ENE – UnB – Laboratório de Eletromagnetismo 2 Experiência 1

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SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS E GRADIENTES DE

POTENCIAL

ALUNO: ____________________________________________ MATRÍCULA: ___________

Esta experiência consiste na observação de campos elétricos em alguns tipos de superfícies. Pode-se ter uma idéia da geometria dos campos elétricos e tirar algumas conclusões sobre a influência de alguns materiais na presença desses campos. Uma das melhores ferramentas para a determinação de campos elétricos é a equação de Laplace, que não será discutida ainda. Um dos grandes problemas desta equação é que, geralmente, ela pode ser resolvida analiticamente somente quando o problema apresenta tem simetria, caso contrário, a solução se torna muito difícil ou até impossível. Já que muitas vezes encontram-se problemas com simetria, o objetivo neste experimento será mapear as linhas equipotenciais para várias geometrias diferentes de uma maneira prática e precisa. 1.1 Superfícies equipotenciais O potencial absoluto, a uma distância r de uma carga isolada q é dado por:

(1)

Qualquer ponto de uma esfera de raio r, concêntrica com a carga, tem o mesmo potencial. Chama-se superfície equipotencial uma superfície na qual o potencial é constante. Sabe-se que para mover uma carga na direção de um campo elétrico realiza-se trabalho. Se essa carga é movida em uma superfície equipotencial não é realizado trabalho pois este é dado por

, (2)

e como Eur

é perpendicular a dluur

, tem-se que U é igual a zero. A superfície de um condutor homogêneo em equilíbrio eletrostático é, necessariamente, uma superfície equipotencial. Se não fosse desse modo, as cargas estariam se movendo de pontos de energia potencial mais alta para pontos de energia potencial mais baixa e não haveria equilíbrio eletrostático. Conclui-se que o campo elétrico, nas proximidades de um condutor em equilíbrio eletrostático, é normal à superfície do condutor. 1.2 O Gradiente de Potencial

Seja um campo elétrico Eur

uniforme e considere dois pontos imersos neste campo, como mostrado na Figura 1. O trabalho elementar para se deslocar uma carga q na direção contrária ao campo é

(3) A relação entre trabalho e carga é definida como potencial, então

(4)

1. Introdução Teórica

04

q

rφ

πε=

a

b

U q E dl= − ⋅∫ur uur

dU qE dl= − ⋅ur uur

( )cosdU

d E dl E dlq

φ θ= = − ⋅ = −ur uur ur uur

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De onde se obtém a derivada direcional de φ na direção de dluur

como

(5)

Figura 1 – Gradiente de potencial

Se dluur

está na direção de Eur

, tem-se que ( )cos 1θ = e

(6)

e a função potencial φ diminui nessa direção. Se dluur

está na direção contrária de Eur

, tem-se que

( )cos 1θ = − , e

(7)

As equações (6) e (7) indicam que o campo elétrico Eur

tem o módulo igual ao gradiente máximo do potencial no ponto, e a direção contrária à direção do gradiente.

2.1 Material Utilizado • Eletrômetro • Fonte de Alimentação (ajustada em 30VDC) • Papel Condutor • Tachas para fixação • Cabos e Pinos de conexão • Caneta de Tinta Condutiva • Cortiça • Papel milimetrado 2.2 Procedimento Experimental 1. Coloque o papel condutor com o desenho da Figura 2 sobre a cortiça, fixando-o com as tachinhas.

2. Parte Experimental

( )cosd

Edl

φθ= −

ur

max

dE

dl

φ= −

ur

max

dE

dl

φ=ur

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Figura 2 – Desenho do papel condutor

2. Verifique se a condutividade das linhas do desenho e dos pinos de contato é suficiente usando os

instrumentos disponíveis na bancada. Se caso necessário, reforce o desenho com mais tinta, deixando secar por alguns minutos.

3. Deixe o eletrômetro e a fonte de alimentação em um mesmo terra de referência. 4. Com o eletrômetro, meça o potencial em vários pontos em volta do desenho, procurando encontrar

equipotenciais. Através desses dados, plote em papel milimetrado as curvas equipotenciais referentes à figura.

5. O gradiente local do potencial elétrico Φ(x,y), que é, por definição, a direção e magnitude do campo elétrico, pode ser estimado com um simples procedimento. Retire a conexão entre o terra do eletrômetro e o terra da fonte. Conecte uma segunda ponta de prova ao terminal de terra do eletrômetro. Junte as duas pontas de prova como indicado na Figura 3, desta forma a distância entre elas é mantida em aproximadamente 1 cm. Posicione a ponta de prova ligada ao terra em um ponto do papel e gire a outra ponta de prova ( ligada ao terminal positivo do eletrômetro ) em relação ao terra. Deste modo deve ser encontrada a direção onde é maior a leitura do eletrômetro.

Figura 3 – Posição das pontas de prova para medir o gradiente

1. Esboce no papel graduado anexo o desenho e as curvas dos equipotenciais encontradas, juntamente com

setas indicativas da direção e respectivos valores dos gradientes. 2. Explique as curvas obtidas no desenho com base na teoria de campos eletrostáticos. Explique a simetria

das curvas e a relação entre as linhas equipotenciais e a direção do gradiente.

3. Questões e Relatório

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3. Qual a relação entre o gradiente do potencial e a separação das linhas equipotenciais adjacentes em um

determinado ponto de medida. 4. Que efeito o tamanho finito do papel condutor tem sobre as linhas equipotenciais? 5. Faça conclusões sobre o experimento.