Inversao de Matrizes

Uma matriz quadrada A e nao-singular, se e possıvel obter, no final da elimi-nacao de Gauss, uma matriz triangular superior com todos os elementos na diag-onal principal diferentes de zero, ou quando a caracterıstica de A e igual a ordemde A.

Uma matriz quadrada A e singular, se no final da eliminacao de Gauss, amatriz triangular superior obtida, apresentar pelo menos um elemento nulo nadiagonal principal, ou quando a caracterıstica de A e inferior a ordem de A.

Ex: A matriz A e nao-singular; a matriz B e singular.

A =

0 1 23 4 26 3 2

→ . . .→

3 4 20 1 20 0 8

c(A) = 3 = ordem de A

B =

1 2 32 3 40 1 2

→ . . .→

1 2 30 −1 −20 0 0

c(B) = 2 < ordem de B

Uma matriz A e invertıvel (ou admite inversa) se existe uma matriz B tal queAB = I e BA = I .

Quando existe uma matriz B com estas caracterısticas, ela e unica e designa-sepor A−1.Assim, se A e invertıvel tem-se:

AA−1 = I = A−1A.

Nota: So podem ser invertıveis as matrizes quadradas.

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Proposicao 0.1 Sejam A e B duas matrizes. Se A e B sao matrizes invertıveisentao AB e uma matriz invertıvel e

(AB)−1 = B−1A−1.

Dada uma matriz A = [aij]p,ni,j=1, podemos construir uma nova matriz cuja

coluna k e a linha k de A, para k ∈ {1, . . . , p}. A matriz assim obtida e do tipon× p, representa-se por AT e designa-se por matriz transposta de A.

Proposicao 0.2 Seja A uma matriz invertıvel. Entao:

1.(A−1)−1 = A

2. Para qualquer inteiro positivo m, Am e invertıvel, tendo-se

(Am)−1 = (A−1)m

3.(AT )−1 = (A−1)T .

Proposicao 0.3 Uma matriz quadrada A e invertıvel se e so se e nao singular.

Podemos enunciar uma ultima propriedade:

Proposicao 0.4 As seguintes afirmacoes sao equivalentes:

1. A matriz A e invertıvel.

2. O sistema Ax = b e possıvel e determinado, para qualquer b.

3. O sistema Ax = 0 e determinado.

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