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LEISDE
KEPLER
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Os primeiros a descreverem sistemas planetários explicando os movimentos de corpos celestes foram os gregos.
O mais famoso sistema planetário grego foi o de Cláudio Ptolomeu (100-170), que
considerava a Terra como o centro do Universo (sistema geocêntrico).
Segundo esse sistema, cada planeta descrevia uma órbita circular cujo centro
descreveria outra órbita circular em torno da Terra.
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Nicolau Copérnico (1473-1543), astrônomo polonês, criou uma nova concepção de Universo, considerando o Sol como seu centro (sistema heliocêntrico).
Entretanto, o modelo de Copérnico não foi aceito pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601), segundo o qual o Sol giraria em torno da Terra e os planetas em torno do Sol.
Segundo esse sistema, cada planeta, inclusive a Terra, descrevia uma órbita circular em torno do Sol.
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Ao morrer, Brahe cedeu suas observações a seu discípulo Johannes Kepler (1571-1630), que tentou, em vão, explicar o movimento dos astros por meio das mais variadas figuras geométricas.Baseado no heliocentrismo, em sua intuição e após inúmeras tentativas, ele chegou à conclusão de que os planetas seguiam uma órbita elíptica em torno do Sol e, após anos de estudo, enunciou três leis.
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1.ª LEI DE KEPLER
(LEI DAS ÓRBITAS)
“As órbitas dos planetas em torno do Sol são elipses nas quais ele ocupa um dos
focos.”
Numa elipse existem dois focos e a soma das distâncias aos focos é constante.
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Foco
Focoa b
cd
a + b = c + d
ELIPSE
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2.ª LEI DE KEPLER
(LEI DAS ÁREAS)
“A área descrita pelo raio vetor de um planeta (linha imaginária que liga o planeta ao Sol) é diretamente proporcional ao tempo gasto para descrevê-la.”A reta que une um planeta ao Sol vare áreas iguais em tempos iguais
Velocidade Areolar velocidade com que as áreas são descritas.
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A1
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A1
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A1
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A1
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A1
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A1
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A1A2
Velocidade Areolar = A t
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A1A2
Cada planeta mantém sua velocidade areolar constante ao longo de sua órbita elíptica. Logo:
A1 = A2 t1 t2
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planeta
Sol
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Afélio
Afélio ponto de maior afastamento entre o planeta e o Sol
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Periélio
Periélio ponto de maior proximidade entre o planeta e o Sol
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A1A2
Com isso, tem-se que a velocidade no periélio é maior que no afélio.
Afélio = 29,3 km/sPeriélio = 30,2 km/s
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3.ª LEI DE KEPLER
(LEI DOS PERÍODOS)
“O quadrado do período da revolução de um planeta em torno do Sol é
diretamente proporcional ao cubo do raio médio de sua elipse orbital.”
Raio Médio média aritmética entre as distâncias máxima e mínima do planeta ao Sol.
T2 = K R3
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Planeta T(dias
terrestres)
R(km) T2/R3
Mercúrio
88 5,8 x 107
4,0 x 10-20
Vênus 224,7 1,08 x 108
Terra 365,3 1,5 x 108
Marte 687 2,3 x 108
Júpiter 4343,5 7,8 x 108
Saturno 10767,5 1,44 x 109
Urano 30660 2,9 x 109
Netuno 60152 4,5 x 109
Plutão 90666 6,0 x 109
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As Leis de Kepler dão uma visão cinemática do sistema planetário.
Do ponto de vista dinâmico, que tipo de que tipo de força o Sol exerce sobre os planetas, força o Sol exerce sobre os planetas,
obrigando-os a se moverem de acordo obrigando-os a se moverem de acordo com as leis que Kepler descobriracom as leis que Kepler descobrira?
A resposta foi dada por Isaac Newton (1642-1727):
FORÇA GRAVITACIONAL!!!!FORÇA GRAVITACIONAL!!!!
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LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
“Dois pontos materiais se atraem mutuamente com forças que têm a direção da reta que os une e cujas
intensidades são diretamente proporcionais ao produto de suas
massas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância que os separa.”
F = G . m1 . m2
d2
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d
m1
m2F F
G = constante de gravitação universal = 6,67 x 10-11 (SI)
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Ainda de acordo com as Leis da Gravitação Universal:
Devido a sua enorme massa, o Sol tende a atrair os planetas em sua direção
Quanto mais próximo do Sol, maior a velocidade do planeta para que possa escapar
do campo de atração gravitacional do Sol
A densidade de um planeta influencia na sua velocidade de rotação
(quanto mais denso, mais lento)
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Dedução da Terceira Lei de KeplerDedução da Terceira Lei de Kepler• Supondo a órbita circular:
2
2
2cp
2G
rM.m.Grm
rmFr
M.m.GF
3
2
32
rM.G
T2
rM.G
KrT
rT
M.G4
3
2
3
22
Note que o período de revolução depende da Note que o período de revolução depende da massa M do corpo central e da distância do corpo massa M do corpo central e da distância do corpo
em órbita em relação ao corpo centralem órbita em relação ao corpo central
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Intensidade do campo gravitacional g na Intensidade do campo gravitacional g na superfíciesuperfície
2s2s2G
s
RM.GgR
M.m.Gg.mR
M.m.GF
g.mP
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Intensidade do campo gravitacional gIntensidade do campo gravitacional g• Em uma altitude hEm uma altitude h
222G hR
M.GgrM.m.Gg.m
rM.m.GF
g.mP
2
2s
2
2s2s
hRR.gg
hRM.Gg
R.gM.GRM.Gg
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Intensidade da aceleração da gravidade g em Intensidade da aceleração da gravidade g em função da latitudefunção da latitude
• De acordo com a Primeira Lei de Newton, a Lei da Inércia, todo corpo tende a manter seu estado de movimento. Ou seja, se está em repouso tende a ficar em repouso, se em movimento, tende a manter seu vetor velocidade.
• Um corpo, na superfície terrestre encontra-se em movimento devido a rotação planetária. Se em repouso sobre a Linha do Equador, sua velocidade devido a rotação terrestre é:
h/km 7,1667v6370.24.2vR.T
.2vRv
m/s 2,463v
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Órbitas CircularesÓrbitas Circulares
g.rvg.mrv.mPF
2
cp
22 hR
M.G.hRvhRM.Gg
hRr
hRM.Gv
2
2s
2
2s hR
R.g.hRvhRR.gg
hRr
hRg.Rv s
Velocidade de um Velocidade de um satélite em órbita satélite em órbita circular em uma circular em uma
altitude haltitude h
Velocidade de um satélite Velocidade de um satélite em órbita circular em uma em órbita circular em uma
altitude h em função da altitude h em função da intensidade da aceleração intensidade da aceleração
da gravidade g da da gravidade g da superfíciesuperfície
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Órbita Circular RasanteÓrbita Circular Rasante
s
s
s
s2
cp
gR..2T
Rg
T.2
Rg
g.mR..mPF
s 25,7 min 84s 7,50658,96370000..2T
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Órbita GeoestacionáriaÓrbita Geoestacionária
2
2S2
Gcp hRR.g.mhR..mFF
2
2S32
S32
T.2R.ghRR.ghR.
R.4T.R.gh
T.2R.ghR 3
2
22S
3 2
2S
6370000.460.60.24.6370000.8,9h 3
2
22
km 36000m 35837623h TERRAR6,5h
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Energia Potencial Gravitacional
U (r) = -G . m1 . m2
r
drrGMmdrrfW
r
2
r
)(U
f(r)dr0)drF(r)(cos18rd(r)F