Para tatuar na alma:

Ser sábio é aprender a usar cada dor como uma

oportunidade para aprender lições, cada erro como uma

ocasião para corrigir rotas, cada fracasso como uma

chance para ter mais coragem. Nas vitórias os sábios

são amantes da alegria; nas derrotas, são amigos da

reflexão.

“Se enxerguei longe foi porque subi em ombros de

gigantes.”

Newton (1642-1727)

As causas do movimento.

Enquanto os corpos se movimentam pelo espaço-tempo, comsuas massas e velocidades, eles interagem uns com os outrospor meio de diversas forças que podem ser de campo – como o peso – ou de contato – como a força elástica. Existem noUniverso outras interações de campo, como as elétricas e asmagnéticas que serão exploradas mais tarde.

Newton e a dinâmica do movimento

Galileu em seu trabalho percebeu que o movimento é tão natural quanto o repousoe esses permanecem inalterados se nenhum agente externo interferir.Kepler foi capaz de descrever o movimento dos planetas, mas não pode explicar opor quê desses movimentos. Coube a Newton, no século XVII, usando as teorias deGalileo e Kepler desenvolver a teoria da gravitação universal e as Leis do movimento.Nesse trabalho ele expressou matematicamente o movimento dos planetas e explicoupor que ocorrem daquela forma. Com sua obra Newton unificou as mecânicas celestee terrestre, ou seja, as leis que regem o movimento da Lua ao redor da Terra são as mesmas que regem os movimentos dos corpos na superfície da Terra.

(1564 – 1642)(1571-1630)

(1642 – 1727)

Princípio da inércia:Elaborado a partir das percepções de Galileu,afirma que a quantidade de movimento de qualquer corpo permanece inalterada se nãofor submetida a ação de forças externas. Em outras palavras, se o corpo estiver em repousoou em movimento retilíneo com velocidadeconstante a tendência natural é permanecerem tal ou qual estado, determinado pelacondição inicial, repouso ou movimento retilíneoe uniforme.

Lei da variação da quantidade de movimento:

A quantidade de movimento definida por Newtoné dada pelo produto entre a massa (m) e a velocidade (v), uma medida que representa ainércia do movimento. A variação nessa quantidadede movimento, segundo Newton, é proporcional ao tempo de ação das forças externas.

Fr.Dt = m.DvFr = m.Dv/DtFr = m.a (P.F.D.)Fr.Dt – impulso (N.s) SIm.Dv – variação da quantida-de de movimento (kg.m/s)Fr – soma vetorial de todasas forças (N) SI

Princípio da ação e reação:A interação entre os corpos, denominda força tema mesma intensidade e sentido oposto para um parde corpos, isso significa que a força com a qual a Terra puxa uma maçã, tem a mesma intesidade daforça com a qual a maçã puxa a Terra, diferindosomente em sentido.

Exemplos:

1)O carrinho está parado quando o seu passageiro resolve jogar um pacote. O carrinho continua parado ou entra em movimento? Despreze qualquer força externa.

Pelo princípio da ação e reação, a força que o passageiro aplicou no pacote tema mesma intesidade da força que o pacote aplicou no passageiro, diferindo somente em sentido, assim sendo, e, desprezando forças externas, o carrinho entrouem movimento.

Par açãoe reação

Par ação e reação: atua em corposdiferentes, têm mesma intensidade,mesma direção, mas os sentidossão opostos.

2) Na situação do esquema acima, não há atrito entre os blocos e o plano, m2=2kg e m3=3kg. Sabe-se que o fio que une 2 com 3 suporta, sem romper-se, uma tração T = 32N. Calcule a força (F) máxima, para que o fio não se rompa.

F

Fr = m.a

bloco 2:Fr = T = m2.a

bloco 3:Fr = F – T = m3.a

bloco 2:32 = 2.aa= 16m/s²

bloco 3:F – 32 = 3.16F = 80 N

3) Na situação do esquema acima, não há atrito entre os blocos e o plano, m2=2kg e m3=3kg. Sabe-se que F = 35 N. Calcule a tração no fio.

F

Fr = m.a

bloco 2:Fr = T = m2.a

bloco 3:Fr = F – T = m3.a

T = m2.aF – T = m3.a

F = m2.a + m3.a35 = 2.a + 3.a35 = 5.aa = 7m/s²T = m2.a T = 2.7 = 14 N

4) Um corpo de massa m=2kg encontra-se apoiado em uma superfície horizontal,perfeitamente lisa. Aplica-se a esse corpo uma força F, como mostra a figura abaixo:Determine o valor da aceleração do corpo na direção “x”. Considere F = 10 N.

60

Fr=m.a (força resultante)m=2Kg; F=10NFr=Fx=F.cos60 =m.aa = F.cos60 /m =10.0,5/2=2,5m/s²

xFx

Fy

F

60

5) (UFRJ) O bloco 1, de 4 kg, e o bloco 2, de 1 kg, representados na figura, estão justapostos e apoiados sobre uma superfície plana e horizontal. Eles são acelerados pela força horizontal F , de módulo igual a 10 N, aplicada ao bloco 1 e passam a deslizar sobre a superfície com atrito desprezível.a) Determine a direção e o sentido da força F1,2 exercida pelo bloco 1 sobre o bloco 2 e calcule seu módulo.b) Determine a direção e o sentido da força F2,1 exercida pelo bloco 2 sobre o bloco 1 e calcule seu módulo.

F1,2=F2,1 (par ação e reação)Fr=m.aa) direção: horizontal; sentido: para direita1: Fr = m1.a = F – F2,1

2: Fr = m2.a = F1,2

a. (m1+m2) = Fa = F/(m1+m2) = 10/(4+1) = 2m/s2

F1,2 = m2.a = 1.2 = 2Nb) direção: horizontal; sentido: para esquerda

F2,1 = 2N

12

F

1 2F F2,1 F1,2

Força Normal (Fn)Uma outra consequência das leis de Newton é aforça normal, que recebe esse nome por ser perpendicular às superfícies que se tocam.

A aceleração gravitacional (g) e força peso (P)

gtgl

Peso de um corpo na superfície da TerraForça de atração exercida pela Terra sobreum corpo de massa m.

M

m

R

P=m.g (N) SIm – massa (Kg)g – aceleração da gravidade (m/s²)

Exemplos

P = 50 N

Fn = 50 N

P = 50 N

PyPx

Fn

a = 60

F = 30N Fn = 80 N

Em y: (Fr=0)Fn = Py = P.cosa

Fn = 50.0,5 = 25 N

Em x:Fr = Px = P.sen60m.a = mg.sen60a = gsen60a = 10.√3 / 2 = 5.√3 m/s²

O problema do elevador:

Considere que a massa de uma pessoa no interior

do elevador é de 70 kg. Nessas condições,

estabeleça a indicação da balança, em newtons,

nas seguintes situações:

Adote g = 10m/s².

a) O elevador está em repouso ou em M.R.U.

b) O elevador sobe retardado ou desce acelerado

com aceleração de 2m/s².

c) O elevador desce retardado ou sobe acelerado

com aceleração de 2 m/s².

d) O elevador cai em queda livre.

a) Fr = 0

Fn = P = m.g = 700 N

b) sobe retardado ou desce acelerado:

P – Fn = m.a

700 – Fn = 70.2

Fn = 560 N

c) desce retardado ou sobe acelerado

Fn – P = m.a

Fn – 700 = 70.2

Fn = 840 N

d) queda livre

P – Fn = m.a

700 – Fn = 700

Fn = 0

m = 10 kg

g = 10m/s²

a) a =?

b) T =?

Vermelho:

Fr = m.a

T = m.a (I)

Verde:

Fr = m.a

Psenq – T = m.a (II)

(I) e (II)

P.senq – m.a = m.a

m.g.senq = ma + ma

g.senq = 2a

10.3/5 = 2a

a = 6/2 = 3m/s²

T = m.a = 10.3 = 30N

Força de atrito.

É uma força que atua na superfície de um corpoe sempre se opõe a tendência de escorregamento (atrito estático) ou ao efetivo escorregamento (cinético ou dinâmico).

Fat = m.Fn (N)

Força de atrito estático e cinético ou dinâmico

Fat

Fatemáx = me.Fn

Fatc = mc.Fn

corpo em repouso:Fr = 0Fat = Fate = F

F

corpo em movimento:Fat = Fatc

Movimento acelerado:F – Fatc = m.a, onde a é a aceleraçãoinstantânea.

Movimento uniforme:F = Fatc

me > mc

Exemplo

1) Um tijolo de massa 1,5 kg é lançado a 10 m/s, escorregando numplano horizontal. Ele pára 5s após o lançamento por causa daforça de atrito cinético. adotando g = 10 m/s². Calcule:a) a intensidade da força de atrito cinético.b) o coeficiente de atrito cinético entre o tijolo e o plano.

m = 1,5 kgVo = 10 m/sV = 0 p/ t = 5s

a)Fat =? N

Fr =FatVo = 10m/s

m.|a| = Fat

V = Vo + a.tO = 10 +a.5a = - 2m/s²1,5.2 = FatFat = 3 N

b) m=?Fat = m.Fnm = Fat/Fnm = 3/15m = 0,2

P

Fn

2) O bloco indicado na figura está na iminência de escorregar. Determine o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o planoinclinado de um ângulo a em relação a horizontal.

aa

P

Py

Px

Fn

Fat

Fn = Py = P.cos aFat = Px = P.sen aFat = me.Fn

me = Fat / Fnme = P.sen a / P.cos ame = sen a / cos a

me = tg a

Obs.:Caso o bloco estivessedescendo em movimentoretilíneo e uniforme, teriamosum coeficiente de atrito cinético,dado por:mc = tg a

3) Ainda com relação a questão anterior, suponha que o blocodesça o plano em movimento acelerado. Sendo m a sua massa eg a intensidade do campo gravitacional, determine a intensidadede sua aceleração

aa

P

Py

Px

Fn

Fat

Fn = Py = P.cos aPx = P.sen aFat = mc.Fn = mc .P.cosa

Fr = Px - Fat

m.a = P.sena - mc .P.cosa

m.a = m.g.sen a – mc.m.g.cos aa = g.sen a - mc.g.cos aa = g.(sen a - mc.cos a)

Note que, se mc = 0 (sem atrito)a = g.sena.

4) FEI-SP Um automóvel de massa 1375 kg encontra-se em uma ladeira que forma 37 em relação à horizontal. Qual

é o mínimo coeficiente de atrito para que o automóvel permaneça parado?Dados: sen (37 ) = 0,6 e cos (37 ) = 0,8.

me = tg 37

me = 0,6 / 0,8me = 0,75

5) UFRN O Sr. Nilson dirige distraidamente, a uma velocidade de 108 km/h, pela BR-101, em linha reta (direção do eixo x), quando percebe que há, a 50 m, um redutor eletrônico de velocidade (“lombada eletrônica”), indicando a velocidade máxima permitida: 72 km/h. No mesmo instante, para obedecer à sinalização e evitar multa, aciona os freios do automóvel, ultrapassando a lombada com a velocidade máxima permitida. A massa total (carro + motorista) é m = 1296 kg. Lembrando a equação de Torricelli, para as componentes da velocidade e da aceleração ao longo do eixo x, V² = Vo² + 2.a.ΔS e a Segunda Lei de Newton, F = m a , pode-se concluir que os módulos da aceleração e da força de atrito, supondo ambas constantes naqueles 50 m, são, respectivamente:

m = 1296 kgVo = 108 km/h = 30m/sV = 72 km/h = 20m/sDS = 50 m V² = Vo² + 2.a.DSFr = Fatm.|a| = Fat

20² = 30² + 2.a.50400 – 900= 100.a-500/100 = aa = - 5 m/s²|a| = 5m/s²1296.5 = FatFat = 6480 N

Força elástica

Robert Hooke (1635-1703), cientista inglês, verificou experimentalmente que, em regime de

deformações elásticas, a intensidade da força aplicada a uma mola é diretamente proporcional à deformação produzida na mesma.

mola relaxadaLo

L

Fel

P

Análise gráfica

mola relaxadaLo

L

Fel = k.x (N) SI

k – cte que depende das característicasdo corpo elástico como material, espessura,forma e comprimento.x = (L-Lo) – variação do comprimento

k.x -

Dinamômetro:Dispositivo utilizado para medir a intensidade

de uma força.

P

Fel

F (N)

d (m)xx/2

Fel12 K = Fel /d (N/m)

Fel = K.d (N)

Exemplo

O gráfico abaixo representa a força elástica em função do estiramento que caracteriza três molas diferentes A,B e C. Qual delasé a mola mais dura? Por quê?

A mola A é a de maior constanteelástica (K), portanto a mais dura.A maior inclinação em relação à horizontal da reta que a caracterizaindica que para uma mesma elongação é necessário aplicar-lheuma força maior do que às molasB e C.

Fa

Fb

Fc

x

A mola da figura abaixo sofreu uma elongação de 30 cm.Sabendo-se que a constante elástica dessa mola vale15 N/m, Determine o valor de F.

Fel = K.d

Fel = F = 15.0,3F = 4,5 N

Se um objeto de massa 1 kg for dependurado num dinamômetro, nasuperfície da Terra, a escala deverá apontar uma força de 9,8 N. Sabendo disso, se o dinamômetro indicar uma força de 14,7 N, qual deverá ser o valor da massa do objeto que está dependurado.

1kg

Fel

P

Fel = P9,8 = 1.gg = 9,8 N/kg

m

Fel

P

Fel = P14,7 = m.9,8m = 1,5 kg

P = m.g (N)

8

6

4

2

00 5 10 15 20

Força (N)

x(c

m)

P = 1.10P = 10 N

De acordo com o gráfico, para uma força de 10 N, temosuma elongação de 4 cm.Na fig 1 a mola troca uma força de 10 N com o suporte,já na fig 2 a mola troca a mesma força (10N) com o objeto dependurado, dessa forma podemos concluir que, nos dois casos, fig1 e fig 2, a mola sofrerá uma elongaçãode 4 cm.

O gráfico mostra a elongação x sofrida por uma mola em função da força aplicada. A partir do gráfico determine as elongações sofridaspor essa mola nas situações:a) da fig 1; b) da fig 2.Adote g = 10 N/kg.

Exemplo

Como descrito anteriormente, um objeto de 1 kg pesa na Terra 9,8 N, pois aaceleração gravitacional de nosso planeta é 9,8 N/kg. Já em Júpiter onde aaceleração gravitacional é de 25 N/kg, o mesmo objeto pesaria 25 N. Determine, qual seria o peso de uma pessoa em cada um dos astros da tabela abaixo, que na Terra pesa 686 N.

Astro Aceleração

gravitacional (N/kg)

Lua 1,7

Mercúrio 2,8

Vênus 8,9

Marte 3,9

Júpiter 25

Saturno 10,9

Urano 11

Netuno 10,6

Plutão 2,8

PT = 686 NP = m.g686 = m.9,8m = 70 kg

Lua:P = 70.1,7P = 119 N

Mercúrio:P = 70.2,8P = 196 N

Vênus:P = 70. 8,9P = 623 N

Marte: P = 70.3,9P = 273 N

Júpiter:P = 70.25P = 1750 N

Saturno:P = 70.10,9P = 763 N

Urano:P = 70.11P = 770 N

Netuno:P = 70.10,6P = 742 N

Plutão:P = 70.2,8P = 196 N

Polias

T

T

T

T

F

P

T = PF = TF=P

T

T

T1

T1

T1

T1

T1

T1

FP

P=TT1 = T/2

F=T1F=T/2F=P/2

T1

T1

T

T

T1

T1

T2

T2 T2T2

T2

T2

P

F

P =TT1 = T/2T2 = T1/2F=T2F = T/4F = P/4

1) UEMS No sistema, que força dever ser aplicada na corda 2 para manter em equilíbrio estático o corpo suspenso de 500 kg? Os fios são considerados inestensíveis e de massas desprezíveis: entre os fios e as polias não há atrito. Considere g = 10m/s². (Polias ideais)

Exemplos

F = P / 2n

n=3F = 500.10/2³ F = 5000/8F = 625 N

2) No sistema representado na figura ao lado, considere ideais os fios e as polias. As massas de A e B são Ma = 2 kg e Mb = 8 kg. Desprezeinfluências do ar e o atrito entre A e o plano horizontal e considereg = 10m/s². Abandonando o sistema a partir do repouso, calcule:a) a aceleração de A e de B.b) as trações nos fios 1 e 2.

T1

T1

T1

T1

T1

T2

T2

Pb

Pa

Fn

Pb = T2

T1 = T2/2

Relação entre as acelerações de A e B:aA.T1 = aB.T2

aA.T2/2 = aB.T2

aA= 2.aB

a) A: Fr = T1

mA.aA = T1

2.2.aB = T1 (I)B: Fr = Pb – T2

mB.aB = mB.g – 2.T1

8.aB = 8.10 – 2T1(II)

(I) em (II)8.aB = 8.10 – 2.4aB

8.aB + 8aB = 8016.aB = 80aB = 5m/s²portanto aA=2.5=10m/s²

T1 = 2.10 = 20 NT2 = 2.20 = 40 N

Dinâmica do movimento circular.

Força resultante

Frcp

FtFr

Fr² = Frcp² + Ft²P/ Movimento circular e uniforme (M.C.U.) Ft = 0Fr = Frcp = m.acp

A lua e a aceleração centrípeta.

Ra

V1

V2

V.Dt a

V1

V2DV

Para a velocidade V, de tangência, constante, assim como a distância ao centro, R e num curto intervalo de tempo, por semelhança de triângulos, temos:

V.Dt / R = DV / VV.V / R = DV / DtV² / R = acp

a

R

R

V.Dt

Frcp = m.acp = mV² / R

Lembrar:V = w.r (m/s)

w= 2p.f (rad/s)

f = 1/T

A Lua realiza, ao redor da Terra, um movimento aproximadamente circular e uniforme, com velocidade de 1000 m/s. Sendo o raio de sua órbita igual a 400 000 quilômetros, determine sua aceleração centrípeta.

r

acp

v acp = v² / racp = (10³)² / 4.108

acp = 106 / 4.108

acp = 0,25.10-2m/s²

Observe a animação. O carro se move com velocidade linear constante. Em qual das curvas a aceleração centrípeta é maior?

r: acp = v²/r2r: acp = v²/2r

Na situação seguinte, despreze atritos e influências do ar e considere ideal o fio que liga o corpo A (de massa m) ao corpo B (de massa M), passando pelo furo C. Coloca-se o corpo A em movimento em torno do furo. Se sua velocidade for muito baixa, B descerá; se for muito alta, B subirá. Existe, portanto, uma velocidade de valor V para a qual B não descerá nem subirá. Nesse caso, A descreverá uma circunferência de raio r. sendo g a intensidade do campo gravitacional, determine v.

T = P (Fr = 0)Frcp = T m.v²/r = Pm.v²/r = M.gv = √(M.r.g/m)

P

T

Tm

M

r

V

Pêndulo cônico

QTP

Frcp

tgq = Frcp / PFrcp = P.tgq

m.v²/R = m.g.tgq

v = √R.g.tgq

tgq = CO/CA

Pista sobrelevada sem atrito

N

Pq q

q

q

q

q

P

N

Frcp

tgq = Frcp/PFrcp = P.tgq

m.v²/R = m.g.tgq

v = √R.g.tgq

R

Pista horizontal com atrito e massa presa a um fio em movimento circular na horizontal

Frcp = Fatm.v²/R = m.Nv = √m.R.N/mNota: o coeficiente de atritoé estático.

R

Frcp = Tm.v²/R = Tv = √R.T/m

Anel na vertical

P

P

N

N

V

V

V

P

Nq

C:

P

Nq

q

cosq = ca/hcosq = Py/PPy = P.cosqPy

Frcp = N – PyFrcp = N – P.cosq

N = m.v²/R + m.g.cosq

A: Frcp = N + P

N = m.v²/R - m.g

B: Frcp = N-P

N = m.v²/R + m.g

Declive e lombada

v

v

P

P

N

N

Declive:Frcp = N – P

Lombada:Frcp = P – N

Looping

Qual o valor de H mínimo para que a massa m complete o looping?

PN

C: velocidade mínima para completaro looping:Frcp = P + Np/ V mínima N=0mV²/R = mgV = √Rg

Considerando que não há dissipaçãoda energia mecânica, temos:Ema = Emc

Epga = Epgc + Ecc

mgH = mg2R + mV²/2gH = g2R + Rg/2H = 5R/2H = 2,5R

Pêndulo simples

T

P

Py

q

q

A,B: V = 0 ; Frcp =0

T = Pycosq = Py/PPy = P.cosq

T = P.cosq

Ponto mais baixo:Frcp = T - P

P

T

V

Um motociclista realiza movimento circular num plano verticalno interior de um globo da morte. As velocidades escalares nasposições A e B são, respectivamente, 20 m/s e 10√2 m/s. A massada moto e de seu ocupante é de 500 kg e o raio do globo é de 5m.Determine a intensidade da força normal que a pista exerce na moto nas posições A e B. Adote g = 10m/s².

Fn

Fn

P

P

A: Frc = P + Fnm.v²/R = m.g + FnFn = 500.20² / 5 – 500.10Fn = 100.400 – 5000Fn = 4,5.104N

B: Frc = Fn – Pm.v²/R = Fn – m.gFn = 500.200/5 + 5000Fn = 2,5.104N

Resumindo:

Leis de Newton:

Inércia:

A quantidade de movimento de qualquer

corpo permanece inalterada se não for submetida

a ação de forças externas. Em outras palavras,

se o corpo estiver em repouso ou em movimento

retilíneo com velocidade constante a tendência

natural é permanecer em tal ou qual estado,

determinado pela condição inicial, repouso ou

movimento retilíneo e uniforme.

Lei da variação da quantidade de movimento:

A quantidade de movimento definida por Newton

é dada pelo produto entre a massa (m) e a

velocidade (v), uma medida que representa a

inércia do movimento. A variação nessa quantidade

de movimento, segundo Newton, é proporcional ao

tempo de ação das forças externas.

Princípio da ação e reação:

A interação entre os corpos, denominda força tem a mesma intensidade e sentido oposto

para um par de corpos, isso significa que a força com a qual a Terra puxa uma maçã, tem a

mesma intesidade da força com a qual a maçã puxa a Terra, diferindo somente em sentido.

Fr.Dt = m.DvFr = m.Dv/DtFr = m.a (P.F.D.) Fr.Dt – impulso (N.s) SIm.Dv – variação da quantida-de de movimento (kg.m/s)Fr – soma vetorial de todasas forças (N) SI

Força de atrito.

É uma força que atua na superfície de um corpoe sempre se opõe a tendência de escorregamentoou ao efetivo escorregamento.

Fat = m.Fn (N)Fat

me.Fn

mc.Fn

corpo em repouso:Fr = 0Fat = Fate = F

F

corpo em movimento:Fat = FatcF – Fatc = m.a, onde a é a aceleraçãoinstantânea.

me > mc

T

T

T

T

F

P

T = PF = TF=P

T

T

T1

T1

T1

T1

T1

T1

FP

P=TT1 = T/2

F=T1F=T/2F=P/2

T1

T1

T

T

T1

T1

T2

T2 T2T2

T2

T2

P

F

P =TT1 = T/2T2 = T1/2F=T2F = T/4F = P/4

A lua e a aceleração centrípeta.

Ra

V1

V2

V.Dt a

V1

V2DV

Para a velocidade V, de tangência, constante, assim como a distância ao centro, R e num curto intervalo de tempo, por semelhança de triângulos, temos:

V.Dt / R = DV / VV.V / R = DV / DtV² / R = acp

a

R

R

V.Dt

Frcp = m.acp = mV² / R