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Syzygies – Um jogo de Lewis Carroll

Dores FerreiraAgrupamento de escolas de Real-Braga

[email protected]

Resumo: Lewis Carroll, autor do famoso livro “Alice no paıs das maravilhas”,foi tambem um inventor de jogos de palavras. Neste artigo apresenta-se um dosseus jogos de palavras, o qual batizou de “Syzygies”.

Palavras-chave: jogos de palavras, ensino basico, padroes.

1 Introducao

O matematico Charles Lutwidge Dodgson, ficou mais conhecido por Lewis Car-roll, o autor de “Alice no paıs das maravilhas” e “Alice do outro lado do es-pelho”, duas das suas mais famosas publicacoes. Sendo muito conhecido pelassuas historias e poesias, onde o seu sentido matematico esta muito presente,Lewis Carroll publicou obras cientıficas relevantes, principalmente no campo daLogica e da Geometria, deixando-nos ainda um numero consideravel de jogose puzzles. Algumas das suas recreacoes foram posteriormente compiladas porEdward Wikeling em dois livros, que recomendamos ao leitor: Lewis Carroll’sGames and Puzzles [4] e Rediscovered Lewis Carroll Puzzles [5].

O jogo Syzygies, tera sido inventado em 12 de Dezembro de 1879, como refereLewis Carroll no seu diario [5]. A primeira publicacao deste jogo data de 1891,no jornal The Lady. Trata-se de um jogo de palavras, que envolve o raciocıniologico, com a particularidade da descricao ser feita atraves de definicoes e re-gras numeradas, numa aproximacao a linguagem matematica [3]. Para obter apontuacao do jogo, e tambem sugerida a utilizacao de uma expressao algebrica.Alias, era precisamente em jornais importantes da epoca que Carroll publicavaos seus jogos, enunciando os problemas que os leitores deveriam resolver. Naseccao dedicada ao jogo, era proposto um torneio com premios para os vencedo-res. Tratava-se de um jogo para os leitores que participavam no torneio, sendoCarroll o mestre do jogo.

O jogo Syzygies parece ter surgido com base num outro jogo de palavras, o Dou-

Jornal das Primeiras Matematicas, N.o 4, pp. 11–22

12 Syzygies – Um jogo de Lewis Carroll

blets, tambem inventado por Lewis Carroll e que teve muito sucesso na epocacom a sua publicacao na revista Vanity Fair de marco de 1879 a abril de 1881 [4].

Os jogos e puzzles de Lewis Carroll, sao de um humor muito caracterıstico edesafiadores, pelo que Wakeling, um pouco ao jeito do humor de Lewis Carroll,considera-os “adequados para criancas dos cinco aos noventa e cinco anos deidade e para alguns adultos”. Entretanto, a experiencia do jogo Syzygies, levadaa cabo com alunos do 4.◦ e 5.◦ anos de escolaridade, leva-nos a considerar estejogo mais adequado a partir dos 8 anos de idade [2].

2 Syzygies

A descricao do jogo, que se fara de seguida, foi adaptada de Lewis Carroll ([1],pp. 288-304).

Figura 1: Syzygies, imagem retirada de [5].

2.1 Definicoes

definicao 1: Quando duas palavras contem o mesmo conjunto de uma ou maisletras consecutivas, uma copia desse conjunto, colocada entre parentesis entreduas palavras, e chamado um Syzygy. Diz-se tambem que ele emparelha umconjunto ao outro, e tambem que emparelha cada letra de um conjunto a letracorrespondente do outro conjunto.


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Figura 2: Exemplos relativos a Definicao 1.

No exemplo (1) o Syzygy pode ser visto como emparelhando um qualquer “a”de carta com o “a” de tarte. No exemplo (2) o Syzygy pode ser visto comoemparelhando o “t” de carta com um qualquer “t” de tarte. Ja no exemplo (4)o Syzygy “pa” esta a emparelhar o “pa” de partida com o segundo dos “pa” depapagaio, ja que nao podem ser emparelhados dois conjuntos que estejam noinıcio de duas palavras (ver Regra 3).

definicao 2: Um conjunto de quatro ou mais palavras, com Syzygy entre cadaduas, e chamado uma “cadeia”, na qual todas menos as palavras extremas saochamadas “elos”.

definicao 3: Num problema–Syzygy, dao-se duas palavras, que deverao formaros extremos de uma cadeia. Se as palavras dadas sao barbatana e homem, o pro-blema poderia ser formulado como “Coloque uma BARBATANA no HOMEM”.A cadeia exposta na Figura 3 seria uma solucao do problema.

Figura 3: “Coloque uma BARBATANA no HOMEM”

definicao 4: Cada letra numa cadeia, que nao esteja emparelhada a algumaoutra, diz-se um desperdıcio. No entanto, se qualquer das palavras extremascontem mais de 7 letras, as letras extra (para alem de sete) nao contam comodesperdıcio. Assim, na cadeia de cima, as letras “bartana” em “barbatana”,o “r” de “barco”, “saa” em “sacola” e “mem” em “homem” sao desperdıcio;esta cadeia tem assim 14 letras de desperdıcio; mas como duas das letras de“barbatana” nao contam como desperdıcio, a cadeia tem apenas 12 letras dedesperdıcio.



2.2 Regras para formar cadeias

regra 1: Uma cadeia deve ser escrita como descreve a Definicao 3. Nao inte-ressa qual das palavras extremas e colocada primeiro.

regra 2: Qualquer palavra, colocada como elo, deve satisfazer os seguintesrequisitos:

1. Nao pode ser estrangeira, a nao ser que seja de uso corrente;

2. Tem de ser de uso corrente em conversas, cartas, livros e na sociedade;assim, calao e jargao nao sao admissıveis;

3. Nao pode ser um nome que seja usualmente escrito com letra maiusculainicial; mas marta referindo-se ao animal, ja e admissıvel;

4. Nao pode ser uma abreviacao ou palavra composta.

regra 3: Quando duas palavras comecam com o mesmo conjunto de uma oumais letras consecutivas, ou comecariam se certos prefixos fossem retirados, cadaletra de um conjunto fica “proibida” com respeito a letra correspondente no ou-tro conjunto.

regra 4: Quando duas palavras terminam com o mesmo conjunto de umaou mais letras consecutivas, ou terminariam se certos sufixos fossem retirados,cada letra de um conjunto fica “proibida” com respeito a letra correspondenteno outro conjunto.

regra 5: Os substantivos e os verbos nao devem ser considerados prefixos ousufixos.

regra 6: As letras “i” e “y” devem ser tratadas como se fossem iguais.

regra 7: A pontuacao de uma cadeia deve ser calculada escrevendo setenumeros, como se segue:

1. O maior numero de letras num syzygy extremo, mais o dobro do menor;

2. O menor numero de letras num syzygy;

3. A soma de 7.1 com o produto dos dois numeros consecutivos acima de 7.2;

4. O numero de elos;

5. O numero de letras desperdicadas;

6. A soma do dobro de 7.4 com 7.5;

7. O que resta quando tiramos 7.6 a 7.3; Se 7.6 for maior do que 7.3, entaoo que resta deve ser 0. O que for obtido em 7.7 e a pontuacao da cadeia.

nota: Para os alunos do ensino basico, com idades compreendidas entre os 8 eos 14 anos aconselhamos acrescentar o seguinte ponto as regras de pontuacao:


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regra 7.8: Ao dobro de 7.7 adicionam-se pontos de acordo com as seguintescondicoes: 3 pontos – cadeia com 2 elos; 2 pontos – cadeia com 3 ou mais elos.O que for obtido em 7.8 e a pontuacao da cadeia.

Desta forma, valoriza-se a pontuacao original de Lewis Carroll, uma vez que seduplica o valor obtido em 7.7, havendo tambem um maior incentivo ao jogo,na medida em que o jogador consegue alguma pontuacao desde que nao cometaerros na formacao das cadeias.

A Figura 4 contem um exemplo relativo a regra 7.

Figura 4: Regra 7.

Como o maior numero de letras num syzygy terminal e 2 e o menor e 2, 7.1 e6; 7.2 e 2; 7.3 e 18, ou seja 6 + 3 × 4; 7.4 e 3; 7.5 e 12; 7.6 e 18; 7.7 e 0. Apontuacao para esta cadeia e assim de 0.

Se tivessemos uma diferente cadeia poderıamos ter uma diferente pontuacao(Figura 5).

Figura 5: Outra cadeia.

Como o maior numero de letras num syzygy terminal e 4 e o menor e 2, 7.1 e8; 7.2 e 1; 7.3 e 14, pois e 8 + 2 × 3; 7.4 e 2; 7.5 e 9; 7.6 e 13; 7.7 e neste caso



14− 13, ou seja 1. A pontuacao desta cadeia e assim 1.

Na pontuacao pode utilizar-se a expressao

(a+ 2b) + (m+ 1)(m+ 2)− (2k + w),

em que

a = maior numero de letras num syzygy extremo

b = menor numero de letras num syzygy extremo

m = menor numero de letras num syzygy

k = numero de elos

w = numero de desperdıcios

Ou seja, para a ultima cadeia apresentada temos

(4 + 2× 2) + (1 + 1)× (1 + 2)− (2× 2 + 9) = 1.

No caso de se utilizar a pontuacao sugerida para os alunos do ensino basico,temos para a primeira cadeia a pontuacao de 0, mas como e valida e tem 3 elossoma ao dobro da pontuacao anterior 2 pontos. Assim a pontuacao da primeiracadeia e 2. Na segunda cadeia, como e valida e tem 2 elos, soma 3 pontos aodobro da pontuacao anterior, que era 1, perfazendo 5 pontos no total. Destaforma os jogadores pontuam mais e e valorizada a construcao de cadeias validas.

2.3 Regras para a pontuacao das cadeias

regra 1: Se numa cadeia o jogador omite um syzygy, deve inserir-se um syzygyde uma letra, desde que haja uma valida.

regra 2: Se o jogador omite um elo, deve eliminar-se os dois syzygies adjacen-tes e proceder como na Regra 1.

regra 3: Se um elo esta mal escrito (com erro ortografico), deve ser corrigido.

regra 4: Se um syzygy contem letras ilegais, estas devem ser eliminadas ededuz-se o dobro desse numero de letras na pontuacao.

regra 5: Se um de dois syzygies consecutivos contem o outro, deve eliminar-seo elo intermedio e o syzygy contendo o outro. Veja-se os exemplos da Figura 6.


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Figura 6: Exemplos.

Na situacao (1) deve eliminar-se o elo “canto” e o primeiro syzygy (canto) quecontem o segundo. Em (2), deve eliminar-se o elo “canto” e um dos dois syzygies(uma vez que sao iguais). Dessa correcao resulta o exposto na Figura 7.

Figura 7: Exemplos (continuacao).

Ambas as situacoes nao sao validas, de acordo com a Regra 4.

regra 6: A penalizacao atribuıda pela regra precedente nao pode ser evitadaescrevendo syzygies mais curtos do que o que poderia ser reivindicado, na ten-tativa de evitar um syzygy contendo o outro. Estes casos devem tratar-se comose fossem escritos na totalidade. Veja-se o exemplo da Figura 8.

Figura 8: Regra 6.

Neste caso os syzygies seriam tratados como se fossem escritos na totalidade,ou seja “anto”, e a cadeia seria considerada invalida pela Regra 4.

regra 7: Se, por outro lado, uma cadeia contem menos de dois elos, ou um eloou syzygy invalidos, deve ser rejeitada. Caso contrario, deve ser calculada a suapontuacao.

regra 8: Ao calcular “o menor numero de letras num syzygy” nao se deve terem conta nenhum syzygy inserido pelo corretor/classificador a menos que naohaja outro.



regra 9: Se o jogador elabora uma cadeia suplementar, deve considerar-se amelhor.

regra 10: Se todas as cadeias elaboradas sao rejeitadas, coloca-se zero napontuacao do jogador em causa, assinalando a razao pela qual cada cadeia foirejeitada.

regra 11: Ao colocar um problema–syzygy pode-se barrar/impedir qualquerpalavra de ser usada como elo. Pode tambem anunciar-se a lista de elos que seconsiderem violar a Regra 2 e os syzygies que violem a ocorrencia de sufixos oude prefixos, a Regra 3 ou a Regra 4. Caso os jogadores ja tenham elaborado umaresolucao ao problema sem o conhecimento desta lista podem ser convidados auma segunda tentativa.

3 Sugestoes para a elaboracao de cadeias

Para facilitar a elaboracao de cadeias podera ser util verificarmos as diferentespossibilidades de construcao de novas palavras a partir de cada uma das palavrasdo problema. Vejamos o seguinte exemplo para o problema–syzygy “Transformeo CAMELO em DROMEDARIO”.

Iniciaremos a seguinte tentativa, procurando algumas possibilidades para cadauma das palavras. Para a palavra CAMELO surgem-nos as palavras “medica-mento”, “gamela”, “lamela”, “melodia”, “melodico”, que, por sua vez, poderaoformar as palavras “mental”, “mentira” e “dicotomia”.

Figura 9: CAMELO.

Em relacao a palavra DROMEDARIO, podemos formar as palavras “comedor”,“comedia”, “alameda”, “quadro”, “azedar”, “hospedar”, que, por sua vez, po-derao originar as palavras “mediador”, “media”, “amedrontar”, “medricas”,“pedal” e “pedalar”.


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Figura 10: DROMEDARIO.

Poder-se-ia continuar com este tipo de exercıcio, mas parece-nos que sera sufi-ciente para dar uma ideia do que se pretende.

Agora, vamos experimentar construir uma cadeia valida com as palavras acimaidentificadas. Na Figura 11, os numeros a direita de cada cadeia correspondemaos desperdıcios dessa cadeia.

Figura 11: Elaboracao de uma cadeia.

Assim, temos que a cadeia da esquerda obteve 4 pontos, a cadeia do meio ob-teve 28 pontos e a cadeia da direita obteve 32 pontos. Esta pontuacao teve emconsideracao os criterios propostos por Lewis Carroll.

Observem-se os seguintes desafios “Da IDEIA se faz LUZ” e “Leva a MINHOCAao PEIXE” (Figuras 12 e 13).



Figura 12: “Da IDEIA se faz LUZ”.

A pontuacao para esta resolucao do problema–syzygy, tendo em conta cada umdos numeros dos criterios de pontuacao sera 7,2,19,2,4,8,11, ou seja 11 pontos.Utilizando a expressao algebrica temos

(3 + 2× 2) + (2 + 1)× (2 + 2)− (2× 2 + 4) = 11.

Figura 13: “Leva a MINHOCA ao PEIXE”.

Esta solucao tem a seguinte pontuacao: 12, 4, 42, 3, 10, 16, 26, totalizando 26pontos. Ou,

(4 + 2× 4) + (4 + 1)× (4 + 2)− (2× 3 + 10) = 26.

E outros exemplos (Figuras 14 e 15).


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Figura 14: “Leva ERVA ao TOURO”.

Esta solucao teve 18 pontos e a que se segue teve 20 pontos. Sera que estaafirmacao e verdadeira?

Figura 15: “Vai de PESCAR a TECER”.

Para o leitor propomos o desafio de encontrar uma melhor solucao para cadaum deles e, ainda, os seguintes problemas:

1. “Como se faz PUDIM de LARANJA”

2. “Poe o CASACO no ROUPEIRO”

3. “Liga a CASA ao DINHEIRO”

4 O Syzygies e os padroes

No ambito de um estudo, onde se investigou a relacao entre a capacidade dejogar e a capacidade de identificar padroes [2], aplicaram-se varios “problemas”Syzygies a alunos do 4.◦ e do 5.◦ ano. Ao inventar os problemas utilizados no



estudo procurou-se ir ao encontro do humor praticado por Lewis Carroll, muitoembora se reconheca a dificuldade de igualar um grande mestre. As duas turmasenvolvidas neste jogo resolveram um maximo de 13 problemas, onde as palavrasa utilizar no jogo se encontravam devidamente sinalizadas.

A capacidade de identificar padroes foi medida atraves de um teste, devida-mente validado e a capacidade de jogar, neste caso, Syzygies mediu-se atravesdas pontuacoes obtidas no jogo. Apos a analise de dados, verificou-se que osalunos do 5.◦ ano tem maior facilidade em aplicar as regras do jogo do que osalunos do 4.◦ ano.

Atraves da analise estatıstica verificou-se que, apenas a amostra de alunos do5.◦ ano, revelou a existencia de uma relacao entre a identificacao de padroes(r = 0, 523; p < 0, 01) e a capacidade de jogar Syzygies, sendo esta moderada.No entanto, tendo em consideracao os diferentes tipos de padroes existentes noteste, identificados atraves de uma analise fatorial conduzida ao teste, verificou-se o seguinte:

1. para a amostra de alunos do 4.◦ ano, o jogo Syzygies apresentou umarelacao moderada (r = 0, 617; p < 0, 01) com padroes que envolvemnumeros pares e ımpares;

2. para a amostra de alunos do 5.◦ ano, o jogo Syzygies apresentou umarelacao forte entre a identificacao de padroes que envolvem progressoesnumericas (r = 0, 655; p < 0, 01).

Verifica-se assim uma maior importancia das progressoes numericas no jogoSyzygies, e vice-versa, um jogo de palavras que, a partida, poderia parecer naoter qualquer relacao com conceitos matematicos. Verifica-se ainda diferencassubstanciais entre os grupos do 4.◦ ano e do 5.◦ ano. Essas diferencas podemrefletir que este jogo e mais apropriado para alunos com mais maturidade, prin-cipalmente devido a relacao que apresenta com a identificacao de progressoesnumericas.

Referencias

[1] Carroll, L. The Lewis Carroll Picture Book: A Selectiom from the Unpu-blished Writings and Drawings of Lewis Carroll, Together with Reprintsfrom Scarce and Unacknowledged Work, London: Elibron, 2005.

[2] Ferreira, D., Palhares, P., Silva, J. N. “A Perspective on Games and Pat-terns”, in K-12 Education: Concepts, Methodologies, Tools, and Applicati-ons (3 Volumes), 14, 247-267, USA: IGI Global, 2014.

[3] Palhares, P., Ferreira, D., Vieira, L. Das Letras a Matematica, Braga:AEME, 2011.

[4] Wakeling, E. Lewis Carroll’s Games and Puzzles, New York: Dover Publi-cation, 1992.

[5] Wakeling, E. Rediscovered Lewis Carroll Puzzles, New York: Dover Publi-cation, 1995.


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