IV – MONÓIDE COMUTATIVODefinido pelo par (A, ) onde a operação , definida em A, é: (a) associativa, (b) tem elemento neutro, (c) não admite inverso e (d) é comutativa.

Exemplo: conjunto N e a operação adição.

V – GRUPOFormado pelo par (A, ) onde a operação , definida no conjunto A, (a) é associativa, (b) tem elemento neutro, e(c) todo elemento de A é inversível.

Exemplo: conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 e determinante diferente de zero, munido da operação multiplicação.

VI – GRUPO ABELIANO OU GRUPO COMUTATIVO

É um grupo onde a operação ,além das propriedades característicase um grupo, é comutativa.

Exemplo: conjunto Z e a operação adição.

VII – ANEL

Consiste no sistema (A, , ), onde:

- A é o conjunto

- e são as operações

O conjunto (A, ) constitui um grupo abeliano.

O conjunto (A, ) é um grupóide.

A, N, I, C

A

A operação deve ser distributiva em relação à operação .

a (b c) = (a b) (a c)

Se a operação for comutativa, a estrutura denomina-se ANEL COMUTATIVO.

Será um ANEL COM IDENTIDADE ou ANEL UNITÁRIO

quando apresentar elemento neutro.

Exemplo:  O conjunto das matrizes quadradas de ordem n, com as operações adição e multiplicação constitui um anel, não comutativo, com identidade.

VIII – CORPO

É o mesmo trio que constitui um anel, isto é (C, , ).

No corpo, as duas operações devem ser grupos abelianos.

A, N, I, C

Convém ficar claro que, o elemento neutro da primeira operação nãotem inverso para a segunda operação.

Deve também ser observada a distributividade de em relação a .

Exemplo:

Conjunto Q com as operações adição e multiplicação.

O neutro da adição (zero) não tem inverso para a multiplicação.

IX – ESPAÇO VETORIALNesta estrutura temos dois conjuntos.

Um dos conjunto, cujos elementos são chamados de OPERADORES,deve apresentar uma estrutura de CORPO.

O outro conjunto deve apresentar uma estrutura (mínima) de MONÓIDE, podendo apresentar inversibilidade apenas à esquerda ou à direita.

Seus elementos são chamados de VETORES.

Uma operação externa liga os dois conjuntos.

Nesta operação, o resultado será um elemento do segundo conjunto.

Sejam:

A = {a, b, c} - conjunto dos operadores

B = {, , } - conjunto dos vetores. e - operações no corpo A.

- operação no conjunto B, dos vetores

- operação externa.

Bvetores

operadoresA

O quadro abaixo apresenta um esquema da estrutura ESPAÇO VETORIAL.

a, b, c

A, N, I, C

A, N, I, Ca (b c) = (a b) (a c) (distributiva)

, ,

A, N, inverso à esquerda ou à direita – no mínimo.

- operação externa a B.

Propriedades a serem observadas:

(1) a (b ) = (a b) (associatividade)

(2) a ( ) = (a ) (a ) (distributividade)

(3) (a b) = (a ) (b ) (distributividade).

Estrutura Operação 1

A N I C

1 Grupóide não não não não

2 Semigrupo sim não não não

3 monóide sim sim não não

Distributividade da operação 2 em relação à operação 1

4 Mon.comut sim sim não sim

5 Grupo sim sim sim não 2ª OPERAÇÃO

6 Grupo abel. sim sim sim sim A N I C

7 Anel sim sim sim sim sim não não não Sim

8 Anel. Com. sim sim sim sim sim não não sim Sim

9 Anel comut. c/ident

sim sim sim sim sim sim não sim Sim

10 Corpo sim sim sim sim sim sim sim sim sim