UFSC / CTC / DEPS EPS5102 – Introdução à Pesquisa Operacional Questão 1 Um aluno tem disponíveis 20 horas de estudo por semana, que poderão ser distribuidas entre 5 disciplinas. Ele estimou a nota que provavelmente obteria em cada disciplina se não estudar, isto é, apenas assistindo às aulas. Também estimou o aumento na nota de cada disciplina por cada hora semanal de estudo a mais. Estas informações foram reunidas no seguinte quadro:

Disciplinas Nota sem

estudo, apenas assistindo aula

Aumento da nota por hora de estudo

1 4,0 1,0 2 3,5 0,5 3 6,0 0,4 4 4,5 0,6 5 7,0 0,7

Considerando que a nota máxima em cada disciplina é 10, formule um modelo para determinar quantas horas semanais teria este aluno que estudar, se quiser ter média 8 e a nota mais baixa 6,5. Questão 2 Resolva e interprete a solução do problema de programação linear abaixo.

0,,,

6

206223:.

14121510

4321

4321

4321

4321

≥

=+++

≥+++

+++=

xxxx

xxxx

xxxxas

xxxxzMin

Questão 3 Resolver o seguinte problema de atribuição:

1,,,,,0

1

1

1

1

1:.

91318121510

232221131211

232221

131211

2313

2212

2111

232221131211

≤≤

≤++

≤++

≥+

≥+

≥+

+++++=

xxxxxx

xxx

xxx

xx

xx

xxas

xxxxxxzMin

GABARITO Questão 1: Considere as seguintes variáveis:

jx = quantidade de horas alocadas ao estudo da disciplina j;

S = soma das notas das disciplinas;

H = total de horas de estudo. Modelo (a)

Max )7,07()6,05,4()4,06()5,05,3()14( 54321 xxxxxS +++++++++=

s.a: 2054321 ≤++++ xxxxx

10)14(6 1 ≤+≤ x

10)5,05,3(6 2 ≤+≤ x

10)4,06(6 3 ≤+≤ x

10)6,05,4(6 4 ≤+≤ x

10)7,07(6 5 ≤+≤ x

0,,,, 54321 ≥xxxxx

Modelo (b)

Min 54321 xxxxxH ++++=

s.a: 40)7,07()6,05,4()4,06()5,05,3()14( 54321 ≥+++++++++= xxxxxS

10)14(5,6 1 ≤+≤ x

10)5,05,3(5,6 2 ≤+≤ x

10)4,06(5,6 3 ≤+≤ x

10)6,05,4(5,6 4 ≤+≤ x

10)7,07(5,6 5 ≤+≤ x

0,,,, 54321 ≥xxxxx

Questão 2:

BASE (-Z) X1 X2 X3 X4 S1 RHS

0,00 3,00 2,00 2,00 6,00 -1,00 20,00

0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 6,00

1,00 10,00 15,00 12,00 14,00 0,00 0,00

BASE (-Z) X1 X2 X3 X4 S1 RHS Razão

S1 0,00 3,00 4,00 4,00 0,00 1,00 16,00 5,33

X4 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 6,00 6,00

(-Z) 1,00 -4,00 1,00 -2,00 0,00 0,00 -84,00

***

BASE (-Z) X1 X2 X3 X4 S1 RHS

X1 0,00 1,00 1,33 1,33 0,00 0,33 5,33

X4 0,00 0,00 -0,33 -0,33 1,00 -0,33 0,67

(-Z) 1,00 0,00 6,33 3,33 0,00 1,33 -62,67

Solução ótima do problema primal:

Var. Primal

Valor Primal

Valor Dual

X1 5,33 0,00

X2 0,00 6,33

X3 0,00 3,33

X4 0,67 0,00

S1 0,00 1,33

Z 62,67 1,00

Portanto, o valor ótimo das variáveis primais são: 33,51 =x e 67,04 =x . Não haverá folga nas restrições. O valor

da função objetivo para esta solução é de 67,62=Z . Dos valores das variáveis duais conclui-se que se houver

uma variação uma unidade a mais no valor do RHS da primeira restrição, o valor da função objetivo sofrerá um

incremento de 33,1 unidades.

Questão 3: Por tratar-se de um problema de atribuição, é conveniente resolvê-lo como tal. Usando o método húngaro para obter uma solução, tem-se:

10 15 12

18 13 9

0 0 0

Subtraindo o menor elemento de cada linha e coluna:

0 5 2

9 4 0

0 0 0

Solução ótima:

Máquina Tarefa Custo

M1 T1 10

M2 T3 9

M3 Tfic 0