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Introdução à Programação Linear Parte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford

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Page 1: Introdução à Programação Linear Parte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford

Introdução à Programação LinearParte II

Elementos de Economia Matemática 2

Prof. Alexandre Stamford

Page 2: Introdução à Programação Linear Parte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford

O modelo do problema

189 21 xx.H.H

00 21 xx

123 21 xx.M.H

21421

xxLMaxx,x

s.a

Page 3: Introdução à Programação Linear Parte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford

O Método SIMPLEX

Forma-se um sistema de equações lineares introduzido as variáveis de folga:

123 421 xxx

04 21 xxL

189 321 xxx

Page 4: Introdução à Programação Linear Parte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford

O Método SIMPLEXUm quadro pode ser formado com os

coeficientes das variáveis.

Observe o formato das colunas de x3 e x4

x1 x2 x3 x4L -4 -1 0 0 0x3 9 1 1 0 18x4 3 1 0 1 12

Observe os coeficientes de x1 e x2 na linha da função objetivo.Para auxiliar pode-se utilizar uma coluna para destacar os valores das variáveis básicas.

Page 5: Introdução à Programação Linear Parte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford

O Método SIMPLEXA primeira pergunta é qual a variável

que, saindo da base, aumentaria mais rapidamente o valor da função objetivo.

A pergunta é respondida observando-se qual a variável que tem o coeficiente mais negativo na linha referente à função objetivo.

x1 x2 x3 x4L -4 -1 0 0 0x3 9 1 1 0 18x4 3 1 0 1 12

No caso, a variável x1

Page 6: Introdução à Programação Linear Parte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford

O Método SIMPLEX Como x1 aumenta a função objetivo mais rapidamente, qual o

valor máximo que x1poderá assumir sem romper as restrições?

Na primeira restrição x1aumenta até 2 (18/9) fazendo com que x3 se anule, saindo da base.

x1 x2 x3 x4L -4 -1 0 0 0x3 9 1 1 0 18x4 3 1 0 1 12

Na segunda restrição x1aumenta até 4 (12/3) fazendo com que x4 se anule, saindo da base.x1 toma então o lugar de x3 na base, entrando na linha desta mesma variável básica.

Page 7: Introdução à Programação Linear Parte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford

O Método SIMPLEX

Com a decisão tomada, a linha de x3 deve refletir agora o valor de x1, consegue-se isto fazendo o coeficiente de x1 igual a 1 naquela linha e trocando-se o nome à direita do quadro.

Para que o quadro fica passível de análise é necessário escaloná-lo sendo a linha de x1 a pivô.

x1 x2 x3 x4L -4 -1 0 0 0x1 1 1/9 1/9 0 2x4 3 1 0 1 12

Page 8: Introdução à Programação Linear Parte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford

O Método SIMPLEX

O novo quadro será:

Observe o formato das colunas de x1 e x4

x1 x2 x3 x4L 0 - 5/9 4/9 0 8x1 1 1/9 1/9 0 2x4 0 2/3 - 1/3 1 6

Observe os coeficientes de x2 e x3 na linha da função objetivo.A coluna à direita destaca os valores das novas variáveis básicas e do lucro.

Page 9: Introdução à Programação Linear Parte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford

x1 x2 x3 x4L 0 - 5/9 4/9 0 8x1 1 1/9 1/9 0 2x4 0 2/3 - 1/3 1 6

O Método SIMPLEXA primeira pergunta pode ser repetida: qual a

variável que, saindo da base, aumentaria mais rapidamente o valor da função objetivo?

A pergunta é respondida observando-se que a única variável que tem coeficiente negativo na linha referente à função objetivo é x2.Até quanto o valor x2 pode aumentar?

Page 10: Introdução à Programação Linear Parte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford

x1 x2 x3 x4L 0 - 5/9 4/9 0 8x1 1 1/9 1/9 0 2x4 0 2/3 - 1/3 1 6

O Método SIMPLEX Pode-se automaticamente localizar o mínimo das razões dos

valores das variáveis básicas com os coeficientes de x2.

Mínimo

182

91

96

32

Nova linha pivô

Page 11: Introdução à Programação Linear Parte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford

x1 x2 x3 x4L 0 0 1/6 5/6 13x1 1 0 1/6 - 1/6 1x2 0 1 - 1/2 1 1/2 9

O Método SIMPLEX Multiplicando-se a linha de x2 por 3/2, trocando-se o

nome da variável e escalonando resulta em:

Observe novamente as colunas de x1 e x2 (as VB’s)Observe também os coeficientes de x3 e x4 (as VNB’s ) na linha da função objetivo.A coluna à direita destaca os valores das novas variáveis básicas e do lucro.A solução é ótima dado os coeficientes positivos.

Page 12: Introdução à Programação Linear Parte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford

O Algoritmo SIMPLEX

1. Acrescentar variáveis de folga ao

problema.

2. Achar uma solução viável definindo as VB e

as VNB

3. Identificar a VNB com coeficiente mais negativo na função

objetivo (VBE)

4. Escolher a menor das razões entre os

coeficientes da VBE e os valores das VB’s

5. Identificar a linha em que isto ocorre e nominar a VB

como VBS

6. Tornar o coeficiente da VBE igual a 1 na linha da

VBS e escalonar o sistema

7. A VBE torna-se VB e a VBS torna-se VNB

8. Existe alguma VB com coeficiente

negativo na função objetivo?

SIM

NÃO

9. Solução Ótima

Page 13: Introdução à Programação Linear Parte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford

Aplicando o SIMPLEX no Exemplo 2

Uma grande fábrica de móveis dispõe em estoque de 300m de tábuas, 600m de pranchas e 500m de painéis de aglomerado.

Oferece normalmente 4 modelos de móveis: Escrivaninha, Mesa, Armário e Prateleira.

Os modelos são vendidos respectivamente por $100,00; $80,00; $120,00; $30,00.

E consomem: Escrivaninha: 1m tábua, 3m de painéis. Mesa: 1m tábua, 1m prancha, 2m painéis. Armário: 1m tábua, 1m prancha, 4 painéis. Prateleira: 4m tábua, 2 de prancha.

Page 14: Introdução à Programação Linear Parte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford

O modelo do problema

PAMExxxx

xxxxLMaxPAME

3012080100,,,

0000 PAME xxxx

6002 PAM xxxPr

3004 PAME xxxxTb

500423 AME xxxPa

Page 15: Introdução à Programação Linear Parte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford

03012080100 PAME xxxxL

6002 2 FPAM xxxx

3004 1 FPAME xxxxx

500423 3 FAME xxxx

O Método SIMPLEX

Introduzido as variáveis de folga.

Page 16: Introdução à Programação Linear Parte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford

O Método SIMPLEXO quadro é:

xE xM xA xP xF1 xF2 xF3L -100 -80 -120 -30 0 0 0 0xF1 1 1 1 4 1 0 0 300xF2 0 1 1 2 0 1 0 600xF3 3 2 4 0 0 0 1 500

Observe as colunas das variáveis básicas e os coeficientes das variáveis não básicas .

Os valores das VB’s estão a direita.Quem entra na base é xA e quem sai é xF3

A linha pivô é a linha da VBS xF3.

Page 17: Introdução à Programação Linear Parte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford

O Método SIMPLEXO novo quadro é:

xE xM xA xP xF1 xF2 xF3

L -10 -20 0 -30 0 0 30 15000

xF1 1/4 1/2 0 4 1 0 - 1/4 175

xF2 - 3/4 1/2 0 2 0 1 - 1/4 475

xA 3/4 1/2 1 0 0 0 1/4 125

xP é a variável que entrará na base no lugar de xF1Dividindo-se por 4 e escalonando....

Page 18: Introdução à Programação Linear Parte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford

O Método SIMPLEXO novo quadro é:

xE xM xA xP xF1 xF2 xF3

L -8,125 -16,25 0 0 7,5 0 28,13 16312,5

xP 0,0625 0,125 0 1 0,25 0 -0,06 43,75

xF2 -0,875 0,25 0 0 -0,5 1 -0,13 387,5

xA 0,75 0,5 1 0 0 0 0,25 125

xM é a variável que entrará na base no lugar de xA, pois

43,75/0,125=350387,5/0,25=1550 e125/0,5=250

Page 19: Introdução à Programação Linear Parte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford

O Método SIMPLEXO novo quadro é:

xE xM xA xP xF1 xF2 xF3

L 16,25 0 32,5 0 7,5 0 36,25 20375

xP -0,125 0 -0,25 1 0,25 0 -0,13 12,5

xF2 -1,25 0 -0,5 0 -0,5 1 -0,25 325

xM 1,5 1 2 0 0 0 0,5 250

A solução é ótima, não há coeficientes negativos.