Introdução aos Métodos Computacionais

Professor: Raul B. V. Pessolani

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Análise de sistemas de engenharia

Problema físico

Modelo matemático

Ex: Equação Diferencial

Modelo numérico

Ex: Modelo de Elementos Finitos

Simplificações eaproximações

Discretização

Erro

Erro

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Análise de sistemas de engenharia

A seleção do modelo matemático depende do tipo de problema:

Distribuição de temperatura. Campo de tensões.

Um bom modelo deve: Considerar os aspectos essenciais do problema. Desprezar os fatores secundários. Fornecer resultados próximos das respostas reais.

Se as previsões do modelo não estão de acordo com as respostas reais é necessário refinar o modelo:

Incluir aspectos inicialmente desprezados.

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Análise de sistemas de engenharia

Modelos numéricos são aproximações dos modelos matemáticos.

Um método numérico é confiável se ele converge para a solução exata do modelo matemático.

Garantia de convergência com o refinamento. Velocidade de convergência. Custo computacional envolvido. Facilidade de implementação e utilização.

A solução numérica de um problema não pode ser melhor do que o modelo matemático utilizado.

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α

Discretização

Problema: Determinação do perímetro de um círculo.

R

l = 2Rsen(α/2)α = 2π/n

L = n l = 2πR sen(α/2) α/2

Dividindo em n partes:

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Discretização

Laprox/Lexatolog(Laprox/Lexato- 1)

Verifica-se que a solução converge para o resultado exato.

A velocidade de convergência é boa ?

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Importância dos métodos numéricos

Os problemas da engenharia envolvem a solução de equações diferenciais ordinárias ou parciais.

Soluções analíticas exatas (fechadas) só existem em casos especiais: Geometria e condições de contorno simples. Certos tipos de carregamento. Material homogêneo.

A solução de problemas reais requer a utilização de métodos numéricos (aproximados): Método das Diferenças Finitas. Método dos Elementos Finitos. Método dos Elementos de Contorno.

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Análise por elementos finitos

apoioscarregamento

nó

Geometria

Material

elementoMalha

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Passos da Análise

1. Dividir o domínio do problema em regiões (elementos finitos) de geometria simples:

Triângulos, quadriláteros, tetraedros, hexaedros,... Os elementos adjacentes são conectados através dos nós.

2. Aproximar os deslocamentos no interior dos elementos: Interpolar a partir dos valores nodais. Utilizar funções simples: lineares, quadráticas,...

3. Obter e resolver as equações de equilíbrio em função dos deslocamentos nodais (graus de liberdade).

4. Calcular respostas no interior dos elementos: Deformações a partir do campo de deslocamentos. Tensões a partir das deformações.

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Vantagens

Aplicação a qualquer problema de campo: Tensões, transferência de calor, percolação, etc.

Não há restrição quanto a geometria do problema nem quanto ao carregamento e as condições de contorno do problema.

O material pode variar de elemento para elemento.

O modelo de elementos finitos aproxima o comportamento físico na região a ser analisada segundo funções de interpolação: Constantes, lineares, quadráticas,...

Um modelo pode incluir componentes com diferentes comportamentos: Barras, vigas, placas, cascas, sólidos, etc.

A aproximação é melhorada facilmente refinando a malha de elementos finitos ⇒ convergência.

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Exemplo de aplicação: estrutura de edifício

http://www.csiberkeley.com/

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Análise de um tanque esférico

http://www.csiberkeley.com/

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Contato pneu-pavimento (não linearidade)

http://www.manufacturingcenter.com/dfx/

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Trem de pouso

http://www.abaqus.com/

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Fuselagem

http://www.abaqus.com/

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Fuselagem

Cargas e apoiosConfiguração pós-flambagem

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Pontes

San Francisco Bay Bridge

http://www.adina.com/

Depois do terremoto

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Pontes

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Passos da Simulação Numérica

Análise preliminar: Obter uma solução aproximada do problema. Modelo analítico simplificado, fórmulas, análise

experimental, análises anteriores, etc.

Análise por Métodos Numéricos: Pré-processamento:

Modelagem: geometria, apoios, carregamento, materiais, ... Geração de malha.

Análise numérica. Pós-processamento:

Deformadas, modos de vibração/flambagem, animações,... Contornos e gráficos de tensões.

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Análise de navios – Malha Global

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Análise de Navios - Carregamento

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Análise de Navios – Detalhamento

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Exmeplo do Método dos Elementos de Contorno

Tubulação de 3 metros de comprimento, cubo de 2 metros de lado e o fluxo livre é de 1m/s

Discretização inicial com 22 elementos

Qoo = 1 m/s

Qoo = 1 m/s

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Resultados – Validação

Discretização final com 2400 elementos Avaliação da faixa central, pois se aproxima à solução 2D que possui

solução analítica

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Validação - Solução analítica x Solução Programa

Vp=2RV∞SENθRaio = 1Voo = 1.0

Vp

=0.27

=0.58

=0.87

=1.14

=1.08

=1.59

=1.76=1.89

=1.95

=1.99

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Jaqueta para Plataforma

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Aeronave para AeroDesign

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Passos da Simulação Numérica

2. Pacote

PRÉ-PROCESSAMENTO

ANÁLISE

PÓS-PROCESSAMENTO

Escolher o modelo Matemático

Obter resultados aproximadosPara posterior validação

Planejar a discretização

1. Pré-Análise

Devo refinar mais a malha?Devo mudar o tipo de elemento?Devo mudar o Método?

Os resultados são coerentes?Há erros grosseiros?

PARAR

Alteração Dados.

NÃO

SIM

SIM

3. Análise dos Resultados

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Análise dos resultados

Avaliação qualitativa: A resposta “parece” certa ?

As simetrias esperadas estão presentes? As condições de contorno são respeitadas? As maiores deformações (ou tensões) estão nos pontos

esperados? Verificar se a estrutura está em equilíbrio ou se a massa se

mantém

Avaliação quantitativa A resposta está correta?

Comparar resultados obtidos com as soluções preliminares. Verificar se o nível de discretização é satisfatório

especialmente quando há picos na solução.

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Por que estudar a teoria?

Por que estudar a teoria? Programas comerciais são utilizados a bastante tempo. Intensivamente testados: fabricantes e usuários. Os programas atuais possuem interface amigável.

Sua utilização não requer grandes conhecimentos.

A obtenção de resultados confiáveis requer: Conhecimento do comportamento físico:

Mecânica dos Fluídos , Resistência dos Materiais, ...

Conhecimento dos diferentes Métodos: Comportamento dos elementos, características dos algoritmos

aproximações e limitações

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Principais questões envolvidas na análise

Estático x dinâmico As cargas atuantes são periódicas ou impulsivas ? A estrutura é muito flexível ? A freqüência do carregamento é próxima a da estrutura ? O comportamento do material é dependente do tempo ?

Linear x não-linear Os deslocamentos/rotações são significativos ? A relação tensão-deformação pode ser considerada linear ? O material sofre deformações permanentes ? Existe a formação de trincas ?

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Tipos de análise

Acoplada (multi-física) x desacoplada Termo-mecânico. Solo-estrutura. Fluido-estrutrura.

Estado da prática: Depende do ramo de aplicação. Engenharia civil: estática, linear e desacoplada. Análise dinâmica: terremotos, edifícios altos,... Análise não-linear: problemas especiais.

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Método das Diferenças Finitas

Problema da Difusão e propagação da onda acústica

Área do modeloBorda

Algoritmos de absorçãotestados