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INTRODUÇÃO A ROBÓTICA – FUNDAMENTOS BÁSICOS NOTAS DE AULA PROF. MARCOS HENRIQUE GOMES UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA 2013 X B X Y Z X T Z T Y T Y B Z B X S Y S Z S X G Y G Z G

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INTRODUÇÃO A ROBÓTICA – FUNDAMENTOS BÁSICOS

NOTAS DE AULA PROF. MARCOS HENRIQUE GOMES

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA

2013

XB

X

Y

Z XT

ZT

YT

YB ZB

XS

YS

ZS

XG

YG

ZG

Robótica e Simulação de sistemas – Prof. Marcos Henrique Gomes

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NOTAS DE AULA

ROBÓTICA E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS

Prof.: Marcos Henrique Gomes

Orientações de estudo:

O presente material trata-se de notas de aulas extraída da bibliografia básica e complementar para a disciplina de robótica e simulação de sistemas.

Para um maior aprofundamento dos estudos recomenda-se buscar nas referências indicadas, pois o presente trabalho objetiva apresentar um panorama geral da disciplina.

• Bibliografia básica:

ROSÁRIO, João Maurício. Princípios de mecatrônica. São Paulo: Pearson

Education, 2005.

ROMANO, Vitor Ferreira (ed.). Robótica industrial : aplicação na indústria de

manufatura e de .... São Paulo: Edgard Blücher, 2002.

CRAIG, J.J.. Introduction to robotics. São Paulo: Pearson Education, 2005.

• Bibliografia Complementar

MURPHY, Robin R.. An introduction to AI robotics. Cambridge: MIT, 2000.

ARKIN, Ronald C.. Behavior-based robotics. Cambridge: MIT, 2000.

MALVINO, Albert Paul. Eletrônica. Vol. 1. São Paulo: Makron, 2006.

BOYLESTAD, Robert L. Dispositivos eletrônicos e teoria de circuitos. São

Paulo: Prentice Hall, 2005.

KERAMAS, J.G.. Robot technology fundamentals. Bonn: Delmar, 1999.

WESTERVELT, E. R., GUIZZLE, J. W., CHEVALLEREAU, C., CHOI, J. H.,

MORRIS, B.. Feedback Control of Dynamic Bipedal Robot Locomotion. Taylor &

Francis Group – Broken Sound Parkway NW, suite 300

SIEGWART, R., NOURBAKHSH, I. R., Introduction to Autonomous Mobile Robots.

Massachusetts Institute of Technology - 2004

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1.CONCEITOS INTRODUTÓRIOS 1.1 - Terminologias - Automação: Tecnologia que se utiliza de sistemas, elétricos, mecânicos e computacionais na operação e controle de produção. Podendo ser classificada por:

• Fixa: adequada a grande volume de produção e com alto investimento inicial.

• Exemplo: maquinas de montagem.

• Programável: adequado a volume de produção relativamente baixo com grande variedade de produtos, situação que exige poder de adaptabilidade através de programação.

• Exemplo: máquinas-ferramenta.

• Flexível: adequado a um volume médio de produção que exige uma capacidade de reconfiguração limitada, com grande versatilidade de atuação (diferentes produtos ao mesmo tempo).

- Robô: Dispositivo que altera suas operações estimuladas por um comando ou por uma mudança de ambiente. - Robô Industrial: Corresponde a um manipulador multifuncional, reprogramável, projetado para manipular materiais, peças, ferramentas ou dispositivos especiais, de forma programada e variável, para o desempenho de uma variedade de tarefas. (Definição da Robotics Industries Association) - Manipulador: Corresponde a uma máquina que tem função similar à aquelas dos membros superiores do homem, sua principal aplicação está na no movimento de objetos de uma posição a outra. Obs: A origem do termo robô (robot). O termo eslavo Robots significa trabalho escravo ou forçado, sendo primeiramente utilizando em uma peça teatral de 1921 de Karel Capek.

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1.2 – Classificação de robôs

1.2.1 Geração

• Robôs executores (playback) – repete uma seqüência de instruções pré-gravadas como pintura ou solda.

• Robôs controlados por sensores – possuem malha fechada de realimentação sensoriada.

• Robôs controlados por visão – o controle da malha fechada é alimentado por um sistema de visão.

• Robôs com controle adaptativo – reprogramação das ações do robô através de sensores.

• Robôs com inteligência artificial – usa técnicas de inteligência artificial para a tomada de decisão.

1.2.2 Níveis de controle dos programas controladores

• Servo-sistema – os atuadores controlam os parâmetros do dispositivo controlado usando os dados sensoriados na malha.

• Controle modelado – através de modelagem matemática, os sistemas são controlados incluindo as interações dinâmicas entre os diferentes dispositivos.

• Inteligência artificial – Instruções de alto nível que são decompostas por sistemas baseados em lógica Fuzzy e algoritmos genéticos que propiciam a tomada de decisão mais próxima do ideal.

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2. Características dos Robôs industriais

2.1 – Braço Mecânico

Um robô consiste basicamente em um braço mecânico motorizado controlado por um computador.

2.2 – Classificação dos manipuladores segundo sua configuração

Os manipuladores robóticos correspondem a mecanismos constituídos de um conjunto de elos conectados através de juntas, que formam um braço mecânico. O robô utiliza-se de uma garra ou ferramenta ao terminal do dispositivo para realizar as tarefas.

O movimento das justas pode ser:

• Rotação em torno de um eixo longitudinal e um elo entre duas juntas;

• Rotação em torno de um eixo transversal na junta;

• Movimento linear na direção do eixo longitudinal de um elo.

Algumas construções específicas podem apresentar mais de um movimento, por exemplo, as juntas do tipo rótula, que permitem movimentos rotativos em torno dos três eixos (x, y, z). 2.3 – Geometria do Robô É comum classificar os robôs conforme o tipo das três primeiras juntas do robô. A codificação usada para sua classificação é baseada no tipo destas juntas, na ordem que ocorrem à partir da base:

R = revolução P = deslizante (prismatic) S = Bola-e-encaixe (rótula ou esférica)

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2.4 – Vínculo e juntas

Denomina-se vinculo (elo) a extensão longitudinal da haste que ligada pela junta (eixo) a outro vínculo compõe o braço mecânico. Tais juntas podendo ser rotacionais ou deslizantes (linear).

2.4.1 – Tipo de junta

a) Deslizante – movimento linear entre dois vínculos. b) Rotativo – movimento de rotação entre dois vínculos. c) Bola-e-encaixe (rótula) – conexão que se comporta como uma combinação de três juntas de rotação.

Na maioria dos manipuladores, as juntas são divididas em dois grupos:

1° - Juntas principais, que correspondem às três juntas mais próximas a base.

2° - Juntas secundárias ou juntas de punho, que correspondem às juntas mais próximas ao efetuador.

Obs: Devido o alto grau de dificuldade na programação de uma junta tipo rótula tal junta é pouco usual, podendo ser substituída com grande facilidade por um robô com três jutas rotacionais, que possibilitam os movimento dos três eixos (x,y,z) de tal maneira que os eixos se cruzam em um ponto.

Vinculo ou elo

Vinculo ou elo Junta

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3. – Graus de liberdade

Denomina-se grau de liberdade (degrees-of-freedom DOF) o movimento independente que um objeto pode efetuar num espaço tridimensional. Assim, um corpo rígido movendo-se no espaço apresenta seis graus de liberdade (três para posição e três para orientação). Tal condição intimamente ligada ao tipo de junta do manipulador, Assim, o numero de graus de liberdade que um manipulador possui é o número de variáveis posicionais independentes que tem que ser especificadas de modo a localizar todas as partes do mecanismo. Podendo ser no máximo a soma dos graus de mobilidade de todas as suas juntas.

Exemplo: O número de possíveis movimentos de um cubo no espaço.

3.1 – grau de liberdade associado ao tipo de junta. Cada tipo de junta tem a ela relacionado um grau de liberdade que corresponde aos possíveis movimentos realizados no espaço cartesiano. Conforme relacionado abaixo. Rotacional – Gira em torno de um eixo – 1 DOF Deslizante – Desliza ao longo de um eixo – 1 DOF Bola-e-encaixe (rótula ou esférica) – gira em torno de três eixos – 3DOF Assim o braço humano possui sete graus de liberdade (excluindo-se a mão e os dedos) como segue:

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JUNTA TIPO GRAUS DE LIBERDADE (DOF)

Ombro Esférico 3 Cotovelo Rotacional 1

Pulso Esférico 3 O número de graus de liberdade de um mecanismo espacial pode ser obtido também pela equação: N = 6(n -1) – 5p1 – 4p2 – 3p3 – 2p4 – p5 Onde: N = Número de graus de liberdade do mecanismo n = número de elementos do mecanismo. p1 = número de pares cinemáticos de um movimento p2 = número de pares cinemáticos de dois movimentos. p3 = número de pares cinemáticos de três movimentos. p4 = número de pares cinemáticos de quatro movimentos. p5 = número de pares cinemáticos de cinco movimentos. Obs: definem-se por par cinemático a união de dois elementos que estão em contato e que permite o movimento relativo de ambas as partes. 3.2 – Cadeia cinemática (arranjo cinemático) Uma maneira clássica de representar um manipulador é utilizando-se de uma cadeia cinemática, que baseada em simbologia própria representa um manipulador em suas juntas e vínculos utilizando-se dos símbolos:

Símbolo Significado

Sistema eixo de rotação tipo pivô

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Sistema eixo de translação telescópica

Sistema eixo de translação transversal

Sistema eixo de rotação tipo dobradiça

Sistema eixo de rotação esférica

Sistema ferramenta

Sistema ferramenta garra

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4. Classificação dos robôs

São apresentadas as seguintes configurações básicas para um manipulador de acordo com os movimentos realizados por suas juntas.

1° - Robô revoluto, antropomórfico ou articulado. (RRR)

Com arquitetura cujas coordenadas de revolução se assemelham a de um braço humano, suas principais características são:

a) Maior área de atuação que outros robôs. b) Baixa rigidez mecânica, que reduz a precisão do robô devido a vibrações. c) Controle complexo graças a combinação das juntas de revolução e das

variações de carga. d) Maior adaptabilidade em estações de trabalho humano.

2° - Robô polar ou esférico

O robô polar ou esférico possui dois movimentos rotacionais e um linear (RRP) descrevendo um envelope esférico, suas principais características são comparadas ao robô cilíndrico que são:

a) Maior área de trabalho; b) Menor rigidez mecânica; c) Maior complexidade de controle devido aos movimentos de rotação.

3° Robô cilíndrico

Robô que combina movimentos lineares e movimentos rotacionais, descrevendo um envelope de trabalho cilíndrico. Normalmente possui um movimento de rotação e dois lineares (RPP). Suas principais características são comparadas aos robôs cartesianos:

a) Sua área de trabalho é maior; b) Rigidez mecânica ligeiramente inferior; c) Maior complexidade no controle devido a vários momentos de inércia na

área de trabalho, que possibilita o trabalho com grandes cargas.

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4° Robô cartesiano ou retangular

Robô que combina apenas movimentos lineares (PPP), especificando um ponto no espaço de coordenadas cartesianas (x,y,z). Suas principais características são:

a) Pequena área de trabalho; b) Elevando grau de rigidez mecânica; c) Com controle simples devido ao momento de inércia da carga ser fixo em

toda á área de trabalho.

5° Robô tipo SCARA (Selective Compliance Arm for Robotic Assembly)

Robô que combina duas juntas de revolução e uma deslizante (RRP), utilizando principalmente em tarefas de montagem, suas principais características são:

a) Menor área de atuação comparativamente ao modelo esférico. b) Adequado a operações de montagem devido ao momento linear do

terceiro eixo. c) Capacidade de movimentação com grande velocidade e bia precisão.

4.1 – Volume (Espaço ou envelope) de trabalho O volume de trabalho de um manipulador corresponde ao espaço dentro do qual o robô pode manipular o atuador, tal volume dependendo da configuração física do robô (dimensão dos elos e limites de movimento das juntas).

CLASSIFICAÇÃO EVELOPE DE TRABALHO

Cartesiano (PPP) V = A1A2A3

Cilíndrico (RPP) V = πA1[(L + A2)

2 – L2]

Esférico (RRP)

V = ��π [(L + A)3 – L3]

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SCARA (RRP)

V = πA[(L1 + L2)

2 – (L1 - L2)2] ⇔ L1 > L2

V = πA(L1 + L2)2 ⇔ L1 ≤ L2

REVOLUTO (ANTROPOMÓFICO)

V = ��π [(L1 + L2)

3 – (L1 – L2)3] ⇔ L1 > L2

V = ��π [(L1 + L2)

3 ⇔ L1 ≤ L2

4.2 - Especificações: Deve-se atentar a vários fatores influenciam a determinação do robô ideal, tais como a velocidade de operação desejada, a minimização do tempo de ciclo de produção, a acuidade de posicionamento do pulso, o peso do objeto a ser manipulado, as distâncias a serem percorridas e o comportamento dinâmico do robô. A capacidade de carga do manipulador é determinada pelo tamanho, configuração e construção do sistema atuador, sendo ideal configurar com a condição de menor carga do sistema (polar, cilíndrico, revoluto) e maior extensão do braço. A precisão do robô é definida por três componentes:

a) Acuidade (precisão estática): caracterizada pela aptidão de situar o órgão terminal em um ponto programado.

b) Repetibilidade (precisão de repetição): Caracterizada pela aptidão em repetir uma posição visitada anteriormente.

c) Resolução (espacial): a menor magnitude de movimento (incremental de

uma junta) que pode ser comandada de maneira confiável.

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5. Localização (posição e orientação) de objetos no espaço (plano cartesiano) A movimentação e localização de um robô em seu envelope de trabalho dão-se através da programação das juntas e terminal do manipulador apoiado nos conceitos de plano e espaço cartesianos. Sistemas de eixos coordenados ortogonais com sentido positivo. 5.1 – Sistemas de eixos

PLANO ESPAÇO y � x

Z � � y � X

Um ponto no espaço é representado por um vetor na forma P(x0, y0, z0), o termo vetor é frequentemente associado a duas interpretações: 1ª. Descreve um movimento ou deslocamento. 2ª. Refere-se a coordenada do ponto (com vetor aplicado na origem do sistema.

Assim, no exemplo ao lado o vetor r ou o ponto P correspondem a entidades geométricas distintas, no entanto podem ser descritos na forma matricial da mesma maneira.

�� =��� ; P = ���

Daí pode-se concluir que um objeto no espaço corresponde a um conjunto de pontos inter-relacionados.

P = (x0, y0, z0)

x

y

z

��

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Vetor soma.

Define-se o ponto P’ a soma de dois vetores, sendo geometricamente a soma do vetor �� com origem no ponto P.

(P’ = P + ��) ou (�� = P’ – P)

E como vetores podemos escrever:

(��� = �� ���) 5.1 – Posição e orientação A posição de um objeto no espaço é descrita por um vetor posição, no qual se descreve a posição do ponto P = [px, py, pz], a combinação entre dois eixos coordenados como descritos no modelo abaixo corresponde a relação entre os eixos A (origem) B (corpo no espaço).

A orientação de um corpo no espaço corresponde a relação dos eixos coordenados envolvidos, (‘B’ com o sistema de referência em ‘A’) á partir dos versores de ‘B’ com relação a ‘A’, fazemos coincidir a origem de ‘A” e ‘B’, permitindo

escrever o vetor ( ��� ). Que é descrito através da relação abaixo chamada de matiz de rotação.

��� = [ A��B A��B

A��B ] = ���� ��� ������ ��� ������ ��� ���

�� P = (x0, y0)

x

y

��

P’

P

P’ = (x1, y1)

��� ��

A

B

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6.1 – Translação de um ponto no plano cartesiano. Dado um ponto P qualquer, cuja representação corresponde a P = (x0, y0), a mudança de coordenada descrita por uma translação corresponderá a soma de constantes as coordenadas cartesianas de tal forma que permita-nos dizer que o ponto em questão teve suas coordenadas transformadas. Assim:

P’ = T + P

Onde: P’ → matriz que representa o ponto transladado (x1 + ∆x, y1 + ∆y) T → matriz de translação dos pontos coordenados (∆x, ∆y) P → ponto a ser transladado. (x0, y0)

Note que no espaço cartesiano a transformação de translação corresponderá a soma dos elementos em três dimensões. (x, y, z)

P = (x, y, z) ; P’ = (x1, y1, z1)

Exemplo:

Dado

O ponto: P = �95 A matriz de translação: T = �32 Temos: P’ = P + T �127 = �95 ��32

x

y

0

P

P’

x0

y0

y1

x1

∆y

∆x

x

y

0

P

P’

9 12

5

7

x

P

P’

0 y

z

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7.1 – Rotação de um ponto no plano cartesiano. O movimento em torno de um eixo cartesiano corresponde a rotação deste ponto em relação ao eixo de referência. Em duas dimensões (plano) temos o movimento em torno do eixo “y”. A rotação de um ponto através de um ângulo θ qualquer também é feita a partir da origem. A rotação então definida matematicamente por:

x’ = x.cos(θ) – y.sen(θ)

y’ = x.sen(θ) + y.cos(θ)

e matricialmente representado por:

P’ = R.P → &′�′( = �)*+, -+./,+./, )*+, . �� Observamos que a rotação por , transformação de P (x, y) em P’ (x’, y’). Como a rotação é em relação a origem, as distâncias de P e P’ a origem, são iguais. Assim temos: (Na robótica a distância ‘r’ é anotada “L”)

x = L.cos(ϕ)

y = L.sen(ϕ)

x’ = L.cos(ϕ+θ) = L.cos(ϕ).cos(θ) – L.sen(ϕ).sen(θ)

y’ = L.sen(ϕ+θ) = L.cos(ϕ).sen(θ) + L.sen(ϕ).cos(θ)

7.2 - Notação

Nos procedimentos de calculo de cinemática e dinâmica robótica é comum o uso de funções trigonométricas. Assim nossa notação para o cosseno e seno de um ângulo qualquer ‘θi’ será:

Cosθi = cθi = ci senθi = sθi = si

Assim a equação cinemática acima será: x = Lc1 y = Ls1

x’ = Lc12 = Lc1c2 – Ls1s2

y’ = Ls12 = Lc1s2 + Ls1c2

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8. - Introdução a representação matricial. 8.1 – Coordenadas homogêneas e matriz de transformação Para a translação e rotação de um ponto no espaço as matrizes separadamente são:

P’ = T + P (translação ‘soma de duas matrizes’) P’ = R.P (rotação ‘produto entre duas matrizes’)

Entretanto para combinar ambas é necessário utilizar uma única operação. Um procedimento comumente utilizado nos cálculo de cinemática corresponde à utilização de coordenadas homogêneas.

PROCEDIMENTOS PARA ESCRITA DE UMA MATRIZ EM COORDENADAS HOMOGÊNEAS

1. Adiciona-se uma nova coordenada ao ponto. Logo em vez de um ponto ser

representado por um par de valores (x, y), ele é representado por uma tripla (x, y, W). “com o plano W = 1”. Ou se um ponto no espaço que é representado por uma tripla (w, y, z), ele será representado por uma quádrupla (x, y, z, W). Dessa forma um ponto P de coordenadas (x, y, z) será representado por (x, y,

z, W), sendo W diferente de 0, 1 23 , 53 , 63 , 17.

2. Assim sendo os pontos expressos em coordenadas homogêneas permite a combinação de todas as transformações.

8.2 – Matriz de transformação homogênea em 2D e 3D 8.2.1 – Translação

P’ = T.P

�′�′�′ =�1 0 90 1 9�0 0 1 . :�1;

Matriz de translação homogênea em 2D

<′�′�′1 ==<1 0 0 90 1 0 9�0 0 1 9�0 0 0 1 = . >��1?

Matriz de translação homogênea em 3D

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8.2.2 – Rotação

P’ = R.P &′�′( = �)*+, -+./,+./, )*+, . ��

Operação de rotação no plano cartesiano ‘2D’. R(,A) = &),A -+,A+,A ),A (

A equação de rotação em 2D é justamente uma rotação em torno do eixo z em 3D, a qual é:

<′�′�′1 = = <)*+, -+./, 0 0+./, )*+, 0 00 0 1 00 0 0 1=. >��1? R(z, θ) = <DE -FE 0 0FE DE 0 00 0 1 00 0 0 1= Matriz de rotação em torno do eixo z

<′�′�′1 = = <1 0 0 00 )*+, -+./, 00 +./, )*+, 00 0 0 1=. >��1? R(x, θ) = <1 0 0 00 DE -FE 00 FE DE 00 0 0 1= Matriz de rotação em torno do eixo x

<′�′�′1 = = < )*+, 0 +./, 00 1 0 0-+./, 0 )*+, 00 0 0 1=. >��1? R(y, θ) = < DE 0 FE 00 1 0 0-FE 0 DE 00 0 0 1= Matriz de rotação em torno do eixo y

A matriz de transformação geométrica, homogênea, tem além das rotações e da translação mais quatro termos (ultima linha). Na cinemática os valores que nos interessam nessa componente são [0 0 0 1], entretanto em outros contextos terão grande importância, por exemplo, no tratamento geométrico de imagens digitais cujo os três primeiros elementos (linha) correspondem a perspectiva e o quarto elemento corresponde ao fator de escala global.

T = <��� ��� ��� G2��� ��� ��� G5��� ��� ��� G6H� H� H� + =

Rotação Translação

Perspectiva Escala

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8.2.3 – Eixo de rotação (sistema de coordenadas) O sistema de coordenadas em 3D utilizado será o da regra da mão direta, cujo o eixo z perpendicular ao plano xy. Abrindo a mão com o eixo z passando pelo dedo polegar, o dedo indicador passando pelo indicador e o eixo y passando pelo dedo médio dobrado.

Eixo de rotação Direção da rotação positiva X y para z Y z para x Z x para y

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9.0 ORIENTAÇÃO E CONTROLE DE GARRA. As tarefas a serem realizadas definem a configuração quanto à geometria do robô, com o estudo do envelope de trabalho de cada um dos tipos de robô é possível perceber seu alcance conforme descrito na tabela a seguir. CLASSIFICAÇÃO ALCANCE

PPP Qualquer ponto de um cubo de lado A. RPP Qualquer ponto em um cilindro de altura A1 e raio L1 + A2,

exceto os pontos do cilindro interno de raio A2 e altura A1. RRP Qualquer ponto de uma esfera de raio L1 + L2, exceto a esfera

interna de raio L1. RRP (SCARA) Para L1=<L2

Qualquer ponto de um cilindro de raio L1 + L2 Para L1>L2

Qualquer ponto de um cilindro de raio L1 + L2 exceto os ponto da esfera interna de raio L1 – L2.

RRR Para L1=<L2 Qualquer ponto de uma esfera de raio L1 + L2 Para L1>L2 Qualquer ponto de uma esfera de raio L1 + L2 exceto os ponto da esfera interna de raio L1 – L2.

Entretanto o alcance ao robô não definem sua precisão de trabalho esta tarefa corresponde ao controle do atuador no espaço. O punho corresponde a outro sistema que confere ao manipulador uma maior mobilidade de atuação no espaço de trabalho através da adição de novos vínculos e consequentemente um maior grau de liberdade. 9.1 – MODELO GEOMÉTRICO O modelo geométrico de um robô apresenta a posição e orientação de seu elemento terminal (flange) em relação ao sistema de coordenadas de referência (base), em função de suas coordenadas generalizadas. Representado matemática:

X = f(θ) Onde θ = (θ1, θ2,..., θn): Vetor posição angular das juntas.

A

B

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X = (X, Y, Z, ψ, θ, ϕ): Vetor posição, onde os três primeiros termos denotam a posição cartesiana e os três últimos a orientação do terminal. Representado matricialmente como abaixo chamada de matriz de orientação:

T = >/2 +2 I2 G2/5 +5 I5 G5/6 +6 I6 G60 0 0 1 ? Os três vetores n, s, a, ortogonais apresentam-se centrados entre os dedos da garra de um manipulador onde: n, s, a são definidos como: n, eixo dos xx corresponde ao vetor normal. s, eixo dos yy corresponde ao vetor de orientação, que aponta na direção especificando a orientação da garra. a, eixo dos zz corresponde ao vetor de aproximação, que aponta na direção em que a garra se aproxima de um objeto. E o vetor p, corresponde ao vetor posição. 9.2 - SISTEMA DE COORDENADAS DA GARRA. (Roll Φ,Pich,Pich,Pich,Pichθ,Yaw,Yaw,Yaw,Yawψ)))) Oriundo da aeronáutica os movimentos Roll Φ (rolamento), Pich θ(mergulhoouarfagem)eYawψ(guinada),correspondemaodeslocamentoangular realizado por um determinado eixo (sistema de coordenadas {b}garraafixadaaocorpo)emrelaçãoaumeixofixo.(sistemadecoordenadas{a},referencia).

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Permitindoosmovimentos:Permitindoosmovimentos:Permitindoosmovimentos:Permitindoosmovimentos:Roll Φ (rolamento) ⇨ movimento de rotação no sentido horário e anti-horário.Pichθ(mergulhoouarfagem)⇨movimentoparacimaeparabaixoYawψ(guinada)⇨movimentoparaaesquerdaeparaadireita.Assimdescrito. 1. Gira-se {b} de um ângulo γemtornode���. 2. Gira-se então de um ângulo βemtornode���. 3. Gira-se de um ângulo αemtornode���

���

���

���

��� ���

���

���

���

���

���

���

���

���

���

���

���

���

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Sua matriz de rotação equivale a sequência. �pq5(r, ,, s) =�� Rot(A��A, Φ) . Rot(A��A, θ) . Rot(A��A, ψ).

�pq5(r, ,, s) =�� �Dt -Ft 0Ft Dt 00 0 1 � D, 0 F,0 1 0-F, 0 D, �1 0 00 Ds -Fs0 Fs Ds =

= �Dt. D, Dt. F,. Fs - Ft. Ds Dt. F,. Ds � Ft. FsFt. D, Ft. F,. Fs � Dt. Ds Ft. F,. Ds - Dt. Fs-F, D,. Fs D,. Ds 9.3 – Ângulos de Euler Consiste em três ângulos de rotação, que levam o objeto de sua orientação original de referência até a origem que está sendo descrita. As rotações são efetuadas consecutivamente segundo o mesmo sistema de coordenadas do corpo, que assim vai assumindo uma nova situação a cada rotação. Há varias possibilidades de conjuntos de ângulos de Euler conforme a seqüência de rotação escolhida. Exemplo: Ângulo de Euler (Z-X-Z) guinada ψ- rolamento ϕ – guinada ψ. Inicia-se com o sistema de coordenadas fixo ao corpo, {b}, coincidindo com o sistema de referência conhecido {a}. Efetua-se então as seguintes rotações, em torno dos eixos do sistema móvel:

1. Gira-se {b} de um ângulos ϕ em torno de���

2. Gira-se então de um ângulo θ em torno de ���

3. Gira-se de um ângulo ψ em torno de ���

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Que equivale a escrever a seguinte matriz de rotação: �uvu(r, ,, s) =�� Rot(��B, ϕ) . Rot(��B, θ) . Rot(��B, ψ).

Z

X

Y

ϕ

X’, X”

Y’

ϕ

ϕ

Z’

Y”

θ

θ

θ

ψ

Y”’

X”’

ψ

ψ

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10 – TRANFORMAÇÕES INVERSAS A obtenção de um determinada ponto pela aplicação de uma transformação geométrica pressupõe que o processo inverso é igualmente válido, assim a obtenção de um ponto a partir de outro. o que matematicamente se apresenta:

P1 = T . P0 => T-1.P1 = P0

Assim a inversa de uma matriz de transformação é também uma matriz de transformação. O que permite afirmar: ( wxy )-1 = wxy -1 = wyx Devido às propriedades de matrizes podemos definir que:

Exemplo:

Deseja-se determinar a matriz de transformação que se aplicada ao paralelepípedo indicado a seguir, partindo-se do referencial da peça B de tal modo que encaixe na peça A com os eixos coordenados A e B coincidentes. Dados: Coordenas da peça A(0, 6, 2), coordenadas da peça B(8, 2, -2) ambos em relação ao referencial global R (0, 0, 0).

T = {||} G2�~� G5G60 0 0 1 ���

� = �� �� �� G�0 0 0 1

T-1 = < -G�. �(�~�)� -G�. ��-G�. ��0 0 0 1 =

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SOLUÇÃO: De imediata sai o Grafo. Que permite escrever a equação. wy� = wx� . wyx

Isolando wyx temos: w = wx� yx -1. wy�

B

A

xB zB

yB

yA

zA

xA

R

���

A

��� B

���

R

XR

YR

ZR

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Sendo:

wy� = <1 0 0 00 1 0 60 0 1 20 0 0 1= ; wx� = <0 0 -1 80 1 0 21 0 0 -20 0 0 1 =

Daí de imediato temos: w = wx� yx -1. wy� =

< 0 0 1 20 1 0 -2-1 0 0 80 0 0 1 = . <1 0 0 00 1 0 60 0 1 20 0 0 1= = < 0 0 1 40 1 0 4-1 0 0 80 0 0 1=

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11.0 INTRODUÇÃO A CINEMÁTICA O estudo da cinemática consiste basicamente do estudo dos movimentos e suas derivadas sem levar em conta elementos como carga, força de ação e reação, ou seja, as forças que levam a ocorrência de movimento. Vimos que a posição e orientação dos corpos em movimento podem ser obtidas a partir dos sistemas de coordenadas escolhendo-se convenientemente os sistemas a serem relacionados, alguns destes sistemas fixados aos elementos do manipulador outros fixados na área de trabalho ferramenta entre outros. Tendo o sistema fixado no manipulador podemos afirmar que o sistema de coordenado varia quando o mecanismo se articula. 11.1 PROBLEMA CENTRAL DA CINEMÁTICA O problema central da cinemática consiste em duas circunstâncias: 1ª. – Cinemática direta → Determinação da posição e orientação final do elemento terminal em relação ao sistema de coordenadas da base (referencial) do manipulador. Ou seja, obter a posição final do efetuador sendo conhecida a dimensão dos vínculos e a posição angular das juntas. 2ª. – Cinemática inversa → Determinação da posição angular das juntas do manipulador em relação ao sistema de coordenadas da flange (ferramenta) do manipulador. Ou seja, obter a posição angular de cada uma das juntas do efetuador sendo conhecida a dimensão dos vínculos e a posição final (ou desejada) do efetuador. Levando-se em conta apenas a velocidade, posição e aceleração dos elementos que compõe o robô.

CINEMÁTICA DIRETA

Variáveis cartesianas

(px, py, pz)

CINEMÁTICA INVESA

Variáveis de junta

(θi, Li)

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11.1.1 – POSIÇÃO ZERO OU POSIÇÃO HOME Dizemos que um manipulador encontra-se em posição zero (home position) quando as variáveis de junta estão nos seus valores O (zero), ou seja, as juntas rotacionais estão alinhadas com o referencial e as juntas prismáticas recolhidas. 11.2 – METODOS DE OBTENÇÃO DA CINEMÁTICA DIRETA 11.2.1 - MODELAGEM GEOMÉTRICA Método que consiste na obtenção da posição final do efetuador (px, py, pz), sem levar em conta outros elementos como a matriz de transformação que leva a obtenção do referido ponto. Utiliza-se da geometria do manipulador, associado ao tipo de movimento de suas juntas realiza-se sua representação trigonométrica, que permitira a obtenção da posição final do efetuador. Exemplo 01. Dado do manipulador RR (dobradiça/robô planar) com 2GL

Da geometria temos que a cinemática direta corresponderá a:

x

y

θ1

θ2

L1

L2

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px = L1C1 + L2C12

py = L1S1 + L2S12

Onde: (px, py) corresponde a coordenada cartesiana do efetuador. L1 e L2 os vínculos consecutivamente. S1 e S12 os ângulos seno do primeiro ângulos e seno da soma dos dois ângulos. Exemplo 02. Dado do manipulador RRR (dobradiça/robô planar) com 3GL

Temos, portanto da geometria. px = L1C1 + L2C12 + L3C123 py = L1S1 + L2S12 + L3S123 Exemplo 03. Dado do manipulador RRR (1ª. Junta pivotante e das demais dobradiça/robô revoluto) com 3GL

y

θ1

θ2

L1

L2

L3 θ3

x

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Procedimentos: Decompor os movimentos em planos.

Vista superior Onde: d = soma dos vínculos L2 e L3

Vista lateral

Daí vem: Plano ‘xy’ temos:

x = dC1 y = dS1

Plano ‘pz’ temos:

d = L2C2 + L3C23

Substituindo 3 em 1 e 2 temos:

px = dC1 = (L2C2 + L3C23)C1 py = dS1 = (L2C2 + L3C23)S1

pz = L1 + L2S2 + L3S23

d

θ1

y

x

L2

θ2

z

d

θ3 L3

1

2

3

y

θ1

θ2

L1

L2

L3

θ3

z

x

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11.3 – MODELO DE DENAVIT-HARTENBERG O modelo de Denavit-Hartenberg também conhecido como notação e parâmetros D-H, consiste em um dispositivo que permite a análise de um manipulador serial, ou seja, análise do comportamento de uma sequência de elos conectados entre si por uma cadeia aberta. Adotando-se que: 1° Cada uma dos eixos apresenta apenas um movimento (grau de liberdade). 2° Que os elos (vínculos) correspondam a corpos rígidos. 3° Se necessário pode-se adicionar elos virtuais (comprimento nulo) a fim de separar as juntas que concentram mais de um movimento. Inicialmente o modelo de Denavit-Hartenberg analisa os pares cinemáticos individualmente relacionando os conjuntos de pares sucessivos, para isso utiliza-se dos seguintes procedimentos: - Considera-se a base do manipulador como elo 0 e os outros elos recebem numeração crescente de 1 a n, progressivamente da base ao órgão terminal. - Numera-se as juntas de 1 a n de maneira análoga aos elos. Assim temos:

elo 0 – junta 1 elo 1 – junta 2 elo 2 – juta 3 ....

Para fixar os eixos coordenados aos elos obedecemos a seguinte convenção: - A cada elo é fixado um sistema de coordenadas, como o sistema de coordenadas de base permanece imóvel enquanto o manipulador é articulado, podemos fixar o referencial {R} a estes. - Traçamos os eixos das juntas. - Determina-se a origem Oi do i-ésimo sistema coordenado (sistema coordena do elo i). localizado na intersecção do eixo da junta i + 1 e a junta i

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- Determina-se a normal comum ��~������� da junta i e i + 1. (observação: que o sistema de coordenadas do eixo i está na junta i + 1, portanto, ao final do elo i, em vez de na junta i; - o eixo �A é direcionado ao longo do eixo normal comum (apontando no sentido da junta i para a junta i + 1. - o eixo �̂A é fixado ao longo do eixo da junta i + 1. - o eixo ��A é escolhido de forma que o sistema resultante siga a regra da mão direita. No que conserve a aspectos cinemáticos, o elo i e a situação relativa dos dois sistemas coordenados {i} e {i + 1} podem ser completamente descritos pelos quatro seguintes parâmetros: li = Comprimento da normal comum, ou seja, a distância entre os eixos das juntas em cada terminal do elo i, medida ao longo da linha normal a ambos esses eixos (ao longo de �A); αi = ângulo entre o eixo da junta i(�̂A��) e o eixo da junta i + 1 (�̂A), no sentido da mão direita, medido em torno de �A.

i i + 1

�A ~A A �A �A

A - 1

�A - 1�A - 1

i - 1

elo i - 1

elo i

~A��9A

�AIA ,A

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di = Distância entre a origem Oi-1 e o ponto Hi, ou seja, a distâncias entre as normais comuns Hi-1Oi-1 e HiOi, medida ao longo de �̂i-1. θi = ângulo entre os eixos �i-1 e a normal comum ângulos (eixo �i), medido em torno do eixo �̂A�� no sentido da mão direita.

Os parâmetros li e αi são constantes conhecidas determinadas pela geometria do manipulador (elo i), onde:

li = comprimento do elo αi = ângulo de torção entre os eixos estudados. Os parâmetros (di e θi) são variáveis que se alteram quando a junta i se

move gerando, podendo ser chamadas de variáveis de junta obedecendo à regra: di = se altera quando a junta for prismática θi = se altera quando a junta for rotacional.

11.4 – SISTEMAS DE COORDENADAS DA BASE E DO ORGÃO TERMINAL A determinação da normal comum tanto para o elo da base (elo 0) como para o elo n (elemento terminal) não é possível devido a cada uma das juntas possuir apenas um eixo. Assim para obter o eixo coordenado de ambos adota-se a seguinte convenção: Para o eixo coordenado da base:

O eixo z0 deverá ser paralelo ao eixo da primeira junta z1. Se a junta for rotacional o eixo z0 será coincidente com o eixo da junta. Se a junta for prismática bastará que z0 possua a mesma direção de deslocamento linear da junta.

A origem pode ficar em qualquer local sobre z0. A orientação de x0 e y0 pode ser qualquer uma, entretanto é conveniente quando a variável da junta for nula adotar eixos paralelos aos eixos x1, y1.

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Neste caso teremos: a0 = α0 = 0

d1 = 0 (se a junta 1 for de rotação) θ1 = 0 (se a junta 1 for prismática)

Para o eixo coordenado do terminal: A origem do sistema pode ser escolhida em qualquer ponto conveniente do órgão terminal, contudo, deve-se ser escolhida de maneira que o eixo �n intercepte o eixo �̂n-1 da ultima junta, formando um ângulo reto. Sendo o ângulo αn arbitrário escolhendo-se zn, paralelo a zn-1 torna-se αn = 0° Se a junta for de revolução escolhe-se o eixo xn coincidente com o eixo xn-1 quando θn = 0. Se a junta for prismática escolhe-se o eixo xn de maneira que θn = 0, enquanto a origem do sistema será a intersecção de xn-1 e o eixo da junta n quando dn = 0. 11.4.1 – MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO ENTRE OS ELOS Sendo dois elos consecutivos como descritos na figura abaixo, Dado um vetor no sistema {i} podendo ser expresso no sistema {i -1} calculando-se a

transformação homogênea �AA�� , tal que descreve a posição e orientação do

sistema coordenado {i} com relação ao sistema {i -1}. A obtenção de �AA�� pode ser feita de forma simples, combinando-se as transformações básicas expressas em termos de cada parâmetro de Denavit-Hartenberg para o elo i.

i i + 1

�A ~A A �A �A

A - 1

�A - 1 �A - 1~A��9A

�A

IA ,A

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Considerando-se que haja dois sistemas coordenados intermediários entre {i-1} e {i} cujo:

• O primeiro sistema é centrado em Oi e coincidente com {i} exceto que {i} está girado relativamente a ele por uma rotação de αi em torno de xi, ou seja, o seu eixo z é paralelo e de mesmo sentido que zi-1.

• O segundo sistema centrado em Hi, e de mesma orientação que o primeiro.

Daí a transformação �AA�� pode ser obtida através da combinação das transformações deste sistema intermediário que corresponde a: �AA�� = Rot (zi-1, θi).Transl(zi-1,di).Transl(x, ai).Rot (x, αi)

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12.0 - Cinemática inversa O problema da cinemática inversa consiste basicamente em determinar o conjunto de ângulos (deslocamento angular das juntas) que geram a posição e orientação especificadas para o órgão terminal. Observa-se que tal determinação somente é possível quando é conhecida a posição final do efetuador, ou seja, quando fornecido as coordenadas de área de trabalho, base, ferramenta e etc, obtêm-se as equações algébricas não lineares como:

TH = y�� y�� y�� … y���� Onde: TH → matriz formada pelas equações algébricas não-lineares que representam o manipulador. A → matrizes que representam o comportamento cinemático direto de cada uma das juntas. n → número de junta. 12.1 – Unicidade das soluções Como o objetivo é obter os ângulos ,�, ,�, ,�, ... ,�, através de diferentes métodos relacionando equações algébricas não-lineares podemos afirmar que existe uma multiplicidade de soluções. As condições que interferem no número de soluções para cada uma das variáveis de junta em um determinado manipulador são:

a) O ponto desejado deve estar dentro da área de trabalho (Isso não significa que o mesmo possa ser obtido com a orientação desejada).

b) Número de graus de liberdade (Quanto maior o grau de liberdade do manipulador maior a habilitação para atingir posições e orientações dentro do espaço de trabalho).

c) Limitações individuais das juntas (A proximidade do ponto e orientação desejados varia conforme a combinação das limitações individuais de cada uma das juntas).

Tais condições associadas a critérios de trabalho que são:

a) A possibilidade de obstáculos na área de trabalho. b) A possibilidade de escolha da solução que envolva o menor esforço

cinemático das juntas.

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12.2 – Métodos de solução Existem diferentes métodos de solução que podem ser classificados em dois grandes grupos algébricos e/ou geométricos, a opção pelo método de solução interfere diretamente no grau de dificuldade na obtenção da cinemática inversa. Sendo que os elementos de decisão dependem exclusivamente dos dados oferecido no problema, ou seja, se são oferecidos mais dados geométricos opta-se pelo método puramente geométrico se oferecidos dados puramente algébricos opta-se pela álgebra, ou ainda se é possível opta-se por uma combinação de ambos os métodos. Dizemos que o método escolhido foi puramente geométrico quando a solução é deduzida apenas da geometria do manipulador e de sua representação no espaço cartesiano, enquanto a representação algébrica é deduzida apenas das equações que representam o manipulador. 12.2.1 – Método analítico (algébrico e geométrico)

Método que exige o conhecimento das posições finais do efetuar tendo sido obtido através da matriz de transformação homogênea ou através do método geométrico.

Consiste em realizar a linearização das equações por meio de artifícios matemáticos permitindo obter a solução para as variáveis de descolamento angular. Exemplo. Dado o manipulador com 2 GL representado geometricamente abaixo temos: De onde se deduz de imediato.

G2 =��D� ���D�� G5 =��F� ���F��

1° Eleva-se ao quadrado todos os termos das equações.

(G2)� = (��)�(D�)� �(��)�(D��)� � G2� = ���D�� � 2��D���D�� ����D��� (G5)� = (��)�(F�)� �(��)�(F��)� � G5� = ���F�� � 2��F���F�� �L��F���

x

y

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2° Adiciona-se as duas equações. G2� � G5� = ���D�� � ���F�� � 2��D���D�� � 2��F���F�� � ���D��� � L��F���

3° No segundo termo reorganizamos os elementos colocamos em evidência ��� e ��� . (objetivando obter a identidade C2 + S2 = 1) 1 1 G2� � G5� = ���(D�� � F��) � ���(D��� � F��� ) � 2��D���D�� � 2��F���F��

G2� � G5� = ��� � ��� � 2��D���D�� � 2��F���F��

4° Coloca-se em evidência ����� e decompomos Cosseno e Seno da soma de dois ângulos. G2� � G5� = ��� � ��� � 2����(D�D�� � F�F��)

G2� � G5� = ��� � ��� � 2����(D�(D�D� - F�F�) � F�(F�D� � D�F�))

5° Aplica-se a distributiva para C1, S1 e reagrupamos os termos para eliminar os termos semelhantes. G2� � G5� = ��� � ��� � 2����(D��D� - D�F�F� � F��D� � F�D�F�)

0 G2� � G5� = ��� � ��� � 2����(D��D� � F��D� � F�D�F� - D�F�F�)

6° Coloca-se C2 em evidência para obter C

2 + S2 = 1 1 G2� � G5� = ��� � ��� � 2����(D�(D�� � F��)) G2� � G5� = ��� � ��� � 2����D�

7° Isolando-se C2 e obtendo a inversa dele temos:

D� =G2� � G5� - ��� - ���2���� ∴ ,� =± arccos G2� � G5� - ��� - ���2����

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Para obtermos ,�, utilizamos sua representação geométrica, de onde se deduz:

tan � = 52 tan � = ������ ��¡�

Aplicando a identidade:

tan (α – β) = ¢£¤¥�¢£¤¦� ¢£¤¥ ¢£¤¦

temos:

tan ,�= tan (α – β) =

§̈� ©�ª�©�«©�¬�� §̈1 ©�ª�©�«©�¬�7

Desenvolvendo a equação temos:

tan ,� =5(�� ��¡�)�2(����)2(�� ��¡�) 5(����) ∴ ,� = arctan�­�1��2D2®-(�2F2)(�1��2D2)��(�2F2)

Obs.: 1° - Como já falamos anteriormente é possível se obter outras soluções para ,�.,�. Nota-se também que a inversão do cosseno fornece dois valores ± que representam geometricamente a posição da segunda junta ,� onde se maior que zero tem-se a junta para baixo e se menor que zero tem-se a junta para cima. 2° - para a obtenção de ,� pode-se substituir os valores já obtidos de ,�, entretanto tal pratica eleva o grau de dificuldade do problema desnecessariamente basta apenas que ambos os ângulos estejam descritos mesmo que um deles esteja em função dos outros cuja sua solução também seja apresentada.

x

y

α

β

,�

,� ��

��

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12.2.2 Método de comparação de elementos matriciais. Consiste basicamente de comparar os elementos vetoriais que compõe a matriz de transformação homogênea com os correspondentes da matriz de transformação geral. Exemplo.: Dada a matriz:

��� �¯° = �DrD, -FrDs � DrF,Fs FrFs � DrF,DsFrD, DrDs � FrF,Fs -DrFs � FrF,Ds-Fr D,Fs D,Ds Comparando com os elementos correspondentes da matriz de transformação geral.

TH = >/2 +2 I2 G2/5 +5 I5 G5/6 +6 I6 G60 0 0 1 ?

PARA θ TEMOS +u = D,Fs e Iu = D,Ds

±²³² = ¡E�´¡E¡´ ⇒ tanψ =

±²³² ∴ s = arctan�±²³²

PARA ϕ TEMOS /2 = DrD, e /5 = FrD,

�§�¨ = �¶¡E¡¶¡E ⇒ tanϕ =

�§�¨ ∴ r = arctan��§�¨

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PARA ψ TEMOS +u = D,Fs

Fs = ±²¡E ∴ s = arcsen�±²¡E

Notas.:

a) O método de comparação de elementos matriciais exige que sejam comparados elementos de um mesmo vetor ou seja.

Elementos do vetor /�� com seus correspondentes. (NORMAL) Elementos do vetor +� com seus correspondentes. (ORIENTAÇÃO) Elementos do vetor I� com seus correspondentes. (APROXIMAÇÃO) Elementos do vetor G� com seus correspondentes. (POSIÇÃO) Ou ainda: Elementos do vetor � com seus correspondentes. Elementos do vetor �� com seus correspondentes. Elementos do vetor �� com seus correspondentes.

b) As ferramentas da matemática (artifícios) e identidades geométricas ainda são utilizadas da mesma forma que no método analítico.

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13 – Cinemática inversa em manipuladores com mais que 3GL.

O numero de variáveis faz com que a álgebra aplicada à solução do sistema seja de alto grau de complexidade, o que em muitos casos impede que seja computada uma solução plausível. O que nos permitiria afirmar que o sistema aceita infinitas possibilidades. Exemplo Um manipulador com quatro graus de liberdade que tem o vetor posição: px = (��D�(D�D�D� - D�F�F�))+ (��F�(-D�D�F� - D�F�D�)) + (D�D���D� - D�F���F� � D���D�)

py = (��D�(F�D�D� - F�F�F�)) +( ��F�(-F�D�F� - F�F�D�)) + (F�D���D� - F�F���F� � F���D�)

pZ =(��D�(F�D� � D�F�)) +( ��F�(-F�F� � D�D�)) + (F���D� � D���F� � ��F� � ��)

Sendo na cinemática inversa

Variáveis angulares Constantes ,� ,� ,� ,�

px py pz

Vetor posição (G���� )

L1 L2 L3 L4

Comprimento dos vínculos

Para solução deste problema utiliza-se das seguintes ferramentas que

combinadas ao método analítico permitem a obtenção de (,�, ,�, ,�, ,�).

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15 – Solução de Pieper. Em um manipulador com até três graus de liberdade as soluções analítica ou a de comparação de elementos matriciais é extremamente eficiente, entretanto quando se trata de um manipulador com mais graus de liberdade a possibilidade de solução é menor dado o grau de dificuldade de computar o número de variáveis. Para resolver tal problema utiliza-se a solução de Pieper (1968), que diz, quando três eixos consecutivos de um manipulador interceptam-se num ponto, isto permite decompor o problema em dois conjuntos de equações. Assim um manipulador com seis graus de liberdade quando os três últimos eixos das juntas se interceptam o problema cinemático inverso pode ser reduzido a dois conjuntos de soluções com três incógnitas cada. Sendo �· = & �· ¸·0 1 ( = �/�� +� I� G�0 0 0 1 onde: G�� = �� . ��� . G���

O que nos permite obter ,�, ,�.,� que afetam a posição final do efetuador.

�·� = �� �� �·

O que complementa a solução determinando ,�, ,¹.,·, que afetam a orientação do ultimo elo.

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16 – Solução de R.P. Paul (Paul, 1981) Conhecida a matriz de transformação:TH = �� = �� = �� . ��� . . . ����� ,

pré multiplica-se sucessivamente pela inversa da matriz �AA�� , onde i = 1, 2, 3, ..., n. Em cada uma das equações obtidas o lado esquerdo é função somente das i primeiras variáveis de juntas, enquanto que os elementos do lado direito ou são constantes ou dependem das variáveis das juntas i +1, i + 2, ... n, cada conjunto de equações algébricas distintas correspondendo a situação que o elo deve ser tratado como base do manipulador. Exemplo: Para um manipulador com 6 graus de liberdade temos ( �� )�� �· = �·� ( ��� )��( �� )�� �· = �·� ( ��� )��( ��� )��( �� )�� �· = �·� ( ��� )��( ��� )��( ��� )��( �� )�� �· = �·� ( �¹� )��( ��� )��( ��� )��( ��� )��( �� )�� �· = �·¹ Que neste caso nos permite obter 12 equações que por substituição nos permite obter as variáveis angulares.