1 Transformada de Legendre

No caso da parede porosa a pressão constante a quantidade

H = U + PV

se conserva. Além disso

dH = dU + PdV + V dP

dU = dQ+ dW = dQ� PdVdH = dQ+ V dP

escrevendo H = H (P; T ) ; para um processo a pressão constante temos�dH

dT

�P

=

�dQ

dT

�P

= Cp

uma quantidade mensurável. Além disso, a variação de H pode ser medidadiretamente neste processo

�H =

Z f

i

CP dT

Ou seja, no processo descrito o calor não está relacionado diretamente com aenergia interna, mas sim com a variação de H, chamada de entalpia do sistema.Das expressões acima temos

dH = dQ+ V dP = TdS + V dP

dU = TdS � PdV

ou seja, relacionado-se diretamente com quantidades externas (Q e W ) vemosque U = U (S; V ) enquanto H = H (S; P ). Da expressão acima temos

P =

�@U

@V

�T

) H = U + PV = U + V

�@U

@V

�T

ou seja, estamos mudando da variável V em U para a variável P em H, ondeP é a derivada de U .

Problem 1 Será que não estamos perdendo nenhuma informação ao passar deU para H? Ou ainda será que, dada a função H, podemos reconstruir a funçãoU?

Vamos tomar um exemplo de uma relação unidimensional y = y (x). Numgrá�co x�y esta relação representa um conjunto de pontos. Queremos agora es-crever uma nova relação que permita identi�car este mesmo conjunto de pontos,mas que não dependa de x e sim de

p =@y

@x

1

O mais simples seria calcular a derivada acima, isolar p e substituir em y, comisso teremos

y = y (p) :

Problem 2 A relação y = y (p) permite reconstruir todos os pontos y = y (x)?

A resposta é não. Pois, uma vez que p contém apenas informações dacurvatura (inclinação) de y = y (x) qualquer curva com a mesma inclinação noponto y dará a mesma relação y = y (p).Assim, o que estamos procurando é uma nova relação = (p), com p =

@y=@x, que permita reconstruir todos os pontos y = y (x).Geometricamente, se além da curvatura, soubermos também onde a reta

tangente toca o eixo y, podemos reconstruir a curva y (x) através do conjuntode curvas que formam o envelope desta curva.Ou seja, estamos determinando a curva y (x), não pelo conjunto de pontos

(x; y), mas pelo par ( ; p) onde é o ponto em que a reta com inclinação ptoca o eixo y. Estamos com isso substituindo o elemento fundamental da nossageometria, o ponto, por retas. Esta é a chamada geometria de Pluecker.

Problem 3 Mas como obter (p) conhecendo y (x)?

Para isso, basta observar que, pela de�nição de p como a inclinação da reta,estas variáveis mantém entre si a relação

p =�y

�x=y � x� 0 ) = y � px :

Problem 4 Mas esta expressão não depende de p; x; y?

Podemos agora eliminar y na expressão acima, usando y = y (x), em seguida,usando p = p (x) podemos eliminar x e �camos com a dependência apenas emp, i.e, = (p).

2

Para ver que este processo é legítimo, basta lembrar que

p =dy

dx) dy = pdx

enquantod = dy � pdx� xdp = �xdp

o que mostra que = (p).

Problem 5 Como recuperar a curva y (x) dada a relação (p)?

Para isso, basta usar a equação anterior e observar que

x = �@ @p

ou seja, basta realizar novamente a mesma transformação com sinal invertido.A transformação acima é conhecida como transformada (diferencial) de Legen-

dre. Nesta transformada estamos eliminando x em função de p, dizemos queestas variáveis são conjugadas.No caso de um espaço em 3D o processo acima permite substituir o conjunto

de pontos (x; y; y) por um conjunto de planos e duas inclinações. O mesmo podeser generalizado para o caso geral de várias variáveis.Vamos a um exemplo conhecido na Mecânica. Nosso objetivo agora é usar a

transformada de Legendre nas equações de Lagrange. Primeiramente lembramosque, pela de�nição acima

L = L (qi; _qi) ;

ou seja, a Lagrangiana depende das posições q e das velocidades _q.

3

Agora vamos de�nir a quantidade

H = pi _qi � L (1)

onde

pi =@L

@ _qi

é chamado momento conjugado da variável qi (i.e., para q = x temos um mo-mento linear, para q = � um momento angular e, no caso geral, um momentoconjugado). Das equações de Lagrange temos que, se uma determinada coorde-nada qm não aparece na Lagrangiana (chamada de coordenada cíclica)

d

dt

@L

@ _qi� @L

@qm= 0 =) @L

@qm= 0 =) d

dt

@L

@ _qi= _pi = 0 =) pi = const:

então o momento associado a esta coordenada se conserva (e.g., para umapartícula livre L = T (energia cinética) o momento linear em qualquer direçãose conserva).Seguindo o procedimento da seção anterior temos

dH = dpi: _qi + pi:d _qi � dL :

Lembrando que L = L (q; _q) temos

dL =@L

@qidqi +

@L

@ _qid _qi ;

com isso

dH = dpi: _qi + pi:d _qi ��@L

@qidqi +

@L

@ _qid _qi

�;

=

�pi �

@L

@ _qi

�d _qi + _qi:dpi �

@L

@qidqi ;

e pela de�nição de pi

dH = _qi:dpi �@L

@qidqi (2)

e, como esperávamos, a função H assim obtida é uma função de q e p e não maisde _q, H = H (q; p). A quantidade H assim de�nida é chamada de Hamiltoniana.Sabendo que H = H (q; p) temos

dH =@H

@qidqi +

@H

@pidpi :

Lembrando agora que q e p são coordenadas independentes em H (assim comoq e _q eram em L, i.e, obviamente _q depende de q, mas é exatamente está relaçãoque queremos encontrar ao resolver a equações de Lagrange) e comparando com(2) temos

@H

@pi= _qi ;

@H

@qi= � @L

@qi

4

Se usarmos agora as equações de Lagrange temos

@L

@qi=

d

dt

@L

@ _qi

Lembrando a de�nição de p

pi =@L

@ _qi=) @L

@qi=

d

dtpi = _pi

Com o que@H

@pi= _qi ;

@H

@qi= � _pi : (3)

Estas são as chamadas equações de Hamilton (EH).

Problem 6 Qual a vantagem destas equações?

Uma vantagem prática destas equações é que elas possuem apenas derivadasde primeira ordem. Como a equação de Newton, a equação de Lagrange pos-sui derivadas das velocidades o que resulta em derivadas de segunda ordem naposição. Obviamente perdemos algo ao ganharmos esta facilidade. O ponto éque temos dois pares de EH, ou seja, usando a transformada de Legendre con-seguimos transformar um sistema de n equações diferenciais de segunda ordemnum sistema de 2n equações diferenciais de primeira ordem.Assim como na Mecânica, em uma série de problemas em física é importante

mudarmos as variáveis que usamos num problema. Por exemplo, na termod-inâmica uma quantidade muito importante é a energia interna de um sistemaU (S; V ). Um inconveniente desta quantidade é que ela depende da entropiaS, uma quantidade que não pode ser medida diretamente com nenhum instru-mento. Entretanto, pelas leis da termodinâmica, sabemos que a temperatura Tde um corpo é a variação da sua energia interna com a entropia

T =@U

@S: (4)

Vamos então de�nir uma nova quantidade F como

F = T:S � U (5)

Diferenciando esta quantidade temos

dF = TdS + SdT � dU ;

Sabendo que U = U (S; V ) temos

dU =@U

@SdS +

@U

@VdV ; (6)

5

com isso

dF = TdS + SdT � @U

@SdS � @U

@TdT

=

�T � @U

@S

�dS + SdT � @U

@VdV

O fato importante na de�nição de F é que, usando (4), temos

dF = SdT � @U

@VdV ; (7)

ou seja, a função (5) assim de�nida não depende da entropia

F = F (T; V )

Com isso

dF =@F

@TdT +

@F

@VdV ;

comparando com (7) temos

S =@F

@T;@F

@V= �@U

@V:

O importante da quantidade F , chamada energia livre de Helmholtz, é que eladepende da temperatura e do volume, ambas quantidades que, diferente daentropia, podem ser medidas com instrumentos usuais.

� Ou seja, podemos determinar F estudando as variações das característicado sistema com respeito ao seu volume e a sua temperatura.

De forma geral, se f = f (x1; x2; :::; y1; y2; :::) podemos de�nir uma novafunção

g = piyi � f(somatória em i) onde

pi =@f

@yicom isso

dg = (dpi:yi + pi:dyi)� df

= (dpi:yi + pi:dyi)��@f

@xidxi +

@f

@yidyi

�=

��pi �

@f

@yi

�dyi + dpi:yi �

@f

@xidxi

�que, pela de�nição de pi,

dg = yi:dpi �@f

@xidxi

Ou seja a função g não depende mais de yi, mas sim de um novo conjunto devariáveis pi.

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