introduction matlab

Tutorial de Introducao ao Matlab

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2012

Neste breve tutorial os comandos de Matlab serao apresentados dentrode caixas para facilitar sua visualizacao.

comando do Matlab

1 Janelas do Matlab

Uma breve descricao das janelas do Matlab:

command window: janela na qual sao colocadas linhas de comandoe na qual sao apresentados os resultados e as mensagens de erro.Se quisermos limpar a janela command window devemos comandarclc ;

janela do Editor: janela na qual sao feitas as m-files, arquivos quepossuem extensao .m. Uma m-file pode ser simplesmente uma se-quencia de linhas de comando, formando assim um roteiro; ouentao pode ser uma funcao, que sera vista mais adiante;

workspace: janela que mostra todas as variaveis existentes. Se qui-sermos apagar todas as variaveis do workspace devemos comandarclear all ;

command history: janela que exibe a sequencia dos comandos queforam executados na command window. Para nao ter que digitar nova-mente comandos executados anteriormente clique para cima na com-mand window;

1

current folder: janela que mostra todo o conteudo presente na pastaselecionada no toolbar current folder.

2 Criando um escalar

x = 0.2

guarda o valor escalar 0, 2 na variavel x;

deve-se utilizar o ponto decimal no lugar da vrgula;

para que o matlab nao repita o valor da variavel nacommand windowacrescente um ponto-vrgula no final (exemplo: x = 0.2;);

o nome de uma variavel pode ser composto por varias letras e numeros,iniciando sempre com uma letra (exemplo: variavelx1 = 0.2)

3 Criando um vetor linha

Existem diversas maneiras de criar vetores linha, a seguir:

3.1 especificando cada elemento

x = [1 2 3] ou x = [1,2,3]

cria um vetor linha com os valores especificados;

cada elemento pode ser separado por espaco ou por vrgula;

pode-se utilizar valores de variaveis, por exemplo:

a = 1;b = 2;c = 3;x = [a,b,c];

ou entao:

a = 1;b = [2,3];x = [a,b];

2

3.2 colon operator

x = x1:step:xn

cria um vetor linha com elementos linearmente espacados e o guardana variavel x;

o primeiro elemento tera o valor da variavel x1;

o ultimo elemento tera o valor da variavel xn;

o valor dos elementos tera um passo de valor step;

as variaveis x1, step e xn devem ser criadas anteriormente.

3.3 comando linspace

x = linspace(x1,xn,n)

cria um vetor linha com elementos linearmente espacados;

o primeiro elemento tera o valor da variavel x1;

o ultimo elemento tera o valor da variavel xn;

o vetor linha tera um total de n elementos.

4 criando um vetor coluna

x = [1;2;3]

as linhas sao separadas por ponto-vrgula (;);

tambem pode-se aplicar a operacao transaposta () a` um vetor linha:

x = [1,2,3]

3

5 lendo o comprimento de um vetor - co-

mando length

n = length(x)

retorna o numero de elementos de um vetor linha ou coluna x.

6 selecionando elementos de um vetor

6.1 o i-esimo elemento de um vetor

ielem = x(i)

seleciona o i-esimo elemento do vetor linha ou coluna x.

6.2 o ultimo o elemento do vetor

ultimoelem = x(end)

seleciona o ultimo elemento do vetor linha ou coluna x.

6.3 uma parte do vetor

iaoiaelem = x(i:i+a)

seleciona a parte do vetor que vai do i-esimo ao (i+a)-esimo elementodo vetor linha ou coluna x.

7 criando uma matriz

7.1 especificando cada elemento

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

cria a seguinte matriz:

A =

1 2 34 5 6

7 8 9

4

7.2 comando ones

A = ones(m,n)

constroi uma matriz de unitarios com m linhas e n colunas.

7.3 comando zeros

A = zeros(m,n)

constroi uma matriz de zeros com m linhas e n colunas.

7.4 comando diag

A = diag([1,2,3])

constroi uma matriz diagonal com os elementos 1, 2 e 3 na diagonalprincipal.

8 lendo as dimensoes de uma matriz - co-

mando size

[nl,nc] = size(A)

retorna os valores do numero de linhas e do numero de colunas;

neste exemplo esses valores sao colocados nas variaveis nl e nc respec-tivamente.

9 selecionando o elemento (i,j) da matriz

ijelem = A(i,j)

seleciona o elemento da i-esima linha e j-esima coluna da matriz A.

5

10 criando funcoes

Uma funcao possui a seguinte estrutura:

function output = NomeDaFuncao(input)... % calculos intermediarios

output = ...; % calculo final

o valor da entrada e colocado na variavel local input;

a funcao retorna o valor que estiver na variavel local output;

input e output podem ter mais de uma dimensao;

quando criamos uma m-file para uma funcao, devemos salva-la com omesmo nome da funcao, exemplo: NomeDaFuncao.m;

a funcao e chamada pelo NomeDaFuncao, como no exemplo de roteiroa seguir:

x = 0.2;

y = NomeDaFuncao(x);

Neste exemplo, o valor do output retornado pela funcao foi colocado navariavel y.

10.1 Exemplo: polar de arrasto

function CD = PolarArrasto(CL,CD0,k1,k)

CD = CD0 + k1*CL + k*CL^2;

Como os valores dos inputs e do output sao colocados em variaveis locais,note que a funcao PolarArrasto tambem poderia ser assim:

function y = PolarArrasto(x,a0,a1,a2)

y = a0 + a1*x + a2*x^2;

Um exemplo de roteiro que utiliza a funcao PolarArrasto:

CD0 = 0.01; k1 = 0; k = 0.02;

CL = 0.5;

CD = PolarArrasto(CL,CD0,k1,k);

6

Tambem podemos colocar os valores dos parametros CD0, k1 e k em umvetor paramPolar:

CD0 = 0.01; k1 = 0; k = 0.02;

paramPolar = [CD0,k1,k];

Entao a funcao PolarArrasto tomara a seguinte forma:

function CD = PolarArrasto(CL,paramPolar)

CD0 = paramPolar(1);

k1 = paramPolar(2);

k = paramPolar(3);

CD = CD0 + k1*CL + k*CL^2;

Ao armazenar muitos valores em um vetor linha deve-se tomar cuidadopara nao confundir a ordem dos parametros. Para contornar este problemapodemos utilizar uma structure ao inves do vetor linha.

11 structures

Dados de varios tipos podem ser agrupados em uma structure: escalares,vetores, matrizes etc ...

11.1 Exemplo: structure

Os valores de referencia (nvel do mar) da atmosfera padrao (ISA) sao:

H0 = 0m

T0 = 288, 15K

g0 = 9, 80665m/s2

0 = 1, 225 kg/m3

L = 6, 5 103K/m

R = 287, 053m2/s2-K

Vamos agrupar todos esses valores na variavel paramAtm, do tipo struc-ture:

7

paramAtm.H0 = 0;

paramAtm.T0 = 288.15;

paramAtm.g0 = 9.80665;

paramAtm.rho0 = 1.225;

paramAtm.L = -6.5*10^(-3);

paramAtm.R = 287.053;

Para utilizar o valor de R basta fazermos:

R = paramAtm.R

12 if - else

Estrutura do if - else:

if estrutura logica...

else...

end

Na estrutura logica podemos utilizar operadores relacionais e operado-res logicos. Exemplos de operadores relacionais: igual (==), diferente ( =),maior (>), maior ou igual (>=), menor (

function T = temperatura(H,paramAtm)

T0 = paramAtm.T0;

L = paramAtm.L;

H0 = paramAtm.H0;

if H

13 for

Estrutura do for:

for k = kinicial:passo:kfinal...

end

a variavel k inicial com o valor kinicial;

em cada iteracao o valor de k e aumentado de um passo;

as iteracoes sao terminam quando a variavel k atinge o valor kfinal.

13.1 Exerccio: plotar

Utilize as funcoes temperatura e densidade e a funcao plot do matlab paraplotar os graficos de T H e H .

14 Problema de valor inicial

Muitos modelos em engenharia sao matematicamente expressos na forma deum sistema de n equacoes diferenciais ordinarias:

y1(t) = f1 (t, y1(t), y2(t), . . . , yn(t))

y2(t) = f2 (t, y1(t), y2(t), . . . , yn(t))

...

yn(t) = fn (t, y1(t), y2(t), . . . , yn(t))

ou simplesmente:yyy(t) = fff (t, yyy(t))

onde t I R, yyy N Rn e fff : I N Rn.

Resolver um problema de valor inicial (PVI) significa encontrar a fun-cao y : I N que satifaz a equacao diferencial yyy(t) = fff (t, yyy(t)) e tambemsatisfaz a uma condicao inicial yyy(t = ti) = yyyi

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OTeorema Fundamental do Calculo estabelece uma importante cone-xao entre as equacoes diferenciais e as intregrais, dentro de algumas condicoes(vide mat-12):

yyy(tf) = xxx(ti) +

tfti

fff (s,yyy(s))ds

Repare que para realizar essa integral e preciso conhecer:

a funcao dinamica fff (t, yyy(t));

a condicao inicial yi;

e o intervalo de integracao [titf ].

Nem sempre e possvel resolver um PVI analiticamente. Nesses casos po-demos recorrer a algoritmos ja implementados no Matlab, como por exemploo ode45.

14.1 ode45

Para utilizar o ode45 devemos comandar:

sol = ode45(@f,[ti tf],yi,options,parametros)

o nome da funcao dinamica (f), deve ser prefixada pelo arroba (@);

em seguida devemos fornecer o tempo inicial ti e o tempo final tf emum vetor [ti tf];

depois vem a condicao inicial yi;

em options, podemos ajustar parametros do algoritmo de integracaocomo, por exemplo, tolerancia absoluta, tolerancia relativa, etc . . . (videodeset no help). Se nao quisermos modificar a configuracao padraopodemos deixar este campo vazio escrevendo [];

e por ultimo colocamos os parametros que queremos levar para dentroda funcao dinamica.

A funcao dinamica deve ter a seguinte estrutura:

function doty = f(t,y,parametros)... % calculos intermediarios

doty = [doty1; doty2; ...; dotyn];

11

O resultado numerico ficara guardado na estrutura sol. Para extrair ovetor tempo escolhido pelo ode45 comanda-se:

T = sol.x;

Este vetor T possui a seguinte forma:

T =[ti t2 t3 . . . tf

]E para extrair a solucao associada a este vetor tempo comanda-se:

Y = sol.y;

Note que Y e uma matriz e que possui a seguinte forma:

Y =

y1(ti) y1(t2) y1(t3) . . . y1(tf)y2(ti) y2(t2) y2(t3) . . . y2(tf)...

......

...yn(ti) yn(t2) yn(t3) . . . yn(tf )

14.2 comando deval

Tambem pode ser util criar um outro vetor tempo diferente de sol.x e cal-cular a matriz Y correspondente. Para isso utiliza-se o comando deval:

T = linspace(ti,tf,n)

Y = deval(sol,T)

Um exemplo de aplicacao e na criacao de filmes, que consistem em umasequencia de frames com uma taxa constante.

14.3 resultado direto

Uma forma de colocar os resultados fornecido pelo ode45 diretamente em Te Y:

[T,Y] = ode45(@f,[ti tf],yi,options,parametros)

Porem a matriz Y tera outra disposicao:

Y =

y1(ti) y2(ti) . . . yn(ti)y1(t2) y2(t2) . . . yn(t2)y1(t3) y2(t3) . . . yn(t3)

......

......

y1(tf ) y2(tf) . . . yn(tf )

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14.4 Exemplo: Atrator Caotico de Lorenz

As equacoes de Lorenz resultam da simplificacao de modelos de conveccaoatmosferica, e sao descritas pelo sistema de equacoes diferenciais ordinariasa seguir:

y1 = (y2 y1)

y2 = y1( y3) y2

y3 = y1y2 y3

Note que trata-se de um sistema dinamico tri-dimensional, nao linear edeterminstico.

A funcao dinamica em matlab:

function doty = LorenzDinam(t,y,parametros)

sigma = parametros.sigma;

r = parametros.r;

b = parametros.b;

doty1 = sigma*(y(2) - y(1));

doty2 = y(1)*(r - y(3))-y(2);

doty3 = y(1)*y(2) - b*y(3);

doty = [ doty1; doty2; doty3];

Um roteiro para fazer uma simulacao das equacoes de Lorenz:

parametros.sigma = 10;

parametros.r = 28;

parametros.b = 8/3;

tf = 25;

yi = [5;5;15];

sol = ode45(@LorenzDinam,[0 tf],yi,[],parametros);

T = 0:0.01:tf;

Y = deval(sol,T);

15 plotagem

15.1 plot

Para visualizar a trajetoria de cada um dos estados podemos usar o comandoplot:

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figure

plot(T,Y(1,:))

xlabel(tempo),ylabel(y1)

figure

plot(T,Y(2,:))


figure

plot(T,Y(3,:))


Tambem podemos colocar varias trajetorias em um mesmo plot. No ro-teiro a seguir sao feitas duas simulacoes das equacoes de Lorenz, com a di-ferenca que o estado inicial da segunda simulacao possui um incremento de1e 5 em y1:

parametros.sigma = 10;

parametros.r = 28;

parametros.b = 8/3;

tf = 25;

yiA = [5;5;15];

yiB = yiA + [1e-5;0;0];

solA = ode45(@LorenzDinam,[0 tf],yiA,[],parametros);

solB = ode45(@LorenzDinam,[0 tf],yiB,[],parametros);

T = 0:0.01:tf;

YA = deval(solA,T);

YB = deval(solB,T);

figure

plot(T,YA(1,:),T,YB(1,:))


legend(simulacao A,simulacao B)

figure




figure




14

15.2 subplot

Se quisermos colocar varios graficos numa mesma figura podemos usar ocomando subplot antes de cada plot:

subplot(linhas,colunas,numero)

onde linhas e o numero total de linhas da figura, colunas e o numerototal de colunas e numero e o numero do grafico na figura.

Por exemplo, se quisermos colocar os tres graficos da simulacao das equa-coes de Lorenz em uma figura, dispostos em tres linhas e uma coluna:

figure

subplot(311),plot(T,YA(1,:),T,YB(1,:))









15.3 plot3

Para a visualizacao de uma linha tri-dimensional podemos usar o comandoplot3.

Ainda no exemplo das equacoes de Lorenz teremos:

figure

plot3(YA(1,:),YA(2:),YA(3,:))

xlabel(y1), ylabel(y2), zlabel(y3)

16 aviao modelo ponto-massa longitudinal

Neste exemplo vamos simular a dinamica de uma aeronave. O movimentosera restrito apenas ao plano vertical, tambem chamado de longitudinal, emtermos praticos a aeronave nao faz curvas. As equacoes sao derivadas nasaulas teoricas e correspondem a um modelo ponto-massa da aeronave. Issosignifica que derivam da segunda lei de Newton para translacao apenas, a

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segunda lei de Newton para rotacao e ignorada e os efeitos de rotacao saoconsiderados instantaneos.

mV = F cos( + F )D mg sin

mV = F sin( + F ) + Lmg cos

H = V sin

xt = V cos

onde:V e a velocidade aerodinamica; e o angulo de trajetoria; e o angulo de ataque;

forcas aerodinamicos:

sustentacao aerodinamica: L = 0.5V 2SrefCLarrasto aerodinamico: D = 0.5V 2SrefCD

onde:CL e o coeficiente adimensional de sustentacao;CD e o coeficiente adimensional de arrasto; e a densidade atmosferica;Sref e a area de referencia usada na adimensionalizacao;

modelo linear do coeficiente de sustentacao:

CL = CL0 + CL

onde CL e uma derivada de estabilidade;

obs: as derivadas de estabilidade sao funcoes do numero de Mach e donumero de Reynolds

modelo parabolico do coeficiente de arrasto:

CD = CD0 +K1CL +KC2L

obs: os coeficientes da polar de arrasto tambem sao funcoes do numerode Mach e do numero de Reynolds.

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modelo da forca propulsiva:

F = mFmaxi

(V

Vi

)nV ( i

)n;

onde:m e a deflexao da manete do motor (0 m 1);Fmaxi, Vi e i sao valores de referecia do modelo propulsivo.

estados e controles:

x =

VHxo

, u =

[m

]

Para uma aeronave tipo Airbus 320, cruzando a 10000 metros de altitudecom velocidade aerodinamica de 210 m/s:

m = 120000; Sref = 260;CL0 = 0; CL = 4.982;CD0 = 0.0175; K1 = 0; K = 0.06;F = 1pi/180; nV = 0; n = 0.75;Fmaxi = 240000; Vi = 100; i = 1.225;

16.1 exercicio

Faca uma simulacao da aeronave com controles = 5 graus e m = 0.5.Repare que a velocidade, o angulo de trajetoria e a altitude apresentam ummovimento oscilatorio, tambem conhecido comofugoidal. Neste movimentoha uma troca oscilatoria de energia potencial e energia cinetica, ha dissipacaopela forca de arrasto e ha trabalho da forca propulsiva.

17 fsolve

Intuitivamente, um ponto de equilbrio e uma condicao em que nao ha ten-dencia de alteracao do movimento ao longo do tempo. Colocar a aeronaveem um ponto inicial de equilbrio significa encontrar os valores dos estadose controles tais que a aeronave continuaria voando sem as oscilacoes apre-sentadas na simulacao anterior. Para isso e necessario que as derivadas dosestados V , e H sejam nulas. Assim, temos que encontrar a solucao para osistema de equacoes nao lineares:

17

0 = F cos(+ F )D mg sin

0 = F sin( + F ) + Lmg cos

0 = V sin

Repare que a terceira equacao e satisfeita para V = 0 ou sin = 0. Comonao se trata de um voo pairado ficamos com sin = 0, que implica em = 0.Assim o nosso sistema e reduzindo para duas equacoes nao lineares:

0 = F cos(+ F )D mg sin

0 = F sin( + F ) + Lmg cos

18 Trabalho

Utilize o comando fsolve para realizar esta tarefa. Se o aluno ja estiverfamiliarizado com qualquer outro algoritmo que substitua o fsolve podeutiliza-lo.

18.1 dicas

Lembre-se que para resolver um sistema de duas equacoes precisamosusar duas variaveis. Como a velocidade e a altitude de cruzeiro saodados de entrada do problema, e deve ser zero para que H seja nulo,sobraram apenas as variaveis de controle m e para resolver o sistemade duas equacoes.

veja os exemplos do help. Quem nao tem o help completo instaladovisite o site: www.mathworks.com/help/toolbox/optim/ug/fsolve.html

nao deixe para ultima hora! Envie ja suas duvidas para [email protected]

18.2 data de entrega

segunda-feira, 2 de abril de 2012.

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Janelas do MatlabCriando um escalarCriando um vetor linhaespecificando cada elementocolon operatorcomando linspace

criando um vetor colunalendo o comprimento de um vetor - comando lengthselecionando elementos de um vetoro i-simo elemento de um vetoro ltimo o elemento do vetoruma parte do vetor

criando uma matrizespecificando cada elementocomando onescomando zeroscomando diag

lendo as dimenses de uma matriz - comando sizeselecionando o elemento (i,j) da matrizcriando funesExemplo: polar de arrasto

structuresExemplo: structure

if - elseExemplo: funo temperaturaExemplo: funo densidade

forExerccio: plotar

Problema de valor inicialode45comando devalresultado diretoExemplo: Atrator Catico de Lorenz

plotagemplotsubplotplot3

avio modelo ponto-massa longitudinalexercicio

fsolveTrabalhodicasdata de entrega

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