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Juan Ángel Díaz Hernando

Doctor Ingeniero Industrial

Licenciado en Ciencias Matemáticas

Profesor Titular de la Universidad Politécnica de Madrid

MISCELÁNEA DE GEOMETRÍATomo V

Cónicas y cuádricas

Madrid, 2017

Datos de catalogación bibliográfica.'

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JUAN ÁNGEL DÍAZ HERNANDO.

Miscelánea de Geometría. Tomo V. Cónicas y cuádricas

c©JUAN ÁNGEL DÍAZ HERNANDO, Madrid 2017

Formato 176 x 250 mm Páginas: 583

Todos los derechos reservados.

Queda prohibida, salvo excepción prevista por la ley, cualquier forma de reproducción, distribución, co-

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intelectual. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propie-

dad intelectual (arts. 270 y sgts. Código Penal)

DERECHOS RESERVADOS

c©2017 por Juan Ángel Díaz Hernando

Presentación: M-007788/2017

R.P.I. 16/2018/1859 del 19 de Marzo de 2018

(España)

Editor: Juan Ángel Díaz Hernando

Técnico editorial: E.B.M.

IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN

A la memoria de mi queridomaestro, D. Ramón Masip, de laEscuela del Bosque, que marcóel rumbo de mi vida.

III

Prólogo

Consta este libro de siete capítulos dedicados al estudio de las cónicas y de las cuádricas, pero con un

tratamiento que se escapa del clásico sobre estos temas. Para las cónicas, en particular, he considera-

do muy interesante plantearlas desde distintos puntos de vista, tal y como se enuncia ya en la primera

lección: En primer lugar como secciones de un cono de revolución por un plano que no pase por su

vértice, luego como lugares geométricos, a continuación como homólogas de una circunferencia, y por

último como formas cuadráticas sobre el cuerpo real. Pasamos, así, de considerarlas desde un punto de

vista métrico, que evoluciona a otro completamente analítico. Por otra parte, las estudiaremos particu-

larmente, con suficiente detalle para hacernos con ellas. Sin haber terminado su tratamiento, y antes de

pasar al analítico, me ha parecido conveniente recordar algunos conceptos sobre el plano euclídeo y las

denominadas formas cuadráticas.

En cuanto a las cuádricas, su estudio será, ayudado por algunas visualizaciones, totalmente analítico.

Dado que las cónicas son curvas planas, y las cuádricas superficies en un espacio tridimensional, me

pareció que un estudio general de las curvas, tanto planas como alabeadas, así como de las superficies,

podrían ampliar conceptos y propiedades interesantes de lo visto antes.

Paso, ahora, a analizar el programa establecido:

En el Capítulo I, tras un breve intento de posicionarnos ante el problema, en la Lección 1 doy las defini-

ciones de las cónicas como las secciones producidas en una superficie cónica de revolución por un plano

que no pasa por el vértice, visualizándolas. En la Lección 2, llevando el vértice del cono al infinito, es

decir convirtiéndole en un cilindro de revolución, vemos que las definiciones anteriores siguen teniendo

sentido, lo que nos permite hablar, en general, de las cónicas degeneradas.

En el Capítulo II, en las Lecciones 3, 4, 5 y 6 se hace un estudio monográfico de la elipse; en las Lec-

ciones 7, 8, 9 y 10 de la hipérbola, y en las Lecciones 11, 12, 13 y 14 de la parábola. En la Lección

15, recordar conceptos ya conocidos, a cerca de lo que es una proyectividad entre series circulares, nos

permitirá enunciar el importante Teorema de Fregier. En la Lección 16 se extrapola a las cónicas lo es-

tablecido en la anterior para el caso particular de una circunferencia, apareciendo el Teorema de Steiner,

del que resultan interesantes propiedades de aplicación a un buen número de ejemplos. En la Lección

17 se retoman los conocidos Teoremas de Pascal y Brianchon, para aplicarlos a toda una problemática

sobre las cónicas. En la Lección 18 se trata el importantísimo problema de la polaridad, primero en la

circunferencia y luego en las cónicas en general. Los ejemplos de aplicación, tanto en ésta como en las

lecciones anteriores y en las que seguirán, estarán siempre presentes.

En el Capítulo III se inicia un nuevo planteamiento de los anunciados. Así, en la Lección 19 se plantean

las cónicas como homólogas de la circunferencia. En la Lección 20 aparte de considerar la homología,

para conseguir un mejor trazado de las cónicas, se plantea la posibilidad de recurrir a la proyectividad. La

Lección 21, como complemento a los planteamientos anteriores, ejemplariza diversos problemas corres-

V

pondientes a las figuras homológicas de la circunferencia. La Lección 22 da continuidad a la anterior,

pero utilizando una homología particular: la afinidad, que recordemos no es más que una homología de

eje propio y centro impropio.

El Capítulo IV consta de las Lecciones 23 y 24, como simple recordatorio de cuestiones que se estudian

en álgebra, como son: El plano euclídeo y las formas cuadráticas.

El Capítulo V trata las cónicas con el último de los planteamientos de que se hablaba en la primera lec-

ción, siendo éste el de considerarlas como formas cuadráticas sobre el cuerpo real, una exposición que

puede considerarse, en cierto modo, independiente de las anteriores, si bien con el mismo objetivo y las

mismas conclusiones. La Lección 25 trata de, una vez redefinidas las cónicas, establecer sus ecuaciones

reducidas, introduciendo sus invariantes métricos, hasta llegar a su clasificación afín y métrica; los abun-

dantes ejemplos de que consta sin duda amenizarán su estudio. La Lección 26 maneja las coordenadas

homogéneas en el plano, que permiten la introducción analítica tanto de los puntos impropios y los ima-

ginarios, como de las direcciones y rectas isótropas, y sus correspondientes puntos cíclicos. La Lección

27 analiza la posición relativa de una recta y una cónica, y dedica una buena parte de ella al estudio

de la polaridad, fructífera en sus aplicaciones; en particular, el concepto de puntos conjugados es muy

utilizado. Continúan los numerosos ejemplos tratando de estimular el estudio de los nuevos elementos

introducidos. La Lección 28 trata específicamente de la definición y determinación de los centros, diá-

metros, asíntotas, ejes y focos, de las cónicas, con un breve apunte a las denominadas homofocales. La

Lección 29 estudia la determinación de cónicas, y en particular ejemplariza el tratamiento de los haces

de cónicas.

El Capítulo VI está dedicado al estudio de las cuádricas. Así, en la Lección 30, que en alguna manera

corre paralela a la Lección 25 de las cónicas, se da la definición de cuádrica, y se tratan sus ecuacio-

nes reducidas, y sus invariantes métricos, hasta establecer su clasificación afín, dedicando un apartado

completo a los ejemplos que permitan aclarar posibles dudas; se cierra la lección estudiando las deno-

minadas secciones cíclicas y puntos umbilicales. La Lección 31 corre, también, paralela a la Lección 27

de las cónicas; se trata aquí de analizar la posición relativa tanto de una recta como de un plano, con una

cuádrica, así como el estudio de la polaridad en las cuádricas. La Lección 32 trata, dando continuidad a

la anterior, de los eventuales centros, planos diametrales, diámetros, planos principales y ejes. Los abun-

dantes ejemplos aclaratorios se presentan en un apartado específico.

El Capítulo VII aparece como algo foráneo, respecto de lo que venimos tratando, pero que considero de

gran interés dentro de esta parte de la Geometría, pues trata de las curvas en general, planas y alabeadas,

como de las superficies, entre cuyo estudio reaparecerán tanto las cónicas como, sobre todo las cuádricas,

que por otra parte no son sino superficies muy particulares. Así, la Lección 33 establece, para una curva

plana, conceptos tan importantes como la curvatura, el círculo osculador, la evoluta, y los de envolvente e

involuta para un haz. La Lección 34, tras un pequeño toque el análisis vectorial, sobre el que volveremos

en la Lección 37, se estudian las curvas alabeadas, definiendo sobre ellas su plano normal, el osculador

VI

y el rectificante, así como sus rectas tangentes, binormales y normales, con cuyos elementos se juega en

distintos ejemplos. Se establecen, a continuación, las distintas curvaturas: flexión y torsión, para terminar

definiendo el triedro intrínseco, y las tres fórmulas de Frenet. La Lección 35 juega con las superficies,

sus planos tangentes y rectas normales, así como lo que se llama contorno aparente, para después definir

lo que constituye un haz lineal de superficies de orden n. Se dedica un apartado a la generación de super-

ficies, y otros dos a las superficies de revolución, con especial aplicación a las cuádricas. Por último se

estudian las superficies regladas, entre las que encontramos el hiperboloide de una hoja y el paraboloide

hiperbólico, así como las superficies cónicas y las cilíndricas. A modo de alternativa a las superficies

regladas se tienen las alabeadas, entre las que destacamos los conoides. Se definen, así mismo, las su-

perficies de traslación y las podarias. La Lección 36 trata, en particular, de la curvatura de superficies de

las secciones oblicuas que pasan por una misma tangente, que se enuncia en el Teorema de Meusnier,

y la relación de las curvaturas de las secciones normales, que permiten definir las curvaturas y radios de

curvatura principales, dando lugar a la denominada curvatura de Gauss en un punto de la superficie. La

lección termina estableciendo una clasificación de los puntos de una superficie en elípticos, parabólicos

e hiperbólicos. La Lección 37 puede parecer algo fuera del contexto de lo tratado hasta aquí, aunque me

parece interesante que aparezca, dado la utilización de los conceptos que desarrolla tanto en las mate-

máticas como en la física. Se trata de plantear, en un espacio vectorial euclídeo tridimensional, en lo que

llamamos campo de escalares el gradiente, y en lo que se denomina campo de vectores la divergencia y

el rotacional.

Tal vez me he extendido un poco en esta presentación, que no sé porqué me trae a la memoria lo que, en

el mejor de los libros, decía Don Quijote a su escudero: “Sábete, Sancho, que no es un hombre más que

otro si más no hace”.

En la línea de mis agradecimientos están tanto los profesores como los estudiosos, por sus eventuales

comentarios, que sin duda ayudarán a mejorar posibles nuevas ediciones.

Siempre en mi memoria mis amigos, mi esposa y mis padres, mis hijos y, como no podría ser de otra

manera, mis queridos nietos: Lucía, Diego y Mario.

Juan Angel Díaz Hernando.

VII

ÍNDICE

IX

CAPÍTULO I

Lección 1 DEFINICIONES MÉTRICAS DE LAS CÓNICAS

1.1 Generalidades........................................................................................ 3

1.2 Definiciones métricas de las cónicas..................................................... 8

Lección 2 CÓNICAS DEGENERADAS

2.1 Secciones de un cilindro de revolución................................................. 17

2.2 Cónicas degeneradas............................................................................. 19

CAPÍTULO II

Lección 3 ESTUDIO DE LA ELIPSE

3.1 La elipse como lugar geométrico.......................................................... 23

3.2 Centro y radio de curvatura................................................................... 28

3.3 Propiedades de la elipse........................................................................ 30

Lección 4 TANGENTES

4.1 Trazado de tangentes............................................................................. 37

4.2 Intersección de elipse y recta................................................................. 42

Lección 5 OTRAS PROPIEDADES

5.1 Otras propiedades de la elipse............................................................... 45

Lección 6 DETERMINACIÓN DE UNA ELIPSE

6.1 Determinación de una elipse.................................................................. 55

6.2 Ejemplos................................................................................................. 60

Lección 7 ESTUDIO DE LA HIPÉRBOLA

7.1 La hipérbola como lugar geométrico...................................................... 67

7.2 Centro y radio de curvatura.................................................................... 75

7.3 Propiedades de la hipérbola.................................................................... 75


8.1 Trazado de tangentes.............................................................................. 79

8.2 Intersección de hipérbola y recta............................................................ 82

XI


9.1 Otras propiedades de la hipérbola.................................................... 85

Lección 10 DETERMINACIÓN DE UNA HIPÉRBOLA

10.1 Determinación de una hipérbola...................................................... 91

10.2 Ejemplos.......................................................................................... 97

Lección 11 ESTUDIO DE LA PARÁBOLA

11.1 La parábola como lugar geométrico................................................ 105

11.2 Centro y radio de curvatura............................................................. 110

11.3 Propiedades de la parábola ............................................................. 111


12.1 Trazado de tangentes....................................................................... 115

12.2 Intersección de parábola y recta...................................................... 118


13.1 Otras propiedades de la parábola..................................................... 121

Lección 14 DETERMINACIÓN DE UNA PARÁBOLA

14.1 Determinación de una parábola........................................................ 127

14.2 Ejemplos........................................................................................... 134

Lección 15 PROYECTIVIDAD E INVOLUCIÓN

15.1 Construcción de una proyectividad................................................. 143

15.2 Proyectividad en la circunferencia.................................................. 144

15.3 Involución entre series rectilíneas................................................... 146

15.4 Involución en la circunferencia....................................................... 148

Lección 16 PROYECTIVIDAD EN LAS CÓNICAS

16.1 Determinación de una cónica.......................................................... 151

16.2 Ejemplos de aplicación.................................................................... 152

Lección 17 TEOREMAS DE PASCAL Y BRIANCHON

17.1 Teoremas de Pascal y Brianchon..................................................... 167

17.2 Ejemplos de aplicación.................................................................... 170

Lección 18 POLARIDAD EN LAS CÓNICAS

18.1 Polaridad en la circunferencia......................................................... 183

18.2 Figuras polares recíprocas............................................................... 191

18.3 Las cónicas como polares recíprocas de la circunferencia.............. 192

18.4 Polaridad en las cónicas................................................................... 197

18.5 Ejemplos........................................................................................... 198

XII

CAPÍTULO III

Lección 19 LAS CÓNICAS COMO HOMÓLOGAS

DE LA CIRCUNFERENCIA

19.1 Transformación homológica de una circunferencia......................... 209

19.2 Las cónicas como homólogas de una circunferencia....................... 215

Lección 20 LAS CÓNICAS Y LA PROYECTIVIDAD

20.1 Casos especiales.............................................................................. 217

20.2 El recurso de la proyectividad......................................................... 219

Lección 21 DETERMINACIÓN DE CÓNICAS POR HOMOLOGÍA

21.1 Ejemplos........................................................................................... 221

Lección 22 AFINIDADES

22.1 Ejemplos........................................................................................... 227

CAPÍTULO IV

Lección 23 EL PLANO EUCLÍDEO

23.1 Producto escalar............................................................................... 235

23.2 Cambio de base en el espacio vectorial euclídeo............................. 238

23.3 El plano euclídeo. Cambio se sistema de referencia........................ 240

Lección 24 FORMAS CUADRÁTICAS

24.1 Formas bilineales y cuadráticas....................................................... 243

24.2 Espacios vectoriales euclídeos......................................................... 245

24.3 Diagonalización de matrices............................................................ 247

24.4 Diagonalización de matrices simétricas........................................... 251

24.5 Descomposición en cuadrados de una forma cuadrática.................. 255

CAPÍTULO V

Lección 25 CÓNICAS (Nuevo planteamiento)

25.1 Definiciones...................................................................................... 263

25.2 Ecuaciones reducidas de las cónicas................................................ 265

25.3 Invariantes métricos.......................................................................... 268

XIII

25.4 Clasificación afín y métrica de las cónicas....................................... 273

25.5 Ejemplos........................................................................................... 277

Lección 26 RECTAS ISÓTROPAS Y PUNTOS CÍCLICOS

26.1 Coordenadas homogéneas en el plano.............................................. 289

Lección 27 POLARIDAD EN LAS CÓNICAS

27.1 Posición relativa de una recta y una cónica...................................... 293

27.2 Polaridad en las cónicas.................................................................... 301

Lección 28 ELEMENTOS DE LAS CÓNICAS

28.1 Centros, diámetros, asíntotas, ejes y focos....................................... 313

28.2 Cónicas homofocales........................................................................ 329

Lección 29 DETERMINACIÓN DE CÓNICAS

29.1 Determinación de cónicas................................................................. 331

29.2 Haces de cónicas............................................................................... 331

CAPÍTULO VI

Lección 30 CUÁDRICAS

30.1 Definiciones...................................................................................... 341

30.2 Ecuaciones reducidas de las cuádricas............................................. 342

30.3 Invariantes métricos.......................................................................... 352

30.4 Clasificación afín.............................................................................. 356

30.5 Ejemplos........................................................................................... 360

30.6 Secciones cíclicas y puntos umbilicales de una cuádrica................. 381

Lección 31 POLARIDAD EN LAS CUÁDRICAS

31.1 Posición relativa de una recta/plano y una cuádrica......................... 387

31.2 Polaridad en las cuádricas................................................................. 395

Lección 32 ELEMENTOS DE LAS CUÁDRICAS

32.1 Centros, planos diametrales, diámetros, planos principales y ejes.... 401

32.2 Ejemplos............................................................................................ 410

CAPÍTULO VII

Lección 33 CURVAS PLANAS

33.1 Curvatura de una curva plana........................................................... 435

33.2 Círculo osculador.............................................................................. 437

XIV

33.3 Evoluta de una curva..................................................................... 438

33.4 Envolvente de un haz de curvas planas......................................... 442

Lección 34 CURVAS ALABEADAS

34.1 Nociones de análisis vectorial....................................................... 449

34.2 Curvas alabeadas........................................................................... 451

34.3 Triedro intrínseco.......................................................................... 460

Lección 35 SUPERFICIES

35.1 Plano tangente y recta normal....................................................... 467

35.2 Generación de superficies.............................................................. 487

35.3 Superficies de revolución............................................................... 495

35.4 Cuádricas de revolución................................................................. 499

35.5 Superficies regladas........................................................................ 507

Lección 36 CURVATURA DE SUPERFICIES

36.1 Teorema de Meusnier..................................................................... 539

36.2 Relación entre las curvaturas de las secciones normales............... 541

36.3 Clasificación de los puntos de una superficie................................. 543

Lección 37 GRADIENTE. DIVERGENCIA. ROTACIONAL

37.1 Campo escalar. Gradiente............................................................... 545

37.2 Campo vectorial. Divergencia......................................................... 553

37.3 Campo vectorial. Rotacional........................................................... 555

ALFABETO GRIEGO ...................................................................................................... 565

BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................... 567

XV

CAPÍTULO I

Lección 1.- DEFINICIONES MÉTRICAS DE LAS CÓNICAS

1.1 Generalidades

1.2 Definiciones métricas de las cónicas

1.1 Generalidades

Para definir las cónicas caben distintos planteamientos, que enunciamos, y luego desarrollaremos en los

siguientes capítulos:

I.- Como secciones de un cono de revolución.

II.- Como lugares geométricos.

III.- Como homólogas de la circunferencia.

IV.- Como formas cuadráticas sobre el cuerpo real.

Las cónicas se conocían ya, como secciones del cono de revolución entre los griegos, hacia la época de

Platón, cuyos discípulos las estudiaron con interés. En el siglo de oro de la matemática griega (III antes

de J.C.) Euclides, Arquímides y Apolonio llegaron a establecer las principales propiedades de estas

curvas.

No se progresa fundamentalmente hasta el siglo XVII, en el que nace con Desargues la perspectiva co-

mo método geométrico. Su estudio recibe un fuerte impulso con Pascal, y sobre todo con La Hire, que

publica un extenso tratado sobre las secciones cónicas en el que expone la teoría de polo y polar, y se

habla por primera vez de “cuaternas armónicas”.

A principios del siglo XIX, en el que se desarrolló la Geometría Proyectiva, Chasles, Poncelet y Steiner,

gracias al empleo combinado de los métodos gráficos y analíticos, coronaron la obra genialmente inicia-

da por los griegos veintidós siglos antes.

En lo que sigue, estudiaremos las nociones ya conocidas en la antigüedad enriquecidas con las propieda-

des que ha descubierto la geometría moderna.

Antes de pasar a desarrollar el programa propuesto, puede ser interesante a modo de introducción, dar

una pincelada al tema, con las definiciones de las curvas a las que vamos a dedicar toda nuestra atención.

3

Llamaremos elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la suma de las distancias de

cada uno de ellos a otros dos fijos en el mismo plano sea constante.

A los puntos fijos se les llamará focos, y a las rectas que los unen con los puntos de la curva radios

vectores.

Los focos suelen designarse por las letras F y F′, y en el general, a la suma constante de los dos

radios vectores correspondientes a un punto de la curva, por 2 ·a. Así mismo, a la distancia que

separa los focos se le llama distancia focal, que se designará 2 · c.

Así, si M representa un punto cualquiera de una elipse, y F, F′, son sus focos, se verifica que

MF+MF′ = 2 ·a , FF′ = 2 · c

debiendo tener lugar, para que la curva exista, que

2 · c < 2 ·a ⇐⇒ c < a .

Llamaremos elipses homofocales a las que tienen los mismos focos, y circunferencias focales a las dos

trazadas, desde cada uno de los focos, como centro, y de radio 2 ·a. Así mismo, llamaremos circunfe-

rencia principal a la que tiene por centro el punto medio de FF′, y por radio a.

A cada foco de la elipse corresponde una recta, que llamaremos directriz, perpendicular a la que une los

focos, a un mismo lado de su punto medio cada foco y su directriz, y distante ésta de dicho punto medio,

la magnituda2

c.

De la propia definición de elipse se deduce que ésta ha de tener dos ejes y un centro de simetría, siendo

este centro el punto medio de FF′, y aquellos ejes la recta FF′ y la perpendicular a ella en el mencionado

centro.

Estos ejes y centro de simetría se llamarán, también, ejes y centro de la elipse, pero considerando de los

primeros sólo las partes comprendidas por la curva.

Llamaremos excentricidad de la elipse a la relación e =ca

. Para un mismo valor de a, esta relación

varía de 0 a 1, cuando c crece de 0 a a.

Llamaremos hipérbola al lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la diferencia de las

distancias de cada uno de ellos a otros dos fijos en el mismo plano sea constante.

A los puntos fijos se les llamará focos, y a las rectas que los unen con los puntos de la curva radios

vectores.

Los focos suelen designarse por las letras F y F′, y en general, a la diferencia constante de los

dos radios vectores correspondientes a un punto de la curva, por 2 ·a. Así mismo, a la distancia

que separa los focos se les llama distancia focal, que se designará 2 · c.

4

Así, si M representa un punto cualquiera de una hipérbola, y F y F′ son sus focos se verifica que

MF′−MF = 2 ·a , FF′ = 2 · c

debiendo tener lugar, para que la curva exista, que

2 · c > 2 ·a ⇐⇒ c > a .

Llamaremos hipérbolas homofocales a las que tienen los mismos focos, y circunferencias focales a las

dos trazadas desde cada uno de los focos, como centro, y de radio 2 ·a. Así mismo, llamaremos circun-

ferencia principal a la que tiene por centro el punto medio de FF′, y por radio a.

A cada foco de la hipérbola corresponde una recta, que llamaremos directriz, perpendicular a la que une

los focos, y dado que en este caso a < c, la tal directriz quedará entre el punto medio de la recta que une

los focos y el foco correspondiente; al igual que en el caso de la elipse distará de dicho punto medioa2

c.

De la propia definición de hipérbola se deduce que ésta ha de tener dos ejes y un centro de simetría,

siendo éste el punto medio de la FF′, y aquellos ejes la recta FF′ y la perpendicular a ella en el mencio-

nado centro.

Estos ejes y centro de simetría se llamarán, también, ejes y centro de la hipérbola, pero considerando de

los primeros sólo las partes comprendidas por la curva.

Llamaremos excentricidad de la hipérbola a la relación e =ca

. Para un mismo valor de a, esta relación

varía de 1 a ∞∞∞.

Llamaremos parábola al lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes de otro punto y de

una recta situada en el mismo plano.

Al punto fijo se le llamará foco, y a la recta directriz. A las rectas que unen el foco con un punto cual-

quiera de la curva se les llamará radios vectores. Llamaremos parámetro a la distancia del foco a la

directriz, y se representará por p.

Trazando la perpendicular desde el foco, F, a la directriz, d, la curva ha de ser simétrica respecto a esta

recta, que llamaremos eje.

Sobre el eje, al único punto que existe equidistante del foco y de la directriz le llamaremos vértice.

Una definición característica que puede servir para definir las cónicas (elipse, hipérbola y parábola), cur-

vas también llamadas de segundo grado, además de secciones cónicas, nos la da la siguiente.

PROPOSICIÓN 1. El lugar geométrico de los puntos de un plano para los cuales el valor absoluto

de la relación de las distancias de cada uno de ellos a un punto fijo y a una recta dada, situados en el

mismo plano sea constante, es una parábola, una elipse o una hipérbola, según que dicha relación

sea igual, inferior o superior a 1. El punto fijo se llama foco de la curva, y la recta dada, directriz.

5

En efecto: Sea r la relación indicada.

Si r = 1, el lugar geométrico es, por definición, una parábola.

En cualquiera de los otros dos casos, observemos ante todo que la curva de que se trata ha de ser simétrica

respecto a la recta trazada por el foco perpendicularmente a la directriz.

Supongamos, ahora, que r < 1, y sean F y DD1 el foco y la directriz.

Es inmediato comprobar que pertenecen a la curva los dos puntos A y A′, situados sobre la recta FD, que

satisfagan las condicionesAFAD

= r yA′FA′D

= r ,

debiendo estar uno de estos puntos entre F y D, y el otro a la izquierda de F.

Tratemos, ahora, de determinar los puntos de la curva que se encuentren sobre una paralela CC′ al eje.

DA

B

C

F

N

M

OA'

C'

D'F'

M'

N'

O'

D1

D'1

D'1

D1

Si M es uno de estos puntos, debe verificarse que

MFMC

= r ;

por consiguiente se tendrán que determinar, sobre CC′, los puntos para los cuales la relación de las distan-

cias de cada uno a los C y F, sea igual a r.

Según sabemos el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a otros dos dados estén en una cierta

relación es la circunferencia que tiene por diámetro el intervalo de la recta que une los dos puntos dados,

comprendidos por los dos que la dividen armónicamente en la indicada relación. Por tanto, para determinar

este circunferencia basta determinar sobre la recta CF, los dos puntos N y N′ que dividan a CF, de la citada

manera, lo que se consigue trazando por A y A′, paralelas a la directriz, pues resulta

NFNC

=AFAD

= r yN′FN′C

=A′FA′D

= r

6

Obtenidos los puntos N y N′, se describe la circunferencia©

NMM′N′, que proporciona los dos puntos M y

M′ de la curva, determinándose de modo análogo todos los que se deseen. El centro de dicha circunferencia

está en la intersección de NN′ con la paralela a la directriz que pase por el punto medio O del eje AA′.

Como todos los puntos, tales como M y M′, resultan ser simétricos respecto a la recta OB, se deduce que

la curva ha de tener este otro eje de simetría, siendo B el punto de la misma situado sobre este eje.

A la vista de este nuevo eje de simetría, si se marcan, respecto a él, los puntos F′ y D′, simétricos de F y

D, y trazamos la recta D′D′1, se verificará que

MF′

MC′=

M′FM′C

= r yM′F′

M′C′=

MFMC

= r ,

que indican que el lugar geométrico de que se trata es también el de los puntos para los cuales la relación

de las distancias de cada uno de ellos al punto F′ y a la recta D′D′1 es igual a r.

Observemos también que los puntos N y N′ están siempre sobre los paralelas a la directriz, que pasan por

A y A′, y equidistan de la paralela OB. Además, como el punto C es exterior al segmento NN′, la recta CC′

corta a la circunferencia en un punto M, comprendido, siempre, entre las paralelas NA y OB, así como su

simétrico, M′, lo está entre las paralelas OB y N′A′.

Resulta, ahora, fácil ver que el lugar geométrico determinado en estas condiciones es una elipse cuya

excentricidad es r, F y F′ sus focos, y DD1 y D′D′1, las directrices.

Los puntos tales como M están situados sobre una cierta paralela a AA′, verificándose que la suma

MC+MC′ = CC′

es constante, y además que

r =MFMC

=MF′

MC′=

MF+MF′

MC+MC′.

Indica esto que también es constante

MF+MF′ ,

satisfaciendo así la curva a la definición de una elipse cuyos focos sean F y F′. Además, como

MF+MF′ = AF+AF′ = AF+A′F = AA′ ,

resulta que AA′ es el eje mayor.

Observando que

r =A′F′

A′D′=

A′FA′D

=A′F−A′F′

A′D−A′D′=

FF′

AA′=

ca

,

queda probado que r es la excentricidad de esta elipse, deduciéndose, además, de las anteriores igualdades

queA′F′+A′FA′D′+A′D

=2 ·aDD′

=ca

=⇒ DD′ =2 ·a2

co bien

OD = OD′ =a2

c;

es decir, que DD1 y D′D′1, son las directrices.

7

En el caso de ser: r > 1, se probaría de un modo análogo que el lugar geométrico es una hipérbola en

idénticas condiciones.

En la demostración de la proposición anterior ha quedado establecido, así mismo, un método para dibujar

la elipse, por puntos, conocidos los focos y una directriz (la determinación de la otra es inmediata), así

como el valor de r ( o bien los vértices A y A′, cuya obtención sería también inmediata).

Ejemplo 1.- Dibujar puntos de una elipse, de focos F y F′, directriz d, y r =1

1,4.

A

A'

O'

O''

M'

M C

C'

d'd

FF'O

r =1

1,4_

1,4

1

O''N'_O'N_

N'

N

1.2 Definiciones métricas de las cónicas

Tradicionalmente las cónicas se han definido como las secciones producidas en una superficie cónica

de revolución, por un plano que no pase por el vértice.

Cuando el plano corta a todas las generatrices de la superficie cónica, a la sección se le llama

elipse. En el caso de que el plano sea paralelo a una sola generatriz, la sección recibe el nombre

de parábola. Por último cuando el plano sea paralelo a dos generatrices, a la sección se le llama

hipérbola.

Tal como se muestra en las figuras siguientes, si llamamos ααα al ángulo que forman las generatrices de la

superficie cónica con su eje, y βββ al ángulo que forma el eje con el plano de la sección, la cónica producida

se caracterizará de la siguiente manera:

ααα < βββ · · · · · · · · ·elipse

ααα = βββ · · · · · · · · ·parábola

ααα > βββ · · · · · · · · ·hipérbola

8

En el caso particular de que βββ = 90o, es decir cuando el eje es perpendicular al palo de la sección, esta-

remos en presencia de una circunferencia que podemos considerar, por tanto, como un caso particular

de la elipse.

Las siguientes figuras, además de visualizar lo que acabamos de exponer, nos sugieren las definiciones

métricas siguientes:

Llamaremos focos, de una sección cónica, a los puntos de contacto de su plano con las esferas inscritas

en el cono y tangentes al plano de la sección. F y F′ en el caso de elipses e hipérbolas, y F en el caso de

la parábola.

Llamaremos directriz, de una sección cónica, a la recta intersección del plano de la circunferencia de

contacto, (c)/(c′), con el plano de la cónica, correspondiente al foco F (F′). En el caso de elipses e

hipérbolas tendremos dos directrices, d y d′, mientras que en el caso de la parábola no habrá más que

una, d, correspondiente a su único foco.

Llamaremos eje focal a la recta FF′ que contiene a los focos, e, que es, asimismo eje de simetría de la

cónica, y perpendicular, por otra parte a las directrices. Los puntos A y A′ de la cónica, situados en el

eje, recibirán el nombre de vértices.

En el caso de la parábola sólo existe un vértice, que determina, junto con el único foco el eje de la misma.

Llamaremos radios vectores de un punto P, cualquiera de la cónica, a los segmentos: PF, PF′, que unen

al punto P con los focos.

Lo establecido hasta aquí (véanse además las figuras que siguen) nos permiten enunciar los

Teoremas de Dandelin. La intersección de un cono de revolución con un plano es una cónica,

que tiene:

1o.- Por eje, la intersección del plano secante con el plano meridiano perpendicular.

2o.- Por focos, los puntos de contacto del plano secante con las esferas inscritas en el cono y tan-

gentes al plano secante.

9

AF

F'

d

d'

C

OH

C'

O'

V

Π

α

Elipse

H'

MA'

β

10

F

A

A'

V

(c')

(c)

d

d'

Hipérbola

O

O'

α

β

Π

F'

11

dA

F

O

V

α

β

(c)

Parábola

Π

12

Observemos, ahora, que el radio vector que une un punto cualquiera, P, de la sección, con un foco, F, es

decir PF, es igual al segmento de generatriz, PM, que pasa por P, es decir el comprendido entre P y la

circunferencia (c), puesto que ambos son segmentos de rectas tangentes por P a una esfera; lo que nos

permite escribir: PF = PM.

Un tal segmento, PM, forma siempre el mismo ángulo, ααα , con el eje del cono y el segmento de perpen-

dicular, PR, de P a la directriz es paralelo al eje focal, e, y forma con el eje del cono un

ángulo constante, βββ .

d

A

F

β

(c) M

α

P

R

e

Dado que las proyecciones, de PM y PR, sobre el eje del cono son iguales, por estar situados los puntos

R y M en un mismo plano normal al eje, es decir: PM · cos ααα = PR · cos βββ , se verifica

PFPR

=PMPR

=cos βββ

cos ααα= εεε (constante)

lo que nos permite enunciar la siguiente propiedad:

1o.- La razón de distancias de un punto de una cónica a un foco y a su directriz, es la misma

para todos los puntos.

Llamaremos excentricidad a la razón constante εεε . Observemos que según sea: ααα < βββ , ααα = βββ , ααα > βββ ,

es decir, se trate de una elipse, parábola o hipérbola, tendremos: εεε < 1 , εεε = 1 , εεε > 1.

13

Sea, ahora, FD, el segmento de perpendicular de F a d, y sea A el punto de él que cumpla la condiciónFAAD

= εεε . (Ver la figura siguiente).

F

d

D

P'

P''Π

P

M

A'A

Si trazamos una esfera arbitraria, tangente en F al plano ΠΠΠ, y en el plano diametral, por A, dibujamos

la tangente AM, resultará que el cono circunscrito a dicha esfera a lo largo de su sección por el plano

determinado por el punto M y la recta d, será cortado por el plano ΠΠΠ según una cónica, cuyos puntos,

entre los que está el A verifican de propiedad siguiente:

2o.- Todo lugar geométrico de puntos, P, de un plano cuya razón de distancias a un punto

fijo, F, y a una recta fija, d, es constante, εεε , es una cónica.

(Observemos que esta propiedad es la recíproca de la anterior).

Los únicos puntos P, que verifican la propiedad anterior son los de la cónica obtenida, pues si un punto,

P′, es interior a la misma, y trazamos por él la paralela a d, la distancia de F al punto P verificará:

FP′ < FP, y por tantoFP′

P′R′< εεε .

En forma análoga se probaría que para puntos exteriores P′′ se verificaría:FP′′

P′′R′′> εεε .

El razonamiento anterior nos permite afirmar que: Para todo punto interior/exterior la razón de dis-

tancias al foco y a la directriz es menor/mayor que la excentricidad; siendo válido el razonamiento

para los tres tipos de cónicas.

14

Las anteriores propiedades, 1o.- y 2o.-, nos permiten dar la siguiente nueva definición de elipse hipérbola

y parábola:

Llamaremos cónica al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya razón de distancias a un punto

fijo (FOCO) y a una recta fija (DIRECTRIZ), es una cantidad constante, εεε . Si esta constante es εεε < 1,

llamaremos a la cónica elipse, si es εεε > 1 la llamaremos hipérbola, y por último si es εεε = 1 diremos que

se trata de una parábola.

Dada una cónica, existen infinitos modos de obtenerla como sección de un cono de revolución, ya que

las construcciones dependen de una esfera, de radio arbitrario, tangente al plano de la cónica en un foco.

Al variar el radio de la esfera, nos podemos preguntar: ¿Cuál será el lugar geométrico de los vértices, V,

del cono?.

Si nos referimos a la elipse, recordemos que el triángulo4

VAA′, se tiene:

A

F

V

A'

FA′ = p−VA

FA = p−VA′

(p = semiperímetro)

de donde resulta: VA′−VA = FA′−FA = (constante) = FF′.

Por consiguiente, el lugar geométrico de V es una hipérbola, de focos A y A′ que pasa por F y por F′.

Además, como el plano perpendicular al de la cónica, trazado por el vértice V del cono, es plano de

simetría de ella, que contiene a los focos, V está necesariamente en el plano perpendicular al de la cónica

por FF′.

Podemos resumir lo anterior diciendo que: el lugar geométrico de los vértices de los conos de revo-

lución que pasan por una elipse dada, es una hipérbola situada en un plano perpendicular por su

eje, que tiene por vértices los focos, F y F′, de la elipse, y cuyos focos son los vértices A y A′ del eje

focal de la elipse.

Además, los puntos del infinito de la hipérbola son aquellos para los que el cono se convierta en cilindro.

FF'A' A

V

15

En forma análoga se demostraría que: el lugar geométrico de los vértices de los conos que pasan por

una hipérbola, es una elipse, situada en un plano perpendicular al de ésta, cuyos vértices son los

focos de la hipérbola y cuyos focos son los vértices de aquella.

F A A' F'

V

En el caso de la parábola, basta imaginar que el punto A′ (ver figura correspondiente al caso elipse) está

infinitamente alejado y, por consiguiente la tangente VA′ es paralela a FA.

Si tomamos FH = FA y trazamos HM perpendicular a FA por H, y es M la intersección con VA′, se

tendrá:

VM = VP+HF = VQ+QA = VA .

En consecuencia el punto V equidista del A y de la recta MH≡ d′, lo que nos permite decir que: el lugar

geométrico de los vértices de los conos que pasan por una parábola, es otra, situada en un plano

perpendicular al de ésta, cuyos foco y vértice son respectivamente, los vértice y foco de la primera.

F A

A'

Q

VM

Hd

P

d'

16

Lección 2.- CÓNICAS DEGENERADAS

2.1 Secciones de un cilindro de revolución

2.2 Cónicas degeneradas

2.1 Secciones de un cilindro de revolución

El resultado que sigue puede considerarse como un caso límite del estudiado en la lección anterior en el

que manejábamos un cono de revolución, del que ahora consideraremos que su vértice está en el infinito

lo que nos transformará el citado cono en un cilindro de revolución.

PROPOSICIÓN 1. La sección de un cilindro de revolución por un plano oblicuo al eje, es

una elipse.

En efecto: Definiendo las esferas tangentes al cilindro y al plano de la sección, como hicimos en la lección

anterior cuando lo que manejábamos era un cono de revolución, si F y F′ son los puntos de contacto de las

mismas, P un punto cualquiera de la sección, y MN el segmento de generatriz que pasa por P, y limitado

por las circunferencias de tangencia respectivas, se obtiene en forma análoga a como hacíamos en el caso

del cono de revolución que:

PF+PF′ = PM+PN = MN (constante) ,

lo que nos pone de manifiesta que la sección es elíptica.

El resultado será el mismo planteando constancia de la razónPMPR′

, siendo PR la distancia de P a la recta

intersección de ΠΠΠ con el plano de la circunferencia de contacto de donde resulta que esta recta es una

directriz.

El plano diametral del cilindro, perpendicular a ΠΠΠ, es plano de simetría de la elipse, y su intersección con

ΠΠΠ será el eje de simetría, AA′.

El diámetro perpendicular a dicho eje, por el punto medio O, de AA′, será así mismo eje de simetría del

cilindro y de ΠΠΠ, y por tanto de la elipse.

Al segmento BB′, limitado por sus intersecciones con la elipse, le llamaremos eje menor, de magnitud

igual al diámetro del cilindro; se le designará por 2 ·b, y a sus extremos, B y B′, se les llamará también

vértices de la elipse.

17

V ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

O

O'

B'

BF

F'

H

H'

d

d'

A'

M

A

Π

18

2.2 Cónicas degeneradas

Hemos definido las cónicas como las secciones producidas en una superficie cónica de revolución por

un plano que no pase por el vértice, y siendo ααα el ángulo que forma la generatriz del cono con su eje, y

βββ el ángulo que forma el plano con el eje del cono. Teníamos entonces que:

ααα < βββ =⇒ elipse

ααα = βββ =⇒ parábola

ααα > βββ =⇒ hipérbola

Si en esta definición omitimos la restricción de que el plano sección no pase por el vértice, y conside-

ramos el cilindro como un cono, de vértice impropio, obtendremos, además de las elipse, parábola e

hipérbola consideradas, las siguientes clases de cónicas que llamaremos degeneradas:

1o.- Dos rectas imaginarias con un punto propio común.

2o.- Dos rectas concurrentes.

19

3o.- Dos rectas confundidas en una.

4o.- Dos rectas paralelas.

5o.- Dos rectas imaginarias con un punto impropio común.

20

CAPÍTULO II

Lección 3.- ESTUDIO DE LA ELIPSE

3.1 La elipse como lugar geométrico

3.2 Centro y radio de la curvatura

3.3 Propiedades de la elipse

3.1 La elipse como lugar geométrico

Recordemos que hemos definido la elipse como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la

suma de las distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Elementos a destacar en una elipse son los siguientes:

FOCOS. Son los dos puntos fijos F y F′.

EJES. Existen dos:

1o.- El principal o mayor, que es la recta FF′.

2o.- El secundario o menor, que es la mediatriz del segmento FF′.

CENTRO. Es el punto O, intersección de los ejes.

VÉRTICES. Son los puntos de la elipse situados sobre los ejes, en los que la curvatura es la máxima,

A y A′, o mínima, B y B′.

AA'FF'

B

B'

P

O

DIRECTRIZ. Recta fija paralela al eje menor, exterior a la elipse, tal que el cociente de las distancias

de cualquier punto de la elipse a su foco asociado y a ella es constante, y menor que

uno.23

RADIOS VECTORES. Cada uno de los segmentos que unen un punto de la elipse con cada uno de

los focos.

F'F

P

d1

d2

directriz

d1d2

= e = (cte.) < 1

DIÁMETRO. Toda cuerda que pasa por el centro.

DIAMETROS CONJUGADOS. Toda pareja de diámetros tales que toda cuerda de la elipse paralela

a uno de ellos tiene su punto medio sobre el otro.

Observemos que los ejes son la única pareja de diámetros conju-

gados ortogonales entre sí.

Así mismo se verifica que, las tangentes a la elipse en los extre-

mos de un diámetro son paralelas al diámetro conjugado.

O

rectas tangentes

24

CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL. Circunferencia de centro el de la elipse y radio a.

En el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares

trazadas desde los focos a las distintas rectas tangentes a la

elipse.

F'F

a

O

CIRCUNFERENCIA FOCAL. Circunferencia de centro un foco y radio 2 ·a.

En el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco,

respecto de las distintas rectas tangentes a la elipse.

F'FO

2·a T

M

Tangente

25

CIRCUNFERENCIA DE MONGE. Circunferencia de centro el de la elipse y radio:√

a2 +b2.

En el lugar geométrico de los puntos de intersección de todas

las parejas de tangentes a la elipse ortogonales entre sí.

Se verifica, además que, la suma de los cuadrados de las

distancias de cada uno de sus puntos a los focos es 4 ·a2:

PF′2 +PF2= 4 ·a .

F' FO

B

B'

P

P

A' A

Parámetros de la elipse

SEMIEJE MAYOR Distancia de cada vértice situado sobre el eje mayor al centro: a

SEMIEJE MENOR Distancia de cada vértice situado sobre el eje menor al centro: b

DISTANCIA FOCAL Distancia entre los focos: 2 · c = FF′

EXCENTRICIDAD El valor: e =ca

Relaciones importantes: 1.- La suma de los radios vectores de cualquier punto de la elipse es: 2 ·a.

2.- Se verifica: a2 = b2 + c2

26

Trazado de la elipse

1o.- Conocidos los ejes

Los siguientes dibujos expresan por sí sólos como proceder para trazar la elipse correspondiente:

a.- Método del jardinero. El hilo que se utiliza, cuyos extremos se fijan en los focos debe tener

una longitud 2 ·a.

F' F

P

A' AO

B

B'a

b

a

(hilo)F′P+PF = 2 ·a

b.- Método de la tira de papel. Sobre la tira se marcan los puntos P, Q y R, de longitudes: PQ = b,

PR = a. Para dibujar la elipse, los puntos Q y R deben deslizarse, respectivamente por los ejes

mayor y menor.P

A' A

B

B'

a

b

Q

P

R

Q R

ba

c.- Método de la circunferencia principal. Una vez trazadas las circunferencias, de centro O, y

radios respectivos OA y OB, la construcción resulta evidente.

O AA'

B

B'

P

27

d.- Método del compás. Variando el punto Q, dentro del segmento FF′ la intersección de las cir-

cunferencias, centradas en los focos, y de radios respectivos r1 y r2, nos van facilitando puntos de

la elipse que nos interesan.

F' F

P

P

AA'r1

r2

r1 r2

Q

3.2 Centro y radio de curvatura

La normal a la elipse en un punto P, de ella, es la bisectriz interior del ángulo que forman los radios

vectores del punto dado.

F' F

2·a P

αα

NORMAL en P

Circunferencia focal

Circunferencia principal

Tangente en P

La normal en un punto P de la elipse, conocidos a y b (semiejes) se puede determinar como sigue:

En primer lugar, se trazan por P paralelas a los ejes, obteniéndose los puntos M y N como intersección de

las circunferencias de centro O y radios, respectivamente, b y a.

28

La recta OMN corta a la circunferencia, de centro O y radio a+b, en el punto Q.

Por último se dibuja la recta QP, que es la normal buscada.

NORMAL en P

PM

N

Q

a+b

a

b

O

Para determinar el radio de curvatura, en un punto P, de la elipse se procede como sigue:

En primer lugar se traza por P la tangente, t, a la elipse. Luego, por P se traza la correspondiente normal,

n, obteniéndose el punto M, en el eje principal.

A continuación se traza, por M, la perpendicular a n, lo que nos determina el punto N, en el radio vector

PF.

Por último se traza, por N, la perpendicular a PF, con lo que se obtiene el punto C.

Así tenemos:

C es el centro de curvatura,

ρρρ = PC es el radio de curvatura.

F' F

P

M

N

C

=

=

t

n

29

Si, en particular, nos interesa el radio de curvatura de los puntos A y B de la elipse, el trazado será el

siguiente:

Así tenemos: CA es el centro de curvatura de A

ρρρA = ACA es el radio de curvatura de A (ρρρA =b2

a) CB es el centro de curvatura de B

ρρρB = BCB es el radio de curvatura de B (ρρρB =a2

b)

3.3 Propiedades de la elipse

PROPOSICIÓN 1. La elipse es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan

por un foco y son tangentes a la circunferencia focal relativa al otro foco.

En efecto: Si trazamos la circunferencia, de centro M y radio MF, observamos que verifica:

MF′ = 2 ·a−MF

es decir, MF′ es la diferencia de los radios de las dos circunferencias, luego éstas son tangentes interiores.

Recíprocamente una circunferencia de centro en M, que pase por F, tangente a la circunferencia focal, es

tangente interior con ésta, y por tanto

MF′ = 2 ·a−MF ,

es decir

MF′+MF = 2 ·a ,

luego, el punto M pertenece a la elipse.

F' F

2·a

P


M

30

PROPOSICIÓN 2. La tangente a la elipse es bisectriz del ángulo formado por uno de los radios

vectores del punto de contacto y la prolongación del otro.

En efecto: Si el simétrico R de F respecto de una recta pertenece a la circunferencia focal, sabemos que

dicha recta es tangente. En consecuencia, por ser simétricos se verifica que:

FML = LMR , (FM′L = LM′R′)

como queríamos probar.

F'F

M


Tangente

R

M'

R'

L

L

L

Elipse

PROPOSICIÓN 3. El lugar geométrico de las proyecciones ortogonales de los focos de una elipse

sobre sus tangentes, es la circunferencia que tiene el eje mayor como diámetro.

En efecto: Consideremos la tangente t a la elipse dada y sea K la proyección de un foco, F, sobre ella.

Sea OK el segmento que une el centro de la elipse con K.

En el triángulo4

FF′P el segmento OK es la paralela media, y mide a.

Resulta, entonces, que el punto K se encuentra en la circunferencia de centro O y radio a, que recibe el

nombre de circunferencia principal.

Evidentemente el lugar geométrico es el mismo para las proyecciones del otro foco.

F' F

P



K'

O

t

t'

K

31

PROPOSICIÓN 4. El producto de las distancias de los focos de una elipse a una tangente cualquie-

ra es igual al cuadrado del semieje menor.

En efecto: Dado que los puntos K′ y L son simétricos, con relación a O, resulta que FL = F′K′.

Además, el producto: FL ·FK es la potencia de F respecto a la circunferencia principal, que es constante,

verificándose

FL ·FK = FA ·FA′ = (a− c) · (a+ c) = a2− c2 = b2

En consecuencia, una recta que varía en un plano, de manera que el producto de sus distancias a dos puntos

fijos, situados en un mismo semiplano respecto a ella, sea constante permanece tangente a una elipse fija.

F'F

P



K'

O

t

t'

K

L

L'

AA'

PROPOSICIÓN 5. Dadas dos tangentes fijas a una elipse, en P y Q , y una móvil en M, el segmen-

to AB de tangente móvil interceptado entre aquellas se ve desde un mismo foco bajo un ángulo

constante.

En efecto: De acuerdo con el Teorema de Poncelet, que se establece al final de la lección, se tienen las

siguientes igualdades de ángulos:

PFA = AFM , MFB = BFQ .

El ángulo AFB, suma de los AFM y MFB, es la mitad de la suma total PFQ, y por tanto, constante

F'F

P

AM

B

Q

== =

=

32

Vamos a redefinir lo que llamamos directriz como el eje radical de la circunferencia focal, con centro

en un foco, y el de la circunferencia-punto que es el otro foco.

Existirán, por tanto, dos directrices. Ambas gozan de una importante propiedad, que puede tomarse como

definición común a la elipse y a las otras cónicas, tal como exponemos a continuación.

PROPOSICIÓN 6. La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya razón de distancias a un

foco y a su directriz correspondiente es una cantidad constante, precisamente, la excentricidad.

En efecto: Sea P el punto de contacto de la circunferencia que tiene por centro un punto M de la elipse,

pasa por F y es tangente al círculo focal del centro F′. El punto T en que se cortan las tangentes en P y

F tiene la misma potencia, con relación a la circunferencia focal y a la circunferencia-punto F; está, por

tanto, sobre su eje radical d.

Sea K la proyección ortogonal de M sobre d.

La circunferencia de diámetro MT pasa por los puntos P, K y F; así mismo el ángulo MFP es igual al

PKM, por inscritos en el mismo arco, y al FPM por simetría respecto a la tangente MT mediatriz de PF.

Además, los ángulos PMK y PF′F son iguales por correspondientes.

En consecuencia, los triángulos4

PMK y4

FF′P, son semejantes, de donde se deduce:

MPMK

=MFMK

=F′FF′P

=2 · c2 ·a

=ca

= e (excentricidad)

F' F

P


Circunferencia-punto

Tangentes

Elipse

Directriz

M

M'

T

d

K

Observemos que desde el foco F se ve, bajo ángulo recto, el segmento MT de tangente limitada por el punto

de contacto y la directriz correspondiente, ya que en la demostración anterior vimos que la circunferencia

de diámetro MT pasaba por el foco F.

33

PROPOSICIÓN 7. La cuerda de contacto de las tangentes trazadas desde un punto de la directriz

pasa por el foco correspondiente.

En efecto: Sea T un punto de la directriz, d, relativa al foco F.

Por ser T un punto exterior a la elipse se puede trazar dos tangentes distintas, TM y TM′.

Según la observación que hicimos sobre la proposición anterior el ángulo TFM es recto, lo mismo que el

TFM′, de donde resulta que los puntos M, F y M′ están alineados.

Recíprocamente, si trazamos una cuerda que pase por un foco, las tangentes en sus extremos se cortan

sobre la directriz correspondiente.

F' F

M

M'

T

d

PROPOSICIÓN 8. Dada una cuerda de una elipse, la recta que une el foco a su punto de intersec-

ción con la directriz correspondiente es bisectriz exterior del ángulo formado al unir el foco con los

extremos de la cuerda.

En efecto: Considerada la cuerda MM′ y la directriz d correspondiente al foco F, se tiene;

FMFM′

=MH

M′H′.

Dado que los triángulos4

PMH y4

PM′H son semejantes tenemos

MHM′H′

=PMPM′

.

En consecuencia, resultaFMFM′

=PMPM′

,

34

lo que demuestra que FP es una de las bisectrices del ángulo MFM′ precisamente la exterior, por ser P

exterior al segmento MN′.

F' F

M

M'HH'

P_

_

d

Para la determinación de la directriz resulta muy práctica la propiedad siguiente.

PROPOSICIÓN 9. La distancia desde el centro O a la directriz d, valea2

c.

En efecto: Se observa que

OH = OA+AH ,

y comoAFAH

=ca

=⇒ AH =(a− c) ·a

cresulta

OH = a+(a− c) ·a

c=

a2

c.

F' F

d

A' AO H

a

c

La figura que aparece en la demostración muestra muy claramente como determinar la directriz, d.

Por otra parte, observamos que siendo en valor absoluto:

AFAH

=A′FA′H

=ca

la cuaterna (AA′FH) es armónica, lo que nos proporciona otra manera para construir la directriz: Bastará

determinar el conjugado armónico, H, del foco, F, respecto a los vértices A y A′.

Además, la propia definición dada para la directriz, como eje radical del foco correspondiente y de la

circunferencia focal del otro foco, nos da otra posible construcción.

35

Teorema de Poncelet. Si desde un punto exterior, P, a una elipse, se trazan dos tangentes, PM

y PM′, se verifica que:

1o.- Esas dos tangentes forma ángulos iguales con las rectas que van desde el punto P a los focos.

2o.- Los segmentos de dichas tangentes desde P a los puntos de contacto, se ven desde un foco

cualquiera bajo ángulos iguales.

F'F

M'

M

P

Q'

Q

==

==

1o.- En efecto: Consideremos los puntos Q y Q′, simétricos de F y F′, respectivamente a las tangentes PM

y PM′, siendo M y M′ sus puntos de contacto.

Los triángulos4

PQF′ y4

PQ′F son iguales, por tener sus tres lados iguales: PQ = PF , PQ′ = PF′, por

simetría, y F′Q = FQ′ = 2 ·a.

En consecuencia , se tiene que: QPF′ = Q′PF , y como tienen común el ángulo FPF′ , será también

QPF = Q′PF′, y así mismo sus mitades, MPF = M′PF′.

2o.- En efecto: De la igualdad de los triángulos anteriores se deduce la de los ángulos PQM y PFM′.

Dado que el primero es igual al MFP, por simetría, resulta que PM y PM′, se ven desde F bajo los ángulos

iguales MFP y PFM′.

36

Lección 4.- TANGENTES

4.1 Trazado de tangentes

4.2 Intersección de elipse y recta


Contemplamos la tangente a la elipse, en un punto P de ella, de dos maneras distintas:

1o.- Como la bisectriz exterior del ángulo que forman los radios vectores, F′P y FP, de dicho punto.

2o.- Como la mediatriz del segmento MF, siendo M el punto de la circunferencia focal de F′, alineado

con P y con F′. Se verifica, entonces, que:

a.- El punto P es la intersección de la recta MF′ con dicha mediatriz.

b.- El punto de intersección de MF con su mediatriz pertenece a la circunferencia principal.

F' FO

2·aP

M

(tangente)

circunferencia principalelipse

circunferencia focal

t

__

Procedamos ahora el trazado de tangentes, según se trate, o no, de hacerla pasar por un punto de ella; P.

1er caso: P pertenece a la elipse

a.- Por bisectrices. La tangente t es la bisectriz del ángulo FPM, que el radio vector PF forma con la

prolongación del PF′. (Ver figura anterior).

b.- Por medio de la circunferencia principal. Basta trazar los radios de la circunferencia principal, pa-

37

ralelos a PF y PF′. Sus intersecciones con dicha circunferencia, M y M′, determinan la tangente buscada,

t≡MM′.

F' FO

PM (tangente)

t M'

c.- Por la recta de Pascal. Inscrito en la elipse se dibuja un hexágono de vértices arbitrarios A, B, C

D, suponiendo los dos restantes confundidos en P, siendo el lado que determinan éstos la tangente en

P. Uniendo los vértices en cualquier orden y numerando los lados en este mismo orden (ver figura), las

intersecciones de los lados opuestos 1∩4, y 2∩5, son puntos M y N de la recta de Pascal, MN, que corta

al lado AC = 3 en el punto T. La tangente buscada será por tanto la PT≡ t.

(Observemos que esta construcción sirve para cónicas, no dibujadas, dadas por cinco puntos: P, A, B, C,

D. Por otra parte el hexágono puede ser convexo o estrellado).

M

t

A

B

C

D P

12

3

N

T

Recta de Pascal

Tangente

5

4

38

d.- Por polaridad. Bastará trazar, por P, cualquier secante, PQ≡ r y hallar su polo, R. La tangente buscada

será la RP≡ t.

Se obtiene fácilmente el polo, R, como intersección de las polares, a y b, de dos puntos arbitrarios A y B

de r. Por ejemplo, para hallar a, se traza por A una cuerda cualquiera, CD, que determina el cuadrivértice

inscrito

PCQD, siendo a la recta definida por las intersecciones de CQ∩PD≡M, y PC∩QD = N, de sus

lados opuestos.

AM'

Q

M B

N'

P

C

DE

N

R

a b

(Observemos que este procedimiento sirve también para cónicas definidas por cinco puntos P, C, Q, E, D.)

2o caso: P es un punto exterior a la elipse.

a.- Por medio de la circunferencia principal.

Se traza la circunferencia de diámetro PF, que corta a la circunferencia principal en los puntos Q y R, que

determinan las tangentes buscadas s≡ PQ y t≡ PR.

Los puntos de contacto S y T, son las intersecciones de las rectas s y t, con las paralelas, respectivas, a OQ

y OR, trazadas por F′.

F' FO

P

S

t

Q

TsR

39

b.- Por medio de la circunferencia focal.

Se traza, con centro en P, una circunferencia que pase por F, que cortará a la circunferencia focal, en los

puntos M y N.

Las mediatices de los segmentos FM y FN son las tangentes s y t. Las intersecciones de s y t con los radios

vectores FM y F′N son los puntos de tangencia T1 y T2.

F' F

P

t

M

s N

T1T2

PF_

2·a

c.- Por polaridad.

Se trata de determinar la polar, MN, del punto P, respecto de la cónica dada, que corta a ésta en los puntos

de contacto S y T, de las tangentes buscadas s≡ PS y t≡ PT.

La polar puede determinarse trazando tres secantes que forman dos cuadrivértices inscritos, cuyos puntos

diagonales, M y N, nos definen la polar MN.

F

C

P

B

t

D

TS

AE

F

M Ns

Polar de P

40

Un caso particular del anterior será aquel en el que P es un punto impropio, de dirección d, que titulare-

mos:

Tangentes a una elipse, paralelas a una dirección dada, d.

a.- Por medio de la circunferencia principal.

Las perpendiculares a d, trazadas por F y F′, cortan a la circunferencia principal en los puntos A, B, C y

D, siendo t≡ BC y s≡ AD, las tangentes buscadas.

Los puntos de contacto T y S son las intersecciones de t y s con las paralelas a OB y OA, trazadas por F′.

FO

t

s

C

D S

A

T

d

B

F'

b.- Por medio de la circunferencia focal.

La perpendicular por F, a la dirección d, corta a la circunferencia focal en los puntos M y N.

Las mediatices de los segmentos FM y FN son las tangentes buscadas, s y t.

Las intersecciones de s y t, con los radios vectores F′M y F′N son los puntos de tangencia T1 y T2.

F

d

F'

s

t

T1

T2

M

N

2·a

41

c.- Por polaridad.

Se trata de un caso particular del 2o caso, apartado c.-, en el que las secantes, trazadas por P, son ahora

paralelas a d (dirección del punto impropio P).

A

B C

D E

F

M

N

T

Pd

Polar de P

S

4.2 Intersección de elipse y recta

De las propiedades de las circunferencias focales y las rectas tangentes a la elipse, se desprende el

importante resultado siguiente:La elipse es el lugar geométrico de los centros de las

circunferencias que son tangentes a una focal y que

pasan por el otro foco.

FF'

s

tQ

P

2·a

42

Para obtener los puntos de intersección de la recta y la elipse, se utiliza la propiedad anterior, de manera

que dichos puntos serán los centros de las circunferencias que pasando por un foco sean tangentes a la

circunferencia focal del otro foco, y tengan su centro en la recta dada. Estas circunferencias por tener su

centro en la recta dada, y pasar por un foco, pasarán también por el simétrico de dicho foco respecto a la

recta dada.

La metodología para la construcción es la siguiente:

1o.- Se traza la circunferencia focal de F′.

2o.- Se determina F′′, simétrico de F respecto a la recta r dada.

3o.- Se traza una circunferencia cualquiera, (c1), con centro en el punto O1, situado en r, que pase por F

y F′′. Su intersección con la circunferencia focal nos determina los puntos M1 y M2.

4o.- Se trazan los ejes radicales E1 y E2, lo que nos permite obtener el centro radical de las circunferencias

focal, la (c1) y las eventuales (ci); sea este el punto R.

5o.- Desde R se trazan las tangentes, t1 y t2, a la circunferencia focal, obteniéndose sobre ella los puntos

T1 y T2.

6o.- Las intersecciones de los radios F′T1 y F′T2, con r, son los puntos P y Q buscados.

F

F'

Q

P

2·a

r

AA'

F''

R

O

t1

O1

t2

T1

T2

M21(c )

M1

E1

E2

43

Lección 5.- OTRAS PROPIEDADES

5.1 Otras propiedades de la elipse

5.1 Otras propiedades de la elipse

A continuación enunciamos algunas propiedades sin demostración de la elipse.

1.- Las tangentes, t1 y t2, desde un punto exterior, P, a una elipse, forman el mismo ángulo, ααα , con

las rectas que unen dicho punto con los focos.

F' F

P

α

αt1

t2

2.- Las rectas que unen un foco, F′, con los puntos de tangencia, T1 y T2, de las tangentes trazadas

desde un punto exterior, P, de la elipse, tienen como bisectriz la recta que une el foco con el punto.

F' F

P

α

α

t1

t2T1

T2

45

3.- El segmento, Q1Q2, que delimitan en una tangente móvil, t, otras dos tangentes fijas, t1 y t2,

se ve desde un foco F′ bajo un ángulo, ααα , constante, igual a la mitad del ángulo de vértice dicho

foco, y lados las rectas que pasan por los puntos , T1 y T2, de tangencia con la elipse de las

tangentes fijas t1 y t2.

F' F

P

t1

t2

T1

T2

α2·α

O

Q1

Q2

t

4.- Las tangentes, t1 y t2, a una elipse en los extremos de una cuerda focal, T1F′T2, se cortan en un

punto, P, situado en la perpendicular por el foco, F′, a la cuerda focal dada.

F' F

P

t1

t2

T1

T2

5.- La elipse tiene dos diámetros conjugados iguales, que corresponden a las diagonales del rec-

tángulo construido a partir de los ejes.

46

6.- Dada una tangente cualquiera a la elipse, el producto de la abscisa del punto de tangencia por

la abscisa del punto de intersección de la tangente con el eje mayor, es igual al cuadrado del semieje

mayor, es decir:

OT′ ·OP = a2 .

T'O

b

T

a P

7.- Los ejes de la elipse cortan a cualquier tangente, a la misma, en dos puntos A y B, que junto

con el de tangencia, T, definen dos segmentos, AT y BT, cuyo producto es igual al cuadrado del

semidiámetro conjugado del diámetro correspondiente al punto de tangencia; es decir:

BT ·AT = OT′2

T'

O

T

A

B

8.- La recta que une el punto, P, de intersección de las tangentes, t1 y t2, con el punto medio, M, de

la cuerda definida por los puntos de contacto, T1 y T2, pasa por el centro de le elipse.

O

P

t1

t2

T1

T2

47

9.- El producto de las distancias de cada foco a una tangente cualquiera es constante, es decir,

FM ·F′M′ = cte.

FO

M'

M

F'

10.- La circunferencia trazada sobre un radio vector cualquiera, tomado como diámetro, es tan-

gente a la circunferencia principal.

F' FO

P

11.- Si desde un punto P se trazan dos tangentes, t1 y t2, y sobre cada una de ellas se lleva, a partir

de P, las distancias

PN = PF y PN′ = PF′

se verifica que

NN′ = 2 ·a .

F'

F

P

t1

t2

N'

NO

48

12.- La paralela al eje mayor trazada por el punto de intersección de las normales, nA y nB, a una

elipse en los puntos extremos de una cuerda focal, AB, divide a dicha cuerda en dos partes iguales;

es decir

MA = MB

F' FM

B

AnA

nB

O

13.- El producto de los segmentos limitados en una normal a la elipse en un punto P, por dicho

punto y los ejes, PM y PN, es igual al cuadrado del semidiámetro, OQ, del correspondiente al punto

P; es decir

PM ·PN = OQ2

Q

OM

P

t

N

=

=

14.- El cuadrado de la distancia del centro de la elipse a una tangente cualquiera, menos el cua-

drado de la distancia de dicho centro a una paralela a dicha tangente que pase por un foco, es igual

al cuadrado del semieje menor; es decirON2−OP2

= b2

aO

P

N

t

F

=

=

F'

b

49

15.- Dada una elipse, se verifican las siguientes relaciones:

PF′ = a+c ·xa

, PF = a− c ·xa

F' FO

P

Ma

b

x

16.- El punto de intersección, P, de las tangentes, t1 y t2, a la elipse, en los puntos extremos de una

cuerda focal, AB, pertenece a la directriz, d, correspondiente a dicho foco.

F' F

d

B

A

t1

t2

O

P

17.- Cuando una circunferencia corta a una elipse en cuatro punto, M, N, P y Q, las bisectrices de

los ángulos formados por las cuerdas comunes opuestas son paralelas a los ejes de la elipse.

M

Q

N

P

= =

==

αα

β

β

50

18.- Cuando un cuadrilátero circunscrito a una cónica tiene por puntos de contacto los vértices de

un cuadrilátero inscrito, las diagonales de los dos cuadriláteros pasan por el mismo punto, P.

P

19.- El lugar geométrico de los vértices de los ángulos rectos cuyos lados son tangentes respectiva-

mente a dos elipses homofocales, es una circunferencia concéntrica con las dos elipses dadas.

FF'

P

t1

t2

O

20.- Se verifica la siguiente relación:

AD ·AD′

BD ·BD′· BE ·BE′

CE ·CE′· CG ·CG′

AG ·AG′= 1

FF'

A

B

C

D

E

G

D'G'

E'

51

21.- Si por un punto del plano de la elipse se trazan dos cuerdas cualesquiera, el cociente de los

productos de los segmentos determinados en cada una de las cuerdas es constante, cualquiera que

sea el punto elegido, siempre que las direcciones de las cuerdas no varíen; es decir

P1N1 ·P1N′1P1M1 ·P1M′1

=P2N2 ·P2N′2P2M2 ·P2M′2

=

=

==

M1

P1

M'2

N2

M'1

N1

M2

N'2N'1

P2

22.- Si desde un punto cualquiera, P, de una elipse se trazan perpendiculares a los lados de un

cuadrilátero inscrito en ella, el cociente de los productos de los segmentos de perpendicular corres-

pondientes a cada pareja de lados opuestos del cuadrilátero es constante; es decir

PQ ·PRPM ·PN

= cte.

P M

Q

N R

23.- Cuando una recta corta a una elipse y a un cuadrilátero inscrito en ello, se obtienen una serie

de puntos de intersección sobre la elipse y sobre los lados del cuadrilátero, tales que verifican la

siguiente relación:

AC ·ADAF ·AE

=BC ·BDBF ·BE

E F C

DB

A

52

24.- División de la elipse en partes iguales

Dado que la elipse no se puede dividir directamente en arcos de igual longitud, aprovecharemos que

cuando sepamos dividir una circunferencia en el número de partes en que queremos dividir la elipse, el

problema admite fácil solución.

Así, dados los ejes de la elipse, AB = 2 ·a y CD = 2 ·b, dibujaremos la circunferencia, de centro O y

radio a, dividiremos ésta en las n partes que nos interesen, y procederemos como se indica en la figura

siguiente, en la que se ha supuesto n = 9.

A BO

C

53

Lección 6.- DETERMINACIÓN DE UNA ELIPSE

6.1 Determinación de una elipse

6.2 Ejemplos

6.1 Determinación de una elipse

1.a.- Determinación de los ejes de una elipse dada por dos diámetros conjugados MM′ y NN′.

De entre los distintos métodos para resolver esta cuestión, vamos a describir el siguiente:

Por el extremo N del semidiámetro ON, se traza el segmento ND, igual y perpendicular al OM.

A continuación, se dibuja la circunferencia de diámetro OD y centro C.

Luego se traza el diámetro NC, de extremos E y F.

Resulta, entonces, que las rectas OE y OF coinciden con los semiejes, siendo sus longitudes:

a = OA = OA′ = NE , b = OB = OB′ = NF .

A

A'

B

B'

C

N

N'

MM'

E

D

FO

NE_

NF_

1.b.- Determinación de los ejes de una elipse dada por dos diámetros conjugados AB y CD.

Como variante de la construcción anterior tenemos la siguiente.

Por el centro de la elipse se traza la perpendicular, OM, a uno de sus diámetros conjugados, sea por

ejemplo el AB. Sobre ésta determinamos el punto M, tal que OM = OB, y unimos este punto, M, con

el punto C, extremo del diámetro conjugado CD. Luego dibujamos la circunferencia, de centro X y

diámetro CM, y la concéntrica con ella, de radio OX, la cual determina en la anterior recta, CM, los

55

puntos Y y Z, que unidos al centro de la elipse, nos dan sus ejes. Las magnitudes de éstos corresponden

a los segmentos OP y OR, respectivamente, que se trasladarán a su verdadera posición en la forma que

se indica en el dibujo.

A

BC

D

P

X

RM

Z

YO

2.- Determinación del eje menor de una elipse dada por el eje mayor, AA′, y un punto P de la

misma.

Se traza la circunferencia principal (de diámetro AA′). Luego, se dibuja la normal al segmento AA′, por

P, que corta a la anterior circunferencia en el punto P′.

A continuación se traza la recta B′P′, que corta a la AA′ en el punto Q.

Por último, se dibuja la recta QP, que corta a la OB′, en el punto B.

Como resultado final obtenemos el segmento OB, que es el semieje menor, b, buscado.

A

B

B'

P'

P

QA'

O

56

3.- Determinación del eje menor de una elipse dada por su eje mayor, AA′, y una tangente, t, a la

misma.

Sobre AA′ dibujamos la circunferencia principal de la elipse, que corta a la tangente, t, en los puntos C

y D.

Las normales a t en C y D cortan al segmento AA′ en F y F′, que son los focos de la elipse.

Si consideramos el triángulo rectángulo, de hipotenusa FB′ = a y cateto OF, obtenemos que el otro

cateto es OB′, precisamente b, el semieje menor que nos interesaba.

A A'FF'

D

C

O

B'

t

b

a

4.- Determinación de los ejes de una elipse dada por sus focos, F y F′, y un punto fijo, P, de la

misma.

Si unimos el punto P con los focos F y F′, se verifica: PF+PF′ = 2 ·a.

Prolongamos ahora, el segmento F′P, a partir de P, en PC = PF.

Se obtiene, así, el eje mayor F′C = 2 ·a, verificándose, además, que el semieje menor, b, resulta ser el

cateto, OB, del triángulo rectángulo de hipotenusa F′B = a y cateto OF′.

F' FO

B

C

b

a

a

2·a

a

57

5.- Determinación de los ejes de una elipse dada por sus focos, F y F′, y una tangente, t, a la misma.

La perpendicular a t, desde F, corta a la tangente en el punto C, de la circunferencia principal, resultando

que el semieje mayor es : OA = OC = a.

El semieje menor , b , resulta ser el cateto , OB , del triángulo rectángulo de hipotenusa F′B = a

y cateto OF′.

F'F

O

BC

ba

a

a

A

t

circunferencia principal

6.- Determinación del eje mayor de una elipse dada por su eje menor, BB′, y una tangente, t,

a la misma.

Sobre BB′, como diámetro, dibujamos una circunferencia.

La tangente dada corta a la recta BB′ en el punto k.

La tangente, t′, a la circunferencia anterior, trazada desde el punto k, determina el punto T′.

La normal a BB′ desde el punto T′ corta a la tangente dada, t, en el punto T.

La recta CT′ corta a la BB′ en el punto L. (C es el punto de intersección de la normal, en O, el segmento

BB′, con la circunferencia interior).

La recta LT corta a la OC en el punto A.

Obtenemos así el semieje mayor buscado: OA = a.

B'

T

O

B

C

b t'

A

t

T'

K

L

58

7.- Determinación de los ejes de una elipse dada por los ejes de simetría r y s, y dos puntos, P y Q,

de la misma.

Se traza la recta QP que corta a r en el punto K, y se dibuja la semicircunferencia, de diámetro OK.

(llamémosla (c)).

Por el punto medio, I, del segmento PQ se traza la perpendicular a r, que corta a (c), en el punto I′.

La recta KI′, que es normal a OI′, corta a las normales a r, trazadas por P y Q, en los puntos P′ y Q′,

respectivamente.

Resulta, entonces, que:

OP′ = OQ′ = OA = a ,

es el semieje mayor.

Trazando, ahora, la recta CP′, que corta a r en el punto L, y luego la LP, que corta a s, en el punto B,

resulta que tenemos: OB = b es el semieje menor.

A

B

C

Q

Q'

P

P'

L K

I

I'

Oa

b

r

s

(c)

8.- Determinación de una elipse conociendo los siguientes datos: El centro O, las direcciones de los

ejes principales, el semieje menor, b, y una tangente, t.

Se traza por O la perpendicular s a t, lo que nos determina P.

Se dibuja la semicircunferencia (c), de diámetro OP.

Con centro en P se traza un arco de radio b, obteniendo M en (c).

Con centro en O se dibuja un arco de radio OM, obteniéndose Q en s.

Se traza por Q la recta t′ paralela a t, obteniéndose el foco F.

A partir de aquí se obtienen con toda facilidad el otro foco F′ y los vértices A y A′.

Para obtener el punto de tangencia, T, se empieza trazando la circunferencia focal, relativa a F.

59

Luego, se traza por F′ la perpendicular a t, obteniéndose F′′ en dicha circunferencia focal.

Por último uniendo F con F′′ se obtiene el punto de tangencia, T en t.

A F A'F'

O

B

P

T

Q

B'

b

M

s

(c) F''

t

t' t=AA'= 2·a_

6.2 Ejemplos

Ejemplo 1.- Dadas dos elipses que tengan iguales sus ejes mayores y uno de los focos común, determinar los

puntos de intersección de las dos curvas.

Sea F el foco común, y sean F1 y F2 los otros dos focos.

Llamemos M al punto común, con lo cual se tiene:

MF+MF′ = 2 ·a ,

MF+MF2 = 2 ·a

igualdades, éstas, de las que se deduce

MF1 = MF2 .

60

En consecuencia, el punto M se encontrará, como punto de intersección de ambas elipses, en la perpendicular al

segmento F1F2 en su punto medio.

F F2F1AB A'

M

M'

B'

Ejemplo 2.- Construir una elipse conociendo sus focos y un punto o una tangente

1.- Dados los focos, F y F′, y un punto, P, dado de la curva.

Por verificarse la igualdad

PF+PF′ = 2 ·a ,

conoceremos su eje mayor, con lo que la cónica quedará determinada.

2.- Dados los focos F y F′, y una tangente, t, a la curva.

Sea el punto P′, proyección de un foco, F, sobre la tangente, y sea O el punto medio del segmento FF′.

Tendríamos, entonces que OP′ sería el radio de la circunferencia principal, con lo que la elipse quedaría determinada.

(El problema tendrá solución sólo si verifica que: OP′ > OF, es decir a > c).

A A'

P'

F F'

P

O

t

OP'_

PF + PF' = 2·a_ _

61

Ejemplo 3.- Se da un triángulo rectángulo4

AOB y un punto M de la hipotenusa. Si los catetos OB y OA son

los ejes de una elipse tangente a AB en M, determinar los vértices de la elipse.

Supongamos el problema resuelto y sean F y F′ los focos.

La normal MC es la bisectriz del ángulo F′MF, y la tangente MA es bisectriz del suplementario; luego, los puntos

C y A son conjugados armónicos respecto a los F y F′.

Por la propiedad fundamental de los puntos conjugados

OF2= OC ·OA

por una media proporcional determinamos OF.

Una vez conocidos F y F′ tendremos:

OV =FM+MF′

2,

con lo que obtendremos los vértices V y V′.

Para hallar el vértice P, bastará con cortar, desde F, con radio FP = OV.

V' V

P

O

B

M

FF'

F

C

V' V

MF' F

A

=

= =

=

OV_

2·a

Ejemplo 4.- En una elipse se conoce: Una foco, F, dos puntos M y P, y una tangente, t. Se trata de determinar

el otro foco y los vértices.

Se determina el simétrico F1 de F respecto a t, punto por

el que pasa la circunferencia focal del otro foco F′.

Las circunferencias de centros, respectivos M y P, que

pasan por F, son tangentes a la circunferencia focal de

F′; es decir, que la circunferencia focal de F′ pasa por

F1 y es tangente a las anteriores circunferencias, de cen-

tros respectivos M y P, lo que nos permite determinar F′.

Además, el segmento F′F1 = 2 ·a.

Circunferencia focal de F′.

Tangente a (c1) y (c2), y pasa por F1.

P

F

M

t

V'F'

O V(c )1

2(c )

F1

PF_

_MF

62

Ejemplo 5.- Dados los ejes de una elipse, trazar tangentes, t1 y t2, desde un punto exterior, P.

Para determinar los focos, basta trazar la circunferencia, de centro en C y radio OA; su intersección con el eje AB,

nos da los focos F1 y F2.

El lugar geométrico de los simétricos de F1, respecto a todas las tangentes que se pueden trazar a la elipse, es la

circunferencia focal, de centro F2 y radio AB = 2 ·a.

Los simétricos de F1, respecto a las tangentes que pasen por P, distarán de P lo mismo que de F1, es decir, perte-

necerán a la circunferencia de centro P y radio PF1; las intersecciones, M y N, de las dos circunferencias, serán los

simétricos de F1 respecto a las tangentes pedidas.

Luego, las mediatrices de los segmentos MF1 y NF1, serán las tangentes pedidas.

Para hallar los puntos de contacto bastará con tener en cuenta la siguiente propiedad: “Un foco, F1, el simétrico del

otro, M, y el punto de contacto, T1, están alineados.”

A B

C

D

M

O

T1

T2

F1F2t1

t 2

N

63

Ejemplo 6.- En una elipse se conocen los focos y vértices del eje mayor. Trazar tangentes que disten ` de su

centro.

AB

C

D

EF1

2·m

mF2

O

Observemos que las proyecciones, C y D, de los focos, F1 y F2, sobre la hipotética tangente, CD, pertenecen a la

circunferencia principal, y que el punto E, simétrico del C, respecto a O, también estará en dicha circunferencia.

Así mismo es inmediato comprobar que la cuerda ED será igual a la suma de CF1 y F2D, es decir, 2 ·m, si es m la

distancia de O a la tangente en cuestión.

Por tanto, para resolver el problema trazaremos una cuerda cualquiera, MN = 2 · `, y dibujaremos la circunferencia

de centro O, y tangente a MN. Las tangentes desde los focos a esta circunferencia nos determinan las intersecciones

de las tangentes con la circunferencia principal.

El problema tiene, evidentemente, cuatro soluciones, aunque en la figura sólo hemos dibujado una.

A BF1

F2

llllllllll

2·llllllllll

llllllllll llllllllll2·llllllllll

M

N

O

64

Ejemplo 7.- Determinar una elipse, conociendo: Un foco, F, una tangente, t, con su punto de contacto, T, y la

excentricidad.

Si suponemos el problema resuelto tendremos:

F' F

T

P

F1

t

O

Q

ccc

2·a

a a

Se empieza determinando F1 , simétrico de F respecto a t. El foco F′ estará en la recta F1T , y su

distancia a F1 será 2 ·a.

Como FF′ = 2 · c, se tendrá:FF′

F1F′=

ca

= (excentricidad) ,

y F′ estará en la circunferencia de diámetro PQ, que es el lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias,

a F y F1, esca

.

F'

F

T

P

F1

t

Q

ccc

2·a

aa

2·c

2·aa a

c c2·c e =

ca

=2 · c2 ·a

La propiedad en la que se basa esta construcción es la siguiente:

“El lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a dos puntos

dados están en una relación dada,mn

, es una circunferencia”.

A BP Q

M

mn

n

MAMB

=mn

65

Ejemplo 8.- Dado un triángulo4

ABC, y un punto F de la bisectriz del ángulo CAB, determinar una elipse

que sea tangente a los tres lados del triángulo y en la cual F es un foco.

Sea F′ el otro foco. Puesto que BAF′ = CAF′, F′ estará en la bisectriz AF.

Así mismo, ABF = CBF′, es decir, las bisectrices de los ángulos ABC y FBF′ coinciden; por tanto, F y F′ son

conjugados armónicos respecto los puntos I, E, siendo I el centro de la circunferencia inscrita.

Una vez obtenido F′, se determina F1, simétrico de F respecto a la recta AC.

Resulta, así, que F′F1 es la longitud del eje mayor de la elipse.

(determinación de los vértices)

I centro de la circunferencia inscrita

O centro de la elipse

F, F′ focos de la elipse

V1, V2 vértices de la elipse (eje mayor)

I

OF

F'

A

B

C

V1

M

E

O'

V2

F1

==

=

=

V1

F1

O

O' F'

V2

66

Lección 7.- ESTUDIO DE LA HIPÉRBOLA

7.1 La hipérbola como lugar geométrico

7.2 Centro y radio la curvatura

7.3 Propiedades de la hipérbola

7.1 La hipérbola como lugar geométrico

Recordemos que hemos definido la hipérbola como el lugar geométrico de los puntos del plano tales

que la diferencia de distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Elementos a destacar en una hipérbola son los siguientes:

FOCOS. Son los dos puntos F y F′.

EJES. Existen dos: 1.- El real, llamado también focal o transverso, que es la recta FF′.

2.- El imaginario, llamado también no focal, o no transverso, que es la mediatriz del

segmento FF′.

CENTRO. Es el punto O, intersección de los ejes.

VÉRTICES. Son los puntos de la hipérbola situados sobre el eje real, en los que la curvatura es máxima;

los A y A′.

F' A' O A F

B

B'

DIRECTRIZ. Recta fija, paralela al eje imaginario, exterior a la hipérbola, tal que el cociente

de las distancias de cualquier punto de la hipérbola a su foco asociado y a ella,

es constante, y > 1.

67

RADIOS VECTORES. Cada uno de los segmentos que unen un punto de la hipérbola con cada uno de

sus focos.

AA' FF'

P

d1

d2

O

radios vectores

directriz

d1d2

> 1

DIÁMETRO. Toda cuerda que pase por el centro.

DIRECCIÓN CONJUGADA DE UNA RECTA DIAMETRAL. La de las cuerdas cuyos puntos

medios están sobre una recta diametral.

DIÁMETROS CONJUGADOS. Los definidos por una recta diametral y su conjugada.

Se verifica que: 1.- Los ejes son la única pareja de diámetros conjugados

ortogonales entre sí.

2.- Las tangentes a la hipérbola en los extremos de un diá-

metro son paralelos a la dirección conjugada.

AA' FF'

P

O

P'

=

= =

==

=

diámetro

rect

a co

njug

ada

recta diametral

tang

ente

en

P

tang

ente

en

P'

68

ASÍNTOTAS. Las rectas que, pasando por el centro, son tangentes a las ramas de la hipérbola en los

puntos del infinito.

Se verifica que: 1.- Los ejes de la hipérbola son las bisectrices de sus asíntotas.

2.- El paralelogramo que tiene sus vértices sobre las asíntotas y sus lados

paralelos a una pareja de diámetros conjugados tiene un área constante, cualquiera que sea

la pareja considerada.

3.- Los segmentos que una secante determina entre la hipérbola y sus

asíntotas son iguales.

A

A' FF'

=

asintotas

=

SIMETRÍA. La hipérbola es simétrica respecto a cada eje y al centro.

CIRCUNFERENCIA FOCAL. Circunferencia de centro un foco y radio 2 ·a.

Es, así mismo, el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco respecto a las distintas rectas

tangentes a la hipérbola.

CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL. Circunferencia de centro el de la hipérbola y radio a.

Se verifica que: 1.- En el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas

desde los focos a las distintas rectas tangentes a la hipérbola.

69

2.- Cuando las tangentes consideradas son las asíntotas, dichos puntos

pertenecen también a la directriz relativa al foco considerado.

F'A' O F

B

B'

t

T

2·a a

M

PA

=

=



CIRCUNFERENCIA DE MONGE. Circunferencia de centro el de la hipérbola, y radio r =√

a2−b2.

Se verifica que: 1.- En el lugar geométrico de los puntos de intersección de todas las

parejas de tangentes a la hipérbola ortogonales entre sí.

2.- La suma de los cuadrados de las distancias de cada uno de sus puntos

a los focos es 4 ·a2.

3.- La circunferencia sólo existe si se verifica que: a > b. Equivale a

decir que el ángulo de las asíntotas es <πππ

2.

F'

A' AF

a

brO

Circunferencia de Monge

70

HIPÉRBOLAS EQUILÁTERAS. Las que tienen sus asíntotas formando 45o con los ejes.

Se verifica que: 1.- Los ejes son iguales: a = b.

2.- Las asíntotas son ortogonales entre sí.

HIPÉRBOLAS CONJUGADAS. Las que tienen los mismos ejes, asíntotas y distancia focal, pero sus

ramas están situadas en distintas regiones angulares de las asíntotas.

Se verifica que: 1.- Toda pareja de diámetros conjugados en una de ellas, lo es también en

la otra.

2.- Toda recta paralela a una asíntota determina segmentos iguales al cor-

tar a ambas hipérbolas y a la otra asíntota, es decir: CM = C′M.

FF'

Fc

F'c

T

C

AA'

Ac

A'c

P0

P1

P'0

P'1

P'2

P P = P P 0 1 0 2

_ _

P' P' = P' P' 0 1 0 2

_ _

diámetros conjugados

hipérbolas conjugadas

P2

C'

M

O

=

=

Propiedades de las asíntotas

1.- Toda secante, r, trazada por

un punto de la hipérbola, corta

a ésta y a las asíntotas, en pun-

tos que determinan segmentos

iguales PM = QN.

(P y Q, intersecciones con la hi-

pérbola, y M y N intersecciones

con las asíntotas).

TO

P

Q

tr

E

M

H

C

DK

N

asíntotas

secante

tangente

G

71

2.- Cuando P y Q coinciden en un punto T, la secante se transforma en la tangente t, en T, siendo

entonces sus puntos de corte, H y K, con las asíntotas, simétricos respecto al punto T.

Nos permite, lo anterior, establecer como determinar la tangente, en un punto T de la hipérbola: Basta

con trazar las paralelas TC y TD a las asíntotas, y tomar sobre éstas, CH = OC y DK = OD, siendo

entonces la recta HK la tangente buscada.

Por otra parte, el punto de tangencia de una tangente, t, sería el punto medio, T, del segmento HK,

determinado por las asíntotas.

3.- Si sobre una cuerda PQ, como diagonal, se dibuja el paralelogramo

PEQG, de lados paralelos

a las asíntotas, la otra diagonal, EG, pasa por el centro, O, de la hipérbola.

4.- El semieje real OA = a, es la media proporcional, PC, entre los segmentos PM y PN, determi-

nados por las asíntotas, sobre la paralela al eje real, trazada por P.

Así mismo, el semieje imaginario OB = b, es la media proporcional PK, entre los segmentos PQ y

PS , determinados por las asíntotas , sobre la paralela al eje imaginario (normal a AA′),

trazada por P.

A

B

C

Q

PK

NM

O

S

72

Trazado de la hipérbola

1.- Conocidos los ejes (Método del compás)

El siguiente dibujo expresa casi por sí sólo como proceder para trazar la hipérbola correspondiente.

Conocidos F, F′ y 2 ·a, se van considerando puntos N, exteriores al segmento FF′, y se van obteniendo

las distintas parejas de radios r1 y r2.

FAF' A'

P

P'

Q

Q'

N

2r

r1

r1

r = r + 2·a12

2.- Por trazo continuo

Conocidos F, F′ y 2 ·a, se utiliza un hilo de longitud h, y una regla de longitud ` = h+2 ·a.

El procedimiento a seguir es el siguiente:

1o.- Se fija el hilo en M y F.

2o.- Se hace girar la regla sobre F′.

3o.- El punto P, al deslizar sobre la regla arrastrando el hilo va describiendo la hipérbola.

(longitud del hilo)F P M

M

P

2·a2·c

A'F' A F

lllllllll

= 2·a + h

h

lllllllll

2·a

regla

73

Parámetros de la hipérbola

EJE REAL Distancia entre los vértices:

2 ·a.

EJE IMAGINARIO Lado del rectángulo cuyos vértices están sobre las asíntotas y su otro

lado, en el eje real:

2 ·b.

Este rectángulo define el área constante de todos los paralelogramos

construidos de forma análoga:

AREA = 4 ·a ·b.

DISTANCIA FOCAL Distancia entre los focos:

2 · c.

EXCENTRICIDAD e =ca

.

Relaciones importantes: 1.- La diferencia de los radios vectores de cualquier punto de la

hipérbola:

2 ·a.

2.- Se verifica:

a2 +b2 = c2.

3.- La diferencia de los cuadrados de dos diámetros conjugados es

constante:

a2−b2 = cte.

F' A' A FOb

b

a a

c c

74


El centro de curvatura, en un punto P de la hipérbola, está en la normal, n, a la tangente en el punto P.

En primer lugar determinamos dicha normal, n, como la bisectriz del ángulo formado por el radio vector

PF con la prolongación de PF′, que corta al eje real en el punto I.

Se dibuja, luego,la normal a n en I, que corta a la prolongación del radio vector PF en el punto E.

Por E se traza la perpendicular a PE, que corta n en el centro de la curvatura, CP, de la hipérbola en P.

CPP es el radio de curvatura correspondiente.

F' A' A FOCA

CP

B

B'

P

I

mNormal en P

Tangente en P

Radio de curvatura

Centro de curvatura

Centro de curvatura en A

C

t

n

==

La perpendicular a la asíntota m, trazada por el punto C, corta a AA′ en el centro de curvatura, de la

hipérbola, en el vértice A.

7.3 Propiedades de la hipérbola

PROPOSICIÓN 1. La hipérbola es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que

pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal relativa al otro foco.

En efecto: Supongamos que el centro, M, de la circunferencia, sea exterior al círculo focal.

Siendo MT = MF′ se verificará que,

MF−MF′ = FT = 2 ·a ,

luego M pertenece a la hipérbola.

Recíprocamente, si M pertenece a la hipérbola, entonces

MF−MF′ = 2 ·a ,

luego

MF−MT = 2 ·a ,

75

y en consecuencia las circunferencias de centros F y M, y radios respectivos: 2 ·a y MF′, serán tangentes

exteriores.

El razonamiento sería análogo si las circunferencias fuesen tangentes interiores El punto M′ correspon-

diente estaría sobre la otra rama de la hipérbola.M'

M

F F'

T2·a

PROPOSICIÓN 2. El producto de las distancias de un foco de la hipérbola a dos tangentes para-

lelas es constante, e igual al cuadrado del semieje imaginario (no transverso).

En efecto: Al igual que ocurría en el caso de la elipse, se tiene aquí que

FH ·FK = FA ·FA′ = (c−a) · (c+a) = b2

Así mismo, al ser FH = F′K′, por simetría, el producto de distancias desde los focos de una hipérbola a

una tangente cualquiera, es igual al cuadrado del semieje imaginario.

Recíprocamente, la envolvente de una recta que varía de modo que el producto de sus distancias a dos

puntos fijos sea constante y que deja a dichos puntos en diferente semiplano, es una hipérbola fija con esos

puntos como focos.

F A F'

A'O

H

H'

K

K'

76

Teoremas de Poncelet

Si desde un punto, P, exterior a una hipérbola se trazan las dos tangentes PM y PM′, se verifica

que:

1o.- Dichas tangentes forman ángulos iguales con las rectas que van desde P a los focos.

2o.- Los segmentos limitados por el punto P y los de contacto, M y M′, se ven desde un foco cual-

quiera bajo ángulos iguales o suplementarios.

En efecto: Las demostraciones son idénticas a las dadas a las correspondientes teoremas en el caso de la

elipse.

Unicamente cabe aclarar, en el caso del segundo teorema, que las dos tangentes se ven desde un foco bajo

ángulos iguales si sus puntos de contacto están sobre una misma rama, y suplementarios si esos puntos

están sobre ramas diferentes.

Observemos, además, que estos teoremas subsisten, con sus demostraciones, si una de las tangentes es

sustituida por una asíntota, ya que el simétrico de un foco respecto a cualquier asíntota está también en la

circunferencia focal.

PROPOSICIÓN 3. El producto de los segmentos interceptados por una tangente cualquiera sobre

las asíntotas, a partir del centro, es constante, y vale el cuadrado de la semidistancia focal.

En efecto: Consideremos los puntos en que la tangente en P a la hipérbola corta a las asíntotas, los M1

y M2. Tracemos, ahora, por F, las paralelas FA1 y FA2, a las asíntotas, en el mismo sentido que OM1 y

OM2; y comprobemos que los triángulos4

OFM1 y4

OM2F son semejantes.

Según lo establecido en el segundo Teorema de Poncelet, FM1 es bisectriz del ángulo A1FP, y FM2 es

bisectriz del PFA2. En consecuencia, el ángulo de las bisectrices M1FM2 es la mitad del total, A1FA2,

y como el ángulo A1FO es también la mitad de ese total, restándoles la parte común, M1FO, se ve que

son iguales los ángulos OFM2, A1FM1, y este igual al FM1O, por alternos internos. Además de estos dos

ángulos, los triángulos nombrados tienen iguales los M1OF, M2OF, por simétricos respecto al eje de la

hipérbola.

La proporcionalidad de los lados nos muestra

que,

OM1OF

=OF

OM2=⇒ OM1 ·OM2 = OF2

como queríamos establecer.

F'FOA

P

M1

M2

A1

A2

A'

77

Consecuencia inmediata de lo que acabamos de establecer es la siguiente: El área del triángulo, que

forma una tangente variable con las asíntotas, es constante.

Basta ver que todos los triángulos4

OM1M2 tienen un ángulo igual, e igual también el producto de los

lados que lo forman.

El área de ese triángulo vale: a ·b, como se desprende del caso en que la tangente móvil coincide con la

tangente en el vértice.

78



8.2 Intersección de hipérbola y recta


Contemplamos la tangente a la hipérbola, en un punto P de ella, de dos maneras distintas.

1o.- La tangente a la hipérbola, en un punto de ella, es la bisectriz interior del ángulo que forman los

radios vectores del punto.

2o.- La tangente a la hipérbola, en un punto, P, de ella, es la mediatriz del segmento MF, siendo M el

punto de la circunferencia focal de F′, alineado con P y con F′. Resulta, entonces, que:

a.- El punto P es la intersección de la recta MF′ con dicha mediatriz.

b.- El punto de intersección de MF con su mediatriz, pertenece a la circunferencia principal.

F' A' A FO

M

N

P



2·a

a

=

=

Procedamos ahora al trazado de tangentes, según se trate, o no, de hacerla pasar por un punto de ella, P.

1er caso: P pertenece a la hipérbola.

a.- Por bisectrices. La tangente, t, en el punto P, es la bisectriz del ángulo FPF′, formado por

los radios vectores de P.

b.- Por medio de la circunferencia principal. Se verifica que la proyección ortogonal, F1,

de F, sobre la tangente t, pertenece a la circunferencia principal y a la circunferencia (c), de

79

diámetro PF, tangente en F1 a la circunferencia principal, siendo OM paralela a PF′. Lo que se

hace es, por tanto, trazar el radio OF1, de la circunferencia principal, paralelo a PF′, siendo su

extremo, F1, el que determina t = PF1.

F' A' A FO

M

P


=

=

=

=F1

t

(c)

2o caso: P es un punto exterior a la hipérbola.

El proceso que seguiremos para su determinación será el siguiente:

a.- Se traza la circunferencia focal de F′.

b.- Se traza la circunferencia, (c), de centro P radio PF, con lo que se obtienen los puntos D y

E, sobre la circunferencia focal.

c.- Las tangentes, t1 y t2, son, respectivamente, las mediatrices de FD y FE

. d.- Las intersecciones,

de t1 y t2, con las rec-

tas F′E y F′D, son los

puntos de tangencia T1

y T2.

Observemos que las tan-

gentes, t1 y t2, pasan por

los puntos de intersec-

ción de FD y FE con

la circunferencia princi-

pal, siendo las intersec-

ciones los puntos me-

dios de FE y FD.

AA'FF'

D P

(c)

Circunferencia focalCircunferencia principal t1

t2

T1

T2 E

O

80

Un caso particular del anterior será aquel en el que P sea un punto impropio, de dirección d, que titula-

remos:

Tangentes a una hipérbola, paralelas a una dirección dada, d.

Trazamos, en primer lugar, las circunferencias focal y principal.

Se traza, luego, por F la perpendicular a la dirección dada, d, obteniéndose los puntos D y E, situados

sobre la circunferencia focal.

Así, las mediatrices de los segmentos FE y FD son, respectivamente, las tangentes buscadas, t1 y t2.

Los puntos de tangencia, con la hipérbola, resultan ser las intersecciones de las rectas F′E y F′D, con las

tangentes t1 y t2; es decir los T1 y T2.

Además, las tangentes, t1 y t2, pasan por los puntos de intersección de FD con la circunferencia principal,

siendo dichos puntos los puntos medios de los segmentos FE y FD.

FF'

D

E

dt1t2

T1

T2

A'

A

81

8.2 Intersección de hipérbola y recta

De las propiedades de las circunferencias focales y las rectas tangentes a la hipérbola, se desprende el

importante resultado siguiente:

La hipérbola es el lugar geométrico de los centros

de las circunferencias que son tangentes a una

focal y que pasan por el otro foco.

F'A

2·a

Q

P

t

s

A'F

TP

TQ

O

Para obtener los puntos de intersección de la recta r y la hipérbola se utiliza la propiedad anterior, de ma-

nera que dichos puntos serán los centros de las circunferencias que pasando por un foco sean tangentes a

la circunferencia focal del otro foco, y tengan su centro en la recta dada. Estas circunferencias, por tener

su centro en la recta dada, pasarán también por el simétrico de dicho foco, respecto a la recta dada.

La metodología para la construcción es la siguiente:

1o.- Se traza la circunferencia focal de F′.

2o.- Se determina F′′, simétrico de F respecto de la recta r dada.

3o.- Se traza una circunferencia , (c1), con centro en un punto O1, situado en r, que pase por F y F′′. Su

intersección con la circunferencia focal nos determina los puntos M1 y M2.

4o.- Se trazan los ejes radicales, E1 y E2, lo que nos permite obtener el centro radical de las circunfe-

rencias focal, la (c), y las eventuales (ci); sea éste el punto R.

82

5o.- Desde R se trazan las tangentes, t1 y t2, a la circunferencia focal, obteniéndose sobre ella los puntos

T1 y T2.

6o.- Las intersecciones de los radios F′T1 y F′T2, con r, son los puntos, P y Q, buscados.

F' A'F

O

F''

T1

M2

O1

E 2

(c )1

T2

t1

t2

P

Q

r

M1

E1


A

R

83


9.1 Otras propiedades de la hipérbola

9.1 Otras propiedades de la hipérbola

A continuación enunciamos algunas propiedades sin demostración de la hipérbola.

1.- Las tangentes a una hipérbola, desde un punto exterior, P, forman el mismo ángulo con las

rectas que unen dicho punto con los focos.

AA'

FF'

P

t1t2O

=

=

2.- Las rectas que unen un foco, de la hipérbola, con los puntos de tangencia de las tangentes

trazadas desde un punto exterior, P, tienen como bisectriz la recta que une el foco con el punto.

AA' FF'

P

t1

t2O

=

=

85

3.- El segmento que delimitan en una tangente móvil, t, otras dos tangentes fijas, t1 y t2, se ve desde

un foco, F′, bajo un ángulo constante, ααα , igual a la mitad del ángulo de vértice F′ y lados las rectas

que pasan por los puntos de tangencia, T1 y T2, de las tangentes fijas, t1 y t2.

A FF'

P

t1t2

OA'

2·αα

t

Q1

T1

T

Q2

2T

4.- En una hipérbola, las tangentes, t1 y t2, en los extremos de una cuerda focal, T1FT2, se cortan

en un punto, P, situado en la perpendicular por el foco F a dicha cuerda focal.

F'

P

A' FT1

T2

O

t1

A

t2

86

5.- Si se corta una hipérbola por rectas paralelas a los ejes, entre los segmentos determinados en

dichas rectas por las asíntotas, y cada rama de la hipérbola, se verifican las siguientes relaciones:

PM ·PN = PT2= a2

PQ ·PR = PM2= b2

F' A' A FO

ba a

N M H

R

P

T

6- Si por el punto de tangencia, T, de una tangente, t, se trazan rectas paralelas a las asíntotas, se

obtienen en éstas los puntos medios, U y V, de los segmentos determinados en dichas asíntotas por

el centro, O, y los puntos de corte con la tangente, es decir:

TR = TS , VS = VO , UR = UO

7.- Si por los extremos de una cuerda, MN, se trazan rectas paralelas a las asíntotas, se forma un

paralelogramo,

MNPQ, tal que una diagonal es dicha cuerda, y la otra define una recta que pasa

por el centro de la hipérbola.

F' A' A F

O

U

R

S

T

P

M

Q

N

V

87

8.- El producto de las distancias de los focos a una tangente cualquiera es constante.

9.- En toda tangente, el segmento limitado por las asíntotas tiene su punto medio en el punto de

contacto.

F' A'A F

O

T

d

Md'

N

d·d'=b2

OM·ON= c2_ _

TM=TN_ _

t

10.- Toda secante paralela a una misma dirección, d, corta a la hipérbola y a sus asíntotas en cuatro

puntos, M, N, M′, N′, tales que

MN ·MN′ = a′2

siendo a′ el semidiámetro relativo a la dirección d.

N'

d

M

a'

N

M'

O

==

88

11.- Los ángulos de la base del triángulo444

AMA′, en el que A y A′ son los vértices de una hipérbola

equilátera, y M un punto cualquiera de ella, difieren en un ángulo recto, es decir:

A = A′+πππ

2

AA' FF'

M

12.- Si se proyecta un punto M, de una hipérbola equilátera, sobre el eje imaginario, la distancia,

AC, del vértice A al punto obtenido, C, es igual a la abscisa MC del punto considerado, es decir

MC = AC

13.- La recta que une el centro, O, de una hipérbola equilátera con un punto cualquiera, P, de la

curva, es media proporcional entre los radios vectores de este punto, es decir:

FP ·F′P = OP2

A' FF'

M

P

C

OA

89

Lección 10.- DETERMINACIÓN DE UNA HIPÉRBOLA

10.1 Determinación de una hipérbola

10.2 Ejemplos

10.1 Determinación de una hipérbola

1.- Conocidas las asíntotas, m y n, y un punto, P.

Los ejes son las bisectrices de los ángulos formados por las asíntotas. El eje real, OA, es el situado en el

mismo ángulo que el punto P.

La paralela al eje real, trazada por P, corta a las asíntotas en los puntos M y N.

El semieje real, a = OA = PQ se determina como media proporcional entre PM y PN, y el semieje

menor, b, por medio de la normal al eje trazada por A, que corta a m en el punto C, siendo c = OC, el

semieje focal.

Q

AO

NM

BC

P

PQ_

==

mn

91

2.- Conocidos una asíntota, m, y tres puntos P, Q y S.

Las asíntotas m y n (de las que conocemos la primera), deben cortar a las cuerdas dadas, o a sus prolon-

gaciones, en puntos tales que verifican:

QC = SK , QD = PH , PE = SG .

Una vez determinados los puntos K, G y H, que están alineados, determinan la asíntota n, que corta a la

m en el centro O.

El problema se reduce, ahora, a la determinación de la hipérbola de asíntotas m y n, que pasa por el

punto P (o Q, o S), que tenemos resuelto antes: (1)

P

QS

H

G

K

m

n

D

C

O

E

QD_

PE_

QC_

3.- Conocidos dos diámetros conjugados: MN y PQ.

Trazando las paralelas a los diámetros conjugados dados, por sus extremos, queda determinado el para-

lelogramo

DEGH, cuyas diagonales son las asíntotas, m y n, de la hipérbola buscada. Los ejes son las

bisectrices de los ángulos formados por las asíntotas.

Siendo los puntos P y Q las de tangencia de DE y GH con la hipérbola buscada, la bisectriz AA′, situada

en el ángulo que los contiene, es el eje real.

La longitud PK = OB = b, del semieje imaginario se determina como media proporcional entre los seg-

mentos IP y PL, determinados por las asíntotas en la normal AA′, trazada por P.

92

El semieje mayor OA, y el foco F, se determinan por medio del rectángulo

OBCA, y del arco de centro

O y radio OC = c.

F'

F

m

n

N

M

G

D

P

QO

B'

BH

E

K

CI

A

A'

Leje imaginario

eje real

4.- Conocidos sus vértices, V y V′, y un punto P de ella.

Para determinar la hipérbola pedida se sigue el procedimiento siguiente:

1o.- La recta VV′ define el eje real.

2o.- La mediatriz del segmento VV′ define el eje imaginario.

3o.- Por P se traza la perpendicular al eje imaginario y se obtiene el punto N.

4o.- Se traza la circunferencia (c1), de diámetro PN.

5o.- Con centro en P, y radio a, se traza un arco, y se obtiene el punto Q, en (c1).

6o.- Con centro en N, y radio NQ, se traza la circunferencia (c2), y se obtienen los puntos M y M′, en

la recta PN.

7o.- Las rectas OM y OM′ son las asíntotas de la hipérbola.

8o.- Por V y V′ se trazan perpendiculares al eje real, y se obtienen los puntos A y A′ sobre las asíntotas.

9o.- Se verifica que VA = V′A′ = b.

10o.- Con centro en O, y radio

OA = OA′, se obtienen, sobre el

eje real, los focos F y F′.

F' V' V FO

ba a

NMM'

P

Q

a

A A'

b (c )1

2(c )

93

5.- Conocidos los vértices, A y A′, y una tangente t.

Dado que las proyecciones ortogonales de los focos, sobre la tangente, t, pertenecen a la circunferencia

principal, de diámetro AA′, las perpendiculares a t, trazadas desde las intersecciones, D y E, de t y la

circunferencia principal, cortan a las prolongaciones del eje AA′, en los focos F y F′.

El otro semieje, b = OB = AC, se determina fácilmente como muestra la figura.

F' A' A FO

D

E

C

t

OF_

B

6.- Conocidos tres puntos, P, Q y S, y las direcciones, d y d′, de las asíntotas, m y n.

Sobre las cuerdas PQ y QS, como diagonales, se construyen dos paralelogramos, de lados paralelos a d

y d′.

Las otras dos diagonales, o sus prolongaciones, se cortan en el centro O de la hipérbola, que determina

las asíntotas m y n, paralelas a d y d′, respectivamente.

El problema se reduce, ahora, a la determinación de la hipérbola de asíntotas m y n, que pasa por el

punto P (ó Q, ó S), que tenemos resuelto antes: (1).

P

Q

S

dd'

F

CO

E

nm

94

7.- Conocido un foco F, una asíntota, m, y el semieje real, a.

Se traza FF1, perpendicular a la asíntota, m.

Luego, a partir de F1, se lleva sobre m la longitud a = F1O; lo que determina el centro O, y el semieje

focal OF = OC.

Por último, la perpendicular CA a OF, determina los semiejes a = OA y b = OB = AC.

A

Oa

b

B

C

F

m

F1

=

=

a

8.- Conocidos los focos, F y F′, y una asíntota, m.

La asíntota m corta, a la circunferencia de diámetro FF′, en los puntos C y C′, con los que se determinan

los ejes: 2 ·a = AA′ y 2 ·b = BB′, como se muestra en la figura.

F' A' A FO

B'C'

C

m

B

=

=

=

95

9.- Conocidos un foco, F, una asíntota m, y una tangente, t.

Se trazan, por F, las perpendiculares a m y t, que son cortadas en los puntos P y Q, (pertenecientes a la

circunferencia principal); en consecuencia, la mediatriz MO, de la cuerda PQ, corta a m en el centro O

de la hipérbola, de la que OF es el semieje focal. A partir de estos datos, y tal como muestra la figura, se

determinan los semiejes a = OA y b = OB.

t

AFO

Q

M

C

m

OA_

B

P

a

b


10.- Conocidos un foco, F, una tangente, t, su punto de contacto, T, y la longitud 2 · c.

El radio vector TF′ de T es el simétrico del TF, respecto a t, y corta a la circunferencia, de centro F y

radio 2 · c, en F′, siendo FF′ = 2 · c el eje focal, y su punto medio, O, el centro de la hipérbola.

El eje real AA′ = 2 ·a, es la diferencia, TF′−TF, de los radios vectores.

El otro semieje, b, se determina como el cateto OB del triángulo rectángulo de cateto OA e hipotenusa

AB = OF = c.

F' A' A FO

T

t

OF_B TF

_2·a

2·a

2·c

=

=

96

10.2 Ejemplos

Ejemplo 1.- Construir una hipérbola conociendo sus vértices y un punto.

Sean A, A′ los vértices, y M el punto dado.

Se traza la circunferencia principal, y se proyecta M sobre el eje AA′ obteniendo P.

Desde P se traza la tangente a la circunferencia principal, y desde M la perpendicular a esta tangente, que cortará al

eje transverso en R. Así, RP es el eje imaginario.

En efecto: Por ser semejantes los triángulos∆∆∆

POQ y∆∆∆

MRP, tendremos:

RPOQ

=MPPQ

=⇒ RP =OQ ·MP

PQ

Ahora bien, tomando como ejes de coordenadas los ejes de la hipérbola se tiene

MP = y , OP = x , OQ = a ,

luego

RP =a ·y√

x2−a2;

pero de la ecuación de la hipérbolax2

a2 −y2

b2 = 1 ,

se deduce

b =a ·y√

x2−a2,

luego:

RP = b .

A'A RO P

M (x, y)

Q

x

y

97

Ejemplo 2.- Dados un foco, una asíntota y un punto, determinar los demás elementos.

Sean: a, M y F, respectivamente, asíntota, punto y foco.

La proyección del foco sobre la asíntota pertenece a la directriz.

Además, la paralela a la asíntota trazada por M, hasta que corte a la directriz, es igual a MF.

Si se toma, MH = MF, se tiene la directriz.

La perpendicular trazada desde F a la directriz nos da el centro.

HF

O

Ma

P

d PH==_

Ejemplo 3.- Dados un foco, P, un vértice, A, y una tangente, t, a una hipérbola, hallar su centro.

Proyectamos F sobre la tangente, y llamamos A al vértice dado y P a la proyección de F sobre la tangente.

La mediatriz de PA cortará a FA en el centro de la hipérbola.

A FO

P

t

98

Ejemplo 4.- Construir una hipérbola conociendo un foco, una asíntota y una tangente.

Proyectando F sobre la asíntota y sobre la tangente, trazando la mediatriz PP′ obtendremos el centro de la hipérbola.

(Para que el problema admita solución es necesario que la mediatriz de PP′ corte a la asíntota MP; es decir que los

puntos P, P′ y F no estén alineados).

M

P'F

P

(foco)O

tangente

asíntota

Ejemplo 5.- Dados un punto, una asíntota y una directriz, construir la hipérbola.

Sean a la asíntota, d la directriz y M un punto de la hipérbola.

Desde el punto Q, intersección de la asíntota y la directriz, se traza una perpendicular a la asíntota, perteneciendo a

esta recta el foco correspondiente.

Por M se traza una paralela a la asíntota, hasta que corte a la directriz, y trazando, con M como centro, y MP como

radio, un arco hasta que corte a QF, obtendremos el foco.

F

Ma

P

d =

=

Q

99

Ejemplo 6.- Dados dos puntos, una directriz y una dirección asintótica, determinar los demás elementos.

Sean, d la directriz, A y B los puntos dados, y a la dirección asintótica.

Trazamos por A y B paralelas a la dirección asintótica dada, hasta la directriz.

Si se trazan, ahora, circunferencias de centros A y B, con radios, respectivos, AP y BQ, sus intersecciones nos darán

los focos.

El problema puede tener dos (como el representado), una o ninguna solución.

A

F1

P

Q

2 F

B

Ejemplo 7.- Construir una elipse / hipérbola, dados un foco, F, y tres tangentes. Indicar el género de curva

correspondiente a las distintas posiciones del foco.

Tomando los simétricos de F, con respecto a cada una de las tangentes, la circunferencia que pasa por dichos simé-

tricos es la circunferencia focal correspondiente al otro foco, lo que nos determina la curva.

Para ver la clase de curva, según la posición de F, sea444

ABC el triángulo tomado por las tres tangentes. Circuns-

cribiéndole una circunferencia se tiene que si F se encuentra en la parte sombreada, F y F′ caen a distinto lado de

alguna de las tangentes, y por consiguiente se tratará de una hipérbola; en los demás casos tendremos una elipse.

A

B

C

100

Ejemplo 8.- Determinar una hipérbola conociendo: Una asíntota, r, un vértice A, y la excentricidad, e =mn

.

Su suponemos el problema resuelto tendremos:

F'V'A=VF O

H

c

B

b

a

r

Trazada la tangente en el vértice A, tendremos:

BO = c , OA = a , AB = b , e =mn

=ca

.

El área del triángulo444

ABO se puede expresar así,

12·b ·a =

12· c ·AH

de donde:

AH = h =a ·b

c=

nm·b ,

o lo que es lo mismo:

b =mn·h .

(Por una cuarta proporcional determinaremos AB = b)

En estas condiciones, haciendo centro en A, con radio b, cortaremos a la asíntota en B.

Luego, la perpendicular a AB por A, nos dará O.

Por último, para determinar F, tomaremos OF = BO.

F'V'F O

H

c

B

b

a

r

hb

BO_

b

e mn_=

nm

hb=

_ _hn

m

A V==

101

Ejemplo 9.- Determinar una hipérbola conociendo los vértices, V1 y V2, y un punto P.


P

M V1 O F2F1 V2

N

T

Sea PT la tangente en P, y M la proyección de P sobre el eje.

La polar del punto T es PM, luego tendremos: (MTV1V2) =−1.

Determinaremos PT hallando el conjugado armónico de M respecto de los puntos V1 y V2.

La circunferencia de diámetro V1V2 (circunferencia principal) corta a PT en N (proyección de F1), luego trazando

NF1, normal a PT, ésta pasará por F1, y su intersección con V1V2 nos dará el foco.P

M V1 O F2F1 V2

N

T

Ejemplo 10.- Determinar una elipse / hipérbola conociendo: Su centro, O, 2 ·a y dos tangentes, m y n.

Dado que la circunferencia principal (de centro O y radio a) es el lugar geométrico de las proyecciones de los focos

sobre las tangentes, bastará con trazar la citada circunferencia principal, y determinar sus intersecciones con las

tangentes, m y n, es decir los puntos M, N, P y Q, que son las proyecciones de F1 y F1 sobre m y n.

Las perpendiculares a m, por M y N, y las perpendiculares a n, por P y Q, nos determinarán, como se muestra en la

figura, los focos F1 y F2.

A BF1 F2O

M

N

PQ

m

n

102

Ejemplo 11.- Determinar una elipse / hipérbola, conociendo: Un foco F1 y tres tangentes, t1, t2, t3.

En primer lugar se determinan los simétricos del foco dado, F1, respecto a las tres tangentes.

Dado que el lugar geométrico de los simétricos de un foco, respecto a todas las tangentes que se puedan trazar a

la cónica, es la circunferencia focal del otro foco, F2, los tres simétricos determinados nos permiten dibujar una

circunferencia cuyo centro es F2.

Además, puesto que el radio de esta circunferencia es 2 ·a, podemos determinar, así mismo, los vértices de la cónica

que nos interesa.

F1

t1

t2

t3

2FO

2·aa

2·a

1A

2A

Ejemplo 12.- Determinar una cónica, conociendo: Un foco, F, su vértice correspondiente, A, y una tangente

t.

Se proyecta F sobre t. Su proyección, P, pertenece a la circunferencia principal, que tiene por diámetro el eje mayor

de la cónica.

En consecuencia, la intersección de AF con la perpendicular por P, a AP, nos da el otro vértice A′.

Puede ocurrir lo siguiente:

1o.- Si A′ está a distinto lado que A, respecto a F, la cónica será una elipse.

2o.- Si A′ está al mismo lado que A, respecto a F, la cónica será una hipérbola.

3o.- Si PA′ es paralela a AF, la cónica será una parábola.

P

AF

F' A'

t

A'F_

P

A FF'A'

t

A'F_

Elipse

Hipérbola

Parábola

A'

A F

P

t

∞

103

Lección 11.- ESTUDIO DE LA PARÁBOLA

11.1 La parábola como lugar geométrico


11.3 Propiedades de la parábola

11.1 La parábola como lugar geométrico

Recordemos que hemos definido la parábola como el lugar geométrico de los puntos del plano que

equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija, llamada directriz.

Elementos a destacar en una parábola son los siguientes:

FOCO.- Es el punto fijo F.

DIRECTRIZ.- Es la recta fija, d, exterior a la parábola, tal que el cociente de distancias de cualquier

punto de la parábola al foco y a ella, es constante, e igual a 1.

EJE.- Es la recta que pasando por F es perpendicular a d.

VÉRTICE.- Es el punto, A, de la parábola situado sobre el eje. En el vértice la curvatura de la parábola

es máxima.

RADIO VECTOR.- Es el segmento que une el foco con un punto de la curva.

PARÁMETRO.- Es la distancia, p, del foco a la directriz.

FM = F1M

AD F

F1

d

M

tangente

RADIO VECTOR

VÉRTICE EJE

FOCO

CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL

PARÁMETRODIRECTRIZ

CIRCUNFERENCIA FOCALCIRCUNFERENCIA DE MONGE

α

α

p

CIRCUNFERENCIA FOCAL.- No existe para el foco F. Ahora bien, si se considera que la parábola

admite otro foco, F′, en el infinito, es decir el punto impropio del eje, la circunferencia focal relativa a F′

es la directriz d. Se define ésta como el lugar geométrico de los puntos simétricos del foto F respecto a

las distintas rectas tangentes a la parábola. En particular, el punto D, intersección del eje y de la directriz,

es el simétrico de F respecto a la tangente en el vértice.

105

CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL.- Se considera como tal, la recta ortogonal al eje, pasando por el

vértice. Se define ésta como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde el foco

a las distintas rectas tangentes a la parábola.

CIRCUNFERENCIA DE MONGE.- Se considera como tal a la directriz, d. Se define como el lugar

geométrico de los puntos de intersección de todas las parejas de tangentes a la parábola, ortogonales

entre sí.

EXCENTRICIDAD.- Es el cociente de las distancias de cualquier punto de la parábola al foco y a la

directriz.

e =MFMF1

= 1

SIMETRÍA.- La parábola es simétrica respecto a su eje.

DIÁMETROS.- Son las rectas paralelas al eje de la parábola. Todo diámetro corta a la parábola en un

único punto.

Relación entre la parábola y la elipse

Podemos considerar la parábola como el límite de la elipse cuando un foco, de ésta, se desplaza al punto

impropio de su eje. La interpretación es la siguiente:

ELIPSE −→ en el límite se transforma −→ PARÁBOLA

(CF′) : Circunferencia focal

A : Vértice

e : Eje mayor

(Cp) : Circunferencia principal

(CM) : Circunferencia de Monge

=⇒

d : Directriz

A : Vértice

e : Eje

tA : Recta impropia

d : Directriz

Circunferencia focal de la elipse

Circunferencia principal de la elipse

Foco de la elipse / parábola

Vértice de la elipse / parábola

Directriz de la parábola

d

D A F F' A'O

QE

QP

(c )F'

M P

(c )P

tA

Eje de la elipse / parábola

ME

e

106

Trazado de la parábola

1.- Conocidos el foco F y la directriz d

Por puntos

• Se traza una recta r paralela a d, a una distancia ` >p2

.

A continuación se traza la circunferencia de centro F y radio `, sea la (c).

La intersecciones de r y (c), nos dan los puntos M y M′, de la parábola, ambos simétricos respeto

al eje. d

D A F

r

lllllllllll

M

lllllllllll

M'p2_p

2_

p

(c)

• Se une el foco con un punto cualquiera, F1, de la directriz.

A continuación se traza la mediatriz, t, de FF1.

Por último, se traza por F1 una paralela al eje, obteniéndose en t el punto M de la parábola.

AD F

F1

d t

M

107

2.- Conocidos el vértice y el foco

La directriz d = DC de la parábola es la perpendicular al eje e = AF, trazada por el punto D, siendo

AD = AF y DF = 2 ·p.

Para obtener puntos de la parábola, se traza una paralela, r, a d, que corta al eje, e, en B. A continuación

el arco de centro F y radio DB, que corta a r en los puntos P y Q de la parábola, por ser PF = PC la

propiedad que los define.

Podemos repetir la construcción anterior, con otras paralelas, con lo que se obtenían nuevos puntos de la

parábola.

En particular, los puntos E y G, se obtienen direc-

tamente, por verificarse que: FE = FG = p.

La tangente a la parábola, en P, es la recta

tp = PB′, siendo AB′ = AB, lo que permite hallar

cualquier número de puntos y tangentes como nos

interesen para su mejor dibujo.

CP

A F B

E

B'

G

rtp

De

p

AF_

DB_

DB_

Q

3.- Conocidos el eje, e, el vértice, A, y un

punto P.

Se trata de determinar la directriz d = DE y el foco,

y aplicar el método anterior. Así, se traza la normal

PB al eje, y luego se toma AC = AB; a continua-

ción se dibujan la tangente, t = PC, y la normal,

n = PN a t.

La subnormal BN es igual al parámetro, DF = p, lo que permite hallar AF = AD =p2

.

También podría trazarse la tangente en el vértice, que corta a t en M, y por este punto la perpendicular a

t, que corta al eje en F. (Sirven de comprobación las siguientes igualdades: ME = MF y AD = AF).

AC F B

d t

P

N

n

e

M

D

E

108

Tangente, subtangente, normal y subnormal en la parábola.

• La tangente a la parábola, en un punto de ella, es la bisectriz interior del ángulo formado por el

radio vector del punto y la recta paralela al eje que pasa por él. Es, así mismo, la mediatriz del

segmento que une el foco con la proyección ortogonal de dicho punto sobre la directriz.

AD F

M1

d

MTangente

Subtangente

α

α

T

S

M'

st2_

2_st

st

• La subtangente a la parábola en un punto de ella, es el segmento del eje comprendido entre el

punto T, de intersección de la tangente con el eje, y la proyección ortogonal, M′, del punto de

tangencia sobre dicho eje: st = TM′.

El vértice, A, es el punto medio del segmento subtangente:

AT = AM′ =TM′

2.

• La normal a la parábola en un punto de ella es

la bisectriz exterior del ángulo formado por el

radio vector del punto y la recta paralela al eje

que pasa por él: MN.

El foco es el punto medio del segmento definido

por los puntos de intersección de la tangente y

de la normal con eje: FT = FN.AD F

M1

d

M

Normal

Subnormal

T M'

p

s = pn

N

n

==

β

β

t

• La subnormal a la parábola en un punto de

ella es el segmento del eje comprendido entre

el punto de intersección de la normal con el eje

y la proyección ortogonal del punto de la pará-

bola sobre dicho eje: sn = NM′.

La subnormal de cualquier punto de la parábola tiene un valor constante: sn = p.

109


El centro de curvatura, en un punto P de la parábola, está en la normal n, en el punto P.

En primer lugar determinamos dicha normal, n, como la bisectriz del ángulo formado por el radio vector

PF, con la prolongación de PB, que corta al eje en el punto E.

Se dibuja, luego, la normal a n en E, que corta a la prolongación del radio vector PF, en L, y por este

punto se traza la normal a PL, que corta a n en el centro de la curvatura Cp de P.

CpP es el radio de curvatura correspondiente.

Al mismo resultado se llega si prolongamos n, hasta cortar a la directriz, en I, y tomamos sobre n:

PCp = 2 ·PI.

AD

F E

d

P

I

L

n

t

CA

B

CP

=

=Tangente en P

Radio de curvatura

Centro de curvatura

Normal en P

El centro de curvatura, en A, es CA, siendo ACa = 2 ·AD = p.

110

11.3 Propiedades de la parábola

PROPOSICIÓN 1. El lugar geométrico de las proyecciones ortogonales del foco sobre las tangentes

a la parábola es la tangente en el vértice.

En efecto: trazada la tangente como mediatriz del segmento FK, resulta el punto I, como punto medio de

FK.

En consecuencia, el lugar geométrico, del punto I, es la transformada por homotecia de la directriz, d,

siendo F el centro de homotecia y la razón igual a12

.

Observemos que esta transformada es la paralela a la directriz por el vértice, es decir la tangente a la

parábola en su vértice.

A F

K

d t

M

I

=

=

PROPOSICIÓN 2. Dada una parábola se verifican las dos propiedades siguientes:

1o.- La subnormal es constante e igual al parámetro.

2o.- La subtangente es doble de la abscisa del punto de contacto.

En efecto: Tomando como ejes el de la parábola y la tangente en el vértice, tenemos:

1o.- La normal MN es paralela a FK, luego los dos triángulos rectángulos444

MHN y444

KQF son iguales, por

tener sus lados paralelos y un lado igual: MH = KQ. En consecuencia, se tiene que:

HN = QF (parámetro de la parábola).

2o.- Resulta que I es el punto medio de FK, luego

IA =KQ

2=

MH2

,

por consiguiente, I es el

punto medio de MT, y su

proyección A el punto me-

dio de TH, es decir

TH = 2 ·AH ,

como queríamos demos-

trar.

AQ F

K

d

M

Normal

Subnormal

T HN

Subtangente

111

PROPOSICIÓN 3. El cuadrado de la ordenada de un punto de la parábola es proporcional a la

abscisa.

En efecto: Dando continuidad a la proposición anterior, la ordenada del punto M será MH y la abscisa,

HA. Dado que MH es la altura del triángulo rectángulo444

TMN, se verificará que:

MH2= HT ·HN =⇒ y2 = 2 ·p ·x .

Ejemplo 1.- Trazar, a una parábola, tangentes por un punto dado, P.

Siendo P el punto dado; determinemos los simétricos de F respecto a las tangentes que nos interesan.

Si K es uno de esos simétricos estará en la directriz, siendo, además, el punto P equidistante de F y K.

En consecuencia, los simétricos buscados quedan determinados por la intersección de la directriz, d, con la circun-

ferencia, (c), de centro P y radio PF.

Las tangentes PM y PM′, son las mediatrices de FK y FK′, y los puntos M y M′ se obtienen como se muestra en la

figura.

A F

d

MK

S

M'

P J

I

K'

L

==

I'

(c)

En general, habrá dos soluciones; bastará, para ello, que la circunferencia corte a la directriz. Por tanto, el punto P

deberá estar más próximo de la directriz que del foco, es decir deberá ser exterior a la parábola.

Teoremas de Poncelet. 1o.- Los segmentos limitados por un punto y los puntos de contacto de

las tangentes trazadas por aquél, se ven desde el foco bajo el mismo ángulo.

2o.- Las tangentes trazadas desde un punto forman ángulos iguales con el

radio vector y la paralela al eje trazado por el punto, respectivamente.

(Las referencias corresponden a la figura del ejemplo anterior).

En efecto: 1o.- Los ángulos PKM y PK′M′ son iguales, por simetría respecto a la paralela PJ al eje.

Por otra parte los ángulos PFM y PFM′, son, respectivamente, simétricos de los primeros respecto a las

tangentes PM y PM′ y por tanto también iguales.

112

2o.- En el cuadrilátero inscribible

FIPI′, los ángulos FPM′ y FII′, están inscritos en el mismo

arco, y los FII′ y MPL tienen sus lados perpendiculares.

En consecuencia, son iguales los ángulos MPL y FPM′.

PROPOSICIÓN 4. La directriz es el lugar geométrico de los puntos desde los cuales pueden tra-

zarse tangentes perpendiculares a la parábola.

(Las referencias siguen correspondiendo a la figura del ejemplo anterior).

En efecto: Por ser PM bisectriz del ángulo FPK, y PM′ bisectriz del ángulo FPK′, resulta que el ángulo

de las tangentes MPM′ es la mitad del KPK′.

Para que las dos tangentes sean perpendiculares bastará con que el ángulo KPK′ sea llano, es decir, que el

punto P esté sobre la directriz.

PROPOSICIÓN 5. Las proyecciones de las dos tangentes, PM y PM′, trazadas desde un punto, P,

sobre la directriz, son iguales.

(Las referencias siguen correspondiendo a la figura del ejemplo anterior).

En efecto: Las proyecciones que nos interesan valen KL y K′L, evidentemente iguales; y por ser PL

paralela a KM y K′M′, corta a la cuerda de contactos, MM′, en su punto medio, J. Podemos, por tanto,

afirmar que la paralela, por un punto P, al eje, corta a la cuerda que une los puntos de contacto de las

tangentes desde el punto, en su punto medio.

PROPOSICIÓN 6. La cuerda que une los puntos de contacto de las tangentes, trazadas desde un

punto de la directriz, pasa por el foco.

En efecto: Trazadas las dos tangentes, PM y PM′, los ángulos PFM y PFM′ son rectos (Proposición 4).

En consecuencia, los puntos M, F y M′, están alineados.

F

d

M

M'

P

K

A

Observemos, por otra parte, que al igual que en la elipse y la parábola, desde el foco se ve bajo ángulo

recto el segmento de tangente limitado por el punto de contacto y la directriz.

113

Teorema de Lambert. La circunferencia circunscrita al triángulo formado por tres tangentes

a la parábola pasa por el foco.

En efecto: En el triángulo444

ABC, formado por tres tangentes, se tiene, en virtud de los Teoremas de

Poncelet, las siguientes igualdades de ángulos:

1 = 2 y 3 = 4

Dado que los ángulos 2 y 4 son iguales, por correspondientes, también lo serán los 1 y 3.

En consecuencia, el cuadrilátero

ABCF es inscribible, lo que demuestra el teorema.

A

C

F

B

d

N

M

t1

t2

t3

1

3

2

4

114



12.2 Intersección de parábola y recta


1o.- Por un punto P de la parábola

a.- Trazamos por P una recta paralela al eje, que corta a la directriz en el punto P1.

La tangente es la bisectriz interior del ángulo P1PF, que coincide con la mediatriz del segmento

P1F.

AD F

P1

d t

Pα

α

b.- Trazamos el arco de circunferencia de centro F, y radio FP, lo que determina el punto T sobre el

eje, siendo la recta TP la tangente buscada.

P

AFT

t

D

d

115

c.- Determinamos el punto P′, proyección ortogonal de P sobre el eje, del que luego se determina su

simétrico, respecto del vértice, es decir el punto T. La recta TP es la tangente buscada.

P

AFT

t

D

d

P'

AP'_

d.- Determinamos el punto P′, proyección ortogonal de P sobre el eje, que luego se desplaza sobre el

eje según un segmento de valor el parámetro p, con lo que obtenemos el punto N.

La recta PN resulta ser la normal a la parábola en el punto P, y la recta perpendicular a la PN por

P, es la tangente buscada.

AT F P'

d t

P

ND

p p

2o.- Por un punto P exterior a la parábola

Trazando la circunferencia (c), de centro P, y radio PF, se obtienen los puntos M1 y M2, situados en la

directriz, d.

Las normales trazadas por P a los segmentos FM1 y FM2, que son, así mismo las mediatrices de FM1 y

FM2, son las tangentes buscadas: t1 y t2.

Los puntos de intersección de t1 y t2, con las rectas ortogonales a la directriz, d, por M1 y M2, son los

puntos de tangencia T1 y T2.

116

Se verifica, también, que los puntos de intersección de t1 y t2, con los segmentos FM1 y FM2, son los

puntos medios de dichos segmentos, y pertenecen a la tangente, tA, en el vértice.

A F

d

TM

T

P D

t2

1

2

1

M2

1t

PF_

At

(c)

3o.- Paralela a una dirección dada, r.

Se trata de un caso particular del anterior, aquél en el que P es un punto impropio, de dirección r.

El procedimiento para su determinación es el siguiente:

Se traza, por F, la perpendicular a r, lo que nos determina el punto M, situado sobre la directriz, d.

La mediatriz del segmento FM es la tangente buscada, t.

El punto de tangencia , T , resulta ser la intersección de t con la perpendicular a la directriz por

el punto M.

A F

T

d t

M

D

r

117

12.2 Intersección de parábola y recta

De las propiedades de las rectas tangentes y de los puntos de la parábola se desprende el importante

resultado siguiente:

La parábola es el lugar geométrico de los centros

de las circunferencias que pasan por el foco y son

tangentes a la directriz.

F

d

P

A

Q

D

(c )P

(c )Q

P1

Q1

Para obtener los puntos de intersección de la recta y la parábola, hacer uso de la propiedad anterior

significa que dichos punto deben ser los centros de las circunferencias que pasando por el foco sean

tangentes a la directriz, y tengan su centro en la recta dada.

Estas circunferencias, por tener su centro en la recta dada y pasar por el foco, pasarán, evidentemente,

por el simétrico del foco respecto a dicha recta.

La anterior propiedad nos sugiere la siguiente construcción:

1o.- Se determina el punto F∗, simétrico de F respecto a r (recta dada).

2o.- Se traza una circunferencia (c1) cualquiera, con su centro O1 en r, y radio O1F = O1F∗.

3o.- Se dibuja la recta FF∗, que corta a la directriz, d, en el punto S.

4o.- Desde S se traza la tangente, t, a (c1), lo que determina el punto de tangencia T.

118

5o.- Se dibuja la circunferencia, (c2), de centro S y radio ST, que determina, sobre d, los

puntos P1 y Q1.

6o.- Por último, las perpendiculares a la directriz, d, por los puntos P1 y Q1, cortan a la recta dada, r,

en los puntos P y Q buscados.

D F

P1

d t

P

r

Q

S

T

F*

O1

Q1

1(c )

(c )2

O F = O F *11

_ _

119


13.1 Otras propiedades de la parábola

13.1 Otras propiedades de la parábola

A continuación enunciamos sin demostración, las siguientes propiedades de la parábola.

1o.- Las tangentes desde un punto exterior, P, forman el mismo ángulo con las rectas que unen P

con el foco y con el punto impropio del eje.

P

F

dT1

T2

t2

t1

α

α

2o.- Las rectas que unen el foco con los puntos de tangencia de las tangentes trazadas desde un

punto exterior, P, tienen como bisectriz la recta que une el foco con P.

P F

d

β

β

T1

T2

121

3o.- El segmento que delimitan, en una tangente móvil, t, otras dos tangentes fijas, t1 y t2, se ve

desde el foco, F, bajo un ángulo, βββ , constante, igual a la mitad del ángulo de vértice dicho

foco y lados las rectas que pasan por los puntos de tangencia, T1 y T2, de las tangentes fijas,

t1 y t2.

P

F

d tT1

T2

t1

t2

β

ββ

4o.- Las tangentes, t1 y t2, en los extremos de una cuerda focal, T1FT2, se cortan en un punto,

P, que perteneciendo a la directriz, d, está situado en la perpendicular por F a dicha cuerda

focal. Se verifica, además, que t1 y t2 son perpendiculares.

P

F

dt1

t2

T1

T2

122

5o.- La recta que une el foco, F, con el punto de corte, P, de una secante, s, con la directriz, d, es

la bisectriz exterior, be, del ángulo que forman los radios vectores de los puntos de corte de

la parábola con la secante.

V F

B

s

Pbe

A

α

α

d

6o.- Para cada diámetro existe una familia de cuerdas paralelas entre sí, tales que cada una de

ellas es dividida por dicho diámetro en dos partes iguales. (A la dirección de dicha familia se

le llama dirección conjugada del diámetro considerado).

P

V

d

Diámetro

Eje

Dirección conjugada

7o.- La ordenada de un punto de la parábola, referida a su eje, es la media geométrica de la

subtangente y la subnormal de dicho punto, es decir:

PP′ =√

TP′ ·P′N

VT

F P'

d

t

P

N

st sn

123

8o.- La circunferencia circunscrita al triángulo definido por tres tangentes, t1, t2 y t3,

a una parábola pasa por su foco, F. Además, el ortocentro, H, de dicho triángulo

pertenece a su directriz, d.

Por otra parte, la recta de Simpson de su foco, F, respecto al triángulo considerado es la

tangente, tv, es su vértice.

A

C

F

B

d t1t2

t3

tV

hAhBhC

F'1

F'3

F'2H Eje

V

9o.- El segmento que determina, en el eje, la perpendicular al mismo por un punto de la

parábola y la perpendicular por dicho punto al segmento que le une con el vértice,

tiene por magnitud 2 ·p.

V

Q

FG

d

P

N

2·p

M

2·p

p

124

10o.- La suma de los inversos de los segmentos de una cuerda focal es una cantidad constante, para

cualquier cuerda focal. Se tiene:

1FT1

+1

FT2= cte. ; FT1 ·FT2 = PF2 ;

FT1 +FT2

FT1 ·FT2=

T1T2

PF2 = cte.

P

F

dt1

t2

T1

T2

11o.- Toda cuerda focal es igual al cuádruplo del radio vector del punto de contacto de la tangente

paralela a la cuerda; es decir

MN = 4 ·TF

T

F

dM

N

=

=

125

Lección 14.- DETERMINACIÓN DE UNA PARÁBOLA

14.1 Determinación de una parábola

14.2 Ejemplos

14.1 Determinación de una parábola

1.- Conocido el foco, F , y dos puntos P y Q.

Con centros P y Q, y radios respectivos PF y QF, se trazan dos circunferencias, (cP) y (cQ).

La tangente común a esas circunferencias es la directriz, d, por verificarse las igualdades: PF = PT

y QF = QS, siendo T y S los puntos de contacto.

La perpendicular a d, desde F, es el eje e, que corta a d en D, y el vértice A el punto medio de DF.

F

eP

AQD

(c )P

(c )Q

T

S

d

Dado que existen dos tangentes comunes a ambas circunferencias, habrá dos soluciones, en co-

rrespondencia con ellas.

F

e

P A

Q

D(c )P

(c )Q

T

S

d

127

2.- Conocidos el foco, F, un punto, P, y la tangente tP en P.

El siguiente razonamiento justifica la construcción que realizaremos. En efecto: Si suponemos el

problema resuelto, la proyección ortogonal de F, sobre tP, es el punto medio B de FC, luego la

paralela BM al eje e (que es la paralela media del triángulo444

PCF) es perpendicular a la tangente t,

en el vértice A, corta a PF en su punto medio M, y es de longitud MB =PC2

=PF2

, luego es

radio de la circunferencia de diámetro PF, siendo t, la tangente a ésta en B.

En consecuencia procederemos como sigue:

1o.- Proyectar ortogonalmente F, sobre tP, en B, y trazar la semicircunferencia (c), de diámetro

PF, que pasa por B.

2o.- La tangente a (c), en B, es la tangente t a la parábola en el vértice.

3o.- Trazar, por F, la perpendicular a t, que es el eje e, que corta a tP en el vértice A.

4o.- Por último, tenemos que la directriz, d, es la paralela a t, trazada por el simétrico D de F,

respecto a A.

AD

F

C

d t

P

tP

e

MB

(c)

3.- Conocidos el foco, F, un punto, P, y una tangente, t.

Se traza una circunferencia, (c), de centro P y radio PF; luego el simétrico, F′, del foco, F, respecto

a la tangente, t.

La tangente a la circunferencia, (c), trazada desde F′, es la directriz, d, por ser PB = PF.

128

La perpendicular, FD, a d, es el eje, e, y el punto medio de DF, es el vértice, A.

Otra solución sería la correspondiente a la otra tangente a (c), trazada desde F′.

A

DF

d

t

P

B

(c)

F'

e

A

D

F d

t

P

B

(c)

F'

e

4.- Conocidos la directriz, d, y dos puntos, P y Q.

Dado que los puntos P y Q equidistante de la directriz, d, y del foco, F, se trazan las perpendicu-

lares, PB y QC, a la directriz, y luego las circunferencias (c1) y (c2), de radios respectivos, PB y

QC, que se cortan en el foco, F.

129

La perpendicular FD a d es el eje, e, y el punto medio de FD, el vértice A.

F

d

P

A

Q

D

(c )1

(c )2

B

C

e

Otra solución sería la correspondiente al segundo punto de intersección de (c1) y (c2).

F

d

P

A

Q

D

(c )1

(c )2

B

C

e

130

5.- Conocidos el foco, F, y dos tangentes t1 y t2.

En primer lugar se determinan los simétricos, F′ y F′′, de F, respecto a las tangentes, t1 y t2,

respectivamente.

La directriz, d, es, entonces la recta F′F′′.

La tangente en el vértice, A, es la recta BC, que une las proyecciones ortogonales, B y C, de F,

sobre t1 y t2, respectivamente.

El eje, e, es la recta AF.

DF

d

B

C

e

t2

t1

F'

F''

A

6.- Conocidos la directriz, d, un punto, P, y una tangente t.

Se traza la circunferencia (c), de centro P y radio PB, perpendicular a d. El foco, F, estará situado

sobre (c), puesto que es PB = PF.

Además, el simétrico F′ de F, respecto a t, pertenece a d, luego F debe pertenecer a la recta d′,

simétrica de d, respecto a t; por tanto, será la intersección de d′ y (c).

La perpendicular, FD, a d es el eje, e, y el punto medio de DF, el vértice, A.

AD

F

F'

d

t

P

e

d'

B (c)

=

=

131

Otra solución sería la correspondiente al segmento punto de intersección de d′ con (c).

ADF

F'

d

t

P

e

d'

B (c)

7.- Conocidos la directriz, d, y dos tangentes, t1 y t2.

Dado que el foco, F, tiene que estar en la recta simétrica, d′ de d, respecto a t1, y la simétrica d′′

de d, respecto a t2, estará en la intersección de d′ y d′′.

El eje, e, será la perpendicular, FD, a d, y el vértice, A, el punto medio de FD.

DF

dt1

t2

Ae

=

=

=

=

d'

d''

8.- Conocidos dos punto, P y Q, la tangente en P, tP, y la dirección, r, del eje.

Por el punto Q se traza la paralela a r hasta que corte a tP, en el punto B, siendo M el punto medio

de PB.

La recta QM es la tangente tQ, en el punto Q.

El vértice A es el punto de corte de las diagonales del trapecio rectángulo

QCEP, siendo PE

paralela a r, y EC la normal a r, trazada por M.

132

El eje, e, es la paralela a r, trazada por A; y el foco, F, la intersección de e con la normal a tQ,

trazada por F1.

El punto M, también podría haberse hallado como intersección de tP con la paralela a r, trazada

por el punto medio de PQ.

P

F

t

tQ

tP

F1

Q

B

C

E

M

e

r

A

9.- Conocidos dos puntos, P y Q, y las tangentes, tP y tQ, en ellos.

La dirección del eje, e, de la parábola es la de la recta KB, que une la intersección, K, de tP y tQ,

con el punto medio B de PQ.

Así, por Q y P se trazan paralelas, r y s, a KB, y sus simétricas, r′ y s′, respecto a tQ y tP.

El foco F es la intersección de r′ y s′, y el eje, e, la paralela a KB, por F.

Los pies de las normales a tQ y tP, trazadas por F, determinan la tangente en el vértice, t, que corta

al eje, e, en el vértice A. (Sirve de comprobación que t debe ser normal a e).

A

Q

P

K B

tP

Qt

t

Fe

=

=

==

=

=

=

=

r

r'

s

s'

133

14.2 Ejemplos

Ejemplo 1.- Dada una parábola, trazar una cuerda focal de longitud dada, `.

Suponiendo el problema resuelto, sabemos que las tan-

gentes en M y M′, son rectangulares y que se cortan en

la directriz.

Luego tendremos

HI =MP+M′P′

2=

MM′

2.

Ahora bien, HF es perpendicular a MM′, luego los trián-

gulos444

HIF y444

HFE son semejantes; en consecuencia

HIHF

=HFFE

=⇒ HF2= HI ·FE =

`2·p .

H

F

M'

M

I

P

P'

DE

Hallado HF, se toma H sobre la directriz y se traza la paralela al eje, tomando sobre ella un segmento`2

, igual a la

mitad del segmento dado.

H

F

M'

M

I

D

d

FH_

p

llllllllll_2

H

p

D

llllllllll_2

llllllllll

F

O

134

Ejemplo 2.- Construir una parábola conociendo dos tangentes y el foco o a la directriz.

1o.- Dos tangentes y el foco: Se hallan los simétricos del foco con respecto a dichas tangentes y la recta que los

une es la directriz.

2o.- Dos tangentes y la directriz. Sea d la directriz y t, t′ las tangentes.

Se trazan desde A y B, puntos de intersección de las tangentes con la directriz, rectas simétricas de d, con respecto

a t y t′. El punto de intersección de dichas rectas simétricas es el foco pedido.

1o-

F

d

t'

t

F

F1

2

2o.-

F

d

t'

t

A

B

=

=

=

=

Ejemplo 3.- Dadas dos parábolas que tienen una misma directriz, construir:

1o.- Su tangente común.

2o.- Sus puntos comunes.

1o.- La tangente común es, evidentemente, la bisectriz del ángulo que forman la directriz y la recta que une los focos

dados, F y F′. Por tanto, en general habrá dos tangentes comunes.

135

Si la recta FF′ es paralela a la directriz, no habrá más que una tangente común, que es la tangente en el vértice. Si F

y F′ están en una perpendicular común a la directriz, no existe tangente común.

2o.- Los puntos comunes, P y P′, serán los centros de las circunferencias tangentes a la directriz, y que pasan por F

y F′. Luego, según la posición de F y F′, puede haber dos puntos comunes, uno o ninguno.

d

F

F'

P

P'

Circunferencias tangentes a d

Puntos comunes

Tangentescomunes

=_

=

_

Ejemplo 4.- Construir una parábola conociendo dos tangentes, t y t′, y sus puntos de contacto respectivos

M y M′.

Se trazan circunferencias que pasen por los puntos P y M, y tangente a PM′, y por los puntos P y M′, y tangente a

PN. La segunda intersección será el foco, F.

P

F

t'

t

M

M'

136

Ejemplo 5.- Dadas dos parábolas del mismo foco:

1o.- Construir su tangente común.

2o.- Hallar sus puntos comunes.

1o.- Sean d y d′ las directrices, F el foco común, y A el punto de intersección de las dos directrices.

La tangente común será, evidentemente, el eje de simetría de los puntos F y A.

2o.- Los puntos comunes a las dos parábolas serán, evidentemente, los centros de las circunferencias tangentes a las

dos directrices y que pasan por el foco F.

A

F

Pd'

Tangente común

Punto común

d

(Bisectriz de dd')^

Tangente común

Puntos comúnes

d d'

F

A

1P

2P

(Bis

ectr

iz d

e dd')

^

137

Ejemplo 6.- Conociendo dos tangentes comunes a dos parábolas, trazar otra tangente común.

Sean PT y PT′, las dos tangentes comunes a dos parábolas, de focos F y F′.

Se traza una circunferencia que pase por P, F y F′, y los puntos de intersección, A y A′, nos darán la tercera tangente

común a las dos parábolas, t.

P

A

A'

F

F'

T

T'

Ejemplo 7.- Conociendo dos tangentes a una parábola, con sus puntos de contacto, trazar una tercera

tangente, cuyo segmento comprendido entre las dos tangentes dadas, tenga una longitud determinada, `.

Sean PA y PA′ las tangentes conocidas. Supongamos, ahora, el problema resuelto, siendo MN la tangente pedida.

Trazando por M y N, paralelas a las tangentes dadas, se cortarán, éstas, en Q.

Así prolongando PA′, y tomando PA′1 = PA, se une A′1, con A, y desde P, como centro, y radio igual al segmento

dado, se traza un arco, que cortará a AA′1 en los puntos R y S, con lo que obtendremos dos soluciones: PR y PS.

Si el segmento fuera igual a PI, existiría una única solución y si fuese menor que PI, no habría solución.

A'

R S

PN'

N

Q

t1

t2

A'1

MN_

M

I

M NM' N'

lllllllllllllll

M'

A

Ejemplo 8.- Determinada la parábola por tres tangentes y un punto de contacto en una de ellas, hallar su

foco.

Sea A el punto de contacto de BD.

Se trazan circunferencias que pasen por A y sean tangen-

tes, respectivamente, en B y en D, a las otras dos tangen-

tes. Su segundo punto de intersección será el foco, F.A

B

C

D

F

138

Ejemplo 9.- Construir una parábola tangente a cuatro rectas dadas.

Se considera un triángulo formado por tres de las tangentes, y se circunscribe a él una circunferencia.

Se toma otro triángulo formado por dos de las tangentes tomadas y la cuarta; y se circunscribe otra circunferencia

que cortará a la anterior, además del punto de intersección de las tangentes comunes, en otro punto, que será el foco

de la parábola, con lo cual quedará determinada ésta.

F

t4

t1

t2

t3

t t t41 2

t t t1 2 3

Ejemplo 10.- Dados los focos , F1 y F2 , de dos parábolas cuyas directrices se confunden con una

recta dada , d. Se trata de determinar los puntos de intersección de las parábolas.


A BC

d

P1

P2

F2

F1

Por ser P1 una solución, se verificará que: P1A = F1P1 por pertenecer P1 a la parábola de foco F1, y por ser la de la

otra parábola, P1F2 = P1A; luego:

P1F1 = P1F2 = P1A .

El punto buscado será el centro de la circunferencia que pase por F1 y F2, y sea tangente a d.

Para su determinación, se prolonga F1F2 hasta que corte a d. Considerando la potencia de C tendremos:

AC2= F1C ·F2C .

139

Una vez determinado AC, se lleva a los dos lados de C, con lo que tendremos los puntos A y B.

Las circunferencias determinadas, respectivamente por los puntos A, F1, F2, y B, F1, F2, nos resuelvan el problema.

En general, existirán dos soluciones.

AC2= F1C ·F2C

A BC

d

P1

P2

F2

F1

AC_

A

C

F C_

2F C_

1

Ejemplo 11.- Determinar una parábola, conociendo: El eje y dos puntos.

Los puntos dados, A y B, son centros de las circunferencias que pasando por F, son tangentes a la directriz, d, en A′

y B′; siendo M el punto medio de AB.

Por ser M punto medio de AB, resultará que M′ (MM′ es paralela a AA′ y BB′) es punto medio de A′B′, y M′A′,

M′B′ son tangentes a las circunferencias, de centros A y B, y radios respectivos AA′ y BB′.

El punto M′ tiene igual potencia respecto de las citadas circunferencias, de centros A y B, y por tanto pertenece a su

eje radical, que es perpendicular a la línea de centros AB, y paralelo a MN.

140

Los triángulos444

MNP y444

M′DF son iguales, y se verifica que NP = DF = parámetro.

Por conocer PN conocemos el parámetro, y tomando CH = parámetro, se obtiene AH normal a la curva; si

TAH = 90o, entonces AT es la tangente en A, y como la subtangente queda dividida en dos partes iguales por

el vértice, tendremos que V, punto medio de TC, es el vértice de la parábola.

Tomando VF = VD =parámetro

2, se obtienen el foco y la directriz.

A

BB'

M'

A'

D V F

T

P H N

E

M

C

Puntos dados

Eje

FocoDirectriz

Vértice

= =

d

parámetro

parámetro

parámetro

Ejemplo 12.- Determinar el foco de una parábola que tenga una directriz dada, y que pasa por dos puntos

dados.

Sean A y B los puntos dados, y d la directriz.

Se trazan, con A y B como centros, circunferencias tan-

gentes a la directriz.

Las intersecciones de dichas circunferencias serán los fo-

cos.

(En consecuencia, el problema puede tener dos solucio-

nes, una o ninguna, según que las circunferencias se cor-

ten, sean tangentes o sean exteriores).

d

A

B

F1

F2

141

Lección 15.- PROYECTIVIDAD E INVOLUCIÓN

15.1 Construcción de una proyectividad

15.2 Proyectividad en la circunferencia

15.3 Involución entre series rectilíneas

15.4 Involución en la circunferencia

15.1 Construcción de una proyectividad

Vamos a tratar, en esta lección, de recordar conceptos que ya conocimos, estudiados en el Tomo I de esta

serie; lo haremos en forma resumida, con vistas a su generalización, en la próxima lección, al caso de las

cónicas.

Estará siempre presente el concepto de razón doble, así como la propiedad fundamental de que se

conserva por proyecciones y secciones; es decir, la razón doble de cuatro puntos de una recta es igual a

la razón de cuatro rectas concurrentes que pasan por esos puntos, rectas que resultan el proyectar aquéllos

desde un punto cualquiera, e igual a la razón doble de cuatro planos de un haz de planos que contengan,

respectivamente, los cuatro puntos primitivos.

Así, decíamos y decimos que: dos series rectilíneas son proyectivas cuando a cada punto de una de

ellas corresponde un punto de la otra, y la razón doble de cuatro puntos cualesquiera de la primera es

igual a la de sus homólogos en la segunda.

Por otra parte, entendemos que dos series son perspectivas cuando son secciones del mismo haz, y que

dos haces son perspectivos cuando son proyecciones de una misma serie.

PROPOSICIÓN 1. Dos series proyectivas A, B, C, . . . , A′, B′, C′, . . . situadas en rectas distintas

que se cortan en el punto A = A′, homólogo de sí mismo (doble), son perspectivas.

En efecto: Las rectas BB′, CC′, se cortan en un punto V, propio o impropio; trazando, ahora, VA y VD,

esta última cortará a la recta r′ en un punto que debe ser D′, pues si fuese en D′′, distinto, se tendría:

(ABCD) = (A′B′C′D′)

por ser proyectivas por hipótesis, y

(ABCD) = (A′B′C′D′′)

como secciones del mismo haz. Luego

(A′B′C′D′) = (A′B′C′D′′)

es decir, D′ coincide con D′′.

V

A B C D

A'B' C'

D'

r

r'

143

Analógicamente, cambiando las paralelas series por haces, y puntos por rectas, resulta que: Dos haces

proyectivos de vértices

distintos, tales que el ra-

yo común a ambos haces

sea doble, son perspecti-

vos; es decir, se cortan en

puntos que están en línea

recta.

V

V'ab

c

d

a'

b'

c'

d'

Recordemos que para determinar una proyectividad basta con dar tres pares de elementos homólogos;

así, si nos dan, por ejemplo, tres pares de puntos A, B, C y A′, B′, C′, correspondientes de dos series

rectilíneas, a un cuarto punto, cualquiera, D, de la primera corresponde un cuarto homólogo, D′, perfec-

tamente determinado en la segunda, ya que: (ABCD) = (A′B′C′D′).

Un caso particularmente muy interesante se nos presenta cuando las dos bases de las series, r y r′, se

confunden, es decir, r≡ r′, así como cuando los dos vértices de los haces coinciden, es decir, V≡ V′;

decimos, entonces, que se trata de series / haces superpuestos. Cabe en este supuesto que determinados

puntos/rayos, coincidan con sus homólogos en cuyo caso diremos que se trata de elementos dobles.

15.2 Proyectividad en la circunferencia

Los anteriores conceptos, en lo que se refiere a las series de puntos, siguen siendo válidos si consideramos

puntos situados sobre una circunferencia.

Así, al conjunto de puntos de una circunferencia se

le llama serie circular, y al de las tangentes a la

misma haz circular.

De dos series de puntos de una circunferencia, A,

B, C, . . . y A′, B′, C′, . . . diremos que son pro-

yectivas cuando lo son los haces que las proyectan

desde dos puntos, cualesquiera, V y V′ de la mis-

ma, o desde un mismo punto de la circunferencia.

V V'

A

B

C

a

b

ca'

b'c'

En consecuencia para definir dos series circulares proyectivas bastará con dar tres pares de puntos

(A, A′), (B, B′) y (C, C′) en la circunferencia, puesto que al proyectarlos desde cualquier punto, o

puntos se tendrá definida la proyectividad entre los haces proyectantes.

144

De dos haces de tangentes a una

circunferencia, a, b, c, . . . y a′,

b′, c′, . . . diremos, así mismo,

que son proyectivos cuando lo

son las secciones producidos en

ellos por dos tangentes cuales-

quiera, p y q, o por una única.

A

B

C

A' B' C'

abc

a'

b'

c'

p

q

En consecuencia, para definir dos haces proyectivos bastará con dar tres pares de tangentes a la circun-

ferencia, (a, a′), (b, b′) y (c, c′).

Para la construcción de rayos homólogos y de los rayos dobles, en dos haces superpuestos, procederemos

como sigue: Tracemos una circunferencia que pase por el vértice común, V, de los haces (V.ABCD) y

(V.A′B′C′D′). Ambos haces son proyectivos, por estar inscritos en los mismos arcos, luego las razones

dobles

(V.A′B′C′D′) = (A.A′B′C′D′) ,

(V.ABCD) = (A′.ABCD) ,

y como por hipótesis se tiene

(V.ABCD) = (V.A′B′C′D′) ,

resultará que

(A.A′B′C′D′) = (A′.ABCD) .

Ahora bien, como estos dos haces tienen el rayo

AA′ homólogo de sí mismo, se verificará que son

perspectivos , y los pares de rayos homólogos se

A

B

C

D

V M

N

D'

A'

B'

C'

C1

B1

D1

cortarán en dos puntos, A1, B1, C1, D1, de una recta, que llamaremos eje proyectivo. Así, el eje proyec-

tivo vendrá definido por la intersección de los pares (A, B′), (A′, B), y los (A, C′), (A′, C).

Para construir el homólogo del rayo VD, trazaremos A′D que cortará en D1 al eje proyectivo; AD cortará

en D′ a la circunferencia, y VD′ será el rayo buscado.

En particular para hallar los rayos dobles bastará con unir V con los puntos de intersección del eje pro-

yectivo y de la circunferencia. Así, tendremos que una proyectividad podrá tener dos puntos dobles, uno

o ninguno, según que el eje proyectivo sea secante, tangente o exterior, a la circunferencia.

La construcción anterior se puede aplicar a la construcción de la proyectividad entre series superpuestas

Para ello, trazaremos una circunferencia auxiliar, y se proyectarán ambas series desde un punto, V, de la

misma. A partir de ese momento se procede como se ha explicado antes.

145

Ejemplo 1.- Consideremos las dos series superpuestas, en la recta r, A, B, C, . . . .. y A′, B′, C′,. . . .

Se dibuja la circunferencia auxiliar (c), y se elige un punto V, sobre ella, desde el que se proyectan las series dadas.

Se determinan las intersecciones con la circunferencia, lo que permite determinar, sobre ella, tanto el eje proyectivo,

como los puntos dobles, así como el homólogo de cualquier punto, D1; las proyecciones, de lo obtenido, sobre r nos

soluciona el problema planteado para las series superpuestas dadas.

A B CD A'B' C' D'

M'

N'D1

D2

B1 C2

C1

B2

A1

A2

V

Eje proyectivo

M' , N' : puntos dobles

Puntos dobles

D' homólogo de D

M

N r

15.3. Involución entre series rectilíneas

Dadas dos series superpuestas, si al punto A le corresponde, como homólogo, el A′, y considerado el

A′ como de la primera serie tuviera por homólogo el A, entonces cabe preguntarse: Si al punto B le

corresponde el B′, considerado el B′ como de la primera serie ¿cuál será su homólogo? Si llamamos X

al tal homólogo se verificará que, (AA′BB′) de la primera sería igual en la segunda a (A′AB′X), luego

(AA′BB′) = (A′AB′X) = (AA′XB′)

de donde resulta

(AA′BB′) = (AA′XB′)

y en definitiva

B = X .

Se puede afirmar, por tanto, que todos los pares (A, A′), (B, B′), . . . se corresponden doblemente. A

una tal proyectividad se le llamará involución.

146

De la misma manera, diremos que dos haces proyectivos están en involución, cuando los pares de ele-

mentos homólogos se corresponden doblemente.

Evidentemente, para determinar una involución bastarán dos pares de elementos homólogos, pues su

conocimiento equivale realmente al de cuatro pares.

PROPOSICIÓN 1. En una involución, dos puntos/rayos homólogos cualesquiera forman con los

puntos/rayos dobles una cuaterna armónica.

En efecto: Si M y N son los puntos dobles de dos series en involución, tendremos, en virtud de la doble

correspondencia:

(MNAA′) = (MNA′A) ,

y llamado k a la primera razón doble, la segunda valdrá1k

; luego k =1k

, es decir, k2 = 1, y como k 6= 1,

puesto que si k = 1, entonces, A′ coincidiría con A, se tendrá: k =−1.

Por una propiedad bien conocida de las cua-

ternas armónicas, si O es el punto medio del

segmento MN, tendremos que

OA ·OA′ = OM2= (constante) ,

y el punto O tiene como conjugado armónico

el punto del infinito.

M O A N A'

Este punto O, que tiene la propiedad de que el producto de sus distancias a dos puntos homólogos es

constante, recibe el nombre de centro de la involución, y el producto constante el nombre de potencia de

la involución.

Ejemplo 1.- Una serie de circunferencias, con el mismo eje radical, determinan sobre una transversal cual-

quiera, r, dos series en involución, pues por potencia será

OA ·OA′ = OB ·OB′ = OC ·OC′ = · · · · · ·

que no varía

CB'

A BA' C'r

Eje radical

147

15.4 Involución en la circunferencia.

Estudiamos en su momento el teorema que expondremos a continuación, que conviene recordar por sus

importantes aplicaciones.

Teorema de Fregier.

1o.- Si varias secantes, AA′, BB′, CC′, . . . .. de una circunferencia son concurrentes en un punto,

F, los haces que proyectan los puntos de intersección desde un punto, V, cualquiera de esa

circunferencia están en involución.

2o.- Recíprocamente, si por el vértice V de un haz, en involución se hace pasar una circunferencia,

las rectas AA′, BB′, CC′, . . . .. pasan por un punto fijo, F.

En efecto:

1o.- Designemos por V′ el segundo punto de intersección de la recta VF. Se verifica entonces, que

(V.ABCA′) = (V′.ABCA′) ,

y como los rayos VA′, VB′, VC′, VA, cortan a los V′A, V′B, V′C, V′A′, sobre la polar de F, se tiene

(V′.ABCA′) = (V.A′B′C′A) ,

luego

(V.ABCA′) = (V.A′B′C′A) ,

es decir los haces que, desde V, proyectan A, B, C, . . . y A′, B′, C′, . . . .. son proyectivos y se corres-

ponden doblemente; por tanto, están en involución.

2o.- Una vez determinado F, por la intersección de dos secantes, por ejemplo AA′ y BB′, los haces en

involución engendrados por una secante cualquie-

ra que pasa por F, y los haces en involución dados,

tienen dos pares comunes. Por tanto, coinciden to-

dos.

C

B'

A

B C'

A'

M

N

V

OP

V'

FP'

Punto de Fregier

148

El teorema anterior permite una construcción muy fácil de los rayos homólogos. Basta con hacer pasar

una circunferencia auxiliar (ver figura anterior) por el vértice V del haz en involución, lo que nos pro-

porciona el punto, F, de Fregier. Así, dado un rayo VC, uniendo V con el punto C′, de intersección de

CF con la circunferencia, se obtiene el rayo homólogo, VC′.

Para determinar dos rayos conjugados perpendiculares, se une F con el centro O de la circunferencia,

y V con los extremos P y P′ del diámetro correspondiente. Se obtienen, de esta manera, los llamados ra-

yos principales de la involución que, evidentemente, siempre existen; sólo habrá un par de ellos, puesto

que si hubiera dos pares el punto de Fregier sería el centro de la circunferencia, y todos los pares serían

ortogonales, en cuyo caso tendríamos la llamada involución rectangular.

Para hallar los rayos dobles se trazarán las dos tangentes FM, FN, y luego se unen sus puntos de con-

tacto con el vértice V del haz.

La construcción en las series quedará reducida a la de los haces, proyectando desde un punto cualquiera

de una circunferencia auxiliar.

149

Lección 16.- PROYECTIVIDAD EN LAS CÓNICAS

16.1 Determinación de una cónica

16.2 Ejemplos de aplicación

16.1 Determinación de una cónica

En alguna forma la propiedad siguiente extrapola a las cónicas lo establecido en el apartado 15.2, de la

lección anterior. Veámoslo:

Teorema de Steiner.- Proyectando los puntos de una cónica, desde dos de ellos, se obtienen dos

haces proyectivos no perspectivos, en los que al rayo común, considerado como perteneciente a

cada uno de los haces, corresponde la tangente en el vértice del otro.

En efecto: Dada una cónica cualquiera, ϕϕϕ ′, sabemos que existen infinitos conos de revolución que pasan

por ella, con lo que puede considerarse, ésta, de infinitas maneras como proyección de una circunferencia,

ϕϕϕ , sección de uno de los conos V. V

C'B'

A'

MN

C

BA

M' N'

φ

φ'

Del teorema resulta que los haces, de vértices M′, N′, de la cónica, son proyecciones de los haces, de

vértices M, N, que engendran la circunferencia, y que como éstos son proyectivos, y no se hacen otras

operaciones que proyectar desde V, y cortar por el plano de la cónica, (operaciones éstas que conservan el

valor de la razón doble), resulta que los haces, de vértices M′, N′, son también proyectivos.

151

En general todas las propiedades de carácter proyectivo en la circunferencia (por ejemplo, el Teorema

de Fregier) siguen siendo válidas en las cónicas.

Así, podemos enunciar las siguientes propiedades:

PROPOSICIÓN 1. Si cortamos las tangentes a una cónica, por dos de ellas, se obtienen dos se-

ries proyectivas no perspectivas, tal que al punto común corresponde, en una u otra, el punto de

contacto de las tangentes fijas.

PROPOSICIÓN 2. El lugar geométrico de los puntos de intersección de los pares de rayos ho-

mólogos de dos haces proyectivos, no perspectivos, es una cónica que pasa por los vértices de los

haces.

Si bien en el próximo Capítulo III volveremos a estudiar la determinación de una cónica, para lo que en

cualquier caso precisa del conocimiento de cinco elementos de la misma, problema que allí resolveremos

utilizando las relaciones homológicas conocidas, vamos a dar a continuación, a modo de pincelada, esa

determinación, pero aplicando el concepto de proyectividad.


Veamos como la proyectividad nos resuelve los siguientes problemas.

1o.- Dados cinco puntos, trazar la cónica que determinan, es decir, hallar nuevos puntos de esta.

De entre esos cinco puntos, se toman dos de ellos como vértices de dos haces proyectivos, se unen

esos vértices con los tres puntos restantes.

Para obtener un nuevo punto, de la cónica, se traza un rayo cualquiera, de uno de los vértices, y se

determina su homólogo en el otro haz. La intersección de los dos rayos homólogos será un punto

de la cónica.

Así, si los cinco puntos son los : A, B, C, D, E, tomamos como vértices, de los haces, los A y D.

Tracemos por E dos rectas transversales, r1, r2, sobre las que se determinarán sendas series pro-

yectivas, y perspectivas por tener doble el punto E.

Se determina, luego, el punto S, centro perspectivo de las series.

Para hallar un nuevo punto, de la cónica, se tra-

za por A un rayo cualquiera, AH1, y se une H1

con S, hasta que corte a la otra recta transversal

en H′.

Por último, se une D con H′, y el punto H, en el

que esta recta corta a la AH1, es un punto de la

cónica.

A

B

C

E

D

r1

r2C'

H

S

B1 C1

H1

B'

H'

152

2o.- Construcción de tangentes en cada uno de los cinco puntos que determinan la cónica.

Se tomará como vértice del haz el punto de contacto, con lo que la tangente en dicho punto será el

rayo homólogo de la recta que une dicho vértice con el del otro haz.

Así los puntos son A, B, C, D, E, y queremos trazar una tangente por A, hallamos el rayo homólogo

del DA, (si D es el vértice del otro haz), para lo cual, trazamos las dos rectas transversales (que

pasan por E), r1, r2, y hallado el centro perspectivo, S, el punto H′, en que el rayo DA corta a la

transversal del haz de vértice D, lo uniremos con S, hasta que corte, en H, a la transversal del haz

de vértice A.

AH será la tangente buscada, en A.

Si queremos, además, trazar la tangente en D, tomaremos AD como rayo en el haz de vértice A, y

el punto F, que lo corta la transversal de A, unido con S, nos dará, en la transversal de D, el punto

F′.

DF′ será la tangente buscada, en D.

A

B

CE

D

r1

r2

H' B' C'

H

S

B1

F

F'

C1

Tangente en A

Tangente en D

3o.- Dados cinco puntos, determinar la clase de cónica a que pertenecen.

Se trata de determinar los puntos del infinito de la cónica dada.

Así, si los cinco puntos son los A, B, C, D, E, consideremos los haces (A.D,C,E) y (B.D,C,E);

se determinan, a continuación, los pares de rayos homólogos paralelos, que nos darán los puntos

del infinito, puesto que sus puntos de intersección, que son los de la cónica, estarán en el infinito.

153

En consecuencia, si hay dos pares de rayos homólogos paralelos la curva será hipérbola; si sólo

hay un par, será parábola y si no hay ninguno será elipse.

Para determinar estos rayos, se traza desde un punto, S, rayos paralelos a los haces de vértices A

y B; luego, en los dos haces concéntricos y proyectivos, que se forman en S, se ve si hay rayos

dobles. Estos rayos dobles nos darán la dirección de los rayos homólogos paralelos, y por tanto,

los puntos del infinito.

A

B

C

D E

S

C''

D''

E''

C'

D'

E'

4o.- Construcción de tangentes a una cónica determinada por cinco tangentes.

Sean las tangentes las rectas a, b, c, d, e.

Se determinan las intersecciones de tres de ellas: b, c, e, con las otras dos: a, d, formándose,

entonces dos series proyectivas (E,B,C) y (E′,B′,C′). Además, otros dos puntos M y M′ tales

que:

(E B C M) = (E′ B′ C′ M′)

contendrán la tangente MM′.

Para la determinación del punto M se fija M′ en la tangente d, se dibuja el eje perspectivo HQ,

uniendo, por ejemplo (E con B′ y C′) y (E′ con B y C).

Luego se une E con M′, hasta que corta al eje perspectivo en el punto R. Uniendo este punto con

E′, nos dará, en la recta a, el punto M, que unido con M′, nos dará la tangente pedida.

BC

E

E' B'C'

M

M'

Q

a

b

c

d

e

R

H

Eje perspectivo

Tangente

154

5o.- Dadas cinco tangentes, determinar los puntos de contacto de cada una de ellas.

Sean o, o′, a, b, c las cinco tangentes y A, B, C y A′, B′, C′ los puntos de intersección de a, b, c

con o y o′.

Sean o y o′ las tangentes sobre las que queremos determinar los puntos de contacto.

Sea S el punto de intersección de las rectas o y o′.

Se determina el eje perspectivo de las series (A,B,C) y (A′,B′,C′), sea éste el HQ.

Las intersecciones del eje perspectivo, que acabamos de determinar, con las dos tangentes o y o′

nos darán los puntos δδδ y δδδ ′, que son los de contacto.

a

b

co

o'

A

B

C

A' B'

C'

δ

δ'

H

Q

Eje perspectivo

Puntos de contacto

S

6o.- Dadas cinco tangentes, determinar las tangentes que pasan por un punto dado.

Sean o, o′, a, b, c las cinco tangentes y A, B, C y A′, B′, C′ los puntos de intersección de a, b, c

con o y o′.

Sea P el punto desde el se quieren trazar las tangentes. Serán éstas los rayos dobles de los haces

concéntricos que se forman en P, uniendo dicho punto con los anteriores: A, B, C, A′, B′, C′.

155

Uno de esos rayos dobles cortará a las rectas o y o′ en dos puntos M y M′, tales que:

(A B C M) = (A′ B′ C′ M′) .

En consecuencia, las rectas M1M1′ y M2M2

′ son las tangentes pedidas.

Observemos que, en el caso de que no hubiese más que un rayo doble, sería porque el punto P está

sobre la cónica, y que si se diese que no hay rayos dobles, significaría que el punto P es interior a

la cónica.

BC

A'

M2

A

B

C

A'

B'

C'

b

c

o

o'

P

a

M 1

C'

B'

A

Tangentes por P

Eje proyectivo

Puntos dobles

156

Ejemplo 1.- En una cónica se conocen cinco puntos: A∞∞∞, B, C, D y E. Hallar la clase de curva y trazar la

tangente en B.

Tomemos como vértices de haces los puntos A∞∞∞ y B, con lo que obtendremos dos haces proyectivos. Las rectas

12′ , 21′, y 23′ , 32′, determinan el centro perspectivo, S.

Las tangentes en A∞∞∞ y B, serán las rectas SA∞∞∞ y SB. Dado que la tangente en A∞∞∞ es real, se trata de una asíntota,

luego la curva es una hipérbola.

B

C

D

S

E

1'

2'

3'

1

23

A∞∞∞∞∞∞∞∞∞

A∞∞∞∞∞∞∞∞∞

A∞∞∞∞∞∞∞∞∞

A∞∞∞∞∞∞∞∞∞

A∞∞∞∞∞∞∞∞∞

(12')_

(21')_

(23')_

(32')_

Recordemos que la recta que une el centro proyectivo con uno de los vértices resulta ser la tangente en él.

Ejemplo 2.- En una cónica se conocen cuatro puntos: A∞∞∞, B, C, D, y la tangente t, en B. Trazar la tangente

en A∞∞∞.

Tomamos como vértices de haces A∞∞∞ y B.

El centro proyectivo quedará determinado por la intersección de las rectas 12′ , 21′, y la tangente t.

Una vez determinado S, la tangente pedida será la SA∞∞∞.

B

C

D

S

t

1'

2'

12

A∞∞∞∞∞∞∞∞∞

A∞∞∞∞∞∞∞∞∞

A∞∞∞∞∞∞∞∞∞

A∞∞∞∞∞∞∞∞∞

(12')_

(21')_

(Tangente en )A∞∞∞∞∞∞∞∞∞

Centro proyectivo

Recordemos que el centro proyectivo se encuentra siempre sobre las tangentes en los vértices.

157

Ejemplo 3.- En una cónica se conocen cuatro puntos: A, B, C y D, y una tangente, t. Hallar el punto de

contacto de t.

Sabemos que los lados opuestos, del cuadrilátero

ABCD, determinan una involución, en t, en la cual el punto de

contacto es punto doble.

Conocidos, pues, los dos pares de puntos homólogos: M , M′ y N , N′, podemos hallar los puntos dobles, T1 y T2,

que son las dos soluciones que, en general, tiene el problema planteado.

A

B

C

D

tT1 T2M M' N N'

F

S

Punto de Fregier

1

1'2

2'

Ejemplo 4.- En una cónica se conocen cuatro puntos: A, B, C y D, y la tangente en A, t. Hallar la clase de

curva.

Tomando como vértices A y B, se obtienen dos haces de rectas, en los que se conocen los rayos siguientes:

AC = 1 , AD = 2 , At = 3 ; BC = 1′ , BD = 2′ ,BA = 3′ .

Sobre una circunferencia cualquiera, se fija un punto, S, arbitrariamente, y por él se trazan paralelas a los rayos de

los vértices A y B, con lo que obtenemos dos haces concéntricos y proyectivos, cuyos rayos dobles dan los puntos

del infinito de la cónica.

Tal como apreciamos, en la figura, en este caso hay dos

rayos dobles, y por tanto la cónica es hipérbola.

Los puntos del infinito son, por otra parte, V∞∞∞ y T∞∞∞.

1

1'

1

1'

AB

C

D t

2

2'

3

3'

2

2'

3

3'

M

N

N'

T

P'

T∞∞∞∞∞∞∞∞∞

V∞∞∞∞∞∞∞∞∞

V∞∞∞∞∞∞∞∞∞

T∞∞∞∞∞∞∞∞∞

Punto doble

Punto doble

S

M'

P V

158

Ejemplo 5.- En una cónica se conocen cuatro puntos: A, B, C y D, y la tangente en A. Hallar la intersección

de la cónica con una recta dada, r.

Si tomamos A y B como vértices de haces, obtendremos dos haces proyectivos, en los que se conocen los rayos

siguientes:

AC (1), AD (2), tangente en A (3), BC (1′), BD (2′), BA (3′) .

Al cortar estos haces por la recta r, obtendremos dos series rectilíneas superpuestas, en las que se conocen los puntos:

M, N, R, M′, N′, R′ .

Los puntos dobles, P y Q, serán las soluciones.

En efecto: AQ (4) y BQ (4′), son rayos homólogos, y su intersección Q, es un punto de la cónica. (El otro punto, P,

queda fuera de los límites del dibujo).

A

B

C

V

Q

Q1

P1

1 2

3

1'

2'

3'

M M' NN'

N1

R R'

R'1

Tangente

D

M'1

M1

R1

N'1

r

Ejemplo 6.- En una parábola se conocen: tres puntos, A, B y C∞∞∞, y la tangente en A. Hallar la intersección

de una recta dada, r, con la cónica.

Se toman como vértices de haces, los puntos A y C∞∞∞, obteniéndose los rayos siguientes:[AB(1), tangente en A(2), AC∞∞∞(3)

]y[

C∞∞∞B(1′), C∞∞∞A(2′), tangente en C∞∞∞(3′)]

Se cortan los dos haces por la recta

r, siendo los puntos dobles T y R las

soluciones del problema.

R

C∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

AB

C∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

E2

N

M

M'

M1

N1

T

1'

12

2' 3==

P1

N'1

M'1

R1

N'==PT1

r

E1

P'1P'

S

159

Ejemplo 7.- En una cónica se conocen: tres puntos A, B y C, y las tangentes en A y B. Hallar la clase de

curva.

Tomamos como vértices de haces los puntos A y B, formándose dos haces proyectivos, en los que se conocen los

rayos:

AC(1), tangente en A(2), AB(3), BC(1′), BA(2′), tangente en B(3′) .

Por un punto cualquiera, S, se trazan paralelas a los rayos, obteniéndose dos haces concéntricos.

Los rayos dobles son los puntos del infinito que nos permitirán determinar la clase de cónica.

A

B

C 1

2

1'3'

32'==

t1t2

O M

N

M1

N1P

P1

S

1

2

3

1'

2'

3'Eje proyectivo

Observemos que en este caso no hay rayos dobles, luego la cónica es elipse o circunferencia. Puesto que AO 6= OB,

la cónica no puede ser circunferencia.

Ejemplo 8.- En una cónica se conocen tres puntos: A, B y C∞∞∞, y las tangentes en A y C∞∞∞. Hallar un nuevo

punto.

Tomamos como vértices de los haces los puntos A y C∞∞∞, cuyas tangentes se conocen.

El centro perspectivo es S, intersección de las tangentes dadas.

Se traza un rayo cualquiera (2) del haz de vértice A, y se determina su homólogo (2′). Su intersección nos dará un

nuevo punto, D.

A

BD

S

1

2

1'2'2'-1

C ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

1' 1'-2

160

Ejemplo 9.- En una cónica se conocen: tres tangentes, a, b y c, y dos puntos A y B′, de contacto de a y b.

Trazar tangentes desde un punto dado, P.

Consideraremos como transversales de base las tangentes a y b, obteniéndose, entonces las dos series rectilíneas:

(A, B, C) y (A′, B′, C′) ,

siendo los homólogos de los puntos de tangencia las intersecciones de a y b.

Se proyectan las dos series rectilíneas desde el punto P, siendo los rayos dobles las tangentes pedidas.

A

B'

P

t1

t2

t3 a

b

c

==A' B

N

B'1

C'1

A1

M

C

C'

C1

A' B 1 1== Tangentesdesde P

Eje proyectivo

Ejemplo 10.- Dadas cinco tangentes a una cónica, hallar el punto de contacto de dos de ellas, y trazar una

tangente paralela a una de estas dos.

Sean las cinco tangentes t1, t2, t3, t4, t5.

Tomamos dos de ellas como rectas

transversales, sean t1 y t2, obtenien-

do con ello dos series proyectivas :

(A, B, C) y (A′, B′, C′).

Se determina, entonces, el eje pers-

pectivo, TR, cuyas intersecciones

con las rectas bases, t1 y t2, nos dan

los puntos de contacto.

Para trazar la paralela, por ejemplo a

t2, bastará con determinar el homó-

logo de D′∞∞∞, siendo la recta DD′∞∞∞ la

tangente paralela pedida.

t1

t2

t3

t4t5

T

R

D

C

C'

B

B'

A

A' ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞D'

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞D'Punto de contacto de t1

Punto de contacto de t2

Eje perspectivoTangente paralela a t2

161

Ejemplo 11.- En una cónica se conocen cinco tangentes, dos de ellas paralelas. Trazar tangentes perpendi-

culares a las dos paralelas

Tomaremos las tangentes paralelas, t1 y t2, como transversales bases, con lo que obtendremos las dos series rectilí-

neas (A, B, C) y (A′, B′, C′), que proyectadas desde P∞∞∞ (dirección de la perpendicular a las paralelas t1 y t2) nos

permitirán establecer dos haces concéntricos (de vértice V, sobre una circunferencia elegida arbitrariamente), siendo

sus rayos dobles los que nos determinarán las tangentes pedidas: TP∞∞∞ y QP∞∞∞. Para determinar los rayos dobles, se

ha tomado como transversal base la t1, y en las dos series rectilíneas (A, B, C) y (A′1, B′1, C′1), se han hallado los

puntos dobles T y Q.

A B C

A'

A'1

B'

A'2

A2

P∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

M

N

t1

t2

t3

t4

t5

Q2

T Q

P∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

C2

B2

C'2B'2

B'1C'1

C'

V

T2

Eje proyectivo

Tangentes perpendiculares a , t2t1

Ejemplo 12.- En una cónica se conocen tres tangentes y una asíntota. Hallar el punto de contacto de una de

ellas y trazar tangentes paralelas a una dirección dada.

Consideremos como tangentes dadas las t1 ≡ AA′, t2 ≡ BB′, t3 ≡ AB, y como asíntota la a≡ A′B′. Sea además,

S∞∞∞ la dirección dada.

Vamos a determinar el punto de contacto de t3 ≡ AB, para lo cual tomaremos como transversales base las rectas

AA′ y BB′.

En las dos series rectilíneas se conocen los puntos A, A′, B, B′, y se sabe que el eje perspectivo tiene que pasar por

D′∞∞∞, punto de contacto de A′B′.

162

Las rectas AB′ y A′B determinan el punto K del eje.

La intersección del eje con AB nos da C, el punto de contacto de t3 ≡ AB, que nos interesaba.

Para trazar tangentes desde S∞∞∞ , se toma este punto como vértice, y se proyectan desde él los puntos A, B, C,

C′, B′, A′.

Los rayos dobles del haz son las tangentes pedidas.

Para hallar los rayos dobles, se ha tomado como transversal de base la recta AB, obteniéndose las series:

(A, B, C) y (A′1, B′1, C′1) .

Los puntos dobles, P y Q, determinan los rayos dobles.

En el dibujo se ha representado la tangente paralela correspondiente al punto P; la correspondiente a Q quedaría

representada fuera del dibujo.

A

B

C

A'B'

B'1

A'1

P'1t AA'

== _

2t

BB'_==

3t AB_

==

V

D C'==

K D'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

Eje proyectivo

Eje perspectivo

Punto de contactocon t3

Rayos dobles

(a asíntota)==

Tangente paralelaa la dirección S∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

2Q

M2P

A2 NB'2B2

C2

P P'==

S∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

D ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

C'2 A'2

163

Ejemplo 13.- En una parábola se conocen: cuatro puntos, A, B, C y D. Hallar su punto del infinito.

Se toman como vértices, de haces, los puntos A y B, obteniéndose los:[AC(1), AD(2)

]y[

BC(1′), BD(2′)]

Por un punto cualquiera, V, se trazan paralelas, y se determina el eje perspectivo que por tener la cónica un sólo

punto en el infinito es tangente a la circunferencia.

La recta que une V con el punto de contacto del eje perspectivo nos da el punto buscado.

A

B

C

D

E∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

1

2

1'

2'

1

2

1'

2'

V

E∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

Ejemplo 14.- En una parábola se conocen: tres puntos: A, B y C, y la tangente en A. Hallar su punto del

infinito.

Se toman como vértices de haces los puntos A y B, obteniéndose los rayos.[AC(1), tangente en A(2)

]y[

BC(1′), BA(2′)]

Por un punto cualquiera, V, se trazan paralelas a los rayos anteriores, obteniéndose dos haces concéntricos y pro-

yectivos cuyos puntos dobles son los puntos del infinito de la cónica.

Dado que se trata de una parábola, sólo tenemos un punto en el infinito; en consecuencia, el eje perspectivo es tan-

gente a la circunferencia.

164

Se determina fácilmente un punto del eje, el P, con lo que la tangente PQ, a la circunferencia, nos permite obtener

el rayo doble VQ.

El punto del infinito de la parábola es, por tanto, D∞∞∞, paralelo a VQ.

V

Q

P

2'

2

11'

D∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

Eje perpectivo

Rayo doble

A B

C

2'

2

11'

Tangente en A

165

Lección 17.- TEOREMAS DE PASCAL Y BRIANCHON

17.1 Teoremas de Pascal y Brianchon


17.1 Teoremas de Pascal y Brianchon

En la Lección 11, del Tomo I, establecidos el resultado siguiente:

TEOREMA DE PASCAL. - Dada una línea quebrada hexagonal inscrita en la circunferencia (c),

MNPQRS, los puntos de intersección de los pares de lados opuestos: MN y RQ, NP y SR, PQ y MS,

están alineados (Recta de Pascal).

Y más adelante, en la Lección 32, del Tomo II, se estableció el,

Teorema de Brianchon.- Dado un hexágono circunscrito a una circunferencia, las rectas que

unen sus vértices opuestos se cortan en un punto (Punto de Brianchon).

Veamos que estos teoremas se extienden, fácilmente, a los correspondientes polígonos inscritos y cir-

cunscritos a las curvas de segundo orden, que estamos estudiando:

En efecto: Si tomamos la figura homológica de la circunferencia, con centro S y eje e de homología, a los

hexágonos inscrito y circunscrito a la circunferencia corresponden, en la homológica, hexágonos inscrito

y circunscrito a la cónica. A cada dos lados opuestos que se encuentran corresponden otros dos lados

homólogos, que se cortan en el punto homólogo del de intersección de las cuerdas de la circunferencia, y

las diagonales del circunscrito a la cónica tienen que cortarse en el punto homólogo del de intersección de

las diagonales del circunscrito de la circunferencia.

Luego, las propiedades de los dos hexágonos se extienden a las cónicas.

Adaptando, por tanto, ambos teoremas al lenguaje de las “cónicas” podemos enunciarlos, brevemente,

como sigue:

Teorema de Pascal.- Los lados opuestos de un hexágono inscrito, en una cónica, se cortan en

tres puntos situados en línea recta (Recta de Pascal).

En efecto: Sea el hexágono

ABCDEF, en el que hemos

numerado los lados, siendo

los opuestos: 1 y 4, 2 y 5, 3

y 6.

A

B

C

DE

F

P R

T QM

1

2

34

5

6

Recta de Pascal

167

Consideremos el haz de vértice B, que resulta proyectando los puntos: A, C, D, E, haz que cortado por la

recta DE, determina los cuatro puntos: M, P, D, E.

Análogamente, el haz de vértice F, que proyecta los mismos puntos: A, C, D, E, determina sobre la recta

DC, los puntos: Q, C, D, R.

Dado que estos haces son proyectivos, puesto que proyectan los mismos puntos de la cónica, conservarán

la razón doble, es decir:

(MPDE) = (QCDR) .

Estas dos series son perspectivas, puesto que el punto D, se corresponde a sí mismo. En consecuencia,

las rectas: MQ, PC y ER, concurren en T, y por tanto, los puntos M, T y Q, de encuentro de los lados

opuestos, están en línea recta.

Teorema de Brianchon.- Las rectas que unen los vértices opuestos de un hexágono circunscrito

a una cónica concurren en un punto (Punto de Brianchon).

En efecto: Numerando los vértices en un sentido, y tomando las dos tangentes, r y r′, como bases, cortadas

por los otros lados, quedan determinadas dos series proyectivas: (A, B, C, D) y (A′, B′, C′, D′).

A

B

C

D

A' B' C'D' aT

bT

eT

fT

dT

cT

1 2

3

4

5

6P

r

r'

Punto de Brianchon

Proyectadas dichas series desde las vértices 3 y 4, se tiene: (3. A, B, C, D) = (4. A′, B′, C′, D′), dos

haces proyectivos, que tienen los rayos homólogos 3B y 4B′, coincidentes; luego son perspectivos, y los

pares de rayos homólogos se cortan sobre una recta A′PC los rayos 3A y 4A′, se cortan en A′, 3C y 4C′

en C, y 3D y 4D′ en P. Por tanto, como está definido por 14 y 36, resultan concurrentes con 25, como

queríamos establecer.

Veamos, ahora, cuales son los casos límites de los teoremás anteriores.

168

El Teorema de Pascal sigue verificándose cuando dos vértices consecutivos del hexágono inscrito “tien-

den” a confundirse, sustituyéndose el lado correspondiente por la tangente en que se transforma.

Así mismo, sigue siendo válido el Teorema de Brianchon, cuando dos lados del hexágono circunscrito

se confunden en uno, sustituyéndose el vértice común por el punto de contacto de las tangentes.

Las siguientes figuras nos muestran los casos que pueden presentarse.

A

B

C

ED

1

2

3

45

F

R

M

T

61

2 3

4

5

6

Pentágono inscrito y latangente en un vértice Recta de Pascal

Punto de Brianchon

Pentágono circunscritoy punto de contacto de un lado

12

3

45

1

2

3

4

5

T Q M

Cuadrilátero inscritoy dos tangentes

Cuadrilátero circunscritoy dos puntos de contacto

Punto de BrianchonRecta de Pascal

6

6

169

3

1

2

4

5

6

Punto de BrianchonPunto de Brianchon

Triángulo circunscrito y lospuntos de contacto de los lados

1

2

4

5

6

3

T

Q

M

Recta de Pascal

Triángulo inscrito y lastangentes en los vértices

17.2 Ejemplos de aplicaciónEjemplo 1.- Determinada una cónica por cinco punto, hallar nuevos puntos.

Supongamos que conocemos los puntos: A, B, C, D y E.

Fijado un punto, A, trazamos una recta cualquiera, r, sobre la que suponemos estará el F, intersección de r con la

cónica dada (de la que conocemos los 5 puntos).

El esquema que utilizaremos será el siguiente:

A

B

C D

E

FLa recta de Pascal quedará determinada por los puntos

de intersección de AF con DC y BC con EA.

La intersección a determinar será la: DE con BF.

Luego el punto de intersección de la recta de Pascal con

DE, sea el punto K, unido con el punto B nos determi-

na la recta BF, cuya intersección con r nos determina el

punto F buscado.

Observemos que en este proceso, el punto A ha sido elegido arbitrariamente, de entre los cinco dados, lo que nos

proporciona que el punto buscado estará sobre una recta que pasa por A, siendo F el punto de intersección de la tal

r con la cónica.

170

Podemos, evidentemente, elegir, en lugar de A, cualquiera de los otros cuatro puntos, para los que el proceso a seguir

será el mismo, así como distintas r.

En los ejemplos siguientes veremos que dar una tangente equivale a dar dos puntos,...

A

B

C D

E

(F)r 1.- Determinación de la recta de Pascal; P1P2:

P1 ≡ r∩DC

P2 ≡ BC∩AE

2.- Determinación del nuevo punto, F, sobre r:

P3 ≡ DE∩ (recta de Pascal) =⇒ F≡ r∩P3B

A B

C

DE

F

P1

P3

Recta

de P

asca

l

r (F r)∈

DE (r. Pascal)∩_

BC AE∩_ _

r DC∩_

P2

Ejemplo 2.- Determinada una cónica por cuatro puntos y una tangente en uno de ellos, hallar nuevos puntos.

Sean dados los puntos: A, B, D y E y la recta Bααα , tangente en B.

Se procede en forma análoga a la del ejemplo anterior, trazando, por A, una recta cualquiera, r.

AD

E

P3

Recta de Pascal

r (F r)∈

P2

A

(B, C)

D

E

Fr

Bα

F

(B, C)

P1

171

Ejemplo 3.- Determinada una cónica por tres puntos y tangentes en dos de ellos, hallar nuevos puntos.

Sean dados los puntos A, B, C y las rectas a y b, tangentes respectivamente, en A y B.

Se procede en forma análoga a la de los ejemplos anteriores, trazando por C una recta cualquiera.

a b

(A, A') (B, B')

C

∩P a CB2≡_

P b r. Pascal3≡ ∩

≡P r AB1 ∩_

r

recta de Pascal

(A, A')

(B, B')

C

F

r

F

Ejemplo 4.- Dados cinco puntos, trazar tangentes en uno de ellos.

Sean dados los puntos A, B, C, D, E y se trata de trazar la tangente en el punto C.

A

B

(C, C')

D

E

A B

E D

P B DC1 ∩≡_

P AE r. de pascal3 ∩≡_

P BC ED2 ≡ ∩_ _

recta de Pascal

Tangente en C

(C, C')

172

Ejemplo 5.- Trazar tangentes, dados cuatro puntos y la tangente en uno de ellos.

Sean dados los puntos A, B, C, D y la tangente en el punto B, y se trata de trazar la tangente en el punto A.

D

A

C

recta de Pascal

(A, A')

(B, B')

CD

P BC r. Pascal3≡ ∩_

≡P AB DC1 ∩_ _

P BB' AD 2 ∩≡_ _

Tangente en A

Tangente en B(B, B')

Ejemplo 6.- Dados tres puntos y tangentes en dos de ellos, trazar la tangente en el tercer punto.

Sean dados los puntos A, B, C, y las tangentes en los puntos A y B, respectivamente las a y b. Se trata de trazar la

tangente en el punto C.

(A, A')

(C, C')

recta de Pascal

P AB r. Pascal3≡ ∩_

≡P a CB1 ∩_

P b AD 2 ∩≡_

Tangente en A

Tangente en B

(B, B')

(A, A')

(B, B')

(C, C')

Tangente en C

a

b

173

Ejemplo 7.- En una cónica se conocen cinco puntos: A, B, C, D∞∞∞ y E∞∞∞. Trazar la tangente en E∞∞∞.

La observación que cabe hacer aquí es que, al ser E∞∞∞ y D∞∞∞ puntos impropios, la recta E∞∞∞D∞∞∞ es la recta del infinito.

A

Recta de Pascal

E∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

C

B

D∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

A

B

C

(E , E' )∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

D∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

E∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

D∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

E∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

E∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

E∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞D∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞_

E∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞D∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞_

Tangente en

Ejemplo 8.- En una cónica se conocen cinco puntos: A, B, C, D y E∞∞∞. Determinar su clase.

Dado que posee un punto impropio, la cónica será una hipérbola o una parábola .

Si la tangente en E∞∞∞ es real, la cónica es una hipérbola, y en caso contrario se trataría de una parábola.

A

Recta de Pascal

E∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

C

BD

A

B

C

(E , E' )∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

D

E∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

E∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞Tangente en

E∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

E∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

Se trata, por tanto, de una hipérbola.

174

Ejemplo 9.- En una cónica se conocen cuatro puntos: A, B, C, D∞∞∞, y la tangente en A. Determinar la clase de

la cónica.

A

Recta de PascalB

C

A

B

C

(A , A', A'')

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞D

D∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

D∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

D∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞Tangente en

Como la tangente es real, se tata de una hipérbola.

Ejemplo 10.- En una cónica se conocen cuatro puntos: A, B, C y D, y una asíntota `. Determinar la intersec-

ción de una recta r, paralela a `, con la cónica.

X

C

BD

r

A∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

Recta de Pascal

asíntota

B

C

(A, A')

D

X

A∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

A∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞(recta dada)

(asíntota)P1

P2

175

Ejemplo 11.- En una cónica se conocen: Una tangente, con su punto de contacto, una asíntota, y un punto.

Trazar la tangente en C.

(A, A')

(C, C')

recta de Pascal

P 1

Tang

ente

en A

Tangente en C

(A, A')

(C, C')

(B , B' )∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

Asíntota

tangente en A

tangente en Ca determinar

P 2

B ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

B ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

B ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ asíntota

Ejemplo 12.- En una hipérbola se conocen: Las asíntotas y un punto. Trazar la tangente a éste.

recta de Pascal

Tangente en C

B ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

(A, A')

(C, C')

(B , B' )∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞tangente en Ca determinar

asíntota

asín

tota

A ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

O

asíntota

asíntota

P 2

P 1

(C, C')

176

Ejemplo 13.- Dado un triángulo isósceles444

ABC (AB = BC), se determina una cónica por los puntos A, C, H∞∞∞

(dirección altura), y las tangentes BA y BC. Hallar la clase de cónica.

recta de Pascal H ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

H ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

Atangente en C

tang

ente

en

A

P 2 P 1

C

(A, A')

(C, C')

(H , H' )∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

tangente en Ctangente en A

dirección altura

MN

B

La recta de Pascal resulta ser la MN (P1 ≡ tg en A∩CH∞∞∞ y P2 ≡ tg en C∩AH∞∞∞), paralela a AC.

La tangente en H∞∞∞ pasará por H∞∞∞ y por la intersección de AC y MN. Dado que esta tangente tiene que pasar por

dos puntos del infinito, será la recta del infinito; luego la cónica será parábola.

Ejemplo 14.- En una parábola se conocen cuatro puntos: A, B, C y D∞∞∞. Hallar su intersección con una recta

r, paralela a D∞∞∞.

A

B

r

P 3

P AB r1 ∩≡_

C

A

BC

X

(D , D' )∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

D∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

D∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

X

P BC D2 ≡ ∩_

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

177

Ejemplo 15.- En una parábola se conocen tres puntos: A, B, y E∞∞∞, y la tangente en A, r. Trazar la

tangente en B.

(A, A')

recta de Pascal

P 3

tangente en A

tangente en B

(B, B')

r

(A, A')

(B, B')

(E , E' )∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞

E ∞∞∞∞∞∞∞∞

E ∞∞∞∞∞∞∞∞

P AB E 2 ∩≡_

∞∞∞∞∞∞∞∞

≡P AA' BE1 ∩_

∞∞∞∞∞∞∞∞

_

Ejemplo 16.- En una parábola se conoce: El vértice, V, la tangente en él, t, y un punto A. Trazar la tangente

en A.

(A, A')

recta de Pascal

P 3

tangente en A

tangente en V

t

(A, A')

(V, V')

(B , B' )∞∞∞∞∞∞∞∞ ∞∞∞∞∞∞∞∞

B ∞∞∞∞∞∞∞∞

P t AB 1 ∩≡_

∞∞∞∞∞∞∞∞

≡P AV VB2 ∩_

∞∞∞∞∞∞∞∞

_

(V, V') (vértice)

(eje)

178

Ejemplo 17.- Determinar puntos de contacto de una tangente, dadas cinco tangentes.

Trazado el pentágono circunscrito a la cónica, se dibujan dos diagonales, y el vértice que queda se une con el punto

de intersección de las diagonales, lo que nos dará el punto de contacto, M, buscado.

Si las tangentes dadas son: a, b, c, d, e, la tangente d será tangente a la cónica en el punto M.

a

b

c

e

d

M

O

Ejemplo 18.- Determinar puntos de contacto de una tangente, dadas cuatro tangentes y el punto de contacto

de una de ellas.

Consideremos las tangentes: a, b, c, d, siendo E el punto de contacto de a con la cónica.

Para hallar el punto de contacto de b con la cónica, se consideran como vértices del hexágono circunscrito los cuatro

del cuadrilátero formado por las tangentes y los dos puntos de contacto.

Unidos convenientemente los vértices, se obtendrá el vértice, M, punto de contacto de la tangente b.

a b

c

E

d

M

O

179

Ejemplo 19.- Determinar puntos de contacto de una tangente, dadas tres tangentes y puntos de contacto en

dos.

Sean las tres tangentes: a, b, c, y P, Q los puntos de contacto con la cónica, de las tangentes b y c, respectivamente.

Para determinar M, punto de contacto de a con la cónica, se une cada vértice con el punto de contacto del lado

opuesto.

a

b

cP

Q

M

O

Ejemplo 20.- Dadas cinco tangentes, trazar nuevas tangentes.

Sean las tangentes: a, b, c, d, e, y A un punto de a, desde el que se quiere trazar una tangente a la cónica.

Se considera, el punto A, como vértice de un hexágono, siendo otros cuatro vértices las intersecciones de las tan-

gentes a con b, b con c, c con d, y d con e.

Uniendo convenientemente los vértices opuestos, obtendremos como sexto vértice el punto M, que unido con el

punto A, nos dará la tangente pedida.

a

b

c

d

e

OM

A

180

Ejemplo 21.- Dadas cuatro tangentes y punto de contacto en una de ellas, trazar nuevas tangentes.

Sean las tangentes: a, b, c, d, y P el punto de contacto de d, con la cónica.

Si se quiere trazar una tangente desde el punto H, de a, se tomarán como vértices del hexágono circunscrito, el punto

H, y las intersecciones de a con b, de b con c, y de c con d, y el punto P.

Unidos convenientemente los vértices, se obtendrá el punto D, que unido con el H, nos dará la tangente pedida.

a

b

c

Hd

D

O

P

Ejemplo 22.- Dadas tres tangentes y puntos de contacto en dos de ellas, trazar nuevas tangentes.

Sean a, b, c las tangentes, y P, Q los puntos de contacto de b y c, respectivamente, con la cónica.

Si se quiere trazar, desde el punto H situado sobre a, una tangente, se toma dicho punto como vértice del hexágono

circunscrito, además de las intersecciones de a con b, b con c, y los puntos de contacto P y Q.

Unidos los vértices opuestos, y obtenido el punto R, la tangente pedida será la HR.

a

b

c

Q

P

O

R

H

181

Lección 18.- POLARIDAD EN LAS CÓNICAS

18.1 Polaridad en la circunferencia

18.2 Figuras polares recíprocas

18.3 Las cónicas como polares recíprocas de la circunferencia

18.4 Polaridad en las cónicas

18.5 Ejemplos

18.1 Polaridad en la circunferencia

Recordemos que las cónicas pueden ser obtenidas por proyección de la circunferencia así como que la

existencia y las propiedades de la polar de un punto respecto a una circunferencia están fundadas en la

razón armónica, y que ésta se conserva al proyectar y cortar.

Si bien la polaridad en la circunferencia fue estudiada ampliamente en el Tomo I, parece interesante,

como introducción al estudio de la polaridad en las cónicas, recordar aquí lo más conceptual de aquel

estudio, que de manera inmediata generalizaremos a las cónicas en el siguiente apartado.

En este devenir siempre está presente el concepto de razón armónica de cuatro puntos de una serie, o

cuatro rayos de un haz, del que merecen destacarse las propiedades siguientes:

1o.- La mitad de un segmento de recta es media proporcional entre las distancias del punto medio

del segmento a dos puntos que lo dividen armónicamente.

OP2= OM ·ON

A O M B N

P

A B

P N∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

O≡M

2o.- El conjugado armónico del punto medio de un segmento es el punto del infinito de la recta.

3o.- Las bisectrices de los ángulos formados por dos rectas, determinan con ellas un haz armóni-

co, y recíprocamente, si en un haz armónico dos rayos conjugados son perpendiculares, son

las bisectrices de los ángulos de los otros dos.

4o.- Cada diagonal de un cuadrilátero completo es dividido armónicamente por las otras dos.

183

PROPOSICIÓN 1. Si por un punto, P, se traza una secante variable que corta a una circunferencia,

(O), en M y N, el lugar geométrico del punto Q, conjugado armónico de P, con relación al segmento

MN, es una recta perpendicular al segmento PO.

En efecto: Si I es el punto medio del segmento PQ , entonces, en virtud de la anterior propiedad 1o,

se tiene que:

IP2= IM · IN .

Luego, el punto I pertenece al eje radical del punto P y la circunferencia (o).

En consecuencia, el punto Q, a doble distancia de P que el I, describirá otra recta, perpendicular a OP,

homotética del eje radical, siendo el polo P.

A esta recta se le llamará polar del punto P, y del punto P diremos que es el polo de la recta TH.

Eje radical del

punto P y de la

circunferencia (O)

A O

M

B

N

P

T

Q

H

I

Dado que la cuaterna (PHAB) es armónica, si R es el radio de la circunferencia, se verifica la relación:

R2 = OH ·OP .

Observando la figura anterior, si consideramos que PO es la media aritmética de los segmentos PA y PB;

que PT es la media geométrica, y que PH es la media armónica, llegamos a la conclusión de que:

La media aritmética es mayor que la geométrica y ésta mayor que la armónica.

Observemos, por otra parte, que si el polo es exterior, H es interior, y por tanto la polar es secante; si por

el contrario el polo, P, es interior, la polar es exterior.

Si el polo está sobre la circunferencia considerando la anterior relación: OH ·OP = R2, al ser el factor

OP = R, el otro factor, OH, debe ser, también, igual a R; luego la polar es la tangente en P.

En particular, si P es exterior, la polar pasará por los puntos de contacto de las tangentes trazadas desde P,

puesto que el conjugado armónico, Q, coincide con el de contacto, T, cuando la secante tiene a la posición

límite, en que los puntos M y N se confunden en uno.

En el caso de que el punto P se alejase indefinidamente, el punto H se acerca al O, y el lugar geométrico

(la polar) se convierte en un diámetro, del que decimos es la polar del punto del infinito de la dirección

perpendicular.

Por el contrario si el punto P se acerca al O, su polar se aleja indefinidamente en cuyo caso decimos que la

polar de O es la recta del infinito.

184

PROPOSICIÓN 2. Si un punto S está sobre la polar de otro, P, entonces se verifica que P está sobre

la polar de S.

En efecto: Trazando por P la perpendicular PK sobre la diagonal OS, se tienen dos rectas: PK y SH,

antiparalelas respecto al ángulo SOP; luego

OK ·OS = OH ·OP = R2 ,

y en consecuencia, PK es la polar de S.

A O

M

B

N

P

T

Q

H

K

S

Polar de S

Polar de P

A los puntos P y S, tales que la polar de uno pasa por el otro, les llamaremos conjugados, y a las polares

que son rectas tales que cada una contiene el polo de la otra, se les llamará conjugadas.

Dada una circunferencia, (O), y la recta, r, vamos a llamar puntos, de r, conjugados respecto a la circun-

ferencia, (O), a los determinados como sigue:

Se determina un punto cualquiera, A, sobre r.

Se traza la polar de A respecto (O).

La polar cortará, a r, en otro punto A′.

Del par (A, A′) diremos que son conjugados respecto (O).

A

O

A'

R

Polar de A

185

PROPOSICIÓN 3. Los pares de puntos conjugados, respecto a una circunferencia, situados sobre

una recta, r, de su plano, forman una involución cuyos puntos dobles son los de la intersección de

la recta con la circunferencia.

En efecto: Sean (A, A′) y (B, B′) pares de puntos conjugados respecto a la circunferencia (O).

Las circunferencias construidas sobre AA′ y BB′, como diámetros, pasan por los pies, D y C, de las polares,

verificándose que:

OC ·OB = OD ·OA = R2 .

Resulta, por tanto, que el punto O tiene la misma potencia respecto de las dos circunferencias construidas;

luego, pertenece a su eje radical.

Si I es el punto de corte del eje radical con la recta r, se tiene

IA · IA′ = IB · IB′ = (constante) ,

que es la condición que cumplen los pares (A, A′) y (B, B′) cuando están en involución (I es el centro de

la involución y la constante su potencia).

O

A A' B'

D

C

Ir

R

B

AB

P

A' B'

OD C

rN≡N' M≡M'I

R

186

Al proyectar desde el punto P, polo de la recta r, los puntos A, A′ y B, B′, se obtienen rectas conjugadas; lo

que nos permite afirmar que: Todo punto del plano de la circunferencia es vértice de un haz de rectas

conjugadas que están en involución.

En la segunda figura vemos que los puntos dobles son los que sean conjugados de sí mismos, M y N,

intersección de la recta con la circunferencia, que proyectadas desde el punto P, nos determinan los rayos

dobles del haz en involución, que son las tangentes a la circunferencia desde P.

Una construcción de la polar de un punto, utilizando únicamente la regla, puede ser de ayuda en más de

una ocasión. Veámoslo:

Dada una circunferencia (O) y un punto exterior, P, trazaremos dos secantes arbitrarias PMN y PQS, y se

determina el punto H, intersección de MQ y NS. La recta HK resulta ser la polar de P.

(K = NQ∩MS) .

Así mismo, PK será la polar de H, y PH la polar de K.

Observemos que el triángulo444

PHK goza de la siguiente propiedad: Cada lado es la polar del vértice

opuesto. Cuando esto ocurre, en un triángulo, diremos que ésta es autopolar respecto a la circunferencia.

M

N

P

O

H

Q

S

Polar de P

Polar de H

Polar de K

Triángulo autopolarK

187

Ejemplo 1.- En una cónica se conocen: Un triángulo autopolar444

ABC, y un foco, F. Se pide, determinar

la directriz.

Se une F con A y con B.

Se trazan, luego, las perpendiculares FM y FN, respectivamente, a FA y FB.

La recta MN resulta ser la directriz, lo que nos resuelve el problema.

Veamos que, efectivamente, MN es la directriz: Como los rayos FM, FA y FN, FB son homólogos en la involución

formada en el foco, (recordemos que el foco es el polo de la directriz, y que la involución formada en él, tiene sus

rayos perpendiculares), puesto que son perpendiculares, y las polares de M y N, son FA y FB.

A

B M

N

d

C

F

Directriz

Foco

Ejemplo 2.- En una cónica se conocen: Un triángulo autopolar,444

ABC, un punto P, y su polar p. Se pide,

determinar la cónica.

Por ser el punto A el polo de la recta BC, en A se forma un haz en involución, en el que los rayos AB y AC son

homólogos.

Determinemos, ahora, el rayo homólogo del AD′; es decir la polar de D′.

Como D′ pertenece a las polares de los puntos A y P, su polar pasará por A y por P; es decir, es la recta AP.

En la involución formada en A, se conocen los rayos homólogos:

AB , AC y AD , AD′ ,

con lo que queda determinada.

Los rayos dobles de esta involución son las tangentes, en sus puntos Q y R, de intersección con la recta BC.

En la misma forma se pueden formar en C otra involución determinada por los rayos:

CA , CA′ y CM , CM′ ,

cuyos rayos dobles serán también tangentes a la cónica.

La cónica queda, por tanto, determi-

nada puesto que se conocen, de ella,

cuatro tangentes con sus puntos de

contacto.

A

P

M

M' F

D Q D'B≡A' C≡B'

p

R

Punto de Fregier

188

Ejemplo 3.- Se da un triángulo∆∆∆

ABC y un punto M. Determinar una cónica que pase por M, y en la cual el

triángulo∆∆∆

ABC sea autopolar.

Puesto que cada lado es polar del vértice opuesto, si determinamos los puntos N, P, Q, conjugados armónicos de M,

respecto a los H, I, L, respectivamente, habremos obtenido tres puntos de la cónica.

Cualquier cónica que pase por los puntos: M, N, P, Q, resuelve el problema, bastando para ello fijar otro punto

cualquiera.

Observemos que el problema, tal como está planteado,

está indeterminado, dando lugar a la posibilidad de una

infinidad de cónicas, hasta que concretemos un quinto

punto.

A

B

C

P

Q

N

H

IM

L

Ejemplo 4.- Dado un triángulo autopolar,∆∆∆

ABC, un punto, P, y su polar, p; hallar el polo de una recta dada r.

Consideremos el punto M, intersección de p y AC.

Puesto que M está en las polares de P y B, su polar será PB, y la involución formada en B, está definida por los

puntos C, C′ y M, M′.

En la misma forma se define la involución formada en A, por los puntos B, B′ y N, N′.

Para hallar el polo de r, tomaremos dos puntos de ella y

hallaremos sus polares; el punto de intersección de éstas

será el polo buscado.

Sean, por tanto, D y E, las intersec-

ciones de r con BC y AC, respecti-

vamente. Determinando D′ y E′, ho-

mólogos de D y E en las involucio-

nes formadas en BC y AC, obtendre-

mos AD′ ≡ d y BE′ ≡ e, polares de

D y E; su punto de intersección, R,

es el polo buscado.

A≡C'

B

C≡B'

E

E'

M

ND

D'

N'

FA

FBP

R

e

d

M'

r p

189

Ejemplo 5.- Dado un triángulo autopolar,∆∆∆

ABC, un punto P, y su polar p; hallar la polar de un punto dado

R.

Consideremos el punto D′, intersección de p con la recta BC.

Como D′ pertenece a las polares de A y P su polar es la recta AP.

En la involución, formada en A, se conocen

B, B′ y D, D′ ,

lo que la determinan.

Asimismo queda determinada la involución, formada en B, puesto que se conocen

E, E′ y C, C′ .

Para hallar la polar del punto R, se trazan, por él, las rectas m y n, de las que se determinan sus polos.

La recta determinada por esos polos es la r, polar de R.

Los polos, respectivamente, de m y n, son los puntos M y N, homólogos de M′ y N′, en las involuciones formadas

en A y B, respectivamente, siendo la polar la recta MN.

A≡C'

B

C≡B'

E'

N

D'N'

FAFB

P

R

m

n

M'

E

p

DM

Ejemplo 6.- Se da un triángulo∆∆∆

ABC, y se sabe que en una cónica de centro O, es autopolar. Hallar los puntos

de intersección de BC con la cónica.

Puesto que la polar del centro de la cónica es la recta del infinito, los datos de los que disponemos son: El triángulo

autopolar, un punto y su polar.

190

En la involución formada en A, conocemos los rayos siguientes:

AB , AB′ y AD , AD′∞∞∞ ,

Los rayos dobles AM y AN son tangentes a la cónica en M y N.A

BC≡B'M N

O

F

D'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

D'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

Punto de Fregier

18.2 Figuras polares recíprocas

Si de una línea dada, L, se hallan las polares de los puntos que la forman, éstas envuelven a otra línea,

L′, a la que llamaremos polar recíproca de la anterior.

PROPOSICIÓN 1. La razón de las distancias de dos puntos al centro de una circunferencia, es

igual a la razón de las distancias de cada uno de ellos a la polar del otro.

En efecto: Sean A y B los puntos dados, y a, b sus polares respecto a la circunferencia (O).

Por O se trazan paralelas a las rectas a, b, con lo que formamos los rectángulos

OIHB′ y

OJKA′.

Los triángulos444

OAI y444

OJB son semejantes, puesto que son rectángulos y sus ángulos en O iguales, por

tener sus lados perpendiculares. Luego se verifica:

OAOB

=IAJB

,

y sabiendo que si es R el radio de la circunfe-

rencia (O):

OA ·OA′ = OB ·OB′ = R2 ,

si tenemos en cuenta la igualdad anterior, po-

demos escribir:

OAOB

=OB′

OA′=

IHJB

=IAJB

=IH− IAJK−JB

=AHBK

Hemos obtenido, por tanto, que

OAOB

=AHBK

,

como queríamos demostrar.

A

BNO

I

J

S

K

A'

B'

a

b

H

M

Polar de A

Polar de B

191

18.3 Las cónicas como polares recíprocas de la circunferencia

Consideremos una circunferencia (O), y transformémosla por polares recíprocas tomando como circun-

ferencia directriz la (F).

Para ello trazamos la tangente m a la circunferencia (O), y hallamos su polo, M respecto del (F).

Sea, así mismo d, la polar del punto O, respecto (F).

La proposición 1, del apartado anterior nos permite escribir la siguiente igualdad.

MFOF

=MHOT

y haciendo: OT = R, y siendo ` = OF, distancia entre los centros de las circunferencias, tendremos:

MFMH

=`

R= (constante) .

En consecuencia, M describe el lugar geométrico de los puntos cuya razón de distancias a un punto F, y

a una recta d, es constante; lo que nos permite afirmar que:

La transformada por polares recíprocas de una circunferencia, con relación a otra circunferen-

cia, es una cónica, que tiene por foco el centro de la segunda, y por directriz, la polar del centro

de la primera con relación a la segunda.

O

T

F

M

d

H

m

R

Directriz

Foco

Observemos que se verifica lo siguiente, según la relación`

R:

` > R, la cónica transformada es una hipérbola.

` < R, la cónica transformada es una elipse.

` = R, la cónica transformada es una parábola.

192

Ejemplo 1.- Dadas dos circunferencia concéntricas, determinar la polar recíproca de una respecto de la otra

Consideremos la polar recíproca de (c) respecto de (d).

Determinando los polos de las rectas a y b, tangentes a (c), se obtienen los puntos A′ y B′, de su polar recíproca.

Por la propiedad fundamental, de polo y polar, tenemos:

ON2= OM ·OB′ ;

y dado que ON y OM son constantes, también debe serlo OB′. En consecuencia, la polar recíproca es otra circunfe-

rencia, concéntrica con las dadas.

A' B'M NO

(c)

(d)

Ejemplo 2-. Dadas dos circunferencias (C) y (D), determinar la polar recíproca de (C) respecto (D).

Si por el centro D trazamos a y b, tangentes a (C), sus homólogos son puntos de la cónica, que están en el infinito;

la cónica es, por tanto, una hipérbola que pasa por A′∞∞∞ y B′∞∞∞.

Además, las rectas homólogas, de los puntos E y H, son e′ y h′, asíntotas de la cónica.

Los puntos homólogos de las rectas v1 y v2, tangentes a (C), son los vértices, V′1 y V′2, de la cónica.

El centro D de la circunferencia directriz es un foco de la cónica, y su simétrico respecto a O, es el otro foco F.

La directriz correspondiente a (D) es la polar de C.

La excentricidad es:CDCE

> 1 .

D≡F' C

E

O

H

F

h' e'

b

a

v1

v2

V'1V'2

A'∞∞∞∞∞∞∞∞∞

B'∞∞∞∞∞∞∞∞∞

Asíntotas

Focos

Eje

Vértices

193

Ejemplo 3.- Consideremos dos circunferencias; (C) y (D), se trata de determinar la polar recíproca de (C)

respecto (D).

Puesto que desde D sólo se puede trazar una tangente a (C), se tiene que la polar recíproca sólo tiene un punto en el

infinito; es decir, se trata de una parábola.

Si trazamos las tangentes a y v, y determinamos sus polos, serán, éstos, los puntos A′∞∞∞ y V′, que son, respectivamente,

el punto del infinito y el vértice de la parábola.

La tangente en el vértice es la polar de T.

La directriz, d, es la polar de C, respecto (D).

El foco de la parábola es el punto D.

La excentricidad valeCDCT

= 1.

D TC

v

V'

a

d

A'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

Directriz

Foco

Eje

Vértice

Tangente en el vértice

Ejemplo 4.- Sean dos circunferencias (C) y (D), hallar la polar recíproca de (C) respecto (D).

Los homólogos de las tangentes a y b son A′ y B′, polos de a y b respecto D.

Las “tangentes” en A′ y B′ son las polares de M y N; como m′ y n′ son paralelas, A′B′ es un diámetro.

El centro D, es un foco de la polar recíproca; luego A′B′ es el eje.

La directriz es la polar de C respecto (D).

La excentricidad esCDCN

< 1, luego la cónica es elipse.

Como desde D no se pueden trazar tangentes a (C), la cónica no tiene puntos en el infinito (es decir es elipse).

Observemos que para determinar la clase de la cónica hay dos procedimientos:

1o.- Si D está

en el círculo (C)

en la circunferencia (C)

fuera del círculo (C)

la polar recíproca es−−−−−−−−−−−−−−→

elipse

parábola

hipérbola

194

2o.- La excentricidad esCDR

, siendo R el radio de la circunferencia (C); entonces

dS 1la polar recíproca es−−−−−−−−−−−−−−→

elipse

parábola

hipérbola

ab

m' n'

M NA' B'C

Vértices

Directriz

CentroFoco

Eje

D

R

Ejemplo 5.- Dadas dos circunferencias (C) y (D), y una recta m′. Se pide determinar la intersección de m′

con la polar recíproca de (C) respecto (D).

A la recta m′ le corresponde como homólogo el punto M, que es su polo respecto a (D).

Si desde M trazamos las rectas p y r, tangentes (C), sus homólogos son dos puntos, respectivamente, P′ y R′, y

como p y r son tangentes a (C), sus homólogos están en la polar recíproca de (C).

Como p y r pasan por le polo de m′, los polos de p y r estarán en m′; es decir, R′ y P′ están en m′ y en la polar

recíproca de (C), luego son los puntos pedidos.

D

C

M

P' R'm'

p

r

195

Ejemplo 6.- Dadas dos circunferencias (C) y (D), y un punto P. Se pide trazar tangentes desde P′ a la polar

recíproca de (C) respecto (D).

El punto P′ es el homólogo de la recta p, polar de P′ respecto a (D).

La recta p corta a (C) en los puntos T y R.

Las rectas homólogas de los puntos T y R, son sus polares respecto a (D).

Como T y R están en p y en (C), sus polares pasan por P′, y son tangentes a la polar recíproca de (C).

Los puntos de contacto de dichas tangentes son M′ y N′, polos de las rectas m y n, tangentes a (C) en T y R.

D

T

RC

M'

P'm n

p

N'

Ejemplo 7.- Dadas dos circunferencias (C) y (D), trazar a la polar recíproca de (C), respecto (D), tangentes

paralelas a una dirección dada.

Sea P′∞∞∞ la dirección dada.

La polar de P′∞∞∞ respecto (D) es su homologa.

Esta polar corta a (C) en los puntos A y B, cuyas rectas homólogas son sus polares respecto a (D).

Como A y B están en (C), sus rectas homólogas son tangentes a la polar recíproca; es decir son las rectas pedidas.

Los puntos de contacto de a′ y b′, son los homólogos de las rectas m y n, tangentes a (C) en A y B.

A

B

C

D M'

a'b'

P'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

N'

m

n

196


Recordemos, una vez más, que las cónicas pueden obtenerse por proyección de la circunferencia y dado

que la existencia y las propiedades de la polar de un punto, respecto a una circunferencia, están fundadas

en la razón armónica, y ésta se conserva al proyectar y cortar, resulta que:

1.- El lugar geométrico de los conjugados armónicos de un punto fijo, respecto a los puntos de inter-

sección con una cónica de una recta variable que pase por ese punto, es una recta fija, que llamamos

polar del punto, y a éste, polo de la recta respecto de la cónica.

2.- Todas las propiedades establecidas, en la lección anterior, en la circunferencias, se conservan en

las cónicas, excepto la condición de que la polar es perpendicular al diámetro que pasa por el polo.

Podemos decir, por tanto que la polar de un punto de la cónica es la tangente en él, y que la polar

de un punto exterior es la recta que une los puntos de contacto de las tangentes trazadas desde el

punto.

3.- Igualmente se conservan las propiedades de los puntos conjugados y de las rectas conjugadas. En

consecuencia, tenemos que: Los puntos conjugados respecto de una cónica, situados sobre una

recta fija, forman una involución, cuyos puntos dobles son las de intersección de esta recta con la

cónica, en el supuesto de que la recta sea secante.

Así mismo las rectas conjugadas que pasan por un punto determinan una involución, cuyos rayos

dobles, en su caso, son las tangentes trazadas desde el punto.

Centro, diámetros conjugados y ejesDado que las cuerdas que pasan por el centro de una cónica son bisecadas por él, y que el conjugado

armónico del punto medio de un segmento es el punto del infinito, podemos afirmar que: El centro es el

polo de la recta impropia.

Por otra parte tenemos que si la recta impropia es exterior, su polo es interior, y estaremos ante una elipse;

si es secante, su polo es exterior, se tratará de una hipérbola, pudiéndose trazar dos tangentes desde él,

que son las asíntotas. Por último si la recta impropia es tangente, el polo es su punto de contacto, luego

el centro es también impropio, correspondiendo este caso a ser parábola.

Como las rectas que pasan por un punto tienen sus polos sobre la polar de ese punto, los diámetros,

al pasar por el centro, tiene sus polos sobre la recta del infinito, y las tangentes en los extremos de un

diámetro tienen la dirección de su polo impropio.

Diremos que dos diámetros son conjugados cuando uno de ellos pasa por el polo del otro. Así, las

cuerdas paralelas a uno, determinan, al pasar por el polo del otro, una cuaterna armónica con un punto

en el infinito; por tanto, cada uno de los diámetros conjugados divide en dos partes iguales a las cuerdas

paralelas al otro.

197

Además, apoyándonos en el punto 3.-, del apartado anterior, tenemos que: El centro es vértice de un haz

en involución de diámetros conjugados, y los rayos dobles, en caso de haberlos, son las asíntotas.

Los rayos perpendiculares homólogos, llamados principales, que siempre existen en una involución, son

los ejes de la cónica, que son, por tanto, ejes de simetría de la cónica.

Cuando se trata de una parábola, puesto que el centro es impropio, todos los diámetros son paralelos a

una dirección fija, que llamaremos dirección del eje. Además, la tangente en el punto de intersección

de un diámetro con la parábola pasa por el polo impropio de ese diámetro; luego, las cuerdas paralelas a

la tangente son bisecadas por el diámetro. En el caso de que la tangente sea perpendicular al diámetro,

estamos en presencia de un eje de simetría de la cónica, que llamaremos eje de la parábola.

Focos y directrices

Los focos son vértices de una involución rectangular de rectas conjugadas, puesto que, según

las tangentes en los extremos, T y T′, de una cuerda focal, se cortan en un punto M, situado en

la directriz, y tal que MF resul-

ta perpendicular a la cuerda TT′

de contacto; luego las rectas TT′

y FM son perpendiculares. Ade-

más, puesto que las rectas que

pasan F tienen sus polos M sobre

la directriz, resulta que el foco es

el polo de la directriz respecto

de la cónica.

F'

F

T'

T

d

M

18.5 Ejemplos

Los ejemplos que siguen tratan de aplicar, pero sobre todo aclarar lo que hemos venido estudiando a

cerca de la polaridad en las cónicas.

Ejemplo 1.- Dadas dos rectas a y p, y un punto P, se pide determinar una circunferencia tangente a la recta

a, tal que la polar del punto P sea la recta p.

Sea M el punto de intersección de a y p.

M está en la polar de P, luego la polar de M pasa por P; es decir, que P, N, L están en línea recta, y (P H N L) =−1,

luego: (q p b a) =−1.

Se determina el rayo b, conjugado armónico del a respecto a los p y q.

198

La recta b será tangente a la circunferencia pedida y su centro, O, estará en la perpendicular a p trazada por P, y en

la bisectriz del ángulo formado por a y b.

P M

OLp

a

b

q

N

H

= =

Ejemplo 2.- Determinar una cónica de la que se conocen: Dos puntos A y B, la tangente en A y el centro O.

Sea C∞∞∞ el punto del infinito de AB.

La polar de C∞∞∞ pasará por M, punto medio de AB (por ser el conjugado armónico de C∞∞∞ respecto al par A, B); así

mismo pasará por el centro de la cónica (por estar C en el infinito).

Uniendo el centro, O, con M, obtenemos el punto N, intersección de las tangentes en A y B (N será el polo de AB).

Además el simétrico de B respecto de O, es otro punto, D, de la cónica.

En definitiva: De la cónica se conocen tres puntos, A, B y D, y las tangentes en dos de ellos, A y B. Queda por tanto,

bien determinada la cónica.

A

B

N

O

t1t2

D

M

C∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

Ejemplo 3.- En una parábola se conocen: Tres tangentes AB, BC y AC y la polar, p, de un punto de la

directriz. Determinar los focos.

Veamos en primer lugar que el lugar geométrico de los focos es la circunferencia circunscrita al triángulo444

ABC.

Comprobación: Suponemos el problema resuelto, y sea F la solución.

Las proyecciones de los focos sobre las tangentes, están en la tangente en el vértice, razón por la que M, N y P están

en línea recta.

199

Los cuadriláteros

APFN y

MNFC son inscribibles, y tendremos: 1 = 2, 3 = 4 (tienen la misma medida) y 1 = 4

(opuestos por el vértice), luego 2 = 3.

En ángulo AFC es igual a 180o− B, según se deduce, luego F está en la circunferencia circunscrita.

Dado que la polar de la directriz es el foco, la polar de un punto de la directriz pasará por el foco.

El foco es, por tanto, la intersección de p con la circunferencia circunscrita.

A

B

C

F

F'

P

N

M

1

3

4

2p

Ejemplo 4.- Dado un triángulo equilátero444

ABC, se sabe que A, B, C, y los puntos del infinito de las alturas

AP y BQ, son puntos de una cónica. Determinar la polar de P respecto a la cónica.

El conjugado armónico del punto P, respecto al par B, C, es N∞∞∞, que es un punto de la polar P.

El conjugado armónico del punto P, respecto al par A, D∞∞∞, es otro punto de la polar P, y como el punto D está en el

infinito, el conjugado armónico es el punto M, simétrico de P respecto al punto A.

En consecuencia, la polar de P es la recta MN∞∞∞.

MA

B

C

Q

P

p

N∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

D∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

E∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

N∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

Ejemplo 5.- Se da un triángulo444

ABC, y se sabe que AB y AC son tangentes en B y C, a una parábola. Trazar

la tangente desde M, punto medio AB.

MN, paralela media del triángulo444

ABC es tangente a la parábola dada.

Comprobación: Sea P un punto de intersección de MN con la parábola.

La polar de A es BC, y por tanto, A y R son conjugados armónicos respecto al par P, Q, intersecciones A y R con

la parábola. Como P es el punto medio de AR, tendremos que Q está en el infinito.

200

Como la cónica es una parábola, sólo tiene un punto en el infinito, es decir, MN sólo corta a la parábola en un punto,

es decir, es tangente a la parábola.

A

B

C

M

N

P R Q∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

t1

t2

Este ejercicio nos muestra un procedimiento para determinar la clase de cónica, siempre que conozcamos dos tan-

gentes, AB y AC, y tres puntos A, B, C, de la cónica: Se halla la intersección de la paralela media, MN, con la

cónica, y analizamos los tres casos que se pueden presentar:

1.- MN no corta a la cónica; la cónica es una elipse.

2.- MN es tangente a la cónica; la cónica es una parábola.

3.- MN corta a la cónica en dos puntos; la cónica es una hipérbola.

Ejemplo 6.- Dada una circunferencia (M), y un punto A, hallar el lugar geométrico de los centros de las

circunferencias circunscritas a los triángulos autopolares respecto a la circunferencia dada, en los cuales el

punto A es un vértice.

Los vértices B y C recorren la polar de A. Sea444

ABC un triángulo autopolar.

Por ser AC la polar de B, los puntos F y E son conjugados armónicos respecto a los B y C, con lo que tendremos:

DE2= DB ·DC = DH2

.

La circunferencia (D) corta ortogonalmente a la (O), pues considerando la potencia de D, la recta DH es tangente

a (O). Dado que el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que cortan ortogonalmente a otras dos, es

su eje radical, tendremos, en este caso, en el que las circunferencias son, la (D) y el punto A, que el eje radical (la

solución) es la recta que une los puntos medios de las tangentes trazadas desde A.

También se puede plantear de la manera siguiente:

DC ·DB = DE2= DL ·DA ,

y como DA es fijo, también lo será DL.

201

Dado que la circunferencia tiene que pasar por A y L, el lugar geométrico buscado es la mediatriz de AL.

A

O

B

E

C

L D M

H

F

Polar de A

Polar de B

Lugar geométrico

Ejemplo 7.- Dada una cónica, determinada por un punto, M, de ella, un punto P y su polar, p, y los puntos

A, A′ y B, B′, de la involución formada en p; se pide determinar puntos de dicha cónica.

Como A y B están en la polar P, sus polares pasarán por P; es decir, serán PA′ y PB.

Uniendo, ahora, el punto M con los P, A, B, se obtienen los puntos H, C, E (intersecciones de MP, MA, MB, con

sus polares, p, a, b).

A continuación se determinan los conjugados armónicos de M, respecto a PH, AC, BE, obteniéndose I, D, F, puntos

de la cónica.

Uniendo D con P, y hallando el conjugado armónico de D, respecto PL, se obtiene el punto R de la cónica.

Observemos que tomando pares de puntos homólogos de la involución formada en P, y repitiendo la construcción

anterior, se pueden determinar más puntos de la cónica.

A

D

B

C

E

F

R

LA'B'

M

H

I

p

b

a

P

202

Ejemplo 8.- Dada una cónica se conocen: Tres puntos A, B, C, y dos pares de direcciones conjugadas, m, m′

y n, n′. Determinar la cónica.

En el centro de la cónica se forma una involución, cuyos rayos homólogos son las direcciones conjugadas.

El conocimiento de las direcciones conjugadas m, m′ y n, n′, determinan la involución.

Fijado un punto, S, se determinan las direcciones conjugadas de AB≡ p, y BC≡ q.

El centro de la cónica estará en la intersección de las paralelas, por los puntos medios de AB y BC, a las direcciones

conjugadas de AB y BC.

Los rayos dobles de la involución son las tangentes trazadas desde O; es decir, las asíntotas.

A

B

C

S

F

p

q

O

m

m'

n

n'

p

q

p'q'

p'q'

1

1'

2

2'

3

3'

4

4'

5≡5'6≡6'Centro

Asíntotas

Punto de Fregier

Ejemplo 9.- En una cónica se conocen: La directriz, d, y tres puntos, A, B y C. Hallar el foco correspondiente.

Sean D y H las intersecciones de AB y AC con d.

Dado que D y H están en la polar de F, las polares de D y H pasaran por F.

Además, las polares de D y H pasa-

ran por E y M, conjugados armóni-

cos de D y H, respecto a A, B y A,

C, respectivamente.

Como los rayos de la involución for-

mada en F, son perpendiculares, el

foco estará en las circunferencias, de

diámetros DE y HM.

Las intersecciones de esas circunfe-

rencias, nos darán las dos soluciones

que, en general, tiene el problema.

H

A

B

C

D

E

FF2

d

M

203

Ejemplo 10.- Halar el foco de una cónica, conociendo: Su directriz y tres puntos A, B, C.

Por los puntos dados A, B y C, se trazan las rectas AD, BE y CG.

Por ser A, B, C puntos de la cónica tendremos

ADAF

=BEBF

=CGCF

=⇒ ADBE

=AFBF

yCGBE

=FCFB

Así, el punto F pertenecerá a los lugares geométricos de los puntos cuya relación de distancias a A, B, y B, C, son:

ADBE

yCGBE

La intersección de esos dos lugares geométricos es el foco.

A

B

C

D

E

F

G

H

d

Ejemplo 11.- En una cónica se conocen: La directriz, d, dos puntos, A y B, y la tangente en A. Hallar el foco

correspondiente a d.

Si H es la intersección de t y d, se verifica: Por estar H en las polares de F y A, su polar pasa por F

y A; es decir, es FA.

En la involución formada en F, FH y FA son rayos homólogos, y como los ángulos formados por los rayos homólo-

gos son rectos, F estará en la circunferencia de diámetro HA.

Por otra parte, la polar de D pasará por E, conjugado armónico de D, respecto a A, B y por F.

En la involución formada en F, EF y FD son rayos ho-

mólogos, luego EFD = 90o, y por tanto, F estará en la

circunferencia de diámetro ED.

La intersección de las dos circunferencias anteriores nos

dará el foco F.

B

At

d

D

E

H

F

204

Ejemplo 12.- En una cónica se conocen: Una directriz, d, su foco correspondiente, F, y una tangente, t. Hallar

su punto de contacto, y el otro foco.

Recordemos que el foco tiene la propiedad de ser el polo de la directriz, y que la involución formada en él, por las

polares y sus polos correspondientes, tiene sus rayos homólogos perpendiculares.

Así, si A es el punto de intersección de la directriz, d, y la tangente, t, entonces A estará en las polares de F y T

(punto de contacto de t); luego su polar es FT, y por tanto, FA y FT son rayos homólogos, y AFT = 90o.

Una vez determinado el punto T se

traza el ángulo F′TA = ATF, con lo

que la intersección de TF′con la per-

pendicular FD, a d, nos da el otro fo-

co, F′.

Observemos que si la directriz queda

comprendida entre los focos, F y F′,

la cónica es hipérbola; si queda fue-

ra, es elipse, y por último, si F′T es

paralela a FD, es parábola.

T

A

DF

F'

d

Ejemplo 13.- En una cónica se conocen: El centro, O, un punto, B, y dos pares de direcciones conjugadas

(a, a′) y (b, b′). Hallar sus ejes.

Por un punto cualquiera, S, se trazan paralelas a las direcciones conjugadas, a, a′ y b, b′; en la involución que se

forma se determinan los rayos principales (perpendiculares), e y e′.

Las paralelas trazadas por O a los rayos e y e′ determinan las direcciones de los ejes.

Si por el punto S se traza la paralela a OB, y se determina su rayo homólogo, t, se obtiene la dirección conjugada de

OB; la paralela a t, trazada por B, nos proporciona la tangente en B.

Si P es la intersección de t y el eje e, la polar de P pasara por B, y es perpendicular a e.

Sean V3 y V4 los vértices del eje e. Se verifica que P y P′ son conjugados armónicos respecto a V3 y V4, y por tanto

V3O2= OP ·OP′ ,

quedando determinados V3 y V4.

En la misma forma se determinan los vértices V1 y V2.

O

V1

V2

V3

V4 B

P

Q

P'

Q'

C

p

t

q

t'a

a'

b

b'

t

t'

e

e'

B

A T

T'

EE' M

A'

F

B'

S

205

CAPÍTULO III

Lección 19.- LAS CÓNICAS COMO HOMÓLOGAS

DE LA CIRCUNFERENCIA

19.1 Transformación homológica de una circunferencia

19.2 Las cónicas como homólogas de una circunferencia

19.1 Transformación homológica de una circunferencia

Recordemos que dos figuras situadas en un mismo plano son homológicas cuando se corresponden punto

a punto y recta a recta, de tal forma que:

1.- Los puntos homólogos se hallan siempre en línea recta con un punto fijo, llamado centro de

homología.

2.- Dos rectas homólogas se cortan siempre en puntos situados sobre una recta fija, llamada eje de

homología.

3.- Los puntos del eje son dobles, es decir son homólogos de sí mismos.

4.- Los puntos homólogos de los impropios de ambas figuras están situados sobre sendas rectas, que

llamaremos límites.

5.- Las rectas límite están situadas equidistantes del eje y del centro de homología, comprendidas

entre estos elementos o bien exteriores a ellos.

A

B

C

D

A

D

L

L

E

Rectas doblesCentro (punto doble)

Rectas Límites

Eje (recta doble)

S

B

C

'

'

'

'

'

209

En lo que sigue obtendremos las distintas cónicas como las figuras homológicas de una circunferencia,

observando en todos los casos las siguientes particularidades.

a.- Para toda cónica, homológica de una circunferencia, se verificará que las tangentes comunes, a

ambas figuras, pasarán por el centro de homología; en consecuencia serán rectas dobles.

b.- Cualquier punto de la cónica obtenida, tendrá su homólogo en la circunferencia, y en línea recta

con el centro de homología.

c.- Como consecuencia de ser dobles las tangentes antes citadas, serán homólogos sus puntos de

contacto, con la circunferencia y la cónica generada por la homología.

d.- De la posibilidad de tomar como centro de homología el punto de intersección de las tangentes

interiores, resultará que estas serían dobles.

A'

A

B

B'

X

Y

X'

Y'

O

S

e.- Si la cónica generada, homóloga de una circunferencia, tiene con ella dos puntos comunes, podre-

mos tomar como eje de homología la recta determinada por ellos.

EJE DE HOMOLOGÍA

210

f.- En el caso de que la cónica y la circunferencia sean tangentes, podremos tomar como eje de

homología la tangente común.

EJE DE HOMOLOGÍA

g.- Las relaciones entre polo y polar en la circunferencia, se transforman, por la homología conside-

rada, en sus correspondientes de polo y polar en las cónicas obtenidas por ella.

Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, vamos a analizar a qué resultados nos conduce el

situar la recta límite de la circunferencia en los tres casos posibles: Que sea exterior, tangente o secante,

a tal circunferencia.

Anticipándonos a lo que vamos a establecer y al objeto de destacarlo, observaremos que: En el primer

caso, en el que obtendremos una elipse, de la misma conoceremos dos diámetros conjugados, de los que

se deducirán sus ejes; en el segundo caso, en el que obtendremos una parábola, resultarán conocidos

su eje y su vértice, y por último, en el tercer caso, en el que obtendremos una hipérbola, resultarán

conocidas sus asíntotas y sus vértices. En todos los casos, será posible para cualquier punto, determinar

sus tangentes, lo que permitirá un buen trazado de la cónica en la que estemos interesados.

PROPOSICIÓN 1. En toda homología, una circunferencia se transforma en una elipse, siempre

que su recta límite, L, sea exterior a ella.

Basta ver que al ser la recta límite el lugar geométrico de los puntos homólogos de los impropios de la otra

figura, al no tener ningún punto de contacto la circunferencia con su recta límite, la curva transformada

carece de puntos impropios, y en consecuencia se trata de una curva de segundo grado cerrada, es decir

una elipse.

Veamos ahora como determinar dos diámetros conjugados en la elipse, en la que se transforma la circun-

ferencia:

La homología, con la que transformaremos la circunferencia, (c), vendrá dada por su eje, e, la recta

límite L, y el centro, O.

Elegido un punto cualquiera, A, de la recta límite, desde él trazaremos las tangentes, t1 y t2, a la circun-

ferencia siendo sus puntos de contacto, los denominados 1 y 2.

Desde el punto, B, intersección de la recta 12 con la recta límite, L, trazaremos las tangentes a la circunfe-

rencia, t3 y t4, con lo que determinaremos el triángulo autopolar444

ABD, siendo D el punto de intersección

de las rectas 12 y 34.

211

Evidentemente, las rectas t′1 y t′2, y la recta 3′D′4′, tendrán en común el punto homólogo de A, es decir

el A′∞∞∞, que obtendremos uniendo A con O (centro de la homología).

Dado que los puntos del eje son dobles, quedarán bien definidas las tangentes t′1 y t′2, así como sus puntos

de contacto 1′ y 2′, respectivamente.

El centro de la elipse será D′, homólogo de D, punto medio del diámetro 1′2′.

Así mismo, quedarán definidas las tangentes t′3 y t′4, y la recta 1′D′2′, por tener común el punto B′∞∞∞,

homólogo de B, cuya dirección viene dada por la recta OB.

Disponemos, por tanto, de los dos diámetros conjugados 1′2′ y 3′4′, con lo que podremos determinar los

ejes y vértices de le elipse, por cualquiera de los procedimientos gráficos conocidos.

AB

(c)

O

B'∞

A'∞

t'1t'2 t'3 t'4

1

2

3

4

1'

2'

3'

4'

t1

t2

t3

t4

B'∞

A'∞

D

D'

B'∞

B'∞

A'∞

A'∞

e

L

212

PROPOSICIÓN 2. En toda homología, una circunferencia se transforma en una parábola, siempre

que su recta límite, L, sea tangente a ella.

De la propia definición de recta límite se deduce que en este caso la cónica homológica ha de tener un

punto impropio, homólogo del de contacto de la recta, y en consecuencia se tratará de una parábola.

En este caso el sistema homológico está definido por el eje e, la recta límite, L, tangente a la circunfe-

rencia, (c), y el centro de homología, O.

Si A es el punto de contacto de la recta límite con la circunferencia, la recta OA nos determina la direc-

ción del punto impropio de la parábola, A′∞∞∞, es decir de su eje.

Se trata, ahora, de determinar el vértice de la parábola, y por tanto de su eje. Para ello procederemos

como sigue:

1.- Trazaremos la recta OB, perpendicular a la dirección del eje OA′∞∞∞ = OA.

2.- Desde el punto B trazaremos la tangente, tV, a la circunferencia, que nos proporciona el punto de

contacto, V.

3.- La homóloga de tV, es decir la t′V, pasará por el punto doble del eje, G≡G′, y será paralela a OB.

4.- Por último, la recta t′V determinará V′, vértice de la parábola, al unir V con O. Bastará, entonces,

trazar la recta V′A′∞∞∞ para obtener el eje de la parábola.

Observemos que los puntos en que el eje, e, corta a la parábola, es decir los H≡H′ y F≡ F′, son dobles.

Por otra parte, los puntos H′1 y F′1, son simétricos de los H′ y F′, respectivamente. El punto de contacto

de la tangente doble, t− t′, se obtiene como intersección de esa recta con la homóloga de la recta que

une A con 1, es decir con la recta 1′A′∞∞∞.

AB

O

V(c)

F≡F'

H≡H'G≡G'

D≡D'H'1

F'1

tV t'Vt≡t'

1

1'

eV'

A'∞

A'∞

A'∞

L

213

PROPOSICIÓN 3. En toda homología, una circunferencia se transforma en una hipérbola, siem-

pre que su recta límite, L, la corte.

Basta con ver que la cónica tiene dos puntos impropios, y que, por tanto, se trata de una hipérbola.

En este caso el sistema homológico está definido por el eje, e, la recta límite, que corta a la circunferencia,

(c), y el centro de homología, O.

Para la determinación de los elementos de la hipérbola tendremos en cuenta que los puntos, A y B, en

que la recta límite, L, corta a la circunferencia, (c), tienen por homólogos los A′∞∞∞ y B′∞∞∞, lo que significa

que al trazar las rectas OA y OB obtendremos las direcciones de las dos asíntotas, las cuales serán las

rectas homólogas de las tangentes ta y tb, que se determinarán trazando por los puntos G≡G′ y H≡H′,

en que cortan al eje las t′a y t′b, respectivamente paralelas a OA y OB.

El centro de la hipérbola, M′, será el homólogo del M, punto en que cortan las tangentes ta y tb.

Para la determinación de los vértices, V′1 y V′2, de la hipérbola, bastará con hallar el homólogo del

eje real, bisectriz del ángulo formado por las asíntotas, es decir la recta C≡ C′M, la cual cortará a la

circunferencia en los puntos V1 y V2, que unidos con el centro de homología, O, nos determinan los

tales vértices V′1 y V′2, respectivamente.

Pertenecerán, también, a la hipérbola, los puntos dobles del eje D≡ D′ y E≡ E′ ; así mismo, por

simetría, E′ nos proporcionaría los puntos E′1 y E′2 de la hipérbola.

A B

O

M

A'∞

∞B'

V1

V'2

(c)

E'1

E'2

∞B'A'∞

G≡G'

C≡C'

E≡E' H≡H'

D≡D'

V2

V'1

t'a

tbta

t'b

A'∞

M'

_ _

L

214

19.2 Las cónicas como homólogas de la circunferencia

En general, sin tener conocimiento del tipo de cónica de que se trate, su determinación precisa de cinco

elementos de la misma, cualesquiera que estos sean, problema a resolver utilizando las relaciones ho-

mológicas conocidas, y en cada caso empleando la homología que permita que, además de averiguar el

tipo de cónica de que se trata, obtener los elementos necesarios para su trazado. El número de casos a

resolver, doce, son los que aparecen en el siguiente cuadro:

Caso Puntos ordinarios Puntos de tangencia Tangentes

1 5 0 0

2 4 0 1

3 3 1 1

4 3 0 2

5 2 1 2

6 1 2 2

7 2 0 3

8 1 1 3

9 0 2 3

10 1 0 4

11 0 1 4

12 0 0 5

215

Lección 20.- LAS CÓNICAS Y LA PROYECTIVIDAD

20.1 Casos especiales

20.2 El recurso de la proyectividad

20.1 Casos especiales

En muchas ocasiones, además de los casos de determinación de una cónica que figuran en el cuadro que

figura en el apartado 19.2, de la lección anterior, se presentan otros, en los que conociendo previamente

la naturaleza de la cónica, se dispone de otros elementos que la determinan. En general, en estos casos,

la solución la obtendremos auxiliándonos de homologías de planteamiento sencillo. Veámoslo con unos

ejemplos:

Ejemplo 1. Consideremos una elipse dada por sus dos ejes: AB y CD.

Para su trazado tendremos en cuenta que es la figura afín de una circunferencia cuyo diámetro es cualquiera de sus

ejes, preferiblemente su eje mayor, por ser más exacta su construcción.

Así, la elipse (e) se podrá trazar como afín de la circunferencia (c′), siendo su eje de afinidad el eje mayor de la

elipse, AB, y el par de puntos afines, C′ y C. La dirección de afinidad vendrá dada que la recta CC′.

Recordando las propiedades de la relación homológica resultará sencillo, no solamente el trazado de puntos sino

además el de las tangentes que pudieran interesarnos.

OA B

C

D

F

F'

C'(c')

(e)

(c')1

E ≡F'11

217

Ejemplo 2. Consideremos una elipse dada por dos diámetros conjugados: AB y CD.

También en este supuesto es posible utilizar la transformación afín de la circunferencia (c′), de diámetro AB, en

el sistema determinado por el eje e (diámetro común) y los puntos afines C y C′, por corresponderse las tangentes

afines Tc y T′c, paralelas al eje de afinidad.

A B

C

D

C' T'C

e

(c')

TC

O

Ejemplo 3. Consideremos una parábola (c), determinada por su vértice, V, su eje, e, y un punto

cualquiera P.

En este supuesto, se trata de relacionar la parábola con una circunferencia cualquiera mediante su transformación

homológica.

Tomemos como eje de homología la tangente común, E, en el vértice, V.

Elijamos una circunferencia arbitraria, (c′), que sea tangente en el mismo punto doble, V≡ V′, a dicho eje.

Si esta circunferencia ha de ser homológica de la parábola, su recta límite, L′, ha de ser tangente a ella,

y paralela al eje.

El punto de contacto, A′, tendrá co-

mo homólogo el impropio, A∞∞∞, de

la parábola, dado que, por razón de

simetría el centro de homología, O,

que se determina a continuación de-

be hallarse sobre e.

Uniendo dos puntos de la misma fi-

gura, A∞∞∞P, determinaremos el punto

P′, homólogo del P, con los cuales

hallamos la posición del O, centro de

la homología, con lo que acabamos

de definir el sistema, que nos permi-

tirá trazar fácilmente la parábola (c).

O

L'

P'

E

PP1

e

A'

A∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

(c')

A∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

V≡V'

218

20.2 El recurso de la proyectividad

Si bien la utilización de la homología, es aconsejable para conseguir un mejor trazado de las cónicas, a

veces puede ser interesante recurrir a la proyectividad aunque sus construcciones son más laboriosas y

precisan de un mayor número de líneas auxiliares.

A modo de ejemplo, vamos a enunciar sendas propiedades, que son de aplicación directa a la determina-

ción de puntos y tangentes de cónicas determinadas por sus cinco elementos integrantes.

1a.- propiedad. Las rectas de unión de los puntos homólogos de dos series rectilíneas proyectivas

de distintas bases situadas en un plano, envuelven una cónica; o dicho de otro modo: Las tangentes

a una cónica determinan sobre dos cualesquiera de ellas, dos series proyectivas.

2a.- propiedad. Los puntos de encuentro de los rayos homólogos de dos haces de rectas proyec-

tivas no concéntricas y situados en el mismo plano, determinan una cónica; o dicho de otro modo:

Los puntos de una cónica proyectados desde dos cualesquiera de ellos, determinan dos haces pro-

yectivos. Seccionando estos dos haces por una secante, obtenemos dos series proyectivas de igual base.

Veamos, en primer lugar, una aplicación de la 1a.- propiedad.

Ejemplo 1. Determinada una cónica mediante cinco tangentes: t1, t2, t3, t4, t5, podremos conseguir la deter-

minación de más tangentes a la misma aplicando la 1a.- propiedad, tomando como bases las tangentes t1 y t2,

donde las demás determinan puntos homólogos: A y A′, B y B′, y C y C′.

Determinaremos, para ello, el eje proyectivo, e, trazando las rectas AB′, BA′ y AC′, CA′, obteniéndose así los puntos

dobles 1(≡ 1′) y 2(≡ 2′).

Elegido un punto cualquiera, D, sobre t1, trazaremos, por ejemplo, la recta DB′, que corta al eje proyectivo en el

punto 3(≡ 3′), correspondiéndole, por tanto la recta BD′, siendo la recta DD′ la tangente deseada tA.

Para determinar el punto de contac-

to, G, de esta tangente tA, será éste

el conjugado armónico de F, respec-

to al par (D, D′).

Los puntos en que el eje proyectivo,

e, corta a las tangentes t1 y t2, toma-

das como bases de las dos series, son

los puntos de contacto que les corres-

ponde en la cónica, T1 y T2.

A

A'

B

B'

CC'

D

F

P

e

t1

t2

t3

t4

t5

D'

T1

T2

G

213

tA

El siguiente ejemplo muestra una aplicación de la 2a.- propiedad.

219

Ejemplo 1. Consideremos la cónica determinada por cinco puntos: A, B, C, D, E.

Elijamos los puntos A y E como centros de los haces en cuestión: (b, c, d) y (b′, c′, d′).

Para determinar el centro proyectivo, O, de estos haces, hallaremos la recta MM′, de unión de dos pares de rayos no

homólogos (M intersección de b y d′; y M′ intersección de b′ y d), y por otra parte la NN′ (N intersección de b y

c′, y N′ intersección de b′ y c′).

La intersección de las rectas MM′ y NN′ nos determina el centro proyectivo O.

Para determinar un punto cualquiera de la cónica, se elige un rayo cualquiera, f, de uno de los haces, y se determina

su intersección, P, con un rayo cualquiera, c′, del otro haz. Se halla su correspondiente P′ sobre c, mediante la recta

OP. A continuación, P′ unido con E, vértice del haz, nos dará el rayo f′, y por tanto, el punto de la cónica, F.

Las tangentes tA y tE a la cónica, correspondientes a los puntos A y E, elegidos como vértices de los haces, pasan

por el centro proyectivo, O.

Para obtener la tangente un punto cualquiera, B, se hará como sigue: Considerados los dos rayos homólogos b, b′,

los cortamos por una recta cualquiera, r, paralela a la BO. De esta manera, y por los puntos determinados, 1 y 2,

completamos el paralelogramo

132B, la diagonal 3B, resultará ser la tangente en el punto B.

A

CD

E

N

P

P'

M'

N'

O

b

c

d

b'

c'd'

f

f'

1

2

3

r

tA

tB

tE

F

=

==

=

B

M220

Lección 21.- DETERMINACIÓN DE CÓNICASPOR HOMOLOGÍA

21.1 Ejemplos

21.1 Ejemplos

En lo que sigue, y como complemento a los planteamientos anteriores, se resuelven, ejemplarizando,

diversos problemas correspondientes a las figuras homológicas de la circunferencia indicando los proce-

dimientos para determinar las figuras homólogas en sus tres casos.

Ejemplo 1. De una cónica conocemos: tres tangentes, m′, n′, t′, el punto, A′, de contacto de t′, y otro punto,

B′∞∞∞. Se pide determinar la clase de cónica de que se trata.

Tomamos como centro de homología, S, el punto de intersección de m′ y n′; y como homóloga de la cónica, una

circunferencia cualquiera, que sea tangente a m′ y n′.

El punto A será la intersección de la recta SA′ con (O).

La homóloga de t′ será la tangente a (O) en A; la t.

El punto M, intersección de las rectas t y t′, pertenece al eje de homología; y otro punto del eje es la intersección de

las rectas AB y A′B′∞∞∞; ambos puntos determinan el eje e.

La recta límite, L, es la paralela a e, trazada por el punto B.

Como L es tangente a la circunferencia la cónica es una parábola.

A

BS

N

M

A'

B'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

B'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

m'

n'

t'

t

e

O

L

Ejemplo 2. De una cónica se conoce: tres tangentes, m′, n′, t′, y los puntos A′∞∞∞ y B′, de contacto de m′ y n′.

Se pide, determinar la clase de cónica de que se trata.



Los homólogos de A′∞∞∞ y B′ son los puntos de contacto de m′ y n′; con la circunferencia (O).

221

La intersección de las rectas A′∞∞∞B′ y AB, determinan un punto, M, del eje de homología, e.

El homólogo de N′, intersección de A′∞∞∞B′ con t′, está en la recta SN′ y en la AB.

La recta t es la tangente desde N a la circunferencia.

La intersección de t y t′, determinan el punto H, que es

un punto del eje, con lo cual queda éste definido.

La recta límite, L, es la paralela a e, trazada por A.

Como L corta a la circunferencia, la cónica es una

hipérbola. A

B

S

N

M

H

A'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

A'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

m'

n'

t' t

e

O

N'

B'

L

Ejemplo 3. De una cónica se conoce: dos tangentes, m′ y n′, el punto A′∞∞∞ de contacto de m′, y otros dos

puntos, B′ y C′. Se pide, determinar la clase de cónica de que se trata.

Tomamos como centro de homología, S, el punto de intersección de m′ y n′, y como homóloga de la cónica una


Los puntos B y C está en línea recta como S, y respectivamente con B′ y C′. (B y C perteneciendo a la circunferen-

cia).

Las intersecciones de las rectas BC y B′C′, y las AB y A′B′, determinan el eje de homología, e.

La recta límite, L, pasa por A, y como corta a la circunferencia en otro punto M, la cónica es una hipérbola.

A

B

C

A'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

A'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

M

C'

B'

S

m'

n'

eL

222

Ejemplo 4. De una cónica conocemos: cuatro puntos, A′, B′, C′, D′∞∞∞, y la tangente, t′, en el punto C′. Se pide

determinar la clase de cónica de que se trata.

Tomamos como figura homóloga de la cónica, la circunferencia de diámetro A′B′, y como eje de homología,

la recta A′B′.

La recta C′D′∞∞∞ corta al eje establecido en el punto M≡M′, cuyas polares respecto las dos cónicas son homólogas.

La polar respecto a la circunferencia es la recta r.

La polar respecto a la cónica pasará por H, y por el simétrico de M respecto a C′ (por ser el conjugado armónico de

M respecto al par (C′, D′∞∞∞), es decir por el punto M1).

La tangente en C′, es decir t′, corta al eje en el punto T, y su homóloga será la tangente a la circunferencia desde T,

(observemos que caben dos soluciones); el punto de contacto de esta tangente, C, será el homólogo del C′.

Las rectas r, t y r′, t′, determinan un par de puntos homólogos: N y N′. El centro de homología será la intersección

de las rectas NN′ y CC′.

La recta CD tiene que pasar por M, siendo el punto D la intersección de CM con la circunferencia. (Como compro-

bación, los puntos S, D y D′, tienen que estar alineados).

La recta límite, L, es la paralela a e por D; como corta a la circunferencia, en F, la cónica es una hipérbola.

D'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

F'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

T

D

N H

O

C

B'

C'

N'

M1

M≡M'

r

r'

t'

t

D'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

F

S

A'

eL

Ejemplo 5. Dados cinco puntos: A′, B′, C′, D′, F′∞∞∞, de una cónica, determinar la clase de cónica de que se

trata.

Tomamos como figura homóloga de la cónica, la circunferencia de diámetro A′B′, y como eje de homología, la recta

A′B′.

La recta C′D′ corta al eje establecido en el punto M≡M′.

223

La polar de M respecto de la circunferencia, que es r, y la polar de M′ respecto a la cónica, que es r′, son homólogas.

La polar de M se determina inmediatamente (trazando la tangente a la circunferencia) y corta al eje en el punto T.

La polar de M′ pasará por el punto H, conjugado armónico de M′, respecto al par (C′, D′), y además por el

punto T′.

Así mismo, C′F′∞∞∞ corta al eje en N≡ N′, y sus polares respectivas son t y t′; t′ pasará por I, conjugado armónico del

punto N, respecto al par (C′, F′∞∞∞), que en este caso es el simétrico de N.

Las rectas t, r y t′, r′, nos proporcionan un par de puntos homólogos respectivamente, P∞∞∞ y P′. (Observemos que el

punto P′ pertenece a la recta límite L′).

La recta que une los puntos P′ y D′, tiene como homóloga la P∞∞∞D, y como D′ pertenece a la cónica, el punto D

estará en la circunferencia.

El centro de homología vendrá definido como intersección de las rectas DD′ y P∞∞∞P′.

Tomando, ahora, RQ = SP′, obtenemos la recta límite L. Como L corta a la circunferencia, la cónica es una

hipérbola.

F'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

TD

O

B'

M≡M'

r

r'

t'

t

P∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ F

A'

e

N≡N'

R

D'

P∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞Q

C'SP'

H

L

L'

Ejemplo 6. De una cónica se conoce: tres puntos, A′, B′, C′, y una asíntota, a′. Se pide, determinar la otra

asíntota.

Tomamos como figura homóloga de la cónica, la circunferencia, (O), de diámetro A′B′, y como eje de homología,

la recta A′B′.

La recta a será la tangente a la circunferencia, (O), desde el punto M (intersección de a′ con el eje e).

224

El punto D, de contacto con a, es el homólogo del D′∞∞∞, punto del infinito de a′.

La recta CD pasará por N, intersección de C′D′∞∞∞ con el eje e.

Como C′ está en la cónica, el punto C pertenecerá a la circunferencia (O).

La intersección de las rectas D′D′∞∞∞ y CC′ nos da el centro de homología, S.

La otra asíntota, buscada, es la recta homóloga de b, tangente a la circunferencia en el punto H, intersección de L

(recta límite) y la circunferencia (O).

M

S

A'B'

C'

D

NO

H

C

D'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

H'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

D'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

H'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

b

b'

a'

e

L

Ejemplo 7. De una cónica conocemos: cuatro puntos, A′, B′, C′, D′, y una tangente, t′. Se pide, determinar

el punto de contacto de t′.

Tomamos como figura homóloga de la cónica, la circun-

ferencia de diámetro A′B′, y como eje de homología, la

recta A′B′.

La recta C′D′, corta al eje establecido en el punto

M≡M′, y sus respectivas polares, r y r′, son rectas ho-

mólogas.

La recta t será la tangente, desde el punto H, a la circun-

ferencia.

Los puntos, T (intersección de las rectas r y t), y T′ (in-

tersección de las rectas r′ y t′), son homólogos.

Uniendo T′ con D′, y determinando su homóloga TD, se

obtiene el punto D.

El centro de homología, S, vendrá determinado por la in-

tersección de las rectas TT′ y DD′.

El punto de contacto de t′ , P′, es el homólogo del punto

P, de contacto de t con la circunferencia.

A'

B'

D'

D

O

T

N

M≡M'

H

r

r'

t t'

PP' C

T' S C'

e

225

Ejemplo 8. De una cónica conocemos: tres puntos, A′, B′, C′, dos tangentes, m y n. Se pide determinar el

punto de contacto de m.

Tomamos como centro de homología, S, el punto de intersección de m y n; y como homóloga de la cónica, una

circunferencia cualquiera, que sea tangente a m y n.

Uniendo el punto S con los A′, B′, C′, obtenemos en la circunferencia, (O), los puntos A, B, C.

Los puntos de intersección de las rectas AB y A′B′, y AC y A′C′, nos determinan el eje, e, de homología.

El punto de contacto de m, será el M′, homólogo del M.

Determinada la recta límite, L, como no corta a la circunferencia, la cónica es una elipse.

A'

H'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

M

C'

S

M'e

m

n

H'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

H

B'A B

CO

L

Ejemplo 9. De una cónica conocemos: tres puntos, A′∞∞∞, B′∞∞∞, C′, y dos tangentes m′ y n′. Se pide determinar

el punto de contacto de m′.


circunferencia cualquiera, que sea tangentes a m′ y n′.

Los puntos A, B y C estarán en la circunferencia, (O), y en línea recta con S.

La recta AB, es la recta límite L.

Las rectas AC y A′∞∞∞C′, determinan el eje e.

El punto de contacto de m′ será el homólogo de T (punto de contacto de (O) y m′, es decir el T′.

A

A'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

T

C'

S

T'

e m'

n'

B'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

H

B

CO

A'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

A'∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞L

226

Lección 22.- AFINIDADES

22.1 Ejemplos

22.1 Ejemplos

El tema de las homologías, en general, fue tratado en la Lección 37 del Tomo II, en cuyo apartado

37.6 estudiamos lo que llamábamos “homologías particulares”; que dependían fundamentalmente, de

la situación de su centro y de su eje. Así;

1o.- Cuando el eje era propio y su centro impropio, estábamos en presencia de lo que llamábamos una

afinidad.

2o.- Cuando el eje era la recta impropia y el centro era propio, a la homología se la llamaba homotecia,

y cuando la homotecia era involutiva, recibía, esta el nombre de simetría central.

3o.- Cuando el eje era la recta impropia y su centro era impropio, lo que teníamos era una traslación.

Por otra parte, los giros, y en general una congruencia, que no sea traslación ni simetría, lo mismo que

una semejanza que no sea homotecia, no son casos particulares de la homología.

En particular, por considerar particularmente interesante la afinidad, los ejemplos que siguen tratarán de

enriquecer su conocimiento.

Ejemplo 1. Conocemos los diámetros conjugados, MN y PQ, de una elipse, el eje de afinidad e, y un par de

puntos homólogos A y A′. Se pide, trazar por un punto dado, B′, tangentes a la afín de la elipse dada.

En primer lugar, los puntos homólogos, A y A′, determinan el centro de afinidad, S∞∞∞.

Para trazar tangentes desde B′ a la

afín, habrá que trazar tangentes des-

de B a la elipse.

Para trazar tangentes desde B, se

plantea una afinidad de eje e, de ma-

nera que la afín de la elipse sea la cir-

cunferencia de diámetro PQ. Pues-

to que a diámetros conjugados de la

elipse, corresponden diámetros per-

pendiculares de la circunferencia, el

homólogo del punto M es el M1,

siendo el centro de la nueva afinidad

el punto O∞∞∞.

A continuación se determina el pun-

to B1, afín del B, y desde B, se trazan

tangentes a la circunferencia.

A

B

B'

P

N

Q

A'

M

O∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

S∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

t2

LR

e

M1 t1

O∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

S∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞

B1

Las rectas B′L y B′R, son las tangentes a la elipse dada, siendo la B′L y B′R, las tangentes pedidas.

227

Ejemplo 2. Conocemos una circunferencia (O), dos puntos, A y A′, de ella diametralmente opuestos, y una

recta e. Se pide, trazar tangentes desde O, a la figura afín de (O), siendo A y A′ puntos homólogos, y e el eje

de afinidad.

En primer lugar, los puntos A y A′, determinan el centro de afinidad, S∞∞∞.

Consideremos, ahora, el punto O como B′, punto de la

otra forma, y determinemos su homólogo, B.

Desde B se trazan tangentes a (O), con lo que tendremos

sus homólogas serán las tangentes pedidas.

A A'

M

NN'

C C'S∞

S∞

S∞B

e

M'

O≡B'

Ejemplo 3. Dada una circunferencia, (O), el eje de afinidad, una tangente, t′, a la afín, y su punto de contacto.

Se pide, trazar tangentes, a la homóloga desde el punto, P′, dado; y paralelas a e.

Desde M, intersección de t′ y e, se traza una tangente a (O), que será la homóloga de t′; y su punto de contacto, B,

será el homólogo de B′.

El centro de la afinidad, S∞∞∞,está definido por BB′.

Dado que si una recta es paralela al eje, su homóloga también lo es, para trazar tangentes paralelas al eje, se trazaran

tangentes a la circunferencia, también paralelas al eje; sus homólogas serán las pedidas. (En nuestro caso se ha

dibujado una única tangente paralela; la m′, homóloga de la m).

Para trazar tangentes desde P′, habrá que trazar tangentes a la circunferencia desde su homólogo P. Las homólogas

correspondientes serán las tangentes pedidas. (En nuestro caso sólo se ha dibujado una, la P′T′, homóloga de la PT)

A

A'

B'

B

MN

T

T'

O

P'

P

S∞t

t'

m

m'

S∞

S∞ S∞

e

228

Ejemplo 4. Dada una circunferencia, (O), y una recta, e, que se considera como eje de afinidad. Se pide,

trazar tangentes desde B′ a la afín, sabiendo que una recta dada, t′, tangente a (O), es tangente en A′ a la afín.

La recta t es tangente, desde M a (O).

Ahora bien, la t no puede confundirse con la e, puesto que, entonces, sería doble, lo que obligaría a que la t′ se

confundiera con e. En consecuencia, t coincide con t′, y por tanto es doble.

Dado que t′ es doble, y no se confunde con e, pasará por el centro de afinidad, que será, por tanto, el punto del

infinito de t′.

Para trazar tangentes desde B′, hallaremos su homólogo, B, y desde éste trazaremos tangentes a (O); sus homólogas

serán las rectas pedidas, B′T′1 y B′T′2.

AA'

BB'

T'2 T2

O

L

S∞

Mt≡t'

e

S∞

S∞T'1T1

Ejemplo 5. Dada una afinidad definida por su centro, S∞∞∞, el eje, e, y su coeficiente, k =−2. Se pide, trazar

tangentes a la homóloga de una circunferencia desde el centro de esta.

Como conocemos el coeficiente de afinidad, tenemos:

(S∞∞∞ ααα A A′) =−2 = (A′ A ααα S∞∞∞) =A′αααAααα

.

Fijamos un punto cualquiera A, y determinamos su homólogo A′. Puesto que tenemos que trazar tangentes desde el

centro de la circunferencia, consideremos este como O′, de la forma de la elipse, y se determina su homólogo O.

Trazando, desde O, tangentes a la circunferencia, resultará que sus homólogas serán las tangentes pedidas.

A

A'

O'

O

P

T

T'

P'

m

m'

n

n'

S∞

S∞

S∞

S∞

α

k≡-2e

229

Ejemplo 6. Dada una afinidad definida por el eje, e, el centro, S∞∞∞, y el coeficiente, k =−2. Se pide, determi-

nar los ejes y focos de la elipse afín de una circunferencia dada, (O).

Como conocemos el coeficiente de afinidad, tenemos

(S∞∞∞ ααα O O′) = (O′ O ααα S∞∞∞) =O′αααOααα

=−2

luego, O′ααα =−2 ·Oααα , lo que nos determina el punto O′.

Trazamos, ahora, la circunferencia que pasa por O y O′, y tenga su centro en e. Su diámetro será HG.

Al unir H y G, con O y O′, se obtienen cuatro rectas homólogas, m, n, m′, n′.

Como m y n son perpendiculares, tendremos que m′ y n′, son diámetros conjugados, pero al ser perpendiculares

resultarán ser los ejes de la elipse.

Para limitar los ejes de la elipse, bastará con hallar los homólogos de los puntos V1, V2, V3, V4, intersección de m

y n con la circunferencia.

Conocidos los ejes es inmediata la determinación de los focos.

H M

O

G

V1

V3V4

V'1

V'3

V'4

O'

m

m'

n

n'

αV2

V'2

e

k=-2

Ejemplo 7. Dada una circunferencia, (O), se toma como eje de afinidad un diámetro, e, y por centro de

afinidad el punto del infinito perpendicular a e. Se pide, determinar la afín de (O), sabiendo que el coeficiente

de afinidad es, k =−1.

Conocer el coeficiente de afinidad nos permite escribir lo siguiente:

(S∞∞∞ O A A′) =−1 =A′OAO

lo que se traduce en que los puntos homólogos son simétricos respecto al eje, e, y en consecuencia, la afín de la

circunferencia es ella misma.

Así tendremos, por ejemplo, que el homólogo del arco_

MAN es el_

MA′N.

230

El problema que se plantea en este ejemplo, resulta ser un caso particular del siguiente: Plantear una homología

tal que la homóloga de una cónica sea ella misma. La solución consiste en tomar como centro de homología un

punto cualquiera, como eje su polar, y como coeficiente de homología, k =−1.

(En este caso particular de nuestro ejemplo, el centro está en el infinito, y su polar, por tanto, es el diámetro perpen-

dicular).

A

B

C D

A'

B'

C' D'

M N

S∞

S∞

S∞

e

k=-1

231

CAPÍTULO IV

Lección 23.- EL PLANO EUCLÍDEO

23.1 Producto escalar

23.2 Cambio de base en el espacio vectorial euclídeo

23.3 El plano euclídeo. Cambio de sistema de referencia

Intercalamos aquí dos lecciones, la 23 y la 24, como simple recordatorio de cuestiones que se estu-

dian en álgebra, algunas de las cuales van a ser utilizadas en el estudio que seguirá sobre las cónicas.

Probablemente el lector ya las conocerá, con lo que podrá obviar su estudio, y saltar a la Lección 25.

23.1 Producto escalar

Consideremos el conjunto de los vectores libres del plano V2.

Llamaremos producto escalar a la aplicación

V2 x V2 −−−→ R

(x,y) |−−−→ x ·y = |x| · |y| · cos x,y .

El producto escalar, así definido, goza de las siguientes propiedades:

1o.- x ·y = y ·x . Veámoslo:

x ·y = |x| · |y| · cos x,y = |y| · |x| · cos y,x = y ·x

puesto que: cos x,y = cos y,x

2o.- x · (y+ z) = x ·y+x · z . Comprobémoslo:

Elegidos dos representantes de los vectores libres x e y, con origen en un punto fijo, O,−→

OX

y−→OY

, tenemos

|x|=∣∣∣−→OX

∣∣∣= OX , |y|=∣∣∣−→OY

∣∣∣= OY , x,y = XOY

luego

x ·y = OX ·OY · cos XOY = OX ·pr OX OY ,

siendo pr OX OY la longitud de la proyección ortogonal del segmento OY sobre la recta determi-

nada por los puntos O y X.

Si−→

YZ= z, tenemos

x · (y+ z) = OX · (pr OX OY+pr OX YZ) =

= OX ·pr OX OY+OX ·pr OX YZ = x ·y+x · z

235

3o.- λλλx ·y = xλλλy = λλλ (x ·y) para todo λλλ ∈ R.

Veamos que: λλλx ·y = λλλ (x ·y). Distinguiremos tres casos:

a.- λλλ = 0: La demostración es inmediata.

b.- λλλ > 0:λλλx ·y = |λλλx| · |y| · cos λλλx,y = |λλλ | · |x| · |y| · cos x,y =

= λλλ (|x| · |y| · cos x,y) = λλλ (x ·y)

c.- λλλ < 0 :

λλλx ·y = |λλλx| · |y| · cos λλλx,y = |λλλ | · |x| · |y| · cos λλλx,y =

= −λλλ |x| · |y| · cos (πππ− x,y) = λλλ (|x| · |y| · cos x,y) =

= λλλ (x ·y)

Las propiedades anteriores nos muestran que el producto escalar es una forma bilineal simétrica, que

permite definir la siguiente función

V2 −−−→ R

x |−−−→ x ·x = x2 .

a la que llamaremos forma cuadrática asociada a la forma bilineal.

Al valor: x ·x = x2, le llamaremos norma del vector x, y lo representaremos por ‖x‖.

Observemos que la norma de un vector libre es igual al cuadrado de su módulo: |x|2 = ‖x‖.

Se verifica siempre que x2 > 0. Si, y sólo sí, x2 = 0 cuando x = 0, de la citada forma cuadrática se dirá

que es definitiva positiva.

Llamaremos espacio vectorial euclídeo, a todo espacio vectorial, V, sobre el cuerpo de los números

reales, sobre el que hay definido una forma bilineal simétrica, cuya forma cuadrática asociada es defini-

tiva positiva. Luego, V2 es un espacio vectorial euclídeo.

Veamos, ahora, que la norma del vector λλλx+µµµy se puede expresar mediante las normás de x e y, y el

producto escalar x ·y. Tenemos

‖λλλx+µµµy‖= (λλλx+µµµy)2 = λλλ2 ·x2 +2 ·λλλµµµx ·y+µµµ

2 ·y2 = λλλ2 · ‖x‖+2 ·λλλµµµx ·y+µµµ

2 · ‖y‖ .

Dado que |cos x,y|6 1, de la definición de producto escalar se obtiene la llamada desigualdad de

Cauchy - Schwarz:

|x ·y|6 |x| · |y|

236

Si en la expresión , anterior , de ‖λλλx+µµµy‖ , hacemos λλλ = µµµ = 1 , y consideramos la desigualdad:

x ·y6 |x| · |y|, podemos deducir que:

‖x+y‖6 ‖x‖+‖y‖+2 · |x| · |y|= |x|2 + |y|2 +2 · |x| · |y|= (|x|+ |y|)2

y sí

x+y 6= 0 , ‖x+y|> 0 ,

luego √‖x+y‖= |x+y|6 |x|+ |y|

en donde únicamente puede ser válido el =, si x ·y = |x| · |y| , lo que sólo es posible si: x = 0, o y = 0, o

cos x,y = 1; esta última posibilidad equivale a que y = λλλx.

Resumiendo: El módulo de la suma de dos vectores es menor o igual que la suma de sus módulos, y

sólo es igual si al menos uno de los dos es nulo, o si son linealmente dependientes.

A la anterior relación: √‖x+y‖= |x+y|6 |x|+ |y|

se le llama desigualdad de Minkowsky.

La propia definición de producto escalar nos permite utilizar, para hallar el ángulo que forman dos

vectores, la fórmula siguiente:

cos x,y =x ·y|x| · |y|

Veamos, ahora, como expresar analíticamente el producto escalar:

Si u1, u2 es una base de V2 y se tiene

x = x1u1 +x2u2 , y = y1u1 +y2u2

podemos escribir

x ·y = (x1u1 +x2u2) · (y1u1 +y2u2) = (x1 ·y1) · |u1|2 +(x1 ·y2 +x2 ·y1)u1 ·u2 +(x2 ·y2) · |u2|2

que sería la expresión analítica del producto escalar respecto a la base dada.

Si, además, los vectores de la base son unitarios, es decir, si

|u1|= |u2|= 1 ,

y perpendiculares, se les llamará ortonormales, y a la base ortonormal o métrica.

Si la base es métrica, la expresión analítica del producto escalar se reduce a

x ·y = x1y1 +x2y2 ,

237

y la sencillez de la misma aconseja la utilización de bases métricas en los problemas en que interviene el

producto escalar.

En una base métrica, las expresiones analíticas del módulo de un vector, y del coseno del ángulo que

forman dos vectores, son

|x|=√‖x‖=

√x ·y =

√x2

1 +x22 ,

cos x,y =x ·y|x| · |y|

=x1 ·y1 +x2 ·y2√x2

1 +x22 ·√

y21 +y2

2

Ejemplo 1. Si u1,u2 es una base métrica, y

x = 3u1 +2u2 , y =−u1 +4u2 ,

entonces

|x|=√

32 +22 =√

13

|y|=√

12 +42 =√

17

cos x,y =3 · (−1)+2 ·4√

13 ·√

17=

5√221

La expresión analítica del cos x,y nos permite afirmar que, la condición necesaria y suficiente para que dos vectores

no nulos, x e y, sean perpendiculares es que su producto escalar sea nulo, es decir, que

x1y1 +x2y2 = 0 .

23.2 Cambio de base en el espacio vectorial euclídeo

Recordemos que si en un espacio vectorial bidimensional, V2, u1,u2 y v1,v2 son dos de sus bases,

tales que:

vi = ai1u1 +ai1u2 ,

las fórmulas de cambio de base venían dadas por

[x1 x2

]=[x′1 x′2

]a11 a12

a21 a22

donde (x1, x2) son las coordenadas de un vector respecto a la primera base, y (x′1, x′2) lo son respecto a

la segunda.

Veamos, ahora cual es la significación geométrica de los escalares aij:

Multiplicando escalarmente las igualdades

vi = ai1u1 +ai2u2 , (i = 1, 2)

por los vectores ui, obtenemosu1v1 = a11|u1|2 +a12(u1 ·u2)

u2v1 = a11(u1 ·u2)+a12|u2|2

u1v2 = a21|u1|2 +a12(u1 ·u2)

u2v2 = a21(u1 ·u2)+a22|u2|2

238

De las dos primeras deducimos

a11 =|v1| · (cos u1,v1− cos u1,u2 · cos u2,v1)

|u1| · sen2u1,u2


|u2| · sen2u1,u2

y de las dos últimás


|u1| · sen2u1,u2


|u2| · sen2u1,u2

y si hacemos

u1,u2 =ααα , u1,v1 =ααα1 , u1,v2 =ααα2

u1

u2

v1v2

α

α1

α2α α1_

la expresión matricial del cambio de base es

[x1 x2

]=[x′1 x′2

]|v1| · sen (ααα−ααα1)

|u1| · sen ααα

|v1| · sen ααα1|u2| · sen ααα

|v2| · sen (ααα−ααα2)

|u1| · sen ααα


Si los vectores de ambas bases son unitarios la expresión se reduce a

[x1 x2

]=[x′1 x′2

]

sen (ααα−ααα1)

sen ααα

sen ααα1sen ααα


sen πππ


y si la primera base es métrica, por ser ααα =

πππ

2, tendremos

[x1 x2

]=[x′1 x′2

]cos ααα1 sen ααα1

cos ααα2 sen ααα2

Si la segunda base fuese métrica, por ser ααα2 =ααα1±

πππ

2, tendremos

[x1 x2

]=[x′1 x′2

]


sen ααα


∓cos (ααα−ααα1)

sen ααα

±cos ααα1sen ααα

En el caso de que ambas bases sean métricas tendremos

[x1 x2

]=[x′1 x′2

] cos ααα1 sen ααα1

∓sen ααα1 ±cos ααα1

239

Observemos que, en este último caso la matriz que caracteriza el cambio de base es ortogonal, y que

su determinante vale 1 o −1, según que las dos bases determinen la misma o distinta orientación en el

plano.

Ejemplo 1. Si las bases : u1,u2 y v1,v2 de V2, son tales que

|u1|= 1 , |u2|= 4 , u1,u2 = 120o , |v1|= 1 , |v2|= 3 , u1,v1 = 60o , u1,v2 = 30o

la expresión matricial del cambio de base será

[x1 x2

]=[x′1 x′2

]

12

14

√3√

34

23.3 El plano euclídeo. Cambio de sistema de referencia

Se llama plano euclídeo al espacio afín asociado al espacio vectorial euclídeo V2.

Del plano euclídeo sólo vamos a recordar como se cambia de sistema de referencia, aplicando lo estu-

diado en el apartado anterior, en lo que se refiere a cambiar de base.

Un sistema de referencia en el plano euclídeo precisa de la concreción de un punto, origen de coordena-

das, además del bagaje que representa su asociación con el espacio vectorial euclídeo V2.

Así, sean los sistemas de referencia del plano euclídeo

O;u1,u2 y O;v1,v2 ,

tales que las coordenadas de O respecto al primer sistema son: (a01,a02), y la relación que liga ambas

bases venga dada por

v1 = a11u1 +a12u2

v2 = a21u1 +a22u2

tendremos, entonces, que la expresión matricial de la fórmula de cambio de sistema de referencia es

[1 x1 x2

]=[1 x′1 x′2

]1 a01 a02

0 a11 a12

0 a21 a22

240

Recordando la interpretación geométrica de las aij (i, j = 1, 2) dadas en el apartado anterior tendremos

para el caso general:

[1 x1 x2

]=[1 x′1 x′2

]

1 a01 a02

0|v1| · sen (ααα−ααα1)

|u1| · sen ααα


0|v2| · sen (ααα−ααα2)

|u1| · sen ααα


y si los vectores de ambas bases son unitarias

[1 x1 x2

]=[1 x′1 x′2

]

1 a01 a02

0sen (ααα−ααα1)

sen ααα



sen ααα


Si además el primer sistema de referencia es métrico, es decir, si los vectores básicos son ortogonales y

unitarios

[1 x1 x2

]=[1 x′1 x′2

]1 a01 a02

0 cos ααα1 sen ααα1


o si lo es el segundo sistema

[1 x1 x2

]=[1 x′1 x′2

]

1 a01 a02


sen ααα


0∓cos (ααα−ααα1)

sen ααα

±cos ααα1sen ααα

En el caso de que sean métricos los dos sistemas

[1 x1 x2

]=[1 x′1 x′2

]1 a01 a02


0 ∓sen ααα1 ±cos ααα1

en donde los signos superiores corresponden al caso en que ambos sistemas definen la misma orientación

en el plano y los inferiores al caso contrario.

241

Ejemplo 1. Si el sistema de referencia O;u1,u2 es métrico, y el O;v1,v2 es tal que las ordenadas de O

respecto al primero son (3,2) , u1,v1 = 30o y u1,v2 =−45o, la expresión matricial del cambio de sistema

será:

[1 x1 x2

]=[1 x′1 x′2

]

1 3 2

0√

32

12

0√

22

−√

22

242

Lección 24.- FORMAS CUADRÁTICAS

24.1 Formas bilineales y cuadráticas

24.2 Espacios vectoriales euclídeos

24.3 Diagonalización de matrices

24.4 Diagonalización de matrices simétricas

24.5 Descomposición en cuadrados de una forma cuadrática

24.1 Formás bilineales y cuadráticas

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n sobre el cuerpo de los números reales, R, y fff una forma

bilineal:

fff : V x V−−−→ R

Si u1, .........,un es una base de V, y

x =n

∑i=1

xiui , y =n

∑i=1

yiui ,

tenemos que

fff (x, y) = fff

(n

∑i=1

xiui ,n

∑i=1

yiui

)=

n

∑i, j=1

xi ·yj · fff (ui, uj) ,

lo que nos permite afirmar que fff está perfectamente determinada una vez que se conocen los n2 valores

fff (ui, uj) , i, j = 1,2, .........,n .

Observemos que el último miembro de las igualdades anteriores, es un polinomio con coeficientes reales,

que es lineal respecto a cada una de las variables, xi, yi. Puede, por tanto, escribirse en forma matricial

como sigue:

fff (x, y) = XBY′ ,

donde hemos llamado X a la matriz [x1.........xn], Y a la [y1.........yn] y B a la matrizfff (u1, u1).................. fff (u1, un)

.............................................

.............................................

fff (un, u1) · · · · · · · · · · · · fff (un, un)

En lo sucesivo llamaremos uij a fff (ui, uj), con lo que B = [uij].

Por tanto, la forma bilineal, fff , quedará caracterizada, respecto a la base u1, .........,un, por la matriz B.

243

Si efectuamos, ahora, un cambio de base pasando de la base ui16i6n a la base vi16i6n, tal que

vi =n

∑j=1

aijuj ,

la expresión matricial de este cambio será

X = X∗A ; A = [aij] , |A| 6= 0 ,

Sustituyendo, en fff (x, y) = XBY′, las matrices X y Y, por sus expresiones en función de X∗ e Y∗, dadas

por la igualdad anterior, obtendremos

fff (x, y) = X∗ABA′Y∗′= X∗B∗Y∗

′,

donde hemos hecho

ABA′ = B∗ (A′ es la matriz traspuesta de la A)

La matriz de la forma bilineal fff , respecto a la nueva base vi16i6n, es, por tanto, B∗.

Dado que las matrices de una misma forma bilineal, respecto a cualquier base de V, tienen el mismo

rango, llamaremos a éste rango de la forma bilineal.

Diremos que una forma bilineal es degenerada si su rango es menor que la dimensión del espacio V, y

no degenerada en caso contrario.

Dadas dos matrices cuadradas, B y B∗, diremos que son congruentes si existe una matriz regular, A, tal

que

B∗ = ABA′ .

Podemos, por tanto afirmar que: Dos matrices que caracterizan la misma forma bilineal, respecto a

bases distintas, son congruentes.

Es inmediato comprobar que la congruencia es una relación de equivalencia, lo que significa que todas

las matrices de una misma clase de equivalencia caracterizan a la misma forma bilineal. Así, se plantea

de manera natural el problema de hallar, entre las matrices de este conjunto, una que sea lo más sencilla

posible, para que represente a la clase.

Vamos a estar interesados en formas bilineales simétricas, es decir en formas:

fff : V x V−−−→ R , fff (x, y) = fff (y, x)

lo que implica que

XAY′ = YAX′ ,

y dado que XAY′ es una matriz de una fila y una columna, tendremos que

XAY′ = (XAY′)′ = YA′X′ ,

244

de donde resulta que: A = A′, es decir: La matriz de una forma bilineal simétrica, respecto a cual-

quier base, es simétrica.

Si dos vectores x e y, de V, son tales que fff (x, y) = 0, diremos que y es conjugado de x; ahora bien,

por ser fff simétrica, tenemos que fff (y, x) = 0, lo que significa que, si y es conjugado de x, también x es

conjugado de y; lo que nos permite decir, simplemente, que x e y son conjugados.

Llamaremos núcleo de la forma bilineal al conjunto de los vectores, de V, que son conjugados de todos

los vectores de V:

N( fff ) = x ∈ V | fff (x, y) = 0 , ∀∀∀ y ∈ V .

Una forma bilineal, fff : V x V−−−→ R, permite definir una aplicación, fff c de V en R, de la siguiente

forma:

fff c(x) = fff (x, x) .

A esta aplicación, fff c, se le llama forma cuadrática asociada a la forma bilineal fff ; siendo su expresión

matricial, respecto a cierta base de V:

fff c(x) = XBX′ .

El valor de la forma bilineal, en una pareja de vectores x e y de V, puede expresarse en función de los

valores de la forma cuadrática en estos vectores y en su suma. En efecto:

fff c(x+y) = fff (x+y, x+y) = fff c(x)+2 · fff (x, y)+ fff c(y) ,

de donde

fff (x, y) =12· [ fff c(x+y)− fff c(x)− fff c(y)]

Vamos, ahora, a tratar de hallar una base, en V, tal que la matriz de la forma bilineal simétrica, fff ,

respecto a esta base, o lo que es lo mismo, la matriz de la forma cuadrática asociada, fff c, sea lo más

sencilla posible.

Dado que las matrices más sencillas son, por lo que se refiere al cálculo con ellas, las matrices diagonales,

veremos que es posible hallar, en general de varias maneras una base de V respecto a la cual la matriz de

fff sea diagonal.

24.2 Espacios vectoriales euclídeos

Con objeto de extender a los espacios vectoriales, V, de dimensión finita, n, sobre el cuerpo de los

números reales R, los conceptos métricos: distancia, ángulo perpendicular etc., vamos a definir una

forma bilineal particular, fff : V x V−−−→ R, de la siguiente manera: Elegida una base u1, · · · · · · ,un,definiremos

fff (ui, uj) = δ ij , i = 1, 2, · · · · · · ,n,

245

donde las δ ij son las deltas de Kroenecker. La matriz de esta forma bilineal respecto a la base ui16i6n

es la matriz unidad, I, y la forma es evidentemente no degenerada, siendo su rango n.

Llamaremos a esta forma bilineal producto escalar, y lo denotaremos por : x ·y, en lugar de fff (x, y).

Sus propiedades son:

Si x, y, x, z ∈ V, y λλλ ∈ R:

1.- x ·y = y ·x2.- x · (y+ z) = x ·y+x · z3.- λλλx ·y = x ·λλλy = λλλ (x ·y)4.- x ·x> 0 , y x ·x = 0 sí y sólo si x = 0

La comprobación de estas propiedades es inmediata.

Llamaremos norma del vector x, y la representaremos por ‖x‖ al producto de x ·x, es decir

‖x‖= x ·x .

Puesto que la norma es un número no negativo, para él existe su raíz cuadrada positiva, a la que denomi-

naremos módulo de x, y simbolizaremos por |x|.

Utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz

|x ·y|6 |x| · |y| ,

podemos escribir|x ·y||x| · |y|

6 1 ,

luego existe un ángulo, ααα , tal que

cos ααα =|x ·y||x| · |y|

.

A este ángulo, ααα , es al que llamaremos ángulo de los vectores x e y.

De dos vectores, x e y, diremos que son ortogonales, cuando

x ·y = 0 .

Así, el producto escalar establecido define una métrica sobre V, la cual variará, en general, al cambiar

de base. Nuestro interés se centrará en encontrar, de entre todas las posibles bases, aquellas en las que la

métrica inducida por este producto escalar sea la misma.

Observando que los vectores ui de la base original son ortogonales, es decir

‖ui‖= 1 y ui ·vj = 0 si i 6= j ,

los vectores de la base buscada, vi16i6n, tendrán que ser también ortogonales, si queremos que se

conserve la métrica, para lo cual será necesario que si

vi =n

∑i=1

aijvj ,

246

se verifiquen lasn · (n+1)

2condiciones

vi ·vj =n

∑k=1

aikajk = δ ij ;

ahora bien, si A es la matriz del cambio de base, esto equivale a decir que

AA′ = I ,

es decir, la matriz del cambio de base es ortogonal.

Y recíprocamente, si A es ortogonal, se tendría

X = X∗A ,

luego

x ·y = XY′ = X∗AA′Y∗′= X∗Y∗

′,

lo que nos indica que el producto escalar permanece invariante en este cambio de base y, por tanto, el

módulo de los vectores y los ángulos y, por consiguiente la métrica es la misma.

24.3 Diagonalización de matrices

Dado un endomorfismo: ϕ : V−−−→ V, de un espacio vectorial de dimensión finita, n, sobre el cuerpo

de los números reales, R, sabemos que su expresión matricial, respecto a una base de V, ui16i6n es

Y = XT .

Si pasamos de la base ui16i6n a una nueva base vi16i6n siendo la expresión matricial del cambio de

base

X = X∗A , |A| 6= 0 ,

la expresión del endomorfismo respecto a la nueva base será

Y∗ = X∗T∗ , siendo: T∗ = ATA−1 .

Vamos a ver en qué condiciones es posible encontrar una base de V en la que el endomorfismo ϕ venga

caracterizado por una matriz diagonal D.

Si suponemos el problema resuelto, y es

ααα1

ααα2

· · ·· · ·

αααn

247

la matriz del endomorfismo ϕ respecto a la base v1, · · · · · · ,vn, entonces los transformados, mediante

ϕ , de los vectores de esta base serán

ϕ(vi) =ααα ivi .

A todo vector x ∈ V, que mediante el endomorfismo ϕ se transforma en otro proporcional a él,

ϕ(x) = λλλx, le llamaremos vector propio de dicho endomorfismo.

Observemos que si T es la matriz del endomorfismo ϕ respecto a una cierta base de V, y X es la matriz

de coordenadas de un vector propio de ϕ , se verifica

XT = λλλX .

Al vector x le llamaremos, también, vector propio de la matriz T.

Es inmediato comprobar que si x es un vector propio de ϕ , también lo es todo vector µµµx, de la variedad

lineal engendrada por x.

Así resulta que, nuestro problema equivale al de hallar, en V, n vectores propios de ϕ que constituyan

una base, es decir, que sean linealmente independientes.

Sea x uno de estos vectores; su matriz de coordenadas, X, respecto a la base ui16i6n, tiene que verificar

la relación: XT = λλλX, luego

X(T−λλλ I) = 0 ,

igualdad matricial que equivale a un sistema lineal homogéneo de n ecuaciones n incógnitas: x1, ........., xn.

Para que éste sea compatible el rango de la matriz T−λλλ I, cuyos elementos son los coeficientes de las

incógnitas, ha de ser menor que n, lo que equivale a que

|T−λλλ I|= 0 ,

que es la llamada ecuación característica del endomorfismo ϕ , o de la matriz T.

Al polinomio de grado n en λλλ , que constituye el primer miembro de la ecuación característica

le llamaremos polinomio característico, y a sus raíces valores propios.

Podemos afirmar, por tanto que si λλλ es un valor propio real de la ecuación característica, este valor

llevado a nuestro sistema lo hace compatible, y sus soluciones son vectores propios.

PROPOSICIÓN 1. Un conjunto de vectores propios, x1, ........., xh, correspondientes a valores pro-

pios reales, λλλ 1, ........., λλλ h, distintos, es un sistema libre.

En efecto: Supongamos que (x1, ........., xh) fuera un sistema ligado. Entonces, al menos uno de ellos, xi,

se podrá expresar en la forma

xi =k

∑j=1

ααα jxij ,

248

en función de una familia libre, xij16j6k, extraída del conjunto de los restantes.

Al no ser xi = 0, no todos los coeficientes ααα j pueden ser nulos.

Aplicando ϕ a ambos miembros de la igualdad anterior obtendremos

ϕ(xi) = λλλ ixi =k

∑j=1

ααα jλλλ ijxij

y si multiplicamos ambos miembros de dicha igualdad por λλλ i, tenemos

λλλ ixi =k

∑j=1

ααα jλλλ ixij .

Restando, miembro a miembro, estas dos últimas igualdades, resultará

0 =k

∑j=1

ααα j(λλλ ij−λλλ i)xij ,

lo que exige que

ααα j(λλλ ij−λλλ i) = 0 , ∀∀∀ j = 1, ........., k ,

lo que, a su vez, implica que para algún valor de j sea λλλ ij−λλλ i = 0, lo que contradice a la hipótesis de que:

λλλ ij 6= λλλ i.

De acuerdo con la proposición anterior si la ecuación característica tiene n raíces reales distintas, es

posible hallar n vectores propios linealmente independientes, con lo que la matriz del endomorfismo

ϕ , respecto a la base constituida por estos vectores, será diagonal. Observemos que los elementos de la

diagonal principal de esta matriz son los valores propios.

Podemos afirmar, por tanto, que una matriz T, cuadrada de orden n, que tiene n valores propios

reales distintos es diagonalizable. Significa esto que existe una matriz regular A (llamada matriz de

paso) tal que

ATA−1 = D ,

siendo D una matriz regular.

Si dos matrices B y C verifican una relación del tipo

ABA−1 = C ,

donde A es una matriz regular, diremos de ellas que son semejantes.

Luego, en las condiciones anteriores, T es semejante a una matriz diagonal.

Ejemplo 1. La ecuación característica de la matriz−7 −5 −5

−5 2 −4

−5 −4 2

249

es

|A−λλλ I|=−λλλ3−3 ·λλλ 2 +90 ·λλλ −216 = 0 ,

y sus valores propios son

λλλ 1 = 3 , λλλ 2 = 6 , λλλ 3 =−12

luego la matriz diagonal correspondiente es

D =

3

6

−12

Si una matriz, T, no tiene n valores propios reales y distintos, bien porque tenga raíces imaginarias,

o porque siendo todas reales, una al menos sea múltiple, dicha matriz pudiera no ser diagonalizable.

Sin embargo, se puede demostrar que: La condición necesaria y suficiente para que una matriz de

orden n, cuya ecuación característica tiene todas sus raíces reales, es que si alguna de ellas es de

multiplicidad p, el sistema correspondiente a la misma sea de rango n−p.

Ejemplo 2. La ecuación característica de la matriz

A =

−4 0 −12

−3 2 −632

0 5

es

|A−λλλ I|=−λλλ3 +3 ·λλλ 2−4 = 0 ,

siendo sus valores propios

λλλ 1 = 2 , λλλ 2 = 2 , λλλ 3 =−1

Por ser el sistema (−4−2) ·x1 − 12 ·x3 = 0

−3 ·x1 + (2−2) ·x2 − 6 ·x3 = 032·x1 + (5−2) ·x3 = 0

de rango: 1 = 3−2, la matriz A es semejante a la

2

2

−1

250

24.4 Diagonalización de matrices simétricas

PROPOSICIÓN 1. Los valores propios de una matriz simétrica real A, son siempre reales.

En efecto: Supongamos que λλλ es un valor propio imaginario de A; entonces su conjugado, λλλ , también lo

será.

Al valor propio λλλ le corresponderá un vector propio x, y a λλλ otro vector propio cuyas coordenadas serán

conjugadas de las de x; si llamamos X y X a las matrices de coordenadas de estos vectores, tendremos

XA = λλλX .

Multiplicando la primera igualdad por X′, por la derecha, obtenemos

XAX′ = λλλXX′ .

Ahora bien, XAX′ es una matriz de una fila y una columna y, por tanto, igual a su traspuesta, luego

XAX′ = (XAX′)′ = XA′X′ = XAX′ ,

de donde, teniendo en cuenta la segunda igualdad

XAX′ = λλλXX′ .

Restando, ahora, las igualdades

XAX′ = λλλXX′ y XAX′ = λλλXX′

obtenemos

0 = (λλλ −λλλ )XX′

Si

λλλ =ααα +β iβ iβ i , λλλ =ααα−β iβ iβ i

X = (x1 + iiiy1, · · · · · · , xn + iiiyn) , X = (x1− iiiy1, · · · · · · , xn− iiiyn)

la última igualdad, escrita en detalle, será

0 = 2 ·β iβ iβ i · (x21 +y2

1 + · · · · · ·+x2n +y2

n) ,

lo que existe que: βββ = 0. Luego λλλ es real.

PROPOSICIÓN 2. A dos valores propios distintos, λλλ 1 6= λλλ 2, de una matriz simétrica real, A, co-

rresponden vectores propios ortogonales.

En efecto: Sean X e Y las matrices de coordenadas de los vectores propios correspondientes a λλλ 1 y λλλ 2,

respectivamente. Se verifica, por tanto,

XA = λλλ 1X , YA = λλλ 2Y ,

de donde multiplicando la primera igualdad, por la derecha, por Y′, tenemos

XAY′ = λλλ 1XY′ ,

251

y razonando como hicimos en la proposición anterior,

XAY′ = (XAY′)′ = YAX′ = λλλ 2YX′ ,

que restada, miembro a miembro, de la anterior nos da

0 = (λλλ 1−λλλ 2)YX′ ,

y puesto que, por hipótesis, λλλ 1 6= λλλ 2, se verificará

XY′ = 0 ,

es decir

x ·y = 0 ;

luego los vectores x e y son ortogonales.

PROPOSICIÓN 3. Toda matriz simétrica real, A, es diagonalizable, con una matriz de paso orto-

gonal.

En efecto: Sea ϕ : V−−−→ V, el endomorfismo de V, caracterizado por A respecto a una cierta base de V,

es decir

ϕ(x) : XA

donde X es la matriz de coordenadas del vector x, en la base citada. El ser simétrica la matriz A se traduce

en la siguiente propiedad de ϕ ,

xϕ(y) = X(YA)′ = XAY′ = (XAY′)′ = YAX′ = Y(XA)′ = yϕ(x) .

En virtud de la proposición 2, existe al menos un vector propio v1 de ϕ ; es decir, si V1 es la matriz de

coordenadas de v1

V1A = λλλV1 .

Sea L1, la variedad ortogonal de v1. La restricción de ϕ a L1 es también un endomorfismo simétrico, es

decir, si x, y ∈ L1:

1o.- ϕ(x) ∈ L1. En efecto,

v1 ·ϕ = x ·ϕ(v1) = x ·λλλv1 = 0

luego

ϕ(x) ∈ L1

2o.- x ·ϕ(y) = y ·ϕ(x) por verificase ya en V.

Por la misma razón que para el endomorfismo ϕ , su restricción a L1 posee un vector propio v2, que será,

naturalmente, ortogonal a v1.

Aplicando a la variedad L2, ortogonal a v1 y v2, el mismo razonamiento que a L1, llegaríamos a la conclu-

sión de que existe en ella un vector propio del endomorfismo simétrico restricción de ϕ a L2; y reiterando

el proceso, tras un número finito de pasos (no superior a n−1), llegaríamos a una base v1, v2, ........., vn

252

de vectores ortogonales dos a dos. Normalizándolos, es decir, dividiendo cada uno por su módulo, llega-

ríamos, finalmente, a obtener una base ortonormal, respecto a la cual la matriz del endomorfismo sería

diagonal.

Llegados a este punto, estamos, ya, en situación de resolver el problema planteado en el apartado 24.1.

La solución nos viene dada por el siguiente:

Corolario. Si T es la matriz de una forma cuadrática simétrica, fff c, respecto a un sistema de

referencia, V, existe otro sistema de referencia respecto al cual la matriz de fff c es diagonal. Además

la matriz de paso es ortogonal.

De acuerdo con lo anterior, toda forma cuadrática fff c sobre V, admite la siguiente expresión, al menos

respecto a un sistema de referencia de V,

fff c(x) = d21 ·x2

1 + .........+d2h ·x2

h−d2h+1 ·x2

h+1− .........−d2r ·x2

r ,

donde hemos supuesto que se han reordenado los vectores de la base ortonormal citada en la proposición

3, para que aparezcan primero los términos positivos. El rango de la forma es r.

Haciendo el cambio: xi =1di·x′i , la ecuación de la forma cuadrática sería

fff c(x) = x′21 + .........+x

′2h −x

′2h+1− .........−x

′2r .

PROPOSICIÓN 4 (Ley de inercia de Sylvester). El número h de términos positivos en la expresión

diagonal de una forma cuadrática es un invariante, es decir, depende únicamente de la forma, y no

del procedimiento empleado para su diagonalización.

En efecto: Supongamos que la anterior expresión diagonal de fff c, en la base wi16i6n, es

fff c(x) = x′21 + .........+x

′2h −x

′2h+1− .........−x

′2r

y que en otra base zi16i6n sea

fff c(x) = x∗21 + .........+x∗2h −x∗2h+1− .........−x∗2r

Si x ∈ L = v1, · · · , vh, vh+1, · · · , vn tenemos que, de acuerdo con la primera expresión

fff c > 0

mientras que la segunda nos dice que, ∀∀∀ x ∈ L′ = zh+1, · · · , zr

fff c(x)< 0

Ahora bien,

dim L = n− (r−h) y dim L′ = r−h′ ,

y teniendo en cuenta que

dim(L∪L′) = dim L+dim L′−dim(L∩L′)

253

tendríamos

dim(L∩L′) =−n+n− (r−h)+ r−h′ = h−h′ > 1

y entonces

L∩L′ 6= 0 ,

con lo que existiría un vector, x ∈ L∩L′ , x 6= 0 para el que

fff c(x)> 0 y fff c(x)< 0 ,

lo que es una contradicción.

Queda, así, demostrado que h′ no puede ser menor que h. En forma análoga se demostraría que h no puede

ser menor que h′. En consecuencia: h = h′.

Queda, por tanto, establecido que la expresión diagonal de una forma cuadrática, fff c, es única; se la llama

expresión canónica de la forma.

Al valor absoluto de la diferencia entre el número de términos positivos y negativos en la expresión

canónica de una forma cuadrática, se le llama signatura, y es, evidentemente, una invariante.

De una forma cuadrática, fff c, diremos que es definida positiva si fff c(x)> 0, para todo x ∈ V, y fff c(x) = 0

sólo para x = 0.

Teniendo en cuenta la expresión canónica de la forma, podemos afirmar que, la condición necesaria y

suficiente para que una forma sea definitiva positiva es que su rango sea n, y sus valores propios

sean todos positivos.

Si fff c(x)> 0 para todo x ∈ V, pero existe al menos un x 6= 0 tal que fff c(x) = 0, diremos que la forma es

semidefinida positiva. En este caso, el rango tiene que ser menor que n, y todos los valores propios

han de ser positivos.

Razonando en forma análoga se establecen las formas definidas negativas y semidefinidas

negativas.

De una forma cuadrática que puede tomar valores positivos y negativos, diremos que es indefinida. Tiene

que tener valores propios positivos y negativos, pudiendo ser degenerada o no.

Ejemplo 1. Las expresiones canónicas de todas las formas cuadráticas en V2 son:

fff c(x) = x21 +x2

2 ......... definida positiva

fff c(x) =−x21−x2

2 ......... definida negativa

fff c(x) = x21−x2

2 ......... indefinida

fff c(x) = x21 ......... semidefinida positiva

fff c(x) =−x21 ......... semidefinida negativa

254

Ejemplo 2. Determinar la expresión canónica de la forma cuadrática que, respecto a una cierta base de V3,

tiene la expresión

fff c(x) = X

1 −1 0

−1 4 0

0 0 2

X′

Su ecuación característica es

−λλλ3 +7 ·λλλ 2−13 ·λλλ +6 = 0

y sus valores propios

2 > 0 ,5+√

132

> 0 ,5−√

132

> 0 .

Luego su expresión será

fff c(x) = x21 +x2

2 +x23 ;

es por tanto una forma definida positiva.

24.5 Descomposición en cuadrados de una forma cuadráticaLlamaremos forma de orden n en m variables: x1, x2, ........., xm, sobre un cuerpo K, a todo polinomio

homogéneo de grado n, en las variables dadas, con coeficientes del cuerpo K.A las formas de orden 1, les llamaremos lineales, y a las de orden 2, cuadráticas, siendo éstas

las que van a ser de nuestro interés.El número de términos de una forma cuadrática

fff (x1, ........., xm)

será el de las combinaciones con repetición de m elementos tomados de dos en dos, es decir,(m+n−1

2

)=

(m+1

2

)Así si la forma cuadrática tiene dos, tres o cuatro variables, será, respectivamente, un polinomio con tres,

seis o diez términos, que expresaremos mediante el sumario

fff (x1, ....., xm) =m

∑1 ij

aijxixj (siendo aij = aji)

PROPOSICIÓN 1. Toda forma cuadrática, fff (x1, · · · , xm), sobre el cuerpo complejo, se expresa

com suma de n6m cuadrados de formas lineales sobre dicho cuerpo.

En efecto: Supongamos, en primer lugar que a11 6= 0.En este caso podremos escribir

fff (x1, ....., xm)= a11x21 +2 ·x1(a12x2 + .....+a1mxm)+

m

∑2 ij

aijxixj =

=1

a11·[a2

11x21 +2a11x1(a12x2 + .....+a1mxm)

]+

m

∑2 ij

aijxixj =

=1

a11· (a11 ·x1.....+a1mxm)2− 1

a11· (a12x2 + · · ·+a1mxm)2 +

m

∑2 ij

aijxixj =

=1

a11· (a11x1.....+a1mxm)2− 1

a11·

m

∑2 ij

(a11aij−a1ia1j)xixj

255

Abreviaremos introduciendo la forma lineal

fff 1 = a11x1 + .........+a1mxm

que puede expresarse como

fff 1 =12· ∂ fff

∂x1

con lo que tendremos

fff (x1, · · · , xm) =1

a11· fff 2

1 +1

a11·

m

∑2 ij

(a11aij−a1ia2j) ·xixj

de modo que introduciendo la forma

X1 =f1√a11

con elección arbitraria de la raíz, la forma cuadrática se expresará así,

fff (x1, · · · , xm) = X21 +

1a11·

m

∑2 ij

(a11aij−a1ja2j)xixj

siendo el segundo sumando una forma cuadrática en las variables: x2, · · · , xm; es decir, con una variable

menos, xi, que figura en cambio, en la forma lineal X1.

En segundo lugar consideraremos la hipótesis de que

a11 = a22 = 0 , a12 6= 0 .

En este caso operaremos como sigue:

fff (x1, · · · , xm = 2 ·a12x1x2 +2 ·x1(a13x3 + .....+a1mxm)+2 ·x2(a23x3 + .....+a2mxm)

+m

∑3 ij

aijxixj =2

a12· [(a12x1) · (a21x2)+2 ·a21x1(a13x3 + .....+a1mxm)+

+2 ·a12x2(a23x3 + .....+a2mxm)]+m

∑3 ij

aijxixj =

=2

a12· (a12x2 +a13x3 + .....+a1mxm) · (a21x1 +a23x3 + .....+a2mxm)−

− 2a12· (a13x3 + .....+a1mxm) · (a23x3 + · · ·+a2mxm)+

m

∑3 ij

aijxixy =

=2

a12· fff 1 · fff 2 +

1a12·

m

∑3 ij

(a12aij−2 ·a1ia2j) ·xixj

habiendo llamado

fff 1 =12· ∂ fff

∂x1, fff 2 =

12· ∂ fff

∂x2.

Y por tanto introduciendo las formas lineales

X1 =fff 1 + fff 2√

2 ·a12, X2 =

fff 1− fff 2√2 ·a12

la forma cuadrática, fff , se expresa así:

fff (x1, · · · , xm) = X21−X2

2 +1

a12·

m

∑3 ij

(a12aij−2a1ia2j) ·xixj .

256

Observamos que X1 , X2 dependen de x1 , x2 mientras que la forma cuadrática resultante no depende ni

de x1, ni de x2.

Así, partiendo de la forma fff , y aplicando la primera o la segunda descomposición, según cual sea la hipó-

tesis, podemos iterar el procedimiento con la forma cuadrática restante, y sucesivamente irán apareciendo

un o dos cuadrados, eliminándose, de la forma residual, al menos una o dos variables, respectivamente.

En definitiva, la forma cuadrática, fff , se expresará como suma de n6m cuadrados de formas lineales,


En la descomposición de una forma cuadrática, en suma de cuadrados, existe cierta arbitrariedad en la

elección de las variables. Sin embargo, se puede demostrar que, llamando discriminante de la forma

cuadrática a la matriz a11 a12 ......... a1m

a21 a22 ......... a2m

..................... ............ ............

am1 am2 ......... amm

el número, n, de formas: fff 1, fff 2, ........., fff n, independientes, y por tanto, el número de cuadrados de una

descomposición cualquiera en formas lineales independientes, coincide con el rango de esa matriz.

Nos permite esto, poder determinar el número de cuadrados sin efectuar la descomposición.

Ejemplo 1. Descomponer en cuadrados la forma cuadrática.

fff (x1, x2, x3) = x21 +2x2

2−7x23−4x1x2 +8x1x3

Procediendo, como se establece en la proposición anterior, tenemos:

fff (x1, x2, x3)= [x21−4x1(x2−2 x3)]+2x2

2−7x23 =

=[x2

1−4x1(x2−2x3)+4(x2−2x3)2]+2x2

2−7x23−4(x2−2x3)

2 =

= (x1−2x2 +4x3)2−2(x2

2−8x2x3)−23x23 =

= (x1−2x2 +4x3)2−2(x2

2−8x2x3 +16x23)+9x2

3 =

= (x1−2x2 +4x23)

2−2(x2−4x3)2 +9x2

3

Observemos que, efectivamente, el rango del discriminante de la forma cuadrática es 3:

A =

1 −2 4

−2 2 0

4 0 −7

=⇒ |A|=−18 6= 0 =⇒ rg A = 3

como corresponde a que haya 3 cuadrados.

Ejemplo 2. Descomponer en cuadrados la forma cuadrática

fff (x1, x2, x3, x4)= 2x21 +5x2

2 +19x23−24x2

4 +8x1x2 +12x1x3 +8x1x4+

+18x2x3−8x2x4−16x3x4

257

Procediendo, como se establece en la proposición anterior, tenemos

fff (x1, x2, x3, x4)= 2[x2

1 +2x1(2x2 +3x3 +2x4)]+5x2

2 +19x23−24x2

4+

+18x2x3−8x2x4−16x3x4 =

= 2[x2

1 +2x1(2x2 +3x3 +2x4)+(2x2 +3x3 +2x4)2]+

+5x22 +19x2

3−24x24 +18x2x3−8x2x4−16x3x4−2(2x2 +3x3 +2x4)

2 =

= 2(x1 +2x2 +3x3 +2x4)2−3

[x2

2 +2x2(x3 +4x4)]+x2

3−32x24−40x3x4 =

= 2(x1 +2x2 +3x3 +2x4)2−3(x2 +x3 +4x4)

2 +4(x3−2x4)2

Observemos que, efectivamente, el rango del discriminante de la cuadrática es 3:

A =

2 4 6 4

4 5 9 −4

6 9 19 −8

4 −4 −8 −24

=⇒ |A|= 0 =⇒ rg A < 4

y como ∣∣∣∣∣∣∣∣2 4 6

4 5 9

6 9 19

∣∣∣∣∣∣∣∣= 342 6= 0

resulta:

rg A = 3



fff (x1, x2, x3) = 2x1x2 +4x1x3 +x22−2x2x3


fff (x1, x2, x3)=[x2

2 +2 ·x2 · (x1−x3)+(x1−x3)2]+4 ·x1 ·x3− (x1−x3)

2 =

= [x2 +(x1−x3)]2 +4x1x3− (x1−x3)

2 =

= (x2 +x1−x3)2 +4x1x3−x2

1 +2x1x3−x23 =

= (x2 +x1−x3)2−x2

1−9x23 +6x1x3 +8x2

3 =

= (x2 +x1−x3)2− (x1 +3x3)

2 +8x23

Observemos que, efectivamente, el rango del discriminante de la cuadrática es 3:

A =

0 1 2

1 1 −1

2 −1 0

=⇒ |A|=−8 6= 0 =⇒ rg A = 3



fff (x1, x2) = 2x21 +3x1x2 +6x2

2

258

El discriminante de la forma cuadrática es 232

32

6

y su rango es 2, luego el número de cuadrados será 2.

fff (x1, x2)= 2x21 +2x1

(32

x2

)+6x2

2 =12

[22x2

1 +2 ·2x1

(32

x2

)]+6x2

2 =

=12

(2x1 +

32

x2

)2− 1

2

(32

x2

)2+6x2

2 =

=12

(2x1 +

3 ·24

x2

)2− 1

2

(32

x2

)2+6x2

2 =

= 2(

x1 +34

x2

)2− 9

8x2

2 +6x22 = 2

(x1 +

34

x2

)2+

398

x22


fff (x1, x2, x3) = 2x1x2−x1x3 +x2x3


fff 1 =12

∂ fff∂x1

=12(2 ·x2−x3) , fff 2 =

12

∂ fff∂x2

=12(2x1 +x3)

X1 =fff 1 + fff 2√

2a12=

12(2x2−x3 +2x1 +x3)

√2

=x2 +x1√

2

X2 =fff 1− fff 2√

2a12=

12(2x2−x3−2x1−x3)

√2

=x2−x1−x3√

2

Luego

fff (x1, x2, x3)= X21−X2

2 +1

a12

3

∑1 ij

(a12 ·aij−2 ·a1i ·a2j)xixj =

=(x2 +x1)

2

2− (x2−x1−x3)

2

2+

(0−2 ·

(−12

)·(

12

))x2

3 =

=12(x2 +x1)

2− 12(x2−x1−x3)

2 +12

x23


fff (x1, x2, x3) = x1x2 +x2x3 +x1x3


fff 1 =12

∂ fff∂x1

=12(x2 +x3) , fff 2 =

12

∂ fff∂x2

=12(x1 +x3)

259

luego

X1 =fff 1 + fff 2√

2a12=

12(x1 +x2 +2x3)√

2 · 12

=12(x1 +x2 +2x3)

X2 =fff 1− fff 2−√

2a12=

12(x2 +x3−x1−x3)√

2 · 12

=12(x2−x1)

En consecuencia

fff (x1, x2, x3)= x21−x2

2 +112

·(

0−2 · 12 ·

12

)·x2

3 =

= x21−x2

2−x23 =

14(x1 +x2 +2x3)

2− 14(x2−x1)

2−x23


fff (x1, x2) = 4x1x2


fff 1 =12

∂ fff∂x1

= 4x2 , fff 2 =12

∂ fff∂x2

= 4x1

luego

X1 =fff 1 + fff 2√

2a12=

42

x2 +42

x1√

2 ·2= x1 +x2

X2 =fff 1− fff 2√

2a12==

42

x2−42

x1√

2 ·2= x2−x1

En consecuencia

fff (x1, x2) = (x1 +x2)2− (x1−x2)

2

260

CAPÍTULO V

Lección 25.- CÓNICAS (Nuevo planteamiento)

25.1 Definiciones

25.2 Ecuaciones reducidas de las cónicas

25.3 Invariantes métricos

25.4 Clasificación afín y métrica de las cónicas

25.5 Ejemplos

25.1 Definiciones

Cumpliendo el programa que nos propusimos en el primer apartado de la Lección 1, en lo que se refería a

como definir las cónicas, dado que cabían distintos posibles planteamientos, vamos a desarrollar el último

de ellos, tal como hemos hecho con los tres anteriores. La exposición de lo que sigue, puede considerarse,

en cierto modo, independiente de las anteriores, si bien con el mismo objetivo y las mismas conclusiones;

se trata, en definitiva de analizar un mismo tema desde distintos puntos de vista.

Llamaremos cónica al conjunto de los puntos del plano cuyas coordenadas respecto a un sistema de

referencia satisfacen una ecuación de la forma

c00 + c01 ·x1 + c02 ·x2 + c11 ·x21 + c12 ·x1 ·x2 + c22 ·x2

2 = 0

en la que el primer miembro es un polinomio de segundo grado en las dos variables x1 y x2.

La definición tiene sentido, puesto que si C es el conjunto de los puntos del plano, cuyas coordenadas

respecto a un cierto sistema de referencia satisfacen a una ecuación como la anterior, la ecuación de

dicho lugar geométrico respecto a otro sistema de referencia será del mismo tipo, ya que al ser lineales

las ecuaciones del cambio de sistema de referencia, el grado del primer miembro de la ecuación anterior

permanecerá inalterado.

Anticipemos algunos ejemplos, sencillos, de cónicas:

Ejemplo 1. La ecuación:x2

a2 +y2

b2 = 1 , es la de una elipse referida a sus dos ejes.

Ejemplo 2. La ecuación: (x1−3)2 +(x2 +5)2 = 16 , es la de una circunferencia, de centro el punto (3, −5) y

radio 4.

Ejemplo 3. La ecuación: x21−x2

2 = 0 , es la ecuación del par de bisectrices de los ejes. Basta con observar que

la ecuación dada se puede expresar

(x1 +x2) · (x1−x2) = 0

Ejemplo 4. La ecuación: x21 = 0 , es la ecuación del eje de ordenadas, x1 = 0 contado dos veces.

263

En general, si

r≡ a ·x1 +b ·x2 + c = 0 y s≡ a′ ·x1 +b′ ·x2 + c′ = 0

son las ecuaciones de dos rectas cualesquiera del plano (distintas o confundidas),

(a ·x1 +b ·x2 + c) · (a′ ·x1 +b′ ·x2 + c′) = 0 ,

es la ecuación de una cónica.

También x21 +x2

2 =−1 es la ecuación de una cónica. Ahora bien, no existe ningún punto en el plano

cuyas coordenadas verifiquen dicha ecuación, puesto que la suma de los cuadrados de dos números

reales no puede ser negativa; en consecuencia, dicha ecuación representaría el conjunto vacío.

La ecuación x21 +x2

2 = 0, también sería la de una cónica. En este caso sólo existe un punto, el origen,

que pertenezca a dicha cónica.

Con objeto de generalizar algunos resultados y de uniformar las definiciones, parece conveniente añadir

al plano ciertos puntos ideales. Estos puntos serán los que tienen al menos una de sus coordenadas

imaginarias, razón por la cual les llamaremos puntos imaginarios del plano, en contraposición a los

puntos ordinarios, que denominaremos puntos reales.

Así, la cónica x21 +x2

2 =−1, ya no será el conjunto vacío, pues, por ejemplo, el punto (iii,0) le pertenece.

A una cónica de este tipo que tiene todos sus puntos imaginarios, o todos excepto uno, la llamaremos

cónica imaginaria.

La ecuación de una cónica puede escribirse en forma matricial de infinitas maneras. Así, la ecuación de

la cónica

3+6 ·x1−2 ·x2 +4 ·x21−x1 ·x2 +3 ·x2

2 = 0

puede escribirse de distintas formas:

[1 x1 x2

]︸︷︷︸

X

3 2 4

4 4 1

−6 −2 3

︸︷︷︸

A

1

x1

x2

︸︷︷︸

X′

= 0 ,[1 x1 x2

]︸︷︷︸

X

3 6 0

0 4 −1

−2 0 3

︸︷︷︸

B

1

x1

x2

︸︷︷︸

X′

= 0 ,.........

Observamos que si: XAX′ = 0 es cualquiera de esas expresiones matriciales, siendo A = [aij], se tiene

que verificar que

cij = aij +aji , si i 6= j , y cii = aii

Entonces, si tomamos aij = aji, la matriz de la cónica será simétrica, y la ecuación dada estará determi-

nada de manera única, puesto que:

aij = aji =cij

2, si i 6= j , y cii = aii

264

En lo sucesivo, siempre que escribamos la ecuación de una cónica en forma matricial, la matriz A será

simétrica.

Ejemplo 5. La cónica anterior, en forma matricial, se escribirá:

X

3 3 −1

3 4 − 12

−1 − 12

3

X′ = 0

25.2 Ecuaciones reducidas de las cónicas

La ecuación: 9 ·x21 +4 ·x2

2 = 36, representa una elipse referida s sus ejes. Si efectuamos el cambio de

sistema de referencia de ecuaciones:x1 = 1+2 ·x′1x2 = 6+3 ·x′2

la ecuación de la elipse respecto al nuevo sistema será

9 · (1+2 ·x′1)2 +4 · (6+3 ·x′2)2 = 36

y efectuando operaciones

117+36 ·x′1 +36 ·x′21 +144 ·x′2 +36 ·x′22 = 0

evidentemente, esta ecuación es más complicada que la ecuación respecto del sistema de referencia

original.

Surgen, por tanto, de manera natural los siguientes planteamientos:

1o.- Dada la ecuación de una cónica, respecto a un sistema de referencia, como determinar un sistema

de referencia privilegiado, respecto al cual la ecuación de la cónica sea lo más sencilla posible. A

esta forma sencilla la llamaremos ecuación reducida.

2o.- Clasificar las cónicas de acuerdo con las distintas expresiones de sus ecuaciones reducidas.

En lo sucesivo todos los sistemas de referencia que utilicemos serán métricos.

Recordemos que la expresión matricial de un cambio de sistema de referencia en el plano (de sistema de

referencia métrico a sistema de referencia métrico) es de la forma

Y = Y∗S ,

siendo

Y =[1 y1 y2

], Y∗ =

[1 y′1 y′2

], S =

1 t1 t2

0 cos ααα sen ααα

0 ∓sen ααα ±cos ααα

265

donde (t1, t2) son las coordenadas del nuevo origen respecto al primer sistema, y ααα el ángulo que giran

los ejes. Dicho cambio puede pensarse efectuado en dos etapas: La primera, un giro de ejes con centro el

origen, y la segunda, una traslación conservando la dirección de los nuevos ejes y cambiando el origen.

Sea ζ la cónica de ecuación matricial

ζ ≡ XAX′ = 0 , A =

a00 a01 a02

a01 a11 a12

a02 a12 a22

Podemos escribir ésa en la forma siguiente

ζ ≡[x1 x2

]a11 a12

a12 a22

x1

x2

+2[x1 x2

]a01

a02

+a00 = 0

Observemos que el primer término del primer miembro es una forma cuadrática simétrica en las variables

x1 y x2; sabemos, además, que la matriz de dicha forma es diagonalizable, con una matriz de paso

ortogonal. Sabemos, también, que existe un ángulo ααα tal que, la ecuación de ζ respecto al sistema de

referencia que resulta de girar los ejes del antiguo, un ángulo ααα , con centro en el origen, tiene su parte

cuadrática diagonal. Sea

ζ ≡[y1 y2

]λλλ 1

λλλ 2

y1

y2

+2[y1 y2

]b01

b02

+b00 = 0

la ecuación de la cónica respecto al segundo sistema, donde λλλ 1 y λλλ 2 son los valores propios de la matriza11 a12

a12 a22

.

Efectuamos, ahora, una traslación de ejes, de ecuaciones:

y1 = z1 + t1

y2 = z2 + t2

con lo que la ecuación de la cónica, respecto al sistema final, será:

[z1 z2

]λλλ 1

λλλ 2

z1

z2

+2[z1 z2

]λλλ 1

λλλ 2

t1

t2

+b01

b02

+

+[t1 t2

]λλλ 1

λλλ 2

t1

t2

+b01

b02

+b00 = 0 ,

266

luego la matriz de la cónica será ahora

ζ ≡

b00 +2 ·b01 · t1 +2 ·b02 · t2 +λλλ 1 · t2

1 +λλλ 2 · t22 b01 +λλλ 1 · t1 b02 +λλλ 2 · t2

b01 +λλλ 1 · t1 λλλ 1 0

b02 +λλλ 2 · t2 0 λλλ 2

=

=

c00 c01 c02

c01 c11 0

c02 0 c22

Dado que todavía no hemos decidido que punto del plano ha de ser el nuevo origen, podemos elegir

según nos convenga los números t1 y t2. La elección la haremos de forma que la matriz de ζ sea lo más

sencilla posible.

Pueden darse los tres casos siguientes:

1o.- λλλ 1 6= 0 y λλλ 2 6= 0 Tomando, entonces t1 =−b01λλλ 1

y t2 =−b02λλλ 2

, resultará: c01 = c02 = 0 ,

con lo que la ecuación de la cónica quedará en la forma

Z

c00

λλλ 1

λλλ 2

Z′ = 0 , c00 +λλλ 1z21 +λλλ 2z2

2 = 0 .

Las cónicas de este tipo admiten dos ejes de simetría y un centro de simetría. En efecto, si

P(p1, p2) ∈ ζ =⇒ c00 +λλλ 1p21 +λλλ 2p2

2 = 0 ,

pero entonces

c00 +λλλ 1p21 +λλλ 2(−p2)

2 = 0 ,

con lo que el simétrico de P, respecto al eje de abscisas, también pertenece a ζ , luego el eje de

abscisas, z2 = 0, es el eje de simetría de la cónica. Razonando de la misma manera, se establece

la simetría respecto al eje de ordenadas, y de la simetría respecto a ambos ejes resulta la simetría

respecto al origen.

A las cónicas de este tipo se les llamará cónicas con centro.

2o.- λλλ 1 6= 0 y λλλ 2 = 0 Tomando t1 =−b01λλλ 1

, podemos hacer c01 = 0. Puede ocurrir, entonces los

dos siguientes subcasos:

a.- b02 6= 0 Tomando t2 =−b00 +2 ·b01 · t1 +λλλ 1 · t2

12 ·b02

obtendremos c00 = 0, y la ecuación de

la cónica será

Z

0 0 b02

0 λλλ 1 0

b02 0 0

Z′ = 0 , 2 ·b02z2 +λλλ 1z21 = 0 ,

267

Estas cónicas no admiten más que un eje de simetría.

A las cónicas de este tipo se le llamará parábolas.

b.- b02 = 0 En ese caso la elección de t2 no tiene ninguna influencia en la matriz de la cónica,

y la ecuación de esta sería:

Z

c00 0 0

0 λλλ 1 0

0 0 0

Z′ = 0 , c02 +λλλ 1z21 = 0 ,

(A las cónicas de los apartados a.- y b.-, se les llamará cónicas de tipo parabólico)

3o.- λλλ 1 = λλλ 2 = 0 En este caso la ecuación de la cónica sería:

c00 +2 · c01z1 +2 · c02z2 = 0 ,

que es la ecuación de una recta, y no de una cónica.

Veremos, más adelante, que este tipo puede, también, incluirse en el conjunto de las cónicas.

(A las cónicas de este tipo se les suele llamar cónicas de tipo parabólico no parábolas.)


La matriz C de la cónica, en su forma reducida, está relacionada con la matriz A de la ecuación original

de la cónica, como sigue:

C = SAS′ ,

siendo S la matriz del cambio total de sistema de referencia (giro y traslación).

Tomando determinantes en ambos miembros de la igualdad anterior

|C|= |S| · |A| · |S′|= |A| ,

puesto que:

|S|= |S′|=±1 .

Si hacemos

t = (t1, t2) , O = (0, 0) , S0 =

cos ααα sen ααα

∓sen ααα ±cos ααα

, a = (a01, a02) , A0 =

a11 a12

a12 a22

tenemos que

C =

1 t

O′ S0

a00 a

a′ A0

1 0

t′ S′0

=

a00 +2 ·at′+ tA0t′ aS′0 + tA0S′0S0a′+S0A0t′ S0A0S′0

268

Entonces: C0 = S0A0S′0 . Tomando determinantes

C0 = |S0| ·A00 · |S′0|= A00

ya que

|S0|= |S′0|=±1 .

Puesto que

c11 = λλλ 1 = a11 · cos2ααα±2 ·a12 · sen ααα · cos ααα +a22 · sen2

ααα

y

c22 = λλλ 2 = a11 · sen2ααα∓2 ·a12 · sen ααα · cos ααα +a22 · cos2

ααα ,

tendremos que

c11 + c22 = a11 +a22

A los números: a11 +a22 , A00 y |A| , que dependen exclusivamente de la cónica, y no del sistema

de referencia métrico elegido para representarla, se les llamará, respectivamente, invariantes métricos

lineal, cuadrático y cúbico; los representaremos, también, respectivamente por: I1 , I2 e I3.

Ejemplo 1. Los invariantes métricos de la cónica

3−2 ·x1 +4 ·x2−5 ·x21 +6 ·x1 ·x2−x2

2 = 0 ⇐⇒ X

3 −1 2

−1 −5 3

2 3 −1

X′ = 0

son:I1 =−5−1 =−6

I2 =

∣∣∣∣∣∣−5 3

3 −1

∣∣∣∣∣∣=−4

I3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣3 −1 2

−1 −5 3

2 3 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣=−3

Los invariantes que acabamos de establecer nos van a servir para resolver el problema siguiente:

Dada una cónica ζζζ , mediante su ecuación, respecto a un sistema métrico:

ζ ≡ XAX′ , A =

a00 a01 a02

a01 a11 a12

a02 a12 a22

hallar su ecuación reducida.

Consideremos lo tres casos que estudiamos antes:

269

1o.- CÓNICAS CON CENTRO (λλλ 1 6= 0 , λλλ 2 6= 0)

I1 = a11 +a22 = λλλ 1 +λλλ 2

I2 = A00 = λλλ 1λλλ 2

I3 = |A|= c00λλλ 1λλλ 2

de donde: c00 =|A|A00

, y λλλ 1 , λλλ 2 serán las raíces de la ecuación:

λλλ2− (a11 +a22)λλλ +A00 = 0

a la que llamaremos ecuación característica.

2o.- PARÁBOLAS (λλλ 1 6= 0 , λλλ 2 = 0 , b02 6= 0)

I1 = a11 +a22 = λλλ 1

I3 = |A|=−b202λλλ 1

luego

b02 =

√−|A|

I1

3o.- CÓNICAS DE TIPO PARABÓLICO (λλλ 1 6= 0 , λλλ 2 = 0 , b02 = 0)

I1 = a11 +a22 = λλλ 1 .

En este caso, I2 = I3 = 0 , luego los invariantes no nos permiten calcular c00.

Ahora bien,

b02 = 0 , λλλ 2 = 0 , t1 =−b01λλλ 1

luego

c00 = a00−b2

01a11 +a22

,

y como

b01 = a01 · cos ααα±a02 · sen ααα

y

b02 = a01 · sen ααα∓a02 · cos ααα = 0 ,

eliminado sen ααα y cos ααα entre ambas ecuaciones, resulta

b01 =√

a201 +a2

02

luego

c00 = a00−a2

01 +a202

a11 +a22=

a00 ·a11 +a00 ·a22−a201−a2

02a11 +a22

=A11 +A22a11 +a22

270

DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN REDUCIDA DE UNA CÓNICA

Dada la cónica: ζ ≡ XA′X′ , siendo X =[1 x1 x2

], X′ =

1

x1

x2

, A =

a00 a01 a02

a01 a11 a12

a02 a12 a22

sus invariantes métricas son: I1 = a11 +a22 , I2 = A00 =

∣∣∣∣∣∣a11 a12

a12 a22

∣∣∣∣∣∣ , I3 = |A|

1o.- CÓNICAS CON CENTRO (λλλ 1 6= 0 , λλλ 2 6= 0)

La cónica seria:

X

c00

λλλ 1

λλλ 2

X′ = 0 ; siendo:

I1 = λλλ 1 +λλλ 2

I2 = λλλ 1λλλ 2

I3 = c00λλλ 1λλλ 2

en donde

c00 =|A|A00

, y λλλ 1 , λλλ 2 las raíces de: λλλ 2− I ·λλλ + I2 = 0 ,

La ecuación reducida será:

c00 +λλλ 1x21 +λλλ 2x2

2 = 0

2o.- PARÁBOLAS (λλλ 1 6= 0 , λλλ 2 = 0 , a02 6= 0)

La cónica sería:

X

0 0 a02

0 λλλ 1 0

a02 0 0

X′ = 0 ; siendo:

I1 = λλλ 1

I2 = 0

I3 =−a202λλλ 1

en donde:

a02 =

√−|A|

I1, y λλλ 1 , λλλ 2 las raíces de: λλλ 2− I1λλλ + I2 = 0


2a02x2 +λλλ 1x21 = 0

3o.- CONICAS DE TIPO PARABÓLICO (λλλ 1 6= 0 , λλλ 2 = 0 , a02 = 0)

La cónica sería:

X

a00 0 0

0 λλλ 1 0

0 0 0

X′ = 0 ; siendo:

I1 = λλλ 1

I2 = 0

I3 = 0

donde: λλλ 1 , λλλ 2 las raíces de λλλ 2− I1λλλ − I2 = 0


a00 +λλλ 1x21 = 0

271

Ejemplo 2. Sabiendo que

3 ·x21 +x2

2−2 ·x1 ·x2−4 ·x1−2 = 0

es la ecuación de una cónica con centro, determinar su ecuación reducida.

La matriz de la cónica es:

A =

−2 −2 0

−2 3 −1

0 −1 1

y sus invariantes son:

I1 = a11 +a22 = 3+1 = 4

I2 = A00 =

∣∣∣∣∣∣ 3 −1

−1 1

∣∣∣∣∣∣= 2

I3 = |A|=−8

Tenemos, entonces, que

λλλ2−4 ·λλλ −8 = 0 =⇒ λλλ =

2+√

3

2−√

3

c00 =−82

=−4

Luego, la ecuación pedida es:

−4+(2+√

3) ·x21 +(2−

√3) ·x2

2 = 0


x21 +x2

2 +2 ·x1 ·x2−2 ·x1 +2 ·x2 +1 = 0

es la ecuación de una parábola, determinar su ecuación reducida.

La matriz de la cónica es

A =

1 −1 1

−1 1 1

1 1 1


I1 = 1+1 = 2

I3 =−4 =−2 ·b202 =⇒ b02 =

√−4−2

=√

2

Luego la ecuación reducida pedida es:

2 ·√

2 ·x2 +2 ·x21 =⇒

√2 ·x2 +x2

1 = 0

272


x21 +x2

2−2 ·x1 ·x2−3 ·x1 +3 ·x2 +2 = 0

es la ecuación de una cónica de tipo parabólico, determinar su ecuación reducida.


A =

2 − 3

232

− 32

1 −132

−1 1

y sus invariantes son: I1 = 2 , I2 = I3 = 0 ; que no nos permiten calcular c00.

Como c00 =A11 +A22

I1; y son: A11 =−

14

, A22 =−14

, será

c00 =− 1

4− 1

42

=− 14

Luego la ecuación reducida pedida es:

8 ·x21−1 = 0

25.4 Clasificación afín y métrica de las cónicas

Nos proponemos, ahora, obtener criterios que, utilizando únicamente los coeficientes de la ecuación de

una cónica, respecto a un sistema métrico cualquiera, nos permita conocer a que tipo pertenece.

Sin embargo, antes, vamos a hacer una clasificación de las cónicas más completa que la efectuada en el

apartado anterior.

1.- CÓNICAS CON CENTRO

Según los signos de los coeficientes: c00 , λλλ 1 , λλλ 2 , se pueden presentar los siguientes casos:

a1.− c00 6= 0 , sg c00 = sg λλλ 1 = sg λλλ 2 (Utilizamos sg como abreviatura de signo). En ese caso la

ecuación reducida de la cónica se puede escribir en la forma:

x21

a2 +x2

2b2 =−1 ;

se trata de una cónica imaginaria a la que se suele llamar elipse imaginaria.

b1.− sg c00 6= sg λλλ 1 = sg λλλ 2 Se verifica entonces:

x21

a2 +x2

2b2 = 1 ;

y la cónica es una elipse.

273

c1.− c00 6= 0 y sg λλλ 1 6= sg λλλ 2 Se verifica entonces:

x21

a2 −x2

2b2 = 1 ;

y la cónica es una hipérbola.

d1.− c00 = 0 y sg λλλ 1 6= sg λλλ 2 Se verifica entonces:

x21

a2 −x2

2b2 = 0 ;

o bien ( x1a

+x2b

)·( x1

a− x2

b

)= 0 ,

con lo que se trata de dos rectas reales no paralelas.

e1.− c00 = 0 y sg λλλ 1 = sg λλλ 2 Se verifica entonces:

x21

a2 +x2

2b2 = 0 ;

o bien ( x1a

+x2b

iii)·( x1

a− x2

biii)= 0 ,

donde iii representa la unidad imaginaria. Se les llama, en este caso, rectas imaginarias conjugadas

no paralelas.

2.- CÓNICAS DE TIPO PARABÓLICO

a2.− 2c02x2 +λλλ 1x21 = 0 ,

se trata de una parábola.

b2.− Si c00 +λλλ 1x21 = 0 y sg c00 6= sg λλλ 1 , tendremos:

x21−a2 = 0 ,

o bien

(x1 +a)(x1−a) = 0

con lo que se trata de dos rectas reales paralelas.

c2.− Si sg c00 = sg λλλ 1 , tendremos

x21 +a2 = 0 ,

o bien

(x1 +aiii)(x1−aiii) = 0

con lo que se trata de dos rectas imaginarias paralelas.

274

d2.− Si c00 = 0 , entonces tendremos

x21 = 0

con lo que se trata de dos rectas reales confundidas.

Apuntemos, por último, que si la elipse es:x2

1a2 +

x22

a2 = 1 , dicha cónica es una circun-

ferencia. Así mismo, si la hipérbola es:x2

1a2 −

x22

a2 = 1 , diremos que se trata de una

hipérbola equilátera.

En el caso de la circunferencia, tenemos que a = b, o lo que es lo mismo, λλλ 1 = λλλ 2, pero al ser λλλ 1

y λλλ 2 las raíces de la ecuación

λλλ2− (a11 +a22)λλλ +A00 = 0 ,

tendremos que el discriminante de esta ecuación habrá de ser nulo, es decir

0 = (a11 +a22)2−4A00 = a2

11 +2a11a22 +a222−4a11a22 +4a2

12 = (a11−a22)2 +4a2

12 ,

lo que exige que: a11−a22 = 0 y a12 = 0 . En consecuencia, para que la cónica sea una circun-

ferencia es necesario que

a11 = a22 y a12 = 0 .

En el caso de la hipérbola equilátera, λλλ 1 +λλλ 2 = 0 , o lo que es lo mismo: a11 +a22 = 0.

Ejemplo 1. La cónica de ecuación

2−2 ·x1 +4 ·x2 +3 ·x21−4 ·x1 ·x2−3 ·x2

2 = 0

es una hipérbola equilátera, pues

|A|=

∣∣∣∣∣∣∣∣2 −1 2

−1 3 −2

2 −2 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0 , A00 =−13 < 0 y a11 +a22 = 3−3 = 0 .

Observemos que las cónicas de los tipos a1.− , b1.− , c1.− y a2.− , se tiene que |C| 6= 0 , luego

|A| 6= 0 , mientras que en los restantes es |C|= |A|= 0 . Obsérvese, así mismo, que estas últimas se

descomponen en rectas, mientras que las primeras no se descomponen. Este hecho es equivalente a la

posibilidad o imposibilidad de descomponer el polinomio cuadrático, que representa a la cónica, en

producto de dos polinomios lineales. Por esta razón, a las cónicas que verifican |A| 6= 0, se les llama

irreducibles o no degeneradas, y a las otras, reducibles o degeneradas.

El cuadro siguiente trata de representar la CLASIFICACIÓN AFÍN:

275

CLASIFICACIÓN AFÍN DE LAS CÓNICAS

Cónicas

|A| 6= 0

A00 6= 0

A00 > 0

sg (a11 +a22) = sg |A|imaginaria

sg (an +a22) 6= sg |A|real

elipse

A00 < 0hipérbola

con centro

A00 = 0parábola

irreducibles

|A|= 0

A00 6= 0

A00 > 0par de rectas imaginarias no paralelas

A00 < 0par de rectas reales no paralelas

con centro

A00 = 0

A11 +A22 6= 0

A11 +A22 > 0imaginarias conjugadas

A11 +A22 < 0reales

distintas

A11 +A22 = 0confundidas

dos rectasparalelas

reducibles

=

276

Desde un punto de vista métrico aparecen algunos subtipos de los anteriores tipos afínes:

1o.- Subtipo métrico de la elipse es la circunferencia.

2o.- Subtipo métrico de la hipérbola es la llamada equilátera, es decir la hipérbola cuyas asíntotas son

perpendiculares.

3o.- Subtipo métrico de la cónica formada por dos rectas no paralelas es el caso de que tengamos rectas

perpendiculares.

Resulta entonces que si la clasificación afín, se le añade la siguiente subclasificación, obtendremos la

CLASIFICACIÓN MÉTRICA:Si a11 = a22 , a12 = 0 y |A| 6= 0 , la cónica es una circunferencia

(real o imaginaria)

Si a11 +a22 = 0 , y |A| 6= 0 , la cónica es una hipérbola equilátera

Si a11 +a22 = 0 , y |A|= 0 , la cónica son dos rectas perpendiculares

25.5 EjemplosEjemplo 1. Clasificar la cónica siguiente

4 ·x21 +x2

2 +4 ·x1x2−x22 = 0

La ecuación matricial de la cónica es:

XAX′ =[1 x1 x2

]0 0 − 1

20 4 2

− 12

2 1

1

x1

x2

= 0

y sus invariantes métricos:

I1 = a11 +a22 = 4+1 = 5

I2 = A00 =

∣∣∣∣∣∣4 2

2 1

∣∣∣∣∣∣= 0

I3 = |A|= 2Luego se trata de una parábola.

Ejemplo 2. Clasificar la cónica siguiente

2 ·x21−x1x2−x2

2 +2 ·x1 +x2 = 0


XAX′ =[1 x1 x2

]

0 112

1 2 − 12

12− 1

2−1

1

x1

x2

= 0

277


I1 = a11 +a22 = 2−1 = 1

I2 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣2 − 1

2− 1

2−1

∣∣∣∣∣∣∣=−94

< 0

I3 = |A|= 0

Luego se trata de un par de rectas reales no paralelas.


x21−2 ·x1x2 +x2

2 +1 = 0


XAX′ =[1 x1 x2

]1 0 0

0 1 −1

0 −1 1

1

x1

x2

= 0

y sus invariantes métricos: I1 = a11 +a22 = 1+1 = 2

I2 = A00 =

∣∣∣∣∣∣ 1 −1

−1 1

∣∣∣∣∣∣= 0

I3 = |A|= 0

Siendo además A11 =

∣∣∣∣∣∣1 0

0 1

∣∣∣∣∣∣= 1 , A22 =

∣∣∣∣∣∣1 0

0 1

∣∣∣∣∣∣= 1 =⇒ A11 +A22 = 2 > 0

Luego se trata de dos rectas paralelas distintas imaginarias conjugadas.


x21−x1x2−2 ·x2

2 +3 ·x1−6 ·x2 +3 = 0


XAX′ =[1 x1 x2

]

332

−3

32

1 − 12

−3 − 12

−2

1

x1

x2

= 0

y sus invariantes métricos: I1 = a11 +a22 = 1−2 =−1

I2 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣1 − 1

2− 1

2−2

∣∣∣∣∣∣∣=−94

< 0

I3 = |A|=−274

Luego se trata de una hipérbola.

278


3 ·x21 +3 ·x2

2−12x1 +18 ·x2 +38 = 0


XAX′ =[1 x1 x2

]38 −6 9

−6 3 0

9 0 3

1

x1

x2

= 0


I1 = a11 +a22 = 3+3 = 6

I2 = A00 =

∣∣∣∣∣∣3 0

0 3

∣∣∣∣∣∣= 9 > 0

I3 = |A|=−9

Por ser sg (a11 +a22) 6= sg |A|, sería una elipse real, pero dado que: a11 = a22 , a12 = 0 y |A| 6= 0, la cónica dada

es una circunferencia real.


7 ·x21 +7 ·x2

2−2 ·x1x2 +12 ·x1 +12 ·x2−180 = 0


XAX′ =[1 x1 x2

]−180 6 6

6 7 −1

6 −1 7

1

x1

x2

= 0


I1 = a11 +a22 = 7+7 = 14

I2 = A00 =

∣∣∣∣∣∣ 7 −1

−1 7

∣∣∣∣∣∣= 48 > 0

I3 = |A|=−9216 6= 0

Por ser, además sg (a11 +a22) 6= sg |A|, la cónica dada es una elipse real.


x21 +x2

2−2 ·x1 +1 = 0


XAX′ =[1 x1 x2

]1 −1 0

−1 1 0

0 0 1

1

x1

x2

= 0

279


I1 = a11 +a22 = 1+1 = 2

I2 = A00 =

∣∣∣∣∣∣1 0

0 1

∣∣∣∣∣∣= 1 > 0

I3 = |A|= 0

Luego se trata de un par de rectas imaginarias no paralelas.


5 ·x21 +5 ·x2

2−2 ·x1x2 +6 = 0


XAX′ =[1 x1 x2

]6 0 0

0 5 −1

0 −1 5

1

x1

x2

= 0


I1 = a11 +a22 = 5+5 = 10

I2 = A00 =

∣∣∣∣∣∣ 5 −1

−1 5

∣∣∣∣∣∣= 24 > 0

I3 = |A|= 144 6= 0

Por ser, además sg (a11 +a22) = sg |A|, la cónica dada es una elipse imaginaria.

Ejemplo 9. Clasificar y hallar la ecuación reducida de la cónica siguiente

1−2 ·x2 +4 ·x21−4 ·x1x2 +x2

2 = 0


A =

1 0 −1

0 4 −2

−1 −2 1

y sus invariantes:

I1 = 4+1 = 5 , I2 = A00 =

∣∣∣∣∣∣ 4 −2

−2 1

∣∣∣∣∣∣= 0 , I3 = |A|= 4−4−4 6= 0

Luego la cónica dada es una parábola. En consecuencia:

λλλ 1 = I1 = 5 , y −4 =−b202 ·5 =⇒ b02 =

√45

es decir

2 ·√

45·x2 +5 ·x2

1 = 0 =⇒ 4 ·x2 +5 ·√

5 ·x21 = 0

280


−5 ·x21 +x2

2−14 ·x1x2−1 = 0


A =

−1 0 0

0 −5 −7

0 −7 1

y sus invariantes:

I1 =−5+1 =−4 , I2 = A00 =−54 , I3 = 54

Luego la cónica dada es una hipérbola. En consecuencia:

λλλ 2 +4 ·λλλ −54 = 0 =⇒ λλλ =−4±

√16+2162

=−4±2 ·

√58

2=−2±

√58

c00 =54−54

=−1

es decir

−1+(−2+√

58) ·x21 +(−2−

√58) ·x2

2 = 0 =⇒ (√

58−2) ·x21− (√

58+2) ·x22 = 1


5 ·x21−3 ·x2

2−6 ·x1x2 +38 ·x1 +6 ·x2 +29 = 0


XAX′ =[1 x1 x2

]29 19 3

19 5 −3

3 −3 −3

1

x1

x2

= 0


I1 = a11 +a22 = 5−3 = 2

I2 = A00 =

∣∣∣∣∣∣ 5 −3

−3 −3

∣∣∣∣∣∣=−24 < 0

I3 = |A|= 0

Luego se trata de un par de rectas reales no paralelas.


2 ·x1x2−5 = 0

281


XAX′ =[1 x1 x2

]−5 0 0

0 0 1

0 1 0

1

x1

x2

= 0


I1 = a11 +a22 = 0

I2 = A00 =−1 < 0

I3 = |A|= 5

Luego la cónica dada es una hipérbola equilátera.

Tenemos, entonces, que su ecuación característica es:

λλλ2− I1λλλ + I2 = 0 ⇐⇒ λλλ

2−1 = 0

cuyas raíces son: λλλ =±1 . Además: c00 =I3I2

=5−1

=−5.

Luego la ecuación reducida será:


2 = 0 =⇒ −5+x21−x2

2 = 0


3 ·x21 +x2

2−5 ·x1x2 +3 ·x1 +2 = 0


XAX′ =[1 x1 x2

]

232

0

32

3 − 52

0 − 52

1

1

x1

x2

= 0


I1 = a11 +a22 = 3+1 = 4

I2 = A00 =−134

< 0

I3 = |A|=−354

Luego se trata de una hipérbola.

Tenemos, entonces, que su ecuación característica es:

λλλ2−4 ·λλλ − 13

4= 0 ⇐⇒ 4 ·λλλ 2−16 ·λλλ −13 = 0

cuyas raíces son:

λλλ =4±√

292

; Además c00 =I3I2

=

−354

− 134

=3513

282

luego la ecuación reducida será:


2 = 0 ⇐⇒ 3513

+4+√

292

·x21 +

4−√

292

·x22 = 0 ,

es decir7013

+(4+√

29) ·x21 +(4−

√29) ·x2

2 = 0

Ejemplo 14. Dada la cónica de ecuación

4 ·x21− (1+λλλ )x1x2− (4−λλλ )x2

2 +2 · (1+λλλ )x1 +(1+λλλ )x2 = 0

determinar para que valores de λλλ es degenerada.


XAX′ =[1 x1 x2

]

0 (1+λλλ )1+λλλ

2

(1+λλλ ) 4 − (1+λλλ )

21+λλλ

2− (1+λλλ )

2−(4−λλλ )

1

x1

x2

= 0

Así tenemos:

|A|=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 (1+λλλ )1+λλλ

2

(1+λλλ ) 4 − (1+λλλ )

21+λλλ

2− (1+λλλ )

2−(4−λλλ )

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

cuyas raíces son:

λλλ 1 = 1 , λλλ 2 =53

para cuyos valores la cónica dada es degenerada.

Ejemplo 15. Determinar para qué valores de λλλ , la ecuación siguiente

x21−2 ·λλλx1x2 +2 ·λλλx2

2−2 ·x1 +4 ·λλλx2 = 0

representa:a.- una parábolab.- una hipérbola equiláterac.- una elipse


XAX′ =[1 x1 x2

]0 −1 2 ·λλλ

−1 1 −λλλ

2 ·λλλ −λλλ 2 ·λλλ

1

x1

x2

= 0

283


I1 = a11 +a22 = 1+2 ·λλλ

I2 = A00 = 2 ·λλλ −λλλ 2 = λλλ · (2−λλλ )

I3 = |A|=−2 ·λλλPara que sea parábola, debe verificarse: I3 6= 0 y I2 = 0 .

es decir: −2 ·λλλ 6= 0 y λλλ · (2−λλλ ) = 0 .

Para que sea hipérbola equilátera, debe ser: I3 6= 0 , I2 < 0 , I1 = 0

es decir: −2 ·λλλ 6= 0 , λλλ · (2−λλλ ) 6= 0 , 1+2 ·λλλ = 0 .

Para que sea elipse, debe verificarse: I3 6= 0 y I2 > 0 .

es decir: −2 ·λλλ 6= 0 , λλλ · (2−λλλ )> 0 .

Luego será: parábola para λλλ = 2

hipérbola equilátera para λλλ =−12

elipse para 0 < λλλ < 2

.

Ejemplo 16. Determinar el valor de λλλ para que la cónica

x21 +4 ·x1x2 +λλλx2

2−6 ·x1−12 ·x2 +9 = 0

sea una recta doble.

Si la cónica es una recta doble su ecuación será de la forma:

(x1 +b ·x2 + c)2 = 0

y desarrollando

x21 +b2x2

2 + c2 +2 ·b ·x1x2 +2 · c ·x1 +2 ·b · c ·x2 = 0

identificando coeficientes, tenemos:

c2 = 9

b2 = λλλ

2 ·b = 4

2 · c =−6

2 ·b · c =−12

=⇒ b = 2 , c =−3 , λλλ = 4 .

Por tanto: λλλ = 4 ,

y la cónica será: (x1 +2 ·x2−3)2 = 0 .

Ejemplo 17. Clasificar y halar la ecuación reducida de la cónica:

x21 +4 ·x2

2−4 ·x1x2 +2 ·x1−4 ·x2 +1 = 0


XAX′ =[1 x1 x2

]1 1 −2

1 1 −2

−2 −2 4

1

x1

x2

= 0

284


I1 = a11 +a22 = 1+4 = 5

I2 = A00 =

∣∣∣∣∣∣ 1 −2

−2 4

∣∣∣∣∣∣= 0

I3 = |A|= 0

Además

A11 =

∣∣∣∣∣∣ 1 −2

−2 4

∣∣∣∣∣∣= 0 , A22 =

∣∣∣∣∣∣1 1

1 1

∣∣∣∣∣∣= 0

Luego se trata de dos rectas paralelas confundidas, es decir una recta doble:

Si la cónica es una recta doble, su ecuación será de la forma:

(x1 +b ·x2 + c)2 = 0

y desarrolando

x21 +b2 ·x2

2 + c2 +2 ·b ·x1x2 +2 · c ·x1 +2 ·b · c ·x2 = 0

Identificando coeficientesc2 = 1

b2 = 4

2 ·b =−4

2 · c = 2

2 ·b · c =−4

=⇒ b =−2 , c = 1

La cónica será: (x1−2 ·x2 +1)2 = 0 .

Ejemplo 18. Clasificar y hallar la ecuación reducida de la cónica:

x21 +x2

2 +2 ·x1x2−4 ·x1−4 ·x2 +4 = 0


XAX′ =[1 x1 x2

]4 −2 −2

−2 1 1

−2 1 1

1

x1

x2

= 0

y sus invariantes métricos: I1 = a11 +a22 = 1+1 = 2

I2 = A00 = 0

I3 = |A|= 0

Además

A11 =

∣∣∣∣∣∣ 4 −2

−2 1

∣∣∣∣∣∣= 0 , A22 =

∣∣∣∣∣∣ 4 −2

−2 1

∣∣∣∣∣∣= 0

Luego se trata de dos rectas paralelas confundidas, es decir una recta doble:

Si la cónica es una recta doble su ecuación será de la forma:

(x1 +b ·x2 + c)2 = 0

285

y desarrollandox2

1 +b2 ·x22 + c2 +2 ·b ·x1x2 +2 · c ·x1 +2 ·b · c ·x2 = 0


c2 = 4

b2 = 1

2 ·b = 2

2 · c =−4

2 ·b · c =−4

=⇒ b = 1 , c =−2 .

La cónica será: (x1 +x2−2)2 = 0 .

Ejemplo 19. Clasificar, según los valores λλλ , el haz de cónicas

λλλx21 +2 ·λλλx1x2 +x2

2−2 ·x1−2 ·x2 +λλλ = 0


XAX′ =[1 x1 x2

]λλλ −1 −1

−1 λλλ λλλ

−1 λλλ 1

1

x1

x2

= 0


I1 = a11 +a22 = λλλ +1

I2 = A00 =

∣∣∣∣∣∣λλλ λλλ

λλλ 1

∣∣∣∣∣∣= λλλ −λλλ 2 = λλλ · (1−λλλ )

I3 = |A|=−(λλλ −1) · (λλλ 2−1)

Veamos, según los valores de λλλ , los diferentes tipos de cónicas que tenemos:

−∞∞∞ < λλλ <−1 =⇒ (|A|> 0 y A00 < 0) =⇒ HIPÉRBOLAS

λλλ =−1 =⇒ (|A|= 0 y A00 < 0) =⇒ DOS RECTAS SECANTES

−1 < λλλ < 0 =⇒ (|A|< 0 y A00 < 0) =⇒ HIPÉRBOLAS

λλλ = 0 =⇒ (|A|< 0 y A00 = 0) =⇒ PARÁBOLAS

0 < λλλ < 1 =⇒ (|A|< 0 y A00 > 0) =⇒ ELIPSES REALES

λλλ = 1 =⇒ (|A|= 0 y A00 = 0) =⇒ CÓNICAS DE TIPO PARABÓLICO

1 < λλλ <∞∞∞ =⇒ (|A|< 0 y A00 < 0) =⇒ HIPÉRBOLAS

Analicemos, ahora, el caso λλλ = 1, ya que puede tratarse de dos rectas imaginarias conjugadas , dos rectas reales

y distintas , o de una recta doble

Para λλλ = 1 la ecuación de la cónica es:

x21 +2 ·x1x2 +x2

2−2 ·x1−2 ·x2 +1 = 0

286

y sus invariantes métricos

I1 = 2 , I2 = 0 , I3 = 0 .

Además

A11 =

∣∣∣∣∣∣ 1 −1

−1 1

∣∣∣∣∣∣= 0 , A22 =

∣∣∣∣∣∣ 1 −1

−1 1

∣∣∣∣∣∣= 0

Luego se trata de dos rectas paralelas confundidas, es decir de una recta doble:

Si la cónica es una recta doble su ecuación será de forma:

(x1 +b ·x2 + c)2 = 0

y desarrollando

x21 +b2 ·x2

2 + c2 +2 ·b ·x1x2 +2 · c ·x1 +2 ·b · c ·x2 = 0


c2 = 1

b2 = 1

2 ·b = 2

2 · c =−1

2 ·b · c =−2

=⇒ b = 1 , c =−1 .

La cónica (para λλλ = 1), será:

(x1 +x2−1)2 = 0 .

287

Lección 26.- RECTAS ISÓTROPAS Y PUNTOS CÍCLICOS

26.1 Coordenadas homogéneas en el plano

26.1 Coordenadas homogéneas en el plano

Sea O ;u1, u2 un sistema de referencia en el plano afín E2.

A todo punto , X(x1, x2) , se le puede hacer corresponder un conjunto ordenado de tres números

(X0, X1, X2), siendo el primero no nulo, mediante las fórmulas

X1 = x1 ·X0 , X2 = x2 ·X0 ,

números determinados de manera única, a menos de un coeficiente de proporcionalidad.

Recíprocamente, tres números reales, X0, X1, X2, dados en un cierto orden, y tales que el primero sea no

nulo, definen de manera única un punto X, de E2, cuyas coordenadas (x1, x2) satisfacen las relaciones

X1 = x1 ·X0 , X2 = x2 ·X0 ,

A estos tres números, X0, X1, X2, se les llama coordenadas homogéneas del punto X así determinado.

La condición para que (X0, X1, X2) e (Y0, Y1, Y2) determinen el mismo punto es que

X0Y0

=X1Y1

=X2Y2

.

PUNTOS DEL INFINITO

Las coordenadas homogéneas nos van a permitir añadir, al conjunto de los puntos del plano, otros puntos

ideales que nos serán de gran utilidad.

Sea la recta r, de ecuación vectorial

x = p+λλλv ,

donde, como ya sabemos, p representa al vector de posición de un punto P, de la recta, y v un vector de

dirección de la misma.

Si en la ecuación anterior hacemos tender λλλ hacia el infinito, una al menos de las coordenadas del punto

genérico de la recta tiende a infinito. Sin embargo, si se asocia ese punto las coordenadas homogéneas

X0 =1λλλ

, X1 =p1λλλ

+v1 , X2 =p2λλλ

+v2 ,

éstas permanecen finitas al tender λλλ a infinito, y tienen por límite: 0, v1, v2, respectivamente. Diremos,

por definición que (0, v1, v2) son las coordenadas homogéneas del punto del infinito de r.

Así, llamaremos punto del infinito, del plano afín E2, a todo punto cuya primera coordenada homogénea

sea nula.

289

Dos rectas paralelas tienen vectores de dirección proporcionales, luego las coordenadas de sus puntos

del infinito también lo serán, por lo que representarán el mismo punto. Nos permite esto decir que dos

rectas paralelas tienen el mismo punto del infinito.

El conjunto de los puntos del infinito del plano queda caracterizado por la ecuación:

X0 = 0 ,

conjunto que llamaremos recta del infinito del plano E2.

A los puntos del infinito les llamaremos puntos impropios y a los ordinarios puntos propios.

ECUACIÓN HOMOGÉNEA DE LA RECTA

Sea r≡ a ·x1 +b ·x2 + c una recta. Haciendo en ella la sustitución

x1 =X1X0

, x2 =X2X0

,

obtenemos

c ·X0 +a ·X1 +b ·X2 = 0

que es la ecuación homogénea de r.

Si la recta, r, viene determinada por los puntos P(P0, P1, P2) y Q(Q0, Q1, Q2) tendremos

r≡AX0 +BX1 +CX2 = 0

AP0 +BP1 +CP2 = 0

AQ0 +BQ1 +CQ2 = 0

ahora bien, para que este sistema, cuyas incógnitas son A, B y C, sea compatible, es necesario que se

verifique ∣∣∣∣∣∣∣∣X0 X1 X2

P0 P1 P2

Q0 Q1 Q2

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 ,

luego, la primera fila del determinante debe ser combinación lineal de las otras dos, es decir

X0 = λλλP0 +µµµQ0



que son las ecuaciones paramétricas homogéneas de r.

Si en lo sucesivo denotamos con la misma letra a un punto y a la matriz de sus coordenadas homogéneas,

podemos escribir

r≡ X = λλλP+µµµQ .

290

En cualquier caso, el punto del infinito de la recta, r, se obtendrá resolviendo el sistema

c ·X0 +a ·X1 +b ·X2 =0

X0 =0

lo que significa que dicho punto es el (0, b, −a).

Si la recta, r, viniese dada en su forma paramétrica, calcularíamos λλλ y µµµ haciendo X0 = 0 en la primera

ecuación, y llevando estos valores a la segunda y la tercera.

Ejemplo 1. La recta de ecuación: 2 ·x1−3 ·x2 +4 = 0 es, en coordenadas homogéneas

4 ·X0 +2 ·X1−3 ·X2 = 0 ,

y su punto del infinito el (0, 3, 2) .

Ejemplo 2. Las ecuaciones paramétricas de la recta determinada por los puntos: P(1, 2, 4) y Q(4, 3, −2) ,

sonX0 = λλλ +4 ·µµµ

X1 = 2 ·λλλ +3 ·µµµ

X2 = 4 ·λλλ −2 ·µµµ

Para X0 = 0 ,

λλλ

µµµ=−4 , luego su punto del infinito es (0, −5, −18) .

PUNTOS IMAGINARIOS. RECTAS ISÓTROPAS. PUNTOS CICLICOS

Si consideramos, también, como puntos del plano los representado por coordenadas homogéneas, (X0, X1, X2),

en las que al menos una de ellas es imaginaria, el plano se compondrá de puntos propios, reales o imagi-

narios, y puntos impropios, que también podrán ser reales o imaginarios.

A los puntos imaginarios no les son de aplicación todos los resultados que son ciertos para los puntos

reales. Por ejemplo, la distancia entre los puntos P y Q, definida en el plano euclídeo, respecto a un

sistema métrico por

d(P, Q) =√

(p1−q1)2 +(p2−q2)2 ,

puede ser nula para dos puntos imaginarios distintos, e incluso puede no estar definida.

Ejemplo 3. La distancia entre los puntos P(1+ iii, iii) y Q(iii, 0), vale

d(P, Q) =√

12− iii2 = 0 .

Para que dos puntos, P(p1, p2) y Q(q1, q2), sean tales que d(P, Q) = 0, es necesario que: (p1−q1)2 +(p2−q2)

2 = 0

ahora bien

v = (p1−q1, p2−q2)

es un vector de dirección de la recta PQ. Por otra parte, el vector(1,

p2−q2p1−q1

)291

tiene también esa dirección, y se de debe cumplir

1+(

p2−q2p1−q1

)= 0

luegop2−q2p1−q1

=±iii

Así resulta que, (1, ±iii) debe ser un vector de dirección de la recta determinada por los puntos P, Q, tales que

d(P, Q) = 0.

A las direcciones caracterizadas por los vectores (1, iii) o (1, −iii), se les llama direcciones isótropas, y a las rectas

que tienen dirección isótropa se las denomina rectas isótropas.

Para cada punto, R(r1, r2), del plano pasan dos rectas isótropas

x1− r1 =±iii · (x2− r2) ,

siendo su ecuación conjunta

(x1− r1)2 +(x2− r2)

2 = 0 .

Observemos que toda recta isótropa es perpendicular a si misma. Basta recordar que, en general si m y m′ son las

pendientes de dos rectas, la condición de perpendicularidad es: 1+m ·m′ = 0. Así si m =+iii, se tiene

1+(+iii) · (−iii) = 1+ iii2 = 1−1 = 0 ,

y también, para m =−iii se llega al mismo resultado

1+(−iii) · (+iii) = 1+ iii2 = 1−1 = 0 .

Puesta la ecuación conjunta, de las dos rectas isótropas, en forma homogénea, tendremos

(X1 · r0−X0 · r1)2 +(X2 · r0−X0 · r2)

2 = 0 ,

y cortando esta cónica imaginaria por la recta del infinito X0 = 0, obtendremos sus puntos del infinito, que son

(0, 1, iii) y (0, 1, −iii)

que reciben el nombre de puntos cíclicos del plano.

Ejemplo 4. Todas las circunferencias del plano pasan por los puntos cíclicos de éste.

Cortando la ecuación de la circunferencia por la de la recta impropia tenemos

a11 ·X21 +a11 ·X2

2 +2 ·a01 ·X0 ·X1 +2 ·a02 ·X0 ·X2 +a00 ·X20 = 0

X0 = 0

es decir

X21 +X2

2 = 0

X0 = 0

cuyas soluciones son:

(0, 1, iii) y (0, 1, −iii) .

292

Lección 27.- POLARIDAD EN LAS CÓNICAS

27.1 Posición relativa de una recta y una cónica

27.2 Polaridad en la cónicas

27.1 Posición relativa de una recta y una cónica

La ecuación de una cónica ζ en forma homogénea es

a00X20 +2 ·a01X0X1 +2 ·a02X0X2 +a11X2

1 +2 ·a12X1X2 +a22X22 = 0

o en forma matricial

XAX′ = 0 ,

donde ahora X es la matriz de coordenadas homogéneas[X0 X1 X2

].

A las expresiones

fff X0 = a00X0 +a01X1 +a02X2

fff x1 = a01X0 +a11X1 +a12X2

fff x2 = a02X0 +a12X1 +a22X2

les llamaremos formas lineales asociadas a la cónica, que coinciden con las semiderivadas, del primer

miembro de la cónica; es decir: fff xiii =12· ∂ζ

∂xiii, (iii = 1, 2, 3)

Observemos que

ζ ≡ fff x0 ·X0 + fff x1 ·X1 + fff x2 ·X2 = 0 .

Sea, ahora, la cónica ζ de ecuación matricial

XAX′ = 0 ,

y la recta r, determinada por los puntos P y Q,

r≡ X = λλλP+µµµQ .

El problema geométrico de hallar los puntos comunes a r y ζ es equivalente al problema de resolver el

sistemaXAX′ = 0

X = λλλP+µµµQ

pero dado que este sistema es equivalente al

(λλλP+µµµQ)A(λλλP+µµµQ)′ = 0

X = λλλP+µµµQ

293

si hacemos operaciones, resulta

(PAP′) ·λλλ 2 +2 · (PAQ′) ·λλλ ·µµµ +(QAQ′) ·µµµ2 = 0

X = λλλP+µµµQ

Para hallar los puntos comunes resolveremos la ecuación homogénea, de segundo grado en λλλ y µµµ , y los

valores obtenidos los llevaremos a la segunda ecuación, la cual nos dará las coordenadas homogéneas de

dichos puntos.

Pueden ocurrir los siguientes casos:

1o.- Que la ecuación de segundo grado sea idénticamente nula, es decir, que: PAP′ = 0, PAQ′ = 0 y

QAQ′ = 0, en cuyo caso, cualquier pareja (λλλ , µµµ) de números reales será solución del sistema,

luego todo punto de r pertenecerá a ζ , o lo que es lo mismo, la recta formará parte de la cónica.

2o.- Que el discriminante de la ecuación de segundo grado sea positivo, lo que equivale a que

(PAQ′)2− (PAP′) · (QAQ′)> 0 ,

en cuyo caso existen dos soluciones reales, y por tanto, existen dos puntos reales, distintos, comu-

nes a la recta y a la cónica.

Se dice entonces que la recta es secante a la cónica.

3o.- Que se verifique

(PAQ′)2− (PAP′) · (QAQ′) = 0 ,

en cuyo caso existen dos puntos confundidos comunes a r y ζ .

Se dice, entonces, que r es tangente a ζ .

4o.- Que se verifique

(PAQ′)2− (PAP′) · (QAQ′)< 0 ,

en cuyo caso las soluciones de la ecuación son imaginarias, y los puntos de intersección de r y ζ

son dos imaginarios conjugados.

Se dice, entonces, que r es exterior a ζ .

Ejemplo 1. Determinar los puntos comunes a la cónica

−10 ·X20−8 ·X0 ·X1−3 ·X0 ·X2 +2 ·X2

1 +3 ·X1 ·X2 +X22 = 0 ,

y a la recta determinada por los puntos

P(0, 1, 3) y Q(1, 0, −7) .

Calculamos

PAP′ = 20 , PAQ′ = 40 , QAQ′ = 60 ,

294

con lo que tendremos la ecuación

20 ·λλλ 2 +80 ·λλλ ·µµµ +60 ·µµµ = 0 ,

cuyas soluciones son

λλλ

µµµ=

3

1 .

Llevados los valores: λλλ = 3 , µµµ = 1 a las ecuaciones

X = λλλ · (0, 1, 3)+µµµ · (1, 0, −7)

obtenemos

X = (1, 3, 2) ;

y para los valores: λλλ = 1 , µµµ = 1, obtenemos

X = (1, 1, −4) .

Así, los puntos de intersección de la cónica con la recta son:

(1, 3, 2) y (1, 1, −4) .

Ejemplo 2. Determinar la posición relativa de la recta

r≡ 3 ·X0−X1−3 ·X2 = 0

y la cónica

ζ ≡−3 ·X0 ·X1 +3 ·X0 ·X2 +X21−2 ·X1 ·X2 +3 ·X2

2 = 0


XAX′ =[X0 X1 X2

]

0 − 32

32

− 32

1 −1

32

−1 3

X0

X1

X2

= 0

Son puntos de la recta r, los: P(0, 3, 1) y Q(1, 0, −1) .

Calculamos:

PAP′ =[0 3 1

]

0 − 32

32

− 32

1 −1

32

−1 3

0

3

1

= 6

295

PAQ′ =[0 3 1

]

0 − 32

32

− 32

1 −1

32

−1 3

1

0

−1

=−3

QAQ′ =[1 0 −1

]

0 − 32

32

− 32

1 −1

32

−1 3

1

0

−1

= 0

con lo que planteamos la ecuación

6 ·λλλ 2 +2 · (−3) ·λλλ ·µµµ +0 ·µµµ2 = 0

que nos da:

λλλ

µµµ=

1

0

Los valores λλλ = 1 , µµµ = 1 llevados a las ecuaciones

X = λλλ · (0, 3, 1)+µµµ · (1, 0, −1)

dan

X = (1, 3, 0)

y los valores λλλ = 0 , µµµ = 1 dan:

X = (1, 0, −1)

Luego la recta corta a la cónica en dos puntos (es secante).

RECTA TANGENTE A UNA CÓNICA POR UN PUNTO DE ÉSTA

Si se verifica que P ∈ ζ , entonces PAP′ = 0, y el sistema a resolver se reduce

2 · (PAQ′)λλλµµµ +(QAQ′)µµµ2 = 0

X = λλλP+µµµQ

una de cuyas soluciones sería la: λλλ = 1 , µµµ = 0, la cual no daría el punto de intersección, P, cosa que

ya sabíamos.

El otro punto de intersección se obtendrá llevando a la segunda ecuación la otra raíz de la primera:

µµµ

λλλ=

2 · (PAQ′)QAQ′

.

Si la recta r fuera tangente a ζ , el segundo punto de intersección sería nuevamente el P, y entonces

2 · (PAQ′)QAQ′

= 0 ,

296

de donde

PAQ′ = 0 ,

que es la condición que deben cumplir las matrices de las coordenadas del punto P, de tangencia, y

un segundo punto, que junto con el P determine la tangente. Dado que este segundo punto puede ser

cualquiera de r (distinto del P), tendremos que la ecuación de la tangente a la cónica en el punto P será

PAX′ = 0 ,

que puede escribirse de las dos maneras siguientes

fff X0 ·P0 + fff X1 ·P1 + fff X2 ·P2 = 0

fff P0 ·X0 + fff P1 ·X1 + fff P2 ·X2 = 0

Ejemplo 3. Determinar la tangente a la cónica

ζ ≡−4 ·X20−2 ·X0 ·X1 +3 ·X2

1 +4 ·X1 ·X2 +X22 = 0

en el punto P(1, 0, 2).


A =

−4 −1 2

−1 3 2

2 2 1

y además

fff x0 = a00 ·X0 +a01 ·X1 +a02 ·X2 =−4 ·X0−1 ·X1 +0 ·X2

fff x1 = a01 ·X0 +a11 ·X1 +a12 ·X2 =−1 ·X0 +3 ·X1 +2 ·X2

fff x2 = a02 ·X0 +a12 ·X1 +a22 ·X2 = 0 ·X0 +2 ·X1 +1 ·X2

y dado que el punto P(1, 0, 2) ∈ ζ , la tangente en P a la cónica será:

fff X0 ·P0 + fff X1 ·P1 + fff X2 ·P2 = 0 ,

es decir

(4 ·X0−1 ·X1) ·1+(−1 ·X0 +3 ·X1 +2 ·X2) ·0+(0 ·X0 +2 ·X1 +1 ·X2) ·2 = 0


−4 ·X0 +3 ·X1 +2 ·X2 = 0

Dada la matriz de una cónica

A =

a00 a01 a02

a01 a11 a12

a02 a12 a22

es decir, de la cónica

ζ ≡ a00 ·X20 +2 ·a01 ·X0 ·X1 +2 ·a02 ·X0 ·X2 +a11 ·X2

1 +2 ·a12 ·X1 ·X2 +a22 ·X22 = 0

297

si calculamos las semiderivadas parciales de su primer miembro:

fff 0(X) = a00 ·X0 +a01 ·X1 +a02 ·X2

fff 1(X) = a01 ·X0 +a11 ·X1 +a12 ·X2

fff 2(X) = a02 ·X0 +a12 ·X1 +a22 ·X2

y las multiplicamos, respectivamente, por los números: P0, P1, P2, y sumamos los resultados, obte-

nemos una forma bilineal simétrica, que llamaremos ecuación desdoblada respecto de las ternas

(X0, X1, X2) y (P0, P1, P2), que representaremos simbólicamente así:

fff(

XP

)= fff(

PX

)= P0 · fff 0(X)+P1 · fff 1(X)+P2 · fff 2(X) = X0 · fff 0(P)+X1 · fff 1(P)+X2 · fff 2(P) =

= a00 ·X0 ·P0 +a11 ·X1 ·P1 +a22 ·X2 ·P2 +a01(X0 ·P1 +X1 ·P0)+

+a02 · (X0 ·P2 +X2 ·P0)+a12 · (X1 ·P2 +X2 ·P1) = 0

Si, en particular, el punto P(P0, P1, P2) es un punto de la cónica, la desdoblada nos da directamente la

ecuación de la tangente a la cónica en ese punto. Veámoslo repitiendo el ejemplo anterior.

Ejemplo 4. Determinar la tangente a la cónica

ζ ≡−4 ·X20−2 ·X0 ·X1 +3 ·X2

1 +4 ·x1 ·X2 +X22 = 0


La ecuación de la tangente pedida se corresponderá con la desdoblada correspondiente al punto dado:

fff(

XP

)=−4 ·X0 ·1+3 ·X1 ·0+1 ·X2 ·2−1 · (X0 ·0+X1 ·1)+0 · (X0 ·2+X2 ·1)+2 · (X1 ·2+X2 ·0) = 0

que será, por tanto, la

−4 ·X0 +0+2 ·X2−X1 +0+4 ·X1 = 0

es decir

−4 ·X0 +3 ·X1 +2 ·X2 = 0

ECUACIÓN CONJUNTA DEL PAR DE TANGENTES A UNA CÓNICA POR UN PUNTO P

Sea, ahora, P, un punto cualquiera del plano. Para que la recta X = λλλP+µµµQ tenga dos puntos comunes

en la cónica ζ , confundidos, es necesario que

(PAQ′)2− (PAP′) · (QAQ′) = 0 ,

en cuyo caso la recta será tangente a la cónica.

Ahora bien, puesto que la recta puede determinarse por el punto P y por cualquier otro punto de ella,

tendremos que

(PAX′)2− (PAP′) · (XAX′) = 0

298

representará el conjunto de puntos de las tangentes trazadas a la cónica por el punto P, es decir el par de

tangentes a ζ por el punto P.

La ecuación anterior es la de una cónica, que será degenerada, ya que ha de contener dos rectas. Según

que dicha cónica represente a dos rectas reales distintas, reales confundidas o imaginarias conjugadas,

diremos que el punto P es exterior, está en o es interior a la cónica ζ .

Ejemplo 5. La ecuación conjunta del par de tangentes a la cónica

ζ ≡ X20 +2 ·X0 ·X1−2 ·X0 ·X2 +4 ·X1 ·X2−3 ·X2

2 = 0

por el punto P(1, 0, 2) es

(−X0 +5 ·X1−7 ·X2)2− (−15) · (X2

0 +2 ·X0 ·X1−2 ·X0 ·X2 +4 ·X1 ·X2−3 ·X22) = 0

es decir

16 ·X20 +20 ·X0 ·X1−16 ·X0 ·X2 +25 ·X2

1−10 ·X1 ·X2 +4 ·X22 = 0

La matriz de esta cónica es

B =

16 10 −8

10 25 −5

−8 −5 4

, |B|= 0 , B00 > 0 ,

luego representa un par de rectas imaginarias no paralelas. El punto P(1, 0, 2) es por tanto, interior

Ejemplo 6. Determinar la ecuación de las tangentes a la cónica

ζ ≡−3 ·X20−4 ·X0 ·X1 +4 ·X0 ·X2 +X2

1−2 ·X1 ·X2 +x22 = 0

en los puntos del infinito de esta.

Los puntos del infinito de la cónica dada son:

X0 = 0 , X21−2 ·X1 ·X2 +X2

2 = 0 =⇒ (X1−X2)2 = 0 =⇒ X1 = X2

es decir: P(0, 1, 1) doble.


A =

−3 −2 2

−2 1 −1

2 −1 1

luego

PAP′ =[0 1 1

]−3 −2 2

−2 1 −1

2 −1 1

0

1

1

= 1

con lo que la ecuación de las tangentes a la cónica será

(PAX′)2− (PAP′) · (XAX′) = 0

299

siendo

PAX′ =[0 1 1

]−3 −2 2

−2 1 −1

2 −1 1

X0

X1

X2

= 0

es decir

0− (+1) · (−3 ·X20−4 ·X0 ·X1 +4 ·X0 ·X2 +X2

1−2 ·X1 ·X2 +X22) = 0

y operando

3 ·X20 +4 ·X0 ·X1−4 ·X0 ·X2−X2

1−2 ·X1 ·X2 +X22 = 0

que resulta ser: I1 = 2 , I2 = 0 , I3 = 0 , A11 =−7 , A22 =−7

dos rectas paralelas distintas y reales.

Dado que el punto del infinito, desde el que trazamos las tangentes a la cónica, es el P(0, 1, 1), las rectas tangentes

tendrán por ecuaciones:

X2 = X1 +h1 y X2 = X1 +h2 .

Calculamos los valores h1 y h2.

El producto de las rectas deberá coincidir con la cónica, luego:

(X1−X2 +h1) · (X1−X2 +h2) = X21 +X2

2 +h1 ·h2−2 ·X1 ·X2 +(h1 +h2) ·X1− (h1 +h2) ·X2 = 0

ecuación que identificaremos con la de la cónica, para X0 = 0

X21 +X2

2−3−2 ·X1 ·X2 +4 ·X1−4 ·X2 = 0

En consecuencia deberá verificarseh1 ·h2 =−3

h1 +h2 =−4

La ecuación de segundo grado que nos dará las soluciones es:

X2 +4 ·X−3 = 0

siendo estas:

X =−4±

√16+12

2=−4±2 ·

√7

2=

−2+√

7

−2−√

7

Por tanto las rectas buscadas son:

X2 = X1 +(−2+√

7) y X2 = X1 +(−2−√

7)

Ejemplo 7. Determinar la ecuación conjunta de las tangentes trazadas a la cónica

ζ ≡ 4 ·X20−X1 ·X2−X2

2 = 0

por el origen de coordenadas.

300

El punto P es en este caso: P(1, 0, 0). La matriz de la cónica es:

A =

4 0 0

0 0 − 12

0 − 12

−1

(PAX′)2− (PAP′) · (XAX′) = 0 será la ecuación de las tangentes, siendo: PAP′ la desdoblada, es decir:

(PAX′) = 4 ·X0−12· (X1 ·0+0 ·X2)−X2 ·0 = 4 ·X0

y

(PAP′) =[1 0 0

]4 0 0

0 0 − 12

0 − 12

−1

1

0

0

= 4

En consecuencia

(4 ·X0)2−4 · (4 ·X2

0−X1 ·X2−X22) = 0

y operando

4 ·X1 ·X2 +4 ·X22 =⇒ X1 ·X2 +X2

2 = 0 =⇒ X2 · (X1 +X2) = 0

Por tanto, tendremos que la ecuación conjunta de las tangentes, por el punto P(1, 0, 0) , a la cónica ζ es:

X1 ·X2 +X22 = 0

siendo las tangentes, las rectas

X2 = 0 y X1 +X2 = 0


Dada la cónica ζ ≡ XAX′ = 0 , y el punto P, tratemos de hallar la ecuación del lugar geométrico del

punto Q, conjugado armónico de P respecto a los de intersección de ζ con la recta determinada por los

puntos P y Q.

Los puntos de intersección de ζ con la recta PQ son

P = λλλ 0P+λλλ 1Q y P = µµµ0P+µµµ1Q ,

donde (λλλ 0, λλλ 1) y (µµµ0, µµµ1) son las raíces de la ecuación


Si la cuaterna (P Q P P) es armónica, debe verificarse que

λλλ 0 ·µµµ1 +λλλ 1 ·µµµ0 = 0 ,

301

luego si Q es el conjugado armónico de P, respecto P y P, se tiene

PAQ′ = 0 ,

y por tanto, el lugar buscado tendrá por ecuación

PAX′ = 0

que se puede escribir en las dos formas siguientes

fff X0 ·P0 + fff X1 ·P1 + fff X2 ·P2 = 0

fff P0 ·X0 + fff P1 ·X1 + fff P2 ·X2 = 0.

Observemos que esta es la ecuación de una recta, o bien todo el plano si se verifica

fff P0 = fff P1 = fff P2 = 0

A este lugar geométrico se le llama polar del punto P respecto de la cónica ζ .

Ejemplo 1. La polar del punto P(1, 2, −4) respecto de la cónica

ζ ≡ X20 +2 ·X0 ·X1−4 ·X0 ·X2 +X2

1−2 ·X1 ·X2 +3 ·X22 = 0

es

p≡ fff P0 ·X0 + fff P1 ·X1 + fff P2 ·X2 =

= (1 ·1+1 ·2+(−2) · (−4)) ·X0 +(1 ·1+1 ·2+(−1) · (−4)) ·X1 +((−2) ·1+(−1) ·2+3 · (−4)) ·X2 =

= 11 ·X0 +7 ·X1−16 ·X2 = 0

(Observemos que se trata de la desdoblada).

De acuerdo con la definición anterior los puntos de una cónica no tendrían polar respecto a ella. Sin

embargo, se conviene llamar polar de un punto de una cónica a la tangente a la cónica en ese punto.

Si p es la polar de P, diremos que P es el polo de p.

Tratemos, ahora, de hallar los puntos del plano para los que la polar respecto a una cónica ζ está inde-

terminada. Si P es uno de estos puntos, se tiene que verificar

fff P0 = fff P1 = fff P2 = 0 ,

luego, los puntos de polar indeterminada tienen por coordenadas homogéneas las soluciones del sistema

a00 ·X0 +a01 ·X1 +a02 ·X2 = 0

a01 ·X0 +a11 ·X1 +a12 ·X2 = 0

a02 ·X0 +a12 ·X1 +a22 ·X2 = 0

302

pero, para que este sistema tenga solución distinta de la trivial, es necesario que su rango sea menor que

tres, o lo que es lo mismo, que |A|= 0. Podemos, por tanto, afirmar que: Sólo las cónicas degeneradas

dan lugar a puntos de polar indeterminada.

Por otra parte se verifica que: Si P es un punto de polar indeterminada respecto a la cónica degene-

rada ζ , entonces P ∈ ζ .

En efecto:PAP′ = fff P0 ·P0 + fff P1 ·P1 + fff P2 ·P2 = 0

de acuerdo con fff P0 = fff P1 = fff P2 = 0 .

A los puntos de polar indeterminada respecto a una cónica se les llama puntos singulares de la cónica.

Si Q fuera otro punto de ζ , la recta PQ pertenece a ζ , pues si

X = λλλP+µµµQ =⇒ (λλλP+µµµQ)A(λλλP+µµµQ)′ =

= (PAP′) ·λλλ 2 +2 · (PAQ′) ·λλλ ·µµµ +(QAQ′) ·µµµ2 = 0

cuales quiera que sean λλλ y µµµ , ya que PAP′ = 0, por ser P singular;

PAQ′ = fff P0 ·Q0 + fff P1 ·Q1 + fff P2 ·Q2 = 0 ,

por la misma razón, y QAQ′ = 0, por pertenecer Q a ζ .

Ejemplo 2. Los puntos singulares de la cónica

ζ ≡ 3 ·X20 +5 ·X0 ·X1−2 ·X0 ·X2 +2 ·X2

1 +3 ·X1 ·X2−X22 = 0

son las soluciones del sistema

3 ·X0 +52·X1−X2 = 0

52·X0−2 ·X1 +

32·X2 = 0

−X0 +32·X1−X2 = 0

=⇒ |A|=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

352

−1

52

−232

−132

−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

que serán las del sistema formado, por la primera y tercera ecuación (que son linealmente independientes):

3 ·X0 +52·X1−X2 = 0

−X0 +32·X1−X2 = 0

=(restando)=⇒ 4 ·X0 +X1 = 0 =⇒ X1 =−4 ·X0

y despejando X2 en la segunda ecuación =⇒ X2 =−7 ·X0

El punto singular de la cónica será

(X0, −4 ·X0, −7 ·X0)≡ (1, −4, 7)

POLARIDAD RESPECTO A UNA CÓNICA NO DEGENERADA

Si ζ es una cónica no degenerada, la correspondencia que asocia a cada punto del plano su polar, es

una aplicación biyectiva del conjunto de puntos del plano en el conjunto de rectas del mismo. A esta

correspondencia se la llama polaridad. Veámoslo:

303

Si la recta p polar de P tiene por ecuación

U0 ·X0 +U1 ·X1 +U2 ·X2 = 0

tendremos queρρρ ·U0 = fff P0 = a00 ·P0 +a01 ·P1 +a02 ·P2

ρρρ ·U1 = fff P1 = a01 ·P0 +a11 ·P1 +a12 ·P2

ρρρ ·U2 = fff P2 = a02 ·P0 +a12 ·P1 +a22 ·P2

y si llamamos U a la matriz

[U0 U1 U2

]podemos escribir

ρρρU = PA

Puesto que ζ es no degenerada, tendremos |A| 6= 0, y existirá A−1. Así multiplicando la ecuación anterior

por A−1, por la derecha, obtenemos

λλλP = UA−1 ,

y puesto que

A−1 =1|A|·adj A ,

podemos englobar |A| en el parámetro λλλ , y nos queda

λλλP = U adj A ,

que escrita en detalle será

λλλ ·P0 = A00 ·U0 +A01 ·U1 +A02 ·U2

λλλ ·P1 = A01 ·U0 +A11 ·U1 +A12 ·U2

λλλ ·P2 = A02 ·U0 +A12 ·U1 +A22 ·U2

fórmulas que nos dan las coordenadas homogéneas del polo P de la recta p.

A las anteriores ecuaciones se las llama ecuaciones de la polaridad determinada por la cónica ζ en el

plano.

Ejemplo 3. Las ecuaciones de la polaridad determinada en el plano por la cónica

ζ ≡ XAX′ = X20 +2 ·X0 ·X1−4 ·X0 ·X2 +X2

1−2 ·X1 ·X2 +3 ·X22 = 0

serán

ρρρU = XA = X

1 1 −2

1 1 −1

−2 −1 0

y

λλλX = U adj A = U

2 −1 1

−1 −1 −1

1 −1 0

,

304

luego el polo de la recta

P≡ 11 ·X0 +7 ·X1−16 ·X2 = 0 ,

tiene las siguientes coordenadas homogéneas:

X0 = 2 ·11+(−1) ·7+1 · (−16) =−1

X1 = (−1) ·11+(−1) ·7+(−1) · (−16) =−2

X2 = 1 ·11+(−1) ·7+0 · (−16) = 4

es decir

(−1, −2, 4) .

PUNTOS CONJUGADOS

Diremos que el punto Q es conjugado del P, respecto a la cónica ζ , cuando Q pertenezca a la polar p

de P respecto a ζ , es decir

Q ∈ p ;

Ahora bien, puesto que p≡ PAX′ = 0, se tiene que PAQ′ = 0, o lo que es lo mismo, QAP′ = 0; y como

QAX′ = 0 es la ecuación de la polar q de Q respecto ζ , resulta que

P ∈ q ,

es decir: Si Q es conjugado de P, respecto ζ , P es conjugado de Q respecto ζ . Se dirá entonces,

simplemente, que P y Q son conjugados.

El resultado anterior se puede expresar de la siguiente manera: Si el punto Q pertenece a la polar de P,

entonces P pertenece a la polar de Q:

Por otra parte, si P es un punto de la recta determinada por P y Q, entonces P = λλλ 0P+λλλQ, y la polar p

de , respecto a la cónica ζ , tendrá por ecuación

p≡ PAX′ = (λλλ 0P+λλλ 1Q)AX′ = λλλ 0 · (PAX′)+λλλ 1 · (QAX′) = 0 ,

y teniendo en cuenta que PAX′ = 0 y QAX′ = 0, son las polares de los puntos P y Q respecto a ζ ,

tendrá por ecuación

p≡ PAX′ = (λλλ 0P+λλλ 1Q)AX′ = λλλ 0 · (PAX′)+λλλ 1 · (QAX′) = 0 ,

y teniendo en cuenta que PAX′ = 0 y QAX′ = 0, son las polares de los puntos P y Q respecto a ζ , y

además el resultado anterior, podemos afirmar que: Las polares de los puntos de una recta forman un

haz de rectas, cuyo vértice es el polo de dicha recta.

INTERSECCIÓN DE LA POLAR DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CÓNICA ζ CON ÉSTA

De un punto P conjugado de sí mismo, respecto a la cónica ζ , diremos que es autoconjugado.

305

Observemos que los puntos autoconjugados respecto ζ son los puntos de ζ .

Si r≡ X = λλλP+µµµQ es la recta determinada por los puntos P y Q, y r /∈ ζ , el único punto conjugado

del P ∈ r, que está sobre r será el

P = r∩p ,

siendo p la polar de P respecto ζ .

Veamos, ahora, que la transformación que a cada punto P de r le asocia su único punto conjugado

P sobre r, es una involución.

En efecto, si

P = λλλ 0P+λλλ 1Q y P = λλλ 0P+λλλ 1Q ,

son conjugados respecto a ζ , se tiene que verificar

(λλλ 0P+λλλ 1Q)A(λλλ 0P+λλλ 1Q)′ = 0

de donde

(PAP′)λλλ 0 λλλ 0 +(PAP′)(λλλ 0 λλλ 1 +λλλ 1 λλλ 0)+(QAQ′)λλλ 1 λλλ 1 = 0

que es la ecuación de una involución.

Nos referimos a ella como la involución de puntos conjugados subordinada sobre r por la polaridad

definida por ζ en E2.

Los puntos dobles de esta involución son lo puntos autoconjugados de r, es decir, los puntos de intersec-

ción de r con ζ .

Ejemplo 4. La involución subordinada por la cónica

X20−2 ·X0 ·X1 +X2

1 +4 ·X1 ·X2 = 0

sobre la recta

r≡ X = λλλ · (1, 0, 2)+µµµ · (1, 1, 0)

será, teniendo en cuenta que

A =

1 −1 0

−1 1 2

0 2 0

y que

PAP′ =[1 0 2

]1 −1 0

−1 1 2

0 2 0

1

0

2

= 1

PAQ′ =[1 0 2

]1 −1 0

−1 1 2

0 2 0

1

1

0

= 4

306

QAQ′ =[1 1 0

]1 −1 0

−1 1 2

0 2 0

1

1

0

= 0

λλλ 0 ·λλλ 0 +4 · (λλλ 0 ·λλλ 1 +λλλ 1 ·λλλ 0) = 0

Así mismo, el conjugado del punto, para λλλ 0 = 2 y λλλ 1 = 3,

P≡ 2 · (1, 0, 2)+3 · (1, 1, 0) = (5, 3, 4)

será el

2 ·λλλ 0 +4 · (2 ·λλλ 1 +3 ·λλλ 0) = 0 ⇐⇒ 14 ·λλλ 0 +8 ·λλλ 1 = 0 ,

luego

λλλ 0

λλλ 1=− 4

7⇐⇒ (λλλ 0 =−4 , λλλ 1 = 7)

con lo que el conjugado del punto P será el punto

P≡−4 · (1, 0, 2)+7 · (1, 1, 0) = (3, 7, −8)

Diremos que la recta q es conjugada de la recta p, respecto a la cónica ζ ≡ XAX′ = 0, si q contiene al

polo P de la recta p.

Sea

p≡ U0 ·Xo +U1 ·X1 +U2 ·X2 = 0 y q≡ V0 ·X0 +V1 ·X1 +V2 ·X2 = 0 ,

o, en forma matricial

p≡ UX′ = 0 y q≡ VX′ = 0 .

Teniendo en cuenta las anteriores ecuaciones (que dan las coordenadas homogéneas del polo P de la

recta r).

λλλ ·P0 = A00U0 +A01U1 +A02U2

λλλ ·P1 = A01U0 +A11U1 +A12U2

λλλ ·P2 = A02U0 +A12U1 +A22U2

de la polaridad que ζ determina en el plano λλλ ·P≡ V adj A, si

P ∈ q =⇒ VP′ = 0 =⇒ (V(adj A)U′)′ = U(adj A)V′ = 0 ,

lo que obtenemos es que el polo Q = V adj A de q, pertenece a p, y por tanto, p es conjugada de q. Se

dice, entonces, simplemente que son conjugadas.

La condición analítica para que dos rectas p y q sean conjugadas, respecto ζ , es que

V(adj A)U′ = 0 .

307

Diremos que una recta es autoconjugada, respecto a ζ , si es conjugada de sí misma. La condición es

V(adj A)U′ = 0

Las rectas autoconjugadas , respecto a ζ , son las tangentes a ζ .

A la ecuación anterior se le llama ecuación tangencial de ζ .

Por otra parte, consideremos el haz de rectas determinado por la p y q:

(λλλ 0U+λλλ 1V)X′ = 0 ,

Si p es la recta de este haz correspondiente a las coordenadas homogéneas (λλλ 0, λλλ 1), y si el vértice del

haz no es autoconjugado, a esta recta le corresponderá, en el haz, una sola conjugada p, respecto a ζ , (la

recta del haz que pasa por el P de p).

Veamos, ahora, que la correspondencia que a cada recta del haz le asocia su única conjugada, res-

pecto a ζ , es una involución.

En efecto, si las coordenadas homogéneas de p dentro del haz son (λλλ 0, λλλ 1), se tiene que verificar

(λλλ 0U+λλλ 1V) · (adj A) · (λλλ 0U+λλλ 1V′) = 0

y haciendo operaciones

(U(adj A)U′) ·λλλ 0 ·λλλ 0 +(U · (adj A)V′) · (λλλ 0 ·λλλ 1 +λλλ 1 ·λλλ 0)+(V(adj A)V′) ·λλλ 1 ·λλλ 1 = 0


Ejemplo 5. Dada la cónica

ζ ≡ X20−2 ·X0 ·X1 +x2

1 +4 ·X1 ·X2 = 0 ,

de la que

A =

1 −1 0

−1 1 2

0 2 0

y adj A =

−4 0 −2

0 0 −2

−2 −2 0

,

nos permite afirmar que la ecuación tangencial de ζ es:

U

−4 0 −2

0 0 −2

−2 −2 0

U′ = 0 ⇐⇒ U20 +U0U1 +U1U2 = 0

La involución de rectas conjugadas subordinada por la polaridad, en el haz:

λλλ 0 · (2 ·X0−3 ·X2)+λλλ 1 · (X0 +x1−X2) = 0 ,

tendrá por ecuación:

(U(adj A)U′) ·λλλ 0 ·λλλ 0 +(U(adj A)V′) · (λλλ 0 ·λλλ 1 +λλλ 1 ·λλλ 0)+(V(adj A)V′) ·λλλ 1 ·λλλ 1 = 0

308

siendo

U(adj A)U′ =[2 0 −3

]−4 0 −2

0 0 −2

−2 −2 0

2

0

−3

= 8

U(adj A)V′ =[2 0 −3

]−4 0 −2

0 0 −2

−2 −2 0

1

1

−1

= 8

V(adj A)V′ =[

1 1 −1]−4 0 −2

0 0 −2

−2 −2 0

1

1

−1

= 4

es decir8 ·λλλ 0 ·λλλ 0 +8 · (λλλ 0 ·λλλ 1 +λλλ 1 ·λλλ 0)+4 ·λλλ 1 ·λλλ 1 = 0 ⇐⇒

⇐⇒ 4 ·λλλ 0 ·λλλ 0 +4 · (λλλ 0 ·λλλ 1 +λλλ 1 ·λλλ 0)+2 ·λλλ 1 ·λλλ 1 = 0

POSICIÓN RELATIVA DE LA POLAR DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CÓNICA Y DICHA

CÓNICA

Sea p≡ PAX′ = 0, la polar del punto P, respecto a la cónica

ζ ≡ XAX′ = 0

y

t≡ (PAX′)2− (PAP′) · (XAX′) = 0

el par de tangentes a ζ por P.

El sistema

XAX′ = 0

PAX′ = 0

representa p∪ζ , y el

XAX′ = 0

(PAX′)2− (PAP′) · (XAX′) = 0

representa t∪ζ .

Se comprueba fácilmente que los dos sistemas son equivalentes. Luego, los puntos de intersección de p

con ζ , son los de contacto de las tangentes trazadas a ζ por P. Por tanto, si P es exterior a ζ , dichos

puntos de intersección serán reales y distintos, mientras que si P está en ζ , serán reales y confundidos;

por último si P es interior a ζ , serán imaginarios conjugados. Así, en el primer caso, p será secante a

ζ , en el segundo tangente y en el tercero exterior.

309


ζ ≡ 5 ·X20−4 ·X0 ·X1 +x2

1 +2 ·X22 = 0 ,

se pide, determinar

a.- la polar del punto (1, −3, 2)

b.- el polo de la recta: 2 ·X0 +3 ·X1−4 ·X2 = 0

c.- la ecuación de la involución de rectas conjugadas con vértice en el punto (1, 2, 1)

a.- La polar será la desdoblada del punto (1, −3, 2) respecto de ζ , es decir:

5 ·X0 ·1−2 · (X0(−3)+1 ·X1)+X1 · (−3)+2 · (X2 ·2) = 0

y haciendo operaciones resulta:

11 ·X0−5 ·X1 +4 ·X2 = 0

b.- La matriz de la cónica dada es:

A =

5 −2 0

−2 1 0

0 0 2

y su matriz adjunta

adj A =

2 4 0

4 10 0

0 0 1

luego el polo de la recta: 2 ·X0 +3 ·X1−4 ·X2 = 0 se obtendrá como sigue

X = U adj A = U

2 4 0

4 10 0

0 0 1

,

es decir

X =

2

3

−4

2 4 0

4 10 0

0 0 1

;

y operando:

X0 = 2 ·2+3 ·4−4 ·0 = 16

X1 = 2 ·4+3 ·10−4 ·0 = 38

X2 = 2 ·0+3 ·0−4 ·1 =−4

Por tanto, el polo por coordenadas homogéneas

X = (16, 38, −4)≡ (8, 19, −2)≡ .........

c.- Dado que la matriz adjunta de ζ es conocida, tendremos que la ecuación tangencial de la cónica será:

[U0 U1 U2

]2 4 0

4 10 0

0 0 1

U0

U1

U2

= 0 =⇒ 2 ·U20 +8 ·U0 ·U1 +10 ·U2

1 +U22 ,

310

la ecuación del haz, de vértice el punto (1, 2, 1) será (tomando como rectas que determinan el haz, las

X1−2 ·X0 = 0 y X2−X0 = 0)

λλλ 0 · (X1−2 ·X0)+λλλ 1 · (X2−X0) = 0 ,

y la ecuación de la involución la:

2 ·λλλ 0 ·λλλ 0 +3 ·λλλ 1 ·λλλ 1 = 0

311

Lección 28.- ELEMENTOS DE LAS CÓNICAS

28.1 Centros, diámetros, asíntotas, ejes y focos

28.2 Cónicas homofocales

28.1 Centros, diámetros, asíntotas, ejes y focos

Dada una cónica ζ ≡ XAX′ = 0, llamaremos centros de ζ a los polos de la recta del infinito respecto

de ζ , cuando no son autoconjugados.

Un centro de una cónica biseca a las cuerdas, de la misma, que pasan por él. Es consecuencia de ser

conjugado armónico con el punto del infinito de la recta base de la cuerda, respecto a los extremos de

dicha cuerda.

La ecuación de la polar de un punto P respecto a ζ es: PAX′ = 0, o bien

fff P0 ·X0 + fff P1 ·X1 + fff P2 ·X2 = 0 ,

luego, las coordenadas de los polos de la recta del infinito, respecto a ζ , serán las soluciones del sistema

a01 ·X0 +a11 ·X1 +a12 ·X2 = 0

a02 ·X0 +a12 ·X1 +a22 ·X2 = 0


1o.- Que rg

a01 a11 a12

a02 a12 a22

= 2 . En este caso, desde un punto de vista geométrico, no existe más

que una solución, que viene dada por

X0∣∣∣∣∣∣a11 a12

a12 a22

∣∣∣∣∣∣=

X1

−

∣∣∣∣∣∣a01 a12

a02 a22

∣∣∣∣∣∣=

X2∣∣∣∣∣∣a01 a11

a02 a22

∣∣∣∣∣∣luego el punto (A00, A01, A02) será el único polo de X0 = 0, respecto a ζ . Será autoconjugado, o

no, según que pertenezca, o no, a su polar; en consecuencia, dicho punto será centro, o no, según

que A00 sea distinto o igual a cero.

En las cónicas irreducibles |A| 6= 0, luego A00, A01 y A02 no pueden ser simultáneamente nulos,

por tanto, respecto a estas cónicas existe un único polo de la la recta del infinito.

Es las elipses e hipérbolas, A00 6= 0, luego estas cónicas tienen centro único.

En la parábola, A00 = 0, por lo que la parábola no tiene centro.

En el par de rectas no paralelas, A00 6= 0, luego estas cónicas poseen un único centro.

313

2o.- Que rg

a01 a11 a12

a02 a12 a22

= 1. En este caso, el sistema anterior es equivalente al formado por

una sola de sus ecuaciones. La cónica tendrá infinitos centros alineados o ninguno. Este último

caso sólo sucede cuando el sistema es equivalente a X0 = 0.

En las rectas paralelas, la paralela media es recta de centros.

En el par de rectas confundidas todo punto de la cónica es centro (con tal que la cónica

no sea la X20 = 0 .)

Ejemplo 1. El centro de la cónica

ζ ≡ 9 ·X20−12 ·X0 ·X1 +4 ·X2

1 +4 ·X1 ·X2 = 0

es el punto P(1, 0, 3), puesto queA00 =−4 , A01 = 0 , A02 =−12 .

Llamamos diámetros, de una cónica ζ , a las polares de los puntos del infinito, siempre que no sean

autoconjugadas, en cuyo caso se les llamará asíntotas.

Evidentemente, los diámetros y asíntotas de una cónica contienen a los centros de ésta.

Sea el punto del infinito P(0, 1, m). La polar de este punto respecto a la cónica ζ ≡ XAX′ = 0 es

p≡ (a01 +a02 ·m) ·X0 +(a11 +a12 ·m) ·X1 +(a12 +a22 ·m) ·X2 = 0

que también pede escribirse en la forma

p≡ fff X1 + fff X2 ·m = 0

y esta recta será diámetro o asíntota, según que P /∈ p , o P ∈ p ; luego, en el último caso se verificará

(a11 +a12 ·m)+(a12 +a22 ·m) ·m = 0 ,

y en consecuencia la ecuación

a22 ·m2 +2 ·a12 ·m+a11 = 0

nos dará los punto (0, 1, m), del infinito de las asíntotas de ζ .

Siendo el sistema de referencia métrico, (0, 1, m) representa el punto del infinito de las rectas de pen-

diente m, ya que si cortamos X2 = m ·X1, por X0 = 0, obtenemos el punto indicado.

Si eliminamos m entre las dos ecuaciones anteriores:

fff X1 + fff X2 ·m = 0

a22 ·m2 +2 ·a12 ·m+a11 = 0

obtenemos la ecuación conjunta de las asíntotas de ζ :

a22 · fff 2X1−2 ·a12 · fff X1 · fff X2 +a11 · fff 2

X2= 0

314

En las cónicas con centro, los diámetros forman un haz de rectas de vértice el centro. Llamaremos

diámetros conjugados a dos diámetros homólogos en la involución de la polaridad determinada por ζ ,

subordinada sobre el haz de vértice dicho centro. Los rayos dobles de esta involución son las asíntotas.

Si (0, 1, m) es el punto del infinito del diámetro

p≡ (a01 +a02 ·m) ·X0 +(a11 +a12 ·m) ·X1 +(a12 +a22 ·m) ·X2 = 0

se verifica que

(a11 +a12 ·m)+(a12 +a22 ·m) ·m = 0 ,

de donde

a22 ·m ·m+a12 · (m+m)+a11 = 0 ,

que es la ecuación de la involución de diámetros conjugados.

Observemos que es, también, la involución de puntos conjugados sobre la recta del infinito.

Despejando m se tiene

m =a11 +a12 ·ma12 +a22 ·m

A la dirección caracterizada por el punto del infinito (0, 1, m) se le llama dirección conjugada del

diámetro p.

En la parábola todos los diámetros pasan por el punto del infinito de ésta, luego son todos paralelos.

Puesto que

A00 = a11 ·a22−a212 = 0 ,

tenemosa11a12

=a12a22

=a11 +a12 ·ma12 +a22 ·m

para todo valor de m, luego

m =− a11a12

=− a12a22

y por tanto (0, 1, − a11

a12=− a12

a22

)es el punto del infinito de la parábola.

En las rectas paralelas no hay más diámetro que la paralela media, y en las confundidas dicha

recta es el único diámetro.

Ejemplo 2. Las asíntotas de la cónica

ζ ≡ 9 ·X20−12 ·X0 ·X1 +4 ·X2

1 +4 ·X1 ·X2 = 0

vienen dadas por la ecuación conjunta

−2 ·2 · (−6 ·X0 +4 ·X1 +2 ·X2) · (2 ·X1)+4 · (2 ·X1)2 = 0

315

siendo, por tanto, éstas

X1 = 0 y 6 ·X0−2 ·X1−2 ·X2 = 0

El diámetro correspondiente al punto P(0, 1, 4) es el

(−6) ·X0 +(4+2 ·4) ·X1 +2 ·X2 = 0 ,

es decir

−3 ·X0 +6 ·X1 +X2 = 0

La involución de diámetros conjugados tiene por ecuación

2 · (m+m)+4 = 0 .


ζ ≡ X20−2 ·X0 ·X1 +2 ·X0 ·X2 +X2

1 +2 ·X1 ·X2 +4 ·X22 = 0

Se pide:

1.- Coordenadas del centro

2.- Diámetro conjugado con la dirección X2 = 4 ·X1

1.- Las coordenadas del centro las obtenemos resolviendo el sistema

fff X1 ≡−Xo +X1 +X2 = 0

fff X2 = X0 +X1 +4 ·X2 = 0

es decir

C(

1,53, − 2

3

)2.- La ecuación de la involución de diámetros conjugados es

a22 ·m ·m+a12 · (m+m)+a11 = 0

En nuestro caso es: a22 = 4 , a12 = 1 , a11 = 1, siendo además: m = 4 . Luego:

4 ·4 ·m+1 · (4+m)+1 = 0

de donde

m =− 517

.

La ecuación del diámetro conjugado con la dirección X2 = 4 ·X1 , será:

X2−(− 2

3

)=− 5

17·(

X1−53

),

es decir, haciendo operaciones

51 ·X2 +15 ·X1 +9 = 0 =⇒ 3 ·X0 +5 ·X1 +17 ·X2 = 0

316

Llamamos ejes de una cónica a los diámetros que son perpendiculares a sus direcciones conjugadas.

Si (0, 1, m) es un punto que tiene por polar un eje, se tiene que verificar

m ·m =−1 ,

luego teniendo en cuenta la expresión establecida antes

m =− a11 +a12 ·ma12 +a22 ·m

,

se tendrá que

a12 ·m2 +(a11−a22) ·m−a12 = 0

nos dará (en un sistema de referencia métrico) la pendiente de los ejes de una cónica con centro.

Eliminando m entre las ecuaciones

fff X1 + fff X2 ·m = 0 y a12 ·m2 +(a11−a22) ·m−a12 = 0

obtenemos

a12 · fff 2X1

+(a22−a11) · fff X1 · fff X2 −a12 · fff 2X2

= 0

como ecuación conjunta de ambos ejes.

En la parábola no hay más que un eje, que es la polar del punto(0, 1,

a12a11

=a22a12

)luego la ecuación de dicho eje es

a11 · fff X1 +a12 · fff X2 = 0 .

Ejemplo 4. Los ejes de la cónica (del ejemplo 2):

ζ ≡ 9 ·X20−12 ·X0 ·X1 +4 ·X2

1 +4 ·X1 ·X2 = 0

vienen dados por la ecuación conjunta

9 ·X20−6 ·X0 ·X1−6 ·X0 ·X2−X2

1 +2 ·X1 ·X2 +X22 = 0 .

Las ecuaciones se podían haber hallado calculando mediante

m2 +2 ·m−1 = 0 ,

las pendientes

m1 =−1+√

2 y m2 =−1−√

2 ,

y teniendo en cuenta que ambos ejes contienen al centro (1, 0, 3), resulta que

3 ·X0− (1+√

2) ·X1−X2 = 0

3 ·X0− (1−√

2) ·X1−X2 = 0

son las ecuaciones de los ejes.

317

Ejemplo 5. El eje de la parábola

ζ ≡ X20 +2 ·X0 ·X1−2 ·X0 ·X2 +4 ·X2

1−4 ·X1 ·X2 +X22 = 0

es

4 · (X0 +4 ·X1−2 ·X2)+(−2) · (−X0−2 ·X1 +X2) = 0

es decir

3 ·X0 +10 ·X1−5 ·X2 = 0 .

Ejemplo 6. Determinar la ecuación del eje y el vértice de la parábola:

17 ·X20−6 ·X0 ·X1−2 ·X0 ·X2 +4 ·X2

1 +X22−4 ·X1 ·X2 = 0

La ecuación del eje sería

a11 · fff X1 +a12 · fff X2 = 0

y dado que: a11 = 4 , a12 =−2 , y además:

fff X1 =−3 ·X0 +4 ·X1−2 ·X2

fff X2 =−X0−2 ·X1 +X2

tendremos como ecuación del eje:

4 · (−3 ·X0 +4 ·X1−2 ·X2)+(−2) · (−X0−2 ·X1 +X2) = 0

y operando resulta:

−X0 +2 ·X1−X2 = 0

El vértice vendrá dado como la intersección de la parábola con su eje, es decir:

18 ·X0−6 ·X0 ·X1−2 ·X0 ·X2 +4 ·X21 +X2

2−4 ·X1 ·X2 = 0

−X0 +2 ·X1−X2 = 0

Resolviendo el sistema (haciendo X0 = 1) obtenemos (prescindiendo de la solución infinita), como vértice de la

parábola el punto:

(1, 2, 3) .

Ejemplo 7. Determinar las ecuaciones de los ejes de la cónica:

−2 ·X20−3 ·X0 ·X1 +X0 ·X2 +12 ·X1 ·X2 +3 ·X2

1−2 ·X22 = 0

La involución de diámetros conjugados vendrá dada por la ecuación

a22 ·m ·m+a12 · (m+m)+a11 = 0

que en nuestro caso es:

−2 ·m ·m+6 · (m+m)+3 = 0

y al imponer la perpendicularidad (por tratarse de ejes)

m ·m =−1

318

resultará

6 ·m2 +5 ·m−6 = 0

Sus soluciones

m =−5±

√25+144

12=−5±

√169

12=−5±13

12=

23

− 32

Dado que la ecuación de un diámetro, de pendiente m, es

fff X1 + fff X1 ·m = 0 ,

y un eje es, en particular, un diámetro, las ecuaciones de los ejes(

respectivamente, de pendientes:32

y − 23

)serán

fff X1 +32· fff X2 = 0 y fff X1 −

23· fff X2 = 0

y por ser:

fff X1 = a01 ·X0 +a11 ·X1 +a12 ·X2 =−32·X0 +3 ·X1 +6 ·X2

fff X2 = a02 ·X0 +a12 ·X1 +a22 ·X2 =12·X0 +6 ·X1−2 ·X2

serán(− 3

2·X0 +3 ·X1 +6 ·X2

)+

(12·X0 +6 ·X1−2 ·X2

)· −3

2= 0 =⇒ 3 ·X0 +8 ·X1−12 ·X2 = 0(

− 32·X0 +3 ·X1 +6 ·X2

)+

(12·X0 +6 ·X1−2 ·X2

)· 2

3= 0 =⇒ X0−6 ·X1−4 ·X2 = 0

Ejemplo 8. Determinar el centro y ejes de la cónica:

ζ ≡ 4 ·X20−6 ·X0 ·X1 +2 ·X0 ·X2 +2 ·X2

1−4 ·X1 ·X2−2 ·X22 = 0

Los invariantes métricos, de ζ , son:

I1 = a11 +a22 = 2+(−2) = 0

I2 = A00 =

∣∣∣∣∣∣ 2 −2

−2 2

∣∣∣∣∣∣=−8 < 0

I3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣4 −3 1

−3 2 −2

1 −2 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣=−4 6= 0

Se trata de una hipérbola.

Dado que: A00 =−8 , A01 =−8 , A02 = 4

el centro será el punto (−8, −8, 4)≡ (2, 2, −1) . La pendiente de los ejes la obtendremos de la ecuación

a12 ·m2 +(a11−a22) ·m−a12 = 0

es decir

−2 ·m2 +(2+2) ·m+2 = 0 =⇒ m2−2 ·m−1 = 0

319

Resolviendo tenemos:

m =2±√

4+42

=2±2 ·

√2

2= 1±

√2 ,

los ejes tendrán por ecuaciones:

y = (1±√

2) ·X+h .

La determinación de h se hace sabiendo que ambos ejes contienen el centro (2, 2, −1)≡(

1, 1, − 12

)−12

= (1±√

2) ·1+h =⇒ h =−12− (1±

√2) =

−1− (2±2 ·√

2)2

.

Así, tendremos

Y = (1±√

2) ·X+−1− (2±2 ·

√2)

2=⇒ 2 ·y−2 · (1±

√2) ·X+3±2 ·

√2 = 0

es decir

(3±2 ·√

2) ·X0− (2±2 ·√

2) ·X1 +2 ·X2 = 0

Ejemplo 9. Determinar las coordenadas del centro, las ecuaciones de los ejes y las asíntotas en la hipérbola

−13 ·X20 +3 ·X0 ·X1 +2 ·X0 ·X2 +6 ·X2

1−12 ·X1 ·X2 +X22 = 0

Las coordenadas del centro serán las soluciones del sistema:

fff X1 ≡ a01 ·X0 +a11 ·X1 +a12 ·X2 = 0

fff X2 ≡ a02 ·X0 +a12 ·X1 +a22 ·X2 = 0

=⇒

32·X0 +6 ·X1−6 ·X2 = 0

X0−6 ·X1 +X2 = 0

=⇒(

1,14,

12

),

que también podemos calcular teniendo en cuenta que

A =

−1332

1

32

6 −6

1 −6 1

=⇒ A00 =−30 , A01 =−

152

, A02 =−15 ;

así el centro sería el punto:

(A00, A01,A02)≡(−30, − 15

2, −15

)≡(

1,14,

12

)La involución de diámetros conjugados vendrá dada por la ecuación:

a22 ·m ·m+a12 · (m+m)+a11 = 0

que en nuestro caso es

m ·m−6 · (m+m)+6 = 0

320

y al imponer la perpendicularidad (por tratarse de ejes)

m ·m =−1

resultará:

6 ·m2−5 ·m−6 = 0 ;

Sus soluciones

m =5±√

25+14412

=5±13

12=

1812

=32

− 812

=− 23

serán las pendientes de los ejes, que pasan por el centro(

1,14,

12

), tendrán por ecuaciones

X2−12

=32·(

X1−14

)y X2−

12

=23·(

X1−14

)Los rayos dobles de la involución

m ·m−6 · (m+m)+6 = 0

es decir

m2−6 · (2 ·m)+6 = 0 ←→ m2−12 ·m+6 = 0

tendrán como soluciones:

m =12±

√144−242

=12±

√120

2=

12±2 ·√

302

=

6+√

30

6−√

30

que son las pendientes de las asíntotas. Al igual que los ejes, éstas pasan por el centro, luego sus ecuaciones serán:

X2−12

= (6+√

30) ·(

X1−14

)y X2−

12

= (6−√

30) ·(

X1−14

)

Llamaremos focos, de una cónica ζ , a los vértices de los haces de rectas, en los que la involución

subordinada por la polaridad definida por ζ , en E2, es la rectangular.

Los focos son, por tanto, los puntos del plano tales que las tangentes trazadas por ellos a la

cónica, son las rectas isótropas.

Recordando que los puntos del infinito de todas las rectas isótropas del plano son los puntos cíclicos,

podemos dar una nueva definición de los focos de una cónica: Los focos son los puntos de intersección

de las tangentes a la cónica ζ trazadas desde los puntos cíclicos.

Desde cada punto cíclico se pueden trazar dos tangentes a una cónica con centro, ζ ; luego, ésta tendrá

cuatro focos: los puntos de intersección de cada una de las dos tangentes desde un punto cíclico, con las

dos tangentes correspondientes al otro. Puesto que ambos puntos cíclicos son imaginarios conjugados

321

y los coeficientes de ζ son reales, las dos primeras tangentes son imaginarias conjugadas de las dos

segundas, luego dos puntos de intersección serán reales y otros dos imaginarios.

En la parábola no hay más que un foco real, pues al ser tangente a la recta del infinito, dos de

las tangentes trazadas a la cónica desde los puntos cíclicos coinciden con la recta del infinito.

Las otras dos tangentes son imaginarias conjugadas, luego su intersección será real.

Sea F un foco de ζ ; entonces la ecuación

(FAX′)2− (FAF′) · (XAX′) = 0

debe ser la ecuación conjunta de las tangentes a la cónica por F, es decir, tiene que ser la ecuación

conjunta de las rectas isótropas que pasan por F

(F0X1−F1X0)2 +(F0X2−F2X0)

2 = 0 .

Identificando ambas ecuaciones obtenemos un sistema cuyas soluciones son las coordenadas homogé-

neas de los focos. También se pueden hallar los focos de la cónica mediante el procedimiento que muestra

el ejemplo siguiente:

Ejemplo 10. Sea la cónica

ζ ≡ X20 +2 ·X0 ·X2 +X2

1 +4 ·X1 ·X2 +4 ·X22 = 0

y F(1, F1, F2) un foco. Las rectas

r≡

∣∣∣∣∣∣∣∣X0 X1 X2

1 F1 F2

0 1 m

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 y s≡

∣∣∣∣∣∣∣∣X0 X1 X2

1 F1 F2

0 −m 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

pasan por F, y son conjugadas por ser perpendiculares.

Sea R(R0, R1, R2) el polo de r; entonces

RAX′ = 0 ,

(R0 +R2) ·X0 +(R1 +2 ·R2) ·X1 +(R0 +2 ·R1 +4 ·R2) ·X2 = 0

es la recta r.

Identificando

R0 +R2 = λλλ · (m ·F1−F2)

R1 +2 ·R2 =−λλλ ·m

R0 +2 ·R1 +4 ·R2 = λλλ

=⇒R0 = λλλ · (1+2 ·m)

R1 = λλλ · (3 ·m−2 ·F2−2 ·m ·F1 +2)

R2 = λλλ · (−F2 +m ·F1−2 ·m−1)

pero R ∈ s, luego

−3 ·m−2 ·F2 +2 ·m ·F1−2+m ·F2−m2 ·F1 +2 ·m2 +m+m ·F2 +2 ·m ·F22 +F1 +2 ·m ·F1 = 0 ,

322

igualdad que debe ser cierta para todo valor de m; luego

−F1 +2+2 ·F2 = 0

−3+2 ·F1 +F2 +1+F2 +2 ·F1 = 0

−2 ·F2−2+F1 = 0

=⇒ F1 =45

y F2 =−35

Luego, el único foco real será el :(

1,45, − 3

5

)≡ (5, 4, −3) .

Llamaremos directrices de una cónica a las polares de los focos.

Ejemplo 11. Dada la parábola (del ejemplo anterior).

ζ ≡ X20 +2 ·X0 ·X2 +X2

1 +4 ·X1 ·X2 +4 ·X22 = 0

determinar la directriz correspondiente a su foco(1,

45, − 3

5

).

Dado que la directriz es la polar del foco, tendremos:

[1

45− 3

5

]1 0 1

0 1 2

1 2 4

X0

X1

X2

= 0

es decir [25− 2

515

]X0

X1

X2

=25·X0−

25·X1 +

15·X2 = 0

y en definitiva:

2 ·X0−2 ·X1 +X2 = 0


ζ ≡−X20 +4 ·X0 ·X1 +2 ·X1 ·X2 = 0

se pide determinar las coordenadas de los focos y las ecuaciones de las directrices.

Si F(1, F1, F2) es un foco, las rectas

r≡

∣∣∣∣∣∣∣∣X0 X1 X2

1 F1 F2

0 1 m

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 =⇒ r≡ (m ·F1−F2) ·X0−m ·X1 +X2 = 0

s≡

∣∣∣∣∣∣∣∣X0 X1 X2

1 F1 F2

0 −m 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 =⇒ s≡ (F2 ·m+F1) ·X0−X1−m ·X2 = 0

323

pasan por F, y son conjugadas, por ser perpendiculares.

Sea, ahora, R(R0, R1, R2) el polo de r; entonces tendremos

R ·A ·X′ = 0 ,

es decir

[R0 R1 R2

]−1 2 0

2 0 1

0 1 0

X0

X1

X2

= 0

y operando

r≡ (−R0 +2 ·R1) ·X0 +(2 ·R0 +R2) ·X1 +R1 ·X2 = 0

que es la recta r.

Identificando las dos ecuaciones de r, tendremos

−R0 +2 ·R1 = λλλ · (m ·F1−F2)

R0 +R2 =−λλλ ·m

R1 = λλλ

=⇒R0 = λλλ · (2−m ·F1 +F2)

R1 = λλλ

R2 = λλλ · (−4+2 ·m ·F1−2 ·F2−m)

Ahora bien, como R pertenece a la recta s, sustituyendo los valores R0, R1, R2, en la ecuación de s tendremos:

(F2 ·m+F1) · (2−m ·F1 +F2)−1−m · (−4+2 ·m ·F1−2 ·F2−m) = 0

Operando tendremos

m2 · (−F1 ·F2−2 ·F1 +1)+m · (2 ·F2 +F22−F2

1 +4)+(2 ·F1 +F1 ·F2−1) = 0

ecuación, ésta, que tiene que verificarse idénticamente, luego:

−F1 ·F2−2 ·F1 +1 = 0

4 ·F2 +F22−F2

1 +4 = 0

2 ·F1 +F2 ·F2−1 = 0

=⇒F2

1−F22−4 ·F2−4 = 0

2 ·F1 +F1 ·F2−1 = 0

=⇒

=⇒F2

1− (F2 +2)2 = 0

F1 · (F2 +2) = 1

=⇒F1− (F2 +2)2 = 0

F1 =1

(F2 +2)

de donde:

1(F2 +2)2 − (F2 +2)2 = 0 ⇐⇒ (F2 +2)4 = 1

Obtenemos entonces para

F2 +2 =4√1

dos soluciones imaginarias y dos reales. Sean éstas:

F2 +2 =±1 ⇐⇒ F2 =−2±1 =

−1

−3

324

siendo para F1 las correspondientes soluciones

F1 =1

(F2 +2)=

1

−1

Los focos serán, por tanto, F(1, F1, F2):

(1, 1, −1) y (1, −1, −3) .

Las directrices, polares de los focos, serán

1.-[1 1 −1

]−1 2 0

2 0 1

0 1 0

X0

X1

X2

= 0

[1 1 1

]X0

X1

X2

= 0

X0 +X1 +X2 = 0

2.-[1 −1 −3

]−1 2 0

2 0 1

0 1 0

X0

X1

X2

= 0

[−3 −1 −1

]X0

X1

X2

= 0

−3 ·X0−X1−X2 = 0 ⇐⇒ 3 ·X0 +X1 +X2 = 0


ζ ≡ X20 +2 ·X0 ·X1−2 ·X0 ·X2 +X2

1 +2 ·X1 ·X2 +X22 = 0

se pide determinar los focos y las directrices.

Consideremos sus invariantes métricos:

I1 = 1+1 = 2 ,

I2 = A00 = 0 ,

I3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 −1

1 1 1

−1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣=−4 6= 0 ;

luego se trata de una parábola.

Las rectas

r≡

∣∣∣∣∣∣∣∣X0 X1 X2

1 F1 F2

0 1 m

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 y s≡

∣∣∣∣∣∣∣∣X0 X1 X2

1 F1 F2

0 −m 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

325

pasan por el foco F(1, F1, F2) , y son conjugadas por ser perpendiculares. Sea R(R0, R1, R2) el polo de r; entonces

RAX′ = 0 ,

(R0 +R1−R2) ·X0 +(R0 +R1 +R2) ·X1 +(−R0 +R1 +R2) ·X2 = 0

es la recta r.

Identificando

R0 +R1−R2 = λλλ · (m ·F1−F2)

R0 +R1 +R2 =−λλλ ·m

−R0 +R1 +R2 = λλλ

=⇒2 ·R0 = λλλ · (−m−1)

2 ·R1 = λλλ · (1+m ·F1−F2)

2 ·R2 = λλλ · (−m+m ·F1 +F2)

pero R ∈ s, luego, como: s≡ (F1 +m ·F2) ·X0−X1−m ·X2 = 0

(F1 +m ·F2) ·(−m−1)

2− (1+m ·F1−F2)

2−m · (−m−m ·F1 +F2)

2= 0

−m ·F1−m2 ·F2−F1−m ·F2−1−m ·F1 +F2 +m2 +m2 ·F1−m ·F2 = 0

m2 · (−F2 +1+F1))+m · (−F1−F2−F1−F2)+(−F1−1+F2) = 0

igualdad que debe ser cierta para todo valor de m, luego

F1−F2 +1 = 0

−2 ·F1−2 ·F2 = 0

−F1 +F2−1 = 0

=⇒F1 +F2 = 0

−F1 +F2−1 = 0

=⇒ F1 =−12

, F2 =12

Luego, el único foco real será el

(1, − 12,

12)≡ (2, −1, 1)

Dado que la directriz es la polar del foco, tendremos:

[2 −1 1

]1 1 −1

1 1 1

−1 1 1

X0

X1

X2

= 0

[0 2 −2

]X0

X1

X2

= 2 ·X1−2 ·X2 = 0

y en definitiva

X1−X2 = 0

Para las cónicas con centro (elipses e hipérbolas) se verifica que: Si la matriz de la cónica es:

A =

a00 a01 a02

a01 a11 a12

a02 a12 a22

326

y su matriz adjunta es

adj A =

A00 A01 A02

A01 A11 A12

A02 A12 A22

Las coordenadas de los focos vienen dadas por el sistema:

A00 ·X21−A00 ·X2

2−2 ·A01 ·X0 ·X1 +2 ·A02 ·X0 ·X2 +A11−A22 = 0

A00 ·X1 ·X2−A02 ·X0 ·X2−A01 ·X0 ·X1 +A12 = 0

Replanteamos el ejemplo 12 aplicando esto:


ζ ≡−X20 +4 ·X0 ·X1 +2 ·X1 ·X2 = 0

se pide determinar las coordenadas de los focos.

Si la matriz de la cónica es

A =

−1 2 0

2 0 1

0 1 0

y su matriz adjunta es

adj A =

−1 0 2

0 0 1

2 1 −4

las coordenadas de los focos vienen dadas por el sistema

−X21 +X2

2 +4 ·X0 ·X2 +4 ·X20 = 0

−X1 ·X2−2 ·X0 ·X1 +X20 = 0

Haciendo X0 = 1, la segunda ecuación nos da

X2 =−2 ·X1 +1

X1

que sustituida en la primera resulta

−X21 +

(−2 ·X1 +1

X1

)2+4 ·

(−2 ·X1 +1

X1

)+4 = 0

es decir

−X41 +4 ·X2

1 +1−4 ·X1−8 ·X21 +4 ·X1 +4 ·X2

1 = 0

y simplificando

−X41 +1 = 0 =⇒ X4

1 = 1

cuyas raíces reales son:

X1 = 1 y X1 =−1

327

siendo los valores de X2 correspondientes:

X2 =−1 y X2 =−3

En consecuencia las coordenadas de los focos son:

(1, 1, −1) y (1, −1, −3) .

Dado un foco F(ααα, βββ ) y su directriz d≡ a ·x+b ·y+ c, se puede demostrar que la relación que los liga

es la siguiente, conocida como la ecuación focal de las cónicas:

(x−ααα)2 +(y−βββ )2−k · (a ·x+b ·y+ c)2 = 0 .

Ejemplo 15. Determinar la ecuación de la cónica que pasa por el origen, O, siendo un foco el F(1, −3) y cuya

directriz es la recta:

x+2 ·y−1 = 0

La ecuación focal de la cónica es, en este caso,

(x−1)2 +(y+3)2−k · (x+2 ·y−1)2 = 0

Operando resulta:

(1−k)2 ·x2 +(1−4 ·k) ·y2 +(−2+2 ·k) ·x+(6+4 ·k) ·y−4 ·k ·x ·y+10−k = 0

Por pasar por el origen, O≡ (0, 0), se tendrá que

10−k = 0 =⇒ k = 10 ,

y sustituyendo obtendremos la ecuación de la cónica pedida:

9 ·x2 +39 ·y2 +40 ·x ·y−18 ·x−46 ·y = 0

En coordenadas homogéneas la ecuación de la cónica será:

9 ·X21 +39 ·X2

2 +40 ·X1 ·X2−18 ·X0 ·X1−46 ·X0 ·X2 = 0

Ejemplo 16. Determinar la ecuación de la cónica que tiene por centro el punto C(1, −3), por foco un punto

de la recta y = x, siendo la directriz del foco: 2 ·x−3 ·y+1 = 0.

La ecuación focal de la cónica es, en este caso:

(x−ααα)2 +(y−βββ )2−k · (2 ·x−3 ·y+1)2 = 0

Las ecuaciones del centro son:

fff x ≡ 2 · (x−ααα)−4 ·k · (2 ·x−3 ·y+1) = 0

fff y ≡ 2 · (y−βββ )+6 ·k · (2 ·x−3 ·y+1) = 0

328

de donde, por ser: x = 1 , y =−3, las coordenadas del centro, obtenemos el sistema:

24 ·k+ααα = 1

36 ·k−ααα = 3

que resuelto nos da:

k =1

15, ααα =

−35

.

Sustituyendo estos valores en la ecuación focal, resulta:(x+

35

)2+

(y+

35

)2− 1

15· (2 ·x−3 ·y+1)2 = 0

28.2 Cónicas homofocales

De dos cónicas, ζ 1 y ζ 2, diremos que son homofocales si tienen los mismos focos.

Toda cónica homofocal a una cónica con centro es una cónica con centro, y toda cónica homo-

focal a una parábola es una parábola.

Al conjunto de todas las cónicas homofocales a una dada se le llamará familia de cónicas homofocales.

Habrá por tanto dos tipos distintos de familias homofocales; uno, que consiste enteramente de cónicas

con centro, y el otro de parábolas.

Puesto que, para cónicas reales, la relación de ser homofocales es una relación de equivalencia, una

familia de cónicas homofocales está determinada por uno de sus miembros.

Si ζ es una cónica central, la familia de cónicas homofocales será como la de la figura siguiente, siendo

evidente que todas tienen el mismo centro y los mismos ejes.

El segundo tipo de cónicas homofocales tendría el siguiente aspecto.

329

Lección 29.- DETERMINACIÓN DE CÓNICAS

29.1 Determinación de cónicas

29.2 Haces de cónicas

29.1 Determinación de cónicas

En la ecuación de una cónica hay seis coeficientes, aij (i6 j ; i, j = 0, 1, 2).

Como no todas pueden ser nulos, siempre será posible dividir por uno de ellos, con lo que quedarán sólo

cinco parámetros fundamentales. En consecuencia, para determinar una cónica se necesitan cinco condi-

ciones independientes; por ejemplo, cinco puntos, tales que tres de ellos no estén alineados, determinan

una cónica.

La condición de pasar una cónica por un punto fijo, o que dos puntos fijos sean conjugados respecto a

la cónica, son condiciones lineales, ya que ambas se traducen en ecuaciones lineales en los coeficientes,

aij, de la cónica.

Sin embargo, el que una recta

U0 ·X0 +U1 ·X1 +U2 ·X2 = 0

sea tangente a la cónica, es una condición cuadrática, puesto que da lugar a la ecuación

U(adj A)U′ = 0 ,

que es lineal en los adjuntos Aij de la matriz A de la cónica y, por tanto, cuadrática e los elementos aij

de ésta.

El hecho de que la cónica sea parábola es también una condición cuadrática, ya que equivale a A00 = 0.

29.2 Haces de cónicas

Dadas dos cónicas

ζ 1 ≡ XAX′ = 0 y ζ 2 ≡ XBX′ = 0 ,

llamaremos haz de cónicas al conjunto de todas las cónicas del plano que se obtienen al dar, a λλλ 0 y

λλλ 1, todos los valores reales posibles (no simultáneamente nulos) en la ecuación

λλλ 0XAX′+λλλ 1XBX′ = 0

Todas las cónicas del haz pasan por los puntos comunes a las cónicas ζ 1 y ζ 2, puesto que si

P ∈ ζ 1∩ζ 2 =⇒ (PBP′ = 0 , PBP′ = 0) ,

331

de donde

λλλ 0PAP′+λλλ 1PBP′ = 0

cualesquiera que sean los valores de λλλ 0 y λλλ 1.

Dado que el sistema

XAX′ = 0

XBX′ = 0

que daría los puntos comunes a ζ 1 y ζ 2, está constituido por dos ecuaciones cuadráticas, al resolverlo

llegaríamos a una ecuación de cuarto grado; luego dos cónicas tienen cuatro puntos comunes, que según

sean las raíces de dicha ecuación de cuarto grado, pueden ser:

1.- reales distintos

2.- dos reales distintos y dos reales confundidos

3.- dos parejas distintas de puntos reales confundidos

4.- tres reales confundidos y uno real distinto

5.- cuatro reales confundidos

6.- dos reales distintos y dos imaginarios conjugados

7.- dos reales confundidos y dos imaginarios conjugados

8.- dos parejas distintas de imaginarios conjugados

9.- dos parejas confundidas de imaginarios conjugados.

Podemos afirmar, por tanto, que un haz de cónicas es el conjunto de las cónicas del plano que pasan por

cuatro puntos fijos, de los que diremos que son los puntos base del haz.

Además, por cada punto P del plano (distinto de los puntos base) pasa una y sólo una cónica del haz,

puesto que las coordenadas (λλλ 0, λλλ 1) de la cónica en cuestión se obtendrían de la ecuación que resultaría

de sustituir en la ecuación

λλλ 0XAX′+λλλ 1XBX′ = 0

las variables por las coordenadas de P, y dicha ecuación es lineal.

La matriz: λλλ 0A+λλλ 1B, es la matriz de la cónica genérica del haz.

Las cónicas degeneradas del haz tienen por coordenadas, en el mismo, las raíces de la ecuación

|λλλ 0A+λλλ 1B|= 0 ,

y como ésta es de tercer grado en cada haz habrá tres cónicas degeneradas, reales o imaginarias, distintas

o confundidas.

Observemos que todo haz puede determinarse mediante una pareja cualquiera de cónicas del mismo.

332

El haz correspondiente al caso 1.- sería de la forma

ru

s

s1

r1u1

siendo las cónicas degeneradas del haz las tres siguientes:

s · s1 = 0 , r · r1 = 0 , u ·u1 = 0 .

En línea con lo que hemos apuntado antes, el haz podría determinarse mediante dos cónicas degeneradas

cualquiera, por ejemplo:

λλλ 0 · r · r1 +λλλ 1 · s · s1 = 0 .

En el caso 2.-, el haz será el conjunto de las cónicas tangentes en un punto T, y que pasan por otros dos

puntos fijos, P y Q:

λλλ 0 · r · r1 +λλλ 1 · s · t = 0 .

r

t

s

T

r1

P Q

En el caso 3.- presenta cónicas bitangentes (tangentes en dos puntos)

λλλ 0 · t · t1 +λλλ 1 · s2 = 0 .s

t

t1

2T

T1

333

El caso 4.- representa el conjunto de todas las cónicas que tienen tres puntos confundidos en T (se dice

que tienen un contacto de segundo orden en T), y que pasan por un cuarto punto P, Se les llama cónicas

osculatrices en T.

t

s

T

P

No hay más cónicas degeneradas que la t · s = 0.

El haz se podría escribir en la forma

λλλ 0 · t · s+λλλ 1 ·C = 0 ,

siendo C otra cónica en él.

El caso 5.- se presenta cuando las cónicas tienen cuatro puntos confundidos en T (se dice que tienen un

contacto de tercer orden en dicho punto). Se les llama cónicas hiperosculatrices.

T

t

No hay más cónica degenerada que la t2 = 0.

El haz se puede expresar en la forma

λλλ 0 · t2 +λλλ 1 ·C = 0 .

Los restantes casos carecen de interés.

334

Ejemplo 1. Determinar la cónica que pasa por los puntos:

A(1, 0, 0) , B(1, 0, 1) , C(0, 2, 0) , D(1, 1, 1) , F(0, −1, 2) .

Hallamos primero las rectas

AB≡

∣∣∣∣∣∣∣∣X0 X1 X2

1 0 0

1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 =⇒ X1 = 0 ,

CD≡

∣∣∣∣∣∣∣∣X0 X1 X2

0 2 0

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 =⇒ X0−X2 = 0 ,

AC≡

∣∣∣∣∣∣∣∣X0 X1 X2

1 0 0

0 2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 =⇒ X2 = 0 ,

BD≡

∣∣∣∣∣∣∣∣X0 x1 X2

1 0 1

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 =⇒ −X0 +X2 = 0 .

La cónica pertenecerá al haz

λλλ 0 ·X1 · (X0−X2)+λλλ 2 ·X2 · (−X0 +X2) = 0

y como debe pasar por F, se tendrá

2 ·λλλ 0 +4 ·λλλ 1 = 0 =⇒ (λλλ 0 = 2 , λλλ 1 =−1) ,

luego, la cónica pedida será la siguiente:

2 ·X0 ·X1 +X0 ·X2−2 ·X1 ·X2−X22 = 0 .

Ejemplo 2. Determinar la ecuación de la cónica que pasa por los puntos A(1, 0) , B(0, 1) , C(1, 1), por

el origen, y es tangente a la recta:

x1−2 ·x2 +2 = 0

Los puntos dados quedan representados en la siguiente figura:

O

B C

A

r1 r2

r3

r4

335

La cónica degenerada formada por el par de rectas r1 y r2 es

r1 ≡ x1 = 0

r2 ≡ x1 = 1

=⇒ x21−x1 = 0

y la cónica degenerada formada por el par de rectas, r3 y r4 es

r3 ≡ x2 = 0

r4 ≡ x2 = 1

=⇒ x22−x2 = 0

La cónica pedida pertenecerá al haz determinado por ambas cónicas degeneradas, es decir al haz de cónicas

(x21−x1)+λλλ · (x2

2−x2) = 0

Para determinar λλλ , impondremos la condición de que este haz, y la recta dada: x−2 ·y+2 = 0, sean tangentes, es

decir, que su intersección se reduzca a un punto. Luego:

x1 = 2 ·x2−2

(x21−x1)+λλλ · (x2

2−x2) = 0

=⇒ (4+λλλ ) ·x22− (−10−λλλ ) ·x2 +6 = 0 .

Haciendo el discriminante, de la ecuación anterior, cero:

λλλ2−4 ·λλλ +4 = (λλλ −2)2 = 0 =⇒ λλλ = 2

Luego la ecuación de la cónica pedida será:

x21 +2 ·x2

2−x1−2 = 0 .

Ejemplo 3. Determinar el lugar geométrico de los centros de las cónicas que pasan por los puntos de inter-

sección de x2−10 = 0, y las rectas

x1−12 = 0 y x2 +x2−5 = 0

El haz de cónicas que pasan por los puntos de intersección es

x22−10+λλλ · (x1−12) · (x1 +x2−5) = 0

es decir

λλλ ·x21 +x2

2 +λλλ ·x1 ·x2−17 ·λλλ ·x1−12 ·λλλ ·x2 +60 ·λλλ −10 = 0 .

Las ecuaciones que dan el centro de la cónica son:

2 ·λλλ ·x1 +λλλ ·x2−17 ·λλλ = 0

λλλ ·x1 +2 ·x2−12 ·λλλ = 0

es decir

2 ·x1 +x2−17 = 0

λλλ ·x1 +2 ·x2−12 ·λλλ = 0

336

Luego el lugar geométrico viene dado por la ecuación:

2 ·x1 +x2−17 = 0

Ejemplo 4. Determinar la ecuación e la cónica que tiene las mismas direcciones asistólicas que la cónica

ζ ≡ x21 +2 ·x2

2 +2 ·x1 ·x2−x1−x2 +1 = 0 ,

que para por el origen, y que tiene su centro en el punto C(1, 1).

Por tener las mismas direcciones asintóticas que ζ , la ecuación de la cónica pedida será:

x21 +2 ·x2

2 +2 ·x1 ·x2 +a ·x1 +b ·x2 + c = 0 .

Por pasar por el origen se tendrá que

x21 +2 ·x2

2 +2 ·x1 ·x2 +a ·x1 +b ·x2 = 0 .

Por tener como centro el punto C(1, 1), se verificará que

2 ·x1 +2 ·x2 +a = 0

2 ·x1 +4 ·x2 +b = 0

=⇒4+a = 0

6+b = 0

=⇒ a =−4 , b =−6 .

En consecuencia la cónica pedida tendrá por ecuación:

x21 +2 ·x2

2 +2 ·x1 ·x2−4 ·x1−6 ·x2 = 0

Ejemplo 5. Determinar la ecuación de una cónica sabiendo que la recta x2 = 1 es eje de la misma, que C(1, 1)

es el centro, y que la polar del punto P(2, 2) es la recta: x1 +x2−3 = 0.

La matriz de la cónica pedida será, en principio:

A =

a00 a01 a02

a01 a11 a12

a02 a12 a22

Las ecuaciones del centro son:

a11 ·x1 +a12 ·x2 +a01 = 0

a12 ·x1 +a22 ·x2 +a02 = 0

y teniendo en cuenta que el centro es C(1, 1), y que, además, las cónicas de ejes paralelos a los de coordenadas, no

tienen término en x1 ·x2, es decir: a12 = 0, las ecuaciones del centro se reducen a las siguientes:

a11 +a01 = 0

a22 +a02 = 0

⇐⇒a01 =−a11

a02 =−a22

con lo que la matriz A, será ahora

A =

a00 −a11 −a22

−a11 a11 0

−a22 0 a22

337

La polar del punto P(2, 2) tiene por ecuación

[1 2 2

]A

1

x1

x2

= 0 ,

es decir

a11 ·x1 +a22 ·x2 +a00−2 ·a11−2 ·a22 = 0

que tiene que coincidir con la recta dada

x1 +x2−3 = 0 ,

luego identificando tendremos

a11 = a22 = a00 .

En consecuencia, la matriz de la cónica pedida será

A =

a00 −a00 −a00

−a00 a00 0

−a00 0 a00

y a menos de un factor constante:

A =

1 −1 −1

−1 1 0

−1 0 1

Luego la cónica pedida tendrá por ecuación

x21 +x2

2−2 ·x1−2 ·x2 +1 = 0

338

CAPÍTULO VI

Lección 30.- CUÁDRICAS

30.1 Definiciones

30.2 Ecuaciones reducidas de las cuádricas


30.4 Clasificación afín

30.5 Ejemplos

30.6 Secciones cíclicas y puntos umbilicales

30.1 Definiciones

El tratamiento que vamos a dar a las cuádricas va a ser, en todo, paralelo al lado a las cónicas en el

capítulo anterior, si bien trataremos de visualizar, en lo posible, los distintos tipos que de las mismas nos

aparezcan.

Llamaremos cuádrica al conjunto de los puntos, del espacio tridimensional, cuyas coordenadas, respecto

a un sistema de referencia, satisfacen a una ecuación de la forma.

c00 + c01 ·x1 + c02 ·x2 + c11 ·x21 ++c12 ·x1 ·x2 + c13 ·x1 ·x3 + c22 ·x2

2 + c23 ·x2 ·x3 + c33 ·x23 = 0

en la que el primer miembro es un polinomio en x1, x2, x3, de segundo grado.

La definición tiene sentido por razones análogas a las aducidas en el caso de las cónicas.

Ejemplo 1. En una cuádrica la superficie esférica, de centro el origen y radio r, cuya ecuación es

x21 +x2

2 +x23 = r2

Ejemplo 2. La ecuación: x21 +x2

2 +x23 =−1, también representa una cuádrica, la cual no tiene más que puntos

imaginarios; es por tanto, una cuádrica imaginaria.

Ejemplo 3. El conjunto de los puntos de dos planos, distintos o confundidos, es una cuádrica, puesto que si las

ecuaciones de los planos son

a1 ·x1 +b1 ·x2 + c1 ·x3 +d1 = 0

a2 ·x1 +b2 ·x2 + c2 ·x3 +d2 = 0

la ecuación

(a1 ·x1 +b1 ·x2 + c1 ·x3 +d1) · (a2 ·x1 +b2 ·x2 + c2 ·x3 +d2) = 0

cumple con la definición de cuádrica. Los únicos puntos del espacio cuyas coordenadas satisfacen a esta ecuación

son los que pertenecen a uno u otro plano.

341

La ecuación de una cuádrica se puede escribir matricialmente de infinitas maneras. Al igual que con las

cónicas adoptaremos como matriz de la cuádrica la única que es simétrica.

Los problemas que vamos a resolver son los mismos que se nos plantean en el caso de las cónicas:1o.- ver cuantos tipos de cuádricas existen,

2o.- obtener unos criterios de clasificación, y

3o.- establecer unas fórmulas que nos permitan calcular sus ecuaciones reducidas.En todo lo que sigue, los sistemas de referencia serán, siempre, métricos.

30.2 Ecuaciones reducidas de las cuádricas

Sea ζ una cuádrica, cuya expresión matricial, respecto a un determinado sistema de referencia es

ζ ≡ XAX′ = 0 , con A =

a00 a01 a02 a03

a01 a11 a12 a13

a02 a12 a22 a23

a03 a13 a23 a33

Vamos a trata de hallar un sistema de referencia, respecto al cual la ecuación de ζ sea lo más sencilla

posible.

Supongamos que la expresión matricial del cambio del sistema original al deseado es:

X = ZS , |S| 6= 0

el cual podemos descomponer en dos etapas:

1o.- Un giro de ejes, de ecuación

X = YG , con G =

1 0 0 0

0 g11 g12 g13

0 g21 g22 g23

0 a31 g32 g33

=

1 O

O′ G0

donde G0 es, según sabemos, ortogonal.

2o.- Una traslación de ejes, tomando como nuevo origen el punto O′, de coordenadas (t1, t2, t3), res-

pecto al segundo sistema de referencia. La expresión matricial de este cambio es

Y = ZT , con T =

1 t1 t2 t3

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

=

1 t

O′ I

donde hemos hecho: t =[t1 t2 t3

].

342

Evidentemente,

S = TG .

Al igual que en el caso de las cónicas, nos va a convenir escribir la ecuación de ζ , en la forma

ζ ≡[x1 x2 x3

]a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

x1

x2

x3

+2 ·[x1 x2 x3

]a01

a02

a03

+a00 = 0 .

El primer término del primer miembro de esta ecuación es una forma cuadrática, en x1, x2, x3; luego, de

acuerdo con el corolario, establecido en el apartado 24.4 de la Lección 24, y a lo dicho antes sobre la

matriz G0, existe un giro de ejes tal que la matriz transformada de la

A0 =

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

es diagonal.

Supongamos que hemos elegido el giro de ejes (caracterizado por la matriz G) de forma que esto suceda,

y que la ecuación de la cuádrica es, respecto al nuevo sistema

ζ ≡[y1 y2 y3

]λλλ 1

λλλ 2

λλλ 3

y1

y2

y3

+2 ·[y1 y2 y3

]b01

b02

b03

+b00 = 0 .

donde

B =

b00 b01 b02 b03

b01 λλλ 1

b02 λλλ 2

b03 λλλ 3

es la nueva matriz de ζ , siendo λλλ 1, λλλ 2, λλλ 3 los valores propios de la matriz A0. Si efectuamos, ahora, la

traslación de ejes obtendremos

ζ ≡[z1 z2 z3

]λλλ 1

λλλ 2

λλλ 3

z1

z2

z3

+

+2 ·[z1 z2 z3

]

λλλ 1

λλλ 2

λλλ 3

t1

t2

t3

+

b01

b02

b03

+

+[t1 t2 t3

]

λλλ 1

λλλ 2

λλλ 3

t1

t2

t3

+2 ·

b01

b02

b03

+b00 = 0

343

y la ecuación de la cuádrica será

C =

c00 c01 c02 c03

c01 λλλ 1 0 0

c02 0 λλλ 2 0

c03 0 0 λλλ 3

=

C00 C

C′ C0

donde

c00 = b00 +2 ·b01 · t1 +2 ·b02 · t2 +2 ·b03 · t3 +λλλ 1 · t21 +λλλ 2 · t2

2 +λλλ 3 · t23

c01 = b01 +λλλ 1 · t1

c02 = b02 +λλλ 2 · t2

c03 = b03 +λλλ 3 · t3

Como todavía no hemos precisado qué punto ha de ser el nuevo origen, lo elegimos ahora, de forma que

la matriz C sea lo más sencilla posible, pudiendo ocurrir los siguientes casos:

1o.- λλλ 1 6= 0 , λλλ 2 6= 0 , λλλ 3 6= 0 Tomando

t1 =−b01λλλ 1

, t2 =−b02λλλ 2

, t3 =−b03λλλ 3

,

conseguimos anular los términos c01, c02 y c03, con lo que la expresión de ζ será:

Z

c00

λλλ 1

λλλ 2

λλλ 3

Z′ = 0 , c00 +λλλ 1 · z21 +λλλ 2 · z2

2 +λλλ 3 · z23 = 0

Este tipo de cuádricas admiten tres planos de simetría y tres ejes de simetría; por tanto, admiten

un centro de simetría, razón por la cual se las llama cuádricas con centro.

(Cuando, en particular, c00 = 0, estaremos en presencia de un cono, imaginario o real.)

2o.- λλλ 1 6= 0 , λλλ 2 6= 0 , λλλ 3 = 0 Tomando

t1 =−b01λλλ 1

, t2 =−b02λλλ 2

podemos anular c01 y c02. Se pueden presentar, ahora, los siguientes subcasos:

2.a.- b03 6= 0 Tomando

t3 =−b00 +2 ·b01 · t1 +2 ·b02 · t2 +λλλ 1 · t2

1 +λλλ 2 · t22

2 ·b03

conseguimos que se anulen c00, con lo que

Z

0 0 0 c03

0 λλλ 1 0 0

0 0 λλλ 2 0

c03 0 0 0

Z′ = 0 , 2 · c03 · z3 +λλλ 1 · z21 +λλλ 2 · z2

2 = 0 .

344

A este tipo de cuádricas, que tienen dos planos de simetría, y por tanto, un eje de simetría, se

las denomina paraboloides.

2.b.- b03 = 0 , c00 6= 0 Entonces no se puede efectuar más reducción, y la elección de t3 es

indiferente. En este caso:

Z

c00

λλλ 1

λλλ 2

0

Z′ = 0 , c00 +λλλ 1 · z21 +λλλ 2 · z2

2 = 0 .

A este tipo de cuádricas, con dos planos de simetría y un eje de simetría, se las llama cilindros

no parabólicos.

2.c.- b03 = 0 , c00 = 0 Se tiene en este caso

Z

0

λλλ 1

λλλ 2

000

Z′ = 0 , λλλ 1 · z21 +λλλ 2 · z2

2 = 0

Se trata de cuádricas con dos planos de simetría y un eje de simetría. Veremos que son pares

de planos no paralelos

3o.- λλλ 1 6= 0 , λλλ 2 = λλλ 3 = 0 Tomando

t1 =−b01λλλ 1

se tiene que c01 = 0. Se pueden presentar los siguientes subcasos:

3.a.- b02 6= 0 , b03 6= 0 Tomando

t2 =−b00 +2 ·b01 · t1 +2 ·b02 · t2 +λλλ 1 · t2

12 ·b02

tendremos

Z

0 0 c02 c03

0 λλλ 1 0 0

c02 0 0 0

c03 0 0 0

Z′ = 0 .

Haciendo un nuevo giro de ejes de ecuación

Z = W

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 cos βββ sen βββ

0 0 −sen βββ cos βββ

345

obtenemos

ζ ≡W

0 0 c02 · cos βββ + c03 · sen βββ −c02 · sen βββ + c03 · cos βββ

0 λλλ 1 0 0

c02 · cos βββ + c03 · sen βββ 0 0 0

−c02 · sen βββ + c03 · cos βββ 0 0 0

W′ = 0

y tomando

βββ = arc tgc03c02

resulta finalmente

W

0 0 d02 0

0 λλλ 1 0 0

d02 0 0 0

0 0 0 0

W′ = 0 , 2 ·d02 ·w2 +λλλ 1 ·w21 = 0

Este tipo de cuádricas, llamadas cilindros parabólicos, no tienen más que un plano de sime-

tría.

3.b.- b02 = b03 = 0 La ecuación cuadrática ya no se puede reducir más, quedando en la forma

Z

c00

λλλ 1

0

0

Z′ = 0 , c00 +λλλ 1 · z21 = 0 .

Estas cuadráticas, que no admiten más que un plano de simetría son planos paralelos.

4o.- c00 = 0 , λλλ 1 6= 0 , λλλ 2 6= 0 , λλλ 3 6= 0 Este tipo de cuádricas se llaman conos, y se tiene

Z

0

λλλ 1

λλλ 2

λλλ 3

Z′ = 0 , λλλ 1 · z21 +λλλ 2 · z2

2 +λλλ 3 · z23 = 0

5.- λλλ 1 = λλλ 2 = λλλ 3 = 0 En este caso

ζ ≡ c00 +2 · c01 · z1 +2 · c02 · z2 +2 · c03 · z3 = 0

y la cuádrica es un plano.

346

Vamos a clasificar, ahora, las cuádricas atendiendo a los signos de c00, λλλ 1, λλλ 2 y λλλ 3. Las expresiones de

las cuádricas, tal como aparecen a continuación, reciben el nombre de ecuación canónica de la cuádrica

en cuestión.

1o.- CUÁDRICAS CON CENTRO

Pueden presentarse los siguientes casos:

1.a.- sig c00 = sig λλλ 1 = sig λλλ 2 = sig λλλ 3

ζ ≡x2

1a2 +

x22

b2 +x2

3c2 =−1

ELIPSOIDE IMAGINARIO

1.b.- sig c00 6= sig λλλ 1 = sig λλλ 2 = sig λλλ 3

ζ ≡x2

1a2 +

x22

b2 +x2

3c2 = 1

ELIPSOIDE REAL

z

x

y

1.c.- sig c00 6= sig λλλ 1 = sig λλλ 2 6= sig λλλ 3

ζ ≡x2

1a2 +

x22

b2 −x2

3c2 = 1

HIPERBOLOIDE HIPERBÓLICO(de una hoja)

xy

z

347

1.d.- sig c00 6= sig λλλ 1 6= sig λλλ 2 = sig λλλ 3

ζ ≡x2

1a2 −

x22

b2 −x2

3c2 = 1

HIPERBOLOIDE ELÍPTICO(de dos hojas)

x

y

z

1.e.- c00 = 0 , sig λλλ 1 = sig λλλ 2 = sig λλλ 3

ζ ≡x2

1a2 +

x22

b2 +x2

3c2 = 0

CONO IMAGINARIO

1.f.- c00 = 0 , sig λλλ 1 = sig λλλ 2 6= sig λλλ 3

ζ ≡x2

1a2 +

x22

b2 −x2

3c2 = 0

CONO REAL

xy

z

348

2o.- PARABOLOIDES


2.a.- sig λλλ 1 = sig λλλ 2

ζ ≡ x3 =x2

1a2 +

x22

b2

PARABOLOIDE ELÍPTICO

x

y

z

2.b.- sig λλλ 1 6= sig λλλ 2

ζ ≡ x3 =x2

1a2 −

x22

b2

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

x

y

z

3.- CILINDROS NO PARABÓLICOS


3.a.- sig c00 = sig λλλ 1 = sig λλλ 2

ζ ≡x2

1a2 +

x22

b2 =−1

CILINDRO IMAGINARIO

349

3.b.- sig c00 6= sig λλλ 1 = sig λλλ 2

ζ ≡x2

1a2 +

x22

b2 = 1

CILINDRO ELÍPTICO

x

y

z

3.c.- sig λλλ 1 6= sig λλλ 2

ζ ≡x2

1a2 −

x22

b2 = 1

CILINDRO HIPERBÓLICO

x

y

z

4.- PARES DE PLANOS NO PARALELOS

Se presentan los siguientes casos:

4.a.- sig λλλ 1 = sig λλλ 2

ζ ≡x2

1a2 +

x22

b2 =( x1

a+

x2b· iii)·( x1

a− x2

b· iii)= 0

IMAGINARIOS

350

4.b.- sig λλλ 1 6= sig λλλ 2

ζ ≡x2

1a2 −

x22

b2 =( x1

a+

x2b

)·( x1

a− x2

b

)= 0

REALES(secantes)

x

y

z

5.- CILINDRO PARABÓLICO No hay más que un tipo

ζ ≡ x2 = a ·x21

x

y

z

6.- PARES DE PLANOS PARALELOS Pueden presentarse los siguientes casos:

6.a.- sig c00 = sig λλλ 1

ζ ≡ x21 +a2 = (x1 +a · iii) · (x1−a · iii) = 0

PLANOS PARALELOS IMAGINARIOS

351

6.b.- sig c00 6= sig λλλ 1

ζ ≡ x21−a2 = (x1 +a) · (x1−a) = 0

PLANOS PARALELOS REALES

6.c.- c00 = 0

ζ ≡ x21 = 0

PLANOS PARALELOS CONFUNDIDOS


Llamaremos ecuación característica de la cuádrica ζ de ecuación

XAX′ = 0 con A =

a00 a01 a02 a03

a01 a11 a12 a13

a02 a12 a22 a23

a03 a13 a23 a33

a la ecuación

|A0−λλλ I|= 0 ,

siendo

A0 =

a01 a02 a03

a12 a22 a23

a13 a23 a33

Sabemos que

C = SAS′ = TGAG′T′

de donde tomando determinantes

|C|= |SAS′|= |S| · |A| · |S′|= |A|

352

puesto que

|S|= |S′|=±1 .

Por otra parte

C0 = G0A0G′0

pero G−10 = G′0, ya que G0 es ortogonal, luego

|C0−λλλ I|= |G0A0G′0−λλλG0IG′0|= |G0| · |A0−λλλ I| · |G′0|= |A0−λλλ I|

ya que

|G0|= |G′0|=±1 .

Por tanto−λλλ 3 +(c11 + c22 + c33) ·λλλ 2− (γγγ11 +γγγ22 +γγγ33) ·λλλ +C00 =

=−λλλ 3 +(a11 +a22 +a33) ·λλλ 2− (ααα11 +ααα22 +ααα33) ·λλλ +A00

donde γγγ ii es el menor correspondiente al elemento cii de la diagonal principal de la submatriz C0 y,

análogamente, ααα ii es el menor del elemento aii en A0.

Identificando tenemosc11 + c22 + c33 = a11 +a22 +a33

γγγ11 +γγγ22 +γγγ33 =ααα11 +ααα22 +ααα33

C00 = A00

A los cuatro números a11 +a22 +a33 , ααα11 +ααα22 +ααα33 , A00 y |A| que dependen exclusivamente

de la cuádrica ζ , y no del sistema métrico particular elegido para representarla, se les llama, respectiva-

mente, invariantes lineal, cuadrático, cúbico y cuártico de la cuádrica. Los representamos, respectiva-

mente, por I1 , I2 , I3 e I4; así

I1 = a11 +a22 +a33

I2 =ααα11 +ααα22 +ααα33 =

∣∣∣∣∣∣a22 a23

a23 a33

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 a13

a13 a33

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 a12

a12 a22

∣∣∣∣∣∣

I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣I4 = |A|

353

Se demuestra que:

I′2 =

∣∣∣∣∣∣a00 a01

a01 a11

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a00 a02

a02 a22

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a00 a03

a03 a33

∣∣∣∣∣∣

I′1 = A11 +A22 +A33 =

∣∣∣∣∣∣∣∣a00 a02 a03

a02 a22 a23

a03 a23 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣a00 a01 a03

a01 a11 a13

a03 a13 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣a00 a01 a02

a01 a11 a12

a02 a12 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣son también invariantes para los cilindros y pares de planos.

La llamada ecuación característica de la cuádrica será, por tanto,

λλλ3− I1 ·λλλ 2 + I2 ·λλλ − I3 = 0

354

INVARIANTES DE LAS CUÁDRICAS

Invariante lineal: I1 = a11 +a22 +a33

Invariante cuadrático: I2 =ααα11 +ααα22 +ααα33 =

∣∣∣∣∣∣a22 a23

a23 a33

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 a13

a13 a33

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 a12

a12 a22

∣∣∣∣∣∣Invariante cúbico: I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣Invariante cuártico: I4 = |A|−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ y para cilindros y pares de planos:

Invariante lineal:

I′1 = A11 +A22 +A33 =

∣∣∣∣∣∣∣∣a00 a02 a03

a02 a22 a23

a03 a23 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣a00 a01 a03

a01 a11 a13

a03 a13 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣a00 a01 a02

a01 a11 a12

a02 a12 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣Invariante cuadrático:

I′2 =

∣∣∣∣∣∣a00 a01

a01 a11

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a00 a02

a02 a22

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a00 a03

a03 a33

∣∣∣∣∣∣Ecuación característica (o secular) y sus raíces:

λλλ 3− I1 ·λλλ 2 + I2 ·λλλ − I3 = 0 y −−−−−−−→ λλλ 1 , λλλ 2 , λλλ 3

ECUACIONES REDUCIDAS:

• Elipsoides / Hiperboloides: λλλ 1 ·x2 +λλλ 2 ·y2 +λλλ 3 · z2 +I4I3

= 0

• Paraboloides (λλλ 1 = 0) λλλ 2 ·y2 +λλλ 3 · z2±2 ·√−I4I2·x = 0

• Conos con vértice propio λλλ 1 ·x2 +λλλ 2 ·y2 +λλλ 3 · z2 = 0

• Cilindros elípticos / hiperbólicos λλλ 1 ·x2 +λλλ 2 ·y2 +I′1I2

= 0

• Cilindro parabólico λλλ 2 ·y2±2 ·

√−I′1I1

= 0

Para los planos, una vez hecha su clasificación, se utiliza la identidad:

(a ·x1 +b ·x2 + c ·x3 +d) · (A ·x1 +B ·x2 +C ·x3 +D) = cuádrica.

Identificando coeficientes se obtienen los planos.

355

30.4 Clasificación afín

Vamos a utilizar un resultado de álgebra que dice: Si las raíces de una ecuación

an ·xn +an−1 ·xn−1 + · · · · · ·+a1 ·x+a0 = 0 ,

donde las ai son reales, son todas reales, entonces el valor absoluto de la diferencia entre el número

de raíces positivas y raíces negativas es igual al valor absoluto entre el número de permanencias y

variaciones de signo de la sucesión

−an , an−1 , · · · · · · , (−1)n−1 ·a0

formada por los coeficientes de la ecuación, cambiados alternativamente de signo.

La ecuación característica

|A0−λλλ I|=−λλλ3 + I1 ·λλλ 2− I2 ·λλλ + I3

tiene todas sus raíces reales, luego le es de aplicación el resultado anterior.

Llamamos signatura de la cuádrica, y lo representaremos por s, al valor absoluto de la diferencia entre

el número de permanencias y variaciones de signo de la sucesión

1 , I1 , I2 , I3 ,

a la que llamaremos sucesión secular.

En los elipsoides, hiperboloides y paraboloides: |A| 6= 0 , mientras que en las restantes cuádricas: |A|= 0.

A las primeras se las llama cuádricas no degeneradas y las segundas degeneradas.

En los elipsoides e hiperboloides se verifica: A00 6= 0, mientras que en los paraboloides se tiene:

A00 = 0.

Los elipsoides se caracterizan porque

sig λλλ 1 = sig λλλ 2 = sig λλλ 3 ,

mientras que los hiperboloides tienen dos valores propios de igual signo, y el tercero tiene signo distinto.

De acuerdo con esto, en los elipsoides se tiene: s = 3, y en los hiperboloides: s = 1.

Para distinguir entre elipsoide imaginario o real, basta observar que por ser, en el primero,

sig c00 = sig λλλ 1 = sig λλλ 2 = sig λλλ 3 , (s = 3)

y en el segundo

sig c00 6= sig λλλ 1 = sig λλλ 2 = sig λλλ 3 , (s = 1)

y en ambos

I4 = c00 ·λλλ 1 ·λλλ 2 ·λλλ 3 ,

356

tiene que ser I4 = |A|> 0 , en el elipsoide imaginario

I4 = |A|< 0 , en el elipsoide real .

En forma análoga se establece queI4 = |A|> 0 , en el hiperboloide hiperbólico

I4 = |A|< 0 , en el hiperboloide elíptico

En los paraboloides se verifica que: A00 = 0. Además, en el paraboloide elíptico

(sig λλλ 1 = sig λλλ 2 , I2 = λλλ 1 ·λλλ 2) =⇒ I2 > 0 ,

mientras que el paraboloide hiperbólico

(sig λλλ 1 6= sig λλλ 2 , I2 = λλλ 1 ·λλλ 2) =⇒ I2 < 0 ,

En las cónicas degeneradas, se tiene I3 = A00 6= 0 para los conos

I3 = A00 = 0 para los cilindros y pares de planos

En particular, para el cono imaginario

sig λλλ 1 = sig λλλ 2 = sig λλλ 3 =⇒ s = 3

y para el cono real

sig λλλ 1 = sig λλλ 2 6= sig λλλ 3 =⇒ s = 1

Para los cilindros y pares de planos se tiene: cilindros no parabólicos y pares de planos no paralelos: I2 = λλλ 1 ·λλλ 2 6= 0

cilindros parabólicos y pares de planos paralelos: I2 = 0

además los cilindros no parabólicos se diferencian de los pares de planos no paralelos en que para los cilindros no parabólicos: I′3 = c00 ·λλλ 1 ·λλλ 2 6= 0

planos no paralelos: I′3 = 0 .

Centrándonos en los cilindros no parabólicos tendremoscilindro imaginario y elíptico: I2 = λλλ 1 ·λλλ 2 > 0 y

imaginario: sig I3 = sig I1

elíptico: sig I3 6= sig I1

cilindro hiperbólico: I2 < 0

357

y en los pares de planos no paralelos serán imaginarios: (sig λλλ 1 = sig λλλ 2) =⇒ I2 = λλλ 1 ·λλλ 2 > 0

reales si: I2 < 0

Para los cilindros parabólicos y planos paralelos, I2 = 0, se tiene cilindro parabólico: I′3 =−d02 ·λλλ 1 6= 0

par de planos paralelos: I′3 = 0

siendo para estos últimos (planos paralelos)imaginarios: (sig c00 = sig λλλ 1) =⇒ I′2 = c00 ·λλλ 1 > 0

reales: I′2 < 0

confundidos: I′2 = 0

358

CLASIFICACIÓN AFÍN DE LAS CUÁDRICAS

Cuádricas

I4 = |A| 6= 0

I3 = A00 6= 0

s = 3

I4 = |A|> 0

(x2

1a2 +

x22

b2 +x2

3c2 =−1

)Imaginario

I4 = |A|< 0

(x2

1a2 +

x22

b2 +x2

3c2 = 1

)Real

Elipsoide

s = 1

I4 < 0

(x2

1a2 −

x22

b2 −x2

3c2 = 1

)Elíptico

I4 > 0

(x2

1a2 +

x22

b2 −x2

3c2 = 1

)Hiperbólico

Hiperboloide

Elipsoidese hiperboloides

I3 = 0

I2 > 0

(x3 =

x21

a2 +x2

2b2

)Elíptico

I2 < 0

(x3 =

x21

a2 −x2

2b2

)Hiperbólico

Paraboloides

No degeneradas

I4 = |A|= 0

I3 6= 0

s = 3

(x2

1a2 +

x22

b2 +x2

3c2 = 0

)Imaginario

s = 1

(x2

1a2 +

x22

b2 −x2

3c2 = 0

)Real

Conos

I3 = 0

I2 6= 0

I′1 6= 0

I2 > 0

sig I′3 = sig I1

(x2

1a2 +

x22

b2 =−1

)Imaginario

sig I′3 6= sig I1

(x2

1a2 +

x22

b2 = 1

)Elíptico

Imaginarioy elíptico

I2 < 0

(x2

1a2 −

x22

b2 = 1

)Hiperbólico

Cilindros

I′1 = 0

I2 > 0

(x2

1a2 +

x22

b2 = 0

)Imaginario

I2 < 0

(x2

1a2 −

x22

b2 = 0

)Reales

Planos

Cilindros noparabólicosy pares deplanos noparalelos

I2 = 0

I′1 6= 0 (x2 = a ·x21)

Cilindro parabólico

I′1 = 0

I′2 > 0 (x21 +a2 = 0)

Imaginarios

I′2 < 0 (x21 +a2 = 0)

Reales

I′2 = 0 (x21 = 0)

Confundidos

Planosparalelos

Cilindrosparabólicosy planosparalelos

Cilindrosy paresde planos

Degeneradas

359

30.5 Ejemplos

Siguiendo la clasificación afín establecida en el apartado anterior, vamos a metodizarla de forma que nos

permita resolver cualquier problema, tanto en lo que se refiere a su clasificación como a la determinación

de sus correspondientes ecuaciones reducidas:

CUÁDRICAS NO DEGENERADAS: (I) y (II)

(I) CUÁDRICAS CON CENTRO (|A| 6= 0)

A =

c00

λλλ 1

λλλ 2

λλλ 3

; Se pueden presentar los siguientes casos:

1o.- sig c00 = sig λλλ 1 = sig λλλ 2 = sig λλλ 3 (s = 3) Elipsoide imaginario

2o.- sig c00 6= sig λλλ 1 = sig λλλ 2 = sig λλλ 3 (s = 1) Elipsoide real

3o.- sig c00 6= sig λλλ 1 = sig λλλ 2 6= sig λλλ 3 (s = 1) Hiperboloide hiperbólico

4o.- sig c00 6= sig λλλ 1 6= sig λλλ 2 = sig λλλ 3 (s = 1) Hiperboloide elíptico

Determinación de las ecuaciones reducidas:

Tenemos:

I3 = A00 = λλλ 1 ·λλλ 2 ·λλλ 3

I4 = |A|= c00 ·λλλ 1 ·λλλ 2 ·λλλ 3

=⇒ c00 =I4I3

=|A|A00

siendo λλλ 1 , λλλ 2 , λλλ 3 las raíces de la ecuación característica:

λλλ 3− I1 ·λλλ 2 + I2 ·λλλ − I3 = 0 .

La ecuación de la cuádrica será:

c00 +λλλ 1 ·x21 +λλλ 2 ·x2

2 +λλλ 3 ·x23 = 0

Ejemplo 1. Dada la cuádrica

ζ ≡ 1+x21−2 ·x1 ·x2 +4 ·x2

2 +2 ·x23 = 0

clarificarla y establecer su ecuación reducida.

La ecuación matricial de la cuádrica es:

ζ ≡ XAX′ = 0 A =

1 0 0 1

0 1 −1 0

0 −1 4 0

0 0 0 2

360


I1 = a11 +a22 +a33 = 1+4+2 = 7


∣∣∣∣∣∣4 0

0 2

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣1 0

0 2

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣ 1 −1

−1 4

∣∣∣∣∣∣= 8+2+3 = 13

I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 0

−1 4 0

0 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣= 6

I4 = |A|=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 0

0 1 −1 0

0 −1 4 0

0 0 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 6

Además:

c00 =I4I3

=66

= 1

La ecuación característica es:

λλλ3−7 ·λλλ 2 +13 ·λλλ −6 = 0

cuyas raíces son:

λλλ 1 = 2 , λλλ 2 =5+√

132

, λλλ 3 =5−√

132

Se trata, por tanto, de un elipsoide imaginario de ecuación reducida:

1+2 ·x21 +

5+√

132

·x22 +

5−√

132

·x23 = 0


ζ ≡ 4 ·x21 +3 ·x2

2 +4 ·x23 +4 ·x1 ·x2 +2 ·x1 ·x3 +4 ·x2 ·x3−4 ·x1−6 ·x2−4 ·x3 = 0

clarificarla y establecer su ecuación reducida.


ζ ≡ XAX′ = 0 A =

0 −2 −3 −2

−2 4 2 1

−3 2 3 2

−2 1 2 4

361


I1 = a11 +a22 +a33 = 4+3+4 = 11


∣∣∣∣∣∣3 2

2 4

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣4 1

1 4

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣4 2

2 3

∣∣∣∣∣∣= 31

I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣4 2 1

2 3 2

1 2 4

∣∣∣∣∣∣∣∣= 21

I4 = |A|=−63

Además:

c00 =I4I3

=−6321

=−3


−λλλ3 +11 ·λλλ 2−31 ·λλλ +21 = 0

cuyas raíces son:

λλλ 1 = 1 , λλλ 2 = 3 , λλλ 3 = 7

Se trata, por tanto, de un elipsoide real, de ecuación reducida:

−3+x21 +3 ·x2

2 +7 ·x33 = 0


ζ ≡ 5 ·x21 +x2

2 +x23−2 ·x1 ·x2 +2 ·x1 ·x3−6 ·x2 ·x3 +2 ·x1 +4 ·x2−6 ·x3 +1 = 0

clasificarla y establecer su ecuación reducida.


ζ ≡ XAX′ = 0 A =

1 1 2 −3

1 5 −1 1

2 −1 1 −3

−3 1 −3 1


I1 = a11 +a22 +a33 = 5+1+1 = 7


∣∣∣∣∣∣ 1 −3

−3 1

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣5 1

1 1

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣ 5 −1

−1 1

∣∣∣∣∣∣= 0

I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣5 −1 1

−1 1 −3

1 −3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣=−36

I4 = |A|= 108

362

Además:

c00 =I4I3

=108−36

=−3


−λλλ3 +7 ·λλλ 2−36 = 0

cuyas raíces son:

λλλ 1 =−2 , λλλ 2 = 3 , λλλ 3 = 6

Luego, por tanto, se trata de un hiperboloide hiperbólico de ecuación reducida:

−3−2 ·x21 +3 ·x2

2 +6 ·x23 = 0


ζ ≡ 2 ·x21 +x2

2−2 ·x23 +2 ·x2 ·x3−4 ·x1 +2 ·x2−4 ·x3 +6 = 0



ζ ≡ XAX′ = 0 A =

6 −2 1 −2

−2 2 0 0

1 0 1 1

−2 0 1 −2


I1 = a11 +a22 +a33 = 2+1−2 = 1


∣∣∣∣∣∣1 1

1 −2

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣2 0

0 −2

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣2 0

0 1

∣∣∣∣∣∣=−5

I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣2 0 0

0 1 1

0 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣=−6

I4 = |A|=−36

Además:

c00 =I4I3

=−36−6

=−6


λλλ3−λλλ

2−5 ·λλλ +6 = 0

cuyas raíces son:

λλλ 1 = 2 , λλλ 2 =−1+

√13

2, λλλ 3 =

−1−√

132

Luego, por tanto, se trata de un hiperbolice elíptico de ecuación reducida:

6+2 ·x21 +−1+

√13

2·x2

2 +−1−

√13

2·x2

3 = 0

363

(II) PARABOLOIDES (|A| 6= 0)

A =

0 c03

λλλ 1

λλλ 2

c03 0


1o.- sig λλλ 1 = sig λλλ 2 Paraboloide elíptico

2o.- sig λλλ 1 6= sig λλλ 2 Paraboloide hiperbólico


Tenemos:

I1 = a11 +a22 +a33 = λλλ 1 +λλλ 2

I2 =ααα11 +ααα22 +ααα33 = λλλ 1 ·λλλ 2

I3 = A00 = 0

I4 = |A|=−c203 ·λλλ 1 ·λλλ 2

siendo λλλ 1 , λλλ 2 , las raíces de la ecuación característica:

λλλ 3− I1 ·λλλ 2 + I2 ·λλλ − I3 = 0 .

y además

c03 =

√−I4I2

=

√√√√√√−|A|

3

∑i=1

ααα ii


2 · c03 ·x3 +λλλ 1 ·x21 +λλλ 2 ·x2

2 = 0


ζ ≡ 1+2 ·x1−6 ·x3 +2 ·x21 +2 ·x1 ·x2−6 ·x1 ·x3 +x2

2−6 ·x2 ·x3 +9 ·x23 = 0



ζ ≡ XAX′ = 0 A =

1 1 0 −3

1 2 1 −3

0 1 1 −3

−3 −3 −3 9

364


I1 = a11 +a22 +a33 = 2+1+9 = 12


∣∣∣∣∣∣ 1 −3

−3 9

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣ 2 −3

−3 9

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣2 1

1 1

∣∣∣∣∣∣= 10

I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 −3

1 1 −3

−3 −3 9

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

I4 = |A|=−9

Además:

c03 =

√−I4I2

=

√−910

=3 ·√

1010


λλλ3−12 ·λλλ 2 +10 ·λλλ = 0

cuyas raíces son:

λλλ 1 = 6+√

26 , λλλ 2 = 6−√

26 , λλλ 3 = 0

Luego, por tanto, se trata de un paraboloide elíptico de ecuación reducida:

6 ·√

1010

·x3 +(6+√

26) ·x21 +(6−

√26) ·x2

2 = 0


ζ ≡ x21−x2

3 +6 ·x1−7 ·x2−x3−3 = 0



ζ ≡ XAX′ = 0 A =

−3 3 − 72

12

3 1 0 0

− 72

0 0 0

12

0 0 −1

365


I1 = a11 +a22 +a33 = 1+0−1 = 0


∣∣∣∣∣∣0 0

0 −1

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣1 0

0 −1

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣1 0

0 0

∣∣∣∣∣∣=−1

I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 0 0

0 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

I4 = |A|=494

Además:

c03 =

√−I4I2

=

√√√√ −494−1

=72


−λλλ3−0 ·λλλ 2 +λλλ +0 = 0

cuyas raíces son:

λλλ 1 = 1 , λλλ 2 =−1 , λλλ 3 = 0

Luego, por tanto, se trata de un paraboloide hiperbólico de ecuación reducida:

7 ·x3 +x21−x2

2 = 0

366

CUÁDRICAS DEGENERADAS:

CONOS (III) (|A|= 0)

A =

0

λλλ 1

λλλ 2

λλλ 3


1o.- sig λλλ 1 = sig λλλ 2 = sig λλλ 3 (s = 3) Cono imaginario

2o.- sig λλλ 1 6= sig λλλ 2 6= sig λλλ 3 (s = 1) Cono real


Tenemos:

I1 = a11 +a22 +a33 = λλλ 1 +λλλ 2 +λλλ 3

I2 =ααα11 +ααα22 +ααα33 = λλλ 2 ·λλλ 3 +λλλ 1 ·λλλ 3 +λλλ 1 ·λλλ 2

I3 = A00 = λλλ 1 ·λλλ 2 ·λλλ 3

I4 = 0

siendo λλλ 1 , λλλ 2 , λλλ 3 las raíces de la ecuación característica:

λλλ 3− I1 ·λλλ 2 + I2 ·λλλ − I3 = 0 .


λλλ 1 ·x21 +λλλ 2 ·x2

2 +λλλ 3 ·x23 = 0


ζ ≡ 4 ·x21 +3 ·x2

2 +4 ·x23 +4 ·x1 ·x2 +2 ·x1 ·x3 +4 ·x2 ·x3 = 0



ζ ≡ X ·A ·X′ = 0 A =

0 0 0 0

0 4 2 1

0 2 3 2

0 1 2 4


I1 = a11 +a22 +a33 = 4+3+4 = 11


∣∣∣∣∣∣3 2

2 4

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣4 1

1 4

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣4 2

2 3

∣∣∣∣∣∣= 31

I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣4 2 1

2 3 2

1 2 4

∣∣∣∣∣∣∣∣= 21

I4 = |A|= 0

367


λλλ3−11 ·λλλ 2 +31 ·λλλ −21 = 0

cuyas raíces son:

λλλ 1 = 1 , λλλ 2 = 3 , λλλ 3 = 7

Se trata, por tanto, se trata de un cono imaginario de ecuación reducida:

x21 +3 ·x2

2 +7 ·x23 = 0


ζ ≡ 3 ·x21 +2 ·x1 ·x2 +2 ·x1 ·x3 +4 ·x2 ·x3 = 0



ζ ≡ XAX′ = 0 A =

0 0 0 0

0 3 1 1

0 1 0 2

0 1 2 0


I1 = a11 +a22 +a33 = 3+0+0 = 3


∣∣∣∣∣∣0 2

2 0

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣3 1

1 0

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣3 1

1 0

∣∣∣∣∣∣=−6

I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣3 1 1

1 0 2

1 2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣=−8

I4 = |A|= 0


λλλ3−3 ·λλλ 2−6 ·λλλ +8 = 0

cuyas raíces son:

λλλ 1 = 1 , λλλ 2 = 4 , λλλ 3 =−2

Se trata, por tanto, de un cono real de ecuación reducida:

x21 +4 ·x2

2−2 ·x23 = 0

368

(IV) CILINDROS NO PARABÓLICOS (|A|= 0)

A =

c00

λλλ 1

λλλ 2

0


1o.- sig c00 = sig λλλ 1 = sig λλλ 2 Cilindro imaginario

2o.- sig c00 6= sig λλλ 1 = sig λλλ 2 Cilindro elíptico

3o.- sig c00 = sig λλλ 1 6= sig λλλ 2 Cilindro hiperbólico


Tenemos:

I1 = a11 +a22 +a3 = λλλ 1 +λλλ 2


I3 = I4 = 0

I′1 = A11 +A22 +A33

siendo λλλ 1 , λλλ 2 las raíces de la ecuación característica:

λλλ 3− I1 ·λλλ 2 + I2 ·λλλ − I3 = 0 =⇒ λλλ 2− I1 ·λλλ + I2 = 0.

y además

c00 =I′1I2


c00 +λλλ 1 ·x21 +λλλ 2 ·x2

2 = 0


ζ ≡ 4+2 ·x1 +2 ·x3 +x21 +2 ·x1 ·x2 +2 ·x2

2−2 ·x2 ·x3 +x23 = 0



ζ ≡ XAX′ = 0 A =

4 1 0 1

1 1 1 0

0 1 2 −1

1 0 −1 1

369


I1 = a11 +a22 +a33 = 1+2+1 = 4


∣∣∣∣∣∣ 2 −1

−1 1

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣1 0

0 1

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣1 1

1 2

∣∣∣∣∣∣= 3

I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 0

1 2 −1

0 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

I4 = |A|= 0

I′1 = A11 +A22 +A33 =

∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 1

0 2 −1

1 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣4 1 1

1 1 0

1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣4 1 0

1 1 1

0 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣= 6

Además

c00 =I′1I2

=63

= 2


−λλλ3 +4 ·λλλ 2−3 ·λλλ = 0

cuyas raíces son:

λλλ 1 = 1 , λλλ 2 = 3 , λλλ 3 = 0

Se trata, por tanto, se trata de un cilindro imaginario de ecuación reducida:

2+x21 +3 ·x2

2 = 0


ζ ≡−4−2 ·x1−2 ·x3 +x21 +2 ·x1 ·x2 +2 ·x2

2−2 ·x2 ·x3 +x23 = 0



ζ ≡ XAX′ = 0 A =

−4 −1 0 −1

−1 1 1 0

0 1 2 −1

−1 0 −1 1

370


I1 = a11 +a22 +a33 = 1+2+1 = 4


∣∣∣∣∣∣ 2 −1

−1 1

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣1 0

0 1

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣1 1

1 2

∣∣∣∣∣∣= 3

I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 0

1 2 −1

0 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

I4 = |A|= 0

I′1 = A11 +A22 +A33 =

∣∣∣∣∣∣∣∣−4 0 1

0 2 −1

−1 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣

4 −1 −1

−1 1 0

−1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣−4 −1 0

−1 1 1

0 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣=−6

Además

c00 =I′1I2

=−63

=−2


−λλλ3 +4 ·λλλ 2−3 ·λλλ = 0

cuyas raíces son:

λλλ 1 = 1 , λλλ 2 = 3 , λλλ 3 = 0

Se trata, por tanto, se trata de un cilindro elíptico de ecuación reducida:

−2+x21 +3 ·x2

2 = 0


ζ ≡−2 ·x2 +4 ·x3 +x21 +2 ·x1 ·x2−2 ·x1 ·x3 +2 ·x2 ·x3 +3 ·x2

3 = 0



ζ ≡ XAX′ = 0 A =

0 0 −1 2

0 1 1 −1

−1 1 0 1

2 −1 1 −3

371


I1 = a11 +a22 +a33 = 1+0−3 =−2


∣∣∣∣∣∣0 1

1 −3

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣ 1 −1

−1 −3

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣1 1

1 0

∣∣∣∣∣∣=−6

I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 −1

1 0 1

−1 1 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

I4 = |A|= 0

I′1 = A11 +A22 +A33 =

∣∣∣∣∣∣∣∣0 −1 2

−1 0 1

2 1 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 2

0 1 −1

2 −1 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣

0 0 −1

0 1 1

−1 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣=−6

Además

c00 =I′1I2

=−6−6

= 1


λλλ3 +2 ·λλλ 2−6 ·λλλ = 0

cuyas raíces son:

λλλ 1 =−1+√

7 , λλλ 2 =−1−√

7 , λλλ 3 = 0

Se trata, por tanto, se trata de un cilindro hiperbólico de ecuación reducida:

−1+(−1+√

7) ·x21 +(−1−

√7) ·x2

2 = 0

372

(V) PAR DE PLANOS NO PARALELOS (|A|= 0)

A =

0

λλλ 1

λλλ 2

0


1o.- sig λλλ 1 = sig λλλ 2 Par de planos no paralelos imaginarios

2o.- sig λλλ 1 6= sig λλλ 2 Par de planos no paralelos reales


Tenemos:

I1 = a11 +a22 +a3 = λλλ 1 +λλλ 2


I3 = I4 = 0

I′1 = A11 +A22 +A33

siendo λλλ 1 , λλλ 2 las raíces de la ecuación característica:

λλλ 3− I1 ·λλλ 2 + I2 ·λλλ − I3 = 0 =⇒ λλλ 2− I1 ·λλλ + I2 = 0.

y además

c00 =I′1I2


λλλ 1 ·x21 +λλλ 2 ·x2

2 = 0

En la práctica el estudio de un plano es elemental, en cualquiera de sus expresiones.

Para hallar los planos, una vez hecha su clasificación, se suele utilizar la identidad

(a ·x1 +b ·x2 + c ·x3 +d) · (A ·x1 +B ·x2 +C ·x3 +D) = [Cuádrica]

y luego, identificando coeficientes se obtienen los planos.

373


ζ ≡ 1+2 ·x2 +2 ·x21−4 ·x1 ·x3 +x2

2 +2 ·x23 = 0



ζ ≡ XAX′ = 0 A =

1 0 1 0

0 2 0 −2

1 0 1 0

0 −2 0 2


I1 = a11 +a22 +a33 = 2+1+2 = 5


∣∣∣∣∣∣1 0

0 2

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣ 2 −2

−2 2

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣2 0

0 1

∣∣∣∣∣∣= 2+0+2 = 4 6= 0 (y > 0)

I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣2 0 −2

0 1 0

−2 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣= 4+0+0−4−0−0 = 0

I4 = |A|= 0

I′1 = A11 +A22 +A33 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 0

1 1 0

0 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 2 −2

0 −2 2

∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 1

0 2 0

1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

I′2 =

∣∣∣∣∣∣1 0

0 2

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣1 1

1 1

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣1 0

0 2

∣∣∣∣∣∣= 2+0+2 = 4

Luego se trata de planos imaginarios no paralelos.

Su ecuación característica es:

−λλλ3 + I1 ·λλλ 2− I2 ·λλλ + I3 = 0 =⇒ −λλλ

3 +5 ·λλλ 2−4 ·λλλ = 0

luego sus raíces son:

λλλ 1 = 4 , λλλ 2 = 1 , λλλ 3 = 0

Su ecuación reducida será:

4 ·x21 +x2

2 = 0


ζ ≡ 2 ·x1−3 ·x3 +2 ·x21 +2 ·x1 ·x2−x1 ·x3−3 ·x2 ·x3−3 ·x2

3 = 0



ζ ≡ XAX′ = 0 A =

0 1 0 − 32

1 2 1 − 12

0 1 0 − 32

− 32− 1

2− 3

2−3

374


I1 = a11 +a22 +a33 = 2+0−3 =−1


∣∣∣∣∣∣∣0 − 3

2− 3

2−3

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣

2 − 12

− 12

−3

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣2 1

1 0

∣∣∣∣∣∣=− 94− 25

4−1 =− 19

26= 0

I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 − 12

1 0 − 32

− 12− 3

2−3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0+

32

+32−0+3− 9

2= 0

I4 = |A|= 0

Además tenemos:

I′1 = A11 +A22 +A33 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 0 − 32

0 0 − 32

− 32− 3

2−3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 − 32

1 2 − 12

− 32− 1

2−3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣∣0 1 0

1 2 1

0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣=−124

+3 = 0

I′2 =

∣∣∣∣∣∣0 1

1 2

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣0 0

0 0

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣

0 − 32

− 32

−3

∣∣∣∣∣∣∣=−1+0+94

=54

Luego se trata de un par de planos reales no paralelos.

Planteando la identidad

(a ·x1 +b ·x2 + c ·x3 +d) · (A ·x1 +B ·x2 +C ·x3 +D) =

= 2 ·x1−3 ·x3 +2 ·x21 +2 ·x1 ·x2−x1 ·x3−3 ·x2 ·x3−3 ·x2

3

y operando en el primer miembro obtenemos:

a ·A ·x21 +(a ·B+b ·A) ·x1 ·x2 +(a ·C+ c ·A) ·x1 ·x3 +(a ·D+d ·A) ·x1 +b ·B ·x2

2 +(b ·C+ c ·B) ·x2 ·x3+

+(b ·D+d ·B) ·x2 + c ·C ·x23 +(c ·D+d ·C) ·x3 +d ·D

375

Al identificar con el segundo miembro resulta el sistema:

a ·A = 2

a ·B+b ·A = 2

a ·C+ c ·A =−1

a ·D+d ·A = 2

b ·B = 0

b ·C+ c ·B =−3

b ·D+d ·B = 0

c ·C =−3

c ·D+d ·C =−3

d ·D = 0

que resuelto, da como soluciones

a = 1 , b = 1 , c = 1 , d = 1

A = 2 , B = 0 , C =−3 , D = 0

que nos proporcionan los planos buscados

ΠΠΠ1 ≡ x1 +x2 +x3 +1 = 0

ΠΠΠ2 ≡ 2 ·x1 −3 ·x3 = 0

(par de planos reales no paralelos)

(VI) CILINDRO PARABÓLICO (|A|= 0)

A =

0 d02

λλλ 1

d02 0

0

Sólo existe un caso:

1o.- Cilindro parabólico


Tenemos: I1 = a11 +a22 +a33 = λλλ 1

I2 =ααα11 +ααα22 +ααα33 = 0

I3 = I4 = 0

siendo λλλ 1 la raíz de la ecuación característica:

λλλ 3− I1 ·λλλ 2 + I2 ·λλλ − I3 = 0 =⇒ λλλ − I1 = 0 .


2 ·d02 +λλλ 1 ·x21 = 0

376


ζ ≡ x3 +x21 +4 ·x1 ·x2 +2 ·x1 ·x3 +4 ·x2

2 +4 ·x2 ·x3 +x23 = 0



ζ ≡ XAX′ = 0 A =

0 0 0

12

0 1 2 1

0 2 4 212

1 2 1

y sus invariantes métricos son:

I1 = a11 +a22 +a33 = 1+4+1 = 6


∣∣∣∣∣∣4 2

2 1

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣1 1

1 1

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣1 2

2 4

∣∣∣∣∣∣= 0

I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 1

2 4 2

1 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

I4 = |A|= 0

I′1 = A11 +A22 +A33 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 0

12

0 4 212

2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 012

0 1 112

1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 0

0 1 2

0 2 4

∣∣∣∣∣∣∣∣=−546= 0

Luego se trata de un cilindro parabólico.

Su ecuación característica es:

−λλλ3 + I1 ·λλλ 2− I2 ·λλλ + I3 = 0 =⇒ −λλλ

3 +6 ·λλλ 2 = 0

luego sus raíces son:

λλλ 1 = 6 , λλλ 2 = λλλ 3 = 0

Su ecuación reducida será: (2 ·d02 ·w2 +λλλ 1 ·w21 = 0)

2 · 12 ·6

·√

30 ·w2 +6 ·w21 = 0 =⇒ 36 ·x2

1 +√

30 ·x2 = 0

377

(VII) PAR DE PLANOS PARALELOS (|A|= 0)

A =

c00

λλλ 1

0

0


1o.- sig c00 = sig λλλ 1 Par de planos paralelos imaginarios

2o.- sig c00 6= sig λλλ 1 Par de planos paralelos reales

3o.- c00 = 0 Par de planos confundidos


Tenemos:

I1 = a11 +a22 +a3 = λλλ 1

I2 = I3 = I4 = 0

I′2 =

∣∣∣∣∣∣a00 a01

a01 a11

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a00 a02

a02 a22

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a00 a03

a03 a33

∣∣∣∣∣∣= c00 ·λλλ 1

siendo λλλ 1 la raíz de la ecuación característica:

λλλ 3− I1 ·λλλ 2 + I2 ·λλλ + I3 = 0 =⇒ λλλ − I1 = 0 .

y además

c00 =I′2I1


c00 +λλλ 1 ·x21 = 0


ζ ≡−1−2 ·x21−2 ·x2

2−x23 +2 ·x2 ·x3 = 0



ζ ≡ XAX′ = 0 A =

−1 0 0 0

0 −2 0 0

0 0 −1 1

0 0 1 −1

378


I1 = a11 +a22 +a33 =−2−1−1 =−4


∣∣∣∣∣∣−1 1

1 −1

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣2 0

0 −1

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣−2 0

0 −1

∣∣∣∣∣∣= 0

I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣−2 0 0

0 −1 1

0 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

I4 = |A|= 0

I′2 =

∣∣∣∣∣∣−1 0

0 −2

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣−1 0

0 −1

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣−1 0

0 −1

∣∣∣∣∣∣= 4

Además

c00 =I′2I1

=4−4

=−1


−λλλ3−4 ·λλλ 2 = 0

cuyas raíces son:

λλλ 1 =−4 , λλλ 2 = 0 , λλλ 3 = 0

Luego, por tanto, se trata de planos paralelos imaginarios de ecuación reducida:

−1−4 ·x21 = 0


ζ ≡−3 ·x1 +3 ·x2−6 ·x3 +x21−2 ·x1 ·x2 +4 ·x1 ·x3 +x2

2−4 ·x2 ·x3 +4 ·x23 = 0



ζ ≡ XAX′ = 0 A =

0 − 32

32−3

− 32

1 −1 2

32

−1 1 −2

−3 2 −2 4

379


I1 = a11 +a22 +a33 = 1+1+4 = 6


∣∣∣∣∣∣ 1 −2

−2 4

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣1 2

2 4

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣ 1 −1

−1 1

∣∣∣∣∣∣= 0+0+0 = 0

I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 2

−1 1 −2

2 −2 4

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

I4 = |A|= 0

I′1 = A11 +A22 +A33 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 − 32−3

32

1 −2

−3 −2 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 − 32−3

− 32

1 2

−3 2 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 − 32

32

− 32

1 −1

32

−1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

I′2 =

∣∣∣∣∣∣∣0 − 3

2− 3

21

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣

032

32

1

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣ 0 −3

−3 4

∣∣∣∣∣∣=− 94− 9

4−9 =− 27

4< 0

Luego se trata de un par de planos paralelos reales.

Planteando la identidad

(a ·x1 +b ·x2 + c ·x3 +d) · (A ·x1 +B ·x2 +C ·x3 +D) =

=−3 ·x1 +3 ·x2−6 ·x3 +x21−2 ·x1 ·x2 +4 ·x1 ·x3 +x2

2−4 ·x2 ·x3−4 ·x23

y operando en el primer miembro obtenemos:

a ·A ·x21 +(a ·B+b ·A) ·x1 ·x2 +(a ·C+ c ·A) ·x1 ·x3 +(a ·D+d ·A) ·x1 +b ·B ·x2

2 +(b ·C+ c ·B) ·x2 ·x3+

+(b ·D+d ·B) ·x2 + c ·C ·x23 +(c ·D+d ·C) ·x3 +d ·D

Al identificar con el segundo miembro resulta el sistema:

a ·A = 1

a ·B+b ·A =−2

a ·C+ c ·A = 4

a ·D+d ·A =−3

b ·B = 1

b ·C+ c ·B =−4

b ·D+d ·B = 3

c ·C = 4

c ·D+d ·C =−6

d ·D = 0

que resuelto, da como soluciones

a =−1 , b = 1 , c =−2 , d = 0

A =−1 , B = 1 , C =−2 , D = 3

380

que nos proporcionan los planos buscados

ΠΠΠ1 ≡−x1 +x2 +2 ·x3 = 0

ΠΠΠ2 ≡−x1 +x2−2 ·x3 +3 = 0

(par de planos paralelos reales)


ζ ≡ x21 +25 ·x2

2 +4 ·x23−10 ·x1 ·x2 +4 ·x1 ·x3 +20 ·x2 ·x3 = 0


En este caso podríamos aplicar la metodología general de clasificación de cuádricas; sin embargo se ve inmediata-

mente que

x21 +25 ·x2

2 +4 ·x23−10 ·x1 ·x2 +4 ·x1 ·x3 +20 ·x2 ·x3 = (x1−5 ·x2 +2 ·x3)

2 = 0

Por tanto, se trata de un plano doble, de ecuación:

x1−5 ·x2 +2 ·x3 = 0

30.6 Secciones cíclicas y puntos umbilicales

Consideremos un plano cualquiera, que corta a la cuádrica según una cónica. Sin perdida de generalidad

para analizar las secciones de una cuádrica producidas por planos paralelos, podemos tomar como plano

secante el X1 ·X2, y la cuádrica la fff (x1, x2, x3) = 0.

Un plano cualquiera, paralelo al secante, tendrá por ecuación

x3 = k

y la ecuación

fff (x1, x2, k) = a11 ·x21 +2 ·a12 ·x1 ·x2 +a22 ·x2

2 +2 · (a13 ·k+a10) ·x1 +2 · (a23 ·k+a20) ·x2+

+a33 ·k2 +2 ·a30 ·k+a00 = 0

representará sobre el plano X1X2, la proyección de la cónica sección de la cuádrica con el plano, parale-

lamente al eje X3, cónica que es la sección trasladada en la dirección del eje X3.

Observamos que al variar k, y producirse secciones paralelas no varían los coeficientes de los términos

de segundo grado; en consecuencia podemos afirmar que todas las secciones son cónicas del mimo

género, y las asíntotas y diámetros conjugados de una cónica son paralelos a las de todas las demás.

A los planos secantes que cortan a la cuádrica según circunferencias les llamaremos planos cíclicos, y

a las correspondientes secciones se las llamará secciones cíclicas. Todos los planos, paralelos a estos,

cortaran a la cuádrica según circunferencias, y serán, por tanto, planos cíclicos.

Si llamamos

ϕ(x1, x2, x3) = a11 ·x31 +a22 ·x2

2 +a33 ·x23 +2 ·a12 ·x1 ·x2 +2 ·a13 ·x1 ·x3 +2 ·a23 ·x2 ·x3

381

la ecuación característica de la cuádrica es el discriminante de la forma cuadrática

ϕ(x1, x2, x3)−λλλ · (x21 +x2

2 +x23) = 0

y para que la ecuación sea cíclica, λλλ debe ser la raíz intermedia de la ecuación característica, es decir

λλλ 1 < λλλ 2 < λλλ 3

En consecuencia, los planos que pasan por el origen, y dan sección cíclica serán:

ϕ(x1, x2, x3)−λλλ 2 · (x21 +x2

2 +x23) = 0

o lo que es lo mismo

(a11−λλλ 2) ·x21 +(a22−λλλ 2) ·x2

2 +(a33−λλλ 2) ·x23 +2 ·a12 ·x1 ·x2 +2 ·a13 ·x1 ·x3 +2 ·a23 ·x2 ·x3 = 0

Si los planos representados por la ecuación anterior son:

A ·x1 +B ·x2 +C ·x3 = 0 , A′ ·x1 +B′ ·x2 +C′ ·x3 = 0

los dos sistemas de planos cíclicos serán:

A ·x1 +B ·x2 +C ·x3 =ααα , A′ ·x1 +B′ ·x2 +C′ ·x3 = βββ

Por otra parte, llamaremos puntos umbilicales a los de intersección de la cuádrica con los diámetros

conjugados con los planos cíclicos. Las coordenadas de estos puntos se obtendrán resolviendo los siste-

masfff (x1, x2, x3) = 0fff ′x1

A=

fff ′x2

B=

fff ′x3

C

;fff (x1, x2, x3) = 0fff ′x1

A′=

fff ′x2

B′=

fff ′x3

C′

Ejemplo 1. Determinar los puntos umbilicales de la cuádrica

3 ·x21 +3 ·x2

3 +2 ·x1 ·x3−4 ·x2 +2 = 0

Tenemos

A =

2 0 −2 0

0 3 0 1

−2 0 0 0

0 1 0 3

cuyos invariantes métricos resultan ser:

I1 = 6 , I2 = 8 , I3 = 0

siendo, por tanto, la ecuación característica

λλλ3−6 ·λλλ 2 +8 ·λλλ = 0

382

y sus raíces

λλλ 1 = 0 , λλλ 2 = 2 , λλλ 3 = 4 .

Los planos cíclicos serán:

3 ·x21 +3 ·x2

3 +2 ·x1 ·x3−2 · (x21 +x2

2 +x23) = 0 ,

es decir

x21 +x2

3−2 ·x22 +2 ·x1 ·x3 = 0


x23 +2 ·x1 ·x3 +(x2

1−2 ·x22) = 0 ,

de donde

x3 =−x1±x2 ·√

2

En consecuencia los sistemas de planos cíclicos son

1.- x1 +x2−√

2 ·x2 = λλλ

2.- x1 +x2 +√

2 ·x2 = µµµ

Veamos, en cada caso, cual es su diámetro conjugado:

1.-3 ·x2

1 +3 ·x23 +2 ·x1 ·x3−4 ·x2 +2 = 0

6 ·x1 +2 ·x31

=−4−√

2=

6 ·x3 +2 ·x11

=⇒ P1 ≡

( √2

4,

34

,

√2

4

)

2.-3 ·x2

1 +3 ·x23 +2 ·x1 ·x3−4 ·x2 +2 = 0

6 ·x1 +2 ·x31

=−4√

2=

6 ·x3 +2 ·x11

=⇒ P2 ≡

(−√

24

,34

,

√2

4

)

Así, hemos obtenido que los puntos umbilicales pedidos son:

P1 ≡

( √2

4,

34

,

√2

4

), P2 ≡

(−√

24

,34

,

√2

4

)

Ejemplo 2. Determinar las secciones cíclicas de la cuádrica

3 ·x21 +5 ·x2

2 +3 ·x23 +2 ·x1 ·x2 +2 ·x1 ·x3 +2 ·x2 ·x3 +7 ·x1−2 ·x2−1 = 0

Tenemos

A =

−172−1 0

72

3 1 1

−1 1 5 1

0 1 1 3

383


I1 = 3+5+3 = 11

I2 =

∣∣∣∣∣∣5 1

1 3

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣3 1

1 3

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣3 1

1 5

∣∣∣∣∣∣= 14+8+14 = 36

I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣3 1 1

1 5 1

1 1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣= 45+1+1−5−3−3 = 36

I4 = |A|=−221 6= 0

La ecuación característica será, por tanto

λλλ3−11 ·λλλ 2 +36 ·λλλ −36 = 0

cuyas raíces son:

λλλ 1 = 2 , λλλ 2 = 3 , λλλ 3 = 6 .

Los planos que pasan por el origen, y dan sección cíclica son

(a11−λλλ 2) ·x21 +(a22−λλλ 2) ·x2

2 +(a33−λλλ 2) ·x23 +2 ·a12 ·x1 ·x2 +2 ·a13 ·x1 ·x3 +2 ·a23 ·x2 ·x3 = 0

es decir

(3−3) ·x21 +(5−3) ·x2

2 +(3−3) ·x23 +2 ·x1 ·x2 +2 ·x1 ·x3 +2 ·x2 ·x3 = 0


x2 · (x2 +x1)+x3 · (x2 +x1) = 0

y también

(x2 +x1) · (x2 +x3) = 0 .

Los dos sistemas de planos cíclicos son, por tanto

x1 +x2 = λλλ , x2 +x3 = µµµ


x21 +10 ·x2

2 +9 ·x23 +6 ·x1 ·x2−6 ·x1 ·x3 +11 ·x1 +3 ·x2−x3−1 = 0

Tenemos

A =

−1112

32− 1

2112

1 3 0

32

3 10 −3

− 12

0 −3 9

384

Calculados sus invariantes métricos resultan ser

I1 = 20 , I2 = 91 , I3 = 0 , I4 = 0 .


λλλ3−20 ·λλλ 2 +91 ·λλλ = 0

cuyas raíces son

λλλ 1 = 0 , λλλ 2 = 7 , λλλ 3 = 13 .

Los dos planos que pasan por el origen y dan sección cíclica son

3 ·x22 +6 · (x1−x3) ·x2−6 ·x2 +2 ·x2

3 = 0

es decir

x2 =13· (3 ·x3−3 ·x1)±

13· (3 ·√

3 ·x1−√

3 ·x3)

En consecuencia, los planos cíclicos son

3 ·x2 +(3−3 ·√

3) ·x1− (3−√

3) ·x3 = λλλ

3 ·x2 +(3+3 ·√

3) ·x1− (3+√

3) ·x3 = µµµ


12 ·x21 +9 ·x2

2 +12 ·x23 +12 ·x1 ·x2 +6 ·x1 ·x3 +12 ·x2 ·x3−12 ·x1−18 ·x2−12 ·x3 = 0

Tenemos

A =

0 −6 −9 −6

−6 12 6 3

−9 6 9 6

−6 3 6 12

cuyos invariantes métricos resultan ser:

I1 = 12+9+12 = 33

I2 =

∣∣∣∣∣∣9 6

6 12

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣12 3

3 12

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣12 6

6 9

∣∣∣∣∣∣= 279

I3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣12 6 3

6 9 6

3 6 12

∣∣∣∣∣∣∣∣= 567

I4 = |A|=−5103


λλλ3−33 ·λλλ 2 +279 ·λλλ −567 = 0

385

cuyas raíces son:

λλλ 1 = 3 , λλλ 2 = 9 , λλλ 3 = 21 .

Llamando

ϕ(x1, x2, x3) = 12 ·x21 +9 ·x2

2 +12 ·x23 +12 ·x1 ·x2 +6 ·x1 ·x3 +12 ·x2 ·x3

los planos que pasan por el origen, y dan sección cíclica son

ϕ(x1, x2, x3)−9 · (x21 +x2

2 +x23) = 3 ·x2

1 +3 ·x23 +12 ·x1 ·x2 +6 ·x1 ·x3 +12 ·x2 ·x3

es decir

x21 +x2

3 +4 ·x1 ·x2 +2 ·x1 ·x3 +4 ·x2 ·x3 = 0

que podemos poner en la forma

x23 +2 · (x1 +2 ·x2) ·x3 +(x2

1 +4 ·x1 ·x2) = 0

y también

x3 =−x1−2 ·x2±√

4 ·x22 =−x1−2 ·x2±2 ·x2 =⇒

x3 = x1

x3 = x1−4 ·x2

Los dos sistemas de planos cíclicos serán, por tanto

x1−x3 = λλλ , x1−4 ·x2−x3 = µµµ

386

Lección 31.- POLARIDAD EN LAS CUÁDRICAS

31.1 Posición relativa de una recta / plano y una cuádrica

31.2 Polaridad en las cuádricas

31.1 Posición relativa de una recta / plano y una cuádrica

La ecuación de una cuádrica en coordenadas homogéneas es:

a00 ·X20 +2 ·a01 ·X0 ·X1 +2 ·a02 ·X0 ·X2 +2 ·a03 ·X0 ·X3 +a11 ·X2

1 +2 ·a12 ·X1 ·X2 +a13 ·X1 ·X3+

+a22 ·X22 +2 ·a23 ·X2 ·x3 +a33 ·X2

3 = 0

y en forma matricial

XAX′ = 0 ,

donde

X =[X0 X1 X2 X3

]es la matriz de coordenadas homogéneas, y

A =

a00 a01 a02 a03

a01 a11 a12 a13

a02 a12 a22 a23

a03 a13 a23 a33

es la matriz de la cuádrica, respecto al sistema de referencia elegido.

Si r es la recta determinada por los puntos P y Q, las coordenadas homogéneas de los puntos de inter-

sección de la recta r, y de la cuádrica, serán las soluciones del sistema.

XAX′ = 0

X = λλλP+µµµQ

sistema que es equivalente al


X = λλλP+µµµQ

Hallar las coordenadas homogéneas de los puntos comunes a la cuádrica y a la recta, significa resolver

la ecuación de segundo grado del sistema anterior, y sus soluciones llevarlas a la segunda ecuación de

dicho sistema.


387

1o.- Que la ecuación de segundo grado sea idénticamente nula, es decir, que

PAP′ = 0 , PAQ′ = 0 y QAQ′ = 0 .

Entonces, todo par de números reales es solución de dicha ecuación y, por tanto, todos los puntos

de la recta pertenecen a la cuádrica; es decir, la recta está contenida en la cuádrica.

2o.- Que (PAQ′)2− (PAP′) · (QAQ′)> 0. La ecuación de segundo grado tiene, entonces, dos raíces

reales distintas, lo que equivale a decir que la recta y la cuádrica tienen comunes dos puntos reales

distintos, resultando que la recta es secante a la cuádrica.

3o.- Que (PAQ′)2− (PAP′) · (QAQ′) = 0. La ecuación admite una raíz real doble y, por tanto, existe

un único punto (contado dos veces) común a la recta y a la cuádrica; es decir, la recta es tangente

a la cuádrica.

4o.- Que (PAQ′)2− (PAP′) · (QAQ′)< 0. Las raíces de la ecuación son imaginarias conjugadas. La

recta y la cuádrica tienen dos puntos imaginarios conjugados comunes; es decir, la recta es exterior

a la cuádrica

Ejemplo 1. La recta determinada por los puntos

P(1, 1, 0, 2) y Q(0, 1, 0, −1) ,

pertenece a la cuádrica.

−3 ·X0 ·X2−24 ·X0 ·X3 +16 ·X1 ·X2 +8 ·X1 ·X3−29 ·X2 ·X3 +8 ·X23 = 0

ya que

PAP′ =[1 1 0 2

]

0 0 − 32

−12

0 0 8 4

− 32

8 0 − 292

−12 4 − 292

8

1

1

0

2

=

=

[−24 8

452

8]

1

1

0

2

= 0

PAQ′ =[1 1 0 2

]

0 0 − 32

−12

0 0 8 4

− 32

8 0 − 292

−12 4 − 292

8

0

1

0

−1

= 0

388

QAQ′ =[1 1 0 −1

]

0 0 − 32

−12

0 0 8 4

− 32

8 0 − 292

−12 4 − 292

8

0

1

0

−1

= 0

Supongamos, ahora, que el punto P pertenece a la cuádrica ζ . Entonces, PAP′ = 0, y la ecuación


se reduce a la

2 · (PAQ′) ·λλλ ·µµµ +(QAQ′) ·µµµ2 = 0 ,

que tiene una raíz λλλ = 1 , µµµ = 0, la cual da el punto de intersección P, cosa que ya sabíamos. El otro

punto de intersección se obtendrá llevando a la segunda ecuación del sistema,

X = λλλP+µµµQ

la otra raíz de la ecuación

2 · (PAQ′) ·λλλ ·µµµ +(QAQ′) ·µµµ2 = 0 ,

es decirµµµ

λλλ=− 2 · (PAQ′)

QAQ′.

Si la recta, r, fuera tangente a la cuádrica, el segundo punto de intersección sería nuevamente P y,

entonces2 · (PAQ′)

QAQ′= 0 ,

de donde resultaría que

PAQ′ = 0 ,

que es la condición que deben cumplir las matrices del punto P de tangencia y un segundo punto, que

junto con el P determina la tangente. Ahora bien, este segundo punto puede ser cualquiera de r (distinto

del P); luego la ecuación de todas las rectas tangentes a la cónica, en el punto P, será:

PAX′ = 0 ,

la cual se puede escribir de las dos maneras siguientes:

fff X0 ·P0 + fff X1 ·P1 + fff X2 ·P2 + fff X3 ·P3 = 0 ,

o bien

fff P0 ·X0 + fff P1 ·X1 + fff P2 ·X2 + fff P3 ·X3 = 0 ,

389

donde: fff X0 , fff X1 , fff X2 , fff X3 son las formas lineales asociadas a la cuádrica, que se definen de manera

análoga a como se hizo en las cónicas.

La ecuación: PAX′ = 0, es la ecuación del plano tangente a la cuádrica en el punto P. Este plano sólo

estará indeterminado en el caso de que las cuatro formas lineales asociadas a la cuádrica, particularizadas

para el punto P, sean nulas. Más adelante, en el apartado siguiente, veremos que significado tiene este

hecho (puntos de polar indeterminada).

Ejemplo 2. Determinar el plano tangente a la cuádrica

X20 +2 ·X0 ·X1−6 ·X0 ·X3 +2 ·X1 ·X2−6 ·X1 ·X3 +X2

2−6 ·X2 ·X3 +9 ·X23 = 0

en el punto P(3, 6, 6, 5), de la cuádrica.

Tendremos

PAX′ =[3 6 6 5

]

1 1 0 −3

1 2 1 −3

0 1 1 −3

−3 −3 −3 9

X0

X1

X2

X3

=

=[−6 6 −3 0

]

X0

X1

X2

X3

=−6 ·X0 +6 ·X1−3 ·X2 = 0

es decir:

2 ·X0−2 ·X1 +X2 = 0

Ejemplo 3. Determinar la ecuación del plano tangente a la cuádrica

ζ ≡ 18 ·X0 ·X1 +12 ·X0 ·X2 +18 ·X0 ·X3−9 ·X21 +6 ·X1 ·X2 +2 ·X2 +6 ·X2 ·X3−9 ·X2

3 = 0

en el origen de coordenadas.

El punto de tangencia será el P(0, 0, 0, 1), luego tendremos:

PAX′ =[1 0 0 0

]

0 9 6 9

9 −9 3 0

6 3 2 3

9 0 3 −9

X0

X1

X2

X3

=

=[0 9 6 9

]

X0

X1

X2

X3

= 9 ·X1 +6 ·X2 +9 ·X3 = 0

390


3 ·X1 +2 ·X2 +3 ·X3 = 0

Estudiemos, ahora, la posición relativa de un plano y una cuádrica.

Para facilitar este estudio elegiremos un sistema de referencia en el que el plano en cuestión tenga por

ecuación: X3 = 0.

La intersección de este plano con la cuádrica: ζ ≡ XAX′, vendrá dada por el sistema

XAX′ = 0

X3 = 0

equivalente al

a00 ·X20 +2 ·a01 ·X0 ·X1 +2 ·a02 ·X0 ·X2 +a11 ·X2

1 +2 ·a12 ·X1 ·X2 +a22 ·X22 = 0

X3 = 0

Caben aquí, dos posibilidades:

1a.- Que todos los coeficientes, aij, de la primera ecuación sean nulos, en cuyo caso la intersección es

todo el plano, de ecuación X3 = 0; es decir, dicho plano pertenece a la cuádrica.

2a.- Que algún coeficiente de la citada ecuación sea distinto de cero, en cuyo caso la tal ecuación es la

de una cónica en el plano X3 = 0.

Resumiendo: Un plano pertenece a una cuádrica o la corta según una cónica.

Estudiemos, ahora, la intersección del plano tangente a una cuádrica en un punto de la misma.

Supongamos que el punto es un punto propio con lo cual el plano no podrá ser el plano del infinito y

tomemos un sistema de referencia que tenga por origen el punto en cuestión y el plano tangente como

plano X3 = 0. Según sabemos dicho plano tangente será:

PAX′ = 0 ,

es decir

a00 ·X0 +a01 ·X1 +a02 ·X2 +a03 ·X3 = 0 ,

pero este plano tiene que ser el : X3 = 0, luego

a00 = a01 = a02 = 0

391

y la intersección de la cuádrica y el plano tangente vendrá dada por

a11 ·X21 +2 ·a12 ·X1 ·X2 +a22 ·X2

2 = 0

X3 = 0

que es la ecuación de una cónica degenerada, en el plano X3 = 0, cónica que será:

Dos rectas imaginarias no paralelas,

dos rectas reales no paralelas, o

dos rectas reales confundidas,

según que, respectivamente, a11 ·a22−a212, sea mayor, menor o igual a cero. Según lo que ocurre en cada

uno de estos casos, y también respectivamente, al punto de tangencia, P, se le llama:

elíptico,

hiperbólico, o

parabólico.

Teniendo en cuenta que el determinante de la matriz de la cuádrica, respecto al sistema de referencia,

que hemos elegido, es

|A|=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 0 0 a03

0 a11 a12 0

0 a12 a22 0

a03 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=−a2

03 · (a11 ·a22−a212)

el elipsoide real, el hiperboloide elíptico y el paraboloide elíptico tienen todos sus puntos elípticos; el

elipsoide imaginario, el hiperboloide hiperbólico y el paraboloide hiperbólico los tienen hiperbóli-

cos, y las cuádricas degeneradas son de puntos parabólicos.

Veamos, ahora, como establecer la ecuación del cono circunscrito a una cuádrica con vértice en un

punto fijo.

Para que la recta r, determinada por los puntos P y Q sea tangente a la cuádrica ζ ≡ XAX′, la primera

ecuación del sistema


X = λλλP+µµµQ

tiene que tener una raíz doble, para lo que se precisa que

(PAQ′)2− (PAP′) · (QAQ′) = 0 .

Ahora bien, si X es un punto cualquiera que cumple la condición

(PAX′)2− (PAP′) · (XAX′) = 0 ,

392

este punto junto con el P, determina una recta tangente a la cuádrica. Así, la ecuación anterior es la del

conjunto de todos los puntos que están sobre tangentes a la cuádrica trazadas por P.

Se puede comprobar que dicha ecuación es la de una cuádrica degenerada, a la que se llama cono cir-

cunscrito a la cuádrica con vértice en el punto P.

Si el punto P es un punto impropio, se trata de un cilindro en lugar de un cono. Dichos, cono o cilindro,

pueden degenerar en un par de planos, distintos o confundidos.

Ejemplo 4. Determinar el cono circunscrito a la cuádrica

ζ ≡ 3 ·X20 +8 ·X0 ·X2 +3 ·X2

1 +4 ·X2 ·X3−X23 = 0

desde el punto P(1, 1, 0, −2).

El cono pedido tendrá por ecuación

(PAX′)2− (PAP′) · (XAX′) = 0

siendo

A =

3 0 4 0

0 3 0 0

4 0 0 2

0 0 2 −1

Así tendremos:

(PAX′) =[1 1 0 −2

]

3 0 4 0

0 3 0 0

4 0 0 2

0 0 2 −1

X0

X1

X2

X3

=[3 3 0 2

]

X0

X1

X2

X3

= 3 ·X0 +3 ·X1 +2 ·X3

(PAP′) =[3 3 0 2

]

1

1

0

−2

= 2

de donde el cono pedido tendrá por ecuación:

(3 ·X0 +3 ·X1 +2 ·X3)2−2 · (3 ·X2

0 +8 ·X0 ·X2 +3 ·X21 +4 ·X2 ·X3−X2

3) = 0

es decir

9 ·x20 +9 ·X2

1 +4 ·X23 +18 ·X0 ·x1 +12 ·X0 ·X3 +12 ·X1 ·X3−6 ·X2

0−16 ·X0 ·X2−6 ·X21−8 ·X2 ·X3 +2 ·X2

3 = 0

y simplificando resulta la ecuación pedida.

3 ·X20 +3 ·X2

1 +6 ·X23 +18 ·X0 ·X1−16 ·X0 ·X2 +12 ·X0 ·X3 +12 ·X1 ·X3−8 ·X2 ·X3 = 0

393

Ejemplo 5. Determinar el cono circunscrito a la cuádrica

ζ ≡ 18 ·X0 ·X1 +12 ·X0 ·X2 +18 ·X0 ·X3−9 ·X21 +6 ·X1 ·X2 +2 ·X2

2 +6 ·X2 ·X3−9 ·X23 = 0

con vértice en el punto P(1, 2, 0, 1).

El cono pedido tendrá por ecuación:

(PAX′)2− (PAP′) · (XAX′) = 0

siendo

A =

0 9 6 9

9 −9 3 0

6 3 2 3

−9 0 3 −9

luego tendremos

[1 2 0 1

]

0 9 6 9

9 −9 3 0

6 3 2 3

−9 0 3 −9

X0

X1

X2

X3

2

−

−

[1 2 0 1

]

0 9 6 9

9 −9 3 0

6 3 2 3

−9 0 3 −9

1

2

0

1

·

[x0 x1 x2 x3

]

0 9 6 9

9 −9 3 0

6 3 2 3

−9 0 3 −9

X0

X1

X2

X3

= 0


ζ ≡ X21−2 ·X2

2 +2 ·X23 +4 ·X2 ·X3−6 ·X1 ·X2 +2 ·X1 ·X2 +8 ·X0 ·X1−4 ·X0 ·X2 +4 ·X0 ·X3 +4 ·X2

0 = 0

determinar la curva de contacto del cilindro circunscrito de generatrices paralelas a la recta de vector de

dirección P(0, 2, 1, −1).

La curva de contacto es la intersección de la cuádrica dada con el plano polar del punto P(0, 2, 1, −1).

El plano polar vendrá dado por la ecuación: PAX′ = 0, siendo

A =

4 4 −2 2

4 1 1 −3

−2 1 −2 2

2 −3 2 2

luego

PAX′ =[0 2 1 −1

]

4 4 −2 2

4 1 1 −3

−2 1 −2 2

2 −3 2 2

X0

X1

X2

X3

=[4 6 −2 −6

]

X0

X1

X2

X3

= 0

394

Por tanto la ecuación del plano polar será:

4 ·X0 +6 ·X1−2 ·X2−6 ·X3 = 0

En consecuencia la curva de contacto pedida será la solución de: X21−2 ·X2

2 +2 ·X23 +4 ·X2 ·X3−6 ·X1 ·X3 +2 ·X1 ·X2 +8 ·X0 ·X1−4 ·X0 ·X2 +4 ·X0 ·X3 +4 ·X2

0 = 0

4 ·X0 +6 ·X1−2 ·X2−6 ·X3 = 0

31.2 Polaridad en las cuádricas

Por consideraciones análogas a las efectuadas en el caso de las cónicas, se comprobaría que el lugar

geométrico de los puntos, X, del espacio que separan armónicamente el punto P, de los de intersección

de la recta determinada por P y X, con la cuádrica ζ ≡ XAX′ = 0, tiene por ecuación

PAX′ = 0 .

Esta es la ecuación de un plano, o de todo el espacio, según que alguno de sus coeficientes sea distinto

de cero o no. En el primer caso diremos que es el plano polar del punto P respecto a la cuádrica ζ .

Los puntos de plano polar indeterminado tienen que cumplir que

fff P0 = fff P1 = fff P2 = fff P3 = 0 ,

luego, dichos puntos tendrán por coordenadas homogéneas la soluciones del sistema

XA = 0

Ahora bien, para que este sistema lineal homogéneo sea compatible, es necesario que: |A|= 0; es decir,

las únicas cuádricas que dan lugar a puntos de plano polar indeterminado son las degeneradas.

A los puntos de plano polar indeterminado respecto a una cuádrica, se les llama puntos singulares de la

cuádrica.

La demostración de que todo punto singular de una cuádrica pertenece a la misma y de que todo

recta determinada por un punto singular y otro punto cualquiera de la cuádrica está contenida en

la cuádrica, es análoga a la efectuada en el caso de las cónicas.

Si la cuádrica ζ ≡ XAX′ = 0, es no degenerada, la aplicación que a cada punto del espacio le hace

corresponder su plano polar respecto a ζ , es biyectiva, siempre y cuando convengamos que el plano

polar de un punto de la cuádrica es el plano tangente a la cuádrica en dicho punto.

Si

p≡ Uo ·X0 +U1 ·X1 +U2 ·X2 +U3 ·X3 = 0

395

es el plano polar del punto P(p0, p1, p2, p3), al que llamaremos polo de p, se verifica

λλλU = PA , ρρρP = U(adj A) ,

que son las ecuaciones en forma matricial, de la polaridad determinada por la cuádrica ζ .

Ejemplo 1. Las ecuaciones de la polaridad determinada por la cuádrica

2 ·X0 ·X1 +2 ·X0 ·X2−2 ·X1 ·X3 +X22−X2

3 = 0

que tiene por matriz

A =

0 1 1 0

1 0 0 −1

1 0 1 0

0 −1 0 −1

tiene por ecuaciones

λλλ ·U0 = p1 +p2

λλλ ·U1 = p0 −p3

λλλ ·U2 = p0 +p2

λλλ ·U3 = −p1 −p3

;

ρρρ ·p0 =−u0 +u1 +u2−u3

ρρρ ·p1 = u0 +u1−u2−u3

ρρρ ·p2 = u0−u1 +u2 +u3

ρρρ ·p3 =−u0−u1 +u2−u3

luego, el plano polar el punto P(3, 2, 0, −2) será:

P≡[3 2 0 −2

]

0 1 1 0

1 0 0 −1

1 0 1 0

0 −1 0 −1

=[2 5 3 0

]

es decir

p≡ 2 ·X0 +5 ·X1 +3 ·X2 = 0

y el polo del plano

X0 +2 ·X1−X2 +5 ·X3 = 0

ρρρP =[uo u1 u2 u3

]−1 1 1 −1

1 1 −1 −1

1 −1 1 1

−1 −1 1 −1

=⇒

ρρρ ·p0 =−u0 +u1 +u2−u3

ρρρ ·p1 = u0 +u1−u2−u3

ρρρ ·p2 = u0−u1 +u2 +u3

ρρρ ·p3 =−u0−u1 +u2−u3

y como

u0 = 1 , u1 = 2 , u2 =−1 , u3 = 5

tendremosρρρ ·p0 =−1+2−1−5 =−5

ρρρ ·p1 = 1+2+1−5 =−1

ρρρ ·p2 = 1−2−1+5 = 3

ρρρ ·p3 =−1−2−1−5 = 9

396

Luego el polo del plano dado será:

P(−5, −1, 3, −9)

Diremos que el punto Q es conjugado del P, respecto a la cuádrica ζ ≡ XAX′ = 0, cuando Q pertenece

al plano polar de P respecto a ζ ; es decir, cuando

PAQ′ = 0 ,

en cuyo caso, también se verifica

QAP′ = 0 ,

lo que nos muestra que el punto P pertenece al plano polar de Q, respecto a ζ , luego P es conjugado de

Q. Diremos, simplemente, que P y Q son conjugados.

Por tanto la condición para que dos puntos, P y Q, sean conjugados respecto a la cuádrica ζ es que

PAQ′ = QAP′ = 0 .

Resulta entonces que, el conjunto de los planos polares de los puntos de un plano, ΠΠΠ, que no sea

tangente a la cuádrica pasan todos por el polo de dicho plano y, recíprocamente, todo plano de la

radiación de vértice dicho polo, tiene su polo sobre el plano ΠΠΠ.

Por otra parte, sea: r≡ X = λλλP+µµµQ, la recta determinada por los puntos P y Q. El plano polar de un

punto cualquiera de r tiene por ecuación

(λλλP+µµµQ)AX′ = λλλPAX′+µµµQAX′ = 0

ecuación que representa el haz de planos determinado por los planos: PAX′ = 0 y QAX′ = 0 que son

los planos polares de los puntos P y Q. A la arista de este haz se le llama polar de la recta r respecto a

la cuádrica ζ .

Resumiendo: El conjunto de los planos polares respecto a una cuádrica ζ , de los puntos de una

recta r, es un haz de planos, a cuya arista, r′, se le llama polar de la recta r respecto a ζ .

Veamos, ahora, que la polar de r′, respeto a ζ , es la recta r: En efecto se verifica

P∗, Q∗ ∈ r′ =⇒

P∗, Q∗ ∈ p≡ PAX′ = 0

P∗, Q∗ ∈ p≡QAX′ = 0

luego sus planos polares, p∗ y q∗ , contendrán P y Q y , por tanto a la recta r.

En resumen: La relación de polaridad entre rectas, respecto a una cuádrica ζ , es simétrica.

397

Diremos que la recta s es conjugada de la r, respecto a ζ , cuando s corta a la polar, r′, de

r, respecto a ζ .

Esta relación es también simétrica: En efecto, si s es conjugada de r, el plano polar de P = r′∩ s, será

un plano, p, tal que: r ∈ p y s′ ∈ p, siendo s′ la polar de s; luego al pertenecer r y s′ a un mismo plano,

se cortarán en un punto (propio o impropio), y, por tanto, r es conjugada de s.

En el caso de que r sea conjugada de sí misma, es decir, si corta a su polar, se dirá de ella que es au-

toconjugada. Si r es autoconjugada respecto a la cuádrica ζ , el punto P = r∩ r′, es tal que su polar p

contiene a r′ como polar de r (a la que pertenece P) y a r como polar de r′ (a la que pertenece P); luego

P pertenece a su plano polar, p, y es, por tanto, autoconjugado (pertenece a ζ ), y p es el plano tangente

a ζ en P. Las rectas r y r′ son tangente a ζ en P.

Recíprocamente, si r es tangente a ζ en P entonces r es autoconjugada. En efecto, r ∈ p, siendo p el

plano polar (tangente) de P respecto a ζ ; los planos polares de todos los puntos de p contienen a P, luego

P ∈ r′ y r corta a r′, luego es autoconjugada. Resumiendo: La condición necesaria y suficiente para

que una recta sea autoconjugada, respecto a una cuádrica ζ , es que r sea tangente a ζ .

Cuando una recta coincide con su polar se llama autopolar.

Si una recta es autopolar, respecto a una cuádrica ζ , todos sus puntos son autoconjugados y, por tanto

toda la recta pertenece a la cuádrica.

Diremos que el plano q es conjugado del plano p, respecto a una cuádrica ζ , cuando q contiene al polo

P de p, respecto a ζ . Así, si el plano

q≡ v0 ·X0 +v1 ·X1 +v2 ·X2 +v3 ·X3 = 0

es conjugado del

p≡ u0 ·X0 +u1 ·X1 +u2 ·X2 +u3 ·X3 = 0 ,

respecto a la cuádrica ζ ≡ XAX′ = 0 se tiene que verificar

V(adj A)U′ = 0 ,

pero entonces

U(adj A)V′ = 0

con lo que p es conjugado de q. Se dirá, simplemente, que p y q son conjugados.

Diremos que un plano p, es autoconjugado respecto a la cuádrica ζ , cuando contiene a su polo P en

cuyo caso P pertenece a la cuádrica y p es tangente a ella.

Si p es autoconjugado:

U(adj A)U′ = 0 ,

398

que es la llama ecuación tangencial de la cuádrica.

Ejemplo 2. Sea la cuádrica, del ejemplo 1,

2 ·X0 ·X1 +2 ·X0 ·X2−2 ·X1 ·X3 +X22−X2

3 = 0

La polar de la recta determinada por los puntos

P(1, 2, 0, 1) y Q(1, 0, 0, 1)

es la recta

r≡

PAX′ ≡[1 2 0 1

]

0 1 1 0

1 0 0 −1

1 0 1 0

0 −1 0 −1

X0

X1

X2

X3

= 2 ·X0 +X2−3 ·X3 = 0

QAX′ ≡[1 0 0 1

]

0 1 1 0

1 0 0 −1

1 0 1 0

0 −1 0 −1

X0

X1

X2

X3

= X2−X3 = 0

y su ecuación tangencial es:

U(adj A)U′ =[u0 u1 u2 u3

]−1 1 1 −1

1 1 −1 −1

1 −1 1 1

−1 −1 1 −1

u0

u1

u2

u3

=

=−u20 +2 ·u0 ·u1 +2 ·u0 ·u2−2 ·u0 ·u3 +u2

1 +u22−u2

3−2 ·u1 ·u2−2 ·u1 ·u3 +2 ·u2 ·u3 = 0

Dada una cuádrica ζ y una recta r, que no sea tangente a ζ , la correspondencia que a cada punto P, de r, le asocia

su conjugado P = p∩ r, es una involución. En efecto, si r está determinada por los puntos P y Q

r≡ X = λλλ 0P+λλλ 1Q ,

entonces, si P = λλλ 0P+λλλ 1Q y P = λλλ 0P+λλλ 1Q , son conjugados

PAP′ = (PAP′) ·λλλ 0 ·λλλ 0 +(PAQ′) · (λλλ 0 ·λλλ 1 +λλλ 1 ·λλλ 0)+(QAQ′) ·λλλ 1 ·λλλ 1 = 0


Los puntos dobles de esta involución son puntos autoconjugados, luego serán los puntos de intersección de r y ζ .

En forma análoga se vería que la correspondencia que a cada plano, p≡ UX′ = 0, del haz de planos

Z = µµµ0U+µµµ1V ,

le asocia su conjugado, p = UX′ = 0 en el mismo haz (se supone la arista r del haz no tangente a la cuádrica) es una

involución, cuya ecuación es

(U(adj A)U′) ·µµµ0 ·µµµ0 +(U(adj)V′) · (µµµ0 ·µµµ1 +µµµ1 ·µµµ0)+(V(adj A)V′) ·µµµ1 ·µµµ1 = 0

Los planos dobles de esta involución son los planos tangentes a la cuádrica, trazados por arista r del haz.

399

Lección 32.- ELEMENTOS DE LA CUÁDRICAS

32.1 Centros, planos diametrales, diámetros, planos principales y ejes

32.2 Ejemplos

32.1 Centros, planos diametrales, diámetros, planos principales y ejes

Se llaman centros de una cuádrica, ζ ≡ XAX′ = 0, a los polos del plano del infinito cuando no son

autoconjugados.

El plano polar p del punto P respecto a ζ es PAX′ = 0, es decir

p≡ fff P0 ·X0 + fff P1 ·X1 + fff P2 ·X2 + fff P3 ·X3 = 0 .

Si P fuera polo del plano del infinito, X0 = 0, entonces

fff P1 = fff P2 = fff P3 = 0

luego el sistema de ecuacionesa01 ·X0 +a11 ·X1 +a12 ·X2 +a13 ·X3 = 0

a02 ·X0 +a12 ·X1 +a22 ·X2 +a23 ·X3 = 0

a03 ·X0 +a13 ·X1 +a23 ·X2 +a33 ·X3 = 0

tiene por soluciones las coordenadas homogéneas de los polos del plano del infinito. Pueden ocurrir

los siguientes casos:

1o.- Que el rango de la matriz de los coeficientes del sistema sea 3.

En este caso el sistema es compatible y determinado Su única solución, a menos de un coeficiente

de proporcionalidad, esX0A00

=X1A01

=X2A02

=X3A03

nos da el polo del plano del infinito, que será centro, o no, según que A00 6= 0 o A00 = 0.

Están en este caso:

a.- Las cuádrica no degeneradas, pues al ser |A| 6= 0, no puede ser

rg

a01 a11 a12 a13

a02 a12 a22 a23

a03 a13 a23 a33

< 3

En los elipsoides e hiperboloides: A00 6= 0. Luego estas cuádrica tienen centro único.

En los paraboloides: A00 = 0. Luego los paraboloides no tienen centro.

401

b.- Los conos, en los que por ser A00 6= 0, hay un sólo centro, el cual es el único punto singular:

el vértice del cono.

2o.- Si el rango de la matriz del sistema es 2, el sistema es equivalente al formado por dos de sus tres

ecuaciones. Luego habrá una recta de polos del plano del infinito, que será de centros o no, según

que dicha recta sea propia o impropia.

En el caso de ser propia dicha recta

r≡

a01 ·X0 +a11 ·X1 +a12 ·X2 +a13 ·X3 = 0

a02 ·X0 +a12 ·X1 +a22 ·X2 +a23 ·X3 = 0

tomándola como eje

X1 = 0

X2 = 0, de un nuevo sistema de referencia, tendríamos

a01 = a02 = a03 = a13 = a23 = a33 = 0 , y a11 ·a22−a212 = 0 ,

y la cuádrica tendrá por ecuación

ζ ≡ X

a00 0 0 0

0 a11 a12 0

0 a12 a22 0

0 0 0 0

X′ = 0

que será un cilindro no parabólico, o un par de planos no paralelos, según que: a00 6= 0, a00 = 0.

Luego dichas cuádricas tienen una recta de centros.

En el supuesto de que r pertenezca al plano del infinito tomándola como recta

X0 = 0

X1 = 0, de un

nuevo sistema de referencia, tendremos

a12 = a22 = a23 = a13 = a33 = 0 , y a02 6= 0 , a11 6= 0 ,

y la cuádrica tendría por ecuación

ζ ≡ X

a00 a01 a02 a03

a01 a11 0 0

a02 0 0 0

a03 0 0 0

X′ = 0

que será un cilindro parabólico.

Los cilindros parabólicos no tienen centro.

402

3o.- Si el rango de la matriz el sistema es 1, el sistema es equivalente al formado por una sola de sus

ecuaciones. Existe, por tanto, un plano de polos del plano del infinito, el

a01 ·X0 +a11 ·X1 +a12 ·X2 +a22 ·X3 = 0

que será de centros , o no, según que sea propio o impropio.

En el caso de que sea propio, tomándolo como plano X1 = 0 , de un nuevo sistema de referencia,

tendríamos

a01 = a02 = a03 = a12 = a22 = a23 = a13 = a33 = 0 , y a11 6= 0 ,

luego, la cuádrica tendrá por ecuación:

ζ ≡ X

a00 0 0 0

0 a11 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

X′ = 0

que representa un par de planos paralelos o confundidos. Luego dichas cuádricas poseen un plano

de centros.

En el segundo caso tendríamos

a11 = a12 = a22 = a23 = a13 = a33 = 0 ,

y la cuádrica tendría por ecuación

ζ ≡ X

a00 a01 a02 a03

a01 0 0 0

a02 0 0 0

a03 0 0 0

X′ = 0 ,

estando compuesta por el plano del infinito y otro plano.

4o.- Si el rango de la matriz es cero, cualquier punto del espacio es solución del sistema, pero en este

caso

a01 = a02 = a03 = a11 = a12 = a13 = a22 = a23 = a33 = 0 ,

luego

ζ ≡ X20 = 0

y, por tanto la única cuádrica que tiene por centro cualquier punto del espacio es la formada por el

plano del infinito cortado dos veces.

403

Ejemplo 1. Determinar el centro de la cuádrica

ζ ≡ 4 ·X0 ·X1−2 ·X0 ·X3−8 ·X1 ·X2−2 ·X22 +6 ·X2 ·X3 +10 ·X2

3 = 0

Tenemos

A =

0 2 0 −1

2 0 −4 0

0 −4 −2 3

−1 0 3 10

; |A|=−112 6= 0 ; A00 =−160

El sistema

a01 ·X0 +a11 ·X1 +a12 ·X2 +a13 ·X3 = 0

a02 ·X0 +a12 ·X1 +a22 ·X2 +a23 ·X3 = 0

a03 ·X0 +a13 ·X1 +a23 ·X2 +a33 ·X3 = 0

=⇒2 ·X0 −4 ·X2 = 0

−4 ·X1−2 ·X2 +3 ·X3 = 0

−X0 +3 ·X2 +10 ·X3 = 0

es de rango 3. Luego el centro nos vendrá dado por :

X0A00

=X1A01

=X2A02

=X3A03

siendo:

A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣0 −4 0

−4 −2 3

0 3 10

∣∣∣∣∣∣∣∣=−160 ; A01 =−

∣∣∣∣∣∣∣∣2 −4 0

0 −2 3

−1 3 10

∣∣∣∣∣∣∣∣= 46

A02 =

∣∣∣∣∣∣∣∣2 0 0

0 −4 3

−1 0 10

∣∣∣∣∣∣∣∣=−80 ; A03 =−

∣∣∣∣∣∣∣∣2 0 −4

0 −4 −2

−1 0 3

∣∣∣∣∣∣∣∣= 8

es decir:X0−160

=X146

=X2−80

=X38

El centro será por tanto el punto (dado en coordenadas homogéneas):

(−160, 46, −80, 8) =⇒ (80, −23, 40, −4)

Se llama planos diametrales, de una cuádrica ζ , a los planos polares del plano del infinito cuando no

son autoconjugados, en cuyo caso se les llama planos asintóticos.

Si P(0, p1, p2, p3) es un punto del infinito, su plano polar respecto a ζ ≡ XAX′ = 0 es

p≡ fff X1 ·P1 + fff X2 ·P2 + fff X3 ·P3 = 0 .

o bien

p≡ fff P0 ·X0 + fff P1 ·X1 + fff P2 ·X2 + fff P3 ·X3 = 0 .

y p será un plano diametral o un plano asintótico, según que P /∈ p o P ∈ p.

404

La primera de las ecuaciones anteriores nos dice que, los planos diametrales y los asintóticos pasan por

los polos del plano del infinito (cosa que ya sabíamos) y, por tanto por los centros de la cuádrica, cuando

éstos existen. En consecuencia:

• Los planos diametrales y asintóticos de una cuádrica con centro constituyen una radiación de

planos de vértice el centro de la cuádrica.

• Los planos diametrales de un paraboloide constituye una radiación impropia de planos, cuyo vér-

tice es el punto impropio del paraboloide.

• Los planos diametrales y asintóticos de un cilindro no parabólico, o de un par de planos no para-

lelos, constituyen un haz de planos cuya arista es la recta de centros.

• En los cilindros parabólicos los planos diametrales constituyen un haz impropio de planos.

• En la cuádrica formada por un par de planos paralelos distintos o confundidos no hay más que un

plano diametral.

Al polo de un plano diametral p, se le llama, también, dirección conjugada de dicho plano, y a las rectas

que pasan por él rectas conjugadas de p.

Observemos que, todo plano diametral es plano de simetría de las cuerdas que tienen su dirección

conjugada. Es consecuencia de la definición de plano polar, y de que el conjugado armónico de un punto

del infinito, respecto a otros dos, es el punto medio del segmento por ellos determinado.

Se llaman diámetros, de una cuádrica ζ , a las polares de las rectas del infinito, cuando no son autocon-

jugadas; si lo fueran se les llamaría asíntotas, si son propias.

La recta impropia, r, determinada por los puntos P(0, P1, P2, P3) y Q(0, Q1, Q2, Q3), tiene por recta

polar la

r′ ≡

fff P0 ·X0 + fff P1 ·X1 + fff P2 ·X2 + fff P3 ·X3 = 0

fff Q0 ·X0 + fff Q1 ·X1 + fff Q2 ·X2 + fff Q3 ·X3 = 0 ,

y si dicha recta es propia, será diámetro o asíntota según que r∩ r′ =∅∅∅ o r∩ r′ 6=∅∅∅.

Así, r′ es intersección de dos planos polares de dos puntos del infinito, luego todos los diámetros y

asíntotas de una cuádrica pasan por los polos del plano del infinito y, por tanto, por los centros de la

cuádrica, si existen. En consecuencia:

• Los diámetros y asíntotas de una cuádrica con centro forman una radiación de rectas de vértice el

centro.

• Los diámetros de los paraboloides forman una radiación impropia de rectas de vértice el punto

impropio de la cuádrica; son, por tanto paralelos.

405

• Los cilindros no parabólicos y pares de planos no paralelos no tienen más que un diámetro: la recta

de centros.

• En los cilindros parabólicos no hay diámetro.

• Toda recta del plano de centros de la cuádrica constituida por un par de planos paralelos es un

diámetro.

A la recta polar impropia de un diámetro se la llama orientación conjugada de dicho diámetro, y planos

conjugados a los que tienen esta orientación.

Todo diámetro de una cuádrica es eje de simetría respecto de las cuerdas paralelas a sus planos

conjugados y contiene, por tanto, a los centros de las cónicas intersección de la cuádrica con los

planos conjugados del mismo. Es consecuencia de la definición de polar de una recta y de que el conju-

gado armónico de un punto del infinito, respecto a otros dos, es el punto medio del segmento determinado

por ambos.

Se llama cono asintótico de una cuadrática con centro a la superficie que se obtiene al proyectar desde

el centro de la cónica del infinito de dicha cuádrica, es decir su intersección con el plano del infinito. El

cono asintótico está, por tanto, constituido por las asíntotas de la cuádrica.

Sea C(A00, A01, A02, A03) el centro de la cuádrica

ζ ≡ XAX′ = 0

El cono circunscrito a la cuádrica con vértice C es

(CAX′)2− (CAC′) · (XAX′) = 0 ;

ahora bien,CAX′= fff C0 ·X0 + fff C1 ·X1 + fff C2 ·X2 + fff C3 ·X3 = fff C0 ·X0 =

= (a00 ·A00 +a01 ·A01 +a02 ·A02 +a03 ·A03) ·X0 = |A| ·X0

puesto que por ser C el centro de ζ ,

fff C1 = fff C2 = fff C3 = 0 .

Razonando en la misma forma tendríamos

CAC′ = |A| ·A00 ;

luego la ecuación del cono asintótico será:

XAX′− |A|A00

·X20 = 0 .

406


ζ ≡ 16 ·X20−8 ·X0 ·X1−8 ·X0 ·X2 +2 ·X2

1 +2 ·X1 ·X2 +2 ·X1 ·X3 +2 ·X22 +2 ·X2 ·X3 +2 ·X2

3 = 0 ,

el plano diametral correspondiente al punto P(0, 0, 0, 1) es el

−4 ·X0 +X1 +X2 +2 ·X3 = 0 .

El diámetro correspondiente a la recta PQ siendo el Q(0, 1, 0, 0) es

r′ ≡

−4 ·X0 +X1 +X2 +2 ·X3 = 0

−4 ·X0 +2 ·X1 +X2 +X3 = 0 .

El cono asintótico es el

XAX′− 166·X2

0 = 0 ,

es decir80 ·X2

0−48 ·X0 ·X1−48 ·X0 ·X2−48 ·X0 ·X3 +12 ·X21+

+12 ·X1 ·X2 +12 ·X1 ·X3 +12 ·X22 +12 ·X2 ·X3 +12 ·X2

3 = 0

Se llaman planos principales de una cuádrica a los planos diametrales que son perpendiculares a sus

rectas conjugadas.

Se llama eje de una cuádrica a todo diámetro de la misma perpendicular a sus planos conjugados.

La intersección e de dos planos principales p y q es un eje de la cuádrica: En efecto, la recta polar

(impropia) de e contiene a los polos P y Q (impropios) de p y q. Dado que p es perpendicular a todas las

rectas que pasan por P, y q a todas las rectas que pasan por Q, y que todo plano conjugado de e contiene

a una recta que pasa por P, y otra que pasa por Q, por estar contenida, e, en p y q, es perpendicular a

ambas rectas, luego e es un eje.

Recíprocamente, si e es un eje, es perpendicular a todos sus planos conjugados, los cuales tienen por recta

del infinito a la polar e′ de e. En la involución de planos conjugados del haz de arista e, habrá al menos

dos conjugados perpendiculares, p y q; p es perpendicular a q, y a todos sus planos paralelos, pero la

recta del infinito de todos esos planos corta a e′ en P (polo de p). Toda recta que pasa por P (conjugada de

p) se puede considerar como intersección de un plano paralelo a q, y de un plano conjugado de e; luego

es perpendicular a p, y éste es un plano principal. En forma análoga razonaríamos que q es principal.

Sea P(0, p1, p2, p3) un punto impropio tal que su plano polar p (diametral) respecto a la cuádrica

ζ ≡ XAX′ = 0, sea principal. Entonces

p≡ fff P0 ·X0 + fff P1 ·X1 + fff P2 ·X2 + fff P3 ·X3 = 0

tiene que ser perpendicular a todas las rectas que pasan por P. Pero estas rectas tienen como uno de sus

vectores de dirección el V = (p1, p2, p3), luego

fff P1

P1=

fff P2

P2=

fff P3

P3

407

y llamando λλλ al valor común de estas razones

a11 ·P1 +a12 ·P2 +a13 ·P3 = λλλ ·P1

a12 ·P1 +a22 ·P2 +a23 ·P3 = λλλ ·P2

a13 ·P1 +a23 ·P2 +a33 ·P3 = λλλ ·P3

en consecuencia, el sistema(a11−λλλ ) ·X1+ a12 ·X2+ a13 ·X3 = 0

a12 ·X1+ (a22−λλλ ) ·X2+ a23 ·X3 = 0

a13 ·X1+ a23 ·X2+ (a33−λλλ ) ·X3 = 0

nos da los puntos del infinito que tienen planos polares que son planos principales. Para que el sistema

anterior tenga solución es necesario que|A0−λλλ I|= 0

que según sabemos es la ecuación característica de la cuádrica, que tiene sus tres raíces reales.

Si λλλ 1 es una de las raíces de la ecuación anterior, y (P1, P2, P3) es una de las soluciones del sistema que

se obtiene poniendo λλλ 1 en lugar de λλλ , la ecuación del plano principal correspondiente será

(a01 ·P1 +a02 ·P2 +a03 ·P3) ·X0 +λλλ 1 ·P1 ·X1 +λλλ 1 ·P2 ·X2 +λλλ 1 ·P3 ·X3 = 0

De acuerdo con la proposición 2 establecida en el apartado 24.4 de la lección 24 que dice: A dos

valores distintos, λλλ 1 6= λλλ 2, de una matriz simétrica real, A, corresponden vectores propios orto-

gonales, los planos principales correspondientes a dos raíces distintas, de la ecuación característica, son

perpendiculares.

Se demuestra que la suma de multiplicidad de una raíz de la ecuación característica y el rango

del sistema anterior correspondiente a dicha raíz es 3.

Los planos principales son planos de simetría ortogonal de la cuádrica, y los diámetros ejes de simetría

ortogonal.

En las cuádricas con centro, las tres raíces de la ecuación característica son distintas de cero, y pueden

ocurrir los siguientes casos:

a.- Que las tres sean distintas, en cuyo caso a cada una le corresponde un plano principal distinto,

los cuales forman un triedro trirrectángulo.

b.- Que una raíz sea doble, en cuyo caso el sistema correspondiente es de rango 1, y las soluciones

del mismo forman un espacio vectorial de dimensión 2, y existe, por tanto, un haz de planos prin-

cipales. A la otra raíz corresponde un plano principal que es perpendicular a todos los anteriores

y, por tanto, a su arista. Esta arista y las intersecciones de cada uno de los planos del haz con el

último plano, son los ejes de la cuádrica.

La intersección de la cuádrica con cualquier plano perpendicular al primer eje es una circunferen-

cia; se dice que la cuádrica es de revolución.

408

c.- Que la raíz sea triple, en cuyo caso el sistema es de rango cero; luego todo plano diametral es

plano principal y todo diámetro eje; la cuádrica es una superficie esférica.

En los paraboloides, la raíz λλλ = 0 corresponde al plano del infinito, que no es diametral, y, por tanto, no

puede ser principal. Las otras dos raíces son distintas de cero, pudiendo ocurrir:

a.- Que sean raíces distintas, en cuyo caso el paraboloide no tiene más que dos planos principales

perpendiculares y un sólo eje, su intersección.

b.- Que sean iguales, en cuyo caso el paraboloide tiene un haz de planos principales y un sólo eje, la

arista de dicho haz. El paraboloide es de revolución

En los cilindros no parabólicos y planos no paralelos habrá dos planos principales, o un haz de planos

principales (y en ambos casos un sólo eje) según que las dos raíces no nulas sean distintas o iguales.

En los cilindros parabólicos y pares de planos paralelos habrá un sólo plano principal, correspondiente a

la única raíz no nula.

Ejemplo 3. Sea la cuádrica

ζ ≡ 10 ·X20−2 ·X0 ·X2 +4 ·X0 ·X3 +X2

1−2 ·X2 ·X3 = 0

Tenemos

A0 =

1 0 0

0 0 −1

0 −1 0

luego

|A0−λλλ I|=−λλλ3 +λλλ

2 +λλλ −1 = 0 =⇒

λλλ 1 = 1 doble

λλλ 2 =−1

Para λλλ = 1 se tiene −P2−P3 = 0

−P2−P3 = 0=⇒ P2 =−P3 =⇒ (P1, −P3, P3)

P3 · (3 ·X0−X2 +X3)+P1 ·X1 = 0

luego todos los planos del haz determinado por los planos

3 ·X0−X2 +X3 = 0 y X1 = 0

son principales.

Para λλλ =−1 se tiene 2 ·P1 = 0

P2−P3 = 0

−P2 +P3 = 0

=⇒ (0, P2, P2) ,

luego

X0−X2−X3 = 0

es el otro plano principal. La cuádrica es de revolución.

409

32.2 Ejemplos

En forma análoga a como procedimos en la Lección 30, en la que establecimos unos cuadros resumen,

recordatorios de lo establecido antes, en el desarrollo teórico, para facilitar la resolución de los problemas

que pudieran presentarnos, vamos a hacer aquí, a continuación, para la determinación de centros, planos

diametrales y asintóticos, diámetros, conos asintóticos, planos principales y ejes, elementos que nos han

interesado en el estudio que venimos realizando sobre las cuádricas.

CENTROSCentros de una cuádrica, ζ ≡ XAX′ = 0, son los polos del plano del infinito, cuando no son autocon-

jugados.

Son las soluciones del sistema.

fff ′X1≡ a01 ·X0 +a11 ·X1 +a12 ·X2 +a13 ·X3 = 0

fff ′X2≡ a02 ·X0 +a12 ·X1 +a22 ·X2 +a23 ·X3 = 0

fff ′X3≡ a03 ·X0 +a13 ·X1 +a23 ·X2 +a33 ·X3 = 0

Casos posibles, en función del rango de la matriz de los coeficientes:

I.- RANGO=3 La solución es única, y la soluciónserá centro si : A00 6= 0

no será centro si : A00 = 0

a.- Para las cuádricas no degeneradas: |A| 6= 0 :Elipsoides e hiperboloides (A00 6= 0) , existe centro (único).

Paraboloides (A00 = 0) , no existe centro.

b.- Los conos (A00 6= 0) , tienen centro único (su vértice).

II.- RANGO=2 La solución es una recta de centros, si la recta es propiaCilindro no parabólico

Par de planos no paralelos

Los cilindros parabólicos no tienen centro.

III.- RANGO=1 La solución es un plano de centros, si el plano es propioPlanos paralelos

Planos confundidos

IV.- RANGO=0 Todo punto del espacio es solución

Plano del infinito doble

410


ζ ≡ X21 +X2

2−5 ·X23 +12 ·X2 ·X3−2 ·X2 +X3 = 0

determinar su centro.

Su centro serán las soluciones del sistema:

fff ′X1≡ X1 = 0

fff ′X2≡ X2 +6 ·X3− 1 = 0

fff ′X3≡ +6 ·X2 −5 ·X3 +

12

= 0

=⇒

X1 = 0

x2 =482

X3 =1382

es decir

C≡(

0,482

,1382

)Ejemplo 2. Dada la cuádrica

ζ ≡−4−2 ·X1−2 ·X23 +X2

1 +2 ·X1 ·X2 +2 ·X22−2 ·X2 ·X3 +X2

3 = 0

determinar su centro.

Su centro serán las soluciones del sistema:

fff ′X1≡ −1+X1 + X2 = 0

fff ′X2≡ X1 +2 ·X2 −X3 = 0

fff ′X3≡ −1 − X2 +X3 = 0

En este caso el rango de la matriz de los coeficientes es 2, (se trata de un cilindro elíptico), luego lo que tenemos es

una recta de centros

C≡−1+X1 + X2 = 0

X1 +2 ·x2−X3 = 0

411

PLANOS DIAMETRALES / ASINTÓTICOSPlanos diametrales de una cuádrica ζ ≡ XAX′ = 0, son los planos polares del plano del infinito,

cuando no son autoconjugados, en cuyo caso se les llama planos asintóticos.

Si P(0, P1, P2, P3) es un punto del infinito, su plano polar, respecto a ζ ≡ XAX′ = 0, es

p≡ fff X1 ·P1 + fff X2 ·P2 + fff X3 ·P3 = 0

p será plano diametral (si P 6∈ p), y plano asintótico (si P ∈ p).

Propiedades : Los planos diametrales / asintóticos pasan por los polos del plano del infinito (luego por

los centros de la cuádrica, cuando existen).

En las cuádricas con centro constituyen una radiación de planos, de vértice el centro de

la cuádrica.

Los planos diametrales de un paraboloide constituyen una radiación impropia de planos,

de vértice el punto impropio del paraboloide.

Los planos diametrales / asintóticos de un cilindro no parabólico, o de un par de planos

no paralelos, constituyen un haz de planos, cuya arista es la recta de centros.

En los cilindros parabólicos los planos diametrales constituyen un haz impropio de pla-

nos.

En el par de planos paralelos, distintos o confundidos, no hay más que un plano diametral.

Al polo de un plano diametral, p, se llama también dirección conjugada de dicho plano, y a las rectas

que pasan por él rectas conjugadas de p.

412


ζ ≡ X21 +X2

2−5 ·X23 +12 ·X2 ·X3−2 ·X2 +X3 = 0

determinar el plano diametral correspondiente al punto P(0, 2, 0, 1).

El plano diametral pedido será el plano polar del punto, P, dado; es decir

p≡ fff X1 ·P1 + fff X2 ·P2 + fff X3 ·P3 = 0

luego como P1 = 1 , P2 = 0 , P3 = 1 , y

fff X1 ≡ X1

fff X3 ≡ 6 ·X2−5 ·X3 +12

tendremos

X1 ·2+(

6 ·X2−5 ·X3 +12

)·1 = 0

es decir

p≡ 2 ·X1 +6 ·X2−5 ·X3 +12

= 0

Como P 6∈ p pues:

2 ·2+0−5+12

=− 126= 0

se trata efectivamente de un plano diametral. (no asintótico)


ζ ≡ 5 ·X21−4 ·X2

2 +12 ·X1 ·X3 +4 ·X1 ·X2−10 ·X1−28 ·X2−14 = 0

determinar el plano diametral correspondiente al punto P(0, −2, −1, 2).

Tenemos que

fff X1 ≡ 5 ·X1 +2 ·X2 +6 ·X3− 5

fff X2 ≡ 2 ·X1−4 ·X2 −14

fff X3 ≡ 6 ·X1

y como P1 =−2 , P2 =−1 , P3 = 2 , tendremos

(5 ·X1 +2 ·X2 +6 ·X3−5) · (−2)+(2 ·X1−4 ·X2−14) · (−1)+(6 ·X1) ·2 = 0

es decir

p≡ −12 ·X3 +24 = 0

Como P ∈ p , pues

−12 ·2+24 = 0

resulta que p es un plano asintótico.

413

Ejemplo 5. Determinar el centro, el plano diametral conjugado con la recta

r≡ X11

=− X23

=X35

,

y el diámetro conjugado con el plano

ΠΠΠ≡ 2 ·X1−5 ·X2 +3 ·X3−7 = 0 ,

de la cuádrica

2 ·X21−4 ·X2

2−X23−2 ·X2 ·X3 +8 ·X1 ·X2−2 ·X1 +4 ·X3−10 = 0 .

1o.- Determinemos, en primer lugar las coordenadas del centro:

Tenemos

A =

−10 −1 0 2

−1 2 4 0

0 4 −4 −1

2 0 −1 −1

luego: |A|= 207 , A00 = 22

El sistema

fff ′X1≡ a01 ·X0 +a11 ·X1 +a12 ·X2 +a13 ·X3 = 0

fff ′X2≡ a02 ·X0 +a12 ·X1 +a22 ·X2 +a23 ·X3 = 0

fff ′X3≡ a03 ·X0 +a13 ·X1 +a23 ·X2 +a33 ·X3 = 0

=⇒2 ·X1 +4 ·X2 −1 = 0

4 ·X1−4 ·X2−X3 = 0

− X2−X3 +2 = 0

es de rango 3, luego el centro nos vendrá dado por:

X0A00

=X1A01

=X2A02

=X3A03

siendo

A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣2 4 0

4 −4 −1

0 −1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 22 , A01 =

∣∣∣∣∣∣∣∣−1 4 0

0 −4 −1

2 −1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 11

A02 =

∣∣∣∣∣∣∣∣−1 2 0

0 4 −1

2 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 , A03 =

∣∣∣∣∣∣∣∣−1 2 4

0 4 −4

2 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 44

es decirX022

=X111

=X20

=X344

El el centro será, por tanto, el punto (dado en coordenadas homogéneas):

(22, 11, 0, 44) V(

1,12, 0, 2

),

y en cartesianas

C(

12, 0, 2

)2o.- Determinamos, ahora, el plano diametral conjugado con la recta: r≡ X1

1=− X2

3=

X35

p≡ P1 · fff ′X1+P2 · fff X2 +P3 · fff X3 = 0

414

es decir

1 · (2 ·X1 +4 ·X2−1)−3 · (4 ·X1−4 ·X2−X3)+5 · (−X2−X3 +2) = 0

y haciendo operaciones resulta

10 ·X1−11 ·X2 +2 ·X3−9 = 0

3o.- Veamos, ahora, cual será el diámetro conjugado con el plano: ΠΠΠ≡ 2 ·X1−5 ·X2 +3 ·X3−7 = 0

Observemos que el vector característico de ΠΠΠ es el (2, −5, −3), luego su diámetro conjugado será:

fff ′X1

2=

fff ′X2

−5=

fff ′X3

−3=⇒ 2 ·X1 +4 ·X2−1

2=

4 ·X1−4 ·X2−X3−5

=−X2−X3 +2

3

luego las ecuaciones serán:

2 ·X1 +4 ·X2−12

=4 ·X1−4 ·X2−X3

−52 ·X1 +4 ·X2−1

2=−X2−X3 +2

3

=⇒18 ·X1 +12 ·X2−2 ·X3−5 = 0

6 ·X1 +14 ·X2 +2 ·X3−7 = 0

CONO ASINTÓTICOCono asintótico de una cuádrica con centro, es la superficie que se obtiene al proyectar desde el

centro de la cónica del infinito de dicha cuádrica, es decir su intersección con el plano del infinito.

Si C(A00, A01, A02, A03) es el centro de la cuádrica ζ ≡ XAX′ = 0 , el cono circunscrito a ζ , con

vértice en C, es

CAX′ = fff C0 ·X0 + fff C1 ·X1 + fff C2 ·X2 + fff C3 ·X3 =

= (a00 ·A00 +a01 ·A01 +a02 ·A02 +a03 ·A03) ·X0 = |A| ·X0

puesto que por ser C el centro de ζ ,

fff C1 = fff C2 = fff C3 = 0

Por razones análogas

CAC′ = |A| ·A00 ,

luego la ecuación del cono asintótico será

XAX′− |A|A00

·X20 = 0

Observemos que la ecuación del cono asintótico es la de la cuádrica, en la que hemos sustituido el

término (independiente) a00 por el: (a00−

|A|A00

)

415


ζ ≡ X21 +X2

2−5 ·X23 +12 ·X2 ·X3−2 ·X2 +X3 = 0

determinar su cono asintótico.

Se trata de la cuádrica (con centro):

ζ ≡ XAX′ = 0

A =

0 0 −1

12

0 1 0 0

−1 0 1 612

0 6 −5

en la que:

|A|= −54

, A00 =−41

El cono asintótico es el:

XAX′−

−54−41

·X20 = 0 =⇒ XAX′− −5

164·X2

0 = 0

es decir

X21 +X2

2−5 ·X23 +12 ·X2 ·X3−2 ·X2 +X3−

5164

·X20 = 0

416

PLANOS PRINCIPALES / EJES (1)

Planos principales de una cuádrica, ζ ≡ XAX′ = 0 son los planos diametrales perpendiculares a

sus rectas conjugadas.

Eje de una cuádrica ζ ≡ XAX′ = 0, es todo diámetro de la misma perpendicular a sus planos conjuga-

dos.

La intersección, e, de dos planos principales, p y q, es un eje de la cuádrica.

Sea P(0, P1, P2, P3) un punto impropio tal que su polar p (plano diametral), respecto a la cuádrica

ζ ≡ XAX′ = 0, sea principal. Entonces

p≡ fff P0 ·X0 + fff P1 ·X1 + fff P2 ·X2 + fff P3 ·X3 = 0

tiene que ser perpendicular a todas las rectas que pasan por P. Dado que estas rectas tienen como uno de

sus vectores de dirección al v≡ (P1, P2, P3), tendremos

fff P1

P1=

fff P2

P2=

fff P3

P3

y llamando λλλ al valor común de estas razones

a11 ·P1 +a12 ·P2 +a13 ·P3 = λλλ ·P1

a12 ·P1 +a22 ·P2 +a23 ·P3 = λλλ ·P2

a13 ·P1 +a23 ·P2 +a33 ·P3 = λλλ ·P3

Luego el sistema el sistema(a11−λλλ ) ·X1+ a12 ·X2+ a13 ·X3 = 0

a12 ·X1+ (a22−λλλ ) ·X2+ a23 ·X3 = 0

a13 ·X1+ a23 ·X2+ (a33−λλλ ) ·X3 = 0

nos da los puntos del infinito que tienen planos polares que son principales, es decir, las direcciones

principales.

El sistema anterior tiene solución si: |A0−λλλ I|= 0, ecuación característica de la cuádrica, que tiene sus

tres raíces reales.

Si λλλ 1 es una de esas raíces la ecuación del plano principal correspondiente será:

(a01 ·P1 +a02 ·P2 +a03 ·P3) ·X0 +λλλ 1 ·P1 ·X1 +λλλ 1 ·P2 ·X2 +λλλ 1 ·P2 ·X3 = 0

Los planos principales correspondientes a dos raíces distintas son perpendiculares.

417

PLANOS PRINCIPALES / EJES (2)Propiedades : En las cuádricas con centro las tres raíces son distintas de cero. Pueden ocurrir

los siguientes casos:

a.- Que las tres sean distintas. A cada una le corresponde un plano principal distinto, los

cuales forman un triedro trirrectángulo.

b.- Que una raíz sea doble. La cuádrica es de revolución.

c.- Que la raíz sea triple. La cuádrica es una superficie esférica.

En los paraboloides, la raíz λλλ = 0 corresponde al plano del infinito que no es diametral,

y por tanto no puede ser principal. Las otras dos raíces son distintas de cero, y pueden

darse los siguientes casos:

a.- Que sean distintas, en cuyo caso el paraboloide no tiene más que dos planos

principales perpendiculares y un sólo eje, su intersección.

b.- Que sean iguales. El paraboloide tiene un haz de planos principales y un sólo eje, la

arista de dicho haz. El paraboloide es de revolución.

En los cilindros no parabólicos y planos no paralelos habrá dos planos principales o un

haz de planos principales (y en ambos casos un sólo eje) según que las dos raíces no nulas

sean distintas o iguales.

En los cilindros parabólicos y pares de planos paralelos habrá un sólo plano principal,

correspondiente a la única raíz no nula.

418


ζ ≡ 2 ·X21−7 ·X2

2 +2 ·X23−10 ·X1 ·X2−8 ·X1 ·X3−10 ·X2 ·X3 +6 ·X1 +12 ·X2−6 ·X3 +5 = 0

determinar sus planos principales.

Tenemos

A =

5 3 6 −3

3 2 −5 −4

6 −5 −7 −5

−3 −4 −5 2

Sus invariantes serán; para determinar su ecuación característica:

I1 = a11 +a22 +a33 = 2−7+2 =−3


∣∣∣∣∣∣−7 −5

−5 2

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣−2 −4

−4 2

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣−2 −5

−5 −7

∣∣∣∣∣∣=−90

I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣2 −5 −4

−5 −7 −5

−4 −5 2

∣∣∣∣∣∣∣∣=−216

que será

λλλ3 +3 ·λλλ 2−90 ·λλλ +216 = 0

cuyas raíces son:

λλλ 1 = 3 , λλλ 2 = 6 , λλλ 3 = 12

Para λλλ 1 = 3 tenemos el sistema

− X1− 5 ·X2−4 ·X3 = 0

−5 ·X1−10 ·X2−5 ·X3 = 0

−4 ·X1− 5 ·X2−3 ·X3 = 0

=⇒

X1 = P1 = 1

X2 = P2 =−1

X3 = P3 = 1

de donde resulta el plano principal

(3 ·1+6 · (−1)−3 ·1) ·X0 +3 ·1 ·X1 +3 · (−1) ·X2 +3 ·1 ·X3 = 0

es decir

−6 ·X0 +3 ·X1−3 ·X2 +3 ·X3 = 0


X1−X2 +X3−2 = 0


−4 ·X1− 5 ·X2−4 ·X3 = 0

−5 ·X1−13 ·X2−5 ·X3 = 0

−4 ·X1− 5 ·X2−4 ·X3 = 0

=⇒

X1 = P1 = 1

X2 = P2 = 0

X3 = P3 =−1

419

de donde el plano principal que obtendremos será:

(3 ·1+6 ·2−3 ·1) ·X0−12 ·1 ·X1−12 ·2 ·X2−12 ·1 ·X3 = 0

es decir

6 ·X0 +6 ·X1−6 ·X3 = 0


X1−X3 +1 = 0

Para λλλ =−12 tenemos el sistema

+14 ·X1−5 ·X2−4 ·X3 = 0

−5 ·X1 +5 ·X2−5 ·X3 = 0

−4 ·X1−5 ·x2 +14 ·X3 = 0

=⇒

X1 = P1 = 1

X2 = P2 = 2

X3 = P3 = 1

de donde el plano principal que obtenemos será

(3 ·1+6 ·2−3 ·1) ·X2−12 ·1 ·X1−12 ·2 ·X2−12 ·1 ·X3 = 0

es decir

12 ·X0−12 ·X1−24 ·X2−12 ·X3 = 0


X1 +2 ·X2 +X3−1 = 0

Observemos que los tres planos principales obtenidos:

X1− X2 +X3− 2 = 0

X1 −X3 + 1 = 0

X1 +2 ·X2 +X3−1 = 0

que han correspondido a las tres raíces (3 , 6 y −12) son perpendiculares.

Ejemplo 8. Determinar el centro y los ejes de la cuádrica

X21 +X2

2−5 ·X23 +12 ·X2 ·X3−2 ·X2 +X3 = 0

Las soluciones del sistemafff ′X1

= 0

fff ′X2= 0

fff ′X3= 0

nos dan las coordenadas del centro; así

2 ·X1 = 0

2 ·X2 +12 ·X3−2 = 0

−10 ·X3 +12 ·X2 +1 = 0

=⇒

X1 = 0

X2 +6 ·X3− 1 = 0

6 ·X2−5 ·X3 +12

= 0

420

sistema que tiene por soluciones:

X1 = 0 , X2 =2

41, X3 =

1382

Luego el centro será:

C(

0,2

41,

1382

)La matriz de la cuádrica es:

A =

0 0 −1

12

0 1 0 0

−1 0 1 612

0 6 −5

y sus invariantes

I1 = 1+1−5 =−3

I2 =

∣∣∣∣∣∣1 6

6 −5

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣1 0

0 −5

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣1 0

0 1

∣∣∣∣∣∣=−41−5+1 =−45

I3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 1 6

0 6 −5

∣∣∣∣∣∣∣∣=−5−36 =−41


λλλ3 +3 ·λλλ 2−45 ·λλλ +41 = 0

cuyas raíces son

λλλ 1 = 1 , λλλ 2 =−2+3 ·√

5 , λλλ 2 =−2−3 ·√

5

Las direcciones principales serán las soluciones del sistema:(a11−λλλ ) ·X1+ a12 ·X2+ a13 ·X3 = 0

a12 ·X1+ (a22−λλλ ) ·X2+ a23 ·X3 = 0

a13 ·X1+ a23 ·X2+ (a33−λλλ ) ·X3 = 0

es decir

(1−λλλ ) ·X1 = 0

(1−λλλ ) ·X2 + 6 ·X3 = 0

6 ·X2 +(−5−λλλ ) ·X3 = 0

Para los distintos valores de λλλ tendremos, como soluciones

λλλ 1 = 1 =⇒ X1 = 1 , X2 = 0 , X3 = 0 ,

λλλ 2 =−2+3 ·√

5 =⇒ X1 = 0 , X2 =1+√

52

, X3 = 1

λλλ 3 =−2−3 ·√

5 =⇒ X1 = 0 , X2 =1−√

52

, X3 = 1

421

Los ejes serán

X1−01

=X2−

241

0=

X3−1382

0

X1−00

=X2−

241

1+√

52

=X3−

1382

1

X1−00

=X2−

241

1−√

52

=X3−

1382

1

o que es lo mismo

e1 ≡

X2 =

241

X3 =1382

e2 ≡

X1 = 0

X2 =1+√

52

·X3−5+13 ·

√5

164

e3 ≡

X1 = 0

X2 =1−√

52

·X3−5−13 ·

√5

164


2 ·X20−2 ·X0 ·X1−4 ·X0 ·X2−4 ·X0 ·X3 +X2

1 +2 ·X22 +2 ·X2

3 = 0

determinar sus ejes y sus planos principales.

Tenemos

A =

2 −1 −2 −2

−1 1 0 0

−2 0 2 0

−2 0 0 2

Sus invariantes serán

I1 = a11 +a22 +a33 = 1+2+2 = 5


∣∣∣∣∣∣2 0

0 2

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣1 0

0 2

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣1 0

0 2

∣∣∣∣∣∣= 8

I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 2 0

0 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣= 4

y su ecuación característica:

λλλ3−5 ·λλλ 2 +8 ·λλλ −4 = 0

422

cuyas raíces son

λλλ 1 = 1 , λλλ 2 = 2 , λλλ 3 = 2

(Por ser λλλ 2 = λλλ 3 se tata de una cuádrica de revolución). Para λλλ 1 = 1 tenemos el sistema:

(1−1) ·X1 +0 ·X2 +0 ·X3 = 0

0 ·X1 +1 ·X2 +0 ·X3 = 0

0 ·X1 +0 ·X2−1 ·X3 = 0

=⇒

X1 = P1 = 1

X2 = P2 = 0

X3 = P3 = 0

de donde resulta el plano principal:

(−1 ·1+(−2) ·0+(−2) ·0) ·X0 +1 ·1 ·X1 +1 ·0 ·X2 +1 ·0 ·X3 = 0

es decir

−X0 +X1 = 0


X1−1 = 0


(1−2) ·X1 +0 ·X2 +0 ·X3 = 0

0 ·X1 +0 ·X2 +0 ·X3 = 0

0 ·X1 +0 ·X2 +0 ·X3 = 0

=⇒

X1 = P1 = 0

X2 = P2 = 1

X3 = P3 = 0


(−1 ·0+(−2) ·1+(−2) ·0) ·X0 +2 ·0 ·X1 +2 ·1 ·X2 +2 ·0 ·X3 = 0

es decir

−2 ·X0 +2 ·X2 = 0


X2−1 = 0

Dado que λλλ 3 = λλλ 2 = 2, procediendo como en el caso anterior obtendremos como plano principal:

X3−1 = 0

Sus ejes serán:

X2−1 = 0

X3−1 = 0

yX1−1 = 0

λλλ · (X2−1)+µµµ · (X3−1) = 0

Observemos que el eje:

X2−1 = 0

X3−1 = 0

es el eje de revolución de la cuádrica.

423

Ejemplo 10. Determinar los planos principales, ejes y vértices de la cuádrica

ζ ≡ X1 ·X2 +X1 ·X3 +X2 ·X3−12 = 0

Tenemos

A =

−12 0 0 0

0 012

12

012

012

012

12

0

Sus invariantes serán:

I1 = a11 +a22 +a33 = 0


∣∣∣∣∣∣∣0

12

12

0

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣

012

12

0

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣

012

12

0

∣∣∣∣∣∣∣=−34

I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

012

12

12

012

12

12

0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

14

y su ecuación característica

λλλ3−0 ·λλλ 2− 3

4·λλλ − 1

4= 0

cuyas raíces son:

λλλ 1 = 1 , λλλ 2 =−12

, λλλ 3 =−12

(Por ser λλλ 2 = λλλ 3 se trata de una cuádrica de revolución)


(0−1) ·X1 +12·X2 +

12·X3 = 0

12·X1 +(0−1) ·X2 +

12·X3 = 0

12·X1 +

12·X2 +(0−1) ·X3 = 0

=⇒

X1 = P1 = 1

X2 = P2 = 1

X3 = P3 = 1

de donde resulta el plano principal:

(0 ·1+0 ·1+0 ·1) ·X0 +1 ·1 ·X1 +1 ·1 ·X2 +1 ·1 ·X3 = 0

es decir

X1 +X2 +X3 = 0

Para λλλ 1 =−12

tenemos el sistema(0+

12

)·X1 +

12·X2 +

12·X3 = 0

12·X1 +(0+

12) ·X2 +

12·X3 = 0

12·X1 +

12·X2 +(0+

12) ·X3 = 0

=⇒

X1 = P1 = 1

X2 = P2 =−1

X3 = P3 = 0

424


(0 ·1+0 · (−1)+0 ·0) ·X0 +

(− 1

2

)·1 ·X1 +

(− 1

2

)· (−1) ·X2 +

(− 1

2

)·0 ·X3 = 0

es decir

X2−X1 = 0

Dado que λλλ 2 = λλλ 3 =−12

, procediendo como en el caso anterior obtendremos como plano principal

X3−X1 = 0

Sus ejes serán:

X2−X1 = 0

X3−X1 = 0

yX1 +X2 +X3 = 0

λλλ · (X2−X1)+µµµ · (X3−X1) = 0

Observemos que el eje

X2−x1 = 0

X3−X1 = 0

es el eje de revolución de la cuádrica. Este eje corta a la cuádrica dada en los dos vértices:

X1 ·X2 +x1 ·X3 +X2 ·X3−12 = 0

X2−X1 = 0

X3−X1 = 0

=⇒ X22 = X2

2 +X23 = 4

es decir, en los puntos

V1(2, 2, 2) y V2(−2, −2, −2)

Ejemplo 11. Determinar los planos principales, ejes y vértices de la cuádrica

X1 ·X2 +X1 ·X3 +X2 ·X3 = 12

Tenemos

A =

−12 0 0 0

0 012

12

012

012

012

12

0

425

y sus invariantes métricos

I1 = 0+0+0 = 0

I2 =

∣∣∣∣∣∣∣0

12

12

0

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣

012

12

0

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣

012

12

0

∣∣∣∣∣∣∣=−34

I3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

012

12

12

012

12

12

0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

14

I4 = |A|=−3


λλλ3− 3

4·λλλ − 1

4= 0

cuyas raíces son

λλλ 1 =−12

, λλλ 2 =−12

, λλλ 3 = 1

Para la determinación del plano principal correspondiente a λλλ 3 = 1, resolvemos el sistema

(a11−λλλ 3) · `+a12 ·m+a13 ·n = 0

a21 · `+(a22−λλλ 3) ·m+a23 ·n = 0

a31 · `+a22 ·m+(a33−λλλ 3) ·n = 0

V

−`+ 12·m+

12·n = 0

12· `−m+

12·n = 0

12· `+ 1

2·m−n = 0

cuya solución es:

` = m = n =1√3

lo que nos da, como plano principal:

λλλ 3 · (` ·X1 +m ·X2 +n ·X3)+a01 · `+a02 ·m+a03 ·n = 0

es decir

1 ·(

1√3·X1 +

1√3·X2 +

1√3·X3

)+0 = 0

y en definitiva

X1 +X2 +X3 = 0

Procediendo de la misma manera, para la raíz doble λλλ 1 = λλλ 2 =−12

, obtenemos

−` = m+n ,

resultando como plano principal

m · (X2−X1)+n · (X3−X1) = 0

plano que pasa por la recta X2−X1 = 0

X3−X1 = 0

426

que es el eje de resolución de la cuádrica. Este eje corta a la cuádrica en los dos vértices

X1 ·X2 +x1 ·X3 +X2 ·X3 = 12

X2−X1 = 0

X3−X1 = 0

=⇒V1(2, 2, 2)

V2(−2, −2, −2)


ζ ≡ 6 ·X21 +7 ·X2

2−14 ·X23−12 ·X1 ·X2 +24 ·X1 ·X3 +8 ·X2 ·X3 +24 ·X1−24 ·X2−26 ·X3−17 = 0

determinar su ecuación reducida y las direcciones principales.

La matriz de la cuádrica es

A =

−17 12 −12 −13

12 6 −6 12

−12 −6 7 4

−13 12 4 −14

y sus invariantes son

I1 = 6+7−14 =−1

I2 =

∣∣∣∣∣∣7 4

4 −14

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣ 6 12

12 −14

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣ 6 −6

−6 7

∣∣∣∣∣∣=−114−228+6 =−336

I3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣6 −6 12

−6 7 4

12 4 −14

∣∣∣∣∣∣∣∣=−588−288−288−1008+504−96 =−1764

I4 = |A|= 74088


λλλ3 +λλλ

2−336 ·λλλ +1764 = 0

cuyas raíces son

λλλ 1 = 6 , λλλ 2 = 14 , λλλ 3 =−21

La ecuación reducida será

λλλ 1 ·X21 +λλλ 2 ·X2

2 +λλλ 3 ·X23 +|A|I3

= 0

es decir

6 ·X21 +14 ·X2

2−21 ·X23−42 = 0

que podríamos escribir

X21

7+

X22

3−

X23

2= 1

427

Las direcciones principales serán las soluciones del sistema

(a11−λλλ ) ·X1 +a12 ·X2 +a13 ·X3 = 0

a12 ·X1 +(a22−λλλ ) ·X2 +a23 ·X3 = 0

a13 ·X1 +a23 ·X2 +(a33−λλλ ) ·X3 = 0

es decir

(6−λλλ ) ·X1− 6 ·X2 + 12 ·X3 = 0

−6 ·X1 +(7−λλλ ) ·X2 + 4 ·X3 = 0

12 ·X1 + 4 ·X2 +(−14−λλλ ) ·X3 = 0

Para los distintos valores de λλλ tendremos como soluciones:

λλλ 1 = 6 =⇒ X1 = 1 , X2 = 2 , X3 = 1

λλλ 2 = 14 =⇒ X1 = 3 , X2 =−2 , X3 = 1

λλλ 3 =−21 =⇒ X1 =−12

, X2 =−14

, X3 = 1

Los ejes serán, por tanto,

e1 ≡

X1 = X3

X2 = 2 ·X3

e2 ≡

X1 = 3 ·X3

X2 =−2 ·X3

e3 ≡

X1 =−

12·X3

X2 =−14·X3

Ejemplo 13. Determinar el eje del paraboloide

2 ·X23 +X1 ·X2−2 ·X1 ·X3−X2 ·X3 +2 ·X1−X2 +1 = 0

Los planos asintóticos serán:

2 ·X23 +X1 ·X2−2 ·X1 ·X3−X2 ·X3 = (X1−X3) · (X2−2 ·X3)

luego la dirección del eje será: X1 = X3

X2 = 2 ·X3

Plano perpendicular a éste será el siguiente

X1 +2 ·X2 +X3 = 0

siendo su diámetro conjugadofff ′X1

1=

fff ′X2

2=

fff ′X3

1

428

lo que nos permite afirmar que el eje buscado es:

X2−2 ·X3 +2 =X1−X3−1

2= 4 ·X3−2 ·X1

es decir X1 = X3 +1

X2 = 2 ·X3−2

DIAMETROSDiámetros de una cuádrica, ζ ≡ XAX′ = 0, son las polares de las rectas del infinito, cuando no son

autoconjugadas, en cuyo caso se les llama asíntotas si son propias.

La recta impropia, r, determinada por los puntos P(0, P1, P2, P3) y Q(0, Q1, Q2, Q3) tiene por recta

polar (diámetro):

r′ ≡

fff P0 ·X0 + fff P1 ·X1 + fff P2 ·X2 + fff P3 ·X3 = 0

fff Q0 ·X0 + fff Q1 ·X1 + fff Q2 ·X2 + fff Q3 ·X3 = 0

que será: diámetro si no es propia (r∩ r′ =∅)

asíntota si es propia (r∩ r′ 6=∅)

Propiedades : r′ es intersección de dos planos polares de dos puntos del infinito, luego todos los

diámetros / asíntotas de ζ ≡ XAX′ = 0 pasan por los polos del plano del infinito, luego

por los centros de la cuádrica, si existen.

Los diámetros / asíntotas de una cuádrica con centro forman una radiación de rectas de

vértice el centro.

Los diámetros de los paraboloides forman una radiación impropia de rectas, de vértice el

punto impropio de la cuádrica. (Son, por tanto, paralelos).

Los cilindros no parabólicos y pares de planos no paralelos no tienen más que un diáme-

tro, la recta de centros.

En los cilindros parabólicos no hay diámetro.

Toda recta del plano de centros, de un par de planos paralelos, es un diámetro.

A la recta polar impropia de un diámetro se le llama orientación conjugada de dicho diámetro, y planos

conjugados a los que tienen esta orientación.

429


ζ ≡ X21 +X2

2−5 ·X23 +12 ·X2 ·X3−2 ·X2 +X3 = 0

determinar el diámetro correspondiente a la recta del infinito determinada por los puntos: P(0, 2, 0, 1) y

Q(0, 0, 1, 1)

El plano diametral correspondiente al punto P(0, 1, 0, 1) fue determinado en el Ejemplo 3, y es el:

2 ·X1 +6 ·X2−5 ·X3 +12

= 0

Determinemos ahora el correspondiente al punto Q(0, 0, 1, 1): Como tenemos:

fff X2 ≡ X2 +6 ·X3−1

fff X3 ≡ 6 ·X2−5 ·X3 +12

y el punto es el Q1 = 0 , Q2 = 1 , Q3 = 1, el plano diametral será:

(X2 +6 ·X3−1) ·1+(6 ·x2−5 ·X3 +12) ·1 = 0

es decir el

7 ·X2 +X3−12

= 0

En consecuencia, el diámetro correspondiente a la recta PQ es:

r≡

4 ·X1 +12 ·X2−10 ·X3 +1 = 0

14 ·X2 +2 ·X3−1 = 0

Ejemplo 15. Determinar el centro, el plano diametral conjugado con la recta `, y el diámetro conjugado con

el plano p en la cuádrica ζ , siendo:

ζ ≡ 2 ·x2−4 ·y2−22−2 ·y · z+8 ·x ·y−2 ·x+4 · z−10 = 0

` ≡ x1

=− y3

=z5

p≡ 2 ·x−5 ·y+3 · z−7 = 0 .

El centro nos vendrá dado resolviendo el sistema:

fff ′x ≡ 2 ·x+4 ·y−1 = 0

fff ′y ≡−4 ·y− z+4 ·x = 0

fff ′z ≡−z−y+2 = 0

=⇒ C(

12, 0,2

)

Dado que el punto impropio de ` es el L(0, 1, −3, 5), el plano diametral conjugado de ` (polar del punto L) será:

fff ′x ·1+ fff ′y · (−3)+ fff ′z ·5 = 0

es decir

(2 ·x+4 ·y−1) ·1+(+4 ·x−4 ·y− z) · (−3)+(−y− z+2) ·5 = 0

430

Operando resulta

10 ·x−11 ·y+2 · z−9 = 0

Para determinar el diámetro conjugado con el plano p, teniendo en cuenta que el vector característico de p es

v = (2, −5, 3) ,

tendremosfff ′x2

=fff ′y−5

=fff ′z3

es decir2 ·x+4 ·y−1

2=−4 ·y− z+4 ·x

−5=−z−y+2

3o lo que es lo mismo:

2 ·x+4 ·y−12

=−4 ·y− z+4 ·x

−52 ·x+4 ·y−1

2=−z−y+2

3

=⇒18 ·x+12 ·y−2 · z−5 = 0

6 ·x+14 ·y+2 · z−7 = 0

431

CAPÍTULO VII

Lección 33.- CURVAS PLANAS

33.1 Curvatura de una curva plana

33.2 Círculo osculador

33.3 Evoluta de una curva

33.4 Envolvente de un haz de curvas planas

33.1 Curvatura de una curva plana

Dado un arco de curva,_

AB, llamaremos curvatura media al cociente,∆∆∆ααα

∆∆∆s, entre el ángulo (en

radianes) de las semitangentes en los extremos del

arco (trazadas en un mismo sentido elegido en la

curva) y la longitud, ∆∆∆s, de dicho arco. Evidente-

mente esta curvatura media variará al variar el pun-

to A y el arco ∆∆∆s sobre la curva.A

B

s

α

α

=

=

Si se fija el punto A, al límite de dicho cociente, supuesto que existe, el tender ∆∆∆s a cero, es a lo que

llamaremos curvatura de la curva en el punto A:

C = lım∆∆∆s→0

∆∆∆ααα

∆∆∆s=

dα

ds

Si conocemos la ecuación cartesiana de la curva

y = fff (x) ,

se verificará

C =dα

ds=

d ·arctg y′√1+y′2 dx

=

11+y′2

·y′′ dx√1+y′2 dx

=y′′

[1+y′2]32

al haber considerado la equivalencia de los infinitésimos ∆∆∆s y ds al tender ∆∆∆s−→ 0, y tomando como

origen de ángulos, ααα , el semieje +x.

Considerando ds positivo, puesto que se trata de una longitud, resultará una curvatura con el signo de

y′′; es decir, positiva si la curva queda a la izquierda de la semitangente, tomada en el sentido de las x

crecientes, y negativa si queda a la derecha.

En general, consideraremos la curvatura en valor absoluto.

En los puntos en que y′′ = 0, por ejemplo en los puntos de inflexión, la curvatura es nula.

En el caso de que la curva viniese dada por sus ecuaciones paramétricasx = x(t)

y = y(t) ,

435

calcularemos y′ e y′′, en función de t, y sustituiríamos en la ecuación de la curvatura.

Así, designando con x e y las derivadas de x e y con respecto a t, y x e y las segundas derivadas,

tendríamos

y′ =dydx

=y(t)x(t)

; y′′ =dy′

dt· dt

dx=

x · y− y · xx2 · 1

xque al ser sustituidas nos dan, como expresión de la curvatura en paramétricas

C =dα

ds=

x · y− y · x[x2 + y2]

32

Ejemplo 1. En una circunferencia se verifica siempre, cualquiera que sea el punto A, y el arco ∆∆∆s.

∆∆∆s = r ·∆∆∆ααα .

Luego, tanto su curvatura media, como su límite, son

constantes, y valen

C =1r

.

Observemos que se verifica: r =1C

O

s

α α

El ejemplo anterior nos sugiere una nueva definición: llamaremos radio de curvatura, en un punto A

de una curva cualquiera, a la inversa de la curvatura en A, siendo éste un segmento, ρρρ , dirigido en la

seminormal a dicha curva situado del lado de su concavidad. Al extremo de dicho segmento se le llamará,

asimismo, centro de curvatura de la curva.

Oα

αρ

(ξ, η)

A(x, y)

Tal como los hemos definido, el centro y radio de curvatura, en cada punto, serán el centro y radio

de una circunferencia que tiene en ese punto la misma tangente, concavidad y curvatura que la curva en

cuestión, circunferencia a la que llamaremos osculatriz y también circulo osculador.

De acuerdo con las definiciones anteriores tendremos que, el radio de curvatura valdrá:en cartesianas : ρρρ =

∣∣∣∣∣ (1+y′2)32

y′′

∣∣∣∣∣en paramétricas : ρρρ =

∣∣∣∣∣ [x2 + y2]32

x · y− y · x

∣∣∣∣∣436

Las coordenadas del centro, ξξξ y ηηη , se obtendrán añadiendo a las coordenadas, x e y, del punto A, las

proyecciones de ρρρ , con sus signos; así ξξξ = x∓ρρρ · sen ααα

ηηη = y±ρρρ · cos ααα ,

dependiendo los signos del sentido de la concavidad, y ésta a su vez del signo de y′′.

Al sustituir ρρρ por su expresión, y

sen ααα =tg√

1+ tg2 ααα=

y′√1+y′2

tendremos en todos los casos:

ξξξ = x− y′ · (1+y′2)

y′′

ηηη = y+1+y′2

y′′y'>0

y''>0

y''<0

y''>0

y'<0y''<0

33.2 Círculo osculador

La circunferencia osculatriz, establecida en el apartado anterior, puede también definirse analíticamente

como sigue: Llamaremos osculatriz de una curva, en un punto A de la misma, a la circunferencia que

tiene, en el punto A, el mismo valor de la curva, y, por pasar ambas por dicho punto, el mismo valor

de y′, por tener ambas la misma tangente, e igual valor de y′′, por tener ambas la misma y′ y la misma

curvatura.

Nos conduce lo anterior a poder plantear fácilmente el cálculo de los valores de ξξξ , ηηη , ρρρ . En efecto, si

derivamos dos veces con respecto a x, la ecuación de la circunferencia

(x−ξξξ )2 +(y−ηηη)2 = ρρρ2

resultará x−ξξξ +(y−ηηη) ·y′ = 0

1+y′2 +(y−ηηη) ·y′′ = 0

Dado que los valores de y, y′, y′′, que resultarían de este sistema, deberían coincidir con los de la curva,

no habrá inconveniente alguno en imaginar sustituidas, en estas ecuaciones, y , y′ y y′′, por las funciones

437

de x, deducidas de la ecuación de la curva, y despejar, luego, ξξξ , ηηη y ρρρ .

De la última ecuación resulta

y−ηηη =− 1+y′2

y′′

que sustituida en la anterior nos da

x−ξξξ =y′ · (1+y′2)

y′′

ecuaciones que nos dan los mismos valores, de ξξξ y ηηη , que obtuvimos en el apartado anterior. Por último,

sustituyendo: x−ξξξ , y−ηηη , en la primera, obtendremos el valor, ρρρ , del radio de curvatura.

Si decimos que dos curvas y = fff (x) , y =ϕϕϕ(x) tienen, en un punto común, un contacto de orden n,

cuando tienen iguales los valores de sus derivadas hasta el orden n, podemos afirmar que: Una curva y

su círculo osculador en un punto tienen al menos un contacto de segundo orden.

33.3 Evoluta de una curva

Llamaremos evoluta de una curva al lugar geométrico de los centros de curvatura de sus puntos.

Las ecuaciones obtenidas antes para el centro de curvatura, es decirξξξ = x− y′ · (1+y′2)

y′′

ηηη = y+1+y′2

y′′

serán, por tanto, las ecuaciones paramétricas de la evoluta de una curva, en la que las coordenadas son ξξξ

y ηηη , y el parámetro es x. Para obtener la ecuación ordinaria, ϕϕϕ(ξξξ , ηηη) = 0, bastará con eliminar x entre

ambas ecuaciones.

Ejemplo 1. Determinar el radio de curvatura y la evoluta de la catenaria

y = a ·Chxa

.

Derivando sucesivamente tendremosy′ = Sh

xa

y′′ =1a·Ch

xa

luego, como

1+y′2 = Ch2 xa

obtendremos como valor del radio de curvaturaρρρ =Ch3 x

a1a·Ch

xa

= a ·Ch2 xa

=y2

a

438

siendo las ecuaciones paramétricas de la evoluta:

ξξξ = x−Sh

xa·Ch2 x

a1a·Ch

xa

= x− a2·Sh

2 ·xa

ηηη = y+a ·Ch2 x

aCh

xa

= 2 ·a ·Chxa

Ejemplo 2. Determinar el radio de curvatura de las cónicas, dadas por sus ecuaciones reducidas.

En general se verifica que: El segmento de normal en un punto P, a una curva cualquiera, comprendido entre dicho

punto y el eje x, llamado abreviadamente normal, y re-

presentado por N, tiene por valor

N =y

cos ααα= y ·

√1+ tg2 ααα = y ·

√1+y′2 ,

αP

y N

O

y

xα

de donde, despejando el radical y sustituyendo en la expresión del radio de curvatura, tenemos

ρρρ =N3

y3 ·y′′.

Vamos a hacer, ahora, aplicación de esta fórmula a las cónicas dadas por sus ecuaciones reducidas:

1o.- En la elipse o hipérbola tenemosx2

a2 ±y2

b2 = 1 ,

es decir

b2 ·x2±a2 ·y2 = a2 ·b2 .

Por derivación, en cualquiera de las dos igualdades resulta

y′ =∓ b2 ·xa2 ·y

y′′ =∓ b2

a2 ·y−x ·y′

y2 =∓ b2

a2 ·y∓ b2 ·x2

a2 ·yy2 =− b4

a2 ·y3

2o.- En la parábola se tiene

y2 = 2 ·p ·x

y por derivación resulta

y ·y′ = p , y′ =py

, y′′ =− py2 −

p2

y3

439

En las tres cónicas podemos poner

y′′ =− py2

si en la elipse e hipérbola llamamos p =b2

a.

Por tanto, sustituyendo en

ρρρ =N3

y3 ·y′′tendremos para las tres cónicas

ρρρ =− N3

p2

Supongamos, ahora, que la curva viene dada en forma paramétrica:x1 =ϕϕϕ(t)

x2 =ψψψ(t)Tendremos entonces que

y′ =dx2dx1

=ψψψ ′(t)ϕϕϕ ′(t)

e y′′ =d2x2dx2

1=

ψψψ ′′ ·ϕϕϕ ′−ψψψ ′ ·ϕϕϕ ′′

(ϕϕϕ ′)3

de donde, sustituyendo en la expresión de la curvatura

C =y′′

[1+y′2]32

obtenemos

C =ψψψ ′′ ·ϕϕϕ ′−ψψψ ′ ·ϕϕϕ ′′

[ϕϕϕ ′2 +ψψψ ′2]32

Ejemplo 3. Determinar la curvatura de la cicloidex1 = a · (t− sen t)

x2 = a · (1− cos t)en un punto arbitrario.

Tenemosϕϕϕ ′ =

dx1dt

= a · (1− cos t) , ϕϕϕ ′′ =d2x1dt2 = a · sen t

ψψψ ′ =dx2dt

= a · sen t , ψψψ ′′ =d2x2dt2 = a · cos t

Introduciendo, ahora, estas expresiones en la fórmula que nos da la curvatura

C =y′′

[1+y′2]32

=ψψψ ′′ ·ϕϕϕ ′−ψψψ ′ ·ϕϕϕ ′′

[ϕϕϕ ′2 +ψψψ ′2]32

obtenemosC =a · cos t ·a · (1− cos t)−a · sen t ·a · sen t

[a2 · (1− cos t)2 +a2 · sen2 t]32

=cos t−1

232 ·a · (1− cos t)

32

=1

232 ·a · (1− cos t)

12

=1

4 ·a · sent2

En el caso de que la curva viniese dada en coordenadas polares procederíamos como sigue: Consi-

derados dos puntos de la curva, A y B, y el ángulo µµµ1 que forma la cuerda AB con el radio vector,

tendríamossen µµµ1

r=

sen ∆∆∆θθθ

AB.

440

Al tender B−→ A , sen µµµ1 −→ sen µµµ siendo µµµ

el ángulo de la tangente con el radio vector, el co-

ciente del segundo miembro puede sustituirse por

el cociente de infinitésimos equivalentesdθθθ

ds.

En consecuencia, al pasar al límite

sen µµµ =r ·dθθθ

ds=

r√r2 + r′2

de donde

tg µµµ =rr′

.

A

B

r

θr

θr·

θα

μ1

μ

Como el ángulo ααα que forma la tangente con el rayo origen es

ααα = θθθ +µµµ = θθθ +arctgrr′

resultadααα

dθθθ= 1+

r′2− r · r′′

r2 + r′2=

r2 +2 · r′2− r · r′′

r2 + r′2

y por tanto

dsdααα

=

dsdθθθ

dααα

dθθθ

=

√r2 + r′2

r2 +2 · r′2− r · r′′

es decir

Radio de curvatura =[r2 + r′2]

32

r2 +2 · r′2− r · r′′

con lo que

C =r2 +2 · r′2− r · r′′

[r2 + r′2]32

Ejemplo 4. Determinar la curvatura de la espiral de Arquímedes

ρρρ = a ·θθθ

tenemosdρρρ

dθθθ= a ,

d2ρρρ

dθθθ 2 = 0

luego

C =a2 ·θθθ 2 +2 ·a2

(a2 ·θθθ 2 +a2)32

=1a· θθθ +2

a · (θθθ 2 +1)32

O

ρ=a·θ

θρ

Observemos que para valores grandes de θθθ se cumplen las ecuaciones aproximadas

θθθ 2 +2θθθ 2 w 1 ,

θθθ 2 +1θθθ 2 w 1

441

En consecuencia, sustituyendo en la fórmula de la curvatura obtenida, θθθ 2 +2 por θθθ 2 , θθθ 2 +1 por θθθ 2, obtenemos

la fórmula aproximada, válida para valores grandes de θθθ :[C =

1a· θθθ 2

(θθθ 2)32

=1

a ·θθθ

]

Resulta entonces que, la espiral de Arquímedes, tiene para valores grandes de θθθ , aproximadamente la misma curva-

tura que una circunferencia de radio a ·θθθ .

Ejemplo 5. Determinar el radio de curvatura de la espiral logarítmica: r = ek·θθθ .

Tenemos

r′ = k · ek·θθθ , r′′ = k2 · ek·θθθ

es decir

r2 + r′2 = e2·k·θθθ · (1+k2)

de donde resulta que[ρρρ = ek·θθθ · [1+k2]

32

1+2 ·k2−k2 = r · (1+k2)12

] Oθ

Q

Pr

μ

μq

A la vista de este resultado podemos afirmar que el radio de curvatura es proporcional al radio vector.

Al segmento PQ de normal en un punto P a la curva, comprendido entre éste y la perpendicular q al radio vector,

se le llama normal polar a la curva, y su valor es

rsen µµµ

=√

r2 + r′2

En el caso de la espiral logarítmica se comprueba fácilmente que: el radio de curvatura es igual a la normal

polar, lo que permite una construcción sencilla del centro de curvatura.

33.4 Envolvente de un haz de curvas planas

Consideremos la ecuación de un haz de curvas, F(x, y, ααα) = 0, de parámetro ααα .

La intersección de dos curvas próximas del haz,

vendrá determinada por el sistema

F(x, y, ααα) = 0

F(x, y, ααα +∆∆∆ααα) = 0

equivale alF(x, y, ααα) = 0

F(x, y, ααα +∆∆∆ααα)−F(x, y, ααα)

∆∆∆ααα= 0

F(x, y, α)=0

442

Al hacer ∆∆∆ααα → 0, es decir, hacer que la segunda curva tienda a la primera, el sistema se transforma en el F(x, y, ααα) = 0∂F∂ααα

= 0

que dará el límite, o límites, de los puntos de intersección.

Llamaremos envolvente del haz al lugar geométrico de esos puntos límites. La ecuación ordinaria

se obtendrá eliminando ααα entre ambas ecuaciones. Se obtendrán las ecuaciones paramétricas de la

envolvente despejando x, y en el sistema anterior, en función de ααα .

La curva envolvente así obtenida tiene la propiedad de ser tangente a cada curva del haz (que llamaremos

involuta), en el punto común definido por el sistema anterior.

Ejemplo 1. Determinar la envolvente de las posiciones de un segmento, de longitud a, cuyos extremos se

deslizan sobre unos ejes cartesianos rectangulares.

Si elegimos como parámetro ααα de cada posición, el ángulo con el eje 0x1, la ecuación de la recta, en función de los

segmentos interceptados en los ejes será

x1a · cos ααα

+x2

a · sen ααα= 1

y derivando esta igualdad con relación a ααα tendremos

x1 · sen ααα

a · cos2 ααα− x2 · cos ααα

a · sen2 ααα= 0

(0, a)

(a, 0)

a

α x1

x2

O

de donde, multiplicando por1

sen ααα · cos αααresulta

x1a · cos ααα

cos2 ααα=

x2a · sen ααα

sen2 ααα=

x1a · cos ααα

+x2

a · sen ααα

cos2 ααα + sen2 ααα= 1

Obtenemos, así, las ecuaciones paramétricas de la envolvente:x1 = a · cos3 ααα

x2 = a · sen3 ααα

La ecuación implícita la obtendremos eliminando ααα entre ellas:

x23

1 +x23

2 = a23

La curva obtenida recibe, ordinariamente, el nombre de astroide.

443

Ejemplo 2. Determinar la envolvente de las trayectorias de los proyectiles lanzados por una pieza de artille-

ría, con velocidad v0, bajo diferentes ángulos de inclinación del cañón respecto al horizonte. (Supongamos que

los proyectiles son los lanzados desde el origen de coordenadas y que sus trayectorias se hallan en el plano Ox1x2,

evidentemente despreciando la resistencia del aire.)

Hallamos, en primer lugar, la ecuación de la trayectoria de un proyectil lanzado bajo un ángulo ααα , con la dirección

positiva del eje Ox1.

Durante su vuelo, el proyectil par-

ticipa simultáneamente de dos mo-

vimientos: un movimiento uniforme

en la dirección del lanzamiento, con

velocidad v0, y otro movimiento de

caída por acción de la fuerza de la

gravedad.

Así, en cada instante, t, la posición

del proyectil M viene dado por las

ecuaciones:x1 = v0 · t · cos ααα

x2 = v0 · t · sen ααα− g · t2

2

O

v ·t0

M(x , x )1 2

2x

1x

2g·t2_ ))

v ·t·cos α0

α

v ·sen α0

Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria (siendo el parámetro el tiempo t)

Eliminando t, obtenemos la ecuación de la trayectoria

x2 = x1 · tg ααα−g ·x2

12 ·v2

0 · cos2 ααα,

y si hacemos

tg ααα = k ,g

2 ·v20

= a

resultará

x2 = k ·x1−a ·x21 · (1+k2) ,

ecuación que define unas parábolas, de eje vertical, que pasan por el origen de coordenadas, y con sus ramás dirigidas

hacia abajo.

Para distintos valores de k obtenemos trayectorias diferentes, siendo la ecuación anterior, la del haz de parábolas

que son las trayectorias del proyectil para diferentes ángulos ααα , con una velocidad inicial dada v0.

O

x1

x2

α

444

Hallemos la envolvente de este haz de parábolas.

Derivando ambos miembros de la ecuación

x2 = k ·x1−a ·x21 · (1+k2)

tenemos

x1−2 ·a ·k ·x21 = 0

y eliminando k entre ambas ecuaciones obtenemos

x2 =1

4 ·a−a ·x2

1 ,

ecuación de una parábola, con el vértice el punto(

0,1

4 ·a

), y su eje coincide con el 0x2, a la que se llama

parábola de seguridad, puesto que ningún punto fuera de sus límites puede ser alcanzado por un proyectil lanzado

con velocidad v0.

Dada una curva y = fff (x), la ecuación de la normal a ella es un punto (x, y), será, llamando (ξξξ ,ηηη) a las

coordenadas de los puntos de dicha normal:

ηηη−y =− 1y′· (ξξξ −x)


(x−ξξξ )+(y−ηηη) ·y′ = 0 .

Si consideramos sustituidas en esta ecuación y e y′, por las funciones de x que resultan de la ecuación de

la curva, tendremos un haz de rectas dependiente del parámetro x. Su envolvente se obtendrá derivando

con relación a x;

1+y′2 +(y−ηηη) ·y′′ = 0

y eliminando x entre ambas ecuaciones.

Sea o no posible esa eliminación, siempre podemos despejar ξξξ y ηηη , del sistema:(x−ξξξ )+(y−ηηη) ·y′ = 0

1+y′2 +(y−ηηη) ·y′′ = 0

con lo que obtendríamos las ecuaciones paramétricas de la envolvente, en función de x. Serán estas las

siguientes: y−ηηη =− 1+y′2

y′′

x−ξξξ =1+y′2

y′′·y′

Observamos que coinciden, estas, con las ecuaciones de la evoluta, establecidas en el apartado anterior,

lo que nos permite afirmar que: La envolvente de las normales a una curva es la evoluta de la misma;

445

siendo el centro de curvatura en un punto, A, el punto de contacto, A′, de normal con la evoluta.

En consecuencia, el radio de curvatura es AA′.

PROPOSICIÓN 1. La longitud del arco de evoluta, entre dos puntos A y B de la curva, es igual a

la diferencia entre los radios de curvatura en dichos puntos, suponiendo monótona la variación de

dicho radio entre los mismo.

En efecto: Si diferenciamos la relación

ρρρ2 = (x1−ξξξ )2 +(x2−ηηη)2

obtendremos

ρρρ ·dρρρ = (x1−ξξξ ) · (dx1−dξξξ )+(x2−ηηη) · (dx2−dηηη) =−dξξξ · (x1−ξξξ )−dηηη · (x2−ηηη)

puesto que

(x1−ξξξ ) ·dx1 +(x2−ηηη) ·dx2 = 0 (ecuación de la normal)

Por otra parte, dado que A está en la tangente en A′

ξξξ −x1dξξξ

=ηηη−x2

dηηη=

ρρρ

dσσσ(σσσ , arco de la evoluta)

y sustituyendo, resulta

ρρρ ·dρρρ = ρρρ · dξξξ 2 +dηηη2

dσσσ

es decir

dρρρ = dσσσ ,

A'

B'

B

A(x , x )1 2

(ξ, η)

con lo que al integrar obtenemos lo que nos interesaba.

Procedimiento mecánico elemental para construir una curva evolvente a partir de su evoluta:

Demos a una regla flexible la forma de la evoluta._

C0C: e imaginemos un hilo inextensible que contornea

esta regla, con uno de sus extremos fijo en el pun-

to C0. Si desarrollamos este hilo, manteniéndolo

siempre tenso, su otro extremo describirá una cur-

va_

M0M, que será la evolvente.

Observemos que a una evoluta le corresponde

una infinidad de evolventes diferentes; bastará con

utilizar hilos de distinta longitud.

M0M1

M2

M3

M4

C0

C1

C2C3C4

Evoluta

Evolventes

446

Ejemplo 3. Si consideramos una circunferencia de radio R, y elegimos entre las evolventes de esta circunferenciala que pasa por el punto

M0(R, 0) ,

teniendo en cuenta que

CM =_

CM0= R · t

podemos obtener las ecuaciones de la evolvente de la cir-

cunferencia

R

C

M

PM0

x1

x2

t

OP = x1 = R · (cos t+ t · sen t)

PM = x2 = R · (sen t− t · cos t)

La siguiente figura trata de compendiar lo estudiado en esta lección:

A

Oρ

Circulo osculador en elpunto A de la curva(de centro O y radio ρ)

Evoluta

Envolvente delas normales

Normalesa la curva

Curva

Evolventes

Evoluta de una curva es el lugar geométrico de sus centros de curvatura y también la envolvente de las

normales a la curva.

Evolvente de una curva es cualquier línea que tiene la misma evoluta que la curva dada.

Involuta es cada una de las curvas del haz.(El haz de curvas considerado aquí es el de las normales a la curva dada.)

447

Lección 34.- CURVAS ALABEADAS

34.1 Nociones de análisis vectorial

34.2 Curvas alabeadas

34.3 Triedro intrínseco

34.1 Nociones de análisis vectorial

Consideremos una aplicación de un intervalo I = (a, b) de R, en el espacio vectorial de los vectores

libres, V3:

σσσ : I−→ v3

t−→ v =σσσ(t)

Siendo t e I, diremos que el vector v =σσσ(t) es función del parámetro t, y escribiremos v(t).

Las coordenadas, v1, v2, v3, de V respecto a una base u1, u2, u3 son funciones del parámetro t; es

decir

v(t) = v1(t) ·u1 +v2(t) ·u2 +v3(t) ·u3 .

Diremos, así mismo, que el vector a es límite del vector v(t) y escribimos

a = lımt→t0

v(t) ,

cuando t tiende a t0, si para todo εεε > 0 existe un δδδ > 0 tal que

|v(t)−a|< εεε , ∀∀∀ t ∈ I∣∣∣∣ |t− t0|< δδδ .

Por otra parte, si a = a1 ·u1 +a2 ·u2 +a3 ·u3, es fácil comprobar que la condición necesaria y suficiente

para que lımt→t0

v = a, es que

lımt→t0

vi(t) = ai i = 1, 2, 3.

Diremos que la función V(t) es continua en t0 si

lımt→t0

v(t) = v(t0) .

Condición necesaria y suficiente para que v(t) sea continua en t0 es que lo sean las funciones

vi(t) , i = 1, 2, 3 .

Llamaremos derivada del vector v(t), respecto a t, correspondiente al vector t0, al siguiente límite (si

existe):

lımt→t0

v(t0)−v(t)t− t0

= v′(t0) .

449

Condición necesaria y suficiente para que v′(t0) existe es que existen las derivadas: v′i(t0) , i = 1, 2, 3,

en cuyo caso se tiene

vi(t0) = v′1(t0) ·u1 +v′2(t0) ·u2 +v′3(t0) ·u3

Las siguientes propiedades, de la derivación de vectores, son de fácil comprobación:

1.-ddt

[v(t)+u(t)] =dv(t)

dt+

du(t)dt

2.-ddt

[λλλ (t) ·v(t)] = dλλλ (t)dt

+λλλ (t) · dv(t)dt

3.-ddt

[v(t) ·w(t)] =dv(t)

dt·w(t)+v(t) · dw(t)

dt

4.-ddt

[v(t) x w(t)] =dv(t)

dtx w(t)+v(t) x

dw(t)dt

5.-ddt

[v(t), w(t), u(t)] =[

dv(t)dt

, w(t), u(t)]+

[v(t),

dw(t)dt

, u(t)]+

[v(t), w(t),

dw(t)dt

]6.- Si v es función de t, y t es función de s, entonces

dvds

=dvdt· dt

ds.Ejemplo 1. Siendo

u = 3 · t2 ·u1 + t ·u2 +5 ·u3 , v =t2−1

t·u1− sen t ·u3 , w = Cht ·u1 +Lnt ·u2−5 · t ·u3

calcular la derivada del siguiente producto misto:ddt

[u, v, w] .Tendremos que:

ddt

[u(t), v(t), w(t)]=[

du(t)dt

, v(t), w(t)]+

+

[u(t),

dv(t)dt

, w(t)]+

+

[u(t), v(t),

dw(t)dt

]Calculamos los distintos productos mixtos, que luego sumaremos.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

6 · t 1 0

t2−1t

0 −sen t

Ch t Ln t −5 · t

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=−sen t ·Ch t+5 · (t2−1)+6 · t ·Ln t · sen t

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

3 · t2 t 5

t2 +1t2 0 −cos t

Ch t Ln t −5 · t

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=−t · cos t+5 ·Ln t · t2 +1

t2 +5 · (t2 +1)+3 · t2 ·Ln t · cos t

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

3 · t2 t 5

t2−1t

0 −sen t

Sh t1t

−5

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=−t · sen t ·Sh t+5 · t2−1

t2 +5 · (t2−1)+3 · t · sen t

450

Sumando, hora, tendremos:

ddt

[u(t), v(t), w(t)]=−sen t ·Ch t+6 · t ·Ln t · sen t− t · cos t ·Ch t+5 ·Ln t · t2 +1t

+

+3 · t2 ·Ln t · cos t− t · sen t ·Sh t+5 · t2−5

t2 +3 · t · sen t+15 · t2−5

Ejemplo 2. Comprobar que se verifica:d|v|dt

=v ·v′

|v|Bastará con operar; así

ddt|v|= d

dt

√v2 =

2 ·v ·v′

2 ·√

v2=

v ·v′√v2

=v ·v′

|v|

34.2 Curvas alabeadas

Llamamos curva alabeada a la imagen γγγ de toda aplicación

ϕϕϕ : I−→ E3

de un intervalo I de R, en el espacio tridimensional, E3.

Si O;u1,u2, u3 es un sistema de referencia en E3, que en lo sucesivo supondremos siempre métrico,

la curva alabeada, γγγ , puede venir dada por:

r≡

x1 = x1(t)

x2 = x2(t)

x3 = x3(t)

en donde supondremos que, tanto las funciones xi(t), como sus derivadas primera, segunda y tercera,

son continuas. Son éstas las llamadas ecuaciones paramétricas de la curva γγγ .

El vector de posición, respecto al origen O, del punto genérico de la curva, será, por tanto

x(t) = x1(t) ·u1 +x2(t) ·u2 +x2(t) ·u2 +x3(t) ·u3

Ejemplo 1. Sea X un punto móvil que recorre la circunferencia

x21 +x2

2 = R2

con velocidad angular constante, ωωω , a la vez que dicha circunferencia se desplaza con velocidad constante, v, para-

lelamente a su plano, manteniendo su centro sobre el eje OX.

La curva descrita por X vendrá dada por las ecuaciones paramétricasx1 = R · cos ωωω · t

x2 = R · sen ωωω · t

x3 = v · t

451

A esta curva se le llama hélice circular.

Establezcamos ahora lo que denominamos tangente a una curva es un punto dado:

Sean x(t0) y x(t0 +∆∆∆ t) los vectores posición de dos puntos de una curva γγγ . Dado que el vector

x(t0 +∆∆∆ t)−x(t0)

es un vector de dirección de la secante determinada por dichos puntos, tendremos que

lımt→t0

x(t0 +∆∆∆ t)−x(t0)

∆∆∆ t= x(t0) ,

es un vector de dirección de la tangente a la curva en el punto x(t0).

Indicaremos las derivadas primera, respecto a un parámetro cualquiera, mediante un punto, la

segunda con dos, etc.

Las ecuaciones de la citada tangente serán, por tanto,

x1−x1(t0)

x1(t0)=

x2−x2(t0)

x2(t0)=

x3−x3(t0)

x3(t0)

Suponemos que el punto X(t0) es ordinario y que, por consiguiente, las tres xi(t0) no son simultánea-

mente nulas.

La ecuación vectorial de la tangente será

X(λλλ ) = x(t0)+λλλ · x(t0)

donde X(λλλ ) es el vector de posición del punto genérico de la tangente.

Ejemplo 2. La tangente a la curva

γγγ ≡

x1 = 2 · t2

x2 = t2− t+1

x3 =t2

2en el punto X(1) es

X(λλλ ) =

(2, 1,

12

)+λλλ · (4, 1, 1)

Dada una curva alabeada, γγγ , y en ella un punto, x(t0), llamaremos plano normal a la curva, en ese punto,

a la perpendicular a la tangente a γγγ en el punto x(t0).

El vector x(t0), la dirección de la tangente, es un vector característico del plano normal; en consecuencia,

la ecuación de éste es

x1(t0) · (x1−x1(t0))+ x2(t0) · (x2−x2(t0))+ x3(t0) · (x3−x3(t0)) = 0

452

que puede ponerse en forma vectorial, como un producto escalar:

x(t0) · (X−x(t0)) = 0

donde, X = (x1, x2, x3) es el vector de posición del punto genérico del plano.

Llamaremos plano tangente a una curva alabeada, γγγ , en un punto, x(t0), a todo plano que contiene a la

tangente en dicho punto.

Existirá, por tanto, un haz de planos tangentes a una curva en un punto dado.

Llamaremos plano osculador a una curva alabeada, γγγ , en un punto x(t0), a la posición límite de los

planos determinados por dicho punto y dos más de la curva, x(t1) y x(t2), cuando estas dos últimas

tiendan el primero.

Por la forma en que se ha definido, el plano osculador será un plano tangente a la curva, en el

punto considerado.

Sea, ahora, a un vector característico del plano osculador. Puesto que el punto x(t0) pertenece a él, si X

es un punto genérico del plano, se verifica que los vectores X−x(t0) y a son perpendiculares, luego la

ecuación vectorial del plano osculador es

a · (X−x(t0)) = 0

Tratemos de determinar el vector a. Para ello consideremos la función escalar

F(t) = b · (x(t)−x(t0)) .

en la que b es un vector característico del plano determinado por los puntos x(t0), x(t1) y x(t2) de la

curva. Se verifica entonces que

F(t0) = F(t1) = F(t2) = 0 ,

luego, aplicando el Teorema de Rolle a F(t), existirán dos valores de t : t′1 y t′2, tales que

t0 < t′1 < t1 < t′2 < t2 , F′(t′1) = F′(t′2) = 0 .

Aplicando nuevamente el Teorema de Rolle, ahora a F′(t), existirá un nuevo valor de t : t′′ tal que

t′1 < t′′ < t′2 , F′′(t′′) = 0

Cuando

t1 −→ t0 , t2 −→ t0

también t′1, t′2 y t′′, tenderán a t0, y el vector b tenderá al a; en consecuencia, teniendo en cuenta todo

esto, tendremos

F′(t0) = a · x(t0) = 0 , F′′(t0) = a · x(t0) = 0

453

lo que significa que el vector a es perpendicular a los vectores x(t0) y x(t0); por tanto, el vector a tiene

la dirección del vector x(t0)× x(t0), luego si

x(t0)× x(t0) 6= 0

este vector nos puede servir como vector característico del plano osculador, con lo que su ecuación

vectorial será

(X−x(t0)) · (x(t0)× x(t0))︸︷︷︸Producto vectorial

= 0

que equivale a la siguiente ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x1−x1(t0) x2−x2(t0) x3−x3(t0)

x1(t0) x2(t0) x3(t0)

x1(t0) x2(t0) x3(t0)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

Evidentemente, estamos excluyendo de nuestro estudio los puntos de la curva en los que

x(t0)× x(t0) = 0

Llamaremos recta binormal a una curva alabeada, γγγ , en un punto, x(t0), a la recta perpendicular al plano

osculador a la curva en dicho punto.

El vector característico del plano osculador es un vector de dirección de la recta binormal, luego la

ecuación vectorial de ésta será

X(λλλ ) = x(t0)+λλλ · (x(t0)× x(t0))

Dicha recta puede darse, también, mediante las ecuaciones

x1−x1(t0)∣∣∣∣∣∣∣∣x2(t0) x3(t0)

x2(t0) x3(t0)

∣∣∣∣∣∣∣∣=

x2−x2(t0)∣∣∣∣∣∣∣∣x3(t0) x1(t0)

x3(t0) x1(t0)

∣∣∣∣∣∣∣∣=

x3−x3(t0)∣∣∣∣∣∣∣∣x1(t0) x2(t0)

x1(t0) x2(t0)

∣∣∣∣∣∣∣∣(Observamos que los tres denominadores son las coordenadas del vector característico del plano oscula-

dor.)

Llamaremos normal principal a una curva alabeada, γγγ , en un punto, x(t0), a la recta intersección de los

planos normal y osculador en ese punto.

Sus ecuaciones serán, por tanto x(t0) · (X−x(t0)) = 0

[X−x(t0) , x(t0) , x(t0)] = 0

454

o bien, teniendo en cuenta que su vector de dirección ha de ser perpendicular a los vectores característicos

de los planos normal y osculador

X(λλλ ) = x(t0)+λλλ · [x(t0)× (x(t0)× x(t0))]

que será su ecuación vectorial.

Llamaremos plano rectificante a una curva alabeada, γγγ , en un punto, x(t0), al plano determinado por la

tangente y la binormal, es decir al plano perpendicular a la normal principal. Su ecuación vectorial es

[x(t0)× (x(t0)× x(t0))] · (X− x(t0)) = 0

Tenemos así definidos en cada punto de la curva tres rectas:tangente

binormal

normal principal,

y tres planos normal

osculador

rectificante

que forman el llamado triedro intrínseco de la curva en dicho punto

plano osculador

plano rectificante

plano normal

tangente

bino

rmal

normal principal

455

El resumen siguiente puede resultarnos útil en la resolución de problemas

Dada la curva:

γγγ ≡

x1 = x1(t)

x2 = x2(t)

x3 = x3(t)

la ecuación de la recta tangente en el punto t = t0, es el

x1−x1(t0)

x1(t0)=

x2−x2(t0)

x2(t0)=

x3−x3(t0)

x3(t0)

El plano normal, es el plano perpendicular a la recta tangente, en t = t0,

(X−x(t0)) · x(t0)︸︷︷︸Producto escalar

= (x1−x1(t0)) · x1(t0)+(x2−x2(t0)) · x2(t0)+(x3−x3(t0)) · x3(t0)

El plano osculador, es el plano que contiene a la recta tangente, en t = t0, y tiene por ecuación:

[(X−x(t0)), x(t0), x(t0)︸︷︷︸Producto mixto

] =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x1−x1(t0) x2−x2(t0) x3−x3(t0)

x1(t0) x2(t0) x3(t0)

x1(t0) x2(t0) x3(t0)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣La recta binormal, es la normal al plano osculador en t = t0

Componentes del

vector característico

del plano osculador

=⇒

x1−x1(t0)∣∣∣∣∣∣∣∣x2(t0) x3(t0)

x2(t0) x3(t0)

∣∣∣∣∣∣∣∣=

x2−x2(t0)∣∣∣∣∣∣∣∣x3(t0) x1(t0)

x3(t0) x1(t0)

∣∣∣∣∣∣∣∣=

x3−x3(t0)∣∣∣∣∣∣∣∣x1(t0) x2(t0)

x1(t0) x2(t0)

∣∣∣∣∣∣∣∣La recta normal principal, es la intersección de los planos normal y osculador, en t = t0.

Se puede calcular también teniendo en cuenta que su vector de dirección es el producto vectorial:

t×b .

El plano rectificante está determinado por la tangente y la binormal, es decir es perpendicular a la

normal principal, luego su vector característico es la normal principal.

456

Ejemplo 3. Determinar los planos osculador, normal y rectificante, así como las rectas tangente, binormal y

normal principal, a la curva intersección de las superficies de ecuaciones

x1−x33 = 0 y x2−x2

3 = 0


Puesta la curva en forma paramétrica tenemos:x1 = t3 = 8

x2 = t2 = 4

x3 = t = 2

=⇒ t0 = 2 .

x1 = 3 · t2 = 12

x2 = 2 · t = 4

x3 = 1 = 1

;

x1 = 6 · t = 12

x2 = 2 = 4

x3 = 0 = 0

La recta tangente será:x1−8

12=

x2−44

=x3−2

1

La recta binormal será:

x1−8∣∣∣∣∣∣4 1

2 0

∣∣∣∣∣∣=

x2−4∣∣∣∣∣∣1 12

0 12

∣∣∣∣∣∣=

x3−2∣∣∣∣∣∣12 4

12 2

∣∣∣∣∣∣=⇒ x1−8

−2=

x2−412

=x3−2−24

=⇒ x1−8−1

=x2−4

12=

x3−2−12

Los vectores de dirección de la tangente y de la binormal son, respectivamente

T = (12, 4, 1) , B = (+1, −6, +12)

luego un vector de dirección de la normal principal será su producto vectorial

N =

∣∣∣∣∣∣∣∣iii jjj kkk

12 4 1

+1 −6 −12

∣∣∣∣∣∣∣∣= 54iii−143 jjj−76kkk = (54, −143, −76)

En consecuencia la recta normal principal será

x1−854

=x2−4−143

=x3−2−76

El plano osculador será∣∣∣∣∣∣∣∣x1−8 x2−4 x3−2

12 4 1

12 2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 =⇒ (x1−8) · (−2)+(x2−4) · (12)+(x3−2) · (−24) = 0

y simplificando

x1−6 ·x2 +12 ·x3−8 = 0

El plano normal será:

(x1−8) ·12+(x2−4) ·4+(x3−2) ·1 = 0 =⇒ 6 ·x1 +2 ·x2 +x3−57 = 0

457

El vector característico del plano rectificante es el de dirección de la recta normal principal, es decir el

N = (54, −143, −76)

luego su ecuación será:

54 · (x1−8)−143 · (x2−4)−76 · (x3−2) = 0 =⇒ 54 ·x1−143 ·x2−76 ·x3 +292 = 0

Ejemplo 4. Determinar las ecuaciones de la tangente, normal principal y binormal a la curva

γγγ ≡

x1 = 2 · t2−1

x2 = 1− t

x3 = t2


Observamos que el punto P se corresponde con el valor del parámetro t = 1.

Derivando las ecuaciones de γγγ , obtenemos

x1 = 4 · t

x2 =−1

x3 = 2 · t

=⇒x1(1) = 4

x2(1) =−1

x3(1) = 2

luego la ecuación de la tangente pedida será:

x1−14

=x2−0−1

=x3−1

2

o lo que es lo mismo x1 = 2 ·x3−1

x2 =−12·x3 +

12

Si derivamos por segunda vez, tendremos x1 = 4

x2 = 0

x3 = 2

luego la binormal será

x1−1∣∣∣∣∣∣−1 2

0 2

∣∣∣∣∣∣=

x2−0∣∣∣∣∣∣2 4

2 4

∣∣∣∣∣∣=

x3−1∣∣∣∣∣∣4 −1

4 0

∣∣∣∣∣∣=⇒ x1−1

−2=

x20

=x3−1

4


x1−1−2

=x3−1

4x2 = 0

=⇒2 · (x1−1)+(x3−1) = 0

x2 = 0

=⇒2 ·x1 +x3−3 = 0

x2 = 0

458

La normal principal tendrá como vector de dirección el

(t×b) =


4 −1 2

−2 0 4

∣∣∣∣∣∣∣∣=−4iii−20 jjj−2kkk =⇒ n = (−4, −20, −2)

y su ecuación será

x1−1−4

=x2−0−20

=x3−1−2

=⇒ x1−14

=x220

=x3−1

2=⇒

x1−12

=x210

=x3−1

1

Ejemplo 5. Dada la curva

γγγ ≡

x1 = t3−1

x2 = t2 + t

x3 = 4 · t3−3 · t+1

determinar la distancia desde el origen de coordenadas a la tangente a la curva en el punto t = 1.

Derivando las ecuaciones de γγγ , obtenemosx1 = t3−1 = 0

x2 = t2 + t = 2

x3 = 4 · t3−3 · t+1 = 2

x1 = 3 · t2 = 3

x2 = 2 · t+1 = 3

x3 = 12 · t2−3 = 9

La tangente, en el punto t = 1, es decir el P(0, 2, 2), y de vector de dirección v = (3, 3, 5), será

x1−03

=x2−2

3=

x3−29

La distancia de un punto P a una recta r, que pasa por un punto Q, y con vector de dirección v es:

d =|−→PQ×v||v|

En nuestro caso P = (0, 0, 0) , Q = (0, 2, 2) y v = (3, 3, 9), luego

[d =

|(0, 2, 2)× (3, 3, 9)||(3, 3, 9)|

=


0 2 2

3 3 9

∣∣∣∣∣∣∣∣√

32 +32 +92=

=|2iii+6 · jjj−6 ·kkk|√

32 +32 +92=

√122 +62 +62√

32 +32 +92=

=

√216√99

=

√36 ·6√9 ·11

=3 ·2 ·

√6

3 ·√

11=

2 ·√

6√11

]

459

La definición de curvatura ordinaria (o de flexión) de una curva alabeada en un punto, A, es idéntica a

la de una curva plana. Así, llamaremos curvatura al límite del cociente

∆∆∆ϕϕϕ

∆∆∆s,

entre el ángulo, ∆∆∆ϕϕϕ , formado por dos semitangentes en A y en B (tomadas en el mismo sentido) y el

arco, ∆∆∆s, entre A y B, cuando B tiende a confundirse con A, o sea cuando ∆∆∆s−→ 0.

C = lım∆∆∆s→0

∆∆∆ϕϕϕ

∆∆∆s=

dϕϕϕ

ds

Por analogía con las curvas planas, llamaremos radio de curvatura de flexión al segmento

ρρρ =1C

=dsdϕϕϕ

En las curvas alabeadas el cambio de orientación del plano osculador genera un concepto de curvatura

análogo al de flexión, la denominada curvatura de torsión.

Si ∆∆∆ψψψ es el ángulo agudo formado por lo planos osculadores en A y en B, es decir, el ángulo agudo de

las binormales, llamaremos curvatura de torsión, o simplemente torsión en A a

T = lım∆∆∆s→0

∆∆∆ψψψ

∆∆∆s=

dψψψ

ds

Por analogía con la curvatura de flexión, llamaremos radio de curvatura de torsión al segmento

τττ =1T

=dsdψψψ

.

34.3 Triedro intrínseco

Sea r(t) el vector que une el origen con el punto variable de la curva. Utilizaremos esta función vectorial

para representar, abreviadamente, las tres funciones componentes: x1(t), x2(t), x3(t)

r(t) = x1(t)iii+x2(t) jjj+x3kkk

Al derivar respecto al parámetro t obtenemos

r(t) = x1(t)iii+ x2(t) jjj+ x3(t)kkk

vector variable, de componentes x1, x2, x3, en la dirección de la tangente.

Si tomamos como parámetro de referencia, s, la longitud del arco comprendido entre un punto fijo y

el punto variable de la curva, la derivada tendrá módulo unidad, puesto que sus componentes son los

cosenos directores, ααα , βββ , γγγ , de la tangente

x′1(s) =dx1ds

, x′2(s) =dx2ds

, x′3(s) =dx3ds

460

de donde resultará

|r′(s)|=ααα2 +βββ

2 +γγγ2 = 1

Tendremos, por tanto, que el vector r′(s) es un vector unitario, dirigido según la tangente en el sentido

de las s crecientes; le llamaremos vector tangente y la designaremos por t:

t = r′(s) =αααiii+βββ jjj+γγγkkk

Si llevásemos a partir del origen de coordenadas, vectores iguales y paralelos al vector t en cada punto, la

curva determinada por sus extremos sería una curva esférica, es decir, estaría situada sobre una superficie

esférica de radio 1, llamada indicatriz de tangentes.

El módulo de dt es un infinitésimo equivalente al ángulo dϕϕϕ , expresado en radianes, de dos tangentes

infinitamente próximos.

dt

t

t+dt

dφ

s

t

ds

t+dt

En consecuencia,|dt|ds

=dϕϕϕ

dses la curvatura C de flexión

|r′′(s)|= |t′(s)|= C =1ρρρ

Por otra parte, dt está situado en el plano (que pasa por el origen) determinado por el vector t y el

infinitamente próximo, es decir, en un plano paralelo al osculador de la curva, y dado que el vector dt es

normal a t, el vector dt, y por tanto t′ se dirige según la normal principal, en el sentido de la concavidad

de la curva. Llamando vector normal, n, al vector unitario situado sobre dicha seminormal, tendremos

t′ = |t′| ·n ,

de donde

n =t′

|t′|=

r′′

|r′′|o dicho de otro modo

t′ = C ·n =nρρρ

Primera fórmula de Frenet .

de donde resulta

n = ρρρ · t′ = ρρρ · r′′

461

Por último, llamaremos vector binormal, b, al vector unitario situado en la binormal, en el sentido en

que un observador vería ordenados de derecha a izquierda a los vectores t y n; es decir

b = t×n

o dicho de otro modo

b = r′×ρρρ · r′′ = r′× r′′

|r′′|En el triedro formado por los tres vectores unitarios t, b, n es el denominado triedro intrínseco.

t

b

n

Las fórmulas de Frenet expresan las derivadas

t′ =dtds

, n′ =dnds

, b′ =dbds

de los vectores unitarios que definen el triedro intrínseco.

La primera fórmula de Frenet es la obtenida antes

dtds

= C ·n =nρρρ

, (ρρρ , radio de curvatura ordinaria)

En forma análoga se establece la segunda fórmula de Frenet

dbds

= T ·n =nτττ

, (τττ , radio de curvatura de torsión)

si asignamos a la curvatura de torsión, T, el signo positivo cuando la binormal (plano osculador) gira a

dextrosum alrededor de t, al crecer s, para un observador situado en t (pies en el origen). En efecto: El

valor absoluto de T es el módulo de b′ =dbds

; aho-

ra bien, este vector b′ es perpendicular a b y a t (por

el giro del planos alrededor de la tangente), luego

es paralelo a n, y del mismo u opuesto sentido se-

gún que T sea positiva o negativa, como se muestra

en la figura adjunta. t

b

n

b'

La tercera fórmula de Frenet

dnds

=− bτττ− t

ρρρTercera fórmula de Frenet .

se obtiene derivando la relación

n = b× t ,

462

y sustituyendo b′ y t′ por sus expresiones deducidas antes; así

dnds

= b′× t+b× t′ =1τττ·n× t+

1ρρρ·b×n

teniendo en cuenta que:

n× t =−b , b×n =−t

Nos indica esta tercera fórmula que la derivada del vector n es paralela al plano rectificante, estando

compuesta por una componente en la dirección de la tangente, proporcional a la curvatura de flexión, y

por otra sobre la binormal, proporcional a la torsión.

Conviene tener en cuenta que, si atribuyésemos a la torsión signo positivo al crecer s, la rotación

de la binormal, para un observador situado en t sería a sinictrosum, en cuyo caso

T =1τττ

=−|b′|=−b′ ·n

con lo que habrá que cambiar el signo de la segunda fórmula de Frenet, y el del primer término

en la tercera fórmula.

Ejemplo 1. Consideremos la curva

γγγ ≡

x1 = Ch t

x2 = Sh t

x3 = t

derivando dos veces tenemos

γγγ′ ≡

x1 = Sh t

x2 = Ch t

x3 = 1

, γγγ′′ ≡

x1 = Ch t

x2 = Sh t

x3 = 0

Para la norma euclideana obtenemos

‖γγγ ′(t)‖2 = Sh2 t+Ch2 t+1 = 2 ·Ch2 t

y puesto que Ch t > 0, y para todo t ∈ R, resulta

‖γγγ ′(t)‖=√

2 ·Ch t

Si se elige como origen para los arcos el punto t0 ∈ R, será

s(t) =√

2 ·∫ t

t0

Ch tdt =√

2 · (Sh t−Sh t0) .

El vector

T =γγγ ′(t)‖γγγ ′(t)‖

tiene por coordenadas

T =

(1√2·Th t ,

1√2

,1√

2 ·Ch t

)

463

Por otra partedTds

=dTdt· dt

ds=

1√2 ·Ch t

· dTdt

La curvatura de flexión, en el punto t, vendrá dada así

1ρρρ

=

∥∥∥∥ dTds

∥∥∥∥= 1√2 ·Ch t

·∥∥∥∥ dT

dt

∥∥∥∥Observemos que

dTdt≡(

1√2 ·Ch2 t

, 0 ,−Sh t√2 ·Ch2 t

)luego ∥∥∥∥ dT

dt

∥∥∥∥2=

12·[

1Ch4 t

+Sh2 tCh4 t

]=

12 ·Ch2 t

de donde ∥∥∥∥ dTdt

∥∥∥∥= 1√2 ·Ch t

En consecuencia, se obtienen, respectivamente, para la curvatura y el radio de curvatura

1ρρρ

=1

2 ·Ch2 t, ρρρ = 2 ·Ch2 t

El vectordTds

tiene, por coordenadas (1

2 ·Ch3 t, 0 ,

−Sh tCh t

)y por tanto, el vector que define la normal principal

N = ρρρ · dtds

,

tiene por coordenadas:

N =

(1

Ch t, 0 ,

−Sh tCh t

).

Hemos obtenido, así, las coordenadas de los dos primeros vectores, T y N, del triedro de Frenet, lo que nos facilita

la obtención del tercero

B = T∧N≡(−Sh t√2 ·Ch t

,1√2

,−1√

2 ·Ch t

)

Ejemplo 2. Consideremos la curva (hélice circular)

γγγ ≡

x1 = r · cos t

x2 = r · sen t

x3 = h · t

en la que r ∈ R+, y h ∈ R permanecen constantes.

Si t ∈ R, y m = γγγ(t) es un punto cualquiera de la héli-

ce, la proyección p de m sobre el plano Pij recorre la

circunferencia C de centro O, y radio r.

N

BT

m

t

pi

j

k

α

π2-α_

O

464

Vamos a determinar la longitud de un arco de la hélice, el triedro de Frenet y las curvaturas de flexión y de torsión

en cualquier punto.

1.- Rectificación de la hélice

Las coordenadas de γγγ ′(t)son

(−r · sen t , r · cos t , h)

y ademásdsdt

= ‖γγγ ′(t)‖=√

r2 +h2

Para un origen t0 ∈ R, la abscisa curvilínea de todo punto t ∈ R es

s(t) = (t− t0) ·√

r2 +h2

2.- Triedro de Frenet. Curvatura de flexión.

El vector unitario T de la tangente es

T =γγγ ′(t)‖γγγ ′(t)‖

=

(− r · sen t√

r2 +h2,

r · cos t√r2 +h2

,h√

r2 +h2

)La relación

k ·T =h√

r2 +h2

prueba que la tangente mantiene un ángulo constante, ααα , con las generatrices del cilindro, que vale

cos ααα =h√

r2 +h2

Tenemos para el vector derivado

dTdt≡(−r · cos t√

r2 +h2,−r · sen t√

r2 +h2, 0)

La relación de la derivación de las funciones componentes

dTds

=dTdt· dt

ds,

implica que paradTds

, sus coordenadas son

dTds≡(−r · cos tr2 +h2 ,

−r · sen tr2 +h2 , 0

)Si aplicamos, ahora, la fórmula de Frenet

dTds

=Nρρρ

se obtiene, para la curvatura de flexión

1ρρρ

=

∥∥∥∥ dTds

∥∥∥∥= rr2 +h2

y para el radio de curvatura

ρρρ =r2 +h2

r

465

Para el segundo vector, N, del triedro de Frenet, se tiene

N = ρρρ · dTds≡ (−cos t , −sen t , 0)

El tercer vector, B, del triedro de Frenet, será

B = T∧N≡(

h · sen t√r2 +h2

,−h · cos t√

r2 +h2,

r√r2 +h2

)

3.- Curvatura de torsión

Para el cálculo de la torsión, τττ , en el punto m, se utiliza

dBds

=1τττ·N

Una sola de las coordenadas dedBds

bastaran para determinar τττ . (Las otras pueden servir a título de verifica-

ción).

Calculamos, en primer lugardBds≡(

h · cos tr2 +h2 ,

h · sen tr2 +h2 , 0

)De la relación anterior, obtenemos

h · cos tr2 +h2 =

1τττ· (−cos t)

de donde resulta la torsión

τττ =− r2 +h2

h

466

Lección 35.- SUPERFICIES

35.1 Plano tangente y recta normal

35.2 Generación de superficies

35.3 Superficies de revolución

35.4 Cuádricas de revolución

35.5 Superficies regladas

35.1 Plano tangente y recta normal

Llamaremos superficie a la imagen de una aplicación

ϕϕϕ : A −→ E3

siendo A un subconjunto de E2, que supondremos, siempre, compuesto por los puntos de una curva plana

cerrada y los puntos interiores a ella.

Elegidos, en E2 y E3, sendos sistemas de referencia, la ecuación de una superficie puede venir dada en

la forma

S≡

x1 = x1(u, v)

x2 = x2(u, v) , (u, v) ∈ A

x3 = x3(u, v)

siendo éstas las ecuaciones paramétricas de la superficie.

Las funciones x1(u, v) , x2(u, v) y x3(u, v) las supondremos siempre, continuas y tantas veces dife-

renciables como sea necesario.

Ejemplo 1. Las ecuaciones x1 = r · cos u · sen v

x2 = r · sen u · sen v

x3 = r · cos v

son las ecuaciones paramétricas de la superficie esférica de centro el origen de coordenadas, y radio r.

Ejemplo 2. Las ecuaciones x1 = 3+2 ·λλλ −5 ·µµµ

x2 = 1+6 ·λλλ −5 ·µµµ

x3 =−3+2 ·λλλ +2 ·µµµ

son las ecuaciones paramétricas del plano que pasa por el punto P(3, 1, −3), y cuya variedad lineal de dirección

engendrada por los vectores v1 = (2, 6, 2) y v2 = (−5, −5, 2).

467

Eliminando los parámetros entre las tres ecuaciones paramétricas de una superficie, se obtendría una relación de la

forma

F(x1, x2, x3) = 0

que es la ecuación implícita de dicha superficie. Si en ella fuera posible despejar una de las variables, por ejemplo

la x3, obtendríamos

x3 = fff (x1, x2)

que es la ecuación explícita de dicha superficie.

En nuestro caso, sólo estaremos interesados en las que denominaremos superficies uniformes, que son

aquellas en las que cada paralela al eje de la x3 las corta, a lo sumo, en un punto. Evidentemente, en este

caso fff tiene que ser una función.

Ejemplo 3. Eliminando los parámetros u y v en las ecuaciones del Ejemplo 1, obtendríamos

x21 +x2

2 +x23 = r2

y despejando x3, tendríamos

x3 =±√

r2−x21−x2

2 ,

que no representaría una superficie uniforme, pero que se puede descomponer, para su estudio, en dos superficies

uniformes:

x3 =+√

r2−x21−x2

2 , x3 =−√

r2−x21−x2

2 .

Si en las anteriores ecuaciones paramétricas de una superficie damos el valor constante u0 el primer parámetro,

obtenemos las ecuaciones paramétricas x1 = x1(u0, v)

x2 = x2(u0,v)

x3 = x3(u0, v)

de una curva situada sobre la superficie. En forma análoga, si damos v un valor fijo v0, obtenemos otra curva sobre

la superficie.

Las curvas u = cte. y v = cte. , constituyen sendas familias de curvas sobre la superficie, a las que suele llamarse

curvas de coordenadas. Por cada punto de la superficie para al menos una curva de cada familia.

Ejemplo 4. En el Ejemplo 1, las curvas: u = cte. son las paralelas de la superficie esférica, y las v = cte. son los

meridianos de dicha superficie.

Dada una superficie en forma implícita F(x1, x2, x3) = 0, la condición para que una curva

γγγ ≡

x1 = x1(t)

x2 = x2(t)

x3 = x3(t)

468

este situada sobre la superficie, es que para todo valor del parámetro t, del intervalo de definición de la curva, se

verifique

F(x1(t), x2(t), x3(t)) = 0

Vamos a tratar, ahora , de hallar el lugar geométrico de los puntos de las tangentes a todas las curvas de una superficie

que pasa por el punto P(p1, p2, p3).

Si

γγγ ≡

x1 = x1(t)

x2 = x2(t)

x3 = x3(t)

es una curva de la superficie que pasa por P, se tiene que verificar

F(x1(t), x2(t), x3(t)) = 0 ,

tal como hemos visto. Derivando ambos miembros, respecto al parámetro t, tenemos

Fx1 ·x′1(t0)+Fx2 ·x′2(t0)+Fx3 ·x′3(t0) = 0

Por otra parte, la ecuación de la tangente a la curva, en el punto P, tiene por ecuaciones

x1−p1x′1(t0)

=x2−p2x′2(t0)

=x3−p3x′3(t0)

Eliminando x′1(t0) , x′2(t0) , x′3(t0) entre las dos ecuaciones anteriores obtenemos la ecuación del lugar buscado.

Fx1 · (x1−p1)+Fx2 · (x2−p2)+Fx3 · (x3−p3) = 0

Se trata de la ecuación de un plano, al que llamaremos plano tangente a la superficie en el punto P.

Hemos supuesto, evidentemente, que las derivadas parciales primeras de F, respecto a x1 , x2 y x3 , respec-

tivamente, no se anulan simultáneamente en el punto P. A los puntos de la superficie en que esto ocurre se

les llama puntos ordinarios, y a los puntos que no son ordinarios se les llama puntos singulares.

El plano tangente puede tomar otra forma, si consideramos coordenadas homogéneas, puesto que observando que

X ·Fx1 +Y · fx2 +Z ·Fx3 − (x1 ·Fx1 +x2 ·Fx2 +x3 ·Fx3) = 0

si aplicamos el teorema de Euler a la función homogénea

F(x1, x2, x3, x0) = 0 ,

tenemos

x1 ·Fx1 +x2 ·Fx2 +x3 ·Fx3 +x0 ·Fx0 = m ·F(x1, x2, x3, x0) = 0

de donde resulta la forma homogénea del plano tangente:

X1 ·Fx1 +X2 ·Fx2 +X3 ·Fx3 +X0 ·Fx0 = 0

En su aplicación conviene no olvidarnos que la ecuación debe ser homogénea, y si no lo fuera habría que homoge-

neizarla introduciendo la variable x0.

469

Ejemplo 5. Trazar a la superficie S planos tangentes paralelos al plano ΠΠΠ.

S≡ x22 +4 ·x2

3−2 ·x1 = 0 ; ΠΠΠ≡ 3 ·x1 +5 ·x2−x3 +18 = 0

La superficie S homogeneizada será: F = x22 +4 ·x2

3−2 ·x1 ·x0 = 0.

Aplicando la fórmula anterior tenemos como plano tangente a S, en el punto (X1, X2, X3):

−2 ·X1 +2 ·x2 ·X2 +8 ·x3 ·X3−2 ·x1 = 0

Por ser paralelo al plano ΠΠΠ tendremos−23

=2 ·x2

5=

8 ·x3−1

al establecer la proporcionalidad de sus vectores característicos.

Obtenemos así el sistema x2

2 +4 ·x23−2 ·x1 = 0

3 ·x22 =−5

12 ·x3 = 1

cuya solución, única, es

x1 =10172

, x2 =−53

, x3 =1

12siendo, por tanto el plano tangente en este punto

72 ·X1 +102 ·X2−24 ·X3 +101 = 0

Ejemplo 6. Determinar el plano tangente y la normal principal a la superficie

S≡ x61 +4 ·x2

2−4 ·x23 = 0


Ponemos la superficie en su forma homogénea:

F≡ x61 +4 ·x2

2 ·x40−4 ·x2

3 ·x40 = 0

El plano tangente será, entonces el siguiente

X1 ·Fx1 +X2 ·Fx2 +X3 ·Fx3 +X0 ·Fx0 = 0

es decir

X1 · (6 ·x51)+X2 · (8 ·x2)+X3 · (−8 ·x3)+X0 · (16 ·x2

2 ·x30−16 ·x2

3 ·x30) = 0

o lo que es lo mismo (haciendo x0 = 1):

6 ·x51 ·X1 +8 ·x2 ·X2−8 ·x3 ·X3 +16 ·x2

2−16 ·x23 = 0

y particularizando a que pase por el punto P(2, 0, 4) será

6 ·32 ·X1 +8 ·0 ·x2−8 ·4 ·X3 +16 ·02−16 ·16 = 0

470

simplificando tendremos

6 ·X1−X3−8 = 0

Las ecuaciones de la normal principal a la superficie dada, en el punto P(2, 0, 4), teniendo en cuenta que el vector

característico del plano tangente es : (6, 0, −1), será

x1−26

=x20

=x3−4−1

Ejemplo 7. Determinar el plano tangente en un punto cualquiera de la superficie

F(x1, x2, x3) = x21 ·x

23 +a2 ·x2

2− r ·x21 = 0

y establecer cuando el plano tangente es paralelo al plano x1 ·x2.

Derivando tendremos Fx1 = 2 ·x1 ·x2

3−2 · r2 ·x1

Fx2 = 2 ·a2 ·x2 · r

Fx3 = 2 ·x21 ·x3 ,

luego la ecuación del plano tangente en el punto (X1, X2, X3) será

Fx1 · (x1−X1)+Fx2 · (x2−X2)+Fx3 · (x3−X3) = 0

es decir

(2 ·x1 ·x23−2 · r2 ·x1) · (x1−X1)+2 ·a2 ·x2 · (x2−X2)+2 ·x2

1 ·x3 · (x3−X3) = 0

y operando

−(2 ·x1 ·x23−2 · r2 ·x1) ·X1−2 ·a2 ·x2 ·X2−2 ·x2

1x3 ·X3 +2 ·x21 ·x

23−2 · r2 ·x2

1 +2 ·a2 ·x22 +2 ·x2

1 ·x23 = 0

(x23− r2) ·x1 ·X1 +a2 ·x2 ·X2 +x2

1 ·x3 ·X3−x21 ·x

23−x1 ·x2

3−a2 ·x22 + r2 ·x1 = 0

(x23− r2) ·x1 ·X1 +a2 ·x2 ·X2 +x2

1 ·x3 ·X3 = x21 ·x

23 +(x1 ·x2

3 +a2 ·x22− r2 ·x1)︸︷︷︸

F(x1, x2, x3) = 0

siendo, por tanto, la ecuación del plano tangente en el punto (X1, X2, X3), la siguiente

(x23− r2) ·x1 ·X1 +a2 ·x2 ·X2 +x2

1 ·x3 ·X3 = x21 ·x

23

Dado que el vector característico del plano tangente es

v =((x2

3− r2) ·x1 , a2 ·x2 , x21 ·x3

)deberá verificarse que x2

3− r2 = 0

x2 = 0

471

o lo que es lo mismo x3 =±r

x2 = 0

Ejemplo 8. Determinar la ecuación de los planos tangentes a la superficie:

x21 +3 ·x2

2 +x23−5 = 0

paralelos al plano

x1 +3 ·x2 +x3 = 0

Si el punto de contacto es el P(x1, x2, x3, x0), el plano tangente en P será el:

x1 ·X1 +3 ·x2 ·X2 +x3 ·X3−5 = 0 .

Por ser paralelo al plano dado se verificará:

x11

=3 ·x2

3=

x31

=⇒ x11

=x21

=x31

valores que llevamos a la ecuación de la superficie; así

x23 +3 ·x2

3 +x23−5 = 0 =⇒ 5 ·x2

3 = 5

de donde resultará:

x3 =±1 .

Luego los puntos de contacto serán:

(1, 1, 1) y (−1, −1, −1)

que llevados a la ecuación del plano tangente nos darán, como soluciones, las dos siguientes:

X1 +3 ·X2 +X3−5 = 0 y X1 +3 ·X2 +X3 +5 = 0

Ejemplo 9. Trazar planos tangentes a la superficie

S≡ x21 +3 ·x2

2−2 ·x3 = 0

que contengan a la recta

r≡

x1 = 3 ·x3 +1

x2 =−23·x3 +

13

Sabemos que si la ecuación homogénea de la superficie es

S(x1, x2, x3, x0) = 0

la forma homogénea del plano tangente es

X1 ·Sx1 +X2 ·Sx2 +X3 ·Sx3 +X0 ·Sx0 = 0

472

En nuestro caso, tenemos que

Sx1 = 2 ·x1 , Sx2 = 6 ·x2 , Sx3 =−2 , Sx0 =−2 ·x3

luego el plano tangente, en el punto (x1, x2, x3, x0) es el

2 ·x1 ·X1 +6 ·x2 ·X2−2 ·X3−2 ·x3 = 0

y simplificando:

(I) x1 ·X1 +3 ·x2 ·X2−X3−x3 = 0 .

Identificando el haz de planos que contienen a la recta r

(X1−3 ·X3−1)+λλλ · (3 ·X2 +2 ·X3−1) = 0

con el plano obtenido

x1 ·X1 +3 ·x2 ·X2−X3−x3 = 0

obtenemosx11

=3 ·x23 ·λλλ

=−1

−(3−2 ·λλλ )=

−x3−(1+λλλ )

es decir

x1 =x2λλλ

=1

3−2 ·λλλ=

x31+λλλ

de donde

(II)

x1 =

13−2 ·λλλ

x2 =λλλ

3−2·λλλ

x3 =1+λλλ

3−2·λλλ

y sustituyendo en la ecuación de la superficie, tenemos(1

3−2 ·λλλ

)2+3 ·

(λλλ

3−2 ·λλλ

)−2 ·

(1+λλλ

3−2 ·λλλ

)= 0

es decir

1+3 ·λλλ 2−2 · (1+λλλ ) · (3−2 ·λλλ ) = 0

que reordenada es

7 ·λλλ 2−2 ·λλλ −5 = 0

cuyas raíces son

λλλ =

157

.

Sustituyendo λλλ = 1 en (II) obtenemos

x1 = 1 , x2 = 1 , x3 = 2

valores que llevados a (I), ecuación del plano tangente, nos da uno que cumple lo pedido:

X1 +3 ·X2−X3−2 = 0

473

y haciendo lo mismo con λλλ =57

, obtenemos el segundo de los plano que cumplen con lo pedido en el enunciado:

7 ·X1−15 ·X2−31 ·X3−2 = 0

Analicemos, ahora, la intersección de una recta dada y un plano, en principio cualquiera, pero que

luego aplicaremos al problema de determinar los eventuales planos tangentes a una superficie por una

recta dada.

Sean la recta y el plano dados por las ecuacionesx1 = a ·x3 +h

x2 = b ·x3 +k, A ·x1 +B ·x2 +C ·x3 +D = 0

Las coordenadas del punto de intersección de la recta y el plano dados, se encontraran resolviendo el

sistema x1 = a ·x3 +h

x2 = b ·x3 +k

A ·x1 +B ·x2 +C ·x3 +D = 0

es decir

x3 =−A ·h+B ·k+DA ·a+B ·b+C

x1 =−a · A ·h+B ·k+DA ·a+B ·b+C

+h

x2 =−b · A ·h+B ·k+DA ·a+B ·b+C

+k

Pueden ocurrir tres casos en esta resolución:

1o.- A ·a+B ·b+C 6= 0 ; La recta y el plano se cortan en un punto propio.

2o.-A ·a+B ·b+C = 0

A ·h+B ·k+D 6= 0

; La recta y el plano son paralelos.

3.-A ·a+B ·b+C = 0

A ·k+B ·h+D = 0

; La recta está situada en el plano

Veamos una aplicación de todo esto en el ejemplo siguiente:

474

Ejemplo 10. Por la recta r trazar tangentes a la superficie S:

S≡ x1 +x22−2 ·x2

3 = 0 , r≡

x1 = 2 ·x3−1

x2 =−x3 +2

El plano tangente a S en el punto (X1, X2, X3) será

X1 ·Sx1 +X2 ·Sx2 +X3 ·Sx3 +X0 ·Sx0 = 0

es decir

X1 · (1)+X2(2 ·x2)+X3 · (−4 ·x23)+X0 · (x1) = 0


1︸︷︷︸A

·X1 +2 ·x2︸︷︷︸B

·X2−4 ·x23︸︷︷︸

C

·X3 + x1︸︷︷︸D

= 0 (haciendo x0 = 1)

Así para que este plano contenga a la recta dada, r, se debe verificar la condición:

a = 2 , b =−1 , h =−1 , k = 2 ,

es decir1 ·2+2 ·x2 · (−1)−4 ·x2

3 = 0

1 · (−1)+2 ·x2 · (2)+x1 = 0

=⇒2−2 ·x2−4 ·x2

3 = 0

−1+4 ·x2 +x1 = 0

Los puntos de contacto verificaran, por tanto, el sistema:

x1 +x22−2 ·x2

3 = 0

2−2 ·x2−4 ·x23 = 0

−1+4 ·x2 +x1 = 0

que resuelto da los puntos de contacto de los dos planos tangentes:(−11∓8 ·

√2 , 3±2 ·

√2 ,

−5∓√

4 ·√

22

).

Llamaremos recta normal a una superficie es un punto, a la recta perpendicular al plano tangente a la

superficie en dicho punto.

Dado que un vector característico del plano tangente es el

(Fx1 , Fx2 , Fx3)

este será un vector de dirección de la recta normal, luego las ecuaciones de ésta, en el punto P, serán

x1−p1Fx1

=x2−p2

Fx2

=x3−p3

Fx3

475

Ejemplo 11. La ecuación del plano tangente a la superficie esférica, de ecuación

x21 +x2

2 +x23 = r2 ,

en el punto

P(

r√3

,r√3

,r√3

),

es

x1 +x2 +x3−√

3 · r = 0

y las de la recta normal√

3 ·x1− r =√

3 ·x2− r =√

3 ·x3− r

Si la superficie viniera dada en forma explícita: x3 = fff (x1, x2) entonces

Fx1 = fff x1 , Fx2 = fff x2 , Fx3 =−1 ,

luego la ecuación del plano tangente seria

x3−p3 = fff x1 · (x1−p1)+ fff x2 · (x2−p2)

y las ecuaciones de la recta normal serían

x1−p1fff x1

=x2−p2

fff x2

=x3−p3

fff x3

Ejemplo 12. Las ecuaciones del plano tangente y de la normal a la superficie

x3 = 2 ·x1 ·x32 ,

en el punto P(2, −1, −4), son, respectivamente

x3 +4 =−2 · (x1−2)+12 · (x2 +1) ,x1−2−2

=x2 +1

12=

x3 +4−1

Si la superficie viene dada en forma paramétrica, entonces un vector característico del plano tangente a

la superficie en el punto x(u0, v0) es el

xu(u0, v0)×xv(u0, v0) ,

puesto que los vectores: xu(u0, v0) y xv(u0, v0) son paralelos a dicho plano, por ser vectores de dirección

de las curvas de coordenadas que pasan por dicho punto. La ecuación del plano tangente es, por tanto,∣∣∣∣∣∣∣∣∂x2∂u

∂x3∂u

∂x2∂v

∂x3∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣ ·(x1−x1 · (u0, v0))+

∣∣∣∣∣∣∣∣∂x3∂u

∂x1∂u

∂x3∂v

∂x1∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣ ·(x2−x2 · (u0, v0))+

+

∣∣∣∣∣∣∣∣∂x1∂u

∂x2∂u

∂x1∂v

∂x2∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣ ·(x3−x3 · (u0, v0)) = 0

476

y las de la recta normal

x1−x1 · (u0, v0)∣∣∣∣∣∣∣∣∂x2∂u

∂x3∂u

∂x2∂v

∂x3∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣=

x2−x2 · (u0, v0)∣∣∣∣∣∣∣∣∂x3∂u

∂x1∂u

∂x3∂v

∂x1∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣=

x3−x3 · (u0, v0)∣∣∣∣∣∣∣∣∂x1∂u

∂x2∂u

∂x1∂v

∂x2∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣Las derivadas parciales, respecto a u y v están particularizadas para el punto en cuestión.

Ejemplo 13. Determinar el plano tangente a la superficie

S≡

x1 = u2−v2

x2 = u+v

x3 = u2 +4 ·v

en el punto P(− 1

4, − 1

2, −2

).

Tenemos que:

∂x1∂u

= 2 ·u ;∂x1∂v

=−2 ·v ;∂x2∂u

= 1 ;∂x2∂v

= 1 ;∂x3∂u

= 2 ·u ;∂x3∂v

= 4

y los valores de u y v que corresponden al punto P del plano son

− 14

= u2−v2

− 12

= u+v

−2 = u2 +4 ·v

=⇒ u = 0 , v =− 1

2

luego:∂x1∂u

= 0 ,∂x1∂v

= 1 ,∂x2∂u

= 1 ,∂x2∂v

= 1 ,∂x3∂u

= 0 ,∂x3∂v

= 4

Por tanto, el plano tangente en el punto P será:∣∣∣∣∣∣1 0

1 4

∣∣∣∣∣∣ ·(

x1 +14

)+

∣∣∣∣∣∣0 0

4 1

∣∣∣∣∣∣ ·(

x2 +12

)+

∣∣∣∣∣∣0 1

1 1

∣∣∣∣∣∣ · (x3 +2) = 0

es decir

4 ·(

x1 +14

)− (x3 +2) = 0 =⇒ 4 ·x1−x3−1 = 0

La recta normal, en P, sería la

x1 +14

4=

x2 +12

0=

x3 +2−1

Ejemplo 14. Consideremos la superficie

S≡

x1 = u2 +v2

x2 = u ·v

x3 = u3−2 ·u ·v

477

Su plano tangente y recta normal, en el punto correspondiente a los valores de los parámetros: u = 3 , v =−2 ,

tienen por ecuaciones respectivas

105 · (x1−7)+67 · (x2 +6)+20 · (x1−21) = 0 yx1−7105

=x2 +6

67=

x3−2120

.

Veamos, ahora, lo que se entiende por contorno aparente de una superficie, para lo que consideraremos

la superficie de ecuación implícita: F(x1, x2, x3) = 0.

El sistema F(x1, x2, x3) = 0

Fx3(x1, x2, x3) = 0

representa una curva de la superficie cuyos puntos cumplen la condición de que el plano tangente en

ellos a la superficie es paralelo al eje Ox3. A esta curva se le llama contorno aparente de la superficie

dada respecto al eje Ox3.

Ejemplo 15. El contorno aparente de la superficie

S≡ (x1−2)2 +(x2 +4)2 +(x3−1)2−9 = 0

(superficie esférica de centro el punto (2, −4, 1) y radio 3)

tiene como contorno aparente, respecto a Ox3, la curva

γγγ ≡

(x1−2)2 +(x2 +4)2 +(x3−1)2−9 = 0

x3−1 = 0

Sistema que es equivalente al

γγγ ≡

(x1−2)2 +(x2 +4)2−9 = 0

x3−1 = 0 ,

que representa una circunferencia de centro (2, −4, 1) y radio 3, en el plano: x3−1 = 0.

Ejemplo 16. Determinar el contorno aparente, sobre el plano x1x2, de la superficie

x21 ·x3 +x2

2 ·x3 +x21 +x2

2−x23−1 = 0

Bastará con eliminar x3 entre las ecuacionesF(x1, x2, x3) = x21 ·x3 +x2

2 ·x3 +x21 +x2

2−x23−1 = 0

Fx3(x1, x2, x3) = x21 +x2

2−2 ·x3 = 0

Despejando x3 en la segunda ecuación

x3 =x2

1 +x22

2

478

y sustituyendo, ésta, en la primera, resulta la ecuación del contorno aparente pedido:

(x21 +x2

2)+4 · (x21 +x2

2)−4 = 0

Ejemplo 17. Determinar el contorno aparente, sobre el plano:

x3 = 0

de la superficie dada por su ecuaciones paramétricas:

γγγ ≡

x1 = u

x2 = 2 ·u ·v−v2

x3 = 3 ·u ·v−2 ·v2

Tenemos que:

∂x1∂u

= 1 ,∂x1∂v

= 0 ,∂x2∂u

= 2 ·v ,∂x2∂v

= 2 ·u−2 ·v ,∂x3∂u

= 3 ·v ,∂x3∂v

= 3 ·u−6 ·v2

La ecuación del plan tangente será: ∣∣∣∣∣∣∣∣X1−x1 X2−x2 X3−x3

1 2 ·v 3 ·v

0 2 ·u−2 ·v 3 ·u−6 ·v2

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

y para que sea paralelo al x3 = 0, su vector característico debe ser: v = (a, b, 0), luego∣∣∣∣∣∣1 2 ·v

0 2 ·u−2 ·v

∣∣∣∣∣∣= 0 =⇒ 2 ·u−2 ·v = 0 =⇒ u = v

Llevado éstos a las ecuaciones paramétricas tendremos la ecuación paramétrica de la curva de contacto del cilindrox1 = u

x2 = u2

x3 = 3 ·u2−2 ·u3

y el contorno aparente x1 = u

x2 = u2

es decir

x2 = x21

479

Estudiamos, ahora, en particular, las curvas de contacto de un cono y un cilindro circunscritos a una

superficie:

Dado un punto P(x′1, x′2, x′3), y una superficie, fff (x1, x2, x3) = 0, todo plano tangente a la misma tendrá

por ecuación

X1 · fff ′x1+X2 · fff ′x2

+X3 · fff ′x3+X0 · fff ′xt = 0

pero, dado que debe pasar por el punto P, tendremos

x′1 · fff ′x1+x′2 · fff ′x2

+x′3 · fff ′x3+ t · fff ′xt = 0

Dado que las coordenadas del punto de contacto deben verificar la anterior ecuación y la de la superficie

fff (x1, x2, x3) = 0 ,

resultará, éste, un problema indeterminado, con infinitas soluciones, que dan lugar a una curva de con-

tacto.

Los planos tangentes trazados por P, determinan un cono circunscrito a la superficie a lo largo de la

curva de contacto.

Si la superficie de contacto es de segundo grado la ecuación

x′1 · fff ′x1+x′2 · fff ′x2

+x′3 · fff ′x3+ t · fff ′xt = 0

es lineal y representa un plano, luego la curva de contacto es plana.

Dada una dirección x1 = a ·x3

x2 = b ·x3

todo plano tangente a la superficie y paralelo a la recta dada deberá verificar la condición de paralelismo

a · fff ′x1+b · fff ′x2

+ fff x3 = 0

ecuación que con la

fff (x1, x2, x3) = 0 ,

define los puntos de contacto de los planos, puntos que forman una curva, determinando aquellos planos

un cilindro circunscrito a la superficie, y cuyas generatrices son paralelas a la recta dada.

Si la superficie es de segundo grado, la ecuación

a · fff ′x1+b · fff ′x2

+ fff x3 = 0

es lineal, y representa un plano, luego la curva de contacto es plana.

480

Ejemplo 18. Determinar la curva de contacto del cono circunscrito a la superficie

S≡ x21 +x2

2−x23−2 ·x1−1 = 0

desde el origen de coordenadas.

Aplicando la fórmula

x′1 · fff′x1+x′2 · fff

′x2+x′3 · fff

′x3+ t · fff ′t = 0

resulta

fff ′t = 0 =⇒ −2 ·x1−2 = 0 =⇒ x1 =−1 ;

luego

x1 =−1

x21 +x2

2−x23−2 ·x1−1 = 0

es decir

x1 =−1

x22−x2

3 +2 = 0

(hipérbola equilátera)

Ejemplo 19. Determinar la curva de contacto del cilindro circunscrito a la superficie

ϕϕϕ ≡ x1 +x2−x23 = 0

paralelamente a la recta

r≡

x1 = x3

x2 = 2 ·x3

La recta, r, en su forma continua será:

x1−11

=x2−2

2=

x3−11

Aplicando la fórmula

a ·ϕϕϕ ′x1+b ·ϕϕϕ ′x2

+ c ·ϕϕϕ ′x3= 0

tenemos

1+2−1 ·3 ·x23 = 0 =⇒ x2

3 = 1

La curva de contacto será, por tanto

x23 = 1

x1 +x2−x23 = 0

=⇒x2

3 = 1

x1 +x2−1 = 0

=⇒x3 =±1

x1 +x2 = 1

es decir, dos rectas situadas en los dos planos horizontales: x3 =±1.

481

Toda ecuación de la forma

fff (x1, x2, x3, λλλ ) = 0

en la cual λλλ es un parámetro variable, representa una familia de superficies.

En el caso de que fff sea racional entera, de grado n en x1, x2, x3, pero lineal en λλλ , la familia recibe el

nombre de haz lineal de superficie de orden n, resultando

fff (x1, x2, x3)+λλλ ·ggg(x1, x2, x3) = 0

como una combinación lineal de las ecuaciones fff (x1, x2, x3) = 0

ggg(x1, x2, x3) = 0

que representan dos superficies del haz, las correspondientes a los valores del parámetro λλλ = 0 y λλλ =∞∞∞.

Las superficies del haz pasaran siempre por una curva fija, determinada por el sistema anterior. Además,

por todo punto del espacio, no perteneciente a esta curva, pasa por una sola superficie del haz, corres-

pondiente a un valor determinado de λλλ .

Existen distintos haces de superficies, de entre los que cabe distinguir los siguientes:

1o.- La ecuación

fff 1 · fff 2 +λλλ ·ggg1 ·ggg2 = 0

representa un haz de superficies, cada una de las cuales pasa por las líneas fff 1 = 0

ggg1 = 0;

fff 1 = 0

ggg2 = 0;

fff 2 = 0

ggg1 = 0;

fff 2 = 0

ggg2 = 0

2o.- La ecuación

fff 1 · fff 2 · · · · · · fff p ·+λλλ ·ggg1 ·ggg2 · · · · · ·gggq = 0

representa un haz de superficies, cada una de las cuales pasa por las líneas fff i = 0

gggj = 0, (i = 1, · · · · · · , p , j = 1, · · · · · · , q)

3o.- La ecuación

fff +λλλ ·ggg1 ·ggg2 = 0

representa, para cada valor de λλλ , una superficie que pasa por las líneas con que la fff corta a las ggg1

y ggg2.

482

4o.- La ecuación

fff +λλλ ·ggg2 = 0 ,

caso particular de la anterior, cuando ggg1 = ggg2, representa una superficie tangente a la fff a lo largo

de la línea intersección de la fff y la ggg.

5o.- La ecuación

fff +λλλ 1 ·ggg+λλλ 2 ·hhh = 0 ,

con dos parámetros variables, representa una red de superficies, cada una de las cuales pasa por

los puntos comunes a las tres superficies fff , ggg, hhh.

Por otra parte, observamos que si una ecuación es tal que su primer miembro es el producto de dos o más

factores

fff (x1, x2, x3) = fff 1(x1, x2, x3) · fff 2(x1, x2, x3) · · · · · ·= 0

la superficie fff (x1, x2, x3) = 0 estará formada por el conjunto de superficies

fff 1(x1, x2, x3) = 0 , fff 2(x1, x2, x3) = 0 , · · · · · ·

ya que las infinitas soluciones de fff 1 , fff 2 , · · · · · · forman las soluciones de la superficie dada, que llama-

remos compuesta y a las fff 1 , fff 2 , · · · · · · superficies indescomponibles.

Veamos, ahora, como determinar si una superficie, que supondremos indescomponible, contiene rectas.

Al cortar la superficie por una recta cualquiera

fff (x1, x2, x3) = 0x1 = m ·x3 +h

x2 = n ·x3 +k

para que existan infinitas soluciones deberán anularse todos los coeficientes de la ecuación

fff (m ·x3 +h, n ·x3 +k, x3) = 0 .

Además, si el sistema anterior fuese compatible y pueden determinarse: m, n, h, k, habrá rectas, corres-

pondientes a esos valores en la superficie dada.

Se representaría, para finalizar, ensayando rectas paralelas a un plano, o a un eje; es decirx2 = m ·x1 +h

x3 = k;

x1 = p

x3 = k .

483

Ejemplo 20. Dada la superficie

S≡ x21 +3 ·x2

2−5 ·x23 +2 ·x1 +3 ·x3−12 = 0 ,

determinar una superficie que tenga las mismas direcciones asintóticas que la S, sea tangente en el origen al

plano X1X2, y pase por el punto P(1, 1, 1).

La superficie buscada tendrá la forma (iguales direcciones asintóticas):

x21 +3 ·x2

2−5 ·x23 +A ·x1 +B ·x2 +C ·x3 = 0

Al imponer que es tangente en el origen al plano X1X2, tendremos:

Por ser OX1 tangente en el origen: A = 0.

Por ser OX2 tangente en el origen: B = 0.

Al imponer que pase por el punto P(1, 1, 1) resultará

1+3−5+C = 0 =⇒ C = 1

En consecuencia la superficie buscada será:

x21 +3 ·x2

2−5 ·x23 +x3 = 0

Ejemplo 21. Dada la superficie S, y la esfera C,

S≡ x33−x3

2 +5 = 0 , C≡ x21 +x2

2 +x23−1 = 0

determinar una superficie de tercer orden que pase por la curva intersección de S y C, y que pase por el origen

y por los puntos P(5, 0, 0) , Q(0, 2, 0) y R(0, 0, 3).

La superficie buscada será de la forma

x33−x3

2 +5+(x21 +x2

2 +x33−1) · (A ·x1 +B ·x2 +C ·x3 +D) = 0

Por pasar por el origen, tendremos

5+(−1) · (D) = 0 =⇒ D = 5

Por pasar por el punto P(5, 0, 0), será

5+(52−1) · (5 ·A+5) = 0 =⇒ A =− 2524

Por pasar por el punto Q(0, 2, 0) resultará

−23 +5+(22−1) · (2 ·B+5) = 0 =⇒ B =−2

Por pasar por el punto R(0, 0, 3) obtendremos

33 +5+(32−1) · (3 ·C+5) = 0 =⇒ C =−3

484

En consecuencia la superficie buscada será

x33−x3

2 +5+(x21 +x2

2 +x23−1) ·

(− 25

24·x1−2 ·x2−3 ·x3 +5

)= 0

es decir

24 · (x33−x3

2 +5)+(x21 +x2

2 +x23−1) · (−25 ·x1−48 ·x2−72 ·x3 +120) = 0

Ejemplo 22. Determinar de entre todas las superficies que pasan por la intersección de las S1 , S2 , S3 ,

aquella que tenga las direcciones asintóticas de la S4:

S1 ≡ x22 +3 ·x1 = 0 ; S2 ≡ x2

1 +x22 +8 ·x3−1 = 0 ; S3 ≡ x2 ·x3 +3 ·x1 = 0

S4 ≡ x21 +3 ·x2

2 +4 ·x2 ·x3−5 ·x1 +8 ·x2−11 = 0

Considerando la red de superficies

S1 +λλλ ·S2 +µµµ ·S3 = 0

tenemos

x22 +3 ·x1 +λλλ · (x2

1 +x22 +8 ·x3−1)+µµµ · (x2 ·x3 +3 ·x1) = 0

y operando

x22 · (1+λλλ )+λλλ ·x2

1 +µµµ ·x2 ·x3 +(3+3 ·µµµ) ·x1 +8 ·λλλ −λλλ = 0

Identificando, ahora, las direcciones asintóticas resulta

λλλ

1=

1+λλλ

3=

µµµ

4

es decirλλλ

1=

1+λλλ

3=⇒ 3 ·λλλ = 1+λλλ =⇒ 2 ·λλλ = 1 =⇒ λλλ =

12

λλλ

1=

µµµ

4=⇒ µµµ = 4 ·λλλ = 4 · 1

2= 2

Sustituyendo estos valores en la ecuación de la red de superficies obtenemos la superficie que nos interesa

x22 +3 ·x1 +

12· (x2

1 +x22 +8 ·x3−1)+2 · (x1 ·x3 +3 ·x1) = 0

es decir

3 ·x22 +x2

1 +4 ·x1 ·x3 +8 ·x3−1 = 0

Ejemplo 23. Determinar las generatrices rectilíneas de la superficie

S≡ x1 ·x2 ·x3 = x1 +1

Al cortar por la recta genérica

r≡

x1 = a ·x3 +h

x2 = b ·x3 +k

485

obtenemos

(a ·x3 +h) · (b ·x3 +k) ·x3 = a ·x3 +h+1

es decir

a ·b ·x33 +a ·k ·x2

3 +b ·h ·x23 +h ·k ·x3 = a ·x3 +h+1


a ·b ·x33 +(a ·k+b ·h) ·x2

3 +(h ·k−a) ·x3− (h+1) = 0

polinomio que ha de ser idénticamente nulo, luego

a ·b = 0

a ·k+b ·h = 0

h ·k−a = 0

h+1 = 0

=⇒

a ·b = 0

a ·k−b = 0

k−a = 0

h =−1

=⇒

b = 0

a ·k = 0

a+k = 0

=⇒b = 0

k = 0

a = 0

; o bien

a = 0

b = 0

k = 0

Resulta, entonces, la generatriz

x1 = 0 ·x3−1

x2 = 0 ·x3 +k

=⇒x1 +1 = 0

x2 = 0

Si la recta genérica hubiese sido la x1 = a ·x2 +h

x3 = b ·x2 +k

hubiésemos obtenido

(a ·x2 +h) ·x2 · (b ·x2 +k) = (a ·x2 +h)+1

es decir

a ·b ·x32 +a ·k ·x2

2 +b ·h ·x22 +h ·k ·x2 = a ·x2 +h+1

es decir, el polinomio

a ·b ·x32 +(a ·k+b ·h) ·x2

2 +(h ·k−a) ·x2− (h+1) = 0

que al hacerlo idénticamente nulo, nos da como antes,

a = 0 , b = 0 , k = 0 , h =−1

con lo que obtenemos una segunda generatriz x1 +1 = 0

x3 = 0

486

Ejemplo 24. Determinar las generatrices rectilíneas de la superficie

S≡ x31 +x3

2 +x33−m3 = 0

Procediendo como en el ejemplo anterior tendremos

1.- Generatrices de la forma

ggg1 ≡

x1 = a ·x3 +h

x2 = b ·x3 +k

con lo que obtenemos el polinomio

(a3 +b3 +1) ·x33 +3 · (h ·a2 +k ·b2) ·x2

3 +3 · (h2 ·a+k2 ·b) ·x3 +h3 +k3−m3 = 0

que al hacer idénticamente nulo nos da

a3 +b3 +1 = 0

h ·a2 +k ·b2 = 0

h2 ·a+k2 ·b = 0

h3 +k3 = m3

=⇒ Dos soluciones

b = h = 0 , k = m , a =−1

k = a = 0 , h = m , b =−1

de donde resultan las dos generatricesx1 +x3 = 0

x2 = m,

x2 +x3 = 0

x1 = m

2.- Generatrices de la forma

ggg2 ≡

x2 = a ·x1 +h

x3 = b ·x1 +k

nos darían una tercera generatriz x1 +x2 = 0

x3 = 0

35.2 Generación de superficies

Se genera una superficie cuando se considera ésta como lugar geométrico de una línea que se mueve en

el espacio variando de posición, forma y magnitud, según una ley determinada. A esta línea se le llama

generatriz, y en general se llaman generatrices a las distintas posiciones de la misma.

En el caso más sencillo, las ecuaciones de la generatriz dependen de un sólo parámetro λλλ fff (x1, x2, x3,λλλ ) = 0

g(x1, x2, x3,λλλ ) = 0

487

que al variar da una simple infinidad de curvas situadas sobre la superficie

F(x1, x2, x3) = 0

obtenida por eliminación del parámetro.

Si la generatriz tuviese dos parámetros, λλλ 1 y λλλ 2 fff (x1, x2, x3, λλλ 1, λλλ 2) = 0

g(x1, x2, x3,λλλ 1, λλλ 2) = 0

La eliminación de λλλ 1, daría tantas superficies como valores tomara λλλ 2; ahora bien, si entre los parámetros

existiese una relación

ϕϕϕ(λλλ 1, λλλ 2) = 0

no habría, evidentemente, más que un sólo parámetro en la generatriz, obteniéndose una sola superficie

por la eliminación de λλλ 1 y λλλ 2 entre las ecuaciones anteriores.

Si, en general, la generatriz tuviese n parámetros fff (x1, x2, x3, λλλ 1, · · · · · ·λλλ n) = 0

g(x1, x2, x3,λλλ 1, · · · · · ·λλλ n) = 0

se engendrará una sola superficie si entre los parámetros es posible establecer n−1 ecuaciones de con-

dición

ϕϕϕ1(λλλ 1, · · · · · · · · · · · · ,λλλ n) = 0

ϕϕϕ2(λλλ 1, · · · · · · · · · · · · ,λλλ n) = 0

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

ϕϕϕn−1(λλλ 1, · · · · · · · · · ,λλλ n) = 0

obteniéndose la superficie, como antes, eliminando los n parámetros entre las n+1 ecuaciones anterio-

res.

Sin embargo, en general, las ecuaciones de condición entre los parámetros suelen obtenerse expresando

que la generatriz se apoya sobre otras tantas líneas fijas, llamadas directrices.

Una directriz equivale a una ecuación entre los parámetros, puesto que debiéndose apoyar la generatriz fff (x1, x2, x3, λλλ 1, · · · · · ·λλλ n) = 0

g(x1, x2, x3,λλλ 1, · · · · · ·λλλ n) = 0

sobre una directriz ψψψ1(x1, x2, x3) = 0

ψψψ2(x1, x2, x3) = 0

488

el sistema formado por ambas tendrá que ser compatible, siendo la condición de compatibilidad, la que

resulta de eliminar las variables, obteniendose

ψψψ(λλλ 1, λλλ 2, · · · · · · ,λλλ n) = 0

Así, las directrices van quitando grados de libertad a la generatriz, y si ésta tiene n parámetros, con n−1

directrices se tiene determinado el movimiento de la generatriz para producir una sola superficie.

Ejemplo 1. Determinar la ecuación de la esfera, que pasa por el origen de coordenadas, y contenga la cir-

cunferencia

C≡

x21 +x2

2 +x23−2 ·x1−4 ·x2−6 ·x3 +10 = 0

x1 +x2 +x3−6 = 0

Las esferas que contienen a la circunferencia dada serán

(x21 +x2

2 +x23−2 ·x1−4 ·x2−6 ·x3 +10)+λλλ · (x1 +x2 +x3−6) = 0

Por pasar por el origen tendremos que

10−6 ·λλλ = 0 =⇒ λλλ =53

Luego la esfera pedida tendrá por ecuación

(x21 +x2

2 +x23−2 ·x1−4 ·x2−6 ·x3 +10)+

53· (x1 +x2 +x3−6) = 0

es decir

3 ·x21 +3 ·x2

2−3 ·x23−x1−7 ·x2−13 ·x3 = 0

Ejemplo 2. Determinar la ecuación de las esferas que contengan a la circunferencia

γγγ ≡

x21 + x2

2 + x23 = 5

x1 +2 ·x2 +3 ·x3 = 3

y son tangentes al plano

ΠΠΠ≡ 4 ·x1 +3 ·x2−15 = 0

El haz de esferas que contienen a la circunferencia γγγ es,

(x21 +x2

2 +x23−5)+λλλ · (x1 +2 ·x2 +3 ·x3−3) = 0

que podemos escribir en la forma siguiente,(x1 +

λλλ

2

)2+(x2 +λλλ )2 +

(x3 +

3 ·λλλ2

)2= 5+3 ·λλλ +

λλλ 2

4+λλλ

2 +94·λλλ 2

El centro de esas esferas será, por tanto, el siguiente

C(− λλλ

2, −λλλ , − 3 ·λλλ

2

)489

y su radio, R, será

R2 = λλλ2 ·(

14

+1+94

)+5+3 ·λλλ =

72·λλλ 2 +3 ·λλλ +5

Expresamos, ahora, que la distancia del centro, C, al plano ΠΠΠ, es igual al radio, R, con lo que obtenemos la igualdad:(−2 ·λλλ −3 ·λλλ −15√

42 +32

)2=

72·λλλ 2 +3 ·λλλ +5

es decir25 ·λλλ 2−150 ·λλλ +225

25=

72·λλλ 2 +3 ·λλλ +5 =⇒ −5λλλ

2 +6 ·λλλ +8 = 0

ecuación, ésta, cuyas raíces son:

λλλ 1 = 2 , λλλ 2 =−45

Sustituyendo estos valores en la ecuación del haz de esferas obtenemos dos soluciones:

x21 +x2

2 +x23 +2 ·x1 +4 ·x2 +6 ·x3−11 = 0

8 ·x21 +5 ·x2

2 +5 ·x23−4 ·x1−8 ·x2−12 ·x3−13 = 0

Ejemplo 3. Determinar la ecuación de la superficie reglada, engendrada por una recta que, apoyándose en

las r1 y r2, permanece constantemente paralela al plano ΠΠΠ:

r1 ≡

x1 = x3 +1

x2 =−x3 +2; r2 ≡

x1 = 2 ·x3

x2 = x3−1; ΠΠΠ≡ x1−x2 +3 ·x3 +1 = 0

Consideremos el haz de planos, de arista r1, paralelos a ΠΠΠ,(x1−x3−1)+λλλ · (x2 +x3−2) = 0

x1−x2 +3 ·x3 = µµµ

que se han de apoyar en r2, x1 = 2 ·x3

x2 = x3−1 .

Eliminando x1, x2, x3 entre las cuatro ecuaciones anteriores obtenemos la relación entre parámetros:

2 ·λλλ ·µµµ +µµµ−14 ·λλλ −5 = 0

Sustituyendo en ésta los valores:

λλλ =−x1 +x3 +1x2 +x3−2

, µµµ = x1−x2 +3 ·x3

se obtiene la ecuación de la superficie pedida

2 ·x21 +x2

2−9 ·x23−3 ·x1 ·x2 +3 ·x1 ·x3−14 ·x1 +5 ·x2 +19 ·x3 +4 = 0

490

Ejemplo 4. Dada la esfera de centro el punto P(2, 2, 3) y radio R = 1, se trata de hallar la superficie engen-

drada por rectas, que apoyándose en el eje Ox3, sean paralelas el plano X1X2, y además son tangentes a dicha

superficie esférica.

La esfera tendrá por ecuación

(x1−2)2 +(x2−2)2 +(x3−3)2 = 1 , =⇒ x21 +x2

2 +x23−4 ·x1−4 ·x2−6 ·x3 +16 = 0

Las generatrices serán las rectas

ggg≡

x2 = λλλ ·x1

x3 = µµµ

Al cortar la esfera por la recta ggg, obtenemos

(1+λλλ2) ·x2

1−2 · (2+2 ·λλλ ) ·x1 +(µµµ2−6 ·µµµ +16) = 0

Para que haya tangencia el discriminante de esta ecuación debe ser nulo; de donde

2 · (2+2 ·λλλ )−4 · (1+λλλ2) · (µµµ2−6 ·µµµ +16) = 0

es decir

λλλ2 ·µµµ2 +12 ·λλλ 2 +µµµ

2−6 ·λλλ 2 ·µµµ−8 ·λλλ −6 ·µµµ +12 = 0

Sustituyendo, ahora, en esta ecuación los valores

λλλ =x2x1

, µµµ = x3

obtenemos la ecuación de la superficie pedida:

(x21 +x2

2) · (x23−6 ·x3 +12) = 8 ·x1 ·x2

Ejemplo 5. Determinar la ecuación de la superficie engendrada por las rectas que se apoyan en las

r1 ≡

2 ·x1 +x2−2 = 0

x3 = 0, r2 ≡

x2 +x3 = 1

x1 = 0, r3 ≡

x3−4 = 0

x2 = 0

Recta que corta a r1 y r2:

2 ·x1 +x2−2+λλλ ·x3 = 0

x2 +x3−1+µµµ ·x1 = 0

y se apoya en la r3:

x3−4 = 0

x2 = 0

Eliminamos x1, x2, x3 entre las cuatro ecuaciones anteriores.

2 ·x1 +x2−2+λλλ ·x3 = 0

x2 +x3−1+µµµ ·x1 = 0

x3 = 4

x2 = 0

=⇒

2 ·x1 +0−2+4 ·λλλ = 0

0+4−1+µµµ ·x1 = 0

=⇒

491

=⇒x1 = 1−2 ·λλλ

x1 =−3µµµ

=⇒ 1−2 ·λλλ =−3µµµ

=⇒ µµµ−2 ·λλλ ·µµµ +3 = 0

Sustituyendo, ahora, en la igualdad obtenida:

λλλ =− 2 ·x1 +x2−2x3

, µµµ =1−x2−x3

x1

obtenemos1−x2−x3

x1+2 · 2 ·x1 +x2−2

x3· 1−x2−x3

x1+3 = 0

que es la ecuación de la superficie pedida, y al operar:

−4+4 ·x1 +6 ·x2 +5 ·x3−4 ·x1 ·x2−x1 ·x3−3 ·x2 ·x3−2 ·x22−x2

3 = 0

Ejemplo 6. Determinar la ecuación de la superficie engendrada por las rectas que se apoyan en la circunfe-

rencia C, en el eje Ox3, y en la recta r:

C≡

(x1−2)2 +(x2−2)2−16 = 0

x3 = 0, r≡

x1 +x2−4 = 0

x1−x3−4 = 0,

eje Ox3 ≡

x1 = 0

x2 = 0

Recta que se apoya en r y en el eje Ox3:

x1 +x2−4+λλλ · (x1−x3−4) = 0

x1 +µµµ ·x2 = 0

y se apoya en C:

(x1−2)2 +(x2−2)2−16 = 0

x3 = 0

Eliminamos x1, x2, x3 entre las cuatro ecuaciones anteriores:

x1 +x2−4+λλλ · (x1−x3−4) = 0

x1 +µµµ ·x2 = 0

(x1−2)2 +(x2−2)2−16 = 0

x3 = 0

=⇒

x1 +x2−4+λλλ · (x1−4) = 0

x1 +µµµ ·x2 = 0

(x1−2)2 +(x2−2)2−16 = 0

=⇒

−µµµ ·x2 +x2−4+λλλ · (−µµµ ·x2−4) = 0

(−µµµ ·x2−2)2 +(x2−2)2−16 = 0

=⇒x2 · (−µµµ +1−λλλ ·µµµ) = 4+4 ·λλλ

(−µµµ ·x2−2)2 +(x2−2)2−16 = 0

=⇒

(−µµµ · 4+4 ·λλλ

1−µµµ−λλλ ·µµµ−2)2

+

(4+4 ·λλλ

1−µµµ−λλλ ·µµµ−2)2

= 16

Sustituyendo, ahora, en la igualdad obtenida:

λλλ =x1 +x2−44−x1 +x3

, µµµ =−x1x2

obtenemos la superficie

(2 ·x1 ·x2 +x1 ·x3−x2 ·x3−4 ·x2)2 +(2 ·x2

2 +x2 ·x3−x1 ·x3−4 ·x2)2 = 4 · (x2 ·x3 +x1 ·x3 +4 ·x2)

2

492

Ejemplo 7. Dada la familia de cuádricas

S≡ υυυ ·x21−λλλ ·x2

2 +µµµ ·x1 ·x3 +2 ·x1 ·x2−2 ·υυυ ·x1 +µµµ ·x2−7 = 0

determinar la que pase por el punto impropio P(0, 2, −1, −2), y tenga en este punto un plano asintótico

paralelo al

ΠΠΠ≡ 2 ·x1 +x2−3 ·x3−1 = 0

Por pasar por el punto P(0, 2, −1, −2) tendremos:

4 ·υυυ−λλλ −4 ·µµµ−4 = 0

El plano asintótico será el plano tangente a S en el punto P, es decir

ΠΠΠ1 ≡ 2 · (2 ·υυυ ·x1 +µµµ ·x3 +2 ·x2−2 ·υυυ)+(−1) · (−2 ·λλλ ·x2 +2 ·x1 +µµµ)+(−2) ·µµµ ·x1 = 0

es decir

ΠΠΠ1 ≡ (4 ·υυυ−2−2 ·µµµ) ·x1 +(4+2 ·λλλ ) ·x2 +2 ·µµµ ·x3 = 0

Por ser paralelos ΠΠΠ y ΠΠΠ1 tendremos, estableciendo la proporcionalidad de sus vectores característicos

4 ·υυυ−2−2 ·µµµ2

=4+2 ·λλλ

1=

2 ·µµµ−3

Obtendremos los valores de λλλ , µµµ , υυυ , resolviendo el sistema

4 ·υυυ−λλλ −4 ·µµµ−4 = 0

4 ·υυυ−2−2 ·µµµ2

=4+λλλ

1=

2 ·µµµ−3

=⇒ λλλ =−2 , µµµ = 0 , υυυ =12

resultando la cuádrica12·x2

1 +2 ·x22 +2 ·x1 ·x2−x1−7 = 0

Ejemplo 8. Determinar el lugar geométrico de los vértices de los paraboloides de revolución que se apoyan

en la elipse:

γγγ ≡

x2

1a2 +

x22

b2 = 1

x3 = 0

, (a > b)

La ecuación general de las cuádricas que contienen a la elipse γγγ es:(x2

1a2 +

x22

b2 −1

)+(x3) · (2 ·λλλ ·x1 +2 ·µµµ ·x2 +υυυ ·x3 +2 ·ρρρ) = 0

La condición para ser paraboloide (A00 = 0) es:

A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1a2 0 λλλ

01

b2 µµµ

λλλ µµµ υυυ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

493

es decirυυυ

a2 ·b2 −λλλ 2

b2 −µµµ

a2 = 0 =⇒ υυυ = λλλ2 ·a2 +µµµ

2 ·b2

Sustituyendo, υυυ , en la ecuación general, resulta

x21

a2 +x2

2b2 −1+(a2 ·λλλ 2 +µµµ

2 ·b2) ·x23 +2 ·λλλ ·x1 ·x3 +2 ·µµµ ·x2 ·x3 +2 ·ρρρ ·x3 = 0

Estudiemos, ahora, las condiciones para que sea de revolución:

Caben dos posibilidades:

1.- 2.- a13 = 0

(a22−a11) · (a33−a11) = a223 ,

a23 = 0

(a11−a22) · (a33−a22) = a213 ,

Caso 1.-λλλ = 0(

1b2 −

1a2

)·(

b2 ·µµµ2− 1a2

)= µµµ2

=⇒λλλ = 0

µµµ2 =− a2−b2

a2 ·b4

solución no valida puesto que, por ser a > b, µµµ es imaginario.

Caso 2.-µµµ = 0(

1a2 −

1b2

)·(

a2 ·λλλ 2− 1b2

)= λλλ 2

=⇒µµµ = 0

λλλ 2 =a2−b2

a4 ·b2

=⇒ λλλ =± ca2 ·b

Sustituyendo

µµµ = 0 , λλλ =± ca2 ·b

en la ecuación general, resulta

(I)x2

1a2 +

x22

b2 −1+c

a2 ·b2 ·x23±2 · c

a2 ·b·x1 ·x3 +2 ·ρρρ ·x3 = 0

Las ecuaciones del eje son, en este casox2 = 0

x11a2 −

1b2

=x3 +b2 ·ρρρ±c

a2 ·b

es decir x2 = 0

b ·x1∓c

= x3 +b2 ·ρρρ

y también

(II)x2 = 0

ρρρ =∓ x1b · c

− x3b2

El lugar geométrico de los vértices resultará de eliminar ρρρ entre las ecuaciones (I) y (II), resultando

x2 = 0

x21

a2 ±2 ·ba2 · c

·x1 ·x3−a2 +b2

a2 ·b2 ·x23−1 = 0

es decir dos hipérbolas en el plano X1X3 (x2 = 0).

494

Ejemplo 9. El paraboloide: x21 +x2

2−4 ·x3 = 0, se corta por el haz de planos

x3 = m · (x1−1)

siendo m un parámetro variable. Se pide:

1o.- Estudiar el haz de curvas que resulta proyectando las secciones sobre el plano X1X2.

2o.- Lugar geométrico, en el espacio, de los centros de dichas secciones.

1o.- Sustituyendo x3 = m · (x1−1) en la ecuación del paraboloide se tiene

x21 +x2

2 = 4 ·m · (x1−1)

que se puede escribir

(x1−2 ·m)2 +x22 = 4 ·m · (m−1)

que representa un haz de circunferencias, de centro (2 ·m,0) y radio√

4 ·m · (m−1)

2o.- El centro de las secciones obtenidas vendrá dado por la intersección del plano que corta con el diámetro

conjugado con dicho plano, es decirm ·x1−x3−m = 0 (plano)

2 ·x1m

=2 ·x2

0=−4−1

(diámetro conjugado)

De la segunda ecuación resulta:

x2 = 0 , m =x12

que llevados a la primera nos dan x1 · (x1−1) = 2 ·x3

x2 = 0

es decir, una parábola en el plano X1X2.

35.3 Superficies de revolución

Consideremos, en particular, el caso de las superficies de revolución, siendo éstas engendradas por una

línea que gira alrededor de una recta fija, llamada eje.

Los puntos de la generatriz describen circunferencias, cuyos centros están en el eje, y sus planos son

normales al eje; llamaremos, a estos, paralelos.

Los planos que pasan por el eje determinan en la superficie secciones iguales entre sí, que llamaremos

meridianos.

Cabe, también, la posibilidad de tomar como generatriz el paralelo, sujeto a moverse recorriendo su

centro al eje, manteniéndose su plano, en todo momento, normal a éste, y apoyándose siempre en la

meridiana.

Así, supondremos que el eje viene definido por un punto Q(a, b, c), y su vector de dirección v(p, q, r),

x1−ap

=x2−b

q=

x3− cr

,

495

y el paralelo por la intersección de una esfera de centro Q, y radio variable λλλ 1, con un plano normal al

eje, siendo sus ecuaciones (x1−a)2 +(x2−b)2 +(x3− c)2−λλλ 1 = 0

p ·x1 +q ·x2 + r ·x3−λλλ 2 = 0

Al expresar que esta circunferencia corte a la meridianaψψψ1(x1, x2, x3) = 0

ψψψ2(x1, x2, x3) = 0

resultará una relación

ϕϕϕ(λλλ 1, λλλ 2) = 0 .

Al eliminar λλλ 1 , λλλ 2 en el sistema(x1−a)2 +(x2−b)2 +(x3− c)2−λλλ 1 = 0

p ·x1 +q ·x2 + r ·x3−λλλ 2 = 0

p ·x1 +q ·x2 + r ·x3−λλλ 2 = 0

ϕϕϕ(λλλ 1, λλλ 2) = 0

obtendremos la superficie que nos interesa. La eliminación nos dará:

ϕϕϕ

[(x1−a)2 +(x2−b)2 +(x3− c)2 , p ·x1 +q ·x2 + r ·x3

]= 0

Puede darse el caso de tener que saber si una superficie dada

fff (x1, x2, x3) = 0 ,

es, o no, de revolución. Resolveremos el problema observando que toda superficie de revolución cortada

por una esfera, de radio conveniente, cuyo centro esté sobre el eje, nos proporcionará dos circunferencias,

cuyos planos serán perpendiculares al eje, y por tanto paralelas.

Veamos, ahora, si el giro se hace alrededor de uno de los ejes coordenados, y en el supuesto de que la

generatriz nos fuese dada en forma paramétricax1 = fff (λλλ )

x2 = ggg(λλλ )

x3 = hhh(λλλ )

todo punto P(x1, x2, x3) = 0 de la curva gira alrededor del eje OX1, conserva en todas las posiciones la

misma x1, mientras las nuevas coordenadas, x2 y x3, se obtienen por una transformación, en el plano del

496

paralelo, de ejes rectangulares en rectangulares, resultando como coordenadas del punto, en cualquier

posición x1 = fff (λλλ )

x2 = ggg(λλλ ) · cos ααα−hhh(λλλ ) · sen ααα

x3 = ggg(λλλ ) · sen ααα +hhh(λλλ ) · cos ααα

siendo éstas las ecuaciones paramétricas de la superficie de revolución de eje OX1, dependientes de

los parámetros λλλ y ααα .

En forma análoga se obtendrían las ecuaciones paramétricas de las otras superficies de revolución, de

ejes OX2, OX3.

Ejemplo 1. Ecuación de la superficie de revolución engendrada por la recta s al girar alrededor de

la recta r:

r≡ x1−12

=x23

=x3 +2−1

; s≡

x1−x2 = 0

x2 +x3 = 0

La ecuación de los paralelos será

C(λλλ , µµµ) =

(x1−1)2 +x22 +(x3 +2)2 = λλλ

2 ·x1 +3 ·x2−x3 = µµµ

Eliminando x1, x2, x3 entre las ecuaciones de s y C(λλλ , µµµ), obtenemos

F(λλλ , µµµ) = µµµ2 +4 ·µµµ−12 ·λλλ +60 = 0

y sustituyendo los valores de λλλ y µµµ resulta

(2 ·x1 +3 ·x2−x3)2 +4 · (2 ·x1 +3 ·x2−x3)−12 · ((x1−1)2 +x2

2 +(x3 +2)2)+60 = 0

es decir

−8 ·x21−3 ·x2

2−11 ·x23 +12 ·x1 ·x2−4 ·x1 ·x3−6 ·x2 ·x3 +32 ·x1 +12 ·x2−52 ·x3 = 0

que es la ecuación pedida.

Si el eje de revolución es el OX3, y la curva que al girar da lugar a la superficie viene dada en la forma

paramétrica X1 = x1(t)

X2 = x2(t)

X3 = x3(t)

llamando (X1, X2, X3) a las coordenadas de un punto cualquiera de la superficie, la distancia de este

punto al eje de giro es la misma que la distancia a este eje de la curva (x1(t0), x2(t0), x3(t0)), que al

girar engendra dicho punto de la superficie.

497

Ejemplo 2. Determinar la ecuación de la superficie de revolución engendrada por una parábola situada en

el plano X1X3, de parámetro 2 ·p, eje x1, y cuyo vértice tiene la abscisa a, al girar alrededor del eje OX3.

La directriz será

d≡

x2 = 0

x23 = 2 ·p · (x1−a)

siendo la generatriz, el paralelo

g≡

x21 +x2

2 = λλλ 21

x3 = λλλ 2

Para que el paralelo se apoye en la meridiana, deberá verificarse

λλλ22 = 2 ·p · (λλλ 1−a) .

Eliminando, ahora, los parámetros, λλλ 1 y λλλ 2, entre las ecuacionesx2

1 +x22 = λλλ 2

1

x3 = λλλ 2

λλλ 22 = 2 ·p · (λλλ 1−a)

resultará la superficie de revolución pedida

(x2

32 ·p

+a

)2

= x21 +x2

2

Ejemplo 3. Determinar la ecuación de la superficie engendrada por la recta

r≡

x1 = x3 +1

x2 = 2 ·x3 +1

al girar alrededor del eje OX3.

La directriz será en este caso

d≡

x21 +x2

2 = λλλ

x3 = µµµ

y la generatriz

g≡

x1 = x3 +1

x2 = 2 ·x3 +1

Eliminando x1, x2, x3, entre las ecuaciones de ddd y ggg, obtenemos

5 ·µµµ2 +6 ·µµµ−λλλ +2 = 0

Sustituyendo, ahora, en esta ecuación

λλλ = x21 +x2

2 , µµµ = x3

498

resultará la ecuación de la superficie pedida

x21 +x2

2−5 ·x23−6 ·x3−2 = 0

Ejemplo 4. Determinar la ecuación de la superficie engendrada por el eje OX3, al girar alrededor de la recta

r≡

x1 = x3 +1

x2 = 2 ·x3 +1

La recta r, pasa por los puntos P(1, 1, 0) y Q(2, 3, 1), luego uno de sus vectores de dirección será

v =−→PQ = (2, 3, 1)− (1, 1, 0) = (1, 2, 1)

Luego su directriz será

d≡

(x1−1)2 +(x2−1)2 +x23 = λλλ

x1 +2 ·x2 +x3 = µµµ

siendo, en este caso, su generatriz (el eje OX3):

g≡

x1 = 0

x2 = 0

Eliminando, ahora, las x1, x2, x3 entre las ecuaciones de d y g, obtenemos

µµµ2 +2 = λλλ .

Sustituyendo, en esta ecuación

µµµ = x1 +2 ·x2 +x3 , λλλ = (x1−1)2 +(x2−1)2 +x23

resultará la ecuación de la superficie pedida

3 ·x22 +4 ·x1 ·x2 +2 ·x1 ·x3 +4 ·x2 ·x3 +2 ·x1 +2 ·x2 = 0

35.4 Cuádricas de revolución

La ecuación de una cuádrica en su forma más general puede escribirse

fff (x1, x2, x3) =ϕϕϕ(x1, x2, x3)+2 ·a01 ·x1 +2 ·a02 ·x2 +2 ·a03 ·x3 +a00 = 0

en donde

ϕϕϕ(x1, x2, x3) = a11 ·x21 +a22 ·x2

2 +a33 ·x23 +2 ·a12 ·x1 ·x2 +2 ·a13 ·x1 ·x3 +2 ·a23 ·x2 ·x3

499

PROPOSICIÓN 1. Una condición necesaria y suficiente para que la ecuación: fff (x1, x2, x3) = 0,

represente una superficie de revolución es que exista un número, λλλ , no nulo, tal que la forma

cuadrática

ϕϕϕ(x1, x2, x3)−λλλ · (x21 +x2

2 +x23)

sea el cuadrado de una función lineal.

En efecto: La condición es necesaria, puesto que tal como hemos establecido en el apartado anterior, toda

superficie de revolución puede presentarse por una ecuación de la forma

ggg(Q, P) = 0 ,

donde Q designa el primer miembro de la ecuación de una esfera, y P el de la ecuación de un plano.

Así,Q = x2

1 +x22 +x3

3−2 ·a ·x1−2 ·b ·x2−2 · c ·x3 +d

P = u ·x1 +v ·x2 +w ·x3 + r .

Si la superficie es de segundo grado, entonces ggg(Q, P) = 0 contendrá términos en Q de primer grado y P

de segundo grado, lo que nos permite escribirla como sigue

Q+ααα ·P2 +βββ ·P+γγγ = 0

siendo ααα, βββ , γγγ constantes.

Si suponemos, ahora, que la ecuación de segundo grado

fff (x1, x2, x3) = 0

representa una cuádrica de revolución, dado que esta superficie puede definirse como acabamos de esta-

blecer, se tendrá

fff (x1, x2, x3) = λλλ · (Q+ααα ·P2 +βββ ·P+γγγ)

siendo λλλ un número no nulo.

Si conservamos solamente los términos de segundo grado, tendremos

ϕϕϕ(x1, x2, x3) = λλλ ·[x2

1 +x22 +x2

3 +ααα · (u ·v1 +v ·x2 +w ·x3)2]

o, lo que es lo mismo

ϕϕϕ(x1, x2, x3)−λλλ · (x21 +x2

2 +x23) = λλλ ·ααα · (u ·v1 +v ·x2 +w ·x3)

2


La condición es suficiente, ya que si tenemos

ϕϕϕ(x1, x2, x3)−λλλ · (x21 +x2

2 +x23) = µµµ · (u ·v1 +v ·x2 +w ·x3)

2

resulta

ϕϕϕ(x1, x2, x3) = µµµ · (u ·v1 +v ·x2 +w ·x3)2 +λλλ · (x2

1 +x22 +x2

3) ,

500

luego

fff (x1, x2, x3)= µµµ · (u ·v1 +v ·x2 +w ·x3)2 +λλλ · (x2

1 +x22 +x2

3)+

+2 ·a01 ·x1 +2 ·a02 ·x2 +2 ·a03 ·x3 +a00 = 0

lo que nos permite afirmar que : fff (x1, x2, x3) = 0, es una superficie de revolución, puesto que

fff (x1, x2, x3) = λλλ ·P2 +Q

siendoP = u ·x1 +v ·x2 +w ·x3

Q = λλλ · (x21 +x2

2 +x23)+2 ·a01 ·x1 +2 ·a02 ·x2 +2 ·a03 ·x3 +a00

El eje de revolución será la recta perpendicular al plano P, trazada por el centro de la esfera Q; es decir

x1 +a01λλλ

u=

x2 +a02λλλ

v=

x3 +a03λλλ

w.

Nos falta, ahora, determinar las condiciones que deben verificar los coeficiente de la ecuación

fff (x1, x2, x3) = 0 ,

para que la forma cuadrática

ϕϕϕ(x1, x2, x3)−λλλ · (x21 +x2

2 +x23)

sea el cuadrado de una función lineal. Condición necesaria y suficiente, para que esto sea así, es que todos

los menores de segundo orden del discriminante de esta forma∣∣∣∣∣∣∣∣a11−λλλ a12 a13

a12 a22−λλλ a23

a13 a23 a33−λλλ

∣∣∣∣∣∣∣∣sean nulos Así, al anular sus menores de segundo orden tendremos:∣∣∣∣∣∣a11−λλλ a12

a12 a22−λλλ

∣∣∣∣∣∣= 0 ,

∣∣∣∣∣∣a22−λλλ a23

a23 a33−λλλ

∣∣∣∣∣∣= 0 ,

∣∣∣∣∣∣a11−λλλ a13

a13 a33−λλλ

∣∣∣∣∣∣= 0 ,

∣∣∣∣∣∣a12 a11−λλλ

a23 a13

∣∣∣∣∣∣= 0 ,

∣∣∣∣∣∣ a12 a13

a22−λλλ a23

∣∣∣∣∣∣= 0 ,

∣∣∣∣∣∣ a13 a12

a33−λλλ a23

∣∣∣∣∣∣= 0 ,

(a11−λλλ ) · (a22−λλλ )−a212 = 0

(a22−λλλ ) · (a33−λλλ )−a223 = 0

(a33−λλλ ) · (a11−λλλ )−a213 = 0

a12 ·a13−a23 · (a11−λλλ ) = 0

a23 ·a12−a13 · (a22−λλλ ) = 0

a13 ·a23−a12 · (a33−λλλ ) = 0

501

En consecuencia, para que: fff (x1, x2, x3) = 0 sea de revolución es necesario que exista un número, λλλ , no

nulo, que verifique el sistema anterior. Al tal número, λλλ , se le llama número de Jacobi.

La tabla resumen que figura a continuación se establece tras una discusión de los siguientes casos:

1o.- Los tres coeficientes rectangulares son distintos de cero, es decir

a12 ·a13 ·a23 6= 0 .

Destaquemos que aquí, los tres números de Jacobi son

λλλ 1 = a11−a12 ·a13

a23, λλλ 2 = a22−

a12 ·a23a13

, λλλ 3 = a33−a13 ·a23

a12

2o.- Un coeficiente rectangular es nulo.

3o.- Los tres coeficientes rectangulares son nulos.

502

CU

ÁD

RIC

AS

DE

RE

VO

LU

CIÓ

ND

atos

Con

dici

ones

para

que

sea

dere

volu

ción

Ecu

acio

nes

dele

jede

revo

luci

ón

a 12·a

13·a

236=

0a 1

1−

a 13·a

12a 2

3=

a 22−

a 12·a

23a 1

3=

=a 3

3−

a 13·a

23a 1

2=

λλ λ

a 23·( x 1

+a 0

1 s

) =a 1

3·( x 2

+a 0

2λλ λ

) =

=a 1

2·( x 3

+a 0

3λλ λ

)

a 12=

a 13=

0(a

22−

a 11)·(

a 33−

a 11)−

a2 23=

0x 1

+a 0

1a 1

1=

0;

x 1+

a 02

a 11

a 22−

a 11

=

x 3+

a 03

a 11

a 23

a 12=

a 23=

0(a

33−

a 22)·(

a 11−

a 22)−

a2 13=

0x 2

+a 0

2a 2

2=

0;

x 1+

a 01

a 22

a 11−

a 22

=

x 3+

a 03

a 22

a 13

a 13=

a 23=

0(a

11−

a 33)·(

a 22−

a 33)−

a2 12=

0x 3

+a 0

3a 3

3=

0;

x 1+

a 01

a 33

a 11−

a 33

=

x 2+

a 02

a 33

a 12

a 12=

a 13=

a 23=

0

a 11=

a 22

a 11=

a 33

a 22=

a 33

N

ingu

naco

ndic

ión

x 1+

a 01

a 11

=0

,x 2

+a 0

2a 1

1=

0

x 1+

a 01

a 11

=0

,x 3

+a 0

3a 1

1=

0

x 2+

a 02

a 22

=0

,x 3

+a 0

3a 2

2=

0

a 12=

a 13=

a 23=

0a 1

1=

a 22=

a 336=

0(e

sun

aes

fera

)

(Est

ecu

adro

está

tom

ado

delT

RA

TAD

OD

EG

EO

ME

TR

ÍAA

NA

LÍT

ICA

,de

Car

los

Mat

aix)

(en

elqu

efig

ura

ladi

scus

ión

com

plet

ade

los

caso

s1o .-,

2o .-y

3o .-,ex

plic

itado

s)

503


3 ·x21 +3 ·x2

2−5 ·x23−2 ·x1 +x2−4 ·x3 +1 = 0

determinar si es, o no, de revolución.

Tenemos, en este caso, quea11 = 3 , a22 = 3 , a33 =−5 , a12 = a13 = a23 = 0

dado quea11 = a22 , a12 = a13 = a23 = 0

podemos afirmar que la cuádrica dada es de revolución.

Por otra parte su eje será

x1 +a01a11

= 0

x2 +a02a11

= 0

y dado que: a01 =−1 , a02 =

12

, sustituyendo valores tendremos

x1 +−13

= 0

x2 +

123

= 0

=⇒3 ·x1−1 = 0

6 ·x2 +1 = 0


x21 +2 ·x2

2 +3 ·x23 +6 ·x1 ·x3−2 ·x1 +4 ·x2 +2 ·x3−1 = 0

determinar si es, o no, de revolución.

Tenemos que:a12 = a23 = 0 ,

y ademása11 = 1 , a22 = 2 , a13 = 3 , a33 = 3

En este caso, debería verificarse que(a33−a22) · (a11−a22)−a2

13 = 0 .

Sustituyendo valores resulta que(3−2) · (1−2)−32 =−10 6= 0

luego podemos afirmar que la cuádrica dada no es de revolución.


5 ·x21 +m ·x2

2 +3 ·x23−4 ·x2 ·x3−6 ·x1 +2 ·x2−10 ·x3−1 = 0

determinar el valor que debe tener m para que la cuádrica sea de revolución; y determinar, así mismo su eje.

Tenemos que:

a12 = a13 = 0

y además

a22 = m , a23 =−2 , a33 = 3 , a11 = 5

En este caso debería verificarse que

(a22−a11) · (a33−a11)−a223 = 0 .

504

Sustituyendo valores resulta que

(m−5) · (3−5)− (−2)2 =−2 ·m+6

luego para que la cuádrica sea de revolución debe ser

−2 ·m+6 = 0 =⇒ m = 3 ,

con lo que ésta tendrá por ecuación

5 ·x21 +3 ·x2

2 +3 ·x23−4 ·x2 ·x3−6 ·x1 +2 ·x2−10 ·x3−1 = 0 ,

y su eje tendrá por ecuaciones

x1 +a01a11

= 0 ,x2 +

a02a11

a22−a11=

x3 +a03a11

a23

Sustituyendo valores tendremos, dado que

a01 =−3 , a02 = 1 , a03 =−5 ,

x1 +−35

= 0 ,x2 +

15

3−5=

x2 +−55

−2es decir 5 ·x1−3 = 0

5 ·x2−5 ·x3 +6 = 0


ζ ≡ 2 ·x1 ·x2 +2 ·x1 ·x3 +2 ·x2 ·x3−1 = 0

determinar:

1o.- Planos principales.

2o.- Comprobar que es de revolución y hallar su eje.

3o.- Cono asintótico.

1o.- La matriz de la cuádrica es

A =

−1 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

y sus invariantes son

I1 = 0+0+0 = 0

I2 =

∣∣∣∣∣∣0 1

1 0

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣0 1

1 0

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣0 1

1 0

∣∣∣∣∣∣=−1−1−1 =−3

I3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣0 1 1

1 0 1

1 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣= 1+1 = 2

I4 = |A|= 0

505

La ecuación característica sería, por tanto

λλλ3−3 ·λλλ −2 = 0

cuyas raíces son:

λλλ 1 =−1 , λλλ 2 =−1 , λλλ 3 = 2

(Por tener una raíz doble, la cuádrica es de revolución y existirá un plano principal, correspondiente a λλλ = 2)

Para λλλ = 2 la dirección principal será

(0−2) ·x1 +x2 +x3 = 0

x1 +(0−2) ·x2 +x3 = 0

x1 +x2 +(0−2) ·x3 = 0

=⇒

x1 = 1

x2 = 1

x3 = 1

es decir: (P1 = 1 , P2 = 1 , P3 = 1), el vector (1, ,1 , 1), de donde resulta que el plano principal será

(a01 ·P1 +a02 ·P2 +a03 ·P3) ·x0 +λλλ 3 ·P1 ·x1 +λλλ 3 ·P2 ·x2 +λλλ 3 ·P3 ·x3 = 0

es decir

(0 ·1+0 ·1+0 ·1) ·x0 +2 ·1 ·x1 +2 ·1 ·x2 +2 ·1 ·x3 = 0

o sea

0 ·x0 +2 ·x1 +2 ·x2 +2 ·x3 = 0

y en definitiva

x1 +x2 +x3 = 0

2o.- Ya vimos, antes, que por tener una raíz doble, es de revolución.

El centro de la cuádrica será:

fff ′x1= 2 ·x2 +2 ·x3 = 0

fff ′x2= 2 ·x1 +2 ·x3 = 0

fff ′x3= 2 ·x1 +2 ·x2 = 0

=⇒x2 +x3 = 0

x1 +x3 = 0

x1 +x2 = 0

=⇒ C(0, 0, 0)

luego el eje será el del vector de dirección v = (1, 1, 1) que pasa por el punto C(0, 0, 0), es decirx1 = x3

x2 = x3

, y también: x1 = x2 = x3

3o.- La ecuación del cono asintótico es, en general

XAX′− |A|A00

·x20 = 0

y como: |A|=−2 , A00 = 2

resultará que el cono asintótico es:

x1 ·x2 +x1 ·x3 +x2 ·x3 = 0

506

35.5 Superficies regladas

Llamamos superficie reglada a toda superficie engendrada por una recta variable denomina generatriz.

Por tener la generatriz cuatro parámetrosx1 = a ·x3 +h

x2 = b ·x3 +k

para que engendre una superficie deberá ajustarse a tres condiciones, es decir, se necesitarán tres direc-

trices.

Observemos que el plano tangente en un punto de una superficie reglada contendrá la generatriz

rectilínea que pasa por ese punto.

En el caso de que a, b, h, k dependan de un parámetro, es decir

a = a(λλλ ) , b = b(λλλ ) , h = h(λλλ ) , k = k(λλλ )

la superficie reglada se obtendrá eliminando λλλ entre las dos ecuaciones de la generatriz, obteniéndose

fff (x1, x2, x3) = 0

Existen dos tipos de superficies regladas: desarrollables o alabeadas, dependiendo de que dos genera-

trices infinitamente próximas están o no es un mismo plano.

Así, en las desarrollables dos generatrices infinitamente próximas deben cortarse, obteniéndose al ex-

presar la condición de compatibilidad de ambasx1 = a ·x3 +h

x2 = b ·x3 +k,

x1 = (a+da) ·x3 +h+dh

x2 = (b+db) ·x3 +k+dk

por eliminación de las variables

0 = z ·da+dh , 0 = a′ · z+h′

0 = z ·db+dk , 0 = b′ · z+k′

=⇒ z =− h′

a′=− k′

b′

siendo por tanto la condición para que la superficie reglada sea desarrollable

a′ ·k′ = b′ ·h′

Esta condición, de las superficies desarrollables, nos indica que el número de condiciones determinantes

será inferior a tres, número sólo necesario para las alabeadas.

Dado que dos generatrices contiguas de una superficie desarrollable están en un plano, se cortarán en un

punto; así, el lugar geométrico de esas intersecciones será una curva que recibe el nombre de arista de

507

retroceso, evidentemente tangente a todas las generatrices.

Por otra parte, conocida la arista de retroceso fff (x1, x3) = 0

ggg(x2, x3) = 0

vamos a determinar la correspondiente superficie desarrollable.

Observando que por ser las generatrices tangentes a la curva, sus proyecciones sobre los planos X1X3,

X2X3, serán también tangentes a las curvas fff (x1, x3) = 0 , ggg(x2, x3) = 0 , por lo que si P(a, b, c) es un

punto de la curva, tendremos (x1−a) · fff ′a +(x3− c) · fff ′c = 0

(x2−b) ·ggg′b +(x3− c) · f ′f ′f ′c = 0

fff (a, c) = 0

ggg(b, c) = 0

Eliminando a, b, c, entre estas cuatro ecuaciones, resultará la superficie desarrollable

F(x1, x2, x3) = 0

Ejemplo 1. Determinar la arista de retroceso de una superficie desarrollable de generatriz

ggg≡

x1 = a ·x3 +h

x2 = b ·x3 +k

Por ser desarrollable se tiene que

x3 =−h′

a′=− k′

b′

luego sus ecuaciones paramétricas serán

x1 = h−a · h′

a′

x2 = k−b · k′

b′

x3 =−h′

a′

Ejemplo 2. Determinar la arista de retroceso de la superficie de generatriz

ggg≡

x1 =

1λλλ·x3 +λλλ 2

x2 = λλλ 3 ·x3−λλλ 6

Se verifica: a =

1λλλ

, b = λλλ 3 , h = λλλ 2 , k =−λλλ 6 ,

a′ =−1λλλ

, b′ = 3 ·λλλ 2 , h′ = 2 ·λλλ , k′ =−6 ·λλλ 5

508

como se verifica

a′ ·k′ = b′ ·h′ =⇒ −1λλλ 2 ·

(−6 ·λλλ 5

)= 3 ·λλλ 2 ·2 ·λλλ ⇐⇒ 6 ·λλλ 3 = 6 ·λλλ 3

la superficie es desarrollable.

Las ecuaciones paramétricas de la arista de retroceso son

x1 = h−a · h′

a′= λλλ 2− 1

λλλ· 2 ·λλλ

− 1λλλ 2

= λλλ 2 +2 ·λλλ 2 = 3 ·λλλ 2

x2 = k−b · k′

b′=−λλλ 6−λλλ 3 · −6 ·λλλ 5

3 ·λλλ 2 =−λλλ 6 +2 ·λλλ 6 = λλλ 6

x3 =−h′

a′=− 2 ·λλλ

−1λλλ 2

= 2 ·λλλ 3

es decir x1 = 3 ·λλλ 2

x2 = λλλ 6

x3 = 2 ·λλλ 3

y las correspondientes ecuaciones cartesianas x31 = 27 ·x2

x22 = 4 ·x1

Ejemplo 3. Consideremos la superficie reglada engendrada por la generatriz:

ggg≡

x1 = λλλ 2 ·x3 +λλλ 3

x2 = 2 ·λλλ ·x3 +32·λλλ 2

Se pide:

1o.- Comprobar que es desarrollable.

2o.- Hallar la arista de retroceso.

1o.- Tenemos a = λλλ 2 , b = 2 ·λλλ , h = λλλ 3 , k =

32·λλλ 2

a′ = 2 ·λλλ , b′ = 2 , h′ = 3 ·λλλ 2 , k′ = 3 ·λλλ

Como se verifica:

a′ ·k′ = b′ ·h′ =⇒ 2 ·λλλ ·3 ·λλλ = 2 ·3 ·λλλ 2 ⇐⇒ 6 ·λλλ 2 = 6 ·λλλ 2

la superficie es desarrollable.

509

2o.- Las ecuaciones paramétricas de la arista de retroceso son

x1 = h−a · h′

a′= λλλ 3−λλλ 2 · 3 ·λλλ 2

2 ·λλλ= λλλ 3− 3

2·λλλ 3 =

−λλλ 3

2

x2 = k−b · k′

b′=

32·λλλ 2−2 ·λλλ · 3 ·λλλ

2=

32·λλλ 2−3 ·λλλ 2 =− 3

2·λλλ 2

x3 =−h′

a′=− 3 ·λλλ 2

2 ·λλλ=− 3

2·λλλ

es decir

x1 =−λλλ 3

2

x2 =−3 ·λλλ 2

2

x3 =−3 ·λλλ

2

Estudiemos, ahora, la existencia de generatrices rectilíneas en las cuádricas de puntos hiperbólicos.

Sabemos que por todo punto real de una cuádrica de puntos hiperbólicos pasan dos generatrices reales

distintas, obtenidas como intersección de la cuádrica con el plano tangente en el punto considerado.

Dado que las cinco cuádricas no degeneradas sólo el hiperboloide de una hoja y el paraboloide hiper-

bólico tienen sus puntos hiperbólicos, resulta que sólo éstas admiten generatrices rectilíneas distintas.

Considerados estos dos tipos de cuádricas, y en cualquiera de ellas dos puntos reales A y B, con las ge-

neratrices a, a′ y b, b′, que pasan respectivamente por A y B, tenemos que la b, cortará al plano tangente

aa′ en un punto de la cuádrica, que al no pasar por A, cortará a una sola de estas rectas, por ejemplo a la

a′. En forma análoga, b′ tendrá que cortar a una de las dos: a o a′, pero al no poder cortar a la a′, ya que

entonces a′, b, b′ estarían en un mismo plano, la b′ tendría que cortar a la a.

El razonamiento anterior se puede repetir para todos los puntos de la cuádrica, lo que nos permite afirmar

que los infinitos pares de generatrices reales de la cuádrica se pueden agrupar en dos sistemas. Llamare-

mos primer sistema al formado por las rectas a, b,........., tales que todas cortan a a′, y segundo sistema

al constituido por las a′, b′,........., todas éstas cortando a a.

Resulta inmediato comprobar las siguiente propiedades:

1o.- Dos generatrices de un mismo sistema se cruzan en el espacio.

2o.- Dos generatrices de distinto sistema se cortan.

3o.- Por todo punto real de la cuádrica pasan dos generatrices de distinto sistema.

Analicemos lo que ocurre en el caso del hiperboloide de una hoja, el

x21

a2 +x2

2b2 −

x23

c2 −1 = 0

510

Para que una recta x1 = m ·x3 +h

x2 = n ·x3 +k

sea generatriz del hiperboloide, es necesario que al determinar la intersección con éste, se obtenga una

identidad, que da infinitos puntos comunes

(m ·x3 +h)2

a2 +(n ·x3 +k)2

b2 −x2

3c2 = 0

lo que obliga a que los parámetros deben verificar las ecuaciones

m2

a2 +n2

b2 −1c2 = 0 ;

m ·ha2 +

n ·kb2 = 0 ;

h2

a2 +k2

b2 −1 = 0

La tercera de las igualdades demuestra que la traza de la recta sobre el plano X1X2, debe hallarse sobre

la elipse de la garganta.

Por otra parte, de la segunda, observando la primera, se tiene

maah

=− n

bbk

=±

1c√

a2

h2 +b2

k2

=± h ·ka ·b · c

de donde resulta

m =± a ·kb · c

, n =∓ b ·ha · c

Obtenemos, de esta manera, los dos sistemas de generatrices

Primer sistema Segundo sistema

x1 =

a ·kb · c

·x3 +h

x2 =−b ·ha · c

·x3 +k

x1 =−

a ·kb · c

·x3 +h

x2 =b ·ha · c

·x3 +k

Partiendo de esas ecuaciones se pueden demostrar las siguientes propiedades, características del hiper-

boloide de una hoja:

1a.- Las generatrices del hiperboloide de una hoja son respectivamente paralelas a las generatrices del

cono asintótico.

2a.- Tres generatrices cualesquiera de un mismo sistema no son paralelas a un plano.

3a.- El hiperboloide de una hoja admite pares de generatrices de distinto sistema paralelas dos a dos, y

cuyas trazas sobre el plano x1X2 son puntos diametralmente opuestos de la elipse de la garganta.

511

Veamos, hora, lo que ocurre en el caso del paraboloide hiperbólico, el

x22

p−

x23

q−2 ·x1 = 0 .

Para que una recta x1 = m ·x3 +h

x2 = n ·x3 +k

esté contenida en el paraboloide hiperbólico se necesita que la ecuación

(n ·x3 +k)2

p−

x23

q−2 · (m ·x3 +h) = 0

se transforme en una identidad, para lo cual se deben verificar las igualdades

n2

p− 1

q= 0 ;

n ·kp−m = 0 ;

k2

p−2 ·h = 0

La tercera de las igualdades expresa que la traza de la generatriz sobre el plano X1X2 es un punto de la

parábola principal: x22 = 2 ·p ·x1; mientras que las dos primeras dan

n =±√

pq

; m =± k√p ·q

Obtenemos de esta manera, los dos sistemas de generatrices

Primer sistema Segundo sistema

x1 =

k√p ·q

·x3 +h

x2 =

√pq·x3 +k

x1 =−

k√p ·q

·x3 +h

x2 =−√

pq·x3 +k

Cabe destacar algunas propiedades, características del paraboloide hiperbólico:

1a.- Todas las generatrices del primer sistema son paralelas a un mismo plano, x2 =

√pq·x3, y las

del segundo sistema a otro plano x2 =−√

pq·x3, planos que se cortan en el eje del paraboloide,

y son llamados planos directores del mismo.

2a.- Para que estas tres rectas que se cruzan en el espacio determinen un paraboloide hiperbólico es

necesario que las tres sean paralelas a un mismo plano, o que una de ellas sea impropia, en cuyo

caso puede considerarse engendrado el paraboloide por una recta que se apoya sobre dos rectas

dadas y permanece paralela a un mismo plano, que llamaremos director.

3a.- En el paraboloide hiperbólico no existen generatrices paralelas.

512

Ejemplo 4. Determinar la ecuación de la cuádrica engendrada por una recta que corta al eje X3, y las rectas

dadas por las ecuaciones

r1 ≡

x2 = 2

x3 = 2 ·x1

; r2 ≡

x2 = 1

x3 = x1

La recta que corta a las dadas será x2−2+λλλ · (x3−2 ·x1) = 0

x2−1+µµµ · (x3−x1) = 0

y la condición por cortar el eje X3 es

r3 ≡

x1 = 0

x2 = 0

Entre estas cuatro ecuaciones eliminamos x1, x2, x3, obteniendo

λλλ

µµµ= 2

la eliminación de λλλ y µµµ entre las ecuaciones

x2−2+λλλ · (x3−2 ·x1) = 0

x2−1+µµµ · (x3−x1) = 0

λλλ

µµµ= 2

nos da la solución al problema planteado:

x2 ·x3−3 ·x1 ·x2 +2 ·x1 = 0 ,

Dado que las tres directrices: r1, r2, r3 son paralelas al plano X1X3, la cuádrica obtenida es un paraboloide hiper-

bólico.

Ejemplo 5. Determinar las generatrices del paraboloide hiperbólico

x1 ·x2−x1 ·x3−x3 = 0

y en particular las que pasan por el punto P(1, 4, 2), así como el plano tangente en dicho punto.

Cortando por la recta

r1 ≡

x1 = a ·x3 +h

x2 = b ·x3 +k

resulta

(a ·x3 +h) · (b ·x3 +k)− (a ·x3 +h) ·x3−x3 = 0

es decir

a ·b ·x23 +a ·k ·x3 +h ·b ·x3 +h ·k−a ·x2

3−h ·x3−x3 = 0

o sea

(a ·b−a) ·x23 +(a ·k+h ·b−h−1) ·x3 +h ·k = 0

513

con lo que, anulando los coeficientes de x23 , x3 y término independiente, obtenemos

a · (b−1) = 0

a ·k+h ·b−h−1 = 0

h ·k = 0

que nos da los dos sistemas de generatrices, obtenidas para cada uno de los valores:

1.- h = 0:a · (b−1) = 0

a ·k−1 = 0

k 6= 0

b = 1

a =1k

=⇒

x1 =1k·x3

x2 = x3 +k

2.- k = 0a · (b−1) = 0

h ·b−h−1 = 0

h 6= 0

a = 0

b =1+h

h

=⇒

x1 = h

x2 =h+1

h·x3

En particular, las generatrices que pasan por P(1, 4, 2) son:

1.-

1 =1k·2

4 = 2+k

=⇒ k = 2 =⇒

x1 =12·x3

x2 = x3 +2

2.-

1 = h

4 =h+1

h·2

=⇒ h = 1 =⇒

x1 = 1

x2 = 2 ·x3

El plano tangente en el punto P(1, 4, 2) será:

1 · (x2−x3)+4 · (x1)+2 · (−x1−1)+(−x3) = 0

es decir

2 ·x1 +x2−2 ·x3−2 = 0

Ejemplo 6. Determinar las generatrices rectilíneas del hiperboloide hiperbólico

x1 ·x2−x22−x1 ·x3−x3 = 0

Cortando por la recta x1 = a ·x3 +h

x2 = b ·x3 +k

resulta

(a ·x3 +h) · (b ·x3 +k)− (b ·x3 +k)2− (a ·x3 +h) ·x3−x3 = 0

514

es decir

a ·b ·x23 +a ·k ·x3 +h ·b ·x3 +h ·k−b2 ·x2

3−2 ·b ·k ·x3−k2−a ·x23−h ·x3−x3 = 0

o sea

(a ·b−b2−a) ·x23 +(a ·k+b ·h−2 ·b ·k−h−1) ·x3 +h ·k−k2 = 0

con lo que anulando los coeficientes de x23 , x3 y término independiente obtenemos

a ·b−b2−a = 0

a ·k+b ·h−2 ·b ·k−h−1 = 0

k · (h−k) = 0

que nos da los dos sistemas de generatrices, obtenidas para cada uno de los valores:

1.- k = h 6= 0

a =b2

b−1h = b−1

=⇒

x1 =b2

b−1·x3 +b−1

x2 = b ·x3 +(b−1)

2.- k = 0

a ·b−b2−a = 0

b ·h−h−1 = 0

=⇒a =

(h+1)2

h

b =h+1

h

=⇒

x1 =

(h+1)2

h·x3 +h

x2 =h+1

h·x3

Ejemplo 7. Dado el hiperboloide de una hoja

x2 ·x3−x1 ·x3 +x1 ·x2−2 ·x2 = 0

determinar:

1o.- Las generatrices rectilíneas que pasan por el punto P(2, 2, 1).

2o.- El plano tangente en ese punto.

3o.- El cono asintótico.

4o.- La ecuación reducida.

1o.- Las rectas que pasan por el punto P(2, 2,1) sonx1−2 = m · (x3−1)

x2−2 = n · (x3−1)

es decir x1 = m ·x3 +2−m

x2 = n ·x3 +2−n

Al sustituir en la ecuación de la cuádrica para hallar su intersección con esta recta, obtenemos

(n−m+m ·n) ·x23 +(3 ·m−n−2 ·m ·n) ·x3− (2 ·m−n ·m) = 0

515

ecuación que tiene que ser idénticamente nula; luegom−n+m ·n = 0

3 ·m−n−2 ·m ·n = 0

2 ·m−m ·n = 0

cuyas soluciones son m = 0

n = 0, y

m =−2

n = 2

valores que llevados a la ecuación genérica de la recta nos proporcionan las dos generatrices buscadas:

ggg1 ≡

x1 = 2

x2 = 2, ggg2 ≡

x1 =−2 ·x3 +4

x2 = 2 ·x3

2o.- El plano tangente en el punto P(2, 2,1) será en general:

(−x3 +x2) ·X1 +(x3 +x1−2) ·X2 +(x2−x1) ·X3−2 ·x2 = 0

en el que sustituyendo las coordenadas de P,

x1 = 2 , x2 = 2 , x3 = 1 ,

nos dan el plano pedido:

x1 +x2−4 = 0

3o.- La ecuación del cono asintótico es en general,

XAX′− |A|a00·x2

0 = 0

y como

A =

0 0 −1 0

0 012− 1

2

−112

012

0 − 12

12

0

y son

|A|= 14

, A00 =−14

obtenemos que el cono asintótico es

x2 ·x3−x1 ·x3 +x1 ·x2−2 ·x2−

14

− 14

= 0

es decir

x2 ·x3−x1 ·x3 +x1 ·x2−2 ·x2 +1 = 0

516

4o.- Los invariantes de la cuádrica, necesarios para determinar su ecuación característica son:

I1 = a11 +a22 +a33 = 0


∣∣∣∣∣∣a22 a23

a23 a33

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 a13

a13 a33

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 a12

a12 a22

∣∣∣∣∣∣=− 34

I3 = A00 =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣=−14

Su ecuación característica será, por tanto

λλλ3− I1 ·λλλ 2 + I2 ·λλλ − I3 = 0 ,

es decir

λλλ3− 3

4·λλλ +

14

= 0

cuyas raíces son:

λλλ 1 = λλλ 2 =12

, λλλ 3 =−1

Resulta, entonces, que se trata de un hiperboloide de revolución, de ecuación reducida

12· (x2

1 +x22)−x2

3 = 1

Ejemplo 8. Determinar las generatrices rectilíneas de la cuádrica

S≡ x1 ·x2−x1 ·x3−x3 = 0

Cortando la cuádrica por la recta

r≡

x1 = a ·x3 +h

x2 = b ·x3 +k

obtenemos el polinomio

a · (b−1) ·x23 +(a ·k+b ·h−h−1) ·x3 +h ·k = 0

Al imponer que sea idénticamente nulo obtenemos el sistema:a · (b−1) = 0

a ·k+b ·h−h−1 = 0

h ·k = 0

La última igualdad nos dice que: h = 0 ó k = 0.

1.- Si h = 0, entonces

a =1k6= 0 , b = 1

de donde resulta la generatriz x1 =1k·x3

x2 = x3 +k

517

2.- Si k = 0, entonces

b =h+1

h6= 1 , a = 0

de donde resulta la generatriz x1 = h

x2 =h+1

h·x3

Haciendo:1k

= λλλ y h = µµµ

obtenemos como generatrices de la cuádrica:

ggg1 ≡

x1 = λλλ ·x3

x2 = x3 +1λλλ

y ggg2 ≡

x1 = µµµ

x2 =µµµ +1

µµµ·x3

Ejemplo 9. Determinar la ecuación del hiperboloide engendrado por una recta que se apoya en las tres

siguientes

r1 ≡

x1 = x3

x2 =−2 ·x3−1, r2 ≡

x1 =−x3 +1

x2 = x3−1, r3 ≡

x1 = 2 ·x3−1

x2 =−x3 +1

Los planos que contienen a r1 son

(I) (x1−x3)+λλλ · (x2 +2 ·x3−1) = 0

y los que contienen a r2 son

(II) (x1 +x3−1)+µµµ · (x2−x3 +1) = 0

El sistema formado por las ecuaciones (I) y (II) representa a las rectas que se apoyan en r1 y r2. Para que las rectas

se apoyen en r3, debería ser compatible el sistema

(I) (x1−x3)+λλλ · (x2 +2 ·x3−1) = 0

(II) (x1 +x3−1)+µµµ · (x2−x3 +1) = 0

(r3)

x1 = 2 ·x3−1

x2 =−x3 +1

Eliminando x1, x2, x3, obtenemos la ecuación de los parámetros

2 ·λλλ ·µµµ−2 ·λλλ +1 = 0

y sustituyendo en esta ecuación los valores

λλλ =−x1 +x3

x2 +2 ·x3−1, µµµ =

−x1−x3 +1x2−x3 +1

obtenemos la ecuación pedida

2 · −x1 +x3x2 +2 ·x3−1

· −x1−x3 +1x2−x3 +1

−2 · −x1 +x3x2 +2 ·x3−1

+1 = 0

es decir

2 ·x21 +x2

2−2 ·x23 +2 ·x1 ·x2−2 ·x1 ·x3−x2 ·x3 +3 ·x3−1 = 0

518

Ejemplo 10. De un hiperboloide se conocen las tres generatrices

ggg1 ≡

x1 = x3

x2 =−2 ·x3 +1; ggg2 ≡

x1 =−x3 +1

x2 = x3−1; ggg3 ≡

x1 = 2 ·x3−1

x2 = x3 +1

y el punto P(2, −2, −1) situado en la generatriz ggg2. Se pide: determinar la ecuación del plano tangente al

hiperboloide en dicho punto.

Determinamos, en primer lugar, la generatriz del otro sistema, así:

a.- Planos que contienen a ggg1:

(x1−x3)+λλλ · (x2 +2 ·x3−1) = 0 ;

por contener al punto P(2, −2, −1) verifican

2− (−1)+λλλ · ((−2)+2 · (−1)−1) = 0 =⇒ 3+λλλ · (−5) = 0 =⇒ λλλ =35

luego el plano determinado por ggg1 y P es el

5 ·x1 +3 ·x2 +x3−3 = 0

b.- Planos que contienen a ggg3:

(x1−2 ·x3 +1)+µµµ · (x2 +x3−1) = 0 ;

por contener al punto P(2, −2, −1) verifican

2−2 · (−2)+1+µµµ · ((−2)+(−1)−1) = 0 =⇒ 5+µµµ · (−4) = 0 =⇒ µµµ =54

luego el plano determinado por ggg3 y P, es el

4 ·x1 +5 ·x2−3 ·x3−1 = 0

Los planos determinados en a.- y b.- determinan una generatriz de otro sistema:

ggg≡

5x1 +3 ·x2 +x3−3 = 0

4 ·x1 +5 ·x2−3 ·x3−1 = 0

cuya intersección con el plano X1X2 (es decir x3 = 0) es el punto

Q(

1213

,−713

, 0)

Los planos que contienen ggg2:

x1 +x3−1)+λλλ · (x2−x3 +1) = 0

contiene al punto Q; luego se verifica que(1213

+0−1)+λλλ ·

(−713−0+1

)= 0 =⇒ λλλ =

16

519

En consecuencia, el plano pedido será el siguiente

x1 +x3−1+16· (x2−x3 +1) = 0

es decir

6 ·x1 +x2 +5 ·x3−5 = 0

Ejemplo 11. De un hiperboloide de una hoja, se conocen tres generatrices

ggg1 ≡

x1 = x3 +1

x2 = 2 ·x3

; ggg2 ≡

x1 =−x3 +1

x2 = x3−1; ggg3 ≡

2 ·x3−1

x2 =−3 ·x3 +1,

y se considera el punto P, traza de la segunda generatriz con el plano X1X2, se pide:

1o.- Determinar la generatriz del otro sistema que pasa por P.

2o.- Ecuación del plano tangente al hiperboloide en el punto P.

1o.- El punto P tendrá de coordenadas

x1 =−x3 +1

x2 = x3−1

x3 = 0

=⇒ P(1, −1, 0)

El haz de planos que contienen a ggg1 es

(x1−x3−1)+λλλ · (x2−2 ·x3) = 0

y por pasar por P(1, −1, 0) debe verificar

(1−0−1)+λλλ · (−1−0) = 0 =⇒ λλλ = 0 ,

es decir

x1−x3−1 = 0

El haz de planos que contienen a ggg3 es

(x1−2 ·x3 +1)+µµµ · (x2 +3 ·x3−1) = 0

y por pasar por P(1, −1, 0) debe verificar

(1−0+1)+µµµ · (−1+0−1) = 0 =⇒ µµµ = 1

es decir

x1 +x2 +x3 = 0

La generatriz vendrá dada por el sistema formado por los dos planos obtenidosx1 = x3 +1

x2 =−x1−x3

=⇒ ggg≡

x1 = x3 +1

x2 =−2 ·x3−1

520

2o.- El plano pedido pertenecerá al haz que pasa por ggg2,

x1 +x3−1+λλλ · (x2−x3 +1) = 0

y por un punto de ggg, por ejemplo Q(2, −3, 1), con lo que

λλλ =23

;

será por tanto, el

3 ·x1 +2 ·x2 +x3−1 = 0

Tratamos, ahora, de determinar la ecuación de una superficie cilíndrica:

Llamaremos superficie cilíndrica a la engendrada por una recta que se mueve paralelamente a una

dirección dada, apoyándose en una directriz cualquiera.

Esta superficie es desarrollable, y su arista de retroceso se reduce a un punto del infinito.

Consideremos los casos siguientes:

1o.- La dirección dada viene definida por la intersección de dos planos, ΠΠΠ1 = 0 , ΠΠΠ2 = 0.

En este supuesto, una generatriz de la superficie es:ΠΠΠ1 = λλλ 1

ΠΠΠ2 = λλλ 2 ,

y expresando que ésta se apoya sobre una directrizψψψ1(x1, x2, x3) = 0

ψψψ2(x1, x2, x3) = 0

se obtiene la condición de compatibilidad

ϕϕϕ(λλλ 1,λλλ 2) = 0 .

La eliminación de los parámetros nos proporciona la superficie cilíndrica que nos interesa

ϕϕϕ(ΠΠΠ1, ΠΠΠ2) = 0

2o.- Si la dirección viene dada por x1 = a ·x3

x2 = b ·x3

la generatriz será x1−a ·x3 = λλλ 1

x2−b ·x3 = λλλ 2

521

resultando para la superficie

ϕϕϕ(x1−a ·x3 , x2−b ·x3) = 0

Observamos que, siendo ϕϕϕ(λλλ 1, λλλ 2) = 0 la traza del cilindro sobre el plano X1X2, podemos ver si

una superficie dada por su ecuación

fff (x1, x2, x3) = 0

es, o no, cilíndrica. Bastará hallar la traza sobre el plano X1X2, haciendo x3 = 0, con lo que ob-

tendremos

fff 1(x1, x2) = 0 ;

y sustituyendo x1 y x2 por x1−a ·x3 , x2−b ·x3, identificaremos la ecuación

fff 1(x1−a ·x3 , x2−b ·x3) = 0

con la de la superficie dada. Si los valores de a y b, compatibles con la identificación, resultan

reales y determinados, la superficie será cilíndrica.

3o.- Superficie cilíndrica de directriz paramétricax1 = fff (λλλ )

x2 = ggg(λλλ )

x3 = hhh(λλλ )

y generatrices paralelas ax1a

=x2b

=x3c

= k .

Si las coordenadas de un punto de la directriz le sumamos las coordenadas correspondientes a

un segmento cualquiera de la generatriz, tendremos las ecuaciones paramétricas de la superficie

cilíndrica x1 = fff (λλλ )+k ·a

x2 = ggg(λλλ )+k ·b

x3 = hhh(λλλ )+k · c

resultando la superficie al eliminar λλλ y k,

F(x1, x2, x3) = 0

4o.- Superficie cilíndrica de generatrices

x1a

=x2b

=x3c

= k

522

y circunscrita a la superficie

ϕϕϕ(x1, x2, x3) = 0 .

Obtendremos, ésta, expresando que k sea raíz doble (recta tangente) de

ϕϕϕ(x1 +k ·a, x2 +k ·b, x3 +k · c) = 0 ,

o bien eliminando k entre ésta y la condición que expresa que el plano tangente es paralelo a

x1a

=x2b

=x3c

= k ,

es decir

a ·ϕϕϕ ′x1+b ·ϕϕϕ ′x2

+ c ·ϕϕϕ ′x3= 0

Ejemplo 12. Las ecuaciones paramétricas de la superficie cilíndrica de generatrices paralelas al vector

v = (3, 1, 2)

y directriz de ecuaciones

ddd ≡

x1 = t2

x2 = 2 · t+1

x3 = t2 +1

son x1 = t2 +3 ·λλλ

x2 = 2 · t+1+λλλ

x3 = t2 +1+2 ·λλλ

Ejemplo 13. Determinar la ecuación de la superficie cilíndrica, de directriz

ddd ≡

x21 +x2

2−x1−1 = 0

x3 = 0 ,

y generatrices paralelas a la dirección x1 = x3

x2 = x3

La generatriz tendrá por ecuación

ggg≡

x1 = x3 +λλλ

x2 = x3 +µµµ

siendo la directriz, la dada,

ddd ≡

x21 +x2

2−x1 +1 = 0

x3 = 0

523

Eliminando las x1, x2, x3 entre las ecuaciones de ggg y ddd, obtenemos

λλλ2 +µµµ

2−λλλ +1 = 0


λλλ = x1−x3 , µµµ = x2−x3

resultará la ecuación de la superficie cilíndrica pedida,

(x1−x3)2 +(x2−x3)

2− (x1−x3)+1 = 0

es decir

x21 +x2

2 +2 ·x23−2 ·x1 ·x3−2 ·x2 ·x3−x1 +x3 +1 = 0

Ejemplo 14. Dada la curva

ddd ≡

x31−x1 ·x2 +1 = 0

x3 = 0

que sirve de directriz a una superficie cilíndrica, cuyas generatrices forman con los ejes ángulos cuyos cosenos

son proporcionales a los números

2 ,√

2 , 3 ,

se pide determinar la ecuación de esta superficie cilíndrica.

La generatriz tendrá por ecuaciones

ggg≡

x1 =

23·x3 +λλλ

x2 =

√2

3·x3 +µµµ

Eliminando x1, x2, x3 entre las ecuaciones ddd y ggg, obtenemos la ecuación de los parámetros

λλλ3−λλλ ·µµµ2 +1 = 0 .

Sustituyendo en ésta los valores

λλλ = x1−23·x3 , µµµ = x2−

√2

3·x3

obtendremos la ecuación de la superficie pedida,

(3 ·x1−2 ·x3)3− (3 ·x1−2 ·x3) · (3 ·x2−

√2 ·x3)

2 +27 = 0

Ejemplo 15. Ecuación de la superficie cilíndrica engendrada por todas las rectas paralelas a la recta r, de

ecuaciones

rrr ≡

x1 = 3 ·x3

x2 = 5 ·x3 ,

que se apoyan en la curva (directriz) intersección de las superficies dadas por

x2 = 4 ·x23 y x1 = 0 .

524

Se obtiene eliminando x1, x2, x3 entre las ecuacionesx1 = 3 ·x3 +λλλ

x2 = 5 ·x3 +µµµ

y

x2 = 4 ·x23

x1 = 0

que nos da

F(λλλ , µµµ) = 4 ·λλλ 2 +15 ·λλλ −9 ·µµµ = 0 .

Llevando los valores

λλλ = x1−3 ·x3 , y µµµ = x2−5 ·x3

a la relación anterior, obtenemos, finalmente, la ecuación pedida

4 ·x21 +36 ·x2

3−24 ·x1 ·x3 +15 ·x1−9 ·x2 = 0

Ejemplo 16. Ecuación de la superficie cilíndrica de generatrices paralelas a la recta rrr, de ecuaciones

rrr ≡

x1 = 2 ·x3

x2 = x3 ,

que son tangentes a la superficie de ecuación

S≡ x21 +2 ·x2

2−3 ·x23 +1 = 0

Se obtiene hallando la intersección de las rectas de ecuaciones

x1 = 2 ·x3 +λλλ , y x2 = x3 +µµµ

con la superficie, obligando a que dicha intersección sea doble, lo que nos da la condición

F(λλλ , µµµ) = λλλ2−2 ·µµµ2 +8 ·λλλ ·µµµ−3 = 0

y sustituyendo en ella λλλ y µµµ , respectivamente, por

x1−2 ·x3 y x2−x3

tenemos

x1−2 ·x22 +18 ·x2

3 +8 ·x1 ·x2−12 ·x1 ·x3−12 ·x2 ·x3−3 = 0

que es la ecuación pedida.

Tratemos, ahora, de determinar la ecuación de una superficie cónica:

Llamaremos superficie cónica a la engendrada por una recta que pasa constantemente por un punto fijo,

y recorre una directriz cualquiera.

Esta superficie es desarrollable, y su arista de retroceso degenera en el punto fijo, o centro, que

separa las dos hojas de la superficie.

Consideremos los casos siguientes:

525

1o.- Si el punto está determinado por la intersección de los tres planos

ΠΠΠ1 = 0 , ΠΠΠ2 = 0 , ΠΠΠ3 = 0,

y una generatriz, la dada por ΠΠΠ1 = λλλ 1 ·ΠΠΠ3

ΠΠΠ2 = λλλ 2 ·ΠΠΠ3 ,

que se apoya sobre una directriz, obtenemos la condición

ϕϕϕ(λλλ 1, λλλ 2) = 0 ,

los que nos permite, juntamente con la generatriz, eliminar los parámetros, resultando la superficie

que os interesa

ϕϕϕ

(ΠΠΠ1ΠΠΠ3

,ΠΠΠ2ΠΠΠ3

)= 0 .

2o.- Si el centro o vértice del cono es V(x′1, x′2, x′3), la generatriz viene dada porx1−x′1 = λλλ 1 · (x3−x′3)

x2−x′2 = λλλ 2 · (x3−x′3)

siendo la ecuación de la superficie

ϕϕϕ

(x1−x′1x3−x′3

,x2−x′2x3−x′3

)= 0

Para reconocer si una superficie es, o no, cónica, bastará con trasladar los ejes a un nuevo origen

O′(x′1, x′2, x′3), y si para valores convenientes de x′1, x′2, x′3, la ecuación transformada se hace ho-

mogénea, la superficie será cónica y su vértice estará en el punto O′(x′1, x′2, x′3); en caso contrario,

la superficie no será cónica.

3.- Superficie cónica de vértice V(x1, x2, x3), y directriz paramétricax1 = fff (λλλ )

x2 = ggg(λλλ )

x3 = hhh(λλλ )

Si a las coordenadas del vértice le añadimos las correspondientes a un segmento de generatriz,

tendremos las ecuaciones paramétricas de la superficie cónicax′1 +k ·x1 = (1+k) · fff (λλλ )

x′2 +k ·x2 = (1+k) ·ggg(λλλ )

x′3 +k ·x3 = (1+k) ·hhh(λλλ )

resultando la ecuación cartesiana al eliminar λλλ y k.

526

4o.- Superficie cónica de vértice V(x′1, x′2, x′3), y circunscrita a la superficie

ϕϕϕ(x1, x2, x3) = 0 .

Resulta expresando que k es raíz doble de la ecuación

ϕϕϕ(x′1 +k ·x1, x′2 +k ·x2, x′3 +k ·x3) = 0

o bien eliminando k entre ésta, y la

x′1 ·ϕϕϕ ′x1+x′2 ·ϕϕϕ ′x2

+x′3 ·ϕϕϕ ′x3= 0

Ejemplo 17. Determinar las ecuaciones paramétricas de la superficie cónica de vértice el punto P(1, −1, 2),

y directriz la curva de ecuaciones

ddd ≡

x1 = 2 · cos t

x2 = 2 · sen t

x3 = 0 .

Las ecuaciones buscadas son x1 = 1+λλλ · (2 · cos t−1)

x2 =−1+λλλ · (2 · sen t+1)

x3 = 2−2 · t

Si eliminamos los parámetros λλλ y t obtenemos la correspondiente ecuación implícita

4 ·x21 +4 ·x2

2−2 ·x23−4 ·x1 ·x3 +4 ·x2 ·x3 +16 ·x3−16 = 0

Ejemplo 18. Determinar la ecuación de la superficie cónica de vértice el punto P(1, −1, 2), y cuyas genera-

trices se apoyan en la curva (directriz).

ddd ≡

x21 +x2

2 = 0

x3 = 0 .

Eliminando x1, x2, x3 entre las ecuaciones de la directriz y las de la radiación de rectas, de vértice el punto

P(1, −1, 2), obtendremos la relación

F(λλλ , µµµ) = (1−2 ·λλλ 2)+(1+2 ·µµµ)2−4 = 0

y llevando esta relación los valores de λλλ y µµµ , despejados de las ecuaciones de la radiación, obtendríamos, finalmente,

como ecuación de la superficie cónica.

4 ·x21 +4 ·x2

2−2 ·x23−4 ·x1 ·x3 +4 ·x2 ·x3 +16 ·x3−16 = 0

527

Ejemplo 19. Determinar la ecuación de la superficie cónica de vértice el origen y generatrices tangentes a la

superficie

S≡ x22 +x2

2 +x23−2 ·x1 +4 = 0

Hallamos la intersección de la recta x1 = λλλ ·x3

x2 = µµµ ·x3

con la superficie, con lo que obtendremos la ecuación

(λλλ 2 +µµµ2 +1) ·x2

3−2 ·λλλ ·x3 +4 = 0 .

Si la recta en cuestión ha de ser tangente a la superficie, esta ecuación tiene que ser una raíz doble, luego

F(λλλ ,µµµ) = λλλ2−4 · (λλλ 2 +µµµ

2 +1) = 0

y sustituyendo en esta ecuación λλλ y µµµ , respectivamente, porx1x2

yx2x3

, obtenemos, después de simplificar, la

ecuación

3 ·x21 +4 ·x2

2 +4 ·x23 = 0

que representa un cono imaginario.

Ejemplo 20. Determinar la ecuación de una superficie cónica, cuyo vértice es el punto V(1, 2, 1), siendo la

directriz la elipse

ddd ≡

25 ·x21 +4 ·x2

2−100 = 0

x3 = 0

La generatriz será

ggg≡

x1−1 = λλλ · (x3−1)

x2−2 = µµµ · (x3−1)

Eliminando x1, x2, x3 entre ddd y ggg, obtenemos la ecuación de los parámetros:

25 · (1−λλλ )2 +4 · (2−µµµ)2−100 = 0

Sustituyendo, ahora, los valores

λλλ =x1−1x3−1

, µµµ =x2−2x3−1

en la ecuación anterior, obtenemos la ecuación del cono pedido:

25 · (x3−x1)2 +4 · (2 ·x3−x2)

2−100 · (x3−1)2 = 0

es decir

25 ·x21 +4 ·x2

2−59 ·x23−50 ·x1 ·x3−16 ·x2 ·x3 +200 ·x3−100 = 0

528

Ejemplo 21. Determinar la superficie cónica de vértice el origen y directriz la curva intersección de las

superficies de ecuaciones

x1−2 = 0 y x22 +4 ·x2

3−4 = 0

El vértice tendrá las coordenadas P(0, 0, 0) y la curva directriz será la

ddd ≡

x1−2 = 0

x22 +4 ·x3 = 4

La radiación de rectas de vértice P será x1 = λλλ ·x3

x2 = µµµ ·x3 .

Eliminamos x1, x2, x3 entre las ecuaciones de la directriz y las de la radiación de rectas

x1−2 = 0

x22 +4 ·x3 = 4

x1 = λλλ ·x3

x2 = µµµ ·x3

=⇒

x22 +4 ·x3 = 4

2 = λλλ ·x3

x2 = µµµ ·x3

=⇒x2

2 +4 · 2λλλ

= 4

x2 = µµµ · 2λλλ

=⇒

(2 ·µµµλλλ

)2+

8λλλ

= 4 =⇒ µµµ2 +2 ·λλλ −λλλ

2 = 0

y llevando a esta ecuación los valores

λλλ =x1x3

, µµµ =x2x3

obtenemosx2

2x2

3+2 · x1

x3−(

x1x3

)2= 0

es decir

x22−2 ·x1 ·x3−x2

1 = 0

Ejemplo 22. Determinar la ecuación de la superficie cónica que proyecta la elipse

ddd ≡

x2

14

+x2

29

= 9

x3 = 0

desde el punto V(0, 0, 8).

La ecuación de la generatriz será

ggg≡

x1 = λλλ · (x3−8)

x2 = µµµ · (x3−8)

siendo la directriz la dada.

Eliminando las x1, x2, x3, entre las ecuaciones de ggg y ddd, obtenemos

λλλ 2 ·644

+µµµ2 ·64

9= 1

529


λλλ =x1

x3−8, µµµ =

x2x3−8

resultará la ecuación de la superficie cónica pedida

x21

4+

x22

9− (x3−8)2

64= 1

Ejemplo 23. Determinar la ecuación del cono que proyecta, desde el origen de coordenadas, la circunferencia

determinada por los puntos

A(1, 0, 0) , B(0, 2, 0) , C(0, 0, 1)

Determinamos, en primer lugar, la esfera que pasa por los puntos A, B, C yO, cuya ecuación genérica es

x21 +x2

2 +x23 +a ·x1 +b ·x2 + c ·x3 = 0

a la que imponemos las siguientes condiciones:

1.- Por pasar por A(1, 0, 0):

1+a = 0 =⇒ a =−1

2.- Por pasar por B(0, 2, 0):

4+2 ·b = 0 =⇒ b =−2

3.- Por pasar por C(0, 0, 1):

1+ c = 0 =⇒ c =−1

Por lo tanto, la esfera será

x21 +x2

2 +x23−x1−2 ·x2−x3 = 0

El plano determinado por los puntos A, B y C será

2 ·x1 +x2 +2 ·x3−2 = 0

En consecuencia la circunferencia©

ABC tendrá por ecuaciones x21 +x2

2 +x23−x1−2 ·x2−x3 = 0

2 ·x1 +x2 +2 ·x3−2 = 0

Homogeneizando con t ambas ecuaciones obtenemosx21 +x2

2 +x23− (x1 +2 ·x2 +x3) · t = 0

2 ·x1 +x2 +2 ·x3−2 · t = 0

y eliminando t obtendremos el cono pedido

5 ·x1 ·x2 +4 ·x1 ·x3 +5 ·x2 ·x3 = 0

530

Ejemplo 24. Determinar la ecuación del cono de revolución, del que se conoce:

1.- El vértice V(1, 1, 1).

2.- El eje x1 = 2 ·x3−1

x2 = x3

3.- El ángulo de la generatriz con el eje: ααα = 60o.

La generatriz tendrá por ecuaciones x1−1 = λλλ · (x3−1)

x2−1 = µµµ · (x3−1)

y por tanto, uno de sus vectores de dirección será

V1 = (λλλ , 1, µµµ) .

Por otra parte uno de los vectores de dirección del eje será

V2 = (2, 1, 1)

Efectuamos el producto escalar de esos dos vectores imponiendo que el ángulo que forman es 60o

|V1| · |V2| · cos 60o = (λλλ , 1, µµµ) · (2, 1, 1)(

cos 60o =12

)es decir √

λλλ 2 +1+µµµ2 ·√

22 +12 +12 · 12

= 2 ·λλλ +1+µµµ


5 ·λλλ 2−µµµ2 +8 ·λλλ ·µµµ +8 ·λλλ +4 ·µµµ−1 = 0

Sustituyendo, ahora, en esta ecuación los valores:

λλλ =x1−1x3−1

, µµµ =x2−1x3−1

obtenemos la ecuación que nos interesaba

5 ·x21−x2−x2

3 +8 ·x1 ·x2 +8 ·x1 ·x3 +4 ·x2 ·x3−26 ·x1−10 ·x2−10 ·x3 +23 = 0

Ejemplo 25. Dada la circunferencia paralela al plano X1OX2, con centro el punto P(2, 2, −1), y radio R = 1,

se pide, determinar la traza con el plano X1X2 del cono que tiene por base dicha circunferencia, y el vértice

el punto V(1, 0, 2).

La circunferencia será

γγγ ≡

(x1−2)2 +(x2−2)2 = 1

x3 +1 = 0=⇒

x21 +x2

2−4 ·x1−4 ·x2 +7 = 0

x3 +1 = 0

La generatriz del cono será

ggg≡

x1−1 = λλλ · (x3−2)

x2 = µµµ · (x3−2)

531

Eliminando, ahora, x1, x2, x3 entre γγγ y ggg, obtenemos

x21 +x2

2−4 ·x1−4 ·x2 +7 = 0

x3 =−1

x1−1 = λλλ · (x3−2)

x2 = µµµ · (x3−2)

=⇒ 9 ·λλλ 2 +9 ·µµµ2 +6 ·λλλ +12 ·µµµ +4 = 0

Sustituyendo en la relación entre λλλ y µµµ , obtenidas

λλλ =x1−1x3−2

, µµµ =x2

x3−2

resultará la ecuación del cono.

Su traza, sobre el plano X1OX2, será dado que x3 = 0,(λλλ =

1−x12

, µµµ =−x2

2

)=⇒ 9 ·

(1−x1

2

)2+9 ·

(−x2

2

)2+6 · 1−x1

2+12 · −x2

2+4 = 0

es decir

9 ·x21 +9 ·x2

2−30 ·x1−24 ·x2 +37 = 0

Llamaremos superficie alabeada a toda superficie que no tiene dos generatrices infinitamente próximas

en un plano.

La condición para que una superficie sea alabeada vendrá dada por la incompatibilidad del sistema

(1)

x1 = a ·x3 +h

x2 = b ·x3 +ky (2)

x1 = (a+d ·a) ·x3 +h+d ·h

x2 = (b+d ·b) ·x3 +k+d ·k

o por la desigualdad

a′ ·k′−b′ ·h 6= 0 .

Al no cortarse dos generatrices consecutivas no existirá, aquí, arista de retroceso, apareciéndonos otra

línea destacable: la línea de estricción.

Considerada una generatriz, ggg, y la perpendicular común entre ggg y la infinitamente próxima, ggg1, al pie de

la tal perpendicular, C, se le llamará punto central de la generatriz considerada.

Así, llamaremos línea de estricción al lugar geométrico de los puntos centrales de todas las generatrices.

El plano tangente en el punto P(p1, p2, p3), de la generatriz, será uno de los planos del haz de arista (1):

x1−a ·x3−h+k · (x2−b ·x3−k) = 0

pero al tener que quedar verificada esta ecuación para el punto P(p1, p2, p3) de (1), y para el movimiento

paramétrico de (2) tendremos

p1− (a+d ·a) ·p3−h−d ·h+k · [p2− (b+d ·b) ·p3−k−d ·k] = 0

−p3 ·d ·a−d ·h+λλλ · (−p3 ·d ·b−d ·k) = 0

532

quedando determinado, el plano tangente, por el valor

k =− a′ ·p3 +h′

b′ ·p3 +k′

lo que nos dice, por ser esta la ecuación de una proyectividad, que, el haz de planos que pasa por una

generatriz es proyectivo con la serie rectilínea de los puntos de contacto.

Si el punto de la generatriz es el infinito, p3 =∞∞∞, el plano tangente se llama asintótico, siendo su ecua-

ción

x1 -a ·x3−h− a′

b′· (x2−b ·x3−k) = 0

Si el punto de a generatriz es el central, el plano tangente se llama plano central, siendo éste y el

asintótico lo planos tangentes notables que pasan por la generatriz.

Si d es la mínima distancia entre dos generatrices contiguas, y es θθθ el ángulo que forman, se llama

parámetro de distribución, p, de los planos tangentes a la relación

p = limdθθθ

Estudiemos, ahora, las superficies alabeadas de directrices rectilíneas, y en particular los conoides.

1o.- En general tendremos que si tenemos dos directrices rectilíneas propias dadas por los planos:

P = 0 , Q = 0 ; R = 0 , S = 0 ,

y generatriz P−λλλ ·Q = 0

R−µµµ ·S = 0

expresando que esta corta a la directriz curvilínea

D≡

fff (x1, x2, x3) = 0

ggg(x1, x2, x3) = 0

tendremos, al eliminar x1, x2, x3, la ecuación

F(λλλ , µµµ) = 0

Eliminando λλλ y µµµ entre esta y la generatriz resulta la superficie

F(

PQ

,RS

)= 0

533

2o.- Llamaremos conoide a la superficie engendrada por una recta paralela a un plano fijo, y que se

apoya en una recta fija.

Si el plano fijo es el

ΠΠΠ1 = 0

y la recta viene dada como intersección de dos planos

rrr ≡

ΠΠΠ2 = 0

ΠΠΠ3 = 0

el conjunto de las rectas paralelas a ΠΠΠ1, y que se apoyan en la recta rrr, viene dada por las ecuaciones

rrr(λλλ , µµµ)≡

ΠΠΠ2 +λλλ ·ΠΠΠ3 = 0

ΠΠΠ1 = 0

El conoide vendrá determinado por una condición impuesta a dichas rectas

F(λλλ , µµµ) = 0 ,

luego la ecuación del conoide es

F(

ΠΠΠ2ΠΠΠ3

, ΠΠΠ1

)= 0 .

El plano ΠΠΠ1 se le llama plano director del conoide.

Si la recta rrr es perpendicular al plano directriz, se dice que el conoide es recto.

Ejemplo 26. Ecuación del conoide recto, engendrado por las rectas que se apoyan en el eje OX3, son paralelas

al plano X3 = 0 y se apoyan en la circunferencia

C≡

x21 +x2

2−2x1 = 0

x2−x3 = 0

Eliminamos x1, x2, x3 entre las ecuaciones

rrr(λλλ , µµµ)≡

x1 +λλλ ·x2 = 0

x3 = µµµ

y C≡

x21 +x2

2−2x1 = 0

x2−x3 = 0

obteniendo

F(λλλ , µµµ) = λλλ2 ·µµµ +µµµ +2 ·µµµ = 0 ,

y sustituyendo, aquí, λλλ y µµµ , respectivamente por

− x1x2

y x3 ,

obtenemos la ecuación pedida

x21 ·x3 +x2

2 ·x3−2 ·x1 ·x2 = 0

534

Ejemplo 27. Determinar el conoide, una de cuyas directrices es el eje OX3, otra directriz la circunferencia

C≡

x22 +x2

3−102 = 0

x1−8 = 0

y plano director el X1X2.

La generatriz será

ggg≡

x2 = λλλ ·x1

x3 = µµµ

Eliminando, ahora, x1, x2, x3 entre ggg y C obtenemos la ecuación de los parámetros

λλλ2 ·82 +µµµ

2−102 = 0

Sustituyendo en esta ecuación

λλλ =x2x1

, µµµ = x3

obtenemos la ecuación del conoide pedido,

x22

x21·82 +x2

3−102 = 0

es decir

x21 ·x

23 +64 ·x2

2−100 ·x21 = 0

Dadas las curvas x(u) y x(v), que se cortan en el punto

x(u0) = x(v0)

llamaremos superficie de traslación de generatriz x(v), y directriz x(u), a la superficie engendrada

por la curva x(v) al trasladarse paralelamente a si misma, cuando el punto de contacto recorre la curva

x(u).

Si X es un punto cualquiera, de una posición cualquiera de la generatriz, es decir, el punto genérico de la

superficie de traslación, tenemos que−→OX=−−→

OQ+−→

QX=−−→

OQ+−→

PY=−−→

OQ+−→

OY−−→

OP

luego la ecuación vectorial de la superficie de traslación es

x(u, v) = x(u)+x(v)−x(u0)

y sus ecuaciones paramétricasx1(u, v) = x1(u)+x1(v)−x1(u0)

x2(u, v) = x2(u)+x1(v)−x2(u0)

x3(u, v) = x3(u)+x3(v)−x3(u0)

535

Ejemplo 28. Ecuaciones paramétricas de la superficie de traslación engendrada por la curva

C≡

x1−4 ·x2 = 0

x3 = 0

al moverse paralelamente a sí misma deslizándose sobre la recta

rrr ≡

x1−4 ·x3 = 0

x2−5 ·x3 = 0

Ponemos en forma paramétrica ambas curvas

C≡

x1 = 4 ·v2

x2 = v

x3 = 0

, rrr ≡

x1 = 4 ·u

x2 = 5 ·u

x3 = u

luego x1(u, v) = 4 ·u−4 ·v2

x2(u, v) = 5 ·u−v

x3(u, v) = u

son las ecuaciones paramétricas pedidas. Eliminando entre ellas los parámetros u y v, obtenemos la ecuación carte-

siana de la superficie

x1 = 4 ·x3−4 · (5 ·x3−x2)2

Llamaremos superficie podaria de una dada al lugar geométrico de las proyecciones ortogonales de un

punto fijo, P sobre los diferentes planos tangentes a la superficie dada

F(x1, x2, x3) = 0 .

La ecuación del plano tangente en M(x1, x2, x3) es

(X1−x1) ·Fx1 +(X2−x2) ·Fx2 +(X3−x3) ·Fx3 = 0

y la recta perpendicular a este plano, trazada por el punto fijo P(p1, p2 ,p3) es

X1−p1Fx1

=X2−p2

Fx2

=X3−p3

Fx3

Eliminando x1, x2, x3 entre estas cuatro ecuaciones obtendremos la ecuación de la superficie podaria:

fff (x1, x2, x3) = 0

536

Ejemplo 29. Determinar la podaria de la elipse

S≡x2

1a2 +

x22

b2 +x2

3c2 = 1

respecto de su centro.

Si P(x1, x2, x3) es un punto de la superficie, verificará la ecuación del elipsoide

x21

a2 +x2

2b2 +

x23

c2 = 1

El plano tangente en el puto P será

X1 ·x1a2 +

X2 ·x2b2 +

X3 ·x3c2 −1 = 0

y la perpendicular a éste, desde el origen será

X1x1a2

=X2x2b2

=X3x3c2

que podemos escribir

a ·X1x1a

=b ·X2

x2b

=c ·X3

x3c

=

√a2 ·X2

1 +b2 ·X22 + c2 ·X2

3

1

de donde deducimos:x1a2 =

X1√a2 ·X2

1 +b2 ·X22 + c2 ·X2

3

x2b2 =

X2√a2 ·X2

1 +b2 ·X22 + c2 ·X2

3

x3c2 =

X3√a2 ·X2

1 +b2 ·X22 + c2 ·X2

3

que sustituidas en la ecuación del plano tangente nos dan la solución

(X21 +X2

2 +X23)

2 = a2 ·X21 +b2 ·X2

2 + c2 ·X23

Ejemplo 30. Determinar la podaria de la elipse

S≡ x1 ·x2 ·x3−8 = 0

respecto al origen de coordenadas.

El plano tangente en el punto M(x1, x2, x3) es

(X1−x1) ·x2 ·x3 +(X2−x2) ·x1 ·x3 +(X3−x3) ·x1 ·x2 = 0

y la perpendicular a éste, desde el origen O(0, 0, 0), es

X1x2 ·x3

=X2

x1 ·x3=

X3x1 ·x2

537

Operamos, ahora, para expresar x1, x2, x3 en función de las X1, X2, X3, para luego sustituyendo en la ecuación de

la superficie obtener la podaria pedida.

Del plano tangente, haciendo operaciones tenemos, por la proporcionalidad

(X1−x1) ·X1 +(X2−x2) ·X2 +(X3−x3) ·X3 = X21 +X2

2 +X23− (x1 ·X1 +x2 ·X2 +x3 ·X3 = 0

es decir

X21 +X2

2 +X23 = x1 ·X1 +x2 ·X2 +x3 ·X3

y de la perpendicularidad resulta

X1 ·x1x1 ·x2 ·x3

=X2 ·x2

x1 ·x2 ·x3=

X3 ·x3x1 ·x2 ·x3

=X1 ·x1 +X2 ·x2 +X3 ·x3

3 · (x1 ·x2 ·x3)=

X21 +X2

2 +X23

3 ·8

de dondeX1 ·x1

8=

X21 +X2

2 +X23

3 ·8=⇒ x1 =

X21 +X2

2 +X23

3 ·X1

y en forma análoga

x2 =X2

1 +X22 +X2

33 ·X2

x3 =X2

1+X22+X2

33·X3

Sustituyendo, ahora en la ecuación de la superficie

x1 ·x2 ·x3−8 = 0

resulta la ecuación de la podaria

(X21 +X2

2 +X23)

3−33 ·23 ·X1 ·X2 ·X3 = 0

538

Lección 36.- CURVATURA DE SUPERFICIES

36.1 Teorema de Meusnier

36.2 Relación entre las curvaturas de las secciones normales

36.3 Clasificación de los puntos de una superficie

36.1 Teorema de Meusnier

Consideremos la superficie: x3 = x3(x1,x2), en la que supondremos x3(x1,x2) uniforme y dos veces

diferenciable.

Las siguientes notaciones son generalmente aceptadas en el estudio de las superficies y en las ecuaciones

en derivadas parciales:

p≡ ∂x3∂x1

, q≡ ∂x3∂x2

, r≡ ∂ 2x3

∂x21

, s≡ ∂ 2x3∂x1∂x2

, t≡ ∂ 2x3

∂x22

Si suponemos trazada, en un punto P(x1, x2, x3) de la superficie, una curva, vamos a expresar el cos θθθ

del ángulo que forman la seminormal a la superficie, de cosenos directores

−p√1+p2 +q2

,−q√

1+p2 +q2,

1√1+p2 +q2

y la seminormal principal a la curva, de cosenos directores

ρρρ · d2x1ds2 , ρρρ · d2x2

ds2 , ρρρ · d2x3ds2 .

Así, tendremos

cos θθθ = ρρρ ·−p · d2x1

ds2 −q · d2x2ds2 +

d2x3ds2√

1+p2 +q2.

Si ahora derivamos x3 = x3(x1, x2) con relación a s a lo largo de la curva

dx3ds

= p · dx1ds

+q · dx2ds

,d2x3ds2 = p · d2x1

ds2 +q · d2x2ds2 +

+

[r · d2x1

ds2 + s · dx2ds

]︸︷︷︸

dpds

· dx1ds

+

[s · d2x1

ds2 + t · dx2ds

]︸︷︷︸

dqds

· dx2ds

y sustituyendo la expresión obtenida ded2x3ds2 , en cos θθθ , resulta

cos θθθ = ρρρ ·r ·(

dx1ds

)2+2 · s · dx1

ds· dx2

ds+ t ·

(dx2ds

)2

√1+p2 +q2

= ρρρ · r ·ααα2 +2 · s ·ααα ·βββ + t ·βββ 2√1+p2 +q2

539

en función de los cosenos directores

ααα =dx1ds

, βββ =dx2ds

de la tangente.

Despejando ρρρ , radio de curvatura de flexión de la curva

ρρρ =cos θθθ ·

√1+p2 +q2

r ·ααα2 +2 · s ·ααα ·βββ + t ·βββ 2

observamos que el radio de flexión, ρρρ , sólo depende de la dirección de la tangente a la curva en el punto

(dirección caracterizada por dos cosenos directores ααα , βββ ), y del ángulo θθθ , que forma la normal principal

a la curva con la normal a la superficie, que es el mismo que forma el plano osculador a la curva con el

plano normal a la superficie que pasa por la misma tangente. Resulta entonces que todas las curvas que

tengan el mismo plano osculador en P, tendrán la misma curvatura de flexión. Bastará, pues, considerar

las secciones planas.

secc

ión

oblic

ua

plano tangente

secc

ión

norm

al

Rρθ

De la expresión obtenida más arriba:

ρρρ =cos θθθ ·

√1+p2 +q2


se deduce que todas las secciones que pasan por una misma tangente, tiene radio de curvatura máximo

la sección normal a la superficie: θθθ = 0 , cos θθθ = 1, y llamando R a dicho radio

R =

√1+p2 +q2


obtenemos

ρρρ = R · cos θθθ

Esta sencilla relación, que permite hallar fácilmente las curvaturas de las secciones oblicuas, que pasan

por una misma tangente, en función de la sección normal, es la que se enuncia como:

Teorema de Meusnier. El centro de curvatura de una sección, oblicua se obtiene proyectando

sobre su plano el centro de curvatura de la sección normal que pasa por la misma tangente.

540

36.2 Relación entre las curvaturas de las secciones normales

Sólo nos queda, para definir completamente las curvaturas de todas las curvas que pasan por el punto

P(x1, x2, x3), relacionar las curvaturas de las secciones normales.

Simplificaremos nuestro razonamiento si suponemos referida la superficie a unos ejes cartesianos, de

origen el punto P, y situados en el plano tangente, de manera que: p = 0, q = 0.

plano tangente

tangentex1

x2

x3

φ

En estas condiciones, el radio de curvatura de la sección normal será

R =1

r ·ααα2 +2 ·ααα ·βββ + t ·βββ 2 ,

y la curvatura1R

= r ·ααα2 +2 · s ·ααα ·βββ + t ·βββ 2

Llamando ϕϕϕ al ángulo de la tangente con el eje X1, tendremos

ααα = cos ϕϕϕ , βββ = sen ϕϕϕ

y la expresión de la curvatura, en función del parámetro ϕϕϕ , será

1R

= r · cos2ϕϕϕ +2 · s · sen ϕϕϕ · cos ϕϕϕ + t · sen2

ϕϕϕ

Obtendremos una imagen sencilla de su variación, si llevamos sobre cada tangente segmentos de longitud

k ·√

R (k=constante).

Las coordenadas X1, X2 de los extremos de estos segmentos verificarán

cos ϕϕϕ =X1

k ·√

R, sen ϕϕϕ =

X2

k ·√

R,

y sustituyendo estos valores en la ecuación que nos da la curvatura

k2 = r ·X21 +2 · s ·X1 ·X2 + t ·X2

2

que es la ecuación de una cónica con centro en el origen, que llamaremos indicatriz de curvatura, y

pasamos a analizar

541

1o.- Si s2− r · t < 0, la cónica es una elipse, y el

punto P se llama elíptico.

2o.- Si s2− r · t > 0, la cónica es una hipérbola,

y el punto P se llama hiperbólico. Se to-

ma, entonces, como indicatriz de curvatura

el conjunto de las hipérbolas conjugadas:

r ·X21 +2 · s ·X1 ·X2 + t ·X2

2 =±k2

3o.- Si s2− r · t = 0, la indicatriz está formada

por dos rectas paralelas, y el punto P se lla-

ma parabólico.

x1

x2

x2

x2

x1

x1

Resulta, así, que los radios de curvatura de las secciones normales de una superficie, en uno de sus pun-

tos, varían proporcionalmente a los cuadrados de los semidiámetros determinados en la indicatriz por las

respectivas tangentes.

Llamaremos curvaturas y radios de curvatura principales a los correspondientes a los ejes de la indi-

catriz.

Dado que una cónica queda determinada por tres puntos y el centro, nos bastará con conocer la curvatura

de tres curvas por P, que pasen por tres tangentes distintas, para conocer la indicatriz y, en consecuencia,

la curvatura de todas las demás. Si los planos osculadores fuesen oblicuos, se pasaría fácilmente a la

curvatura de las secciones normales, aplicando el teorema de Meusnier.

Así mismo se puede demostrar que: El producto de las curvaturas de dos secciones normales, se-

gún dos direcciones conjugadas, dividido por el cuadrado del seno del ángulo que forman, es una

constante, e igual, por tanto, al producto de las curvaturas principales:

1r1· 1

r2sen2 θθθ

=1

R1· 1

R2(R1 y R2, radios de curvatura principales)

constante que Gauss denominó curvatura de la superficie en el punto considerado, y a la que llamare-

mos curvatura de Gauss.

Si adoptásemos como ejes X1Y1 los de la indicatriz, resultaría como ecuación de la misma

k2 = r ·X21 + t ·X2

2 ,

es decir

s = 0 ,

y la relación, antes obtenida,1R

= r ·ααα2 +2 · s ·ααα ·βββ + t ·βββ 2

542

queda reducida a:1R

= r · cos2ϕϕϕ + t · sen2

ϕϕϕ

de la que se deduce para ϕϕϕ = 0 ,

1R1

= r

para ϕϕϕ =πππ

2,

1R2

= t

es decir1R

=cos2 ϕϕϕ

R1+

sen2 ϕϕϕ

R2, (Relación de Euler)

que permite obtener la curvatura,1R

, de una sección cualquiera en función de las curvaturas principales:

1R1

y1

R2

A partir de aquí se establece el valor

H =12·(

1R1

+1

R2

)al que llamaremos curvatura media de la superficie en el punto.

36.3 Clasificación de los puntos de una superficie

Se puede demostrar que la expresión: s2− r · t es invariante respecto de toda rotación de ejes y también

respecto de una traslación.

Por tanto, la clasificación hecha en el apartado anterior, aunque deducida respecto a los ejes situados en

el plano tangente en cada punto, es valida para toda posición de los ejes.

En consecuencia, dada la ecuación z = z(x1, x2) y establecido h = r · t− s2, los puntos en los que

hT , son respectivamente

elípticos

parabólicos

hiperbólicosverificándose que:

a.- En un punto elíptico las curvaturas principales son, una máxima y la otra mínima.

b.- En un punto hiperbólico las curvaturas principales son máximas (relativas), y existen dos direc-

ciones asintóticas de curvatura nula. En los dos ángulos completos que estas asíntotas definen, las

curvaturas son de signos opuestos, es decir, en uno de los ángulos las secciones normales, en el

entorno del punto, se hallan por encima del plano tangente, y en el otro por debajo; la superficie

en dicho entorno es de forma análoga a la de una silla de montar a caballo. El plano tangente corta

a la superficie según una curva que tiene en P un punto doble.

543

c.- En un punto parabólico una de las curvaturas es nula y la otra máxima.

Si r, s, t son funciones continuas, todo punto hiperbólico / elíptico tiene un entorno de puntos de la

misma naturaleza. La superficie se dividirá, por tanto, en regiones de puntos hiperbólicos y de puntos

elípticos. separadas por una línea o líneas de puntos parabólicos, cuyas ecuaciones vienen dadas por el

sistema z = z(x1, x2)

s2− r · t = 0

Llamaremos umbílicos o puntos cíclicos de la superficie a los puntos elípticos en los cuales son iguales

las dos curvaturas principales.

Llamaremos líneas de curvatura a las que en cada punto tienen por tangente una de las direcciones

principales.

Llamaremos líneas asintóticas a las que tienen por tangente en cada punto una de las asíntotas de la

indicatriz.

Llamaremos líneas geodésicas a aquellas en las que la normal principal en cada punto coincide con la

normal a la superficie.

544

Lección 37.- GRADIENTE. DIVERGENCIA. ROTACIONAL

37.1 Campo escalar: Gradiente

37.2 Campo vectorial: Divergencia

37.3 Campo vectorial: Rotacional

37.1 Campo escalar: Gradiente

En lo que sigue supondremos E es un espacio vectorial euclídeo tridimensional orientado y si no se dice

nada en contra iii, jjj, kkk será una base ortonormada del mismo.

Se llama campo de escalares y también campo escalar a toda aplicación de E en R, es decir, de la forma

U : E−−−−−−−−−−−−−−−→ R

(x, y, z) 7−→ u = U(x, y, z)

Se llama campo de vectores y también campo vectorial a toda aplicación de E en E, es decir, de la

forma

f : E−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ E(x, y, z) 7−→ a = P(x, y, z)iii+Q(x, y, z) jjj+R(x, y, z)kkk

En lo que sigue tendremos ocasión de ver que no hay inconveniente en restringir el dominio de

un campo a determinados subconjuntos de E, por ejemplo a abiertos, para los que se mantiene

todo lo que establezcamos en general. Por otra parte a veces la restricción nos viene impuesta.

Vamos a estudiar en primer lugar los campos escalares.

Se llama superficie de nivel de un campo escalar al lugar geométrico de los puntos en los cuales la

función escalar del campo tiene el mismo valor.

La superficie de nivel del campo dado quedará por tanto determinada por la ecuación:

U(x, y, z) = C; C = constante.

Ejemplo 1. Las superficies de nivel del campo escalar

U(x, y, z) = x+3 ·y−2 · z+4

vienen dadas por la ecuación

x+3 ·y−2 · z+4 = C, C = constante.

Se trata por tanto de una familia de planos paralelos, de vector característico (1, 3, −2).

Una superficie de nivel particular, concretamente la que pasa por el origen, seria la correspondiente a C = 4, es decir

x+3 ·y−2 · z = 0

545

Ejemplo 2. Las superficies de nivel del campo escalar

U(x, y, z) = x2 +y2− z2

vienen dadas por la ecuación

x2 +y2− z2 = C, C = constante.

Según los valores de C tenemos:

C = 0. . . . . . . . . . . . cono circular

C > 0. . . . . . . . . . . . hiperboloides de una hoja de revolución

C < 0. . . . . . . . . . . . hiperboloides de dos hojas

Ejemplo 3. Consideremos el campo escalar

U(x, y, z) = arc senz√

x2 +y2

Su campo de definición queda determinado por la desigualdad∣∣∣∣ z√x2 +y2

∣∣∣∣6 1

es decir

06z2

x2 +y2 6 1 ,

de donde

06 z2 6 x2 +y2

Esta doble desigualdad nos muestra que el campo de definición es el exterior del cono circular

z2 = x2 +y2 .

y el propio cono menos su vértice.

Las superficie de nivel vienen dadas por la ecuación

arc senz√

x2 +y2= C, − πππ

26 C6

πππ

2

es decirz√

x2 +y2= sen C


z2 = (x2 +y2) · sen2 C

Se trata de la familia de conos circulares situados fuera del cono z2 = x2 +y2 con el eje común de simetría OZ y el

vértice común (0, 0, 0), en el cual el campo no está determinado; el propio cono z2 = x2 +y2 forma parte de esta

familia.

Cuando la función U que define un campo escalar es “diferenciable” a partir de dicho campo se puede

generar una campo vectorial en la forma siguiente:

546

Se llama gradiente del campo escalar u = U(x, y, z) en el punto V0 = (x0, y0, z0) ∈ E al vector desig-

nado con el símbolo grad U(v0) y determinado por la igualdad

grad U(v0) =∂U∂x

(v0)iii+∂U∂y

(v0) jjj+∂U∂z

(v0)kkk

El campo vectorial generado

grad U : E−−−−−−−→ Ev0 7−→ grad U(v0)

recibe el nombre de campo de gradientes

Resulta muy práctica la utilización de lo que llamaremos el el operador nabla ∇ , también

conocido como operador de Hamilton, cuya definición es la siguiente:

∇≡ ∂

∂xiii+

∂

∂yjjj+

∂

∂zkkk

Así, el gradiente del campo escalar u = U(x, y, z) en el punto v0 se escribe como sigue:

grad U(v0) = ∇U(v0)

Cuando no se especifica el punto en el que se determina el gradiente, es decir, cuando el punto

es cualquiera, se escribe simplemente: grad U = ∇U.


u = U(x, y, z) = 2 ·x−2 ·y+3 · z

Las superficies de nivel de dicho campo vienen dadas por la ecuación

2 ·x−2 ·y+3 · z = C, C = constante.

se trata por tanto de la familia de planos paralelos de vector característico (2, −2, 3).

El gradiente del campo escalar dado en el punto (1, 2, 5) será el vector determinado como sigue:

grad U(1, 2, 5) =∂U∂x

(1, 2, 5)iii+∂U∂y

(1, 2, 5) jjj+∂U∂z

(1, 2, 5)kkk

y como∂U∂x

= 2 ,∂U∂y

=−2 ,∂U∂z

= 3

será

grad U(1, 2, 5) = 2iii−2 jjj+3kkk ≡ (2, −2, 3)

Observamos dos cosas:

1a.- Como∂U∂x

,∂U∂y

,∂U∂z

son constantes (no dependen de las variables x, y, z), el gradiente de cualquier

punto es el vector (2, −2, 3).

2a.- El gradiente coincide con el vector característico de la familia de planos paralelos que constituyen las super-

ficies de nivel, luego es un vector normal a dichas superficies.

547


u = U(x, y, z) = x2 +y2 + z2

Las superficies de nivel de dicho campo vienen dadas por la ecuación

x2 +y2 + z2 = C, C = constante no negativa;

se trata, por tanto, de la familia de esferas de centro el origen. El gradiente del campo escalar dado en el punto

(1, 2, 5) será el vector determinado como sigue:

grad U(1, 2, 5) =∂U∂x

(1, 2, 5)iii+∂U∂y

(1, 2, 5) jjj+∂U∂z

(1, 2, 5)kkk

y como∂U∂x

= 2 ·x ,∂U∂y

= 2 ·y ,∂U∂z

= 2 · z

será

grad U(1, 2, 5) = 2 ·1iii+2 ·2 jjj+2 ·5kkk = 2iii+4 jjj+10kkk ≡ (2, 4, 10)

Por el punto (1, 2, 5) pasa la superficie de nivel de constante

C = 12 +22 +52 = 1+4+25 = 30 ,

es decir la

x2 +y2 + z2 = 30 .

La normal a esta superficie, en el punto (1, 2, 5) será la recta que tiene como uno de sus vectores dirección el

siguiente:

n = (2 ·x, 2 ·y, 2 · z)(1, 2, 5) = (2, 4, 10) .

Son de inmediata comprobación los dos siguientes puntos:

1a.- A diferencia de lo que ocurría en el ejemplo anterior, aquí las∂U∂x

,∂U∂y

,∂U∂z

no son constantes (de-

penden de las variables x, y, z), con lo que el gradiente no es un vector único sino que depende del punto en

el que lo consideremos.

2a.- Al igual que ocurría en el ejemplo anterior el gradiente en un punto es normal a la superficie de nivel que

pasa por dicho punto.

Consideremos ahora junto con la función U, diferenciable, un vector unitario u(a, b, c) cuyas coorde-

nadas son

a = cos ααα , b = cos βββ , c = cos γγγ ,

respectivamente los cosenos de los ángulos que dicho vector forma con los vectores iii , jjj , kkk , que deter-

minan la base ortonormada de referencia. En estas condiciones se llama derivada de la función U en la

dirección del vector u en el punto v0 al número dado por el producto escalar siguiente:

∂U∂u

(v0) = [grad U(v0)]ψψψ

548

La expresión analítica de esta derivada direccional es:

∂U∂u

(v0) =

[∂U∂x

(v0)iii+∂U∂y

(v0) jjj+∂U∂z

(v0)kkk]· (aiii+b jjj+ ckkk) =

a · ∂U∂x

(v0)+b · ∂U∂y

(v0)+ c · ∂U∂z

(v0)

En ocasiones se habla de la derivada direccional según un vector (no unitario). Lo que hay que hacer en

estos casos es normalizar dicho vector y calcular la derivada pedida en la dirección del vector normali-

zado.

Con frecuencia interesa calcular la máxima derivada direccional en un punto. La propia definición nos

muestra que ésta corresponde a la dirección del gradiente, con lo que

Derivada direccional máxima = Módulo del gradiente

Ejemplo 6. Determinar la derivada del campo escalar

U(x, y, z) = x2 ·y+3 ·y · z2−x · z3

en el punto P(2, 3, −1) en la dirección del punto P al punto Q(2, 3, 0).

Se tiene que

u =−→PQ = (2, 3, 0)− (2, 3, −1) = (0, 0, 1)

y que∂U∂x

(2, 3, −1) = 2 ·x ·y− z3|(2, 3, −1)= 2 ·2 ·3− (−1)3 = 13

∂U∂y

(2, 3, −1) = x2 +3 · z2|(2, 3, −1)= 22 +3 · (−1)2 = 7

∂U∂z

(2, 3, −1) = 6 ·y · z−3 ·x · z2|(2, 3, −1)= 6 ·3 · (−1)−3 ·2 · (−1)2 =−24

luego

grad U(2, 3, −1) = [13iii+7 jjj−24kkk] · [0iii+0 jjj−1kkk] = 13 ·0+7 ·0+(−24) · (−1) = 24

La derivada direccional máxima del campo escalar dado en el punto P(2, 3, −1) vale:

|grad U(2, 3, −1)|= |13iii+7 jjj−24kkk|=√

132 +72 +242 =√

794

Ejemplo 7. Determinar la derivada direccional máxima del campo escalar

U(x, y, z) = esen (x·y·z)

en el punto (1, 0, e) .

Se tiene que∂U∂x

(1, 0, e) = esen (x·y·z) · cos (x ·y · z) ·y · z|(1, 0, e)= 0

∂U∂y

(1, 0, e) = esen (x·y·z) · cos (x ·y · z) ·x · z|(1, 0, e)= e

∂U∂z

(1, 0, e) = esen (x·y·z) · cos (x ·y · z) ·x ·y|(1, 0, e)= 0

549

luego

grad U(1, 0, e) = (0, e, 0)

En consecuencia el valor que nos interesa será:

|grad U(1, 0, e)|=√

02 +e2 +02 = e

A modo de pequeño resumen podemos enunciar las siguientes propiedades como características del

gradiente:

1a.- La dirección del gradiente en un punto es la de la normal a la superficie de nivel que pasa por por

dicho punto.

2a.- El gradiente está dirigido en el sentido del incremento de la función del campo escalar.

3a.- El módulo del gradiente coincide con el valor de la derivada direccional máxima en el punto

considerado.

Ejemplo 8. Calcular la derivada direccional máxima de la función t = ggg(x, y, z) , en (0, 0, 0), definida

implícitamente por

x ·ey +y ·ez + z ·et + t ·ex = 1 ,

en un entorno del punto (0, 0, 0, 1) .

Derivando la igualdad

x ·ey +y ·ez + z ·et + t ·ex = 1

sucesivamente respecto a x, y, z, se tiene las siguientes:

ey + z ·et · ∂ t∂x

+∂ t∂x·ex + t ·ex = 0

x ·ey +ez + z ·et · ∂ t∂y

+∂ t∂y·ex = 0

y ·ez +et + z ·et · ∂ t∂z

+∂ t∂z·ex = 0

que particularizadas para x = 0 , y = 0 , z = 0 , t = 1 nos dan

1+∂ t∂x

+1= 0

1+∂ t∂y

= 0

e+∂ t∂z

= 0

=⇒

∂ t∂x

=−2

∂ t∂y

=−1

∂ t∂z

=−e

550

Así tenemos ∇t(0, 0, 0) = (−2, −1, −e), de donde resulta que la derivada direccional máxima que nos interesa

es:

||∇t(0, 0, 0)||=√

(−2)2 +(−1)2 +(−e)2 =√

e2 +5

Ejemplo 9. Sean las funciones

fff (x, y, z) = (ex +y2 , k ·ez +y)

ggg(x, y) = y2 +Log x , x > 0

donde k ∈ R.

¿Que valor debe tomar k para que la derivada direccional máxima de ggg fff , en (0, 0, 0) valga 1?

Se verifica que:

fff : R3 −−−−−−−−−−→ R2

(x, y, z) 7−→ (ex +y2 , k ·ez +y)

ggg : R2 −−−−−−−→ R

(x, y) 7−→ y2 +Log x

ggg fff : R3 −−−−−−−−−−−−→ R

(x, y, z) 7−→ (k ·ez +y)2 +Log (ex +y2)

luego:∂ (ggg fff )

∂x=

ex

ex +y2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ ∂ (ggg fff )∂x

(0, 0, 0) = 1

∂ (ggg fff )∂y

= 2 · (k ·ez +y)+2 ·y

ex +y2 −−−−−−−−−−→ ∂ (ggg fff )∂y

(0, 0, 0) = 2 ·k

∂ (ggg fff )∂z

= 2 · (k ·ez +y) ·k ·ez −−−−−−−−−−−−−−→ ∂ (ggg fff )∂z

(0, 0, 0) = 2 ·k2

Así:

∇(ggg fff )(0, 0, 0) = (1, 2 ·k, 2 ·k2)

y como

||∇(ggg fff )(0, 0, 0)||=√

1+4 ·k2 +4 ·k4 = 1

resulta

k = 0

PROPOSICIÓN 1. Si U : E −→ R es un campo de escalares, diferenciable en un punto v0 ∈ E,

siendo (iii, jjj, kkk) una base ortonormada de E, el vector

∂U∂iii

iii+∂U∂ jjj

jjj+∂U∂kkk

kkk

(que tiene por coordenadas las derivadas de U, en el punto v0, según los vectores de la base) es indepen-

diente de la base ortonormada elegida.

551

En efecto: Sean iii, jjj, kkk y uuu, vvv, www dos bases ortonormadas de E.

Si esuuu = a1iii+b1 jjj+ c1kkk

vvv = a2iii+b2 jjj+ c2kkk

www = a3iii+b3 jjj+ c3kkk

la matriz de paso es la

P =

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

que según sabemos es ortogonal, es decir

tP = P−1

Recordemos además que si X, X′ son respectivamente las matrices de las coordenadas de un vector x

respecto a la primera y a la segunda base, se tiene

X = PX′ ; X′ = P−1X

Así, si U es un campo de escalares diferenciable en un punto v0 el vector

∂U∂iii

iii+∂U∂ jjj

jjj+∂U∂kkk

kkk

tiene por matriz de coordenadas en la segunda base

P−1

∂U∂iii

∂U∂ jjj

∂U∂kkk

= tP

∂U∂iii

∂U∂ jjj

∂U∂kkk

Ahora bien, si I es la diferencial de U en el punto v0 se tiene que

∂U∂iii

= lımλλλ→0

U(v0 +λλλiii)−U(v0)

λλλ= I(iii)

y por la misma razón

∂U∂ jjj

= I( jjj) ,∂U∂kkk

= I(kkk)

Para el vector u = a1iii+b1 jjj+ c1kkk se tiene

I(u) =∂U∂uuu

= a1 · I(iii)+b1 · I( jjj)+ c1 · I(kkk) = a1 ·∂U∂iii

+b1 ·∂U∂ jjj

+ c1 ·∂U∂kkk

y por la misma razón∂U∂vvv

= a2 ·∂U∂iii

+b2 ·∂U∂ jjj

+ c2 ·∂U∂kkk

∂U∂www

= a3 ·∂U∂iii

+b3 ·∂U∂ jjj

+ c3 ·∂U∂kkk

552

igualdades éstas que podemos escribir matricialmente como sigue

∂U∂uuu

∂U∂vvv

∂U∂www

= tP

∂U∂iii

∂U∂ jjj

∂U∂kkk

︸︷︷︸

Según hemos visto antes, esta es la matriz de

coordenadas del vector

∂U∂iii

iii+∂U∂ jjj

jjj+∂U∂kkk

kkk

en la base uuu, vvv, www

luego obtenemos∂U∂iii

iii+∂U∂ jjj

jjj+∂U∂kkk

kkk =∂U∂uuu

uuu+∂U∂vvv

vvv+∂U∂www

www

que es lo que nos interesaba comprobar.

37.2 Campo vectorial: Divergencia

Recordemos que llamamos campo de vectores a toda aplicación de la forma

U : E−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ R(x, y, z) 7−→ a = P(x, y, z)iii+Q(x, y, z) jjj+R(x, y, z)kkk

Cuando la función fff que define un campo vectorial es “diferenciable” a partir de dicho campo se pueden

generar otros dos campos, uno escalar y otro vectorial, en la forma siguiente.

Se llama divergencia del campo vectorial a = fff (x, y, z) en el punto v0 = (x0, y0, z0) ∈ E al número

designado con el símbolo div fff (v0) y determinado por la igualdad

div fff (v0) =∂P∂x

(v0)+∂P∂y

(v0)+∂P∂z

(v0)

El campo escalar generado

div fff (v0) : E−−−−−−→ Rv0 7−→ div fff (v0)

recibe el nombre de campo de las divergencias.

Los puntos en los cuales la divergencia es > 0 (resp. < 0) se suelen llamar fuentes (resp. sumi-

deros) del campo vectorial.

Si en todos los puntos la divergencia es cero, es decir, si

div fff = 0

se dice que el campo vectorial es solenoidal.

553

Ejemplo 1. Calcular la divergencia del campo vectorial

fff (x, y, z) = y2iii− (x2 +y3) jjj+ z · (3 ·y2 +1)kkk

en el punto (1, 2, 3).

En este caso es:

P(x, y, z) = y2 −−−−−−−−−−−−−−→ ∂P∂x

= 0

Q(x, y, z) =−(x2 +y3)−−−−−−−→ ∂Q∂y

=−3 ·y2

R(x, y, z) = z · (3 ·y2 +1)−−−−−−→ ∂R∂z

= 3 ·y2 +1

luego

div fff (1, 2, 3) = 0](1, 2, 3)+(−3 ·y2)](1, 2, 3)+(3 ·y2 +1)](1, 2, 3) = 0−3 ·22 +3 ·22 +1 = 1

Ejemplo 2. Calcular la divergencia del campo vectorial

fff (x, y, z) = x · (z2−y2)iii+y · (x2− z2) jjj+ z · (y2−x2)kkk


En este caso es:

P(x, y, z) = x · (z2−y2)−−−−−−→ ∂P∂x

= z2−y2

Q(x, y, z) = y · (x2− z2)−−−−−−→ ∂Q∂y

= x2− z2

R(x, y, z) = z · (y2−x2)−−−−−−→ ∂R∂z

= y2−x2

luego

div fff (1, 2, 3) = (z2−y2)|(1, 2, 3)+(x2− z2)|(1, 2, 3)+(y2−x2)|(1, 2, 3)=

= [(z2−y2)+(x2− z2)+(y2−x2)](1, 2, 3) = [0](1, 2, 3) = 0Observemos que en el caso que nos ocupa se verifica que la divergencia es cero en todos los puntos, es decir

div fff = 0

luego el campo vectorial dado es solenoidal.

PROPOSICIÓN 1. Si fff : E −→ E es un campo de vectores, diferenciable en un punto v0 ∈ E , e

iii, jjj, kkk es una base ortonormada de E, el número

iii · ∂ fff∂iii

+ jjj · ∂ fff∂ jjj

kkk · fff∂kkk

(suma de los productos escalares de cada vector de base por la derivada de fff en v0 según ese vector) es

independiente de la base ortonormada elegida.

En efecto: Sean iii, jjj, kkk y uuu, vvv, www dos bases ortonormales de E, cuya matriz de paso es

P =

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

; tP = P−1

554

Por ser fff diferenciable en v0 se tiene en este punto (si I es la diferencial de fff en v0):

u = a1iii+b1 jjj+ c1kkk =⇒ I(u) = a1 · I(iii)+b1 · I( jjj)+ c1 · I(kkk)︸︷︷︸∂ fff∂uuu

= a1 ·∂ fff∂iii

+b1 ·∂ fff∂ jjj

+ c1 ·∂ fff∂kkk

y por la misma razón∂ fff∂vvv




∂ fff∂www




Recordemos que la matriz P es ortogonal, lo que se traduce aquí en que:

P(tP) = I =⇒

a21 +a2

2 +a23 = b2

1 +b22 +b2

3 = c21 + c2

2 + c23 = 1

a1 ·b1 +a2 ·b2 +a3 ·b3 = a1 · c1 +a2 · c2 +a3 · c3 = b1 · c1 +b2 · c2 +b3 · c3 = 0

Simplemente haciendo operaciones resulta entonces la siguiente igualdad

uuu · ∂ fff∂uuu

+vvv · ∂ fff∂vvv

+www · ∂ fff∂www

= iii · ∂ fff∂iii

+ jjj · ∂ fff∂ jjj

+kkk · ∂ fff∂kkk


37.3 Campo vectorial: Rotacional

Se llama rotacional del campo vectorial a = fff (x, y, z) en el punto v0 = (x0, y0, z0) ∈ E al vector de-

signado con el símbolo rot fff (v0) y determinados por la igualdad

rot fff (v0) =

(∂R∂y

(v0)−∂Q∂z

(v0)

)iii+(

∂P∂z

(v0)−∂R∂x

(v0)

)jjj+(

∂Q∂x

(v0)−∂P∂y

(v0)

)kkk

El campo vectorial generado

rot fff (v0) : E−−−−−−→ E

v0 7−→ rot fff (v0)

recibe el nombre de campo de los rotacionales.

Si en todos los puntos el rotacional es cero, es decir, si

rot fff = 0

se dice que el campo vectorial es irrotacional.

La expresión del rotacional suele recordarse muy fácilmente expresando éste en la forma simbólica

siguiente:

rot a =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣iii jjj kkk∂

∂x∂

∂y∂

∂zP Q R

∣∣∣∣∣∣∣∣∣555

(El determinante debe desarrollarse formalmente por los elementos de la primera fila, entendiendo que

la multiplicación de los elementos de la segunda por los de la tercera son operaciones de derivación; por

ejemplo∂

∂y·Q =

∂Q∂x

.)

Ejemplo 1. Determinar el rotacional del campo vectorial

fff (x, y, z) = y2iii− (x2 +y3) jjj+ z · (3 ·y2 +1)kkk


En este caso es

P(x, y, z) = y2 −−−−−−−−−−−−−−→ ∂P∂y

= 2 ·y ;∂P∂z

= 0

Q(x, y, z) =−(x2 +y3)−−−−−−−→ ∂Q∂x

=−2 ·x ;∂Q∂z

= 0

R(x, y, z) = z · (3 ·y2 +1)−−−−−−→ ∂R∂x

= 0 ;∂R∂y

= 6 ·y · z

luego

rot fff =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣iii jjj kkk∂

∂x∂

∂y∂

∂zP Q R

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

iii jjj kkk∂

∂x∂

∂y∂

∂z

y2 −(x2 +y3) z · (3 ·y2 +1)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= [6 ·y · z−0]iii+[0−0] jjj+[−2 ·x−2 ·y]kkk

de donde

rot fff (1, 2, 3) = [6 ·2 ·3−0]iii+0 jjj+[−2 ·1−2 ·2]kkk = 36iii+0 jjj−6kkk

Ejemplo 2. Comprobar que campo vectorial

fff (x, y, z) = 2 ·x · ziii+ jjj+x2kkk

es irrotacional.

En este caso es

P(x, y, z) = 2 ·x · z−−−−→ ∂P∂y

= 0 ;∂P∂z

= 2 ·x

Q(x, y, z) = 1−−−−−−−→ ∂Q∂x

= 0 ;∂Q∂z

= 0

R(x, y, z) = x2 −−−−−−→ ∂R∂x

= 2 ·x ;∂R∂y

= 0

luego

rot fff =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

iii jjj kkk

∂

∂x∂

∂y∂

∂z

2 ·x · z 1 x2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= [0−0]iii+[2 ·x−2 ·x] jjj+[0−0]kkk = 0iii+0 jjj+0kkk = 0

que es lo que queríamos comprobar.

556

PROPOSICIÓN 1. Si fff : E −→ E es un campo de vectores, diferenciable en un punto v0 ∈ E , e

iii, jjj, kkk es una base ortonormada directa de E, el vector

iii∧ ∂ fff∂iii

+ jjj∧ ∂ fff∂ jjj

+kkk∧ ∂ fff∂kkk

(suma de los productos vectoriales de cada vector de base por la derivada de fff en v0 según ese vector) es

independiente de la base ortonormada directa elegida.

En efecto: La demostración es una repetición de la correspondiente a la que estableció la invarianza de

la divergencia, reemplazando en ella el producto escalar por el producto vectorial, determinándose que si

uuu, vvv, kkk es otra base ortonormada directa.

uuu∧ ∂ fff∂uuu

+vvv∧ ∂ fff∂vvv

+www∧ ∂ fff∂www

= iii∧ ∂ fff∂iii

+ jjj∧ ∂ fff∂ jjj

+kkk∧ ∂ fff∂kkk


Una forma, nemotécnica, de recordar las expresiones del gradiente de un campo escalar, así como de la

divergencia y rotacional de un campo vectorial, utilizando el operador Hamilton es la que figura en el

siguiente cuadro:

grad U = ∇U

div fff = ∇ fff

rot fff = ∇∧ fff

Ejemplo 3. Para el campo escalar

U(x, y, z) = 2 ·x+y · z2

se tiene que

grad U= ∇U =

(∂

∂x,

∂

∂y,

∂

∂z

)·(2 ·x+y · z2)=

=

(∂

∂x·(2 ·x+y · z2) , ∂

∂y·(2 ·x+y · z2) , ∂

∂z·(2 ·x+y · z2))=

=(2, z2, 2 ·y · z

)≡ 2iii+ z2 jjj+2 ·y · zkkk

Ejemplo 4. Para el campo vectorial

fff (x, y, z) = (x+ z)iii+(y+ z) jjj+(x2 + z)kkk

se tiene que

div fff = ∇ · fff =(

∂

∂x,

∂

∂y,

∂

∂z

)· (x+ z, y+ z, x2 + z) =

∂

∂x· (x+ z)+

∂

∂y· (y+ z)+

∂

∂z· (x2 + z) =

= 1+1+1 = 3

557

rot fff = ∇∧ fff =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

iii jjj kkk

∂

∂x∂

∂y∂

∂z

x+ z y+ z x2 + z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

=

[∂

∂y· (x2 + z)− ∂

∂z· (y+ z)

]iii−[

∂

∂x· (x2 + z)− ∂

∂z· (x+ z)

]jjj+[

∂

∂x· (y+ z)− ∂

∂y· (x+ z)

]kkk =

= [0−1]iii− [2 ·x−1] jjj+[0−0]kkk =−iii+(1−2 ·x) jjj+0kkk ≡ (−1, 1−2 ·x, 0)

Veamos por último dos procedimientos para determinar a partir de un campo de gradientes el campo de

escalares del que deriva, al que se le suele llamar potencial o función potencial del campo vectorial

dado.

Resulta muy útil recordar que un campo vectorial fff es un campo de gradientes si y sólo si su

rotacional es cero

rot fff = 0

es decir, cuando el campo de vectores es irrotacional, condición ésta que desde un punto de vista

analítico se traduce en lo que llama la igualdad de las derivadas cruzadas. Así, si el campo

vectorial es el

f : E−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ E

(x, y, z) 7−→ a = P(x, y, z)iii+Q(x, y, z) jjj+R(x, y, z)kkk

entonces∂P∂y

=∂Q∂x

;∂P∂z

=∂R∂x

;∂Q∂z

=∂R∂y

1er.− Procedimiento: Si U(x, y, z) es el campo de escalares, se tienen qe verificar las igualdades

∂U∂x

= P(x, y, z)

∂U∂y

= Q(x, y, z)

∂U∂z

= R(x, y, z)

integrado la primera respecto x tendremos

U(x, y, z) =∫

P(x, y, z)dx+ϕϕϕ(y, z)

siendo ϕϕϕ una función desconocida que no depende de x. Derivando ahora esta igualdad respecto a

y se tiene∂U∂y

=∂

∂y

[∫P(x, y, z)dx

]+ϕϕϕ

′y(y, z)

558

y sustituyendo en la segunda igualdad anterior resulta

∂

∂y

[∫P(x, y, z)dx

]+ϕϕϕ

′y(y, z) = Q(x, y, z)

Después de hacer todas las simplificaciones posibles en esta igualdad, no aparecerá la variable x

lo que nos permitirá, integrando respecto a y, obtener

ϕϕϕ(y, z) =ψψψ(y, z)+θθθ(z)

siendo ψψψ(y, z) una función bien definida y θθθ una función desconocida que no depende ni de x ni

de y. Sustituyendo ahora ϕϕϕ(y, z) en la expresión de U(x, y, z) se tiene

U(x, y, z) =∫

P(x, y, z)dx+ψψψ(y, z)+θθθ(z)

Para la determinación de θθθ(z) se procede como en la determinación de ϕϕϕ(y, z), ahora derivando

respecto a z y sustituyendo en la tercera igualdad, que después de simplificada no contendrá ni la

variable x ni la y, lo que permitiría (por integración respecto a z) obtener

θθθ(z) =ωωω(z)+C

siendo C una constante indeterminada. Sustituyendo ahora θθθ(z) en la última expresión de U(x, y, z)

se tiene

U(x, y, z) =∫

P(x, y, z)dx+ψψψ(y, z)+ωωω(z)+C

Ejemplo 5. Dado el campo vectorial

fff (x, y, z) = 2 ·x ·y · ziii+(x2 · z+ z) jjj+(x2 ·y+y+1)kkk

comprobar que admite función potencial y determinarla.

La comprobación consiste en ver que rot fff = 0, es decir, que se verifica la igualdad de las derivadas cruzadas. En

efecto:∂P∂y

= 2 ·x · z = ∂Q∂x

;∂P∂z

= 2 ·x ·y =∂R∂x

;∂Q∂z

= x2 +1 =∂R∂y

Determinemos ahora la función potencial U:

∂U∂x

= 2 ·x ·y · z

∂U∂y

= x2 · z+ z

∂U∂z

= x2 ·y+y+1

Integramos la primera igualdad respecto a x:

U =∫

2 ·x ·y · z dx+ϕϕϕ(y, z) = x2 ·y · z+ϕϕϕ(y, z)

559

Derivamos esta igualdad respecto de y:∂U∂y

= x2 · z+ϕϕϕ′y(y, z)

y sustituyendo en la segunda igualdad, tenemos

x2 · z+ϕϕϕ′y(y, z) = x2 · z+ z

que simplificada queda

ϕϕϕ′y(y, z) = z

Integrando ahora respecto a y se tiene

ϕϕϕ(y, z) =∫

z dy+θθθ(z) = z ·y+θθθ(z)

y sustituyendo en la expresión de U obtenemos

U = x2 ·y · z+ z ·y+θθθ(z)

Vamos ahora a determinar θθθ(z). Para ello derivamos la expresión de U obtenida respecto a z:

∂U∂z

= x2 ·y+y+θθθ′z(z)

y sustituyendo en la tercera igualdad:

x2 ·y+y+θθθ′z(z) = x2 ·y+y+1

igualdad que simplificada queda

θθθ′z(z) = 1

Integrando ahora respecto a z resulta:

θθθ(z) =∫

1 dz+C = z+C

y sustituyendo en la expresión de U obtenemos:

U = x2 ·y · z+ z ·y+ z+C

que escribiremos en definitiva como sigue:

U(x, y, z) = x2 ·y · z+ z ·y+ z

2do.− Procedimiento: La función potencial se obtiene como resultado de una suma de integrales:[U(x, y, z)=

∫ (x, y, z)

(x0, y0, z0)P(x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy+R(x, y, z)dz =

=∫ x

x0P(x, y, z)dx+

∫ y

y0Q(x0, y, z)dy+

∫ z

z0R(x0, y0, z)dz

]siendo x0, y0, z0 tres valores cualesquiera, que en la práctica suelen tomarse x0 = y0 = z0 = 0. En

general se prescinde del valor constante que nos aparece, admitiéndose entonces que la función

potencial queda definida a menos de una constante.

560

Ejemplo 6. Dado el campo vectorial

U(x, y, z) = 2 ·x ·y · ziii+(x2 · z+ z) jjj+(x2 ·y+y+1)kkk

comprobar que admite función potencial y determinarla.

La comprobación consiste en ver que rot fff = 0, es decir, que se verifica la igualdad de las derivadas cruzadas. En

efecto∂P∂y

= 2 ·x · z = ∂Q∂x

;∂P∂z

= 2 ·x ·y =∂R∂x

;∂Q∂z

= x2 +1 =∂R∂y

Determinemos ahora la función potencial U:

U(x, y, z) =∫ x

x0

(2 ·y · z)dx+∫ y

y0

(x20 · z+ z)dy+

∫ z

z0

(x20 ·y0 +y0 +1)dz =

= [x2 ·y · z]xx0+[x2

0 · z ·y+ z ·y]yy0 +[x20 ·y0 · z+y0 · z+ z]zz0

=

= x2 ·y · z−·x20 ·y · z+x2

0 · z ·y+ z ·y−x20 · z ·y0− z ·y0 +x2

0 ·y0 · z+y0 · z+ z−x20 ·y0 · z0−y0 · z0− z0 =

= x2 ·y · z+ z ·y+ z−x20 ·y0 · z0−y0 · z0− z0︸︷︷︸

constante

que escribimos, en definitiva, como sigue:

U(x, y, z) = x2 ·y · z+ z ·y+ z

Observemos que el haber supuesto de entrada x0 = y0 = z0 = 0 simplifica mucho el cálculo:[U(x, y, z) =

∫ x

0(2 ·x ·y · z)dx+

∫ x

0(02 · z+ z)dy+

∫ z

0(02 ·0+0+1)dz =

= [x2 ·y · z]x0 +[z ·y]y0 +[z]z0 = x2 ·y · z+ z ·y+ z]

561

ALFABETO GRIEGO

ALFABETO GRIEGO

Mayúsculas Minúsculas Nombre

A ααα Alfa

B βββ Beta

ΓΓΓ γγγ Gamma

∆∆∆ δδδ Delta

E εεε Epsilon

Z ζζζ Zeta

H ηηη Eta

ΘΘΘ ϑϑϑ Zita (Theta)

I ιιι Iota

K κκκ Kappa

ΛΛΛ λλλ Lambda

M µµµ Mu

N ννν Nu

ΞΞΞ ξξξ Xi

O o Omicron

ΠΠΠ πππ Pi

P ρρρ Ro

ΣΣΣ σσσ Sigma

T τττ Tau

ϒϒϒ υυυ Ipsilon

ΦΦΦ ϕϕϕ Fi

X χχχ Ji

ΨΨΨ ψψψ Psi

ΩΩΩ ωωω Omega

565

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