Introducao Sucinta a Triangulacao de Delaunay e suaspropriedades

Jessica R. Nogueira, Sanderson L. Gonzaga de OliveiraDepartamento de Ciencia da Computacao

37200-000, Lavras, MG

E-mail: jessica renata 1@hotmail.com, sanderson@dcc.ufla.br

Palavras-chave: Triangulacao de Delaunay, Diagrama de Voronoi, Geometria Computacional,geracao de malhas.

Resumo: A aplicacao de uma triangulacao pode contribuir no desenvolvimento de esquemasnumericos em uma grande variedade de disciplinas. Este texto apresenta caracterısticas e pro-priedades da triangulacao bidimensional de Delaunay. Tambem e apresentado o diagrama deVoronoi, sendo que este constitui uma estrutura dual da triangulacao de Delaunay.

1 Introducao a triangulacao de Delaunay

Uma triangulacao e a particao do interior de um conjunto de pontos ou de um poliedro emtriangulos [5]. Uma triangulacao com caracterısticas interessantes foi proposta por Delaunay[2]. Mais especificamente, uma triangulacao de Delaunay (TD) para um conjunto de pontos Pdeve atender a condicao de Delaunay, que e: TD(P) e uma triangulacao de Delaunay, tal quenenhum ponto de P permanece dentro do circuncırculo de qualquer triangulo em TD(P). Essatriangulacao pode ser aplicada em diversas disciplinas, como Geofısica, Metodo de ElementosFinitos e Cristalografia.

Por meio da triangulacao de Delaunay, constroi-se uma triangulacao cujos triangulos saoequilateros ou o mais proximos a triangulos equilateros. Triangulos com angulos proximos a 0o

e 180o sao considerados de ma qualidade em esquemas numericos. Mais precisamente, trianguloscom angulos com essas medidas podem levar a resultados imprecisos em metodos onde a malhae utilizada.

2 Diagrama de Voronoi

Considere um conjunto de pontos P, sendo que os pontos estao inseridos em um polıgono Πhomeomorfico a um disco fechado. O diagrama de Voronoi e a particao do espaco, que contemos pontos de P, em polıgonos e a delimitacao desses polıgonos ocorre por meio de arestas. Cadapolıgono do diagrama de Voronoi compreende a regiao de pontos mais proximos a determinadoponto de P. Em outras palavras, considere que determinada regiao do diagrama contem os pontosmais proximos a determinado ponto em P, digamos p, do que qualquer outro ponto em P. Comisso, pode-se definir um diagrama de Voronoi como Vp = {x ∈ Π ⊂ <2 : (∀p, q ∈ P )||x − p|| ≤||x− q||}.

Uma triangulacao de Delaunay so ocorrera se dois pontos a serem conectados forem pon-tos terminais de um segmento de reta perpendicular a uma aresta no diagrama de Voronoi.Considerando-se que 4abc pertenca a uma triangulacao de Delaunay, o centro do circuncırculo

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que passa por a, b e c corresponde a um vertice de Voronoi. Na Figura 1, observa-se a trian-gulacao de Delaunay e o diagrama de Voronoi.

Figura 1: Uma triangulacao de Delaunay em linhas contınuas e em pontilhado, o diagrama deVoronoi.

3 Propriedades da triangulacao de Delaunay

A triangulacao de Delaunay possui unicidade, exceto em casos degenerados onde quatro ou maispontos sao cocirculares. Por exemplo, quando houver exatamente quatro pontos no mesmocircuncırculo, a triangulacao de Delaunay nao e unica. Para um caso como esse, as duas trian-gulacoes possıveis satisfazem a condicao de Delaunay. Quando houver mais de quatro pontospertencentes ao circuncırculo, nao ocorre uma triangulacao de Delaunay.

Para que ocorra uma triangulacao de Delaunay, e necessario que o circuncırculo que passasobre qualquer triangulo nao contenha pontos em seu interior. Considere que o teste do cir-cuncırculo a seguir verifica se o ponto e esta interno ao 4abc. Considere ainda uma aresta bccompartilhada pelos triangulos 4abc e 4bce. Quando realizada a soma dos angulos opostos abc, digamos α e γ, se a soma dos angulos α e γ for maior que 180o, nao havera uma triangulacaode Delaunay. Caso a soma dos angulos α e γ for menor que 180o, havera uma triangulacao deDelaunay. Caso a soma dos angulos α e γ for igual a 180o, os pontos sao cocirculares. Pode-serealizar essa verificacao conforme introduzido em [3]. Este esquema baseia-se nas coordenadasdos pontos a, b, c e e.

Determinante(a,b,c,e) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣xa ya x2a + y2a 1xb yb x2b + y2b 1xc yc x2c + y2c 1xe ye x2e + y2e 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Se Determinante(a,b,c,e) > 0, entao o quarto ponto e esta interno ao circuncırculo de 4abc.

Se Determinante(a,b,c,e) < 0, entao o quarto ponto e esta externo ao circuncırculo de 4abc. SeDeterminante(a,b,c,e) = 0, entao o quarto ponto e pertence ao circuncırculo de 4abc.

A triangulacao de Delaunay maximiza o angulo mınimo e minimiza o angulo maximo dostriangulos na triangulacao. Essa propriedade e alcancada em toda triangulacao por meio damudanca das arestas que rompem o teste do circuncırculo. Em relacao a toda a triangulacao, aobtencao de triangulos equilateros ou proximos a triangulos equilateros permite a minimizacao docırculo maximo que contem os tres vertices do triangulo. Essa e a propriedade do confinamentodo cırculo mınimo e e apresentada em [1] .

De acordo com [4], para duas triangulacoes de Delaunay T 1 e T 2 quaisquer e para qualquervetor fixo de dados ~F , a desigualdade R sera R(F, T 1) = R(F, T 2). As triangulacoes T 1 eT 2 diferem somente quando ha quatro vertices cocirculares. Para qualquer quadrilatero com

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vertices cocirculares, segundo [4], a troca das arestas nao muda a medida de desigualdade. Em[4], mostra-se que toda triangulacao de Delaunay e uma triangulacao de desigualdade mınima.Porem, o inverso nao e verdadeiro. Essa e a propriedade da desigualdade mınima da triangulacaode Delaunay, em que se busca, para um conjunto arbitrario de dados dispersos, uma desigualdademınima desse conjunto de dados.

A propriedade do vizinho mais proximo nao descreve todas as arestas da triangulacao.Afirma-se em [1] que, ao agrupar um vertice com seu vizinhos mais proximo, havera uma arestade Delaunay. Segundo [1], esta propriedade torna a triangulacao de Delaunay uma ferramentapoderosa para resolver o problema do vizinho mais proximo. Segundo o mesmo autor, dessa pro-priedade estende-se o metodo da media dos vizinhos, no qual compara-se a area de um triangulocom a media da area de seus vizinhos. Caso a area do triangulo analisado seja maior que amedia dos vizinhos e nao haja uma grande diferenca entre os angulos desse triangulo, efetua-sea insercao de um ponto de refinamento no baricentro deste triangulo.

4 Consideracoes Finais

Para a criacao de uma triangulacao de Delaunay e necessario que os triangulos dessa triangulacaopossuam angulos proximos ou iguais a 60o. Essa e uma caracterıstica interessante que permitea utilizacao dessa triangulacao em diversas areas. Atraves do teste do circuncırculo, e possıveldeterminar para cada triangulo se a triangulacao gerada e valida.

Proximos passos sao no sentido de revisar os algoritmos que constroem a triangulacao deDelaunay e o diagrama de Voronoi. Tambem os tempos de execucoes dos algoritmos seraocomparados. Ainda serao revisadas as estruturas de dados que representam malhas triangu-lares. Alem disso, serao analisados os algoritmos que permitem a insercao de pontos em umatriangulacao de Delaunay ja formada.

5 Agradecimento

Agradecimento a Fundacao de Amparo a Pesquisa do Estado de Minas Gerais – FAPEMIG pelosrecursos disponibilizados para a execucao do projeto de pesquisa CEX APQ 01198/10.

Referencias

[1] T.J. Barth, Aspects of unstructured grids and finite-volume solvers for the Euler and Navier-Stokes equations, in “Proceedings of the 25th Computational Fluid Dynamics Lecture Se-ries”, Von Karman Institute, 1994.

[2] B.N. Delaunay, Sur la sphere vide, Izvestia Akademii Nauk SSSR, Otdelenie Matematiches-kikh i Estestvennykh Nauk, 7 (1934) 793-800.

[3] L.J. Guibas and J. Stolfi, Primitives for the manipulation of general subdivisions and thecomputation of Voronoi Diagrams, ACM Transactions on Graphics, 4(2) (1985) 74-123.

[4] S. Rippa, Minimal roughness property of the Delaunay triangulation, Computer AidedGeometric Design, 7 (1990) 489-497.

[5] S.S. Skiena, “The Algorithm Design Manual”, Springer-Verlag London, Limited 2008, Se-cond Edition.

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