leis de newton

Leis de Newton

Prof. Climério Soares

Um pouco de história

O movimento e suas causas foram estudadas desde a Grécia antiga, a cerca de mais de 2000 anos.

Aristóteles (384 – 322 a.C.) afirmava que para manter um corpo em movimento era necessário a ação de uma força atuando continuamente sobre uma corpo.

As ideias de Aristóteles permaneceram por um longo período até que forma contestadas pelo italiano Galileu Galilei (1564 -1642) no século XVII.

Galileu foi o responsável pela Revolução Científica que modificou as ideias de Aristóteles introduziu a experimentação como procedimento para comprovar uma ideia.

Para argumentar contra a ideia de Aristóteles de que um corpo só se manteria em movimento se existisse uma força agindo continuamente, Galileu utilizou uma experiência do pensamento:

Se uma bola rola descendo uma rampa (plano inclinado), sua velocidade aumenta à medida que ela desce.

Experimento do plano inclinado de Galileu

Galileu observou que, na segunda rampa, a bola atingia uma altura ligeiramente menor à que tinha na primeira rampa. Atribuiu essa pequena diferença na altura ao atrito existente entre a bola e o piso de madeira. Ao diminuir a inclinação da segunda rampa, observou que a bola continuava atingindo praticamente a mesma altura inicial, percorrendo uma distância maior. Imaginou o que aconteceria se pudesse eliminar todo o atrito do sistema, e torna a segunda rampa, pouco inclinada e, num caso extremo, torná-la horizontal.

Assim, concluiu que bola continuaria rolando com velocidade constate, indefinidamente (para sempre), sem que nenhuma força fosse necessária para manter esse estado de movimento.

O inglês Isaac Newton (1642 -1727), estendeu o trabalho de Galileu e formulou as três leis fundamentais do movimento, publicadas, em 1686, no seu livro Princípios Matemáticos da Filosofia Natural. As Leis de Newton são estudadas na parte da Mecânica Clássica denominada Dinâmica (estudo do movimento dos corpos levando em consideração suas causas).

Conceitos fundamentais: força e massa.

O que é força?

Na linguagem do quotidiano, exercer uma força sobre qualquer corpo nos lembra puxar ou empurrar. As forças podem ser classificadas como sendo de contato, quando puxamos ou empurramos algum corpo; ou de interação à distância, como ocorre entre dois ímãs, por exemplo. Segundo Newton, força é a “ação” que produz aceleração, ou seja, variação de velocidade.

Uma característica importante da força é que ela é uma grandeza vetorial.

Força resultante

Em diversas situações, um corpo pode estar sujeito à ação de várias forças. Nesse caso, representamos essas forças por apenas uma, denominada força resultante.

A força resultante é obtida a partir da soma vetorial das várias forças que atuam no corpo.

)( RF

NR FFFFFF

.....4321

Força resultante e o equilíbrio.

Quando a resultante das forças que atuam em um corpo é nula, dizemos que o corpo está em equilíbrio.

0RF

Equilíbrio

Estático Dinâmico

REPOUSO URM ..

No Sistema Internacional (SI), a unidade de medida de força é o newton cujo símbolo é N e cuja definição será dada ais adiante.

Observação: conforme as regras do SI, quando o nome de uma unidade de medida é escrita por extenso, deve-se usar letras minúsculas, mesmo que essa unidade seja derivada de um nome próprio, como é o caso de newton; nesse caso, apenas o símbolo é escrito com letra maiúscula (N).

Massa: é a grandeza física que mede a quantidade de matéria contida em um corpo. As unidades de massa mais utilizadas são o quilograma (kg), o grama (g) e a tonelada (t), onde:

1 t = 1000 kg = 10³ kg

1ª Lei de Newton (Lei da Inércia)

Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme, a menos que seja obrigado a mudar esse estado por forças aplicadas sobre ele

Um outro enunciado da 1ª Lei de Newton baseado na força resultante é o seguinte:

Se a resultante das forças que atuam em um corpo for nula , sua velocidade não pode mudar, ou seja, o corpo não pode sofrer uma aceleração.

)0(

RF

O que é inércia?

Segundo Newton, inércia é uma propriedade que os corpos têm de oferecer resistência à qualquer mudança em seu estado de movimento.

Por isso que 1ª Lei de Newton é também conhecida como Lei da Inércia.

A massa de um corpo pode também ser definida como a medida da inércia de um corpo, visto que quanto maior for a massa do corpo, mais difícil será alterar seu estado de movimento.

Por exemplo: é mais fácil frear um carro do que um caminhão, justamente porque o carro tem menos massa que um caminhão.

Referencial Inercial

Como vimos nas unidades anteriores, o movimento de um corpo depende de um referencial. Um referencial inercial é aquele onde vale a Lei da Inércia. Neste referencial, um corpo só pode variar a sua velocidade pela ação de uma força resultante não-nula.

Quando um ônibus freia, os passageiros, em repouso em relação ao ônibus, são lançados para frente sem a ação de uma força. Isso mostra que o ônibus não é um referencial inercial, pois há variação de velocidade sem ação de uma força.

Os referenciais inerciais não estão acelerados em relação às estrelas fixas. Os referenciais acelerados em relação a Terra não são referenciais inerciais. A própria Terra não é um referencial inercial, por conta de seu movimento de rotação. Porém em movimentos de curta duração, a Terra é considerada praticamente inercial.

Ilustrações evidenciando a 1ª Lei de Newton

Ao puxar bruscamente, a cartolina acelera e a moeda cai dentro do copo.

Quando o cavalo freia subitamente, o cavaleiro é projetado.

Segurança no Trânsito

Se o carro estiver em equilíbrio (estático ou dinâmico), você também estará. Ao sofrer a colisão uma força atua sobre o carro mudando a velocidade dele e não a sua (inicialmente). Assim, seu corpo continua seu movimento para frente. O cinto de segurança impede que você seja lançado contra o pára-brisa. No segundo momento do choque, seu corpo vota para trás; e o encosto previne fraturas na sua coluna vertebral.

2ª Lei de Newton (Lei Fundamental da Dinâmica)

A primeira lei de Newton informa como se comporta um corpo livre de forças ou em equilíbrio. Já a segunda lei representa uma relação entre a força aplicada sobre o corpo e a aceleração que ele adquire: a resultante das forças que agem sobre um corpo é diretamente proporcional a aceleração que ele adquire, sendo a constante de proporcionalidade a massa do corpo. Matematicamente:

A partir dessa expressão que fica definida a unidade de força no SI: 1N é a força necessária para acelerar uma massa de 1 kg com uma aceleração de 1 m/s², ou seja:

1 N = 1 Kg ∙ 1 m/s²

RR amF


Uma outra unidade de força obtida a partir da 2ª Lei de Newton é o dina (dyn), definida como a força necessária para acelerar um corpo de 1 g de massa produzida uma aceleração de 1 cm/s². Fica como exercício mostrar que: 1 dyn = 10-5 N.

Analise qualitativa da 2ª Lei.

(A força resultante é diretamente proporcional à aceleração resultante);

(A força resultante é diretamente proporcional à massa do corpo);

RR aF

mFR


maR

1

(A aceleração resultante é inversamente proporcional à massa do corpo).

1. A força da mão acelera a caixa;

2. Duas vezes a força produz uma aceleração duas vezes maior;

3. Duas vezes a força sobre uma massa duas vezes maior, produz a mesma aceleração original.

1. A força da mão acelera a caixa;

2. A mesma força sobre uma massa duas vezes maior, causa metade da aceleração;

3. Sobre uma massa três vezes maior, causa um terço da aceleração original.


Exemplo 1: (UNEB) Uma força de 20 N, quando aplicada sobre um corpo, provoca no mesmo uma aceleração de 5 m/s². A massa do corpo é igual a:

a) 4 kg b) 5 kg c) 6 kg d) 7 kg e) 10 kg

Pela 2ª Lei, temos


kgmmaFm 4

520

Exemplo 2: (UESB) Um corpo de massa 500 g está sujeito à ação das forças e , cujos módulos são iguais a 3 N e 4 N, respectivamente. Desprezando-se as forças dissipativas, a aceleração do corpo em m/s² é:

a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 4

1F

2F

1F

2F

.52543 22222

21

2 NFFFFFF RRRR

2105,05 smaa

mFa

aFm RR

Exemplo 3: (UEFS) Uma força constante de módulo 10 N atua sobre um corpo de massa m que parte do repouso e atinge uma velocidade de módulo 10 m/s, no intervalo de tempo de 4 s. Desprezando-se as forças dissipativas, a massa do corpo, em kg, é:

a) 3,0 b) 4,0 c) 5,0 d) 10 e) 11,0

Para encontrar o valor de m usando a 2ª Lei de Newton, já foi informado o valor da força. Precisamos encontrar o valor da aceleração. Usando a definição da aceleração, temos:

Usando, agora a 2ª Lei,

temos:

25,24010 sma

tva

kgmaFm 4

5,210

Exemplo 4: (UFPE) Um objeto de 2,0 kg descreve uma trajetória retilínea, que obedece à equação horária s =7,0 t² + 3,0 t + 5,0, na qual s é medido em metros e t em segundos. O módulo da força resultante que está atuando sobre o objeto é, em N:

a) 10 b) 17 c) 19 d) 28 e) 35

A partir da análise da equação horária que foi dada no problema, temos que o módulo da aceleração é a = 14 m/s².Agora podemos usar a equação da 2ª Lei:

NFmaF 28142

3ª Lei de Newton (Lei da Ação e Reação)

Sempre que um corpo exerce uma força (ação) sobre outro, este também exercerá uma força (reação) sobre o primeiro. Em toda interação sempre existe um par de forças chamadas de ação e reação.Assim, a 3ª Lei de Newton afirma que se um corpo A aplicar um força sobre um corpo B, então o corpo B aplicará sobre A uma força de mesmo módulo, mesma direção, mas de sentido contrário. Em outras palavras, a toda ação corresponde uma reação igual (em intensidade e direção) e oposta (em sentido), ou seja:

BAAB FF

3ª Lei de Newton (Lei da Ação e Reação)

Observação: Um par de ação e reação nunca se anulam pois atuam em corpos diferentes.

Ilustrações da 3ª Lei.

Força Peso

Algumas Forças Especiais

P

É a força de atração gravitacional produzida pela Terra (ou por qualquer outro planeta) exercida sobre corpos próximos à sua superfície.

Todos os corpos abandonados próximos à superfície terrestre caem com a mesma aceleração (desprezando-se a resistência do ar) denominada aceleração da gravidade cujo módulo é aproximadamente 9,8 m/s². Sendo m a massa do corpo, teremos pela 2ª Lei:

)(g

gmP

Força Peso

O peso é um vetor que tem direção vertical apontando no sentido do centro da Terra.

Força Peso

Observação: não confunda peso com massa! A depender de onde for medido, o módulo do peso muda porque a aceleração da gravidade muda de um ponto para outro da superfície terrestre, enquanto o valor da massa do corpo permanece o mesmo, qualquer que seja o lugar onde for medido.

Como o peso é uma força, sua unidade de medida é o newton (N). Outra unidade de medida é o quilograma-força (kgf), equivalente a força que a Terra atrai um corpo de 1 kg. Temos que 1 N = 9,8kgf. (Fica como exercício mostra essa igualdade). Assim, se você subir sobre uma balança de farmácia, a leitura lhe indicará seu peso. Se você pudesse realizar a mesma medida na Lua, veria que o valor seria diferente, pois lá g ≈ 1,6 m/s².

Força Normal )(N

Quando um corpo está apoiado sobre uma superfície, ele exerce uma força sobre a superfície. De acordo com a 3ª Lei de Newton, a superfície também exerce uma força sobre o corpo. Tal força é chamada de normal (em matemática, um vetor perpendicular a uma superfície é denominado vetor normal). Sempre que um corpo estiver apoiado sobre uma superfície horizontal, seu peso irá comprimir a superfície e, neste caso, a normal será igual ao peso do corpo.

Força de Tração )(T

Quando uma corda (ou um fio, cabo ou outro objeto do mesmo tipo) é presa a um corpo e esticada, aplica uma força orientada ao longo da corda. Esta força é chamada de tração porque a corda está sendo tracionada (puxada). A tensão da corda é o módulo T da força exercida sobre o corpo.

Força de Tração Uma corda é frequentemente considerada de massa

desprezível, em comparação com a massa corpo ao qual está presa, e inextensível (que não estica). Nesse caso, a função da corda é ligar os dois corpos (figura a). Ela puxa os dois corpos com forças de mesmo módulo, mesmo que os dois corpos e a cordas estejam acelerados e mesmo que a corda passe por uma polia de massa desprezível e de atrito desprezível (figura b e c).

Força de Atrito )( atF

É uma força que surge sempre que duas superfícies estão em contato e há uma tendência de movimento entre elas. Esta é uma força que sempre se opõe ao movimento dos corpos.

Cada vez que um corpo desliza sobre o outro, cada um exerce uma força paralela à superfície de contato entre eles.

Como observado na figura anterior, a força de atrito é sempre contrária ao movimento relativo das superfícies que estão em contato. Um exemplo disso é quando andamos. Devido ao atrito, nosso pé empurra o chão com uma força para trás . Pela Terceira Lei de Newton, o chão reage empurrando nosso pé com uma força de mesmo módulo, mas de sentido contrário (para frente).

atF

atF

Nenhuma superfície é perfeitamente lisa. A figura abaixo mostra uma superfície bastante lisa observada através de um microscópio potente (microscópio de varredura). As irregularidades são consequência da estrutura da matéria.

Considere a seguinte experiência: a figura abaixo mostra um bloco em repouso sobre uma superfície horizontal seca (sem lubrificante). Podemos observar que o loco permanece em repouso até que a força de atrito atinge um valor limite (ou máximo). Assim, até a iminência do movimento temos a força de atrito estático .)( EatF

Força de atrito estático e cinético

Quando o bloco começa a se movimentar, a experiência mostra que a força de atrito entre ele e a superfície decresce. Para manter o bloco em movimento uniforme, temos que aplicar uma força menor que a força de atrito estático máximo.

A força de atrito entre duas superfícies em movimento relativo é chamada de força de atrito cinético ou dinâmico . )( CatF

Experiências mostraram que a força de atrito é proporcional a força normal. Assim, para calcular o módulo da força de atrito usamos a seguinte expressão:

onde a letra grega “mi” (µ) é uma grandeza adimensional chamada de coeficiente de atrito, que representa a dificuldade de deslizamento entre os corpos. Há dois tipos de coeficientes de atrito:

Coeficiente de atrito estático (µE), utilizado quando o corpo ainda estiver em repouso.

Coeficiente de atrito cinético ou dinâmico (µC), utilizado quando o corpo já está em movimento.

NFat

Na figura abaixo são mostrados alguns valores de coeficiente de atrito estático e cinético entre duas superfícies em contato:

Gráfico da força de atrito versus força aplicada

Observações:

a força de atrito depende das superfícies que estão em contato; a força de atrito é independente da área de contato entre as superfícies.

Sempre que um corpo recebe ação de uma força, ele sofre uma deformação. Em alguns casos, essa deformação é bem visível como quando se aperta uma bola de borracha ou se puxa uma mola. Quando a força pára de atuar, o corpo pode voltar a sua situação original, ou não. A força que atua no sentido de devolver o corpo para sua situação original é chamada de força restauradora.

O cientista inglês Robert Hooke (1635 – 1703) verificou experimentalmente que a intensidade da força aplicada à uma mola é diretamente proporcional à sua deformação. Matematicamente:

onde

Força Elástica (Lei de Hooke)

xkFel

0x

Na equação anterior (Lei de Hooke), o sinal negativo é para indicar que e têm sentidos opostos (o módulo da força elástica é calculado por ). A constante é conhecida como constante elástica da mola (unidade no SI: N/m) e está relacionada às suas características: quanto maior o valor k, mais “dura” e resistente será a mola.Uma mola é chamada de “ideal” quando submetida a uma deformação (distensão ou compressão) ela retorna à sua forma original obedecendo assim a Lei de Hooke.

elF

x

xkFel

Na prática, uma “mola real” obedece a Lei de Hooke até um determinado valor de deformação que chamamos de limite elástico. A partir desse valor, a deformação da mola torna-se permanente.

A figura abaixo mostra o gráfico de uma mola que obedece a Lei de Hooke.

Medição de força. As propriedades elásticas de uma mola pode ser

usada para medir a intensidade de uma força. O equipamento construído com esse fim é chamado de dinamômetro (do grego: dynamis, força; métron, medida).

Aplicações da Lei de Newton A) Corpos se movendo em conjunto.

Exemplo 5: Três blocos A, B e C de massas mA = 1 kg, mB = 3 kg e mC = 6 kg estão apoiados em uma superfície horizontal sem atrito. A força horizontal , de intensidade constante F = 5 N, é aplicada ao primeiro bloco A. Determine:a) a aceleração adquirida pelo conjunto;b) a intensidade da força que A exerce em B; e a intensidade da força que B exerce em C.

F

Solução:Para aplicarmos a 2ª Lei de Newton , precisamos analisar todas as forças que estão agindo em cada bloco. Para isso utilizamos o diagrama de corpo livre. Em cada bloco o peso e a força normal se anulam, pois não há movimento na vertical.

a) Para determinarmos a aceleração adquirida pelo conjunto, consideramos a sistema de corpos como um único bloco, porque eles se movem juntos, como mostra a figura abaixo.

P

N

Assim usando a 2ª Lei de Newton, temos:

b) Para determinarmos a interação entre os corpos devemos estabelecer o diagrama de corpo livre na direção do movimento. Na figura abaixo, a força é a força de contato entre os blocos (força que cada bloco exerce sobre o outro). No caso, é a força que A exerce em B e vice-versa e é a força que B exerce em C e vice-versa (pela 3ª Lei de Newton).

aammmFmaF CBA 105)( 25,0 sma

f

1f

2f

Utilizando a 2ª Lei de Newton, vamos encontrar primeiro o módulo da força que B exerce em C:

5,0622 famf C Nf 32

5,135,033 1121 ffamff B

Nf 5,41

Exemplo 5: Dois corpos A e B de massas iguais mA = 2 kg e mB = 4 kg estão apoiados numa superfície horizontal perfeitamente lisa. O fio que liga A e B é ideal, ou seja, de massa desprezível e inextensível. A força horizontal tem intensidade a 12 N, constante. Determine: a aceleração do sistema e a intensidade da força de tração do fio.

Solução:Como no exemplo anterior, as forças normal e peso se anulam em cada bloco; por isso só vamos considerar as forças que estão atuando na horizontal: a força de tração do fio entre A e B e a força que está puxando o conjunto. Na figura a seguir é mostrado o diagrama de corpo livre.

F

F

Como os blocos estão se movendo juntos e o fio é inextensível, podemos usar a 2ª Lei de Newton para determinar a aceleração considerando a massa total do conjunto:

aammF BA 612 22 sma

Agora, para encontrar o módulo da tração no fio, podemos usar tanto a resultante no bloco A quanto a resultante no bloco B. Então, usando a equação fundamental da dinâmica aplicada ao corpo B, temos:

22TamT A NT 4

B) Roldana ou polia Uma roldana, ou polia, é um instrumento utilizado para mudar a direção de uma força aplicada a uma fio, cabo ou corda. Quando a massa da roldana poder ser considerada desprezível e não oferecer nenhuma resistência ao movimento da corda que passa por ela, diz-se que a roldana é ideal. Sendo a corda ideal, as intensidades das forças aplicadas nos seus extremos são iguais.

Exemplo 6: Os corpos A e B da figura têm massas respectivamente iguais a mA = 6 kg e mB = 2 kg. O plano de apoio é perfeitamente liso e o fio é ideal. Não há trito entre o fio e a polia, considerada sem inércia. Adote g = 10 m/s². Determine a aceleração do conjunto a tração do fio.

Para resolver o problema, precisamos fazer o diagrama de corpo livre para observar a ação das forças em cada corpo.Solução:

Em A,a força normal e o peso se anulam, pois não há movimento na vertical. Logo, pela 2ª Lei, temos:

(I). Agora vamos analisar as forças em B: sua aceleração é a mesma de A, pois o fio não estica. O peso tem o meso sentido da aceleração e a tração se opõe à aceleração. Assim, pela 2ª Lei de Newton, temos:

aTamT A 6

BP

amTPmaF BBR

(II). Substituindo a equação (I) na equação (II), e sabendo que P = mB∙ g, podemos encontrar a aceleração do conjunto:

Para encontrar o valor da tração no fio, basta usar ou a equação (I) ou a equação (II). Então vamos usar a (I) por ser a mais simples:

Obs.: você poderia ter encontrado a aceleração do conjunto usando:

208261026 aaaamagm BB

²/5,2 sma

aT 6 NT 15

aagmammP BBAB 81068 ²/5,2 sma

Exemplo 7: No arranjo experimental da figura, os corpos A, B e C têm, respectivamente, massas iguais a mA = 5kg, mB = 2 kg e mC = 3 kg. A aceleração da gravidade é 10 m/s². Os fios são inextensíveis de inércia desprezível; não há atrito entre os fios e as polias; o plano horizontal é perfeitamente liso. Determine:a) a aceleração do sistema de corpos;b) as trações nos fios.

Solução:

O peso de B é anulado pela reação normal do apoio; porém os pesos de A e C são forças externas ativas. PA > PC. Por isso, o sistema é acelerado para direita.Vamos analisar cada corpo separadamente. No caso, há duas trações, pois temos dois fios:

Aplicando a Equação Fundamental da Dinâmica a cada corpo, temos:

aTamTP AA 550 11

aTTamTT B 22121

aTamPT CC 33022

aTaTTaT

3302550

2

21

1

aa 10203253050

Resolvendo o sistema de equações, vem:

22 sma

(I)

(II)

(III)

+

A partir da equação (I), temos:

1050550 11 TaT NT 401 A partir da equação (III), temos:

630330 22 TaT NT 362

Observação: para o cálculo rápido da aceleração, poderíamos ter aplicado a 2ª Lei ao conjunto de corpos, tomando a massa total, e observando que tem o mesmo sentido da aceleração e se opõe:

AP

CP

amgmgmamPP TCATCA a10305022 sma

Exemplo 8: No arranjo experimental da figura, os corpos A e B têm, respectivamente, massas iguais a mA = 2kg, mB = 6 kg. Os fios e a polia têm massas desprezíveis. Não há atrit entre o fio e a polia. Adote g = 10 m/s². Determine: a) a aceleração do conjunto;b) as trações dos fios.

Solução:

a) Esse arranjo experimental é conhecido como máquina de Atwood (1745 – 1807) físico inglês que com um arranjo deste tipo estudou a queda dos corpos. O corpo A desce enquanto o corpo B sobe, visto que o peso de A é maior que o de B.

Na figura abaixo estão representadas as forças que agem em cada corpo.

A partir da 2ªLei, podemos escrever:

Corpo B: (I)

Corpo A: (II)

Resolvendo o sistema de equações (I) e (II), vem:

aTamgmTamPT BBBB 220

aTamTgmamTP AAAA 660

aTaT660220

aaa 840622060 25 sma

b) Qualquer uma das equações anteriores serve para encontrar o valor de T. Por exemplo, a (I):

2010220 TaT NT 30

TTTTTFR 2''0 NT 60'

A tração T’ no fio que liga o eixo da polia ao teto pode ser obtida observando que a polia te peso desprezível e o eixo está em equilíbrio. Assim, a resultante das forças deve ser nula

B.1) Associação de polias

(A) (B)Na figura A, a força tem o mesmo valor do peso . No caso da figura B, há duas polias, a de cima é fixa (seu eixo é fixo) e a de baixo é móvel (seu eixo pode subir e descer). Como o corpo está preso na polia de baixo, ela recebe uma

T

P

força igual a . Para que ela suba com velocidade constante deve-se ter . Assim, o esforço necessário para elevar o corpo é apenas a metade do peso dele.

T2

2PT

Exemplo 9: Determine a força que o homem deve exercer no fio para manter em equilíbrio estático o corpo suspenso de 120 N. Os fios são considerados inextensíveis e de massas desprezíveis; entre os fios e as polias não há atrito. As polias são ideais, isto é, seu peso é desprezível.

Solução: Para que haja equilíbrio, a resultante das forças deve ser nula. No corpo suspenso , pois não há aceleração. Na figura abaixo é mostrada a distribuição das trações:

PT

Então, o homem equilibra o peso de 120 N exercendo uma força de intensidade bem menor: 15 N.

C) Plano inclinado Como o nome sugere, o plano inclinado é um plano com um ângulo de inclinação em relação à direção horizontal. Como foi visto anteriormente, quando um corpo está apoiado em uma superfície horizontal, o módulo do peso é igual ao da normal. Por outro lado, no plano inclinado, o peso é “parcialmente distribuído” devido a inclinação. Abaixo é mostrado o diagrama de corpo livre das forças:

Observe que, devido à inclinação, o peso foi decomposto em duas componentes: uma na direção do plano e outra perpendicular ao plano. A componente na direção do plano é denominado e a perpendicular ao plano é . Como não há movimento na direção y, . Temos que

Logo, pela 2ª Lei de Newton:

xP

yP

NPy

mgsenPsenPx

coscos mgPPy

xx maP gsenax

yy maPN cosmgN

Exemplo 10: Um engradado de massa 50 kg é puxado por um operário, para dentro de um caminhão, através de uma rampa de inclinação 30°. Se a força que operário puxa o engradado faz um ângulo de 20° com a rampa e ele sobe com velocidade constante, calcule o valor da força com que o engradado é puxado e a reação normal. Considere a superfície totalmente lisa e g = 9,8 m/s².

Solução:O primeiro passo é decompor as duas forças (peso e a que puxa o corpo), para depois utilizarmos a 2ª Lei de Newton, supondo o eixo 0x. A força peso é decomposto em duas componentes:

A força que puxa o engradado tem componentes:

Na direção perpendicular ao plano a força resultante é zero (não há movimento):

NmgsenPx 24530 NmgPy 42430cos

20cosFFx

20FsenFy

yyyy FPNPFN

Na direção do plano a força resultante também é zero (a velocidade é constante):

Sendo cos 20° = 0,94, temos

Sendo sen 20º = 0,34, vem

Assim,

NPFPF xxxx 2450

NFFFFF xx 261

94,0245

20cos20cos

NFFsenF yy 8920

NNNFPN yy 33589424

A partir da noção de iminência de movimento, podemos fazer um experimento simples para determinar o coeficiente de atrito estático. Inclinamos aos poucos o plano de apoio até o instante em que o corpo fique na iminência de escorregar. Quando o corpo está na iminência de escorregar a força de atrito atinge o seu valor máximo:

cos.)( PNF eemáxat

Estando o corpo em equilíbrio, o módulo da força de atrito deve ser igual ao da componente do peso na direção de 0y:

Como , temos que .

Assim, conhecendo o ângulo θ do plano com a horizontal, quando o corpo se encontra na iminência de escorregar, poderemos determinar o coeficiente de atrito estático a partir da expressão:

coscos.)(

senPsenPPF eexmáxat

cossentg tge

tge

Exemplo 11: Sobre um plano inclinado de ângulo θ variável, apoia-se uma caixa de pequenas dimensões, conforme sugere o esquema a seguir.

Sabendo-se que o coeficiente de atrito estático entre a caixa e o plano de apoio vale 1,0, qual o máximo valor de θ para que a caixa ainda permaneça em repouso?Solução:Sabe-se que . Como foi informado que , temos que tg θ = 1. Então θ = 45°.

tge 1e

Exemplo 12: O bloco A de massa igual a 3,0 kg está apoiado num plano inclinado que forma um ângulo θ em relação a horizontal. O bloco A está na iminência de escorregar para baixo. Determine, nessas condições, o peso do bloco B. O coeficiente de atrito estático entre o bloco A e o plano é μe = 0,50. (Dados: sen θ = 0,60; cos θ = 0,80; g = 10 m/s²). Considere o fio a polia ideais.

Solução:Na figura abaixo é mostrado o esquema das forças em cada corpo.

Observe que a força de atrito que o plano exerce sobre o bloco A, está apontando para cima, pois o bloco A está na iminência de escorregar para baixo. Visto que os blocos estão em equilíbrio, podemos escrever:

bloco B: bloco A:

Portanto:

Como bloco A está a iminência de escorregar, temos:

Então:

BPT

xat PFT

atxB FPP

yeeat PNF

NPPPsenP xxx 1860,0100,3 NPPPP yyy 2480,0100,3cos

2450,018ByexB PPPP NPB 0,6

Exemplo 13: Um bloco é lançado sobre um plano horizontal com velocidade de 30 m/s e percorre 90 m até parar. Considere g = 10 m/s² e calcule o coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e plano.

Solução:

Usando a equação de Torricelli, determinamos a aceleração escalar do bloco:

22220

2 0,59023002 smsvv

Como o peso e a normal se anulam, concluímos que a força resultante é a força de atrito . Como e .Logo,

Pela 2ª Lei de Newton, . Então:

Sendo , vem:

)( atR FF

NF Dat

gmPN

mgFF DatR

maFR

gamgma DD 20,5 sma

105 D 50,0D

Exemplo 14: (FEI-SP) O bloco da figura de massa m = 4,0 kg, desloca-se sob a ação de uma força horizontal constante de intensidade F. A mola ideal, ligada ao bloco, tem comprimento natural (isto é, sem deformação) l0 = 14,0 cm e constante elástica k = 160 N/m.

Desprezando-se as forças de atrito e sabendo que as velocidades escalares do bloco em A e B são, respectivamente, iguais a 4,0 m/s e 6,0 m/s, qual é, em centímetros, o comprimento da mola durante o movimento?

Solução:

O movimento do bloco MUV. Então, usando a equação de Torricelli, temos:

Da 2ª Lei de Newton e a Lei de Hooke, vem:

ou

102)0,4()0,6(2 2222 asavv AB20,1 sma

mmakmaxk 165,00,10,414,01600

cm5,16

Exemplo 15: O gráfico abaixo como varia a intensidade da força de tração aplicada a uma mola em função da deformação estabelecida:

Determine:a) a constante elástica da mola (em N/m);

b) a intensidade da força de tração para a deformação de 5,0 cm.

Solução:a) Temos que ∆x = 20 cm = 0,20 m.

Sabe-se que

b) ∆x = 5,0 cm = 0,05 m.

20,0100tgk mNk 500

05,0500xkF NF 25

leis de newton

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