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Curso de Engenharia CivilCurso de Engenharia Civil

ESTRUTURAS DE CONCRETO I

Lajes Retangulares Maciças

Prof. André L. Gamino

Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes

____________________________________________________

Definição

Os elementos estruturais planos (com duas dimensões predominantes, isto é, bidimensionais) sujeitos a cargas transversais a seu plano são chamados genericamente de placas. As placas de concreto armado são denominadas de lajes. Normalmente, elas tem forma retangular e são maciças, resultando daí a denominação laje retangular maciça.

Os apoios das lajes são, geralmente, constituídos pelas vigas do piso. Nestes casos, o cálculo das lajes é feito, de maneira simplificada, como se elas fossem isoladas das vigas, com apoios (charneiras) livres à rotação e indeslocáveis à translação, considerando-se, contudo, a continuidade entre lajes contíguas. No detalhamento das armaduras são tomados cuidados especiais para “cobrir”o monolitismo existente nas ligações entre a laje e as suas vigas de apoio.

Classificação

1. lajes armadas em uma direção:

Fig. 1.1 - Laje isolada armada em uma direção

V

2

V1 P1 P2

P

3 P4

lx B B

A

A

ly

flecha a

Fig. 1.2 - Laje contínua armada em uma direção

lx1 lx2 lx3


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Continuação

1. lajes armadas em uma direção:

Fig. 1.3 - Laje muito alongada

flecha a

C

lx D

C

ly 2 lx

D


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Continuação

2. lajes armadas em duas direções:

Fig. 2.1 - Laje armada em duas direções ou em cruz

flecha a

C

lx D

C ly 2 lx

D


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Lajes armadas em uma Direção

1. Esforços Solicitantes – Laje isolada

mx = p lx

2 / 8

my = mx vx = p lx /2

p

m

v

lx

mx


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2. Esforços Solicitantes – Laje em balanço

m’x = p lx2 / 2

vx = p lx + P

p

m

v

lx

P

m

v

m’x

Pplv

Plpl

m

xx

xx

x

2

2


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3. Esforços Solicitantes – Lajes contínuas

p1 p2

lx1 lx2

mx

1 mx2

m’x

v

A faixa de largura unitária da laje corresponde a uma viga contínua.


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1. Dimensionamento

Conforme a figura, tem-se:

dx = h - c - x / 2

dy = h - c - x - y / 2 onde

c = cobrimento mínimo da armadura em lajes, fixado em 0,5 cm nas lajes protegidas com argamassa de espessura mínima de 1 cm (NBR-6118)

x = diâmetro da armadura Asx correspondente a mx

y = diâmetro da armadura Asy correspondente a my . Nas lajes maciças revestidas, usuais em edifícios (comercial e residencial), pode-se adotar aproximadamente:

dx h - c - 0,5 cm

dy h - c - 1 cm

h y

x c

dy dx

dy dx

100 cm

Asy

Asx


____________________________________________________


md = gf m = 1,4 m

b = 100 cm

h d 0,8x

md

0,85fcd

Rcd

Rsd

0,68 b x fcd (d - 0,4 x) = md

Resulta:

x dm

bd f

d

cd

1 25 1 10 425 2

,,

Am

f d xs

d

yd

( , )0 4


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Costuma-se impor a armadura mínima usual de flexão para o momento

fletor principal mx:

x 0,67.0,15% de acordo com a tabela 17.3 da NBR 6118/2007

onde

h100

A

bh

A sxsxx

(em unidades: cm2 e cm).

Nos apoios de engastamento ou de continuidade de lajes (m’x) deve-se

verificar, também, a taxa mínima que é igual a 0,15%.

Para o momento fletor secundário my recomenda-se adotar

Asy 0,2 Asx ou y 0,5 min com o mínimo de 0,9 cm2 / m, onde


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Armadura

Elementos estruturais

sem armaduras

ativas

Elementos estruturais com

armadura ativa

aderente

Elementos estruturais

com armadura ativa

não aderente

Armaduras negativas

s min

s min– p 0,67 min

s min - 0,5p 0,67 min

(ver 19.3.3.2 da NBR 6118)

Armaduras positivas

de lajes armadas

nas duas direções

s 0,67 min

s 0,67 min– p 0,5 min

s min - 0,5p 0,5 min

Armadura positiva

(principal) de lajes

armadas em uma

direção

s min

s min – p 0,5 min

s min - 0,5p 0,5 min

Armadura positiva

(secundária) de

lajes armadas em

uma direção

As/s 20 % da armadura principal

As/s 0,9 cm2/m

s 0,5 min

-

Onde: s As/bw h e p Ap/bw h NOTA - Os valores de min constam da tabela 17.3 da NBR 6118/2007


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Forma da seção

Valores de min1) (As,min/Ac) %

20 25 30 35 40 45 50

Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288

1) Os valores de min estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, gc = 1,4 e gs = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, min

deve ser recalculado com base no valor de mín dado.

NOTA - Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.

fck min


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Lajes armadas em uma Direção Escolha das barras

Bitolas comerciais

= diâmetro nominal da barra em mm

As1 = área da seção transversal de uma barra em cm2

m1 = massa de uma barra por metro linear em kg/m

mm) As1(cm2) m1(kg/m)

4 0,125 0,1

5 0,2 0,16

6,3 0,315 0,25

8 0,5 0,4

10 0,8 0,63

12,5 1,25 1,0

100 cm

h

s s


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A escolha da bitola x espaçamento ( x s) é feita para as bitolas comerciais com as

seguintes recomendações:

min = 4 mm max = h/10

smin = 8 cm s smax = 20 cm

Para as bitolas, adota-se um mínimo de 4 mm e um máximo correspondente a um

décimo da espessura da laje. O espaçamento mínimo de 8 cm tem por finalidade

facilitar a concretagem da laje e, o espaçamento máximo, visa garantir a uniformidade

de comportamento admitida nos cálculos.


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Detalhamento das armaduras

• As armaduras obtidas para os momentos de vão são estendidas de apoio a apoio da laje; • As armaduras resistentes calculadas junto aos apoios internos da laje são estendidas de modo à “cobrir” o diagrama de momento fletor negativo; uma extensão de lx/4 para cada lado do apoio é, normalmente, suficiente para essa finalidade; • Nas bordas da laje costuma-se posicionar uma armadura (As,borda) com extensão lx/5, visando controlar uma fissuração proveniente do engastamento parcial da laje nestas vigas. Pode-se considerar min=0,15%


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Verificação ao Cisalhamento

VSd VRd1

A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por:

VRd1 = [Rd k (1,2 + 40 1) + 0,15 cp] bwd onde: Rd = 0,25 fctd

fctd = fctk,inf / gc

1 = As1/bw.d , não maior que 0,02

cp = NSd / Ac


____________________________________________________



k é um coeficiente que tem os seguintes valores:

- para elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o apoio: k = 1;

- para os demais casos: k = 1,6 – d, não menor que 1, com d em metros;

onde:

fctk,,inf = 0,7 fct,m

fct,m = 0,3 fck2/3

As1 é a área da armadura de tração que se estende até não menos que d + lb,nec além da seção considerada;

bw é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d;

NSd é a força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (compressão positiva).


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O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por:

onde:

a1 = 1,0 para barras sem gancho;

a1 = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do gancho 3 ;

min,,

,,

A

Ab

efs

calcsb1necb a


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é calculado por:

Onde:

fbd = h1 h2 h3 fctd

é o maior valor entre 0,3 , 10 e 100 mm.

b

min,b

bd

ydb

4 f

f

h1 = 1,0 para barras lisas;

h1 = 1,4 para barras;

h1 = 2,25 para barras nervuradas;

h2 = 1,0 para situações de boa aderência;

h2 = 0,7 para situações de má aderência;

h3 = 1,0 para < 32 mm;

h3 = (132 - )/100 , para > 32 mm;

onde:

é o diâmetro da barra, em milímetros.

b


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Consideram-se em boa situação quanto à aderência os trechos das barras que estejam em uma das

posições seguintes:

a) com inclinação maior que 45° sobre a horizontal;

b) horizontais ou com inclinação menor que 45° sobre a horizontal, desde que:

− para elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima da face inferior do

elemento ou da junta de concretagem mais próxima;

− para elementos estruturais com h ≥ 60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo da face superior do

elemento ou da junta de concretagem mais próxima.

Os trechos das barras em outras posições e quando do uso de formas deslizantes devem ser considerados em

má situação quanto à aderência.


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Ganchos das armaduras de tração

Os ganchos das extremidades das barras da armadura longitudinal de tração podem ser:

a) semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2 φ;

b) em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4 φ;

c) em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8 φ.

Rsd Rsd Rsd

Semicircular Ângulo de 45º Ângulo reto

Nota: barras comprimidas não devem ter ganchos; feixes e barras com φ > 32 mm não devem ter ganchos;


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Ganchos das armaduras de tração

O diâmetro interno da curvatura dos ganchos (D) das armaduras longitudinais de tração deve ser pelo menos

igual ao estabelecido na tabela abaixo:


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Bitola (mm)

Tipo de Aço

CA - 25 CA - 50 CA - 60

< 20 4 5 6

≥ 20 5 8 ---

D

Exemplo e Detalhamento

4 m 4 m 4 m

4 m

L1 L2 L3

mx1 mx2 mx3

m’x23=-11 kN.m/m

6,96

kN.m/m 11 kN.m/m

fck = 25 MPa

CA50

cl = 1,5 cm

cv = 2,0 cm

h = 10 cm (todas as lajes)

g = 2,5 kN/m2 (concreto)

q = 2,0 kN/m2 (ocupação)

vigas de bw = 12 cm

Dados:

- Laje de escritórios de bancos

- Considerar revestimento não argamassado (g = 1,0 kN/m2)

- CAA I (para efeito de ELS-W)

Laje L1 Momento Fletor Principal:

mx = p lx2 / 8 = 5,542 / 8 = 11,0 kN.m/m

b = 100 cm ; d = dx h - c - 0,5 = 10 - 1,5 - 0,5 = 8 cm

md = gf mx = 1,411,0 = 15,4 kN.m/m = 1540 kN.cm/m

cmfbd

mdx

cd

d 73,14,1/5,28100425,0

154011825,1

425,01125,1

22

mcmxdf

mA

yd

ds /85,4

)73,14,08(48,43

1540

)4,0(

2

As > Asmin = x,min b h = 0,001510010 = 1,5 cm2/m


Laje L1 bitola x espaçamento

min = 4 mm max = h/10 = 10 mm

smin = 8 cm s 20 cm

(mm) As1 (cm2) n = Asx/As1 s = 100/n (cm)

6,3 0,315 15,5 7 < smin

8 0,5 9,7 10

10 0,8 6,0 17


Laje L1 Momento Fletor Secundário:

my = mx = 0,211,0 = 2,2 kN.m/m

b = 100 cm ; d = dy h - c - 1,0 = 10 - 1,5 - 1,0 = 7,5 cm


As > Asmin = = 4,850,2 = 0,97 cm2/m

cm

fbd

mdx

cd

d

34,04,1/5,25,7100425,0

308115,725,1

425,01125,1

2

2

mcmxdf

mA

yd

ds /96,0

)34,04,05,7(48,43

308

)4,0(

2

As/s 20 % da armadura

principal

As/s 0,9 cm2/m

s 0,5 min


Laje L1 bitola x espaçamento

min = 4 mm max = h/10 = 10 mm

smin = 8 cm s 20


4 0,125 7,76 13

5 0,2 4,85 20

6,3 0,315 3,0 32


Lajes L2=L3 Momento Fletor Principal (mx):

mx = 6,96 kN.m/m

b = 100 cm ; d = dx h - c - 0,5 = 10 - 1,5 - 0,5 = 8 cm



cmfbd

mdx

cd

d 06,14,1/5,28100425,0

97411825,1

425,01125,1

22

mcmxdf

mA

yd

ds /96,2

)06,14,08(48,43

974

)4,0(

2


Lajes L2=L3 bitola x espaçamento

min = 4 mm max = h/10 = 10 mm

smin = 8 cm s 20 cm


6,3 0,315 9,4 11

8 0,5 5,92 17

10 0,8 3,7 27


Lajes L2=L3 Momento Fletor Principal (m’x23) no apoio interno:

mx = p lx2 / 8 = 5,542 / 8 = 11,0 kN.m/m

b = 100 cm ; d = dx h - c - 0,5 = 10 - 1,5 - 0,5 = 8 cm


cmfbd

mdx

cd

d 73,14,1/5,28100425,0

154011825,1

425,01125,1

22

mcmxdf

mA

yd

ds /85,4

)73,14,08(48,43

1540

)4,0(

2



Lajes L2=L3 bitola x espaçamento

min = 4 mm max = h/10 = 10 mm

smin = 8 cm s 20 cm


6,3 0,315 15,5 7 < smin

8 0,5 9,7 10

10 0,8 6,0 17


Lajes L2=L3 Momento Fletor Secundário (my):

my = . mx = 0,2. 6,96 kN.m/m = 1,39 kN.m/m

b = 100 cm ; d = dy h - c – 1,0 = 10 - 1,5 – 1,0 = 7,5 cm

Pode-se adotar a mesma armadura obtida para a laje L1

(5c/20)


VSd VRd1


VRd1 = [Rd k (1,2 + 40 1) + 0,15 cp] bwd

onde:

Rd = 0,25 fctd = 0,32 MPa

fctd = fctk,inf / gc = 1,282 MPa

fctk,inf = 0,7.fct,m = 0,7x 2,565 = 1,795 MPa

fct,m = 0,3.fck2/3 = 0,3x 252/3 = 2,565 MPa

1 = Asx /bw.d = 5 /100 x 8,0 = 0,625% (não maior que 0,02)

k = 1,6 – d [m] = 1,6 – 0,08 = 1,52

Verificação do Cisalhamento (Laje 1)



onde:

Asx = 5 cm2 (considerando toda a armadura)

bw = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d);

cp = NSd / Ac = 0

NSd = 0 pois não existe força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento.

Assim,

VRd1 = [Rd k (1,2 + 40 1) + 0,15 cp] bw.d = [0,032 x 1,52(1,2 + 40 x 0,00625)+ 0]100 x 8 =

VRd1 = 56,4 kN/m

VSd = px . gf = 5,5 x1,4 = 7,7 kN/m

VRd1 = 56,4 > 7,7 = VSd

Não há a necessidade de estribos!

Verificação da Flecha (Laje 1)


Cálculo do Momento de Fissuração

Mr = (a.fct,m. Ic)/yt = (1,5 x 2565 x 8,34.10-5) / 0,05 = 6,4 kN.m

a = 1,5 para seção retangular;

fct,m já calculado anteriormente para o cisalhamento

Ic = b.h3/12 que é momento de inércia da seção de base 100 cm – ESTÁDIO I;

yt = 0,05 m (distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada)

Como :

Mr = 6,4 kN.m < 11 kN.m = Mx

Calcula-se pela formula de Branson o EIeq para considerar a perda da rigidez na seção fissurada.


Cálculo do Momento Equivalente

EIeq = Ec[(Mr/Ma)3. Ic + [1- (Mr/Ma)

3] III]

Ec = 0,85 x5600.fck

1/2 = 23,8 GPa ou 23,8 106 kN/m2;

III = é o momento de inércia da seção fissurada – ESTÁDIO II;

Calculando o xII para o ESTÁDIO II com ae = Es/Ec

III = 1,84.10-5 m4

xII = 0,0225 m

I II

b xII 3

3a e A s d xII 2

b xII2

2

A s a e d xII 0

Temos:



Cálculo do Momento Equivalente

Assim, pode-se calcular o momento de inércia equivalente

EIeq = Ec[(Mr/Ma)3. Ic + [1- (Mr/Ma)

3] III] = EIeq = 23,8.106[(6,4/11)3x 8,34.10-5 + [1-(6,4/11)3] 1,84.10-5 ] = 742,6 kN m2

Flecha Imediata

Onde:

a2 = 21,4 (laje tipo 1 com ly/lx = 1,00);

p = g + y2 q = 4,1 kN/m2 (valor da carga para a combinação quase permanente (y2 = 0,3 segundo a

NBR 6118:2007);

ai = (b.p.lx4) / 12.Eieq . a2 = (1x 4,1x 44) / 12 x 742,6x 21,4 = 0,0055 m



Flecha Diferida no Tempo

Dx = 2 - 0,6773 = 1,3227

t0 = 1 (tempo, em meses, que foi aplicado o carregamento)

t > 70 (tempo, em meses, que se deseja saber o valor da flecha)

Como:

= 0 (não existe armadura negativa)

a fDx

1 50 af = 1,3227

Dx x t( ) x t 0 para t ≤ 70 meses

x t 0 0.68 0.996t 0 t 0

0.32

x t 0.68 0.996t t

0.32

x(t) = 2 para t > 70 meses




af = ai x af = 0,0055 x 1,3227 = 0,0073 m

Flecha Total

aT = ai1 af) = 0,0055(1 + 1,3227) = 0,01287 m < 4,0/250 = 0,016m OK!


Segundo a NBR 6118 (2007) este deslocamento deve estar limitado a l/250, sendo “l” o vão do

elemento estrutural.


Abertura de Fissuras (Laje 1)

45

ρ

4

E

σ

12,5η

φw

risi

si

b

i1

ctmsi

2

si

b

i2

fE

3σ

12,5η

φw

wklim

7,5

7,5

7,5 7,5

7,5 7,5

c < 7,5

a

(a < 15

Acr

Acr é a área da região de envolvimento protegida pela barra i;

Esi é o módudo de elasticidade do aço da barra considerada i;

i é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada;

ri é a taxa de armadura em relação à área da região de envolvimento (Acri);

si é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura, no Estádio II;

hb é o coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras

dentadas e 2,25 barras nervuradas)



2

s

dsi

cri

scri

kN/cm ,88260,8.8.5

860

0,8.d.A

Mσ

,80%60,06873,8

5

A

Aρ

2

ctm

2

si

2565kN/cm,0f

21000kN/cmE

7,5

7,5 7,5

c = 1,5 cm

Acrit

p = g + y1 q = 4,3 kN/m2 (valor da carga para a combinação frequente e y1 = 0,4 segundo a

NBR 6118:2007);

Md = p lx2 / 8 = 4,342 / 8 = 8,6 kN.m/m


w1 < wklim (tab 13.3-NBR6118/2007)

w1< 0,4 mm OK!

mmw

w

038,0

45068,0

4

21000

88,26

25,25,12

8

1

1

mmw

w

12,0

256,021000

88,263

25,25,12

8

2

2

2

Laje L1


T4 -

20Ø

5,0

c/2

0 C

= 4

06

T3 - 39Ø 8,0 c/10 C = 428

5

5

10

396

408

T1 - 20Ø 6,3 c/20 C = 1038

80

10

15 8 15

80

T1 - 20Ø 6,3 c/20 C = 103

T5 -

5Ø

5,0

c/2

0 C

= 4

06

T5 -

5Ø

5,0

c/2

0 C

= 4

06

Lajes L2=L3



Tipo n cm m

CUnit CTot

1 6,3 80 103 82,4

2 8 39 216 84,3

3 8 85 428 363,8

4 5 60 406 243,6

5 e 6 5 29 406 117,8

Ctot (m) Peso (kg)

5 361,4 55,7

6,3 82,4 20,2

8 448,1 177,0

TOTAL 252,9

Taxa de consumo por m3:

252,9 kg / 4,8 m3 = 52,7 kg/m3


____________________________________________________

Lajes armadas em duas Direções

lx = o menor vão teórico,

ly = o maior vão teórico (ly lx).

Normalmente, admitem-se as seguintes hipóteses simplificadoras:

vigas rigidas à flexão;

apoios da laje sobre as vigas através de charneiras (rotação livre);

a continuidade de lajes vizinhas quando estiverem no mesmo nível.

B

A

C

a

lx ly

ly


mx = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a lx;

my = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a ly.

y

xy

x

xx

y

xy

x

xx

pm

pm

pm

pm

aa

2222

;;;

onde, as variáveis a e estão tabeladas em função dos seguintes parâmetros:

tipo de carga (por exemplo, distribuida uniforme)

condições de apoio da laje (tipos de apoio)

relação (ly / lx).


____________________________________________________


Tipos de apoio usualmente empregados para o cálculo das lajes

lX

ly

charneira

engaste

1 2A 2B 3

4A 4B 5A 5B 6


____________________________________________________


____________________________________________________


TABELA 1 - TIPO 1

Laje com as 4 bordas livremente apoiadas

(carga uniforme)

mp

x

x

x

2

a

mp

y

x

y

2

a

wp

Ehmax

x 4

3

2a

0 2,

Beton-Kalender (1976)

y x/ a

x ay

x y a

2

1,00 22,7 22,7 21,4

1,05 20,8 22,5 19,4

1,10 19,3 22,3 17,8

1,15 18,1 22,3 16,5

1,20 16,9 22,3 15,4

1,25 15,9 22,4 14,3

1,30 15,2 22,7 13,6

1,35 14,4 22,9 12,9

1,40 13,8 23,1 12,3

1,45 13,2 23,3 11,7

1,50 12,7 23,5 11,2

1,55 12,3 23,5 10,8

1,60 11,9 23,5 10,4

1,65 11,5 23,5 10,1

1,70 11,2 23,5 9,8

1,75 10,8 23,5 9,5

1,80 10,7 23,5 9,3

1,85 10,4 23,5 9,1

1,90 10,2 23,5 8,9

1,95 10,1 23,5 8,7

2,00 9,9 23,5 8,6

>2 8,0 23,5 6,7

mx

my

y

x


____________________________________________________

TABELA 2 - TIPO 2A

Laje com 3 bordas livremente apoiadas e

uma borda menor engastada

(carga uniforme)

mp

x

x

x

2

a

mp

y

x

y

2

a

mp

y

x

y

2

wp

Ehmax

x 4

3

2a

0 2,


y x/

ax a

y x

y a2

1,00 32,4 26,5 11,9 31,2

1,05 29,2 25,0 11,3 27,6

1,10 26,1 24,4 10,9 24,7

1,15 23,7 23,9 10,4 22,3

1,20 22,0 23,8 10,1 20,3

1,25 20,2 23,6 9,8 18,7

1,30 19,0 23,7 9,6 17,3

1,35 17,8 23,7 9,3 16,1

1,40 16,8 23,8 9,2 15,1

1,45 15,8 23,9 9,0 14,2

1,50 15,1 24,0 8,9 13,5

1,55 14,3 24,0 8,8 12,8

1,60 13,8 24,0 8,7 12,2

1,65 13,2 24,0 8,6 11,7

1,70 12,8 24,0 8,5 11,2

1,75 12,3 24,0 8,45 10,8

1,80 12,0 24,0 8,4 10,5

1,85 11,5 24,0 8,35 10,1

1,90 11,3 24,0 8,3 9,9

1,95 10,9 24,0 8,25 9,6

2,00 10,8 24,0 8,2 9,4

>2 8,0 24,0 8,0 6,7

mx

my

y

x

m’y



____________________________________________________


TABELA 3 - TIPO 2B

Laje com 3 bordas livremente apoiadas e

uma borda maior engastada

(carga uniforme)

mp

x

x

x

2

a

mp

y

x

y

2

a

mp

x

x

x

2

wp

Ehmax

x 4

3

2a

0 2,


y x/ a

x ay

x y a

2

1,00 26,5 32,4 11,9 31,2

1,05 25,7 33,3 11,3 29,2

1,10 24,4 33,9 10,9 27,4

1,15 23,3 34,5 10,5 26,0

1,20 22,3 34,9 10,2 24,8

1,25 21,4 35,2 9,9 23,8

1,30 20,7 35,4 9,7 22,9

1,35 20,1 37,8 9,4 22,1

1,40 19,7 39,9 9,3 21,5

1,45 19,2 41,1 9,1 20,9

1,50 18,8 42,5 9,0 20,4

1,55 18,3 42,5 8,9 20,0

1,60 17,8 42,5 8,8 19,6

1,65 17,5 42,5 8,7 19,3

1,70 17,2 42,5 8,6 19,0

1,75 17,0 42,5 8,5 18,7

1,80 16,8 42,5 8,4 18,5

1,85 16,5 42,5 8,3 18,3

1,90 16,4 42,5 8,3 18,1

1,95 16,3 42,5 8,3 18,0

2,00 16,2 42,5 8,3 17,8

>2 14,2 42,5 8,0 16,7

mx

my

y

x

m’x


____________________________________________________


TABELA 4 - TIPO 3

Laje com 2 bordas adjacentes engastadas e

as outras duas livremente apoiadas

(carga uniforme)

mp

x

x

x

2

a

mp

y

x

y

2

a

mp

x

x

x

2

mp

y

x

y

2

wp

Ehmax

x 4

3

2a

0 2,


y x/

ax a

y x

y a2

1,00 34,5 34,5 14,3 14,3 41,3

1,05 32,1 33,7 13,3 13,8 37,1

1,10 30,1 33,9 12,7 13,6 34,5

1,15 28,0 33,9 12,0 13,3 31,7

1,20 26,4 34,0 11,5 13,1 29,9

1,25 24,9 34,4 11,1 12,9 28,2

1,30 23,8 35,0 10,7 12,8 26,8

1,35 23,0 36,6 10,3 12,7 25,5

1,40 22,2 37,8 10,0 12,6 24,5

1,45 21,4 39,1 9,8 12,5 23,5

1,50 20,7 40,2 9,6 12,4 22,7

1,55 20,2 40,2 9,4 12,3 22,1

1,60 19,7 40,2 9,2 12,3 21,5

1,65 19,2 40,2 9,1 12,2 21,0

1,70 18,8 40,2 8,9 12,2 20,5

1,75 18,4 40,2 8,8 12,2 20,1

1,80 18,1 40,2 8,7 12,2 19,7

1,85 17,8 40,2 8,6 12,2 19,4

1,90 17,5 40,2 8,5 12,2 19,0

1,95 17,2 40,2 8,4 12,2 18,8

2,00 17,1 40,2 8,4 12,2 18,5

>2 14,2 40,2 8,0 12,0 16,7

mx

my

y

x

m’x

m’y


____________________________________________________


TABELA 5 - TIPO 4A

Laje com 2 bordas maiores livremente apoiadas e duas bordas

menores engastadas (carga uniforme)

mp

x

x

x

2

a

mp

y

x

y

2

a

mp

y

x

y

2

wp

Ehmax

x 4

3

2a

0 2,


y x/ a

x ay

x y a

2

1,00 46,1 31,6 14,3 45,3

1,05 39,9 29,8 13,4 39,2

1,10 36,0 28,8 12,7 34,4

1,15 31,9 27,7 12,0 30,4

1,20 29,0 26,9 11,5 27,2

1,25 26,2 26,1 11,1 24,5

1,30 24,1 25,6 10,7 22,3

1,35 22,1 25,1 10,3 20,4

1,40 20,6 24,8 10,0 18,8

1,45 19,3 24,6 9,75 17,5

1,50 18,1 24,4 9,5 16,3

1,55 17,0 24,3 9,3 15,3

1,60 16,2 24,3 9,2 14,4

1,65 15,4 24,3 9,05 13,7

1,70 14,7 24,3 8,9 13,0

1,75 14,0 24,3 8,8 12,4

1,80 13,5 24,3 8,7 11,9

1,85 13,0 24,3 8,6 11,4

1,90 12,6 24,3 8,5 11,0

1,95 12,1 24,3 8,4 10,6

2,00 11,8 24,3 8,4 10,3

>2 8,0 24,3 8,0 6,7

mx

my

y

x

m’y

m’y


____________________________________________________


TABELA 6 - TIPO 4B

Laje com 2 bordas maiores engastadas e duas bordas menores

livremente apoiadas (carga uniforme)

mp

x

x

x

2

a

mp

y

x

y

2

a

mp

x

x

x

2

wp

Ehmax

x 4

3

2a

0 2,


y x/ a

x ay

x y a

2

1,00 31,6 46,1 14,3 45,3

1,05 29,9 46,4 13,8 43,2

1,10 29,0 47,2 13,5 41,5

1,15 28,0 47,7 13,2 40,1

1,20 27,2 48,1 13,0 39,0

1,25 26,4 48,2 12,7 37,9

1,30 25,8 48,1 12,6 37,2

1,35 25,3 47,9 12,4 36,5

1,40 24,8 47,8 12,3 36,0

1,45 24,4 47,7 12,2 35,6

1,50 24,2 47,6 12,2 35,1

1,55 24,0 47,6 12,1 34,7

1,60 24,0 47,6 12,0 34,5

1,65 24,0 47,6 12,0 34,2

1,70 24,0 47,4 12,0 33,9

1,75 24,0 47,3 12,0 33,8

1,80 24,0 47,2 12,0 33,7

1,85 24,0 47,1 12,0 33,6

1,90 24,0 47,1 12,0 33,5

1,95 24,0 47,1 12,0 33,4

2,00 24,0 47,0 12,0 33,3

>2 24,0 47,0 12,0 32,0

mx

my m’x

y

x

m’x


____________________________________________________


TABELA 7 - TIPO 5A

Laje com 2 bordas menores engastadas, uma borda maior engastada e

outra livremente apoiada

(carga uniforme)

mp

x

x

x

2

a

mp

y

x

y

2

a

mp

x

x

x

2

mp

y

x

y

2

wp

Ehmax

x 4

3

2a

0 2,


y x/ a

x ay

x y a

2

1,00 44,6 38,1 18,3 16,2 55,4

1,05 41,7 37,3 16,6 15,4 49,1

1,10 38,1 36,7 15,4 14,8 44,1

1,15 34,9 36,4 14,4 14,3 40,1

1,20 32,1 36,2 13,5 13,9 36,7

1,25 29,8 36,1 12,7 13,5 33,8

1,30 28,0 36,2 12,2 13,3 31,7

1,35 26,4 36,6 11,6 13,1 29,7

1,40 25,2 37,0 11,2 13,0 28,1

1,45 24,0 37,5 10,9 12,8 26,6

1,50 23,1 38,3 10,6 12,7 25,5

1,55 22,3 39,3 10,3 12,6 24,5

1,60 21,7 40,3 10,1 12,6 23,6

1,65 21,1 41,4 9,9 12,5 22,8

1,70 20,4 42,7 9,7 12,5 22,1

1,75 20,0 43,8 9,5 12,4 21,5

1,80 19,5 44,8 9,4 12,4 21,0

1,85 19,1 45,9 9,2 12,3 20,5

1,90 18,7 46,7 9,0 12,3 20,1

1,95 18,4 47,7 8,9 12,3 19,7

2,00 18,0 48,6 8,8 12,3 19,3

>2 14,2 48,6 8,0 12,0 16,7

mx

my

y

x

m’y

m’y

m’x


____________________________________________________


TABELA 8 - TIPO 5B

Laje com 2 bordas maiores engastadas, uma borda menor engastada e

outra livremente apoiada

(carga uniforme)

mp

x

x

x

2

a

mp

y

x

y

2

a

mp

x

x

x

2

mp

y

x

y

2

wp

Ehmax

x 4

3

2a

0 2,


y x/ a

x ay

x y a

2

1,00 38,1 44,6 16,2 18,3 55,4

1,05 35,5 44,8 15,3 17,9 51,6

1,10 33,7 45,7 14,8 17,7 48,7

1,15 32,0 47,1 14,2 17,6 46,1

1,20 30,7 47,6 13,9 17,5 44,1

1,25 29,5 47,7 13,5 17,5 42,5

1,30 28,4 47,7 13,2 17,5 41,2

1,35 27,6 47,9 12,9 17,5 39,9

1,40 26,8 48,1 12,7 17,5 38,9

1,45 26,2 48,3 12,6 17,5 38,0

1,50 25,7 48,7 12,5 17,5 37,2

1,55 25,2 49,0 12,4 17,5 36,5

1,60 24,8 49,4 12,3 17,5 36,0

1,65 24,5 49,8 12,2 17,5 35,4

1,70 24,2 50,2 12,2 17,5 35,0

1,75 24,0 50,7 12,1 17,5 34,6

1,80 24,0 51,3 12,1 17,5 34,4

1,85 24,0 52,0 12,0 17,5 34,2

1,90 24,0 52,6 12,0 17,5 33,9

1,95 24,0 53,4 12,0 17,5 33,8

2,00 24,0 54,1 12,0 17,5 33,7

>2 24,0 54,0 12,0 17,5 32,0

mx

my m’x

y

x

m’x

m’y


____________________________________________________


TABELA 9 - TIPO 6

Laje com as 4 bordas engastadas

(carga uniforme)

mp

x

x

x

2

a

mp

y

x

y

2

a

mp

x

x

x

2

mp

y

x

y

2

wp

Ehmax

x 4

3

2a

0 2,


y x/ a

x ay

x y a

2

1,00 47,3 47,3 19,4 19,4 68,5

1,05 43,1 47,3 18,2 18,8 62,4

1,10 40,0 47,8 17,1 18,4 57,6

1,15 37,3 48,3 16,3 18,1 53,4

1,20 35,2 49,3 15,5 17,9 50,3

1,25 33,4 50,5 14,9 17,7 47,6

1,30 31,8 51,7 14,5 17,6 45,3

1,35 30,7 53,3 14,0 17,5 43,4

1,40 29,6 54,8 13,7 17,5 42,0

1,45 28,6 56,4 13,4 17,5 40,5

1,50 27,8 57,3 13,2 17,5 39,5

1,55 27,2 57,6 13,0 17,5 38,4

1,60 26,6 57,8 12,8 17,5 37,6

1,65 26,1 57,9 12,7 17,5 36,9

1,70 25,5 57,8 12,5 17,5 36,3

1,75 25,1 57,7 12,4 17,5 35,8

1,80 24,8 57,6 12,3 17,5 35,4

1,85 24,5 57,5 12,2 17,5 35,1

1,90 24,2 57,4 12,1 17,5 34,7

1,95 24,0 57,2 12,0 17,5 34,5

2,00 24,0 57,1 12,0 17,5 34,3

>2 24,0 57,0 12,0 17,5 32,0

mx

my

y

x

m’y

m’y

m’x m’x


a) lajes isoladas: inicialmente, isolam-se as lajes, admitindo-se, para cada uma delas, as seguintes condições de apoio:

apoio livre, quando não existir laje vizinha junto a este apoio;

apoio engastado, quando existir laje vizinha no mesmo nível permitindo, assim, a continuidade da armadura negativa de flexão de uma laje para a outra;

vigas rígidas de apoio da laje;

e, calculam-se os momentos fletores máximos (em valor absoluto) nestas lajes isoladas (mx, my, mx’ e my’).

Para os pisos usuais de edifícios residenciais e comerciais (sobrecargas de valores moderados) pode ser aplicado o método simplificado exposto a seguir


____________________________________________________

Lajes armadas em duas Direções b) correção dos momentos fletores devido à continuidade entre as lajes

vizinhas:

momentos sobre os apoios comuns às lajes adjacentes: adota-se

para momento fletor de compatibilização, o maior valor entre 0,8 m>‘ e

(m1’ + m2’) / 2, onde m1’ e m2’ são os valores absolutos dos momentos

negativos nas lajes adjacentes junto ao apoio considerado e, m>‘, o

maior momento entre m1’ e m2’.

momentos nos vãos: para sobrecargas usuais de edifícios podem

ser adotados os momentos fletores obtidos nas lajes isoladas;

portanto. Para sobrecargas maiores convém efetuar essas correções,

principalmente, quando acarretar aumento no valor do momento

fletor. Para isso, existem tabelas apropriadas.


____________________________________________________


____________________________________________________


Dimensionamento a momento fletor

a) altura útil

Do mesmo modo que para as lajes armadas em uma direção, as alturas úteis são dadas por:

dx = h - c - x / 2 ; dy = h - c - x - y / 2

podendo ser estimadas, nas lajes usuais, por

dx h - c - 0,5 cm ; dy h - c - 1,0 cm


____________________________________________________

Lajes armadas em duas Direções b) cálculo de As

md = (gf mx , gf my ou gf mx’) onde gf = 1,4 (kN.cm/m)

d = (dx ou dy) (cm)

As = (Asx ou Asy) (cm2 / m)

b = 100 cm

fcd = fck / gc (gc = 1,4) (kN/cm2)

fyd = fyk / gs (gs = 1,15) (kN/cm2)

Para x x34 :

cd2

d

fbd425,0

m11d25,1x


____________________________________________________


Armadura:

)x4,0d(f

mA

yd

ds

onde As = Asx para m = mx; As = Asy para m = my; As = As’ para m = m’


____________________________________________________



____________________________________________________

Armaduras mínimas (tabelas 19.1 e 17.3 da NBR 6118/2003)

armaduras de vão: As = (Asx ou Asy) 0,9 cm2/m e

bh

Ass

armaduras sobre os apoios de continuidade: As’ 1,5 cm2/m

bh

Ass

'


Escolha das barras

diâmetro:

4 mm h/8

espaçamento entre as barras:

armadura nos vãos: As

h

cmscm

2

208

armaduras nos apoios: As’ cmscm 208


____________________________________________________

Regras usuais de arranjo das armaduras de lajes


____________________________________________________

Casos Particulares


____________________________________________________

Casos Particulares

maiormenor

maiormenor

3

2

3

2


____________________________________________________

Exemplo

fck = 25 MPa Aço CA50A cl = 1,5 cm (cobrimento das lajes) q = 2,0 kN/m2 (escolas – outras salas) h = 10 cm vigas: bw = 12 cm cv = 2,0 cm CAA I (para efeito de ELS-W)


peso próprio = 0,1025 = 2,5 kN/m2

revestimento = 1,0 kN/m2 g = 3,5 kN/m2 (carga permanente) q = 2,0 kN/m2 (carga de ocupação) p = g + q = 5,5 kN/m2 (carga total)

Laje Tipo lx ly p ly/lx ax ay -x -y mx my m’x m’y

L1 3 3,5 4,0 5,5 1,14 28,0 33,9 12,0 13,3 2,4 2,0 -5,6 -5,1

L3 5B 3,5 4,0 5,5 1,14 32,0 47,1 14,2 17,6 2,1 1,4 -4,7 -3,8


Apoio m’esq m’dir 0,8m’> m’médio m’ij

L1-L2 m’y=-5,1 m’y=-5,1 -4,1 -5,1 m’12=-5,1

L1-L3 m’x=-5,6 m’x=-4,7 -4,5 -5,2 m’13=-5,2

L3-L4 m’y=-3,8 m’y=-3,8 -3,0 -3,8 m’34=-3,8

L3-L5 m’y=-4,7 m’x=-4,7 m’35=-4,7

Laje d (cm) m (kN.cm) md (kN.cm) x (cm) As (cm2) s % Asmin (cm2) Asf Escolha

L1

(L2)

8,0 mx=240 336 0,35 0,98 0,10 1,00

1,00 5 c/20

7,5 my=200 280 0,31 0,87 1,00

8,0 m’12=510 714 0,76 2,13

0,15 1,50

2,13 6,3 c/15

8,0 m’13=520 728 0,78 2,18 2,18 6.,3 c/16

L3

(L4)

(L5)

8,0 7,5

mx=210 294 0,3 0,86 0,10 1,00

1,00 5 c/20

my=140 196 0,22 0,60 1,00

8,0 8,0

m’34=380 532 0,56 1,57 0,15 1,50

1,57 F5 c/12

m’35=470 658 0,70 1,96 1,96 6,3 c/16

Detalhamento


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VSd VRd1


VRd1 = [Rd k (1,2 + 40 1) + 0,15 cp] bwd

onde:

Rd = 0,25 fctd = 0,32 MPa

fctd = fctk,inf / gc = 1,282 MPa

fctk,inf = 0,7.fct,m = 0,7x 2,565 = 1,795 MPa

fct,m = 0,3.fck2/3 = 0,3 x252/3 = 2,565 MPa

1 = Asx /bw.d = 1 /100 x 8,0 = 0,125% (não maior que 0,02)

k = 1,6 – d [m] = 1,6 – 0,08 = 1,52


Verificação ao Cisalhamento (Laje 1)


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onde:

Asx = 1 cm2 (considerando toda a armadura)

bw = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d);

cp = NSd / Ac = 0

NSd = 0 pois não existe força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento.

Assim,

VRd1 = [Rd k (1,2 + 40 1) + 0,15 cp] bw.d = [0,032 x 1,52(1,2 + 40 x 0,00125)+ 0]100 x 8 =

VRd1 = 48,64 kN/m

VSd = px . gf = 4,82 x 1,4 = 6,7 kN/m

VRd1 = 48,64 > 6,7 = VSd

Não há a necessidade de estribos!


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Cálculo do Momento de Fissuração

Mr = (a.fct,m. Ic)/yt = (1,5 x 2565 x 8,34.10-5) / 0,05 = 6,4 kN.m

a = 1,5 para seção retangular;

fct,m já calculado anteriormente para o cisalhamento

Ic = b.h3/12 que é momento de inércia da seção de base 100 cm – ESTÁDIO I;

yt = 0,05 cm (distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada)

Como :

Mr = 6,4 kN.m > 2,4 kN.m = Mx

Não se faz necessário o cálculo da flecha em ESTÁDIO II.




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Flecha Imediata

Onde:

a2 = 31,7 (laje tipo 3 com ly/lx = 1,15);

p = g + y2 q = 4,1 kN/m2 (valor da carga para a combinação quase permanente (y2 = 0,3 não há

equipamentos fixos e não há concentração de pessoas);

ai = (b.p.lx4) / 12.EI0 . a2 = (1 x 4,1 x 3,54) / 12 x 1983,34 x 31,7 = 0,000815 m


t0 = 1 (tempo, em meses, que foi aplicado o carregamento)

t > 70 (tempo, em meses, que se deseja saber o valor da flecha)




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Dx = 2 - 0,6773 = 1,3227

Como:

= 0 (não existe armadura negativa)

a fDx

1 50 af = 1,3227

Dx x t( ) x t 0 para t ≤ 70 meses

x t 0 0.68 0.996t 0 t 0

0.32

x t 0.68 0.996t t

0.32

x(t) = 2 para t > 70 meses




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af = ai x af = 0,000815 x 1,3227 = 0,0011

m

Flecha Total

aT = ai.1 af) = 0,000815(1 + 1,3227) = 0,00189 m




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45

ρ

4

E

σ

12,5η

φw

risi

si

b

i1

ctmsi

2

si

b

i2

fE

3σ

12,5η

φw

wklim

7,5

7,5

7,5 7,5

7,5 7,5

c < 7,5

a

(a < 15

Acr

Acr é a área da região de envolvimento protegida pela barra i;

Esi é o módudo de elasticidade do aço da barra considerada i;

i é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada;

ri é a taxa de armadura em relação à área da região de envolvimento (Acri);

si é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura, no Estádio II;

hb é o coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras dentadas e

2,25 barras nervuradas)


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2

s

dsi

cri

scri

,7kN/cm290,8.8.1

190

0,8.d.A

Mσ

,54%20,025439,38

1

A

Aρ

2

ctm

2

si

2565kN/cm,0f

21000kN/cmE

7,5

7,5 7,5

c = 1,5 cm

Acrit

p = g + y1 q = 4,3 kN/m2 (valor da carga para a combinação frequente (y1 = 0,4 segundo a

NBR 6118:2007);

Md = p lx2 / 28 = 4,33,52 / 28 = 1,9 kN.m/m


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w1 < wklim (tab 13.3-NBR6118/2007)

w1< 0,4 mm OK!

mmw

w

051,0

450254,0

4

21000

7,29

25,2.5,12

5

1

1

mmw

w

09,0

256,0.21000

7,29.3

25,2.5,12

5

2

2

2

lajes retangulares maciças -...

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