José Márcio de Rezende

COMO A MATEMÁTICA FINANCEIRA É APRESENTADA

EM LIVROS DIDÁTICOS ADOTADOS NAS SÉRIES FINAIS

DO ENSINO FUNDAMENTAL E NO ENSINO MÉDIO DE

OURO BRANCO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXTAS E BIOLÓGICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Ouro Preto, 2006

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José Márcio de Rezende

COMO A MATEMÁTICA FINANCEIRA É APRESENTADA

EM LIVROS DIDÁTICOS ADOTADOS NAS SÉRIES FINAIS

DO ENSINO FUNDAMENTAL E NO ENSINO MÉDIO DE

OURO BRANCO

Monografia apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto como requisito parcial para obtenção do título de Licenciatura em Matemática, sob a orientação da Profª Drª Ana Cristina Ferreira.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXTAS E BIOLÓGICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Ouro Preto, 2006

3

Dedicatória

[opcional].

4

Agradecimentos

[opcional]

5

RESUMO

Todo cidadão, em seu dia-a-dia, necessita de conhecimentos relacionados à Matemática Financeira. Ao lidar com situações que envolvem juros, compras à prazo ou investimento de dinheiro, é necessário compreender conceitos básicos de Matemática que, infelizmente, muitos não possuem. A fonte desse conhecimento vem da experiência cotidiana e da escola. Porém, como a escola tem tratado a Educação Financeira? Como as aulas de Matemática – disciplina que tradicionalmente lida com os conceitos básicos dessa área – têm contribuído para a formação do cidadão? Considerando o papel de destaque dos livros didáticos no planejamento e desenvolvimento das aulas de Matemática em nosso país, recortamos a seguinte questão de investigação: Como a Matemática Financeira é apresentada em livros didáticos de Matemática adotados nas séries finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio de Ouro Branco? Buscando respondê-la, procuramos: estudar a história do dinheiro, identificar como os órgãos governamentais que regulam a Educação em nosso país propõem que sejam tratados os conceitos básicos de Matemática Financeira, e analisar como esse tema é tratado em quatro coleções de livros didáticos de Ensino Fundamental (terceiro e quarto ciclos) e de Ensino Médio adotadas nas escolas de Ouro Branco (MG). Para realizar a análise, construímos uma lista de aspectos a serem observados em cada coleção e então, após descrevê-las uma a uma, comparamos a abordagem do conteúdo entre as coleções. Os resultados indicam que ???[cite, em quatro ou cinco linhas, alguns dos principais resultados]. Ao final, levantamos algumas considerações acerca de como poderia ser a Educação Financeira nas escolas e sugerimos alguns temas para pesquisas futuras.

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Sumário

Introdução --------------------------------------------------------------------------------------

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Capítulo 1. A Matemática Financeira e a Educação Básica --------------------------------------

1.1. Breve História do dinheiro --------------------------------------------------------------

1.2. A Matemática Financeira: História e Fundamentos Básicos -----------------------

1.3. Conceitos fundamentais -----------------------------------------------------------------

1.4. A Matemática Financeira no Código do Consumidor -------------------------------

1.5. Os Parâmetros Curriculares Nacionais e a Matemática Financeira ---------------

1.6. A Matemática Financeira e as avaliações governamentais -------------------------

1.6.1. O Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB) ---------

1.6.2. O Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) -----------------------------

1.7. Trabalhos científicos em Matemática Financeira e Consumo ---------------------

A título de síntese -----------------------------------------------------------------------------

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Capítulo 2. A pesquisa --------------------------------------------------------------------------------

2.1. O livro didático no Brasil ---------------------------------------------------------------

2.2. Alguns critérios de análise do livro didático -----------------------------------------

2.3. Livros didáticos adotados em Ouro Branco ------------------------------------------

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Capítulo 3. A Matemática Financeira nos livros didáticos de Matemática ---------------------

3.1. Análise da coleção ‘Matemática e Realidade’----------------------------------------

3.2. Análise da coleção ‘Tudo é Matemática’ ---------------------------------------------

3.3. Análise do livro ‘Matemática aula por aula’ ---------------------------------------

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3.4. Análise do livro ‘Matemática’---------------------------------------------------------

3.5. Relações entre as coleções --------------------------------------------------------------

3.5.1. Coleções de Ensino Fundamental --------------------------------------------

3.5.2. Coleções de Ensino Médio ----------------------------------------------------

3.5.3. Relações entre as coleções ----------------------------------------------------

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Considerações Finais ----------------------------------------------------------------------------------

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Referências Bibliográficas ----------------------------------------------------------------------------

Bibliografia ----------------------------------------------------------------------------------------------

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Anexo 1. Conteúdo do livro Matemática e Realidade – 5a série ------------------------

Anexo 2. Conteúdo do livro Matemática e Realidade – 6a série ------------------------

Anexo 3. Conteúdo do livro Matemática e Realidade – 7a série ------------------------

Anexo 4. Conteúdo do livro Matemática e Realidade – 8a série ------------------------

Anexo 5. Conteúdo do livro Tudo é Matemática – 5a série -----------------------------

Anexo 6. Conteúdo do livro Tudo é Matemática – 6a série -----------------------------

Anexo 7. Conteúdo do livro Tudo é Matemática – 7a série -----------------------------

Anexo 8. Conteúdo do livro Tudo é Matemática – 8a série -----------------------------

Anexo 9. Conteúdo do livro Matemática aula por aula – Ensino Médio --------------

Anexo 10. Conteúdo do livro Matemática volume único – Ensino Médio ------------

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Glossário de termos financeiros -------------------------------------------------------------

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INTRODUÇÃO

A Matemática Financeira sempre nos despertou curiosidade e interesse. Desde a

adolescência, quando fazíamos alguns serviços informais, nos envolvemos com a velha e

garantida caderneta de poupança. Mais tarde, quando ingressamos no mercado formal de

trabalho e começamos a perceber salário mensal, nos interessamos pelo mercado financeiro e

começamos a pesquisar as aplicações financeiras existentes nos bancos. Assim, tomamos

conhecimento dos fundos de investimento (em renda fixa e variável), títulos de capitalização,

fundos de previdência privada, CDBs e RDBs, consórcios e o mercado de ações. No

convívio com colegas de trabalho, fomos levados a participar das caixinhas de funcionários,

que, dentro das fábricas, recolhiam dinheiro de colegas e emprestavam aos interessados,

cobrando juros menores que os do cheque especial, na intenção de diminuir a carga de juros

pagos por eles. Inicialmente, como participantes delas e posteriormente, como

administradores, conseguimos desenvolver um investimento informal com a liquidez e a

flexibilidade dos fundos de investimento bancários atuais. Por outro lado, o aprendizado de

proporções, progressões, porcentagem e juros na escola de 1º e 2º graus nos ajudou, na

prática, a desenvolver estes trabalhos e aplicar melhor nosso dinheiro.

Observamos ao longo dos últimos vinte e um anos como o assunto é de grande

relevância para todos, a ponto de povoar com freqüência os jornais, telejornais, programas de

entrevistas e ter veículos de comunicação especializados. A Matemática Financeira está

intimamente inserida na economia, na administração pública e privada, na contabilidade e no

cotidiano de todos nós. Podemos observar facilmente como os conhecimentos financeiros

são importantes quando ouvimos ou lemos no jornal a respeito dos índices de inflação, do

crescimento da economia, da alta dos preços e da oscilação dos juros. Constatamos em

nossas observações cotidianas que raríssimas pessoas têm o conhecimento necessário sobre

cálculo de juros, juros embutidos, amortização de dívidas, conhecimentos estes primordiais

para quem deseja adquirir bens e serviços pagando a prazo ou simplesmente poupar seu

dinheiro. Estes conhecimentos e um pouco de planejamento podem poupar muito tempo e

dinheiro, contribuindo significativamente para a realização dos sonhos de consumo das

pessoas.

Como exemplo, tomemos uma pessoa que queira comprar uma TV de 29”, com preço

à vista de R$ 1.089,00 ou em 0 + 12 parcelas de R$ 102,91, conforme Carrefour (2005). Se

ao invés dela comprar a TV parcelada, ela poupar durante os 12 meses o valor da parcela, o

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montante acumulado será suficiente para adquirir a TV 29” e um Discman Philips; se ela

aplicar em um fundo de investimento de renda fixa, ela adquire os dois produtos e ainda lhe

sobra R$ 11,70; se ela aplicar num fundo de previdência, ela adquire os dois produtos e

ainda lhe restará R$ 28,48; caso ela somente quisesse comprar a TV, em 10 meses de

aplicação ela teria o dinheiro suficiente. Quando se trata de bens imóveis ou automóveis, esta

pessoa pode perder muito mais dinheiro e tempo devido ao alto preço do bem e ao prazo

maior de financiamento. Poupando, ela não só não pagaria, como ainda ganharia juros,

tornando seu sonho possível e planejável. Desde que ela possa esperar, é claro.

Há mais de vinte anos já pensávamos neste tema e sonhávamos desenvolver um

trabalho nesta área. Acreditamos ser de grande relevância para toda a população

economicamente ativa, por estar em jogo a vida econômica das pessoas.

A questão central que orienta todo o estudo é a seguinte: Como a Matemática

Financeira é apresentada em livros didáticos de Matemática adotados nas séries finais do

Ensino Fundamental e no Ensino Médio de Ouro Branco?

Sua organização inclui um capítulo no qual abordamos o tema a partir de sua história,

passando por sua presença na escola atual e pelas avaliações nacionais e pelos órgãos

governamentais e pelo código de defesa do consumidor. A seguir, identificamos as

orientações propostas pelos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental

(PCN) e Médio (PCNEM).

Passamos então à descrição da metodologia utilizada no estudo e à descrição e

análise de quatro coleções de livros didáticos de Matemática, analisando seu conteúdo e a

abordagem proposta para a Matemática Financeira.

Finalmente, apresentamos os principais resultados encontrados e tecemos algumas

considerações acerca da Educação Financeira e de alternativas para um ensino mais

condizente com as necessidades dos cidadãos.

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CAPÍTULO 1:

A MATEMÁTICA FINANCEIRA E A EDUCAÇÃO BÁSICA

1.1 Breve História do dinheiro

No início da civilização humana provavelmente não havia moeda. Toda a

comercialização era feita na base da troca de mercadorias, entrando nesta troca as

mercadorias que excediam o consumo ou que eram produzidas para este fim específico.

Naturalmente, começaram a surgir dificuldades. Por exemplo, alguém que possuía uma

mercadoria e queria trocar por outra, às vezes não conseguia que o detentor da mercadoria de

seu interesse estivesse necessitando ou interessado na mercadoria de que dispunha. Outro

problema provavelmente surgido foi relativo ao transporte de determinadas mercadorias,

cujo peso ou tamanho eram excessivos, dificultando o processo de troca.

Baseamo-nos em um artigo de Banco Central do Brasil (2005) para redigir esta

seção.

Algumas mercadorias, por sua utilidade, tiveram papel de moeda de troca. O gado

bovino, o sal, o cauri, o pau-brasil, o açúcar, dentre outros, serviram de moeda por um bom

tempo. Porém, pelo fato de muitas mercadorias serem perecíveis e não ser possível seu

entesouramento, foram substituídas pelo metal. Inicialmente em sua forma natural, depois,

sob a forma de barras e de objetos (consideradas jóias de uso pessoal). Posteriormente, foram

fabricadas moedas metálicas, onde constavam seu valor e o emitente, para facilitar sua

avaliação.

No século VII a.C. surgem as primeiras moedas com características semelhantes às

atuais, onde eram gravadas seu valor e a marca de quem as emitiu. Alexandre Magno deve

ter sido o primeiro a ter sua efígie estampada em uma moeda, por volta do ano 330 a.C.

Os metais mais usados na fabricação de moedas eram o ouro, a prata e o bronze, por

não se corroerem, serem raros, belos, de alto valor econômico e também por costumes

religiosos pagãos herdados dos povos babilônios.

Com o advento do papel-moeda, as moedas metálicas passaram a ser utilizadas para

valores monetários menores, como os centavos ou uma unidade monetária vigente.

As cédulas em papel tiveram sua origem com o costume, na Idade Média, de se

guardar os valores com os ourives. Este, por sua vez, dava um recibo do valor como garantia.

Como estes recibos eram reconhecidos e respeitados por todos, passaram a circular como

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forma de pagamentos, dando origem à moeda em papel. Posteriormente, os governos

passaram a controlar e emitir estas cédulas, garantindo-lhes o poder de pagamento.

As cédulas já apresentaram os mais variados formatos e tamanhos, sendo fabricadas

de diferentes materiais, sendo hoje quase unânime o formato circular para moedas e

retangular para cédulas que, em quase todo o mundo, são de papel ou de papel plastificado.

Hoje, quase todos os países do mundo têm seus bancos centrais, responsáveis por

emitir e controlar a distribuição de cédulas e moedas. E, como tendência da evolução da

moeda, o dinheiro cada vez mais se desmaterializa, passando de uma forma bem concreta e

pesada para formas mais abstratas, que o substituem. Como exemplos, podemos citar os

cartões de crédito e os cheques, evitando assim circulação de grande quantidade de cédulas,

facilitando as transações comerciais e bancárias.

Portanto, a moeda não foi mais um invento genial do homem, mas surgiu de sua

necessidade. E sua evolução reflete a vontade do homem de adequar seu instrumento

monetário à realidade de sua economia.

1.2. A Matemática Financeira: História e Fundamentos básicos

A Matemática Financeira é tão antiga quanto o homem. Não obstante os registros da

história da Matemática não lhe dedicarem muitas páginas, conseguimos pesquisar um pouco

de sua história.

Segundo Boyer (1999), na antiga Mesopotâmia, na civilização babilônica, entre o

terceiro e quarto milênios antes da era cristã, antes mesmo de Abraão, patriarca da nação

israelense, já encontramos seus indícios. Em algumas tabelas exponenciais (ou logarítmicas)

deixadas pelos matemáticos babilônios, encontramos conhecimentos atribuídos muitas vezes

aos egípcios e gregos do século V a.C. Dentre eles, um problema sobre o tempo necessário

para dobrar uma quantia, aplicados a juros compostos de 20% ao ano.

Boyer (1999) também relata que os hindus também trabalhavam com juros

compostos. O matemático Aryabatha, em sua obra intitulada Aryabhatiya (datada de 499

d.C.), escrita em verso e que tratava de astronomia e matemática, tratou também de

problemas mais elaborados sobre juros compostos e progressões geométricas.

Boyer (1999) ressalta ainda que Jacques Bernoulli, em sua publicação Ars

conjectandi (Arte de conjecturar), publicada em 1713, apresentou de uma maneira mais

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rigorosa o problema da composição contínua de juros, usando um limite que já conhecia ser

convergente.

Ao longo da história humana, observamos a aplicação da Matemática Financeira,

desde a criação dos primeiros instrumentos de troca, até a o surgimento da moeda. Seja para

comprar ou para saciar suas necessidades e desejos, o homem sempre buscou o dinheiro para

sua realização e, exatamente por causa dele, veio o conhecimento matemático financeiro

aperfeiçoado ao longo dos anos.

Há aproximadamente 3.450 anos atrás, por volta do século XV a.C., o líder israelense

Moisés, contemporâneo e descendente de Abraão, escreveu no livro bíblico de Levítico,

sobre empréstimo e aluguel. A fim de ordenar o convívio entre seu povo, foi orientado por

Deus a ditar regras. Uma delas estipulava que o tomador devia devolver, em determinados

casos, vinte por cento além do que tomou (ALMEIDA, 1995).

Hoje, há uma infinidade de aplicações para a Matemática Financeira, desde a velha e

popular poupança até os cálculos de juros sobre empréstimos ou os cálculos de cotas de

fundos, de onde são deduzidos o imposto de renda, o IOF, a taxa de administração e demais

taxas, cálculo hoje possível com o advento dos computadores.

Na pesquisa deste tema, buscamos saber o que é considerado Matemática Financeira

e qual o conjunto de seus conhecimentos.

O termo é conceituado de maneiras ligeiramente diferentes pelos vários autores

consultados. A maior parte deles não o conceitua, tratando diretamente seu conteúdo, o que

nos leva a perceber que é intuitivo ou de fácil conceituação. Encontramos as seguintes

conceituações:

A Matemática Financeira visa estudar as formas de evolução do dinheiro com o

tempo nas aplicações e pagamentos de empréstimos. ( ) A Matemática Financeira

fornece instrumentos para analisar alternativas para aplicação de dinheiro, bem

como alternativas para pagamento de empréstimos (HAZZAN; POMPEO, 1986,

p.8).

A Matemática Financeira tem como objeto o estudo dos cálculos adequados para

cada situação de operações financeiras, ou seja, aquelas feitas com dinheiro com a

finalidade de fazê-lo evoluir ao longo do tempo, que podem ser ativas (aplicações

ou investimentos que visam obter rendimentos) ou passivas (empréstimos ou

descontos de títulos que visam a captação de recursos) (VERAS, 2001, p.53).

Em nossa pesquisa, Matemática Financeira será definida como o estudo que utiliza

cálculos adequados para as decisões sobre alternativas de investimento e financiamento.

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Estes cálculos nos permitem acompanhar a evolução do valor do dinheiro ao longo do

tempo, com o intuito de aplicá-lo para uma utilização futura (aplicação financeira) ou de

gastá-lo antecipadamente (empréstimos, financiamentos e compras a prazo). Seu conteúdo

vem crescendo ao longo dos anos, envolvendo conhecimentos da Matemática, da Economia

e do Direito, dentre outras. Após o surgimento das calculadoras científicas, financeiras e dos

computadores, a matemática financeira pôde evoluir ainda mais.

As instituições financeiras, as instituições de ensino, empresas de consultoria e de

treinamento têm se envolvido em pesquisa e vêm incorporando mais e mais conhecimentos à

matemática financeira. Por este motivo, autores, idealizadores e instrutores dos diversos

cursos encontrados no mercado apresentam variações quanto ao seu conteúdo: alguns

consideram porcentagem e juros simples como Matemática Financeira, enquanto outros os

tratam como pré-requisitos. Concordamos com Carvalho (1999) quando afirma que a

abordagem destes conteúdos supõe e acaba desenvolvendo estes conhecimentos e outros,

considerados mais básicos, como razão, proporção, regra de três, juros simples, juros

compostos, montante, dentre outros. Sob este ponto de vista, a matemática financeira

também tem a utilidade de auxiliar no conhecimento de outros conteúdos.

Morgado, Wagner e Zani (1993) defendem – e estamos de acordo – que este

conteúdo seja ensinado no Ensino Médio como uma aplicação natural e prática de

progressões geométricas, pois o aluno já está maduro para compreendê-lo e necessitará dele

pelo restante de sua vida.

1.3. Conceitos fundamentais

Este conteúdo é de fácil acesso em bibliografias diversas, especializadas ou não.

Enfocá-lo-emos de maneira mais utilitária, considerando os tópicos comuns e mais

relevantes abordados pelos autores pesquisados (FARO, 1975; HAZZAN; POMPEO, 1986;

MORGADO; WAGNER; ZANI, 1993; VERAS, 2001) e que são necessários ao cidadão em

seu dia-a-dia, quais sejam:

1. Os fundamentos: capital; juros; montante; regimes de capitalização

2. Juros simples

3. Juros compostos

4. Taxa real de juros e inflação

5. Amortização de empréstimos

6. Aplicações financeiras

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Os fundamentos

Capital, valor atual ou valor presente é a quantidade de dinheiro disponível em certa

data para entrar em uma transação, oferecida como empréstimo pelos poupadores. O capital

é considerado um fator de produção, assim como o trabalho, a terra alugada e outros. E os

fatores de produção têm cada um sua remuneração. Sendo assim, o capital tem sua

remuneração, denominada de juros. Os juros são o custo do capital num determinado

período de tempo e a medida desses juros é chamada de taxa de juros ou taxa - expressa

como porcentagem do capital ou taxa unitária de juros (taxa de juros dividida por 100). O

período de tempo usado na taxa é padronizado. Alguns exemplos: a.d., a.m. e

a.a.(respectivamente ao dia, ao mês e ao ano).

Um capital é aplicado (ou tomado emprestado) por certo tempo a uma determinada

taxa. Esta taxa é consensada ou negociada na aplicação ou no empréstimo, segundo a oferta

ou a procura de capital. No final do período do tempo acordado, o investidor (o dono do

capital) tem à sua disposição o valor do capital inicial acrescido dos juros que lhe são

devidos na operação. À soma do capital inicial e dos juros denomina-se montante.

Considerando um capital C, um juro J, uma taxa unitária de juro i e um montante M,

temos, pelas definições de montante e de juros:

M = C + J (1) e J = C . i (2)

A operação que gera o montante, ou que adiciona ao capital os juros, é conhecida

como capitalização. Há dois regimes de capitalização, o simples e o composto.

No regime de capitalização simples ou regime de juros simples, os juros são somados

ao capital ao final do prazo contratado. Ou seja, os juros gerados em cada período são iguais

ao produto do capital pela taxa e somados a ele no final do período de capitalização.

No regime de capitalização composta ou regime de juros compostos, dentro do prazo

de capitalização, havendo mais de um período, os juros são capitalizados no final de cada

período, sendo essa soma (capital + juros do período) o capital inicial do próximo período,

passando de montante do primeiro período para capital do segundo período, e assim

sucessivamente até o último período do prazo contratado.

Observa-se que, no regime de capitalização composta, o montante ao final do prazo é

visivelmente maior que na capitalização simples, para a mesma taxa, capital e prazo.

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No mercado financeiro, crediários e demais aplicações, é mais usada a capitalização

composta, que, como pudemos notar pelas definições, trata-se de um conhecimento um

pouco mais elaborado.

Juros simples

No regime de capitalização simples ou de juros simples, os juros sempre incidem

sobre o capital inicial, sendo iguais para todos os períodos considerados. Assim,

considerando um capital C, aplicado a juros simples à taxa i, durante n períodos de tempo

(períodos estes idênticos e na mesma base de tempo da taxa), teremos:

juros após 1 período: J1 = Ci

juros após 2 períodos: J2 = Ci + Ci = 2 . (Ci)

. . . . . . . . . . juros após n períodos: Jn = n . (Ci).

Portanto, temos: J = Cin (3)

E o montante: M = C + J = C + Cin

ou: M = C (1 + in) (4)

Observe que a taxa i e a quantidade de períodos de tempo n devem ser expressas na

mesma unidade de tempo. E esta equação também vale para valores não inteiros de n.

Também são definidas taxas equivalentes, que são aquelas que, aplicadas a capitais

iguais, em tempos iguais, produzem juros iguais e, conseqüentemente, montantes iguais. Ou

seja:

J1 = J2 <=> C . i 1 . n1 = C . i2 . n2.

Uma situação comum é a de certas operações ocorrerem por períodos curtos de

poucos dias. Nestes casos, utiliza-se a taxa diária equivalente à taxa contratada, que costuma

ser expressa como mensal ou anual. O ano comercial, nestes casos, costuma ser o mais

utilizado e a conversão da taxa mensal ou anual para diária é feita dividindo-se a taxa mensal

por 30 ou a anual por 360. Os juros obtidos utilizando-se esta convenção são chamados de

juros comerciais, muito mais utilizados que os chamados juros exatos, que são convertidos

considerando-se o ano civil de 365 dias e os meses de acordo com seu número de dias.

Outro uso dos juros simples são nos descontos, que, em geral, usam dois critérios:

desconto comercial e desconto racional.

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O desconto comercial ou desconto bancário ou desconto “por fora” é calculado

sobre o valor nominal do título (ou da dívida). Ele é o juro simples aplicado sobre o valor

nominal, a uma taxa de desconto, num prazo menor que o de resgate.

Indicando por Dc o desconto comercial, d a taxa de desconto e n o número de

períodos de antecipação, teremos:

Dc = N . d . n

A diferença entre o valor nominal e o desconto comercial chama-se valor descontado

comercial e é indicado por Vc, isto é:

Vc = N – Dc

O desconto racional ou desconto real ou desconto verdadeiro ou desconto “por

dentro” é o desconto calculado sobre o valor atual do título, n períodos antes do vencimento.

O desconto racional Dr resgatado n períodos antes do vencimento é a diferença entre o valor

nominal e o atual:

Dr = N – V

Onde V é calculado conforme a relação:

V + Vin = N

Sendo i a taxa de juros considerada.

Juros compostos

No regime de capitalização composta ou juros compostos, os juros são calculados

sobre o capital inicialmente aplicado somente no fim do primeiro período. A partir do

segundo período, os juros incidem sobre o montante constituído no período anterior. É o

chamado regime de juros sobre juros.

Considerando um capital C, uma taxa de juros i, calculemos o montante submetido a

juros compostos após n períodos de tempo.

Montante após 1 período: M1 = C + C . i = C(1 + i)¹

Montante após 2 períodos: M2 = M1 + M1 . i = M1(1 + i) = C(1 + i)²

Montante após 3 períodos: M3 = M2 + M2 . i = M2(1 + i) = C(1 + i)³

Podemos concluir facilmente que, após n períodos o montante será:

M = C(1 + i)n

Com o surgimento das calculadoras científicas e financeiras, ficou mais fácil fazer

estes cálculos, sendo possível calcular montante com longos períodos de tempo ou quaisquer

das quatro variáveis da equação.

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A partir da equação do montante, é fácil encontrar as equações para capital, número

de períodos e taxa. Os juros também podem ser calculados pela subtração do capital ao

montante.

A juros compostos, taxas equivalentes são as que produzem o mesmo montante

quando aplicadas em mesmos capital e intervalo de tempo. Portanto, são diferentes das taxas

proporcionais, onde a taxa anual é o dobro da taxa semestral, que é seis vezes maior que a

taxa mensal. As taxas equivalentes não são proporcionais e sim exponenciais, de modo que

uma taxa mensal para ser transformada em anual deve ser elevada à potência 12ª.

Na capitalização composta, vimos a situação em que os juros permanecem constantes

ao longo de todos os períodos de tempo da operação. Porém, se as taxas variarem ao longo

do tempo, para um capital C e as taxas i1 no 1º período, i2 no 2º, i3 no 3º, ....., in no n-ésimo

período, teremos, no final do prazo o montante:

M = C(1+i1)(1 + i2)(1 + i3) . . . (1 + in)

Como os juros compostos podem ser considerados uma sucessão de juros simples

calculados a cada período, os descontos compostos são uma sucessão de descontos simples,

calculados a cada período. Também existem duas modalidades de desconto composto: o

racional e o comercial.

O desconto composto comercial, bancário ou “por fora” é calculado sobre o valor nominal do título no final do prazo. Assim, dado um valor nominal N, a ser aplicado um desconto composto comercial n períodos antes do vencimento com taxa de desconto i, seu valor atual Ac é calculado como se o valor nominal sofresse n descontos comerciais sucessivos, um para cada período antecedente ao vencimento, com taxa i. O valor atual Ac será:

Ac = N (1 – i)n

E o desconto dc será: dc = N – N (1 – i)n

O desconto composto racional, real ou “por dentro” é calculado sobre o valor atual

do título. Assim, um título de valor nominal N que sofre um desconto composto racional n

períodos antes do vencimento, com taxa i, terá seu valor atual final Ar:

Ar = N (1 + i)-n

E o desconto racional composto dr será: dr = N (1 – (1 + i)-n)

Taxa real de juros e inflação

A inflação é bem conhecida dos brasileiros. Mesmo os mais novos têm a nítida noção

de que os preços sempre sobem com o passar do tempo. A inflação é o fenômeno conhecido

como o aumento persistente e generalizado dos preços de bens e serviços. Por isso, é

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necessário gerar cada vez mais moeda, ocasionando sua perda de poder aquisitivo pelo fato

de não mais comprar a mesma quantidade de produção.

Vários fatores causam inflação, como a escassez de produtos, déficit do governo,

desequilíbrio da balança de pagamentos, taxas altas de juros, dentre outros. A variação que

ocorre nos preços é observada, colhida e calculada durante certo tempo e dada como taxa de

inflação, que consiste numa média ponderada dos aumentos de preços de itens de

alimentação, habitação, produtos domésticos, vestuário, transporte, comunicação, saúde,

cuidados e despesas pessoais. Porém, cada órgão que a calcula, toma como base locais

diferentes para coletar, pesos diferentes de cada produto na média ponderada e universo de

produtos e pessoas diferentes e com diferentes rendas.

Como a inflação no país foi elevada por muitos anos, ela afetava sobremaneira a

economia. E também corroía rapidamente o poder aquisitivo do dinheiro. Por isso, é

necessário analisar o relacionamento das taxas de juros com as de inflação. Assim, criou-se a

atualização monetária ou correção monetária, com a finalidade de anular ou atenuar os

efeitos da inflação e foi introduzida nas operações financeiras em geral. Assim, vemos que a

taxa de correção monetária tem a finalidade de repor as perdas do valor aquisitivo do capital,

enquanto que a taxa de juros calcula a recompensa (ou aluguel) pelo uso do capital.

A taxa de atualização monetária para n períodos, taxa total de atualização monetária

ou, ainda, taxa acumulada de atualização monetária, iac – sendo In e Io os valores

correspondentes às taxas de atualização monetária do n-ésimo e do início do primeiro

período, respectivamente – será:

iac = In - 1

Io

O capital corrigido pela taxa de inflação j será: C (1 + j)

O montante resultante no final do prazo com taxa i será: C (1 + i)

A taxa real de juros é a taxa de juros que leva o valor do capital corrigido

monetariamente C (1 + j) ao montante C (1 + i) no período considerado.

A taxa real de juros r será calculada como segue:

C (1 + i) = C (1 + j).(1 + r)

Logo: (1 + i) = (1 + j).(1 + r)

Ou: 1 + r = 1+ i

1 + j

Se i = j , teremos taxa real nula;

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Se i > j , teremos taxa real positiva;

Se i < j , teremos taxa real negativa.

Um exemplo típico de aplicação financeira que contempla juros reais e atualização

monetária é a poupança. Ela paga juros reais de 0,5% ao mês e atualização monetária

relativa à TR (Taxa Referencial de Juros estabelecida pelo Banco Central do Brasil). Os

rendimentos são creditados na conta de poupança mensalmente, no mesmo dia de aniversário

mensal do depósito e o novo montante passa a ser o capital inicial do próximo período

mensal, caracterizando-se um investimento que paga juros compostos.

Amortização de empréstimos

A necessidade de recursos leva os que querem fazer algum investimento ou

cumprirem compromissos imprevistos a tomarem empréstimos, assumindo dívidas que são

acrescidas de juros que variam de acordo com contratos firmados entre as partes

interessadas. As formas de pagamento dos empréstimos são chamadas de sistemas de

amortização.

Os sistemas de amortização são vários e, em sua maioria, prevê pagamentos

parcelados. Alguns são conhecidos no mercado internacional, como o sistema Price (ou

francês) – usado nos negócios imobiliários ou o sistema americano – usado nos empréstimos

internacionais. Existem vários outros sistemas que, normalmente, são variações dos

existentes e são descritos nos contratos de empréstimos firmados com as instituições

financeiras. Nos pagamentos parcelados, tanto o credor quanto o devedor têm interesse em

saber, a cada período, o estado da dívida, qual seja o saldo devedor e o total pago. Nas

parcelas pagas, sempre há juros e amortização do principal (ou capital inicial). Vejamos

alguns sistemas de amortização.

Bastante utilizado na prática é o sistema de amortizações constantes (SAC), onde as

parcelas de amortização são iguais. Assim, considerando um principal P a ser amortizado em

n parcelas A1, A2, A3, . . . . , An e supondo pagamento dos juros em todos os períodos,

teremos:

A1 = A2 = . . . = An = P = A (valor da amortização constante) n

O valor das prestações é dado por:

R1 = A + J1 = A + Pi

20

R2 = A + J2 = A + (P-A)i = A + Pi – Ai

R3 = A + J3 = A + (P-2A)i = A + Pi – 2Ai

. .

. .

. . Rn = A + Jn = A + [P – (n – 1) A]i = A + Pi – (n – 1)Ai

Percebemos que as prestações deste sistema são uma progressão aritmética

decrescente, cujo primeiro termo é A + Pi e cuja razão é - A.i.

O sistema Price ou sistema francês, desenvolvido no século XIX na França pelo

matemático inglês Richard Price e conhecida como Tabela Price, as prestações são iguais e

consecutivas, incluídos em cada uma os juros sobre o saldo devedor e uma amortização

parcial do empréstimo.

Consideremos um empréstimo de um principal P, a uma taxa i, a ser pago em n

prestações, pelo sistema Price. Os juros vão decrescendo a cada prestação, pois o saldo vai

diminuindo, enquanto as amortizações formam uma seqüência crescente, pois a cada

prestação o saldo é menor e também os juros, aumentando a amortização do principal. E as

prestações R são calculadas por:

R = P 1 – (1 + i)-n

i

No sistema americano, o pagamento do principal é feito de uma só vez no final do

período do empréstimo. Os juros, em geral, são pagos periodicamente, porém podem

eventualmente ser capitalizados e pagos juntamente com o principal, dependendo do acordo

entre as partes envolvidas.

No sistema alemão, o devedor paga o empréstimo em parcelas periódicas iguais,

incluindo juros antecipados e amortizações imediatas. Assim, na data do empréstimo, ele

quita antecipadamente os juros do primeiro período, calculados sobre o empréstimo:

J1 = Pi

e no final de cada período, seus pagamentos R serão:

R1 = A1 + J2 ou R1 = A1 + (P – A1) i

R2 = A2 + J3 ou R2 = A2 + (P – A1 – A2) i

. . . Rn = An (o último pagamento não inclui juros)

21

Como todos os pagamentos são iguais, tem-se:

R1 = R2 = . . . = Rn = R

Das relações entre as prestações R, vem as amortizações:

An = A1

(1 – i)n - 1

E, como R = An e tomando a equação de A1, tem-se:

R = P i

1 - (1 – i)n

Existem muitos outros sistemas de amortização de empréstimos que contemplam,

além dos juros, a atualização monetária, prazos de carência, pagamentos adicionais com

períodos diferentes dos contratados mensais, dentre outros. Os tratados nesta seção dão uma

boa noção de como são cobrados os juros em empréstimos.

Aplicações financeiras

Quando uma pessoa dispõe de um capital e não tem necessidades presentes, ela pode

aplicá-lo, tornando-se assim um investidor. Os bancos e as corretoras de valores mobiliários

são os lugares mais indicados.

As corretoras de valores mobiliários são instituições financeiras com o objetivo

principal de investir o capital dos seus clientes (investidores) em ações de empresas de

capital aberto. Seus corretores têm acesso às bolsas de valores e realizam as operações de

compra e venda das ações disponíveis a cada dia. Várias corretoras captam recursos a partir

de R$ 100,00, comprando e vendendo ações a partir da ordem do investidor ou compondo

um grupo de investidores que irão aplicar em ações de várias empresas (denominados de

fundos de ações).

Os bancos comerciais e caixas econômicas são instituições financeiras autorizadas

pelo Banco Central do Brasil para operar no mercado financeiro. Possuem agências e postos

de atendimento que oferecem variados serviços, entre eles os investimentos. A poupança é o

mais conhecido e popular investimento oferecido pelos bancos e seu rendimento é único e

determinado pelo Banco Central. Os fundos de investimento também são investimentos

disponíveis e estão, basicamente, distribuídos em fundos de renda fixa e de renda variável.

Os fundos de renda fixa são os que aplicam os recursos captados em títulos de crédito

públicos ou privados.

22

Os fundos de renda variável (ou fundos de ações) aplicam seus recursos em ações de

empresas. Alguns aplicam em empresas de um determinado setor da economia (por

exemplo: empresas de telecomunicações, empresas concessionárias de energia elétrica),

outros aplicam nas ações mais negociadas da bolsa de valores, outros aplicam em um

número predeterminado de ações de empresas, outros aplicam em ações de uma mesma

empresa (por exemplo: fundos de ações da Petrobrás, fundos de ações da Vale do Rio Doce),

outros aplicam parte de seus recursos (uma faixa de zero a 30%) em títulos de crédito e o

restante (de 70 a 100%) em ações propriamente ditas.

Outro investimento disponível há muitos anos é o CDB (Certificado de Depósito

Bancário). Atualmente funciona de maneira semelhante aos fundos de renda fixa, com a

diferença que têm prazos predeterminados (conhecidos como depósitos a prazo fixo). No

final do prazo de investimento contratado, o dinheiro é disponibilizado automaticamente na

conta do investidor.

Com exceção da poupança, todos os outros investimentos (fundos e CDBs) são

realizados a partir da conta-corrente, ou seja, uma aplicação significa um débito e um resgate

significa um crédito na conta do investidor.

O governo federal instituiu a CPMF (Contribuição Provisória sobre Movimentação

Financeira). Trata-se de uma taxa equivalente a 0,38% sobre todo valor debitado (saque,

aplicação financeira, cheque descontado, cheque compensado, débito de contas de consumo,

como água, luz ou telefone). Incide sobre contas-corrente e contas de poupança e é lançada

na própria conta. Como uma aplicação financeira é feita a partir de um débito da conta do

investidor, ele paga 0,38% do valor aplicado em toda aplicação realizada. E isto tem que ser

levado em consideração quando se aplica um dinheiro por pouco tempo (de 30 a 120 dias).

Disponibilizamos no final deste trabalho um glossário de termos financeiros para

compreender melhor este tópico. Foi elaborado considerando nossa experiência pessoal e o

acompanhamento que fizemos sobre o desempenho de várias aplicações financeiras.

1.4. A Matemática Financeira no Código do Consumidor

O Código de Defesa do Consumidor – lei 8.078/1990 (BRASÍLIA, 2006b) - surgiu

por determinação dos artigos 5o e 170 da Constituição Federal e do artigo 48 de suas

Disposições Transitórias (BRASÍLIA, 2006a). Ele veio suprir a proteção do consumidor,

pois reconhece a sua vulnerabilidade no cenário do mercado de consumo. São tratados os

possíveis danos ao consumidor por produtos ou serviços. Diferença de peso, preço abusivo,

23

produto viciado, produto perecido, periculoso ou que afetem a sua segurança são alguns dos

danos tratados.

Acerca de vícios de qualidade ou quantidade nos produtos e serviços, vemos que o

consumidor poderá ser ressarcido do dinheiro pago, monetariamente corrigido, ou do

abatimento proporcional do preço. O consumidor necessita dos conceitos de porcentagem,

inflação e juros para ser protegido.

Nas práticas comerciais, onde se estabelece um contrato e o fornecedor se recusar,

por qualquer motivo, a cumpri-lo, o consumidor poderá rescindir o contrato, com direito à

restituição da quantia até então paga, monetariamente corrigida. Também a respeito de

contratos, cita índices de correção que não podem ser diferentes dos legais. O consumidor

precisa conhecer os conceitos de inflação e juros.

Em várias situações, o código do consumidor trata, naquilo que lhe cabe, de

acréscimos e descontos. Neste caso, o consumidor necessita conhecer os conceitos de juros

simples e compostos.

Quando o consumidor é cobrado por uma dívida indevidamente, sendo caracterizada

má fé, tem direito ao dobro do que pagou em excesso, acrescido de correção monetária e

juros legais. Aqui são envolvidos conceitos de atualização monetária e juros.

São nulas as cláusulas contratuais de fornecimento de produtos e serviços que

permitam variação de preço de maneira unilateral. Os conceitos de acréscimos são

importantes neste caso.

Nos produtos em que há financiamento ao consumidor, o fornecedor deverá informar

além do preço do produto, o montante dos juros de mora e da taxa efetiva anual de juros, os

acréscimos legais previstos, o número de prestações e sua periodicidade, bem como a soma

total a pagar, com e sem financiamento. Estabelece, ainda, que a multa por atraso não pode

exceder a 2% do valor devido e que o consumidor pode quitar antecipadamente o débito total

ou parcial, mediante redução proporcional dos juros e demais acréscimos. Nesta seção do

código do consumidor podemos ver claros os conhecimentos principais de matemática

financeira.

1.5. Os Parâmetros Curriculares Nacionais e a Matemática Financeira Os PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais – para o terceiro e quarto ciclos do

ensino fundamental abordam o conhecimento matemático como sendo de grande utilidade e

presença na vida de todas as pessoas, sendo um diferencial para formar pessoas cidadãs,

24

capazes de resolver problemas, muito mais que repetir mecanicamente o que aprenderam.

Cidadãos que, de posse de um instrumental matemático, conseguem entender os elementos

da política econômica e a relação entre trabalho e consumo. E este é o mais importante papel

da matemática financeira. Nesta citação, vemos a necessidade da sociedade brasileira de

formar cidadãos que tenham suas necessidades atendidas, dentre elas, as econômicas.

A sociedade brasileira demanda uma educação de qualidade, que garanta as

aprendizagens essenciais para a formação de cidadãos autônomos, críticos e

participativos, capazes de atuar com competência, dignidade e responsabilidade na

sociedade em que vivem e na qual esperam ver atendidas suas necessidades

individuais, sociais, políticas e econômicas (PCN, 1998, p.21).

Este documento salienta a importância da matemática financeira. Os adolescentes já têm

nítida a idéia de trabalho e de consumo, tendo a imagem clara de produtos e marcas que

desejam adquirir. Já sonham com uma profissão que lhes renda um salário suficiente para

obter os bens que desejam.

Acerca dos recursos das tecnologias de comunicação e informação, o PCN diz que “é

preciso também melhorar as condições físicas das escolas, dotando-as de recursos didáticos e

ampliando as possibilidades de uso das tecnologias da comunicação e da informação”

(BRASÍLIA, 1998, p. 38-39). As tecnologias de comunicação e informação – incluídos a

calculadora e o computador – são ferramentas necessárias ao bom estudo, compreensão e

efetivação da aprendizagem matemática financeira, que ganha ainda mais importância na

escola com esta recomendação deste documento oficial. Os cálculos financeiros são

rapidamente realizados através destas ferramentas tecnológicas, hoje tão acessível a uma

parcela cada vez maior de alunos. E, quando os cálculos são feitos com mais rapidez, o

tempo economizado pode ser utilizado para se fazer as conjecturas tão necessárias para

decidir sobre uma compra parcelada ou à vista e um investimento.

Sobre o trabalho e o consumo, diz os PCN (1998, p.68):

Crianças e adolescentes vivem a expectativa sobre a ( ) inserção no mundo do

trabalho, assim como os dilemas frente aos apelos para o consumo de produtos

valorizados por seu grupo etário. Se não são todos os que já participam de alguma

forma do mercado de trabalho ou têm um lugar no trabalho doméstico, todos

refletem, em sua atuação escolar, a situação de trabalho e emprego das famílias, a

luta cotidiana para conquistar o direito de usufruir de bens e serviços produzidos

socialmente.

As pessoas são levadas a consumir produtos e marcas pelo apelo crescente das propagandas

que utilizam até de mensagens subliminares e de conhecimentos na área psicológica para

25

atingir o objetivo de levar o consumidor a comprar. A matemática financeira pode contribuir

para mostrar as vantagens ou desvantagens de se comprar agora ou poupar para, num futuro

próximo, adquirir sem pagar juros. Existem hoje vários produtos e marcas com diferença de

preços às vezes absurda. A noção de preço por unidade de peso ou de volume é

conhecimento necessário para se comprar. Como exemplo, citemos duas marcas de biscoitos

recheados, sendo um com 200 gramas, vendido a R$ 1,20, e outro de 180 gramas, vendido a

R$ 1,17. Não obstante o de menor peso ser mais barato, o pacote mais pesado tem o menor

preço por grama: R$ 0,006 contra R$ 0,0065 da embalagem mais leve. E a matemática

financeira contribui para mostrar a diferença entre os preços à vista, preços a prazo, os

efeitos dos juros cobrados e as diferentes opções de parcelamento da compra, com seus

respectivos juros embutidos.

Nos parâmetros curriculares para o Ensino Médio é enfatizada a maior consciência e

responsabilidade do aluno devido à sua maturidade. Por isso recomenda o desenvolvimento

de conhecimentos mais amplos e abstratos, capazes de levar o aluno a “promover o

desenvolvimento das capacidades de inferir, argumentar, pesquisar, produzir”, estando assim

“em consonância com as múltiplas finalidades do Ensino Médio, estabelecidas pela Lei de

Diretrizes e Bases da Educação” (BRASÍLIA, 2004, p. 9). Este o ambiente onde o aluno é

estimulado a correlacionar os diferentes temas matemáticos e aplicá-los em outras ciências e,

principalmente, na vida cotidiana nos parece ser o mais adequado para se trabalhar a

educação financeira. Pode-se, inclusive, direcionar o ensino para as necessidades e interesses

financeiros da comunidade a que pertencem.

Segundo Brasília (2000, p.112): “a resolução de problemas é peça central para o

ensino de Matemática, pois o pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o

indivíduo está engajado ativamente no enfrentamento de desafios” (BRASÍLIA, 2000,

p.112). Esta estratégia de resolução de problemas sugerido nos PCNEM é uma ótima

plataforma para se trabalhar a educação financeira, pois desafia os alunos a trazer seus

problemas financeiros do cotidiano para a sala de aula, excelente ambiente para resolvê-los.

1.5. A Matemática Financeira e as avaliações governamentais O Ministério da Educação mantém o Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas

Educacionais Anísio Teixeira – INEP, que realiza avaliações em todos os níveis de ensino

brasileiro. Falaremos das avaliações da Educação Básica voltadas para as quatro últimas

26

séries do ensino fundamental e as séries do Ensino Médio: o Sistema Nacional de Avaliação

da Educação Básica – SAEB – e o Exame Nacional do Ensino Médio – ENEM.

1.5.1. O Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB)

O Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica – SAEB – é uma avaliação do

Ministério da Educação criada para coletar dados sobre alunos, professores e diretores de

escolas públicas e privadas. É aplicado bienalmente desde 1990 para avaliar o desempenho

dos alunos brasileiros da 4ª e 8ª séries do ensino fundamental e do 3º ano do ensino médio,

em Língua Portuguesa e Matemática, focando a leitura, interpretação e resolução de

problemas. O SAEB também pesquisa a infra-estrutura e disponibilidades da unidade

escolar, através de questionários que visam levantar os mecanismos de gestão, o perfil e

informações sobre o diretor, a prática e o perfil dos professores na docência, os hábitos de

estudo e as características socioculturais dos alunos.

O objetivo do SAEB é fornecer subsídios para o MEC e as Secretarias Estaduais e

Municipais de Educação para definir ações voltadas para corrigir as distorções verificadas,

direcionando os recursos necessários para as áreas identificadas como mais prioritárias. Em

suma, o SAEB tem a intenção de aprimorar a qualidade do ensino brasileiro. Segundo

Brasília (2005), na última avaliação realizada em 2003, participaram cerca de trezentos mil

alunos, dezessete mil professores e seis mil diretores de 6.270 escolas estaduais, municipais

e particulares de todo o país, distribuídas proporcionalmente em todas as unidades da

federação.

Tem havido várias críticas ao SAEB quanto ao seu objetivo. O comportamento do

sistema educacional e a origem social dos alunos são fatores que podem explicar os

resultados educacionais. Sobre as potencialidades e problemas do SAEB, Franco (2001)

discute, aponta sugestões e recomendações no sentido de se explicitar e especificar melhor o

sistema de avaliação. Para tanto, sugere nomear comitês interdisciplinares de especialistas

para cada assunto; aprimorar e incorporar novos aspectos técnicos para os assuntos

problemáticos; tomar algumas medidas relevantes para avaliação de professores e gestores;

aprimorar os padrões de interação com estados e municípios e fazer um ‘acompanhamento

longo’ de alunos durante toda sua estadia nas séries da educação básica.

Não obstante as críticas, o SAEB tem levantado pontos importantes sobre a situação

do ensino no Brasil. Considerando os dados relativos à resolução de problemas, Brasília

(2006c) publicou seus resultados, mostrando os seguintes dados levantados em 2003:

27

a) A média nacional dos alunos da 8a série do ensino fundamental em Matemática foi de

57,6% de acertos, enquanto a média em Minas Gerais ficou em 59,0%. O patamar

considerado para que o aluno tenha desenvolvido os requisitos mínimos para ser bem

sucedido nos graus escolares posteriores seria de 70,6%.

b) A média nacional dos alunos da 3a série do ensino médio em Matemática foi de

65,6% de acertos, enquanto a média em Minas Gerais ficou em 68,6%. O patamar

onde se consideram desenvolvidas as habilidades mínimas para esse nível de ensino

seria de 88,2%.

c) A média de desempenho em Matemática no estado de Minas Gerais na 8a série do

ensino fundamental e na 3a série do ensino médio, na última avaliação realizada em

2003, é a menor dentre todas as já realizadas, demonstrando queda praticamente

constante no nível de escolaridade com o passar dos anos.

De acordo com a última avaliação do SAEB, podemos concluir que os alunos não

conseguem interpretar e resolver problemas compatíveis com a maturidade esperada pelo seu

nível de escolaridade. Podemos abrir um leque de possibilidades de causas para esse

fracasso, que não é objeto deste nosso trabalho. A educação financeira, por conseguinte,

poderia auxiliar neste processo em que se vê nitidamente a decadência do ensino, que não

consegue levar os alunos concluintes dos ensinos fundamental e médio aos níveis mínimos

de conteúdo, conhecimento e raciocínio esperados.

1.5.2. O Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM)

Outra avaliação nacional importante é o Exame Nacional do Ensino Médio – ENEM.

Criado pelo Ministério da Educação em 1998, consiste em um sistema de avaliação que tem

por objetivo avaliar os estudantes de escolas públicas e particulares do ensino médio. Os

dados servem de base para o desempenho pessoal e são utilizados pelo governo para definir

políticas públicas para a educação.

O exame não é obrigatório, porém, a cada ano tem atraído um número cada vez maior

de estudantes. Isso é explicado pelo fato dos vestibulares de instituições de ensino superior

utilizarem os resultados do ENEM como critério para selecionar candidatos. A avaliação

aplicada não verifica apenas o aprendizado de conteúdos básicos, mas foca principalmente a

verificação das competências e habilidades que o aluno adquiriu. O aluno deve demonstrar

capacidade para interpretar gráficos, textos, mapas e informações em diversas linguagens. O

28

exame também verifica se o aluno é capaz de argumentar, solucionar problemas cotidianos e

práticos, elaborar propostas de intervenção na realidade e apresentar idéias bem estruturadas.

A avaliação está de acordo com aquilo que se espera de um aluno que sai do ensino

médio, considerando os parâmetros curriculares nacionais. Atualmente o mercado de

trabalho espera um trabalhador que conheça os conteúdos, mas que apresente habilidades e

competências múltiplas para que possa solucionar problemas que vierem a surgir dentro da

empresa em que atua. Portanto, o exame está dentro da realidade de vida e de mercado

atuais.

O ENEM é composto, segundo o Curso Anglo (2006), por duas partes: uma redação

com tema proposto pelo próprio exame e 63 questões objetivas de múltipla escolha,

envolvendo assuntos de Português, Matemática, Biologia, História, Geografia, Física e

Química, abordados ao longo dos ensino fundamental e médio.

A média obtida pelos alunos brasileiros tem ficado em torno de 5,5. Um outro dado

interessante é que os alunos da rede particular de ensino têm conseguido notas melhores que

os alunos da rede pública.

Analisando todas as provas aplicadas do ENEM, verificamos que, pouquíssimas

questões abordam a matemática financeira. Porém, seus conceitos e conhecimentos

essenciais à sua compreensão são utilizados amplamente em questões de análise de um

problema social, científico ou econômico.

Este foi o universo de questões levantadas nas provas aplicadas:

• Em 1998 (Prova Amarela): 6 das 63 questões utilizam conceitos de proporções e

porcentagem, aplicados a situações diversas, como proporção entre a sombra de uma

pessoa e de um poste de alturas diferentes em horários distintos, a porcentagem de

eficiência de uma usina na transformação da energia hídrica em elétrica, taxa média

anual de desemprego na Grande São Paulo entre 1985-1996, percentual de adenina que

constitui as bases nitrogenadas no DNA de um animal, percentual de alunos numa escola

de ensino médio e o percentual de entrevistados que assistem a um determinado canal de

TV. Não houve nenhuma questão específica sobre matemática financeira.

• Em 1999 (Prova Amarela): 6 das 63 questões utilizam conceitos de proporções e

porcentagem, aplicados a situações diversas, como taxa de mortalidade infantil e

analfabetismo nas diferentes regiões brasileiras, porcentagem de chances de duas pessoas

viajarem juntas em determinadas condições, porcentagem de genes presente no clone de

uma ‘mãe de aluguel’, fração de utilização da energia solar, percentual de água doce e

29

salgada do planeta e o percentual de veículos detectados por um radar numa via pública.

Porém, em nenhuma questão foi abordada a matemática financeira propriamente dita.

• Em 2000 (Prova Branca): 10 das 63 questões utilizam conceitos de porcentagem,

proporções e juros aplicados a situações diversas, como taxa de variação populacional do

Brasil, percentual de roubos de carro numa dada cidade, percentual de energia dissipada

no motor de combustão de um automóvel, poupança de parte do capital para a compra de

um carro, percentual de oxigênio na atmosfera ao longo das eras geológicas, distribuição

percentual da renda do quinto da população mundial que vive nos países de renda mais

elevada, teor de ferro e outras substâncias no minério de ferro na Serra dos Carajás,

probabilidade de acerto em jogos de azar por um apostador, percentual de redução de

cáries onde existe água fluoretada e o percentual de energia consumida no Brasil pelos

grupos diferentes de renda familiar. Em apenas uma questão é abordada a Matemática

Financeira:

QUESTÃO 25 João deseja comprar um carro cujo preço à vista, com todos os descontos possíveis, é de R$21.000,00, e esse valor não será reajustado nos próximos meses. Ele tem R$20.000,00, que podem ser aplicados a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, e escolhe deixar todo seu dinheiro aplicado até que o montante atinja o valor do carro. Para ter o carro, João deverá esperar: A) dois meses, e terá a quantia exata. B) três meses, e terá a quantia exata. C) três meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$225,00. D) quatro meses, e terá a quantia exata. E) quatro meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$430,00. RESOLUÇÃO: O montante após n meses é: Mn = 20.000 (1,02)n. Assim, após 3 meses: M3 = 20.000 (1,02)3 = 21.224,16. Portanto João deverá esperar três meses, e ainda lhe sobrarão, aproximadamente, R$ 225,00 (CURSO ANGLO, 2006).

• Em 2001 (Prova Amarela): 18 das 63 questões utilizam conceitos de porcentagem,

proporções e juros aplicados a situações diversas, como perdas na medição do volume

das madeiras cortadas na Amazônia, porcentagem de alcance de uma emissora de rádio

em um município, distribuição média do consumo de energia elétrica residencial por

equipamento, composição percentual do combustível álcool hidratado, percentual de

energia elétrica no total de energia gasto em residências, distribuição percentual do

consumo de energia no mundo, percentual de votos do candidato vencedor numa dada

eleição, percentual de água consumida nas atividades humanas e retornada ao ambiente,

taxa de homicídios no país, distribuição e projeção da população mundial em 2050,

30

variação de peso de peixes para permissão de pesca, perda térmica das paredes da

geladeira em relação à energia consumida, taxa de desemprego entre homens e mulheres,

gastos percentuais e a arrecadação de um colégio, porcentagem da força de trabalho por

setor da economia, porcentagem da mata atlântica devastada e o crescimento da

produção agrícola por área cultivada. Em apenas uma é abordada a matemática

financeira:

QUESTÃO 53 Em um colégio, 40% da arrecadação das mensalidades correspondem ao pagamento dos salários dos seus professores. A metade dos alunos desse colégio é de estudantes carentes, que pagam mensalidades reduzidas. O diretor propôs um aumento de 5% nas mensalidades de todos os alunos para cobrir os gastos gerados por reajuste de 5% na folha de pagamento dos professores. A associação de pais e mestres concorda com o aumento nas mensalidades mas não com o índice proposto. Pode-se afirmar que A) o diretor fez um cálculo incorreto e o reajuste proposto nas mensalidades não é suficiente para cobrir os gastos adicionais. B) o diretor fez os cálculos corretamente e o reajuste nas mensalidades que ele propõe cobrirá exatamente os gastos adicionais. C) a associação está correta em não concordar com o índice proposto pelo diretor, pois a arrecadação adicional baseada nesse índice superaria em muito os gastos adicionais. D) a associação, ao recusar o índice de reajuste proposto pelo diretor, não levou em conta o fato de alunos carentes pagarem mensalidades reduzidas. E) o diretor deveria ter proposto um reajuste maior nas mensalidades, baseado no fato de que a metade dos alunos paga mensalidades reduzidas. RESOLUÇÃO: Como o pagamento dos salários dos professores corresponde a 40% da arrecadação das mensalidades, um reajuste de 5% na folha de pagamento terá um impacto de 0,05 . 0,40 = 0,02, isto é, 2% em relação à arrecadação das mensalidades. Logo, um aumento de 5% nas mensalidades irá superar os gastos adicionais (CURSO ANGLO, 2006).

• Em 2002 (Prova Amarela): 16 das 63 questões utilizam conceitos de porcentagem,

proporções e juros aplicados a situações diversas, como percentual de gases causadores

do efeito estufa, participação percentual da colheita de fava na renda do trabalhador,

condições de vida dos seres humanos em relação à temperatura ambiente e umidade

relativa do ar, percentual dos carboidratos responsáveis pelo sabor adocicado do milho

verde recém-colhido, distribuição percentual da população brasileira por faixa etária,

rendimento nos processos de geração de energia, aumento percentual da oferta de energia

elétrica, percentual de distribuição dos tipos de fronteiras do continente africano,

percentual da população com falta de desejo sexual, percentual de camarões mortos sob

impacto de algicida, efeito percentual de medicamentos sobre os infectados com o HIV,

percentual de energia primária destinada à produção de eletricidade, estatística de

violência sexual contra a mulher e a composição percentual de gases na atmosfera. Em

nenhuma questão foi abordada a matemática financeira.

31

• Em 2003 (Prova Amarela): 15 das 63 questões utilizam conceitos de porcentagem,

proporções e juros aplicados a situações como anúncios de produtos e serviços e sua

estatística de eficiência, embalagem de tamanhos múltiplos ao dos produtos, conversão

de tamanhos diferentes no produto final, estatística de doenças causadas por tabaco,

concentração de certo elemento em produto comestível passível de provocar intoxicação,

percentual de purificação num sistema de recuperação de água, percentual de eficiência

de fogões, viabilidade de utilização de gás natural veicular, consumo e importação

percentuais de petróleo no Brasil, crescimento populacional brasileiro diferenciado ao

longo do século XX, participação da mulher no mercado de trabalho e percentual de

roubos por região habitacional. Em nenhuma questão foi abordada a matemática

financeira.

• Em 2004 (Prova Amarela): 17 das 63 questões utilizam conceitos de porcentagem,

proporções e juros aplicados a situações diversas, como consumo de energia elétrica,

crescimento e distribuição populacional, fabricação e controle de qualidade de produtos

industrializados, escalas de tempo e aplicações à biologia e outras ciências. As duas

questões seguintes abordam o conteúdo de matemática financeira:

QUESTÃO 10 Em quase todo o Brasil existem restaurantes em que o cliente, após se servir, pesa o prato de comida e paga o valor correspondente, registrado na nota pela balança. Em um restaurante desse tipo, o preço do quilo era R$12,80. Certa vez a funcionária digitou por engano na balança eletrônica o valor R$18,20 e só percebeu o erro algum tempo depois, quando vários clientes já estavam almoçando. Ela fez alguns cálculos e verificou que o erro seria corrigido se o valor incorreto indicado na nota dos clientes fosse multiplicado por A) 0,54. B) 0,65. C) 0,70. D) 1,28. E) 1,42. RESOLUÇÃO: Sendo f o fator pelo qual os valores incorretos deveriam ser multiplicados, temos: 18,20 . f = 12,80 � f = 12,80 / 18,20 � f ~ 0,70 (CURSO ANGLO, 2006).

QUESTÃO 33 Uma pesquisa sobre orçamentos familiares, realizada recentemente pelo IBGE, mostra alguns itens de despesa na distribuição de gastos de dois grupos de famílias com rendas mensais bem diferentes. Considere duas famílias com rendas de R$400,00 e R$6.000,00, respectivamente, cujas despesas variam de acordo com os valores das faixas apresentadas. Nesse caso, os valores, em R$, gastos com alimentação pela família de maior renda, em relação aos da família de menor renda, são, aproximadamente,

A) dez vezes maiores. B) quatro vezes maiores. C) Equivalentes D) três vezes menores. E) nove vezes menores.

RESOLUÇÃO:

32

A família de renda R$6000,00 gasta em alimentação: 9 % de 6000 = R$ 540,00 e a família de renda R$400,00 gasta em alimentação: 33 % de 400 = R$ 132,00. Os gastos em alimentação da família de maior renda (R$540,00) são, aproximadamente, 4 vezes os gastos da família de renda menor (R$132,00) (CURSO ANGLO, 2006).

• Em 2005 (Prova Amarela): 10 das 63 questões utilizam conceitos de porcentagem,

proporções e juros aplicados a situações diversas, como análise de uma amostra

biológica para fins forenses, porcentagem de água na composição de cada tipo de célula,

distribuição percentual da miséria por regiões do mundo, percentual da produção anual

brasileira de plástico destinada à indústria de embalagens, perigo de polinização

percentual da soja transgênica com outro tipo de soja, distribuição percentual das

reservas de petróleo e gás natural no mundo, porcentagem de reclamações sobre cada

tipo de poluição ambiental, percentual de sobrevivência de mosquitos após exposição a

superfícies cobertas com fungos pesticidas, estimativa percentual da concentração de

oxigênio atmosférico ao longo da suposta história evolutiva do planeta Terra e percentual

dos jogadores de quatro clubes cariocas – levantados em uma pesquisa – que concluíram

o ensino médio. Em nenhuma questão foi abordada a matemática financeira.

Analisando as avaliações do ENEM entre 1998 e 2005, observamos que foram

poucas as questões envolvendo nosso tema de pesquisa. No entanto, observamos uma

exploração de seus fundamentos – porcentagem, regra de três e conteúdos afins – em todas

as provas. A análise de tabelas e gráficos de vários tipos (barra, seqüencial, pizza) com os

mais variados problemas da atualidade também foram bastante explorados nas provas

aplicadas.

Em todos os exames, constatamos a abordagem de problemas, tais como: diminuição

da camada de ozônio; poluição e conservação ambiental de matas nativas e de água doce;

participação de homens e mulheres no mercado de trabalho; trabalho infantil no país;

situação do trabalhador no mercado de trabalho; diferenças econômicas e geográficas entre

países desenvolvidos e subdesenvolvidos; teoria da evolução das espécies e do homem;

epidemias mundiais; dentre outros. É intencional a confrontação do adolescente com os

problemas nacionais e internacionais, alguns que o cercam e outros que podem ser seus

futuros problemas. Consideramos importante esta estratégia de contextualização dos

conhecimentos, pois, em última análise, esta é a função da escola: formar o cidadão para

viver em sociedade. Não obstante concordarmos com esta estratégia, não percebemos nas

salas de aula dos 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental e do Ensino Médio – que temos

freqüentado nos últimos quatro anos, esta visão nos professores de Matemática. Percebemos,

33

outrossim, a grande parte dos professores apáticos diante das turmas, em grande parte

agitadas e desinteressadas. Não percebemos espaço para uma contextualização dos

conhecimentos estudados. A exceção tem sido alguns poucos professores utilizarem-se de

exemplos dos livros didáticos para aproximar os conhecimentos à realidade da sociedade.

Assim, o professor, um profissional liberal, vem se tornando um profissional dirigido

por programas e livros didáticos, perdendo sua liberalidade de ação, princípio que o torna

uma pessoa digna de ser admirada e modelo para os alunos.

Interessante notar o interesse dos concluintes pelo ENEM. Em 2005, 2.199.214

participantes realizaram o exame, representando 96% das escolas de Ensino Médio

constantes do Censo Escolar (BRASÍLIA, 2006d). Os resultados (nacional, estadual e

municipal) foram extraídos de Brasília (2006e) e estão a seguir:

Desempenho Médio

Região Média Prova Objetiva Média Objetiva + Redação Brasil 36,922 45,325 Minas Gerais 39,719 47,634 Ouro Branco 48,99 56,097

Dentro do município de Ouro Branco, segundo a mesma pesquisa, sete escolas

tiveram participantes, sendo quatro particulares e três públicas. O Colégio Carlos Drumond

de Andrade, por ter tido participação menor que 10 alunos, ficou sem conceito. Das seis

escolas conceituadas, as três melhores foram, respectivamente, os Colégios Batista,

Arquidiocesano e COOPPED (todas particulares). As três escolas públicas obtiveram os

piores conceitos.

Em conversa recente com um professor de matemática da cidade, que leciona em

uma escola estadual e uma particular, pudemos perceber que a escola particular tem um

processo seletivo para admissão de alunos, o que não ocorre na escola estadual citada. Este é

um fato que pode explicar a diferença do desempenho no exame analisado.

1.6. Trabalhos científicos em Matemática Financeira e Consumo

Utilizamos as aulas de Metodologia de Pesquisa em Educação Matemática para

analisarmos e discutirmos com os colegas licenciandos e nossa orientadora sobre o trabalho

34

e o método a ser utilizado. Definimos a linha de pesquisa na área da matemática financeira e

sua utilidade na vida do cidadão.

Começamos a procura por bibliografia pela Biblioteca do Instituto de Ciências Exatas

e Biológicas – ICEB – da UFOP, procurando encontrar a definição, a história, o conteúdo e

as formas de abordagem do tema, encontrando alguns volumes que nos deram grande parte

do referencial teórico.

Consultamos vários sites na internet, incluindo os bancos de dados da CAPES,

UNICAMP, UNESP, UNIVERSIABRASIL, sites de universidades, faculdades e cursos de

matemática financeira; páginas de professores e o site do Banco Central do Brasil, onde

encontramos material sobre a história do dinheiro e da matemática financeira. Encontramos

cinco dissertações de mestrado no banco de dados da CAPES. Entramos em contato com as

universidades e os autores a fim de obter cópia, sem, contudo, obter êxito.

Procuramos no Núcleo Interdisciplinar de Estudos e Pesquisa em Educação

Matemática – NIEPEM – do Departamento de Matemática da UFOP e com professores de

Matemática trabalhos científicos voltados para nosso tema e seu ensino nas escolas da

educação regular e livros didáticos de matemática das séries finais do Ensino Fundamental e

do Ensino Médio.

Nossa orientadora nos informou sobre um trabalho na área de educação para o

consumo de Valéria de Carvalho, realizado em Campinas. Estabelecemos contato com ela,

que nos atendeu prontamente e nos enviou uma mensagem com a cópia de sua dissertação.

Carvalho (1999) apresentou sua dissertação de Mestrado na UNICAMP, em

Campinas, intitulada “Educação Matemática: Matemática & Educação para o Consumo”. A

utilização de novos recursos de ensino, citados nos temas transversais dos PCNs, motivou-a

a intervir na formação de um professor e uma professora do Ensino Médio, propor o uso de

novas tecnologias e tratar a educação para o consumo.

Segundo Carvalho (1999), o impacto dos novos produtos e das novas atividades do

mundo globalizado levam a uma nova formação docente e ao uso de novas tecnologias na

sala de aula. Daí formulou seu problema de investigação: “Que contribuições para a

formação profissional de professores de Matemática poderiam trazer a elaboração e

discussão de uma proposta pedagógica orientada para a Educação do consumidor e

mediada pelo uso do vídeo?”

A pesquisadora, juntamente com os dois professores, traçaram uma proposta de

trabalho utilizando-se de vídeo em sala de aula, envolvendo o tema Educação para o

35

consumo. Foram desenvolvidas as seguintes atividades para responder às questões de

investigação: entrevistas semi-estruturadas; construção de mapas conceituais; reuniões para

planejamento de curso e de aulas; conversas informais; exibição de vídeos, com discussões,

resolução de exercícios e reflexões; estudo de artigos do Código de Defesa do Consumidor e

análise de recortes publicitários de jornais e encartes promocionais; uso de computador

(ferramentas do Excel) para calcular a taxa de juros embutida em prestações; avaliação final.

A pesquisadora e os dois professores assistiram a vídeos sobre juros simples,

compostos, descontos, acréscimos e equivalência de capitais. A partir deles, elaborou-se um

projeto de ensino a ser desenvolvido com os alunos dos dois professores, incluindo a

utilização do vídeo nas aulas. O vídeo foi escolhido por três motivos: pesquisas apontam que

as crianças brasileiras ficam mais tempo em frente à televisão do que nas escolas;

pesquisadores afirmam que a grande maioria das pessoas vem sendo educada por imagens e

sons; pesquisas mostram que 83% do conhecimento do mundo exterior vem pela visão. Esta

escolha vem unir uma tendência e um gosto da maioria dos alunos com as imagens de

televisão com o ensino-aprendizagem dos conteúdos de Matemática Financeira, comercial e

com a função escolar de educar para o consumo.

A pesquisa propõe quatro situações-problema. A primeira sugere o cálculo dos juros

embutidos no preço a prazo. Foi resolvido de três maneiras distintas: regra de três, conceito

de razão e resolução de equação de 1º grau. A segunda sugere o cálculo da inflação

acumulada em doze meses com índice médio mensal de 3%. Foi resolvido de três maneiras,

utilizando-se fator multiplicativo, fórmula de juros compostos e fórmula de equivalência de

capitais. A terceira sugere uma escolha entre três maneiras de pagamento: à vista, em duas

ou em três parcelas. Considera que o dinheiro vale 10% a.m. para o comprador. O capital é

transportado para o início e para o final do período e é comparado à dívida contraída. A

quarta sugere calcular a taxa de juros embutida em prestações iguais e predeterminadas,

como o pagamento parcelado sugerido na terceira situação-problema. Nesta quarta situação

foi utilizado o programa Excel, através de sua função ‘Taxa’.

Todas as situações-problema são analisadas. Também são comparadas as funções

montante simples e composto, algébrica e graficamente. A autora também cita os planos de

aposentadoria como exemplo de aplicação financeira a longo prazo.

Os professores são levados a refletir sobre o que pensam de si mesmos e o que

pretendem na condução dos temas educação para o consumo e o uso de vídeo em sala de

aula, culminando com a construção do mapa conceitual sobre os temas.

36

A pesquisadora conclui que atingiu seus objetivos. Relata que este trabalho despertou

no professor o desejo de desenvolver investigação em sua sala de aula, sendo multiplicador

deste projeto junto a outros professores. A professora, por sua vez, viu despertar o desejo de

produzir vídeos e de utilizá-los com seus alunos. Para a pesquisadora, o trabalho foi

enriquecedor por tê-la ajudado a desenvolver novos padrões para democratizar o ensino da

Matemática e um trabalho junto a alunos da sétima série do Ensino Fundamental sobre

educação para o consumo, utilizando o vídeo e o computador como recursos.

Outra conclusão importante da pesquisadora foi quanto às reflexões desenvolvidas

pelos professores. Segundo ela, a reflexão constante é importante para o desenvolvimento

profissional e para ampliar a capacidade metacognitiva do professor. Assim, o professor

deve sempre planejar, executar e avaliar as atividades propostas, juntamente com os alunos,

sempre refletindo e levando-os a refletir sobre o objetivo de cada atividade desenvolvida, a

fim de facilitar a compreensão dos conteúdos matemáticos e de visualizar aplicações em

situações significativas para professor e alunos. Os alunos devem perceber e, caso não o

façam, o professor deve perceber e discutir os possíveis erros encontrados nos vídeos. Para

ela, o vídeo complementa a aula e é, sobretudo, um desencadeador de discussões.

Finalmente, a autora conclui que entende ser o educador responsável por informar e

educar o aluno para exercer sua cidadania.

Em nossa opinião, a autora fez um brilhante trabalho no tocante ao tema “Educação

para o consumo”. E explorou bem o contato com os dois professores, sendo uma orientadora

em relação à Matemática Financeira e à educação para o consumo.

Quanto às questões de investigação, concordamos com a opinião da pesquisadora de

que as tenha respondido, conforme citamos anteriormente. Em se tratando de trabalho de

pesquisa na área de educação matemática com algum conteúdo matemático, envolvendo

professores e alunos, entrevistas e várias conversas, levantamentos de histórico de vida,

concluímos que foi bem conduzido. Quanto à questão de uso de vídeos, ainda não havíamos

cogitado sobre seu uso freqüente em aulas de Matemática e, esta pesquisa nos despertou este

interesse, pois os professores necessitam de recursos que os auxiliem na motivação e

estímulo dos alunos que, segundo recentes observações, não os têm demonstrado.

Oliveira Neto, Viana e Miura (2005) apresentam os resultados da aplicação de um

curso virtual de Matemática Financeira utilizando a calculadora financeira HP-12C, do

fabricante Hewlett Packard. Ao final do curso foram coletados dados relativos à participação

dos alunos, avaliações e sua opinião quanto à sua qualidade, através de um questionário.

37

Em sua introdução, a pesquisa cita os esforços feitos pelo MEC no sentido de

aumentar as vagas para cursos superiores à distância, apostando que a “educação virtual seja

a forma mais apropriada para diminuir a exclusão social nas universidades brasileiras”

(OLIVEIRA NETO, VIANA, MIURA, 2005, p.2). São apresentados alguns dados sobre o

crescimento vertiginoso deste setor na educação.

O curso oferecido “foi pré-testado em uma turma de graduação de contabilidade da

FEARP-USP” (OLIVEIRA NETO, VIANA, MIURA, 2005, p.3) e desenvolvido com a

metodologia de educação à distância em validação e trabalha a pedagogia virtual, a

tecnologia da comunicação e a qualidade. O conteúdo dividido em quatro módulos, abrangia

os conceitos e as fórmulas de cálculo de juros, critérios de capitalização, capital, montante,

valor presente e futuro, desconto racional e comercial e equivalência financeira.

Este curso foi realizado em janeiro de 2005 com 10 alunos, sendo 9 concluintes.

Contou com o suporte de um professor coordenador e dois tutores, sendo realizadas aulas em

salas virtuais, atividades de negócio e ajuda (on-line e programada) para os alunos.

A possibilidade de várias avaliações por módulo, os vídeos disponíveis para

compreensão e treinamento do uso da HP-12C e a intensiva interação com os tutores foram

fatores positivos, enquanto a baixa interação entre os alunos, o tempo de resposta do suporte

e o fato de nem todos os alunos ter computador em casa, foram negativos no processo.

Quanto à qualidade, foi evidenciada a importância do ensino à distância “como uma

alternativa no processo de ensino e aprendizagem, mas ainda sem o mesmo valor de um

curso presencial” (OLIVEIRA NETO, VIANA, MIURA, 2005, p.9).

Conforme já dissemos, a Matemática Financeira é objeto de estudo de profissões

relacionadas à Economia, Administração, Contabilidade e Direito. Esta pesquisa evidencia

nossa fala. O curso oferecido alcança profissionais não matemáticos que trabalham com a

Matemática Financeira, oferecendo a eles os conteúdos que necessitam em seu dia-a-dia,

além de um recurso importante e quase ilimitado para atualizar e dirimir as possíveis dúvidas

de maneira quase instantânea. Esta pesquisa também evidenciou a situação financeira de

mais da metade dos alunos (amostra significativa da população nacional) que ainda não

possuem computador e acesso a internet em casa (e nem nas escolas por onde passaram). Isto

ainda é o fator que mais inibe e dificulta a modalidade de ensino virtual.

Costa (2005, p.6), em sua dissertação de Mestrado, “analisou e comparou os

conteúdos Razões e Proporções entre três livros didáticos, os livros e a proposta curricular

correspondente à década de sua publicação e comparou os exercícios propostos” com o nível

38

de conhecimento esperado pelos alunos. Esta análise quis investigar: se esses conteúdos

estão de acordo com o sugerido nos documentos governamentais; se houve modificações na

maneira de abordar o conteúdo nos livros; se os exercícios ajudam o professor no tocante ao

nível de conhecimento esperado dos alunos.

Os livros analisados foram publicados em diferentes épocas: anos 60/70, 80 e 2000.

Os documentos oficiais analisados foram: Projeto de um guia curricular para o ensino de

Matemática do estado de São Paulo (de 1972), Proposta Curricular para o ensino de

Matemática do estado de São Paulo (de 1986) e Parâmetros Curriculares Nacionais (de

1998). Foram estabelecidos os critérios de análise do conteúdo e dos exercícios. Foram

descritos os conteúdos de cada livro, analisados frente às propostas curriculares de cada

época e comparados entre si. Esta análise foi feita baseada em estudo de Aline Robert e

divide o conhecimento em três níveis: técnico (onde o aluno aplica de forma direta teoremas,

propriedades, definições, fórmulas, etc.), mobilizável (onde há uma indicação explícita do

que fazer para resolver o exercício, tendo o aluno que mobilizar seus conhecimentos já

adquiridos antes de aplicar o nível técnico) e disponível (onde não há indicação do que fazer,

tendo o aluno que disponibilizar e relacionar seus conhecimentos e aplicar um método que

melhor resolva o exercício). Apresenta esquemas dos conteúdos de razões e proporções (p.

131-133) que culmina em outros conteúdos: regra de três simples e composta, porcentagem,

juros simples, capital, taxa e tempo.

Costa (2005) conclui que os três livros estão parcialmente de acordo com as

propostas governamentais, sugerindo ao professor elaborar seu próprio curso, servindo os

livros didáticos como apoio aos alunos. Quanto aos conteúdos, houve modificações. No livro

mais antigo, seu autor estimula as demonstrações e vislumbra a importância da representação

algébrica, o que não ocorre nos outros, onde a parte teórica foi reduzida. Nos exercícios dos

três livros figuram os três níveis de conhecimento, mas não em todos os tópicos em que

foram divididos o conteúdo. Portanto, os exercícios não favorecem tanto o professor quanto

aos níveis de conhecimento considerados.

O autor distribuiu os conteúdos de sua dissertação de maneira organizada e manteve

um bom encadeamento lógico, que facilita o acompanhamento e a compreensão de seu

trabalho. A análise quanto aos níveis de conhecimento utilizados nos exercícios nos pareceu

pertinente, principalmente por comparar livros didáticos de épocas de propostas curriculares

diferentes, guardando suas respectivas diretrizes curriculares. Isto nos permitiu comparar o

pensamento e escrita de autores influenciados por correntes pedagógicas diferentes.

39

Observamos que o autor do livro mais antigo tem a preocupação de mostrar a importância da

lógica e linguagem matemáticas, servindo para formar cidadãos capazes de enfrentar seus

problemas usando da faculdade da razão, mesmo privilegiando o rigor que os documentos

oficiais atualmente não sugerem.

Contribuiu muito para nosso trabalho por tratar-se de análise de um conteúdo em

livros didáticos e por sua boa organização e apresentação.

A título de síntese

A Matemática Financeira é um tema considerado relevante, estando presente em

cursos de Engenharia, Matemática, Economia, Contabilidade, Direito, Computação, Turismo

e Administração. E faz parte da vida de profissionais como economistas, contabilistas e

advogados.

Há uma ligeira variação em seu conteúdo. Alguns autores incluem proporções, regras

de três, porcentagem e juros simples. Outros abordam estes assuntos em sua introdução.

Notamos que os autores que demonstram maior interesse científico deixam estes conteúdos

de fora, considerando como Matemática Financeira somente os juros compostos e toda sua

implicação na economia. Percebemos ainda que tem havido controvérsias quanto ao

entendimento e à aplicação de juros sobre juros e juros compostos, juros simples e juros

compostos, correção monetária e juros, levando a situações constrangedoras entre

vendedores e consumidores, bancos e clientes, administradoras de cartões de crédito e seus

clientes, situações estas que têm chegado aos tribunais. E estes, por sua vez, não têm o

conhecimento claro e satisfatório para a decisão, influindo, muitas vezes, de maneira

equivocada na vida financeira das pessoas. Segundo informações veiculadas na imprensa, as

reclamações mais freqüentes nos órgãos de defesa do consumidor têm sido contra os juros

cobrados por cartões de crédito. Uma dívida financiada num cartão de crédito, por exemplo,

pode duplicar em pouco mais de seis meses. E em um ano fica quase três vezes maior

(250%). Como o mercado financeiro trabalhar com juros compostos, as dívidas crescem

exponencialmente, assustando o consumidor.

Segundo Vieira Sobrinho (2004), professores de Matemática de diversas instituições

de ensino superior divergem acerca de aplicação de juros compostos em dívidas e demais

pagamentos. Melo (2004) escreveu um tratado sobre correção monetária e juros

considerando o novo código civil que entrou em vigor nos últimos cinco anos.

40

Considerando tudo isso, analisemos se os livros didáticos de Ensino Fundamental e

Médio disponibilizam o conteúdo de Matemática Financeira suficiente para o consumidor

saber se portar diante desta realidade financeira turbulenta.

41

CAPÍTULO 2:

A PESQUISA

2.1. O livro didático no Brasil

O livro didático é aquele destinado a dar suporte ao ensino nas escolas. Seu texto,

portanto, obedece aos programas das disciplinas escolares. Ele tem sido uma referência

importante para o ensino e o estudo das disciplinas escolares, pois reúne informações e

orientações em cada área do saber. Prof (2006) afirma que muitas vezes ele constitui a

primeira e a única fonte de informações sistematizadas que o estudante tem sobre um campo

de conhecimentos.

O interesse do governo brasileiro pelo livro didático remonta aos primórdios da

escola pública, no início do século XX. Nesta ocasião surgiu o primeiro órgão público

federal que objetivou estabelecer a educação pública. Entendemos que a adoção do livro

didático tenha sido uma das medidas emergenciais do governo devido à escassez de

bibliografia e literatura científica em língua nacional para apoiar os primeiros professores.

Miranda e Luca (2004) narram que a adoção do livro didático no Brasil tem seu

início à época do Estado Novo, quando se instituiu uma Comissão Nacional de Livros

Didáticos, que definia as regras para sua produção, compra e utilização. Esta ação, entre

outras, visava a introdução dos valores e modelos de conduta apregoados pelo novo regime.

Ainda segundo Miranda e Luca (2004), a compra e distribuição de livros didáticos

durante o regime militar foram feitas em 1966, 1971 e 1976, porém, censurados e com

ausência de liberdades democráticas. Nesta ocasião, a população escolar aumentou

substancialmente. Esta massificação deixou conseqüências marcantes na qualidade do

sistema público de ensino. Os governos militares estimularam investimentos no setor

editorial que contribuíram para a sua disseminação por todo o país. Seu conteúdo foi

bastante influenciado pelo relacionamento dos agentes culturais e o Estado autoritário. Ficou

evidente a intenção de formar uma geração acrítica.

Miranda e Luca (2004) nos informam que em 1985 o Ministério da Educação criou o

Programa Nacional do Livro Didático – PNLD. Foram incluídos neste programa as várias

disciplinas do currículo escolar e a participação de professores no processo de escolha. Em

1996, iniciou-se o processo de avaliação do livro didático, estipulando-se que a sua aquisição

para distribuição em território nacional estaria sujeita à inscrição e avaliação prévias,

42

segundo regras estipuladas em edital próprio. Atualmente, um guia do Livro Didático é

gerado e distribuído como um catálogo ordenado alfabeticamente e serve de orientação aos

professores em suas escolhas. Os critérios de avaliação também têm sido aprimorados.

Atualmente somente inscrição de coleções de livros são aceitas, não sendo permitinda a

inscrição de volume em separado.

Em palestra proferida em 2005 na UFOP pelo professor de Matemática e autor de

livros didáticos, Luiz Márcio Pereira Imenes, tomamos conhecimento de que o MEC é o

maior comprador de livros do mundo. Este fato não passou despercebido pelas editoras

estrangeiras, que já incorporaram algumas editoras brasileiras e continuam interessadas no

mercado brasileiro.

2.2. Alguns critérios de análise do livro didático

O livro didático tem sido atualmente a ‘âncora’ do professor em grande parte do país.

Ele tem sido o único recurso de que o professor dispõe para auxiliá-lo na grande maioria das

escolas brasileiras. E com o livro de Matemática não é diferente.

Temos ouvido vários professores se queixando do baixo salário, o que os obriga a

lecionar em dois turnos por dia. Com isso, o planejamento das aulas fica sobremaneira

comprometido. O fato de se poder contar com um livro-guia em suas aulas torna esta

situação possível. Ele passa a ser o roteiro e o plano de aula. Basta que o professor siga o

conteúdo nele disposto para cumprir o programa da disciplina.

Considerando o exposto, temos a necessidade de avaliar o conteúdo de Matemática

Financeira contido nos livros didáticos adotados nas escolas públicas e privadas que

oferecem os terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental e o Ensino Médio no município

de Ouro Branco, onde temos residido nos últimos vinte anos. Daí a formulação de nossa

questão de investigação:

Como a Matemática Financeira é apresentada em livros didáticos de Matemática adotados

nas séries finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio de Ouro Branco?

Pesquisamos na página do Ministério da Educação para saber como o governo

brasileiro avalia, orienta a avaliação e divulga o livro didático de Matemática adotado nas

séries em questão.

43

O Decreto-Lei nº 91.542, de 1985, institui o Programa Nacional do Livro Didático –

PNLD - e dispõe sobre sua execução. Em 1993, o MEC instituiu uma comissão para avaliar

a qualidade e estabelecer critérios gerais de avaliação destes livros. Em 1994, foram

divulgados os resultados desta avaliação, intitulada Definição de critérios para avaliação

dos livros didáticos (BRASÍLIA, 2006f). No ano seguinte foi instituída a avaliação

pedagógica com a universalização de atendimento do PNLD e sua extensão ao conjunto das

disciplinas obrigatórias do Ensino Fundamental. A partir de 2002, apenas coleções

destinadas às 5ª a 8ª séries do Ensino Fundamental e às séries do Ensino Médio foram aceitas

no PNLD, não sendo permitidas inscrições de livros de séries isoladas. Os editores das obras

excluídas em avaliações anteriores foram comunicados da necessidade de reformulação.

Também foram incluídos livros de alfabetização, dicionários e livros regionais nas áreas de

História e Geografia. Os critérios de exclusão adotados foram: erros nos conceitos e

informações básicas; não observância aos preceitos legais e jurídicos; incoerência e

inadequação metodológicas. Os critérios de qualificação adotados foram: existência de

manual do professor; estrutura editorial considerada adequada; evidência de conteúdo que

leve à construção de uma sociedade cidadã. A partir das linhas gerais do MEC para

qualificação e exclusão de livros didáticos, buscamos conhecer a posição dos pesquisadores.

Barros, Silva e David (2006) analisam livros de Química em um projeto de inovação

curricular e capacitação de educadores no Espírito Santo e, juntamente com os professores,

levantam as principais características e propõem alguns critérios. Eles podem ser aplicados a

quaisquer livros didáticos e devem ser observados na apresentação do livro, no texto

propriamente dito, nas ilustrações e nas atividades propostas. São eles:

• legibilidade gráfica;

• valores e atitudes veiculados no texto;

• adequação ao perfil do leitor;

• dequação das abordagens usadas pelo autor;

• referências e fontes utilizadas.

Nesta análise, os autores declaram o que os professores constataram:

A maioria dos livros apresenta boa legibilidade gráfica; o texto não contribui para

o desenvolvimento da autonomia, da crítica, da cooperação e do comprometimento

social; falta de contextualização, inadequação da linguagem ao perfil dos alunos,

atividades desvinculadas do desenvolvimento de competências e de habilidades,

atividades destinadas à memorização dos conteúdos” (BARROS; SILVA; DAVID,

2006).

44

O Grupo Positivo, de Curitiba (PR), mantém o portal Aprende Brasil

(www.aprendebrasil.com.br), que tem por objetivo ser “um ambiente de conhecimento,

ensino e aprendizagem com milhares de informações organizadas e avaliadas sobre educação

infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio, além de recursos de administração escolar,

psicologia, nutrição, debates, fóruns, artigos, atualidades” (GRUPO POSITIVO, 2006a).

Através de seu grupo de educadores, analisou e estabeleceu critérios para análise de livros

em diversas áreas de conhecimento, inclusive em Matemática. Estes critérios foram baseados

no Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) do Ministério da Educação. Em sua

análise de livros de 1ª a 4ª séries do Ensino Fundamental, o grupo aponta os critérios

desclassificatórios e classificatórios para os livros didáticos (GRUPO POSITIVO, 2006b).

Os critérios para desclassificação de obras são:

• correção dos conceitos e informações básicas: conceitos errados ou a indução a erros na

apresentação formal ou na associação entre conceitos;

• correção e pertinência metodológicas: escolha de alternativas conteúdo-metodológicas

satisfatórias com os objetivos da obra e coerentes, sem privilegiar uma única habilidade e

competência dentre as que devem ser desenvolvidas;

• contribuição para a construção da cidadania: desenvolver a ética necessária ao convívio

social e à construção da cidadania, estimular a tolerância e desenvolver a autonomia de

pensamento, a capacidade de argumentar e o raciocínio crítico.

Os critérios de classificação, por sua vez, levam em consideração a escolha de

conteúdos adequados à sociedade, que possam resolver eficientemente os problemas atuais.

Para tanto, deve atentar para a faixa de escolaridade do aluno, a fim de não subestimá-lo ou

superestimá-lo e devem ser dosados: a intuição, os fatos do dia-a-dia, o emprego de vários

materiais instrucionais e o início da apresentação da matemática abstrata. O livro também

deve oferecer atividades para desenvolver as habilidades mentais, a construção de conceitos

e a construção gradativa da linguagem matemática.

O edital de convocação para inscrição no processo de avaliação e seleção de obras

didáticas a serem incluídas no guia de livros didáticos para os anos finais do Ensino

Fundamental – PNLD/2008 foi publicado em 29 de dezembro de 2005, pelo presidente do

Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação, da Secretaria de Educação Básica do

Ministério da Educação. Em seu anexo IX (Princípios e Critérios para a Avaliação de Livros

Didáticos para os anos finais do Ensino Fundamental – PNLD/2008) estabelece os critérios

para que as coleções possam participar do PNLD. Neste mesmo anexo também são

45

especificados os critérios para a avaliação dos livros didáticos (BRASÍLIA, 2006g). Os

critérios são divididos em comuns e específicos. Os critérios comuns são de duas naturezas:

eliminatórios e de qualificação.

Quanto aos critérios eliminatórios, as coleções devem observar todos os três critérios:

1. Correção dos conceitos e informações básicas. Uma coleção didática não poderá

apresentar de modo errado conceitos, imagens e informações fundamentais das

disciplinas científicas em que se baseia, nem utilizar de modo errado esses conceitos e

informações em exercícios, atividades ou imagens, induzindo o aluno a uma equivocada

apreensão de conceitos, noções ou procedimentos.

2. Coerência e adequação metodológicas. Considera-se fundamental que a coleção didática

explicite a fundamentação teórico-metodológica em que se baseia; apresente coerência

entre a fundamentação teórico-metodológica explicitada e aquela de fato concretizada

pela proposta pedagógica, indicando a articulação entre os modelos didático-

metodológico, caso o livro didático recorra a mais de um modelo; apresente uma

articulação pedagógica entre os diferentes volumes que a integram; contribua para o

desenvolvimento de capacidades básicas do pensamento autônomo e crítico (como a

compreensão, memorização, análise, síntese, formulação de hipóteses, planejamento e

argumentação), adequadas ao aprendizado de diferentes objetos de conhecimento e a seu

uso social e contribua também para a percepção das relações entre o conhecimento e suas

funções na sociedade e na vida prática.

3. Observância aos preceitos legais e jurídicos (Constituição Federal, Estatuto da Criança e

do Adolescente, Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, Lei nº 10.639/2003,

Diretrizes Nacionais do Ensino Fundamental, Resoluções e Pareceres do Conselho

Nacional de Educação, em especial, o Parecer CEB nº15/2000 de 04/07/2000, o Parecer

CNE/CP nº 003/2004 de 10/03/2004 e Resolução nº 1 de 17 de junho de 2004).

Quanto aos critérios de qualificação, espera-se que os livros didáticos abordem a

construção de uma sociedade cidadã; apresentem um manual do professor com orientações e

explicitação dos pressupostos teórico-metodológicos; apresentem uma estrutura e aspectos

gráfico-editoriais compatíveis com o nível de escolaridade e que as ilustrações e demais

recursos auxiliem na compreensão do conteúdo (BRASÍLIA, 2006g, p.32-33).

Os critérios para avaliação dos livros de Matemática são baseados nos objetivos de

preparar o cidadão para atuar na sociedade e para prosseguir seus estudos. Assim, deve-se

perguntar como o livro didático “prepara o aluno para utilizar a Matemática de maneira viva

46

no seu dia-a-dia, para fazer estimativas e previsões, ler, interpretar e organizar dados, tomar

decisões baseado em dados quantitativos incompletos, ser capaz de globalizar processos e

situações” (BRASÍLIA, 2006g, p.58). Portanto, os critérios específicos da Matemática são

(BRASÍLIA, 2006g, p.60-63):

• Correção dos conceitos e informações básicas, enfatizando que a construção de conceitos

errados ou que induza a erros é extremamente danosa para o aprendizado futuro. Como o

conteúdo é muitas vezes abstrato, é mister ter cuidado, por exemplo, com a diferença

entre a definição e a representação gráfica ou visual do conceito.

• Adequação didático-metodológica das coleções, de modo que o livro possa contribuir

para estimular o conhecimento do aluno, introduzir o conhecimento novo, favorecer suas

habilidades, estimular o desenvolvimento de competências mais complexas e favorecer a

integração dos novos conhecimentos e habilidades desenvolvidas.

• Construção da cidadania, evitando conteúdos preconceituosos, tendenciosos ou

propagandísticos, estimulando o convívio social e a tolerância e promovendo o

desenvolvimento do pensamento crítico e da capacidade de argumentar.

Buscamos ainda, referências de outros autores. Lamentavelmente, não localizamos

nenhum estudo dedicado à análise de livros didáticos que focalizassem a Matemática

Financeira, porém, pudemos levantar elementos interessantes para a constituição de nossa

própria metodologia.

Angelim (2002), em uma comunicação científica na qual aborda o ensino de funções

nos livros didáticos, utilizou os seguintes critérios de análise:

a) A forma em que o livro definia função;

b) Como cada família de função era introduzida;

c) Como cada família de função era caracterizada;

d) Como o livro relacionava as diferentes famílias de função;

e) As representações utilizadas;

f) Subconceitos utilizados (taxa de variação, periodicidade, monotonicidade, conjunto

imagem, vértices, domínio).

Santos (2002), em seu estudo sobre a abordagem de semelhança de triângulos nos

livros didáticos de Matemática recomendados pelo MEC, estabelece as seguintes categorias

de análise:

47

• Detectação dos aspectos positivos e negativos da abordagem de semelhança de triângulos

nos livros analisados, tomando como referência, para o tópico em questão, os objetivos

recomendados pelos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática;

• Focalização da pertinência metodológica nas abordagens do conceito de triângulos

semelhantes, no que diz respeito à evolução gradual de tal conceito, verificando a

adequação e a relação das abordagens com outros conceitos matemáticos antecessores e

posteriores cognitivamente interligados, utilizando para isto o mapeamento conceitual,

que parte da aprendizagem significativa.

O catálogo do Programa Nacional do Livro de Matemática para o Ensino Médio

PNLEM/2005, editado pela Secretaria de Educação Básica, em parceria com o Fundo

Nacional de Desenvolvimento da Educação – FNDE, contém a resenha de onze obras que

serão avaliadas pelos professores das escolas da rede pública brasileira. Traz também os

critérios utilizados na análise dos livros. Como critérios comuns, o livro didático precisa

atender às três exigências: correção das informações, conceitos e procedimentos que

integram o componente curricular; adequação de sua proposta didático-pedagógica em

relação à situação de ensino-aprendizagem e aos objetivos visados; sintonia com a legislação

e os demais instrumentos oficiais que regulamentam e orientam a Educação Nacional

(BRASÍLIA, 2004, p.10-12). Também apresenta os mesmos critérios comuns eliminatórios

do edital de inscrição de livros para o PNLD/2008 supracitado.

Quanto aos critérios específicos para avaliação do livro didático de Matemática, o

documento apresenta os seguintes: seleção, distribuição e abordagem dos conteúdos;

diversidade de enfoques e de representações; articulação entre os campos matemáticos;

contextualização; metodologia de ensino-aprendizagem; atividades propostas; linguagem

utilizada; construção da cidadania; manual pedagógico no livro do professor. É dedicado um

anexo para os critérios específicos (BRASÍLIA, 2004, p.71-82), onde são apresentados os

aspectos metodológicos referentes à seleção, distribuição e articulação dos conteúdos, indo

de encontro aos objetivos do Ensino Médio.

Analisando os critérios de avaliação dos diferentes autores, percebemos que, de

maneira geral, a grande maioria se baseou nos critérios básicos e específicos estabelecidos

pela Secretaria de Educação Básica do Ministério da Educação. Podemos afirmar que os

autores seguem basicamente os critérios oficiais. Cremos que isto é bastante razoável, visto

que no Brasil a educação é regulada pelo MEC, que, além disso, compra e distribui os livros

48

didáticos a ser adotados nas escolas públicas. E dificilmente alguém iria contra os critérios

de avaliação do maior comprador de livros do mundo.

A sociedade ocidental tem caminhado para um mesmo pensamento globalizado e,

com isso, exige a formação de pessoas cada vez mais competitivas e autodidatas, que possam

atuar de maneira pró-ativa na sociedade em que vivem e na empresa onde trabalham, a fim

de que possam aprender a aprender e a solucionar quaisquer problemas que surgirem, pois

atualmente a competição empresarial é mundial. Também há uma tendência nos escritos de

educadores contemporâneos de se trabalhar com resolução de problemas e com a articulação

entre os campos do saber. Uma forte evidência desta nova sociedade é o surgimento de

vários cursos multidisciplinares, como Turismo, Economia, Administração, Engenharia

Mecatrônica, Engenharia Ambiental e outros, que ministram disciplinas de vários cursos,

formando um profissional mais eclético.

A partir da análise de todo o anteriormente exposto, optamos pelos seguintes critérios

de análise:

1. apresentação dos conceitos e informações básicas;

2. seleção, distribuição e abordagem dos conteúdos;

3. diversidade de enfoques e de representações;

4. linguagem utilizada;

5. coerência e adequação metodológicas;

6. articulação com outros campos matemáticos;

7. contextualização;

8. natureza dos exercícios e atividades propostas;

9. contribuição para a construção da cidadania.

2.3. Livros didáticos adotados em Ouro Branco

Decidimos analisar alguns dos livros didáticos de Matemática adotados no ano letivo

de 2006 no município de Ouro Branco (MG). A escolha da cidade deveu-se a três motivos:

residimos nela há vinte anos e realizamos nessa cidade a maior parte de nosso estágio de

observação e regência, bem como uma experiência docente no Ensino Médio durante a

graduação.

Inicialmente, pesquisamos na lista de assinantes e nas páginas amarelas do catálogo

telefônico da cidade, fazendo um levantamento prévio das escolas do município. A seguir,

consultamos três amigos professores que lecionam em escolas públicas e privadas para saber

49

se ainda faltavam escolas. Fizemos também uma consulta à Secretaria Municipal de

Educação da cidade para completarmos a nossa lista. Consultamos também a Revista da

Cidade, almanaque publicado anualmente pelo comércio local e que traz a relação das

escolas do município.

Com a relação e o telefone das escolas do município, fizemos contato telefônico e

eliminamos as que não eram alvo de nossa pesquisa. Algumas oferecem somente a Educação

Infantil ou as quatro primeiras séries do Ensino Fundamental. São elas: Escola Estadual de

Educação Especial Maria Corrêa Coutinho (Bairro Siderurgia); Escola Municipal Fernando

Félix de Sousa (Bairro São Francisco); Escola Municipal Maria Auxiliadora Torres (Centro);

Escola Municipal Maria Zita dos Santos (Bairro Luzia Augusta); Escola Municipal José

Estêvão Batista (Bairro Alto Chalé); Escola Municipal José Francisco Nogueira (Bairro 1º de

Maio); Escola Municipal Geraldo Marino Vieira (Bairro Belvedere); SESIMINAS C.A.T.

João Franzen de Lima (Bairro 1º de Maio); Centro Educacional Construindo o Futuro –

CECOF (Bairro Siderurgia); Escola Infantil Pequeno Aprendiz (Bairro Siderurgia) e Centro

Educacional Monteiro Lobato – CEMOL (centro da cidade). A APAE – Associação de Pais

e Amigos dos Excepcionais (Bairro Siderurgia), oferece a alunos considerados excepcionais

ensino diferenciado do regular, equivalente aos dois primeiros ciclos do Ensino

Fundamental, portanto também não foi considerada em nossa pesquisa.

Após esta eliminação, conseguimos estabelecer o universo das escolas que mantêm

os terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental e o Ensino Médio – alvo de nossa

pesquisa. O quadro abaixo lista o nome, telefone e o nome conhecido (nome que identifica a

escola e que será utilizado no decorrer deste trabalho) deste universo.

Nome da Escola Nome conhecido Telefone Centro Estadual Educação Continuada José Brás dos Reis CESEC 3741-1085 Colégio Arquidiocesano de Ouro Branco Arquidiocesano 3742-1094 Colégio Batista Mineiro Batista 3742-1142 Colégio Carlos Drummond de Andrade Carlos 3742-2642 Colégio Municipal Pio XII Pio XII 3741-1014 COOPPED (Cooperativa de Ensino) COOPPED 3742-2066 Escola Estadual Antônio Sérvulo Torres Sérvulo 3742-1108 Escola Estadual Cônego Luiz Vieira da Silva Cônego 3741-1571 Escola Estadual Iracema de Almeida Iracema 3742-1071 Escola Estadual Levindo Costa Carvalho Levindo 3741-0201 Escola Municipal João XXIII João XXIII 3749-6067 Escola Municipal Livremente Livremente 3742-0012 Escola Municipal Osvaldo Cruz Osvaldo 3754-0083 Escola Municipal Raymundo Campos Raymundo 3769-9022

50

As escolas João XXIII, Raymundo (povoado de Olaria), Osvaldo (povoado de

Castiliano) e Sérvulo oferecem apenas Ensino Fundamental. A escola Livremente está

oferecendo as cinco primeiras séries do Ensino Fundamental. Em 2007, oferecerá a 6ª série e

assim sucessivamente até chegar à 8ª. O Centro Estadual de Educação Continuada ‘José Brás

dos Reis’ – CESEC – é uma unidade de Ensino Supletivo da Educação Básica. Não adota

livros didáticos em virtude do caráter não regular e volátil do ensino oferecido. São

utilizadas apostilas que contêm, resumidamente, o conteúdo de cada série, desde a 5ª série do

Ensino Fundamental até a 3ª série do Ensino Médio.

A partir do contato telefônico, estabelecemos relacionamentos bastante amistosos

com as escolas devido ao objetivo de nossa pesquisa. Também contamos, neste trabalho,

com a valiosa colaboração de nossa esposa e primogênito, que percorreram as escolas,

identificando-se como nossos familiares e registrando as listas de livros adotados por cada

uma neste ano letivo. Elaboramos dois quadros dos livros adotados. Uma lista todos os livros

de 5ª a 8ª séries do Ensino Fundamental.

Ensino Fundamental (5ª a 8ª séries)

Escola Livro Autores Editora Edição Arquidiocesano

Tudo é Matemática Luiz Roberto Dante Ática 2ª

Batista Matemática Edwaldo Bianchini Moderna Nova Carlos Apostilas Positivo Sistema Positivo - Santa Catarina CESEC Apostilas de cada série Secretaria Estadual de Educação Cônego Praticando Matemática Álvaro Andrini & Maria José

Vasconcellos do Brasil 1ª

COOPPED Apostilas do Colégio Promove

Sistema Promove de Ensino

Iracema A Conquista da Matemática Nova

Giovanni & Castrucci & Giovanni Jr. FTD 1ª

João XXIII Matemática e Realidade Gelson Iezzi & Osvaldo Dolce & Antonio Machado

Atual 4ª Reformulada

Levindo Matemática e Realidade Gelson Iezzi & Osvaldo Dolce & Antonio Machado

Atual 4ª Reformulada

Livremente Tudo é Matemática Luiz Roberto Dante Ática 2ª Osvaldo Matemática e Realidade Gelson Iezzi & Osvaldo Dolce &

Antonio Machado Atual 4ª

Reformulada Pio XII Matemática e Realidade Gelson Iezzi & Osvaldo Dolce &

Antonio Machado Atual 4ª

Reformulada Raymundo Matemática e Realidade Gelson Iezzi & Osvaldo Dolce &

Antonio Machado Atual 4ª

Reformulada Sérvulo Matemática e Realidade Gelson Iezzi & Osvaldo Dolce &

Antonio Machado Atual 4ª

Reformulada

51

O quadro seguinte, apresenta o universo dos livros adotados referentes às três séries

do Ensino Médio.

Ensino Médio (1ª a 3ª séries)

Escola Livro Autores Editora Edição Arquidiocesano Matemática - Uma nova

abordagem - Vol. 1, 2 e 3 José Rui Giovanni & José Roberto Bonjorno

FTD

Batista (1ª e 2ª) Matemática - Vol. I e II Gelson Iezzi e outros Atual Nova Batista (3ª) Apostila própria Colégio Batista Mineiro Carlos Apostilas Positivo Sistema Positivo - Santa Catarina CESEC Apostilas de cada série Secretaria Estadual de Educação Cônego Matemática: Aula por aula Benigno Barreto Filho & Cláudio

Xavier da Silva FTD

COOPPED Apostilas do Colégio Promove

Sistema Promove de Ensino

Iracema Matemática - volume único Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn & Roberto Périgo

Atual 4ª reimpressão

Levindo Matemática: Aula por aula Benigno Barreto Filho & Cláudio Xavier da Silva

FTD

Fazendo a soma das coleções de livros didáticos utilizados pelas escolas do Ensino

Fundamental, considerando cada título, elaboramos o seguinte quadro por ordem decrescente

de número de escolas que adotam cada obra:

Livro - Ensino Fundamental Quantidade de escolas Matemática e Realidade 6

Tudo é Matemática 2 Praticando Matemática 1

Matemática 1 A Conquista da Matemática Nova 1

De maneira análoga, construímos o quadro a seguir, com as coleções de livros

didáticos mais utilizados pelas escolas de Ensino Médio:

Livro - Ensino Médio Quantidade de escolas Matemática: Aula por Aula 2 Matemática – volume único 1

Matemática – vol. I e II 1 Matemática – Uma nova abordagem – Vol. I, II e III 1

O quadro a seguir traz a lista completa dos livros didáticos utilizados na Educação

Básica nas escolas de Ouro Branco, por ordem decrescente de quantidade de escolas,

considerando cada título:

52

Livro Autor(es) Edição Escolas Matemática e Realidade Gelson Iezzi & Osvaldo Dolce & Antonio Machado 2000 6 Matemática: Aula por Aula Benigno Barreto Filho & Cláudio Xavier da Silva 2000 2 Tudo é Matemática Luiz Roberto Dante 2004 2 Matemática – volume único Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn,

Roberto Périgo 2004 1

Praticando Matemática Álvaro Andrini & Maria José Vasconcellos 1 Matemática Edwaldo Bianchini 1 Matemática – vol. I e II Gelson Iezzi e outros 1 A Conquista da Matemática A + Nova

Giovanni & Castrucci & Giovanni Jr. 1

Matemática – Uma nova abordagem – Vol. I, II e III

José Rui Giovanni & José Roberto Bonjorno 1

Em virtude da exigüidade de tempo para conclusão desta pesquisa, decidimos

analisar as duas coleções mais utilizadas por cada nível de ensino. No Ensino Médio, um

título foi adotado por duas escolas e três títulos foram utilizados por apenas uma escola. Dos

três, optamos pela obra de mais fácil acesso para análise. Deste modo, chegamos ao seguinte

quadro:

Coleção (grau de ensino) Autor(es) Matemática e Realidade (Fundamental) Gelson Iezzi & Osvaldo Dolce & Antonio Machado Tudo é Matemática (Fundamental) Luiz Roberto Dante Matemática: Aula por Aula (Médio) Benigno Barreto Filho & Cláudio Xavier da Silva Matemática – volume único (Médio) Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Périgo

A partir deste quadro, listamos as escolas onde são adotadas as coleções de livros

relacionadas e iniciamos o contato para obter um exemplar de cada obra. Telefonamos para

as escolas Cônego e João XXIII, que nos informaram não ter nenhum exemplar, pois ainda

não haviam chegado sequer os exemplares suficientes para todos os alunos. Conversamos

com o supervisor da escola Pio XII, que nos informou faltar livros para atender a uma

parcela de alunos. Disse-nos também que deve iniciar uma ‘peregrinação’ pelas escolas da

zona urbana da cidade a fim de tentar conseguir os exemplares que faltam.

Na escola Iracema, conversamos com a funcionária responsável pela biblioteca, que

pesquisou as coleções que necessitamos, encontrando a coleção ‘Tudo é Matemática’ (2004),

de Luiz Roberto Dante, de 5ª a 8ª séries, que nos foi emprestada para que pudéssemos

analisar.

Nosso primogênito está cursando o Ensino Médio na escola Iracema e possui o livro

‘Matemática – volume único’ (2004), de Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn &

Roberto Périgo, obtendo, assim, a segunda coleção.

53

O colégio Arquidiocesano nos disponibilizou sua biblioteca para que pudéssemos

pesquisar as obras, mas não foi possível o acesso devido a um mal entendido quanto ao

objetivo e o horário de nossa visita.

Visitamos a escola Levindo, onde lecionamos as disciplinas de Matemática e Física

para o então 2º grau no ano de 1995. Em conversa com a diretora, a secretária, a supervisora

do horário noturno e a responsável pela biblioteca, foi disponibilizada a biblioteca da escola

para que pudéssemos consultar os livros que buscávamos. Esta biblioteca tem um acervo de

livros considerável, comparada às das outras escolas públicas que tivemos acesso no

município. Segundo a diretora, as normas internas não permitem que sejam emprestadas as

obras para quem não tem vínculo com a escola. Lá encontramos as outras duas coleções que

necessitávamos: ‘Matemática Aula por aula’ (2000), de Benigno Barreto Filho & Claudio

Xavier da Silva, volume único do Ensino Médio e ‘Matemática e Realidade’ (2000), de

Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Antonio Machado, de 5ª a 8ª séries. Ambas foram adotadas

pela escola. Na ocasião, fomos apresentados aos professores de Matemática do turno

noturno. Em nossa primeira conversa com eles, comentamos sobre nossa monografia e

propósito na escola. Ambos nos parabenizaram pelo trabalho e colocaram-se à disposição

para nos ajudar.

Os professores externaram sua decepção com o desinteresse e a dificuldade

apresentados pelos alunos do Ensino Médio. Segundo eles, que tiveram e têm experiência na

rede privada de ensino, este fenômeno também se verifica em escolas privadas. Parece que

os alunos perderam a capacidade de raciocínio ou estão num processo letárgico de

desinteresse, desabafaram eles.

Quanto aos livros didáticos, um dos professores, que leciona há vinte e cinco anos,

disse ter adotado o livro ‘Tudo é Matemática’ em outra escola na qual trabalha. Disse estar

com dificuldades de utilizá-lo por se tratar de um livro bastante contextualizado, exigindo

um esforço prévio da parte do professor para ser bem utilizado. Em sua opinião, o livro

Matemática e Realidade, adotado pela grande maioria das escolas da cidade, é mais fácil de

se trabalhar.

Nas noites disponíveis, visitávamos a biblioteca da escola Levindo e analisávamos as

duas coleções disponibilizadas e, em casa, as outras duas coleções que obtivemos.

54

CAPÍTULO 3:

A MATEMÁTICA FINANCEIRA NOS LIVROS DIDÁTICOS DE

MATEMÁTICA

Passamos então à descrição e análise do tratamento dado aos conteúdos de

matemática Financeira nos livros analisados.

No quadro seguinte, apresentamos a lista de volumes analisados, com o título da

obra, seus autores e a série ou grau de ensino a que se destina:

Livro Autores Edição Série Matemática e Realidade Gelson Iezzi & Osvaldo Dolce & Antonio Machado 2000 5ª série Matemática e Realidade Gelson Iezzi & Osvaldo Dolce & Antonio Machado 2000 6ª série Matemática e Realidade Gelson Iezzi & Osvaldo Dolce & Antonio Machado 2000 7ª série Matemática e Realidade Gelson Iezzi & Osvaldo Dolce & Antonio Machado 2000 8ª série Tudo é Matemática Luiz Roberto Dante 2004 5ª série Tudo é Matemática Luiz Roberto Dante 2004 6ª série Tudo é Matemática Luiz Roberto Dante 2004 7ª série Tudo é Matemática Luiz Roberto Dante 2004 8ª série Matemática aula por aula Benigno Barreto Filho & Cláudio Xavier da Silva 2000 Médio Matemática volume único Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Périgo 2004 Médio

Transcrevemos os critérios de análise selecionados na seção 2.2: apresentação dos

conceitos e informações básicas; seleção, distribuição e abordagem dos conteúdos;

diversidade de enfoques e de representações; linguagem utilizada; coerência e adequação

metodológicas; articulação com outros campos matemáticos; contextualização; exercícios e

atividades propostas; construção da cidadania. A partir destes critérios, construímos os

seguintes critérios, divididos em quatro grupos, que nortearão nossa análise:

• Representações: apresenta figuras, fotos, tabelas, gráficos, informações contextualizadas

• Conteúdo de Matemática Financeira: tem capítulo ou seção específico; quantas páginas;

em que parte do livro (início, meio, final); contempla história do conteúdo matemático;

há erros ou indução a erros na abordagem do conteúdo; quais conteúdos de Matemática

Financeira são abordados; como é abordado (por exemplos, exercícios, texto descritivo,

fórmulas)

• Articulação com outros conteúdos: razão, proporção, regra de três, progressões,

logaritmo, função logarítmica, exponenciação, função exponencial e porcentagem

55

• Exercícios e atividades: quantidade, onde aparecem, aplicação direta de fórmulas ou do

conteúdo, contextualizados

Na análise dos livros, consideramos se o conteúdo específico de Matemática

Financeira (capital, montante, juros simples, juros compostos, regimes de capitalização,

taxa real de juros e inflação, empréstimos e aplicações financeiras) é abordado em capítulo

ou seção específicos. A seguir, verificamos se são tratados nos conteúdos articulados com a

Matemática Financeira. Nas próximas seções estão apresentadas a análise de cada coleção e

na seção 3.5 fazemos uma comparação entre as coleções analisadas.

A partir do PNLD 2005, as obras de 5ª a 8ª séries analisadas não são mais

acompanhadas de menções (Recomendada com Distinção, Recomendada e Recomendada

com Ressalva). São apresentadas, em ordem alfabética, as resenhas das obras aprovadas pela

equipe responsável pela análise.

O Governo de Minas Gerais, através da Secretaria de Estado da Educação, está

implantando o Programa ‘LIVRO NA ESCOLA – Mais Fácil Aprender, Mais Fácil Ensinar’.

“A meta é garantir que todos os alunos do ensino médio matriculados na rede pública

estadual e na rede municipal de Belo Horizonte e Betim tenham, já no início do ano letivo de

2005, os livros didáticos de Língua Portuguesa e Matemática” (MINAS GERAIS, 2006).

3.1. Análise da coleção ‘Matemática e Realidade’ (IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2000)

A coleção Matemática e Realidade (IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2000) é

composta por quatro livros destinados às quatro séries finais do Ensino Fundamental. Na

capa de cada um deles lê-se PNLD 2005 – FNDE – Ministério da Educação. Os anexos 1, 2,

3 e 4 relacionam os conteúdos abordados nestes livros. Iezzi e Dolce são autores conhecidos

de livros estudados por nós há mais de vinte anos. Na ocasião, os PCN eram diferentes dos

atuais e observamos que a abordagem atual é mais informal e atraente que no passado.

A coleção é bem ilustrada, trazendo ao longo de toda a obra várias figuras, desenhos

e fotos, bem como tabelas e gráficos extraídos de jornais e revistas de circulação nacional.

Toda esta ilustração torna mais agradável a leitura e o estudo, dando suporte ao texto e aos

exercícios, sendo sempre relacionada aos conteúdos e mostrando a realidade social, cultural

e econômica do mundo que rodeia os alunos.

Ao final de cada unidade de estudo, há duas seções interessantes: Matemática em

notícia e Matemática no tempo. ‘Matemática em notícia’ é a seção “em que a reprodução de

um texto de jornal ou revista ligado à Matemática procura deixar claro que o conhecimento

56

básico de Matemática é essencial para o acesso aos meios de comunicação” (IEZZI, DOLCE

e MACHADO, 2000, p.3). O texto procura mostrar a função utilitária da Matemática como

ferramenta indispensável à vida em sociedade. ‘Matemática no tempo’ é a seção “em que o

leitor entra em contato com a história das descobertas” (IEZZI, DOLCE e MACHADO,

2000, p.3). Traz um pouco da história de um conteúdo matemático tratado naquela unidade.

Estas duas seções visam estimular os alunos a ter gosto pela Matemática e ajudar os

professores na árdua tarefa do ensino-aprendizagem. Nas seções que lemos, percebemos uma

linguagem acessível aos alunos e uma ótima oportunidade de desenvolver nos alunos a

curiosidade e o espírito investigativo.

Quanto ao conhecimento específico, somente o livro da 6ª série trata de Juro simples

em seu penúltimo capítulo (o de nº 27, da unidade 7 – Aritmética aplicada). Em 7 páginas

ilustradas, são definidos, a partir de exemplos, o que é juro, o que é taxa e como calcular o

juro, o capital, a taxa e o tempo (ou prazo). É apresentada a fórmula do juro simples (j =

c.i.t/100) a partir de uma regra de três composta de variáveis capital, tempo e juro. São dados

seis exemplos para se calcular juro, capital, taxa e tempo. São propostos 23 exercícios neste

capítulo, sendo: seis com cálculo do juro; seis para cálculo do montante (capital + juro);

quatro para calcular juro e montante; seis para calcular capital; cinco calculando taxa e seis

calculando o tempo. Os primeiros exercícios são de aplicação direta do conhecimento.

Progressivamente aparecem exercícios onde o tempo e a taxa estão em unidades diferentes e

necessitam ser convertidos. Alguns exercícios tratam de empréstimos bancários, outros de

aplicações em poupança e outras aplicações bancárias, enquanto um compara juros

produzidos por capitais distintos em aplicações diferentes. A venda parcelada com juros para

se calcular o total pago também é abordada.

A seção Matemática no tempo (da unidade 7) conta a história dos juros, tratando da

etimologia da palavra, da história do símbolo de porcentagem (%), da tentativa dos governos

de regular os juros cobrados e das taxas praticadas no decurso da história européia, em sua

grande maioria. Ao final, são apresentadas três perguntas para reflexão sobre o texto.

Encontramos conteúdos relacionados com Matemática Financeira em todos os quatro

volumes da coleção. Porcentagem é o principal tema abordado, estando presente em diversos

exercícios e em todos os volumes.

No livro da 5ª série: no capítulo 20 (O que é fração e numeral decimal) há dez

exercícios relacionando frações com porcentagem e abordando gastos em forma percentual;

no capítulo 21 (Operações com decimais) há um exercício sobre desconto percentual na

57

compra de um produto, três sobre porcentagem de quantidades não financeiras, dois sobre

aumento percentual de preço e um sobre porcentagem do preço do produto como entrada na

compra; no capítulo 29 (Noções de estatística) há dezesseis exercícios sobre porcentagem de

quantidades não financeiras.

No livro da 6ª série: no capítulo 15 (Média aritmética e porcentagem) há dezoito

exercícios sobre porcentagem de quantidades não financeiras, sete sobre porcentagem de

aumento de preço de produto / aluguel / salário, cinco sobre desconto percentual sobre preço

de produto / salário e um sobre porcentagem do preço do produto como entrada na compra;

no capítulo 16 (Potência de expoente natural) há um exercício sobre porcentagem de

quantidades não financeiras; no capítulo 24 (Razões) há dois exercícios sobre razão

transformada em porcentagem; no capítulo 28 (Gráficos) há dezessete exercícios sobre

porcentagem de quantidades não financeiras.

No livro da 7ª série: no capítulo 2 (Os números reais e a reta) há dois exercícios

sobre porcentagem de quantidades não financeiras; no capítulo 4 (Raiz quadrada) há um

exercício sobre porcentagem de quantidades não financeiras; no capítulo 13 (Medidas

estatísticas) há oito exercícios sobre porcentagem de quantidades não financeiras; no

capítulo 15 (Operações com polinômios) há um exercício sobre percentual de lucro na venda

de um produto e dois sobre aumento percentual de salário; no capítulo 17 (Fatoração de

polinômios) há um exercício sobre percentual de quantidades não financeiras; no capítulo 19

(Propriedades dos quadriláteros notáveis) há um exercício sobre porcentagem de

quantidades não financeiras; no capítulo 21 (Sistemas de equações) há um exercício sobre

porcentagem de aumento de preço de um produto; no final do capítulo 22 (Inequações do 1º

grau) há um exercício para calcular juros de acordo com uma tabela com número de

prestações e taxa mensal de juros, seguida de uma explicação de como utilizá-la; no capítulo

30 (Ângulo de segmento) há um exercício sobre porcentagem de quantidades não financeiras.

No livro da 8ª série: no capítulo 4 (Operações com radicais) há um exercício sobre

porcentagem de quantidades não financeiras; no capítulo 6 (Fatoração) há um exercício

sobre porcentagem de aumento no orçamento da saúde e porcentagem dos gastos do governo

federal; no capítulo 14 (Razões trigonométricas no triângulo retângulo) há um exercício

sobre porcentagem de quantidades não financeiras; no capítulo 15 (Noções de estatística) há

quinze exercícios sobre porcentagem de quantidades não financeiras; no capítulo 16

(Contagem e probabilidade) há cinco exercícios sobre porcentagem de quantidades não

financeiras; no capítulo 22 (Área do círculo e de suas partes) há quatro exercícios sobre

58

porcentagem de área em um total demarcado; no capítulo 26 (Inequações) há um exercício

sobre porcentagem de desconto sobre produto e dois sobre porcentagem de quantidades não

financeiras; no capítulo 29 (Teorema das bissetrizes) há um exercício sobre porcentagem de

quantidades não financeiras.

3.2. Análise da coleção ‘Tudo é Matemática’ (DANTE, 2004)

A coleção Tudo é Matemática (DANTE, 2004) é composta dos quatro livros

destinados às quatro séries finais do Ensino Fundamental. Na capa de cada livro lê-se: PNLD

2005 – FNDE – Ministério da Educação. Nos anexos 5, 6, 7 e 8 estão relacionados os

conteúdos abordados nos livros desta coleção.

Os livros desta coleção são bastante ilustrados. Traz ao longo dos quatro volumes

várias figuras, desenhos, fotos, tabelas e gráficos extraídos de jornais e revistas de circulação

nacional. A ilustração torna agradável a leitura e o estudo, dando suporte ao texto e aos

exercícios, além de mostrar a realidade social, cultural e econômica do mundo em torno dos

alunos. Um recurso interessante é o uso de desenhos de adolescentes ao longo da descrição

dos conteúdos. São de ambos os sexos e aparecem com balõezinhos respondendo alguma

pergunta feita no texto ou fazendo alguma observação pertinente. O autor também utiliza, ao

longo do texto, algumas chamadas. Uma delas, denominada você sabia que..., traz alguma

curiosidade sobre o assunto abordado, apresentando em seguida uma reportagem ou foto

retirada de algum jornal ou revista. Outra chamada é intitulada de trocando idéias,

incentivando o aluno a trocar idéias com os colegas acerca de algum conteúdo que necessita

de uma maior atenção para não ser confundido ou mal entendido. Após o último capítulo

existe um glossário, semelhante a um índice remissivo, com indicação da página onde se

encontram os termos e palavras ali contidas. Nas respostas dos exercícios, no final de cada

volume, o autor sugere que o aluno examine se seu raciocínio foi correto e se sua resposta foi

razoável antes de conferir na lista de respostas. Sugere, ainda, que se o aluno estiver errado,

ele deve refazer o exercício a fim de tentar descobrir por si mesmo onde errou. Antes da

bibliografia, há uma lista de leituras complementares, onde são sugeridas ao aluno coleções

paradidáticas e outros livros interessantes para que ele possa habituar a ler, aprender e gostar

mais da Matemática. O glossário representa um grande auxílio para o aluno que, muitas

vezes, não conhece a seqüência dos assuntos e pode localizá-lo com facilidade através da

palavra ou termo que necessita. A recomendação no início da seção de respostas, as

59

chamadas para trocar idéias e para atentar às curiosidades são recursos pedagógicos

importantes para despertar interesse no aluno por folhear seu livro. Isso contribui para que os

futuros cientistas e professores sejam descobertos o quanto antes.

Na apresentação de cada volume, o autor convida o aluno “a pensar, a resolver

problemas e desafios, a trocar idéias com os colegas, a observar ao seu redor, a ler sobre a

evolução histórica da Matemática, a trabalhar em equipe, a conhecer curiosidades, a brincar,

a pesquisar, a argumentar, a redigir e a divertir-se” (DANTE, 2004, p.3). Neste convite, o

autor cita os valores do ensino-aprendizagem preconizados pelos PCN.

Ao final de cada capítulo, há seções interessantes: revendo o que aprendemos, que

traz exercícios sobre o conteúdo estudado; projeto em equipe, que apresenta um tema,

propõe um título, indica o conteúdo matemático a ser desenvolvido e dá algumas dicas de

como os alunos, em grupo de quatro, vão realizar este projeto, a ser apresentado em sala para

os demais colegas; redação – escrevendo sobre o capítulo, onde o aluno é convidado a

escrever uma redação sobre o que gostou ou não, a utilidade do que aprendeu em outras

disciplinas ou no dia-a-dia ou sobre algum conteúdo estudado; revisão cumulativa, que traz

exercícios envolvendo assuntos vistos até aquela ocasião; para ler, pensar e divertir-se, que

traz um pouco de história da Matemática, algum texto mostrando sua utilidade no dia-a-dia,

um texto ou exercício diferente que faça o aluno pensar e uma matéria engraçada envolvendo

algum conteúdo matemático. Estas seções contribuem para estimular os alunos a ter gosto

pela Matemática e ajudar seus professores na árdua tarefa de ensino-aprendizagem. A

linguagem é acessível aos alunos e se apresenta como uma ótima oportunidade de

desenvolver nos alunos a curiosidade, o espírito investigativo e melhorar sua leitura e escrita.

Somente o livro da 8ª série trata do conteúdo específico em seu último capítulo (de nº

10 – Matemática financeira). Em 11 páginas ilustradas com propagandas de produtos,

tabelas, gráfico de setores e intercaladas por exercícios, é introduzido o conceito de juros e

taxa de juros, como sendo o custo por contrairmos um empréstimo no banco ou o pagamento

que a pessoa recebe do banco pelo dinheiro que aplica. São revistos, através de exemplos, o

conceito de razão, proporção e porcentagem. São apresentados dezesseis exercícios, sendo

treze sobre desconto ou acréscimo percentual, um sobre porcentagem de quantidades não

financeiras, um sobre queda e aumento percentual na cotação de ações e um sobre a

comissão percentual na venda de produtos. Também através de exemplo, é explicada a regra

de sociedade, onde os sócios de um negócio têm participação diferentes e o lucro é dividido

proporcionalmente. Seis exercícios são apresentados, versando cinco sobre divisão de lucro

60

ou saldo em partes proporcionais e um sobre desconto sobre o preço de certa mercadoria. É

apresentada uma oficina de Matemática para os alunos aprenderem a operar com a tecla %

das calculadoras comuns, sugerindo quatro cálculos de porcentagem a ser feitos com

calculadora. Através de um problema, é apresentado o cálculo de juros simples e de juros

compostos, calculando-se o montante ao final do período em cada sistema de juros, porém,

sem a utilização ou menção de fórmula ou equação. Dos sete exercícios apresentados, um

define capital, tempo, taxa de juros, juros e montante, três propõem comparações entre juros

simples e compostos, dois trata, de juros simples e um calcula o imposto de renda devido por

contribuinte. A maioria dos exercícios são de aplicação direta do conhecimento, outros

definem parte do conteúdo, quase não se exigindo outros conhecimentos. Eles também

tratam de aplicações bancárias e empréstimos. Revendo o que aprendemos apresenta cinco

exercícios, sendo um sobre desconto em produtos, um sobre divisão diretamente

proporcional de uma quantia recebida de parentes, um sobre reajuste de preço de um

produto, um sobre capital aplicado a juros simples e um comparando o sistema de juros

simples com o de juros compostos. O projeto em equipe sugere que os alunos façam um

trabalho envolvendo os assuntos estudados no capítulo, procurem em jornais ou revistas

informações e gráficos sobre o assunto e pesquisem sobre impostos como o ICMS, CPMF,

IOF e IPVA. Na Revisão cumulativa são apresentados dois exercícios, um sobre aumento e

desconto sucessivo sobre o mesmo produto e outro sobre reajustes sucessivos sobre salário.

Os conteúdos relacionados com a Matemática Financeira são encontrados em todos

os volumes da coleção. Porcentagem é o principal tema abordado, estando presente em

diversos exercícios de todos os volumes.

No livro da 5ª série: no capítulo 6 (Frações e porcentagens) há vinte e cinco

exercícios sobre porcentagem de quantidades não financeiras, dois sobre desconto percentual

sobre preço de um bem e um sobre acréscimo percentual por parcelamento de compra de um

bem; no capítulo 7 (Possibilidades e probabilidades) há treze exercícios sobre porcentagem

de quantidades não financeiras; no capítulo 9 (Números decimais) há cinco exercícios sobre

porcentagem de quantidades não financeiras; no capítulo 11 (Potenciação e expressões

numéricas) há dois exercícios sobre porcentagem de quantidades não financeiras; no capítulo

13 (Estatística) há dez exercícios sobre porcentagem de quantidades não financeiras e um

sobre gastos percentuais pessoais; no glossário há um exemplo de porcentagem de

quantidades não financeiras.

61

No livro da 6ª série: no capítulo 3 (Frações e decimais) há quinze exercícios; no

capítulo 4 (Grandezas e medidas) há um exercício; no capítulo 6 (Ângulos, polígonos e

circunferência) há um exercício; no capítulo 8 (Proporcionalidade) há oito exercícios; no

capítulo 9 (Perímetros, áreas e volumes) há um exercício; no capítulo 10 (Construções

geométricas e simetria) há um exercício; no glossário há um exemplo de porcentagem.

Todos os exercícios deste volume são sobre porcentagem sobre quantidades não financeiras.

No livro da 7ª série: no capítulo 1 (Números e aplicações) há dez exercícios sobre

porcentagem de quantidades não financeiras; no capítulo 2 (Divisibilidade e frações) há um

exercício sobre porcentagem de quantidades não financeiras; no capítulo 3 (Representação

de formas geométricas espaciais no plano) há um exercício sobre porcentagem de

quantidades não financeiras; no capítulo 4 (Estudo de potências e raízes) há um exercício

sobre porcentagem de quantidades não financeiras e um sobre taxa de juros cobrada em um

empréstimo; no capítulo 6 (Propriedades de figuras geométricas) há um exercício sobre

aumento e desconto percentual no preço de um produto; no capítulo 9 (Sistemas de equações

do 1º grau) há um exercício sobre porcentagem de quantidades não financeiras; no capítulo

10 (Perímetros, áreas e volumes) há um exercício sobre porcentagem de quantidades não

financeiras e um sobre aumento percentual do preço do ouro e do dólar; no capítulo 11

(Estatística) há diversos gráficos e ilustrações com informações percentuais sobre diversas

situações da sociedade, vinte e cinco exercícios sobre porcentagem relativa a freqüência

relativa percentual; no capítulo 12 (Construções geométricas) há um exercício sobre

porcentagem de quantidades não financeiras.

No livro da 8ª série: no capítulo 3 (Semelhança) há dois exercícios sobre acréscimo

percentual no valor de remuneração; no capítulo 6 (Probabilidade e Estatística: tratando

informações) há trinta e um exercícios sobre porcentagem de quantidades não financeiras; no

capítulo 7 (Explorando a idéia de função) há um exercício sobre porcentagem de

quantidades não financeiras, um sobre lucro na venda de certa mercadoria; no capítulo 8

(Circunferências e círculos) há um exercício sobre porcentagem de quantidades não

financeiras; no capítulo 9 (Perímetros, áreas e volumes) há dois exercícios sobre

porcentagem de quantidades não financeiras.

62

3.3. Análise do livro ‘Matemática aula por aula’ (BARRETO FILHO e SILVA, 2000)

O livro Matemática aula por aula (BARRETO FILHO e SILVA, 2000) traz em um

único volume o conteúdo de Matemática para as três séries do Ensino Médio. Em sua capa

há um quadro onde se lê PROGRAMA LIVRO NA ESCOLA 2005 – GOVERNO DO

ESTADO DE MINAS GERAIS. O anexo 9 traz os conteúdos abordados neste livro.

A apresentação cita o pensamento de Paulo Freire que diz: “a educação é um ato de

amor” (BARRETO FILHO e SILVA, 2000, p.3). Afirma manter o rigor matemático na obra

e diz ser o professor o elo de ligação entre o conhecimento adquirido pela vivência do aluno

e as informações sistematizadas para aprofundar conhecimentos. Antes do sumário, há uma

seção intitulada Como este volume está organizado. É composto de unidades com os itens:

desenvolvimento teórico, que apresenta linguagem simples e objetiva, exemplos, evitando o

formalismo precoce, sem faltar o rigor matemático; exercícios resolvidos, que esclarecem

dúvidas e dificuldades sobre aplicação do assunto em estudo; exercícios propostos, que dão

oportunidade de fixar o conteúdo e de aprimorar a criatividade, na busca de soluções; ficha-

resumo, que constitui uma fonte de pesquisa prática e rápida, destaca principais conclusões

do desenvolvimento da unidade; exercícios complementares, que revêem o conteúdo

estudado e apresentam questões de vestibulares; saiba um pouco mais, que traz artigos

relacionando o assunto em estudo com a nossa vida (BARRETO FILHO e SILVA, 2000,

p.4-5). As ilustrações quase se limitam à seção Saiba um pouco mais, no final de cada

unidade. São raras ao longo da obra. A história do tema não é abordada.

Matemática Financeira é o último conteúdo apresentado, constando da segunda parte

da última unidade apresentada. São dedicadas 13 páginas ao tema. Na introdução do

conteúdo os autores dizem “que é importante termos noções sobre esse estudo matemático

para melhor compreender os mecanismos das operações financeiras” (BARRETO FILHO e

SILVA, 2000, p.633). Porcentagem é abordada em um texto que explica o uso do símbolo

“%”, fazendo relação com fração centesimal. São dados quatro exemplos sobre esta relação.

Apresenta dois exercícios resolvidos que calculam porcentagem sobre quantidades não

financeiras. Propõe oito exercícios, sendo um para cálculo de porcentagem sobre um valor

monetário, um que calcula aumento e redução percentual de salário e os demais calculam

porcentagem sobre quantidades não financeiras. Lucro é definido em forma de texto a partir

de sua possibilidade em uma transação comercial. Explica a fórmula L = V – C, onde V > C

(Lucro = valor de venda – valor de custo ou inicial) em um exemplo. Define taxa percentual

63

de lucro iL = (L . 100%) / C em relação ao preço de custo e iL = (L . 100%) / V em relação ao

valor de venda. Apresenta cinco exercícios resolvidos, sendo quatro para calcular taxa

percentual de lucro, valor de custo ou valor de venda e um para se comparar duas propostas

de lucro sobre preço de custo e de venda. Propõe sete exercícios, sendo um para calcular taxa

de lucro, um para calcular preço de custo, um para calcular o aumento de preço de

mercadoria, um para calcular custo por exemplar de livro considerando os gastos com a

publicação, um para calcular a taxa de reajuste de preço e um para calcular lucro mensal de

um produto dado por uma função quadrática, em função do lucro dado. Desconto é abordado

em forma de texto baseando-se em transação comercial, apresentando a equação D = |C – V|

(Desconto ou prejuízo = |preço de custo – preço de venda|) em um exemplo. Apresenta a

fórmula da taxa percentual de desconto iD = (D . 100%) / C e iD = (D . 100%) / V e cinco

exercícios resolvidos, sendo dois para calcular valor de venda ou taxa percentual de

desconto, dois para calcular valor de custo e taxa percentual de prejuízo e um para calcular e

comparar taxas percentuais de desconto sobre dois produtos. Propõe oito exercícios, sendo

quatro para calcular taxa percentual de desconto, um para calcular valor de custo, um para

calcular desconto, um para calcular preço do bem e valor da entrada em compra a prazo e um

para calcular desconto sobre soma de produtos em que só um sofreu redução de preço.

Acréscimos sucessivos são explicados em texto salientando os vários fatores que podem

causá-lo. Explica a fórmula Pn = P0.(1 + i1).(1 + i2)...(1 + in), sendo P0 o preço inicial e Pn o

preço final. Dá exemplos de aumentos sucessivos e apresenta dois exercícios resolvidos: um

para calcular preço após aumentos sucessivos e outro para calcular preço Pn após n aumentos

sucessivos sobre P0 com taxas i1, i2, ... in. Propõe seis exercícios, sendo quatro para calcular

preço após sucessivos aumentos, um para calcular preço após aumentos sucessivos em duas

situações e comparar, um para calcular valor final após sucessivos aumentos e um para

calcular saldo inicial que sofreu rendimentos sucessivos. Descontos sucessivos é apresentado

em texto análogo a aumentos sucessivos. Apresenta fórmula Pn = P0.(1 - i1).(1 - i2)...(1 - in) e

dá um exemplo para calcular preço final. Dois exercícios resolvidos são apresentados, sendo

um para calcular preço final após descontos sucessivos e outro para calcular Pn de automóvel

que sofreu descontos sucessivos de i1, i2, ... in de valor inicial P0. Propõe quatro exercícios,

sendo dois para calcular preço final de produtos após descontos sucessivos, um para calcular

preço final de automóvel após desvalorizações sucessivas e um para calcular o valor mínimo

do veículo após depreciação linear (mostrada em gráfico) sofrida por vinte anos. Nos

exercícios complementares no final da unidade, são apresentados um exercício para calcular

64

porcentagem de quantidade não financeira, um para calcular porcentagem de uma dívida a

ser paga, um para calcular desconto e soma de preço de venda e de custo, um para calcular

taxa percentual de preço após aumentos sucessivos, um para calcular preço final depois de

aumentos e descontos sucessivos e um para calcular preço de um carro importado caso a

alíquota de imposto mude. No final da unidade, é apresentada uma ficha-resumo com as

fórmulas referentes a cada conteúdo estudado.

Verificamos que os exercícios complementares de números 80 e 93, na unidade

Conjuntos, são idênticos, não obstante não se referirem à Matemática Financeira nem aos

conteúdos relacionados. Talvez tenha havido um engano na seleção dos exercícios para esta

seção.

Não há nenhum exercício sobre os conteúdos de Matemática Financeira em outra

parte do livro. Porém, porcentagem aparece em alguns conteúdos. Há um texto sobre novas

pistas para vencer a AIDS em Saiba um pouco mais, na unidade Funções, onde trata de

porcentagem de quantidades não financeiras. Há um exercício complementar na unidade

Geometria espacial sobre porcentagem de quantidades não financeiras. Há uso de

porcentagem para construir tabelas e gráficos de freqüência relativa na parte I da unidade

Estatística e Matemática financeira, com nove exercícios para calcular porcentagem de

quantidades não financeiras.

3.4. Análise do livro Matemática volume único (IEZZI et al, 2004)

O livro Matemática volume único (IEZZI et al, 2004) traz em um único volume o

conteúdo de Matemática para as três séries do Ensino Médio. Em sua capa está um quadro

onde se lê PROGRAMA LIVRO NA ESCOLA 2005 – GOVERNO DO ESTADO DE MINAS

GERAIS. Os conteúdos abordados estão relacionados no anexo 10.

Na apresentação, os autores citam que o número de aulas semanais de Matemática

varia de duas a oito, dependendo da escola (IEZZI et al, 2004, p.III) e a disposição em

volume único visa superar essas diferenças. Depois de falar das alterações dessa edição,

afirmam ter introduzido problemas de aplicação e estudos que utilizam textos, gráficos e

tabelas de publicações de circulação nacional a fim de atender à contextualização e

interdisciplinaridade sugerida pelos PCN. Após cada capítulo, são propostos testes de

vestibulares e alguns desafios, exercícios que exigem do aluno um pouco mais de

conhecimento e raciocínio lógico.

65

As ilustrações se limitam às contidas nos testes de vestibulares e desafios. Ao longo

da obra, poucas ilustrações aparecem. A história do tema não é abordada.

Das 651 páginas de conteúdo, quatorze são destinadas abordam o tema. A unidade

dois é intitulada Matemática financeira e contém um único capítulo denominado Noções de

matemática financeira. É o décimo dos quarenta capítulos do livro. Neste capítulo são

abordados razão e proporção, porcentagem, juros, juros simples e juros compostos. Em

forma de texto é apresentada a definição matemática de razão, seguida de um exemplo. A

proporção é definida como a igualdade de duas razões com sua propriedade fundamental.

São propostos sete exercícios com aplicações de razão e proporção. Porcentagem é definida

como a razão centesimal, seguida de seis exemplos, sendo dois referentes a situações

financeiras: um para calcular preço de produto após aumento percentual e um para calcular

preço de pacote de viagem depois de redução percentual. Seguem-se vinte e sete exercícios,

sendo quinze para calcular percentual de quantidade não financeira, dois para calcular salário

de vendedor que recebe comissão percentual do que vende, sete que envolvem cálculo de

desconto ou acréscimo percentual no preço de produto ou serviço, um envolvendo cálculo do

percentual do salário gasto com pagamentos, um envolvendo cálculo do valor de produto

acrescido de impostos e lucros percentuais e um envolvendo aumento percentual do PIB.

Juros são definidos a partir de uma situação em que uma pessoa necessita tomar dinheiro e

são definidos como “aluguel” do dinheiro emprestado. Também são definidos no texto

capital, montante, taxa de juros e juros simples, definidos a partir de uma situação como

sendo juros constantes em iguais períodos de tempo. Segue um exemplo de juros simples e a

apresentação das fórmulas j = c.i.n e do montante M = C + J = C (1 + in), ressaltando a

necessidade da taxa e a unidade de tempo estarem na mesma unidade. Seguem-se oito

exercícios, sendo dois envolvendo o cálculo do montante, um envolvendo o cálculo do

capital, um envolvendo o cálculo do tempo, três envolvendo o cálculo da taxa e um

envolvendo o cálculo dos juros e do capital em duas situações distintas. Um texto explica

juros compostos, citando ser o mais utilizado no mercado. Introduz a fórmula do montante,

período por período de tempo: Mn = C(1 + i)n. Apresenta três exemplos: o primeiro

relaciona os montantes período a período com os termos de uma P.G., o segundo aplica

logaritmo para determinar o tempo e o terceiro calcula o preço de produto com reajustes

sucessivos (ou montante). Seguem-se dezoito exercícios, sendo quatro envolvendo cálculo

de montante ou comparação entre situações diferentes, um envolvendo cálculo de capital, um

envolvendo cálculo da taxa de juros, cinco envolvendo cálculo de montante, um envolvendo

66

comparação entre taxas de juros compostos diferentes, um envolvendo cálculo de tempo para

atingir determinado montante, um para encontrar fórmula de valor das ações de uma empresa

e encontrar montante, um para calcular saldo remanescente após saques periódicos em

poupança e três envolvendo porcentagem de quantidades não financeiras. No final do

capítulo são apresentados vinte e três testes de vestibulares, sendo seis para cálculo de

porcentagem sobre quantidades não financeiras, um para cálculo do lucro sobre compra e

venda de dólar, quatro envolvendo razão, proporção e regra de três, seis para calcular taxa de

juros simples e juros compostos, quatro sobre acréscimo ou desconto percentual sobre preço

de serviço ou produto, um para encontrar fórmula de preço de produto com desvalorização

anual e um para cálculo de valor de prestações com juros. A seguir, são propostos desafios,

sendo um deles a partir de recorte do jornal O Estado de São Paulo sobre venda parcelada

com juros compostos, para cálculo do valor das prestações e o outro é uma questão de

vestibular informando o preço de custo, imposto e lucro de um produto e solicitando o

cálculo do preço do produto com imposto e lucro menores.

Com relação aos demais conteúdos, nos testes de vestibulares do capítulo 2

(Funções) há três exercícios sobre porcentagem sobre quantidades não financeiras; nos testes

de vestibulares do capítulo 3 (Função afim) há um envolvendo porcentagem de custo e

equação para cálculo de lucro; nos testes de vestibulares do capítulo 4 (Função quadrática)

há dois sobre cálculo de lucro de produto e um sobre porcentagem de quantidades não

financeiras; no segundo desafio do mesmo capítulo é solicitada a função entre lucro e preço

em reais e o lucro máximo a partir de equações de preço de custo e de venda; no capítulo 5

(Função modular) a função definida por mais de uma sentença é introduzida a partir da

tabela de imposto de renda de pessoa física, com as alíquotas de 0, 15 e 27,5% incidindo

sobre a renda líquida e no corpo do capítulo há um exercício sobre desconto percentual na

compra de grande quantidade de um mesmo produto; o segundo desafio apresentado no final

do mesmo capítulo apresenta uma tabela de imposto de renda com alíquotas de 0, 15 e 25%,

solicitando o cálculo do número de dependentes considerando o salário, as deduções e o

imposto pago; o terceiro, apresenta uma tabela progressiva com as alíquotas de 0,8, 1, 1,2,

1,4 e 1,6% de cobrança de IPTU sobre o valor venal do imóvel, dependendo da faixa de

preço, solicitando que se calcule o valor do IPTU de imóveis de preços diferentes e, a partir

do preço do IPTU, que se calcule o preço do imóvel; nos testes de vestibulares do capítulo 6

(Função exponencial) há um exercício sobre porcentagem de quantidades não financeiras;

dois desafios deste capítulo tratam de crescimento percentual de quantidades não financeiras;

67

nos desafios do capítulo 8 (Função logarítmica), um aborda porcentagem de quantidades

não financeiras; no capítulo 9 (Progressões) há um exercício que aborda porcentagem de

quantidades não financeiras; nos testes de vestibulares do mesmo capítulo há um exercício

sobre porcentagem de quantidades não financeiras, um sobre cálculo de prestações de um

empréstimo contraído a juros simples; nos testes de vestibulares do capítulo 12

(Trigonometria no triângulo retângulo) há um exercício sobre porcentagem de quantidades

não financeiras; nos testes de vestibulares do capítulo 19 (Matrizes) há um exercício sobre

cálculo de lucro baseado em tabelas de custo e lucro de produtos; nos testes de vestibulares

do capítulo 21 (Sistemas lineares) há um exercício de porcentagem de quantidades não

financeiras; nos testes de vestibulares do capítulo 23 (Probabilidade) há cinco exercícios

sobre porcentagem de quantidades não financeiras; nos desafios deste capítulo há três sobre

porcentagem de quantidades não financeiras; no capítulo 25 (Estatística) são usadas

freqüências relativas percentuais e em grande parte dos exercícios deste capítulo; nos testes

de vestibulares deste capítulo há quatro exercícios sobre porcentagem de quantidades não

financeiras; os dois desafios no final deste capítulo também utilizam, a partir de recortes de

jornais, porcentagem de quantidades não financeiras; nos testes de vestibulares do capítulo

28 (Áreas de superfícies planas) há um exercício sobre porcentagem de quantidades não

financeiras; nos testes de vestibulares do capítulo 29 (Prisma) há um exercício sobre

porcentagem de quantidades não financeiras; nos testes de vestibulares do capítulo 31

(Cilindro) há três exercícios sobre porcentagem de quantidades não financeiras; nos testes de

vestibulares do capítulo 32 (Cone) há um exercício sobre diferença percentual de preço de

produto; um dos desafios do final do mesmo capítulo trata de porcentagem de quantidades

não financeiras; nos testes de vestibulares do capítulo 33 (Esfera) há um exercício sobre

porcentagem de quantidades não financeiras; nos testes de vestibulares do capítulo 35 (A

reta) há um exercício sobre porcentagem de quantidades não financeiras.

3.5. Relações entre as coleções

Idealizamos a seguinte legenda para o nome das coleções:

Coleção (grau de ensino) Autor(es) Edição Legenda Matemática e Realidade (Fundamental)

Gelson Iezzi & Osvaldo Dolce & Antonio Machado 2000 MER

Tudo é Matemática (Fundamental)

Luiz Roberto Dante 2004 TEM

Matemática: Aula por Aula (Médio)

Benigno Barreto Filho & Cláudio Xavier da Silva 2000 MAA

68

Matemática – volume único (Médio)

Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn e Roberto Périgo

2004 MVU

Estabelecemos outra legenda para os conteúdos específicos, conforme quadro:

Conteúdo Legenda

Capital C

Montante M

Inflação I

Juros simples JS

Juros compostos JC

Empréstimos E

Aplicações A

Levantamos todos os critérios analisados, acrescentando o conteúdo porcentagem,

devido à sua aplicação em toda e qualquer quantidade que se queira analisar e comparar.

Mesmo não sendo utilizado apenas em Matemática Financeira, é um conteúdo que contribui

significativamente em seu estudo. Por isso é tratado na introdução da Matemática Financeira

nos livros analisados. Assim, passamos à análise das duas coleções de Ensino Fundamental e

dos dois volumes do Ensino Médio.

Elaboramos o quadro a seguir utilizando os seguintes critérios de análise e legenda:

ilustração (englobando fotos, figuras, tabelas, gráficos, etc.) [1 – uma ilustração por tópico

ou capítulo; 2 – uma ilustração por página; 3 – duas ou mais ilustrações por página],

considerando-se a quantidade média de ilustração por capítulo, tópico ou página; o número

de páginas em que o conteúdo é tratado em capítulo ou tópico específicos [número de

páginas, excetuando-se as páginas que trazem o título ou exercícios que aparecem no final

do tópico, mas não específicos do tópico ou capítulo]; os conteúdos abordados (capital,

montante, inflação, juros simples, juros compostos, empréstimos e aplicações); exercícios e

exemplos que abordam o conteúdo dentro e fora do tópico específico [número de exemplos e

exercícios]; abordagem de porcentagem [se a coleção aborda porcentagem, mesmo fora de

tópico específico] e exercícios de porcentagem [número de exercícios de porcentagem sobre

valores não financeiros em toda a coleção].

69

Critério de análise MER TEM MAA MVU

Ilustração (figuras, tabelas, gráficos, etc) 3 3 1 2

Número de páginas de conteúdo específico 7 11 13 14

Conteúdos específicos abordados C/JS C/M/JS/JC JS/JC C/M/JS/JC

Nº de exemplos/exercícios no conteúdo específico 29 29 53 41

Nº de exercícios fora do conteúdo específico 25 18 0 25

Aborda porcentagem SIM SIM SIM SIM

Exercícios de porcentagem 106 160 24 56

[falta um comentário que ‘feche’ esse tópico]

3.5.1. Coleções de Ensino Fundamental

As coleções de Ensino Fundamental apresentam consideravelmente mais ilustrações

que as de Ensino Médio e a coleção Tudo é Matemática é a que apresenta mais. Isso se

explica em parte por ser a coleção mais nova – a edição analisada é a primeira e data de

2004, enquanto Matemática e Realidade data de 2000.

Quanto ao conteúdo, a coleção Tudo é Matemática (2004) apresenta uma vez e meia

mais páginas e apresenta os conteúdos juros compostos e montante a mais que Matemática e

Realidade (2000). Esta coleção, por sua vez, apresenta 14% a mais exercícios sobre o tema

que Tudo é Matemática (2004), considerando toda a obra. Não percebemos erros ou

induções a erros nos conceitos apresentados em nenhuma das coleções. Ambas apresentam o

conteúdo no final dos respectivos volumes: Matemática e Realidade no penúltimo capítulo

da 6ª série e Tudo é Matemática (2004) no último da 8ª série. Assim, podemos concluir que

o tema é secundário para os autores.

� é preciso inserir ano após citar o nome do livro. Rever todo o texto.

A coleção Tudo é Matemática (2004) não traz todo o conteúdo no texto, tratando de

alguns conteúdos no cabeçalho de alguns exercícios. O professor precisa atentar para este

fato para que o conteúdo não fique incompleto.

Porcentagem, tema importante para o ensino de Matemática Financeira, é abordada

por ambas as coleções, apresentando a coleção Tudo é Matemática (2004) cinqüenta por

cento mais exercícios que Matemática e Realidade.

70

As coleções privilegiam muito mais exercícios que conteúdo, apresentando,

inicialmente, exercícios que exigem a aplicação imediata do conhecimento e, no decorrer das

páginas, vai aumentando o grau de dificuldade, conhecimento e raciocínio dos alunos,

exigindo sua dedicação e estudo para resolvê-los. A maioria dos exercícios nas duas coleções

são relacionados com situações cotidianas ou com problemas sócio-econômicos. Ambas

também trazem exercícios de vestibulares realizados em várias instituições de ensino

superior do país.

3.5.2. Coleções de Ensino Médio

As duas coleções de Ensino Médio apresentam pouquíssimas ilustrações. Notam-se

algumas fotos, gráficos ou tabelas nas seções apresentadas ao fim dos capítulos ou unidades.

O conteúdo específico apresentado pelos dois volumes são idênticos, tanto no

número de páginas quanto no conteúdo abordado. O volume Matemática volume único

apresenta capital e montante a mais que Matemática aula por aula, mas ambos abordam

juros simples e compostos. Nos exercícios de ambos aparecem aplicações dos dois tipos de

juros.

O livro Matemática volume único apresenta 25% mais exercícios sobre o tema que o

Matemática aula por aula. Aquele volume, inclusive, tem, ao fim de cada um de seus

quarenta capítulos, uma lista de exercícios aplicados em vestibulares, inclusive alguns

aplicados nos vestibulares da UFOP, em algumas universidades mineiras e nas provas do

ENEM.

Ambos abordam porcentagem, sendo que o livro Matemática volume único traz

133% de exercícios a mais que o Matemática aula por aula.

Os dois livros privilegiam mais os exercícios que o conteúdo propriamente dito.

O livro Matemática aula por aula apresenta o conteúdo em seu último capítulo,

porém, no livro Matemática volume único o conteúdo é apresentado no capítulo 10 (num

total de quarenta), portanto, na primeira metade do livro.

3.5.3. Relações entre as coleções

71

Todas as coleções apresentaram, em nosso ponto de vista, muitos e variados

exercícios que trazem situações cotidianas e problemas socioeconômicos do mundo que

circunda a escola. Todas trouxeram exercícios contemplados pelos vestibulares de diversas

instituições de ensino superior e pelo ENEM. Destacamos o livro Matemática volume único,

que tem vários exercícios extraídos de vestibulares ao longo da obra e uma seção específica

ao final de cada capítulo.

A coleção Matemática e Realidade, por tratar o tema no livro da 6ª série, apresenta

capital e juros simples, não tratando dos juros compostos, os mais utilizados pelo mercado.

A coleção Tudo é Matemática, por sua vez, trata do tema no livro da 8ª série e contempla

capital, montante, juros simples e compostos. Esta proposta de tratar o tema na última série

do Ensino Fundamental é vantajosa, pois os alunos já estão intelectualmente mais maduros e

já viveram quase todo o Ensino Fundamental.

Alguns temas relacionados não foram tratados em nenhuma das quatro coleções.

Inflação talvez não tenha sido tratada pelo fato do Brasil, após a implantação do real, estar

vivendo uma fase econômica em que não é mais cogitada. E os alunos não conheceram o

período de alta inflação. Aplicações e empréstimos também não foram estudados dentro do

conteúdo dos volumes analisados. Somente em exercícios foram apresentadas situações em

que uma pessoa necessita contrair um empréstimo ou aplicar um capital. Alguns exercícios,

como relatados nas primeiras seções deste capítulo, apresentaram comparações entre

diferentes aplicações que remuneram o capital com rendimentos diferenciados e aplicados

por períodos diferentes. Outros apresentaram comparações entre comprar a prazo ou aplicar

para comprar à vista no futuro.

O aluno tende a voltar ao texto para tirar dúvidas durante a resolução de exercícios.

Mas nem todos resolvem todos os exercícios apresentados no livro. No decorrer de nosso

curso de licenciatura, pudemos perceber isso claramente nas salas de aula dos Ensinos

Fundamental e Médio. Temos filhos nestes níveis de ensino e também observamos o mesmo

fato.

Entendemos que os conteúdos devem ser tratados em seus respectivos tópicos. Se

tratados nos exercícios, corre-se o risco do aluno não ter contato com ele, podendo

comprometer seu futuro escolar.

72

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Segundo Ramalho, citada por Carvalho (1999), “a Matemática é a arte de explicar”.

Esta capacidade de explicação e demonstração da Matemática sempre nos atraiu. Além de

um corpo de conhecimentos, é uma linguagem (ANGELIM e GITIRANA, 2002) pela qual

podemos explicar e demonstrar uma gama enorme de conhecimentos. Por isso, é a

linguagem reconhecida como prova ou demonstração na comunidade científica. Daí estar

presente em todas as ciências e áreas de conhecimento.

É em um livro didático de História adotado em uma escola municipal da cidade a

próxima citação. Schmidt (2005, p.104) escreveu: “Vasco da Gama levou uma porção de

mercadorias para a Europa e teve um lucro de 6000 %, ou seja, ganhou 60 vezes mais do que

gastou!” e na mesma página: “Imagine que você invista 10 reais e consiga depois de alguns

meses 600 reais. Você teria um lucro de 6.000 %. Foi exatamente esse o lucro que Vasco da

Gama conseguiu com sua expedição para a Índia”. Nestas citações, observamos que Vasco

da Gama faturou sessenta vezes mais do que gastou, ou seja, empregou um capital e, com o

produto da venda, recuperou-o, lucrando 59 vezes o que investiu. Podemos concluir que

Vasco da Gama obteve 5900% de lucro e não 6000%, conforme publicado no livro. Este

episódio evidencia a importância da Matemática Financeira “como tema essencial para a

formação do cidadão” (BRASÍLIA, 2004, p.19) e presente em várias ciências.

Inicialmente queríamos estudar tudo o que um cidadão que tem alguma renda

(salário, mesada, pensão, aposentadoria, pecúlio, etc.) necessitava saber sobre Matemática

Financeira para que pudesse: assistir ou ler jornais e revistas e entender a linguagem

econômica; aplicar seu capital disponível numa instituição financeira, sabendo escolher a

melhor opção, a fim de adquirir um bem a médio ou longo prazo; escolher a melhor opção de

pagamento na aquisição de um bem necessário, urgente ou inadiável e capitalizar a fim de

complementar sua aposentadoria. Gostaríamos também de examinar a grade curricular das

escolas a fim de propor as alterações que, a nosso ver, atendessem ao cidadão no seu dia-a-

dia. E, finalmente, gostaríamos de propor um curso de Matemática Financeira a ser

ministrado no ensino regular e/ou de maneira extracurricular para quem necessitasse. No

entanto, ao estudarmos as disciplinas relacionadas à pesquisa e metodologia científicas e ao

adquirirmos experiência, fomos convencidos a escolher apenas um tópico. Nosso interesse

inicial seria inatingível para quem não dispunha de recursos, tempo e experiência de

pesquisa. Sendo assim, iniciamos a pesquisa em Matemática Financeira, buscando sua

73

história, crendo que – infelizmente – apenas a tangenciamos, ficando muito aquém do que

gostaríamos. Trouxemos, também, os conteúdos mais relacionados com o dia-a-dia do

cidadão.

Consultamos o código do consumidor e os parâmetros curriculares da educação

básica, quanto à relevância do tema. Em seus temas transversais, os PCN e PCNEM tratam a

cidadania e a educação para o consumo. Código do consumidor e PCN ressaltam a

importância deste tema para o cidadão exercer sua cidadania, lutando por seus direitos de

consumidor e conhecendo – para interagir com ele – o mundo à sua volta, pois os números,

índices percentuais, gráficos e demais informações ampliam a visão da realidade, fazendo-

nos compreendê-lo melhor. E para tanto, é mister que saibamos interpretar as informações

que nos chegam diariamente pela TV, jornais, revistas, internet e outros meios de

comunicação e interação existentes. Isto alimentou nossa convicção sobre a relevância do

tema escolhido.

E as avaliações governamentais? Como vêem a Matemática Financeira? Pesquisamos

o SAEB e todas as avaliações aplicadas pelo ENEM, desde a primeira até a de 2005. Os

poucos exercícios encontrados foram reproduzidos neste trabalho.

Os livros didáticos tratam o tema? Como? A partir do início do século XX, o governo

federal vem incentivando o uso do livro didático por professores e alunos. Atualmente, o

MEC é o maior comprador de livros do mundo e os distribui pelas escolas do país. Edita um

guia para orientar os professores na escolha do livro a ser utilizado. Este guia contempla

também a análise das coleções que, mediante edital público, são apresentadas ao órgão e

aprovadas segundo critérios, muitos dos quais utilizados neste trabalho.

A partir deste cenário, redirecionamos nossa pesquisa, chegando à nossa questão de

investigação:

Como a Matemática Financeira é apresentada em livros didáticos de Matemática adotados

nas séries finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio de Ouro Branco?

Fizemos o levantamento dos livros didáticos adotados nas escolas da cidade e

selecionamos os adotados pela maioria das escolas. Não obtivemos grande êxito nesta tarefa,

pois gostaríamos de analisar todas as coleções adotadas. Tivemos que escolher duas coleções

de cada nível de ensino por não termos conseguido todos os livros em tempo hábil e pela

demora na chegada dos livros do PNLD às escolas. Tivemos que nos deslocar algumas vezes

até as escolas Levindo e Iracema para ter acesso aos livros faltantes, o que retardou a

conclusão da pesquisa. Entretanto, gostaríamos de reconhecer a presteza e boa vontade

74

demonstradas pelas funcionárias e diretoras destas escolas, fator determinante para o êxito de

nosso trabalho.

Em suma, nossa inexperiência em trabalhos científicos, o fato de trabalharmos em

horário integral e a conseqüente falta de tempo para pesquisa, foram fatores que pesaram

negativamente na qualidade desta monografia.

Ainda assim, cremos ter conseguido responder satisfatoriamente à questão de

investigação proposta, não obstante a escassez de recursos e tempo. Gostaríamos de ter

obtido e analisado outros trabalhos científicos sobre Matemática Financeira e educação para

o consumo a fim de realizar uma pesquisa melhor embasada. Os conteúdos de Matemática

Financeira foram pesquisados em bons livros, estando apresentados no item conceitos

fundamentais, no capítulo 1. Poderíamos ter pesquisado mais sobre estes conteúdos, mas

nossa inexperiência nos inibiu.

Os livros didáticos, por sua vez, apresentaram quase todos os conceitos

fundamentais, exceto inflação, aplicações e empréstimos. Os exercícios apresentados nos

livros são em sua maioria bem contextualizados, o que contribui “muito para a consciência

sobre problemas socioeconômicos do cidadão” (BRASÍLIA, 2004, p.68). Não notamos

conexões entre os conteúdos de Matemática Financeira e os demais conteúdos abordados

pelas coleções, como função exponencial, progressões aritméticas e geométricas. Em

pouquíssimos exercícios sobre progressões pudemos ver alguma aplicação financeira.

A observação mais relevante, no entanto, foi a falta de um elo entre os

conhecimentos matemáticos nesta área, os conhecimentos de economia e a linguagem do

mercado financeiro. Não é suficiente o aluno conhecer como se calcula juros ou como se

calcula uma prestação, se ele não sabe como aplicar capital em um banco, o que são ações e

como aplicar em bolsas de valores. Há uma lacuna que necessita ser preenchida. O ensino

fragmentado nas várias disciplinas contribui para que esta lacuna ainda perdure. Não

percebemos ensino que contemple a interdisciplinaridade necessária para que este e outros

conteúdos sejam efetivamente apreendidos e aplicados. Não poderíamos deixar de registrar o

empenho de professores com quem convivemos – e, com certeza, de muitos outros pelo país

– que se desdobram para tornar suas aulas, dentro das possibilidades, o mais

contextualizadas e atrativas possíveis. Infelizmente, não representam a maioria dos

professores e não cabe nesta pesquisa enumerar ou analisar os motivos.

Nossa proposta para eliminar a lacuna entre Matemática Financeira e escola divide-se

em dois caminhos paralelos: o papel do professor de Matemática e o papel dos livros

75

didáticos. Sobre o papel do professor, afirmamos que o professor de Matemática é o mais

indicado para fazer a conexão transversal entre Matemática Financeira e mercado financeiro,

ensinando, assim, um conhecimento necessário e útil ao aluno. A Matemática não é uma

ciência com fim em si mesma, mas um meio para que as outras ciências se desenvolvam.

Com certeza isto irá exigir maior dedicação dos professores e, conseqüentemente, implicará

em uma reflexão sobre os rumos que os cursos de formação continuada têm tomado, o que

também não é objeto de nossa pesquisa. O professor precisa familiarizar-se com o mercado

financeiro através de jornais, revistas e demais publicações, bancos, financeiras e o comércio

varejista que vende à prazo, com juros explícitos ou embutidos.

Infelizmente, o professor não dispõe de tempo e recursos para obter estas

informações, pois isto pode ser dispendioso em seu orçamento. Conhecemos a situação da

classe dos professores e, pensando em colaborar com o professor e o cidadão em geral,

tencionamos disponibilizar um site na internet com este tipo de conhecimento que

adquirimos ao longo dos últimos vinte e dois anos. Para saber sobre o andamento desta

página, basta nos contatar pelo endereço eletrônico: jose.marcio@oi.com.br.

Como afirmamos na introdução, sempre nos despertou interesse a Matemática

Financeira. Ainda na adolescência começamos a movimentar o pouco dinheiro que

obtínhamos na Caixa Econômica Federal, sempre pesquisando um investimento que nos

desse o maior retorno financeiro. Assim, conhecemos o funcionamento de vários

investimentos e empréstimos disponibilizados pelas instituições financeiras. Ao longo dos

anos, acompanhamos também a mudança do mercado financeiro frente aos diversos planos

econômicos. Vivemos os anos em que ocorria a ciranda financeira, ocasião em que se

pagavam rendimentos diários da ordem de 1,7%. Nesta ocasião, a economia começou a

estancar, pois ocorreu uma procura muito grande por aplicações e um fechamento de

empresas. Atualmente o mercado mudou muito e o governo federal aumentou a fatia dos

impostos sobre as aplicações. Portanto, todo este conhecimento de aplicações e empréstimos

bancários, bem como algum conhecimento do mercado de ações que também adquirimos,

tencionamos disponibilizar em nosso site pessoal. Esta seria nossa contribuição para

melhorar o papel do professor.

Sobre o papel do livro didático, afirmamos ser ele uma ferramenta fundamental para

o processo de ensino-aprendizagem de alunos e professores. O professor Imenes, autor de

livros didáticos há vinte anos, afirmou, em palestra citada na seção 2.1, ser o livro didático a

única ferramenta de que dispõem professor e aluno em muitas localidades brasileiras. Nas

76

coleções analisadas pelo PNLEM 2005, aparece a coleção de Ensino Médio Matemática de

Adilson Longen. Ela não contemplou a Matemática Financeira, que exerce papel importante

na formação do cidadão (BRASÍLIA, 2004, p.17). Todas as coleções que analisamos

afirmam estar de acordo com os parâmetros curriculares. No entanto, para um melhor

alinhamento aos parâmetros, entendemos que a inserção de alguns assuntos no capítulo

específico é necessária. Instituições financeiras e bolsas de valores, explicando o que é e

para que servem; Aplicações e empréstimos em instituições financeiras, explicando o

funcionamento das aplicações mais comuns (poupança, fundos e depósitos a prazo fixo) e

dos empréstimos pessoais e para aquisição de bens (computador e imóveis); Ações e fundos

de ações, explicando o que são ações, fundos de ações e como aplicar; Ouro, dólar e euro,

explicando porque e como se aplica nestes ativos. Pensamos sobre o que poderíamos fazer

quanto a estes acréscimos nos livros didáticos. Concluímos que podemos enviar mensagens e

correspondências para as editoras que editam livros didáticos com nossa proposta, em forma

de texto a ser publicado.

Estamos certos de que outros pesquisadores terão um vasto campo de exploração

devido à relevância do tema para a formação do cidadão. Gostaríamos de sugerir perguntas

que poderiam ser ótimas oportunidades de pesquisa: Até que ponto a educação financeira

desperta a consciência socioeconômica do cidadão? Há como fazer uma projeção de como

seria a economia de nosso país caso as escolas ensinassem uma educação financeira

conforme sugerimos? Como vivem as comunidades que não vêem na escola nenhum

conteúdo de Matemática Financeira ou que não têm escolas? Há como medir a importância

da educação financeira na vida de alguma comunidade ou nação? Estas são apenas algumas

questões sobre as quais refletimos. Certamente outras questões importantes surgirão como

novas pesquisas sobre o tema.

[José Márcio, o parágrafo a seguir – que devo dizer, me honrou muito e nem sei se é

merecido – não cabe nas Considerações Finais. Caso você creia em sua importância

pública... poderia ser inserido em uma página de agradecimentos no início do texto...]

Gostaríamos de ressaltar nossa satisfação em fazer este trabalho. Quando escolhemos

como orientadora a professora Ana Cristina, sabíamos que poderíamos crescer muito como

pesquisador. O rigor e o método científicos nos amedrontaram no princípio e cogitamos não

ser capazes de concluir este trabalho. Deparamo-nos com situações embaraçosas e

77

trabalhosas, cometemos erros que conseguimos corrigir e outros que, com certeza, não

percebemos. Durante nossa convivência acadêmica e a realização desta monografia,

aprendemos a respeitar opiniões e posições diferentes e conflitantes. Nossa visão da

realidade se tornou mais ampliada e conseguimos enxergá-la com um novo olhar.

Costumávamos dizer que, segundo a física, não conseguimos ver direito, pois vemos apenas

o reflexo da luz sobre os objetos. Se não há luz, não conseguimos enxergar, mesmo o objeto

estando presente. O método científico, por sua vez, faz a realidade clarear-se em nossa

frente, ampliando e apurando nossa visão na busca pela verdade.

78

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SANTOS, Reginaldo J.. Matemática Financeira Interativa. 2002. Disponível em:

<http://www.mat.ufmg.br/~regi/topicos/matfin.html>. Acesso em: 21 jan. 2005.

SISTEMA DE BIBLIOTECAS (Florianópolis - SC). Universidade Federal de Santa

Catarina. MORE - Mecanismo online para referências. Disponível em:

<http://robot.rexlab.ufsc.br/referencia/>. Acesso em: 9 jun. 2006.

VICENTE, Orlando (Ed.). Enciclopédia Didática de Informação e Pesquisa Educacional:

EDIPE. 9 ed. rev. São Paulo: Livraria Editora Iracema, 1993.

85

ANEXO 1

Conteúdo do livro Matemática e Realidade – 5ª série

As quatro operações fundamentais (números: a criação dos números; os números naturais

/ adição e subtração: adição; subtração; expressões aritméticas com adição e subtração /

multiplicação e divisão: multiplicação; divisão; operações com medidas mistas) –

Potenciação (potência: o que é potência; expressões aritméticas com potências; propriedades

da potenciação / sistemas de numeração: sistemas de numeração decimal; sistema binário) –

Geometria: primeiros passos (noções fundamentais: um pouco de história; formas reais e

formas geométricas / semi-reta e segmento de reta: semi-reta; segmento de reta / ângulos: o

que é ângulo; ângulo reto; ângulo formado por retas) – Divisores e múltiplos nos números

naturais (divisibilidade: noção de divisibilidade / números primos: o que é um número

primo / decomposição em fatores primos: fatoração de um número / divisores de um número:

como encontrar os divisores de um número / máximo divisor comum: mdc de dois ou mais

números naturais / múltiplos de um número / mínimo múltiplo comum: mmc de dois ou mais

números) – Frações (o que é fração: conceito de fração; tipos de fração; como transformar

um número misto em fração imprópria / frações equivalentes: conceito e reconhecimento;

como obter uma fração irredutível; redução de frações ao mesmo denominador / comparação

de frações / operações com frações: adição e subtração; multiplicação; divisão; potenciação)

– Números decimais (o que é fração decimal e numeral decimal: o que é fração decimal; o

que é numeral decimal; transformação de numeral decimal em fração decimal;

transformação de fração decimal em numeral decimal; taxas porcentuais; propriedades dos

numerais decimais; comparação de numerais decimais / operações com decimais: adição e

subtração; multiplicação e potenciação; divisão) – Geometria e medidas (unidades de

comprimento: unidade padrão de comprimento; múltiplos e submúltiplos; mudanças de

unidade / poligonal: características da poligonal; classificação / polígonos: o que é polígono;

vértices, lados e ângulos; classificação; nomes dos polígonos; quadriláteros; perímetro de um

polígono / curvas: curvas abertas; curvas fechadas; interior e exterior; convexidade /

unidades de área: unidade padrão de área; múltiplos e submúltiplos; mudanças de unidade;

unidades agrárias; áreas de alguns polígonos / unidades de volume: unidade padrão de

volume; múltiplos e submúltiplos; mudanças de unidade; volume do paralelepípedo; volume

do cubo; unidades de capacidade; mudanças de unidade / unidades de massa: unidade padrão

de massa; múltiplos e submúltiplos; mudanças de unidade) – Estatística (noções de

estatística: revendo porcentagens; fazendo uma estatística).

86

ANEXO 2

Conteúdo do livro Matemática e Realidade – 6ª série

Números inteiros (números positivos e números negativos / os números inteiros: valor

absoluto; números opostos ou simétricos / adição de inteiros: propriedades da adição /

subtração de inteiros: cálculo da diferença / multiplicação de inteiros: multiplicação de dois

números inteiros; multiplicação de três ou mais números inteiros; propriedades da

multiplicação / divisão de inteiros) – Geometria: ângulos (ângulo: o que é ângulo; ângulos

congruentes; medida de ângulo; adição de medidas de ângulos; subtração de medidas de

ângulos; multiplicação de medida de ângulo por um número natural; divisão de medida de

ângulo por um número natural; ângulos adjacentes; bissetriz de um ângulo; retas

perpendiculares / classificação dos ângulos: ângulo reto; ângulo agudo; ângulo obtuso;

complemento e suplemento de um ângulo / posições relativas de duas retas: retas coplanares;

retas concorrentes; retas paralelas; ângulos opostos pelo vértice; ângulos de duas retas

concorrentes) – Números racionais (os números racionais / representação geométrica dos

números racionais: comparação de números racionais / adição e subtração de racionais:

adição; propriedades da adição; subtração; soma algébrica / multiplicação de racionais:

propriedades da multiplicação / divisão de racionais; média aritmética e porcentagem: média

artimética; porcentagem) – Potenciação e radiciação (potência de expoente natural: o que é

potência; propriedades da potenciação / potência de expoente negativo / raiz quadrada

aritmética: os quadrados perfeitos; raiz quadrada) – Geometria: áreas (distâncias e áreas:

distância entre dois pontos; distância entre um ponto e uma reta; distância entre duas retas

paralelas; área do paralelogramo; área do triângulo; área do losango; área do trapézio) –

Equações e inequações (noções iniciais de álgebra: expressões contendo letras; valor

numérico de uma expressão; o que são monômios; termos semelhantes; o que são

polinômios / equações: raiz de uma equação; como se acha a raiz / resolução de problemas:

equações aplicadas à geometria / inequações: desigualdades; propriedades das

desigualdades; inequações; solução de uma inequação; como se resolve uma inequação?) –

Aritmética aplicada (razões / proporções: números diretamente proporcionais; proporção;

números inversamente proporcionais; divisão proporcional / grandezas proporcionais:

correspondências entre grandezas; grandezas diretamente proporcionais; grandezas

inversamente proporcionais; regra de três simples; grandeza proporcional a outras; regra de

três composta / juro simples) – Estatística (gráficos: gráfico de colunas; gráfico de barras;

gráfico de setores; gráfico de linhas).

87

ANEXO 3

Conteúdo do livro Matemática e Realidade – 7ª série

Números reais (revendo números: números naturais; números inteiros; números racionais /

os números reais e a reta: números inteiros; números racionais não inteiros; números

irracionais; números reais; representação dos conjuntos numéricos; valor absoluto;

comparação de números reais; operações em R) – Potenciação e radiciação (potência de

base real e expoente inteiro: cálculo de potências; potências de 10 e a notação científica;

propriedades das potências / raiz quadrada: raiz quadrada aritmética; extração de raiz

quadrada aproximada; extração de raiz quadrada por decomposição em fatores primos; raízes

de frações; leitura – Extração da raiz quadrada; apêndice – Sobre calculadoras) –

Segmentos, ângulos e triângulos (segmentos: segmento de reta; transporte de segmentos;

congruência de segmentos; medida de um segmento; ponto médio de um segmento /

ângulos: conceito; transporte de ângulos; congruência de ângulos; medida de um ângulo;

nomenclatura dos ângulos; bissetriz de um ângulo / retas coplanares: retas coplanares;

posições relativas de duas retas; ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.); propriedades dos

ângulos opostos pelo vértice; ângulos de duas retas concorrentes; retas perpendiculares;

ângulos de duas retas com uma transversal / triângulos: triângulo; classificação de um

triângulo quanto aos lados; desigualdade triangular / soma dos ângulos de um triângulo:

experimentação; propriedade da soma dos ângulos dos triângulos; classificação dos

triângulos quanto aos ângulos; ângulo externo / congruência de triângulos: noção intuitiva;

conceito matemático; casos de congruência / pontos notáveis do triângulo: medianas e

baricentro; bissetrizes e incentro; altura e ortocentro; mediatrizes e circuncentro / triângulos

isósceles: conceitos e elementos; propriedades dos triângulos isósceles; propriedade

recíproca; propriedades dos triângulos eqüiláteros) – Estatística (medidas estatísticas: as

médias e seus nomes; calculando a média numa tabela de freqüências; moda e mediana) –

Cálculo algébrico (expressões algébricas: expressões contendo letras; valor numérico;

polinômios; polinômio com uma variável / operações com polinômios: adição; subtração;

multiplicação; divisão) – Produtos notáveis e fatoração (produtos notáveis: quadrado da

soma de dois termos; quadrado da diferença de dois termos; produto da soma pela diferença

de dois termos; identidades / fatoração de polinômios: simplificação de fração algébrica;

caso do fator comum; caso do agrupamento; operações com frações algébricas; caso da

diferença de dois quadrados; caso do trinômio quadrado perfeito; produto igual a zero.

cálculo de número desconhecido) – Quadriláteros (noções gerais: introdução; conceito e

88

componentes; perímetro; quadrilátero convexo e quadrilátero côncavo; soma dos ângulos de

um quadrilátero; quadriláteros notáveis / propriedades dos quadriláteros notáveis:

propriedades dos paralelogramos; propriedades dos retângulos; propriedades dos losangos;

propriedades dos quadrados; propriedades do trapézio isósceles; base média nos triângulos;

base média nos trapézios) – Equações e sistemas (equações do 1º grau: resolvendo

problemas; equações impossíveis e equações indeterminadas; equações literais; equações

fracionárias / sistemas de equações: problemas com duas incógnitas; método da adição;

método da substituição; interpretação geométrica; sistemas impossíveis e sistemas

indeterminados) – Inequações (inequações do 1º grau: resolvendo inequações; representação

na reta; sistemas de inequações) – Circunferência, arcos e ângulos (circunferência e

círculo: distância entre dois pontos; circunferência; posição de ponto e circunferência;

círculo; partes do círculo / posições relativas de reta e circunferência: distância de ponto a

reta; reta e circunferência secantes; reta e circunferência tangentes; reta e circunferência

externas / posições relativas de duas circunferências: circunferências tangentes;

circunferências externas; circunferências uma interna a outra; circunferências secantes /

segmentos tangentes: propriedades; circunferência inscrita em triângulo; quadriláteros

circunscritíveis / arcos de circunferência: conceito; semicircunferência; ângulo central; arcos

congruentes; medida de um arco / ângulos inscritos em circunferências: conceito; medida do

ângulo inscrito; ângulo inscrito numa semicircunferência; ângulos excêntricos / quadriláteros

inscritíveis: quadrilátero inscrito em circunferência / ângulo de segmento: conceito; medida

do ângulo de segmento; arco capaz).

ANEXO 4

Conteúdo do livro Matemática e Realidade – 8ª série

Radicais (recordando potências: potência de expoente inteiro; as propriedades das potências

/ raízes: raiz quadrada; a equação x²=a; raiz cúbica, quarta, quinta; a equação xn =a, n par; a

equação xn =a, n ímpar / relação entre potência e raiz: potência de expoente racional;

transformação de radicais em potências; simplificação de radicais; raiz de um produto /

operações com radicais: adição e subtração; multiplicação e divisão; potenciação e

radiciação) – Cálculo algébrico (produtos notáveis: quadrado da soma ou diferença de dois

termos; produto da soma pela diferença de dois termos; racionalização de denominadores;

cubo da soma ou diferença de dois termos; quadrado da soma de três termos / fatoração:

fator comum e agrupamento; diferença de dois quadrados; trinômio quadrado perfeito;

89

trinômio do 2º grau; soma ou diferença de dois cubos) – Equações (equação do 2ºgrau:

resolvendo sem fórmula; fórmula de Bhaskara; a fórmula das raízes; equações literais;

número de raízes reais; soma e produto das raízes; forma fatorada do trinômio do 2º grau /

equações redutíveis à do 2º grau: equações fracionárias; equações biquadradas; equações

irracionais; sistemas de equações) – Semelhança (teorema de Tales: razão de segmentos;

segmentos proporcionais; feixe de paralelas; transversal do feixe; paralelas igualmente

espaçadas; teorema de Tales / semelhança / semelhança de triângulos: conceito de

semelhança para triângulos; razão de semelhança; propriedades da semelhança; teorema

fundamental / casos de semelhança: 1º caso: A A (Ângulo – Ângulo); 2º caso: L A L (Lado –

Ângulo – Lado); 3º caso: L L L (Lado – Lado – Lado); conseqüência: base média de um

triângulo / relações métricas no triângulo retângulo: elementos de um triângulo retângulo;

semelhanças no triângulo retângulo; relações métricas no triângulo retângulo; aplicações

notáveis do teorema de Pitágoras / razões trigonométricas no triângulo retângulo: introdução;

razões trigonométricas; relações entre as razões trigonométricas; seno, cosseno e tangente de

de 45º; seno, cosseno e tangente de 30º e de 60º; seno, cosseno e tangente de outros ângulos;

aplicações das razões trigonométricas) – Estatística e probabilidade (noções de estatística:

tabelas e gráficos; média, mediana e moda; desvio-padrão / contagem e probabilidade:

princípio fundamental da contagem; outros problemas de contagem; probabilidade: de

quanto é a chance?) – Polígonos e circunferência (área do retângulo, do quadrado e do

paralelogramo: o que é área?; área do retângulo; área do quadrado; equivalência; área do

paralelogramo / área do triângulo, do losango e do trapézio: área do triângulo: fórmula geral;

caso particular: triângulo retângulo; caso particular: triângulo eqüilátero; outras fórmulas da

área do triângulo; redução dos lados com equivalência; área do losango; área do trapézio /

polígonos regulares: polígonos convexos; número de diagonais de um polígono; soma dos

ângulos internos de um polígono; soma dos ângulos externos de um polígono; o que é

polígono regular; polígonos inscritíveis em uma circunferência; polígonos circunscritíveis a

uma circunferência; elementos notáveis de um polígono regular; área do polígono regular /

lado e apótema de polígonos regulares: lado e apótema do quadrado inscrito; lado e apótema

do hexágono regular inscrito; lado e apótema do triângulo eqüilátero inscrito / comprimento

da circunferência e do arco: perímetros de polígonos regulares; comprimento da

circunferência; comprimento de um arco; cálculo do comprimento do arco / área do círculo e

de suas partes: área do círculo; área do setor circular; área da coroa circular) – Funções

(tabelas, fórmulas e gráficos: noção de função; representação gráfica / funções representadas

90

por retas: função constante; função do 1º grau; significado dos coeficientes;

proporcionalidade. função linear / função do 2º grau: função quadrática / inequações:

inequações do 1º grau; inequações do 2º grau; sistema de inequações; produtos e quocientes)

– Complementos de Geometria (relações métricas em um triângulo qualquer: lei dos

cossenos; aplicação da lei dos cossenos; classificação de um triângulo quanto aos ângulos;

lei dos senos / relações métricas na circunferência: relação entre cordas; relação entre

secantes; relação entre secante e tangente; potência de um ponto em relação a uma

circunferência / teorema das bissetrizes: teorema da bissetriz interna; teorema da bissetriz

externa).

ANEXO 5

Conteúdo do livro Tudo é Matemática – 5ª série

Formas geométricas (introdução; formas geométricas: uma primeira separação; formas

espaciais ou sólidos geométricos; formas planas) - Números naturais e sistemas de

numeração (introdução; alguns números naturais; um pouco de história; a seqüência dos

números naturais) – Resolução de problemas usando as operações fundamentais

(introdução; idéias associadas às quatro operações fundamentais; descobrindo operações;

cálculo mental; estimativa, arredondamento e resultado aproximado; revendo o algoritmo da

multiplicação; revendo o algoritmo da divisão; operações inversas; outras situações-

problema) – Simetria (introdução; figura com simetria em relação a um eixo; figuras com

simetria em relação a mais de um eixo; simetria em contornos de formas planas; simétrico de

uma figura; composição de simetrias: eixos paralelos) - Múltiplos e divisores (introdução;

idéias de múltiplo e de divisor de um número natural; múltiplos de um número natural;

economizando cálculos; mínimo múltiplo comum (mmc); divisores de um número natural;

divisores, geometria e medida; máximo divisor comum (mdc); número primo e número

composto) - Frações e porcentagens (introdução; algumas idéias associadas à fração;

números mistos; resolução de problemas usando as várias idéias de fração; frações e

medidas; frações equivalentes; simplificação de frações; comparação de frações; adição e

subtração de frações; multiplicação de frações; porcentagens) – Possibilidades e

probabilidades (introdução; possibilidades; a idéia de probabilidade; probabilidade ou

medida da chance) – Ângulos, polígonos e circunferências (introdução; ângulos; segmento

de reta; reta; polígonos; triângulos; quadriláteros; circunferências) – Números decimais

(introdução; representação decimal de frações e números mistos; décimos; cálculo mental

91

envolvendo inteiros e décimos; centésimos; relacionando décimos e centésimos; milésimos;

números decimais e sistema de numeração decimal; comparação de números decimais;

arredondamentos com decimais; operações com decimais; multiplicação e divisão de

decimal por 10, 100 e 1000; mudança de unidades no sistema decimal de medidas; outras

atividades usando as operações; porcentagem na forma decimal) – Perímetros e áreas

(introdução; as idéias de perímetro e de área; área de uma região retangular; área de uma

região quadrada; área da superfície limitada por um triângulo retângulo; outras unidades de

medida de superfície) - Potenciação e expressões numéricas (introdução; potenciação: uma

nova operação; potências de base 10; expressões numéricas) - Construções geométricas

(introdução; construções em papel quadriculado; construção de quadriláteros; desenhos de

formas espaciais; mosaicos, faixas decorativas e ornamentos; construções com régua e

esquadro) – Estatística (introdução; pesquisas estatísticas; gráfico de segmentos; retomando

a média aritmética).

ANEXO 6

Conteúdo do livro Tudo é Matemática – 6ª série

Números naturais (introdução; números naturais: uma longa história; numeração egípcia;

numeração mesopotâmica; numeração romana; numeração maia; numeração indo-arábica;

numeração decimal; arredondamentos; seqüência dos números naturais; outras seqüências

importantes; raiz quadrada; seqüência de Fibonacci; verificando se um número está em uma

seqüência de múltiplos; números primos e compostos; possibilidades; algumas estratégias de

contagem; situações-problema envolvendo números naturais) – Formas geométricas

(introdução; formas geométricas: uma primeira classificação; classificação das formas

espaciais; elementos de um poliedro: vértice, face e aresta; poliedros convexos e não-

convexos; principais poliedros convexos; poliedros convexos e números; classificação dos

poliedros; corpos redondos; situações-problema; localização no plano; formas espaciais e

medida: a idéia de volume; formas geométricas planas; composição de formas planas; vistas

de uma forma; formas planas e medida: a idéia de área; formas planas e arte; contornos de

formas planas; classificação dos contornos; elementos de um polígono e sua classificação;

diagonal de um polígono; números poligonais; contornos e medida: a idéia de perímetro) –

Frações e decimais (introdução; frações, decimais e porcentagens; frações, decimais e

medidas; números decimais e sistema de numeração decimal; comparação de números

decimais; comparação de frações; arredondando e estimando resultados de operações;

92

multiplicação e divisão por 10, 100, 1000, ...; multiplicação de um número decimal por outro

número decimal; divisão de decimais; operações com frações: aprendendo um pouco mais;

multiplicação envolvendo frações; divisão de fração por número natural; divisão de número

natural por fração; divisão de fração por fração; outras atividades envolvendo frações,

decimais e porcentagem) - Grandezas e medidas (introdução; explorando a idéia de

medida; o planeta Terra e as medidas; unidades do sistema decimal de medidas; medida de

ângulo; outras atividades envolvendo os vários tipos de medida) - Números positivos e

negativos (introdução; explorando a idéia de número positivo e de número negativo; a

subtração e os números negativos; pares ordenados; distância em relação à origem; números

opostos ou simétricos; comparação de números inteiros; adição de números inteiros;

subtração de números inteiros; multiplicação de números inteiros; divisão de números

inteiros; potenciação: número inteiro na base e número natural no expoente; expressões

numéricas com números inteiros; propriedade distributiva da multiplicação em relação à

adição) – Ângulos, polígonos e circunferência (introdução; ângulos complementares e

suplementares; ângulos adjacentes e suplementares; ângulos opostos pelo vértice; ângulos

formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal; ângulos em um polígono;

soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo; classificando triângulos quanto aos

ângulos; ângulos de um paralelogramo; polígonos regulares; circunferências; gráficos de

setores; construção de gráfico de setores) – Equações (introdução; letras em lugar de

números; expressões algébricas; expressões algébricas equivalentes; valor numérico de uma

expressão algébrica; procura-se um elemento desconhecido; usando letras para encontrar

números desconhecidos; equação e incógnita; resolução de equações; resolução de equações

com uso de diagramas; resolução de equações com uso das operações inversas; explorando a

idéia de equilíbrio e resolvendo equações; equações e Geometria; usar ou não usar equação)

– Proporcionalidade (introdução; a idéia de proporcionalidade; grandezas diretamente

proporcionais; situações de não-proporcionalidade; diversas maneiras de expressar uma

situação de proporcionalidade direta; descobrindo regularidades; escalas: mapas, plantas e

maquetes; densidade demográfica; velocidade; porcentagem; movimento uniforme:

velocidade constante; proporcionalidade direta e gráfico; grandezas inversamente

proporcionais; regra de três; outras situações de proporcionalidade) – Perímetros, áreas e

volumes (introdução; perímetro; comprimento da circunferência (perímetro do círculo);

área; volume; relação entre volume e capacidade; situações-problema) – Construções

93

geométricas e simetria (introdução; circunferência; primeiras construções com régua e

compasso; simetria).

ANEXO 7

Conteúdo do livro Tudo é Matemática – 7ª série

Números e aplicações (introdução; usando números naturais; contagem, código e

ordenação; possibilidades e contagem; situações-problema envolvendo números naturais;

estimativa; usando números inteiros; revendo operações com números inteiros; coordenadas:

localização de pontos no plano; reflexão, translação e ampliação; coordenadas geográficas:

latitude e longitude; usando frações; probabilidade; usando números decimais; usando

porcentagem) – Divisibilidade e frações (introdução; múltiplos de um número natural;

divisores ou fatores de um número natural; números primos; decomposição de um número

natural em fatores primos; usando a decomposição em fatores primos; mínimo múltiplo

comum (mmc); cálculo do mmc usando a decomposição em fatores primos; uso do mmc na

resolução de equações; uso do mmc na comparação de frações; operações com frações) –

Representação de formas geométricas espaciais no plano (introdução; planificações de

formas geométricas espaciais; poliedros regulares; representação de formas espaciais

geométricas no plano; vistas de uma forma geométrica espacial; perspectiva: outra forma de

representação de formas espaciais no plano; perspectiva e foto; perspectiva com dois pontos

de fuga) – Estudo de potências e raízes (introdução; números racionais; números

irracionais; números reais; potências; justificando por que aº = 1, para a = 0; usando

potências de 10; potências de 10 e decomposição de números naturais e decimais; a notação

ou escrita científica; raízes; números quadrados perfeitos e números cúbicos; raízes não-

exatas de números naturais) – Expressões algébricas, equações e inequações (introdução;

expressões algébricas e variável; regularidades dadas por expressões algébricas; situações

representadas por expressões algébricas; valor numérico de uma expressão algébrica;

expressões algébricas e equações; os truques numéricos e as expressões algébricas; fórmulas;

inequações: as desigualdades matemáticas) – Propriedades de figuras geométricas

(introdução; ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma reta transversal; soma

das medidas dos ângulos internos de um triângulo; soma das medidas dos ângulos internos

de um polígono convexo; ângulos internos em polígonos regulares; ladrilhamento:

preenchimento do plano; figuras congruentes; congruência de triângulos; mediana, bissetriz

e altura de um triângulos; ortocentro de um triângulo; incentro de um triângulo; baricentro de

94

um triângulo) – Cálculo algébrico (introdução; monômios; polinômios; adição e subtração

de polinômios; divisão de polinômios por monômios; multiplicação de polinômios;

multiplicação de binômio por binômio; produtos notáveis; aplicações dos produtos notáveis

e da fatoração; algumas demonstrações) - Proporcionalidade em Geometria (introdução;

figuras com dimensões proporcionais; proporcionalidade em retas paralelas cortadas por

duas retas transversais; Tales e a altura de uma pirâmide; proporcionalidade em triângulos

retângulos com ângulo de 30º; proporcionalidade nas circunferências; a divina proporção: o

número de ouro; polígonos semelhantes; triângulos semelhantes; proporcionalidade e escala)

- Sistemas de equação do 1º grau (introdução; pares ordenados: soluções de uma equação

do 1º grau com duas incógnitas; sistemas de duas equações do 1º grau com duas incógnitas;

uso de tabelas para resolver sistemas de equações; sistemas de equações e equilíbrio na

balança; o método da substituição na resolução de sistema de equações; o método da adição

na resolução de sistema de equações; solução gráfica de um sistema de equações) –

Perímetros, áreas e volumes (introdução; perímetro de um contorno; área de uma

superfície; volume de uma forma espacial; fórmulas para o cálculo de perímetros; principais

fórmulas para o cálculo de áreas; losango; situações-problema; a relação de Pitágoras: uma

grande descoberta envolvendo áreas; fórmulas para o cálculo de volumes) – Estatística

(introdução; estudando tabelas e gráficos; freqüências: organizando os dados de uma

pesquisa; variáveis qualitativas e quantitativas; média, mediana e moda: medidas de

tendência central) - Construções geométricas (introdução; primeiras construções com régua

e compasso; desigualdade triangular; retas perpendiculares; retas paralelas; circuncentro de

um triângulo).

ANEXO 8

Conteúdo do livro Tudo é Matemática – 8ª série

Conjuntos numéricos e inequações (introdução; conjuntos numéricos; equações em N, Z e

Q; localizando números racionais na reta; densidade do conjunto dos números racionais;

conjunto dos números irracionais (Ir); conjunto dos números reais (R); relacionando os

conjuntos numéricos; a reta numerada, os racionais e os irracionais; cálculo com radicais;

operações com radicais; demonstrações; racionalização de denominadores; desigualdades

com números inteiros; desigualdades com números reais; inequações do 1º grau) – Equações

e sistemas de equações do 2º grau (introdução; retomando as equações do 1º grau;

situações-problema; grau de uma equação; equações do 2º grau; reconhecendo os elementos

95

de uma equação do 2º grau com uma incógnita; raízes ou soluções de uma equação do 2º

grau; resolução de equações do 2º grau; usando a fatoração para resolver equações do 2º

grau; generalização; resolvendo equações do 2º grau completas por fatoração; interpretação

geométrica da fatoração; o método de “completar quadrados” de Al-Khowarizmi;

completando quadrados algebricamente; a fórmula de resolução de uma equação do 2º grau:

uma grande descoberta; aplicações da equação do 2º grau; relações entre coeficientes e raízes

de uma equação do 2º grau; sistemas com equações do 2º grau) – Semelhança (introdução;

ampliação e redução de figuras; processos para ampliar e reduzir figuras; figuras

semelhantes e figuras congruentes; tornando mais precisa a idéia de semelhança; figuras

semelhantes; escalas; transformações geométricas; outro tipo de transformação: a homotetia;

uma propriedade importante da homotetia; ampliação e redução de uma figura por

homotetia; semelhança: aprofundando o conceito; semelhança: uma correspondência

biunívoca entre figuras; polígonos semelhantes; triângulos semelhantes; propriedade

fundamental da semelhança de triângulos; aplicação da propriedade fundamental; casos de

semelhança de triângulos; aplicações dos casos de semelhança de triângulos; uso de

semelhança para medir distâncias inacessíveis; feixe de paralelas) – Relações métricas nos

triângulos retângulos (introdução; demonstrações; outras aplicações da relação de

Pitágoras; as ternas pitagóricas) – Introdução à Trigonometria (introdução; índice de

subida; a idéia de tangente; as idéias de seno e cosseno; trigonometria nos triângulos

retângulos; uso das relações trigonométricas em polígonos regulares inscritos na

circunferência; medidas do raio (r), do lado (l) e do apótema (a) em um polígono regular) –

Probabilidade e Estatística: tratando informações (introdução; probabilidade: a medida

da “chance” de um evento acontecer; estatística e probabilidade; probabilidade condicional;

resolvendo mais problemas sobre probabilidades; distribuição probabilística; distribuindo

freqüências em classes; histograma; analisando e interpretando pesquisas estatísticas) –

Explorando a idéia de função (introdução; a idéia intuitiva de função; gráficos de funções;

construção de gráficos de funções; reconhecendo se um gráfico é de uma função; situações-

problema; funções e proporcionalidade) – Circunferências e círculos (introdução; do

espaço para o plano e do plano para os contornos; corda e diâmetro; simetrias na

circunferência; posições relativas de uma reta e de uma circunferência; posições relativas de

duas circunferências; ângulos em uma circunferência; traçado de hexágono regular; relações

métricas na circunferência) – Perímetros, áreas e volumes (introdução; retomando o

cálculo de perímetro; perímetro do círculo (comprimento da circunferência); retomando e

96

aprofundando a idéia de área; retomando o cálculo da medida de volume) – Matemática

Financeira (introdução; razão, proporção, porcentagem – conceitos essenciais; regra de

sociedade; juros simples e juros compostos).

ANEXO 9

Conteúdo do livro Matemática aula por aula – Ensino Médio

Conjuntos (revendo a teoria dos conjuntos; conjuntos numéricos) – Funções (pré-requisitos

para o estudo de funções; funções) – Função polinomial do 1º grau (função polinomial do

1º grau; características importantes da função do 1º grau; gráfico de uma função do 1º grau;

estudo dos sinais da função do 1º grau; inequações; sistemas de inequações; inequação-

produto; inequação-quociente) – Função polinomial do 2º grau (função quadrática; gráfico

da função quadrática; raízes ou zeros da função quadrática; vértice da parábola; conjunto

imagem da função quadrática; estudo dos sinais da função quadrática; inequação; sistema de

inequações; inequação-produto; inequação-quociente) - Função exponencial (tópicos

básicos para função exponencial; equações exponenciais; função exponencial; inequações

exponenciais) – Função logarítmica (logaritmo; conseqüências da definição; propriedades

operatórias; mudança de base; equações logarítmicas; função logarítmica; inequações

logarítmicas) – Função modular (função modular; equações modulares; inequações

modulares) – Trigonometria (trigonometria no triângulo retângulo; trigonometria no

círculo; funções trigonométricas; relações trigonométricas; redução ao 1º quadrante;

operações com arcos e transformação em produto; equações trigonométricas; inequações

trigonométricas; triângulos quaisquer) – Progressões (seqüência ou sucessão; progressão

aritmética; progressão geométrica) – Matrizes (matrizes; tipos de matrizes; matriz

transposta; igualdade de matrizes; operações com matrizes; matriz inversa) – Determinantes

(estudo dos determinantes; cofator de um elemento aij; teorema de Laplace; regra de Sarrus;

determinante de uma matriz quadrada de ordem n maior que 3) – Sistemas lineares

(equação linear; sistema linear; regra de Cramer; classificação de um sistema linear;

escalonamento de sistemas) – Análise Combinatória / Binômio de Newton (princípio

fundamental da contagem; fatorial; permutação simples; arranjo simples; combinação

simples; permutação com elementos repetidos; números binomiais; triângulo de Pascal;

binômio de Newton) – Probabilidade (elementos do estudo das probabilidades;

probabilidade; união de dois eventos; probabilidade condicional) – Geometria espacial

(tópicos de geometria plana; prismas; pirâmides; cilindros; cones; esferas; poliedros) –

97

Geometria analítica (ponto; reta; circunferência) – Números complexos (conjunto dos

números complexos; forma algébrica; potências da unidade imaginária; adição, subtração e

multiplicação; conjugado de um número complexo; divisão; representação geométrica de um

número complexo; forma trigonométrica de um número complexo; potenciação) –

Polinômios (polinômios; identidade de polinômios; adição e subtração de polinômios;

multiplicação de polinômios; divisão de polinômios; equações algébricas) – Estatística e

Matemática Financeira (Estatística: conceitos introdutórios; medidas de tendência central;

medidas de dispersão / Matemática Financeira: introdução; porcentagem; lucro; desconto;

acréscimos sucessivos; descontos sucessivos).

ANEXO 10

Conteúdo do livro Matemática volume único – Ensino Médio

Álgebra I (Conjuntos numéricos: introdução; o conjunto N; o conjunto Z; o conjunto Q; o

conjunto I; o conjunto R; intervalos reais; outro conjunto importante / Funções: introdução;

definição; funções definidas por fórmulas; domínio e contradomínio; gráficos; noções

básicas de plano cartesiano; construção de gráficos; análise de gráficos / Função afim:

introdução; definição; gráfico; coeficientes da função afim; zero e equação do 1º grau;

crescimento e decrescimento; sinal; inequações / Função quadrática: introdução; definição;

gráfico; zeros e equação do 2º grau; coordenadas do vértice da parábola; imagem; construção

da parábola; sinal; inequações / Função modular: função definida por mais de uma sentença;

módulo de um número; função modular; gráfico; imagem; função composta; funções

compostas com a modular; equações modulares; inequações modulares / Função

exponencial: potência de expoente natural; potência de expoente inteiro negativo; raiz n-

ésima (enésima) aritmética; potência de expoente racional; função exponencial / Logaritmos:

(introdução; conseqüências; sistemas de logaritmos; propriedades operatórias; utilização das

propriedades; mudança de base / Função logarítmica: introdução; funções sobrejetoras;

funções injetoras; funções bijetoras ou inversíveis; função inversa; função logarítmica;

equações exponenciais; equações logarítmicas; inequações exponenciais; inequações

logarítmicas / Progressões: seqüências numéricas; progressões aritméticas; temo geral da

P.A.; notação especial; soma dos n primeiros termos de uma P.A.; progressões geométricas;

termo geral da P.G.; trabalhando ao mesmo tempo com P.A. e P.G.; soma dos n primeiros

termos de uma P.G.; série geométrica convergente) – Matemática Financeira (Noções de

matemática Financeira: razão e proporção; porcentagem; juros; juros simples; juros

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compostos) – Trigonometria (Semelhança de triângulos: introdução; triângulos

semelhantes; relações métricas no triângulo retângulo / Trigonometria no triângulo

retângulo: introdução; razões trigonométricas; relação fundamental I; outra razão

trigonométrica; relação fundamental II; ângulos notáveis / Resolução de triângulos:

introdução; ângulos suplementares; lei dos senos ou teorema dos senos; lei dos cossenos ou

teorema dos cossenos / Funções circulares: ciclo trigonométrico; funções circulares /

Relações entre funções: relações fundamentais; relações decorrentes; identidades

trigonométricas / Transformações: introdução; fórmulas de adição e subtração; fórmulas de

multiplicação; fórmulas de transformação em produto / Equações e inequações: equações

elementares; inequações elementares / Retomando as funções trigonométricas: função seno;

função cosseno; função tangente; as outras funções trigonométricas) – Álgebra II (Matrizes:

introdução; representação de uma matriz; matrizes especiais; igualdade de matrizes; adição e

subtração; multiplicação de um número real por uma matriz; multiplicação de matrizes;

matriz identidade; matriz inversa / Determinantes: definição e regras práticas; cofator;

teorema de Laplace / Sistemas lineares: introdução; equação linear; sistema linear; sistemas

escalonados; sistemas equivalentes e escalonamento; sistemas homogêneos; regra de

Cramer; discussão de um sistema / Análise combinatória: introdução; princípio fundamental

da contagem; fatorial de um número natural; arranjos; permutações; combinações;

permutação com elementos repetidos / Probabilidade: introdução; experimento aleatório;

espaço amostral; evento; probabilidades em espaços amostrais eqüiprováveis; probabilidade

da união de dois eventos; probabilidade condicional; probabilidade de dois eventos

simultâneos (ou sucessivos); experimentos binomiais / Binômio de Newton: introdução;

coeficientes binomiais; triângulo de Pascal/Tartaglia; somatório; desenvolvimento de (a+b)n;

termo geral do binômio) – Estatística (Estatística: introdução; variável; tabelas de

freqüência; representação gráfica; medidas de centralidade; medidas de dispersão) –

Geometria (Geometria espacial de posição: introdução; noções primitivas e postulados;

determinação de retas e planos; posições relativas; perpendicularidade; projeções ortogonais

sobre um plano; distâncias geométricas; ângulos / Poliedros: introdução; os poliedros;

relação de Euler; poliedros de Platão; poliedros regulares / Áreas de superfícies planas:

conceito; área do retângulo; área do quadrado; área do paralelogramo; área do triângulo; área

do trapézio; área do losango; área do polígono regular; área do círculo / Prismas: conceito;

elementos; classificação; paralelepípedo; áreas e volumes / Pirâmide: conceito; elementos;

classificação; áreas e volumes; tetraedro regular; tronco de pirâmide / Cilindro: conceito;

99

elementos; classificação; áreas e volumes; seção meridiana e cilindro eqüilátero / Cone:

conceito; elementos; classificação; áreas e volumes; seção meridiana e cone eqüilátero;

tronco de cone / Esfera: conceito; elementos; áreas e volumes; fuso esférico; cunha esférica)

– Geometria analítica (O ponto: introdução; o plano cartesiano; distância entre dois pontos;

ponto médio de um segmento; condição de alinhamento de três pontos / A reta: introdução; a

equação geral da reta; a equação reduzida da reta; retas que passam por um ponto dado;

outras formas de equação da reta; analogia com a função afim; interseção de retas;

paralelismo; perpendicularidade; inequações do 1º grau com duas variáveis; ângulos entre

retas; distância entre ponto e reta; área de um triângulo; bissetrizes dos ângulos de duas retas

/ A circunferência: a equação reduzida da circunferência; a equação geral da circunferência;

posições relativas entre ponto e circunferência; inequações do 2ºgrau com duas incógnitas;

posições relativas entre reta e circunferência; problemas de tangência / As cônicas: elipse;

hipérbole; parábola) – Álgebra III (Números complexos: introdução; igualdade entre

números complexos; operações com números complexos; potências de i; plano de Argand-

Gauss; módulo; argumento; forma trigonométrica ou polar; operações na forma

trigonométrica; potenciação em C; radiciação em C / Polinômios: função monomial; função

polinomial; adição, subtração e multiplicação de polinômios; divisão de polinômios; divisão

de binômios do tipo x-a; divisões sucessivas / Equações polinomiais ou algébricas:

introdução; noções iniciais; Teorema Fundamental da Álgebra (TFA); teorema da

decomposição; multiplicidade de uma raiz; raízes complexas; relações de Girard; raízes

racionais)

100

GLOSSÁRIO DE TERMOS FINANCEIROS

Empresa de capital aberto – é a empresa que tem vários proprietários e que negocia suas

ações em bolsas de valores. São as denominadas sociedades anônimas (ou S.A.).

Ações – são as milhares, milhões ou bilhões de partes nas quais as empresas de capital aberto

são divididas. Quem possui 50,1% das ações de uma determinada empresa, por exemplo, é o

acionista majoritário e, portanto, é o maior sócio dela. O sócio majoritário (ou grupo de

acionistas que detêm juntos mais de 50% das ações da empresa) dirige a empresa, nomeando

e exonerando seu presidente e demais diretores.

Blue chips – são as ações mais negociadas das bolsas de valores. Normalmente são de

grandes empresas sólidas e influentes no mercado e possuem grande liquidez, sendo, então,

procuradas pelos investidores.

Banco Central do Brasil – é o banco responsável por controlar a economia brasileira:

estabelece taxa de juros máxima a ser praticada pelo mercado; autoriza o funcionamento e

faz um monitoramento da saúde financeira dos bancos comerciais; distribui e recolhe

diariamente o dinheiro (papel moeda e moedas) que circula no país, dentre outras atividades.

Conta-corrente – conta onde seu titular faz depósitos e retiradas. Não possui rendimento. Ela

é a base para as aplicações bancárias. Qualquer pessoa com mais de dezoito anos de idade

pode abrir uma conta-corrente em algum banco, necessitando para isso preencher uma ficha

cadastral e apresentar cópia de RG (carteira de identidade), CPF, comprovante de residência

e comprovante de renda. Estes documentos são exigidos pelo Banco Central.

Fundos de investimento – são fundos de aplicação instituídos e administrados pelos bancos,

devidamente autorizados pelo Banco Central, para captar dinheiro de seus clientes a fim de

comprar ações ou títulos de crédito. Sobre todos os fundos incide imposto de renda, que gira

em torno de 20% do seu rendimento, que são recolhidos ao governo federal no final de todo

mês. Existe outro imposto chamado IOF (Imposto sobre Operações Financeiras) que incide

também sobre os rendimentos caso o investidor retire o dinheiro aplicado (efetue um resgate)

num prazo menor que 30 dias corridos. Os fundos funcionam baseados numa cota que

valoriza (ou pode desvalorizar, no caso dos fundos de ações) diariamente, sendo o

rendimento mensal calculado com base nas cotas do primeiro dia do mês e o primeiro dia do

mês subseqüente. Os bancos divulgam o rendimento mensal de seus fundos.

101

Títulos de crédito públicos e privados – são duplicatas (chamados de papéis no mercado

financeiro) emitidas pelo governo federal, pelos bancos e demais instituições financeiras

devidamente autorizadas, com um prazo de vencimento determinado, que são oferecidas às

instituições financeiras pelo preço determinado, pagando juros que podem ser prefixados ou

indexados a algum indicador econômico de juros ou de inflação (os chamados pós-fixados).

No final do prazo contratual, este título é resgatado pelo emitente ou renegociado

novamente.

Inflação – Aumento generalizado dos preços dos produtos e serviços que estão à disposição

de uma determinada sociedade. Cada produto ou serviço tem um peso específico no cálculo

da inflação, que é calculada considerando-se a média dos aumentos dos preços destes

produtos e serviços, considerando-se o peso de cada um. Logo, a inflação é a média

ponderada dos aumentos dos preços.

Deflação – Quando, por vários fatores, a maioria dos produtos e serviços ofertados à

sociedade têm seus preços reduzidos (ficam mais baratos), ocorre deflação, inflação negativa

ou aumento negativo de preços. Recentemente no Japão ocorreu este fenômeno: a moeda

valia mais que o produto ou serviço, pois com o passar do tempo, comprava-se maior

número de produtos com a mesma quantidade de dinheiro.

TR – Taxa Referencial de Juros calculada pelo Banco Central. Uma de suas finalidades é

corrigir monetariamente as aplicações em poupança e o FGTS (Fundo de Garantia por

Tempo de Serviço). É calculada diariamente e toma como base a média aritmética das taxas

pagas pelos Certificados de Depósito Bancário no dia anterior, na presente data e no dia

seguinte, gerando o valor da TR diária. A TR calculada para o dia 1º de cada mês é a TR

mensal.