procedimiento aproximado para el clculo de er, no es necesario tener en cuenta espe- cialmente la excentricidad accidental. 284 307. Flg. 10.4-4. Ejemplo de un. columna 8n l. que los tercios medios del., longitudes de pandeo SI(x y SKI no se superponen (es admisible una verllicac 60 de l. seguridad al pandeo Inde- pendlenta para 188 dlrecclon.es x e y). t , +- b--+ Direccin de ndeo d d lan .L'l 0,2 b " N Direccin x N rI I I I I I N 'K13 Direccin y Flg. 10.45. Verificacin Independiente en 1.,direcclones x e y admisible, cuando el punto de aplicacin del 8S fuerzo normal cae dentro de las zonas rayadas. Direccin del pi.no de tre- ,lOo Direccin del ele neutro " " ,. " , My /N M./N d y; ...L 'i2 +-- b J Flg. 10.46. Seccin rectangular solicitada a la flexin compuesta oblicua. 285 308. 10.6.2. Verificaci6n de la estabilidad de sfstemas aport/cados la estabilidad de sistemas aportlcados rlgidos no resulta suficientemente asegurada en todos los casos, por las verificaciones de la seguridad al pandeo de los pilares de prtl cos analizados hasta ahora. A este respecto, la DIN 1045 en la Seco 17.4.9 hace algunas consi deraclones. De acuerdo con ellas, el conjunto del sistema puede analizarse segun la teorla de 11 orden para 1,75 veces la carga de servicio, para lo cual se suponen una inclinacin del sistema correspondiente al valor de eu de la barra aislada y valores aproximados de la rigidez a la fle- xin. la DIN 4224 (H. 220 DAIStb) recomienda suponer para la rigidez a la Ilexin: Para la seccin rectangular solicitada a la flexin compuesta (10. 36a) Para Ilexln pura, seccin rectangular con armadura simple (10. 36b) viga-placa con armadura simple (10. 36e) Para flexin con traccin, seccin rectangular (10. 36d) En esta ultima expresin, cuande la seccin de la armadura ne es constante a lo largo de la barra, deben considerarse para ...o y ...;, valores medios. Cuando se trata un sistema aportlcade regular (por ejemplo, prticos de entrepisos en edificios), puede admitirse como medida de la inclinacin, segun Flg. 10.47 t8no. " - ,1,3 ~ h u (lO. 37) donde h = altura total n = nmero de pisos eu = ~ = excentricidad accidental, a determinar para cada piso El factor 1,3 en la Ec. (10.37) tiene en cuenta que la excentricidad accidental determina da para cada una de las barras, deberla suponerse alln con la configuracin de pandeo. Dado que las barras apenas se Inclinan mantenindose rectas, para obtener una seguridad suficien- te, se ha introducido el factor de mayoracln 1,3. En forma aproXimada, y para las relaciones corrientes de rigidez, puede tambin suponerse: 1 tan 0." 154 (10. 38) Para el sistema tetal supuesto inclinado en la forma Indicada, utilizando las rigideces a flexin (EJ)w muy cercanas a las reales, puede calcularse por Iteracin una distribucin de los esfuerzos caracterlsticos y determinar las deformaciones mediante la Ec. (10.25) que da valo res aproximados de las relaciones M - N - lt. 286 309. : :, j-I , I , h , I , I I I I I, I l ~ .. ,. Fig. 10. 7. Definicin del 'ngulo de IncHnacl6n de un prtico. -,,, (...a, J I,I I I .. El anlisis finaliza, cuando el paso (n + 1) de la Iteracin no presenta diferencias sen- sibles de los resultados con respecto a los correspondientes al paso n de la Iteracin. En el apndice del cuaderno 220 DAfStb figuran ms aclaraciones sobre la verificacin del conjunto del sistema. 10.8.3. Verificacin de la seguridad al pandeo en columnas zunchadas La Influencia creciente del zunchado sobre la carga portante debe (ver Seco 7.4) tenerse en cuenta para el clculo slo hasta esbelteces .1. = sK/i " 50 Yexcentricidades eld" 1/8, por cuanto la misma, al aumentar la flexin deja de ser e'ecliva. Para columnas zunchadas con l > 20 es necesario tambin lener en cuenta la deformacin del eje de la barra segn la leorla de 11 orden. Dado que .l est limitada a 50 puede, en general, utilizarse para columnas zuncha das la aproximacin segn Seco 10.5.3. Tambin la excentricidad normal e =M/N debe aumentarse del valor f segn Ec. (10.18): r A - 20 d k 100 VO" +..!... ~ O d - k (10. 39) la ecuacin (7.135) que aparece en la Seco7.4 para la determinacin del incremento de la carga portante debido al zunchado, en el caso de columnas donde exista el peligro de pan deo, toma la siguiente forma: (10. 40) Para columnas zunchadas esbeltas, slo podr tenerse en cuenta el aumento de la ca pacidad portante como consecuencia del zunchado, cuando se cumpla e + f 1 -- ~ - d - 8 k 10.7. Capacidad portante de elementos comprimidos de hormign simple 10.7.1. Sobre el comportamiento bajo carga de elementos comprimidos de hormign simple lOs elementos comprimidos de hormign simple, aun en el caso de esbeltez moderada, son sensibles a las variaciones de la excentricidad de la carga, porque la aparicin de ten slones de traccin al analizar la seguridad, hace Que sea necesario considerar la fisuracln y con ello una reduccin de la seccin act iva. A este respecto, se remite a los valores incremen 287 310. tados de los coeficientes de seguridad y ecuaciones de dimensionado en funcin de (JR y de la excentricidad e que figuran en Seco 7.6. De las consideraciones efectuadas en la Seco 10.2, relativas a la capacidad portant& de elementos esbeltos comprimidos armados considerando su CUl'latura, el consecuente aumento de la excentricidad (rearla de JI orden) y adems la influencia de la contraccin diferl da e imperfecciones constructivas, resulta que los elementos de hormign simple comprlml dos, al aumentar su esbeltez, deben calcularse con coeficientes de seguridad mayores que pa ra el caso de los elementos armados. Fundamentalmente, para elementos comprimidos de hormign simples podrlan tamo bln establecerse las relaciones M - N -x, y mediante las mismas (ver Seco 10.3.3) calcular la carga Que,al ser sobrepasada, harla que los esfuerzos caracterfsticos internos no pudieran acampanar el incremento de los esfuerzos caracterlstlcos externos. Pero, considerando que Ids elementos comprimidos de hormiQn simple, slo en muy pocos casos son esbeltos y Que casi nicamente se utilizan como paredes, se prescinde aqul del desarrollo de dichoS medios auxiliares de clculo. Para casos especiales consideraremos los procedimientos de M. Levy y E. Spira (137] y B. Lewicki (138J. Los autores nombrados en primer trmino parten en su anlisis de un diagrama IN curvo para el hormign (hasta 3,6 0/00) Ycontrariamente a los principios bsicos aceptados en Ale manla, Introducen en el clculo tambin la resistencia a la traccin del hormign (deformacin por traccin (b " 1 0/00). En la Fig. 10.48 se han representado los resultados de dicho estudio. El diagrama da para una dada esbeltez sKld Yaxcentricidad normal e/d, el valor de la carga por tante nU referida a bd PR. Dado Que no se tuvieron en cuenta imperfecciones (es decir, aumen tos de la excentricidad accidental) ni la Influencia de la contraccin diferida, es necesario ele- gir un coeficiente de seguridad mayor, por ejemplo 2,5 a 3,0, para poder obtener de Pkr la carga de servicio admisible. La linea de trazos da, para loS valores situados a su Izquierda, la resiso tencia a la compresin del hormign y a la derecha la estabilidad del elemento comprimido, de- terminantes del colapso del elemento. Por debajo de la linea de puntos se tiene la zona para la cual aparecen fisuras antes de alcanzarse la carga de servicio. Numerosos edificios altos se han construido con paredes de carga de hormign simple (espesores de no menos de 7 cm para alturas de pisos de 2,75 m y arriostradas las paredes con tabiques transversales), lo que comprueba la posibilidad de utilizar dichos elementos compri mldos. .... '/d - -"O,O,,l ......... ""'"..... ~S .......... .......... 0.8 /' 0--' """'- ......t--......... JO, '. '" ..... o'1S r-...... -..:.;,;;;;----.. .............. 0,6 ............ O,,lO, r-.. .......... -.....::.:,-.-.. .... ........... ~ r-. ---- o'JO, 04 0.2 "'" . OJ5 040 o 5 /O /5 20 25 JO J5 Fig. 10.48. Carga portante NU de elementos comprimidos sin armadura en funcin de la esbeltez SKld Yde la excentricidad relatlva eld j137j. 288 311. 10.7.2. Dimensionado de elementos comprimidos esbeltos de hormign simple segn DIN 1045 La DIN 1045 da un procedimiento aproximado para tener en cuenta la Inlluencia reduc tora de la esbeltez sobre la capacidad portante, que, junto con las normas de clculo dadas en Seco7.6, permiten obtener estructuras porlantes suficientemente seguras. En principio se exige que para barras comprimidas la esbeltez.l. = SKIi" 40 (es decir, que para secciones rectangulares SK/d < 11,5) no debe ser sobrepasada. Para paredes, donde fallas localizadas resullan protegidas por zonas vecinas ms resistentes, la esbeltez limite es mayor,a saber .l." 70 (para la seccin rectangular SK/d" 20). La reduccin de la carga portante como consecuencia de las deformaciones del eje de la barra, se tiene en cuenta mediante un coeficiente le, con el que debe disminuirse la carga por- tante calculada mediante la Ec. (7.151): La expresin le es donde: m = e/k = k =WoIFb = A m x 1 --(1+-) 140 3 excentricidad referida al radio nuclear k radio nuclear referido al borde comprimido y simplemente para secciones rectangulares , 1 (1 + 2: ) (10.41) (10.42) la DIN 4224 (H. 220 OAfStb) Incluye un diagrama, del que pueden obtenerse los valores de le. 289 312. FRITZ LEONHAROT ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO ,. Bases pala el dimensionado de estluctulas de hOlmign armado Estructuras de hormign armado. monumental tratado de Fritz Leonhardt con Eduard Monnig como coautor de los tres primeros tomos, esta planeado en seis partes: "Bases para el dimensionado de estructuras de hormign armado", "Casos especiales del dimensionado", "Bases para el armado de estructuras", "Verificacin de la capacidad de uso", "Hormign pretensado" y "Construccin de puentes monoliticos". En esta primera parte se abordan los aspectos lundamentales del dimensionado de estructuras de hormign armado, o sea, las propiedades de los materiales constituyentes del hormign, de los aceros para armaduras y del hormign armado propiamente dicho. Trata. tambin, el comportamiento de los elementos estructurales bajo la accin de las solicitaciones, presenta modernas consideraciones sobre la teoria de seguridad de las estructuras, y enfoca problemas especificos del dimensionado de elementos solicitados a flexin, a esfuerzos de corte y a torsin, y del dimensionado de elementos comprimidos, incluso pandeo. El gran valor del texto radica, por una parte, en el propsito de hacer comprender el funcionamiento del complejo material hormigon armado y. por otra. en proporcionar ayuda practica para el dimensionado en el trabajo diario del constructor. Estructuras de Ilurrnlgon armado es, en pocas palabras, una obra ya clasica que satisface todas las necesidades del estudio y tambin de la practica. La admirable precisin de la redaccin y el estilo facil. hacen de eUa un texto de enseanza especialmente valioso. De nuestro catalogo Enrique L De Luca Hormign pretensado Benno losser Hormign armado (8" ediCin) Oreste Moretto: Curso de ,'7ormlgn armado (2" ediCin) ~ - 11111111- 924