Cálculo NuméricoMínimos Quadrados

Marcos M. L. P. Fernandes

mfernandes@facens.br

Objetivo

O objetivo do método de mínimos quadrados é encontrar um polinômio p(x) que se aproxime o máximo possível da função real, minimizando assim o quadrado da distância entre os pontos de f(x) e p(x) min || f(x) – p(x) ||2

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Caso Contínuo

No caso contínuo, busca-se aproximar uma função f(x) através de um polinômio p(x) em um sub-espaço de valores, ou seja, em uma determinada região de valores de x

Exemplo: Determinar o polinômio de grau 2 que melhor se

ajusta a f(x) = x4-5x, x Є [-1, 1]

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Caso Contínuo

Etapa 1: Definir o polinômio de grau 2: p(x) = a0 + a1x + a2x2

Etapa 2: Representar em forma matricial este polinômio, de forma a encontrar a solução de quadrados mínimos

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(1, 1) (x, 1) (x2, 1)

(1, x) (x, x) (x2, x)

(1, x2) (x, x2) (x2, x2)

a0

a1

a2

=

(f, 1)

(f, x)

(f, x2)

Caso Contínuo

Etapa 3: Calcular o produto escalar das posições da matriz compostas por mais de um valor:

(1,1) = (1, x) = (x, 1) = (1, x2) = (x2, 1) = (x, x) = (x, x2) = (x2, x) =

(x2, x2) =

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Caso Contínuo

(f,1) =

(f, x) =

(f, x2) =

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Caso Contínuo

Etapa 4: Resolver o sistema linear apresentado na matriz

Para resolver, juntamos a matriz da esquerda com a da direita, e precisamos zerar os valores das colunas de forma a obter os valores das variáveis

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2 0 2/3

0 2/3 0

2/3 0 2/5

a0

a1

a2

=

2/5

-10/3

2/7

2 0 2/3 2/5

0 2/3 0 -10/3

2/3 0 2/5 2/7

Caso Contínuo

Etapa 5: Substituir os valores de a0, a1 e a2 em p(x) p(x) = a0 + a1x + a2x2 = -3/35 -5x + 6/7x2

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Caso Discreto

No caso discreto não se conhece a função a ser aproximada, apenas os valores da função para x e y, por isso o método é um pouco diferente

No caso discreto iremos ajustar a função aos dados, minimizando a distância entre o polinômio obtido e os dados iniciais

Exemplo: Determinar o polinômio de grau 2 que melhor se

ajusta a:

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X -1 0 1 2

Y 0 -1 0 7

Caso Discreto

Etapa 1: Definir o polinômio de grau 2, porém substituindo a0, a1 e a2 pelos vetores u0, u1 e u2 e em seguida definir os vetores u0, u1 e u2. p(x) = u0 + u1x + u2x2

u0 = [1, 1, 1, 1] => Equivale a potência 0 dos valores de X

u1 = [-1, 0, 1, 2] => Equivale a potência 1 dos valores de x

u2 = [1, 0, 1, 4] => Equivale a potência 2 dos valores de x

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(u0, u0) (u1, u0) (u2, u0)

(u0, u1) (u1, u1) (u2, u1)

(u0, u2) (u1, u2) u2, u2)

a0

a1

a2

=

(y, u0)

(y, u1)

(y, u2)

Caso Discreto

Etapa 2: Calcular o produto escalar entre os vetores da matriz (u a.u b) e (y.u a)

(u0, u0) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

(u0, u1) = (u1, u0) = -1 + 0 + 1 + 2 = 2

(u0, u2) = (u2, u0) = 1 + 0 + 1 + 4 = 6

(u1, u1) = 1 + 0 + 1 + 4 = 6

(u1, u2) = (u2, u1) = -1 + 0 + 1 + 8 = 8

(u2, u2) = 1 + 0 + 1 + 16 = 1811

Caso Discreto

(y, u0) = 0 + (-1) + 1 + 7 = 6

(y, u1) = 0 + 0 + 0 + 14 = 14

(y, u2) = 0 + 0 + 0 + 28 = 28 Obtemos então o sistema linear:

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4 2 6

2 6 8

6 8 18

a0

a1

a2

=

6

14

28

Caso Discreto

Etapa 3: Resolver o sistema linear Para calcular o resultado do sistema, iremos

aplicar as operações abaixo nas linhas do vetor

L3 = L3-L2-L1 => 0 0 4 8 L2 = 2*L2-L1 => 0 10 10 22

Resultando em:

13

4 2 6 6

2 6 8 14

6 8 18 28

4 2 6 6

0 10 10 22

0 0 4 8

4a0 + 2a1 + 6a2 = 6

10a1 + 10a2 = 22

4a2 = 8

Caso Discreto

Resolvendo o sistema, obtemos:

4a2 = 8 => a2 = 8/4 = 2

10a1 + 10(2) = 22 => a1 = 2/10 = 1/5

4a0 + 2(1/5) + 6(2) = 6 => a0 = (-6 - 2/5)/4 = -8/5

Resultando no polinômio:

p(x) = -8/5 + x/5 + 2x2

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4a0 + 2a1 + 6a2 = 6

10a1 + 10a2 = 22

4a2 = 8

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Exercícios

Obter a reta (grau 1) e a parábola (grau 2) que melhor ajusta os dados:

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Exercícios

Obter a reta (grau 1) e a parábola (grau 2) que melhor ajusta os dados: