la linea larga como cuadripolo pasivo

REDES ELECTRICAS REDES ELECTRICAS 1

Repaso


Contenido

1. Notación Fasorial

2. Ley de Ohm

3. Potencia y potencia compleja

4. Sistemas Trifásicos

5. Diagramas Unifilares

6. Modelos básicos a) Generadores

b) Transformadores

c) Cargas

Fasores

REDES ELECTRICAS 3


Notación fasorial • Hipótesis de Trabajo:

– Circuitos lineales en régimen permanente

– Señales de excitación sinusoidales de la forma 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥. cos(𝑤𝑡 + 𝜃𝑣) – Respuestas también sinusoidales de la forma 𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚𝑎𝑥. cos(𝑤𝑡 + 𝜃𝑖)

• Fórmula de Euler: 𝑒𝑗𝑥 = cos 𝑥 + 𝑗. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) • Se puede reescribir la señal de excitación y la respuesta como:

– 𝑣 𝑡 = 𝑅𝑒 𝑉𝑚𝑎𝑥. 𝑒𝑗 𝑤𝑡+𝜃𝑣 = 𝑅𝑒 2. 𝑉𝑟𝑚𝑠. 𝑒

𝑗 𝑤𝑡+𝜃𝑣

– 𝑖 𝑡 = 𝑅𝑒 𝐼𝑚𝑎𝑥. 𝑒𝑗 𝑤𝑡+𝜃𝑖 = 𝑅𝑒 2. 𝐼𝑟𝑚𝑠. 𝑒

𝑗 𝑤𝑡+𝜃𝑖

• Se definen los fasores de v(t) e i(t) como 𝑉 e 𝐼 tal que:

– 𝑉 = 𝑉𝑟𝑚𝑠. 𝑒𝑗𝜃𝑣

– 𝐼 = 𝐼𝑟𝑚𝑠. 𝑒𝑗𝜃𝑖

• El fasor no es un vector, ni rota, es simplemente un número complejo con las mismas dimensiones que las señales en el tiempo.

• Notar que está implícito en la definición una única frecuencia w constante.

Ley de Ohm

REDES ELECTRICAS 5


Ley de Ohm

• Ley de Ohm 𝐼 =𝑉

𝑍 =

𝑉.𝑒0𝑗

𝑍𝑒𝑗𝜃=

𝑉

𝑍. 𝑒−𝑗𝜃

• El origen de fases es arbitrario. En esta definición se toma el fasor 𝑉 como origen de fases: 𝑉 = 𝑉<0º = 𝑉

• θ>0, corriente atrasa a la tensión

• θ<0, corriente adelanta a la tensión

• Notar que 𝑍 =𝑉

𝐼 tiene características de fasor (número complejo) si bien no

tiene sentido asociarlo a una señal en el tiempo.

+ - V

IjZeZ

θ<0

θ>0 V

leading I

lagging IFigura 1

Figura 2

Potencia

REDES ELECTRICAS 7


Potencia +

v(t)

-

i(t)

Figura 3 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑝 cos 𝑤𝑡 𝑒𝑖 𝑡 = 𝐼𝑝 cos 𝑤𝑡 + 𝜃

𝑝 𝑡 = 𝑉𝑝𝐼𝑝 cos 𝑤𝑡 cos(𝑤𝑡 + 𝜃)

⋮

Haciendo cuentas

⋮

𝑝 𝑡 =𝑉𝑝

2

𝐼𝑝

2cos 𝜃 . 1 + cos(2𝑤𝑡)

𝑝𝑅(𝑡)𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎𝑞𝑢𝑒𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎𝑒𝑙𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜

+𝑉𝑝

2

𝐼𝑝

2𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 2𝑤𝑡

𝑝𝑥(𝑡)𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎

𝑦𝑑𝑒𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑝𝑜𝑟𝑒𝑙𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜


Potencia

• 𝑝𝑅 𝑡 =𝑉𝑝

2.𝐼𝑝

2. cos 𝜃 +

𝑉𝑝

2.𝐼𝑝

2. cos 𝜃 cos(2𝑤𝑡)

• 𝑃 = 𝑉𝑟𝑚𝑠 . 𝐼𝑟𝑚𝑠 . cos(𝜃) es la potencia consumida por la componente resistiva de la carga y se conoce como potencia activa o real (active power o real power)

• 𝑝𝑥 𝑡 = 𝑉𝐼𝑠𝑒𝑛 𝜃 . 𝑠𝑒𝑛 2𝑤𝑡 es la potencia oscilante hacia y desde la carga debido a la componente reactiva (ind/cap).

• cos 𝜃 se denomina factor de potencia


Potencia - Ejemplo

• Sean

• Entonces:

º6025.1

cos100

Z

wttv

º60coscos8000.

º60cos80

wtwttitvtp

wtti


Potencia - Ejemplo

0 0.005 0.01 0.015 0.02-100

-50

0

50

100v(t)=100cos(wt), i(t)=80cos(wt-60º)

Tiempo (s)

0 0.005 0.01 0.015 0.02-2000

0

2000

4000

6000p(t)=v(t).i(t)

Tiempo (s)

0 0.005 0.01 0.015 0.020

1000

2000

3000

4000pr, P

Tiempo (s)

0 0.005 0.01 0.015 0.02-4000

-2000

0

2000

4000px

Tiempo (s)

REDES ELECTRICAS

Potencia Compleja

• Dados los fasores asociados a la tensión y corriente de la figura 4: – 𝑉 = 𝑉𝑒𝑗𝜃𝑣

– 𝐼 = 𝐼𝑒𝑗𝜃𝑖

• Se define Potencia Aparente o compleja como:

– 𝑆 ≡ 𝑉 𝐼 = 𝑉. 𝐼. 𝑒𝑗(𝜃𝑣−𝜃𝑖) = 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑗𝑉𝐼𝑠𝑒𝑛(𝜃)

– 𝜃 = 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖

• La parte real coincide con la potencia activa.

• La parte imaginaria, que coincide con el valor de pico de la potencia oscilante entre la carga y la fuente, se define como potencia reactiva representada por la letra Q.

+

v(t)

-

i(t)

Figura 4


Unidades de la Potencia

• [P]=W, kW, MW

• [Q]=VAr, kVAr, MVAr

• [S]=VA, kVA, MVA

Sistemas Trifásicos

REDES ELECTRICAS 14

REDES ELECTRICAS

• Tensiones de fase y de línea

• Corrientes de fase y de línea


Corriente de

línea 1V

2V

3V

1Z

2Z

3Z

23U Tensión de

línea

1I

…… 𝐹𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒

…… 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎

REDES ELECTRICAS


• Fuente trifásica:

• Si V1=V2=V3, θ2=-120º, θ3=120º entonces la

fuente es equilibrada y directa

3

2

33333

22222

1111

cos

cos

cos

j

p

j

p

p

eVVwtVtv

eVVwtVtv

VVwtVtv

REDES ELECTRICAS


• Fuente equilibrada y directa:

º120

3

º120

2

1

j

j

VeV

VeV

VV

1V

2V

3V

VU

VVU

.3

3113

REDES ELECTRICAS


• Operador a

a

aV

aV

Va

V

V

aVVeV

VaVeV

VV

j

j

22

º120

3

2º120

2

1

1

.

V

Va2

aV

3

3113

UV

VVU

2

3

2

1º120º120cosº120 jjsenea j


• Resolución con generador en estrella y

carga en estrella:

REDES ELECTRICAS 20

E

Ea2

aE

Z

Z

Z

'AAI

N 'N

LZ

LZ

LZ

A

B

C

'A

'B

'C

'BBI

'CCI


• 𝐼 𝐴𝐴′ =𝐸+𝑉 𝑁𝑁′

𝑍 𝐿+𝑍

• 𝐼 𝐵𝐵′ =𝑎2𝐸+𝑉 𝑁𝑁′

𝑍 𝐿+𝑍

• 𝐼 𝐶𝐶′ =𝑎𝐸+𝑉 𝑁𝑁′

𝑍 𝐿+𝑍

• 𝐼 𝐴𝐴′ + 𝐼 𝐵𝐵′ + 𝐼 𝐶𝐶′ =3.𝑉 𝑁𝑁′

𝑍 𝐿+𝑍 = 0

• 𝑉 𝑁𝑁′ = 0 siendo entonces 𝑉 𝑁 = 𝑉 𝑁′ • ¿Cómo cambia el razonamiento anterior si se conectaran los

puntos N y N’ a través de un conductor de impedancia nula?

REDES ELECTRICAS 21


• Como 𝑉 𝑁𝑁′ = 0

– 𝐼 𝐴𝐴′ =𝐸

𝑍 𝐿+𝑍 ; 𝐼 𝐵𝐵′ = 𝑎2𝐼 𝐴𝐴′ ; 𝐼 𝐶𝐶′ = 𝑎𝐼 𝐴𝐴′

– Notación matricial: 𝐼 =

𝐼 𝐴𝐴′

𝐼 𝐵𝐵′

𝐼 𝐶𝐶′

=𝐸

𝑍 𝐿+𝑍 .

1𝑎2

𝑎

• Alcanza con resolver el circuito equivalente de una fase:

REDES ELECTRICAS 22

E

A 'A

LZZ


• Resolución con generador en estrella y

carga en triángulo:

REDES ELECTRICAS 23

E

Ea2

aE

Z

Z

Z

'AAI

N

LZ

LZ

LZ

A

B

C

'A

'B

'C

'BBI

'CCI


• Resolviendo:

• Alcanza con resolver el circuito equivalente

de una fase:

REDES ELECTRICAS 24

a

aZ

Z

E

I

I

I

I

VV

IaIIaIZ

Z

EI

CC

BB

AA

NN

AACCAABB

L

AA

2

'

'

'

'

'''2

''

1

.

3

matricialnotación En

;;

3

E

A 'A

LZ

3

Z

REDES ELECTRICAS


• Potencia en circuitos trifásicos en general:

333

222

111

333

222

111

cos2

cos2

cos2

cos2

cos2

cos2

wtIti

wtIti

wtIti

wtVtv

wtVtv

wtVtv

333222111

i

3322113

coscoscos

:) (haciendo será medio valor El

IVIVIVP

ivivivtp

ii

f

REDES ELECTRICAS


• Potencia en circuitos trifásicos balanceados

• Tensiones

– 𝑣1 𝑡 = 2Vcos 𝑤𝑡 ; 𝑣2 𝑡 = 2𝑉 cos 𝑤𝑡 − 120º ;𝑣3 𝑡 = 2𝑉cos 𝑤𝑡 + 120º ;

• Corrientes

– 𝑖1 𝑡 = 2𝐼 cos 𝑤𝑡 + 𝜃 ; 𝑖2 𝑡 = 2𝐼 cos 𝑤𝑡 − 120º + 𝜃 ;𝑖3 𝑡 = 2 𝐼cos 𝑤𝑡 + 120º + 𝜃 ;

• 𝑝3𝑓 𝑡 = 𝑣1 𝑡 . 𝑖1 𝑡 + 𝑣2 𝑡 . 𝑖2 𝑡 + 𝑣3 𝑡 . 𝑖3 𝑡

• 𝑝3𝑓 𝑡 =

2VI[cos 𝑤𝑡 cos 𝑤𝑡 + 𝜃 +cos 𝑤𝑡 − 120º cos 𝑤𝑡 − 120º + 𝜃 +

cos 𝑤𝑡 + 120º cos 𝑤𝑡 + 120º + 𝜃 ]

• Utilizando la relación cos 𝑎 cos 𝑏 =1

2[cos(a+b)+cos(a-b)]

– 𝑝3𝑓 𝑡 = 𝑉𝐼[𝑐𝑜𝑠 2𝑤𝑡 + 𝜃 + cos 𝜃 + cos 2𝑤𝑡 − 240º + 𝜃 + cos 𝜃 + cos 2𝑤𝑡 + 240º + 𝜃 + cos 𝜃

– 𝒑𝟑𝒇 𝒕 = 𝟑𝑽𝑰𝒄𝒐𝒔 𝜽

REDES ELECTRICAS


• Potencia en circuitos trifásicos balanceados

– La potencia compleja está dada por:

UIsenVIsenQ

UIVIP

UIVIS

UIsenjUIVIsenjVIIVS

IaconjVaIaconjVaIV

IVIVIVS

33

cos3cos3

33

3cos33cos3ˆ3

ˆ

ˆˆˆ

22

332211

Diagramas unifilares

REDES ELECTRICAS 28

Diagrama Unifilar

• Los sistemas trifásicos se componen de elementos y equipos diseñados con los mismos componentes para cada una de las tres fases. – Las líneas tienen 3 conductores idénticos

– los interruptores tienen tres cámaras de corte idénticas

– los transformadores tienen 3 juegos de bobinados idénticos

– Todos los equipos tienen 3 componentes idénticos para preservar el sistema eléctrico balanceado.

• Los sistemas eléctricos de potencia son extremadamente complejos y extensos por lo que dibujarlos para cada fase, además de incluir información redundante, lo hace poco práctico.

• Por este motivo el sistema eléctrico usualmente se representa por un dibujo o esquema de una sola fase llamado Esquema o Diagrama Unifilar.

REDES ELECTRICAS 29

Diagrama Unifilar

• Es una forma concisa de representar la

ubicación e interacción de todos los

componentes del sistema eléctrico.

REDES ELECTRICAS 30

barras

Transformador

Interruptor

Generador

Línea

Carga

REDES ELECTRICAS

Modelos básicos

• Generador

• Transformador de 2 arrollamientos

• Carga

REDES ELECTRICAS

Modelos - Generador • Datos

– Tensión Nominal Vn

– Potencia nominal Sn

– Reactancia sincrónica, Xs(%)

• Símbolo unifilar:

• Modelo:

Xs Bornes de

máquina

E

REDES ELECTRICAS

Modelos - Transformador • Datos

– Tensión Nominal primaria Vn1

– Tensión Nominal primaria Vn2

– Potencia nominal Sn

– Reactancia de cortocircuito, Xcc(%)

• Símbolo unifilar:

• Modelo:

Xcc Vn1/Vn2

REDES ELECTRICAS

Modelos - Carga • Hasta ahora, las cargas fueron representadas por

impedancias complejas constantes. • En la realidad, la potencia consumida por la carga puede

variar de diversas maneras con la tensión aplicada. En un caso general se tiene: – P = f1( V, f, …) – Q = f2( V, f, …)

• f1 y f2 son funciones que relacionan la potencia activa y reactiva con la tensión.

• Los modelos más conocidos son los siguientes: – Cargas de corriente constante con la tensión – Cargas de potencia constante con la tensión – Cargas de impedancia constante con la tensión – Cargas constituidas por una combinación de las anteriores

jXRZ

REDES ELECTRICAS

Modelos - Carga • Potencia consumida por la carga en función de la tensión

aplicada.

Impedancia

constante Corriente

constante

Potencia

constante

V

S

Modelos - Carga

• Corriente constante – La corriente absorbida por la carga se puede calcular en

función de sus valores nominales

• Este modelo es recomendado para simulaciones de Estabilidad (transitorios electromecánicos) cuando no se conoce con exactitud el modelo de carga del sistema eléctrico.

REDES ELECTRICAS 36

N

N

N

N

N

N

NN

U

SU

U

SUIUIU

U

SI

33ˆ3ˆ3S

nominal corriente ˆ3

ˆ

Modelos - Carga

• Potencia constante

– La corriente absorbida por la carga es

inversamente proporcional a la tensión

aplicada:

• Este modelo es utilizado principalmente en

simulaciones de régimen permanente como

los Flujos de Carga.

REDES ELECTRICAS 37

U

jQP

U

SI NNN

ˆ3ˆ3

ˆ

Modelos - Carga • Impedancia constante

– La impedancia se puede calcular a partir de las potencias activa y reactiva consumidas por la carga a tensión nominal.

• Este modelo es utilizado principalmente en simulaciones de transitorios electromagnéticos.

• Una combinación entre los modelos Z cte y S cte se utiliza para análisis de estabilidad (Transitorios electromecánicos)

REDES ELECTRICAS 38

2

2

2

222

222

ˆˆ

carga lapor consumida potencia lay tensión la entreRelación

arctancon

cosˆˆˆ

ˆ3

33

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

NN

N

N

U

SU

U

U

Z

U

Z

US

P

Qθ

jsenS

U

S

U

S

U

S

UU

I

UZ

Transformadores Trabajar en un único nivel de tensión

REDES ELECTRICAS

• 𝐼2 =

𝑃−𝑗𝑄

𝑉 𝑐+

𝑉𝑐

𝑍𝑐

𝑉 2 = 𝑉 𝑐 + 𝑍 𝑇𝐼2

;

𝑉𝐵

𝑉2= 𝑛2

𝐼𝐵

𝐼2=

1

𝑛2

𝐼𝐵 =

𝑃−𝑗𝑄

𝑛2𝑉 𝑐+

𝑛2𝑉𝑐

𝑛22𝑍𝑐

𝑉 𝐵 = 𝑛2𝑉 𝑐 + 𝑛22𝑍 𝑇𝐼𝐵

• 𝑉 1 = 𝐸 − 𝑍 𝑔𝐼1 ;

𝑉1

𝑉𝐴= 𝑛1

𝐼1

𝐼𝐴=

1

𝑛1

𝑉 𝐴 =𝐸

𝑛1−

𝑍 𝑔

𝑛12 𝐼𝐴

39

la linea larga como cuadripolo pasivo

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