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  • Introduo aos

    Grupos de Matrizes

    Mauro Patro

    UnB - 2010

  • 2

  • Sumrio

    Prefcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1 Sries de Funes 7

    1.1 Norma de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Critrio de convergncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Critrio de diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2 Exponencial 15

    2.1 Norma de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Derivada do produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Definio da exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Propriedades da exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Comutador de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    3 Limites de Produtos 23

    3.1 Produto e comutador de exponenciais . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Logaritmo do produto e do comutador . . . . . . . . . . . . . 243.3 Exponencial da soma e do comutador . . . . . . . . . . . . . . 27

    4 Homomorfismos 29

    4.1 Grupo de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 lgebra de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Grupos a um parmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.4 Homomorfismos derivados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    5 Grupos Euclideanos 37

    5.1 Grupos topolgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2 Carta da identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3

  • 4 SUMRIO

    A Exerccios 41

    A.1 Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41A.2 Grupos de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A.3 lgebras de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44A.4 Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45A.5 Grupos topolgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45A.6 Grupos euclideanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

  • SUMRIO 5

    Prefcio

    Essas notas surgiram de uma experincia colaborativa na internet. Duranteo segundo semestre de 2009, juntamente com os estudantes Fernando Luca-telli e Thiago Ribeiro, elaboramos um material de introduo aos grupos dematrizes no Blog do Grupo de Teoria de Lie e Dinmica da Universidade deBraslia, localizado no seguinte endereo eletrnico:

    www.liedinamica.wordpress.com

    Este material foi estruturado diretamente dentro do Blog e foi utilizadocomo referncia bibliogrfica o seguinte artigo de divulgao matemtica:

    Roger Howe. Very Basic Lie Theory. The American Mathematical Monthly,Vol. 90, No. 9 (Nov., 1983), pp. 600-623.

    O artigo acima tem como objetivo fornecer uma abordagem elementarpara os fundamentos dos grupos de matrizes, evitando a utilizao da teoriade variedades diferenciveis, de modo a permitir que este assunto seja acess-vel a estudantes no final de uma graduao em matemtica. Apesar de seuobjetivo explcito, o artigo de R. Howe possui duas falhas que prejudicam asua eficcia. Por um lado, apresenta algumas demonstraes com excessivadensidade analtica e que se estendem por algumas pginas. Por outro lado,no apresenta uma abordagem auto-contida, de modo que alguns conceitose resultados centrais ao assunto so apresentados sem suas respectivas jus-tificativas. Isso ocorre por exemplo na definio da funo exponencial dematrizes e em algumas de suas propriedades bsicas, como sua diferenciabi-lidade, apresentada sem qualquer demonstrao.

    O presente texto procurou suprir estas duas dificuldades presentes notexto de R. Howe. O material foi elaborado para ser utilizado num mini-curso com cinco aulas, de modo que em cada aula fosse abordado um dos seuscinco captulos. Os pr-requisitos so um curso bsico de lgebra linear, umbom curso de anlise no Rn e algumas noes de teoria dos grupos. No finaldo texto, encontram-se uma lista com diversos exerccios para o estudantetreinar os conceitos apresentados. Pretendemos divulgar as respostas dessesexerccios no endereo acima do Blog do Grupo de Teoria de Lie e Dinmicada Universidade de Braslia.

    Aproveito a oportunidade para agradecer ao meu orientando FernandoLucatelli pela ajuda na reviso desse material, alertando que as falhas rema-nescentes so de minha inteira responsabilidade.

  • 6 SUMRIO

  • Captulo 1

    Sries de Funes

    Denotamos por C(B,Rd) o conjunto das funes contnuas de B em Rd, ondeB Rp uma bola fechada (portanto compacta, por estarmos num espaovetorial de dimenso finita). Temos que C(B,Rd) um espao vetorial.

    1.1 Norma de funes

    Seja || uma norma em Rd. Para podermos falar em convergncia de se-qncias e de sries, introduzimos uma norma em C(B,Rd). Note que nemtodas as normas nesse espao vetorial so equivalentes, afinal no se trata deum espao vetorial de dimenso finita. Logo de fundamental importnciadeixar explcito qual norma estamos usando. Dado F C(B,Rd), definimos

    F = maxXB

    |F (X)| ,

    que est bem definido, pois B compacto.

    Lema 1.1 A funo uma norma em C(B,Rd).

    Prova: Para provar que uma funo norma, devemos provar que elasatisfaz s seguintes propriedades:

    1. F 6= 0 = F > 0,

    2. F = || F,

    3. E + F E+ F.

    7

  • 8 CAPTULO 1. SRIES DE FUNES

    1. Com efeito, seja F C(B,Rd) uma funo no nula. Segue que existeY B tal que F (Y ) 6= 0. Logo |F (Y )| > 0. E, ento, segue que

    F = maxXB

    |F (X)| |F (Y )| > 0.

    2. Dados R e F C(B,Rd). Temos, pela compacidade de B, que existeY B tal que F = max

    XB|F (X)| = |F (Y )|. Segue ento que

    || |F (Y )| || |F (X)| ,

    para todo X B. Ou seja, temos que

    |F (Y )| |F (X)| ,

    para todo X B. Isso provou que

    F = maxXB

    |F (X)| = |F (Y )| = || |F (Y )| = || F .

    3. Para provar a desigualdade triangular, temos que existem Y,W,Z Btais que

    E = maxXB

    |E(X)| = |E(Y )|, F = maxXB

    |F (X)| = |F (W )|

    eE + F = max

    XB|(E + F )(X)| = |(E + F )(Z)|

    Segue ento que

    |E(Y )|+ |F (W )| |E(X)|+ |F (X)| |E(X) + F (X)|

    para todo X B. E, assim, como Z B, temos que

    |E(Y )|+ |F (W )| |(E + F )(Z)|,

    o que equivale a E+ F E + F.

  • 1.2. CRITRIO DE CONVERGNCIA 9

    1.2 Critrio de convergncia

    Uma seqncia de vetores no espao vetorial C(B,Rd) denotada por (Fk).Dizemos que (Fk) converge se existe F C(B,Rq) tal que

    Fk F 0.

    Dada uma seqncia (Fk) em C(B,Rd), sua srie C(B,Rd) denotada por

    Fk o limite da seqncia das somas parciaisl

    k=0

    Fk, quando este limite

    existe em C(B,Rd). Nesse caso, temos que

    Fk l

    k=0

    Fk

    0.

    Proposio 1.2 Seja (Fk) uma sequncia de funes em C(B,Rd). Se existe

    uma sequncia numrica (Mk) tal que a srie

    Mk convergente e tal queFk Mk, para todo k N, ento a srie

    Fk convergente.

    Prova: Dado X B, temos que |Fk(X)| F Mk e, ento, pelo teste dacomparao, temos que

    |Fk(X)| converge. Definimos S(X) =

    Fk(X).Como temos que

    m

    k=0

    Fk(X)l

    k=0

    Fk(X)

    =

    m

    k=l+1

    Fk(X)

    m

    k=l+1

    |Fk(X)|

    m

    k=l+1

    Mk

    k>l

    Mk,

    tomando o limite m , segue que

    S(X)l

    k=0

    Fk(X)

    k>l

    Mk,

    para todo X B e para todo l N.

  • 10 CAPTULO 1. SRIES DE FUNES

    Agora, provamos que S C(B,Rd). Como

    Mk convergente, dado

    > 0, existe l N tal que

    k>l

    Mk 0 tal que

    l

    k=0

    Fk(X)l

    k=0

    Fk(Y )

    l

    Mk +

    2< 2

    4+

    2= ,

    sempre que |X Y | < , o que prova que S contnua.

    Como temos que

    S(X)

    lk=0 Fk(X)

    k>l Mk, para todo X B

    e para todo l N, segue que

    S

    lk=0 Fk

    k>l Mk, completando a

    demonstrao, uma vez que

    Mk convergente.

    1.3 Critrio de diferenciabilidade

    Agora supomos que p = 1. Neste caso, B um intervalo fechado e, portanto,ser denotado por J . Uma funo F C(J,Rd) inteiramente determinadapelas funes coordenadas, ou seja, as funes F1, . . . , Fd C(J,R) tais queF (x) = (F1(x), . . . , Fd(x)). Por exemplo, a funo F contnua se e sse todas suas funes coordenadas so contnuas. Temos tambm que F derivvel se e s se todas as funes coordenadas so derivveis e, alm disso,quando isso acontece, temos que

    F (x) = (F 1(x), . . . , Fd(x)).

  • 1.3. CRITRIO DE DIFERENCIABILIDADE 11

    O mesmo acontece no caso da integrao. Uma funo F : J Rd integrvel se e s se as funes coordenadas so integrveis. A primitiva deF (se houver) a d-upla das primitivas das funes coordenadas, e a integraldefinida de F a d-upla das integrais definidas de suas funes coordenadas,ou seja,

    b

    a

    F ()d =

    ( b

    a

    F1()d, . . . ,

    b

    a

    Fd()d

    )

    .

    Note que toda funo em C(J,Rd) integrvel, uma vez que as funescoordenadas dessa funo so contnuas e, portanto, integrveis.

    O prximo passo provar um resultado sobre a derivada de sries defunes contnuas e derivveis. Para isso, necessitamos do seguinte lema.

    Lema 1.3 Se F C(J,Rd), ento existe c R tal que

    t

    0

    F ()d

    c

    t

    0

    |F ()|d.

    Prova: Pela equivalncia entre as normas em Rd, existem constantes po-sitivas b, c R tais que |X| bmax{|X1|, . . . , |Xd|} c|X|, onde X =(X1, . . . , Xd) R

    d. Temos, ento, que

    t

    0

    F ()d

    bmax

    {

    t

    0

    F1()d

    , . . . ,

    t

    0

    Fd()d

    }

    ,

    onde Fi a i-sima funo coordenada de F . Pela monotonicidade da integrale como

    |Fi()| Fi() |Fi()|,

    temos que

    t

    0

    Fi()d

    t

    0

    |Fi()|d.

    Isto implica que